Statica ed

8/9/2019 Statica ed

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Università degli Studi di Roma “La Sapienza”

Prima Facoltà di Architettura – Corso di Laurea Piazza Borghese

anno accademico 2001/2002

Corso di Statica

Cesare Tocci

Raccolta di esercizi svoltiStatica

8/9/2019 Statica ed


Esercizi di Statica Statica Cesare Tocci

1

INDICE

Esercizio 1 .............................................................................................................................. 2Esercizio 2 .............................................................................................................................. 8Esercizio 3 ............................................................................................................................ 16Esercizio 4 ............................................................................................................................ 26Esercizio 5 ............................................................................................................................ 31Esercizio 6 ............................................................................................................................ 36

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2

Esercizio 1

Le gradinate di uno stadio e i carichi su di esse agenti, dovuti al peso delle persone (caricoripartito) e alla pensilina della copertura (carico e coppia concentrati), sono modellati con loschema strutturale rappresentato in figura. Ipotizzando per i carichi i seguenti valori:

F = 20 kN , M = 40 kN ⋅ m, p = 5 kN/m,determinare le reazioni vincolari.

È bene precisare che, per come sono rappresentati nella figura piccola, i vincoli al piede dei pilastri realizzano, in realtà, delle cerniere piuttosto che degli appoggi. La schematizzazioneadottata deriva dalla necessità, esclusivamente didattica, di ottenere una struttura isostatica.

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3

Soluzione

Formulazione matriciale (equazioni cardinali)La struttura è costituita da un unico corpo rigido vincolato esternamente con tre carrelli nonconcorrenti nello stesso punto. Si tratta pertanto di una struttura isostatica.Le equazioni cardinali della statica sono espresse, in forma matriciale, dal sistema diequazioni lineari:

[ ] { } [ ] { } f V f V T f r

T r −=

dove la matrice dei coefficienti [ ]T r V è la trasposta della matrice cinematica dei vincoli, il

vettore delle incognite { }r f contiene il sistema delle reazioni vincolari, il vettore dei termini

noti [ ] { } f V T

f

− contiene la riduzione all’origine degli assi del sistema delle forze

direttamente applicate alla struttura.Il primo membro costituisce una formulazione generalizzata del sistema delle reazionivincolari così come il secondo membro costituisce una formulazione generalizzata del sistemadelle forze direttamente applicate. Detto sistema di equazioni impone pertanto l’equivalenza azero di tutte le forze, attive e reattive, agenti sulla struttura.

Determinazione della forza generalizzata

Poiché tra le forze direttamente applicate compare un carico ripartito lo si sostituisce preliminarmente con il suo risultante ( P=5⋅ 15=75 kN ) applicato nel baricentro delladistribuzione di carico. Si ricorda che tale operazione è lecita solo per le strutture isostatiche

e limitatamente alla ricerca delle reazioni vincolari.

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4

Con il sistema di riferimento indicato in figura, avente origine nel punto A, la matrice

cinematica delle forze direttamente applicate risulta (a destra della matrice sono indicate leforze a cui le singole righe si riferiscono):

[ ] ) M (

) F (

) P (

100

1510

5.210

V f

−−

−−

=

e, conseguentemente, la forza generalizzata è data da:

{ } [ ] { }

−

−=

−−

−−==

5.447

95

0

40

20

75

1155.2

011

000

f V F T f

Si è detto che la forza generalizzata è la riduzione all’origine degli assi (A) del sistema delleforze direttamente applicate. Si osserva infatti che essa contiene, nell’ordine: la componentedel risultante delle forze applicate secondo l’asse x (0), la componente secondo l’asse y (-95kN) e il momento del sistema rispetto all’origine degli assi (-447.5 kNm).

Matrice cinematica dei vincoli

(a destra della matrice sono riportati gli spostamenti a cui le singole righe si riferiscono, e ilverso assunto per tali spostamenti)

[ ]←↑

↑

→

−

=

Cr

By

Ay

r

s

s

s

6 .10848.053.0

1010

010

V

Si ricorda, a proposito della terza riga della matrice cinematica, che:(i) l’angolo CDB è pari a arctan(2.5/4) = 32° e pertanto risulta α r = -sen32° = -0.53, β r =cos32° = 0.848;(ii) la distanza della retta r passante per C, e diretta secondo CD, dall’origine degli assi A è

data da: - α r ⋅ yC + β r ⋅ xC = - (-0.53)⋅ 0 + 0.848⋅ 12.5 = 10.6, ovvero dal modulo del prodottovettoriale r eC A r

r

∧ .

Risoluzione del problema statico

Si può dunque scrivere:

[ ] { } [ ] { }

−

−−=

⋅

−

⇒−=

5.447

95

0

R

R

R

6 .10100

848.011

53.000

f V f V

C

B

AT

f r T

r

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5

ovvero:

kN 75.44 R )2

kN 25.50 R )3 kN 0 R )1

5.447 R6 .10 R10

95 R848.0 R R 0 R53.0

B

A

C

C B

C B A

C

=

=

=

⇒

=+

=++

=−

Si osservi che le tre equazioni ottenute impongono, rispettivamente: l’equilibrio allatraslazione lungo l’asse x, l’equilibrio alla traslazione lungo l’asse y e l’equilibrio allarotazione intorno al polo A. Come tali esse potevano anche essere scritte direttamente, senza

passare attraverso la formulazione matriciale che rimane, comunque, indispensabile nel casodi strutture complesse.La completa automatizzazione della procedura richiederebbe l’inversione della matrice deicoefficienti. È immediato controllare che si perviene, ovviamente, alla stessa soluzione. Si ha

infatti:

{ } [ ]( ) [ ]( ){ }

=

⋅

−

−

=

=

⋅

−

⋅

−

−−

=−= −

0

75.44

25.50

40

20

75

000

1.05.125.0

1.05.075.0

40

20

75

1155.2

011

000

00887 .1

1.002

1.014.0

f V V f T f

1T r r

Per la condizione di carico esaminata, dunque, il carrello in C non lavora. Ciò non destasorpresa, dal momento che tutte le forze sono verticali e per esse sono ovviamente sufficientianche i due soli carrelli in A e in B.

Soluzione grafica

La soluzione grafica è riportata nelle due figure seguenti e sfrutta il principio disovrapposizione degli effetti. Le reazioni dovute alle due forze verticali e le reazioni dovutealla coppia sono calcolate separatamente e, quindi, sommate per ottenere la soluzione globale.È facile verificare che i valori coincidono con quelli ottenuti con le soluzioni analitiche.

Non è inutile ricordare alcuni aspetti della soluzione grafica:- circa la determinazione delle reazioni dovute alle due forze verticali si osservi che i due

carrelli in B e in C equivalgono a una cerniera fittizia in D e, poiché la reazione delcarrello in A è verticale, così come le forze agenti, anche la reazione della cerniera fittizianon potrà che essere verticale. Per la valutazione del modulo di dette reazioni si procedenel modo di seguito descritto (nel caso in cui le reazioni non fossero entrambe parallelealle forze direttamente applicate si potrebbe usare la procedura descritta nell’esercizio 2):(i) si costruisce un poligono funicolare di polo P arbitrario per le forze direttamenteapplicate e si determinano i punti in cui il primo e l’ultimo lato del poligono incontrano lerette di applicazione delle reazioni incognite (rispettivamente A’ e D’ in figura); (ii)conducendo quindi dal polo P una parallela alla A’D’ si individuano nei segmenti 2-3 e 3-4, staccati sul poligono delle forze, le intensità delle due reazioni cercate. Infatti, per il

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sistema costituito dalle forze 0-1, 1-2, 2-3 e 3-4 risultano chiusi sia il poligono delle forze(e ciò equivale a dire che il sistema ha risultante nullo) sia il poligono funicolare (il

sistema ha momento risultante nullo rispetto a qualunque polo del piano). Poiché lareazione della cerniera fittizia è verticale, il carrello in C non lavora.

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- circa la determinazione delle reazioni dovute alla coppia M dette reazioni devono

evidentemente costituire una coppia opposta a quella agente. La coppia reattiva ècostituita da due forze passanti per il carrello A e per la cerniera fittizia D e la cuidirezione è quella della reazione in A (verticale): anche in questo caso il carrello in C nonè pertanto chiamato in causa.

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Esercizio 2

La struttura di copertura di una grande aula espositiva è realizzata mediante un arco reticolarea tre cerniere. Trascurando la struttura interna delle due campate, ovvero considerandole comecorpi rigidi, determinare le reazioni vincolari dell’arco per effetto di un carico uniformementedistribuito sull’orizzontale e agente solo sulla campata BC (tale condizione potrebbe adesempio derivare da un accumulo asimmetrico di neve).

Soluzione

Formulazione matriciale (equazioni cardinali)

L’arco a tre cerniere è una struttura isostatica (2 corpi rigidi, ovvero 6 gradi di libertà nel piano, vincolati tra loro e con il suolo per mezzo di 3 cerniere, ovvero 6 gradi di vincolo).Trattandosi di un sistema articolato di corpi rigidi, le matrici e i vettori che compaiono nella

formulazione matriciale delle equazioni cardinali (vedi esercizio 1):[ ] { } [ ] { } f V f V T

f r T

r −=

si ottengono assemblando matrici e vettori relativi ai singoli corpi, opportunamente ordinati e, per ognuno dei quali, si può (conviene) scegliere un diverso sistema di riferimento rispetto alquale ridurre tanto le reazioni vincolari quanto le forze direttamente applicate: nel caso inesame sono stati scelti due sistemi con origine nei punti A e B, rispettivamente per i corpi A(asta AC) e B (asta BC).

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Rimane ovviamente invariato, rispetto al caso di un solo corpo rigido vincolato (vedi esercizio1), il significato fisico del sistema costituito dalle equazioni cardinali: il primo membro

costituisce una formulazione generalizzata del sistema delle reazioni vincolari mentre ilsecondo membro costituisce una formulazione generalizzata del sistema delle forzedirettamente applicate.


Il corpo A è esente da forze direttamente applicate e la forza generalizzata agente su di esso ècostituita da un vettore nullo.Il corpo B è invece soggetto a una forza concentrata equivalente al risultante del caricodistribuito assegnato (si ricordi che tale sostituzione è lecita solo per i sistemi isostatici elimitatamente alla ricerca delle reazioni vincolari).

Con il sistema di riferimento indicato in figura, avente origine in B) si ha:

matrice cinematica: [ ]4 L10V B f −=

forza generalizzata: { } [ ] { }

−=⋅

−==

8 pL

2 pL

0

2 pL

4 L

1

0

f V F 2

BT B f

B

La forza generalizzata dell’intera struttura risulta pertanto:

{ } { } { }8 pL2 pL0000 F F F 2T B AT −==

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10


Anche per la matrice cinematica dei vincoli, così come per la forza generalizzata, occorre

assemblare le singole matrici relative a ciascuno dei due corpi. Si ha (a destra delle matricisono riportati gli spostamenti a cui le singole righe si riferiscono, e il verso assunto per talispostamenti):

corpo A [ ]

↓

←

↑

→

−−

−=

Cy

Cx

Ay

Ax

Ar

s

s

s

s

2 L10

H 01

010

001

V

corpo B [ ]

↑

→↑

→

−

−

=

By

Bx

Cy

Cx

Br

s

s s

s

010

0012 L10

H 01

V

Ordinando i vettori degli spostamenti generalizzati dei singoli corpi allo stesso modo delvettore forza generalizzata, ovvero:

{ } { } { } B B

B By

B Bx

A A

A Ay

A Ax

T B AT S S S S S S S θ θ ==

la matrice dell’intera struttura risulta:

−−−

−−

↑

→

↑+↓

→+←

↑

→

010000

001000

2 L102 L10

H 01 H 01

000010

000001

s

s

s s

s s

s

s

By

Bx

BCy

ACy

BCx

ACx

Ay

Ax

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11


La formulazione matriciale del problema statico è dunque:

[ ] { } { }

−

−=

⋅

−−

−

−

−

⇒−=

8 pL

2 pL

0

0

0

0

R

R

R

R

R

R

002 L H 00

101000

010100

002 L H 00

001010

000101

F f V

2 By

Bx

Cy

Cx

Ay

Ax

r T

r

Il significato fisico di tale sistema di equazioni è di agevole interpretazione: le prime treequazioni, ad esempio, nelle quali compaiono solo le reazioni vincolari relative alle cerniereA e C, rappresentano le equazioni di equilibrio (traslazione secondo x e y e rotazione intornoad A) del corpo AC pensato isolato e soggetto alle estremità alle forze ad esso trasmesse dalresto della struttura (in C) e dal suolo (in A). Ugualmente, le tre successive equazionirappresentano le equazioni di equilibrio del corpo B isolato. In definitiva, il sistema ottenutomediante la formulazione matriciale si può scrivere direttamente scomponendo la struttura inelementi, mettendo in evidenza le azioni che tali elementi si scambiano in corrispondenza deinodi interni e imponendo le condizioni di equilibrio per ciascuno degli elementi stessi.La soluzione del sistema si ottiene, in questo caso, più facilmente per sostituzioni successive

che non per inversione della matrice dei coefficienti. Infatti, il sistema di equazioni scritto peresteso assume la forma:

−=⋅−⋅−

=+

=+

=⋅−⋅

=−

=−

8

pL R2

L R H

2

pL R R

0 R R

0 R2

L R H

0 R R

0 R R

2

CyCx

ByCy

BxCx

CyCx

Cy Ay

Cx Ax

e si risolve sommando e sottraendo tra loro la terza e la sesta equazione, per ottenere,rispettivamente, Cy R e Cx R , e utilizzando le rimanenti equazioni per le altre incognite. Il

vettore delle reazioni vincolari è in definitiva:

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12

{ }

−

=

=

8 pL3

H 16 pL

8 pL

H 16 pL

8 pL

H 16 pL

R

R

R

R

R

R

f

2

2

2

By

Bx

Cy

Cx

Ay

Ax

r

La sola componente orizzontale della reazione in B ha segno opposto a quello inizialmenteipotizzato. Essa deve infatti equilibrare la analoga componente orizzontale in A e, insieme aquesta, opporsi alla spinta che l’arco trasmette all’imposta.Si può controllare che le reazioni vincolari ottenute assicurano sia l’equilibrio globale

dell’intera struttura sia l’equilibrio di ciascuno dei corpi considerato separatamente.Circa l’equilibrio globale, si osservi che le reazioni corrispondenti alle articolazioni interne sielidono reciprocamente e scompaiono dal gioco delle forze, mentre le reazioni esplicate daivincoli esterni costituiscono un sistema equilibrante del sistema delle forze direttamenteapplicate. Infatti, non essendovi forze direttamente applicate in direzione orizzontale lecomponenti orizzontali delle reazioni delle due cerniere esterne sono uguali ed opposte e lecomponenti verticali sono tali da equilibrare il risultante del carico distribuito; ciascuna delledue componenti genera inoltre rispetto alla cerniera opposta un momento uguale e contrario aquello generato dal carico.Circa l’equilibrio dei singoli corpi, si osservi che: (i) il corpo AC è soggetto a due coppieuguali ed opposte, costituite la prima dalle componenti verticali delle reazioni in A e in C, la

seconda dalle componenti orizzontali delle stesse reazioni; (ii) e per il corpo BC si possonoripetere considerazioni analoghe a quelle già effettuate per l’insieme dei due corpi.Risultano dunque assicurati l’equilibrio dell’intera struttura e l’equilibrio di ciascun corpo.

Metodo delle equazioni ausiliarie

Il fatto che in un sistema articolato in equilibrio risultano assicurati tanto l’equilibrio globalequanto l’equilibrio dei singoli corpi suggerisce una formulazione analitica del problemastatico più snella di quella matriciale che va sotto il nome di metodo delle equazioniausiliarie.Il metodo consiste nello scrivere le equazioni di equilibrio per l’intera struttura (equazioniglobali) considerata come un unico corpo rigido: in queste equazioni compaiono,

evidentemente, come incognite le sole reazioni vincolari esterne. Se il numero di incognite èsuperiore a quello delle equazioni (tre) occorre scrivere tante equazioni aggiuntive (equazioniausiliarie) quanti sono i vincoli esterni sovrabbondanti. Tali equazioni aggiuntivenaturalmente non devono contenere ulteriori incognite rispetto a quelle presenti nelleequazioni globali: ciò che si ottiene imponendo l’equilibrio alla rotazione di singole partidella struttura rispetto alle cerniere interne in modo da annullare l’effetto delle reazioniinterne che si trasmettono attraverso le cerniere stesse.Per l’arco a tre cerniere in esame i due gruppi di equazioni sono:

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Equazioni globali:

B)aintorno(rotazione

)verticalene(traslazio

e)orizzontalne(traslazio

0 )4 L )( 2 pL( L R

02 pL R R

0 R R

Ay

By Ay

Bx Ax

=+⋅−

=−+

=+

Equazioni ausiliarie:

C)aintornoAcorpodel(rotazione 02 L R H R Ay Ax =⋅−⋅

Si ottiene dunque un sistema di quattro equazioni in quattro incognite la cui soluzione siottiene risolvendo la terza equazione per R Ay e sostituendo, nell’ordine, nella quarta, nellaseconda e nella prima equazione per le altre incognite. I valori che si ottengono sono, com’èovvio, uguali a quelli che derivano dalla formulazione matriciale già svolta.

Note le reazioni dei vincoli esterni, le condizioni di equilibrio di uno qualsiasi dei due corpi, preso separatamente, consentono di completare la soluzione ricavando, se necessario, lereazioni interne che i due corpi si scambiano attraverso la cerniera in C.

Poiché il corpo A è esente da forze direttamente applicate, le reazioni che esso riceve daivincoli in A e in C devono costituire una coppia di braccio nullo nella direzione AC e,conseguentemente, anche la reazione che il corpo B riceve in C dal corpo A è diretta secondola medesima direzione. Inoltre, essendo il corpo B soggetto a tre sole forze, il risultante delcarico distribuito e le due reazioni in B e in C, affinché sia assicurato l’equilibrio allarotazione del corpo, dette forze devono incontrarsi in un punto (condizione che assicura

l’annullarsi del momento risultante delle tre forze): ciò fissa la direzione della reazione in B.

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Soluzione grafica

Le due reazioni incognite si ottengono quindi come vettori opposti delle componenti dellaforza direttamente applicata secondo le due direzioni individuate (condizione che assicural’annullarsi del risultante delle tre forze).

Principio dei lavori virtuali

La determinazione delle reazioni vincolari per mezzo del principio dei lavori virtuali sieffettua: (i) sopprimendo il vincolo elementare relativo alla componente di reazione cercata esostituendolo con la reazione stessa, (ii) imponendo lo spostamento virtuale che era impeditodal vincolo soppresso, (iii) uguagliando a zero il lavoro virtuale compiuto dalle forze agentisulla struttura che sono le forze esterne direttamente applicate (note) e la componente direazione evidenziata (incognita).Supponiamo ad esempio di voler determinare la componente orizzontale della reazione in B.

La cerniera B può essere interpretata come l’insieme di due pendoli disposti rispettivamentein orizzontale e in verticale. Sostituiamo il pendolo orizzontale con la reazione incognita R Bx eimponiamo un cedimento vincolare δ Bx = 1, come in figura.Per determinare lo spostamento del punto di applicazione della forza P occorre risolvere il

problema cinematico procedendo, ad esempio, come in (cinematica dei corpi rigidi, esercizio5). Graficamente (vedi figura) e, facendo riferimento ai valori assoluti di spostamenti erotazioni, è immediato riconoscere che:

H 8

L

H 2

1

4

L

4

L

H 2

1 B Py B ===⇒= θ δ θ

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15

e, conseguentemente, applicando il principio dei lavori virtuali:

H 8

pL R0

H 8

L

2

pL R P R0 L

2

Bx Bx Py Bx BxV =⇒=+−=⋅+⋅−⇒= δ δ

Nella figura è riportata, sempre relativamente alla cerniera in B, anche la determinazione dellacomponente verticale della reazione. Con spostamenti e rotazioni sempre espressi in valoreassoluto, risulta:

4

3

L

1

4

L3

4

L3

L

1 B Py B ===⇒= θ δ θ

8

pL3 R0

4

3

2

pL R P R0 L By By Py By ByV =⇒=+−=⋅+⋅−⇒= δ δ

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Esercizio 3

La campata terminale di un capannone industriale è realizzata in struttura mista con elementiin calcestruzzo armato (pilastro di destra) ed elementi reticolari in acciaio (trasverso e pilastrodi sinistra). Con riferimento al modello meccanico riportato in figura, nel quale gli elementi inacciaio sono considerati come corpi rigidi, determinare le reazioni vincolari della strutturanell’ipotesi che questa sia soggetta a un carico uniformemente distribuito sul trasverso ( p = 5kN/m) e a una forza concentrata in corrispondenza dell’articolazione interna tra trasverso e

pilastro di destra ( F = 20 kN ). Tale condizione di carico potrebbe ad esempio rappresentare il peso proprio del trasverso e il carico trasmesso alla campata in esame dal resto della struttura.

Soluzione


La struttura data è isostatica. Essa è infatti composta da 3 corpi rigidi (9 gradi di libertà nel piano) vincolati (tra loro e con il suolo) per mezzo di 3 cerniere e 1 incastro (9 gradi divincolo).

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17

Alternativamente, detta struttura è costituita da una mensola (il pilastro in calcestruzzoarmato) sulla quale imposta un arco a tre cerniere.


Le forze agenti sulla struttura sono: (i) il carico uniformemente distribuito sul trasverso che, per le strutture isostatiche e limitatamente alla ricerca delle reazioni vincolari, si puòsostituire con il suo risultante, P=5⋅ 8=40 kN , e (ii) la forza concentrata sulla cerniera internain D. Per detta forza concentrata sono possibili diverse ipotesi: forza agente sul solo trasverso,nel qual caso il pilastro risulterebbe direttamente scarico (ossia esente da forze direttamenteapplicate), ovvero forza agente sul solo pilastro, con trasverso direttamente scarico, o ancoraforza agente in parte sul trasverso e in parte sul pilastro. Allo scopo di dimostrarel’equivalenza delle diverse ipotesi di carico, il problema statico verrà risolto per le duecombinazioni estreme (nelle quali il carico è integralmente attribuito al solo pilastro o al solo

trasverso).

Indichiamo pertanto con { }' F e, rispettivamente, { }' ' F la forza generalizzata del sistema nelle

due ipotesi di (i) pilastro di destra direttamente scarico ovvero (ii) soggetto alla forzaconcentrata in sommità.Valutazione di { }' F .Il corpo A e il corpo C sono esenti da forze direttamente applicate e per entrambi la forzageneralizzata è costituita da un vettore nullo.Il corpo B è soggetto al risultante del carico uniformemente distribuito e alla forzaconcentrata, agente in D, che può essere per semplicità scomposta nelle due direzioniorizzontale e verticale. Adottando il sistema di riferimento indicato in figura, con origine in C,si ha:

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matrice cinematica:

[ ] ) F (

) F (

) P (

810

001

410

V

y

x

B

f

−−

−

−−

=


−

−

−

=

⋅

−−

−−

−

==

12.273

14.54

14.14

14.14

14.14

40

804

101

010

f V F BT B f

B


{ } { } { }00012.27314.5414.14000 F F F ' F T C B AT

−−−==

Valutazione di { }' ' F .In questo caso il corpo A è sempre scarico mentre il corpo C è soggetto alla forza concentrata

prima attribuita al corpo B. Cambiano pertanto le forze generalizzate sia di B che di C.Per il corpo B si ha:

matrice cinematica: [ ] [ ]410V B f −−=


−

−=⋅

−

−==

160

40

0

40

4

1

0

f V F BT B f

B

Per il corpo C, adottando il riferimento con origine in B indicato in figura si ha:

matrice cinematica: [ ] ) F (

) F (

010

401V

y

xC f

−

+−=


−

−

=

⋅

+

−

−

==

56 .56

14.14

14.14

14.14

14.14

04

10

01

f V F C T C f

C

La forza generalizzata dell’intera struttura è:

{ } { } { }56 .56 14.1414.14160400000 F F F ' ' F T C B AT

−−−−==


La matrice cinematica dei vincoli è ovviamente la stessa indipendentemente dall’ipotesi fattacirca la attribuzione della forza concentrata al trasverso o al pilastro. Come per la forzageneralizzata, la matrice dei vincoli discende dall’assemblaggio delle singole matrici relativea ciascuno dei tre corpi. Si ha (a destra delle matrici sono riportati gli spostamenti a cui lesingole righe si riferiscono, e il verso assunto per tali spostamenti):

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19

corpo A [ ]↓

←

↑

→

−

−=

Cy

Cx

Ay

Ax

Ar

s

s

s

s

010

401

010

001

V

corpo B [ ]

↑

←

↑

→

−=

Dy

Dx

Cy

Cx

Br

s

s

s

s

810

001

010

001

V

corpo C [ ]

B

By

Bx

Dy

Dx

C r

s

s

s

s

100

010

001

010

401

V

θ

↑

→

↓

→

−

−

=

Ordinando i vettori degli spostamenti generalizzati dei singoli corpi allo stesso modo delvettore forza generalizzata, ovvero:

{ } { } { }C B

C By

C Bx

BC

BCy

BCx

A A

A Ay

A Ax

T C AT S S S S S S S S S S θ θ θ == B

la matrice dell’intera struttura è quella di seguito riportata, nella quale per chiarezza di letturasono stati omessi i termini nulli non contenuti nelle matrici relative ai singoli corpi. Si vedràche tale rappresentazione agevola poi l’interpretazione della trasposta della matrice stessa:

−

−−

−

−

↑

→

↓+↑

→+←

↑+↓

→+←

↑

→

100

010

001

010810

401001

010010

001401

010

001

s

s

s s

s s

s s

s s

s

s

B

By

Bx

C Dy

B Dy

C Dx

B Dx

BCy

ACy

BCx

ACx

Ay

Ax

θ

8/9/2019 Statica ed



20


La formulazione matriciale del problema statico, tenendo conto della doppia ipotesi circa la

forza generalizzata, conduce ai due seguenti sistemi algebrici lineari:[ ] { } { }

[ ] { } { }' ' F ' f V

' F ' f V

r T

r

r T

r

−=

−=

che, come già detto, hanno in comune la matrice dei coefficienti.

Il primo sistema, scritto per esteso, è:

=

⋅

−

−

−

−

−

0

0

0

12.273

14.54

14.140

0

0

' M

' R

' R

' R

' R

' R' R

' R

' R

10004

01010

00101

8000

1010

01010400

1010

0101

B

By

Bx

Dy

Dx

Cy

Cx

Ay

Ax

È evidente a questo punto l’utilità di scrivere la matrice dei coefficienti del sistema facendocomparire solo i termini delle singole matrici cinematiche, e non anche i termini di raccordo.Si riconosce, così, più agevolmente la presenza dei tre gruppi di tre equazioni cherappresentano le condizioni di equilibrio dei tre corpi del sistema, pensati isolati e soggettialle estremità alle reazioni ad essi trasmesse dai vincoli esterni ed interni. Ad esempio, nelle

prime tre equazioni compaiono solo le reazioni dei vincoli in A e in C: dette equazioniesprimono, infatti, nell’ordine, l’equilibrio alla traslazione secondo gli assi x e y e allarotazione intorno ad A del corpo A. Analoga interpretazione sussiste per le altre equazioni.Il sistema si può convenientemente risolvere per inversione della matrice dei coefficienti:essendo infatti detta matrice comune ai due problemi in esame, questo modo di procederesemplifica le calcolazioni. L’inversione della matrice è stata ottenuta mediante un foglio di

calcolo. Risulta dunque per il primo sistema:

8/9/2019 Statica ed



21

{ } [ ]( ) { }( )

−

−=

⋅

−

−

−

−

−

=

=−= −

56 .56

14.34

14.14

14.34

14.14

20

0

20

0

0

0

0

12.273

14.54

14.14

0

0

0

100004100

010125.000000

00100125.000

000125.000000

00000125.000

000125.010000

00000025.000

000125.010010

00000025.001

' F V ' f 1T

r r

e per il secondo sistema:

{ } [ ]( ) { }( )

−

=

−

⋅

−

−

−−

−

=

=−= −

56 .56

14.34

14.14

20

020

0

20

0

56 .56

14.14

14.14

160

400

0

0

0

100004100

010125.000000

00100125.000

000125.000000

00000125.000000125.010000

00000025.000

000125.010010

00000025.001

' ' F V ' ' f 1T

r r

Le due soluzioni non differiscono per quanto attiene l’equilibrio globale della struttura e lereazioni vincolari nella cerniera A e nell’incastro B sono uguali nei due casi (per inciso, il

verso inizialmente ipotizzato per la coppia di incastro M B è sbagliato).Ciò non desta sorpresa, dal momento che le reazioni dei vincoli esterni devono equilibrare lostesso sistema di forze direttamente applicate alla struttura, sistema nel quale la forzaconcentrata si può ritenere applicata alla cerniera in D e non ha senso specificare se essaagisce, attraverso la cerniera, sul trasverso o sul pilastro.Cambiano, invece, le reazioni dei vincoli interni, almeno per i corpi ai quali la forzaconcentrata in D può pensarsi applicata.Il corpo A, dunque, esente da forze direttamente applicate in entrambe le condizioni di carico,è soggetto nei due casi alle stesse reazioni vincolari.

8/9/2019 Statica ed



22

Viceversa, le reazioni vincolari in D sono diverse, proprio perché diverse sono le condizionidi carico a cui i corpi B e C (che in D convergono) sono sottoposti.

Lo schema delle interazioni che i tre corpi si scambiano nelle due ipotesi di carico evidenzia,meglio di qualsiasi commento, le considerazioni sin qui svolte, e permette oltre tutto diverificare con facilità l’equilibrio globale della struttura e l’equilibrio di ogni singolo corpo(vedi figura).

8/9/2019 Statica ed



23


Usando il metodo delle equazioni ausiliarie occorre imporre l’equilibrio globale dell’intera

struttura e l’equilibrio alla rotazione di singole parti della struttura rispetto a cerniere interne. Idue gruppi di equazioni sono (per le equazioni ausiliarie sarebbero ovviamente possibili anchealtre scelte):

Equazioni globali:




0 )4 )( 14.14( )4 )( 40( M 8 R

014.54 R R

014.14 R R

B Ay

By Ay

Bx Ax

=+++⋅−

=−+

=−+


D)aintornoBAcorpidel(rotazione C)aintornoAcorpodel(rotazione +=+⋅−⋅

=⋅

0 )4 )( 40( 8 R4 R

04 R

Ay Ax

Ax

Il sistema risultante (cinque equazioni in cinque incognite) si risolve facilmente determinandodalla quarta equazione R Ax e sostituendone il valore, nell’ordine, nella quinta, prima, secondae terza equazione per ottenere le altre incognite. La soluzione ovviamente coincide con quellagià ottenuta mediante la formulazione matriciale.

Soluzione grafica

La soluzione grafica è presentata in un unico disegno nel quale sono riassunte le operazioni dasvolgere in successione sui diversi corpi (la parte in basso a destra del disegno è relativa al

principio dei lavori virtuali). Tali operazioni sono di seguito descritte.- si sostituisce il carico distribuito sul trasverso con il suo risultante e questo vienesommato, mediante la regola del parallelogramma, alla forza concentrata agente sulla

cerniera D, ottenendo la forza risultante Rr

(si sta evidentemente considerando la primacondizione di carico nella quale il pilastro di destra è scarico);

- poiché il pilastro A è esente da forze direttamente applicate le due reazioni che essoriceve alle estremità A e C devono costituire una coppia di braccio nullo. Tale condizionefissa la direzione (verticale) della reazione che il trasverso riceve in C dal pilastro disinistra e consente di determinare anche la direzione della reazione che esso riceve in Ddal pilastro di destra, come congiungente il punto D stesso e il punto Z di intersezione tra

le rette di azione di Rr

e di B

C

Rr

;

- le due componenti di Rr

, secondo le direzioni ZC e ZD, cambiate di segno, rappresentanole reazioni trasmesse al trasverso, rispettivamente dal pilastro di sinistra e dal pilastro didestra. Dette reazioni, cambiate a loro volta di segno, rappresentano le reazioni trasmessedal trasverso ai due pilastri;

- le reazioni dei vincoli esterni sui due pilastri sono infine ottenute equilibrando le reazionitrasmesse ai pilastri stessi dal trasverso, come mostrato in figura.

8/9/2019 Statica ed



24

8/9/2019 Statica ed



25


Vogliamo determinare il momento di incastro in B. Sostituiamo dunque il vincolo di incastrocon un vincolo di cerniera, introducendo la componente di forza (in questo caso una coppia)che era esplicata dalla componente di vincolo soppressa, e imponiamo un cedimentorotazionale in B, δ θ = 1, come in figura.Tra le forze direttamente applicate l’unica che compie lavoro è la componente orizzontale di

F r

, il cui punto di applicazione si sposta, nel verso della forza, di:

44 Fx =⋅= δθ δ

Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene:

56 .56 M 0 M )4 )( 14.14( M F 0 L B B B Fx xV −=⇒=+=⋅+⋅⇒= θ δ δ

8/9/2019 Statica ed



26

Esercizio 4

Determinare le reazioni vincolari dell’arco a tre cerniere, rappresentato in figura, soggettosulla campata di destra a una coppia oraria pari a 396 kN ⋅ m.

Soluzione

L’esercizio ripercorre esattamente gli stessi passi dell’esercizio 2.


Forza generalizzata

Matrice cinematica del corpo B: [ ]100V B f −=

forza generalizzata del corpo B: { } [ ] { }

−

=⋅

−

==

396

0

0

396

1

0

0

f V F BT B f

B

Forza generalizzata dell’intera struttura:

{ } { } { }396 00000 F F F T B AT

−==

8/9/2019 Statica ed



27


corpo A [ ]

↓

←

↑

→

−−

−=

Cy

Cx

Ay

Ax

Ar

s

s

s

s

410

401

010

001

V

corpo B [ ]

↑

→

↑

→

−

−

=

By

Bx

Cy

Cx

Br

s

s

s

s

010

001

410

401

V

{ } { } { } B B

B By

B Bx

A A

A Ay

A Ax

T B AT S S S S S S S θ θ ==

Matrice cinematica dell’intera struttura:

−−−

−−

↑→

↑+↓

→+←

↑

→

010000001000

410410

401401

000010

000001

s s

s s

s s

s

s

By

Bx

BCy

ACy

BCx

ACx

Ay

Ax

8/9/2019 Statica ed



28


[ ] { } { }

−

−=

⋅

−−

−

−

−

⇒−=

396

0

0

0

0

0

R

R

R

R

R

R

004400

101000

010100

004400

001010

000101

F f V

By

Bx

Cy

Cx

Ay

Ax

r

T

r

5.49 R )7

5.49 R )6

5.49 R )3

5.49 R )5

5.49 R )4

5.49 R )2

R R )1

396 R4 R4

0 R R

0 R R

0 R4 R4

0 R R

0 R R

By

Bx

Cy

Ay

Ax

Cx

CyCx

CyCx

ByCy

BxCx

CyCx

Cy Ay

Cx Ax

=

=

−=

−=

−=

⇒

−=

=⇒

=⋅−⋅−

=+

=+

=⋅−⋅

=−

=−

{ }

−

−−

−

=

=

5.49

5.49

5.49

5.495.49

5.49

R

R

R

R R

R

f

By

Bx

Cy

Cx

Ay

Ax

r


Equazioni globali:

kN 5.49 R )1

kN 5.49 R )2

kN 5.49 R )4

0396 8 R

0 R R

0 R R

Ay

By

Bx

Ay

By Ay

Bx Ax




−=

=

=

⇒

=−⋅−

=+

=+


kN 5.49 R )304 R4 R Ax Ay Ax C)aintornoAcorpodel(rotazione −=⇒=⋅−⋅

8/9/2019 Statica ed



29

Soluzione grafica

Vedi figura.


(spostamenti e rotazioni in valore assoluto)

Componente verticale della reazione in B

81

B =θ

kN 5.49 R08

1396 R M R0 L By By B By ByV =⇒=+−=⋅+⋅−⇒= θ δ

Componente verticale della reazione interna in CSostituita la cerniera in C con un pendolo orizzontale, in modo da consentire lo spostamentorelativo in direzione verticale dei due corpi, in corrispondenza della articolazione interna,dalla condizione che lo spostamento relativo in direzione orizzontale sia nullo( 0 s s B

Cx ACx

rel Cx =+=δ ) si deduce che i due corpi devono ruotare dello stesso angolo e nello

stesso verso ( B A θ θ = ), mentre dalla condizione che lo spostamento relativo in direzione

verticale sia unitario ( 1 s s BCy

ACy

rel Cy =+=δ ) si ricava il valore della rotazione comune:

81 B A ==θ θ .L’equazione dei lavori virtuali si scrive pertanto:

kN 5.49 R08

1396 )( R M s R s R

0 L

Cyrel CyCy B

BCy

BCy

ACy

ACy

V

−=⇒=+⋅=⋅+⋅+⋅

⇒=

δ θ

8/9/2019 Statica ed



30

8/9/2019 Statica ed



31

Esercizio 5

Determinare le reazioni vincolari della trave Gerber, rappresentata in figura, soggetta a uncarico uniformemente ripartito sulle due campate di intensità p = 2 kN/m.

Soluzione

Formulazione matriciale (equazioni cardinali)La trave Gerber è una struttura isostatica frequentemente usata nelle travate da ponte.Immaginando di sopprimere l’articolazione interna la trave risulterebbe una volta iperstatica,

poiché dotata di un appoggio sovrabbondante; la funzione dell’articolazione interna è proprioquella di rendere isostatico lo schema della trave continua su più appoggi. Nel caso in esamedetta articolazione sottrae proprio un grado di vincolo alla struttura poiché sostituisce, nellasezione in cui è inserita, il vincolo interno di continuità (incastro).


I corpi A e B sono soggetti a due carichi concentrati equivalenti al risultante del caricodistribuito assegnato agente sulle rispettive campate (la sostituzione dei carichi ripartiti con il

loro risultante è lecita solo per i sistemi isostatici e limitatamente alla ricerca delle reazionivincolari). Scelti i sistemi di riferimento indicati in figura, con origine in A, per il corpo A, econ origine in B, per il corpo B, si ha:

matrici cinematiche:[ ] [ ]

[ ] [ ]40.110V

40.210V B f

A f

−−=

−−=

8/9/2019 Statica ed



32

forze generalizzate:

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

−

−=⋅

−

−==

−

−=⋅

−

−==

56 .14

40.10

0

40.10

40.1

1

0

f V F

04.23

60.9

0

60.9

40.2

1

0

f V F

BT B f

B

AT A

f

A

La forza generalizzata per l’intera struttura risulta pertanto:

{ } { } { }56 .1440.10004.2360.90 F F F T B AT

−−−−==

Matrice cinematica dei vincoliAnche per la matrice cinematica dei vincoli, così come per la forza generalizzata, occorreassemblare le singole matrici relative a ciascuno dei due corpi. Si ha (a destra delle matricisono riportati gli spostamenti a cui le singole righe si riferiscono, e il verso assunto per talispostamenti):

corpo A [ ]↓

←

↑

−−

−=

Dy

Dx

Ay Ar

s

s

s

80.410

001

010

V

corpo B [ ]

↑

↑

→

↑→

−

=

Cy

By

Bx

Dy

Dx

Br

s

s

s

s s

410

010

001

20.110001

V

e per l’intera struttura:

8/9/2019 Statica ed



33

−−−

−

↑

↑

→

↑+↓

→+←

→

410000

010000

001000

20.11080.410

001001

000010

s

s

s

s s

s s

s

Cy

By

Bx

B Dy

A Dy

B Dx

A Dx

Ay



[ ] { } { }

−

−

−

−

−=

⋅

−

−

−

−

⇒−=

56 .14

40.10

0

04.23

60.9

0

R

R

R

R

R

R

40020.100

110100

001010

00080.400

000101

000010

F f V

Cy

By

Bx

Dy

Dx

Ay

r T

r

Le prime tre equazioni rappresentano le condizioni di equilibrio del corpo A, e precisamente,nell’ordine, l’equilibrio alla traslazione secondo gli assi x e y e alla rotazione intorno ad A;analogamente le tre equazioni successive rappresentano, nello stesso ordine, le condizioni diequilibrio del corpo B.La soluzione del sistema si può ottenere per sostituzione o per inversione della matrice deicoefficienti. Procedendo nel primo modo e scritto il sistema per esteso risulta:

kN 2.2 R )5kN 13 R )6

0 R )2

kN 80.4 R )3

kN 80.4 R )4

0 R )1

56 .14 R4 R20.140.10 R R R

0 R R

04.23 R80.4

60.9 R R

0 R

Cy

By

Bx

Dy

Ay

Dx

Cy Dy

Cy By Dy

Bx Dx

Dy

Dy Ay

Dx

=

=

=

−=

=

=

⇒

=⋅+⋅−

=++

=+

=⋅−

=−

=−

È facile controllare (vedi esercizio 2) che le reazioni vincolari ottenute assicurano sial’equilibrio globale dell’intera struttura sia l’equilibrio di ciascuno dei corpi consideratoseparatamente.


Procedendo con il metodo delle equazioni ausiliarie si ha:

8/9/2019 Statica ed



34

Equazioni globali:

A)adintorno(rotazione



04.7 40.104.260.910 R6 R

040.1060.9 R R R

0 R

Cy By

Cy By Ay

Bx

=⋅−⋅−⋅+⋅

=−−++

=


D)aintornoAcorpodel(rotazione 04.260.98.4 R Ay =⋅+⋅−

Si ottiene dunque un sistema di quattro equazioni in quattro incognite la cui soluzione siottiene ricavando dalla quarta equazione R Ay e sostituendolo nella seconda in modo daottenere un sistema di due equazioni in due incognite (la seconda e la terza equazioneglobale), di immediata soluzione.

Note le reazioni dei vincoli esterni, le condizioni di equilibrio del corpo A, presoseparatamente, consentono di completare la soluzione ricavando la reazione interna che i duecorpi si scambiano attraverso la cerniera in C.


Vogliamo determinare la reazione verticale del carrello in A.

Soppresso il carrello stesso, e introdotta in sua vece la reazione incognita R Ay, imponiamo uncedimento vincolare δ Ay = 1, come in figura (spostamenti e rotazioni sono espressi in valoreassoluto).

8/9/2019 Statica ed



35

Per determinare lo spostamento del punto di applicazione della forza applicata sul corpo A siosservi che:

5.040.280.41

A PAy A =⋅=⇒= θ δ θ

per cui, applicando il principio dei lavori virtuali:

80.4 R05.060.9 R60.9 R0 L Ay Ay PAy Ay AyV =⇒=⋅+−=⋅+⋅−⇒= δ δ

Si procede allo stesso modo per la determinazione della reazione verticale in C (vedi figura):

15.040.280.4

30.030.020.1' DD

35.040.14

1

A PAy A B

B PBy B

=⋅=⇒=⇒=⋅=

=⋅=⇒=

θ δ θ θ

θ δ θ

20.2 R015.060.935.040.10 R P P R

0 L

CyCy PAy A PBy BCyCy

V

=⇒=⋅−⋅+−=⋅−⋅+⋅−

⇒=

δ δ δ

8/9/2019 Statica ed



36

Esercizio 6

Determinare le reazioni vincolari della struttura rappresentata in figura, nell’ipotesi che le tre

forze i P r

abbiano lo stesso modulo P (si osservi nella figura piccola, come al solito, una

possibile struttura reale della quale lo schema dell’esercizio potrebbe rappresentare il modellomeccanico).

A proposito dei vincoli al piede della struttura valgono considerazioni in qualche modoanaloghe a quelle già svolte per l’esercizio 1.

Soluzione

8/9/2019 Statica ed



37


La struttura si può considerare come una variante dell’arco a tre cerniere, nella quale una delle

cerniere esterne (quella in D) è sostituita da due carrelli applicati uno in D e l’altro in B. Sitratta dunque di una struttura isostatica.


Assumendo i sistemi di riferimento indicati nella figura (con origine in A per il corpo A e inD per il corpo D) si ha:

matrici cinematiche:[ ]

[ ] [ ] H 210V

H 243.4707 .0707 .0

H 10V

D f

A f

−=

−−

−−=

forze generalizzate:

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

−=⋅

−==

−

−=

⋅

−−

−−==

PH 2

P

0

P

H 2

1

0

f V F

PH 243.5

P 707 .1

P 707 .0

P

P

H 243.4 H

707 .01

707 .00

f V F

DT D f

D

AT A f

A


{ } { } { } PH 2 P 0 PH 243.5 P 707 .1 P 707 .0 F F F T D AT

−−−==

8/9/2019 Statica ed



38


Anche per la matrice cinematica dei vincoli, così come per la forza generalizzata, occorre

assemblare le singole matrici relative a ciascuno dei due corpi.Ordinando i vettori degli spostamenti generalizzati dei singoli corpi allo stesso modo delvettore forza generalizzata, ovvero:

{ } { } { } D D

D Dy

D Dx

A A

A Ay

A Ax

T D AT S S S S S S S θ θ ==

la matrice cinematica dell’intera struttura assume la seguente forma:

−−−−−

−

↑

↑+↓→+←

←↑

↑

→

010000

H 410 H 410 H 401 H 401

000 H 6 .18.06 .0

000010

000001

s

s s s s

s

s

s

Dy

DCy

ACy

DCx ACx

Br

Ay

Ax



[ ] { } { }

−

−

−

−=

⋅

−−

−

−−−

⇒−=

PH 2

P

0

PH 243.5

P 707 .1 P 707 .0

R

R

R

R

R R

0 H 4 H 4000

110000

001000

0 H 4 H 4 H 6 .100

0108.0100016 .001

F f V

Dy

Cy

Cx

Br

Ay

Ax

r T

r

Le prime tre equazioni rappresentano le condizioni di equilibrio del corpo A, e precisamente,nell’ordine, l’equilibrio alla traslazione secondo gli assi x e y e alla rotazione intorno ad A;

analogamente le tre equazioni successive rappresentano, nello stesso ordine, le condizioni diequilibrio del corpo D.La soluzione del sistema si ottiene, in questo caso, più facilmente per sostituzioni successiveche non per inversione della matrice dei coefficienti. Risulta:

8/9/2019 Statica ed



39

P 5.0 R )2

P 5.0 R )3

0 R )1

P 527 .4 R )4

P 414.1 R )6

P 01.2 R )5

PH 2 R H 4 R H 4

P R R

0 R

PH 243.5 R H 4 R H 4 R H 6 .1

P 707 .1 R R8.0 R

P 707 .0 R R6 .0 R

Cy

Dy

Cx

Br

Ay

Ax

CyCx

DyCy

Cx

CyCx Br

Cy Br Ay

Cx Br Ax

=

=

=

=

−=

=

⇒

−=⋅−⋅−

=+

=

=⋅−⋅+⋅

=−+

−=−−

Il vettore delle reazioni vincolari è in definitiva:

{ }

−

=

=

P 5.0

P 5.0

0 P 527 .4

P 414.1

P 01.2

R

R

R R

R

R

f

Dy

Cy

Cx

Br

Ay

Ax

r

Si può controllare (vedi esercizio 2) che le reazioni vincolari ottenute assicurano sial’equilibrio globale dell’intera struttura sia l’equilibrio di ciascuno dei corpi consideratoseparatamente.


Scriviamo le equazioni di equilibrio globali per l’intera struttura e un numero di equazioniausiliarie pari al numero di vincoli esterni sovrabbondanti (in questo caso uno solo). Equazioni globali:

A)adintorno(rotazione



0 HP 6 HP 243.4 HP R H 8 R H 6 .1

0 P 707 .2 R R8.0 R

0 P 707 .0 R6 .0 R

Dy Br

Dy Br Ay

Br Ax

=−−−⋅+⋅

=−++

=+−


C)aintornoDcorpodel(rotazione 0 HP 2 R H 4 Dy =−⋅

Si ottiene un sistema di quattro equazioni in quattro incognite di soluzione immediata: bastainfatti ricavare R Dy dalla quarta equazione e sostituirla nelle rimanenti equazioni per ottenerele altre incognite.

Note le reazioni dei vincoli esterni, le condizioni di equilibrio, ad esempio del corpo D, presoseparatamente, consentono di ricavare la reazione interna che i due corpi si scambianoattraverso la cerniera in C.

8/9/2019 Statica ed



40

Soluzione grafica

La soluzione grafica (vedi figura) sfrutta il principio di sovrapposizione degli effetti: si lascia

scarica una delle due campate, determinando le reazioni dovute ai carichi agenti solosull’altra, e si sommano quindi le reazioni separatamente ottenute.Si osservino in particolare i seguenti aspetti:- quando la trave CD è esente da forze direttamente applicate essa non può che essere

completamente scarica; infatti, essendo vincolata in D con un carrello, se la reazione diquesto non fosse nulla, sarebbe necessaria per l’equilibrio una reazione uguale e contrariain C e le due formerebbero una coppia che non potrebbe essere equilibrata da nessunvincolo esterno;

- quando la trave CD è scarica, la trave AC non differisce da una trave semplicementeappoggiata, e come tale si risolve (vedi figura).

8/9/2019 Statica ed



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