STABILIZATORY SAMOCHODOWE OBLICZENIA WYTRZYMAOCIOWE

STABILIZATORW Z WYKORZYSTANIEM METODY ELEMENTW SKOCZONYCH WSKAZWKI I OGLNE WYTYCZNE

OBLICZENIOWE

ADAM MARKUS WITTEK1, DAMIAN GSKA2, TOMASZ MATYJA3

ThyssenKrupp Federn & Stabilisatoren GmbH

Politechnika lska

STRESZCZENIE

Stabilizatory w pojazdach samochodowych maj za zadanie redukcj przechyw poprzecznych pod-czas jazdy na zakrcie lub pod dziaaniem innych si bocznych. Na przechyy boczne zasadniczy wpyw ma przemieszczenie si obcie k jezdnych, jak i zmiany kta pochylenia k. Te czynniki maj zasad-niczy wpyw na kierowalno pojazdu, ktra poprzez odpowiedni dobr stabilitzatorw objawia si jako tendecja do podsterownoci lub nadsterownoci. Artyku przedstawia zarys podstaw metod oblicze-niowych stosowanych w procesie konstrukcji stabilizatorw. Nowoczesne rozwizania technologiczne i konstrukcyjne we wspczesnych pojazdach samochodowych s rwnie widoczne w konstrukcji i produkcji stabilizatorw. Prawidowa konstrukcja i waciwy dobr parametrw stabilizatora wpywa na jego cechy wytrzymaociowe, ciar, trwao i niezawodno, a take na dobr odpowiednich metod produkcyjnych. Niewaciwe przygotowanie modeli obliczeniowych z wykorzystaniem Metody Elementw Skoczonych prowadzi w konsekwencji do bdnych wynikw. Szczeglnie trudna jest interpretacja wynikw i znalezienie bdu, jeli nie dysponujemy danymi porwnawczymi (takimi jak wyniki testw zmczeniowych lub wynikami analitycznych oblicze wytrzymaociowych). Artyku za-wiera wskazwki praktyczne i oglne wytyczne obliczeniowe niezbdne do prawidowego przygotowa-nia modeli obliczeniowych, do waciwego przeprowadzenia oblicze i waciwej interpretacji wynikw z wykorzystaniem Metody Elementw Skoczonych.

Sowa kluczowe: stabilizatory samochodowe, obliczenia MES

1 ThyssenKrupp Federn & Stabilisatoren GmbH, Oeger St. 85, 58089 Hagen, Germany, e-mail: adam.wittek@t-online.de, tel. +49 233 14 07 105

2 Politechnika lska, Wydzia Transportu, ul. Krasiskiego 8, 40-019 Katowice, e-mail: damian.gaska@polsl.pl, tel. 32 603 43 93

3 Politechnika lska, Wydzia Transportu, ul. Krasiskiego 8, 40-019 Katowice, e-mail: tomasz.matyja@polsl.pl, tel. 32 603 41 83

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja116

Rys. 1. Schemat struktury obliczeniowej z wykorzystaniem MES [7]

1. Wstp

Metoda Elementw Skoczonych jest metod aproksymacji (poprzez dyskretyzacj) rw-na rniczkowych czstkowych. Oto trzy podstawowe elementy metodologii rozwizania danego problemu za pomoc MES [2, 7, 9]:

sformuowaniesabe(wariacyjne,cakowe)zagadnieniarniczkowego,

podziaobszaruobliczeniowegonaelementy,

przyjciewobszarzeprostychfunkcjibazowychjakopodstawyaproksymacji.

Podczas gdy w klasycznych metodach bezporedniego rachunku wariacyjnego, takiego jak metoda Ritza lub Galerkina gdzie funkcje ksztatu s zdefiniowane w obrbie cae-go elementu (np. we wntrzu elementu) w Metodzie Elementw Skoczonych funkcje ksztatu s zdefiniowane w podregionach, tzw. elementach skoczonych i przyjmuj war-toci rne od zera. Rysunek 1 przedstawia pogldowo poszczeglne etapy obliczeniowe z wykorzystaniem Metody Elementw Skoczonych [7, 9, 13]. Po zakoczeniu modelowa-nia (3D) zostaje najpierw podzielona struktura geometryczna badanego elementu na pod-regiony (elementy skoczone). Przedstawiony na rys. 1 wspornik zosta przeanalizowany przykadowo jak element paski (dyskusja modelowa). Powierzchnia rodkowa wsporni-ka zostaje podzielona na elementy skoczone. Dalszym krokiem jest generacja siatki. Do utworzenia siatki elementu obliczeniowego su rnorodne elementy siatkowe. W rozpa-trywanym przypadku zostay wykorzystane elementy trjktne i czworoktne. Sztywno caej konstrukcji pozostanie opisana sum macierzy sztywnoci wszystkich elementw skoczonych. Te sztywnoci zostan addytywnie wpisane w globaln macierz sztywno-ci. W poczeniu z geometrycznymi warunkami brzegowymi i zaoonymi obcieniami wynika z globalnej macierzy sztywnoci liniowy ukad rwna. Niewiadomymi obliczenio-wymi zdefiniowanymi w tym ukadzie rwna s deformacje w wzach elementu oblicze-niowego. Z deformacji / odksztace, stosujc funkcje ksztatu, mona w ostatecznoci obliczy naprenia w kadym elemencie skoczonym [7, 9, 13].

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 117

Rys. 2. Segmenty obliczeniowe w strukturze MES

Rozwizanie problemu za pomoc MES prowadzi do uzyskania rozwizania przyblionego. W oparciu o posta rozwizywanego problemu, cechy geometryczne elementw i was-noci przestrzeni aproksymacji mona z gry oszacowa bd rozwizania MES. Niestety, oszacowanie wyraa si za pomoc nieznanego rozwizania dokadnego (mimo to jest istotne dla ustalenia zbienoci metody, jej optymalnoci i do jej porwnania z innymi aproksymacjami tego samego problemu) [2, 10, 11].

Programy komputerowe, w ktrych stosowana jest metoda elementw skoczonych ska-daj si z 3 czci (rys. 2) [2, 7, 9]:

1. preprocesora, w ktrym budowane jest zadanie do rozwizania,

2. procesora, czyli czci obliczeniowej,

3. postprocesora, sucego do graficznej prezentacji uzyskanych wynikw.

Dla uytkownikw tych programw najbardziej pracochonnym i czasochonnym etapem rozwizywania zadania jest podzia na elementy skoczone w preprocesorze. Niewaciwy podzia na elementy skoczone powoduje uzyskanie bdnych wynikw.

Element skoczony jest prost figur geometryczn (pask lub przestrzenn), dla ktrej okrelone zostay wyrnione punkty zwane wzami oraz pewne funkcje interpolacyjne (wzowe, ksztatu), suce do opisu rozkadu analizowanej wielkoci w jego wntrzu i na jego bokach. Wzy znajduj si w wierzchokach elementu skoczonego, ale mog by rwnie umieszczone na jego bokach i w jego wntrzu. Jeeli wzy znajduj si tylko w wierzchokach, to element skoczony jest nazywany elementem liniowym (poniewa funkcje interpolacyjne s wtedy liniowe). W pozostaych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyszych rzdw [2, 7].

Rzd elementu jest zawsze rwny rzdowi funkcji interpolacyjnych (funkcji ksztatu). Liczba funkcji ksztatu w pojedynczym elemencie skoczonym jest rwna liczbie jego w-zw. Funkcje ksztatu s zawsze tak zbudowane, aby w wzach, ktrych dotycz ich wartoci, wynosiy jeden, a w pozostaych wzach przyjmoway warto zero.

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja118

2. Obliczenia MES

2.1 Obszary zastosowania Metody Elementw Skoczonych

Korzyci pynce z zastosowania MES:

obnienieczasuprocesukonstrukcyjnego,

obnieniekosztwprocesukonstrukcyjnego,

obnieniekosztwprodukcji,

oszczdnocimateriaowe,

moliwowczesnegorozpoznaniasabychstronkonstrukcji,

podniesieniejakociprocesukonstrukcjnegoitymsamymwytwarzanegoelementu,

optymalizacjakonstrukcji,

redukcjailociprbdowiadczalnych,

elastyczne dopasowanie konstrukcji do dalszych wdroe (tzw. dogld wariantwmodelowych).

Wymogi i zaoenia niezbdne do osignicia wyej wymienionych korzyci [6, 9, 12]:

profesjonalne oprogramowanie (ABAQUS, ADINA, ALGOR, ANSYS, ANTRAS, COSAR, COSMOS, ISAFEM, LUSAS, MARC, MECHANICA, NASTRAN, NISA, OPTISTRUCT, PERMAS, RADIOSS, ...),

profesjonalnehardware(PC,workstation,komputeroduejmocyobliczeniowej),

MESteoria(znajomopodstawobliczeniowych),

znajomotechnikiiobliczeinynierskichbdcychpodstawdokrytycznejocenywynikw obliczeniowych,

dowiadczeniekonstrukcyjne(konstrukcjarealna3D model obliczeniowy).

Tablica 1. Przykady zastosowa [MES] [12]

elastostatyka liniowa wartoci logiczne odwracalnego zachowania si

materiau

elastostatyka nieliniowa

nieliniowe zachowanie materiau (elastoplastyka) geometryczne problemy nieliniowe (problemy

niestabilnoci, due przemieszczenia przy maych odksztaceniach)

liniowa elastodynamika

drgania wasne drgania swobodne drgania wymuszone losowe drgania wymuszone

nieliniowa elastodynamikaodpowied/czaspostpowaniestabilnoirezonanse

statyczna i dynamiczna aerosprysto oddziaywaniestrukturalnoprzepywowe

liniowa i nieliniowa termosprysto napreniamechanicznewwysokichtemperaturach

problemy wymiany ciepa stabilnyiniestabilnyprzepywciepa(wymianaciepa)

przepyw pynwprzepyw,przenikanie,wyciek,prdkoicinienie,

pola temperaturowe, przepywy lepkie

elektrotechnika poleelektromagnetyczne

akustyka rozkadcinieniaakustycznego

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 119

Gwne, zasadnicze procedury w obliczeniach czci maszyn (np. stabilizatorw samo-chodowych) z wykorzystaniem MES [6, 9, 12]:

zastpienierealnejkonstrukcjimodelu3DCADmodelemobliczeniowym(np.zwyko-rzystaniem programu HyperMesh),

obliczeniaodksztace,napre,sicinajcych,reakcjiwoyskach,podporach,itp.z uwzgldnieniem zaoonych obcie i warunkw pracy oysk (program do analizy MES, centralny procesor, np. OptiStruct),

ocenaichwynikw(postprocesor,np.HyperMesh),

ukierunkowana optymalizacja konstrukcji bazujca na obliczonych odksztaceniach,napreniach, itp., ewentualne nowe obliczenia wytrzymaociowe i symulacje zmody-fikowanej konstrukcji, wzgldnie modelu obliczeniowego lub te wykonanie zmodyfiko-wanej czci konstrukcji.

2.2 Modele 3D CAD

Czci lub podzespoy maszynowe naley przygotowa do oblicze MES w formie modelu 3D CAD, opisujcym dokadnie relacje i zalenoci geometryczne.

Rys. 3. Przykadowe modele stabilizatorw wykonane z zastosowaniem programu SolidWorks

Niestety, wikszo modeli stabilizatorw wykonanych z wykorzystaniem programw CAD, takich jak SolidWorks, CATIA, nie nadaje si do automatycznego generowania siatki. Modele te naley podda dalszej obrbce, np. z wykorzystaniem programu HyperMesh. Korzyci pyn-ce z dalszej obrki modelu 3D to znacznie skrcony czas obliczeniowy, zmodyfikowany obj-tociowo model, uproszczona obsuga obliczeniowa, zredukowana baza danych. Bazujc na danych modelowych z uwzgldnieniem wyej wymienionych zalet, mona przeprowadzi nastpujce uproszczenia: usunicie lub wygaszenie nieistotnych elementw konstrukcyj-nych, takich jak np. skosy lub otwory. Ta faza przygotowania modelu obliczeniowego jest okrelana jako idealizacja modelu. Wiele elementw konstrukcyjnych charakteryzuje si pe-n symetri i tym samym moliwa jest dotatkowa optymalizacja, uproszczenie modelu obli-czeniowego. Uproszczenie modelu obliczeniowego z uwzgldnieniem symetrycznych bd te asymetrycznych warunkw brzegowych prowadzi do dokadnie tych samych wynikw obliczeniowych, jak w przypadku modelu niezmodyfikowanego.

2.3 Preprocessing generowanie siatki, definicja obcie i warunkw brzegowych

Nastpnym krokiem bazujcym na parametrach geometrycznych modelu 3D jest

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja120

Rys. 4. Przykady generowania i optymalizacji siatki z wykorzystaniem programu HyperMesh [10]

Rys. 5. Sposoby oyskowania i siatki MES oyskowanie beztarciowe a) [8], oyskowanie spryste b) [8], przemieszczanie zewntrzne c) [8], rodzaje siatek: HyperMesh, Abaqus, Ansys d)

Ten etap jest nazywany dyskretyzacj obszaru i w zalenoci od zoonoci konstrukcji moe trwa od kilku sekund do kilku godzin.

Celem jest stworzenie siatki elementw skoczonych, w ktrej elementy maj minimalne odchylenia od idealnego ksztatu, a w istotnych miejscach charakteryzuj si wystarczaj-co ma dugoci krawdzi. Rwnie wybr odpowiedniego typu elementu odgrywa du

generowanie siatki MES (rys. 4, 5d). Siatka skada si z elementw skoczonych i wzw. Rne rodzaje elementw 3D, takie jak: belki, powoki, bryy, spryny, luki/otwory, po-czenia sztywne, itp., bdce do dyspozycji uytkownika [3, 9, 16], s baz wyjciow do generowania siatki.

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 121

Rys. 6. Siy dziaajce w obcionym stabilizatorze i oyskowanie elastyczne (model zastpczy MES) [1, 8, 11]

wag. Oprcz sieci MES, niezbdne jest rwnie zdefiniowanie typu obcie i warunkw brzegowych bdcych wymogiem do przeprowadzenia wikszoci oblicze. Takie para-metry, jak dziaajce siy, momenty, przemieszczenia, cinienia, temperatury, prdkoci, przyspieszenia, itp. s rwnie wykorzystywane w obliczeniach. Warunki brzegowe opi-suj sposb oyskowania, mocowania elementu i moliwe symetrie. W przypadku stabili-zatorw samochodowych (zarwno masywnych, jak i rurowych) do najlepszych wynikw obliczeniowych prowadzi zdefiniowanie nastpujcych warunkw brzegowych (rys. 6):

wybrmocowania (rys.6e) isposobu oyskowaniastabilizatorawpojedziesamo-chodowym (rys. 5a i b, 6a, b, c i d),

definicjasilubprzemieszczekocwekobcionegostabilizatora(rys.5c,6a).

Dane te s udostpnione przez producentw samochodw i oysk elastycznych stoso-wanych w pojazdach samochodowych.

2.4 Obliczenia MES

Po zakoczeniu fazy wykonania modelu obliczeniowego MES, wcznie z definicj obcie i warunkw brzegowych, nastpuje faza rzeczywistych oblicze. W tym celu model zosta-je wczytany do solvera, ktry najpierw przeprowadza kontrol wiarygodnoci oraz kontro-l elementw pod ktem zgodnoci zaoonych kryteriw. Brak wasnoci materiaowych lub znaczne znieksztacenie modeli obliczeniowych moe prowadzi do przedwczesnego

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja122

Rys. 7. Przykadowe wielkoci napre (strefy obliczeniowe) w obcionym stabilizatorze:Strefa 1 i 5 mae wytenie. Strefa 2 i 4 rednie wytenie. Strefa 3 strefa wysoko wytona

Rys. 8. Pryzmatyczny prt ciskany i rozcigany [4]

Przykadem obrazujcym zaoenia teoretyczne MES w praktyce obliczeniowej stabilizato-rw moe by prt rozcigany ciskany (rys. 8).

zakoczenia procesu obliczeniowego, jeszcze przed przystpieniem do waciwej analizy. Jeli ten etap zostanie pozytywnie zakoczony, nastpuje faza przeksztacenia fizycz-nego modelu obliczeniowego w model matematyczny. W tym celu jest tworzona macierz sztywnoci, odzwierciedlajca charakterystyk elementw obliczeniowych. Poprzez ko-rzystnie zdefiniowane, symetryczne macierze zoono procesu obliczeniowego moe pozosta w znacznym stopniu zredukowana. W tym celu macierz oparta na rozkadzie eli-minacji Gaussa zostaje do tego stopnia zredukowana, e rezultatem tej redukcji jest utwo-rzenie wspczynnika macierzy trjktnej. Chocia etap ten wymaga duej intensywnoci, mocy obliczeniowej, to jednake w konsekwencji mamy do czynienia ze znaczn redukcj cakowitego czasu obliczeniowego. Wraz ze zdefiniowanym obcieniem powstaje ukad rwna, ktry jest analizowany i rozwizywany w solverze i w rezultacie prowadzi do po-dania danych wielkoci (wartoci przemieszcze, napre, itp. rys. 7).

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 123

Jak wiadomo, we wntrzu pryzmatycznego prta ciskanego i rozciganego (tzn. prta o staym przekroju) wystpuje wyduenie niezalene od wsprzdnej pooenia x:

u(x)=1+2 x gdzie 1 i 2 s staymi (1)

W ten sposb wzdune przemieszczenie u zmienia si liniowo w funkcji x [3, 4, 5].

u(x)= 1 ui+ uj odpowiednio u(x)= 1 =

=[Ni Nj] = (2)

gdzie: to macierz interpolacji funkcji lub funkcji ksztatu

(3)

co oznacza nic innego jak:

(4)

gdzie: D macierz sprystoci, w tym przypadku skadajca si z jednego elementu, a mianowicie z moduu sprystoci E.

Zgodnie z tym wyraenia odksztace i napre mona sformuowa jako energi od-ksztacenia prta:

(5)

Zgodnie z twierdzeniem Castigliano:

(6)

Tutaj dostrzegamy struktur macierzy sztywnoci elementu prta:

(7)

ktra przy bliszej analizie okazuje si cak objtociow K=V BT * D * B dv. Jeli geome-

tria i cechy materiaowe prta s znane, moliwe jest uwzgldniajc specyficzne funkcje ksztatu okrelenie caki powizanej z macierz sztywnoci.

K= BT * D * B dv (8)

Tego typu caki s obliczane numerycznie w programach elementw skoczonych. W za-lenoci od typu elementu wprowadza si rn ilo punktw integracyjnych Gaussa, ktre w programie wewntrznie, to znaczy bez interwencji ze strony uytkownika - pozo-stan wybrane w pobliu punktw wzych elementu obliczeniowego. Wynikowe wielkoci

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja124

Rys. 9. Naprenia zastpcze w obcionym stabilizatorze

docelowe, takie jak naprenia i odksztacenia, s oceniane w tych samych punktach i ekstrapolowane do odpowiedniego wza.

2.5 Postprocessing analiza wynikw obliczeniowych

Kocowym etapem oblicze z wykorzystaniem MES jest ocena i analiza wynikw oblicze-niowych. W tym celu wyniki obliczeniowe, takie jak siy, przemieszczenia, naprenia, itp. s wczytywane do post procesora i mog by przy jego pomocy [3, 9, 16] wizualizowane, dajc podstaw do dalszej oceny i analizy.

Analiza wynikw obliczeniowych jest trudnym i odpowiedzialnym zadaniem. Analiza ta po-winna obejmowa:

1. ocen modelu obliczeniowego okrelenie stref charakteryzujcych si najwikszymi, maksymalnymi napreniami (rys. 9c, 10a, b i c),

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 125

Rys. 10. Wyniki obliczeniowe z zastosowaniem rnych programw MES (Abaqus a), Ansys b) HyperWorks Radioss c))

2. wyznaczenie wartoci maksymalnych napre (rys. 9b ic),

3. porwnanie krzywej otrzymanej z oblicze analitycznych, charakteryzujcej rozkad napre w obcionym stabilizatorze z krzyw otrzyman z oblicze MES (rys. 9a ic),

4. w przypadku wystpienia duych rnic pomidzy wynikami oblicze analitycz-nych i MES naley skontrolowa model obliczeniowy MES, a w szczeglnoci warunki brzegowe.

W przypadku prawidowo przeprowadzonej analizy MES odchyki wynikowe nie powinny by wiksze ni 5%. Prawidowo przygotowane modele, prawidowo przeprowadzona analiza obliczeniowa MES prowadzi do porwnywalnych wynikw, niezalenie od zastoso-wanego solvera (rys. 10a, b ic).

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja126

Dalsze obliczenia wytrzymao zmczeniowa (HBM nCode8) (rys. 11 i 12)

Rys. 11. Obliczenia wytrzymaociowe obcionego stabilizatora z wykorzystaniem programu HBM nCode8

3. WnioskiKade prawidowo przeprowadzone obliczenia i symulacje z wykorzystaniem MES (zgod-nie z matryc przedstawion na rys. 1, 2) musz by zakoczone procesem walidacji i weryfikacji.

Plan weryfikacji i walidacji (plan V&V, rys. 13):

a) uwagi oglne,

b) komentarze do przeprowadzonych eksperymentw,

c) niepewnoci, wtpliwoci,

d) weryfikacje,

e) referencyjne wartoci niezbdne do walidacji,

f) walidacja:

Symulacja potwierdzona eksperymentami:

walidacjasprawdzeniepoprawnociobliczewoparciuobadanialaboratoryjne,

odpowied:zgodnoobliczeieksperymentwjestdoprzyjcia.

Symulacja potwierdzona rzeczywistymi warunkami eksploatacyjnymi:

walidacjamodeluobliczeniowegorealnymiwarunkami,

uwaga:niejesttorwnoznacznezwalidacjobliczeprzeprowadzonymitestami,

Stabilizatory samochodowe obliczenia wytrzymaociowe stabilizatorw z wykorzystaniem metody elementw skoczonych wskazwki i oglne wytyczne obliczeniowe 127

Rys. 12. Obliczenia wytrzymaoci zmczeniowej obcionego stabilizatora z wykorzystaniem programu HBM nCode 8

Rys. 13. Szczegowe opracowanie modelu, proces weryfikacji i walidacji (V&V Plan Thacker et.al., Los Alamos) [15]

Adam Markus Wittek, Damian Gska, Tomasz Matyja128

ewentualne potwierdzenie wynikajce z podsumowania wynikw eksperymentwuzupeniajcych (zastpczych),

odpowied:zgodnoobliczezwarunkamirealnymijestdozaakceptowania.

Podsumowanie weryfikacja wynikw

Celem weryfikacji wynikw jest:

weryfikacjawynikwobliczeniowychMES:poprawnoidokadnoobliczezwyko-rzystaniem MES,

walidacjamodeliobliczeniowych:zgodnoprzeprowadzonycheksperymentw/obli-cze i symulacji z rzeczywistymi warunkami eksploatacji,

walidacja oblicze: zgodno przeprowadzonych eksperymentw z rzeczywistymiwarunkami eksploatacji,

cel:wystarczajca dokadno opisu rzeczywistychwarunkw eksploatacji czy teprzeprowadzonycheksperymentw!

Modele obliczeniowe stabilizatorw samochodw Land Rover L405 i VW MQB, wykonanych przez autorw, zostay wykorzystane do przedstawienia optymalnego schematu oblicze-niowego stabilizatorw samochodowych z wykorzystaniem MES. Te modele s poddawa-ne w warunkach przemysowych cigej weryfikacji i walidacji.

Literatura[1] Abaqus Version 6.10.: Volume I: Static and Dynamic Analyses. Dessault Systems 2010.

[2] BANA K.: Metoda Elementw Skoczonych, Seminarium BIT CM UJ, Instytut Modelowania Komputerowego, Politechnika Krakowska, 17 maja 2006, 125.

[3] BIELSKI J.: Wprowadzenie do inynierskich zastosowa MES. Politechnika Krakowska, Wydanie 1, Krakw 2010.

[4] DEGER Y.: Die Methode der Finiten Elemente, Kontakt und Studium, Band 551.5. Auflage, Expert Verlag, Renningen 2010.

[5] FROELICH P.: FEM Anwendungspraxis. Einstieg in die Finite Elemente Analys, 1. Auflage, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2005.

[6] FISCHER W.: Finite Element Methode, Skript zur Vorlesung, Fachhochschule Dortmund, 4. Auflage, Wintersemester 2011/12, 127.

[7] GABBERT U.: Finite Element Methode, Teil 1. Lehrstuhl fr Numerische Mechanik, Vorlesung, Otto von Guericke Universitt Magdeburg, 2012, 148.

[8] GEBCHARDT CH.: Praxisbuch FEM mit ANSYS Workbench. Einfhrung in die lineare und nichtlineare Mechanik. 1. Auflage Carl Hanser Verlag, Mnchen 2011.

[9] KLEIN B.: FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau. 7. Auflage, Vieweg Studium Technik, Wiesbaden 2007.

[10] Schulungsunterlagen HyperWorks11, Radioss. Fa. ALTAIR Deutschland GmbH, Hannover 2012.

[11] SHIMOSEKI M., HAMANO T., IMAIZUMI T.: FEM for springs. 1. Auflage, Springer Verlag. Berlin Heidelberg 2003.

[12] REINERT U.: Finite Element Methode, Vorlesung. Fachhochschule Bremen, 2012, 124.

[13] STEINBUCH R.: Finite Elemente - Ein Einstieg, 1. Auflage, Springer Verlag. Berlin Heidelberg 1998.

[14] THACKER B. H.: Concepts of Model Verification and Validation, Los Alamos, October 2004.

[15] WITTEK A. M.: Wpyw czynnikw konstrukcyjnych i technologicznych na trwao stabilizatorw w pojazdach samochodowych. Ph.D dissertation, Katowice 2013, 117186.

[16] FEM kurz und bndig, http://www.smart-fem.de/fem.html, Smart Engineering GmbH, 2013.