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Tesis Doctoral Facultad de Ciencias Departamento de Algebra, Geometr¶ ³a y Topolog¶ ³a Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer Pablo Alberca Bjerregaard Universidad de M¶ alaga

Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer"Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer" realizada por el Licenciado D. Pablo Alberca Bjerregaard,mani¯esta

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  • Tesis Doctoral

    Facultad de CienciasDepartamento de ¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a

    Sobre los teoremas de Cartan-Jacobsony Chevalley-Schafer

    Pablo Alberca Bjerregaard

    Universidad de M¶alaga

  • Esta memoria que presenta D. Pablo Alberca Bjerregaard para optar al gradode Doctor en Ciencias (Matem¶aticas), ha sido realizada en el Departamento de¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a de la Universidad de M¶alaga, bajo la direcci¶ondel profesor Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez.

    M¶alaga, Octubre de 2001.

  • El profesor Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez, profesor del departamen-to de ¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a de la Universidad de M¶alaga, en calidadde director de la Tesis Doctoral titulada

    "Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer"

    realizada por el Licenciado D. Pablo Alberca Bjerregaard, mani¯estaque:

    Dicha Tesis Doctoral re¶une los requisitos necesarios para su admisi¶on altr¶amite de Lectura de Tesis Doctoral.

    En M¶alaga, 7 de octubre de 2001

    Fdo. Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez.

  • 6

  • Introducci¶on

    Esta tesis est¶a estructurada en tres grandes bloques que diferenciamos a conti-nuaci¶on:

    I) Modelos algebraicos no asociativos en F¶³sica de Part¶³culas.

    II) Estudio de la simplicidad de las ¶algebras de derivaciones de ¶algebras deCayley (¶algebras de tipo g2)

    1.

    III) Estudio de la simplicidad de las ¶algebras de derivaciones de las ¶algebrasde Jordan excepcionales H3(C; ¤), donde C es de Cayley (¶algebras de tipof4)

    2.

    El nexo de uni¶on del primer apartado con los otros dos, quedar¶a explicadocon la lectura de los subsiguientes p¶arrafos de esta introducci¶on. Antes, nosgustar¶³a decir que en esta tesis se resume una serie de a~nos de investigaci¶on enlos que hemos combinado diversas disciplinas, como son:

    1. La inform¶atica, con el uso de sistemas inform¶aticos,

    2. la f¶³sica, con el estudio de modelos en f¶³sica de part¶³culas,

    3. y como no, el ¶algebra, que ha sido el objeto de dicha investigaci¶on.

    El trabajo con las ¶algebras de composici¶on (unitarias) y sus grupos de automor-¯smos y ¶algebras de derivaciones, es una primera ¶area en la que convergen dichas¶areas de conocimiento. El grupo G2 y su ¶algebra de Lie, llamaron la atenci¶onpor su interpretaci¶on f¶³sica a mediados del siglo XX (v¶ease [24]). PosteriormenteF4 fue tambi¶en considerada como modelo para la f¶³sica de part¶³culas. Superadosestos modelos, determinados m¶odulos de F4 se consideran en teor¶³a de cuerdas,as¶³ por ejemplo el m¶odulo 26-dimensional de F4, ampliamente difundido en laactualidad. Hasta aqu¶³ nos hemos limitado a mencionar ¶algebras de Lie excep-cionales, pero al margen de estas, las ¶algebras de Lie cl¶asicas y los grupos de lasque provienen son profusamente utilizados actualmente en f¶³sica de part¶³culas3.Nuestra aportaci¶on en este ¶area es modesta pero fue ella la que nos abri¶o el

    1Libre de restricciones sobre la caracter¶³stica del cuerpo base.2Igualmente libre de restricciones por caracter¶³sticas.3V¶ease el Ap¶endice.

    i

  • ii

    camino a contribuciones, ya dentro del campo de las ¶algebras de Lie, menosdesde~nables.

    Resumiremos a continuaci¶on el esquema seguido para la presentaci¶on:

    ² En el primer cap¶³tulo estudiamos los automor¯smos y las derivaciones delas ¶algebras de Cayley-Dickson y hemos aplicado parte de este estudio ala construcci¶on de ciertos modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas. Pe-dimos disculpas al lector por la inclusi¶on en esta tesis de algunos t¶opicosde antemano conocidos (por ejemplo el estudio de automor¯smos y de-rivaciones de las ¶algebras de cuaterniones reales). En primer lugar, nosha perseguido un cierto af¶an por escribir una tesis lo m¶as autocontenidaposible. En segundo lugar la presentaci¶on no deja de ser original en di-versos aspectos. Los f¶³sicos de part¶³culas suelen introducir en sus trabajos¶algebras de sobra conocidas por los matem¶aticos, sin embargo la forma depresentarla puede hacer visibles o invisibles sus propiedades interpretablesen t¶erminos f¶³sicos. Con frecuencia todo el quid de la cuesti¶on consisteen elegir una base adecuada que posibilite la interpretaci¶on f¶³sica. As¶³lo es por ejemplo en la componente d¶ebil del modelo est¶andar SU(2) omismamente en la componente de interacci¶on fuerte.

    El primero de los modelos que tratamos fue introducido por Gursey desdeel punto de vista de su interpretaci¶on cu¶antica. ¶Este, no s¶olo explican¶umeros cu¶anticos de ciertas part¶³culas elementales sino que permite 'unir'part¶³culas para formar otras. El modelo de Gursey no es mas que el grupode automor¯smos de un ¶algebra de Cayley-Dickson sobre los reales o loscomplejos. Si consideramos por ejemplo el ¶algebra real de octoniones split,su grupo de automor¯smos (una forma real de G2) explica la acci¶on dedos observables (hipercarga y tercera componente de isoesp¶³n) sobre unconjunto de 14 part¶³culas elementales. Esto fue establecido ya en 1973 porGursey y Gunaydin. Nuestra intenci¶on al incluir aqu¶³ el modelo de Gurseyes la de explicarlo en t¶erminos algebraicos. Frecuentemente el f¶³sico escribecon gran conocimiento de los aspectos mec¶anico-cu¶anticos, pero con grandesd¶en por el formalismo matem¶atico. Esto hace que dichos trabajos seandif¶³cilmente comprensibles por los matem¶aticos. As¶³, utilizamos el modelode Gursey-Gunaydin para explicar como enlaza la f¶³sica de part¶³culas conla teor¶³a de ¶algebras y grupos de Lie (comp¶arese con la secci¶on A.1.5del Ap¶endice A). Una de las claves en dicho enlace es la b¶usqueda debases adecuadas en las ¶algebras bajo estudio, de forma que se evidencienlas propiedades f¶³sicas que queremos resaltar. Esto obliga a veces a unadeterminada presentaci¶on de las ¶algebras de derivaciones y automor¯smosde las ¶algebras de composici¶on. Por eso nos hemos permitido introducirdichas ¶algebras en un cap¶³tulo de la tesis, adem¶as de presentar formascan¶onicas asociadas entre otros resultados (v¶ease [1]).

    Independientemente hemos buscado hacer de la presentaci¶on de esta tesis,algo de nuestro propio agrado, como es la tarea de divulgaci¶on de cier-tos aspectos de las ¶algebras no asociativas que son ignorados por muchos

  • iii

    investigadores. As¶³, el lenguaje de las ¶algebras y grupos de Lie, es hoytambi¶en el lenguaje de los f¶³sicos te¶oricos.

    Una vez satisfechas nuestras aspiraciones did¶acticas, hacemos nuestra pri-mera aportaci¶on original al estudio de los modelos algebraicos en f¶³sica depart¶³culas: damos un modelo algebraico (un ¶algebra de Lie semisimple)que alberga las seis quarks y sus correspondientes antiquarks (v¶ease [1] ylos algoritmos en [2] ¶o [3]). Adem¶as este modelo establece los valores es-perados de seis observables T3 tercera componente de isoesp¶³n, Ch (charmo encanto), S (strangeness o extra~neza), Y (hipercarga), Bea (beauty obelleza) y Tru (truth o verdad). En de¯nitiva todo lo que se puede decirsobre las part¶³culas queda dicho por estos observables.

    Si este modelo se hubiera descubierto mucho antes de la comprobaci¶onexperimental de la existencia del ¶ultimo de los quarks (el quark top), suexistencia se habr¶³a celebrado como con¯rmando la evidencia de la nece-sidad de dicho quark. Sin embargo la existencia de este modelo fue hechap¶ublica (v¶ease [1]) m¶as o menos en paralelo con la prueba experimental dela existencia del quark top. La existencia de un modelo con seis part¶³culas(m¶as sus antipart¶³culas) en el que cinco de ellas se han manifestado en loslaboratorios pero una de las cuales faltar¶³a por detectar, no habr¶³a hechom¶as que llevarnos a la conjetura plausible de la existencia del quark top.

    Para acabar esta parte digamos que uno de los fundamentos del uso de¶algebras de Lie en f¶³sica reside en el hecho de que los observables inde-pendientes (simult¶aneamente medibles) de la mec¶anica cu¶antica se corres-ponden con operadores que conmutan. Contra mayor sea el n¶umero deobservables independientes, mayor es la cantidad de informaci¶on que ten-dremos sobre una part¶³cula en cuesti¶on. As¶³ el ambiente id¶oneo para losoperadores correspondientes a los observables es el de estar con¯nados enuna sub¶algebra de Cartan (split en el sentido de Jacobson) de un ¶algebrade Lie compleja. En consecuencia si queremos analizar un ¶algebra deLie, sospechosa de ser portadora de alguna informaci¶on f¶³sica, lo prime-ro que tenemos es que disponer de algoritmos capaces de investigar lassub¶algebras de Cartan de un ¶algebra de Lie. Una primera tarea entonces,ser¶³a la de determinar el rango de una tal sub¶algebra. En de¯nitiva esten¶umero nos dice el n¶umero m¶aximo de observables independientes que va-mos a tener en nuestro estudio. Por esto en esta secci¶on introducimos unalgoritmo que determina el rango de las ¶algebras de Lie de matrices ([6]).

    ² Una vez que hab¶³amos terminado nuestra primera incursi¶on en el mun-do de los modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas, comprendimos quelos algoritmos que hab¶³amos desarrollado hasta el momento para traba-jar con ¶algebras reales o complejas, se pod¶³an adaptar para trabajar encaracter¶³sticas primas. Pod¶³amos entonces hacer so¯sticados c¶alculos en¶algebras de derivaciones sobre cuerpos de caracter¶³sticas dos, tres o loque quisi¶eramos. Pero:

  • iv

    En 1957, Nathan Jacobson publica un trabajo en el que se estudian losgrupos de automor¯smos de las ¶algebras de composici¶on sobre cuerpos decaracter¶³stica distinta de dos (v¶ease [26]). Posteriormente, P. Eakin y A.Sathaye lograron describir dichos grupos mediante f¶ormulas recurrentes enlas que se relaciona el grupo de automor¯smos de un ¶algebra de compo-sici¶on con el grupo de automor¯smos del ¶algebra doblada por el m¶etodode Cayley-Dickson (ver [17]). Tambi¶en en este trabajo se trabaja fuera decaracter¶³stica dos.

    Desde hac¶³a alg¶un tiempo sab¶³amos que los teoremas de clasi¯caci¶on delas ¶algebras de Lie simples de dimensi¶on ¯nita sobre cuerpos de carac-ter¶³sticas prima p, son algo delicados. En de¯nitiva cuando p es grandehay resultados interesantes aunque algunos de ellos, de una complejidadnada desde~nable4. Sin embargo para valores peque~nos de p uno se llevala sorpresa de que hay poca cosa escrita. En concreto los valores p = 2 op = 3 quedan fuera de la mayor parte de las publicaciones. Por ejemplo,hac¶³a mediados del siglo pasado se publica el conocido como Teorema deCartan-Jacobson que establece grosso modo lo siguiente: sea F un cuerpode caracter¶³stica distinta de dos y tres y C una F -¶algebra de Cayley. En-tonces el ¶algebra de Lie Der(C) es central simple de dimensi¶on 14. Unareferencia en la que se puede encontrar este teorema es [42]. Hasta antesde esta tesis no hab¶³a nada en la literatura matem¶atica que complete esteestudio a las caracter¶³sticas dos y tres. Nuestra contribuci¶on al resulta-do de Cartan-Jacobson consiste en establecer la veracidad del mismo en elcaso de caracter¶³stica dos y demostrar que el teorema no es cierto en carac-ter¶³stica tres. En cualquiera de los dos casos se tiene dim(Der(C)) = 14.

    Adem¶as hemos incluido dos demostraciones diferentes de estos hechos.Primero conseguimos una demostraci¶on puramente lineal, es decir, s¶oloutilizamos recursos de ¶algebra lineal, para el caso de caracter¶³stica distintade tres. La idea de la demostraci¶on es muy sencilla y podemos exponerlaaqu¶³. Partimos de una base especialmente buena del ¶algebra L =Der(C)y demostramos que los ideales generados por cada uno de los elementosde la base es toda el ¶algebra L. A continuaci¶on logramos demostrar queel ideal generado por cada elemento no nulo de L contiene alg¶un elementode la base. Para el desarrollo de estas ideas hemos utilizado identidadescuya veracidad se ha demostrado utilizando c¶alculos de ordenador.

    Despu¶es de estos desarrollos tuvimos la suerte de que Alberto Elduque sesintiera atra¶³do por nuestra investigaci¶on y gracias a la inspiraci¶on que nosproporcion¶o completamos un trabajo que acaba de ser aceptado para supublicaci¶on (v¶ease [9]) en el que completamos el estudio basado en c¶alculosde ordenador con una demostraci¶on del teorema de Cartan-Jacobson encaracter¶³stica distinta de tres, libre de c¶alculos con ordenador.

    Hemos demostrado tambi¶en en esta tesis (en el citado trabajo) que el

    4Que levante la mano el que est¶e contento con la demostraci¶on del ¶Ultimo Teorema deFermat.

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    teorema deja de ser cierto en caracter¶³stica tres. En este caso L tiene un¶unico ideal propio no nulo I que es de dimensi¶on 7. Estudiamos este idealvisto como ¶algebra de Lie y comprobamos que es simple y que adem¶as el¶algebra cociente L=I es isomorfa a I quien a su vez es isomorfo al ¶algebrade Lie simple psl(3; F ). Esto completa el estudio de la estructura de L encaracter¶³stica tres.

    ² Finalizamos con el ¶ultimo cap¶³tulo en el que nos enfrentamos al ¶algebraexcepcional f4(C) con la intenci¶on de estudiar, entre otros resultados,la simplicidad de esta ¶algebra en caracter¶³stica 2 que queda fuera delTeorema de Chevalley-Schafer y del de Jacobson ([25, Theorem 17, p.408]), y mostrar una nueva demostraci¶on gen¶erica de la simplicidad fuerade caracter¶³stica 2.

    M¶as o menos de la misma ¶epoca del Teorema de Cartan-Jacobson, es elde Chevalley-Schafer (v¶ease [42]), que b¶asicamente establece lo siguiente:sea F un cuerpo de caracter¶³stica distinta de dos y tres, (C;¡) una F -¶algebra de Cayley con antiautomor¯smo de Cayley x 7! ¹x. Sea H3(C; ¤)el ¶algebra de Jordan de las matrices 3 £ 3 con coe¯cientes en C que sonautoadjuntas respecto a la involuci¶on ¤ que transforma cada matriz M enla matriz M¤ = M

    t(la matriz resultante de aplicar ¡ a cada coe¯ciente

    deM y trasponer despu¶es). Entonces el ¶algebra de Lie L = Der(H3(C; ¤))es central simple y de dimensi¶on 52.

    De nuevo si uno busca en la literatura matem¶atica alg¶un avance desde lapublicaci¶on del resultado de Chevalley-Schafer, encuentra el resultado deJacobson que extiende el resultado al caso de caracter¶³stica 3.

    Nuestra aportaci¶on en este campo es la siguiente: por un lado hemospodido dar una nueva demostraci¶on gen¶erica de la simplicidad v¶alida encaracter¶³stica distinta de dos. Esta demostraci¶on sigue la misma ¯losof¶³aque la presentada para el Teorema de Cartan-Jacobson. Por otro lado encaracter¶³stica dos hemos comprobado que la simplicidad no se tiene ([11],[10] y [12]). En concreto si C es un ¶algebra de Cayley split sobre un cuerpode caracter¶³stica dos, el ¶algebra de Lie L = Der(H3(C; ¤)) posee un ¶unicoideal propio no nulo I de dimensi¶on 26. Adem¶as hemos podido demostrarque este ideal es simple como ¶algebra de Lie y que L=I es isomorfa a I.Hemos investigado tambi¶en la estructura de este ideal 26-dimensional, elcual hemos descrito completamente. Posee una sub¶algebra de Cartan splitH de dimensi¶on dos. Respecto de H encontramos tres ra¶³ces ®, ¯ y ®+¯,as¶³ como la descomposici¶on de Cartan:

    I = H © I® © I¯ © I®+¯donde los espacios ra¶³ces I®, I¯ , e I®+¯ son de dimensi¶on ocho. Adem¶asqueda completamente determinado el producto entre y dentro de los es-pacios ra¶³ces. Creemos que este ¶algebra de Lie es un nuevo ejemplo de¶algebra de Lie simple en dimensi¶on ¯nita y caracter¶³stica dos. Al me-

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    nos nosotros no la hemos detectado en la literatura algebraica hasta elmomento.

    Este cap¶³tulo y las sesiones asociadas son de los que m¶as han necesitadode una implementaci¶on computacional para resolver cuestiones complejascomo el trabajar con operadores y multiplicaciones de¯nidas casi elementoa elemento.

    El trabajar computacionalmente con J = H3(C; ¤) en caracter¶³stica dosimplica una di¯cultad a~nadida sobre el caso lineal. En efecto el ¶algebraJ es un ¶algebra de Jordan cuadr¶atica. Las identidades que de¯nen elproducto son complicadas y se dividen en una multitud de casos suel-tos involucrando un cierto tipo de matrices elementales con octoniones.Por otra parte la de¯nici¶on de derivaci¶on de un ¶algebra de Jordan cua-dr¶atica no viene dada tampoco por identidades lineales. As¶³ preve¶³amosuna di¯cultad que nos hac¶³a dudar de la capacidad de los ordenadorespara resolver las cuestiones que les plante¶abamos. Por de pronto la com-plejidad algor¶³tmica aumentaba debido a la naturaleza cuadr¶atica de las¶algebras. Pi¶ensese que J es de dimensi¶on 27 y que por tanto las matricesde L = Der(J) son 27 £ 27 resultando por otra parte dim(L) = 52. Sinembargo las cosas marcharon bien, los algoritmos no colapsaron a los or-denadores y los c¶alculos se pudieron reducir casi a una mera comparaci¶onde listas, para liberarnos de toda sospecha de error.

    A lo largo de esta tesis doctoral nos hemos enfrentado con estructuras alge-braicas de altas dimensiones. En no pocas ocasiones, como apreciar¶a el lector,los c¶alculos han involucrado un gran numero de par¶ametros que han requeridode un apoyo inform¶atico. Este apoyo no s¶olo ha signi¯cado una ayuda mera-mente calcul¶³stica, sino que ha servido para en cierto modo interactuar con elsistema. Hemos podido solicitar respuestas a ciertas interrogantes que surg¶³ana lo largo de la investigaci¶on. Destacamos por ejemplo la implementaci¶on de lasecuaciones de McCrimmon. Esto permiti¶o que el sistema 'aprendiese' las reglasde multiplicaci¶on con lo que preguntas con respuestas complejas de veri¯car amano adquirieron sorprendente simpleza tanto en su planteamiento como en susoluci¶on.El sistema computacional elegido ha sido Mathematica. Hemos usado otros

    pero elegimos el mencionado por su formalidad a la hora de implementar fun-ciones y la posibilidad, como quedar¶a re°ejado a lo largo de la tesis, de de¯nirestructuras con las propiedades que el usuario quiera. Evidentemente esto no ha-ce sino acercar la soluci¶on de ciertos problemas puntuales pero no establece unaestrategia de trabajo. Como no podr¶³a ser de otro modo, creemos que existenciertos campos de la investigaci¶on que no pueden renunciar al uso de sistemasinform¶aticos para seguir creciendo y resolviendo cuestiones con un trasfondocomplejo desde el punto de vista computacional.A la hora de presentar la investigaci¶on que hemos realizado en estos ¶ultimos

    a~nos, hemos optado por intercalar entre cada cap¶³tulo las sesiones de trabajocon ordenador asociadas a cada uno de ellos. Estas sesiones de trabajo reco-gen no s¶olo los c¶alculo realizados sino las implementaciones y desarrollo de la

  • vii

    investigaci¶on: forman parte ineludible de la tesis doctoral. Estas sesiones sonautoexplicativas y simples en su comienzo, de forma que el lector no familiariza-do con el sistema podr¶a entenderlo sin di¯cultad, ya que adem¶as los comandos,funciones y modo de trabajar son del todo intuitivos.Hemos minimizado el uso de algoritmos propios del sistema y casi hemos

    basado todos su uso a una comparaci¶on de listas. Especialmente interesanteha sido la parte asociada al trabajo en una caracter¶³stica pre¯jada para la que(v¶ease el ¶ultimo cap¶³tulo) no hemos resuelto ning¶un sistema de ecuaciones. Paraello, y con el ¯n de evitar esta resoluci¶on, hemos combinado resultados te¶oricoscon el manejo de listas.Creemos ¯rmemente que este trabajo puede servir de punto de apoyo para

    pr¶oximas investigaciones que necesiten de un apoyo computacional ya que es-tablecen una l¶³nea de trabajo interesante y apasionante que ha cosechado, y loseguir¶a haciendo, numerosos resultados.Nos gustar¶³a expresar al profesor Alberto Elduque Palomo de la Universi-

    dad de Zaragoza, nuestro agradecimiento por su apoyo e inspiraci¶on para eldesarrollo de la segunda demostraci¶on del Teorema de Cartan-Jacobson.Agradecimientos del doctorando:Quisiera agradecer muy especialmente al profesor C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez,

    director de esta tesis, la pasi¶on que le ha dedicado en todo su desarrollo. Dedi-caci¶on y trabajo tambi¶en, que sin duda espero compartir en los a~nos veniderosenfrent¶andonos a los retos que la investigaci¶on matem¶atica nos guarde.Por otro lado, y no por ¶ultimo, quiero dedicar esta tesis doctoral a Noelia

    Mateos Vega, que supo sacri¯car una peque~na parte de nuestra vida privadamientras le era in¯el con octoniones y derivaciones.

  • ¶Indice

    Cap¶³tulo 1. Automor¯smos y Derivaciones. Caso real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    Sesi¶on I. Modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Sesi¶on II. Rango de las ¶algebras de Lie de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    Cap¶³tulo 2. Teorema de Cartan-Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    Sesi¶on III. Matriz gen¶erica de una derivaci¶on de las matrices de Zorn . . 113

    Cap¶³tulo 3. ¶Algebra de Lie f4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    Sesi¶on IV. Ecuaciones de McCrimmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    Sesi¶on V. Elemento gen¶erico de Der(H3(Os)) libre de caracter¶³stica . . . .153

    Sesi¶on VI. Estudio de la simplicidad de Der(H3(Os)) en caracter¶³stica 2 273

    Sesi¶on VII. Estudio del ideal I y del cociente f4(Os)=I . . . . . . . . . . . . . . . . 291

    Sesi¶on VIII. Simplicidad de f4(C) en caracter¶³stica distinta de dos. Unanueva aproximaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

    Sesi¶on IX. Expresi¶on simpli¯cada de un elemento gen¶erico en f4(Os) en ca-racter¶³stica distinta de 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

    Ap¶endice. Resultados f¶³sicos y tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

    Bibliograf¶³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

  • 1 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    Cap¶³tulo 1

    Derivaciones yAutomor¯smos. Caso real

    x1.1 El proceso de Cayley-Dickson

    Sea A un ¶algebra sobre un cuerpo F con 1 como elemento identidad y conuna involuci¶on a!a, donde aa 2 F y a + a 2 F para todo a 2 A. Con elproceso de Cayley-Dickson construiremos a partir de A, una nueva ¶algebra coninvoluci¶on que contendr¶a a A como sub¶algebra. Adem¶as, si la dimensi¶on de Aes m, la dimensi¶on de la construida ser¶a 2m.Elegimos un ® 6= 0 en F y denotamos por CD(A;®) al conjunto de todos los

    pares (a1; a2), ai 2 A, con las operaciones por componentes (el espacio vectorialsubyacente es A£A) y el producto:

    (a1; a2)(a3; a4) = (a1a3 + ®a4a2; a1a4 + a3a2):

    F¶acilmente se comprueba que CD(A;®) es tambi¶en un ¶algebra sobre F . Elconjunto ~A = f(a; 0)=a 2 Ag es una sub¶algebra de CD(A;®) que es isomorfa aA, es decir, hemos construido una nueva ¶algebra que contiene a la de partidacomo sub¶algebra. Como involuci¶on en la nueva ¶algebra construida se de¯ne

    (a1; a2) 7! (a1;¡a2);en funci¶on de la involuci¶on en A. El proceso de Cayley-Dickson es especialmen-te interesante en el caso en que se lo apliquemos a ¶algebras de composici¶on yaque podremos determinarlas todas salvo isomor¯smos. Por ¶algebras de compo-sici¶on entendemos aquellas en las que tenemos de¯nida una forma cuadr¶atican(x) y se veri¯ca:

    (1) n(xy) = n(x)n(y), 8x; y pertenecientes al ¶algebra.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 2 SECCI ¶ON 1.2. C¶ALCULO DE AUT(H) Y FORMA CAN ¶ONICA

    (2) La forma n(x) es estrictamente no degenerada. Una forma cuadr¶atica sedice que es estrictamente no degenerada cuando su forma bilineal sim¶etricaasociada es no degenerada, es decir, cuando f(a; x) = 0 para todo x en el¶algebra implica que a = 0, y se dice que es no degenerada1 cuando

    n(a) = 0f(a; x) = 0 8x 2 A

    ¾=) a = 0:

    (3) Existe un elemento identidad en el ¶algebra.

    En el caso de aplicarle el proceso a un ¶algebra de composici¶on se tiene:

    i) Si A es un ¶algebra de composici¶on con forma cuadr¶atica n(a), entonces existeuna involuci¶on tal que n(a) = aa. (Ver [45, Lema 2, p¶ag. 26]).

    ii) Si A es un ¶algebra de composici¶on con una forma cuadr¶atica n(a) = aa,entonces para la involuci¶on en CD(A;®) de¯nida anteriormente se tienela forma cuadr¶atica n(x) = xx. (Ver [45, Lema 4, p¶ag. 29]).

    iii) Si A es un ¶algebra de composici¶on, CD(A;®) es de composici¶on si y solosi A es asociativa.(Ver [45, Lema 5, p¶ag. 29]).

    iv) Si A es un ¶algebra de composici¶on entonces es isomorfa a uno de los si-guientes tipos: (ver [45, Teorema 1, p¶ag. 32])

    a) F cuerpo de caracter¶³stica distinta de dos y con forma cuadr¶atican(®) = ®2.

    b) CD(F; ¹) =: K(¹) = F + Fº, donde º2 = º + ¹ y 4¹+ 1 6= 0.c) CD(K(¹); ¯) =: Q(¹; ¯); ¯ 6= 0 llamada ¶algebra de cuaterniones ge-

    neralizados.

    d) CD(Q(¹; ¯); °) =: C(¹; ¯; °) con ° 6= 0 llamada ¶algebra de Cayley.En este cap¶³tulo determinaremos las derivaciones y automor¯smos de ¶algebras

    de composici¶on, con especial relevancia las de los octoniones de divisi¶on y de losoctoniones split buscando sus sorprendentes aplicaciones f¶³sicas.Las ¶algebras de composici¶on reales (obtenidas mediante el proceso de Cayley-

    Dickson aplicado a R) son: R, C (Tabla 1.1), Cs (Tabla 1.2), H (Tabla 1.3), Hs(Tabla 1.4), O (Tabla 1.5) y Os (Tabla 1.6).Elementalmente se obtiene que Aut(R) = f1g, que Aut(C) »= Z2 y que

    Der(R) = Der(C) = 0. Veamos qu¶e ocurre con los cuaterniones.

    x1.2 C¶alculo de Aut(H) y forma can¶onicaEn esta secci¶on vamos a determinar el grupo de automor¯smos de los cuater-niones, y demostraremos que es isomorfo al grupo cl¶asico SO(3).Enunciamos ahora tres lemas que nos ser¶an de gran ayuda en el resto del

    cap¶³tulo.

    1En el caso en que el cuerpo no sea de caracter¶³stica 2, ambas de¯niciones coinciden.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 3 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    C 1 i1 1 ii i -1

    Tabla 1.1: Complejos.

    Cs 1 i1 1 ii i 1

    Tabla 1.2: Complejos Split.

    H 1 I J K1 1 I J KI I -1 K -JJ J -K -1 IK K J -I -1

    Tabla 1.3: Cuaterniones.

    Lema 1.1[45, Lema 1, p¶ag. 25] Sea A una ¶algebra de composici¶on. Entonces A es al-ternativa2 y cada elemento del ¶algebra A veri¯ca una ecuaci¶on cuadr¶atica concoe¯cientes en el cuerpo, es decir, A es un ¶algebra cuadr¶atica.

    Lema 1.2[38, Theorem 1, p. 203] Sea A una ¶algebra cuadr¶atica sobre un cuerpo F decaracter¶³stica distinta de 2. Entonces A se puede descomponer en suma directade F -espacios

    A = F ¢ 1©Wdonde W se llamar¶a la parte vectorial de A y se puede caracterizar como

    W = fx 2 A : x2 2 F ¢ 1; x 62 F ¢ 1¡ f0gg:

    M¶as a¶un, existe un producto anticonmutativo £ : W £W ! W y una formabilineal sim¶etrica f : W£W ! F , tal que el producto en A se puede expresaren la forma

    (®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ y:2Se veri¯can las dos siguientes igualdades: x2y = x(xy), yx2 = (yx)x 8x; y 2 A.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 4 SECCI ¶ON 1.2. C¶ALCULO DE AUT(H) Y FORMA CAN ¶ONICA

    Hs 1 I J K1 1 I J KI I -1 -K JJ J K 1 IK K -J -I 1

    Tabla 1.4: Cuaterniones Split.

    O u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u2 u2 ¡u1 ¡u4 u3 ¡u6 u5 u8 ¡u7u3 u3 u4 ¡u1 ¡u2 ¡u7 ¡u8 u5 u6u4 u4 ¡u3 u2 ¡u1 ¡u8 u7 ¡u6 u5u5 u5 u6 u7 u8 ¡u1 ¡u2 ¡u3 ¡u4u6 u6 ¡u5 u8 ¡u7 u2 ¡u1 u4 ¡u3u7 u7 ¡u8 ¡u5 u6 u3 ¡u4 ¡u1 u2u8 u8 u7 ¡u6 ¡u5 u4 u3 ¡u2 ¡u1

    Tabla 1.5: Octoniones.

    Lema 1.3Sea D = H;Hs;O u Os y ¾ 2 Aut(D). Entonces existe un vector no nulo v 2W(la parte vectorial de D) tal que ¾(v) = v.

    Prueba.La primera observaci¶on que debemos hacer es que si µ : R2n+1 ! R2n+1

    es una aplicaci¶on lineal cuyos ¶unicos autovalores reales son §1 y tal que eldeterminante de su matriz asociada es 1, entonces el polinomio caracter¶³stico deµ admite la ra¶³z 1. En efecto, si p(x) es el polinomio caracter¶³stico de µ, se tiene

    p(x) = (x¡ r1)e1 ¢ ¢ ¢ (x¡ r2k+1)e2k+1q(x)donde ri 2 R y q(x) es un producto de factores de la forma (x¡z)(x¡z) dondez 2 C¡R o bien siendo 1. Si denotamos por @q(x) el grado del polinonio q(x), se

    tiene entonces que @q(x) es par y que2k+1Xi=1

    ei + @q(x) = 2n+ 1. En consecuencia

    2k+1Xi=1

    ei es impar. Si det(µ) = 1, necesariamente2k+1Yi=1

    reii > 0 luego no todos los

    ri valen ¡1 porque si as¶³ fuera, tendr¶³amos (¡1)s = 1 donde s =2k+1Xi=1

    ei (que es

    impar). De este modo alguna ra¶³z real es 1, por la tanto existe un v 2 W nonulo tal que ¾(v) = v. ¥

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 5 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    Os u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u2 u2 ¡u1 u4 ¡u3 ¡u6 u5 ¡u8 u7u3 u3 ¡u4 ¡u1 u2 ¡u7 u8 u5 ¡u6u4 u4 u3 ¡u2 ¡u1 ¡u8 ¡u7 u6 u5u5 u5 u6 u7 u8 u1 u2 u3 u4u6 u6 ¡u5 ¡u8 u7 ¡u2 u1 u4 ¡u3u7 u7 u8 ¡u5 ¡u6 ¡u3 ¡u4 u1 u2u8 u8 ¡u7 u6 ¡u5 ¡u4 u3 ¡u2 u1

    Tabla 1.6: Octoniones Split.

    Sea ahora ' un automor¯smo de H. Por serlo veri¯car¶a que '(1) = 1, porlo tanto tendremos que

    'jR = IdR: (1.1)Esto nos sugiere que ser¶³a ideal, considerando a H como R

    LW gracias al Lema

    1.2, que ' respetar¶a la parte W porque de ser as¶³ podr¶³amos concluir que lamatriz de ' es de la forma: [email protected]

    1 0 0 00 ? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?

    1CA : (1.2)Para ver que ' deja invariante la parte W es c¶omodo caracterizarla como:

    W = fq 2 H : q2 = t ¢ 1; t 2 R; t · 0g:En efecto, veamos que '(W) ½W :Sea x 2 W ) x2 · 0 y es real ) '(x)2 = '(x2) = x2 · 0 ) '(x) 2 W.

    N¶otese 1.1.Por lo tanto podemos a¯rmar que la matriz de ' es de la forma 1.2. Veamos

    que la restricci¶on 'jW respeta el producto escalar

    (xjy) = x1y1 + x2y2 + x3y3 donde½x = x1i+ x2j+ x3ky = y1i+ y2j+ y3k

    ¾:

    Para ello conviene recordar que el producto en H se puede escribir, teniendo encuenta que H = R

    LW, como :

    (®+ x)(¯ + y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®y + ¯x+ x ^ ydonde (¢j¢) es el producto escalar y ^ es el producto vectorial de R3.Tambi¶en conviene tener presente que el producto escalar veri¯ca:

    (xjy) = ¡12(xy + xy) 8x; y 2W: (1.3)

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 6 SECCI ¶ON 1.2. C¶ALCULO DE AUT(H) Y FORMA CAN ¶ONICA

    Utilizando 1.3 y que '(z) = '(z) 8z 2 H tenemos:

    ('(x)j'(y)) = ¡12('(x)'(y) + '(x)'(y)) = ¡1

    2('(xy) + '(xy)) =

    = ¡12('(xy) + '(xy)) =

    = '(¡12(xy + xy)) = ¡1

    2(xy + xy) = (xjy):

    En particular 'jW dejar¶a invariante la forma cuadr¶atica x21 + x22 + x23 lo que

    implica que Aut(H) ½ O(3). Veamos que incluso Aut(H) ½ SO(3), para lo cualtendremos que comprobar que el determinante de ' es igual a uno:

    Det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i)j'(j ^ k)) =

    = (ijj ^ k) = (iji) = 1: (1.4)Entonces tenemos efectivamente que Aut(H) ½ SO(3). Veamos ahora la otrainclusi¶on, para ello utilizaremos 1.4 y el siguiente:

    Lema 1.4Para todo x; y; z en W se tiene:

    (xjx ^ y) = 0(xjy ^ z) = (x ^ yjz):

    Prueba.Merece la pena demostrar la segunda igualdad :Por suerte tenemos que el ¶algebra de los cuaterniones de divisi¶on es asocia-

    tiva, con lo que x(yz) = (xy)z para todo x; y; z 2 W; desarrollando el primermiembro tenemos :

    x(yz) = x(¡(yjz) + y ^ z) = ¡(yjz)x+ x(y ^ z) =

    = ¡(yjz)x¡ (xjy ^ z) + x ^ (y ^ z):De igual forma desarrollando el segundo miembro tenemos:

    (xy)z = ¡(xjy)z ¡ (x ^ yjz) + (x ^ y) ^ z

    e igualando la parte escalar de ambos resultados llegamos al resultado deseado.¥Para demostrar la inclusi¶on Aut(H) ¾ SO(3) hay que probar que cualquier

    ' 2 SO(3) responde a un automor¯smo de cuaterniones, viendo que respeta elproducto o, equivalentemente, que para todo x; y; z 2W:

    ('(x)j'(y)) = (xjy) y que '(x ^ y) = '(x) ^ '(y):

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 7 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    La primera igualdad se deduce del hecho de que ' 2 SO(3) y por lo tantorespeta el producto escalar. Veamos la segunda para i; j y an¶alogamente sehace para los dem¶as casos:Como

    ('(i ^ j)j'(i)) = (i ^ jji) = 0 y ('(i ^ j)j'(j)) = (i ^ jjj) = 0

    tenemos que

    '(i ^ j) ? '(i); '(j)que junto con

    '(i) ^ '(j) ? '(i); '(j)implican que

    '(i) ^ '(j) = ¸'(i ^ j):Veamos, utilizando ya el Lema 1.4, que ¸ = 1:

    1 = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i) ^ '(j)j'(k)) =

    = (¸'(i ^ j)j'(k)) = ¸('(k)j'(k)) = ¸(kjk) = ¸:An¶alogamente se hace para los dem¶as casos, con lo que llegamos a que

    '(x ^ y) = '(x) ^ '(y)

    que junto con

    ('(x)j'(y)) = (xjy)nos demuestran que ' 2 Aut(H).En de¯nitiva, se ha demostrado que:

    Aut(H)=SO(3)

    Para acabar esta secci¶on determinaremos una forma can¶onica para los automor-¯smos de H. Sea ¾ 2 Aut(H). Sabemos que ¾(W) = W donde W es la partevectorial de H que coincide con el subespacio generado por el conjunto fi; j; kg.Consideremos pues ¾ restringido a W. Si utilizamos las notaciones e0 := 1 yconsideramos un elemento e1 de W de norma 1 y tal que ¾(e1) = e1 (v¶easeLema 1.3), vamos a demostrar que el plano e?1 de W se transforma en s¶³ mismomediante ¾. En efecto, sea x 2 e?1 , entonces

    (¾(x)je1) = (¾(x)j¾(e1)) = (xje1) = 0

    luego ¾(e?1 ) ½ e?1 y el car¶acter autom¶or¯co de ¾ implica la igualdad ¾(e?1 ) = e?1 .De este modo si tomamos una base ortonormal fe2; e3g de e?1 , tal que e3 = e1e2(lo cual es siempre posible tomando e2 como cualquier vector de norma unidaden e?1 , y e3 := e1 ^ e2), tendremos que ¾(e2) = (cos µ)e2 + (sin µ)e3 y ¾(e3) =

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 8 SECCI ¶ON 1.3. C ¶ALCULO DE AUT(HS) Y FORMAS CAN¶ONICAS

    ¾(e1)¾(e2) = e1(cos µe2 + sin µe3) = ¡ sin µe2 + cos µe3 con lo que la matriz de¾ en la base fe0; e1; e2; e3g [email protected]

    1 0 0 00 1 0 00 0 cos µ sin µ0 0 ¡ sin µ cos µ

    1CA (1.5)y adem¶as dicha nueva base es una base est¶andar de H.Como corolario haremos notar que todo automor¯smo ¾ de H es interior, es

    decir, existe q 2 H ¡ f0g tal que ¾(x) = qxq¡1 para todo x 2 H. En efecto,dado ¾ existe una base est¶andar f1; i; j; kg de H respecto a la cual la matriz de¾ es de la forma 1.5. Un f¶acil c¶alculo revela que poniendo q := cos µ2 + i sin

    µ2 ,

    se tiene ¾(x) = qxq¡1 para todo x 2 H.Como consecuencia tambi¶en de este ¶ultimo hecho, es posible dar una de-

    mostraci¶on elemental de que SO(3) es conexo: dados ¾; ¿ 2 Aut(H), tenemos¾(x) = qxq¡1; ¿(x) = rxr¡1 para ciertos q; r 2 H ¡ f0g y cualquier x 2 H.Obviamente existe una curva continua ° : [0; 1]! H tal que °(0) = q; °(1) = ry tal que la gr¶a¯ca de ° no pasa por el origen 0. Entonces el lector puede com-probar sin di¯cultad que la curva ¡ : [0; 1]! H tal que ¡(t) es el automor¯smode H dado por x 7! °(t)x°(t)¡1, es continua y conecta ¾ con ¿ . Recopilandolos resultados de esta secci¶on podemos enunciar el siguiente :

    Teorema 1.5

    1. El grupo Aut(H) es el grupo SO(3).

    2. Dado un elemento ¾ 2 Aut(H) existe una base est¶andar de H, respecto ala cual la matriz de ¾ [email protected]

    1 0 0 00 1 0 00 0 cos µ sin µ0 0 ¡ sin µ cos µ

    1CA :3. Todo automor¯smo de H es interior, es decir, de la forma x 7! qxq¡1 paraq 2 H¡ f0g.

    4. El grupo Aut(H) es conexo.

    x1.3 C¶alculo de Aut(Hs) y formas can¶onicasEn esta secci¶on vamos a determinar el grupo de automor¯smos de los cua-terniones split, y demostraremos que es isomorfo al grupo cl¶asico SO(1; 2).Al igual que se hizo en el apartado anterior, podemos restringirnos a la parte

    W y de igual forma se comprueba que si tenemos un ' 2 Aut(Hs) entoncesrespeta no ya el producto escalar (¢j¢) sino la forma bilineal

    f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 9 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    donde hemos supuesto

    x = x1i+ x2j+ x3k; y = y1i+ y2j+ y3k:

    Esto se comprueba sin m¶as que escribir el producto en Hs en funci¶on de la formabilineal f y de un producto que ya no es el vectorial aunque lo que nos interesaes que sigue siendo anticonmutativo:

    (®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ y 8®; ¯ 2 R; x; y 2W: (1.6)

    Del hecho de que ' respeta la forma bilineal f se tiene, en particular, que respetala forma cuadr¶atica ¡x21 + x22 + x23, con lo que tenemos la inclusi¶on

    Aut(Hs) ½ O(1; 2):

    Veamos que los automor¯smos de los cuaterniones split no s¶olo est¶an incluidos

    en O(1; 2) sino en SO(1; 2), es decir, que el determinante de cada automor¯smoes uno. Para ello necesitaremos 1.6 e introducir un antiautomor¯smo que nospermitir¶a jugar entre el producto vectorial ^ y el producto £.Introducimos ahora dicho antiautomor¯smo t : Hs ¡! Hs que deja invarian-

    tes a 1; j; k y a i le asocia ¡i. Entonces tenemos el siguiente:

    Lema 1.6Sea t el antiautomor¯smo anterior, se tiene entonces para todo x; y 2W:

    f(t(x); t(y)) = f(x; y);

    t(x ^ y) = t(y)£ t(x);f(t(x); y) = (xjy) = f(x; t(y));

    t(x) ^ t(y) = x£ y:Veamos, utilizando el Lema 1.6, que el determinante de ' es uno:

    Det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = f('(i); t('(j) ^ '(k))) =

    = f('(i); t'(k) ^ t'(j)) = f('(i); '(k)£ '(j)) = f('(i); '(k £ j)) == f(i; k £ j) = f(i;¡i) = 1:

    Por lo tanto tenemos ya demostrada la primera inclusi¶on de la igualdad que

    buscamos, es decir, que Aut(Hs) ½ SO(1; 2). Para comprobar la otra inclusi¶onhay que veri¯car que dado un ' 2 SO(1; 2) responde a un automor¯smo decuaterniones split, comprobando que respeta el producto en Hs. Pero comosabemos que respeta la forma bilineal f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3, s¶olo hayque comprobar que respeta el producto anticonmutativo £.Es decir, tenemos que demostrar que '(x £ y) = '(x) £ '(y) 8x; y 2 W.

    Hag¶amoslo para i; j y para el resto de combinaciones se har¶a igual: el hecho

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 10 SECCI ¶ON 1.3. C ¶ALCULO DE AUT(HS) Y FORMAS CAN¶ONICAS

    de que f('(i £ j); '(i)) = f(i £ j; i) = 0 y que tambi¶en f('(i £ j); '(j)) =f(i£j; j) = 0 implican que '(i£j) ?f '(i); '(j) que junto con el hecho evidentede que tambi¶en '(i)£ '(j) ?f '(i); '(j) implican que '(i)£'(j) = ¸'(i£ j).Veamos que ¸ es igual a uno. Para ello utilizaremos que el determinante de 'es uno y los Lemas 1.4 y 1.6:

    1 = det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i) ^ '(j)j'(k)) == f(t('(i) ^ '(j)); '(k)) = f(t'(j) ^ t'(i); '(k)) = f('(j)£ '(i); '(k)) == ¡f('(i)£ '(j); '(k)) = ¡¸f('(i£ j); '(k)) = ¡¸f(i£ j; k) = ¸:

    ) ¸ = 1:Por lo tanto hemos demostrado que efectivamente ' responde a un automor¯smode cuaterniones split, con lo que tenemos la inclusi¶on que cierra la igualdad:

    Aut(Hs)=SO(1,2)

    A continuaci¶on vamos a determinar ciertas formas can¶onicas para los ele-mentos de Aut(Hs). Sea ¾ 2 Aut(Hs). Recordemos que Hs = R ¢ 1©W dondeW coincide con el subespacio de las combinaciones lineales de i; j; k. Si ®; ¯ 2 R,x; y 2W, el producto de Hs se escribe en la forma

    (®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ ydonde f es la forma bilineal sim¶etrica dada por f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3para x = x1i + x2j + x3k e y = y1i + y2j + y3k, y x £ y es el productoanticonmutativo x£ y := (x2y3 ¡ x3y2)i+ (x1y3 ¡ x3y1)j ¡ (x1y2 ¡ x2y1)k:Tendremos que utilizar el resultado seg¶un el cual, para todo x 2 W, Rx =

    fy 2 W : y £ x = 0g. Como ¾(W) = W, razonaremos sobre la restricci¶on de ¾a W. Tomemos v 2W¡ f0g tal que ¾(v) = v (ver 1.3). En este punto hay quedistinguir dos casos, supongamos en primer lugar que v2 6= 0. Multiplicandopor un real adecuado podemos suponer que v2 = ² donde ² 2 f¡1; 1g. Como ves no isotr¶opico podemos descomponer W en la forma W = Rv?(Rv)?.Sea w 2 Rv? tal que f(w;w) 6= 0 (su existencia est¶a asegurada pues el

    conjunto de los x 2 W tales que f(x; x) = 0 es el cono x2 = y2 + z2, v¶easeFigura 1.1, una vez identi¯cado W con R3, y el plano Rv? no puede estarcontenido en dicho cono). Podemos suponer pues, que w2 = ± con ± 2 f¡1; 1g.De¯namos ahora z = vw, es f¶acil comprobar que z es ortogonal a v y a w y quez2 = ¡²±; vz = ²w;wz = ¡±v. Tenemos pues completa la tabla de multiplicarde Hs respecto a la base f1; v; w; zg. Adem¶as ¾ se puede restringir al planogenerado por w y z. Si ponemos ¾(w) = aw + bz; ¾(z) = cw + dz e imponemoslas mismas relaciones de multiplicaci¶on de v; w y z a sus transformados por ¾,encontramos que a = d; c = ²b; a2 ¡ ²b2 = 1. Si ² = 1 existe µ 2 R tal quea = d = cosh µ y b = c = sinh µ, adem¶as, si ± = 1, f1; z; w; vg es una baseest¶andar de Hs respecto a la cual la matriz de ¾ [email protected]

    1 0 0 00 cosh µ sinh µ 00 sinh µ cosh µ 00 0 0 1

    1CA : (1.7)Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 11 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    Figura 1.1: Cono x2 = y2 + z2.

    Si ± = ¡1, tenemos la base est¶andar f1; w; z; vg respecto a la cual la matriz de ¾es como la anterior. Analizemos el caso ² = ¡1. Como f tiene signatura uno, nopuede ocurrir que ± = ¡1 (pues se tendr¶³a f(v; v) = f(w;w) = f(z; z) = ¡1),por tanto ± = 1 y la base f1; v; w; zg es est¶andar. Existe entonces µ 2 R tal quea = d = cos µ; b = ¡c = sin µ. Respecto a dicha base la matriz de ¾ [email protected]

    1 0 0 00 1 0 00 0 cos µ sin µ0 0 ¡ sin µ cos µ

    1CA : (1.8)Supongamos por ¶ultimo que no existe ning¶un elemento ¯jo de ¾ que no tengacuadrado nulo. Sea pues v 2W¡f0g tal que v2 = 0; ¾(v) = v y ¯jemos una baseest¶andar f1; i; j; kg de Hs. Vamos a buscar una base de Hs (no necesariamenteest¶andar) respecto a la cual ¾ se exprese en una forma relativamente sencillay que nos permita obtener otra base (esta vez est¶andar) con relaci¶on a la cualexpresar ¯nalmente ¾. Si v = ai + bj + ck, se tiene que a2 = b2 + c2. Elconjunto de los elementos xi + yj + zk de cuadrado nulo se identi¯ca con el

    cono de ecuaci¶on x2 = y2 + z2. El plano v?f

    se puede elegir en la forma

    v?f

    =< v;w > donde w 2 W y w2 = §1. El lector puede comprobar sindi¯cultad que vw = ²v con ² = §1, y w2 = 1. Tenemos ya los elementos 1; v; w,parte de una base de Hs, y queremos completar con un cuarto vector a unabase en la que expresar ¾. Apelamos a la intuici¶on del lector para imaginar elsiguiente resultado geom¶etrico:Sea C un cono de R3, g una generatriz de C, y ¼ un plano tal que ¼ \ C =

    g. Entonces cualquier plano ¼0 distinto de ¼ que contenga a g, contiene otrageneratriz distinta g0 de C y por tanto ¼ es el ¶unico que corta a C en una ¶unicageneratriz.

    Si se aplica el resultado anterior al cono , con g = Rv, ¼ = v?f y ¼0 = w?f

    obtenemos la existencia de un z 2 W ¡ f0g tal que z2 = 0 y w?f =< v; z >.Un tedioso c¶alculo que nos negamos a repetir revela que vz = 1 ¡ ²w;wz = ²z.La tabla de multiplicar de dichos elementos b¶asicos es

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 12 SECCI ¶ON 1.3. C ¶ALCULO DE AUT(HS) Y FORMAS CAN¶ONICAS

    v w zv 0 ²v 1¡ ²ww ¡²v 1 ²zz 1 + ²w ¡²z 0

    .

    La expresi¶on matricial del automor¯smo ¾ relativa a esta nueva base [email protected] 0 0 00 1 0 00 x 1 00 ¡x22 ¡x 1

    1CAcon x un par¶ametro real. Ahora queremos determinar la expresi¶on matricial de¾ en cierta base est¶andar que vamos a de¯nir. Pongamos:

    si ² = 1

    8

  • 13 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    Lema 1.7Sea X un espacio topol¶ogico no conexo y X = A [ B, uni¶on disjunta, con A yB abiertos de X. Sea R una relaci¶on de equivalencia tal que p(A) \ p(B) = ;siendo p : X ! X=R la proyecci¶on can¶onica. Entonces el espacio cociente X=Res no conexo.

    Vamos ahora a demostrar que el grupo Aut(Hs) tiene dos componentes co-nexas. Consideremos un cuaterni¶on en Hs (x1; x). Como (x1; x)(x1;¡x) =(x21 ¡ f(x; x); 0), (x1; x) tendr¶a inverso si, y s¶olo si, x21 ¡ f(x; x) 6= 0. Si escribi-mos x = x2i+ x3j + x4k, sabemos que f(x; x) = ¡x22 + x23+ x24, luego podemoscaracterizar la inversibilidad de un cuaterni¶on en Hs en funci¶on de si la formacuadr¶atica q(x1; x2; x3; x4) = x

    21 + x

    22 ¡ x23 ¡ x24 es cero o no.

    Si demostramos (identi¯cando Hs con R4) que dos elementos de R4 con formacuadr¶atica positiva en ellos (respectivamente negativa) se pueden unir con unacurva que mantiene el car¶acter positivo (resp. negativo) de la forma cuadr¶atica,tendremos ya probado que Aut(Hs) tiene dos componentes conexas, una en laque la forma cuadr¶atica es positiva y otra en la que es negativa. Convienerecordar que si conseguimos unir dos cuaterniones con una curva continua queen cada punto sea un cuaterni¶on inversible (forma cuadr¶atica no nula) podremosunir dos automor¯smos cualesquiera (v¶ease el caso de Aut(H)), siempre claroest¶a, que est¶en en la misma componente conexa, es decir, que en la pareja decuaterniones que los de¯na como automor¯smos interiores la forma cuadr¶aticatenga el mismo signo. Entonces s¶olo nos resta probar la siguiente proposici¶on.

    Proposici¶on 1.8Consideremos en R4 la forma cuadr¶atica

    q(x1; x2; x3; x4) = x21 + x

    22 ¡ x23 ¡ x24

    y sean P;Q 2 R4 tales que q(P ) > 0 y q(Q) > 0 (resp. < 0). Entoncesexiste una curva continua ° : [0; 1] ! R4 tal que °(0) = P , °(1) = Q yIm(°) ½ fx 2 R4=q(x) > 0g, es decir, q(°(t)) > 0 (resp. < 0) para todot 2 [0; 1].Prueba.Podemos dar dos demostraciones elementales de este resultado. Veamos una

    breve idea de la primera. Podemos suponer sin p¶erdida de generalidad quekPk = kQk = 1. Entonces los puntos cr¶³ticos donde la forma cuadr¶atica es nulase encuentran en la intersecci¶on

    T = x3 \ fx 2 R4=q(x) = 0g;

    trat¶andose del toro de R4 formado por los puntos (x1; x2; x3; x4) tales que x21+x22 = 1=2 y x

    23 + x

    24 = 1=2. Sea w = (0; 0; 0; 1) el polo norte de la esfera x3 y

    µ : x3 ¡ fwg ! R3 la proyecci¶on estereogr¶a¯ca dada por

    µ(x1; x2; x3; x4) :=

    µ2x11¡ x4 ;

    2x21¡ x4 ;

    2x31¡ x4

    ¶:

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 14 SECCI ¶ON 1.3. C ¶ALCULO DE AUT(HS) Y FORMAS CAN¶ONICAS

    Figura 1.2: Toro en R3.

    El transformado de T por µ resulta ser el toro de R3, v¶ease Figura 1.2, cuyasecuaciones param¶etricas resultan ser:

    X =2 cos tp2¡ sin s ; Y =

    2 sin tp2¡ sin s ; Z =

    2 cos sp2¡ sin s :

    Es f¶acil ver que µ(P ) y µ(Q) est¶an ambos dentro o fuera de dicho toro en R3.En cualquier caso se pueden conectar por una curva continua °0 enteramentedentro o fuera del toro. Entonces podemos construir una curva de R4 que conec-ta P con Q y que satisface los requerimientos de la Proposici¶on, considerandola imagen inversa por µ del conjunto de puntos que forma °0.Pod¶³amos haber demostrado este resultado de otra forma, no tan est¶etica,

    pero m¶as elemental. En efecto, tenemos dos puntos de R4, P = (p1; p2; p3; p4)y Q = (q1; q2; q3; q4), en los que la forma cuadr¶atica es positiva (se proceder¶³aan¶alogamente si la forma cuadr¶atica fuese negativa), es decir q(P ) = p21 + p

    22 ¡

    p23 ¡ p24 > 0 y q(Q) = q21 + q22 ¡ q23 ¡ q24 > 0. Luego se tiene:p21 + p

    22 > p

    23 + p

    24; q

    21 + q

    22 > q

    23 + q

    24 : (1.11)

    Si se tuviese que p21+p22 = 1=2, por estar P en x3 se tendr¶³a que p43+p24 = 1=2 y

    no se veri¯car¶³a 1.11. Tampoco se veri¯car¶³a 1.11 si se tuviese que p21+p22 < 1=2

    luego s¶olo nos queda la posibilidad de que se de el mayor estricto para p21 + p22

    y tambi¶en para q21 + q22 , es decir, se tiene:

    p21 + p22 > 1=2) p23 + p24 < 1=2

    q21 + q22 > 1=2) q23 + q24 < 1=2 :

    Vamos entonces a conectar por componentes, es decir, conectemos (p1; p2) y(q1; q2) en R2 con una curva continua y tambi¶en (p3; p4) y (q3; q4) en R2 con otracurva continua de tal forma que construyendo a partir de ellas una curva en R4 severi¯que la tesis de la Proposici¶on. Veamos c¶omo: sea ® : [0; 1]! R2 una curva

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 15 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    continua que una (p1; p2) con (q1; q2), es decir, ®(0) = (p1; p2) y ®(1) = (q1; q2)y tal que ®1(t)

    2 + ®2(t)2 > 1=2 donde hemos supuesto ®(t) = (®1(t); ®2(t));

    sea ahora ¯ : [0; 1] ! R2 otra curva continua que una (p3; p4) y (q3; q4), esdecir, ¯(0) = (p3; p4) y ¯(1) = (q3; q4) y tal que ¯1(t)

    2 + ¯2(t)2 < 1=2 con

    ¯(t) = (¯1(t); ¯2(t)). Gr¶a¯camente se observa que dichas curvas existen. Acontinuaci¶on de¯nimos

    °(t) := (®(t); ¯(t)) = (®1(t); ®2(t); ¯1(t); ¯2(t))

    y dicha curva veri¯ca las tesis de la Proposici¶on, es decir, tenemos que °(0) =(p1; p2; p3; p4), °(1) = (q1; q2; q3; q4) y para todo t 2 [0; 1] se tiene que q(°(t)) =®1(t)

    2 + ®2(t)2 ¡ ¯1(t)2 ¡ ¯2(t)2 > 0 por tenerse que ®1(t)2 + ®2(t)2 > 1=2 y

    que ¯1(t)2 + ¯2(t)

    2 < 1=2, lo cual demuestra la Proposici¶on. ¥

    Recogiendo los resultados de esta secci¶on podemos enunciar:

    Teorema 1.91. El grupo Aut(Hs) es el grupo SO(1; 2).

    2. Dado ¾ 2 Aut(Hs) existe una base est¶andar de Hs con respecto a la cualla matriz de ¾ es de alguna de las formas 1.7, 1.8, 1.9 ¶o 1.10.

    3. Para cada ¾ 2 Aut(Hs) existe q 2 Hs inversible tal que ¾(x) = qxq¡1.4. El grupo Aut(Hs) tiene dos componentes conexas.

    x1.4 C¶alculo de Der(H)En esta secci¶on vamos a determinar el ¶algebra de derivaciones de los cuater-niones. Partimos con una derivaci¶on D, es decir, una aplicaci¶on lineal:

    D : H ¡! H

    que veri¯ca:D(xy) = D(x)y + xD(y) 8x; y 2 H: (1.12)

    Teniendo presente la tabla de los cuaterniones, vamos a determinar la matrizde la derivaci¶on D, es decir, expresaremos D(1), D(i), D(j) y D(k) en la basef1; i; j; kg. Primero observar que D(1) = 0, y :

    0 = D(i2) = D(i ¢ i) = D(i)i+ iD(i)) iD(i) = ¡D(i)i:Por lo tanto obtenemos (trabajando de forma an¶aloga con j y k) las siguientesrelaciones:

    iD(i) = ¡D(i)i; (1.13)jD(j) = ¡D(j)j; (1.14)kD(k) = ¡D(k)k: (1.15)

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 16 SECCI ¶ON 1.5. C ¶ALCULO DE DER(HS)

    De 1.13 tenemos que:

    si D(i) = a+ bi+ ®j + ¯k ) iD(i) = ai¡ b¡ ®k + ¯j y

    ¡D(i)i = ¡ai+ b¡ ®k ¡ ¯j;con lo que a = b = 0, quedando:

    D(i) = ®j + ¯k

    y de igual forma:D(j) = ¹i+ ±k;

    D(k) = ½i+ °j:

    A continuaci¶on, utilizando que i = jk, j = ki, k = ij y 1.12, obtenemos lassiguientes relaciones entre los 6 par¶ametros:

    ® = ¡¹; ± = ¡°; ¯ = ¡½:

    Por lo tanto la matriz de D queda :[email protected] 0 0 00 0 ¡® ¡¯0 ® 0 ¡±0 ¯ ± 0

    1CA :Se comprueba f¶acilmente que toda D : H ¡! H que responda a una matriz deese tipo es una derivaci¶on. Dichas matrices forman el ¶algebra so(0; 3). Por lotanto el ¶algebra de derivaciones de los cuaterniones es so(0; 3). Este resultado

    se podr¶³a haber obtenido de forma m¶as inmediata (sabiendo que Aut(H) »=SO(0; 3)) conocido el resultado (v¶ease [41, Proposici¶on 2, p¶ag. 203]) que a¯rmaque el ¶algebra de derivaciones de un ¶algebra coincide con el ¶algebra de Lie delgrupo de automor¯smos de dicha ¶algebra, es decir:

    Der(A) = L(Aut(A)); (1.16)

    demostrado para el caso en que el ¶algebra es real o compleja y ¯nito-dimensional,pero pudi¶endose generalizar al caso in¯nito-dimensional si se trata de un ¶algebranormada. (Ver [43, Example 7.15, page 119]).

    x1.5 C¶alculo de Der(Hs)An¶alogamente a como se hizo en el apartado precedente, se calcula el ¶algebrade derivaciones de los cuaterniones split. Siguiendo el mismo esquema se llegaa las relaciones siguientes para los seis par¶ametros:

    ¹ = ®; ± = ¡°; ¯ = ½

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 17 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    con lo que en este caso la matriz queda:[email protected] 0 0 00 0 ® ¯0 ® 0 ¡±0 ¯ ± 0

    1CA :Trat¶andose del ¶algebra so(1; 2). De nuevo, al igual que con los cuaterniones,

    este resultado se pod¶³a haber obtenido sabiendo que Aut(Hs) »= SO(1; 2) yutilizando 1.16.

    x1.6 C¶alculo de Aut(O) y forma can¶onicaLa discusi¶on relativa a los automor¯smos de O es algo m¶as delicada. Si en el

    ¶algebraO, llamamosW = Ru2©¢ ¢ ¢©Ru8, (ver Tabla 1.5), entoncesO = Ru1©Wy para cada par de elementos x; y 2W, su producto xy tendr¶a una parte en Ru1cuyo opuesto denotaremos por (xjy), y una parte en W que vamos a denotarpor x ^ y. Dicho de otro modo

    xy = ¡(xjy) + x ^ y

    para cualesquiera x; y 2 W. Es f¶acil constatar que (¢j¢) es un producto escalaren W y que (uijuj) = ±ij para cualesquiera i; j 2 f2; : : : ; 8g. No menos f¶acil esver que ^ : W £W ! W es un producto anticonmutativo de W, en el que doselementos distintos de la base fu2; : : : ; u8g se multiplican conforme a la tablade multiplicar antes mencionada. Se puede incluso caracterizar la parte W deO como el conjunto de los octoniones x tales que x2 2 Ru1 pero x 62 Ru1¡f0g.Visto de este modo est¶a claro que cualquier automor¯smo f de O veri¯ca

    f(W) = W (y trivialmente f(Ru1) = Ru1). La igualdad f(xy) = f(x)f(y)implica que (f(x)jf(y)) = (xjy) para cualesquiera x; y 2W. Por tanto f es unaisometr¶³a de W, es decir la restricci¶on del automor¯smo a la parte W de O sepuede identi¯car a una isometr¶³a de R7.Vamos a ver que cambiando la base fui : i = 2; : : : ; 8g de W por otra

    convenientemente elegida (y con misma tabla de multiplicar), obtenemos unaexpresi¶on can¶onica de f , conveniente para el estudio de G2, grupo de automor-¯smos de octoniones de divisi¶on. Los ¶unicos posibles autovalores reales de fson §1. Como la restricci¶on de f a W tiene que tener alg¶un autovalor realpor ser W de dimensi¶on impar, podemos considerar un vector propio de normaunidad e2 2 W, con f(e2) = ²e2 y ² = §1. Si ² = ¡1 mediante un sencillorazonamiento, es f¶acil encontrar otro vector unitario en W que se transformaen s¶³ mismo por f . Por tanto podemos considerar ² = 1. Tomemos ahora e3otro vector unitario deW ortogonal a e2. En resumen : tenemos e2; e3 2W conke2k = ke3k = 1, (e2je3) = 0 y f(e2) = e2.Si de¯nimos e1 := u1 y e4 = e3e2, no es dif¶³cil constatar que las relaciones

    multiplicativas de estos cuatro elementos se pueden identi¯car con las de los

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 18 SECCI ¶ON 1.6. C ¶ALCULO DE AUT(O) Y FORMA CAN ¶ONICA

    elementos u1; : : : ; u4 de la base original de O. El car¶acter isom¶etrico de f implicaque f(e3) = ®e3 + ¯e4 ( con ®

    2 + ¯2 = 1) y como e4 = e3e2, entonces f(e4) =¡¯e3 + ®e4. La restricci¶on de f al subespacio generado por e1; : : : ; e4 tiene endicha base la expresi¶on [email protected]

    1 0 0 00 1 0 00 0 cosu senu0 0 ¡senu cosu

    1CAdonde cosu = ® y senu = ¯. Razonemos ahora sobre el subespacio 4-dimensionalde W dado por V := (Re2© ¢ ¢ ¢©Re4)?. Mediante consideraciones geom¶etricaselementales (si dos isometr¶³as de un espacio eucl¶³deo conmutan, dicho espacio essuma directa ortogonal de rectas y planos invariantes por ambas isometr¶³as), sellega a la existencia en V de un plano ¦ que es invariante por f y por el operadorde multiplicaci¶on Re2 . El car¶acter isom¶etrico de Re2 se sigue del hecho de queel producto de O se relaciona con su producto escalar mediante las conocidascomo relaciones H¤: (xyjz) = (xjz¹y) = (yj¹xz), x; y; z 2 O. Si tomamos x 2 ¦,kxk = 1, se comprueba que la pareja fx; xe2g es una base ortonormal de ¦. Setiene entonces

    f(x) = cosv ¢ x+ senv ¢ (xe2)f(xe2) = ¡senv ¢ x+ cosv ¢ (xe2)

    para alg¶un v 2 R. Consideremos por ¯n los elementos xe3; xe4 que son per-pendiculares entre s¶³ y con x y xe2. Utilizando las identidades x(xy) = x

    2y,(xy)y = xy2 (identidades alternativas), una de las identidades de Moufang(xy)(zx) = x(yz)x, as¶³ como las linealizaciones de las identidades alternativas,se demuestra que con respecto a la base fe1; : : : ; e4; x; xe2; : : : ; xe4g, tenemos lasiguiente tabla de multiplicar, en la que la tabla de multiplicar de la sub¶algebra

    O e1 e2 e3 e4 x xe2 xe3 xe4e1 x xe2 xe3 xe4e2 ¡xe2 x xe4 ¡xe3e3 ¡xe3 ¡xe4 x xe2e4 ¡xe4 xe3 ¡xe2 xx ¡e1 ¡e2 ¡e3 ¡e4xe2 ¡e1 e4 ¡e3xe3 ¡e1 e2xe4 ¡e1

    generada por fe1; : : :, e4g es la consabida tabla de los cuaterniones reales dedivisi¶on y los restantes espacios en blanco se rellenan por anticonmutatividad.Como las im¶agenes por f de x; e3 y e4 las hemos calculado ya, podemos deter-minar que

    f(xe3) = f(x)f(e3) = [cosvx+ senv(xe2)](cosue3 + senue4) =

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 19 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    = cos(u+ v)xe3 + sen(u+ v)xe4

    y de forma an¶aloga se obtiene f(xe4) = ¡sen(u + v)xe3 + cos(u + v)xe4. Deesta forma de¯niendo e5 = x,e6 = xe2, e7 = xe3 y e8 = xe4, tenemos una tablade multiplicar id¶entica a la de los octoniones O, y con relaci¶on a dicha base, laexpresi¶on matricial de f es la [email protected]

    1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 cosu senu 0 0 0 00 0 ¡senu cosu 0 0 0 00 0 0 0 cosv senv 0 00 0 0 0 ¡senv cosv 0 00 0 0 0 0 0 cos(u+ v) sen(u+ v)0 0 0 0 0 0 ¡sen(u+ v) cos(u+ v)

    1CCCCCCCCCA(1.17)

    Fijemos una base fuig est¶andar de los octoniones. De¯namos ¾1(u; v) comoel automor¯smo que en dicha base tiene la expresi¶on matricial 1.17.

    Dicho automor¯smo tiene (aparte de la unidad) el vector b¶asico ¯jo e2, ytransforma los planos R < e3; e4 >, R < e5; e6 > y R < e7; e8 > medianterotaciones de ¶angulos u, v y u + v respectivamente. De¯namos an¶alogamenteel automor¯smo ¾i(u; v) (con i = 2; : : : ; 7) como aquel que deja ¯ja la recta devector ei+1 y efect¶ua rotaciones de ¶angulos u y v en los planos R < ej ; ek >(con j y k tales que ejek 2 Rei+1).Tenemos entonces en total 7 tipos de automor¯smos distintos y cada uno de

    ellos est¶a dado en funci¶on de dos par¶ametros independientes. Estos automor-¯smos recibir¶an de ahora en adelante el nombre de automor¯smos can¶onicos.Vamos a dar la idea de la demostraci¶on del siguiente teorema:

    Teorema 1.10Todo automor¯smo del ¶algebra O de los octoniones reales de divisi¶on, es com-posici¶on de automor¯smos can¶onicos.

    Consideremos la aplicaci¶on F : R14 ! G2 dada por

    F (u1; v1; : : : ; u7; v7) :=7Yi=1

    ¾i(ui; vi):

    Esta aplicaci¶on es C1 en todo R14 pues la expresi¶on matricial de cada uno de losfactores ¾i(ui; vi) depende en forma C

    1 de las variables ui y vi. Consideremosahora la aplicaci¶on exponencial exp : g2 ! G2, y recordemos que g2, ¶algebrade derivaciones de octoniones, est¶a formado por todas aquellas matrices M 2M8(R) tales que exp(tM) 2 G2 para todo t 2 R. Es sabido que la aplicaci¶onexponencial es un difeomor¯smo cuando se restringe a convenientes entornosdel cero de g2 y de la identidad de G2. Si denotamos por Eij al elemento deM8(R) que tiene un uno en la ¯la i-¶esima, columna j-¶esima y cero en las dem¶as

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 20 SECCI ¶ON 1.7. DER(O) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(7)

    entradas, podemos considerar la siguiente base de g2:

    e1 := E34 ¡ E43 + E78 ¡ E87; f1 := E56 ¡ E65 + E78 ¡ E87e2 := E42 ¡ E24 + E75 ¡ E57; f2 := E68 ¡ E86 + E75 ¡ E57e3 := E23 ¡ E32 + E85 ¡ E58; f3 := E76 ¡ E67 + E85 ¡ E58e4 := E62 ¡ E26 + E48 ¡ E84; f4 := E73 ¡ E37 + E48 ¡ E84e5 := E83 ¡ E38 + E74 ¡ E47; f5 := E25 ¡ E52 + E74 ¡ E47e6 := E35 ¡ E53 + E82 ¡ E28; f6 := E64 ¡ E46 + E82 ¡ E28e7 := E36 ¡ E63 + E27 ¡ E72; f7 := E45 ¡ E54 + E27 ¡ E72

    (el lector deber¶³a convencerse de que es un conjunto linealmente independien-te de derivaciones octoni¶onicas). Consideremos ahora la aplicaci¶on tangenteT0(F ) : T0(R14) ! g2 donde el espacio tangente a R14 en cualquiera de suspuntos, se identi¯ca al propio R14. No es dif¶³cil comprobar que cada una de lasderivaciones de la base anterior de g2 est¶a en la imagen de T0(F ). Por ejemploe1 = T0(F )(1; 0; : : : ; 0) mientras que f1 = T0(F )(0; 1; 0; : : : ; 0). As¶³ T0(F ) esun epimor¯smo entre dos espacios vectoriales de igual dimensi¶on luego es unisomor¯smo. Recordemos que cuando existe una aplicaci¶on C1 entre dos va-riedades y la aplicaci¶on tangente en un punto es un difeomor¯smo, existe unentorno de ese punto en la variedad-dominio y otro entorno de la imagen delpunto en la variedad-codominio, tal que la restricci¶on de la aplicaci¶on a dichosentornos es un difeomor¯smo. Por tanto existen entornos del 0 en R14 y de laidentidad en G2 tal que la restricci¶on de F a dichos entornos es un difeomor¯s-mo. Por tanto G2 posee un entorno formado enteramente por composiciones deautomor¯smos can¶onicos. Utilizando ahora los siguientes resultados:

    (1) El grupo G2 es conexo ([41, Proposition 1, Le»con 15, p.271]).

    (2) Todo entorno V de la unidad de un grupo topol¶ogico conexo G engendraal grupo G ([41, Lemme 4, Le»con 9, p.166]),

    se tiene el resultado esperado.

    x1.7 Der(O) y su inmersi¶on en so(7)En esta secci¶on veremos que el ¶algebra de derivaciones de O, llamada g2, sepuede sumergir en el ¶algebra so(7) y calcularemos la forma expl¶³cita de la matrizde una derivaci¶on en la base construida a partir del proceso de Cayley-Dickson,es decir, en la base :

    u1 = (1;0); u2 = (I;0); u3 = (J;0); u4 = (¡K;0);

    u5 = (0;1); u6 = (0; I); u7 = (0;J); u8 = (0;¡K)donde f1; I;J;Kg son los elementos de una base est¶andar de H.Sea

    D : O ¡! O

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 21 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    una derivaci¶on, es decir, que se veri¯ca :

    D(xy) = D(x)y + xD(y) 8x; y 2 O:Como tal derivaci¶on, se tiene que

    D(u1) = 0:

    Veamos que D deja invariante a la parte vectorialW3, es decir, que D(W) ½W,para ello conviene recordar la caracterizaci¶on de W:

    W = fx 2 O =x2 2 R; x 62 R¡ f0gg:Supongamos que tenemos un v 2 W no nulo, es decir v2 2 R y de la formav = (0; y), y que D(v) = (®; x), es decir, que D(v) tenga parte real. Estoimplicar¶³a que

    D(v2) = vD(v) +D(v)v = 0;

    es decir,(0; y)(®; x) + (®; x)(0; y) = 0:

    Luego¡(yjx) + ®y + y ^ x¡ (yjx) + ®y + x ^ y = 0

    teniendo presente que el producto en O se puede escribir como

    (®; x)(¯; y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®x+ ¯y + x ^ y;pero esto equivale a que

    ¡2(xjy) + 2®y = 0por lo tanto ® = 0 y D(v) no tiene parte real, luego tenemos que

    D(W) ½W:Si demostramos ahora que la matriz correspondiente a la restricci¶on de D a laparteW es antisim¶etrica, no s¶olo tendremos m¶as f¶acil el camino para determinarla matriz de la derivaci¶on D, sino que habremos demostrado la inclusi¶on deDer(O) en so(7). En efecto, sea x 2 W, por tanto x2 2 R y D(x2) = 0. Estoimplica, por ser D una derivaci¶on, que xD(x) = ¡D(x)x.Ahora utilizamos que el producto en O = R©W se pod¶³a escribir como

    (®; x)(¯; y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®x+ ¯y + x ^ y;para a¯rmar que tenemos

    ¡(D(x)jx)¡ (xjD(x)) +D(x) ^ x+ x ^D(x) = 0luego la parte escalar tiene que ser cero :

    (D(x)jx) + (xjD(x)) = 0:3O = R©W.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 22 SECCI ¶ON 1.7. DER(O) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(7)

    Si linealizamos esta ¶ultima igualdad llegamos a

    (D(x)jy) = ¡(xjD(y)):

    Dicha relaci¶on no es m¶as que el car¶acter antisim¶etrico de la restricci¶on de D a laparte vectorial W. Por lo tanto ya tenemos demostrada la inclusi¶on del ¶algebrag2 := Der(O) en so(7).Si reunimos todo lo que sabemos hasta ahora sobre la matriz de D, podemos

    a¯rmar que ser¶a de la forma :[email protected]

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®60 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯50 ¡®2 ¡¯1 0 ? ? ? ?0 ¡®3 ¡¯2 ? 0 °1 °2 °30 ¡®4 ¡¯3 ? ¡°1 0 ? ?0 ¡®5 ¡¯4 ? ¡°2 ? 0 ?0 ¡®6 ¡¯5 ? ¡°3 ? ? 0

    1CCCCCCCCCA:

    Y por ¶ultimo, para completar los elementos de la matriz que faltan por deter-minar, s¶olo tenemos que utilizar que D es una derivaci¶on y la antisimetr¶³a paraconcluir que la matriz de cualquier derivaci¶on de octoniones es de la forma4:[email protected]

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®6

    0 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯50 ¡®2 ¡¯1 0 ®5 ¡ ¯3 ®6 + ¯2 ¯5 ¡ ®3 ¡®4 ¡ ¯40 ¡®3 ¡¯2 ¯3 ¡ ®5 0 °1 °2 °30 ¡®4 ¡¯3 ¡¯2 ¡ ®6 ¡°1 0 ®1 + °3 ®2 ¡ °20 ¡®5 ¡¯4 ®3 ¡ ¯5 ¡°2 ¡®1 ¡ °3 0 ¯1 + °10 ¡®6 ¡¯5 ®4 + ¯4 ¡°3 °2 ¡ ®2 ¡¯1 ¡ °1 0

    1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCArespecto de una base est¶andar de O. El hecho interesante de que la caja superiorizquierda coincida con la matriz de una derivaci¶on de cuaterniones, nos permiteobservar la inclusi¶on5:

    Der(H) ½ Der(O):Esta forma expl¶³cita de la matriz de una derivaci¶on de octoniones de divisi¶on, esdecir, de un elemento de g2, nos permite explicitar una base de dicha ¶algebra.

    4N¶otense los 14 par¶ametros independientes.5Monomor¯smo de ¶algebras de Lie.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 23 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    En efecto, de¯namos

    P1 := J [1; 2] + J [5; 6]; P8 := J [2; 4] + J [3; 5];P2 := J [1; 3] + J [5; 7]; P9 := J [2; 5] + J [4; 3];P3 := J [1; 4] + J [6; 3]; P10 := J [2; 6] + J [7; 3];P4 := J [1; 5] + J [7; 3]; P11 := J [2; 7] + J [3; 6];P5 := J [1; 6] + J [3; 4]; P12 := J [4; 5] + J [6; 7];P6 := J [1; 7] + J [3; 5]; P13 := J [4; 6] + J [7; 5];P7 := J [2; 3] + J [6; 7]; P14 := J [4; 7] + J [5; 6];

    donde J [i; j] := Eij¡Eji con Eij ; i; j 2 f0; 1; : : : 7g la matriz 8£8 que tiene ununo en la ¯la i columna j y ceros en el resto. Entonces se acaba de demostrarque cualquier elemento X de g2 se puede escribir en la forma:

    X := ®1P1 + ®2P2 + ®3P3 + ®4P4 + ®5P5 + ®6P6 + ¯1P7 + ¯2P8+

    +¯3P9 + ¯4P10 + ¯5P11 + °1P12 + °2P13 + °3P14:(1.18)

    x1.8 Der(Os) y su inmersi¶on en so(3; 4)Tratemos de repetir los razonamientos de la secci¶on anterior con una derivaci¶on

    D : Os ¡! Os:

    El producto de Os se puede escribir como6

    (®; x)(¯; y) = ®¯ + f(x; y) + ®x+ ®y + x£ y

    donde ® y ¯ son escalares y con f la forma bilineal :

    f(x; y) = ¡x1y1 ¡ x2y2 ¡ x3y3 + x4y4 + x5y5 + x6y6 + x7y7donde hemos supuesto que respecto a una base est¶andar fuig8i=1:

    x = x1u2 + x2u3 + x3u4 + x4u5 + x5u6 + x6u7 + x7u8y = y1u2 + y2u3 + y3u4 + y4u5 + y5u6 + y6u7 + y7u8

    ;

    y veri¯cando f :

    f(ui; uj) =

    (0 si i 6= j¡1 si i = j = 2; 3; 4+1 si i = j = 5; 6; 7; 8

    :

    Siguiendo la cadena de razonamientos de la secci¶on anterior llegamos a

    f(D(x); y) = ¡f(x;D(y));

    relaci¶on que en el caso en que f fuese un producto escalar conducir¶³a al car¶acterantisim¶etrico, pero que en nuestro caso nos llevar¶a a otras relaciones. En efecto,

    6Os = R©W.

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 24 SECCI ¶ON 1.8. DER(OS) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(3; 4)

    tenemos, en particular para los elementos de la base que nos da el proceso deCayley-Dickson, las relaciones:

    f(D(ui); uj) = ¡f(ui; D(uj)):

    Si suponemos ahora

    D(ui) =Xk

    dikuk; D(uj) =Xh

    djheh;

    obtenemos las siguientes relaciones entre los elementos de la matriz de la deri-vaci¶on (dij):

    dij = ¡dji[f(ui; ui)f(uj ; uj)]:Relaciones que nos permiten observar por ejemplo que dii = 0.

    En el caso de Os tambi¶en se tiene que D(W) ½ W siguiendo el mismorazonamiento que en el caso de O cambiando el producto escalar por la formabilineal f y el producto vectorial por el producto anticonmutativo £.Para ¯nalizar, utilizando las relaciones anteriores y el hecho de que D sea

    una derivaci¶on, llegamos a que la matriz de cualquier derivaci¶on de octonionessplit es de la forma :[email protected]

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®6

    0 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯50 ¡®2 ¡¯1 0 ¯3 ¡ ®5 ®6 ¡ ¯2 ®3 + ¯5 ¡®4 ¡ ¯40 ®3 ¯2 ¯3 ¡ ®5 0 °1 °2 °30 ®4 ¯3 ®6 ¡ ¯2 ¡°1 0 ®1 ¡ °3 ®2 + °20 ®5 ¯4 ®3 + ¯5 ¡°2 °3 ¡ ®1 0 ¯1 ¡ °10 ®6 ¯5 ¡®4 ¡ ¯4 ¡°3 ¡®2 ¡ °2 ¡¯1 + °1 0

    1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCArespecto a cualquier base est¶andar de Os. A partir de la forma de esta matrizpodemos observar que tambi¶en se tiene

    Der(H) ½ Der(Os);

    y lo que es m¶as interesante, el hecho de que al igual que el ¶algebra de lasderivaciones de octoniones, g2, se pod¶³a sumergir en so(7), en este caso el ¶algebrade derivaciones de octoniones split se puede sumergir en el ¶algebra so(3; 4).Al igual que en el caso de las derivaciones de octoniones de divisi¶on, podemos

    dar expl¶³citamente una base, que nos ser¶a de gran utilidad, del ¶algebra de las

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 25 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

    derivaciones de octoniones split. De¯nimos

    Q1 := J [1; 2]¡ J [6; 5]; Q8 := Z[2; 4]¡ Z[3; 5];Q2 := J [1; 3] + J [5; 7]; Q9 := Z[2; 5] + Z[3; 4];Q3 := Z[1; 4] + Z[3; 6]; Q10 := Z[2; 6]¡ Z[3; 7];Q4 := Z[1; 5]¡ Z[3; 7]; Q11 := Z[2; 7] + Z[3; 6];Q5 := Z[1; 6]¡ Z[3; 4]; Q12 := J [4; 5]¡ J [6; 7];Q6 := Z[1; 7] + Z[3; 5]; Q13 := J [4; 6] + J [5; 7];Q7 := J [2; 3] + J [6; 7]; Q14 := J [4; 7] + J [6; 5];

    donde Z[i; j] := Eij+Eji. Entonces cualquier elemento X del ¶algebra split g2:=Der(Os) se puede escribir como

    X := ®1Q1+®2Q2+®3Q3+®4Q4+®5Q5+®6Q6+¯1Q7+¯2Q8+

    +̄ 3Q9+¯4Q10+¯5Q11+°1Q12+°2Q13+°3Q14:(1.19)

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • 26 SECCI ¶ON 1.8. DER(OS) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(3; 4)

    Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

  • Sesión I : Modelos

    algebraicos en física de partículas En esta sesión presentaremos dos álgebras de Lie, split 2 y so(4,4)so(2,2),reflejando una estructura que nos permitirá representar una serie de partículaselementales. Concretamente, el primer modelo explicará dos observables para tresquarks, sus antiquarks y ocho mesones obtenidos uniendo quarks. El segundoexplicará todos los quarks, sus antiquarks y todos los observables necesarios paradeterminarlos.

    El uso de álgebras de Lie será fundamental para poder usar subálgebras de Cartanen las que, entre otras propiedades, los corchetes son cero. Necesitaremos estehecho para poder identificar operadores ad con observables y tenerlos simultánea-mente definidos según nos dice el siguiente resultado:

    Teorema de compatibilidad

    Dados dos observables y con sus correspondientes operadores A

    y B

    lascondiciones siguientes son equivalentes

    i. y son observables compatibles.

    ii. A

    y B

    poseen una base propia común.

    iii. A

    y B

    conmutan, es decir, A

    B

    -B

    A

    = 0

    .

    Por tanto, el estudio de ciertas álgebras de Lie como posibles modelos se centrabásicamente en la determinación de su rango, dimensión de cualquier subálgebrade Cartan suya, con el correspondiente número de observables correctamentedefinidos, y una base adecuada de dicha álgebra sobre la que actúen los opera-dores. Bajo esta acción deben aparecer como valores propios los correspondientesnúmeros cuánticos asociados a cada una de las partículas que queremos represen-tar. Para probar que una subálgebra de un álgebra de Lie es de Cartan usaremos elsiguiente resultado:

    Teorema.

    Sea un álgebra de Lie de matrices real semisimple de dimensión finita. Sea una subálgebra de . Entonces es de Cartan si, y sólo si, es abeliana maximal ypara todos x e y en se tiene que x, yt 0.

  • Modelo split 2

    El primer modelo que presentamos es split g2 que es el álgebra de Lie de las derivaciones del álgebra alternativa s . Comenzaremos por definir la base ya determinada anteriormente en la forma

    In[1]:= Table 0, i, 1, 8 , j, 1, 8 ;Do m ; m p, q 1; Fp,q m, q, 1, 8 , p, 1, 8 ;

    Do Jp,q Fp,q Fq,p; Zp,q Fp,q Fq,p, p, 1, 8 , q, 1, 8 ;

    b1 J2,3 J7,6; b2 J4,2 J6,8; b3 Z2,5 Z4,7; b4 Z2,6 Z4,8;

    b5 Z2,7 Z4,5; b6 Z2,8 Z4,6; b7 J3,4 J7,8; b8 Z3,5 Z4,6;

    b9 Z3,6 Z4,5; b10 Z3,7 Z4,8; b11 Z3,8 Z4,7; b12 J6,5 J7,8;

    b13 J5,7 J6,8; b14 J5,8 J7,6;

    y así un elemento genérico será del tipo

    In[2]:= X Sum i bi, i, 1, 14

    Out[2]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 2 3 4 5 60 1 0 7 8 9 10 110 2 7 0 9 5 6 8 3 11 4 100 3 8 9 5 0 12 13 140 4 9 6 8 12 0 1 14 2 130 5 10 3 11 13 14 1 0 7 120 6 11 4 10 14 2 13 12 7 0

    donde los i son parámetros reales y cuyo número es, claro está, 14. Para calcularel rango nada mejor que determinar una subálgebra de Cartan. Para ello definimosprimero el corchete Lie:

    In[3]:= c x_, y_ : x.y y.x;

    y la posible subálgebra de Cartan como aquella generada por los elementos b4 y b10 para tener

    In[4]:= Cartan 1 b4 2 b10

    Out[4]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 00 0 0 1 2 0 0 0 0

    28 Modelos algebraicos en física de partículas

  • Los elementos b4 y b10 no sólo conmutan

    In[5]:= c b4, b10

    Out[5]= True

    sino que verifican las condiciones del teorema anterior ya que

    In[6]:= c b4, Transpose b10 ,c b10, Transpose b4 ,

    c b4, Transpose b4 ,

    c b10, Transpose b10

    Out[6]= True, True, True, True

    Para concluir que la anterior subálgebra es de Cartan nos resta verificar el caráctermaximal. Para ello tomaremos un elemento genérico del álgebra de Lie y leimpondremos todas las condiciones para que pertenezca a una subálgebra deCartan que contenga a b4 y b10 . Realizando estas operaciones y resolviendo elsistema correspondiente obtenemos que

    In[7]:= Reduce c X, b4 , c X, b10 ,c X, Transpose X , c X, Transpose b4 ,

    c X, Transpose b4 , c b4, Transpose X ,

    c b10, Transpose X

    Out[7]= 9 0 5 0 3 0 6 0 8 0 11 01 0 2 0 14 0 7 0 12 0 13 0

    Estas condiciones, dejan al elemento genérico X en la forma

    In[8]:= X . ToRules Reduce c X, b4 , c X, b10 ,c X, Transpose X ,

    c X, Transpose b4 ,

    c X, Transpose b4 ,

    c b4, Transpose X ,

    c b10, Transpose X

    Out[8]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 4 0 00 0 0 0 0 0 10 00 0 0 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 0 0 00 4 0 0 0 0 0 00 0 10 0 0 0 0 00 0 0 4 10 0 0 0 0

    Y no tenemos más que resolver

    Sesión I 29

  • In[9]:= Solve X . ToRules Reduce c X, b4 , c X, b10 ,c X, Transpose X ,

    c X, Transpose b4 ,

    c X, Transpose b4 ,

    c b4, Transpose X ,

    c b10, Transpose X Cartan,

    Variables Cartan

    Out[9]= 1 4, 2 10

    para encontrar que si un elemento verifica las condiciones requeridas parapertenecer a una subálgebra de Cartan en la que estén b4 y b10 entonces es combi-nación lineal de estos elementos en la forma concreta X 4b4 10b10 . Portanto podemos concluir la maximalidad de esta subálgebra con las condicionesmencionadas y afirmar que se trata de una subálgebra de Cartan de split g2 .También se tiene trivialmente que el rango de split g2 es 2. Y así enunciamos

    Teorema.

    Una subálgebra de Cartan del álgebra de Lie split g2 es la formada por loselementos de la forma 1b4 2b10 , y por tanto el rango de dicha álgebra es 2.

    Una vez que tenemos determinado el rango, 2, podemos plantearnos la posibil-idad de representar dos observables físicos con dos operadores ad construidos apartir de elementos de la subálgebra de Cartan anteriormente determinada. Losoperadores ad también conmutarán si los elementos elegidos lo hacen. Tomemosestos dos elementos denotados por H y por K como

    In[10]:= Hb4

    2

    b10

    2

    Out[10]=

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 12 0 0

    0 0 0 0 0 0 12 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

    0 12 0 0 0 0 0 0

    0 0 12 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

    y

    30 Modelos algebraicos en física de partículas

  • In[11]:= Kb4

    3

    b10

    3

    Out[11]=

    0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 13 0 0

    0 0 0 0 0 0 13 0

    0 0 0 0 0 0 0 230 0 0 0 0 0 0 0

    0 13 0 0 0 0 0 0

    0 0 13 0 0 0 0 0

    0 0 0 23 0 0 0 0

    La idea entonces será diagonalizar simultáneamente el álgebra con los operadoresad H y ad K . Esto lo haremos de la siguiente forma: estableceremos la correspon-dencia

    partícula p elemento del álgebra

    observable operador ad A

    de tal forma que si es el valor del observable para la partícula p , entonces setendrá que ad A x x . Esto motiva entonces el cálculo de los valores propios delos operadores adH y adK. Comenzamos por adH para obtener

    Sesión I 31

  • In[12]:= Reduce c H, X X

    Out[12]= 4 0 10 0 5 0 9 0 14 0 6 2 13

    8 13 3 12 11 7 12 1 0 12

    4 0 10 0 5 0 9 0 14 0 6 2 13

    8 13 3 12 11 12 7 1 0 12

    5 9 14 2 1 6 0 8 0 3 0 11 0

    2 0 7 0 12 0 13 0 0

    5 9 14 0 6 0 8 0 3 0 11 0

    2 0 1 0 7 0 12 0 13 0 0

    14 2 1 5 0 9 0 6 0 8 0 3 0

    11 0 2 0 7 0 12 0 13 0 0

    5 0 9 0 14 0 6 0 8 0 3 0 11 0

    2 0 1 0 7 0 12 0 13 0 0

    4 0 10 0 5 1 9 1 14 0 6 0 8 0

    3 0 11 0 2 0 7 0 12 0 13 0 1

    1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 4 0 10 05 0 9 0 14 0 6 0 8 0 3 011 0 2 0 1 0 7 0 12 0 13 0

    Observamos que aparecen los valores propios 0, 1, 1, 12 y 12 . Calculemos

    entonces los subespacios propios asociados. En primer lugar para el 0 se tiene:

    In[13]:= X . ToRules Reduce c H, X 0 X

    Out[13]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 4 9 0

    0 142 0 0 0 9 10 00 0 0 0 2 9 0 0 4 100 0 0 2 9 0 0 0 140 4 9 0 0 0 142 0

    0 9 10 0 0 142 0 00 0 0 4 10 14 0 0 0

    de dimensión

    In[14]:= Length Variables X . ToRules Reduce c H, X 0 X

    Out[14]= 4

    Para 12 tenemos

    32 Modelos algebraicos en física de partículas

  • In[15]:= X . ToRules Reduce c H, X1

    2X

    Out[15]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 13 12 0 0 60 0 0 12 11 13 0 0 110 13 6 11 12 0 0 6 13 11 12 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 6 13 12 0 0 60 0 0 11 12 13 0 0 110 6 11 0 0 6 11 0

    de dimensión

    In[16]:= Length Variables X . ToRules Reduce c H, X1

    2X

    Out[16]= 4

    Para 12 obtenemos

    In[17]:= X . ToRules Reduce c H, X1

    2X

    Out[17]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 13 12 0 0 60 0 0 11 12 13 0 0 110 6 13 11 12 0 0 6 13 11 12 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 6 13 12 0 0 60 0 0 11 12 13 0 0 110 6 11 0 0 6 11 0

    cuya dimensión es

    In[18]:= Length Variables X . ToRules Reduce c H, X1

    2X

    Out[18]= 4

    Con el valor propio 1 se tiene

    In[19]:= X . ToRules Reduce c H, X 1 X

    Out[19]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 0

    Sesión I 33

  • con dimensión 1 al igual que con el valor propio -1 ya que

    In[20]:= X . ToRules Reduce c H, X 1 X

    Out[20]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 0

    Si trabajamos con el operador ad K obtenemos los siguientes valores propios:

    In[21]:= Reduce c K, X X

    Out[21]= 6 0 11 0 8 0 5 9 3 0

    2 0 7 0 12 0 13 0 14 0 0

    4 0 10 0 6 2 11 7 1 0 8 0 5 0

    9 0 3 0 12 0 13 0 14 0 1

    4 0 10 0 6 13

    211

    12

    21 0

    8 13 5 0 9 0 3 12

    2 13

    27

    12

    214 0

    13

    4 0 10 0 6 13

    211

    12

    21 0

    8 13 5 0 9 0 3 12

    2 13

    27

    12

    214 0

    13

    4 0 10 0 6 0 11 0 1 14

    2

    8 0 5 142

    9 142

    3 0

    2 0 7 0 12 0 13 0 23

    4 0 10 0 6 0 11 0 1 14

    2

    8 0 5 14

    29

    14

    23 0

    2 0 7 0 12 0 13 0 23

    1 0 0 1 0 3 2 0 3 1 0 3 1 0 3 2 04 0 10 0 6 0 11 0 1 0 8 0 5 09 0 3 0 2 0 7 0 12 0 13 0 14 0

    es decir, 0, 1, 1, 13 , 13 ,

    23 y 23 . El subespacio propio asociado al valor

    propio cero es

    34 Modelos algebraicos en física de partículas

  • In[22]:= X . ToRules Reduce c K, X 0 X

    Out[22]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 4 9 00 1 0 0 0 9 10 00 0 0 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 0 0 00 4 9 0 0 0 1 00 9 10 0 0 1 0 00 0 0 4 10 0 0 0 0

    de dimensión

    In[23]:= Length Variables X . ToRules Reduce c K, X 0 X

    Out[23]= 4

    Para el valor propio 1 tenemos

    In[24]:= X . ToRules Reduce c K, X 1 X

    Out[24]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 60 0 0 11 0 0 0 110 6 11 0 0 6 11 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 60 0 0 11 0 0 0 110 6 11 0 0 6 11 0

    de dimensión

    In[25]:= Length Variables X . ToRules Reduce c K, X 1 X

    Out[25]= 2

    Con 1 tenemos

    In[26]:= X . ToRules Reduce c K, X 1 X

    Out[26]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 60 0 0 11 0 0 0 110 6 11 0 0 6 11 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 60 0 0 11 0 0 0 110 6 11 0 0 6 11 0

    de dimensión 2. Para 13

    Sesión I 35

  • In[27]:= X . ToRules Reduce c K, X1

    3X

    Out[27]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 132 12 0 0

    1320 0 0 122 13 0 0

    1220 132

    122 0 0132

    122 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 132 12 0 0

    1320 0 0 122 13 0 0

    1220 132

    122 0 0 132

    122 0

    de dimensión 2 ya que

    In[28]:= Length Variables X . ToRules Reduce c K, X1

    3X

    Out[28]= 2

    Para el valor propio 13

    se tiene el subespacio propio

    In[29]:= X . ToRules Reduce c K, X1

    3X

    Out[29]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 132 12 0 0

    1320 0 0 122 13 0 0

    1220 132

    122 0 0 132

    122 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 132 12 0 0

    1320 0 0 122 13 0 0

    1220 132

    122 0 0 132

    122 0

    de dimensión 2. Nos quedan dos subespacios propios de dimensión 1, a saber, para 23 :

    In[30]:= X . ToRules Reduce c K, X2

    3X

    Out[30]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 0

    142 0

    0 142 0 0 0142 0 0

    0 0 0 0 14 0 0 00 0 0 14 0 0 0 140 0 142 0 0 0

    142 0

    0 142 0 0 0142 0 0

    0 0 0 0 14 0 0 0

    36 Modelos algebraicos en física de partículas

  • y para 23 el subespacio

    In[31]:= X . ToRules Reduce c K, X2

    3X

    Out[31]=

    0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 0

    142 0

    0 142 0 0 0 142 0 0

    0 0 0 0 14 0 0 00 0 0 14 0 0 0 140 0 142 0 0 0

    142 0

    0 142 0 0 0142 0 0

    0 0 0 0 14 0 0 0

    Estamos ya en condiciones de introducir la siguiente base del álgebra de Lie quediagonaliza el espacio simultáneamente para los operadores adH y adK. Dichabase es

    In[32]:= u 2 b3 b7 b11 2 b12; u 2 b3 b7 b11 2 b12;

    d b2 b6 2 b8 2 b13; d b2 b6 2 b8 2 b13;

    s b1 b5 b9 2 b14; s b1 b5 b9 2 b14;

    b1 b5 b9; b1 b5 b9;

    K b2 b6; K b2 b6;

    Kcero b7 b11; Kcero b7 b11;

    cero b4; b10;

    donde hemos utilizado una notación que ya indica las partículas elementales quevamos a representar. A continuación realizamos la siguiente identificación:

    ad H OperadorT3, tercera componente de isospínad K Operador Y, hipercarga

    para verificar a continuación las siguientes tablas de números cuánticos para laspartículas que vamos a describir:

    Partícula T3 Y

    u 1213

    d 1213

    s 0 23 1 0

    K 12 1

    Kcero 12 1cero 0 0

    Partícula T3 Y

    u 12 13

    d 12

    13

    s 0 23 1 0

    K 12 1

    Kcero 12 1

    0 0

    Sesión I 37

  • Por ejemplo, si queremos calcular el valor de la tercera componente de isospín delquark u no tenemos más que resolver la ecuación H , u u y así

    In[33]:= Solve c H, u u

    Out[33]= 12

    en perfecta concordancia con el valor dado en la tabla anterior. Por otro lado, paradeterminar el valor de la hipercarga de este quark hacemos

    In[34]:= Solve c K, u u

    Out[34]= 13

    y obtenemos que la hipercarga del quark u es 13 . A continuación se presentan lasoperaciones que completan el resto de los valores de los números cuánticosasociados a las partículas que describimos. Par