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Sobre la teoría especial de la relatividad Juan Manuel Tejeiro Sarmiento Profesor Titular Observatorio Astronómico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2004

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  • Sobre la teora especial de la relatividad

    Juan Manuel Tejeiro SarmientoProfesor Titular

    Observatorio Astronmico NacionalFacultad de Ciencias

    Universidad Nacional de Colombia

    2004

  • ii

  • ndice general

    Introduccin VII

    I Cinemtica relativista 1

    1. Modelo mecnico del mundo 31.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Leyes de Newton y principio de relatividad . . . . . . . . . . 41.3. Luz y ter: El retorno al espacio absoluto . . . . . . . . . . . 9

    1.3.1. Un experimento crucial . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2. Fundamentos de la relatividad especial 192.1. Postulados de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Propiedades de las TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Consecuencias de las TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3. La estructura causal del espacio-tiempo 473.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Rotaciones en el plano euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Cuadri-vectores y el grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . 513.4. Conos de luz y relaciones de causalidad . . . . . . . . . . . . 553.5. Algebra de cuadri-vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4. Cinemtica relativista 654.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Cuadri-vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. Cuadri-vector aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.3.1. Viaje interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4. Cuadri-vector de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    iii

  • iv NDICE GENERAL

    II Dinmica relativista 79

    5. Dinmica relativista 815.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2. Leyes de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3. Propiedades del c-momentun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4. Sistema centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5. Energa umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6. Fotones y partculas de masa en reposo cero . . . . . . . . . . 96

    6. Aplicaciones de la dinmica relativista 1016.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Colisiones elsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    6.2.1. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2.2. Efecto Compton inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.3. Colisiones inelsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3.1. Absorcin de un fotn por un tomo . . . . . . . . . . 1086.3.2. Emisin de un fotn por un tomo exitado . . . . . . 111

    6.4. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5. Creacin y aniquilacin de partculas . . . . . . . . . . . . . . 115

    III Electrodinmica relativista 117

    7. Tensores 1197.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    7.2.1. Componentes covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2.2. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2.3. Propiedades de simetra de tensores . . . . . . . . . . 130

    7.3. Transformacin general de coordenadas . . . . . . . . . . . . 1367.4. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . 138

    8. Electrodinmica 1438.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3. Campo magntico como un efecto relativista . . . . . . . . . . 1468.4. Ecuaciones de Maxwell covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 1548.5. Transformaciones Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    9. Bibliografa 169

  • Prefacio

    Segunda edicin de las notas de clase sobre relatividad especial.

    v

  • vi PREFACE

  • Introduccin

    La teora de la relatividad (especial y general) es considerada como unode los ms grandes logros de la mente humana y forma parte, de lo quepodemos llamar la cultura del hombre del siglo XX. A pesar del estigmade incomprensibilidad que siempre ha rodeado a la teora de la relatividad,en el sentido que su comprensin est al alcance solamente de unos pocosespecialistas, esta teora cientfica ha sido la de mayor impacto y difusin anivel de divulgacin y ha tenido influencia definitiva sobre nuestra imagendel mundo.

    El desarrollo de la teora de la relatividad ha estado marcado por cir-cunstancias particulares que la diferencian de otros desarrollos de la fsicacontempornea, a las cuales me referir en esta introduccin, con el fin demostrar, por una parte el estado actual de la teora y por otra, el papelfundamental que ha jugado y juega esta teora en el desarrollo de la fsicaactual.

    La formulacin de la Teora Especial de la Relatividad dada por Einsteinen 1905 es completa, es decir, a parte de ejemplos y aplicaciones de la teora,o de su reformulacin en trminos de modelos matemticos ms sofisticados,todo los elementos bsicos que hoy conocemos de la teora especial de la rel-atividad estn contenidos en los trabajos originales de Einstein. Adems, elestilo del primer trabajo publicado por Einstein sobre el tema, a diferenciade otros trabajos en fsica terica, se caracteriz por su sencillez en la ex-posicin, con muy poco contenido matemtico y la ausencia de referencias aartculos y trabajos anteriores. Su conclusin fundamental, la necesidad dereformular el concepto absoluto de simultaneidad y con l, el concepto detiempo en fsica, muestra la genialidad de Einstein, no por la complejidad desus razonamientos ni la complejidad en los clculos, sino por la profundidadde sus conclusiones, las cuales modificaron de manera radical e irreversiblenuestros conceptos bsicos de espacio y tiempo. No es cierto, como sostienenvarios historiadores de la fsica, que el trabajo de Einstein no fue compren-dido en su tiempo, pues pocos meses despus de su publicacin fsicos de

    vii

  • viii INTRODUCCIN

    Cracovia afirmaban que haba nacido un nuevo Copernico y ya para 1909,los principales fsicos de esa poca tales como Planck, von Laue y otros,reconocieron la genialidad de Einstein y la importancia de sus trabajos.

    Es importante resaltar en este punto que de hecho todas las ecuacionesbsicas de la teora especial de la relatividad, tales como la contraccinde longitudes, aumento de la masa con la velocidad, la equivalencia masa-energa, etc., ya eran conocidas en la literatura y por lo tanto, la fsica siestaba preparada para entender y asimilar las ideas de Einstein. Para com-prender esto, basta con recordar que la teora electromagntica de Maxwelles una teora relativista y por lo tanto era de esperar que un estudio minu-cioso de las ecuaciones de Maxwell (recordemos el excelente trabajo realiza-do por Lorentz sobre el electrn, el cual fue publicado en 1904) condujera atodas estas ecuaciones relativistas, aun cuando su interpretacin estuvierafuertemente influenciada por el concepto del ter.

    Claramente, el impacto de la teora especial de la relatividad de Einsteinno se poda esperar que fuera muy grande a nivel experimental y tecnolgi-co, pues de hecho la posibilidad de probar experimentalmente la teora enforma directa era muy difcil y ms significativo an, era su escasa o prc-ticamente nula aplicabilidad. Esto, debido a que los fenmenos relativistasson relevantes en situaciones que involucren velocidades comparables a lavelocidad de la luz en el vaco (aproximadamente 300,000km/s), lo cual solovino a ser posible con el desarrollo de los grandes aceleradores de partculasa mediados del siglo XX.

    En 1916 Einstein publica la Teora General de la Relatividad, la cualcorresponde a la formulacin relativista de la ley de gravitacin universal deNewton. Estos trabajos, a diferencia de sus primeras publicaciones sobre lateora especial de la relatividad, si requirieron de una estructura matemticamuy compleja: la geometra diferencial y el clculo tensorial. Dos predic-ciones fundamentales surgen de estos trabajos, el corrimiento del periheliode Mercurio, efecto que ya haba sido observado, ms no explicado por losastrnomos y la desviacin de la luz por el sol, cuya corroboracin se da en1919, aprovechando un eclipse total de sol que tuvo lugar el 29 de Mayo.Ms significativo an para el desarrollo de la teora general de la relativi-dad, puede ser el descubrimiento de Hubble de la expansin del universo en1929, si bien Einstein no haba predicho este efecto, si estaba contenido ensus ecuaciones de la relatividad general. Este punto de la historia marca elcomienzo de la cosmologa actual, la cual es una de las reas de investigacinms activas que tenemos hoy da.

    Retomando de nuevo el desarrollo de la teora especial de la relatividad,el papel fundamental que ella juega en la fsica se comienza a reconocer

  • ix

    y a explotar tan solo con el desarrollo de la mecnica cuntica relativistaformulada por Dirac en 1925. En efecto, hasta 1925 se conocan solamentedos partculas elementales: el electrn y el protn. Como una consecuenciafundamental de su recin desarrollada teora relativista del electrn, Diracpredice la existencia del positrn, que es una partcula fundamental de lamisma masa del electrn pero de carga opuesta. Este hecho es posterior-mente generalizado y se establece un resultado general de la naturaleza yes que a toda partcula fundamental le corresponde una antipartcula. Estosdesarrollos condujeron entonces a la teora cuntica de campos, que consti-tuye el marco terico para entender las interacciones fundamentales de lanaturaleza (electromagntica, fuerte y dbil), que rigen el comportamientode la materia a escala microscpica.

    Hoy da la teora especial de la relatividad es reconocida como una teorafundamental de la fsica, cuyo alcance va ms all de sus posibles aplica-ciones experimentales o tecnolgicas, pues ella se enmarca en el contexto delas propiedades fundamentales del espacio-tiempo, independientemente decualquier modelo fsico utilizado para describir los fenmenos. En general,las leyes fsicas que rigen el comportamiento de los sistemas se formulan entrminos de relaciones (ecuaciones diferenciales) entre las variables fsicasnecesarias para describir un sistema. Estas variables fsicas se describen porfunciones del espacio y el tiempo (posicin, momentun, energa, etc.), cuyocomportamiento est regido por los principios de la teora especial de larelatividad.

    El objetivo fundamental de este libro es presentar los principios bsi-cos y los resultados fundamentales de la teora especial de la relatividad,con nfasis en una formulacin covariante, es decir una formulacin que nospermite desde un principio, exhibir en forma explcita el carcter relativistade una teora. Para este fin se han organizado los temas en tres grupos: Elprimer grupo lo conforman los tres primeros captulos, la presente introduc-cin, un captulo sobre los fundamentos de la mecnica Newtoniana, conuna breve discusin sobre el problema del ter, esto con el fin de motivar lospostulados bsicos de la teora especial de la relatividad y sus principalesconsecuencias, desarolladas en el tercer captulo. El segundo grupo lo consti-tuye el cuerpo central del libro, comenzando con una formulacin exhaustivadel concepto de cuadri-vector y la estructura causal del espacio-tiempo paraformular los principios y leyes de la dinmica relativista, dedicando un cap-tulo a sus principales aplicaciones. El ltimo tema est destinado a formularla teora electromagntica (ecuaciones de Maxwell) en forma explcita rel-ativista, para lo cual se dedica un captulo a la formulacin y lgebra detensores sobre el espacio de Minkowski en forma sencilla, es decir sin re-

  • x INTRODUCCIN

    currir a todo el formalismo matemtico de las variedades y la geometradiferencial, pero manteniendo la validz general, tanto en la notacin comoen los resultados fundamentales.

  • Parte I

    Cinemtica relativista

    1

  • Captulo 1

    Modelo mecnico del mundo

    1.1. Introduccin

    En este captulo presentaremos en forma resumida la situacin de lafsica a comienzos del siglo XX, destacando los hechos ms relevantes, quenos permitan motivar y entender mejor los conceptos y postulados funda-mentales, sobre los cuales est basada la teora especial de la relatividad,formulada en 1905 por el fsico alemn Albert Einstein.

    En la primera seccin revisaremos las leyes y conceptos fundamentalesde la mecnica Newtoniana, dedicando el resto del captulo a presentar unabreve descripcin de algunas de las teoras del ter, con el fn de entender elproblema central que se debata en la fsica en la segunda mitad del sigloXIX,en cuanto a la aparente inconsistencia entre la mecnica Newtoniana y larecin desarrollada teora electromagntica.

    La teora de la mecnica formulada por Newton en el siglo XVI y en-riquecida por la contribucin de muchos fsicos y matemticos a lo largo delos dos siglos siguientes, se constituy en la teora fundamental que permitaentender, explicar y predecir todos los fenmenos fsicos conocidos. Fue enla primera mitad del siglo XIX que aparecieron fenmenos relacionados conel electromagnetismo y con la luz que comenzaron a complicar la imgen(explicacin) mecnica del mundo. Esta situacin se torn ms crtica en lasegunda mitad del siglo con el desarrollo de la teora de la electrodinmicade Maxwell, pues su aparente incompatibilidad con la mecnica newtoni-ana, reflejada no slo en consideraciones tericas sino tambin en resultadosexperimentales, hacan pensar que alguna de las dos teoras, la mecnica o laelectrodinmica, debera ser abandonada o revisada, lo cual no era un prob-lema fcil, pues ambas teoras presentaban una enorme cantidad de pruebas

    3

  • 4 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    experimentales y desarrollos tecnolgicos que sustentaban su validez.

    1.2. Leyes de Newton y principio de relatividad

    Para comprender mejor los problemas que se le planteaban a la fsicaen el siglo XIX y preparar el terreno para entender los cambios de inter-pretacin necesarios que se dieron con el desarrollo de la teora especial dela relatividad, en esta seccin revisaremos brevemente algunos conceptosfundamentales de la mecnica newtoniana, cuyo punto de partida son lastres leyes de Newton:

    Ley de la inercia- Toda partcula permanece en estado de reposo omovimiento rectilneo uniforme respecto a cualquier sistema de referenciainercial, mientras no acten fuerzas externas sobre l, o equivalentemente elmomentum de una partcula libre de fuerzas permanece constante, en dondela cantidad dinmica de momentum se define como

    p = mv (1.1)

    siendo m la masa inercial de la partcula y v su velocidad.Ecuacin de movimiento- La fuerza aplicada sobre la partcula es

    igual a la rata de cambio de su momentum

    F =dpdt= m

    dvdt

    (1.2)

    en donde la ltima igualdad se deduce del hecho que la masa inercial de unapartcula puntual es constante e independiente de su estado de movimiento.

    Interaccin entre partculas- La fuerza que una partcula A ejercesobre otra partcula B es igual en magnitud y en sentido opuesto a la fuerzaque la partcula B ejerce sobre A.

    Para la formulacin de estas leyes hay toda una serie de supuestos bsicosnecesarios, tales como la estructura geomtrica del espacio, el concepto detiempo, observador y sistema de referencia, magnitudes fsicas y el conceptode medida. Sin embargo, no es objeto del presente libro entrar a discutirexhaustivamente estos conceptos, sino nos centraremos nicamente en aque-llos aspectos que son relevantes para plantear y motivar la formulacin dela teora especial de la relatividad.

    Definamos, en primer lugar, el concepto de observador como un sistemafsico (reglas o patrn de medida espacial y relojes o patrn de medida tem-poral), que permite determinar la posicin y el instante de tiempo respectoa un origen arbitrario, de un fenmeno fsico (que en lo sucesivo llamaremos

  • 1.2. LEYES DE NEWTON Y PRINCIPIO DE RELATIVIDAD 5

    evento). A este conjunto de reglas y relojes lo denominaremos sistema dereferencia, cuya representacin matemtica se puede realizar por el espacioR R3, con R los nmeros reales que representa el tiempo y R3 el espacioeuclidiano tridimensional que representa el espacio fsico. Dotar al espacioy al tiempo con esta estructura matemtica supone (como lo asumi ex-plcitamente Newton) que el espacio es absoluto, homogneo e isotrpico yobedece la geometra euclideana y el tiempo es absoluto y homogneo y porlo tanto son conceptos independientes del observador.

    En segundo lugar, Newton asumi que sus leyes se cumplen en el espacioabsoluto, es decir que sus leyes son vlidas para un observador, cuyo sistemade coordenadas est fijo respecto al espacio absoluto. A este observador par-ticular se le llama sistema de referencia inercial y lo denotaremos por .Elegir un sistema de referencia inercial es, en principio, escoger una coor-denada temporal t y un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) paradeterminar el instante y la posicin de un evento. Que el origen de la coor-denada temporal es arbitrario, refleja el hecho que el tiempo es homogneo,mientras que el origen y la orientacin arbitrarias de las coordenadas es-paciales ponen de manifiesto la homogeneidad e isotropa del espacio. Si laprimera ley de Newton es vlida en , entonces una partcula P , sobre lacual no actan fuerzas, debe viajar en una lnea recta respecto al sistema. As por ejemplo, si elegimos el origen del tiempo y los ejes espaciales detal manera, que la partcula pase por el origen espacial en el instante t = 0y se mueva en la direccin del eje x positivo, entonces su posicin, en uninstante de tiempo cualquiera t,est dada por

    x = uxt ; y = 0 ; z = 0 (1.3)

    conu = (ux, uy, uz) = (ux, 0, 0) (1.4)

    la velocidad de la partcula.Consideremos otro sistema de referencia 0, con respecto al cual la

    partcula P permanece en reposo en su origen de coordenadas espaciales,y elijamos los ejes espaciales de 0 paralelos a los del sistema de referen-cia inercial y el origen del tiempo de tal manera los relojes comiencena contar el tiempo, t = t0 = 0, cuando los orgenes de los dos sistemas secruzan. Entonces, podemos determinar las coordenadas espaciales y el tiem-po de cualquier evento fsico, bien sea con respecto al sistema inercial ocon respecto al sistema de referencia 0. Si llamamos (t, x, y, z) las coorde-nadas de un evento fsico cualquiera, medidas respecto a y (t0, x0, y0, z0) lascorrespondientes coordenadas, medidas respecto a 0, podemos encontrar la

  • 6 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    Figura 1.1: Transformaciones de Galileo

    relacin entre las coordenadas del evento, medidas por los dos sistemas dereferencia 0 y . Estas relaciones son llamadas ecuaciones de transforma-cin de Galileo.

    Es fcil encontrar las ecuaciones de transformacin de Galileo (Figura1.1), pues teniendo encuenta que las ecuaciones (1.3) nos dan la posicin,respecto al sistema inercial , del origen de coordenadas del sistema 0,entonces, las coordenadas (t0, x0, y0, z0) de cualquier evento medidas por 0,estn relacionadas con las coordenadas (t, x, y, z) del mismo evento medidaspor , por las ecuaciones:

    t0 = t x0 = x vt y0 = y z0 = z (1.5)

    en donde se ha hecho el cambio ux = v, para rescatar la notacin usualutilizada en la literatura.

    As, en lo sucesivo v denotar la velocidad del sistema de referencia 0respecto a . La eleccin de los dos sistemas coordenados de y 0 conlos ejes coordenados paralelos y la misma orientacin, as como la velocidadrelativa de los dos sistemas a lo largo de los ejes x, x0 no representa prdi-da alguna de generalidad y su justificacin se encuentra en la hiptesis deisotropa del espacio, la cual implica que la fsica no depende de la orientacinde los ejes coordenados, o equivalentemente, que el espacio es isotrpico.

  • 1.2. LEYES DE NEWTON Y PRINCIPIO DE RELATIVIDAD 7

    Adems, en las ecuaciones de tranformacin de Galileo est implcita, tam-bin, la hiptesis de homogeneidad del espacio y el tiempo, pues la eleccindel origen del tiempo para los dos sistemas, en el instante en que los or-genes espaciales coinciden, es arbitraria, indicando que cualquier instantede tiempo y todos los puntos del espacio son equivalentes para describir losfenmenos fsicos. La primera ecuacin de transformacin, t0 = t, representael carcter absoluto del tiempo, y significa que (salvo la eleccin arbitrariadel origen) el instante en el cual ocurre un evento fsico es independiente delobservador y adems, esta ecuacin lleva tambin la hiptesis implcita, queexiste algn mecanismo fsico apropiado que permite transmitir informacininstantneamente. Otra forma de expresar este carcter absoluto del tiempo,es a travs del concepto de simultaneidad: Si dos eventos, que ocurren enpuntos diferentes del espacio para un observador, son simultneos, entoncesestos dos eventos son tambin simultneos para cualquier otro observador,sin importar su estado de movimiento relativo respecto al primer observador.Como veremos ms adelante, la simultaneidad es uno de los conceptos fun-damentales que debe ser cuestionado y se torna en un punto muy importantepara la formulacin de la teora de la relatividad.

    Una primera consecuencia de las transformaciones de Galileo, es que lasleyes de la mecnica son vlidas en todos los sistemas de referencia que semuevan con respecto al sistema de referencia inercial, el cual se encuentra enreposo con respecto al espacio absoluto. La demostracin de este resultadoes directa, pues, si una partcula libre posee una velocidad

    u = (ux, uy, uz) = (dxdt,dydt,dzdt) (1.6)

    respecto al sistema de referencia inercial , entonces, se obtiene de las ecua-ciones de transformacin de Galileo (1.5), que las componentes de la ve-locidad de la partcula, medidas en el sistema de referencia 0 estn dadaspor:

    ux0 =dx0

    dt0= ux v uy0 = uy uz0 = uz (1.7)

    Este resultado se conoce con el nombre de teorema de adicin de veloci-dades de Galileo. As, puesto que la velocidad relativa v entre los sistemas dereferencia y 0es constante, entoces, la partcula libre tambin se muevecon velocidad constante u0 = (u0x0 , uy0 , uz0) respecto al sistema 0. De man-era similar, se deduce que la segunda ley de Newton tambin se satisface,pues, utilizando el resultado anterior (ecuacin (1.7)), tenemos que

    F 0 =dp0

    dt0= m

    du0

    dt= m

    dudt=dpdt= F (1.8)

  • 8 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    con el resultado adicional, que no slo la forma de la segunda ley de NewtonF = dp

    dtes la misma, como queramos probar, sino que tanto la fuerza que

    acta sobre la partcula, como su aceleracin, toman el mismo valor en losdos sistemas de referencia. Que la tercera ley de Newton tambin se cumplepara el sistema de referencia , se obtiene de este resultado y del carcterabsoluto de la simultaneidad, pues, la igualdad de las fuerzas de accin yreaccin es instantnea, independiente de la posicin relativa de los puntosde aplicacin de las fuerzas.

    Esta invarianza de las leyes de la mecnica bajo transformaciones deGalileo, constituye el Principio de Relatividad Galileano. En la formulacininicial de las leyes de Newton, se postul que ellas eran vlidas para unobservador en reposo con respecto al espacio absoluto, que lo llamamos ob-servador inercial o sistema de referencia inercial, y mostramos, que si estepostulado se cumpla, entonces las leyes de Newton tambin eran vlidasen cualquier sistema de referencia que se moviera con velocidad constanterespecto al observador inercial. Esto justifica extender el nombre de sistemade referencia inercial, para todos los observadores con movimiento relativoconstante, respecto al observador inercial inicialmente en reposo relativo alespacio absoluto. As, podemos dar otras formas equivalentes de enunciar elprincipio de relatividad galileano: Las leyes de la mecnica son las mismasen todos los sistemas de referencia inerciales, o tambin, no es posible, atravs de experimentos mecnicos, determinar la velocidad del sistema dereferencia inercial con respecto al espacio absoluto.

    Esta ltima forma equivalente de enunciar el principio de relatividadGalileano, le quita todo el sentido fsico al espacio absoluto, pues eliminasu estatus privilegiado de ser el nico sistema de referencia con respectoal cual se cumplen las leyes de la mecnica y por lo tanto, el espacio ab-soluto queda como un concepto empricamente vaco, por lo menos en loque a fenmenos mecnicos se refiere. Esta situacin, reconocida desde unprincipio por Newton, lo condujo a buscar experimentos alternativos que lepermitieran determinar el movimiento con respecto al espacio absoluto. Elejemplo ms conocido en la literatura lo constituye su experimento del balderotante, en el cual, la curvatura que toma la superficie del agua del balde,cuando ste se encuentra en rotacin, se la atribuye a su movimiento derotacin respecto al espacio absoluto, pues este fenmeno, sostena Newton,tena lugar an en el caso que el balde se encontrara solo en el universo.Crticas a este anlisis son igualmente abundantes en la literatura, siendola de Mach la ms conocida, pues parte del anlisis que llev a Einstein aformular los principios de la Teora General de la Relatividad est basadosobre los trabajos de Mach.

  • 1.3. LUZ Y TER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 9

    No es objeto de la presente seccin profundizar ms sobre este tema,pues volveremos sobre el problema del espacio absoluto, cuando discutamoslas teorias del eter y los fenmenos electromagnticos. Sin embargo, es im-portante dejar claro un aspecto referente a este tema: Dada la imposibilidadde determinar el movimiento absoluto (a velocidad constante) a travs defenmenos mecnicos, Newton recurri, entonces, a sistemas de referenciaacelerados, para los cuales las leyes de la mecnica ya no permanecen invari-antes y claramente, los efectos de la aceleracin si son detectables (las, nobien llamadas fuerzas ficticias, tales como la fuerza centrfuga o la fuerza decoriolis, que surgen en sistemas de referencia acelerados), pero an, en estecaso de sistemas de referencia no inerciales, cualquier referencia al espacioabsoluto sigue siendo superflua.

    1.3. Luz y ter: El retorno al espacio absoluto

    Hasta comienzos del siglo XIX todos los fenmenos fsicos, incluidos losde la ptica, admitan una explicacin mecnica. Esto nos permite compren-der, en gran parte, por qu esta imgen mecnica del mundo se extendihasta finales del siglo XIX, tratando de explicar fenmenos tales como lapropagacin de las ondas de luz, y todos aquellos fenmenos relacionadoscon la teora electromagntica de Maxwell. Un ejemplo, que ilustra muy bi-en esta concepcin, lo podemos encontrar en la siguiente cita debida a LordKelvin: No estar contento hasta que pueda construir un modelo mecni-co del objeto que estoy estudiando. Si lo puedo lograr significa que lo heentendido, de lo contrario no..

    En este pargrafo describiremos brevemente dos desarrollos de la fsicadel siglo XIX, el carcter ondulatorio de la luz descubierto por Young yFresnel y la electrodinmica de Maxwell, que constituyen, en mi opinin, elpunto de partida ms directo para formular los principios y conceptos de lateora especial de la relatividad.

    El sonido es la propagacin de ondas longitudinales en un medio material,en donde la velocidad de propagacin est dada por la ecuacin debida aNewton:

    v =

    sY

    (1.9)

    en donde Y es el mdulo de elasticidad del medio y la densidad del medio.Adems, la velocidad del sonido es independiente de la fuente, pero de-

    pende de la velocidad del medio en el cual se transmite. De manera similar,

  • 10 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    se trabajaron modelos para explicar los fenmenos de la luz, como los desar-rollados por Hook y Huygens, en donde la luz se consideraba como algunaforma de onda longitudinal, que se propagaba a travs del espacio. Newtontrabaj este modelo por algn tiempo, pero dada la imposibilidad de ex-plicar la polarizacin de la luz, desarroll el modelo corpuscular, capaz deexplicar este efecto y de dar cuenta de otras propiedades conocidas de la luz,desplazando al modelo ondulatorio de Huygens.

    La teora corpuscular de la luz permaneci vigente hasta comienzos delsiglo XIX, cuando Young y Fresnel explicaron los nuevos fenmenos de in-terferencia y difraccin, con base en la teora ondulatoria, relegando a lateora corpuscular Newtoniana, a un captulo ms de la historia de la fsi-ca. Sin embargo, de la misma manera que el sonido necesita de un mediopara propagarse, se vi la fsica avocada a postular un medio material parala propagacin de las ondas de luz. Este medio material, que optaron porllamar ter, debera ser de naturaleza diferente a la materia conocida has-ta entonces. Es importante anotar, que el ter en la fsica no era una ideacompletamente original, pues ya haba sido usado antes para explicar mu-chos otros fenmenos. Por ejemplo, Newton, sugiere que el ter puede estarasociado con la gravitacin, con los fenmenos elctricos y magnticos, conla propagacin del calor etc.. A este respecto, Young aclara, que el ter atravs del cual se propaga la luz no necesariamente es el mismo que el terelctrico, y por esta razn Young propone llamarlo ter lumnico.

    Una vez aceptado que la luz es un fenmeno ondulatorio, comenzaron adesarrollarse teoras y modelos mecnicos del ter, para explicar el mecan-ismo de propagacin de las ondas de luz en este medio. Young y Fresnelfueron los primeros en encontrar que las ondas de luz deben ser transver-sales, para poder explicar el fenmeno de polarizacin. Este hecho exiga,entonces, un esfuerzo terico muy grande para comprender el mecanismode transmisin de ondas transversales en un medio elstico, dado que s-to requera que el medio de transmisin, el ter, tuviera un coeficiente derigidez muy grande, pues, como lo demostr Poisson, ondas longitudinalesy transversales se podan propagar en un slido, con

    v = (/)1/2 (1.10)

    la velocidad de las ondas transversales y

    vk = ([k + 4/3]/)1/2 (1.11)

    la velocidad de las ondas longitudinales, siendo el mdulo de rigidez, k elmdulo de elasticidad volumtrico y la densidad del slido. Una dificultad,

  • 1.3. LUZ Y TER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 11

    de este modelo mecnico del ter, era la ausencia de componente longitudi-nal de las ondas de luz, lo que llev a Cauchy a sugerir, que el eter debatener una compresibilidad negativa, de tal manera que el factor k + 4/3,en la ecuacin (1.11), se anulara. Estas teoras estaban basadas sobre laspropiedades conocidas de los medios elsticos, pero la combinacin tan inusu-al de las propiedades que debera tener el ter, condujeron a MacCullagh apostular, que este medio era un nuevo tipo de sustancia elstica, diferentea las conocidas y asocindole otras propiedades desarroll una teora mssofisticada, con un sistema de ecuaciones, muy parecido a las ecuaciones deMaxwell, que fue intensamente trabajado en la segunda mitad del siglo XIX.

    A diferencia de las propiedades mecnicas del ter, anteriormente dis-cutidas, para las cuales era difcil proponer experimentos directos que lasverificaran, el teorema de adicin de velocidades de Galileo, que se cumpletambin para las ondas en un medio mecnico, permiti proponer y realizartoda una serie de experimentos para medir la velocidad de la luz, desdeun sistema de referencia mvil respecto al ter. La situacin se plantea dela siguiente forma: De la teora de propagacin de las ondas en un medioelstico, sabemos que:

    u0 = u v (1.12)

    en donde u es la velocidad de propagacin de las ondas, medida en sistemade referencia inercial , el cual est en reposo con respecto al medio depropagacin (el ter para el caso de ondas de luz), u0 es la velocidad de lasondas, medida por un observador en un sistema de referencia inercial 0,que se mueve con velocidad v respecto a .

    En 1728 Bradley descubri el fenmeno de aberracin de la luz, que con-siste en el cambio aparente de posicin de las estrellas en diferentes pocasdel ao (Figura 1.2). Este efecto se explica fcilmente, si se supone que elter est en reposo respecto al sol, pues, dado que la tierra se mueve conuna velocidad aproximada de 30km/s en su rbita alrededor del sol y, porlo tanto, si tomamos una estrella colocada perpendicularmente al plano detranslacin de la tierra, el telescopio debe inclinarse un ngulo adicional da-do por v

    csin , en donde v es la velocidad orbital de la tierra, c la velocidad

    de la luz respecto al ter y mide la posicin angular instntanea de laestrella respecto a la tierra. Esta interpretacin fue capaz de dar el valorcorrecto de la aberracin observada, a primer orden en v/c.

    Es de anotar, que los experimentos de aberracin de la luz estelar noeran capaces de dar el valor de la velocidad absoluta de la tierra respecto alter, sino solamente cambios de la velocidad relativa de la tierra respecto alter. Arago en 1810 propuso una modificacin al experimento de aberracin,

  • 12 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    Figura 1.2: Aberracin de la luz estelar

    que s permitira medir la velocidad absoluta de la tierra respecto al ter,pues de acuerdo con la teora clsica, si la luz atravesaba un medio refractivo(como el agua o un vidrio), el cual estuviera movindose respecto al ter,entonces la velocidad de la luz respecto a este medio variaba, dependiendo dela direccin relativa de movimiento del medio y el ter, es decir, el ndice derefracin del medio dependera de la direccin relativa de movimiento. Aragocoloc un prisma en el telescopio y observ diferentes estrellas, esperandoencontrar variaciones del ngulo de aberracin. El resultado negativo de suexperimento, condujo a Fresnel a proponer la teora del arrastre parcial delter por los medios materiales en movimiento y mostr que este arrastreparcial del ter haca inobservable el efecto del viento de ter en mediosmateriales, en rdenes de magnitud de v/c.

    Basados sobre este mismo principio, se realizaron toda una serie de exper-imentos como los de Hoek, de Mascart y Jamin, Airy, Fizeau, etc, obtenin-dose tambin resultados negativos. Sin embargo, no se poda estar seguroque las condiciones experimentales fueran lo suficientemente adecuadas paramedir los pequeos efectos que se estaban buscando. Adems se agregabala dificultad que al utilizar luz blanca, el ndice de refracin de la luz en unmedio dependa de la frecuencia y por tanto cada color (frecuencia) sufra unarrastre diferente. Los problemas de la teora del ter no se centraban ni-

  • 1.3. LUZ Y TER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 13

    camente en la determinacin de la velocidad absoluta de la tierra respectoal ter, sino tambin tenan que dar cuenta de los dems efectos conocidos,tales como las leyes de reflexin, refraccin, polarizacin, cristales pticos,etc, lo cual conduca a complicar cada vez ms el modelo mecnico del ter.

    Un elemento adicional que se sumaba a esta historia del ter, lo cons-tituye el desarrollo de las teoras de la electricidad y el magnetismo, queculminan hacia mediados del siglo XIX con las ecuaciones de Maxwell y conel descubrimiento, tal vez el ms importante de ese siglo, que la luz son ondaselectromagnticas. A partir de este momento el ter se asoci como el mediode propagacin de los campos elctricos y magnticos. Pero un punto msimportante para nuestra discusin de los orgenes de la teora especial dela relatividad, lo constituye el hecho de que las leyes del electromagnetismode Maxwell no satisfacen el principio de relatividad de Galileo. Lo que restade esta seccin lo dedicaremos a explicar el significado de este hecho y susimplicaciones.

    Que las leyes del electromagnetismo de Maxwell no satisfacen el prin-cipio de relatividad de Galileo significa que las ecuaciones de Maxwell nopermanecen invariantes, cuando se realiza una transformacin de Galileoentre dos sistemas de referencia inerciales, o en otros trminos equivalentes,si suponemos que las ecuaciones de Maxwell son vlidas en un sistema de ref-erencia inercial , entonces ellas cambiarn para cualquier otro observadorinercial 0, que se mueva con respecto a . Este cambio se refleja en que alas ecuaciones de Maxwell le aparecen nuevos trminos, que van a dependerde la velocidad relativa de los sistemas. Estos nuevos trminos dependientesde la velocidad en las leyes de la electrodinmica deben producir efectos ob-servables y por tanto, deben permitir determinar la velocidad del sistema dereferencia 0 del observador, respecto al nico sistema de referencia inercialpara el cual las ecuaciones de Maxwell toman su forma ms simple.

    Esta situacin de las leyes del electromagnetismo rescataba entonces elconcepto de espacio absoluto, identificado a su vez con el sistema de reposodel ter, pero ahora y a diferencia del caso de la mecnica de Newton, dndoleun significado fsico: Las leyes de la electrodinmica son vlidas solamenteen el sistema de referencia en reposo con respecto al espacio absoluto.

    Para ilustrar esta situacin, consideremos dos cargas +q y q, unidaspor una varilla rgida aislante (Figura 1.3). Si este sistema est en reposorespecto al espacio absoluto , la nica fuerza entre las cargas es la elctrica,dada por la ley de Coulomb. Pero si estas cargas se encuentran en reposo enotro sistema de referencia inercial 0que se mueva respecto a una veloci-dad v, entonces aparecer un campo magntico y as, una fuerza, adicionala la fuerza elctrica, debida al movimiento de las cargas, que producir, por

  • 14 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    Figura 1.3: Experimento de Truton-Noble

    lo tanto, un par de fuerzas que tender a hacer girar el sistema. Este ex-perimento, con resultado negativo, fue llevado a cabo por Trouton y Noble,esperando encontrar una fuerza magntica que dependa de la relacin v

    2

    c2,

    siendo v la velocidad de la tierra. Es de anotar, que el diseo experimen-tal utilizado para realizar este experimento, permita medir cantidades delorden de magnitud de v2/c2 108.

    1.3.1. Un experimento crucial

    El experimento ms notable, y de referencia obligada en todo tratado derelatividad, lo constituye el realizado por Michelson y Morley en 1887. Esinteresante notar, que Einstein no hace referencia alguna a este experimentoen sus primeros artculos, en donde desarrolla la teora especial de la rela-tividad, y de hecho, varios historiadores de la ciencia afirman que ni siquieralo conoca. La importancia histrica de este experimento y su obligatoriareferencia, la podemos entender por dos aspectos: primero, el diseo delexperimento permita medir, con una precisin suficiente (corrimientos delpatrn de interferencia menores a 1/100 de franja), evitando as, el problemaque se presentaba en todos los otros experimentos realizados hasta entonces,en cuanto a que, el orden de magnitud de los efectos esperados, eran siempremenores o del mismo orden que el error experimental, dejando siempre un

  • 1.3. LUZ Y TER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 15

    velo de duda sobre los resultados obtenidos. Segundo, el resultado negativodel experimento de Michelson y Morley gener toda una serie de trabajostericos, que impulsaron el desarrollo de la fsica y abrieron el camino parala formulacin de la teora de la relatividad. Tal vez, el ms importante deestos trabajos fue el realizado por Lorentz, que culmin con su libro sobre lateora del electrn publicado en 1905. Es interesante, ms no sorprendente,anotar como, en este libro, se encuentran todas las ecuaciones que describenlos fenmenos ms significativos que predice la relatividad, como por ejemp-lo, las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales (llamadas hoytransformaciones de Lorentz), las ecuaciones de contraccin de longitudes ydilatacin del tiempo, la equivalencia masa-energa, la variacin de la masainercial con la velocidad, etc, solamente que su interpretacin, en trminosde las propiedades del ter, era incorrecta, en cuanto a que, estos efectosesperados, siempre se compensaban con otros debidos al ter, de tal man-era que ninguno de ellos resultaba ser observable. Este trabajo terico deLorentz resolva, as, la aparente inconsistencia entre los dos grandes pilaresde la fsica conocidos hasta entoces, la mecnica de Newton y la electrod-inmica de Maxwell, pero dejaba el problema fundamental sin resolver: elespacio absoluto y la indetectabilidad del ter.

    Anotbamos en el pargrafo anterior, que no es una sorpresa que el tra-bajo de Lorentz contenga todas las ecuaciones relativistas, pues est basa-do sobre la electrodinmica de Maxwell, que como veremos en un captuloposterior, es una teora relativista. Igualmente, esta anotacin nos permitetambin entender, por qu no era necesario que Einstein conociera el exper-imento de Michelson y Morley para desarrollar la teora de la relatividad.En efecto, basta con recordar el ttulo del primer artculo publicado porEinstein sobre el tema:Zur Elektrodinamik der bewegten Krper (Sobrela electrodinmica de los cuerpos en movimiento).

    El experimento de Michelson-Morley fue realizado en 1887, utilizandocomo principio fsico el fenmeno de interferencia de la luz. El diseo ex-perimental es bosquejado en la (Figura 1.4). De la fuente S sale un haz deluz que incide sobre un espejo semitransparente A, el cual divide al haz endos rayos mutuamente perpendiculares, los cuales se reflejan en los espejosplanos B y C, retornando al espejo A, en donde, el rayo proveniente delespejo C es desviado hacia el objetivo O, mientras que el rayo reflejado enB atraviesa el espejo A y llega al objetivo O, donde se observan franjas deinterferencia, las cuales dependen de la diferencia de caminos pticos entrelos dos rayos de luz.

    Supongamos, sin prdida de generalidad y para simplicar el anlisis, que

  • 16 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

    Figura 1.4: Experimento de Michelson y Morley

    los caminos AB y AC de los dos haces de luz son iguales. Sea v la velocidadde la tierra respecto al ter y paralela al brazo AC del interfermetro. As,la velocidad del viento del ter respecto al interfermetro, fijo a la tierra,est en la direccin de CA (ver Figura 1.4), suponiendo que no hay arrastreparcial del ter. De acuerdo con las teoras del ter, la velocidad de la luzrelativa al laboratorio es cv, cuando va de A hacia C y c+v cuando regresade C hacia A, mientras que la velocidad del otro rayo de luz es (c2 v2) 12en la direccin de A hacia B y de B hacia A.

    Entonces, si la longitud de cada uno de los brazos del interfermetro esL, la diferencia de tiempos de llegada de los dos rayos est dada por:

    t = tACA tABA =2Lc

    c2 v2 2Lc2 v2

    =2Lc(

    1

    1 v2/c2 1p

    1 v2/c2) (1.13)

    Utilizando la expansin en serie

    (1 + x)r = 1 + rx+1

    2!r(r 1)x2 + (1.14)

    la cual es convergente para |x| < 1, se desarrolla cada fraccin hasta trminos

  • 1.3. LUZ Y TER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 17

    del orden de v2/c2, obteniendo:

    t ' Lv2

    c2(1.15)

    Si rotamos el interfermetro 90, el tiempo para recorrer el camino ABAser ahora mayor que el tiempo para el camino ACA, y la diferencia detiempos t estar dada por t ' Lv2

    c2. Por lo tanto, el cambio total en la

    diferencia de tiempos al rotar el interfermetro es igual a 2Lv2

    c2. Si es la

    longitud de onda de la luz utilizada, entonces la rotacin del interfermetroda lugar a un corrimiento de n franjas, dado por:

    n =2Lv2

    c2(1.16)

    Michelson y Morley utilizaron en su experimento luz de longitud de ondade 5,9 107m y un camino de L = 11m, logrado por mltiples reflexiones.Tomando para la velocidad de la tierra alrededor del sol 30km/s, se esperabaun corrimiento de aproximadamente 0,37 franjas, el cual, como ya se ha dichono fue observado.

  • 18 CAPTULO 1. MODELO MECNICO DEL MUNDO

  • Captulo 2

    Fundamentos de larelatividad especial

    En este captulo formularemos los postulados fundamentales sobre loscuales est basada la teora especial de la relatividad y obtendremos las ecua-ciones de transformacin entre sistemas de referencia inerciales (transforma-ciones de Lorentz). Concluiremos el captulo estudiando las propiedades delas transformaciones de Lorentz y sus consecuencias sobre la medida de in-tervalos temporales y espaciales.

    2.1. Postulados de la relatividad especial

    Como fue anotado en el captulo anterior, la teora desarrollada porLorentz solucionaba la aparente inconsistencia de la mecnica Newtoniana yla electrodinmica de Maxwell, manteniendo inmodificados los principios ypostulados fsicos sobre los cuales se basaban estas teorias. La aproximacinde Einstein a este problema es diferente, pues est basada sobre dos postula-dos de carcter fundamental, en el sentido de que estos postulados deben sersatisfechos por cualquier teora fsica que se proponga, independientementede las leyes y principios que se postulen para describir esta teora.

    Postulado 1: Las leyes fsicas son independientes del sistema de refe-rencia inercial, con respecto al cual se midan las variables que describen alsistema fsico considerado.

    Postulado 2: La velocidad de la luz en el vaco es la misma para todoslos observadores inerciales, independiente de la direccin de propagacin yde la velocidad de la fuente emisora.

    El primer postulado propuesto por Einstein es conocido tambin como

    19

  • 20 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    el Principio de Relatividad, el cual generaliza el principio de relatividadGalileano a todas las leyes de la fsica. El costo de aceptar este postuladoes el de abandonar las transformaciones de Galileo, que relacionan las coor-denadas de los eventos medidas por diferentes observadores inerciales, y depaso, se hace necesario revisar las leyes de la mecnica Newtoniana. Pues,como vimos en la parte final del captulo anterior, las ecuaciones de Maxwellno eran invariantes bajo transformaciones de Galileo, indicando que las leyesdel electromagnetismo no obedecan el principio de relatividad de Galileo.Sin embargo, los experimentos realizados para demostrar este hecho dabantodos resultados negativos, y no es aventurado pensar que fue esta situacinla que llev a Einstein a postular, que las leyes de la electrodinmica s sat-isfacan el principio de relatividad, pero entonces sto exiga abandonar lasecuaciones de transformacin de Galileo, como la forma correcta de expresarlas transformaciones entre sistemas de referencia inerciales. Esto implicabatambin que deberan ser modificadas las leyes de la mecnica de Newton,las cuales s permanecen invariantes bajo transformaciones de Galileo.

    El segundo postulado de la Teora de la Relatividad establece que lavelocidad de la luz en el vaco es constante, independiente del sistema dereferencia inercial desde el cual sta sea medida. Cmo lleg Einstein a esteresultado, es un problema que ha sido objeto permanente de debate en lahistoria de la ciencia. Ninguno de los experimentos realizados en el siglo XIXse puede considerar como evidencia directa de la constancia de la velocidadde la luz en el vaco. Es claro a la luz de este postulado, el resultado negativodel experimento de Michelson y Morley y podra pensarse, como lo afirmaGrnbaum, que Einstein incorpora este resultado nulo como un axima, atravs del principio de la constancia de la velocidad de la luz. Aun cuandoen una entrevista realizada por Shankland a Einstein en 1950, le afirma quel no estaba familiarizado con el experimento de Michelson y Morley cuandoescribi su artculo en 1905, Shankland hace notar que en este artculo Ein-stein hace referencia a intentos fallidos para detectar cualquier movimientode la tierra respecto al ter lumnico, lo que indica segn Shankland, queEinstein tena referencia de los diferentes experimentos pticos realizados,pero no de los detalles prpios de cada experimento.

    Una aproximacin alternativa para buscar los orgenes de este segun-do postulado, la podemos encontrar en la teora de la electrodinmica deMaxwell, pues, si aceptamos su validez y el principio de relatividad, podemosencontrar el principio de la constancia de la velocidad de la luz, as comotambin el postulado de la constancia de la carga elctrica, el cual juega unpapel igualmente importante en fsica.

    Las ecuaciones de Maxwell, en el sistema M.K.S. racionalizado, para un

  • 2.1. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 21

    observador inercial toman la forma

    E = /0 (2.1) B = 0 (2.2)

    B = 0 J + 00 Et

    (2.3)

    E = Bt

    (2.4)

    con 0 = 4 107Nw/(amp)2 la permeabilidad magntica del vaco y0 = 8, 854 1012coulomb2/Nw m2 la constante dielctrica del vaco. Laprimera ecuacin corresponde a la ley de Gauss, y establece que las cargasson fuente del campo elctrico, siendo la densidad de carga. La segundaecuacin afirma que no existen cargas magnticas aisladas. El primer trminode la tercera ecuacin corresponde a la ley de Ampre y significa que lascorrientes elctricas son fuente del campo magntico, con J la densidadde corriente, mientras que el ltimo trmino, conocido como corriente dedesplazamiento de Maxwell, establece que variaciones temporales del campoelctrico son tambin fuente del campo magntico. La ltima ecuacin es laley de induccin de Faraday, en la cual variaciones temporales del campomagntico producen campos elctricos. Las ecuaciones de campo de Maxwellse completan con una ecuacin de movimiento, la cual establece que la fuerzasobre una partcula de carga q en presencia de un campo electromagnticoest dada por :

    F = q E + qu B (2.5)conocida como la fuerza de Lorentz.

    Si tomamos la divergencia de la tercera ecuacin de Maxwell, haciendouso de la ley de Gauss (primera ecuacin) y del hecho que la divergenciadel rotacional siempre es cero, obtenemos la ecuacin de continuidad parala carga elctrica

    t+ J = 0 (2.6)

    Integrando en todo el espacio y aplicando el teorema de Gauss, se llegaal principio de conservacin de la carga:

    ddt

    ZdV =

    dQdt= 0 (2.7)

    Este resultado es independiente del estado de movimienento de la cargay existe muchsima evidencia experimental que lo corrobora. Por ejemplo,

  • 22 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    si la carga dependiera de la velocidad, el tomo de hidrgeno podra no serelctricamente neutro, ya que en promedio, la velocidad del electrn en eltomo es mayor que la velocidad del protn.

    Considerando otro sistema de referencia inercial 0 y asumiendo el prin-cipio de relatividad, las ecuaciones de Maxwell en este nuevo sistema estndadas por:

    0 E0 = 0/0 (2.8)0 B0 = 0 (2.9)

    0 B0 = 0 J 0 + 00 E0

    t0(2.10)

    0 E0 = B0

    t0(2.11)

    en donde las cantidades primadas se refieren a sus valores medidos por elobservador 0. Siguiendo los mismos pasos anteriores, obtenemos la ecuacinde continuidad en el sistema de referencia 0

    0

    t0+ 0 J 0 = 0 (2.12)

    y el principio de la invarianza de la carga, que para el caso de una partculaelemental su valor invariante corresponde al valor medido de la carga, cuan-do sta se encuentra en reposo respecto al sistema de referencia inercial 0.Una suposicin fundamental que est implcita en el principio de relatividad,es que parmetros tales como la carga , la masa, etc., de una partcula fun-damental, cuando son medidos respecto a un sistema de referencia para elcual la partcula est en reposo, toman el mismo valor numrico cuando semiden con respecto a otro sistema de referencia inercial 0 cuando la partcu-la se encuentra en reposo relativo respecto a este sistema 0. Si aceptamosesta suposicin, entonces el principio de la constacia de la carga elctrica, seobtiene de las ecuaciones de Maxwell y del principio de relatividad.

    Consideremos, ahora, las ecuaciones de Maxwell en el vaco ( = 0,J = 0), en un sistema de referencia inercial y tomemos el rotacional dela ltima ecuacin de Maxwell (la ley de induccin de Faraday), entonces,teniendo en cuenta la identidad vectorial

    E = ( E)2 E (2.13)y la primera ecuacin de Maxwell en el vaco E = 0, obtenemos

    2 E 002 Et2

    = 0 (2.14)

  • 2.1. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 23

    Esta relacin corresponde a la ecuacin de ondas electromagnticas (conuna ecuacin similar para el vector campo magntico), y describe la ra-diacin electromagntica producida por algn sistema de cargas aceleradas,y cuya velocidad de propagacin en el vaco, viene dada por:

    c = 1/00 (2.15)

    siendo esta velocidad de propagacin, independiente de la velocidad de lafuente (sistema de cargas aceleradas). Si ahora asumimos de nuevo la validezdel principio de relatividad y consideramos otro sistema de referencia inercial0, obtenemos, siguiendo un razonamiento similar, la ecuacin de ondas enel sistema de referencia 0 :

    02 E0 00002 E0

    t02= 0 (2.16)

    Esta ecuacin describe la propagacin de las ondas electromanticas conuna velocidad (0000)1/2 en el vaco, la cual, como para el caso del sistema dereferencia , es tambin independiente del movimiento de las cargas fuente.

    Si definimos el amperio a travs de la ley de Biot-Savart, como la corri-ente que circula por dos hilos paralelos infinitos, separados por una distanciade un metro en el vaco, para que sobre cada hilo se experimente una fuerzapor unidad de longitud de 2 107Nw, entonces el valor de la constantepermeabilidad magntica del vaco es:

    00 = 0 = 4 107Nw/m (2.17)Por otra parte, si suponemos que la ley de Coulomb es vlida en los dos

    sistemas de referencia inerciales y 0, y que la fuerza de Coulomb, entre dospartculas iguales en reposo relativo, por ejemplo dos electrones o protones,es la misma en ambos sistemas de referencia inerciales, entonces 00 = 0 ypor lo tanto la velocidad de la luz es independiente del sistema de referenciainercial desde el cual sta sea medida e independiente del movimiento de lasfuentes.

    Si aceptamos ahora, que el postulado de la constancia de la velocidad dela luz es vlido, y las ecuaciones de Maxwell son correctas, entonces 00 = 0 ytambin 00 = 0. Esto implica que las unidades fundamentales de longitud,tiempo, masa y carga elctrica deben ser definidas en la misma forma entodos los sistemas de referencia inerciales, as como tambin las constantesfundamentales de la fsica: la constante de Planck h = 6, 626 1034J s, laconstante de gravitacin universal de Newton G = 6, 670 1011Nw m2 kg2 y la velocidad de la luz en el vaco c = 2, 998 108m s1.

  • 24 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    Como fue originalmente propuesto por Planck, estas constantes funda-mentales c, G y ~ = h/2, pueden ser conbinadas para dar las unidadesfundamentales de longitud, tiempo y masa:

    Lp := (G~/c3)1/2 = 1, 616 1035m (2.18)

    Tp := (G~/c5)1/2 = 5, 39 1044s (2.19)Mp := (~c/G)1/2 = 2, 18 108kg (2.20)

    llamadas longitud, tiempo y masa de Planck respectivamente. Actualmentees prctica usual en la fsica trabajar con unidades de c = ~ = G = 1, lascuales son llamadas unidades fundamentales o naturales.

    2.2. Transformaciones de Lorentz

    De lo discutido en la seccin anterior, las leyes de la electrodinmicason fsicamente compatibles con el principio de la constancia de la veloci-dad de la luz, pero a diferencia de las leyes de Newton, las ecuaciones deMaxwell no permanecen invariantes bajo las transformaciones de Gelileo.Esta situacin nos conduce al problema de encontrar un conjunto de trans-formaciones de coordenadas compatibles con los postulados de la relativi-dad especial. Lorentz a finales del sigloXIX, encontr las transformacionesde coordenadas que dejaban invariante a las ecuaciones de Maxwell, pero enningn momento las consider como las ecuaciones de transformacin entresistemas de referencia inerciales, pues ellas claramente, no eran compatiblescon las leyes de la mecnica Newtoniana. Estas transformaciones se conocenhoy da como las transformaciones de Lorentz.

    En esta seccin mostraremos, que las transformaciones de Lorentz, con-stituyen el conjunto de ecuaciones de transformacin de coordenadas entresistemas de referencia inerciales, deducindolas a partir de los postuladosfundamentales de la relatividad especial, junto con algunas suposiciones gen-erales sobre homogeneidad e isotropa del espacio y del tiempo.

    Antes de abordar el problema de obtener las ecuaciones de transforma-cin de coordenadas, es importante aclarar algunos conceptos sobre la formacomo se definen y miden las coordenadas del espacio y del tiempo, y sobrelos postulados de homogeneidad e isotropa.

    Al igual que en la mecnica Newtoniana, asumiremos que el espacio fsi-co es homogneo e isotrpico, lo cual implica que todos los puntos y todaslas direcciones espaciales son equivalentes para describir los fenmenos fsi-cos. Esto significa, en trminos ms precisos, que las leyes fundamentales

  • 2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 25

    de la fsica no deben depender de la posicin y de la direccin espacial, locual energa se traduce en la arbitrariedad para elegir el origen y la direc-cin de los ejes espaciales. Adicionalmente se postula que el espacio fsicoes tridimensional y obedece los postulados de la geometra euclideana. Lahomogeneidad e isotropa del tiempo, significan que las leyes de la fsicano deben depender de un instante particular ni de la direccin del tiempoelegida, es decir, la eleccin del origen y la escala para medir el tiempo esarbitraria (homogeneidad) y que las leyes de la fsica son invariantes bajouna transformacin de la forma t t (isotropa). Estas propiedades delespacio y el tiempo deben quedar reflejadas en el sistema de coordenadasespacio-temporales elegido, as como la forma en que se miden las distanciasespaciales y el intervalo temporal entre eventos fsicos.

    Un evento es un fenmeno fsico independiente del observador (tal comola colisin entre dos partculas, o la emisin de un fotn por un tomo), elcual ocurre en un punto del espacio y en un instante de tiempo y puede sermedido por instrumentos fsicos adecuados.

    Adicional a los postulados anteriores sobre la estructura del espacio y eltiempo, suponemos que se puede definir una escala de medida de longitudes,igual para todos los observadores inerciales, la cual nos permite medir inter-valos espaciales utilizando un sistema de reglas rgidas. Este procedimientodefine una mtrica para el espacio, que cumple con las propiedades de ho-mogeneidad e isotropa y que obedece la geometra euclideana. El sistemade coordenadas cartesianas espaciales R3 con la mtrica usual, esto es lamtrica euclideana

    x R3 |x|2 = x21 + x22 + x23 (2.21)

    nos ofrece el modelo matemtico natural para describir el espacio fsico.Uno de los aspectos cruciales de la teora de la relatividad lo constituye el

    problema de la medida del tiempo. En efecto, Einstein en su primer artculo,dedica una buena parte de l a definir la forma como se miden los intervalostemporales entre eventos fsicos. Definida ya la estructura mtrica del espacioy el proceso de medida de intervalos espaciales, podemos utilizar el postuladode la constancia de la velocidad de la luz para definir el concepto de tiempofsico, es decir, el mtodo operacional para la medida del tiempo que estde acuerdo con los postulados fundamentales de la fsica y que refleje laspropiedades de homogeneidad e isotropa del tiempo.

    En primer lugar se asume, que si dos eventos fsicos ocurren en el mismopunto del espacio y simultneamente (en el mismo instante de tiempo) paraun observador inercial, entonces estos dos eventos fsicos sern simultneos

  • 26 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    Figura 2.1: Sincronizacin de relojes

    para todos los observadores inerciales y ocurrirn tambin en el mismo pun-to del espacio. En otras palabras, la simultneidad de eventos en un mismopunto del espacio es un hecho fsico absoluto, i.e., independiente del obser-vador. Supongamos adems, que se dispone de un conjunto de relojes idealese idnticos, es decir, algn dispositivo o fenmeno fsico reproducible, quenos permita determinar una escala de tiempo y situemos uno de estos relojesen el origen de coordenadas espaciales escogido por un observador inercial.De acuerdo con la suposicin sobre el caracter absoluto de la simultneidadpara eventos que tienen lugar en el mismo punto del espacio, el observadordeterminar un tiempo, el marcado por el reloj situado en su origen, paracada evento que ocurra en el origen de coordenadas. Este tiempo marcadopor el reloj supone haber elegido un instante inicial, t = 0, el cual es ar-bitrario, de acuerdo con la hiptesis de homogeneidad del tiempo. Ahora,coloquemos en cada punto del espacio y en reposo relativo al reloj del origen,uno de estos relojes idnticos, y determinemos que el instante de tiempo enque un evento fsico sucede, es el marcado por el reloj situado en el puntodel espacio donde el evento tiene lugar.

    Hasta este momento se ha definido la medida del tiempo local y faltaentonces sincronizar todos los relojes del observador inercial, para que este

  • 2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 27

    observador asigne un nico tiempo y as, una nica coordenada temporal acada evento fsico, independiente de la posicin espacial en la cual sucedadicho evento. Para sincronizar los relojes seguiremos el mtodo expuesto porEinstein en su primer artculo.

    Para el reloj situado en el origen de coordenadas, elijamos un instantecualquiera como el tiempo t = 0. Consideremos un segundo reloj situado auna distancia d del origen y enviemos, desde el origen y en la direccin de estesegundo reloj, un rayo de luz en en el instante en que el reloj del origen marcat1 (Figura 2.1). Este segundo reloj marcar un tiempo t2 cuando el rayo deluz lo alcanza, y se define entonces que los dos relojes estn sincronizados,si se cumple que

    t2 = t1 +dc

    (2.22)

    Con estas definiciones de medida de la distancia y del intervalo tem-poral, un observador inercial construye su sistema de coordenadas espacio-temporal. Este procedimiento es consistente y vlido para todos los obser-vadores inerciales, puesto que la distancia d para puntos en reposo relativoest bien definida y es por su definicin independiente del observador, as co-mo la velocidad de la luz en el vaco c es una constante universal, de acuerdocon el segundo postulado.

    La coordenada temporal para un evento, se le define, entonces, como lalectura del reloj que est situado en el punto del espacio donde el eventoocurre, y de acuerdo con la hiptesis del caracter absoluto de la simultnei-dad, para eventos que suceden en el mismo punto del espacio, este proced-imiento es independiente del observador.

    Habiendo definido la forma como un observador inercial construye susistema de coordenadas espacio-temporales, abordemos, ahora, el problemade encontrar las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un evento,asignadas por dos observadores inerciales.

    Sea p un evento fsico, y san (t, x, y, z) y (t0, x0, y0, z0) las coordenadasdel evento, medidas por los dos observadores inerciales y 0. De acuerdocon la homogneidad e isotropa del espacio y el tiempo, supongamos, sinprdida de generalidad, que los dos observadores eligen los ejes coordenadosespaciales paralelos, con v, la velocidad del sistema 0 respecto a , enla direccin positiva de los ejes x, x0, y adems, define cada observador, elorigen de la coordenada temporal t = t0 = 0, en el instante en que losorgenes espaciales de los sistemas coinciden (Figura 2.2).

    El conjunto de transformaciones de coordenadas, que estamos buscando,

  • 28 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    Figura 2.2: Transformaciones de Lorentz

    lo podemos escribir en la forma general como:

    t0 = f1(t, x, y, z) (2.23)

    x0 = f2(t, x, y, z) (2.24)

    y0 = f3(t, x, y, z) (2.25)

    z0 = f4(t, x, y, z) (2.26)

    con la condicin que las funciones fi san invertibles, es decir, que se puedandespejar las coordenadas (t, x, y, z) en funcin de las coordenadas primadas(t0, x0, y0, z0).

    Otra condicin general sobre las funciones fi la impone la primera ley deNewton la cual implica que una partcula libre debe moverse con velocidadconstante para todos los observadores inerciales. Esta exigencia implica quelas ecuaciones de transformacin deben ser lineales en las coordenadas. As,el sistema de ecuaciones de transformacin (2.23), (2.24), (2.25) y (2.26) lopodemos escribir como:

    t0 = a00t+ a01x+ a02y + a03z (2.27)

    x0 = a10t+ a11x+ a12y + a13z (2.28)

  • 2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 29

    y0 = a20t+ a21x+ a22y + a23z (2.29)

    z0 = a30t+ a31x+ a32y + a33z (2.30)

    en donde los coeficientes ai,j son constantes independientes de las coorde-nadas. Estos coeficientes ai,j son funciones, a lo sumo, de la velocidad delsistema de referencia 0 respecto a , pues se supone que todos los ob-servadores eligen las mismas escalas para medir distancias y tiempos. Lalinealidad implica tambin que los ejes espaciales de 0 permanecen siempreparalelos a si mismos y as a los ejes espaciales de . Adems, la velocidaddel sistema respecto a 0 es igual a v (igual en magnitud y opuesta ala velocidad de 0 respecto a ), y por lo tanto la transformacin inversadebe tener la misma forma cambiando v por v. Para el caso cuando v = 0,la transformacin se reduce a la identidad. La condicin de existencia de latransformacin inversa, por otra parte, queda garantizada exigiendo que eldeterminante de los coeficientes aij sea diferente de cero.

    De la escogencia de los ejes espaciales se obtiene que los planos y = 0y y0 = 0 coinciden permanentemente (todos los ejes espaciales de los dossistemas de referencia permanecen paralelos) y por lo tanto la ecuacin detransformacin para la coordenada y0 debe reducirse a:

    y0 = a22y (2.31)

    Si invertimos las direcciones de los ejes x y z de no se debe afectar larelacin anterior, y por lo tanto la transformacin inversa de 0 a , parala coordenada y, toma la forma

    y = a022y0 = a22y0 (2.32)

    Esto implica, por lo tanto que se debe cumplir que a22 = 1. Por otraparte, dado que para v 0 se cumple que y0 y, entonces

    a22 = 1 (2.33)

    Un argumento similar vale para la coordenada z, entonces

    y0 = y ; z0 = z (2.34)

    Puesto que la transformacin de coordenadas es lineal y las coordenadasdel origen del sistema de referencia 0, medidas por el observador , estndadas por x = vt, entonces x0 debe ser de la forma

    x0 = (x vt) (2.35)

  • 30 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    donde es un parmetro que, en general, depende de la velocidad. Porsimetra, la transformacin inversa para la coordenada x tendr la mismaforma (con v cambiada por v), entonces

    x = 0(x0 + vt0) (2.36)

    siendo 0 otra constante dependiente de v. Si invertimos las direcciones delos ejex x y z en y 0, entonces las relaciones (2.35) y (2.36) se siguencumpliendo, es decir si cambiando x x y x0 x0 tenemos que

    x0 = (x vt) =x0 = (x+ vt) (2.37)

    y

    x = 0(x0 + vt0) =x = 0(x0 vt0) (2.38)

    de donde se obtiene que = 0, pues, del principio de relatividad la fsicano debe depender de la direccin elegida para los ejes espaciales. Adems,el parmetro debe ser positivo dado que para t = 0, x0 > 0 si x > 0.Para encontrar una expresin explcita para y la forma como la coorde-nada temporal se transforma, apliquemos ahora el segundo postulado de laconstancia de la velocidad de la luz en el vaco. Si en el instante t = 0 = t0,cuando los orgenes coinciden, se emite un pulso de luz en la direccin del ejex positivo, entonces se debe satisfacer que al cabo de un tiempo t, medido en, el pulso de luz est en un punto del espacio cuya coordenada x, medidaen , cumpla x = ct. De acuerdo con el postulado de la constancia de lavelocidad de la luz en el vaco, para el observador 0 se debe cumplir queel pulso de luz llega al punto del espacio de coordenada x0, en un instantet0, tal que x0 = ct0. Substituyendo estas dos relaciones, x = ct y x0 = ct0,en las ecuaciones (2.35) y (2.36), multiplicando las ecuaciones resultantes yeliminando el trmino tt0, obtenemos

    = (v) =1p

    1 v2/c2(2.39)

    conocido como el factor gamma de Lorentz. A partir de esta expresin yeliminando la coordenada x0 entre las ecuaciones (2.35) y (2.36), obtenemosla ecuacin de transformacin para la coordenada temporal:

    t0 = (t vx/c2) (2.40)

  • 2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 31

    Resumiendo, el conjunto de transformaciones de coordenadas, llamadastransformaciones de Lorentz (TL), que relacionan las coordenadas espacio-temporales de un evento fsico medidas por dos observadores inerciales, estndadas por:

    t0 = (t vx/c2)x0 = (x vt)

    y0 = yz0 = z

    (2.41)

    As, el principio de relatividad exige que las leyes de la fsica deben sertales que ellas permanezcan invariantes bajo las tranformaciones de Lorentz(ecuaciones (2.41)), pues, como veremos en la siguiente seccin donde sediscutirn algunas propiedades de las TL, llas contienen implcitamenteal postulado de la constancia de la velocidad de la luz. Para encontrar lastransfomaciones de Lorentz inversas, es decir, las transformaciones de co-ordenadas para pasar del sistema 0 al sistema , basta con invertir lasecuaciones (2.41), o en forma equivalente, cambiando v por v en las TL(2.41) y las coordenadas primadas por las no primadas (por la simetra entrelos sistemas y 0):

    t = (t0 + vx0/c2)x = (x0 + vt0)

    y = y0

    z = z0(2.42)

    2.3. Propiedades de las TL

    Las ecuaciones de transformacin de Lorentz encontradas en la seccinanterior, corresponden a un caso particular de un conjunto de transforma-ciones ms general, que constituyen la expresin matemtica del principiode relatividad y de las propiedades de homogeneidad e isotropa del espacioy el tiempo. En efecto, el conjunto de transformaciones de coordenadas msgeneral se puede escribir en la forma:

    x0 =3X

    =0

    x + a ; , = 0, 1, 2, 3 (2.43)

    con y a constantes independientes de las coordenadas. Para simplificarlas expresiones hemos introducido la notacin

    ct x0 ; x x1 ; y x2 ; z x3 (2.44)

  • 32 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    de tal manera que la coordenada temporal la medimos en unidades de longi-tud, dado el carcter de constante universal de la velocidad de la luz c. Estaredefinicin de la coordenada temporal nos permite, como veremos ms ade-lante, escribir las transformaciones de Lorentz en una forma ms simtricay resaltar en forma explcita el papel de la coordenada temporal en la teorade la relatividad. En lo sucesivo utilizaremos ndices griegos, que recorrende 0 a 3, para describir las coordenadas de un evento y dejaremos los ndiceslatinos para describir solamente las coordenadas espaciales.

    Las ecuaciones de transformacin (2.43) constituyen un conjunto detransformaciones lineales no homogneas, en donde las cuatro constantesa corresponden a la arbitrariedad para elegir el origen de las coordenadasespaciales ( = 1, 2, 3) y de la coordenada temporal ( = 0), y as represen-tan la homogeneidad del espacio-tiempo. Esta propiedad de homogeneidaddel espacio y el tiempo, en trminos ms formales, se traduce en el princi-pio de invarianza de la fsica bajo translaciones espaciales (ai; i = 1, 2, 3) ytranslaciones temporales (a0).

    De sta forma, la invarianza de las leyes de la fsica bajo translacionesespacio-temporales, nos permiten elegir las coordenadas de los dos sistemasde referencia inerciales de tal manera que coincidan sus orgenes espacialespara t = t0 = 0, haciendo que el trmino inhomogneo del sistema de ecua-ciones (2.43) se anula, y en este caso las ecuaciones de transformacin sereducen al sistema lineal homogneo

    x0 =3X

    =0

    x ; , = 0, 1, 2, 3 (2.45)

    Este conjunto de transformaciones, contiene dos casos especiales: Por unaparte estn las rotaciones de los ejes espaciales, las cuales reflejan la isotropadel espacio, es decir, que la leyes fsicas no deben depender de la orientacinde los ejes espaciales. Una rotacin de los ejes espaciales queda determinadapor tres parmetros, por ejemplo, los tres ngulos de Euler. Por otra parte,estn las llamadas transformaciones de Lorentz puras, caracterizadas porlas tres componentes de la velocidad relativa de los sistemas de referenciainerciales.

    As, las transformaciones de Lorentz deducidas en la seccin anterior,constituyen un caso particular del conjunto de transformaciones (2.43), endonde el movimiento relativo entre los sistemas de referencia es a lo largode un eje coordenado, con ejes espaciales paralelos (no hay rotacin de ejes)y sin translacin de los orgenes espacial y temporal (Figura 2.3). En estecaso basta con un solo parmetro, la magnitud de la velocidad relativa, para

  • 2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 33

    Figura 2.3: Transformacin general de coordenadas

    determinar completamente la transformacin.

    En el caso de general de una transformacin de coordenadas que in-volucre movimiento relativo, cambio de orientacin de los ejes espacialesy translacin del origen de coordenadas espacial y temporal, se requierenentonces 10 parmetros para determinar completamente la transformacin:Los tres parmetros ai, i = 1, 2, 3 que determinan el cambio del origen es-pacial, un parmetro a0 para el desplazamiento del origen temporal, tresparmetros (e.g. los ngulos de Euler) para determinar una rotacin de losejes espaciales y tres parmetros (e.g. las tres componentes de la veloci-dad relativa) para determinar una transformacin pura de Lorentz. Para losobjetivos del presente libro, salvo se especifique lo contrario, es suficienteconsiderar solamente transformaciones de Lorentz puras con los ejes xx0 enla direccin de la velocidad relativa de los sistemas de referencia y supon-dremos adems, que los orgenes de los sistemas coinciden para el tiempocero en ambos sistemas.

    Antes de continuar con la discusin de algunas propiedades de las trans-formaciones de Lorentz, reescribamos las ecuaciones de transformacin (2.41)

  • 34 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    Figura 2.4: Composicin de transformaciones de Lorentz

    en la notacin introducida en la ecuacin (2.44):

    x00 = (x0 x1)x01 = (x1 x0)

    x02 = x2

    x03 = x3(2.46)

    en donde se ha definido el parmetro adimensional = v/c y as (v) =(12)1/2. Como se mencion al comienzo de esta seccin, las ecuaciones detransformacin de Lorentz adquieren una forma simtrica en las coordenadasespaciales y la temporal. As, los coeficientes de la transformacin de Lorentz , llamados tambin elementos de la matriz de transformacin de Lorentz,en la ecuacin (2.45) estn dados por:

    00 = 11 = 01 = 10 = 22 = 33 = 1

    (2.47)

    siendo los dems coeficientes cero.

    Consideremos ahora tres sistemas de referencia inerciales , 0 y 00, conejes paralelos, movimiento relativo a lo largo del eje espacial x1, y orgenes

  • 2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 35

    espaciales coincidentes para t = t0 = t00 = 0 (Figura 2.4). Sea v la velocidaddel sistema de referencia 0 respecto a y w la velocidad del sistema 00respecto a 0, y sean (x0, x1, x2, x3), (x00, x01, x02, x03) y (x000, x001, x002, x003) lascoordenadas de un evento fsico medidas por los tres observadores , 0 y 00,respectivamente. La relacin entre las coordenadas del evento medidas por y 0 estn dadas por la ecuacin (2.46) y la relacin entre las coordenadasmedidas por 0 y 00 estn dadas por las ecuaciones:

    x000 = (w)(x00 0x01)x001 = (w)(x01 0x00)

    x002 = x02

    x003 = x03(2.48)

    en donde 0 = w/c. Las ecuaciones de transformacin que relacionan lascoordenadas medidas por y 00 se obtienen entonces, componiendo lasdos transformaciones, es decir, remplazando las coordenadas del sistema 0de la ecuacin (2.46), en esta ltima ecuacin (2.48). Despues de reagrupartrminos, las ecuaciones de transformacin finales, como era de esperarse,toman la misma forma:

    x000 = (u)(x0 00x1)x001 = (u)(x1 00x0)

    x002 = x2

    x003 = x3(2.49)

    en donde 00 = u/c y u es la velocidad relativa del sistema de referencia 00respecto a , la cual est dada por la ecuacin

    u =w + v

    1 + wv/c2(2.50)

    Esta ecuacin corresponde a la versin relativista del teorema de adicinde velocidades de Galileo. Notemos si v < c y w < c entonces u < c.

    Notemos que las ecuaciones de transformacin de Lorentz y el teoremade adicin de velocidades se reducen a las ecuaciones de transformacin deGalileo y al teorema de adicin de velocidades Galileano cuando c .Este lmite formal, sin embargo, carece de significado fsico en la medidaque la velocidad de la luz en el vaco es una constante universal y por lotanto este lmite debe entenderse mejor en el siguiente sentido.

    Para velocidades pequeas comparadas con la velocidad de la luz v c,tanto las ecuaciones de transformacin de Lorentz, como el teorema de adi-cin de velociades, se reducen a las ecuaciones de transformacin de Galileo

  • 36 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    y al teorema de adicin de velocidades galileano, respectivamente. Para veresto, es suficiente recordar la expansin en serie de Taylor de la funcin

    (1 + xr) = 1 + rx+r (r 1)2!

    x2 + (2.51)

    la cual converge para |x| < 1. Si aplicamos esta expansin al factor (v)tenemos

    (v) =1 v

    2

    c2

    1/2= 1 +

    1

    2

    v2

    c2+ (2.52)

    Remplazando esta expansin en las ecuaciones de transformacin deLorentz 2.41 obtenemos

    x =1 +

    1

    2

    v2

    c2+

    (x vt)

    = x vt+Ov2

    c2

    (2.53)

    t =1 +

    1

    2

    v2

    c2+

    t v

    c2x

    = t+Ov2

    c2

    (2.54)

    en donde O v2/c2 representa trminos del orden de v2/c2, los cuales sonmuy pequeos si v/c

  • 2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 37

    de la mecnica clsica para los diferentes observables de un sistema dado,estn en concordancia con los resultados experimentales, dentro del rangode error experimental. As, el lmite clsico, o el rango de velocidades para elcual la mecnica clsica es aplicable, depende de la precisin experimental.

    El lmite formal c se puede entender fcamente en el sentido que crepresenta la vlocidad mxima de propagacin de seales fsicas, indepen-dientemente que esta constante corresponda a la velocidad de la luz en elvaco, y por lo tanto si c esto significara que podemos enviar infor-macin a velocidad infinita, lo que implicara que tendramos a disposicinun mecanismo instantneo para calibrar relojes, lo que implicara que todoslos observadores inerciales mediran la misma coordenada temporal para unevento dado. As podemos entender la hiptesis de Newton de un tiempouniversal independiente del observador, como la hiptesis de una velocidadinfinita para transmitir informacin. Notemos adems que en efecto la ter-cera ley de Newton requiere de esta hiptesis, pues esta ley exige que lasfuerzas de accin y reaccin sean iguales en todo instante, independiente-mente de la posicin de los cuerpos que estn en interaccin.

    Retomando las ecuaciones de transformacin (2.49), vemos que dos trans-formaciones de Lorentz sucesivas, conducen a una nueva transformacin deLorentz, cuyo parmetro (la velocidad relativa) est dado por la ecuacin(2.50). Por otra parte, la transformacin de Lorentz inversa, es decir, lasecuaciones de transformacin de coordenadas del sistema 0 al , tienenla misma forma (ecuacin (2.46)), pero cambiando el parmetro v por v.Adems, la transformacin identidad, esto es, del sistema sobre el mismo,corresponde a una transformacin de Lorentz con parmetro v = 0, trivial-mente. Si escribimos formalmente una transformacin de Lorentz entre y0, como

    L(v) : 0x x0 = L(v)x (2.55)

    entonces, las propiedades encontradas, las podemos fresumir formalmentede la siguiente manera:

    L(w) L(v) = L(u) (2.56)

    u =w + v

    1 +wv/c2(2.57)

    L(v = 0) = id L(0) L(v) = L(v) L(0) = L(v) (2.58)

    L1(v) = L(v) (2.59)

    L(v) L(v) = L(v) L(v) = id (2.60)

  • 38 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    en donde id significa la transformacin identidad, L1(v) la transformacininversa, y el producto L(w) L(v) representa la composicin de dos trans-formaciones sucesivas.

    Un grupo matemtico es un conjunto de elementos G, con una opera-cin interna llamada producto, es decir, el producto de dos elementos de Ges de nuevo un elemento del conjunto y esta operacin debe satisfacer lassiguientes propiedades:

    i.-Existe un elemento del grupo G, llamado la identidad, tal que la iden-tidad por cualquier elemento del grupo es el mismo elemento del grupo.

    ii.-Para todo elemento del grupo, existe otro elemento en el grupo, talque su producto es la identidad.

    Un grupo se llama abeliano, si la operacin producto es conmutativa. Lasrelaciones simblicas representadas en las ecuaciones (2.56), (2.58), (2.59)y (2.60), muestran que las transformaciones de Lorentz forman un grupomatemtico, llamado el grupo de Lorentz. Para el caso particular que esta-mos considerando, esto es, de transformaciones entre sistemas de referenciacon ejes paralelos y movimiento relativo a lo largo del eje x, el grupo esclaramente abeliano, y cada elemento del grupo corresponde, o est carac-terizado por el valor de la velocidad. Puesto que la velocidad puede tomarcualquier valor entre c < v < c, el grupo contiene un nmero infinito nonumerable de elementos, y as este grupo es conocido en la literatura comoun grupo de Lie de un parmetro o grupo continuo, en contraposicin conlos grupos finitos o discretos, tales como por ejemplo, los nmeros enteroscon la operacin suma. El caso de las transformaciones generales, ecuacin(2.43), energa forman un grupo, llamado el grupo de Poincar, el cual esenerga un grupo de Lie pero de diez parmetros, pues como vimos, unatransformacin general requiere de 10 parmetros para caracterizarla.

    Otra propiedad muy importante de las TL, la cual va a jugar un papelfundamental en el problema de la causalidad en fsica, es que las TL dejaninvariante una cantidad, que la llamaremos intervalo o distancia espacio-temporal entre eventos. Sean 1 y 2 dos eventos fsicos cualesquiera y sean(x01, x

    11, x

    21, x

    31) y (x

    02, x

    12, x

    22, x

    32) las coordenadas de los dos eventos, medidas

    por un observador inercial . Definamos el intervalo espacio-tiempo entrelos dos eventos por:

    S212 := (x02 x01)2 (x12 x11)2 (x22 x21)2 (x32 x31)2 (2.61)

    Sea 0 otro observador inercial que se mueve con velocidad v respectoa y sean (x001 , x011 , x021 , x031 ) y (x002 , x012 , x022 , x032 ) las coordenadas de los doseventos 1 y 2 medidas por 0. Entonces, para este nuevo observador, el

  • 2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 39

    intervalo espacio-tiempo entre los dos eventos est dado por:

    S0212 := (x002 x001 )2 (x012 x011 )2 (x022 x021 )2 (x032 x031 )2 (2.62)

    Utilizando las TL (ecuaciones (2.46)) expresemos el intervalo espacio-tiempo medido por 0 (ecuacin (2.62)), en trminos de las coordenadas delobservador :

    S0212 = ((x02 x12) (x01 x11))2 ((x12 x02)(x11 x21))2 (x22 x21)2 (x32 x31)2 (2.63)

    reagrupando trminos obtenemos

    S0212 = (x02 x01)2 (x12 x11)2 (x22 x21)2 (x32 x31)2 = S212 (2.64)

    Este resultado significa que el intervalo espacio-tiempo entre dos eventosfsicos es una cantidad independiente del observador y as es un invariantefsico, lo que implica que el valor numrico del intervalo es siempre el mismo,sin importar cual observador lo mida. A las variables fsicas que son invari-antes bajo transformaciones de Lorentz se les llama invariantes relativistaso escalares de Lorentz, y claramente juegan un papel fundamental, pues alser independientes del observador, nos caracterizan propiedades intrnsecasdel sistema o de los fenmenos fsicos.

    Las implicaciones fsicas, para el caso particular del intervalo espacio-tiempo, sern discutidas en el prximo captulo con mayor detalle. Es im-portante solamente resaltar en este punto dos aspectos: en primer lugarS212puede ser positivo, negativo o cero, y en segundo lugar, el ltimo caso cuan-do S212 es cero, corresponde a la expresin matemtica del principio de laconstancia de la velocidad de la luz, pues si desde el punto del espacio y enel instante donde ocurre el primer evento, por ejemplo 1, se emite un rayode luz en direccin del evento 2, entonces este rayo de luz alcanza el puntodel espacio en el instante de tiempo, en que el segundo evento ocurre. Estose ve fcilmente, pues de la definicin del intervalo espacio-tiempo, ecuacin(2.61) o (2.62), y recordando que x0 = ct, entoces despejando c de cualquierade estas dos ecuaciones (S212 = 0 = S0212) implica que c =(distancia espa-cial entre los eventos)/(intervalo temporal entre los eventos) es un invarianterelativista.

    Es importante resaltar que el intervalo espacio-tiempo es invariante ba-jo las transformaciones generales de coordenadas (ecuacin (2.43)), y nosolamente bajo las transformaciones de Lorentz puras consideradas, puespor una parte, el tmino inhomogneo de las transformaciones se cancela al

  • 40 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

    tomar la diferencia de las coordenadas, mientras que las rotaciones de losejes espaciales dejan invariante la distancia espacial (ver seccin 4.1)

    (x12 x11)2 + (x22 x21)2 + (x32 x31)2 (2.65)

    permaneciendo la coordenada temporal inanalterada.Otra caracterstica importante que se deriva directamente de las TL, es

    que las velocidades relativas entre sistemas de referencia inerciales, debenser siempre menores que la velocidad de la luz, pues el factor (v) divergepara v = c y se hace imaginario si v > c, lo cual es inadmisible dado elsignificado fsico asignado a las coordenadas utilizadas.

    2.4. Consecuencias de las TL

    Para finalizar el presente captulo, vamos a considerar dos consecuenciasde las TL que constituyen, tal vez, los dos resultados ms sorprendentes dela teora especial de la relatividad y por esta razn los ms conocidos en laliteratura de divulgacin cientfica.

    Consideremos para comenzar el problema de la dilatacin temporal. Enprimer lugar definamos el concepto de tiempo propio, como el intervalo detiempo entre dos eventos 1 y 2, medido por un mismo reloj. Esto sig-nifica, equivalentemente, que existe un sistema de referencia inercial, llam-molo , para el cual los dos eventos ocurren en el mismo punto del espacio.As, las coordenadas de estos dos eventos para el observador estn dadaspor (x01, x

    11, x

    21, x

    31) y (x

    02, x

    12, x

    22, x

    33), con x

    02x01 = c y xi2 = xi1; i = 1, 2, 3.

    Suponiendo, sin prdida de generalidad, que el evento 2 ocurre despus queel evento 1 para el observador , i.e. x02 > x01, y como xi2 = xi1; i = 1, 2, 3,pues los dos eventos por definicin, tienen lugar en el mismo punto del es-pacio, es claro que para cualquier otro observador inercial, por ejemplo 0,los dos eventos suceden en puntos diferentes del espacio, y por lo tanto,dada la invarianza del intervalo espacio-tiempo S212 entre los dos even-tos, el intervalo de tiempo medido por 0 para estos dos eventos, debe sermayor que el intervalo de tiempo propio. Para probar esta afirmacin, sean(x001 , x011 , x021 , x031 ) y (x002 , x012 , x022 , x032 ) las coordenadas de estos eventos y t0el intervalo de tiempo medido en 0, con

    ct0 = x002 x001 (2.66)

    Utilizando las TL para remplazar en esta expresin las coordenadas pri-madas en trminos de las no primadas y aplicando la definicin de tiempo

  • 2.4. CONSECUENCIAS DE LAS TL 41

    propio, obtenemos

    ct0 = (x02 x12) (x01 x11) (2.67)

    y puesto que en sistema de referencia inercial los dos eventos suceden enel mismo punto del espacio, i.e. x12 = x

    11, llegamos finalmente a la ecuacin

    de dilatacin temporal:

    t0 = = p1 v2/c2

    (2.68)

    pues el factor simpre es mayor que 1, para v 6= 0. De paso hemos demostra-do, que si dos eventos ocurren para un observador en un mismo punto delespacio, el orden temporal de los eventos (e.g. x02 x01 > 0) es el mismopara todos los observadores, es decir si x02 x01 > 0 entonces x002 x001 > 0,y el tiempo propio es el intervalo de tiempo ms pequeo medido por al-gn observador. Esto justifica el nombre de dilatacin temporal, y significafsicamente, que los dos eventos estn conectados causalmente, es decir, queel evento posterior pudo ser causado por el primer evento, an cuando nonecesariamente exista un proceso fsico que los ligue. Notemos adems queel intervalo de tiempo entre dos eventos puede hacerse tan grande como sequiera, si tomamos velocidades suficientemente cercanas a la velocidad de laluz, pues 1 0, entoncest0 = puede hacerse tan grande como se quiera haciendo que v c.

    Calculemos, ahora el intervalo espacio-tiempo para estos dos eventos. Enel sistema obtenemos la expresin

    S212 = (x02x01)2(x12x11)2(x22x21)2(x32x31)2 = c22 > 0 (2.69)

    el cual nos indica, que para el caso que estamos considerando, el intervaloespacio-tiempo nos mide directamente (salvo un factor constante c2