Sobre los Polinomios de Chebyshev y su generalizaci on

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Sobre los Polinomios de Chebyshev ysu generalizacion

Juan Carlos Vargas Duanca

Facultad de Ciencias y Educacion

Proyecto Curricular de Matematicas

Universidad Francisco Jose de Caldas

Bogota D.C.- Junio 2020

Sobre los Polinomios de Chebyshev ysu generalizacion

Juan Carlos Vargas Duanca

Monografıa para optar al tıtulo de matematico

Director

Luis Oriol Mora Valbuena

Profesor

Proyecto Curricular de Matematicas

Facultad de Ciencias y Educacion

Universidad Francisco Jose de Caldas

2020

i

Agradecimientos

Quiero agradecer a mi familia, a mis companeros de carrera, al profesor Luis Oriol Mora, por

el acompanamiento, dedicacion y direccion de este trabajo de grado y a la Universidad Distrital

Francisco Jose de Caldas, por la formacion academica que recibı, al igual que a mis profesores.

ii

Introduccion

Los polinomios ortogonales han sido una herramienta fundamental en areas de la matematica, y han

tenido un impacto esencial en el estudio de teorıas de aproximacion. Estos polinomios tienen un sin

fin de usos, ya que, se encuentran en desarrollos de ecuaciones diferenciales, combinatorias, teorıa

de numeros, algebra computacional, teorıa de grupos, analisis numerico, analisis matematico, entre

otras areas importantes de la matematica. Tambien tienen aplicaciones en la ingenierıa, como en

la fısica apoyan a las ecuaciones de Schrodinger, la fısica cuantica, teorıas de entropıa, comprension

de datos estadısticos, entre otros. Historicamente, los primeros polinomios ortogonales fueron los

polinomios de Legendre, luego vinieron los polinomios de Chebyshev, los polinomios generales

de Jacobi, los polinomios de Hermite, los polinomios de Laguerre y Gegenbauer, siendo estos

polinomios los principales si de polinomios ortogonales se habla. [7]

La relevancia de los polinomios ortogonales indujo al autor de esta monografıa a su estudio

en su trabajo de grado. En consecuencia, el autor se propuso el estudio del artıculo Generalized

Chebyshev Polynomials, de Clemente Cesarano [5].

El artıculo Generalized Chebyshev Polynomials, investiga la relacion de recurrencia que satis-

facen los polinomios generalizados de Gegenbauer C(µ)n (x, y, α) mediante las ecuaciones

n+ 1

2µC

(µ)n+1(x, y, α) = xC(µ+1)

n (x, y, α)− yC(µ+1)n−1 (x, y, α) (1)

y

∂

∂yC(µ)n (x, y, α) = −µC(µ+1)

n−2 (x, y, α), (2)

iii

donde n es el grado u orden del polinomio, α el parametro del polinomio y µ una variable real en

la representacion integral de Euler para Gamma, donde

Γ(z) =

∫ +∞

0e−ttz−1dt.

Al realizar la lectura del artıculo de Clemente Cesarano, se encontraron dificultades en la

compresion de la teorıa expuesta, como en el desarrollo argumentativo que se presenta en el artıculo

para llegar a las relaciones (1) y (2).

En consecuencia, dado que el interes es el estudio del artıculo, se propone:

• Realizar una sıntesis de las teorıas basicas que cimientan el desarrollo del artıculo.

• Precisar y extender las demostraciones y definiciones mediante el uso de la sıntesis teorica del

objetivo anterior y de la comprension de dichas demostraciones y definiciones.

Para el desarrollo de los objetivos expuestos anteriormente se propone la siguiente metodologıa

• Se realiza un seminario sobre la teorıa de los polinomios ortogonales.

• Se lee el artıculo junto al director de grado, lo que permite el reconocimiento de las teorıas

principales que sustentan al artıculo a desarrollar. Se encuentran areas como el algebra lineal

abstracta, ecuaciones diferenciales, analisis matematico y funcional y teorıa de polinomios

ortogonales.

• El autor, en companıa del director de grado, realizan una busqueda bibliografica que sustente

las areas expuestas anteriormente; esta busqueda se inicia tomando la bibliografıa del artıculo

a estudiar y si se imposibilita esta busqueda, se trata de encontrar algunas bibliografıas que

la complementen.

Los resultados de este trabajo se organizan en tres capıtulos, conclusiones y bibliografıa. El

capıtulo 1 llamado, Preliminares, incluye la sıntesis de teorıas vistas durante el pregrado, esto

para comprender las teorıas que los polinomios ortogonales requieren en los capıtulos posteriores,

entre ellos estan; Series y sucesiones, ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden,

funcion hipergeometrica y la integral de Euler para Γ. El capıtulo 2 llamado, Conceptos basicos,

iv

contiene las teorıas no vistas durante el pregrado que se necesitan para abordar el capıtulo tres,

con esto afianzamos nuestros cimientos matematicos y los ampliamos, entre ellos estan; Polinomios

ortogonales, polinomios de Legendre, polinomios de Hermite, y polinomios de Chebyshev. Por

ultimo en el capıtulo 3 llamado, Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer, se define la

generalizacion de estos polinomios, se expone su funcion generadora, su representacion integral como

diferencial, para ası hallar la relacion de recurrencia que cumplen estos polinomios. Las conclusiones

responden a los objetivos o propositos expuestos al iniciar el estudio de esta monografıa y si estos

fueron resueltos, y al final se expone la bibliografıa que se utilizo para el estudio y desarrollo de

este trabajo.

v

Tabla de contenido

1 Preliminares 1

1.1 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Integral de Euler para Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Funcion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Analisis funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Teorıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Conceptos basicos 18

2.1 Polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer 46

3.1 Funcion generadora de los polinomios de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Relacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Relacion de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Conclusiones 52

Bibliografıa 53

vi

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se abordan algunos conceptos basicos del calculo tomados de [1], las ecuaciones

diferenciales vistas en [2] y funciones especiales sacadas de [3], como por ejemplo: las series de

potencias, sus criterios de convergencia, las ecuaciones diferenciales, sus metodos de resolucion y

el problema de valor inicial para ecuaciones de primer y segundo orden, al igual que las funciones

especiales tales como Gamma, la Hipergeometrica o la representacion integral de la funcion Gamma,

mas conocida como Integral de Euler para Gamma, todo esto, con el fin de dar las herramientas

necesarias para el entendimiento y desarrollo de los capıtulos siguientes. (La teorıa que se encuentra

a continuacion fue vista durante el pregrado, ası que no se profundizara en sus demostraciones).

1.1 Series de Potencias

En esta seccion se incluyen conceptos basicos, propiedades y resultados de las Series de potencias.

Estos conceptos son tomados de [1] y [8] a menos que se diga lo contrario.

Definicion 1.1-1 (Serie de potencias). Sea {an} una sucesion de coeficientes complejos con

n ∈ N y z, z0 ∈ C, con z0 fijo

a. La serie de potencias en z centrada en 0 es la serie

1

1.1. Series de Potencias Capıtulo 1. Preliminares

∞∑n=0

anzn = a0 + a1z + a2z

2 + a3z3 + ... .

b. La serie de potencias de z centrada en z0 es la serie

∞∑n=0

an(z − z0)n = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + a3(z − z0)3 + ... .

Teorema 1.1-1 (Convergencia). Tome la serie de potencias∑∞

n=0 an(z − z0)n; existe un

numero r ≥ 0 con r ∈ R con las siguientes propiedades

a. La serie converge en el disco Ur := {z ∈ C; |z| ≤ r}.

b. La serie diverge para cada z ∈ C con |z| > r

Definicion 1.1-2 (Radio y Disco de convergencia). En una serie de potencias se define

a. El numero r tomado en el Teorema 1.1-1 es el Radio de convergencia de una serie.

b. El Disco de convergencia es el conjunto Ur de todos los z para los cuales la serie

converge.

Teorema 1.1-2 (Continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad). Tome

f(x) =∑∞

n=0 an(z − z0)n, una funcion definida por una serie de potencias centrada en z0, con r su

radio de convergencia en Ur (f es analıtica), entonces se cumple

a. f ′(x)=∑∞

n=0 ann(z − z0)n−1 con r su radio de convergencia .

b.∫f(x)dx=C +

∑∞n=0 an

(z−z0)n+1

n+1 , con r su radio de convergencia .

Definicion 1.1-3 (Serie de Taylor). Tome f una funcion analıtica centrada en z0 en el disco

Ur y un radio de convergencia r, entonces La Serie de Taylor de f(z) centrada en z0 es

∞∑n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n.

2

Capıtulo 1. Preliminares 1.1. Series de Potencias

Teorema 1.1-3 (Teorema de Taylor). Sea f una funcion analıtica en el disco Ur centrada en

z0 con r su radio de convergencia, entonces la serie de Taylor converge a f(z) cuando z se encuentra

en el disco Ur.

Una demostracion mas detallada se encuentra en ([8], pagina 189).

Definicion 1.1-4 (Serie de Laurent). Tome f una funcion analıtica e infinitamente diferen-

ciable (funcion holomorfa) en C, entonces se define la Serie de Laurent centrada en z0 y un camino

de integracion γ con γ una curva de Jordan (curva cerrada y simple) como

∞∑n=0

an(z − z0)n,

donde

an =1

2πi

∮γ

f(z)

(z − z0)n+1dz, n ∈ Z.

Teorema 1.1-4 (Teorema de Laurent). Sea f una funcion analıtica en el dominio

r1 < |z − z0| < r2 centrada en z0, y sea γ el camino de integracion con γ una curva de Jordan que

rodea z0 y se encuentra en el dominio. Entonces para cada z se tiene que f(z) se puede representar

de la forma

f(z) =

∞∑n=0

an(z − z0)n +∞∑n=1

bn(z − z0)n

,

donde

an =1

2πi

∮γ

f(z)

(z − z0)n+1dz

y

bn =1

2πi

∮γ

f(z)

(z − z0)n+1dz,


Las siguientes definiciones y los siguientes lemas fueron tomados de [10] y [3] respectivamente.

Estos lemas seran posteriormente utilizados en la seccion 2.2 Polinomios de Legendre para el re-

ordenamiento de su funcion generadora.

3

1.1. Series de Potencias Capıtulo 1. Preliminares

Definicion 1.1-5 (Sucesion dobles). Sea f : N × N → C una funcion. f se dice sucesion

(compleja) doble y tambien se nota como {f(k, n)}∞k,n=0, donde (k, n) ∈ N× N.

Definicion 1.1-6 (Convergencia de una sucesion dobles). Se dice que la sucesion de los

f(k, n) converge en C si existe a ∈ C tal que

∀ε > 0 ∃N ∈ N

|f(k, n)− a| < ε, k, n ≥ N.

Definicion 1.1-7 (Serie doble) Sea f una sucesion doble y sea s la sucesion doble definida

como

s(p, q) =

p∑k=0

q∑n=0

f(k, n).

El par (f, s) es llamado serie doble y se nota como∑

k,n f(k, n) o simplemente∑f(k, n).

La serie doble∑f(k, n) converge a a si limp,q→∞s(p, q) = a, a ∈ C.

La serie doble∑f(k, n) es absolutamente convergente si

∑|f(k, n)| es convergente.

Definicion 1.1-8 (Reordenamiento de una serie doble). Sea f una sucesion doble y sea

g una funcion inyectiva definida en N con rango N× N. Se define G como

G(n) = f(g(n)), n ∈ N.

Entonces g es llamado reordenamiento de una sucesion doble f en la sucesion G.

Teorema 1.1-5 (Series dobles). Sea∑f(k, n) una serie doble y tome g un reordenamiento

de la sucesion doble f en la sucesion G. Entonces

a.∑G(n) converge absolutamente sı y solo sı

∑f(k, n) converge absolutamente.

4

Capıtulo 1. Preliminares 1.2. Ecuaciones diferenciales

Asumiendo que∑f(k, n) converge absolutamente a S entonces

b.∑∞

n=1G(n) = S.

c.∑∞

n=1 f(k, n) y∑∞

m=1 f(k, n) convergen absolutamente.

d. si Ak =∑∞

n=1 f(k, n) y bn =∑∞

k=1 f(k, n), ambas series absolutamente convergentes y

ambas con resultado S se tiene

∞∑n=1

∞∑k=1

f(k, n) =

∞∑k=1

∞∑n=1

f(k, n) = S.


Lema 1.1-1. Sea∑f(k, n) una serie doble absolutamente convergente, entonces se cumple el

reordenamiento∞∑n=0

∞∑k=0

f(k, n) =∞∑n=0

n∑k=0

f(k, n− k).

Lema 1.1-2. Sean∑f1(k, n),

∑f2(k, n) series dobles absolutamente convergentes, entonces

se cumplen los reordenamientos

∞∑n=0

∞∑k=0

f1(k, n) =

∞∑n=0

[n2

]∑k=0

f1(k, n− 2k)

y∞∑n=0

[n2

]∑k=0

f2(k, n) =∞∑n=0

∞∑k=0

f2(k, n+ 2k).

1.2 Ecuaciones diferenciales

Esta seccion fue tomada de [2], donde se desarrollan los conceptos basicos, propiedades y resultados

de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

Definicion 1.2-1 (Ecuacion diferencial de primer orden). Una ecuacion diferencial de

primer orden (EDPO) en la funcion variable y tiene la forma

5

1.2. Ecuaciones diferenciales Capıtulo 1. Preliminares

y′(t) = f(t, y(t)),

donde f es dada y y′ =dydt . La ecuacion es lineal sı y solo sı f es lineal en su segunda componente,

y′(t) = a(t)y + b(t).

La ecuacion lineal tiene Coeficientes constantes sı y solo sı a, b son constantes, de lo contrario tiene

Coeficientes variables.

Teorema 1.2-1 (Ecuacion diferencial de primer orden). La ecuacion diferencial lineal

y′(t) = ay + b,

con a 6= 0, b constantes, tiene infinitas soluciones

y(t) = ceat − ba , c ∈ R.

Definicion 1.2-2 (Condicion inicial). Dada la ecuacion diferencial de primer orden de la

forma

y′(t) = ay + b, (1.1)

que satisface la condicion inicial

y(t0) = y0,

donde a, b, t0, y0 son constantes, diremos que (1.1) es una ecuacion diferencial de valor inicial.

Teorema 1.2-2 (Condicion inicial). Dadas las constantes a, b, t0, y0 ∈ R, con a 6= 0, el

problema de valor inicial

y′(t) = ay + b, y(t0) = y0,

tiene una unica solucion

y(t) = (y0 + ba)ea(t−t0) − b

a .

Definicion 1.2-3 (Ecuacion diferencial lineal de segundo orden). Una ecuacion diferen-

6

Capıtulo 1. Preliminares 1.2. Ecuaciones diferenciales

cial lineal de segundo orden para la funcion y tiene la forma

y′′ + a1(t)y′ + a0(t)y = b(t), (1.2)

donde a1, a0, b son funciones en un intervalo I ⊂ R. Ademas se dice de la ecuacion diferencial (1.2)

que:

a. Es homogenea sı y solo sı b(t) = 0 para todo t ∈ R.

b. Tiene coeficientes constantes sı y solo sı a1, a0 son constantes.

c. Tiene coeficientes variables sı y solo sı a1 o a0 son constantes.

Teorema 1.2-3 (Ecuacion diferencial de segundo orden). Si las funciones a1, a0, b son

continuas en un intervalo cerrado I ⊂ R, la constante t0 ∈ I, y y0, y1 ∈ R constantes arbitrarias,

entonces existe una unica solucion y, definida sobre I, que resuelve el problema del valor inicial

y′′ + a1(t)y′ + a0(t)y = b(t), y(t0) = y0, y′(t0) = y1.

Definicion 1.2-4 (Ecuacion diferencial parcial). Una ecuacion diferencial parcial para la

funcion y(x1, ..., xn) con variables reales tiene la forma

f(x1, ..., xn; y, ∂y∂x1 , ...,∂y∂xn

, ∂2y∂x1∂x1

, ..., ∂2y∂x1∂xn

, ...) = 0,

con f dada.

Definicion 1.2-5 (Ecuacion diferencial parcial de primer orden). La ecuacion diferencial

parcial de primer orden, es una ecuacion diferencial parcial que involucra la primera derivada parcial

de cada una de las variables de la funcion y(x1, ..., xn) y tiene la forma

f(x1, ..., xn; y, ∂y∂x1 , ...,∂y∂xn

) = 0.

La solucion general a la ecuacion diferencial parcial de primer orden es una solucion que contiene

una funcion arbitraria, pero la solucion a las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden con

tantas constantes arbitrarias como el numero de variables independientes se llama Integral completa.

La siguiente familia de soluciones de parametros n

7

1.2. Ecuaciones diferenciales Capıtulo 1. Preliminares

y = φ(x1, ..., xn, a1, ..., an),

donde φ(x1, ..., xn, a1, ..., an) es la matriz Hessiana. Es una integral completa si Det|φxiaj | 6= 0.

Definicion 1.2-6 (Ecuacion diferencial parcial de segundo orden). Una ecuacion difer-

encial parcial de segundo orden en dos variables independientes es de la forma

A ∂2z∂x∂x + 2B ∂2z

∂x∂y + C ∂2z∂y∂y+(terminos de orden inferior)= 0,

donde los coeficientes A,B,C pueden depender de las variables x, y. Si A2 + B2 + C2 > 0 sobre

una region del plano xy, entonces la ecuacion diferencial parcial es de segundo orden en esa region.

Esta forma es analoga a la ecuacion conica

Ax2 +Bxy + Cy2 + ... = 0.

Mas precisamente, reemplazando ∂z∂x por x y ∂z

∂y por y (formalmente esto se hace mediante una

transformada de Laplace en ([2], pagina 176)), se convierte una ecuacion diferencial parcial de

coeficiente constante en un polinomio del mismo grado, siendo el grado superior (un polinomio

homogeneo, aquı una forma cuadratica) el mas significativo para la clasificacion y resolucion de la

ecuacion.

Definicion 1.2-7 (Problema de Cauchy). Para una ecuacion diferencial en derivadas par-

ciales definida sobre Rn, el problema de Cauchy consiste de hallar la solucion u de la ecuacion

diferencial de orden k que satisface

∂ku(x)

∂xk= fk(x), k = 1, ..., (n− 1)

y

u(x) = f0(x),

donde las fk son funciones dadas y para todo x en Rn. Si las igualdades anteriores se cumplen se

dice que u(x) satisface con las condiciones del Problema de Cauchy.

8

Capıtulo 1. Preliminares 1.3. Integral de Euler para Gamma

1.3 Integral de Euler para Gamma

La siguiente seccion busca bajo la teorıa de la funcion Gamma, una representacion integral de esta.

(Toda esta informacion es tomada de [3].)

Definicion 1.3-1 (Constante Euler-Mascheroni). Sea γ la constante de Euler-Mascheroni

definida como

γ = limn→∞(On − log n),

donde

On =∑n

k=11k .

Para los detalles de la existencia de γ ver ([3], pagina 8).

Definicion 1.3-2 (Funcion Gamma). La funcion gamma definida para todo el plano C dada

como productos infinitos, nocion introducida por Weierstrass, es de la forma

1

Γ(z)= zeγz

∞∏n=1

(1 +z

n)(e−

zn ).

Donde Γ(z) cumple con

a. Γ(z) es analıtica excepto en z = entero no positivo y z = +∞.

b. Γ(z) tiene un polo simple en z = cualquier entero no positivo.

c. Γ(z) tiene una singularidad esencial en z = +∞.

d. Γ(z) nunca es cero (porque 1Γ(z) no tiene polos).

Los tratamientos elementales que se le dan a Γ(z) estan usualmente caracterizados en for-

mas o representaciones integrales; el teorema 1.3-1 muestra la relacion que tiene Γ(z) definida por

Weiestrass como una representacion integral expuesta por Euler.

Teorema 1.3-1 (Representacion integral de Euler para Gamma). Si Re(z) > 0, con

9

1.3. Integral de Euler para Gamma Capıtulo 1. Preliminares

z ∈ C entonces

Γ(z) =

∫ +∞

0e−ttz−1dt.

Una demostracion mas detallada para esta representacion se encuentra en ([3], pagina 15).

Teorema 1.3-2. La funcion gamma satisface la relacion

Γ(z + 1) = zΓ(z)

Demostracion. Se tiene por la Definicion 1.3-2 que

Γ(z + 1)

Γ(z)=

z

z + 1

∏∞n=1[(1 + 1

n)z+1(1 + z+1n )−1]∏∞

n=1[(1 + 1n)z(1 + z

n)−1]

=z

z + 1

∞∏n=1

[(1 +1

n)(1 +

z

n)(1 +

z + 1

n)−1]

=z

z + 1limn→∞

n∏k=1

(k + 1

k

k + z

k + z + 1)

=z

z + 1limn→∞

n+ 1

1

1 + z

n+ z + 1

= z.

Es decir

Γ(z + 1)

Γ(z)= z.

Γ(z + 1) = zΓ(z)

Para todos los z finitos excepto para los polos de Γ(z). �

Se tiene que Γ(1) = 1, una demostracion de este hecho se encuentra en ([3], pagina 12). Si

z = m con m entero positivo, utilizando el resultado del anterior teorema (Teorema 1.3-2) iteradas

veces se obtiene Γ(m+ 1) = m!.

10

Capıtulo 1. Preliminares 1.4. Funcion hipergeometrica

1.4 Funcion hipergeometrica

Ls seccion a continuacion incluye conceptos basicos, propiedades y resultados de la Funcion hiper-

geometrica; estos conceptos son tomados de [3].

Definicion 1.4-1 (Funcion hipergeometrica). La funcion hipergeometrica es una serie de

potencias de la forma

F (a, b; c; z) = 1 +∞∑n=1

(a)n(bn)zn

(c)nn!=∞∑n=0

(a)n(bn)zn

(c)nn!, (1)

para c no entero negativo y diferente de cero. La notacion de (1) esta dada por

(α)n = α(α+ 1)(α+ 2)...(α+ n− 1), n ≥ 1,

(α)0 = 1, α 6= 0.

Toda la informacion acerca de esta notacion se encuentra en ([3], pagina 22). Ahora tenemos que

limn→∞

∣∣∣∣∣∣(a)n+1(b)n+1zn+1

(c)n+1n!

(a)n(b)nzn

(c)nn!

∣∣∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣(a)n+1(b)n+1zn+1

(c)n+1n!

(c)nn!

(a)n(b)nzn

∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣(a+ n)(b+ n)z

(c+ n)(n+ 1)

∣∣∣∣ = |z| ,

donde el radio de convergencia de z es 1 por el Teorema 1.1-1. Todo esto si a, b, c son enteros

no negativos diferentes de cero. Se concluye luego de haber usado el criterio de convergencia de

d’Alembert (criterio del cociente), que la serie F (a, b; c; z) converge para todo z ∈ C tal que |z| < 1,

si |z| > 1 luego la serie diverge, para z = 1 se busca otro metodo.

Teorema 1.4-1 (Funcion hipergeometrica). Para |z| < 1, la funcion hipergeometrica satis-

face la ecuacion diferencial de segundo orden

z(1− z)w′′ + [c− (a+ b+ 1)z]w′ − abw = 0.

11

1.4. Funcion hipergeometrica Capıtulo 1. Preliminares

A esta ecuacion se le conoce como Ecuacion diferencial hipergeometrica.

Demostracion. Sea el operador θ = z( ddz ), ahora se tiene definido que

w = F (a, b; c; z) =∞∑n=0

(a)n(bn)zn

(c)nn!,

ahora

θ(θ + c− 1)w =

∞∑n=0

n(n+ c− 1)anbnzn

cnn!

=∞∑n=1

anbnzn

cn−1(n− 1)!,

pero tambien tenemos que

θ(θ + c− 1)w =

∞∑n=0

an+1bn+1zn+1

cnn!

= z∞∑n=0

(a+ n)(b+ n)anbnzn

cnn!

= z(θ + a)(θ + b)w,

osea que

[θ(θ + c− 1)− z(θ + a)(θ + b)]w = 0, θ = zd

dz,

luego distribuyendo los operadores tenemos

[θ(θ + c− 1)− z(θ + a)(θ + b)]w = [θ(θ + c− 1)− zθ2 − azθ − bzθ − ab]w

= [θ(θ − 1) + θc− zθ2 − azθ − bzθ − ab]w

= θ(θ − 1)w + θcw − zθ2w − azθw − bzθw − abw,

ahora ya que θw = zw′ y θ(θ − 1)w = z2w′′ se tiene

= zw′′ − z2w′′ + cw′ − azw′ − bzw′ − abw′,

factorizando

= z(1− z)w′′ + [c− (a+ b+ 1)z]w′ + abw,

12

Capıtulo 1. Preliminares 1.5. Analisis funcional

osea que

z(1− z)w′′ + [c− (a+ b+ 1)z]w′ + abw = 0. �

1.5 Analisis funcional

Esta seccion repasa los conceptos elementales y necesarios para abordar el concepto de funcional

lineal. (Toda esta informacion fue tomada de [9]).

Definicion 1.5-1 (Espacio vectorial). Un espacio vectorial sobre un campo K es un conjunto

no vacıo X de elementos x, y, ... (llamados vectores) junto con dos operaciones algebraicas. Estas

operaciones se denominan suma de vectores y multiplicacion de vectores por escalares, es decir, por

elementos de K.

Suma de vectores. A cada par ordenado (x, y) de vectores, se les asocia un vector x + y,

llamado la suma de x e y, de tal manera que se cumplan las siguientes propiedades: la suma de

vectores es conmutativa y asociativa, es decir que para todos los vectores del espacio X se tiene

x+ y = y + x

x+ (y + z) = (x+ y) + z,

ademas, existe un vector 0, llamado vector cero, y para cada vector x existe un vector −x, tal que

para todos los vectores del espacio X se tiene

x+ 0 = x

x+ (−x) = 0.

Multiplicacion por escalares. A un vector x y un escalar α, se le asocia un vector αx

(tambien escrito xα ), llamado el producto de α y x, de tal manera que para todos los vectores x, y

y escalares α, β se tiene

α(βx) = (αβ)x

13

1.5. Analisis funcional Capıtulo 1. Preliminares

1x = x

y las leyes distributivas

α(x+ y) = αx+ αy

(α+ β)x = αx+ βx.

Ejemplo 1.1-1 Recordemos que espacios como C sobre el campo R, Q, entre otros, y los poli-

nomios C[x] sobre el campo R son espacios vectoriales.

Un subespacio vectorial de un espacio vectorial X es un subconjunto no vacıo Y de X, de

modo que para todos los y1, y2 ∈ Y y todos los escalares α, β se tiene que αy1 + βy2 ∈ Y . Por lo

tanto, Y es un espacio vectorial, ya que las dos operaciones algebraicas son inducidas por X.

Un subespacio importante de X es el subespacio propio Y = X. Cualquier otro subespacio

con X 6= {0} es llamado propio.

Una combinacion lineal de vectores x1, x2, ..., xm de un espacio vectorial X es una expresion

de la forma

α1x1 + α2x2 + ...+ αmxm,

donde los coeficientes α1, α2, ..., αm son escalares cualesquiera.

Para cualquier subconjunto no vacıo M con M ⊂ X, el conjunto de todas las combinaciones

lineales de vectores de M se denomina generado de M , escrito de la forma spanM .

Definicion 1.5-2 (Independencia lineal y dependencia). Independencia lineal y depen-

dencia de un conjunto dado M de vectores x1, x2, ..., xr con r > 0 en un espacio vectorial X se

definen mediante la ecuacion

α1x1 + α2x2 + ...+ αrxr = 0, (1)

donde α1, α2, ..., αr son escalares. Si α1 = α2 = ... = αr = 0 implica que la r-tupla es la unica que

satisface la ecuacion (1) y el conjunto M es llamado linealmente independiente. Si alguna r-tupla

14

Capıtulo 1. Preliminares 1.5. Analisis funcional

es diferente de cero en la ecuacion (1), se dice que M es linealmente dependiente.

Ejemplo 1.1-2 El conjunto de los monomios {1, x, x2, ..., xn, ...} es un conjunto linealmente in-

dependiente del espacio vectorial C[x].

Definicion 1.5-3 (Dimension finita e infinita de espacios vectoriales). Se dice que un

espacio vectorial X sobre un campo K es de dimension finita si hay un numero entero positivo n

tal que X contiene un conjunto linealmente independiente de n vectores, mientras que cualquier

conjunto de n + 1 o mas vectores de X es linealmente dependiente. n se llama dimension de X,

escrito n = dimX. Por definicion, X ={0} es de dimension finita y dimX = 0. Si X no es de

dimension finita, se dice que es de dimension infinita.

Ejemplo 1.1-3 El conjunto de los monomios {1, x, x2, ..., xn, ...} es una base de C[x] y esta tiene

una dimension infinita.

Definicion 1.5-4 (Operador lineal). Un operador lineal T es un operador tal que

a. El dominio D(T ) de T es un espacio vectorial y el rango R(T ) de T se encuentra en un

espacio vectorial sobre el mismo campo.

b. Para todo x, y ∈ D(T ) y para un escalar α se tiene

T (x+ y) = T (x) + T (y)

T (αx) = αT (x)

Definicion 1.5-5 (Funcional lineal). Un funcional lineal f es un operador lineal con dominio

en un espacio vectorial X y rango en el campo escalar K de X; ası

f : D(f)→ K,

15

1.6. Teorıa de la medida Capıtulo 1. Preliminares

donde K = R si X es real y K = C si X es complejo.

1.6 Teorıa de la medida

Esta seccion incluye conceptos basicos, propiedades y resultados de la teorıa de la medida. Estos

conceptos son tomados de [11].

Definicion 1.6-1. La coleccion L = L(X,X, µ) de funciones integrables consta de todas las

funciones X-medibles de valor real f definidas en X, tal que la parte positiva y negativa f+, f− de

f tienen integrales finitas con respecto a µ. En este caso se define la integral de f con respecto a

µ como ∫fdµ =

∫f+dµ+

∫f−dµ.

Si E pertenece a X se define ∫Efdµ =

∫Ef+dµ+

∫Ef−dµ.

Teorema 1.6-1. Una funcion medible f pertenece a L sı y solo sı |f | pertenece a L, es decir

|∫fdµ| ≤

∫|f |dµ.

Corolario 1.6-1. Si f es medible, g es integrable y |f | ≤ |g|, entonces f es integrable y

∫|f |dµ ≤

∫|g|dµ.

Teorema 1.6-2. Si α es una constante cualquiera y f, g funciones medibles pertenecientes a L,

entonces αf y f + g son funciones medibles, pertenecen a L y

∫αfdµ = α

∫fdµ

∫(f + g)dµ =

∫fdµ+

∫gdµ.

16

Capıtulo 1. Preliminares 1.6. Teorıa de la medida

Teorema 1.6-3 (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue). Sea (fn) una

sucesion de funciones integrables que convergen casi en toda parte a f funcion medible de valor

real. Si existe una funcion g integrable tal que |fn| ≤ g para todo n, entonces f es integrable y

∫fdµ = lim

∫fndµ.

Corolario 1.6-2. Suponga que para algun t0 ∈ [a, b], la funcion x → f(x, t0) es integrable en

X, que ∂f∂t pertenece a X × [a, b] y que existe una funcion integrable g en X tal que

|∂f∂t

(x, t)| ≤ g(x).

Entonces la funcion F definida como

F (t) =

∫f(x, t)dµ(x),

es diferenciable en [a, b] y

dF

dt(t) =

d

dt

∫f(x, t)dµ(x) =

∫∂f

∂t(x, t)dµ(x).

Corolario 1.6-3. Si la funcion t → f(x, t) es continua en [a, b] para cada x ∈ X y si existe g

una funcion integrable sobre X tal que |f(x, y)| ≤ g(x) con

F (t) =

∫f(x, t)dµ(x),

entonces ∫ b

aF (t)dt =

∫ b

a[

∫f(x, t)dµ(x)]dt

=

∫[

∫ b

af(x, t)dt]dµ(x),

donde las integrales con respecto a t son integrales de Reimann. Este resultado nos permite hacer

un intercambio en el orden de integracion entre una integral de Reimann y una integral de Lebesgue.

17

Capıtulo 2

Conceptos basicos

En este capıtulo se introduciran los conceptos basicos, propiedades y resultados de la teorıa de los

polinomios ortogonales , y toda esta informacion sera tomada de [3], [4], [5] y [6]. Se expondran ideas

del algebra abstracta, analisis aplicado y ecuaciones diferenciales, como por ejemplo: Funcional de

momentos, ortogonalidad y recurrencias, sistemas de polinomios ortogonales (SPO), y funcionales

positivos. Polinomios de Legendre, Hermite y Chebyshev, cada uno sera desarrollado bajo su

relacion de recurrencia, representacion integral y formulas como la de Rodrigues que tratan de

caracterizar estos conceptos.

2.1 Polinomios ortogonales

En esta seccion se desarrollaran los conceptos teoricos (definiciones, teoremas y lemas) de los poli-

nomios ortogonales. Toda esta informacion fue tomada de [4].

Definicion 2.1-1 (Funcional de momentos). Sea {µn}∞n=0 una sucesion de numeros com-

plejos y sea L un funcional que toma valores en C, definido en el espacio vectorial de todos los

polinomios tal que

L[xn] = µn, n = 1, 2, 3, ...

L[α1π1(x) + α2π2(x)] = α1L[π1(x)] + α2L[π2(x)],

18

Capıtulo 2. Conceptos basicos 2.1. Polinomios ortogonales

para todos los αi numeros complejos y todos los polinomios πi(x)(i = 1, 2). Entonces L es llamado

funcional de momentos determinado por la sucesion de momentos {µn}. El numero µn es llamado

el momento de orden n.

Definicion 2.1-2 (Sistema ortogonal de polinomios). Una sucesion {Pn}∞n=0 es llamada

Sistema Ortogonal de Polinomios (SOP), con respecto a un funcional de momentos L para todos

los enteros no negativos m,n cumplen que:

a. Pn(x) es un polinomio de grado n.

b. L[Pn(x)Pm(x)] = 0, para todo m 6= n.

c. L[P 2n(x)] 6= 0.

En un caso general las condiciones b y c pueden ser reemplazadas por

L[Pn(x)Pm(x)] = Knδmn,

donde δmn esta definido como el delta de Kronecker y Kn 6= 0.

Teorema 2.1-1 (Funcional de momentos, SOP). Si L es unfuncional de momentos y se

toma {Pn(x)} una sucesion de polimonios, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

a. {Pn(x)} es SOP con respecto a L.

b. L[π(x)Pn(x)] = 0 para todo polinomio π(x) de grado m < n

mientras que L[π(x)Pn(x)] 6= 0 si m = n.

c. L[xmPn(x)] = Knδmn, con Kn 6= 0 y m = 0, 1, ..., n.

Demostracion. Tome {Pn(x)} un SOP para L. Ya que {Pk(x)} tiene grado k, es claro

que {P0(x), P1(x), ..., Pm(x)} es una base para el espacio de polinomios de grado a lo mas m. Como

π(x) es un polinomio de grado m entonces existen constantes ck tal que

π(x) =m∑k=0

ckPk(x), cm 6= 0.

19

2.1. Polinomios ortogonales Capıtulo 2. Conceptos basicos

Multiplicando la anterior ecuacion por Pn(x) se tiene

π(x)Pn(x) =

m∑k=0

ckPk(x)Pn(x).

Aplicando L a ambos miembros de la ecuacion anterior y por la linealidad de L se tiene

L[π(x)Pn(x)] =m∑k=0

ckL[Pk(x)Pn(x)], (1)

si m < n por definicion 2.1-2 parte (b) tendremos en (1) que

m∑k=0

ckL[Pk(x)Pn(x)] = 0.

Ahora, si m = n todos los miembros de la sumatoria seran 0 en (1) excepto el ultimo termino donde

m = n, osea quem∑k=0

ckL[Pk(x)Pn(x)] = cnL[P 2n(x)].

Luego (a)⇒ (b).

Las equivalencias de (b)⇒ (c) y de (c)⇒ (a) se desprenden de las hipotesis y la definicion 2.1-1. �

Definicion 2.1-3 (Matriz de momentos). Sea L un funcional de momentos, se define An la

n-esima matriz de momentos como

An =

µ0 µ1 ... µn

µ1 µ2 ... µn+1

. . ... .

. . ... .

µn µn+1 ... µ2n

.

20


Se define 4n como el determinante de An

4n = det(µi+j)ni,j=0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 ... µn

µ1 µ2 ... µn+1

. . ... .

. . ... .

µn µn+1 ... µ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Teorema 2.1-2 (Existencia SOP). Sea L funcional de momentos y {µn} su respectiva sucesion

de momentos. Una condicion necesaria y suficiente para que L tenga un SOP es

4n 6= 0, n = 0, 1, 2, ... .

Demostracion. Supongamos que existe el SOP para L, se escribe Pn(x) de la forma

Pn(x) =

n∑k=0

cnkxk.

Por el teorema 2.1-1 tenemos las condiciones de ortogonalidad

L[xmPn(x)] =n∑k=0

cnkµk+m = Kmδmn, Km 6= 0, m ≤ n, (2.1)

este sistema es equivalente a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 ... µn

µ1 µ2 ... µn+1

. . ... .

. . ... .

µn µn+1 ... µ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

cn0

cn1

.

.

cnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0

0

.

.

Kn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (2.2)

Ahora, si un SOP para L existe, este es unico y esta determinado por la constante Kn en (2.1). Se

21


deduce que (2.1) tiene una unica solucion para el cual 4n 6= 0 (n ≥ 0).

De manera recıproca, si 4n 6= 0 entonces para un Kn 6= 0 arbitrario, (2.2) tiene una unica solucion

por lo que existe Pn(x) que satisface (2.1). Tambien se tiene que

cnn =Kn4n−1

4n6= 0, n ≥ 1, (2.3)

lo cual es valido para n = 0 y definiendo 4−1 = 1, y resulta que P − n(x) es de grado n, por lo

tanto {Pn(x)} es un SOP para L. �

Teorema 2.1-3 (Funcional de momentos, SOP). Sea {Pn(x)} un SOP para un funcional

de momentos L. Entonces para cualquier polinomio πn(x) de grado n, donde an es el coeficiente

director de πn(x) y kn es el coeficiente director de Pn(x) se tiene

L[πn(x)Pn(x)] = anL[xnPn] =ankn4n

4n−1, 4−1 = 1. (2.4)

Demostracion. Se escribe πn(x) de la forma

πn(x) = anxn + πn−1(x),

donde πn−1(x) es un polinomio de grado n− 1, se tiene que

L[πn(x)Pn(x)] = anL[xnPn(x)] + L[πn−1(x)Pn(x)]

= anL[xnPn(x)].

Ası (2.4) se sigue de (2.3) con Kn = cnn. �

Teorema 2.1-4 (Funcional de momentos, SOP). Sea L un funcional de momentos y {Pn(x)}

el correspondiente SOP para L. Entonces existen constantes cn y λn 6= 0 tales que

Pn(x) = (x− cn)Pn−1(x)− λnPn−2, n = 1, 2, 3, ... , (2.5)

22


y definimos P−1(x) = 0. Ademas, si L es definido positivo, entonces cn es real y λn+1 > 0 para

n ≥ 1 (λ1 arbitrario).

Demostracion. Ya que xPn(x) es un polinomio de grado n+ 1 se puede escribir como

xPn(x) =n+1∑k=0

ankPk(x), ank =L[xPn(x)Pk(x)]

L[P 2k (x)

,

pero xPk(x) es un polinomio de grado k + 1 ası que ank = 0 para 0 ≤ k < n− 1. Ademas, xPn(x)

es monico ası que an,n+1 = 1. Ası

xPn(x) = Pn+1(x) + annPn(x) + an,n−1Pn−1(x), n ≥ 1.

Reemplazando n por n− 1 se obtiene

xPn−1(x) = Pn(x) + cnPn−1(x) + λnPn−2(x), n ≥ 2,

y esto es equivalente en (2.5) para n ≥ 2. Pero (2.5) es valido tambien para n = 1 si se define

P−1(x) = 0 y se elige c1 = −P1(0) (λ1 arbitrario). Luego, de (2.5) se obtiene que

L[xn−2Pn(x)] = L[xn−1Pn−1(x)]− cnL[xn−1Pn−1(x)]− λnL[xn−2Pn−2(x)]

0 = L[xn−1Pn−1(x)]− λnL[xn−2Pn−2(x)].

Por Teorema 2.1-3 se obtiene que para n ≥ 1

λn+1 =L[xnPn(x)]

L[xn−1Pn−1]=4n−24n

42n−1

, (4−1 = 1).

Ya que λn 6= 0 si L es definida positiva entonces λn > 0 (n ≥ 2). Finalmente, cn es real se deduce

de que Pk(x) lo es. �

Teorema 2.1-5 (Teorema de Favard). Tome {cn}∞n=1 y {λn}∞n=1 sucesiones arbitrarias de

23


numeros complejos y sea {Pn(x)}∞n=0 definida por la formula de recurrencia como

Pn(x) = (x− cn)Pn−1(x)− λnPn−2, n = 1, 2, 3, ... (2.6)

P−1 = 0 P0(x) = 1,

entonces existe un unico funcional de momentos L tal que

L[1] = λ1, L[Pn(x)Pm(x)] = 0, m 6= n, m, n = 0, 1, 2, ... .

L esta casi-definida y {Pn(x)} es el correspondiente SOP monico sı y solo sı λn 6= 0; mientras L es

definido positivo sı y solo sı cn es real y λn > 0 con n > 0.

Demostracion. Se define el funcional de momentos inductivamente como

L[1] = µ0 = λ1, L[Pn(x)] = 0 n = 1, 2, 3, ... (2.7)

Es decir que, se define µ1 por la condicion

L[P1(x)] = µ1 − c1µ0 = 0,

µ2 por

L[P2(x)] = µ2 − (c1 + c2)µ1 + (λ2 − c1c2)µ0 = 0,

etc. Reescribiendo (2.6) de la forma

xPn(x) = Pn+1(x) + cn+1Pn(x) + λn+1Pn−1(x), n ≥ 1, (2.8)

de (2.7) se obtiene

L[xPn(x)] = 0, n ≥ 2.

Multiplicando a ambos lados de (2.8) por x y usando el anterior resultado, obtenemos

L[x2Pn(x)] = 0 n ≥ 3.

24


Continuando de esta manera se concluye que

L[xkPn(x)] = 0, 0 ≤ k < n

L[xnPn(x)] = λn+1L[xn−1Pn−1(x)] n ≥ 1.

Esto se tiene para m 6= n y L[Pm(x)Pn(x)] = 0, y mientras que exactamente como en el Teorema

2.1-3 se tiene que

L[P 2n(x)] = L[xnPn(x)] = λ1λ2...λn+1, n ≥ 0.

Por lo tanto L esta definido y {Pn(x)} es el correspondiente SOP monico sı y solo sı λn ≥ 0 para

n ≥ 1 y cn es real. �

Definicion 2.1-4 (Funcional de momentos positivo). Sea L funcional de momentos, se

dice que L es positivo si su correspondiente SOP esta dado de la forma (2.5) del Teorema 2.1-4,

con cn > 0 para n ≥ 0.

Lema 2.1-1 (Funcional de momentos positivo). Si π(x) 6= 0 donde π(x) es un polinomio

de coeficientes reales, que no toma valores negativos bajo el eje real, en otras palabras, π(x) > 0

para todo x ∈ R, entonces se tiene que L[π(x)] > 0.

Demostracion. Como π(x) > 0 para todo x ∈ R, se tiene la existencia de polinomios

reales P (x) y Q(x) tales que

π(x) = P 2(x) +Q2(x).

Ahora solo basta mostrar que L[P 2(x)] > 0 para demostrar el lema.

Como {Pn(x)} es una base de R[x] bajo el funcional de momentos L, P (x) se puede escribir de la

forma

P (x) =

n∑k=1

akPk(x) ai ∈ R, (2.9)

25

2.2. Polinomios de Legendre Capıtulo 2. Conceptos basicos

donde n ≥ 0 es el grado de P (x) y an 6= 0. Ahora observe que

P 2(x) = (

n∑k=1

akPk(x))2

=n∑k=1

a2kP

2k (x) + 2

∑0≤k<j≤n

akajPkPj(x).

Aplicando L en ambos lados se obtiene

L[P 2(x)] =

n∑k=1

a2kL[P 2

k (x)] > 0,

lo cual demuestra el Lema 2.1-1. �

2.2 Polinomios de Legendre

En la seccion que continua se desarrolla la teorıa sobre los Polinomios de Legendre (definiciones y

teoremas). Toda esta informacion fue tomada de [3].

Los polinomios de Legendre se definen como un sistema ortogonal con respecto a la funcion

de peso w(x) = 1 en el intervalo [−1, 1]. En otras palabras, la sucesion de polinomios de Legendre

{Pn(x)}∞n=0 es una familia de polinomios ortogonales con respecto al producto interno de l 2 en el

intervalo [−1, 1]. A continuacion se hara el uso de la funcion generadora para definir los polinomios

de Legendre.

Definicion 2.2-1 (Polinomios de Legendre). Se definen los polinomios de Legendre Pn(x)

por la funcion generadora

(1− 2xt+ t2)−12 =

∞∑n=0

Pn(x)tn. (2.10)

26

Capıtulo 2. Conceptos basicos 2.2. Polinomios de Legendre

Ya que (1− z)a = F (a,−;−; z)

(1− 2xy + t2)−12 =

∞∑0

(12)n(2xt− t2)

n!

=

∞∑n=0

n∑k=0

(12)n(−1)k(2x)n−ktn+k

k!(n− k)!

=∞∑n=0

n∑k=0

(12)n−k(−1)k(2x)n−2ktn

k!(n− 2k)!,

esto por el Lema 1.1-1, y por Lema 1.1-2 se obtiene

Pn(x) =

[n2

]∑k=0

(12)n−k(−1)k(2x)n−2k

k!(n− 2k)!.

Es claro que (2.10) cumple con la relacion de recurrencia diferencial

xP ′n(x) = nPn(x) + P ′n−1(x). (2.11)

Ahora, se tiene que derivando en (2.10)

(1− 2xt+ t2)−32 =

∞∑n=1

P ′n(x)tn−1. (2.12)

Ya que 1− t2 − 2t(x− t) = 1− 2xt+ t2 se tiene que

(x− t)(1− 2xt+ t2)−32 =

∞∑n=1

nPn(x)tn−1. (2.13)

Multiplicando (1 − t2) en el costado izquierdo de (2.12), 2t en el costado izquierdo de (2.13) y

restando uno de otro, se obtiene el costado izquierdo de (2.10), ası se tiene que

∞∑n=1

P ′n(x)tn−1 −∞∑n=1

P ′n(x)tn+1 −∞∑n=1

2nPn(x)tn =∞∑n=0

Pn(x)tn

27


o∞∑n=0

P ′n+1(x)tn −∞∑n=2

P ′n−1(x)tn =∞∑n=0

(2n+ 1)Pn(x)tn,

obteniendo ası otra relacion de recurrencia diferencial de la forma

(2n+ 1)Pn(x) = P ′n+1(x) + P ′n−1(x). (2.14)

Las ecuaciones (2.11) y (2.14) son recurrencias diferenciales independientes. De (2.11) y (2.14) se

pueden obtener otras relaciones, cada una util de varias maneras. Al combinar (2.11) y (2.14), se

encuentra que

xP ′n(x) = P ′n+1(x)− (n+ 1)Pn(x). (2.15)

En (2.15) se reemplaza n por (n− 1) y sustituyendo ese resultado en (2.11) y se obtiene

(x2 − 1)P ′n(x) = nxPn(x)− nPn−1(x). (2.16)

De la relacion (2.11) con (2.16) se obtiene

x(x2 − 1)P ′n(x) = n(x2 − 1)Pn(x)− (x2 − 1)P ′n−1(x). (2.17)

Ahora se puede sustituir (x2 − 1)P ′n(x) y (x2 − 1)P ′n−1(x) en (2.16)

x[nxPn(x)− nPn−1(x)] = n(x2 − 1)Pn(x) + (n− 1)xPn−1(x)− (n− 1)Pn−2(x),

y se obtiene la relacion de recurrencia

nPn(x) = (2n− 1)xPn−1(x)− (n− 1)Pn−2(x) n ≥ 2. (2.18)

La ecuacion (2.18) proporciona un metodo bastante rapido para calcular sucesivamente polinomios

de Legendre. De la relacion (2.11) se obtiene

P0(x) = 1 P1(x) = x,

28


entonces esta relacion de recurrencia puede usarse para obtener

P2(x) =3

2x2 − 1

2P3(x) =

5

2x3 − 3

2x

P4(x) =35

8x4 − 15

4x2 +

3

8P5(x) =

63

8x5 − 35

4x3 +

15

8x.

Haciendo uso de la herramienta Geogebra se graficaron los seis primeros polinomios de Legendre.

.

Figura 2.1: Polinomios de Legendre.

Teorema 2.2-1 (Ecuacion diferencial de Legendre). El polinomio de Legendre Pn(x)

satisface con la ecuacion diferencial

(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′n(x) + n+ (n+ 1)Pn(x) = 0.

Demostracion. Se han obtenido las relaciones (2.11) y (2.15) respectivamente

xP ′n(x) = nPn(x) + P ′n−1(x)

xP ′n(x) = P ′n+1(x)− (n+ 1)Pn(x).

Ahora se simplifican las diferencias en el subındice para encontrar una relacion que involucre solo

29


Pn(x) y sus derivadas. En (2.15) se reemplaza n por (n− 1) para obtener

xP ′n−1(x) = P ′n(x)− nPn−1(x). (2.19)

Derivando en (2.19) se obtiene

xP ′′n−1(x) = P ′′n (x)− (n+ 1)P ′n−1(x). (2.20)

Tanto P ′n−1(x) y P ′′n−1(x) se obtienen de (2.11) y (2.20), luego

x[xP ′′n (x) + P ′n(x) + nP ′n(x)] = P ′′n (x)− (n+ 1)[xP ′n(x)− nPn(x)].

Reorganizando se tiene

(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′n(x) + n+ (n+ 1)Pn(x) = 0. �

Anteriormente se definieron los polinomios de Legendre de la forma

Pn(x) =

[n2

]∑k=0

(12)n−k(−1)k(2x)n−2k

k!(n− 2k)!. (2.21)

Tambien se tiene que (2m)! = 22m(12)mm! por eso

22n−2k(1

2)n−k =

(2n− 2k)!

(n− k)!. (2.22)

Usando (2.22) en (2.21) se obtiene

Pn(x) =

[n2

]∑k=0

(−1)k(2n− 2k)!xn−2k

2nk!(n− k)!(n− 2k!). (2.23)

30


Si D = ddx obtenemos

Dsxm =m!xm−s

(m− s)!. (2.24)

La expresion (2n−2k)!xn−2k

(n−2k!) en la ecuacion (2.23) con (2.24) resulta

Dnx2n−2k =(2n− 2k)!xn−2k

(n− 2k)!,

y esto para que (2.23) pueda reescribirse como

Pn(x) =

[n2

]∑k=0

(−1)kDnx2n−2k

2nk!(n− k)!(n− k!). (2.25)

Claramente k! y (n− k)! en (2.25) es el coeficiente binomial

Cn,k =n!

k!(n− k)!.

Como n es independiente de k, la ecuacion en (2.25) ahora se puede ver de la forma

Pn(x) =Dn

2nn!

[n2

]∑k=0

(−1)kCn,kx2n−2k, (2.26)

para [n2 ] < k ≤, 0 ≤ 2n − 2k < n, tales que, para los valores de k, Dnx2n−2k = 0. En la parte

derecha de la ecuacion (2.26) se puede extender de la forma k = 0 a k = n. Asi se tiene

Pn(x) =Dn

2nn!

n∑k=0

(−1)kCn,kx2n−2k

o

Pn(x) =1

2nn!Dn(x2 − 1)n. (2.27)

Definicion 2.2-2 (Formula de Rodrigues). Los polinomios Pn(x) definidos de la forma

(2.27) se les conoce como los polinomios de Legendre caracterizados por la formula de Rodrigues.

31

2.3. Polinomios de Hermite Capıtulo 2. Conceptos basicos

2.3 Polinomios de Hermite

En esta seccion se desarrollan los conceptos basicos, propiedades y resultados de los Polinomios de

Hermite. Esta informacion fue tomada de [3].

Definicion 2.3-1 (Polinomio de Hermite). Se definen los polinomios de Hermite Hn(x) por

la funcion generadora

e2xt−t2 =∞∑n=0

Hn(x)tn

n!, (2.28)

valido para todas las x y t finitas.

Ya que

e2xt−t2 = e2xte−t2

= (∞∑n=0

(2x)ntn

n!)(∞∑n=0

(−1)nt2n

n!)

=∞∑n=0

[n2

]∑k=0

(−1)k(2x)n−2ktn

k!(n− 2k)!,

de (2.28) se obtiene que

Hn(x) =

[n2

]∑k=0

(−1)kn!(2x)n−2k

k!(n− 2k)!. (2.29)

(2.29) cumple con la relacion de recurrencia diferencial hipergeometrica

xH ′n(x) = nH ′n−1(x) + nHn(x). (2.30)

Se tiene tambien la relacion (2.28)

e2xt−t2 =

∞∑n=0

Hn(x)tn

n!,

32

Capıtulo 2. Conceptos basicos 2.3. Polinomios de Hermite

y a la vez se tiene

2te2xt−t2 =

∞∑n=0

H ′n(x)tn

n!, (2.31)

de (2.28) y (2.31) se tiene que

∞∑n=0

2Hn(x)tn+1

n!=

∞∑n=0

H ′n(x)tn

n!,

que, con un cambio de ındice a la izquierda, produce H ′0(x) = 0 y para n ≥ 1

H ′n(x) = 2nHn−1(x). (2.32)

La iteracion en (2.32) tiene como resultado

DsHn(x) =2sn!Hn−s(x)

(n− s)!, D =

d

dx. (2.33)

Combinando (2.30) y (2.32) se obtiene

Hn(x) = 2xHn−1(x)−H ′n−1(x). (2.34)

Se usa (2.32) y (2.34) para obtener el par de relaciones de recurrencias diferenciales independientes.

De este par de ecuaciones obtenemos de inmediato la Relacion de recurrencia

Hn(x) = 2xHn−1(x)− 2(n− 1)Hn−2(x), (2.35)

y la Ecuacion diferencial de Hermite

H ′′n(x)− 2xH ′n(x)− 2nHn(x) = 0. (2.36)

La ecuacion en (2.35) proporciona un metodo bastante rapido para calcular sucesivamente los

33


polinomios de Hermite. De la relacion (2.29) se obtiene

H0(x) = 1 H1(x) = 2x,

entonces, esta relacion de recurrencia puede usarse para obtener

H2(x) = 4x2 − 2 H3(x) = 8x3 − 12x

H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12 H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x

Haciendo uso de la herramienta Geogebra se graficaron los Polinomios de Hermite hasta n = 5.

.

Figura 2.2: Polinomios de Hermite.

Se tiene la relacion (2.28)

e2xt−t2 =∞∑n=0

Hn(x)tn

n!.

Utilizando la Definicion 1.1-3 (Serie de Taylor) con z0 = 0 en (2.28), se obtiene inmediatamente

que

Hn(x) = [dn

dtne2xt−t2 ]t=0.

La funcion e−x2

es independiente de t, luego se tiene que

e−x2Hn(x) = [

dn

dtne−(x−t)2 ]t=0.

34


Ahora, reemplazando x− t = w se tiene que

e−x2Hn(x) = (−1)n[

dn

dwne−(w)2 ]w=x.

Pero es ridıculo diferenciar con respecto a w una funcion de w solo para luego reemplazar w = x.

La w es una variable muda. Por lo tanto se escribe

e−x2Hn(x) = (−1)nDne−x

2, D =

d

dx

o

Hn(x) = (−1)nex2Dne−x

2. (2.37)

Definicion 2.3-2 (Formula de Rodrigues). La formula de Rodrigues para los polinomios

de Herminte Hn(x) se define como (2.37).

Se tiene la relacion (2.28)

e2xt−t2 =∞∑n=0

Hn(x)tn

n!.

Utilizando el teorema 1.1-4 (Teorema de Laurent) en (2.28) se obtiene que

Hn(x) =n!

2πi

∮γ

e2xu−u2

un+1du, (2.38)

donde el contorno de integracion rodea el origen del plano u en direccion positiva. De (2.38) se

obtiene, usando el contorno u = eiθ, la representacion integral real

Hn(x) =n!

π

∫ π

0e2xcos(θ)−2cos(θ)cos(2xsin(θ)− sin(2θ)− nθ)dθ. (2.39)

Luego si n es entero, se obtiene la representacion integral de Hn(x) en terminos de Pn(x) de la

35


siguiente forma

Hn(x) = 2n+1ex2

∫ ∞x

e−t2tn+1Pn(

x

t)dt. (2.40)

Ahora la representacion integral de Pn(x) en terminos de Hn(x) se tiene como

Pn(x) =2

n!√π

∫ ∞0

e−t2tnHn(xt)dt. (2.41)

Definicion 2.3-3 (Representacion integral). Los polinomios de Hermite Hn(x) se pueden

representar de la forma (2.40).

En esta parte de la seccion que sigue la teorıa sobre los Polinomios de Hermite en dos variables

fue tomada de [5].

Definicion 2.3-4 (Polinomio de Hermite de dos variables). Se define el polinomio de

Hermite de dos variables

Hn(x, y) = n!

[n2

]∑k=0

ykxn−2k

k!(n− 2k)!, (2.42)

donde su formula de recurrencia esta dada de la forma

ext+yt2

=∞∑n=0

tn

n!Hn(x, y).

Teorema 2.3-1. El polinomio Hn(x, y) satisface la ecuacion diferencial parcial

∂

∂x2Hn(x, y) =

∂

∂yHn(x, y). (2.43)

Demostracion. Derivando con respecto a x y con respecto a y en (2.42) se obtiene

36


facilmente que

∂

∂xHn(x, y) = nHn−1(x, y),

∂

∂yHn(x, y) = n(n− 1)Hn−2(x, y). (2.44)

De igual forma, al derivar la primera relacion en (2.44) con respecto a x se obtiene

∂

∂x[∂

∂xHn(x, y)] =

∂

∂x[nHn−1(x, y)] = n(n− 1)Hn−2(x, y),

pero n(n− 1)Hn−2(x, y) es exactamente ∂∂yHn(x, y) osea que

∂2

∂x2Hn(x, y) =

∂

∂yHn(x, y). �

Teorema 2.3-2. El polinomio Hn(x, y) satisface la relacion

(x+ y∂

∂x)n =

n∑s=0

(n

s

)Hn(x, y)(2y)n−s

∂n−s

∂xn−s. (2.45)

Demostracion. Multiplicando el lado izquierdo de la ecuacion (2.45) por tn

n! y haciendo

la suma se obtiene

∞∑n=0

tn

n!(x+ 2y

∂

∂x)n = et(x+2y ∂

∂x). (2.46)

La igualdad en (2.46) se obtiene e en la serie de Taylor. Ahora por la identidad de Weyl

e(A+B) = eAeBe[A,B]/2.

Se tiene que en (2.46) aplicando la identidad de Weyl

et(x+2y ∂∂x

) = etxe2t ∂∂x e[tx,t2y ∂

∂x]/2. (2.47)

Aplicando el conmutador

[tx, t2y∂

∂x] = 2t2y.

37


Luego reemplazando el resultado anterior y comparando (2.46) y (2.47) se obtiene

∞∑n=0

tn

n!(x+ 2y

∂

∂x)n = ext+yt

2e2ty ∂

∂x . (2.48)

Recordando en la Definicion 2.3-4 que

ext+yt2

=

∞∑n=0

tn

n!Hn(x, y),

que es el primer termino del lado derecho de (2.48), y usando la serie de potencias de t se tiene

(x+ y∂

∂x)n =

n∑s=0

(n

s

)Hn(x, y)(2y)n−s

∂n−s

∂xn−s. �

Teorema 2.3-3. El polinomio Hn(x, y) satisface la ecuacion diferencial

2y∂2

∂x2Hn(x, y) + x

∂

∂xHn(x, y) = nHn(x, y). (2.49)

Demostracion. Por el teorema anterior, con n = 1 se tiene que

(x+ 2y∂

∂x)Hn(x, y) = Hn+1. (2.50)

Recordando la relacion (2.44)

∂

∂xHn(x, y) = nHn−1(x, y).

Ahora, desarrollando (2.50) se tiene

xHn(x, y) + 2y∂

∂xHn(x, y) = Hn+1. (2.51)

Derivando con respecto a x (2.51) se obtiene que

∂

∂x(xHn(x, y) + 2y

∂

∂xHn(x, y)) =

∂

∂xHn+1.

38

Capıtulo 2. Conceptos basicos 2.4. Polinomios de Chebyshev

Esto es

x∂

∂xHn(x, y) +Hn(x, y) + 2y

∂2

∂x2Hn(x, y) = (n+ 1)Hn(x, y).

Ası

2y∂2

∂x2Hn(x, y) + x

∂

∂xHn(x, y) = nHn(x, y). �

Lema 2.3-1. Si Hn(x) es un polinomio de Hermite de dos variables, entonces

[(2x) + (

−yt

)∂

∂x

]Hn(2x,

−yt

) = Hn+1(2x,−yt

), t 6= 0.

Demostracion. De la ecuacion (2.50) se reemplaza x por 2x y 2y por −yt con t 6= 0 y se

obtiene [(2x) + (

−yt

)∂

∂x

]Hn(2x,

−yt

) = Hn+1(2x,−yt

), t 6= 0. �

2.4 Polinomios de Chebyshev

La siguiente seccion incluye conceptos basicos, propiedades y resultados de los Polinomios de Cheby-

shev y estos conceptos son tomados de [6].

Definicion 2.4-1 (Polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase). Definimos

los polinomios de Chebyshev de primer y segunda clase Tn(x) y Un(x) respectivamente por las

funciones generadoras

∞∑n=0

Tn(x)tn =1− tx

1− 2tx+ t2(2.52)

∞∑n=0

Un(x)tn =1

1− 2tx+ t2. (2.53)

Ahora Tn(x) y Un(x) cumplen con las relaciones de recurrencia

Tn(x) = 2xTn−1(x)− Tn−2(x) (2.54)

Un(x) = 2xUn−1(x)− Un−2(x), (2.55)

39

2.4. Polinomios de Chebyshev Capıtulo 2. Conceptos basicos

donde

T0(x) = 1, T1(x) = x,

U0(x) = 1, U1(x) = 2x.

Se tiene que Tn(x) y Un(x) solucionan las ecuaciones diferenciales

(1− x2)y′′ − xy′ + n2y = 0; Tn(x) (2.56)

(1− x2)y′′ − 3xy′ + n(n+ 2)y = 0; Un(x). (2.57)

Siguiendo las relaciones (2.54) y (2.55) se puede obtener

T2(x) = 2x2 − 1 U2(x) = 4x2 − 1

T3(x) = 4x3 − 3x U3(x) = 8x3 − 4x

T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1 U4(x) = 16x4 − 12x2 + 1

T5(x) = 16x5 − 20x3 + 5x U5(x) = 32x5 − 32x3 + 6x.

Haciendo uso de la herramienta Geogebra se grafican los primeros seis Polinomios de Chebyshev

de primera clase Tn(x).

.

Figura 2.3: Polinomios de Chebyshev de primera clase.

40


Haciendo uso de la herramienta Geogebra se grafican los 6 primeros polinomios de Chebyshev de

segunda clase Un(x).

.

Figura 2.4: Polinomios de Chebyshev de segunda clase.

Ahora, se define explıcitamente

Tn(x) =

[n2

]∑k=0

(n

2k

)(x2 − 1)kxn−2k

= xn[n2

]∑k=0

(n

2k

)(1− x−2)k

=n

2

[n2

]∑k=0

(−1)k(n− k − 1)!

k!(n− 2k)!2xn−2k

= n

n∑k=0

(−2)k(n+ k − 1)!

(n− k)!(2k)!(1− x)k.

De la misma forma se define

Un(x) =

[n2

]∑k=0

(n+

2k + 1

)(x2 − 1)kxn−2k

= xn[n2

]∑k=0

(n+ 1

2k + 1

)(1− x−2)k

41


=

[n2

]∑k=0

(2k − (n+ 1)

k

)(2x)n−2k

=

[n2

]∑k=0

(−1)k(n− kk

)(2x)n−2k

=n∑k=0

(−2)k(n+ k + 1)!

(n− k)!(2k + 1)!(1− x)k.

Esta parte de la seccion incluye teorıa acerca de los Polinomios de Chebyshev en dos variables

y esta teorıa es tomada de [5].

Definicion 2.4-2 (Relacion integral de Un(x, y, α)). Sea x y y variables reales, y sea α

parametro real. Se define los polinomios de Chebyshev de segunda clase Un(x, y, α) dada la relacion

Un(x, y, α) =1

n!

∫ ∞0

e−αtHn(2xt,−yt)dt. (2.58)

Teorema 2.4-1. El polinomio de Chebyshev de segunda clase Un(x, y, α) satisface las relaciones

∂

∂yUn(x, y, α) =

∂

∂αUn−2(x, y, α) (2.59)

∂

∂xUn(x, y, α) = −2

∂

∂αUn−1(x, y, α).

Demostracion. Derivando con respecto a y en (2.58) se obtiene

∂

∂yUn(x, y, α) =

1

n!

∫ ∞0

e−αt∂

∂yHn(2xt,−yt)dt,

donde

∂

∂yHn(2xt,−yt) = (−t)n(n− 1)Hn−2(2xt,−yt),

o sea

∂

∂yUn(x, y, α) =

1

n!

∫ ∞0

e−αt(−t)n(n− 1)Hn−2(2xt,−yt)dt

42


= n(n− 1)1

n!

∫ ∞0

(−t)e−αtHn−2(2xt,−yt)dt

=1

(n− 2)!

∫ ∞0


=∂

∂αUn−2(x, y, α).

De la misma manera se obtiene

∂

∂xUn(x, y, α) =

1

n!

∫ ∞0

e−αt∂

∂xHn(2xt,−yt)dt,

donde

∂

∂xHn(2xt,−yt) = 2tnHn−1(2xt,−yt),

o sea

∂

∂xUn(x, y, α) =

1

n!

∫ ∞0

e−αt2tnHn−1(2xt,−yt)dt

= (−2)1

(n− 1)!

∫ ∞0


= −2∂

∂αUn−1(x, y, α). �

Teorema 2.4-2 (Problema de Cauchy). El polinomio de Chebyshev Un(x, y, α) cumple con

las condiciones del problema de Cauchy para k = 2 en la Definicion 1.2-7, es decir que cumple con

las relaciones

∂2

∂x2Un(x, y, α) = 4

∂2

∂α∂yUn(x, y, α) (2.60)

Un(x, 0, α) =(2x)n

αn+1.

Demostracion.

∂2

∂x2Un(x, y, α) = 4

∂

∂α(∂

∂αUn−2(x, y, α)).

43


Pero del teorema 2.4-1 se tiene que

∂

∂αUn−2(x, y, α) =

∂

∂yUn(x, y, α),

o sea

∂2

∂x2Un(x, y, α) = 4

∂

∂α(∂

∂yUn(x, y, α)).

Por lo tanto

∂2

∂x2Un(x, y, α) = 4

∂2

∂α∂yUn(x, y, α).

Ahora si y = 0 en (2.58) se tiene

Un(x, 0, α) =1

n!

∫ ∞0

e−αtHn(2xt,−0)dt,

pero

Hn(x, 0) = n!

[n2

]∑k=0

xn−2k

k!(n− 2k)!

= xn.

Es decir que

Hn(2xt, 0) = (2xt)n.

Luego

Un(x, 0, α) =(2x)n

n!

∫ ∞0

e−αttndt

=(2x)n

αn+1.

Lo que prueba que el polinomio de Chebyshev de segunda clase Un(x, y, α) cumple con la condicion

k = 2 en el problema de Cauchy. �

Definicion 2.4-2 (Representacion integral de Un(x, y, α) y Tn(x, y, α)). Sean x y y vari-

44


ables reales, y sea α parametro real. Se definen los polinomios de Chebyshev de la forma

Un(x, y, α) =1

n!

∫ ∞0

e−αttnHn(2x,−yt)dt, (2.61)

Tn(x, y, α) =1

2(n− 1)!

∫ ∞0

e−αttn−1Hn(2x,−yt)dt. (2.62)

Teorema 2.4-3. Los polinomios Un y Tn de la Definicion 2.4-2 satisfacen la relacion

∂

∂αTn(x, y, α) = −n

2Un(x, y, α). (2.63)

Demostracion. Ya que Tn(x, y, α) cumple con el Teorema de convergencia de Lebesgue

y haciendo uso del Corolario 1.6-2, derivando con respecto a α (2.62) se obtiene que

∂

∂αTn(x, y, α) =

∂

∂α

1

2(n− 1)!

∫ ∞0

e−αttn−1Hn(2x,−yt)dt

=1

2(n− 1)!

∫ ∞0

∂

∂αe−αttn−1Hn(2x,−y

t)dt

=1

2(n− 1)!

∫ ∞0

(−t)e−αttn−1Hn(2x,−yt)dt

= − 1

2(n− 1)!

∫ ∞0

e−αttnHn(2x,−yt)dt

= −n2

1

n!

∫ ∞0

e−αttnHn(2x,−yt)dt

= −n2Un(x, y, α). �

45

Capıtulo 3

Generalizacion de los polinomios de

Gegenbauer

En este capıtulo se hace uso de la sıntesis teorica de los capıtulos 1 y 2, esto para comprender el

Teorema 3.4-1 que se hace enfasis en el trabajo de Clemente Cesarano [5]. Al principio se aborda

la definicion de los polinomios de Gegenbauer, su forma segun la relacion de recurrencia, la funcion

generadora y la representacion integral. Luego se busca relacionar los polinomios de Gegenbauer con

los polinomios de Chebyshev, haciendo uso de la relacion que tienen los polinomios de Chebyshev

con los polinomios de Hermite, y al hallar esta relacion, se encuentra que la generalizacion de los

polinomios de Gegenbauer satisface cierta relacion de recurrencia. (Todo esto tomado de [5]).

3.1 Funcion generadora de los polinomios de Gegenbauer

La seccion a continuacion desarrolla la teorıa relacionada con los Polinomios de Gegenbauer (defini-

ciones, propiedades, teoremas y lemas). Esta informacion fue tomada de [5].

46

Capıtulo 3. Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer 3.2. Representacion integral

Definicion 3.1-1 (Polinomios de Gegenbauer en variable x). Sean x y µ variables reales,

se definen los polinomios de Gegenbauer de orden n como aquellos que cumplen la relacion

C(µ)n (x) =

1

Γ(µ)

[n2

]∑k=0

(−1)k(2x)n−2kΓ(n− k + µ)

k!(n− 2k)!, (3.1)

donde Γ(µ) es la funcion Gamma. Donde Γ(µ) es de la forma en el Teorema 1.3-1, como

Γ(µ) =

∫ +∞

0e−ttµdt. (3.2)

En consecuencia la representacion integral de C(µ)n por (2.61) y (2.62) es

C(µ)n (x) =

1

n!Γ(µ)

∫ ∞0

e−ttn+µ−1Hn(2x,−1

t)dt. (3.3)

Donde Hn es de la forma descrita en (2.42).

3.2 Representacion integral

Definicion 3.2-1 (Representacion integral en dos variables). Sea x y y variables reales y

sea α un parametro real, definimos los polinomios de Gegenbauer Cµn(x, y, α) como los polinomios

que cumplen con la relacion

C(µ)n (x, y, α) =

1

n!Γ(µ)

∫ ∞0

e−ttn+µ−1Hn(2x,−yt

)dt. (3.4)

Teorema 3.2-1. Sean ξ, µ ∈ R, tales que |ξ| < 1, µ 6= 0. La funcion generadora de C(µ)n (x, y, α)

esta dada por

∞∑n=0

ξnC(µ)n (x, y, α) =

1

[α− 2xξ + yξ2]µ. (3.5)

Demostracion. Multiplicando ambos lados de (3.4) por ξn y sumando respecto a n se

obtiene∞∑n=0


∞∑n=0

ξn

n!Γ(µ)

∫ ∞0

e−ttn+µ−1Hn(2x,−yt

)dt.

47

3.3. Relacion diferencial Capıtulo 3. Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer

Ya que la parte izquierda de la ecuacion en (3.4) satisface el Teorema de convergencia dominada

de Lebesgue y haciendo uso del Corolario 1.6-3 se tiene que

∞∑n=0


∫ ∞0

∞∑n=0

ξntn

n!Γ(µ)e−ttn+µ−1Hn(2x,

−yt

)dt.

Recordando (2.46) se tiene que

∞∑n=0

(ξt)n

n!Hn(2x,−y

t) = e[ξ(2xt)+ξ2(−yt)],

luego∞∑n=0


∫ ∞0

1

Γ(µ)e−αteξ(2xt)+ξ

2(−yt)tµ−1dt

=1

[α− (2x)ξ + yξ2]µ.

Lo cual se debıa demostrar. �

3.3 Relacion diferencial

Teorema 3.3-1. Los polinomios de Chebyshev de segunda clase y los polinomios generalizados

de Gegenbauer satisfacen la relacion

(−1)m∂m

∂αmUn(x, y, α) = m!C(m+1)

n (x, y, α). (3.6)

Demostracion. Derivando con respecto a α en (2.61) m−veces se obtiene

∂m

∂αmUn(x, y, α) =

∂m

∂αm[

1

n!

∫ ∞0

e−αttnHn(2x,−yt)dt],

dado que Un(x) satisface las condiciones del Teorema de convergencia dominada de Lebesgue y

utilizando el hecho del Corolario 1.6-2 para a = 0 y b cualquier numero positivo se obtiene que

∂m


∫ ∞0

∂m

∂αm[e−αttnHn(2x,−y

t)]dt.

48

Capıtulo 3. Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer 3.4. Relacion de recurrencia

Luego de derivar se tiene

∂m


(−1)m

n!

∫ ∞0

e−αttn+mHn(2x,−yt

)dt.

Multiplicando por m!m!

=(−1)mm!

n!m!

∫ ∞0


)dt.

Dado que Γ(m) = (m− 1)! por Teorema 1.3-2 y reorganizando se tiene

= (−1)mm!1

n!Γ(m+ 1)

∫ ∞0


)dt.

Usando la definicion 3.2-1 se tiene

= (−1)mm!C(m+1)n (x, y, α),

o sea

(−1)m∂m

∂αmUn(x, y, α) = m!C(m+1)

n (x, y, α).

Lo cual se debıa demostrar. �

3.4 Relacion de recurrencia

El teorema que esta a continuacion, es el teorema cumbre del artıculo de Clemente Cesarano [5],

el cual fue la motivacion principal para la realizacion de la presente monografıa hasta este punto.

Teorema 3.4-1. Los polinomios generalizados de Gegenbauer C(µ)n (x, y, α) satisfacen la relacion

de recurrencia

n+ 1

2µC

(µ)n+1(x, y, α) = xC(µ+1)

n (x, y, α)− yC(µ+1)n−1 (x, y, α) (3.7)

49

3.4. Relacion de recurrencia Capıtulo 3. Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer

y

∂

∂yC(µ)n (x, y, α) = −µC(µ+1)

n−2 (x, y, α). (3.8)

Demostracion. Del Lema 2.3-1 se puede reescribir la generalizacion de los polinomios de

Gegenbauer de orden n+ 1 de la forma

C(µ)n+1(x, y, α) =

1

(n+ 1)!Γ(µ)

∫ ∞0

e−αtn+µ

[(2x) + (

−yt

)∂

∂x

]Hn(2x,

−yt

)dt.

Repartiendo y usando la linealidad de la integral

=1

(n+ 1)!Γ(µ)

[∫ ∞0

e−αtn+µ(2x)Hn(2x,−yt

)dt−∫ ∞

0e−αtn−1+µy(2n)Hn−1(2x,

−yt

)dt

],

luego

=2x

(n+ 1)!Γ(µ)

∫ ∞0

e−αtn+µHn(2x,−yt

)dt− 2yn

(n+ 1)!Γ(µ)

∫ ∞0

e−αtn−1+µHn−1(2x,−yt

)dt.

Factorizando y usando la definicion de la funcion Gamma (representacion integral por la funcion

Euler)

=2µ

(n+ 1)

[x

n!Γ(µ+ 1)

∫ ∞0

e−αtn+µHn(2x,−yt

)dt− y

(n− 1)!Γ(µ+ 1)

∫ ∞0

e−αtn−1+µHn−1(2x,−yt

)dt

].

Usando la definicion de los polinomios de Gegenbauer se concluye

=2µ

(n+ 1)

[xC(µ+1)

n (x, y, α)− yC(µ+1)n−1 (x, y, α)

],

o sea que

C(µ)n+1(x, y, α) =

2µ

(n+ 1)

[xC(µ+1)

n (x, y, α)− yC(µ+1)n−1 (x, y, α)

].

Ya que µ > 0 se concluye que

n+ 1

2µC

(µ)n+1(x, y, α) = xC(µ+1)

n (x, y, α)− yC(µ+1)n−1 (x, y, α),

50

Capıtulo 3. Generalizacion de los polinomios de Gegenbauer 3.4. Relacion de recurrencia

lo cual prueba (3.7).

Gracias al Teorema 2.3-1, en la ecuacion (2.44) se tiene que

∂

∂yHn(2x,

−yt

) = −n(n− 1)

tHn−2(2x,

−yt

), (3.9)

ası, derivando con respecto a y en (3.4) se tiene que

∂

∂yC(µ)n (x, y, α) =

1

n!Γ(µ)

∫ ∞0

e−ttn+µ−1 ∂

∂yHn(2x,

−yt

)dt.

Usando (3.9) en el resultado anterior

∂

∂yC(µ)n (x, y, α) = −n(n− 1)

n!Γ(µ)

∫ ∞0

e−ttn−2+µHn−2(2x,−yt

)dt

= −µ 1

(n− 2)!Γ(µ+ 1)

∫ ∞0

e−ttn−2+µHn−2(2x,−yt

)dt.

Se concluye que

∂

∂yC(µ)n (x, y, α) = −µC(µ+1)

n−2 . �

51

Conclusiones

• Aunque la teorıa estudiada en gran medida fue comprendida, no fue suficiente para la com-

prension total del artıculo, ya que, hubo dificultades en la profundidad de la sıntesis teorica

y se dieron por sentadas algunas definiciones (funcion hipergeometrica, funcion generatriz y

funcion generadora). Ademas de que estas teorıas asumidas estaban fuera del alcance del

autor, la magnitud de trabajo que estas representaban habrıa abarcado un gran porcentaje

de esta monografıa. Por otra parte, la teorıa expuesta nos llevo a la comprension del Teorema

3.4-1 lo que constituye el punto principal de esta monografıa.

• Se precisaron las demostraciones paso a paso en lo que concierne a las matematicas, y la com-

prension de estas demostraciones se hizo tanto en autonomıa como con el acompanamiento

del director de grado. Asimismo, hubo profundizacion teorica y demostrativa que permi-

tieron entender la importancia de los trabajos en los que se fundamenta esta monografıa para

su elaboracion. Ademas, las bases teoricas que cimentaban el estudio del artıculo fueron

pertinentes para el desarrollo y comprension de este.

52

Bibliografıa

[1] Eberhard Freitag y Rolf Busam, Complex Analysis, Springer, 2005.

[2] Gabriel Nagy, Ordinary Differential Equations, Michigan State University, 2019.

[3] Earl D. Rainville, Special Functions, The Macmillan Company,1960.

[4] Theodore S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Courier Corporation, 2011.

[5] Clemente Cesarano, Generalized Chebyshev polynomials, Volume 43 (2014), 731 – 740.

[6] Amparo Gil, Javier Segura, and Nico Temme,Numerical Methods for Special Functions, SIAM,

2007.

[7] Renato Alvarez, Nodarse, Polinomios ortogonales: historia y aplicaciones, Universidad de

Granada, 2001.

[8] James Ward Brown y Ruel V. Churchill, Complex variables and applications eighth edition,

MacGraw-Hill higher education, 2007.

[9] Erwin Kreyszig , Introductory functional analysis with applications, John Wiley and Sons, 1978.

[10] Tom M. Apostol , Mathematical Analysis second edition, Addison Wesley, 1981.

[11] Robert G. Bartle , The elements of integration and Lebesgue Measure, John Wiley and Sons,

1995.

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Documents

Sobre los Polinomios de Chebyshev y su generalizaci on