solution TD2 procédures et fonctions

8/13/2019 solution TD2 procdures et fonctions

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SERIE DEXERCICES:

LES SOUS-PROGRAMMES

Exercice n1 :

Enonc :

1) Factorielle

Faire une fonction facto(n)qui renvoie n!.

2) Puissance

Faire une fonction puiss(x,n)qui renvoie xn.

3) Exponentielle

Solution :

1) Factorielle

FONCTION facto(n: entier):entier

VAR

f, i : entier

DEBUT

f


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2) Puissance

FONCTIONpuiss (x, n : entier):entier

VAR

i, p: entier

DEBUT

p


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Exercice n2 :Enonc :

1-Ecrire une procdure trois paramtres entiers qui fait la somme des deux premiers et range cette valeur

dans le troisime.

2-Transformer la procdure prcdente en fonction.

Solution :1)

PROCEDURE sommeRange(n1, n2 : entier, VAR n3 : entier)

DEBUT

n3


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1)

FONCTION calcPi(epsilon : rel):rel

VAR

valeur : rel

signe : entier

DEBUT

valeur


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Exercice n4 :Enonc :Soit la suite rcurrente U suivante dfinie par

1

2

3

3 1 2

4

2

1

2n n n n

U

U

U

U U U U

Ecrire une procdure algorithmique nomme PSuitequi calcule le n-imeterme de U.

Solution :PROCEDURE PSuite(n : entier)

VAR

u, u1, u2, u3 : rel

DEBUT

u1


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Sinon

crire ("argument invalide")

Fin si

FIN

Exercice n5 :Enonc :A partir dun entier n strictement positif, on cherche se ramener 1, pour cela on applique la mthode

suivante : Suite de SYRACUS

Si n est pair on le remplace par2

n

Si n est impair on le remplace par 3 1n Et ainsi de suite jusqu ce que lon arrive 1.

Ecrire une procdure algorithmique SYRACUS, permettant de compter et dafficher le nombre ditrations

ncessaires pour le ramener un entiern strictement positif 1.

Solution :PROCEDURE SYRACUS(n : entier)

VAR

nb_it : entierDEBUT

nb_it


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Exercice n6 : Algorithmes des babyloniens Enonc :Supposons que lon cherche calculer une valeur approche de la racine carre a du nombre a . On

considre la suite rcurrente suivante :

0

1

1

1

2n n

n

u

a

u u

u

Le calcul des termes sarrte lorsque la diffrence entre deux termes conscutifs soit infrieure 8

10

.

Ecrire une procdure algorithmique BABYLONEqui permet de calculer puis dafficher la racine carre

dun rel positif a donn.

Solution:PROCEDURE BABYLONE(a: rel)CONST

VALEUR = 10 ^ (-8)

VARIABLES

u, up : rel

DEBUT

u


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Exercice n7 : Suite de Feigenbaum

Enonc:On considre la suite rcurrente (suite de Feigenbaum) dfinie par :

0

1 1

n n n

u

u au u

Ecrire une procdure algorithmique FEIGNBAUM, qui partir dun rel a, un rel u0 et un entier n

calcule et affiche la valeur denu .

Solution:PROCEDURE FEIGNBAUM(n : entier, a, u : rel)

VAR

I : entier

DEBUT

Pour I de 1 n faire

u


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Dans ce cas, l'autre nombre est le PGCD.Ecrire une procdure permettant calculer et afficher le PGCD de deux nombres a et b en utilisant

lalgorithme lEuclide.

Solution :

PROCEDUREAlgorithme_Euclide(a, b: entier)VARIABLES

pgcd : entier

DEBUT

Si (a = 0) alors

pgcd


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Exercice n9 : Polynmes de TChebychev Enonc :Soit XIRT

nn dfini par :

10 T , XT

1et ,2n

212

nnn TXTT .

Ecrire une procdure permettant de calculer le men polynme de Tchebychev avec n donn tel que 2n .

Solution :REMARQUE:

Cest une procdure qui manipule des expressions formelles, donc ne peut pas tre implmenteque sur des logiciels de calcul formel tel que MAPLE.

Le type de T(i) dpend de types des valeurs de x. On va choisir dans notre solution le type rel pour toutes les variables.

PROCEDURE Tchebychev(n : Entier)

VAR

T, Tn_1, Tn_2, X : rel

DEBUT

Tn_2 1 // Tn_2 = T0

Tn_1 X // Tn_1 = T1

Pour I de 2 n faire

T 2 * X * Tn_1 Tn_2

Tn_2 Tn_1

Tn_1 T

Fin pour

Ecrire ("le ", n," me polynme de Tchebychev =", T)

FIN


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Traduction en langage formelle (MAPLE):> t2 := 1:

t1 := x:n := 12:for i from 2 to n do

t := 2 * x * t1 - t2:t2 := t1:t1 := t:

od:print('t'=t):

Exercice n1 :Enonc:- On appelle diviseur propre de n, un diviseur quelconque de n, n exclu; Exemple : 6 = 1 + 2 + 3- Un entier est dit parfaitsil est gal la somme de tous ses diviseurs propres- On appelle nombre premiertout entier naturel suprieur a 1 qui possde exactement deux diviseurs, lui-

mme et 1 ;

- Les nombres premiers a tel que : (a+n+n2) est premier pour tout n tel que 0 n (a-1) sont appelesnombres chanceux.

1. Ecrire une procdure nomme, SOMDIV qui calcule et renvoie dans sdla somme des diviseurs propresdun entier n donne.

PROCEDURE SOMDIV(n : entier, VAR sd : entier)

VAR

i : entier

DEBUT

sd


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2. Ecrire les instructions algorithmiques (on ne demande pas dcrire un algorithme principal) permettantdafficher les nombres parfaits de lintervalle [2,1000].

Pour I de 2 1000 faire

SOMDIV (I, sd)

Si (I = sd) alors

crire (I, "est un nombre parfait")

Fin si

Fin pour

3. Ecrire une fonction nomme, estpremier, rsultat boolen permettant de vrifier si un entier edonnest premier ou non.

FONCTION estPremier(n : entier) : boolen

VAR sd : entier

DEBUT

SOMDIV (n, sd)

Si (sd 1) alors

Retourner FAUX

Fin siRetourner VRAI

FIN

4. Ecrire une fonction nomme, estchanceux, rsultat boolen permettant de vrifier si un entier adonn est chanceux ou non.


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FONCTION estChanceux(a : entier) : boolen

VAR

n : entier

DEBUT

Si estPremier(a) alors

Pour n de 0 (a - 1) faire

Si (non estPremier (a + n + n^2)) alors

estChanceux

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