STATI LIMITE ULTIMI PER TENSIONI TANGENZIALIold · 4-bis° Lezione STATI LIMITE ULTIMI : Taglio e Torsione. Meccanismi di Rottura a Taglio-flessione d M 1 d Vd < ... qt qT tAt σαα

STATI LIMITE ULTIMI PER TENSIONI TANGENZIALI

Corso di

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Michelangelo LaterzaPhD - Ass. Prof. of Structural Engineering (Tecnica delle Costruzioni)Facoltà di Architettura - Università degli Studi della BasilicataE-mail: [email protected] page: http://www.unibas.it/utenti/laterza/laterza.html

Michelangelo Laterza – La valutazione della sicurezza

4-bis° Lezione

STATI LIMITE ULTIMI : Taglio e Torsione

Meccanismi di Rottura a Taglio-flessione

d

d1MV d

<⋅

d1 3MV d

< <⋅

3 7MV d

< <⋅

7 EFFETTI DEL TAGLIO TRASCUR I IMV

Ld

AB> ⇒⋅

Michelangelo Laterza – Gli Stati Limite Ultimi per tensioni tangenziali

d

θ α

C

T θ

Taglio - Meccanismo Resistente Ideale

Traliccio di - RITTER MORSCH

Il traliccio IDEALE cui ci si riferisce per il calcolo della resistenza a TAGLIO è costituito di aste tra loro incernierate (BIELLE).

La rottura di una sola delle aste provoca la labilizzazione del traliccio e quindi il collasso per taglio della trave. (Il calcestruzzo del corrente compresso è quello al di sopra dell’asse neutro, il suo tasso di lavoro è analizzato nella verifica a flessione)

Biella compressa di calcestruzzo

Biella tesa di acciaioCorrente teso di acciaio

Corrente compresso di calcestruzzo


θ = arctg (σ/τ ) ossia ctg θ = (τ/σ )

sull'asse baricentrico della sezione

Meccanismo Resistente Ideale


Taglio portato dalle Armature trasversali d’anima(Biella tesa di acciaio del traliccio ideale – Staffe o Piegati)

sw b s barra

b

A n An numero di bracci della staffa

−= ⋅=

( )syd swfn A⋅⋅

αwdV

(1 cot )n zs

α= +

0.9z d≅ ⋅Cz/2

z/2

z

z cot α z

α

S

T

45°

dα

z (1+cot α)

syd swf A⋅

S S

S

( )syd swfn A⋅⋅

VIl numero di aste tese n interessate dalla rottura risulta

pari a:

θ = 45° d

! "#

C

T !



Taglio portato dalle Armature trasversali d’anima(Biella tesa di acciaio del traliccio ideale – Staffe o Piegati)

sw b s barra

b

A n An numero di bracci della staffa

−= ⋅=

( )syd swfn A⋅⋅

αwdV

0.9z d≅ ⋅

Tale risultante, inclinata rispetto all’asse della trave di un angolo α, deve essere proiettata in direzione verticale per equilibrare V. Si avrà pertanto:

A rottura ogni singola barra avrà espresso la massima forza pari a ( fsyd Asw )

La risultante sarà pari a:

0.9 (sen cos ) syd swd wV As

fd α α= + ⋅⋅

θ = 45°

0.9(1 cot ) (1 cot )syd sw syd sw syd swf A fz dns

A f As

α α⋅ ⋅⋅ ≅ + ⋅ ⋅⋅ = +

C z/2

z/2

z

z cot ! z

!

S

T

45°

d !

z (1+cot !)

syd swf A!

S S

S

( )syd swfn A!!

V

d

! "#

C

T !

Taglio - Meccanismi Resistenti Aggiuntivi (DM’96)

CCVa

VcVd

a) Taglio portato per “tensioni tangenziali” dal corrente compresso ( Va );

b) Taglio aggiuntivo portato dalle bielle di calcestruzzo compresso ( Vb );

c) Taglio portato per “ingranamento degli inerti” ( Vc );

d) Taglio portato per “dowell action” dall’acciaio ( Vd ).

( ) 0.60 cd a b c d ctd wV V bV fV dV δ= =+ + +


1 in assenza di Sforzo Normale N Toδ =0 in presenza di Trazione o di azioni cic eT lichδ =

01 sd

M in presenza di NM

δ = + 0 sd

M momento di decompressioneM momento agente

=⎧⎨ =⎩



Imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno a B, si ottiene:

( )syd swfn A⋅⋅α

wdV

cotwdV α⋅

( )1 cot2L

wdAN

zxzV α⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Per la sola flessione si avrebbe:

( )AL

wd

zMN x V x

z= = ⋅

In presenza di una lesione da Taglio si ha:

( )wdAL z

V xN x⋅ Δ+= ( )con 1 cot2

x z α= −Δ

θ = 45°

Taglio portato dalle Armature Longitudinali(Corrente teso)

( )cot2 2w wddALz zz xN V V α⎛ ⎞⋅ = + − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

d

! "#

C

T !

C z/2

z/2

z

X Z/2

!

S

T=NAL

45°

d !

z (1+cot !)

syd swf A!

S S

S

( )syd swfn A!!Z/2

Vwd

B



Taglio portato dalle Armature Longitudinali(Traslazione del diagramma dei momenti flettenti)

Per la sola flessione si avrebbe:

( )AL

wd

zMN x V x

z= = ⋅

In presenza di una lesione da Taglio si ha:

( )wdAL z

V xN x⋅ Δ+=

( )con 1 cot2

x z α= −Δ

xΔ

xΔxΔ

xΔxΔ

xΔxΔ

xΔ

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

xΔ

xΔ ( )0.9 1 cot2

x d αΔ ≅ −

45 90α° ≤ ≤ °

0 0.45x dΔ≤ ≤

NORME (D.M.96) 0.2d ≤ Δx ≤ 0.45d

θ = 45° d

! "#

C

T !



Taglio portato dal calcestruzzo d’anima(Biella compressa di calcestruzzo del traliccio ideale)

z

α 45°

d

(1 cot )n zs

α= +

V

Il numero di aste tese n è uguale al numero di aste compresse

S S

S

α45°

B

As

H

S SS SS

′fcd

Rc

Rc = n ⋅ ′fcd ⋅ s '⋅ B( ) = n ⋅ ′fcd ⋅

22

s ⋅ B⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

S’

45°

22csdu RV = ⋅cR

Vsdu =

12⋅0.9 ⋅ d ⋅ B ⋅α c ′fcd ⋅ (1+ cotα ) ′fcd = 0.5 fcd

θ = 45° d

! "#

C

T !



Taglio portato dal calcestruzzo d’anima(Biella compressa di calcestruzzo del traliccio ideale)

(In presenza di sforzi di compressione)

′fcd = 0.5 fcd

θ = 45°

Vsdu =

12⋅0.9 ⋅ d ⋅ B ⋅α c ′fcd ⋅ (1+ cotα )

d

! "#

C

T !

Stati Limite Ultimi per Taglio

a) Rottura per “Taglio-Trazione” delle armature trasversali d’anima (Staffe e Piegati);

b) Rottura per “Taglio-Compressione” delle bielle di calcestruzzo d’anima;

c) Rottura di Ancoraggi o Nodi.


Verifiche(elementi con armatura trasversale)

a)

b)

c)

0.5sd cd wd wd sdV V V con V V≤ + ≥ ⋅

sd sduV V≤

Verifiche specifiche

Stati Limite per Taglio


Verificheelementi senza armatura trasversale (D.M.96)

Calcestruzzo:Il Taglio di calcolo Vsd non deve superare il valore che, con riferimento alla resistenza a

trazione di calcolo fctd , determini la formazione delle fessure oblique:

0.25 (1.6 ) (1 50 )sd ctd lV f d b dρ δ≤ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅1 in assenza di Sforzo Normale N Toδ =

0 in presenza di Trazione o di azioni cic eT lichδ =

01 sd

M in presenza di NM

δ = + 0 sd

M momento di decompressioneM momento agente

=⎧⎨ =⎩

0.02sl

Ab d

ρ = ≤⋅

Armatura longitudinale:Si effettua la traslazione del diagramma dei momenti flettenti

(1.6 ) 0.6 co dn md ≤−

sA armatura a trazione=

Stati Limite per Taglio4.1.2.1.3.1 Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio - D.M.2008

Stati Limite per Taglio4.1.2.1.3.1 Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio - D.M.2008

In particolare, in corrispondenza degli appoggi, le armature longitudinali devono assorbire uno sforzo pari al taglio

sull’appoggio


Stati Limite Ultimi per Torsione

α = 45°

0 0 02 ( )p B H= ⋅ +

0 0 0A B H= ⋅

0 0 0

2 ( ) 2

Equilibrio

Formula di BredT TqB H

t

tA

τ= ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅

⇓α

α

q 1

1cos!"

α

cosc t ασ ⋅ ⋅

1cos!"

α

S S S

S

t

TB0

H0



0

( 45

cos se n

2

)c

c

Calcestruzzo

q t

q Tt A t

α ασα

σ

= ⋅ ⋅ ⋅

°⋅= =

⇓ =

⋅

⇓

α

α

q 1

1cos!"

cosc t ασ ⋅ ⋅

α

1cos!"

α

( cos ) senc tσ α α⋅ ⋅ ⋅( cos )c tσ α⋅ ⋅

0

2

Formula di BredTqA

t

=⋅

α

S S S

S

t

TB0

H0

0Rdu cdT f A tλ= ⋅ ⋅ ⋅

Avendo posto la tensione di rottura a compressione del calcestruzzo pari a:

( )cdfλ ⋅ 0 5 ). (Norme Italianeλ =



α

α

q 1

1cos!"

0

0 0 0 0

0

tan

tan

tan 1(2 ) (2 )

(2 )

.

.

( 45

)

(2

l l

h h

l l l

h h

Rdu syd

Rdu syd

AcciaioA Equilibrio in Dir LongitudinaleA Equilibrio in Dir Verti

q pq s

T p A T f

c

A pT s

ale

A AAA T f

σσ

σσ

αα

α α⇓ = ° ⇒

⋅ = ⋅⎧⎨ ⋅ = ⋅ ⋅⎩

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

=

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ 0 )hA sA⎧⎪⎨ ⋅ ⋅⎪⎩

α0( )q p⋅

( )l lAσ ⋅

α( )q s⋅

( )h hAσ ⋅

S

0

2

Formula di BredTqA

t

=⋅

α

S S S

S

t

TB0

H0

t =d /6

d

Poligono pe

e

e


Stati Limite Ultimi per TorsioneLa valutazione di A0 si effettua facendo coincidere A0 con l’area racchiusa dal

perimetro definito dai baricentri delle armature di angolo interne alle staffe:

A0

La valutazione di t si basa in genere su evidenze di

tipo sperimentale.Per sezioni rettangolari risulta pari a :

0

0

34Atp

= ⋅

TU - D.M.-2008

D.M.'96( ) t = de

6

essendo de il diametro del cerchio massimo inscritto nel poligono pe avente per vertici i baricentri delle armature longitudinali

t

t = Ap≥ 2c

c = copriferro



La sollecitazione di torsione può essere trascurata, nel calcolo dello Stato Limite Ultimo, quando rappresenta una sollecitazione secondaria e non essenziale all'equilibrio della struttura.

a) Rottura per “Torsione-Trazione” delle armature (Staffe e Armature Longitudinali);

b) Rottura per “Torsione-Compressione” delle bielle di calcestruzzo;

c) Rottura di Ancoraggi o Nodi.

Verifiche

a)

b)

c)

0 0

0

(

)

2 )

(2lsyd

Sdus hyd

A Armatura LongitudinaleA Staffe

f A pT

f A s⋅ ⋅ ⋅⎧⋅ ⋅

≤ ⎪⎨ ⋅⎪⎩

Verifiche specifiche

0 Sdu cd CalcestruzzoT f A t Bielleλ≤ ⋅ ⋅ ⋅ 0 5 ). (Norme Italianeλ =



Sollecitazioni compostea) Torsione, flessione.Le armature longitudinali di torsione calcolate come sopra indicato si sommano a quelle di flessione.

b) Torsione e taglio.Per la verifica delle bielle compresse sarà opportuno che risulti:

nella quale relazione:

Il calcolo delle staffe può effettuarsi separatamente per la torsione e per il taglio avendo posto:

Vcd = 0 quindi si sommano le aree delle sezioni.

Le armature longitudinali si possono calcolare come indicato per la sollecitazione di torsione semplice.

1≤+Rdu

sdu

Rdu

sdu

VV

TT

00.5Rdu cdT f A t= ⋅ ⋅ ⋅

0.3Rdu cdV f B d= ⋅ ⋅ ⋅

4-bis° Lezione

FINE

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