Solucionario Libro Mt1-4

MatemáticaSolucionario Libro

2007

CEPE

CH P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

007 CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

32

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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 1

Conjuntos Numéricos1. La alternativa correcta es C

13

36

15

615

26

36

315

615

569

1556

159

56

53

2518

+

+

+

+

⋅

⋅

, amplificamos para igualar denominador

, sumamos

, ordenamos la fracción compuesta

, simplificamos y multiplicamos.

2. La alternativa correcta es C

34

18

58

14

68

18

58

28

7878

1

188

+

+

+

+

=

=

, amplificamos para igualar denominadores

, sumamos

, adecuando a la alternativa

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Solucionario MatemáticaCE

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7 CEPECH Preuniversitario, Edición 2007

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3. La alternativa correcta es A

213

413

614

214

73

133

254

94

63

16463

416

24

−

−

−

−

−

− ⋅

−

− 448

, transformamos los números mixtos a fracciones

, restamos

, desarrollamos la fracción compuesta

, simplificamos

, amplificamos para adecuarnos a la alternativa


Reemplazamos los valores

( )23

19

173

79

37

13

+ ⋅

⋅

, sumamos y ordenamos

, simplificamos


Transformamos los decimales periódicos a fracciones

0 626299

0 62 0 62

6299

6299

12499

,

, ,

=

+

+ , sumamos

capítulo 1

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capítulo 1 Solucionario Matemática


1530

1426

47

121

12

713

1321

12

13

3 26

16

− ⋅ +

− ⋅

−

− =

( )

( )

, simplificamos y sumamos en el interior del paréntesis

, simplificamos

, restamos

7. La alternativa correcta es E

Transformamos los decimales a fracción

0 559

0 2525 2

902390

59

2390

7390

,

,

=

= − =

+

, entonces

, sumamos


Del enunciado

b c

bc

= ⋅

=

3

3

, despejamos el número 3

, 3 es un número primo

9. La alternativa correcta es D

I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo.II. De lo anterior P es un elemento de INIII. Falso

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Se trabaja desde abajo hacia arriba

1) 112

32

1132

123

53

1153

135

85

1185

158

+ =

+ = + =

+ = + =

+ = + == 138

2)

3)

4)


Reemplazando los valores

13

1118

23

52

13

1118116

13

13

23

23

69

0 6

−−

−−

+

= =

[ ]

( )

,

, desarrollando el paréntesis

, ordenando y simplificando

, sumamos

, amplificamos y transformamos a decimal


Del enunciado se tiene

15

12

1543

2

⋅ ⋅ ⋅ , simplificamos y el resultado es:

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Reemplazando los valores

2 2 2 121

12

232

223

43

+ − ⋅

−

⋅

( ) , realizamos las operaciones

, ordenamos

, multiplicamos


Del enunciando se tiene:

213

512

18

5 6

30

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

, simplificando

, multiplicando


Por definición, la fracción es la W-ava parte de V


Primero se determina el valor de a, b y c

a

b

c

= ⋅ =

= ⋅ =

=

−

−

29

59

1081

110

99

110

102 1090

25 290

( )

( ))

c

c

= ⋅

=

9290

9023

4

, simplificamos

Por lo tanto:

41081

110

⟩ ⟩

⟩ ⟩c a b

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Tenemos que

13

0 312

0 51327

0 48= = =, , ,

Por lo tanto:

0 41327

, y están entre 13

12

y


I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellosII. Verdadero, por definiciónIII. Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.


I. FalsoII. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero.III. Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2


Del enunciado

( )

( )

[(

a

a

a

b

b

b

a

+ + =+ ==

− − =− ==

⋅

3 1 14

4 14

10

5 1 6

6 6

12

2 ++ +⋅ + +⋅

b) ]

[( ) ]

[ ]

1

2 10 12 1

2 23

46

, despejemos a

, despejemos b

, reemplazando los valores , sumando , multiplicando

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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA

Potencias y Raíces


Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos:

a

a

n

n

+

+=

1

11

2. La alternativa correcta es B

Simplificando y utilizando propiedad de división de potencia:

3

3

3 1 5 2 2 3

2 7 1

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

− − − −

−

a b c

a b c

( ) [ ( )] ( )


Distribuyendo los términos de la expresión:

15

5

5

5

3 1

−

−

, por división de raíces de igual índice.


Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis:

( )

( )

2 3

1

1

2

2

−−

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La expresión se puede escribir de la siguiente manera:

6 6 3 3 2

6 3 6 3 2

18 6 6

1

2 2 2

2 2

2 2

n n

n

n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

−

−

( ) ( )

88n

, por multiplicación de potencias de

igual exponente.

, por multiplicación de potencias de igual base.


Utilizando potencia de 10 y simplificando:

16 10 8

32 104 10

10

4 10

4 10

3

5

3

5

3 5

⋅ ⋅⋅⋅

⋅⋅

−

−

−

−

− − −[ ( ))

22

, Simplificando

, por división de potencias de igual base


Tenemos: 4 8

22 2

22 2

22

2

2

22 2

1

6 3

8

2 6 3 3

8

12 9

8

12

8

9

8

4

+

+

+

+

+

( ) ( )

66 2

18

+

, realizando cambio de base

, aplicando potencia de potencia

, distribuyendo

, por división de potencia de igual base ,desarrollando la potencia


Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponen-te es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.

tenemos que:

x

x

= −

=

1214

2

x

x

3

4

18

116

= −

=

entonces: − ⟨− ⟨ ⟨12

18

116

14

x x x x⟨ ⟨ ⟨3 4 2

capítulo 1

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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 1


La potencia ( )ax12 se puede escribir como una raíz de la forma:

ax

xax

ax

a x ax

xax ax

=

⋅ =

⋅ =1 3

, entonces

I. , verdadero

II. , verdadero

III. , verdadero


Reemplazando X por 2, tenemos

= ⋅+

=

=

=

2 22 2242

22

3

4

4

2

2

, por multiplicación de potencia de igual base

, realizamos cambio de base

, por división de potencias de igual base.


Reemplazando los valores 3 12 1

3 12 1

36 1

6 1 7

4 2

2

⋅ +

⋅ +

++ =

( ) , por propiedad de raíces

, multiplicamos raíces de igual índice

, desarrollamos


La finalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente es 45 podemos racionalizar por 445

4 4 4 45 54

55⋅ = = , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base 4 25 25=, lo que permite racionalizar por 235 .

2 2 225 35⋅ = , 235 , no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia tenemos que: 2 835 5=

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Si factorizamos por 511

5 5 1 5 24 6 4 511 2 11 11( )− = ⋅ = ⋅ ⋅

entonces, la expresión es divisible por 6 y 511


I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales.

II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales muchos no cumplen con dicha proposición.

III. Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.


Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista.

54 2 27 3 233 33 3µ µ µ= ⋅ ⋅ =


Reemplazando los valores en la ecuación

π ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ =R22

2 43 3 3 3 3 3 3


Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tene-mos que

1) 3 horas = 5x22) 6 horas = 5x2x23) 9 horas = 5x2x2x24) 12 horas = 5x2x2x2x2

Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 23n

en este caso

5 2 5 2 5 16 80123 4⋅ = ⋅ = ⋅ = Bacterias

capítulo 1

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De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que:

a0 = 1 ; con a ≠ 0

a0 = indefinido con a = 0

Con (1) por si sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposi-ción (2) podemos contestar satisfactoriamente.


De la proposición (1) podemos inferir que (a-1)4 será un par positivo salvo en el caso que a = 1.

La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1)4 siempre toma el valor de un par positivo.


Igualamos las bases de todas las identidades subradicales

5

3

3

3 3 3

3

23

23

43 3

3

=

I

II

III

Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas

5

3

3

3

5 3

3

5 3

3 3

5

3

3 3

3 3

15 3

23

23

23

23

43

23

3

23

3

3

3

⋅ = =

⋅ =33 3

15 33 3

5

3

3

3

5 33

33

3

23

3

3

3

=⋅

⋅ =

, no se racionaliza

, si se racionaliza

, si se racionaliza

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Álgebra1. La alternativa correcta es B)

Aplicamos la definición del enunciado

[ ] [ ]

[ ]

13

13

1

1 23 9

13

1 2

1 23

2 2

22

+ − +

+ + − + +

+ +

bb

b bb b

b bbb

b

b b

b

2 2

2 2

2

913

23 3

113 9 3

23

29

− − −

− + −

−

, desarrollamos los cuadrados de binomios

, multiplicamos

, operamos con términos semejantes

2. La alternativa correcta es A)

Si A es un cuadrado perfecto tenemos que:

A = + 60xy + 25y2

a2 2ab b2

a) b) c)

b y

b y

b y

2 2

2 2

25

5

5

==

=( )

2 60

2 5 60

6

ab xy

a y xy

a x

=⋅ =

=

a x

a x

2 2

2 2

6

36

==

( )

Por lo tanto, el término que falta es 36x2

3. La alternativa correcta es C)

Si Z = 1 se tiene que

( ) ( )x x x ax

x x x ax

x

+ ⋅ − = − −− − = − −

−

12 13 156

156 156

2

2 2

== −=

ax

a 1

, multiplicamos los binomios

, despejando a

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4. La alternativa correcta es B)

El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces:A a b

x x x b

ctánguloRe

( )

= ⋅− + = − ⋅2 11 18 2

b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11) y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual.

b = (x - 9)


Debemos recordar el producto notable

a b a b a ab b

x x

a x

3 3 2 2

3 3 38 27 2 3

2

+ = + ⋅ − ++ = +

=

( ) ( )

( ) ( )

bb

x x x

x x x

=

+ ⋅ − ⋅ ++ ⋅ − +

3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 6 9

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )

, entonces

, sustituyendo


− + + − + +− + + − + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b a b a b

a b a b a ab

2 2 2

2 2 2 2 bb

a b a b a ab b

a b a a ab b b

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

− − + − + + +− − + + + + −−− − + +

− − + +( )− − + ⋅ +

a b a ab

a b a ab

a b a a b

2 2

2 2

2

2

2

2

( ) ( )

aa a b a b( )+ − −

, desarrollamos el cuadrado de binomio , juntamos términos semejantes

, asociamos términos

, factorizamos , ordenamos


− + ⋅ − − − −− + − − − +−

{ ( ) ( ( ))}

{ ( )}

a b a c bc ab

a ba bc bc ab

{{ }a

a−

, desarrollamos desde dentro hacia fuera

, eliminamos términos semejantes

capítulo 2

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x x x a x b

x x x a x

2 23 112

7 16

− + = − ⋅ +− ⋅ − = − ⋅

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ++− = −=− = +

= −

b

x x a

a

x x b

b

)

( ) ( )

( ) ( )

7

7

16

16

, factorizamos , comparamos , despeamos a

, despejamos b


7 3 2 8 2 7 23 35

21 14 16 56 2

( ) ( )y x x y x y

y x x y

+ − − + + −+ + − + 33 35

14 16 23 21 56 35

53 70

x y

x x x y y y

x y

−+ + + − −−

, multiplicamos , términos semejantes

10. La alternativa correcta es E)

( ) ( )a b a b aba b

a ab b a b aba b

+ − − −+

+ + − + −+

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

22 2ba b+

, desarrollamos el cuadrado de binomio

, eliminamos términos semejantes

11. La alternativa correcta es D)

( ) ( )

( ) ( )( )(

a b a ba b

a b

a b a ba ba

+ ⋅ −+−

+ ⋅ − ⋅ −+

2

2 2

22 2

bb

a b a b a ba b a b

a b

a b

)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −+

+ ⋅ (( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

a b a b a b

a b a b

a b

− ⋅ + ⋅ −− ⋅ −−

2 2 2 2

2 2 2

, ordenamos la fracción compuesta

, factorizamos

, simplificamos

, aplicamos suma por su diferencia

, finalmente

capítulo 2

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dici

ón 2

007 CEPECH


1918


PECH

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200


1918

CEPE

CH P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

007 CEPECH


1918


A a

x x a

x x a

x

cuadrado =− + =− ⋅ − =

2

2 2

2

4 12 9

2 3 2 3

2

( ) ( )

( −− =− =

− +−− = − +

3

2 3

2 3 2

2 1

2 1 4 4 1

2 2

2 2

)

( )

( )

a

x a

x

x

x x x

, si conocemos el área podemos determinar el lado

, factoricemos

, si aumentamos el lado en 2 unidades

, determinemos la nueva área

Realicemos la diferencia de las áreas

4 4 1 4 12 9

4 4 1 4 12 9

8 8

2 2

2 2

x x x x

x x x x

x

− + − − +− + − + −

−

( ) , términos semejantes

Por lo tanto, la superficie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.


x xy y

x y x y

x xy y

x y x xy y

2 2

3 3

2 2

2 2

1− ++ +

− ++ ⋅ − +

:

( )

( ) ( )):

( )

( ):

( )

1

1 11

x y

x y x y

+

+ +=

, factorizamos x3 + y3

, simplificamos


Recordemos que:

Volumen de un cubo = a3 x x x a

x a

x a

x

x

x

3 2 3

3 3

3 3 1

1

1

1 2

3

3

− + − =− =

− =− −−−

( )

( )

( )33 3 29 27 27= − + −x x x

, factorizamos , el lado del cubo es

, disminuimos el lado en 2 unidades , Determinamos el nuevo volumen

Realizamos la diferencia de los volúmenes

x x x x x x

x x x x

3 2 3 2

3 2 3

3 3 1 9 27 27

3 3 1 9

− + − − − + −− + − − +

( )

xx x

x x

2

2

27 27

6 24 26

− +− +

, términos semejantes

capítulo 2

CEPE

CH P

reun

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1918

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007 CEPECH


1918



[( ) : ( )]

[( ) : ( )]

[(

1 1

1 1

2

2 1

2 2

2

1

ab

ab

a b

a

aba

− +

− +

−

−

111

1 11

2 2

2

1

2

− ⋅+

− + ⋅+

−a b

a

aab

ab ab

a

aab

) ( )]

[( )( )

( ))]

[ ]

−

−−

−

1

11

1

aba

aab

, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis

, ordenamos la división

, factorizamos la suma por su diferencia

, simplificamos

, por propiedad de potencia ( )ab

ba

− =1


( ):

( ) ( )( ) ( )

:(

a b

a b a ba b a ba b a b a

+− −+ ⋅ ++ ⋅ − −

2

2 2

1

1bb

a ba b a b

a ba b

a b

a b

)

( )( )

:( )

( )( )

( )

( )

+− −+−

⋅ −

+

1

, factorizamos

, simplificamos

, ordenamos la división

, simplificamos


( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

(

a ba b

a b

a ba b

a b a b

a

+−

⋅ −

+−

⋅ + ⋅ −

+

2 2

bb a b

a b

) ( )

( )

⋅ ++ 2

, factorizamos

, simplificamos

, finalmente

CEPE

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2120


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2120


x

x

4

2

4

2

−+

=

(Primero factorizamos el numerador con suma por su dife-rencia)

x x

x

2 2

2

2 2

2

−( ) +( )+

=

(Simplificando)

x2 2−


x x x

x x

2

2

4 4 2

4 2

+ +( ) −( )−( ) +( )

= (Factorizando la expresión x2 + 4x + 4 con cuadrado de binomio y la expresión x2 - 4 con suma por su diferencia)

x x x

x x x

+( ) +( ) −( )−( ) +( ) +( ) =

2 2 2

2 2 2

(Simplificando, se observa que se “eliminan” todos los bino-mios, con lo que el resultado es 1)

1


El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con cuadrado de binomio el área x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1).

Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es:

(x + 1) + 2 = (Sumando) x + 3

Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

capítulo 2

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2120

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2120

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2120


Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales


3 23

33 2

2x x xx

− = −+

; multiplicando cruzado

3 2 3 2 3 3

9 4 9 3

43

2

2 2

x x x x

x x x

x

+( ) −( ) = −( )− = −

=

; desarrollando la suma por su diferencia y multiplicando el 3 por el binomio ; reduciendo términos semejantes y despejando


12

13

16

1

3 2 16

1

26

1

2613

x x x

x

x

x

x

− + =

− + =

=

=

=

; sacando el m.c.m. entre las fracciones

; resolviendo el numerador

; despejando la incógnita “x”

; simplificando


a x a x a a

ax a x a a

ax x a

x a

( ) ( )

(

+ − = + ++ − = + +− = +−

1 1

1

1

2 2

11 1

11

) ( )= +

= +−

a

xaa

; multiplicando “a” por cada paréntesis ; reduciendo términos semejantes ; factorizando por “x” en un lado de la igualdad ; despejando la incógnita

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2322


PECH

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2322

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2322


Ph

hP h h

P Ph h

P h Ph

P h P

PP

h

=−

− =− == += +

+=

11

1

1

( )

( )

; para despejar “h” multiplicamos cruzado

; multiplicamos “P” por el binomio

; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad

; factorizando por “h” y despejando


ax

ab

ba

ax

a bab

a b x a b

a b

a bx

= −

= −

= −( )

−=

2 2

2 2 2

2

2 2( )

; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones

; multiplicando cruzado en la igualdad

; despejando “x”


a b c

c a b

b a a b

b a

b a

b

+ + == − −− + − − =− =− =

−

0

3 5

2 2 5

2 5

( )

( )

aa = 52

; en la primera igualdad despejamos “c”

; reemplazamos este término en la segunda igualdad ; reduciendo términos semejantes y factorizando ; despejando el término pedido


x y

x y

+ =− =

1

0 ; resolvemos por reducción

2 1

12

x

x

=

=

; despejamos “x”

, reemplazamos este valor en la primera ecuación

12

1

112

1212

12

0

+ =

= −

=

∴ − =

y

y

y

; despejando “y”

; realizando la diferencia entre las variables

En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está plantea-da en el enunciado x - y = 0

capítulo 2

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2322

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007 CEPECH


2322

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CH P

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rio, E

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007 CEPECH


2322



23

39

6

39

23

7

x y

x y

+ =

+ =

; escribimos el sistema en forma fraccionaria

; simplificando

23 3

6

323

7

x y

x y

+ =

+ = ; multiplicando por el denominador común

2 18

2 21

x y

x y

+ =+ = ; amplificamos la segunda ecuación para resolver por

reducción

( )

( )

a x y

b x y

2 18

2 4 42

+ =− − = − ; sumando

− = −=+ ==

=

3 24

8

2 8 18

2 10

5

y

y

x

x

x

, despejando “y”

; reemplazamos este valor en la ecuación (a)

, despejamos “x”


( )

( )

( )

a x y

b x z

c y z

+ =+ =+ =

16

22

28

; ordenamos el sistema

; despejamos “y” de la ecuación (c)

y z

a x z

x z

d x z

x z

= −+ − =

− = −− = −

+ =

28

28 16

16 28

12

( ) ( )

( )

222

12x z− = −

, reemplazamos esto en la ecuación (a)

; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva ecuación

; armamos un sistema entre (b) y (d)

; resolvemos por reducción

2 10

5

5 22

17

17 28

11

5 11 17

x

x

z

z

y

y

x y z

==+ ==+ ==

∴ + + = + + == 33

; despejamos “x” y reemplazamos en (b)

; despejamos “z” y reemplazamos en (c)

; despejamos “y”

; sumamos x, y, z

capítulo 2

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2524


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2524

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2524


2 6

0

+ + =− =

y z

y z ; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la pri-

mera ecuación y despejamos las variables de los factores numéricos

( )

( )

a y z

b y z

+ =− =

4

0

; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción

2 4

2

2 4

2

y

y

z

z

==

+ ==

; despejamos el valor de “y”

; reemplazamos este valor en (a) ; despejamos z


Sea x = cantidad de gallinas ; 2x = total de patas de gallinas y = cantidad de conejos ; 4y = total de patas de conejos

al escribir el sistema de ecuaciones nos queda

( )

( )

a x y

b x y

+ =+ =

50

2 4 134 ; amplificamos la ecuación (a) para resolver por reduc-

ción

− − = −+ =

2 2 100

2 4 134

x y

x y ; sumamos y despejamos “y”

2 34

17

17 50

33

y

y

x

x

==+ ==

; reemplazamos este valor en (a)


12 . La alternativa correcta es B)

x = número central (x - 1) = el antecesor de x (x + 1) = el sucesor de x

así la suma de tres números consecutivos será:

( ) ( )

( )

x x x

x

x

− + + + ==

==

1 1 45

3 45

15

15 2252

; reduciendo términos semejantes ; despejando “x”

; elevando al cuadrado el valor de “x”

capítulo 2

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reun

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rio, E

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007 CEPECH


2524

CEPE

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ón 2

007 CEPECH


2524

CEPE

CH P

reun

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rio, E

dici

ón 2

007 CEPECH


2524



Sea: w y x

z y x

= +

= −

( )

( ) ; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w” y “z”

( )

( )

a w z

b w z

2 3 3

5 3 18

− =+ =

; resolvemos el sistema por reducción

7 21

3

2 3 3 3

6 3 3

1

3

1

2

2

w

w

z

z

z

y x

y x

==

− =− ==

= + ( )= − ( )

( )

; despejando “w”

, reemplazamos este valor en (a)

;despejando “z”

;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la definición de las variables y elevamos al cuadrado

( )

( )

c y x

d y x

9

1

= += −


10 2

5

9 5

4

=== +=

y

y

x

x


; reemplazamos este valor en (c) ; despejamos “x”


Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación:

( )

( )

a k y

b y k

yk

kk

kk

k k

+ ==

=

+

=

+ =

+

2 0

4

4

24

0

20

222

0

3 0

0

=

==

k

k

; despejamos “y” en la ecuación (b)

; reemplazamos “y” en la ecuación (a)

; multiplicamos y simplificamos

; sacamos m.c.m

; sumamos y despejamos

capítulo 2

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2726


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200


2726

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2726


Definiremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros

y = cantidad del tipo B en litros 200 = cantidad de la mezcla en litros 1.500x = valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla 900y = valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla 200(1.140) = valor de la mezcla obtenida

( ) . ( )

( )

.

a x y

b x y

x

1 500 900 200 1140

200

1 500 90

+ =+ =

+ 00 228 000

200

200

1 500 200 900

y

x y

x y

y y

=+ =

= −− + =

.

. ( ) 2228 000

300 000 1 500 900 228 000

300 000

.

. . .

.

− + =−

y y

2228 000 600

72 000 600

120

120 200

80

.

.

==

=+ ==

y

y

y

x

x

; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla

; despejamos “x” de la ecuación (b)

; reemplazamos “x” en la ecuación (a)

; multiplicamos y reducimos términos semejantes


; remplazamos el valor de “y” en (b)

; despejamos


Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos:

Pablo x = 3 y ; armamos una ecuación con la información de Pablo

Angélica y +1 = x -1 ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la relación planteada

y y

y

y

x

x

+ = −====

1 3 1

2 2

1

3 1

3

( )

; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica


; buscamos el valor de “x”

La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3

capítulo 2

CEPE

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007 CEPECH


2726

CEPE

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ón 2

007 CEPECH


2726

CEPE

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ón 2

007 CEPECH


2726



Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida.

Sea x = cantidad de horas que demora el automóvil (x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia 80 x = distancia recorrida por el automóvil 120(x-2) = distancia recorrida por la moto

La ecuación nos queda:

80 120 2

80 120 240

240 120 80

240 40

x x

x x

x x

x

= −= −= −=

( )

66 = x

; multiplicando el paréntesis ; ordenando la ecuación ; reduciendo términos semejantes ; despejando

Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió 2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo cual son las 9 de la noche cuando se encuentran.


Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema.


Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecua-ciones que si se puede resolver:

( )

( )

( )

( )

a x y

b x y

y y

y y

y

x

=− =

− =− =

==

2

2 3 4

2 2 3 4

4 3 4

4

2 4

xx = 8

; planteamos el sistema

; reemplazamos (a) en (b)

reducimos términos semejantes

; reemplazamos “y” en (a)

Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:

( )

( )

( )

a x y

b x y

x

x

y

y

2 3 28

2 3 4

4 32

8

2 8 3 4

16 3

+ =− =

==

− =− ===

=

4

12 3

4

y

y

; planteamos el sistema



; reemplazamos en (b)

; reunimos términos semejantes

; despejamos

capítulo 2

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2928


PECH

Pre

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200


2928

CEPE

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007 CEPECH


2928

CEPE

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2928

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2928


Sea Z = cuenta por pagar

Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea

x = cobro del consumo en m3

3500 = cobro por el uso del alcantarillado Z x y= + +3500

y = arriendo del medidor

Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad;

35002

1000

=

=

x

y

Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la segunda:

Z

Z

= + +=

7000 3500 1000

11500

capítulo 2

CEPE

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007 CEPECH


2928

CEPE

CH P

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007 CEPECH


2928

CEPE

CH P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

007 CEPECH


2928


Razones y proporciones, porcentaje e interés


La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual

28

16

16

4

2 2

2

xMP

MPx

x MP

x MP

x MP

=

=

==

( )

; escribimos la proporción con el término repetido

; multiplicamos cruzado

; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la in-cógnita

; obtenemos el valor buscado


Sean x e y los números buscados;

;escribiendo la información se tiene

;despejando “x” en la segunda ecuación

x y

xy

xy

yy

y y

y

y

− =

=

=

− =

− =

=

=

48

95

95

95

48

9 55

48

45

48

4 2440

60

60 48

108

y

x

x

=− ==

; reemplazando en la primera ecuación

; sacamos el m.c.m.

; reducimos términos semejantes



; reemplazamos este valor en la primera ecuación


CEPE

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ón 2

007 CEPECH


3130


PECH

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200


3130

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ón 2

007 CEPECH


3130


Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así

x y

x y

+ ==

2500

2 3: :

; al escribir la información como ecuación nos queda

; por propiedades de proporción

x y k

k

k

k

x y

+ = +=

=

=

= ∧ =

( )

( )

2 3

2500 5

25005

500

2500

35000

1000 1500

1500 1000 500

x y= ∧ =− =

; remplazando de la primera igualdad

; despejando k

; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igual-dades iniciales

; haciendo la diferencia entre los números


Sea : x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres x + y = 500

Escribiendo la proporción entre las variables

3515

35 1550050

10

3510 350

= =

++

=

=

=

= → =

xy

k

x yk

k

k

xx

y115

10 150

200

= → =

− =

y

x y

; escribimos la proporción

, por propiedades

; reemplazamos la cantidad total de personas

; dividimos y obtenemos el valor de la constante k

; reemplazamos la constante en cada razón

; obtenemos “x” e “y”

; buscamos la diferencia entre varones y mujeres


Por definición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una propor-ción ; así

x

x

x

24145624 14

56122

6

=

= ( ) ( )

= =


; resolviendo

capítulo 2

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3130



a% de b se escribe : ab100

23=

b% de a se escribe : ba100

= ?

; de la primera igualdad

ab =

=

2300

2300100

23

; reemplazamos en la segunda

; simplificamos y obtenemos el resultado


Definamos: X = edad de Juan Y = edad de hermano

X

X Y

Y

y

Y

==

=

⋅ =

=

24

3 4

24 34

24 43

32

: :

; escribimos la información del problema

; reemplazamos la primera igualdad en la segunda

; multiplicamos cruzado y simplificamos


Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.

58

75100

58

34

20 4 24

4 4

1

5 100

1

1

+ =

+ =

+ ==

===

x

x

x

x

x

%

?%

0005

20= %

; simplificando


; despejamos el valor de “x”

; escribimos la relación de porcentajes

; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”

capítulo 2

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3332


Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple :

C = 1.050.000 K= 350.000 r = 10%

; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores

C K nr

n

n

= += +

= +

( )

. . . ( %)

1

1 050 000 350 000 1 10

3 1101000

210100

200 10

20

=

==

n

n

n

; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción


Por fórmula la MP geométrica es :

54

0 20

54

20100

1040

12

( , ) =

⋅ =

=

=

MP

MP

MP

MP

; reemplazando los valores en la fórmula

; transformando el decimal a fracción


; sacamos la raíz cuadrada


Sea x = edad de Ricardo y = edad de Mónica

; escribimos la información entregada

x y

x y

y y

y

y

= ++ =

+ + =+ =

+ =

6

2 60

2 6 60

2 2 6 60

4 12 60

( )

( )

( )

; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación

; reducción de términos semejantes

; multiplicamos


4 48

12

12 6

18

1812

32

y

y

x

x

xy

=== +=

= =

; reemplazamos este valor en la primera igualdad

; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontra-dos

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3332



Sea x = dinero que lleva e y = valor del artículo

68

32 48 000

6810032100

48 000

4

%

% .

.

⋅ =⋅ =

=

=

=

x y

x

xy

x

x.. .

.

( . )

800 00032

150 000

1725

17 150 00025

1

x

xy

y

=

=

=

77 6 000

102 000

( . )

.

==

y

y

; escribimos la información

; pasamos el porcentaje a fracción

; despejamos x de la segunda ecuación

; dividimos

;tomamos la primera ecuación y la simplificamos

, reemplazamos el valor de “x” en la ecuación



Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:

38

24 000

3 24 000 8

3 192 000

64 000

x

x

x

x

=

==

=

.

( . )( )

.

.

; de la primera información se obtiene


; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para el entero; es decir 5/8, así los 4

5 del resto de la deuda es:

45

58

48

1212

64 000 32 000

x x

x

=

⋅ =. .

; simplificamos

; reemplazamos el valor de “x”

Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar $64.000 - $56.000 = $8.000.

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3534


A de B

A B

a A B

A B Ax

b A B x

=

=

=

+ =

+ =

25

25100

14

100

%

( )

( ) ( ) 1100

14

10014

54

25

25 45

2

A

B B x B

B x B

x

x

( ) ( )

( )

( )

+ =

=

=

= 00

; escribimos la información como fracción

; simplificamos

; buscamos que % es A de (A+b)


; reemplazamos (a) en (b)

; sumamos y simplificamos

; simplificamos y despejamos “x”


Y kX

k

k

X

X

X

=

=

=

=

==

35

34

45

2045

100 4

25

; escribimos la proporcionalidad directa

; reemplazamos los valores de X y de Y

; despejamos la constante de proporcionalidad k

; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de Y

, despejando obtenemos el nuevo valor de X


1

150 7507501505

=

=

=

x

x

x

; escribimos la proporcionalidad entre los valores

; despejamos


5 obreros 2 horas ; escribimos la relación que nos dan (5-3 ) obreros x horas

; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado

5 22

5

⋅ =

=

x

x

; simplificamos

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El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;

23

6

9

23 6

4

326

1

=

=

=

=

=

=

xx

x

x

x

x

; escribimos la primera proporción posible y despejamos el primer valor de x

; escribimos la segunda proporción y despejamos x

; escribimos la tercera proporción y despejamos x

Luego, la respuesta correcta es: I, II y III.


a b

Ia b a b

k

IIb a b a

k

IIIa

: :

.

.

.

=

= → + =

= → − =

=

2 3

2 3 5

3 2 1

2bb

a b

a b3

3 2

6 4

→ =

=

; por las propiedades de proporciones, escribimos

; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción

; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre por la misma explicación anterior

; la amplificación de una proporción la mantiene siempre igual

Luego, la respuesta correcta es: Sólo III.


Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces:

x x x x V

x x x x V

x x

− + − =

− + − =

−

25 20 25

14

15

14

4 14

% %( % )

( )

++ − =

+ − =

+ =

+ =

15

120

34

420

34

320

15 320

x x V

x x xV

x xV

x xVV

xV

xV

de x V

1820

91090

=

=

=%

; escribimos el planteamiento del precio de venta

; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y sacamos m.c.m.

; sumamos

; sacamos m.c.m

; simplificamos

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Desigualdades e Inecuaciones lineales


Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:

-6 0 5 10

La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]


-6 0-2 3

La solución final es ] –2 , 3 ]


-3 0 4 6 8 12

La solución final es [ -3 , +∞ [

4. La alternativa correcta es B) 2 1

83 4

33 2 1 8 3 4

6 3 24 32

3 32 1

x x

x x

x x

+ < −

+ < −+ < −

+ <

( ) ( )

88

3518

3518

x

x ó x< >


; distribuimos cada factor en el binomio respectivo ; reunimos términos semejantes

; despejamos la incógnita

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6 112

6 9 3

6 11 122

9 3

6 23 18 6

23 18

xx

xx

x x

+ + > +

+ + > +

+ > +

>

; sacamos común denominador


; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina

; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se cumple para todos los reales


15

99

9 59

9

9 5 81 9

14 81 10

− − < +− − < +

− + < +

− <

−

xx

xx

x x

x

( )

667 10

6710

<

− <

x

x





; graficamos la solución y la afirmación x < 5

0 5-6710

La solución final es ] -6710

, 5[


Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor que cero.

3 12

3 12 0

3 12

4

4 x

x

x

x

−− <<

<

; despejamos la incógnita “x”


Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero

−− ≥ −

≤

x

x

x

0 1

0

/ ( )

; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incóg-

nita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-

capítulo 2

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dad9. La alternativa correcta es D) Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad sub-radical mayor que cero

7

33 0

3 3

−− >> <

xx

x ó x

; escribimos la desigualdad



I. a > c ; se cumple, por propiedades

II. 1a

< 1c

; se cumple, por propiedades

III. -3ab > - 3bc ; no se cumple, por propiedades


x x x

x x x x

x x

−( ) ≤ − +

− + ≤ − +− + ≤ − +−

1 4 8

2 1 4 8

2 1 4 8

2

2

2 2

( )

xx x

x

x

+ ≤ −≤

≤

−∞

4 8 1

2 7

7272

,

; desarrollamos el cuadrado de binomio

; eliminamos el término “ x2 ”



; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo

0 72


a xx

b x x

)

)

3 12

3

2 5 3 1

− ≥ +

+ < −

; resolvemos cada desigualdad por separado

a x

x

x x

x

x

)

,

3 16

26 2 6

5 8

85

85

− ≥ +

− ≥ +≥

≥

+∞

; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado



; escribimos la solución como intervalo

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4140


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b x x

x

x

)

/ ( )

,

2 3 1 5

6 1

6

6

− < − −− < − −

>+ ∞

; reunimos términos semejantes ; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la

incógnita, invirtiendo así la desigualdad ; escribimos la solución como intervalo

La solución final es la intersección de ambas soluciones 85

6, ,+∞

∩ +∞

Gráficamente tenemos:

0 685

Entonces, el resultado es ]6, +∞[

13. La alternativa correcta es E) a x

b x

).

).

2 3 3

2 4

+ <− >

; se resuelve cada desigualdad por separado

a x

x

x

b x

x

)

)

2 3 3

2 0

0

4 2

6

< −<

<> +>

0 6

La intersección de las desigualdades es − ∞ ∩ + ∞ = ∅, ,0 6 14. La alternativa correcta es A)

Sea X = número buscado 2X = doble del número buscado planteamos la desigualdad 2 1 1

2 1 1

2

x x

x x

x

− < +− < +

<

; reunimos términos semejantes ; despejamos “x”

Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1


Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm, quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:

4 50

504

12 5

x

x

x cm

≥

≥

≥ ,

; despejamos “x” ; dividimos

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4140



Sea (2n + 1) = número impar (2n + 3) = impar consecutivo

planteamos la desigualdad 2 1 2 3 60

2 1 2 3 60

4 4 60

4 60 4

4

n n

n n

n

n

+( ) + +( ) <

+ + + <+ << −

nn

n

n

n

<

<

<∴ =

⋅ + =

56

564

14

13

2 13 3 29( )

;eliminamos paréntesis


; despejamos n

; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14 ; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado

final


Sea X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo 2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos

planteamos la desigualdad 2 5 35

2 35 5

302

15

x

x

x

x

+ ≥≥ −

≥

≥

; despejamos y reunimos términos semejantes

; dividimos


Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor ( )

( )

1 1

2

P J

M P

= +

≥

, con esta única información no podemos saber quién es mayor

, con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener la misma edad de Pablo o ser mayor.

Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es

mayor que Pablo; se requiere información adicional.

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Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa

(1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3 tarros, pero no nos informa sobre X

(2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor mínimo de X.

(1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X X

X

X

≥ +≥≥

3 3 1 5

3 4 5

13 5

( , )

( , )

,


Sea X = cantidad de pares de zapatos (1) de la primera información podemos escribir: X

X

XX

X X

X

X

− >

− >

− >

>

>

402

240

22

40

240

80

; sacamos el m.c.m.

; reducimos términos semejantes.

; multiplicamos cruzado.

Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que hizo

(2) de la segunda información podemos escribir: X

X

− <<

35 47

82

Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos (1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81

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4342


Relaciones y funciones


Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al escribir todas las relaciones a R b tenemos:

(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6)

Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedi-da.


En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x = y2

Comprobamos cada par ordenado:

a) 2 = 42

; se cumple la condición

b) 8 = 162


c) 6 = 122

, se cumple la condición

d) 4 = 82


e) 10 ≠ 52

; no se cumple la condición


En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en

a) 6 = 3 · 2


En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, lo que significa que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llega-da, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación.

Por lo tanto, las opciones I y II cumplen la definición de función.

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4544


f u x u

f x

f x

f f x

( )

( )

( )

( ) ( ) (

= += += +− = + −

3

3 3 3

0 3 0

3 0 3 3 33 0

3 0 3 3 3 0

3 0 3

x

f f x x

f f

+− = + − −− =

)

( ) ( )

( ) ( )

; reemplazamos en la función la variable “u” por el número ; hacemos lo mismo con el 0

; finalmente restamos

; cambiamos signos dentro de paréntesis

; resolvemos


f x x

x

x

x

x

( ) = −− == +=

=

3 5

3 5 6

3 6 5

3 11

113

; igualamos la función dada al valor que se indica


; reducimos términos



f

f

g

f f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 4

3 2 3 6

5 2 5 10

2 3

= == == =− ++ = − + =g( )5 4 6 10 8

; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las funciones respectivas

; finalmente realizamos la operación indicada


La función g[f(x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f(-2) se reemplaza en la función g(x) para obtener el resultado final así:

g f g g[ ( )] [ ] [ ] ( )− = − + = = + =2 2 3 1 5 1 7 12


Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin importar que sea el mismo; es función

Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada

Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no es función ya que debe tener uno sólo

Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de llegada

Luego, la respuesta correcta es I y IV.

capítulo 3

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4544



En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función

Gráfico I: Y

X

En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es función

Gráfico II: Y

X

En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica una recta que siempre es función.

Gráfico III: Y

X


Evaluamos en la función f x x x( ) = − +2 3 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se cumple

a f verdadera

b f

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

0 0 3 0 1 1

5 5

2

2

= − + =− = − − 33 5 1 25 15 1 41

2 2 3 22

( )

) ( ) ( ) (

− + = + + == −

verdadera

c f ))

) ( ) ( ) ( )

+ = − + = −− = − − − +

1 4 6 1 1

1 1 3 1 12

verdadera

d f == + + == − + = − + = −

1 3 1 5

1 1 3 1 1 1 3 1 12

falsa

e f ve) ( ) ( ) ( ) rrdadera


En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3 en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos el valor –1 en el eje y; es decir f(-3) = -1

Entonces, f f f( ) ( ) ( ) ( )0 3 3 0 5 1 6+ − − = + − − =

capítulo 3

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4746


Analizamos cada alternativa

a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera

b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido, así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es verdadera

c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera.

d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es falsa

e) f g f f( ( )) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 5= + = = + = ; verdadera


Si f x x( ) = − 3 y g x x( ) = −1 al buscar g f x( ( )) buscamos la función compuesta, para ello tomamos f(x) y la reemplazamos en g(x), así:

g f x g x x x x( ( )) ( ) ( )= − = − − = − − = −3 3 1 3 1 4


Si la función es f u u x( ) = + 2 en “u” reemplazamos los valores entregados; así:

f x x x x

f x x x x

f x f x x x

( )

( )

( ) ( )

= + == + =

+ = + =

2 3

2 2 2 4

2 3 4 77x

entonces,


Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado repre-senta x y el segundo y, así:

Par x y( , ) ;

( )

− − → = − = −− = − −− = −− = −

1 3 1 3

3 1 4

3 1 4

3 3

2

; definimos el valor de x e y ; reemplazamos estos valores en la función recordando que

f(x)=y ; verificamos la igualdad ; verdadera

Par x y( , ) ;

( )

− → = − == − −= −=

2 0 2 0

0 2 4

0 4 4

0 0

2

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera

capítulo 3

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4746


Par x y( , ) ;

( )

− → = − == − −= −=

3 5 3 5

5 3 4

5 9 4

5 5

2

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera

Par x y( , ) ;

( )

0 4 0 4

4 0 4

4 4

2

→ = == −≠ −

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos y verificamos la igualdad ; falsa

Par x y( , ) ;

( )

2 0 2 0

0 2 4

0 4 4

0 0

2

→ = == −= −=

; definimos los valores de x e y , reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera


En la función f x x( ) = +2 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igual-dad respectiva

En el gráfico a) tenemos que si:

x y

x y

x y

= = → = += = → = += = → =

1 3 3 2 1 1

2 5 5 2 2 1

0 1 1 2

; ( )

; ( )

; (( )0 1+

; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo cual el gráfico buscado es el primero


En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica; entonces:

f a b a a b a b a

f a b a ab a

( ) ( ) ( )

( )

+ = + − + ++ = + − −

2 5 5

2 2 5 52 bb a

f a b a ab b

f a a a a a

f a

++ = + −

= − +

5

2 2 5

2 5 5

2( )

( ) ( ) ( )

( ))

( )

( ) ( )

= − +=

+ − = + −

2 5 5

2

22 2 5

2

2

2

a a a

f a a

f a b f ab

a ab bb ab

f a b f ab

ab bb

b ab

f a

−

+ − = − = −

22

22 5

22 52

2

( ) ( ) ( )

( ++ − = −b f ab

a) ( )2

2 52

; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente


; multiplicamos los factores por cada binomio


; escribimos la expresión que nos piden


; factorizamos y simplificamos

capítulo 3

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Solucionario Matemáticacapítulo 14

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4948


En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para finalmente realizar la diferencia entre estos dos resultados

f a b a b a a b

f a b a b a ab

f b b a

( ) ( ) ( )

( )

( )

+ = + − ++ = + − −

= −

2

(( )

( )

( ) ( ) ( )

(

b

f b b ab

f a b f b a b a ab b ab

f

= −

+ − = + − − − −2

aa b f b a b a ab b ab

f a b f b a a a

+ − = + − − − +

+ − = − =

) ( )

( ) ( )

2

2 (( )1− a

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden

; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del pa-réntesis y reducimos términos semejantes

; factorizamos por “a”


Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor de “a”, es decir:

f xx

a

f aa

aa a

a a

( )

( )

( )

= +

= + =

+ =+ ==

3 22

3 22

2

3 2 2 2

3 2 4

3 44 2

3 2

32

a a

a

a

−=

=

; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2”

;multiplicamos cruzado

; resolvemos y reunimos términos semejantes


; despejamos “a”

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4948


Funciones de Variable Real


Sea n = número positivo y (n+1) su consecutivo, así:

n n

n n

n n

n n

n

( )

( )( )

+ =+ =+ − =+ − =

1 272

272

272 0

17 16 0

2

2

++ = − == − =17 0 16 0

17 161 2

óy

n

n n

; multiplicamos cada término

; formamos la ecuación de segundo grado

; resolvemos por factorización

; encontramos los números que deben ser positivos

Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17.

Por tanto, los números buscados son: 16 y 17.


x x

x x

x x x

x x

+ = −+ = −+ = − += − +

7 5

7 5

7 10 25

0 10

2

2

2

2

/ ( )

( )

225 7

0 11 18

0 2 9

2 0 9 0

2

1

− −= − += − −− = − =

x

x x

x x

x x

x

( )( )

ó== =

∴ =2 9

92y

sólo es solución

x

x

; elevamos al cuadrado toda la expresión

; desarrollamos el cuadrado de binomio

;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los reducimos

; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización

; encontramos los resultados de la ecuación

, ya que al comrpobar en la ecuación original,

√9 + 7 = 9 - 5

√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal.


Si yx x x x

x x x x x x

x

1 2 1 2

21 2 1 2

2

4 3

0

4

+ = − ⋅ =

− + + ⋅ =

− −

( )

( ))x

x x

+ =+ + =

3 0

4 3 02

; por definición de propiedades

; reemplazando los valores dados

; ordenando encontramos la ecuación cuadrática

CAPÍTULO 3

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5 10 2 6 0 5

22 6

50

2 65

2

2

x x k

x xk

k

− + + =

− + +

=

+

/ :

= ⋅

+

= ⋅

+ == −

= −

x x

kx

k

k

k

1 2

1

2 65

0

2 6 0

2 6

3

; dividimos por 5

; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación cuadrática

; igualamos por propiedades de las raíces

; reemplazamos el valor de la raíz nula

; despejamos k en la igualdad


Sean

según la ecuación representa el c

x y x

m1 22 3= − =

ooeficiente y

representa el coeficiente

b

m c( )− −7

aa)

b)

− + = − → = −

= −

− ⋅ = → − = − + → −

2 3 11

1

2 3 67

1

ba

m

m

ca

m( )66 7

1

+ = −

= −

m

m

; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces

; comprobamos utilizando las dos propiedades


x x

ca

k

k

k

k

1 2 48

48

7 11

48

7 1 48

7 49

7

⋅ =

=

− =

− ==

=

; utilizando la propiedad de las raíces

; reemplazamos el coeficiente c y a en la propiedad


capítulo 3

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5150

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5150



Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:

c c c

c c c c c

c c

2 2 2

2 2 2

2

8 1

16 64 2 1

0

= −( ) + −( )= − + + − +

= − + 22 2

2

16 64 2 1

0 18 65

0 5 13

− + + − += − += − −−

c c c

c c

c c

c

( )( )

55 0 13 0

5 13

= − == =

óy

c

c c

; planteamos el teorema de Pitágoras

; resolvemos cada cuadrado de binomio

; igualamos a cero la ecuación cuadrática



; despejamos los posibles valores de c

; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud negativa

(c-8)

c

(c-1)


a

b ; Si a y b son los lados del rectángulo

(ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro

; escribimos el sistema de ecuaciones

; dividimos por 2 en la segunda ecuación

a b

a b

⋅ =+ =

61

2 60( )

a b

a b

⋅ =+ =

61

30 ; despejamos a en la primera ecuación

; reemplazamos esto es la segunda ecuación


ab

bb

bb

b b

b b

=

+ =

+ =

+ =− + =

61

6130

6130

61 30

30 61 0

2

2

2

; multiplicamos por b la igualdad

; escribimos la ecuación cuadrática


( )( )b b

b b

b b

− − =− = − == =

7 23 0

7 0 23 0

7 23

óy

; despejamos la variable b

; nos quedamos con el menor valor que es 7

capítulo 3

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5352


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5352


Verificamos cada afirmación

I. log ,

log ,

, ,

9 0 31808

13

9 0 31808

13

0 95424 0 31

3 =

=

( ) = 8808

0 31808 0 31808

900 2 95424

, ,

log ,

= →

=

verdadera

llog( ) ,

log log ,

,

9 100 2 95424

9 100 2 95424

0 954

⋅ =+ =224 2 2 95424

81 1 90848

9 9

+ = →

=⋅

,

log ,

log(

verdadera

)) ,

log log ,

( , ) ,

=+ =

=

1 90848

9 9 1 90848

2 0 95424 1 908448 → verdadera

; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo

; reemplazamos el valor de log 9

; resolvemos

; comprobamos la igualdad

II. ; escribimos el log como producto ; aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad

III. ; escribimos como producto el logaritmo ;aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad


; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logarit-mo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción

x y

x y

+ =− =

27 5

1

,

log log

x y

xy

+ =

=

27510

10log log ; resolvemos la ecuación logarítmica

xy

x y= → =10 10 ; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera ecuación


10552

11552

5522

52

105522

55022

27

y y

y

y

x

x

+ =

=

= =

=

= = 5511

27511

52

62 5

⋅

= ,

; despejamos el valor de y

; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica

; resolvemos y encontramos el valor de x

; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución

capítulo 3

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5352

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5352



Partimos de un logaritmo conocido que es log 10

log log( )

log log log

, log

10 5 2

10 5 2

1 0 69897 2

= ⋅= +

= +11 0 69897 2− =, log

; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto ; reemplazamos y despejamos lo que se busca


En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice hacia la izquierda.

El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y 5; por lo tanto el punto que se busca será 1 5

23

+ =

∴ +∞ 3, es el intervalo buscado


El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola.

eje simetría = − = − + −

−−

= →

ba

si f x x x2

4 3

42 1

2 2

2( )

( ),++∞

; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de simetría


U

U

=

=

(log )(log )(log ).....(log )

log2 3 4 15

1

3 4 5 16

00

10

10

10

10

10

3

2

4

3

5

4log

log

log

log

log......

l⋅ ⋅ ⋅

oog

log

log

log

log

log

10

10

10

10

2

2

16

15

16

2

16

U

U

U

=

=

= 22

4 2

4

4

2U

U

==

log

; cambiamos base de cada logaritmo

; simplificamos los logaritmos

; cambiamos base

; escribimos como potencia

; aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-cia

; resolvemos

capítulo 3

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5554


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5554

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5554


En la ecuación f xxq

x q q( ) ;= − + − <2

4 3 0 encontramos que si

a

qb c q= − = = −1

4 3, y

a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q

b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero

c) la parábola tiene como eje de simetría −−

=42

2

q

q , como q < 0,

entonces 2q es negativo.

Según esto no existe ningún gráfico que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como eje de simetría el valor 2q.


Si f x x( ) = − −3 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:

y

y

y

y

= − −

= − −

= −=

0 3 1

3 1

3 1

2

; aplicamos la definición de valor absoluto

; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igual-dad, es decir y=2

Luego, el punto buscado es (0,2)


En la función R(x) = -0,15x2 + 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es decir:

pto. máximo y como y tendremos:: , ,− = = −b

ab a

24 5 0 15

ppto. máximo = −−

= =4 52 0 15

4 50 3

15,

( , ),,

capítulo 3

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Comprobaremos cada afirmación:

I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona pagará $2000 por cada artículo, entonces

5000($1800) = $9000000

2300(2000) = $4600000 c/p $9200000 en total verdadera

II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800 por cada artículo, entonces:

6000($1700) = $10200000 5800($1800) = $10440000 verdadera

III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma

Afirmación falsa


Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones:

(1) Esta información nos da x1= -2 y x2= 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x.

(2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva


(1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá

5000(25) = 160000 bacterias

donde (25)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas

(2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial

Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta

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Combinatoria y Probabilidad.1. La alternativa correcta es E)

Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repe-tir; es decir:

3 x 3 = 9


Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210


Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que se escojan, así:

4

10

C


Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede

repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan

y así sucesivamente...así

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8


Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que el orden no es importante, entonces nos queda:

3

7

C representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7

2

5

C representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5

CAPÍTULO 4

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Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinaci-nes y tendremos la combinación total

3

7

2

5

77 3 3

55 2 2

74 3

53

C C⋅

− ⋅⋅

− ⋅

⋅⋅

⋅

!( )! !

!( )! !

!! !

!! 22

7 6 5 44 3

5 4 33 2

7 6 53 2 1

5 42

!

!! !

!! !

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅⋅

⋅1

35 10

350

(Desarrollando el factorial de un número)

(Simplificando)

(Multiplicando y simplificando)

(Multiplicando)


Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo.

Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el

producto de entradas por platos de fondo

5 x 6 =30


Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición,

entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por:

2 2

6 62 2

6 5 4 3 2 12 1 2 1

180,

!! !P =⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=


Una ordenación de elementos es una permutación, entonces:

P5 = 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5.

3 4

7 73 4

7 6 5 43 2 1 4

35,

!! !

!!P =

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

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Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para formar los grupos posibles


Sea PA igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está definida por:

P Acasos favorables

casos posibles

n

nA( ) = =

a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello

1

3

C combinaciones totales para obtener una cara d= ee tres en total

2

2

C combinaciones totales para obtener dos sello= ss de dos que quedan

( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total)

1

3

2

2 33 1 1

22 2 2

3C C⋅ =− ⋅

⋅− ⋅

=!( )! !

!( )! !

b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas

Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8

P A( ) = 3

8


Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual

P azul

bolas azulesbolas totales

( ) = = 515a)

b) P blancabolas blancasbolas totales

( ) = = 715

P azul oblanca( ) = + = =5

157

151215

45

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La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es 15

, se tienen 20 preguntas en total,

entonces para lograr acertar a todas se tiene 15

20


Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados

a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones

1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir

3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso

contrario. Así tenemos 8 casos favorables

b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36

Finalmente la probabilidad del evento será P = =836

29


La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja)

a) P blancabolitas blancasbolitas totales

( ) = = 27

b) P rojabolitas rojas

bolitas totales que quedan( ) =

aal sacar y no poner= 5

6

P = ⋅ =2

756

521


La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que no ocurra es 1, así

15

45

1+ = , por lo tanto, si 15

= probabilidad de ocurrencia

y

45

= probabilidad que no ocurra

si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será

P = ⋅ =4

545

1625

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Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número;

como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 120

y

la probabilidad de acertar al número será 110

, así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número

será P = ⋅ = =120

110

1200

0 005,


La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabili-dades ya que son eventos mutuamente excluyentes

Así P = + = + =15

16

6 530

1130


Si el alumno tiene probabilidad 16

de egresar, tendrá 56

de no hacerlo.

de la misma forma si tiene probabilidad 25

de casarse, tiene 35

de no hacerlo.

La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ =16

35

110


Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese finalizado sería la suma de las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos.

a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% = 15 ⋅ 1

4 = 120

b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% = 14 ⋅ 1

4 = 116

c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% = 12 ⋅ 3

20 = 340

P = + + = =120

116

340

1580

316

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Estadística Descriptiva


La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:

X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5


La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.


La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3

el término central corresponde al promedio de los dos números centrales Me =6 + 5

2= 5, 5.


La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:

σ

σ

=

=

∑

− ⋅ + − + − + −

( - )=1

2x x

i

n

n

i

( ) ( ) ( ) (6 5 3 5 5 4 5 32 2 2

552

)

6

8

6

4

3= =

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En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las ordenadas, es decir:

2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32


La moda del gráfico es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.


Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.


La media es el promedio, entonces tenemos

X

a a a a a a=

+ + + +=

3 6 7 2

5

19

5


La relación que tendremos que resolver es X = 15, 25 =x1 + x2 + x3 + x4

4 donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25

61 = x1 + x2 + x3 + x4 con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad es el 21 ya que el resto debería sumar 40.


Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.


Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos

es 20, el porcentaje será 17•100%20

=85%

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Por definición


El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda

18= 20 + 15 +X33

18•3= 35 + X3

54 - 35= X3

19= X3


El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia del intervalo entre 4 y 7


Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde a 1

6 del gráfico, luego, 1

6 de los elementos son:

elementos = 6006

= 100


Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III


Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda:

4,0 = 21,3 + X6

24 - 21,3 = X

2,7 = X

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x = 197

197 ⋅ 5 = suma de estaturas

Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente calculamos el nuevo promedio

X cm= = 197 5 - 170 + 205

5204

⋅


Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos, en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas.

De las afirmaciones

I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa

II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar la marca de clase de cada intervalo, así:

Nota Frecuencia Marca de clase

[1-2,5]

(2,5-4]

(4-5,5]

(5,5-7]

250

150

100

20

1,75

3,25

4,75

6,25

(1,75)(250) + (3,25)(150) + (4,75)(100) + (6,25)(20)

520 X = =

6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5

X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5437,5 + 487,5 + 475 + 125

520 = 2,93

La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera

III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera

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Verificaremos las afirmaciones

I. La media de los datos es X = =1 + 3 + 5 + 7 + 9

5

25

5= 5 al sumar 12 a cada término la suma de

25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X = =25 + 60

5 17 Afirmación verdadera

II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-.

Afirmación falsa

IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene

σ =(13 - 17) + (15 - 17) (17 - 17) (19 - 17) (21 - 1

2 2 2 2+ + + 77)

5

40

58

2

σ = =

Afirmación verdadera

capítulo 4

capítulo 4

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Solucionario Libro Mt1-4