Somma di numeri floating point Algoritmi di ...arcb/AA00-01/SLIDES/lezione4-due.pdf · Moltiplicazione tra numeri interi (secondo algoritmo) Il primo algoritmo di moltiplicazione

Somma di numeri floating point

Algoritmi di moltiplicazione e divisione pernumeri interi

Standard IEEE754

" Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit)

si riescono a rappresentare numeri 2.010 • 2-38 ÷ 2.010 •

238

" Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit)

si riescono a rappresentare numeri 2.010 • 2-308 ÷ 2.010 •

2308

Standard IEEE754

Lo standard IEEE754 sceglie di:

" rendere d0 = 1 implicito, mettendo un circuito che somma automaticamente 1 alla cifra espressa dalla mantissa.

" usare la notazione polarizzata per rappresentare l’esponente: essa consente di ordinare e confrontare gli esponenti in modo facile

- Singola precisione: polarizzazione pari a 127 = 011111112 - Doppia precisione: polarizzazione pari a 1023 = 011111111112

" riservare l’esponente 00...0 per rappresentare lo zero" riservare l’esponente 11...1 per casi particolari (fuori dall ’ insieme dei valori rappresentabili )

Standard IEEE754

Per leggere un numero in notazione polarizzata si usa la regola:

(-1)S•(1+m)•2(e - polazizzazione)

Esempio: Quale numero decimale rappresenta la seguente sequenza di bit,letta secondo lo standard IEEE754?

esponente: 100011012 = 128+8+4+1=14110mantissa: 1+0.100112 = 1+0.59375 = 1.5937510Quindi il numero è: 1.5937510 • 2

(141 - 127) = 1.5937510 • 214

Standard IEEE754

Per scrivere un numero in notazione polarizzata bisogna ricordarsi di:" non rappresentare la parte intera della mantissa (il bit 1 prima della virgola)" aggiungere all ’esponente la polarizzazione

Esempio: scrivere - 10. 62510 in notazione floating point, usando lostandard IEEE754

- 10. 62510 = - (10 + 0.5 +0.125) = - (10 + 1/2 + 1/8) = = - 1010. 1012 = - 1. 010101 • 23 = = (-1)1 • (1 + 0.010101) • 2(3+127)

= (-1)1 • (1 + 0.010101) • 2(130)

Somma di numeri razionali in virgola mobile

Algoritmo che esegue la sommadi due numeri razionali :

Esempio: eseguire 510 + 3.62510assumendo una precisione di 4 bit

510 = 1012 = 1.01 • 22

3.62510 = 11.1012• 20 = 1.1101• 21

= 0.11101• 22

Allora: 1.01000 + 0.11101 = ---------------- 10.00101 • 22

Normalizzazione: 1.000101 • 23

Arrotondamento: 1.0001 • 23


Esercizio: eseguire la somma di

+



La limitatezza della precisione dell ’aritmetica dei calcolatori porta ad avere deiproblemi con le proprietà delle operazioni aritmetiche.

Ad esempio, la somma in virgola mobile non è associativa, cioè, in generale, non èvero che x+(y+z) = (x+y)+z

I problemi nascono quando si vogliono sommare due numeri molto grandi di segnoopposto, con altro un numero molto piccolo

x = 1.510 • 1038

y = - 1.510 • 1038 con x,y,z espressi in singola precisionez = 1.010

x+(y+z) = -1.5 • 1038 + (1.5 • 1038 + 1.0) = -1.5 • 1038 + 1.5 • 1038 = 0.010

(x+y)+z = ( -1.5 • 1038 + 1.5 • 1038 ) + 1.0 = 0.0 + 1.0 = 1.010

Moltiplicazioni e divisioni tra numeri interi

Abbiamo visto che le ALU sono in grado di eseguire operazioni di

sommasottrazionesaltoconfrontooperazioni logiche: AND e OR

Ma ci sono altre due operazioni fondamentali che devono essereimplementate: MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE di numeri interi

Vediamo come vengono realizzate...

Moltiplicazione tra numeri interi

Come funziona l’algoritmo “carta e penna” per la moltiplicazione ?

105 * Moltiplicando 204 = Moltiplicatore --------- 420 000 210---------- 21420 Prodotto

I passi dell ’algoritmo sono i seguenti :

" considerare le cifre del moltiplicatore una alla volta, da destra a sinistra" moltiplicare il moltiplicando per la singola cifra del moltiplicatore" scalare il prodotto intermedio di una cifra alla volta verso sx rispetto ai precedenti prodotti intermedi ottenuti" il prodotto si ottiene dalla somma di tutti i prodotti intermedi


Cosa succede in base 2 ?

1011 * Moltiplicando 1110 101 = Moltiplicatore 510 --------- 1011 0000 1011---------- 110111 Prodotto 5510

Osservazioni:" il numero delle cifre del prodotto è molto più grande rispetto alle cifre del moltiplicatore e del moltiplicando. Ignorando i bit di segno si ha: moltiplicatore (n bit) moltiplicando (m bit) ==> prodotto (n+m bit)" Poichè si vogliono rappresentare sia gli operandi che il risultato delle operazioni su 32 bit bisogna fare attenzione ai casi di OVERFLOW !



1011 * Moltiplicando 1110 101 = Moltiplicatore 510 --------- 1011 0000 1011---------- 110111 Prodotto 5510

Osservazioni: (continua)" Poichè ci sono solo le cifre 0 e 1 ogni passo della moltiplicazione viene sempli ficato - si mette una copia del moltiplicando nella posizione opportuna se la cifra “corrente” del moltiplicatore è 1 - si mette 0 in posizione opportuna se la cifra corrente del moltiplicatore è 0

Moltiplicazione tra numeri interi (primo algoritmo)

Si basa su:" shift a destra del moltiplicatore per considerare, una alla volta, tutte le sue cifre (dalla meno significativa alla più significativa)" shift a sinistra del moltiplicando per rappresentare correttamente i prodotti parziali

Moltiplicando Moltiplicatore Prodotto 1011 0101 0000 1011 0101 1011 10110 0010 1011 10110 0010 1011 101100 0001 1011 101100 0001 110111 1011000 0000 110111 1011000 0000 11011110110000 0000 110111

Moltiplicazione tra numeri interi (primo algoritmo)

Il circuito che implementa l’algoritmo della pagina precedente ? :

Moltiplicazione tra numeri interi (secondo algoritmo)

Il primo algoritmo di moltiplicazione usa un registro a 64bit per il moltiplicando e,conseguentemente, una ALU a 64bit per la somma

Infatti, Il moltiplicando viene scalato a sinistra di una cifra ad ogni passo,in modo da non influenzare i bit meno significativi del prodotto

Il secondo algoritmo, invece, per arrivare allo stesso obiettivo, prevededi scalare il prodotto a destra

In tal modo il moltiplicando può restare fisso e quindi sono necessarisolo 32bit sia per corrispondente registro che per la ALU

Risultato: il circuito diventa più semplice e la moltiplicazione più veloce

Vediamo in dettaglio il secondo algoritmo:


Si basa su:" shift a destra del moltiplicatore per considerare, una alla volta, tutte le sue cifre (dalla meno significativa alla più significativa)" shift a destra del prodotto per non influenzare le cifre meno significative dei prodotti parziali" ad ogni passo vengono sommati solo i 32bit più significativi del prodottoMoltiplicando Moltiplicatore Prodotto 1011 0101 00000000 1011 0101 10110000 1011 0010 01011000 1011 0010 01011000 1011 0001 00101100 1011 0001 11011100 1011 0000 01101110 1011 0000 01101110 1011 0000 00110111


Il circuito che implementa il secondo algoritmo per la moltiplicazione è:

Moltiplicazione tra numeri interi (terzo algoritmo)

Il secondo algoritmo spreca inizialmente i 32bit bassi del prodotto, che sonoesattamente lo spazio necessario per memorizzare il moltiplicatore

Man mano che lo spazio sprecato del prodotto diminuisce (per via dello shift adestra) diminuiscono anche le cifre significative del moltiplicatore

Il terzo algoritmo prevede quindi la memorizzazione del moltiplicatorenella parte bassa del prodotto

Con questa soluzione:

" si elimina un registro (quello che prima memorizzava il moltiplicatore)

" il test sulla cifra del moltiplicatore da considerare ad ogni passo diventa il test sul bit meno significativo del prodotto

Vediamo nei dettagli il terzo (e ultimo!! !) algoritmo per la moltiplicazione...


Si basa su:" memorizzazione del moltiplicatore nella parte bassa del prodotto" shift a destra del prodotto per non influenzare le cifre meno significative dei prodotti parziali" ad ogni passo vengono sommati solo i 32bit più significativi del prodotto

Moltiplicando Prodotto 1011 00000101 1011 10110101 1011 01011010 1011 01011010 1011 00101101 1011 11011101 1011 01101110 1011 01101110 1011 00110111


Il circuito che implementa il terzo algoritmo per la moltiplicazione è:


Fino ad ora NON abbiamo considerato il SEGNO di moltiplicando emoltiplicatore

Il modo più semplice di gestire il segno è il seguente:

" convertire moltiplicando e moltiplicatore in numeri positivi" eseguire il la moltiplicazione" stabili re il segno del prodotto secondo la regola dei segni, ricordando i segni originali

ATTENZIONE: gli algoritmi possono effettuare solo 31 iterazioni, lasciando isegni fuori dal calcolo

Divisione tra numeri interiCome funziona l’algoritmo di divisione “carta e penna” ?

Dividendo Divisore Quoziente 100 : 6 = 016 10 06 40 36 4 Resto

Si ha: Dividendo = Quoziente * Divisore + Restoda cui: Resto = Dividendo - Quoziente * Divisore

I passi dell ’algoritmo sono i seguenti:" considerare le cifre del dividendo, partendo dalla cifra più significativa" vedere quante volte il divisore sta nel gruppo di cifre del dividendo" scrivere la cifra corrispondente nel quoziente" sottrarre il multiplo del divisore dal dividendo" alla fine il resto è minore del divisore

ATTENZIONE: la divisione per ZERO causa errore

Divisione tra numeri interi


Dividendo Divisore Quoziente 1101001 : 101 = 0010101 11 110 101 11 110 101 10 101 101 0 Resto

Osservazioni:" Quante volte il divisore sta nella porzione di dividendo considerata? Ci sono solo due alternative: 0 volte oppure 1 volta Questo sempli fica l’algoritmo di divisione" Consideriamo per ora solo numeri positivi

Divisione tra numeri interi (primo algoritmo)

Supponiamo di dover dividere 11012 : 01012 ( cioè 1310 : 510 )Il primo algoritmo di divisione procede come segue:" quoziente memorizzato su un registro a 32 bit e inizializzato a zero quoziente = 0000" divisore memorizzato sulla parte alta di un registro a 64 bit divisore = 01010000" resto memorizzato su reg. a 64 bit, inizializzato col valore del dividendo resto = 00001101 = dividendo

" il calcolatore non capisce “al volo” quando il divisore è più piccolo della porzione di dividendo considerata. Ad ogni passo fa la sottrazione (dividendo - divisore) e controlla il segno del risultato" ad ogni passo si esegue lo shift a destra di una posizione del divisore

resto = 00001101 resto = 00001101 resto = 00001101 divisore = 01010000 divisore = 00101000 divisore = 00010100 10111101 11100101 11111001se il segno è positivo ==> shift a sinistra del quoziente e inserimento di 1se il segno è negativo ==> shift a sinistra del quoziente e inserimento di 0 + ripristino del valore precedente di resto


Resto Divisore Quoziente00001011 01010000 0000010100001011110100001011 00101000 0000001010001110010100001011 00010100 0000000101001111100100001011 00001010 00000000101000000011 00000101 0001000001011111111000000011 00000010 0010


Il circuito che implementa il primo algoritmo è il seguente:

Divisione tra numeri interi (altri algoritmi)

" Analogamente al caso della moltiplicazione, sono stati studiati dei raff inamenti per l’algoritmo della divisione

" L’obiettivo è sempre quello di sempli ficare e rendere più veloce il circuito che implementa la divisione

" Vediamo solo le modifiche ai circuiti , e non gli algoritmi in dettaglio (li trovate comunque sul li bro di testo)

Divisione tra numeri interi (secondo algoritmo)

Circuito relativo al secondo algoritmo:

Divisione tra numeri interi (terzo algoritmo)

Circuito relativo al terzo algoritmo:

Divisione tra numeri interi

Fino ad ora non abbiamo considerato il SEGNO di dividendo e divisore

Analogamente al caso della moltiplicazione, il modo più semplice digestire il segno è il seguente:

" convertire dividendo e divisore in numeri positivi

" eseguire la divisione lasciando i bit di segno fuori dal calcolo

" stabili re il segno del quoziente mediante la regola dei segni, ricordando i segni originali (quoziente negativo se i segni di dividendo e divisore sono discordi, positivo altrimenti)

" stabili re il segno del resto mediante la seguente regola: dividendo e resto devono avere lo stesso segno, indipendentemente dal segno del divisore e del quoziente

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