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SOLIDO RIGIDO: MEDIDA DE MOMENTOS DE INERCIA

1.- OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

-Entender y aplicar las ecuaciones del movimiento de rotación de un sólido rígido en

torno a un eje fijo.

-Medir los momentos de inercia de diferentes sólidos.

-Comprobar las ecuaciones teóricas.

2.- DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO

El equipo experimental consta de:

-Trípode sobre el que está ubicado un eje vertical en el que se pueden acoplar diferentes

piezas para estudiar su rotación en torno a un eje cilíndrico fijo (un disco y una barra)

que tiene un radio r. Este valor es 1.5 cm en el puesto nº 1 y 1.25 cm en el puesto nº 2.

-Polea colocada a un lado del eje por la que pasa un hilo enrollado en torno al eje de

giro. Al otro extremo del hilo se pueden colgar objetos de diferentes masas. Este

dispositivo es lo que nos permitirá hacer girar el eje y por lo tanto el sólido.

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-Cinta métrica.

-Cronómetro.

-Disco de radio R=11.4cm; Masa del disco 1400 gr.

-Barra.

3.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS.

3a.- Definición de momento de inercia. Ecuación general de la dinámica de

rotación en torno a un eje fijo.

Se define el momento de inercia (I) de un sólido rígido respecto a un eje de giro dado

como:

∫ρ=

M

dm 2 I ,

donde ρ indica la distancia del elemento de masa dm al eje de giro dado, y la integral

está extendida a toda la masa M del sólido. Si el sólido rígido está constituido por un

número discreto de masas {mi} la integral se transforma en un sumatorio:

∑=

ρ=N

1i

i2 m I

El momento de inercia es aditivo, es decir, si un sólido está constituido por

diferentes partes, el momento de inercia total del sólido es la suma de los momentos de

inercia de sus partes.

En el caso de un disco homogéneo de masa M y radio R, el momento de inercia

respecto de su propio eje de giro es

I=MR2/2 (1)

En cambio, si ese disco gira en torno a un eje contenido en el plano del disco y

que pase por su centro (diámetro) el momento de inercia es

I= MR2/4 (2)

Por otro lado, la ecuación fundamental de la dinámica de rotación del sólido

rígido respecto de un eje fijo es:

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M = dL/dt = I α

siendo I el momento de inercia del sólido respecto de ese eje, M el momento de fuerza

aplicado respecto de ese eje y α la aceleración angular del sistema. Recordemos que L

= Iω (donde ω es la velocidad angular) es el momento angular del sólido respecto del

mismo eje. Esto permite medir indirectamente el momento de inercia, si se aplica un

momento de fuerza constante conocido y se mide la aceleración angular.

3b.- Justificación teórica del procedimiento de medida de momentos de inercia.

El dispositivo experimental consiste en un eje giratorio sobre el que se fija el objeto

(disco o barra). Por medio de una cuerda ligada, por una polea, a una masa m

suspendida libremente, se aplica un momento al eje que hace que el conjunto gire.

El procedimiento consiste simplemente en dejar caer la masa m una distancia

conocida partiendo del reposo (para ello se coloca al borde de la mesa y se deja caer

hasta el suelo) y en medir el tiempo que tarda en caer. El momento de inercia del sólido

rígido con respecto al eje de giro es

−= 1

s2

gtmrI

22 (3)

donde m es la masa suspendida que cae, r el radio del eje de giro en el que está enrollada

la cuerda, g la aceleración de la gravedad, t el tiempo que tarda la masa suspendida en

llegar al suelo, s la distancia que recorre esta masa.

La ecuación (3) se demuestra con sencillez de la siguiente manera:

La masa suspendida recorre una distancia s en un tiempo t cayendo verticalmente desde

el reposo, de donde podremos obtener la aceleración con que cae a través de la ecuación

s= at2/2

de esta aceleración, utilizando la segunda ley de Newton aplicada sobre la masa

obtenemos el valor de la tensión de la cuerda

T = m(g-a)

y de aquí el momento aplicado sobre el eje por la cuerda tensa

M=T.r

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donde r es el radio del eje.

Por otra parte,

M = I α

y como la aceleración angular también se puede obtener a partir de la aceleración lineal

ya calculada

a=α.r

podemos despejar el valor del momento de inercia y obtener la expresión (3):

−=

−=

−=

⋅== 1

2

)()(

/

22

22

s

gtmr

a

ragm

a

ragm

ra

rTMI

α (3)

3c.- Error cometido en el cálculo del momento de inercia.

El momento de inercia I calculado según la ecuación (3), se basa en la medición de dos

variables, el tiempo t y el espacio s. Cada una de ellas se mide con un determinado error

∆t y ∆s. Según la teoría de errores el error en el momento de inercia ∆I se calcula según

la ecuación

ss

gtmrt

s

gtmrs

s

It

t

II ∆+∆=∆

∂∂

+∆∂∂

=∆2

22

2

2 (4)

Deberéis utilizar esta ecuación en vuestros cálculos finales para calcular el error

en la medida del momento de inercia.

4.-MÉTODO EXPERIMENTAL

Los objetos cuyo momento de inercia se va a medir son: a) un disco con respecto a su

propio eje, b) el mismo disco con respecto a un eje contenido en el plano del disco y que

pase por su centro y c)una barra con respecto a un eje perpendicular que pasa por el

centro de la misma.

A. Momento de inercia de un disco con respecto a su propio eje.

A.1. a) Medid la altura a la que se encuentra la superficie de la mesa con respecto al

suelo. Poned el cronómetro a cero.

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b) Insertad el disco en el eje con su plano paralelo a la mesa. De esta forma rotará en

torno al eje natural del disco.

c) Insertad en el soporte de plástico gris que se encuentra ligado a un extremo del hilo

una masa de 100 gramos. La masa de este soporte plástico es de 5 gr. que hay que añadir

a la anterior para obtener la masa colgante total (m).

d) Enrollad la cuerda alrededor del eje de giro de manera que la masa de 100 gramos se

encuentre justo sobre la mesa y la cuerda esté tensa. Tened cuidado en el manejo del

sistema para no romper el hilo. Procurad que el hilo no se salga de su carrete y que su

dirección de salida del mismo sea lo más horizontal posible.

e) Desplazad el trípode horizontalmente de manera que la masa de 100 gr, manteniendo

la cota vertical, no toque la mesa sino que se encuentre suspendida en el aire.

f) A la vez, liberad esta masa y conectad el cronómetro. Medid el tiempo que tarda la

masa en tocar el suelo. Esto último debe hacerse con máxima atención para obtener

el menor error posible. Parad el disco para que el hilo no siga soltándose.

g) Realizad este procedimiento ocho veces en total. Si algún valor es muy diferente de

los demás desechadlo y tomad otra medida. Calcular el valor medio del tiempo y la

desviación Standard, que se tomará como error.

h) Utilizad la ecuación (3) para obtener el momento de inercia del disco girando en

torno a su eje y la ecuación (4) para obtener el error, utilizando el valor medio del

tiempo de caída ( en t), la desviación Standard de sus medidas (∆t), y el error de escala

estimado en la altura (∆s).

Comparadlo con el momento de inercia teórico, que calculareis usando la

ecuación (1).

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A.2. Repetid el procedimiento a)-h) pero utilizando ahora una masa colgante de 20

gramos en lugar de 100 gramos.

Comparadlo con el momento de inercia teórico, que calculareis usando la

ecuación (1).

B Momento de inercia de un disco con respecto a un eje contenido en el plano del

disco y que pase por su centro.

De nuevo hay que repetir el procedimiento a)-h), sólo que ahora, en el apartado b),

debéis insertar el disco en el eje de forma que gire en torno a un eje contenido en el

plano del disco y que pase por su centro. Hacedlo con cuidado. Utilizad una masa

colgante de 100 gramos.

Comparadlo con el momento de inercia teórico, que calculareis usando la

ecuación (2).

C. Barra respecto de un eje perpendicular que pase por el centro.

De nuevo hay que repetir el procedimiento a)-h), sólo que ahora, en el apartado b),

debéis insertar la barra en el eje. Hacedlo con cuidado y aseguradla con el tornillo

correspondiente. Utilizad una masa colgante de 100 gramos.

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INFORME DE LA PRÁCTICA: SÓLIDO RÍGIDO: MEDIDA DE MOMENTOS

DE INERCIA

Nombres: Grupo:

Fecha:

Enunciar de forma resumida los OBJETIVOS de la práctica.

RESULTADOS DE LA MEDIDA DE MOMENTOS DE INERCIA.

Todos los resultados deben estar expresados con las correspondientes unidades en el

Sistema Internacional, indicándolas claramente.

Error de escala estimado en la medida de altura: ∆s =

A. Momento de inercia de un disco con respecto a su propio eje.

A1) Disco respecto de su eje utilizando una masa colgante de 100 gr.

Tiempo t

Valor medio: <t> = ; desviación Standard ∆t =

Valor obtenido de I = ; error ∆I =

Valor teórico de I:

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A2) Disco respecto de su eje utilizando una masa colgante de 20 gr.

Tiempo t

Valor medio: <t> = ; desviación Standard ∆t =

Valor obtenido de I = ; error ∆I =

Valor teórico de I:

¿Qué valor experimental se ajusta mejor al teórico? ¿El obtenido utilizando una masa

colgante de 100 gramos o de 20 gramos? ¿Creéis que hay alguna razón para ello?

B Momento de inercia de un disco con respecto a un eje contenido en el plano del disco y que pase por su centro.

Tiempo t

Valor medio: <t> = ; desviación Standard ∆t =

Valor obtenido de I = ; error ∆I =

Valor teórico de I:

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C. Barra respecto de un eje perpendicular que pase por el centro.

Barra respecto de un eje perpendicular que pase por el centro utilizando masa de 100 gr

Tiempo t

Valor medio: <t> = ; desviación Standard ∆t =

Valor obtenido de I = ; error ∆I =

CUESTIONES GENERALES REFERENTE A TODAS LAS MEDIDAS ¿Cuáles son las principales fuentes de error que afectan a los resultados: precisión en la

medida de distancias, de tiempos, falta de sincronismo entre la activación del

cronómetro y el comienzo del movimiento, falta de alineación de la cuerda, habilidad de

los operadores, otras fuentes que se os puedan ocurrir? Haced un breve comentario

razonado.