POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ INśYNIERII MATERIAŁOWEJ I METALURGII

Kierunek: EDUKACJA TECHNICZNO-INFORMATYCZNA

Specjalność: INFORMATYKA UśYTKOWA

PRACA MAGISTERSKA

Rafał Nalepa

WIZUALIZACJA WIELOWYMIAROWYCH DANYCH PROCESU

STALOWNICZEGO.

MULTIDIMENSIONAL DATA VISUALIZATION OF STEELMAKING

PROCESS.

Promotor:

dr inŜ. Marcin Blachnik

Recenzent:

dr hab. inŜ. Tadeusz Wieczorek

prof. nzw. w Pol. Śl.

Katowice, sierpień 2009

S t r o n a | 2

Spis treści

1. Wstęp................................................................................................ 4

2. Metody redukcji wymiarowości. ......................................................... 6

2.1. Analiza składowych głównych ..................................................... 6

2.1.1. Definiowanie składowych głównych. ..................................... 6

2.1.2. Metody określania liczby składowych głównych .................... 9

2.2. Liniowa analiza dyskryminacyjna...............................................12

2.2.1. Klasyfikacja pod nadzorem..................................................13

2.2.2. Problem dwóch klas ............................................................14

2.2.3. Problem wielu klas ..............................................................16

2.3. Skalowanie wielowymiarowe ......................................................18

2.3.1. Klasyczne skalowanie..........................................................18

2.3.2. Skalowanie metryczne.........................................................20

2.3.3 Skalowanie niemetryczne .....................................................22

2.4. Samoorganizujące się mapy .......................................................23

3. Narzędzia analizy..............................................................................29

3.1. Matlab .......................................................................................29

3.2. Drtoolbox...................................................................................30

3.3 Algorytm samoorganizujących się map SOM ...............................32

3.4. Wstępne przetwarzanie danych (standaryzacja/normalizacja).....33

3.3.1. Standaryzacja .....................................................................34

3.3.2 Normalizacja ........................................................................34

4. Porównanie metod wizualizacji .........................................................36

4.1. Opis danych ..............................................................................36

4.2. Wyniki oraz ich interpretacja .....................................................38

4.2.1. Wizualizacja zbioru Swiss Roll.............................................39

4.2.2. Wizualizacja zbioru Helix.....................................................44

S t r o n a | 3

4.2.3. Wizualizacja zbioru Iris .......................................................49

4.3. Wnioski .....................................................................................53

5. Opis procesu stalowniczego ..............................................................54

6. Wizualizacja danych procesu stalowniczego ......................................58

6.1. Opis zbioru danych....................................................................58

6.2. Wyniki oraz ich interpretacja .....................................................62

6.2.1. Wizualizacja zbioru data1 ....................................................62

6.2.2. Wizualizacja zbioru data2. ...................................................66

6.3. Wnioski .....................................................................................69

7. Podsumowanie i wnioski...................................................................71

Bibliografia...........................................................................................73

Spis rysunków......................................................................................74

S t r o n a | 4

1. Wstęp

Na świecie istnieje wiele danych, które moŜna przedstawić

w przestrzeni dwu lub trzy wymiarowej. Warto jednak zauwaŜyć,

Ŝe technika ciągle idzie do przodu i coraz częściej w róŜnych dziedzinach

stosowane są systemy informatyczne. Coraz częstsze stosowanie

systemów informatycznych wiąŜe się z gromadzeniem coraz większych

ilości skomplikowanych danych. DuŜa liczba danych wielowymiarowych

powoduje, iŜ ludzki mózg nie jest w stanie zrozumieć informacji, które

są ukryte w tych danych, rozwiązaniem tego problemu jest, więc

wizualizacja.

Wizualizacja wykorzystywana jest w dwóch celach, a mianowicie

wstępnej eksploracji danych, czyli odkrycia pewnych informacji

(zaleŜności między zmiennymi), które są zawarte w badanym zbiorze

danych. Drugim celem, do którego jest wykorzystywana wizualizacja to

kwestia zrozumienia wielowymiarowych danych dzięki utworzeniu ich

wizualnych reprezentacji. Dane o duŜej wymiarowości często są mocno

ze sobą powiązane, jednak dzięki technikom, jakie obecnie są dostępne

czasem jesteśmy w stanie wydzielić z tych danych nawet niewielki

podzbiór, który pozwoli zrozumieć związki zachodzące między tymi

danymi lub dać obraz jakiegoś zjawiska, które te dane przedstawiają.

Wizualizacja danych wielowymiarowych jest wykorzystywana w wielu

dziedzinach między innymi w systemach przeszukiwania tekstów

(WebSOM), w analizie obrazów (PicSOM), przy analizie sygnałów (ICA),

a takŜe do wizualizacji danych astronomicznych, a nawet do badań

historycznych w celu zrozumienia zjawisk, zdarzeń i procesów, jakie

miały miejsce w przeszłości.

W niniejszej pracy poddano analizie moŜliwości wykorzystania

wizualizacji w zastosowaniu do procesu metalurgicznego, badając

moŜliwość wizualizacji wpływu dodawania domieszek (dodatków

stopowych) w zaleŜności od gatunku uzyskanej stali.

S t r o n a | 5

Celem pracy jest porównanie metod redukcji wymiarowości

w zastosowaniu do wizualizacji danych wielowymiarowych procesu

stalowniczego na przykładzie wizualizacji sposobu prowadzenia procesu

obróbki pozapiecowej stali w zaleŜności od jej podgatunku.

Przedstawiona praca zawiera siedem rozdziałów. W rozdziale

drugim niniejszej pracy zaprezentowane zostały zagadnienia dotyczące

redukcji wymiarowości. Zostały opisane cztery metody a mianowicie

analiza składowych głównych, liniowa analiza dyskryminacyjna,

skalowanie wielowymiarowe oraz samoorganizujące się mapy.

W rozdziale trzecim przedstawiono opis narzędzi, jakie zostały uŜyte

w pracy, a takŜe metody przygotowania danych przed procesem

wizualizacji. Rozdział czwarty zawiera porównanie metod wizualizacji.

W rozdziale tym zawarty został opis prostych danych na podstawie,

których porównane zostały metody wizualizacji a takŜe wyniki

wizualizacji wraz z ich interpretacją. W rozdziale piątym został opisany

proces stalowniczy, na który składa się proces wytapiania stali, sposób

prowadzenia obróbki pozapiecowej oraz końcowa metoda ciągłego

odlewania stali. Rozdział szósty przedstawia wizualizację danych

z procesu stalowniczego. Opisane zostały tutaj dane, a następnie

przedstawione zostały wyniki wizualizacji oraz ich interpretacja.

Wnioski końcowe zawarte zostały w zakończeniu pracy w rozdziale

siódmym.

S t r o n a | 6

2. Metody redukcji wymiarowości.

2.1. Analiza składowych głównych

Analiza składowych głównych (ang. Principal Component Analysis,

PCA) jest jednym z najpopularniejszych oraz najstarszych sposobów

redukcji wymiaru przestrzeni danych wejściowych. Jest to metoda

liniowa wyznaczająca kierunki, w których następuje maksymalna

zmienność danych pierwotnych i dodatkowo obraca układ

współrzędnych w taki sposób, aby maksymalna zmienność danych

zachodziła wzdłuŜ nowych osi. W metodzie tej uczenie odbywa się bez

nadzoru, a więc kaŜdy z elementów zbioru uczącego składa się tylko

i wyłącznie z wektora cech. Analiza składowych głównych ma za zadanie

przekształcić skorelowane, oryginalne zmienne w nowe nieskorelowane,

czyli tzw. składowe główne. Próba wyznaczenia wartości składowych

głównych nie jest związana z potrzebą przyjmowania Ŝadnych nowych

załoŜeń, dzięki czemu moŜemy bez Ŝadnych trudności otrzymać wartości

składowych głównych. Przekształcenie danych wejściowych w główne

składowe nie prowadzi do istotnej straty informacji o badanym

zjawisku, gdyŜ suma wariancji wszystkich danych wejściowych jest

równa sumie wariancji głównych składowych. Sposób wyznaczenia

głównych składowych powoduje, Ŝe juŜ kilka pierwszych z nich zawiera

większość informacji o badanym zjawisku, co pozwala na redukcję

składowych głównych przy moŜliwie małej stracie informacji

wejściowych. Jednak zastosowanie tej metody w przypadku, kiedy

oryginalne zmienne nie są skorelowane nie daje nam gwarancji

moŜliwości redukcji danych przy ograniczonej stracie informacji. [1]

2.1.1. Definiowanie składowych głównych.

Pierwszą składową główną definiuje się jako unormowaną

kombinację liniową zmiennych wejściowych. Ma ona maksymalną

wariancję z próby ze wszystkich unormowanych liniowych kombinacji

S t r o n a | 7

zmiennych pierwotnych x1, x2, …, xp. A więc dla wektora obserwacji

x = [x1, x2, …, xp]T w próbie poszukujemy liniowej kombinacji

xaT

1=+++= pp xaxaxa 12121111 ...z (1)

której, wariancja z próby

1

T

1Saa=2

1zs (2)

przyjmuje wartość maksymalną, gdzie S jest to macierz kowariancji

z próby x1, x2, …, xn, natomiast kwadrat długości wektora a1 jest równy

jeden, czyli wektor ten spełnia warunek a1Ta1 = 1, który jest

wprowadzony w celu zapewnienia jednoznaczności składowej głównej.

Wektor a1 ma zadanie maksymalizować wariancję (2).

Dzięki dodatkowemu warunkowi a1Ta1 = 1 wektor ten jest wektorem

charakterystycznym odpowiadającym największemu pierwiastkowi

równania wyznacznikowego, czyli największej wartości własnej λ1

macierzy S.

0=− IS λ (3)

Największym pierwiastkiem równania (3) jest największa wariancja

składowej głównej z1. Aby wyznaczyć drugą składową główną

konstruujemy liniową kombinację taką, Ŝe nie jest ona skorelowana

z z1, spełnia warunek a2Ta2 = 1 oraz posiada maksymalną wariancję.

xaT

2=2z (4)

Aby składowe z2 oraz z1 były nieskorelowane musi zajść równość

Cov(z2, z1) = 0. Mamy, więc

1

T

2Saa=),( 12 zzCov (5)

S t r o n a | 8

JednakŜe, Sa1 = λ1a1 i stąd wynika

0),( 112 == 1

T

2aaλzzCov

co pociąga za sobą, Ŝe a2Ta1 = 0. Wariancja z próby kombinacji liniowej

(4) jest równa

2

T

2Saa=2

2zs (6)

W wyniku, czego poszukujemy takiego wektora a2, który będzie

maksymalizował (6) przy dodatkowych warunkach a2Ta2 = 1 i a2Ta1 = 0.

Wektor a2 jest to wektor własny macierzy S, który odpowiada drugiej

wartości własnej λ2 < λ1. Jest on ortogonalny do wektora a1 oraz

unormowany tak, aby kwadrat jego długości był równy jeden (a2Ta2 = 1).

W związku z tym, Ŝe macierz S ma p wartości własnych otrzymujemy,

więc p składowych głównych:

xaT

1=1z

xaT

2=2z

………...

xaTp=pz

Składowe główne z1,z2, …, zp moŜna przedstawić w postaci

Axz = (7)

gdzie

S t r o n a | 9

=

pz

z

z

M

2

1

z,

=

T

p

T

2

T

1

a

a

a

AM .

2.1.2. Metody określania liczby składowych głównych

Liczba składowych głównych, która zostanie wykorzystana

w procesie jest decyzją o charakterze subiektywnym jednak istnieją

konkretne kryteria, które taką decyzję mogą wspomóc. Warto jednak

wiedzieć, iŜ odrzucone składowe zawierają najmniej informacji

o badanym zjawisku, jednak odrzucenie ich spowoduje stratę informacji

zawartych w zmiennych wejściowych.

Kryterium procenta wariancji

Kryterium to zaleca, Ŝe jeśli wskaźnik procentowej miary

wyjaśniania zmienności wektora x przez pierwszych k składowych

głównych jest równy lub przekracza ustaloną wartość z reguły ok. 80% to

pozostałe składowe główne p-k pomijamy. Pomimo iŜ jest to osobna

metoda na odrzucenie głównych składowych decyzja nadal ma charakter

subiektywny.

Kryterium wartości średniej z wartości własnych

W kryterium tym zaleca się zostawienie w dalszej analizie tych

składowych głównych, których wartości własne są większe od średniej,

natomiast pomijamy te składowe główne, których wartości są mniejsze

od średniej

∑=

=p

j

jp 1

1λλ (8)

S t r o n a | 10

Im większa wartość własna tym odpowiadający jej wektor własny jest

słabiej skorelowany z pozostałymi.

Kryterium osypiska (wykres piargowy)

Jest to metoda graficzna, gdyŜ na wykresie przedstawione są wartości

własne, które numerowane są w porządku malejącym. Współrzędnymi

punktów na wykresie na osi odciętych są numery wartości własnych

natomiast na osi rzędnych są to wielkości wartości własnych. Punkty te

łączone są odcinkami. Przykładowy wykres jest pokazany na rys. 1.

Widać na nim, Ŝe pierwsze dwie wartości róŜnią się istotnie od

pozostałych, które wyglądem w całości przypominają prawie poziomą linię,

która wskazuje na bardzo niewielki spadek wartości własnych kolejnych

składowych głównych.

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6

Numer wartości własnej

λ

Rys. 1. Wykres piargowy.

S t r o n a | 11

Kryterium istotności

Kryterium to wykorzystuje test chi-kwadrat. Zweryfikowanie

hipotezy o tym, Ŝe wyodrębnione czynniki wystarczająco dokładnie

wyjaśniają korelacje pomiędzy zmiennymi wejściowymi jest równowaŜna

z weryfikacją hipotezy, co do liczby pierwszych czynników, które naleŜy

wykorzystać w dalszej analizie. Zastosowanie tego testu wymaga

załoŜenia, iŜ n-elementowa próba pochodzi z p-wymiarowego rozkładu

normalnego. [2]

2.1.3. Interpretacja geometryczna

KaŜdy element macierzy obserwacji X moŜe być zinterpretowany

geometrycznie jako współrzędne n-punktów reprezentujących obiekty

w p-wymiarowej przestrzeni zmiennych, czyli kaŜdy obiekt jest

reprezentowany przez wektor opisujących go zmiennych. Szczególny

przypadek transformacji liniowej – obrót, jest opisany przez równanie

Z = ATX gdzie A jest macierzą ortogonalną. Dla przypadku

dwuwymiarowego ilustruje to rys. 2.

Rys. 2. Dopasowanie połoŜenia układu osi głównych składowych do konfiguracji punktów reprezentujących obiekty.

S t r o n a | 12

W analizie składowych głównych staramy się tak obrócić układ

współrzędnych Z1 0 Z2, aby uzyskać nowy układ współrzędnych F1 0 F2,

w którym rzuty punktów reprezentujących obiekty na pierwszą główną

składową F1 będą dawały zbiór punktów o największym rozrzucie, czyli

o największej wariancji. Poprzez obrót układu współrzędnych Z1 0 Z2

o kąt α powstaje układ współrzędnych F1 0 F2. Dla przestrzeni

dwuwymiarowej macierz ortogonalna przyjmuje wówczas postać

−

=αα

αα

cos

sin

sin

cosT

A (9)

Oznacza to, Ŝe współrzędne punktów (obiektów) w nowym układzie

współrzędnych obliczamy następująco:

αα

αα

cossinf

sincosf

21i2

21i1

ii

ii

zz

zz

+−=

+= (10)

Druga składowa główna, która jest prostą w hiperpłaszczyźnie

prostopadłą do osi pierwszej składowej głównej jest wyznaczana tak,

aby sumy kwadratów odległości punktów (obiektów) od ich rzutów na tą

oś były jak najmniejsze. Pozostałe składowe główne wyznaczane są

w analogiczny sposób. [3] [4]

2.2. Liniowa analiza dyskryminacyjna

Liniowa analiza dyskryminacyjna (ang. Linear Discriminant

Analysis, LDA) jest jednym ze sposobów redukcji struktury danych

wejściowych, dzięki której moŜliwe jest przedstawienie danych

w mniejszej liczbie wymiarów. Liniowa analiza dyskryminacyjna naleŜy

do metod statystycznych opierających się o klasyfikację pod nadzorem.

Jej głównym zadaniem jest znalezienie takiego podziału danych prostą

lub płaszczyzną dyskryminacyjną, aby jak najlepiej rozróŜniały dwie lub

więcej klas danych wzajemnie zaleŜnych. Metoda ta spisuje się dobrze

na prostych w analizie zbiorach. Liniowa analiza dyskryminacyjna ma

S t r o n a | 13

wiele zastosowań związanych z klasyfikacją. Najczęściej stosowana jest

w przypadku rozpoznawania twarzy gdzie obraz twarzy, który składa się

z bardzo duŜej ilości pikseli jest zredukowany do mniejszego zbioru

liniowych kombinacji, które mogą być później wykorzystane do

klasyfikacji.

2.2.1. Klasyfikacja pod nadzorem

Klasyfikacja pod nadzorem nazywana jest równieŜ klasyfikacją

z próbą uczącą czy teŜ po prostu klasyfikacją z nauczycielem. Zadaniem

klasyfikacji pod nadzorem jest podanie reguły decyzyjnej, zwanej

równieŜ regułą dyskryminacyjną, która przyporządkowuje dowolnej

obserwacji x, naleŜącej do zbioru p-wymiarowego X przynaleŜność do

konkretnej klasy ze zbioru klas G. Na podstawie próby uczącej (xi, yi),

i = 1,2, …, n, tworzy się regułę decyzyjną, gdzie xi oznacza i-tą

obserwację, natomiast yi jest etykietą klasy, do której ta obserwacja

naleŜy. Dzięki otrzymanej regule decyzyjnej jesteśmy w stanie kaŜdemu

zaobserwowanemu wektorowi x przypisać przynaleŜność do klasy ze

zbioru G. Podsumowując, skonstruowanie reguły dyskryminacyjnej

umoŜliwia próba ucząca, natomiast zadaniem klasyfikacji pod nadzorem

jest przewidzenie na podstawie tej reguły, do której klasy naleŜy dana

obserwacja. Na rys. 3 przedstawione zostały obserwacje

w dwuwymiarowej przestrzeni rozdzielone na poszczególne klasy za

pomocą trzech półprostych, które wychodzą z jednego punktu.

Rys. 3. Obserwacje trzech klas rozdzielone półprostymi

S t r o n a | 14

2.2.2. Problem dwóch klas

W liniowej analizie dyskryminacyjnej wektory obserwacji są

wektorami naleŜącymi do p-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Głównym załoŜeniem tej metody jest otrzymanie reguły decyzyjnej, która

oparta jest na funkcji liniowej i na jej podstawie jest w stanie podzielić

dany zbiór na klasy. W podrozdziale tym rozpatrzony zostanie

przypadek z dwoma klasami g = 2. Znalezienie reguły dyskryminacyjnej

polega na tym, aby znaleźć kierunek a w X, który będzie najlepiej

rozdzielał obydwie podpróby uczące. Podczas konstruowania miary

odległości pomiędzy klasami naleŜy uwzględnić zmienność

wewnątrzgrupową (wewnątrz klas). Konstrukcja liniowej analizy

dyskryminacyjnej wymaga, aby zebrać informacje o klasach, do których

będą klasyfikowane nowe obserwacje. Klasyfikacja ta odbywa się za

pomocą wskaźników połoŜenia i rozproszenia podgrup grupy uczącej.

W przypadku dwóch klas (g = 2), próbę (x1, y1), (x2, y2), …., (xn, yn)

moŜna podzielić na dwie podpróby obserwacji z klasy pierwszej oraz

drugiej

2

1

klasyz

klasyz

2

1

2n2221

1n1211

x,...,x,x

x,...,x,x

gdzie n = n1 + n2 (n1 obserwacji z 1 klasy, n2 obserwacji z 2 klasy).

Stąd średnie klas moŜna zapisać jako

∑=

=1

1

1 n

i1n1i1 xx ∑

=

=2

12

1 n

in2i2 xx (11)

Próbkowe macierze kowariancji charakteryzują rozproszenie

wewnątrzgrupowe (wewnątrz klas). LDA opiera się na załoŜeniu, Ŝe klasy

charakteryzują się taką samą macierzą kowariancji. Macierz kowariancji

wewnątrzgrupowej, wspólnej dla obydwu klas przyjmuje postać

S t r o n a | 15

( ) ( )( )∑ ∑∑= ==

−−

−=−

−=

2

1 1

2

1 2

11

2

1

k

n

i

T

k

k

k

nn

nkkikkik xxxxSW (12)

n = n1 + n2

gdzie Sk, k = 1, 2, są próbkowanymi macierzami kowariancji

w klasach 1 i 2. Próbkową miarą zmienności wewnątrzgrupowej wzdłuŜ

kierunku a jest wielkość

WaaT

W związku z powyŜszym, aby znaleźć regułę dyskryminacyjną naleŜy

znaleźć kierunek ã w X, który będzie najlepiej rozdzielał podpróby

uczące, a za miarę rozdzielności klas wzdłuŜ danego kierunku naleŜy

wziąć kwadrat odległości pomiędzy średnimi arytmetycznymi podprób

wzdłuŜ tego kierunku

( )21T

2T

xaxa −

zmodyfikowany za pomocą odpowiednio uwzględnionej zmienności

obserwacji wewnątrz klas i wzdłuŜ kierunku a

( )Waa

xaxaT

1T

2T 2

−

(13)

gdzie W jest próbkową macierzą kowariancji wewnątrzgrupowej.

Aby znaleźć kierunek, który najlepiej rozdziela klasy naleŜy znaleźć

wektor kierunkowy ã maksymalizujący wyraŜenie (13). Mając kierunek ã

naleŜy zrzutować ortogonalnie obydwie średnie klas oraz nową

obserwację x o nieznanej klasie na ten kierunek, następnie naleŜy

zaklasyfikować x do klasy j, jeŜeli

kTT

jTT

xaxaxaxa −<− (14)

dla k ≠ j, j, k ϵ {1, 2}.

S t r o n a | 16

Podsumowując reguła dyskryminacyjna (14) wyznacza w zbiorze X

hiperpowierzchnię dyskryminacyjną prostopadłą do kierunku ã, która

dzieli ten zbiór na dwa podzbiory, których punkty x ϵ X naleŜą do klasy

1 oraz do klasy 2.

2.2.3. Problem wielu klas

Rozwiązanie problemu dla 2 klas (g = 2) z poprzedniego

podrozdziału moŜna uogólnić w przypadku większej ilości klas.

Mianowicie wynikiem tego jest, Ŝe

( ) ( )( ) axxxxaxaxa 121212

TTTT −−=−2

(15)

oraz, Ŝe

( )( ) ( )( ) axxxxaaxxxxa kk1212

−−

+=−− ∑

=

2

121

21

k

T

k

TTT nnn

nn

(16)

gdzie x jest średnią ogólną wszystkich obserwacji n = n1 + n2. Licznik

wyraŜenia (13) z dokładnością do stałego czynnika jest więc równy

( )( ) axxxxa kk

−−∑

=

2

1k

T

k

T n

Dzięki temu macierz

( )( )∑=

−−2

1k

T

kn xxxx kk

moŜna uznać za taką, która charakteryzuje się zmiennością

międzygrupową, a takŜe nazwać ją macierzą kowariancji

międzygrupowej B.

S t r o n a | 17

( )( )∑=

−−=2

1k

T

kn xxxxB kk (17)

Maksymalizacja (13) jest równowaŜna maksymalizacji wyraŜenia

Waa

BaaT

T

gdzie macierz B jest dana przez (17), natomiast W przez (12).

Dzięki ostatniemu wyraŜeniu moŜna uogólnić rozwiązanie problemu

dwóch klas g = 2 na problem dyskryminacji liniowej dla dowolnej liczby

klas g (g ≥ 2).

Aby znaleźć regułę dyskryminacyjną naleŜy znaleźć kierunek a

maksymalizujący wyraŜenie

Waa

BaaT

T

(18)

gdzie

( )( )∑=

−−−

=2

11

1

k

T

kng

xxxxB kk (19)

jest to macierz kowariancji międzygrupowej, która jest tak

zmodyfikowana względem (17) aby moŜna było ją zastosować do

przypadku g > 2, oraz

( ) kSW ∑=

−−

=g

k

kngn 1

11

(20)

jest to macierz kowariancji wewnątrzgrupowej, która równieŜ została tak

zmodyfikowana względem (12) aby moŜna ją było zastosować do tego

przypadku. Po otrzymaniu szukanego wektora ã naleŜy podać regułę

S t r o n a | 18

dyskryminacyjną, którą otrzymujemy poprzez modyfikację reguły (14)

następnie obserwację x klasyfikujemy do klasy j, jeŜeli

kj xaxaxaxaTTTT −<− (21)

dla wszystkich k ≠ j. [5] [6]

2.3. Skalowanie wielowymiarowe

Skalowanie wielowymiarowe (ang. Multidimensional Scaling, MDS)

jest to technika wywodząca się ze statystyki. Ma ona na celu wykrycie

zmiennych ukrytych, które pozwalają na wyjaśnienie podobieństw

i róŜnic pomiędzy badanymi obiektami. Skalowanie wielowymiarowe jest

to metoda, która działa na podstawie macierzy odległości lub macierzy

podobieństwa pomiędzy obiektami. Metoda ta dąŜy do wyznaczenia

takiego ułoŜenia punktów w nowym układzie współrzędnych, aby

odległości między obiektami w nowo utworzonym układzie

współrzędnych były jak najbliŜsze w sensie podobieństwa.

Skalowanie wielowymiarowe dzielimy na dwa typy: metryczne oraz

niemetryczne. Zostaną one omówione dokładniej w dalszej części tego

podrozdziału. [1]

2.3.1. Klasyczne skalowanie

Klasyczne skalowanie jest zwane równieŜ analizą współrzędnych

głównych (ang. Principal Coordinates Analysis, PCoA). W metodzie tej

naleŜy załoŜyć, Ŝe odległości między punktami to odległości euklidesowe.

Macierz odległości euklidesowych moŜna wtedy wyrazić następująco

TXXT = (22)

gdzie X = [x1, x2, …, xn]T jest n x p-wymiarową macierzą obserwacji.

Na podstawie macierzy odległości euklidesowych T moŜna znaleźć

współrzędne punktów, które znajdują się w przestrzeni Re, a takŜe

S t r o n a | 19

wymiar e tej przestrzeni. Odległość między dwoma obserwacjami i oraz j

moŜna wyrazić następująco

ijjjiiij TTTd 22 −+= (23)

gdzie

∑=

=p

k

jkikij xxT1

Równanie (23) moŜna odwrócić, aby przedstawić elementy macierzy T

jako macierzy niepodobieństwa, jednak naleŜy załoŜyć, iŜ środek

cięŜkości zbioru punktów {xi, i = 1, 2, …, n} znajduje się w początku

układu współrzędnych.

[ ]2222 ˆˆˆ2

1ijjiijij ddddT +−−−= (24)

gdzie

∑=

=n

j

iji dn

d1

22 1ˆ

∑=

=n

i

ijj dn

d1

22 1ˆ

∑∑= =

=n

i

n

j

ijdn

d1 1

22 1ˆ

Przy załoŜeniu, iŜ niepodobieństwa są odległościami euklidesowymi,

równanie (24) daje moŜliwość stworzenia macierzy T na podstawie danej

macierzy niepodobieństw D. Wówczas macierz T naleŜy rozłoŜyć na

czynniki (dokonać faktoryzacji) i dzięki temu, Ŝe jest to macierz

symetryczna moŜna ją zapisać w postaci

S t r o n a | 20

TUUT Λ= (25)

gdzie kolumny macierzy U są to wektory własne macierzy T, a Λ jest to

macierz diagonalna, która składa się z wartości własnych macierzy T,

więc jako macierz współrzędnych moŜna wziąć

2

1

UΛX = (26)

Wartości własne są porządkowane następująco

nλλλ ≥≥ K21

W przypadku, kiedy potrzeba przedstawić dane w przestrzeni o niŜszej

liczbie wymiarów naleŜy wówczas uŜyć tylko największych wartości

własnych, a więc jako nowe współrzędne naleŜy wziąć

2

1

eeΛUX = (27)

Warto na koniec zwrócić uwagę, Ŝe moŜe się zdarzyć taka sytuacja,

w której niepodobieństwa nie będą odległościami euklidesowymi

w związku z czym część wartości własnych moŜe być ujemna. W takim

przypadku nadal moŜna uŜyć klasycznego skalowania, jednak naleŜy

pamiętać, Ŝe najmniejsza wartość własna wzięta do reprezentacji

powinna być dodatnia, a takŜe większa, co do wartości bezwzględnej od

największej ujemnej. W przeciwnym wypadku moŜna uzyskać

niepoprawną reprezentację wyników.

2.3.2. Skalowanie metryczne

Szczególnym przypadkiem skalowania metrycznego jest klasyczne

skalowanie wielowymiarowe. Zadaniem tej metody jest efektywne

rozmieszczenie obiektów w taki sposób, aby otrzymać taki układ, który

jest najlepszym przybliŜeniem obserwowanych odległości. Na podstawie

funkcji nazywanej funkcją stresu moŜna ocenić rozbieŜność, jaka

S t r o n a | 21

zachodzi między danymi niepodobieństwami δij a obliczonymi dij

w przestrzeni Re. Najczęściej stosowaną funkcją stresu jest waŜona,

która przyjmuje postać

( )2

1 1

∑∑= =

−=n

i

n

j

ijijij daS δ (28)

W wielu źródłach moŜna znaleźć róŜne propozycje wag. Do najczęściej

uŜywanych naleŜą

1

1 1

2

−

= =

= ∑∑

n

i

n

j

ijij da (29)

1

1

1 1

−

−

= =

= ∑∑ ij

n

i

n

j

ijij dda (30)

2−= ijij da (31)

Jednak w praktyce najczęściej korzysta się z wagi postaci (30) jest ona

uwaŜana za najlepszą, gdyŜ jest pewnego rodzaju kompromisem

pomiędzy wagami (29) oraz (31). Bardzo często w praktyce jest

wykorzystywana bardziej ogólna postać wzoru (28)

( )( )2

1 1

∑∑= =

−=n

i

n

j

ijijij daS δφ (32)

gdzie funkcja ϕ naleŜy do pewnej predefiniowanej klasy funkcji.

W przypadku, kiedy funkcja ta naleŜy np. do klasy funkcji liniowych,

otrzymujemy

( )2

1 1

∑∑= =

−+=n

i

n

j

ijijij dbaaS δ (33)

Rozwiązaniem jest minimalizacja funkcji stresu i tak w ogólnym

przypadku (32) minimalizacja odbywa się za pomocą iteracyjnej metody

S t r o n a | 22

najmniejszych kwadratów, natomiast w przypadku regresji liniowej (33)

dla danego zbioru współrzędnych początkowych najpierw

minimalizowany jest ze względu na a i b. Natomiast następnym krokiem

jest przyjęcie a i b za znane i minimalizacja ze względu na współrzędne

punktów dij. Proces ten jest powtarzany aŜ do uzyskania zbieŜności.

2.3.3 Skalowanie niemetryczne

Skalowanie niemetryczne zwane jest równieŜ porządkowym i róŜni

się on od skalowania metrycznego tym, Ŝe nie ma tutaj klasycznej

macierzy niepodobieństw pomiędzy obiektami, są za to jedynie pewne

zmienne porządkowe, które róŜnicują obserwacje. W tym przypadku

szukamy takiej konfiguracji nowych punktów, aby porządek był jak

najlepiej zachowany. Rozwiązaniem tego problemu jest iteracyjna

procedura, która wymaga początkowej konfiguracji punktów (z reguły

testowane jest kilka róŜnych początkowych konfiguracji). W metodzie

skalowania niemetrycznego współrzędne punktów w przestrzeni

reprezentacji są poszukiwane tak, aby mogły one minimalizować funkcje

kosztu, będącą miarą stopnia odchylenia od monotoniczności relacji

między dij oraz δij. Z racji tego, Ŝe osiągnięcie rozwiązania doskonale

monotonicznego moŜe nie być moŜliwe naleŜy dąŜyć do tego, aby

porządek dij był jak najbliŜej porządku δij. Znalezienie odpowiedniej

konfiguracji punktów wymusza zdefiniowanie pojęcia monotoniczności,

które moŜna przedstawić w dwóch warunkach. RóŜnica między nimi

wynika jedynie z innego rozwiązania sytuacji remisowych, czyli gdy

δrs = δij. Na podstawie pierwszego warunku rsd̂ i ijd̂ mogą się róŜnić,

natomiast z drugiego warunku wynika, Ŝe nie mogą się róŜnić, co za tym

idzie drugi warunek jest zbyt restrykcyjny i prowadzi do problemów ze

zbieŜnością. Podstawowy warunek monotoniczności

ijrsijrs dd ˆˆ ≤⇒< δδ (34)

S t r o n a | 23

Drugorzędny warunek

ijrsijrs dd ˆˆ ≤⇒≤ δδ (35)

gdzie rsd̂ jest to punkt na linii dopasowania, który odpowiada rsδ . Wartości

rsd̂ są nazywane róŜnicami lub pseudoodległościami. Definicja funkcji

stresu przyjmuje w takim wypadku postać

( )2ˆ∑<

−=ji

ijij ddS (36)

Wynikiem minimalizacji funkcji (36) jest monotoniczna linia regresji,

która jest otrzymana metodą najmniejszych kwadratów. Ze względu na

jednostajne rozszerzanie funkcja (36) nie jest niezmiennicza, natomiast

dzięki odpowiedniej normalizacji stresu niedogodność tą moŜna usunąć

( )∑

∑

<

<

−

=

ji

ij

ji

ijij

d

dd

S2

2ˆ

(37)

Optymalizacja funkcji (37) wymaga uŜycia nieliniowego schematu

optymalizacji, a ten wymaga początkowej konfiguracji punktów, która

jest losowana bądź wybierana jako wynik działania klasycznej metody

skalowania. Wybranie optymalnej konfiguracji punktów wymaga

zadania konkretnego wymiaru przestrzeni e i dlatego testuje się róŜne

wymiary. [2] [5]

2.4. Samoorganizujące się mapy

Samoorganizujące się mapy (ang. Self Organizing Maps, SOM)

zwane są równieŜ sieciami Kohonena. Są one szczególnym rodzajem sieci

neuronowych gdyŜ uczenie odbywa się w trybie bez nauczyciela. Uczenie

takie odbywa się jedynie na podstawie danych wejściowych, gdyŜ nie

S t r o n a | 24

istnieją Ŝadne wzorce wyjściowe, w związku z tym zadaniem

samoorganizujących się map jest wytworzenie takich wzorców w trakcie

uczenia.

Rys. 4. Przykładowa mapa Kohonena, ma ona postać siatki prostokątnej o wymiarze 4 x 4

Sieci Kohonena opierają się na tzw. uczeniu konkurencyjnym.

Jest to przeciwieństwo do nauczania w klasycznych sieciach

neuronowych, gdyŜ w typowych sieciach neuronowych modyfikacji

podlegają wszystkie neurony (wagi neuronów), natomiast w sieciach,

w których wykorzystywane jest uczenie konkurencyjne modyfikacji

podlega jeden neuron oraz neurony z jego sąsiedztwa. Prezentacja wzorców

wejściowych pozwala na wybór neuronu zwycięzcy i tylko on ewentualnie

grupa sąsiadujących z nim neuronów aktualizuje swoje wagi. ZwycięŜa ten

neuron, którego wektor wag jest najbardziej podobny do aktualnego

wektora wejściowego.

S t r o n a | 25

Rys. 5. Ilustracja przykładowej adaptacji wag w sieci Kohonena

WaŜnym etapem podczas procesu samoorganizacji jest wybór

metryki, w jakiej mierzona jest odległość wektora wejściowego x od

wektora wag Wi. Najczęściej uŜywanymi miarami są:

• Miara euklidesowa

( )∑=

−=−=�

j

i

jjii Wx,d1

2)()( WxWx (38)

• Iloczyn skalarny

),cos(),( iiii WxWxd =⋅= WxWx (39)

• Miara według normy L1 (Manhattan)

∑=

−=�

j

i

jji Wxd1

)(),( Wx (40)

S t r o n a | 26

• Miara według normy L∞

)(max),( i

jjj

i Wxd −=Wx (41)

Samoorganizujące się mapy mają dwa podstawowe typy sieci:

• Zwycięzca bierze wszystko (ang. Winner Takes All, WTA)

• Zwycięzca bierze większość (ang. Winner Takes Most, WTM)

W pierwszym przypadku sieć samoorganizująca będzie uczona za

pomocą algorytmu WTA. W algorytmie zwycięzca bierze wszystko (WTA)

tylko zwycięski neuron zostaje zmodyfikowany w taki sposób, aby jego

wagi były jak najbardziej zbliŜone do wektora wejściowego.

Rys. 6. Sieć samoorganizująca się typu WTA

Sygnał x = [x1, x2, …, xn]T zostaje podany na wejście sieci gdzie trafia

na wejścia wszystkich N neuronów. W kolejnym kroku następuje

wyznaczenie metryki, w jakiej mierzona jest odległość wektora wejściowego

x od wektora wag Wi. Najczęściej stosowaną w tym przypadku miarą jest

S t r o n a | 27

miara euklidesowa lub iloczyn skalarny. Po wyznaczeniu odległości

wektorów neuron, który ma najmniejszą odległość wektora wag od sygnału

wejściowego na swoim wyjściu przyjmuje wartość 1, natomiast pozostałe

neurony na wyjściu przyjmują wartość 0. W związku z tym dla j-tego

neuronu zwycięzcy moŜna zapisać:

),(min),(1

i�i

j dd WxWx≤≤

= (42)

W procesie uczenia neuron zwycięzca podlega modyfikacji zmieniając

swoje wektory wag w kierunku wektora x(t) zgodnie z regułą:

)]()()[()()1( ttttt iii WxWW −+=+ η (43)

gdzie η jest wielkością kroku modyfikacji. W sieciach samoorganizujących

się warto zastosować normalizację wektorów wejściowych, gdyŜ brak

normalizacji moŜe doprowadzić do niespójnego podziału przestrzeni.

Normalizacja moŜe być dokonana przez redefinicję składowych wektora x

według wzoru:

∑=

=�

i

i

ii

x

xx

1

2 (44)

Celem uczenia sieci samoorganizujących się jest taki dobór wartości wag,

aby odległość wektora wejściowego x od wektora zwycięskiego była

moŜliwie najmniejsza.

Drugim typem sieci samoorganizujących się jest WTM. Algorytm

zwycięzca bierze większość (WTM) oprócz neuronu zwycięskiego

modyfikuje równieŜ wagi jego otoczenia (sąsiadów). Modyfikacja ta

najczęściej jest zaleŜna od odległości sąsiada od zwycięzcy. Najbardziej

znanym algorytmem WTM jest klasyczny algorytm Kohonena, który oblicza

odległości wszystkich neuronów od wektorów wejściowych, a następnie

S t r o n a | 28

znajduje zwycięzcę. Następnym etapem jest modyfikacja jego wag, a takŜe

wag jego sąsiadów według zaleŜności:

])[,()()1( iii iGtt WxxWW −+=+ η (45)

Funkcję sąsiedztwa G(i,x) definiujemy w postaci:

≤

=łych0

),(1),(

pozostadla

widdlaiG

λx (46)

W powyŜszym wzorze d(i,w) oznacza odległość euklidesową między

wektorami wag neuronu w (zwycięzcy) oraz i-tym neuronem z sąsiedztwa

G. Współczynnik λ jest promieniem sąsiedztwa, którego wartość wraz

z czasem uczenia maleje. Sąsiedztwo tego typu nazywane jest sąsiedztwem

prostokątnym.

W algorytmie Kohonena istnieje równieŜ drugi rodzaj sąsiedztwa,

który nazywa się sąsiedztwem gaussowskim. Taki rodzaj sąsiedztwa

powoduje, iŜ poszczególne neurony w róŜnym stopniu podlegają

modyfikacji i jest ona zaleŜna od funkcji Gaussa, a więc wraz ze wzrostem

odległości od zwycięzcy maleje wielkość korekty wag. Funkcja G(i,x) w tym

przypadku ma postać:

−=

2

2

2

),(exp),(

λwid

iG x (47)

Sąsiedztwo gaussowskie w porównaniu do sąsiedztwa prostokątnego

pozwala uzyskać o wiele lepsze rezultaty uczenia oraz lepszą organizację

sieci. [7] [8]

S t r o n a | 29

3. Narzędzia analizy.

3.1. Matlab

Matlab jest to produkt firmy The Mathworks Inc. z USA. Matlab jest

efektywnym i uniwersalnym językiem wysokiego poziomu, a takŜe bardzo

dobrym środowiskiem dla rozwoju algorytmów, wizualizacji danych oraz

obliczeń numerycznych. Korzystając z Matlaba moŜna rozwiązywać

problemy informatyczne szybciej niŜ robią to tradycyjne języki

programowania takie jak np. C, C++. Zaleta ta jest wynikiem tego, iŜ nie

ma potrzeby wykonywania zadań administracyjnych niskiego poziomu

takich jak deklarowanie zmiennych, określanie typów danych oraz

alokacja pamięci. W wielu przypadkach jedna linia kodu Matlaba jest

w stanie zastąpić kilka linii kodu C lub C++. Kod Matlaba moŜna

zintegrować z innymi językami i aplikacjami. Do ciekawych funkcji naleŜy

zaliczyć moŜliwość dokumentowania oraz rozpowszechniania efektów

swojej pracy (algorytmy, aplikacje). Język Matlaba obsługuje operacje na

wektorach i macierzach, które mają bardzo duŜe znaczenie dla inŜynierii

i problemów naukowych. W Matlabie dostępne są wszystkie funkcje

graficzne, które są wymagane przy wizualizacji danych naukowych

i technicznych. Są to funkcje do wykreślania wykresów 2-D oraz 3-D,

narzędzia do interaktywnego tworzenia wykresów. Matlab posiada takŜe

moŜliwość eksportowania wyników wizualizacji do wszystkich popularnych

formatów graficznych, takich jak GIF, JPG, BMP, TIFF, PNG, AVI i PCX.

W rezultacie czego wykresy moŜna wyeksportować do innych aplikacji

takich jak Microsoft Word i PowerPoint. Matlab jest wydajną platformą

dostępu do danych z plików, innych aplikacji, baz danych i urządzeń

zewnętrznych. MoŜna odczytać dane z popularnych formatów plików,

takich jak Microsoft Excel, tekst ASCII, a takŜe obrazu, dźwięków i plików

wideo oraz plików naukowych takich jak PDF i HDF5. Dodatkowe funkcje

umoŜliwiają odczytywanie danych ze stron internetowych i XML. Warto na

koniec dodać, Ŝe istnieją dodatkowe biblioteki (toolbox) jest to około 30

wyspecjalizowanych pakietów oprogramowania, dzięki którym Matlab

S t r o n a | 30

poszerza swoje zastosowania z zakresu automatyki, przetwarzania

sygnałów i obrazów, optymalizacji, inŜynierii finansowej, obliczeń

symbolicznych, sieci neuronowych, logiki rozmytej i wielu innych.

Podsumowując krótko poniŜej zostały wymienione jego kluczowe cechy [9]:

• Język wysokiego poziomu do obliczeń technicznych

• Środowisko programistyczne do zarządzania kodem, plikami oraz

danymi

• Interaktywne narzędzia do iteracyjnego poszukiwania,

projektowania i rozwiązywania problemów

• Funkcje matematyczne do algebry liniowej, statystyki, analizy

Fouriera, filtrowania i optymalizacji

• 2-D i 3-D funkcje graficzne do wizualizacji danych

• Narzędzia do budowania niestandardowych graficznych

interfejsów uŜytkownika

• Funkcje integracji Matlaba z algorytmami z zewnętrznych

aplikacji i języków, takich jak C, C++, Fortran, Java i Microsoft

Excel

3.2. Drtoolbox

Drtoolbox jest to w wolnym tłumaczeniu skrzynka narzędziowa

(z ang. toolbox, tool – narzędzia, box – skrzynka) do programu Matlab.

Narzędzie to słuŜy do redukcji wymiarowości i zawiera 31 róŜnych technik

redukcji wymiaru do Matlaba. Większość implementacji została

opracowana od samego początku, natomiast pozostałe implementacje są

udoskonalonymi wersjami oprogramowania, które były juŜ dostępne

w sieci. Drtoolbox moŜna pobrać ze strony internetowej

http://ticc.uvt.nl/~lvdrmaaten/dr/download.php. Oprócz technik

redukcji wymiarowości, drtoolbox zawiera implementacje 6 technik do

S t r o n a | 31

szacowania wymiarowości wewnętrznej, a takŜe posiada narzędzie do

generowania sztucznych danych. Dostęp do wszystkich tych wdroŜeń

zapewnia polecenie compute_mapping jednak w ostatniej wersji

drtoolboxa został dodany równieŜ interfejs graficzny. Z narzędzia tego

moŜna korzystać a takŜe modyfikować i rozpowszechniać w dowolny

sposób natomiast jedynie w celach niekomercyjnych. Obecnie drtoolbox

zawiera następujące techniki redukcji wymiarowości [10]:

• Principal Component Analysis (PCA)

• Probabilistic PCA

• Factor Analysis (FA)

• Sammon mapping

• Linear Discriminant Analysis (LDA)

• Multidimensional scaling (MDS)

• Isomap

• Landmark Isomap

• Local Linear Embedding (LLE)

• Laplacian Eigenmaps

• Hessian LLE

• Local Tangent Space Alignment (LTSA)

• Conformal Eigenmaps (extension of LLE)

• Maximum Variance Unfolding (extension of LLE)

• Landmark MVU (LandmarkMVU)

• Fast Maximum Variance Unfolding (FastMVU)

• Kernel PCA

• Generalized Discriminant Analysis (GDA)

• Diffusion maps

• Stochastic Neighbor Embedding (SNE)

• Symmetric SNE (SymSNE)

• t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding (t-SNE)

• Neighborhood Preserving Embedding (NPE)

• Locality Preserving Projection (LPP)

• Linear Local Tangent Space Alignment (LLTSA)

S t r o n a | 32

• Stochastic Proximity Embedding (SPE)

• Multilayer autoencoders (training by RBM + backpropagation or

by an evolutionary algorithm)

• Local Linear Coordination (LLC)

• Manifold charting

• Coordinated Factor Analysis (CFA)

• Gaussian Process Latent Variable Model (GPLVM)

3.3 Algorytm samoorganizujących się map SOM

Większa część pracy dotycząca wizualizacji danych opierała się

o dostępne w internecie darmowe narzędzie drtoolbox, które zostało

opisane w podrozdziale 3.2. Pomimo faktu, iŜ zawiera on 31 najbardziej

znanych technik redukcji wymiaru nie zawiera on algorytmu

samoorganizujących się map SOM. W związku z tym na potrzeby pracy

został zaimplementowany algorytm SOM, którego zasada działania została

opisana w podrozdziale 2.4. Cały algorytm samoorganizujących się map

powstał w środowisku Matlab. Jego główna część w zaleŜności od potrzeb

pozwala na wybranie danych, które chcemy wizualizować oraz wybór

rozmiaru mapy a takŜe liczby jej wymiarów tzn. czy ma ona być

jednowymiarowa czy dwuwymiarowa. Końcowa część pozwala na

utworzenie wykresu w postaci mapy róŜnokolorowych punktów

w zaleŜności od przynaleŜności danych do odpowiedniej klasy. KaŜda klasa

jest rysowana innym kolorem, a algorytm został opracowany dla 3 klas,

w związku z czym zostały zastosowane kolory z palety RGB (R – czerwony,

G – zielony, B – niebieski). Ewentualne zmiany koloru z czerwonego

i zielonego (w przypadku Iris równieŜ niebieskiego) na inny są wynikiem

nałoŜenia się barw i są proporcjonalne do zawartości przypadków danej

klasy w danym klastrze. Zaimplementowane samoorganizujące się mapy

oparte są o typ sieci WTM (zwycięzca bierze większość). Program składa się

z siedmiu funkcji, które razem tworzą samoorganizującą się mapę:

• skrypt.m – odpowiada za wczytanie danych, które chcemy

wizualizować, daje moŜliwość wyboru rozmiaru mapy oraz liczby

S t r o n a | 33

jej wymiarów. Na końcu zostały dopisane pozostałe metody

wizualizacji, aby za pomocą jednego skryptu otrzymywać

wszystkie wyniki.

• som.m – oblicza odległości wszystkich neuronów od wektorów

wejściowych, po czym znajduje zwycięzcę i modyfikuje jego wagi.

• findneighbours.m – zajmuje się znajdowaniem sąsiadów neuronu

zwycięzcy oraz aktualizowaniem ich wag

• normalizacja.m – przeprowadza normalizację dla wszystkich

wczytanych wektorów.

• odleglosc2.m – funkcja ta określa wybraną metrykę podczas

procesu samoorganizacji i na jej podstawie oblicza odległość

wektora wejściowego od wektora wag.

• plot_grid.m – odpowiada za rysowanie samoorganizującej się

mapy. Jej rozmiary określane są w funkcji skrypt.m.

• plotData.m – jest funkcją, która odpowiada za rysowanie

wizualizacji wykonanych pozostałymi metodami.

3.4. Wstępne przetwarzanie danych (standaryzacja/normalizacja)

W zastosowaniach praktycznych podczas klasyfikacji danych bardzo

waŜnym etapem jest wstępne przygotowanie danych. Jest to bardzo

istotna kwestia, poniewaŜ ma wpływ na szybkość uczenia modelu, a takŜe

na jego późniejsze uogólnienie. Biorąc pod uwagę modele klasyfikacyjne,

które uŜywają odległości jako miar podobieństwa bardzo częstym

przypadkiem jest, Ŝe poszczególne cechy przedstawiają jakieś stany

fizyczne na podstawie róŜnych wielkości fizycznych, które mają róŜne

zakresy wartości, w związku, z czym mogą one mieć róŜny wpływ na

odległość. Najbardziej znanymi metodami ujednolicającymi wpływ

poszczególnych cech do wartości odległości są standaryzacja oraz

normalizacja.

S t r o n a | 34

3.3.1. Standaryzacja

Standaryzacja jest to transformacja, która wykorzystuje rozkład

wartości w poszczególnych cechach.

( )xxx

xi

iii σ

−='

(48)

gdzie

∑=n

j

i

ji xn

x1

(49)

( ) ( )2

1

1 ∑ −−

=n

j

ij

ii xxn

xσ (50)

Wynik, jaki otrzymujemy po standaryzacji to wektor cech, którego wartość

średnia x = 0, natomiast odchylenie standardowe σ = 1, dzięki czemu

kaŜda cecha ma jednakowy wkład do wartości odległości. Podczas

stosowania standaryzacji naleŜy uwaŜać, gdyŜ w przypadku zastosowania

jej dla wektora cech, dla którego odchylenie standardowe jest bliskie zeru,

moŜe on wprowadzić do danych duŜy szum.

3.3.2 Normalizacja

Normalizacja przeprowadzana jest dla wszystkich wektorów treningowych

i testowych. Dla obu zbiorów uŜywane są te same wartości min_ix i max_ix .

Jest ona przeprowadzana według wzoru

min_max_

min_'

ii

ii

ixx

xxx

−

−= (51)

gdzie min_ix jest minimalną wartością występującą w zbiorze treningowym

dla i-tej cechy, natomiast max_ix jest maksymalną wartością dla i-tej cechy.

S t r o n a | 35

Wynikiem normalizacji są wektory, których wartości cech są zawarte

w przedziale [0, 1]. Normalizacja ta nie uwzględnia rozkładu danej cechy,

co za tym idzie, kiedy w danej cesze wystąpi wartość, która znacznie róŜni

się od wartości typowych, nastąpi ściśnięcie większości wartości w bardzo

wąskim przedziale.

S t r o n a | 36

4. Porównanie metod wizualizacji

4.1. Opis danych

Podczas porównywania metod wizualizacji wszystkie algorytmy

wizualizowały trzy róŜne zbiory danych i wszystkie te zbiory zostały

poddane redukcji wymiarów. Dane te w dwóch przypadkach zostały

sztucznie wygenerowane, a są to Swiss Roll oraz Helix. Kolejny trzeci zbiór

danych Iris oparty jest o składowe wymiary kwiatu irysa.

Swiss Roll jest to trójwymiarowy zbiór sztucznie utworzonych

danych. Zbiór tych danych składa się z 1000 punktów, a kaŜdy z nich

naleŜy do jednej z dwóch klas. Na rys. 7 został przedstawiony zbiór danych

Swiss Roll.

Rys. 7. Zbiór danych Swiss Roll

Kolejnym zbiorem, który został poddany redukcji wymiarów jest

zbiór Helix. Jest to równieŜ trójwymiarowy zbiór danych, który został

S t r o n a | 37

sztucznie wygenerowany. Składa się on z 2000 punktów i kaŜdy z nich

naleŜy do jednej z dwóch klas. Rys. 8 przedstawia zbiór danych Helix.

Rys. 8. Zbiór danych Helix

Zbiór Iris jest to zbiór danych, który opisuje 150 przypadków, które

naleŜą do jednej z trzech klas. Klasy te są róŜnymi gatunkami kwiatu

irysa. W przypadku tego zbioru są to gatunki setosa, versicolor oraz

virginica. Na kaŜdy gatunek irysa przypada 50 przypadków róŜnych

danych. Zbiór ten jest czterowymiarowy gdyŜ kaŜdy przypadek irysa

opisany jest przez cztery atrybuty, które określają składowe wymiary

kwiatów, a mianowicie długość listka kielicha, szerokość listka kielicha,

długość oraz szerokość płatka, wszystkie wymiary podane są w cm.

Na rys. 9. został przedstawiony zbiór danych Iris w przestrzeni

dwuwymiarowej na podstawie dwóch cech kwiatu (długości oraz

szerokości płatka).

S t r o n a | 38

1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5Oryginalne dane IRIS

Rys. 9. Zbiór danych Iris

4.2. Wyniki oraz ich interpretacja

Na podstawie danych przedstawionych w poprzednim podrozdziale

zostaną przedstawione wyniki redukcji wymiarów tych danych.

Przedstawione wyniki zostały uzyskane za pomocą czterech metod

redukcji wymiaru. Są to: analiza składowych głównych (PCA), liniowa

analiza dyskryminacyjna (LDA), skalowanie wielowymiarowe (MDS),

a dokładniej skalowanie metryczne oraz samoorganizujące się mapy

(SOM).

S t r o n a | 39

4.2.1. Wizualizacja zbioru Swiss Roll

PCA

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-15

-10

-5

0

5

10

15PCA

Rys. 10. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA

W przypadku wizualizacji zbioru Swiss Roll metodą analizy

składowych głównych uzyskane wyniki zostały przedstawione na wykresie

powyŜej. Analizując go moŜna stwierdzić, Ŝe metoda składowych głównych

nie poradziła sobie z wizualizacją tego zbioru danych.

S t r o n a | 40

LDA

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2LDA

Rys. 11. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA

Wizualizacja danych Swiss Roll za pomocą metody liniowej analizy

dyskryminacyjnej została przedstawiona na wykresie powyŜej. Uzyskane

wyniki pokazują, Ŝe metoda liniowej analizy dyskryminacyjnej poradziła

sobie przedstawiając dane Swiss Roll w dwóch wymiarach, jednocześnie

wyodrębniając dwie róŜne klasy, z jakich składa się ten zbiór. Na wykresie

widać dokładnie granicę pomiędzy tymi klasami i tak jak przewiduje

metoda LDA granice te powstały na podstawie separującej prostej

dyskryminacyjnej.

S t r o n a | 41

MDS

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6MDS

Rys. 12. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

Na powyŜszym wykresie przedstawione zostały wyniki wizualizacji

zbioru danych Swiss Roll za pomocą skalowania wielowymiarowego.

Analizując wykres moŜna stwierdzić, iŜ MDS dał bardzo podobny wynik do

PCA z jedyną taką róŜnicą, Ŝe wykres został obrócony o pewien kąt. Widać

więc, Ŝe skalowanie wielowymiarowe nie poradziło sobie z wizualizacja

danych Swiss Roll.

S t r o n a | 42

SOM

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

SOM

Rys. 13. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

Kolejny wykres zamieszczony powyŜej przedstawia wyniki

wizualizacji zbioru Swiss Roll za pomocą samoorganizujących się map.

Wyniki moŜna porównać z wynikami, które zostały uzyskane za pomocą

LDA, gdyŜ oba wykresy pokazują „pas” punktów w kolorze zielonym

następnie w czerwonym i znowu w zielonym (punkty, które mają inne

odcienie są miejscami, w których dane się nakładają na siebie i SOM nie

jest w stanie jednoznacznie określić, do której klasy one naleŜą).

Otrzymany rozkład danych jest bardzo podobny do rozkładu punktów,

który otrzymamy po obróceniu wykresu trójwymiarowego Swiss Roll w taki

sposób, aby dane moŜna było obserwować w rzucie na płaszczyznę X–Y

(Z=0). Uzyskanie takich wyników dla algorytmu SOM wymagało

wielokrotnych prób inicjalizacji algorytmu. W przypadku nieodpowiedniej

inicjalizacji moŜliwe było uzyskanie wyniku jak na rys. 14, na którym

widać, Ŝe SOM nie poradził sobie z wizualizacją i dał wynik, który

S t r o n a | 43

pozbawiony jest łatwej interpretacji, co wpływa na znaczne ograniczenie

moŜliwości zastosowań omawianego algorytmu.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20SOM

Rys. 14. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

S t r o n a | 44

4.2.2. Wizualizacja zbioru Helix

PCA

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4PCA

Rys. 15. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA

W przypadku wizualizacji zbioru Helix metodą analizy składowych

głównych uzyskane wyniki zostały przedstawiony na wykresie powyŜej.

Analizując ten wykres na podstawie oryginalnych danych moŜna

zauwaŜyć, iŜ redukcja wymiarów do przestrzeni dwuwymiarowej dała

obraz oryginalnych danych obserwowanych na wykresie trójwymiarowym

w rzucie na płaszczyznę X–Y (Z=0).

S t r o n a | 45

LDA

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5LDA

Rys. 16. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA

Na powyŜszym wykresie przedstawione zostały wyniki wizualizacji

danych Helix za pomocą liniowej analizy dyskryminacyjnej. Uzyskane

wyniki wskazują na fakt, iŜ oryginalne dane są dość skomplikowane dla

liniowej analizy dyskryminacyjnej w związku, z czym nie poradziła ona

sobie z wizualizacją tych danych w przestrzeni dwuwymiarowej.

S t r o n a | 46

MDS

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4MDS

Rys. 17. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

Wizualizacja zbioru danych Helix za pomocą skalowania

wielowymiarowego została przedstawiona na wykresie powyŜej.

Rozpatrując otrzymane wyniki moŜna stwierdzić, Ŝe skalowanie

wielowymiarowe dało prawie identyczny efekt jak analiza składowych

głównych, a więc wizualizacja danych w przestrzeni dwuwymiarowej

pokazuje rzut na płaszczyznę X–Y (Z=0). Porównując metodę MDS z PCA

warto zwrócić uwagę na to, iŜ róŜnice, jakie występują w wynikach

odnoszą się jedynie do skali, w jakiej zostały przedstawione dane. MoŜna

równieŜ zauwaŜyć, Ŝe MDS jest obrócony o niewielki kąt względem

wykresu PCA.

S t r o n a | 47

SOM

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2SOM

Rys. 18. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM w przestrzeni 1D

Na podstawie zbioru danych Helix za pomocą samoorganizujących

się map przygotowana została wizualizacja do przestrzeni

jednowymiarowej, która przedstawiona jest na wykresie powyŜej.

Analizując wyniki otrzymane w tej wizualizacji moŜna stwierdzić, Ŝe SOM

zadziałał prawidłowo. Jak widać na wykresach z metod PCA oraz MDS

dane co pewną wartość zmieniają klasę z zielonych na czerwone

i odwrotnie. SOM w tym przypadku właśnie w taki sposób przedstawił te

dane, czyli jako ciąg danych, w których co pewien okres pojawiają się

naprzemiennie dane z dwóch klas.

S t r o n a | 48

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30SOM

Rys. 19. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM w przestrzeni 2D

Na powyŜszym wykresie przedstawione zostały wyniki wizualizacji

danych Helix do przestrzeni dwuwymiarowej za pomocą metody SOM.

Uzyskane wyniki wskazują, iŜ istnieje pewna zaleŜność między danymi,

a mianowicie dane z obydwu klas zielonej i czerwonej w niektórych

miejscach łączą się, natomiast dane z tej samej klasy zawsze są

odseparowane od siebie. Widać jednak, Ŝe wyniki z przestrzeni

dwuwymiarowej są duŜo trudniejsze do zinterpretowania.

S t r o n a | 49

4.2.3. Wizualizacja zbioru Iris

PCA

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5PCA

Rys. 20. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA

W przypadku wizualizacji zbioru Iris metodą analizy składowych

głównych uzyskane wyniki zostały przedstawione na wykresie powyŜej.

Analizując go moŜna stwierdzić, Ŝe metoda składowych głównych bardzo

dobrze poradziła sobie z wizualizacją tych danych. Na wykresie doskonale

widać, Ŝe idealnie została wyodrębniona jedna klasa (jeden gatunek irysa).

Pozostałe dwie klasy (dwa gatunki irysa) równieŜ zostały dobrze

przedstawione i widać, Ŝe są to odrębne klasy natomiast w pewnym

zakresie klasy te się łączą, co świadczy o tym, Ŝe te dwa gatunki irysa są

w tym zakresie bardzo do siebie podobne.

S t r o n a | 50

LDA

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3LDA

Rys. 21. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA

Wizualizacja danych Iris za pomocą metody liniowej analizy

dyskryminacyjnej została przedstawiona na wykresie powyŜej. Uzyskane

wyniki pokazują, Ŝe metoda liniowej analizy dyskryminacyjnej bardzo

dobrze przedstawiła dane Iris w dwóch wymiarach, jednocześnie

wyodrębniając jeden gatunek irysa. Pozostałe dwa gatunki irysa zostały

równieŜ bardzo dobrze wyodrębnione z widoczną granicą, w której te

gatunki są do siebie bardzo podobne. Porównując metodę LDA do PCA

i MDS moŜna stwierdzić, iŜ te dwie klasy separują się duŜo lepiej niŜ przy

wykorzystaniu PCA i MDS.

S t r o n a | 51

MDS

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4MDS

Rys. 22. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

Na powyŜszym wykresie przedstawione zostały wyniki wizualizacji

zbioru danych Iris za pomocą skalowania wielowymiarowego. Analizując

wykres moŜna stwierdzić, iŜ MDS dał podobny wynik do PCA oraz LDA

z jedyną tylko róŜnicą, Ŝe wykres jest prawie lustrzanym odbiciem

pozostałych. Widać więc, Ŝe skalowanie wielowymiarowe równieŜ poradziło

sobie z wizualizacja danych Iris i uzyskało podobny efekt do poprzednich

metod.

S t r o n a | 52

SOM

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10SOM

Rys. 23. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

Wykres zamieszczony powyŜej przedstawia wyniki wizualizacji zbioru

Iris za pomocą samoorganizujących się map. Wyniki moŜna porównać

z tymi, które zostały uzyskane za pomocą pozostałych metod. Na siatce

danych bardzo dobrze został wyodrębniony gatunek irysa (kolor czerwony),

który jest odseparowany od pozostałych pustymi miejscami. Druga część

siatki zawiera pozostałe dwa gatunki irysa, które są rozdzielone natomiast

w pewnym zakresie danych znajdują się blisko siebie, co wskazuje na to,

iŜ w tym zakresie gatunki te są do siebie bardzo podobne.

S t r o n a | 53

4.3. Wnioski

Na podstawie uzyskanych wyników moŜna stwierdzić, Ŝe kaŜda

z przedstawionych metod, biorąc pod uwagę zbiór Iris, w bardzo dobry

sposób zwizualizowała te dane, jednak naleŜy podkreślić fakt, Ŝe zbiór

danych Iris jest jednym z prostszych zbiorów, dlatego metody te nie miały

trudności w redukcji wymiarów i dalszej wizualizacji. W przypadku

pozostałych zbiorów danych w zaleŜności od złoŜoności danych a takŜe

rodzaju zastosowanej metody, algorytmy te działały w róŜny sposób.

Na prostych stosunkowo danych Swiss Roll bez problemu poradziła sobie

metoda LDA, co ciekawe metody PCA oraz MDS nie przedstawiły

zadowalających wyników (w Ŝaden sposób nie da się zinterprepretować

uzyskanych wyników). Dla metody LDA trudnym zbiorem do wizualizacji

okazały się dane Helix i metoda ta nie poradziła sobie w ogóle

z wizualizacją tych danych. Algorytmy PCA oraz MDS w tym przypadku

przeprowadziły wizualizację poprawnie, co widać na zamieszczonych

w pracy wynikach. W przypadku metody SOM potrzebna była jej

wielokrotna inicjalizacja, dzięki temu przedstawiła ona spodziewane

wyniki, jednak wielokrotna inicjalizacja jest powaŜną wadą metody SOM,

gdyŜ nie mamy pewności, kiedy otrzymamy spodziewany wynik. Podczas

badań metody te kilkukrotnie były uruchamiane w celu sprawdzenia

nowych wyników. Na podstawie kilku prób, które zostały przeprowadzone

moŜna stwierdzić, iŜ metody PCA oraz LDA uruchamiane kilkukrotnie na

tych samych danych dawały ten sam wynik, natomiast metody MDS oraz

SOM po kaŜdej próbie dawały inny wynik (inne rozmieszczenie punktów)

jednak interpretacja tych wyników dawała zawsze taki sam efekt.

S t r o n a | 54

5. Opis procesu stalowniczego

W obecnych czasach podczas wytwarzania stali pod uwagę brane są

głównie dwa najwaŜniejsze procesy. Pierwszym z nich jest konwertor

tlenowy, który z udziałem złomu stalowego przerabia surówkę Ŝelaza

z wielkiego pieca na stal. Drugi sposób realizowany jest w stalowniach,

które wyposaŜone są w piece łukowe i dzięki zachodzącym w nich

procesom elektrycznym wytwarzana jest stal w oparciu o złom stalowy.

W pracy zostanie omówiony drugi sposób otrzymywania stali gdyŜ na jego

podstawie powstały dane, które będą analizowane w dalszej części pracy.

Rys. 24. Schemat technologiczny procesu elektrostalowniczego

Podczas wytapiania stali w elektrycznych piecach łukowych źródłem

ciepła jest łuk elektryczny, czyli ładunki elektryczne, które przepływają

przez zjonizowane powietrze. Nagrzewanie wsadu łukiem elektrycznym

moŜe odbywać się na dwa sposoby, a mianowicie w sposób pośredni, czyli

kiedy łuk płonie pomiędzy elektrodami oraz w sposób bezpośredni, gdy łuk

płonie pomiędzy elektrodami a wsadem. Najczęściej stosowane są piece,

które nagrzewają łukiem bezpośrednim, gdyŜ w przypadku tego

nagrzewania panują łagodniejsze warunki pracy. W skład takiego pieca

wchodzi kocioł wyłoŜony materiałem ogniotrwałym, w którym umieszczone

S t r o n a | 55

jest okno ŜuŜlowe, przez które zlewany jest ŜuŜel, a takŜe otwór spustowy

do zlania stali. Elektrody, które dostarczają energię elektryczną

przechodzą przez sklepienie z otworami, które obrócone na bok umoŜliwia

załadowanie do pieca złomu. Oprócz tego piec składa się z mechanizmu

przechylającego piec, urządzenia, które podnosi i opuszcza elektrody,

a takŜe układów elektrycznej regulacji i zasilania. Jako podstawowy wsad

do pieca stosowany jest złom stalowy, jednak podczas całego procesu

stosowane są równieŜ dodatki stopowe, nawęglacze, topniki, spieniacze

ŜuŜla oraz odtleniacze. Cały proces wytapiania stali moŜna przedstawić

w kilku podpunktach:

• Załadowanie wsadu do pieca

• Roztopienie wsadu

• ŚwieŜenie

• Ściągnięcie ŜuŜla

• Odtlenienie

• Korekta składu chemicznego (ewentualne wprowadzenie

dodatków stopowych)

• Odtlenianie Ŝelazokrzemem

• Spust stali do kadzi

• Naprawa pospustowa pieca

Po załadowaniu wsadu za pomocą kosza a następnie przykryciu kotła

sklepieniem zostają opuszczone elektrody i włączony zostaje prąd. W tym

momencie rozpoczyna się proces roztapiania wsadu, a następnie

świeŜenia, podczas których zachodzi utlenianie domieszek węgla, fosforu,

manganu, krzemu i innych. Po otrzymaniu wymaganych zawartości

pierwiastków w kąpieli oraz wymaganej temperatury następuje ściągnięcie

ŜuŜla i zlanie metalu do pieco-kadzi z jednoczesnym dodawaniem

S t r o n a | 56

przewidzianych dla danego gatunku stali dodatków stopowych. Bardzo

częstym przypadkiem podczas zlewania jest częściowa redukcja

i odtlenianie kąpieli.

Pieco-kadź jest przeznaczona do wykańczania i rafinacji ciekłej stali.

Urządzenie to pozwala nam na odsiarczanie, odtlenianie, końcową

regulację składu chemicznego oraz temperatury. Korzystanie z pieco-kadzi

przyczynia się do wzrostu wydajności stalowni oraz obniŜenia kosztów

produkcji stali. Urządzenie to składa się z kadzi z porowatą kształtką

w dnie, pokrywy chłodzonej wodą z otworami na elektrody grafitowe,

dozownika dodatków stopowych oraz transformatora zasilającego.

Aby przyspieszyć reakcje metalurgiczne oraz zapewnić dokładne

rozprowadzenie dodatków stopowych i ujednorodnić kąpiel stosowane jest

jej mieszanie. Efekt mieszania uzyskiwany jest poprzez wdmuchiwanie

przez kształtkę porowatą w dnie kadzi argonu. Podczas procesu w pieco-

kadzi bardzo waŜne jest wytworzenie odpowiedniego ŜuŜla

i niedopuszczenie ŜuŜla piecowego do wnętrza kadzi, gdyŜ posiada on

bardzo duŜe stęŜenie tlenków Ŝelaza i manganu, przez co stal nasyciłaby

się tlenem i tym samym ograniczyłaby się moŜliwość odsiarczenia kąpieli.

Po osiągnięciu końcowego składu stali moŜna przystąpić do procesu

ciągłego odlewania. [11] [12]

We współczesnych czasach metoda ciągłego odlewania stali stała się

jedną z najpopularniejszych metod, gdyŜ gwarantuje ona wysoką jakość,

największą wydajność oraz niskie koszta. Metoda ta działa na zasadzie

nieprzerwanego przesuwania się krzepnącego metalu w przelotowej formie

(krystalizator), która jest intensywnie chłodzona. Pomimo róŜnych typów

urządzeń do ciągłego odlewania ich funkcje są podobne. Stal z kadzi

odlewniczej wlewana jest do kadzi pośredniej, która moŜe mieć jeden lub

więcej wylewów, a dalej do jednego lub kilku krystalizatorów.

Krystalizatory posiadają podwójne ściany, pomiędzy którymi przepływa

woda, która je chłodzi (chłodzenie pierwotne). Po wyjściu z krystalizatora

wlewek o zakrzepłej zewnętrznej warstwie i o rdzeniu w stanie ciekłym

dostaje się do strefy chłodzenia wtórnego. W dalszej części wlewek dostaje

S t r o n a | 57

się pomiędzy rolki ciągnące, a następnie do strefy, w której znajdują się

urządzenia do cięcia na określone kawałki i dalej transportowane jest do

dalszej przeróbki. Na podstawie kształtu krystalizatora oraz geometrii

prowadzenia wlewka urządzenia COS podzielone zostały na pięć typów:

• Z prostym krystalizatorem i pionowym prowadzeniem wlewka

• Z prostym krystalizatorem i początkowo pionowym prowadzeniem

wlewka, który następnie jest gięty i odginany

• Z krystalizatorem łukowym lub rzadziej prostym i prowadzeniem

wlewka po łuku 10 – 12 m z jedno- lub wielopunktowym

odginaniem wlewka

• Z krystalizatorem łukowym i prowadzeniem wlewka wzdłuŜ

krzywej eliptycznej, pozwalającym na znaczne obniŜenie

urządzenia

• Poziome urządzenie COS

Metoda ciągłego odlewania stali wyparła metodę rozlewania stali do

wlewnic, poniewaŜ zwiększył się uzysk o ok. 20%, metoda ta potrzebuje

ok. 75% mniej energii do wyprodukowania jednostkowej ilości wyrobów

walcowanych. Dzięki wyeliminowaniu szeregu etapów potrzebnych przy

wytwarzaniu we wlewnicach cały cykl produkcyjny został skrócony,

a wprowadzona automatyzacja procesów pozwoliła na poprawę jakości

i powtarzalności wytwarzanego stopu. Na chwilę obecną technologia

ciągłego odlewania stali jest nadal rozwijana, czego dowodem jest

wytwarzanie profili walcowych, a takŜe bardzo duŜa ilość rozwiązań do

produkcji blach i taśm. [12] [13]

S t r o n a | 58

6. Wizualizacja danych procesu stalowniczego

6.1. Opis zbioru danych

Analizowany zbiór danych powstał na podstawie danych

pochodzących z procesu stalowniczego. Proces ten składa się z dwóch

etapów. Pierwsza część danych pochodzi z pierwszego etapu, w którym

w elektrycznym piecu łukowym (EAF) topi się złom za pomocą łuku

elektrycznego. W momencie, w którym temperatura oraz skład chemiczny

stali są odpowiednie, stal jest zlewana do pieco-kadzi. Jednak przed

rozpoczęciem drugiego etapu potrzebne jest odtlenienie stali. W związku

z tym do stali wprowadzane są odtleniacze na dwa sposoby albo

bezpośrednio przed zlaniem stali odtleniacze są umieszczane w kadzi,

drugim sposobem jest dodawanie odtleniaczy do strumienia stali zlewanej

do pieco-kadzi. Najczęściej stosowanymi odtleniaczami są aluminium,

krzem i mangan. Reszta danych w zbiorze opisuje drugi etap procesu

produkcji stali (LHF). Podczas drugiego etapu produkcji stali dodawane są

inne dodatki w celu optymalizacji składu stali tak, aby spełniały wymogi

specyfikacji oraz wymagań klienta. Zbiór danych do wizualizacji zawiera

informacje o stali, która ma kod nr 65, co odpowiada gatunkowi

S235JRG2, który dzieli się na dwa podgatunki o nr 214 oraz 215.

Wizualizacji poddano dwa niezaleŜne zbiory nazwane data1 oraz data2,

róŜniące się ilością informacji – ilością zmiennych opisujących badany

proces.

PoniŜej zostały opisane zmienne stanowiące cechy badanego zbioru.

Kolumna 1: zmienne wyjściowe:

Gatunek stali

Kolumny 2-70: zmienne wejściowe opisujące zbiór data2

eaf_Time - znormalizowany czas procesu EAF

eaf_Celx - ilość tlenu w stali (w ppm)

eaf_Tmp - ostatni pomiar temperatury w procesie EAF

eaf_C - ilość węgla w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

S t r o n a | 59

eaf_Mn - ilość manganu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Si - ilość krzemu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_P - ilość fosforu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_S - ilość siarki w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Cr - ilość chromu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Ni - ilość niklu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Cu - ilość miedzi w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Mo - ilość molibdenu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Al - ilość aluminium w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_V - ilość wanadu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Sn - ilość cyny w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_As - ilość arsenu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Ca - ilość wapnia w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_N2 - ilość azotu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Cq - współczynnik

eaf_A1 - współczynnik

eaf_Nb - ilość niobu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Co - ilość kobaltu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_B - ilość boru w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Pb - ilość ołowiu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Zr - ilość cyrkonu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

eaf_Zn - ilość cynku w produkcji stali (w%) w ostatniej analizie procesu

EAF

eaf_Sb - ilość antymonu w stali (w%) w ostatniej analizie procesu EAF

lhf_Time - znormalizowany czas procesu LHF

lhf_Tmp - znormalizowana temperatura procesu LHF

lhf_C - ilość węgla w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Mn - ilość manganu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Si - ilość krzemu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_P - ilość fosforu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_S - ilość siarki w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Cr - ilość chromu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Ni - ilość niklu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

S t r o n a | 60

lhf_Cu - ilość miedzi w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Mo - ilość molibdenu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Al - ilość aluminium w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Ti - ilość tytanu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_V - ilość wanadu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Sn - ilość cyny w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_As - ilość arsenu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Ca - ilość wapnia w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_N2 - ilość azotu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Cq - współczynnik

lhf_Al - współczynnik

lhf_Nb - ilość niobu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Co - ilość kobaltu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_B - ilość boru w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Pb - ilość ołowiu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Zr - ilość cyrkonu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Zn - ilość cynku w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

lhf_Sb - ilość antymonu w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

btm_Al - ilość aluminium w stali (w%) w pierwszej analizie procesu LHF

btm_Carb - ilość węgla umieszczona na dnie kadzi (w kg/Mg stali)

btm_FeSi - ilość Ŝelazokrzemu umieszczona na dnie kadzi (w kg/Mg stali)

btm_SiC - ilość węglika krzemu umieszczona na dnie kadzi (w kg/Mg stali)

btm_Woll - ilość wollastonitu umieszczona na dnie kadzi (w kg/Mg stali)

cast_Carb - ilość węgla wprowadzona do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_Baux - ilość boksytu wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_CaF2 - ilość fluorytu wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_FeCr - ilość wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_FeMn - ilość wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_FeSi - ilość Ŝelazokrzemu wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_FeSiMn - ilość Ŝelazokrzemomanganu wprowadzana do strumienia

(w kg/Mg stali)

cast_SiC - ilość węglika krzemu wprowadzana do strumienia (w kg/Mg

stali)

S t r o n a | 61

cast_Ca - ilość wapnia wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

cast_Woll - ilość wollastonitu wprowadzana do strumienia (w kg/Mg stali)

Kolumny 71 - 81: zmienne wejściowe – dodatkowe zmienne rozszerzające

zbiór data2, tworzące zbiór data1

C - ilość węgla dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Si - ilość krzemu dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Mn - ilość manganu dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

P - ilość fosforu dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

S - ilość siarki dodana do proces LHF (w kg/Mg stali)

Al - ilość aluminium dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Cr - ilość chromu dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

V - ilość wanad dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Cu - ilość miedzi dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Zn - ilość cynku dodana proces LHF (w kg/Mg stali)

Nb - ilość niobu dodana do procesu LHF (w kg/Mg stali)

Celem procesu wizualizacji było zaprezentowanie w przestrzeni

dwuwymiarowej rozkładu danych dla obydwu podgatunków stali

w zaleŜności od opisanych powyŜej zmiennych. Na tej podstawie zostały

określone dwa niezaleŜne zbiory o nazwach data1 oraz data2. Zbiór data1

zawiera cechy o nr 2 do 81, natomiast zbiór data2 cechy 2 do 71. Zbiór

pierwszy reprezentował więc zaleŜność podgatunku stali w zaleŜności od

informacji pochodzących z procesu EAF oraz LHF, natomiast data2 został

pomniejszony o całkowitą ilość dodatków chemicznych dodanych w trakcie

trwania procesu LHF (zmienne 71 do 81) czyli zawierał on tylko informacje

z początkowej części procesu LHF (skład chemiczny po dodaniu dodatków

na dno i podczas spustu stali do kadzi).

S t r o n a | 62

6.2. Wyniki oraz ich interpretacja

6.2.1. Wizualizacja zbioru data1

PCA

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1PCA

Rys. 25. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA

W przypadku wizualizacji zbioru data1 metodą analizy składowych

głównych uzyskane wyniki został przedstawiony na wykresie powyŜej.

Analizując ten wykres moŜna zauwaŜyć, iŜ redukcja wymiarów do

przestrzeni dwuwymiarowej podzieliła dane na dwie klasy (podgatunki).

Na wykresie widać doskonale, Ŝe istnieje duŜa grupa podgatunku, który

łatwo moŜna zidentyfikować, jednak widać równieŜ, Ŝe pojawiły się tam

dwa punkty, odpowiadające podgatunkowi 214 (kolor czerwony) oznaczone

na wykresie ”o”. W drugiej części wykresu widać, Ŝe dane w pewnych

zakresach moŜna rozseparować, natomiast istnieje zakres, w którym

bardzo silnie nakładają się na siebie, co świadczy o tym, Ŝe dane te mają

bardzo podobny opis numeryczny procesu. Reasumując moŜna stwierdzić,

S t r o n a | 63

Ŝe pomimo faktu, iŜ jest to stal tego samego gatunku domieszkowanie

realizowane jest w zasadniczo róŜny sposób.

LDA

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5LDA

Rys. 26. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA

Wizualizacja zbioru data1 za pomocą algorytmu liniowej analizy

dyskryminacyjnej pozwala w jeszcze większym stopniu rozseparować

obydwa podgatunki stali. Tym samym widać, iŜ część wytopów

podgatunku nr 215 (punkty w kolorze zielonym) prawdopodobnie spełniała

wymagania podgatunku 214 (punkty w kolorze czerwonym) i była

w podobny sposób domieszkowana, co podgatunek 214.

S t r o n a | 64

MDS

-1 -0.5 0 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6MDS

Rys. 27. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

Wizualizacja zbioru danych data1 za pomocą skalowania

wielowymiarowego została przedstawiona na wykresie powyŜej.

Rozpatrując otrzymane wyniki moŜna stwierdzić, Ŝe skalowanie

wielowymiarowe dało bardzo dobry efekt, gdyŜ bardzo dobrze udało się

rozseparować obydwa podgatunki. Pomimo, Ŝe dane nakładają się na dość

duŜej powierzchni łatwo jednak zauwaŜyć, Ŝe nie są one tak

skoncentrowane w jednym miejscu jak w przypadku metody LDA oraz

PCA.

S t r o n a | 65

SOM

0 5 10 150

5

10

15SOM

Rys. 28. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

Na podstawie wizualizacji zbioru danych data1 za pomocą

samoorganizujących się map przygotowana została wizualizacja

przedstawiona na wykresie powyŜej. Analizując wyniki otrzymane w tej

wizualizacji moŜna stwierdzić, Ŝe SOM zadziałał prawidłowo. Porównując

uzyskane wyniki do otrzymanych z metod PCA oraz MDS widać, Ŝe SOM

odseparował dane z jednego podgatunku, białe punkty pokazują, Ŝe dane,

są rozdzielony pustą przestrzenią od pozostałych danych. W przypadku

drugiego podgatunku widać, Ŝe istnieją miejsca gdzie został on wyróŜniony

jednak widać równieŜ, Ŝe podgatunki te są w pewnym zakresie bardzo

podobne i nakładają się na siebie (punkty, które mają inne odcienie są

miejscami, w których dane się nakładają na siebie i SOM nie jest w stanie

jednoznacznie określić, do której klasy one naleŜą, a poziom zaciemnienia

jest proporcjonalny do stopnia czystości danego neuronu sieci SOM).

S t r o n a | 66

6.2.2. Wizualizacja zbioru data2.

PCA

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1PCA

Rys. 29. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA

W przypadku wizualizacji zbioru data2 metodą analizy składowych

głównych uzyskane wyniki zostały przedstawione na wykresie powyŜej.

Analizując go moŜna stwierdzić, Ŝe wygląda prawie identycznie jak

w przypadku danych data1 są jednak drobne róŜnice a mianowicie dane są

trochę gorzej rozseparowane i przedstawione zostały tak jakby były odbite

symetrycznie względem osi x.

S t r o n a | 67

LDA

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10LDA

Rys. 30. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA

Wizualizacja danych data2 za pomocą metody liniowej analizy

dyskryminacyjnej została przedstawiona na wykresie powyŜej. Uzyskane

wyniki pokazują, Ŝe metoda liniowej analizy dyskryminacyjnej bardzo

podobnie przedstawiła dane w porównaniu do data1. RóŜnice polegają na

tym, Ŝe wykres ten jest przekręcony o 90o a dane duŜo intensywniej

nakładają się na siebie, przez co trudne jest ich rozseparowanie.

S t r o n a | 68

MDS

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6MDS

Rys. 31. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

Na powyŜszym wykresie przedstawione zostały wyniki wizualizacji

zbioru danych data2 za pomocą skalowania wielowymiarowego. Analizując

wykres moŜna stwierdzić, iŜ MDS nie przedstawił tych danych tak dobrze

jak to zrobił w przypadku zbioru data1. Widać tutaj, Ŝe jeden podgatunek

został dobrze rozseparowany w dolnej części wykresu jednak pozostała

część bardzo mocno jest ze sobą powiązana.

S t r o n a | 69

SOM

0 5 10 150

5

10

15SOM

Rys. 32. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

Wykres zamieszczony powyŜej przedstawia wyniki wizualizacji zbioru

data2 za pomocą samoorganizujących się map. Wyniki moŜna porównać

z pozostałymi otrzymanymi z innych metod. Na siatce danych widać, Ŝe

jeden podgatunek się odseparował natomiast na drugiej połowie siatki

widać nakładające się oba podgatunki, co świadczy o tym, Ŝe istnieją

znikome róŜnice między tymi podgatunkami.

6.3. Wnioski

Na podstawie uzyskanych wyników moŜna powiedzieć, Ŝe wszystkie

metody potrafiły zwizualizować dane z tego procesu stalowniczego. Warto

jednak wspomnieć, iŜ miały one lepsze i gorsze wyniki. Dla zbioru data1

z punktu widzenia problemu klasyfikacyjnego rozróŜnienia poszczególnych

podgatunków stali w zaleŜności od ilości zuŜytych dodatków stopowych

oraz składu chemicznego, najlepszymi właściwościami charakteryzowała

S t r o n a | 70

się metoda LDA. Na uzyskanym wykresie, który został przedstawiony na

rys. 26 bardzo dobrze uwydatniona jest separacja obydwu podgatunków.

Niestety na podstawie analizy otrzymanej wizualizacji danych data2 nie

moŜna stwierdzić takiego samego wniosku, gdyŜ moŜliwość analizy

uzyskanego wykresu jest silnie ograniczona. W przypadku obydwu zbiorów

danych bardzo dobrze poradziły sobie równieŜ metody PCA i MDS, jednak

w przypadku danych data1 wyniki były nieco gorsze w porównaniu do

metody LDA. Warto równieŜ nadmienić, iŜ wyniki uzyskane za pomocą

algorytmu MDS sprawiają wraŜenie jakby miały mniejszą zdolność

dyskryminacji niŜ wyniki uzyskane za pomocą algorytmu PCA.

W przypadku metody SOM uzyskane wyniki dla obydwu zbiorów są

porównywalne, jednak widoczne jest silniejsze nakładanie się obydwu klas

w przypadku zbioru danych data2, co uwydatnione jest poprzez analizę

liczby neuronów w przestrzeni dwuwymiarowej o barwie róŜnej od czystego

czerwonego i zielonego. Z uwagi na fakt, iŜ charakterystyczną właściwością

wizualizacji za pomocą sieci SOM jest zachowanie topologii danych,

analizując punkty niezabarwione – neurony, do których nie naleŜy Ŝaden

przypadek (wytop), moŜe wskazywać, iŜ obszar danych zawiera

podobszary, które nie separują róŜnych lokalnych grup danych. Analizując

wyniki wizualizacji uzyskane metodą PCA moŜna odnieść wraŜenie, iŜ

zbiór data1 miał większe własności dyskryminacyjne w porównaniu do

danych data2. PoniewaŜ zbiór data1 stanowił jedynie rozszerzenie zbioru

data2, moŜna więc wyciągnąć wniosek, iŜ na rozróŜnienie podgatunków

stali S235JRG2 bardzo duŜe znaczenie ma wprowadzanie dodatków

stopowych bezpośrednio podczas trwania procesu LHF. Uwzględnienie

kolejnych etapów prowadzenia procesu LHF prowadzi do lepszego

rozseparowania się obydwu klas (podgatunków). Wykorzystanie metod

wizualizacji danych wielowymiarowych daje dodatkową moŜliwość

wychwytywania nietypowych wytopów. Przykładem tego są punkty

oznaczone ”o” na rys. 25 oraz rys. 29, gdzie widać, iŜ zaznaczone wytopy

znacząco odbiegają od pozostałych przypadków, co moŜe świadczyć

o nietypowości prowadzenia procesu obróbki pozapiecowej tych dwóch

wytopów.

S t r o n a | 71

7. Podsumowanie i wnioski

Wizualizacja jest bardzo waŜnym elementem, który wykorzystywany

jest w eksploracji danych oraz w celu prezentacji wielowymiarowych

danych. Dzięki wizualizacji duŜo łatwiej odkryć pewne informacje

(zaleŜności między zmiennymi), a takŜe zrozumieć związki, jakie zachodzą

wewnątrz tych danych. Bardzo waŜne jest równieŜ to, Ŝe w większości

przypadków dane po zredukowaniu pokazują duŜo więcej informacji niŜ

przed redukcją. Celem pracy było porównanie metod redukcji

wymiarowości w zastosowaniu do wizualizacji danych wielowymiarowych

procesu stalowniczego na przykładzie wizualizacji sposobu prowadzenia

procesu obróbki pozapiecowej stali w zaleŜności od jej podgatunku.

Cel został osiągnięty, gdyŜ na podstawie wizualizacji moŜna zobaczyć

i zrozumieć, co przedstawiają dane oraz jakie relacje zachodzą pomiędzy

dwoma róŜnymi podgatunkami stali S235JRG2 w zaleŜności od sposobu

prowadzenia procesu stalowniczego zarówno na etapie EAF jak i LHF.

Wyniki pokazują, Ŝe kwestia doboru metody wizualizacji jest

uzaleŜniona od problemu. Dla jednych danych wybrana metoda będzie

działała lepiej, natomiast dla innych gorzej. W przypadku analizy

składowych głównych PCA oraz liniowej analizy dyskryminacyjnej LDA

uzyskane wyniki są deterministyczne i nie zaleŜą od inicjalizacji metod.

RozwaŜając natomiast skalowanie wielowymiarowe MDS oraz

samoorganizujące się mapy SOM moŜna stwierdzić, iŜ są one zaleŜne od

sposobu inicjalizacji, co moŜe prowadzić do uzyskania zupełnie róŜnych

wyników często reprezentowanych w przestrzeni dwuwymiarowej

w zupełnie inny sposób.

Dla zbioru data1 najlepszymi właściwościami charakteryzowała się

metoda LDA, która bardzo dobrze uwydatniła separacje obydwu

podgatunków, jednak w przypadku danych data2 moŜliwość analizy

otrzymanych wyników została silnie ograniczona. Metody PCA i MDS

bardzo dobrze poradziły sobie na obydwu zbiorach, jednak dały słabszy

wynik niŜ metoda LDA w przypadku danych data1. Wizualizacja danych za

pomocą metody SOM w obu przypadkach dała porównywalne wyniki,

S t r o n a | 72

jednak dla zbioru danych data2 widoczne jest silniejsze nakładanie się

obydwu klas. Na podstawie otrzymanych wyników moŜna wyciągnąć

wniosek, iŜ uwzględnienie kolejnych etapów prowadzenia procesu LHF

prowadzi do lepszego rozseparowania się obydwu podgatunków.

Bardzo często zdarza się tak, Ŝe ogrom otaczających nas danych

przerasta nas, a wtedy bardzo łatwo o pomyłkę. NaleŜy pamiętać, Ŝe nie

wszystkie dane da się zredukować i zwizualizować i nie naleŜy robić tego

bez zastanowienia.

S t r o n a | 73

Bibliografia

1. Gramacki J., Gramacki A., Wybrane metody redukcji wymiarowości

danych oraz ich wizualizacji, Uniwersytet Zielonogórski 2008

2. Krzyśko M., Systemy uczące się: rozpoznawanie wzorców, analiza skupień i redukcja wymiarowości, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne

2008

3. Ostasiewicz W., Statystyczne metody analizy danych, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej 1998

4. Jajuga K., Statystyczna analiza wielowymiarowa, Wydawnictwo

Naukowe PWN 1993

5. Koronacki J., Ćwik J., Statystyczne systemy uczące się, Wydawnictwo

Naukowo-Techniczne 2005

6. Morrison D.F., z j. angielskiego przełoŜył Zieliński W., Wielowymiarowa

analiza statystyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 1990

7. Osowski S., Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Wydawnictwo

Naukowo-Techniczne 1996

8. Rutkowski L., Metody i techniki sztucznej inteligencji, Wydawnictwo

Naukowe PWN 2006

9. http://www.mathworks.com/products/matlab/, Matlab – The

Language Of Technical Computing, 20 sierpień 2009

10. http://ict.ewi.tudelft.nl/~lvandermaaten/Matlab_Toolbox_for_Dimensi

onality_Reduction.html, Matlab Toolbox for Dimensionality Reduction,

20 sierpień 2009

11. Pyka M., Analiza procesu wytapiania stali w piecu łukowym i obróbki pozapiecowej z zastosowaniem hybrydowego systemu ekspertowego,

Praca doktorska, Politechnika Śląska 2006

12. Cholewa M., Gawroński J., Przybył M., Podstawy procesów

metalurgicznych, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej 2004

13. Lis T., Współczesne metody otrzymywania stali, Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej 2000

S t r o n a | 74

Spis rysunków

Rys. 1. Wykres piargowy.........................................................................10

Rys. 2. Dopasowanie połoŜenia układu osi głównych składowych do

konfiguracji punktów reprezentujących obiekty. ............................11

Rys. 3. Obserwacje trzech klas rozdzielone półprostymi........................13

Rys. 4. Przykładowa mapa Kohonena, ma ona postać siatki prostokątnej

o wymiarze 4 x 4 ..............................................................................24

Rys. 5. Ilustracja przykładowej adaptacji wag w sieci Kohonena .............25

Rys. 6. Sieć samoorganizująca się typu WTA ..........................................26

Rys. 7. Zbiór danych Swiss Roll..............................................................36

Rys. 8. Zbiór danych Helix .....................................................................37

Rys. 9. Zbiór danych Iris ........................................................................38

Rys. 10. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA 39

Rys. 11. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA 40

Rys. 12. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS

........................................................................................................41

Rys. 13. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

........................................................................................................42

Rys. 14. Swiss Roll wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM

........................................................................................................43

Rys. 15. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA ........44

Rys. 16. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA........45

Rys. 17. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS.......46

Rys. 18. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM w

przestrzeni 1D .................................................................................47

Rys. 19. Helix wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM w

przestrzeni 2D .................................................................................48

Rys. 20. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA...........49

Rys. 21. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA...........50

Rys. 22. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS..........51

Rys. 23. Iris wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM..........52

Rys. 24. Schemat technologiczny procesu elektrostalowniczego ..............54

Rys. 25. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA .......62

S t r o n a | 75

Rys. 26. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA .......63

Rys. 27. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS ......64

Rys. 28. Data1 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM ......65

Rys. 29. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą PCA........66

Rys. 30. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą LDA .......67

Rys. 31. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą MDS ......68

Rys. 32. Data2 wyniki redukcji wymiarów uzyskane za pomocą SOM ......69