Sobre el teorema de Cantor-Bernstein y la

matematica de conjuntos.

Jeronimo Basa *

Septiembre, 2014

Resumen

Este trabajo esta dedicado a la matematica de conjuntos y al teore-

ma mencionado. Solo se vera un repaso sobre nociones de conjuntos y

se haran uso de conocimientos en funciones y ciertas propiedades. Una

pequena referencia historica dan inicio al trabajo, seguido de ciertos desa-

rrollos sobre matematica de conjuntos. Posteriormente se daran demos-

traciones en distintas areas y se buscara relacionar la mayor cantidad de

resultados posibles.

Indice

Prologo III

1. Conjuntos 1

1.1. Primeras nociones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. El teorema Cantor-Bernstein 8

2.1. Teorema de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. La prueba de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Formulacion actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1. Una demostracion discutida . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. El axioma de eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A. Seccion de apendice 26

Referencias 27

*Estudiante de Licenciatura en Matematica por la Universidad Nacional del Litoral

i

Prologo

Me agrada la idea de comenzar un texto matematico con un poco de his-

toria, creo que hace la lectura mas amena. Si bien podemos hablar mucho

sobre este teorema, creo que lo fundamental es destacar los principales deta-

lles. Existen teoremas y conjeturas las cuales dan mucho para hablar, y este

es uno de ellos. Creo que la elegancia de los resultados matematicos no solo

yacen en su rigor y dificultad, sino en su contexto y en lo personal de aquellos

quienes aportaron sus ideas. El lector interesado debe abordar una lectura mas

completa sobre esta historia que puede encontrar en [8].

El teorema de Cantor-Bernstein es un importante resultado de la teorıa de

conjuntos. De manera general, podemos afirmar que es un importante resul-

tado en matematicas, debido a que su formulacion y aplicaciones aparecen en

muchas ramas de esta ciencia. Durante tiempo se han buscado distintas formas

de generalizar sus resultados y aprovechar su sencillez en las investigaciones

modernas.

Existe mucha controversia sobre como nacio este teorema. Hay quienes

dicen que Cantor lo menciono como un problema abierto en un seminario

antes de formularlo por primera vez en sus trabajos. Lo que sı sabemos es

que este matematico lo dio a conocer en sus libros sobre teorıa de numeros

transfinitos [2]. Su formulacion moderna es un poco distinta de la original,

teniendo en cuenta que no podemos establecer a prima facie cual de todas es

la original. Los resultados que figuran en los trabajos de Cantor son en realidad

corolarios de otros resultados mas generales, y no teoremas establecidos para

usarse posteriormente. En uno de sus capıtulos, Cantor comienza a hablar

sobre la teorıa de numeros cardinales llegando a un resultado que le permite

deducir lo siguiente (volveremos a este hecho mas adelante): sean M y N

dos conjuntos, tales que M es equivalente a un subconjunto de N y N es

equivalente a un subconjunto de M . Entonces M y N son equivalentes. Otros

enunciados parecidos figuran en sus trabajos, pero tomaremos este como el

inicio del teorema que tratamos.

Tras su enunciado y una amplia correspondencia con el matematico De-

dekind, Cantor admite no poder demostrar este resultado tan general. Anos

siguientes, luego de posteriores publicaciones de Cantor y una posible demos-

tracion que se atribuye a Dedekind, los matematicos comenzaron a interesarse

por el problema. No debemos pasar por alto un importante hecho; este teorema

fue importante por mostrar su relacion con el axioma de eleccion. Esto se debe

a que los corolarios de Cantor se desprenden de este axioma. Por esta razon

es que no se considero como valida la demostracion de Cantor, pues la meta

era encontrar una demostracion desligada del axioma. Una demostracion que

parecıa no necesitar el axioma de eleccion se le atribuye a Schroder. A pesar

iii

de ello, en 1911, Korselt publica una refutacion a dicha prueba, mostrando un

error que el mismo Schroder habıa detectado posteriormente.

En 1897 un joven alumno de Cantor, el matematico Felix Bernstein publica

una demostracion definitiva del teorema bajo el nombre de Teorema de Equi-

valencia. A partir de allı, muchos matematicos contribuyeron con sus pruebas

y desarrollos alimentando el estudio del mismo. El objetivo en este trabajo es

mostrar algunas bellas demostraciones e interesantes resultados a traves de un

estudio sobre la matematica de conjuntos.

Este texto esta impulsado en una pequena investigacion que realice con

dos excelentes colegas a quienes agradezco el haber compartido la experiencia

y sus conocimientos conmigo, debo gran parte de este trabajo a ellos.

iv

1. Conjuntos

Antes de comenzar un estudio profundo, es importante manejar las defi-

niciones y nociones basicas sobre los elementos matematicos que trataremos.

Gran parte de lo expuesto aquı son los conocimientos mınimos que figuran en

cualquier curso, libro o texto sobre conjuntos. Es importante destacar que una

introduccion a estos conocimientos permiten fortalecer aquellas lecciones basi-

cas que no se deben olvidar, y permite al lector adentrarse a la notacion del

escritor. La forma en que se van desarrollando seguira un orden que considero

propicio con el fin de relacionar la mayor cantidad de resultados posibles.

1.1. Primeras nociones

Imaginar un conjunto es algo muy sencillo si pensamos en la forma cotidia-

na en que usamos el termino. Al igual que Cantor, emplearemos la intuicion

usual y diremos que un conjunto es una coleccion de cosas. Podemos hablar

del conjunto de manzanas, conjuntos de pajaros, de numeros, incluso conjunto

de funciones.

Lo mas sencillo es comenzar con conjuntos de numeros, por ejemplo dire-

mos que un conjunto llamado A esta formado por los numeros 1, 4, 6 y 12.

Matematicamente, traduciremos esto bajo la notacion A = {1, 4, 6, 12} (notar

que el orden en que son escritos los numeros es irrelevante). Sabemos que al

emplear dicha escritura podemos identificar los elementos y ademas, en caso

de que el conjunto sea finito, permite decir cuantos elementos hay. Sin em-

bargo, la forma de escribir un conjunto no siempre es unıvoca. Por ejemplo,

supongamos que tenemos dos conjuntos A y B, uno formado por los numeros

1 y −1 y otro conjunto formado por las soluciones a la ecuacion x2 − 1 = 0

A = {1,−1},

B = {las soluciones reales de la ecuacion x2 − 1 = 0}.

Gracias al ejemplo anterior, podemos enunciar algo que parece demasiado

trivial: dos conjuntos que tengan los mismos elementos, son iguales. Para ello

escribiremos A = B. Esta claro que hay formas de describir un conjunto que

son mejores que otras. Antes de ver este hecho, veamos un poco de notacion.

Llamamos elemento de un conjunto a un objeto matematico que pertenezca

a algun conjunto dado. En nuestro primer caso, vemos que si A = {1, 4, 6, 12}entonces 1 es un elemento de A. Para ello escribimos 1 ∈ A y lo leemos como 1

pertenece al conjunto A. De igual manera, usamos la notacion 2 /∈ A para decir

que 2 no pertenece al conjunto A. Usaremos indistintamente los sımbolos : y |como traduccion de tal/es que. Por ejemplo A = {x : x > 2} o {y ∈ A|y /∈ B}que se leen A es el conjunto de elementos x tal que x es mayor que dos y el

1

conjunto de los elementos y que pertenecen a A tales que y no pertenece a B

respectivamente.

Sabemos, por nuestra experiencia con los numeros, que los conjuntos no

siempre son una coleccion finita. Por ejemplo el conjuntos de los numeros pares

H = {x : x = 2n, ∀n ∈ Z}1

tiene una cantidad infinita de elementos.

De nuestro estudio, sabemos que existen conjuntos muy especiales y para

los cuales tenemos una notacion particular. Por ejemplo, el conjunto de los

numeros naturales (es decir, numeros enteros mayores que 1) denotado por N.

El conjunto de numeros enteros Z, el de numeros reales R. Otro conjunto muy

importante que tendremos en cuenta es el vacıo, es decir aquel conjunto que

no posee elementos, y que denotamos por ∅.Diremos que un conjunto A es sobconjunto de un conjunto B, si todo

elemento de A es tambien un elemento de B. Es decir

x ∈ A⇒ x ∈ B,

y usaremos la notacion A ⊆ B para indicar esta propiedad de contencion entre

conjuntos. Notar que {1, 2} ⊆ {1, 2, 5, 7} pero {1, 2, 3} 6⊆ {1, 2, 5, 7}.Al tratar con la notacion de conjuntos no debe generarse confusiones entre

tratar elementos aislados con elementos que pertenecen a un conjunto. Por

ejemplo el conjunto vacıo ∅ es distinto del conjunto {∅}. Basta con observar

que el conjunto ∅ no posee elementos, en cambio el conjunto {∅} posee un

elemento, y ese elemento es el conjunto vacıo ∅.2 Dos hechos importantes

sobre la propiedad de contencion resultan muy intuitivos

∅ ⊆ A para todo conjunto A,

A ⊆ A para todo conjunto A.

Por ultimo, un importante resultado sobre los subconjuntos. Supongamos

que tenemos un conjunto A. Entonces llamaremos partes de A o potencia de

A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y lo denotaremos por

P(A). Formalmente P(A) = {X : X ⊆ A.}

Ejemplo 1.1. Sea A = {1, 2, 3}. Entonces el conjunto de posibles subconjun-

tos de A viene dado por

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

Notar que el vacıo y el conjunto propio siempre estan en las partes del conjunto.

1Se lee “H es el conjunto de los numeros x tales que x = 2n para todo n que esta en el

conjunto de los numeros enteros”.2Ademas, ∅ /∈ ∅, pero sı vale ∅ ∈ {∅}.

2

1.2. Operaciones entre conjuntos

Pasaremos ahora a establecer las operaciones mas elementales entre con-

juntos. Como siempre, consideraremos conjuntos con una cantidad finita de

elementos. Llamamos union de A y B al conjunto de todos los elementos que

estan en A o B, y los denotamos con A ∪B. De manera similar, diremos que

la interseccion de A y B es el conjunto de todos los elementos que estan si-

multaneamente en A y B, y se denota por A ∩ B. Cuando la interseccion de

dos conjuntos es vacıa, se dice que son disjuntos.

Definicion 1.1. Sean A y B conjuntos. Entonces

A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Corolario 1.1. Sean A y B conjuntos. Entonces

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

A ∩A = A ∪A = A

Si A ⊆ B ⇒ A ∪B = B

Si A ⊆ B ⇒ A ∩B = A

A ⊆ A ∪B

A ∩B ⊆ A

Si A y B son disjuntos, entonces A ∩B = ∅

Lo mismo que acabamos de hacer para dos conjuntos A y B funciona

para una coleccion mayor de conjuntos. Si tenemos una lista de conjuntos

A1, A2, . . . , An denotamos como

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An =n⋃i=1

Ai

a la union de todos ellos (se usa un equivalente para definir la interseccion de

todos).

La operacion diferencia entre un conjunto A y B se define como los ele-

mentos que estan en A y que no estan en B

A−B = {x ∈ A : x /∈ B}.

3

Ahora pasamos a introducir una propiedad importante, el llamado comple-

mento de un conjunto. Supongamos que establecemos un conjunto universal

U (por lo general uno suele tomar la recta real R o el plano R2 como conjuntos

universales). Entonces, para un conjunto A, se define su complemento como

todos los elementos que estan fuera de A (pero dentro del mismo universo).

Definicion 1.2. Sea U un universo. Entonces, para un conjunto A se define

su complemento Ac = U −A

Corolario 1.2. Sea U un universo y A,B conjuntos. Entonces

Uc = ∅, ∅c = U

x ∈ Ac ⇔ x /∈ A

A−B = A ∩Bc

(Ac)c = A

A ∪Ac = U

A ∩Ac = ∅

B ⊆ A⇒ Ac ⊆ Bc.

Antes de terminar, veremos una ultima propiedad. Decimos que un con-

junto formado por u-plas ordenadas es un producto cartesiano de al menos

dos conjuntos. Notar que, si (a, b) es un par ordenado, entonces es importante

destacar el hecho de que a es el primer elemento y b el segundo (algo que no

ocurre con la notacion de conjuntos, pues {1, 2} = {2, 1}). Formalmente, de-

cimos que si A y B son dos conjuntos, entonces su producto cartesiano A×Bdefine los pares ordenados cuyo primer elemento esta en A y segundo elemento

en B

A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.De lo dicho anteriormente, es claro que A×B 6= B ×A.

Ejemplo 1.2. Sean los conjuntos A = {α, β} y B = {δ, ε}. Entonces

A×B = {(α, δ), (α, ε), (β, δ), (β, ε)}.

1.3. Cardinalidad

Para cada conjunto, deberıamos poder tener una idea acerca de cuantos

elementos tiene, es decir, poder dar un valor a la cantidad de elementos en

particular. Es claro que para conjuntos pequenos esto es algo muy facil, por

ejemplo, el conjunto A = {1, 2, 3, 4} tiene cuatro elementos, al igual que A =

{8,−20, 1/2, π}. Definimos como cardinal de un conjunto a la cantidad de

elementos que posee3, y lo denotamos por |A| = 4. Los conjuntos finitos se

3El vacıo tiene cardinal cero.

4

caracterizan por tener una cantidad finita de elementos, por lo que, si A es

finito, entonces |A| = n para algun n ∈ N. Cuando dos conjuntos tienen la

misma cantidad de elementos, se dice que son equivalentes. Por esta definicion,

es muy facil ver que un conjunto con n elementos es equivalente al conjunto

{1, 2, 3, ..., n} que llamaremos Nn.

Lema 1.1. Si X es un conjunto de n elementos, entonces f : X → Nn es

biyectiva.

Este lema es claro pues si hacemos corresponder los elementos entre con-

juntos, entonces para cada elemento Nn hay uno, y solo uno, que le corresponde

al conjunto X.

Un conjunto se dice finito si esta en correspondencia biyectiva con Nnpara algun n natural; o de forma equivalente, si tiene una cantidad finita de

elementos. De lo contrario, se dice que es infinito.

Teorema 1.1. El conjunto de los numeros naturales N es infinito.

Demostracion. Basta con ver que, si fuera finito, entonces se podrıan numerar

sus elementos, N = {n1, n2, n3, ..., nk}. Pero el elemento n1+n2+n3+· · ·+nk+1

es un numero natural por axioma y es estrictamente mayor que cualquiera de

los ni. Luego nuestra lista no puede ser completa, por lo que N no puede ser

finito.

El estudio de los cardinales es muy importante en teorıa de conjuntos y

es por ello que necesitamos tambien incluir a los infinitos. Decimos que estos

tienen un cardinal transfinito.

Definicion 1.3. El cardinal de N es ℵ0 (alef subcero) y es el primer numero

transfinito.

Teorema 1.2. Un conjunto X no vacıo es infinito si, y solo si, existe una

inyeccion de N en X.

Demostracion. Si X es infinito, podemos definir una funcion f de N en X

recursivamente de la manera siguiente. Tomese como f(1) cualquier elemento

de X; habiendo definido f(1), . . . , f(k), tomemos f(k+ 1) cualquier elemento

de X diferente de los demas. Esto significa que no hay dos valores de f iguales,

con lo que f es inyectiva. Ademas, la definicion de f(k+1) siempre es posible,

puesto que de lo contrario deberıa ser X = {f(1), . . . , f(k)} y f serıa una

biyeccion de Nk en X, contrariamente a la hipotesis de que X es infinito.

Recıprocamente, supongamos que existe una inyeccion f : N → X. Si X

fuera finito, deberıamos tener una biyeccion β : Nn → X para algun entero

positivo n, y por lo tanto se da la cadena de inyecciones

5

Nn+1i→ N f→ X

β−1

→ Nn,

donde i es la funcion inclusion. Luego, por ser composicion de inyecciones,

se tiene una inyeccion de Nn+1 en Nn lo que es un absurdo. Luego, X es

infinito.

Definicion 1.4. Sea X un conjunto. Entonces X se llama numerable si es

finito o si es equivalente a N. De lo contrario, el conjunto se llama no numerable.

Teorema 1.3. Z es numerable y tiene cardinal ℵ0.

Demostracion. Para demostrar este hecho, basta encontrar una funcion biyec-

tiva f : N→ Z. Es facil ver que la funcion

f(n) =

{n2 , si n es par−(n−1)

2 , si n es impar

cumple con esas condiciones.

Teorema 1.4. El intervalo cerrado U = [0, 1] es no numerable.

Demostracion. Vamos a asumir, contrariamente a lo que queremos, que U es

numerable. Entonces, todos sus puntos pueden arreglarse en una secuencia

x1, x2, x3, . . . (1)

Vemos, entonces, que cada punto x ∈ U aparece en (1). Dividamos ahora a

U en tres subintervalos iguales de longitud 1/3. Nos quedan entonces los tres

subintervalos

[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1].

Esta claro que ningun punto puede pertenecer a los tres subintervalos al mismo

tiempo, pero sı a dos como maximo4. Por lo tanto, para un punto dado, existe

un subintervalo que no lo contiene. Llamemos x1 y U1 al punto y al subintervalo

correspondiente tal que x1 6∈ U1. Tomemos ahora U1 y volvamos a dividirlo

en tres subintervalos como hicimos anteriormente. Luego, para los tres nuevos

subintervalos, uno de ellos no contiene a un punto en particular. Sea ahora

x2 y U2 el punto y el subintervalo tal que x2 6∈ U2. Repetimos esto una vez

mas y vemos que obtenemos un subintervalo U3 tal que un punto x3 no lo

contiene. Si continuamos este proceso, el resultado es una secuencia infinita

de intervalos encajados

U ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ . . .4Notar que 1/3 pertenece a los dos primeros subintervalos.

6

que poseen la propiedad de que xn 6∈ Un. Como cada intervalo Un tiene longi-

tud 13n es claro que esta longitud tiende a cero cuando n tiende a infinito. Por

teorema de lımites, existe exactamente un punto ξ que pertenece a todo inter-

valo Un para cada n. Por ser un punto de U , ξ debe aparecer en la secuencia

(1), pero esta claro que esto es una contradiccion, pues

xn 6∈ Un, ξ ∈ Un

por lo que ξ 6= xn. Es decir, ξ no es un punto de la secuencia (1). Luego, U no

es numerable.

Teorema 1.5 (Teorema de Cantor). Para cualquier conjunto X se tiene que

|X| < |P(X)|. Es decir, dado cualquier numero cardinal, siempre es posible

encontrar un cardinal estrictamente mayor tomando las partes del conjunto.

Demostracion. Sea f la funcion sobre X definida como f(x) = {x}. Se ve que

f es una inyeccion de X en P(X) por lo que |X| ≤ |P(X)|. Asumamos ahora

que |X| = |P(X)|. Entonces existe una biyeccion g de X en P(X). Sea

u = {x ∈ X : x 6∈ g(x)}.

Supongamos ahora que u esta en el rango de g, entonces u = g(ξ) para algun

ξ ∈ X. Si ξ ∈ u entonces, por definicion de u, ξ 6∈ g(ξ) = u, por lo que ξ 6∈ u.

Si ξ 6∈ u = g(ξ) entonces ξ 6∈ g(ξ) pero por definicion de u y como ξ ∈ X se

tiene ξ ∈ u. Vemos que la suposicion de que u esta en el rango de g nos lleva

a una contradiccion, por lo que u no esta en el rango de g, contradiciendo el

hecho de que g era biyectiva. Luego la igualdad no se da y la demostracion

queda completa.

Proposicion 1.1. Sea X un conjunto tal que |X| = n. Entonces |P(X)| = 2n.

Demostracion. Vamos a probar este hecho haciendo induccion en n. Para el

conjunto vacıo ∅ tenemos que el unico subconjunto posible es el propio ∅. De

modo que

X = ∅ ⇒ |X| = 0

⇒ |P(X)| = 20 = 1.

Nuestra hipotesis inductiva sera que la proposicion es cierta para n = k con

k ≥ 2. |X| = k ⇒ |P(X)| = 2k.

Tomemos ahora un conjunto X tal que |X| = k+1. Sea x ∈ X. Considere-

mos ahora el conjunto construido como X ′ = X−{x} para cualquier elemento

x. Es claro que |X ′| = k. Si prestamos atencion, los posibles subconjuntos de

X estan “divididos” en subconjuntos de dos tipos: los que son de la forma X ′

y los que resultan de tomar los X ′ y anadirle {x}. Por hipotesis inductiva,

7

|P(X ′)| = 2k. Como agregar el elemento {x} no modifica el numero de sub-

conjuntos, tambien hay 2k subconjuntos del segundo tipo. Por lo tanto el total

de subconjuntos es

|P(X ′)|+ |P(X ′ + {x})| = 2k + 2k = 2k+1 = |P(X)|.

Por induccion, el resultado es cierto para todo n.

2. El teorema Cantor-Bernstein

Comenzaremos ahora a desarrollar la matematica que nos interesa para

el teorema y sus consecuencias. Este, encontrado en muchos trabajos bajo el

nombre teorema de equivalencia puede enunciarse, como ya fue mencionado,

en muchas formas. Lo esencial aquı es aprehender a relacionar conceptos e ir

evolucionando en las demostraciones y lemas que se vayan nombrando.

Como las funciones seran importantes en el apartado, primero es vital dar

algunas definiciones.

Definicion 2.1. Si los miembros de un conjunto T se pueden relacionar con

los elementos de un conjunto S en una correspondencia biunıvoca uno a uno,

es decir, que cada elemento de T se corresponde con uno de S y viceversa,

entonces decimos que hay un mapeo5 1 − 1 de S sobre T . Si esto ocurre,

entonces resulta ser que T y S son equivalentes y escribimos S ∼ T .

Desde luego esta definicion es lo que conocemos como biyeccion, sin em-

bargo la eleccion de tomar la definicion 2.1 resulta mas conveniente ya que en

su mayorıa no diremos quien es el mapeo, solo se probara su existencia. De

esta forma, cada vez que deseamos especificar que dos conjuntos cumplen la

equivalencia, diremos que existe un mapeo 1− 1 de un conjunto sobre el otro.

Teorema 2.1. Una funcion es biyectiva si, y solo si, admite una inversa.

Demostracion. Supongamos que una funcion φ es una biyeccion de X en Y .

Para cada y ∈ Y existe precisamente un x tal que φ(x) = y. Luego ψ(y) = x

define una funcion de Y en X que es una inversa de φ.

Recıprocamente, supongamos que φ admite una inversa φ−1. Sea y ∈ Y ,

sabemos que φ(φ−1(y)) = y por definicion de inversa, ası que podemos usar

x = φ−1(y) para obtener φ(x) = y, por lo que φ resulta ser sobre. Supongamos

que φ(x) = φ(x′). Aplicamos φ−1 a ambos miembros resulta x = x′ con lo que

φ es inyectiva. Luego, φ es biyectiva.

Corolario 2.1. La relacion ∼ de 2.1 es reflexiva, simetrica y transitiva.

5Al igual que muchos autores, dejamos la definicion correspondencia para relacionar ele-

mentos y el mapeo para conjuntos.

8

Demostracion. Es muy trivial de probar debido a lo que sabemos de funciones

biyectivas. Claramente S ∼ S debido a que existe el mapeo identidad sobre

un mismo conjunto y siempre es equivalente a sı mismo. Es simetrica debido a

que si T ∼ S entonces existe un mapeo inverso de S sobre T debido a 2.1 con

lo que S ∼ T . La transitividad se deduce de que la composicion de biyecciones

es una biyeccion.

2.1. Teorema de Equivalencia

Pasamos ahora a ver un postulado mencionado en el prologo. La forma

en que figura el enunciado puede ser muy confusa en algunos textos, por ello

aquı se tratara de introducirlo lo mejor posible. Este tipo de resultados sue-

len tener demostraciones abstractas, pero pueden encontrarse amplias biblio-

grafıas con desarrollos mas generales. Para no abusar de notacion, diremos

mapear o mapeo para indicar la relacion de 2.1. El teorema siguiente se en-

cuentra como corolario en [2].

Teorema 2.2 (Teorema de Equivalencia). Sean S y T dos conjuntos. En-

tonces si S es equivalente a un subconjunto de T , y T es equivalente a un

subconjunto de S, entonces S y T son equivalentes.

Demostracion. Basicamente, lo que deseamos probar es que si S ∼ T1 ⊂ T y

T ∼ S1 ⊂ S, entonces S ∼ T .

Por hipotesis, tenemos un mapeo 1 − 1 φ de S sobre T1 ⊂ T y un mapeo

1− 1 ψ de T sobre S1 ⊂ S. Queremos ver que existen subconjuntos S0 ⊂ S y

T0 ⊂ T tal que φ sea un mapeo 1−1 de S0 en T0 y ψ un mapeo 1−1 de T −T0

en S − S06. Como cada elemento de S pertenece, o bien a S0 o a S − S0, y la

situacion es analoga en lo que respecta a T y T0, esto nos permite contruir el

mapeo que necesitamos para probar el teorema. Para obtener los conjuntos S0

y T0 primero hacemos relacionar a cada subconjunto X ⊂ S un subconjunto

X ′ ⊂ S de la siguiente manera. Por φ, para X ⊂ S corresponde un conjunto

Y ⊂ T1 ⊂ T , y por ψ, para T −Y corresponde un conjunto S−X ′ ⊂ S1 ⊂ S7.

Luego,X ′ ⊂ S esta determinado unıvocamente porX ⊂ S. Nuestro objetivo es

obtener un X tal que X ′ = X. Para este proposito primero debemos probar lo

siguiente. Si X1 y X2 son subconjuntos de S y si X1 ⊆ X2, entonces X ′1 ⊆ X ′2.

La igualdad es trivial, debido a que X ′ esta determinado de manera unıvoca

por X, entonces X1 = X2 implica directamente X ′1 = X ′2. Por la naturaleza

de φ, X1 ⊂ X2 implica Y1 ⊂ Y2, por lo tanto T − Y2 ⊂ T − Y1. De aquı, por

la naturaleza de ψ deducimos que S −X ′2 ⊂ S −X ′1, luego X ′1 ⊂ X ′2.

6Este resultado, algunas veces referenciado como Teorema de Banach se usara mas ade-

lante y su demostracion puede encontrarse en el apendice A.1.7Debido a que T − Y ⊆ T , ψ mapea T − Y sobre un S∗ ⊆ S1 ⊂ S. Por lo tanto, hacemos

X ′ = S − S∗

9

Probado esto pasaremos a lo siguiente. Un conjunto X ⊂ S es llamado

distinguido si X ⊆ X ′. Existen subconjuntos distinguidos de S, por ejemplo,

el conjunto no vacıo S − S1 = D1. En efecto, por un mapeo de T sobre S1 a

traves de ψ obtenemos miembros de S1 que no estan en D1; por consiguiente si

φ relaciona D1 ⊂ S sobre Y1 ⊂ T1 y ψ relaciona T −Y1 sobre S−D′1, entonces

S − D′1 no contiene miembros de D1. Por tanto, en vista de que D1 ⊂ S,

tenemos que D1 ⊆ D′1, i.e. D1 es distinguido.

Sea S0 la union de todos los subconjuntos distinguidos de S. Para cada

subconjunto distinguido D tenemos entonces que D ⊆ S0. Mas aun, por lo

probado anteriormente, tenemos que D′ ⊆ S′0. En otras palabras, para cada

distinguido D ⊂ S tenemos

D ⊆ D′ ⊆ S′0.

La relacion D ⊆ S′0 es verdadera para cada distinguido D, y lo sigue siendo

para la union de todos los D, i.e.

S0 ⊆ S′0. (2)

Luego, por lo probado anteriormente S′0 ⊆ (S′0)′. Esto implica que S′0 tambien

es distinguido. Por ultimo, vemos que por definicion de S0 se tiene que S′0 ⊆ S0.

Sumado con el resultado (2), obtenemos que S0 = S′0.

Ası hemos llegado a nuestro objetivo. Conforme a la definicion de X ′ en

terminos de X, φ mapea S0 ⊂ S sobre T0 ⊂ T y ψ mapea T −T0 sobre S−S0,

completando la prueba.

Las demostraciones originales sobre los teoremas de equivalencia suelen

ser mas abstractas e incluso algunas se consideran, en cierta forma, incom-

pletas. Con esto nos referimos a que han habido generalizaciones cada vez

mas grandes, pero las ideas se mantienen sin modificar. Gran parte de ellas se

encuentran en [8].

2.2. La prueba de Dedekind

En los trabajos de Cantor, ademas del enunciado estudiado anteriormente,

figura un resultado particular que solo involucra un conjunto. En sus trabajos

no figuraba una demostracion formal; se sabe que Cantor no habıa logrado en-

contrarla y se lo comunico al matematico Dedekind. Lo que se desarrollara a

continuacion es una nueva reformulacion de conceptos bajo el trabajo de De-

dekind (inspirado en [4]) con el fin de proporcionar una demostracion de un

corolario equivalente al teorema Cantor-Bernstein.

Definicion 2.2. Una funcion φ con un conjunto S como dominio es una regla

que asigna a cada elemento s ∈ S un valor φ(s) llamado la imagen de s.

Decimos que φ mapea s a φ(s).

10

Dedekind no uso las palabras dominio o imagen pero seran usadas por

pertenecer a la lectura cotidiana. Tampoco especifico a que conjunto pertenece

el elemento φ(s), sin embargo podemos coleccionar todas estas imagenes en

otro conjunto y llamarlo la imagen φ(S).

Notacion 1. Dados dos conjuntos A y B, y una funcion f : A→ B, tenemos

que f(A) := {f(a)| a ∈ A}.

Dedekind noto que si T es un subconjunto de S, entonces la funcion φ con

dominio en S restringe a una funcion con dominio el conjunto T , que tambien

llama φ. El conjunto φ(T ) es el conjunto de todas las imagenes de φ(t), t ∈ T ,

llamado la imagen de T . Por conveniencia, Dedekind denotaba a la imagen de

una funcion como s′ en lugar de usar la notacion funcional φ(s).

Lema 2.1. Si A ⊆ B entonces A′ ⊆ B′.

Demostracion. Sea a ∈ A. Entonces a′ = φ(a) ∈ φ(A) = A′. Como A ⊆ B

entonces a ∈ A⇒ a ∈ B. Luego a′ = φ(a) ∈ φ(B) = B′.

Definicion 2.3. Una funcion φ con dominio en S se dice que es 1−1 cuando la

imagen de distintos elementos resultan ser distintos, i.e. a 6= b⇒ φ(a) 6= φ(b).

Dicho de otra manera a′ = b′ ⇒ a = b.

Para una funcion φ que es 1−1 existe una funcion inversa φ−1 con dominio

S′ = φ(S), definida como φ−1(a′) = a. Claramente φ−1(S′) = S.

Definicion 2.4. Dos conjuntos R y S son similares, y se escribe R ∼ S, si

existe una funcion φ que sea 1−1 con dominio S tal que φ(S) = R, y entonces

φ−1(R) = S. Se ve facilmente que todo conjunto S es similar a sı mismo

(S ∼ S).

Esto es en realidad un sutil cambio de escritura, ya que podrıamos decir

φ : S → φ(S) y φ−1(φ(S)) = S. Al hacer φ(S) = R resulta la trivialidad.

Proposicion 2.1. Si R ∼ S, entonces cada subconjunto de S es similar a

algun subconjunto de R.

Demostracion. Sea φ : S → R una funcion 1− 1. Sea T un subconjunto de S.

Entonces, tomemos una funcion 1 − 1 restringida, es decir, cuya imagen sea

la funcion en el dominio, nos queda φ : T → φ(T ) que es una correspondencia

1 − 1 (una biyeccion). Por lo que T ∼ φ(T ). Luego, por hipotesis, φ(S) = R,

pero por 2.1 si T ⊆ S ⇒ φ(T ) ⊆ φ(S) = R. Por ultimo, φ(T ) ⊆ R, probando

ası que todo conjunto T ⊆ S es similar a un subconjunto de R.

Definicion 2.5 (Funciones de un conjunto en sı mismo). Dada una funcion

φ : S → S, Dedekind define una cadena como un subconjunto A de S al que

φ mapea en sı mismo, i.e. φ(A) = A.

11

Lo que veremos a continuacion son definiciones y lemas necesarios para

comprender la demostracion de Dedekind. Estos resultados tienen una equi-

valencia en topologıa y sera mencionada al final de cada una para facilitar la

comprension de las mismas.

Definicion 2.6. Sea φ : S → S. Decimos que un subconjunto K de S es una

cadena si φ : K → K ′ con K ′ ⊆ K.

Corolario 2.2. La imagen K ′ de una cadena K, es en sı misma una cadena.

Corolario 2.3. S es en sı mismo una cadena.

Si consideramos a una topologıa (S, τ), entonces el conjunto universal de la

topologıa es el propio S. Esta definicion de una cadena puede ser interpretada

como la definicion de conjuntos cerrados para la topologıa. Entonces, esto nos

da que K es cerrado si φ(K) ⊂ K. Con esta interpretacion, el corolario nos

dice que S es cerrado.

Proposicion 2.2. Si A es un subconjunto de una cadena K, entonces A′ ⊂ K.

Demostracion. A ⊂ K ⇒ A′ ⊂ K ′ por 2.1. K ′ = φ(K) ⊂ K por la definicion

mencionada anteriormente.

Lema 2.2. Sea A′ un subconjunto de una cadena L. Entonces hay una cadena

K tal que A ⊂ K y K ′ ⊂ L. En efecto, podemos tomar K = A ∪ L.

Demostracion. Sea K = A ∪ L. Entonces, la proposicion A ⊂ K se sigue

directamente de que A ⊂ A ∪ L fue establecido en la seccion 1.2. Tambien

K ′ = A′ ∪ L′8. Pero A′ ⊂ L y L′ ⊂ L por hipotesis, ası que K ′ ⊂ L. Como

K ′ ⊂ L y L ⊂ K se sigue que K ′ ⊂ K con lo que K es cadena.

Corolario 2.4. La union de cadenas, es una cadena. La interseccion de ca-

denas, es una cadena.

Este resultado dice que la union de conjuntos cerrados, es cerrado. Analo-

gamente, la interseccion de cerrados, es tambien cerrado.

Definicion 2.7. Dado un subconjunto A de S, se define la cadena A0 generada

por A como la interseccion de todas las cadenas en S que contienen a A, i.e.

A0 =⋂A∈S

A.

Esta definicion da la correspondiente operacion de la clausura para la to-

pologıa. Nos dice que la cadena A0 de un subconjunto A es la interseccion de

todas las cadenas que contienen A; o en terminos topologicos, la clausura de

un subconjunto es la interseccion de todos los cerrados que contienen a A.

8Resultado que se desprende facilmente de 2.1

12

Corolario 2.5. Sea A un conjunto.

A ⊂ A0.

(A0)′ ⊂ A0.

Si A es un subconjunto de una cadena K, entonces tambien lo es A0.

A′ ⊂ (A0)′.

A′ ⊂ A0.

Si A es una cadena, entonces A = A0.

Proposicion 2.3. (A0)′ = (A′)0. Esto es, la imagen de la cadena de A es

igual a la cadena de la imagen de A.

Demostracion. Probaremos este hecho usando la doble contencion. Sea L =

(A′)0. Entonces L es una cadena y A′ ⊂ L. Entonces, existe una cadena K tal

que A ⊂ K y K ′ ⊂ L. Luego (A0) ⊂ K ⇒ (A0)′ ⊂ K ′. Por lo tanto (A0)′ ⊂ L,

es decir (A0)′ ⊂ (A′)0.

Ahora A′ ⊂ (A0)′ y entonces (A0)′ es una cadena, ası que (A′)0 ⊂ (A0)′.

Con ayuda de lo que vimos anteriormente, pasaremos ahora a desarrollar

uno de los resultados mas utiles y vitales en la demostracion que nos interesa.

Teorema 2.3. La cadena de un conjunto es la union de ese conjunto y la

imagen de la cadena. Es decir

A0 = A ∪A′0.

Demostracion. Por lo que acabamos de ver, (A0)′ = (A′)0. Sea L = (A0)′ =

(A′)0 y hagamos K = A∪L. Sabemos que A′ ⊂ L. Como L es cadena, tambien

lo es K, de modo que A0 ⊂ K.

Como A ⊂ A0 y L ⊂ A0 se sigue que A ∪L ⊂ A0 es decir K ⊂ A0. Luego,

la doble contencion demuestra que A0 = A ∪A′0.

Gracias a estos resultados tan generales, estamos en condiciones de mostrar

otra version del teorema Cantor-Bernstein. La diferencia con este, como ya

fue mencionado, es que solo involucra un conjunto y por ello los corolarios

examinados arriba son importantes para el desarrollo del mismo. El teorema

siguiente lleva por enunciado el llamado formulacion de conjunto simple para

el teorema de Cantor-Bernstein y su demostracion se atribuye a Dedekind. En

sus trabajos, hay muchas variantes en cuanto a su demostracion. Cuidadosas

comparaciones son explicadas en muchas bibliografıas que no se introducen

aquı, solo mencionare que tome como prueba aquella que me parecio mas

completa y formal.

13

Teorema 2.4 (Formulacion de conjunto simple). Sea S un conjunto. Supon-

gamos que tenemos conjuntos S′ y T tales que S′ ⊆ T , T ⊆ S. Es decir,

S′ ⊆ T ⊆ S. Si S ∼ S′, entonces S ∼ T .

Demostracion. Sea U el conjunto de todos los elementos de S que no estan en

T , i.e. S = U ∪ T . Nuestra suposicion es que S es similar a un subconjunto S′

de T ; existe entonces una funcion 1 − 1 ϕ por el cual S esta relacionado con

S′ = ϕ(S). Sea U0 la cadema generada por U ; entonces U0 = U ∪ ϕ(U0) =

U ∪U ′0; ya que U0 ⊆ S, U ′0 = ϕ(U0) es un subconjunto de S′ = ϕ(S) (por 2.1),

y por ello U ′0 ⊂ T , ası que U y U ′0 no tienen elementos en comun, y U0 ⊂ S.

Sea V el conjunto de todos los elementos de S que no estan en U0, i.e.

S = U0 ∪ V . Pero por lo visto anteriormente, S = U0 ∪ V = U ∪ T y como

U0 = U ∪ U ′0 se tiene que S = U ∪ U ′0 ∪ V = U ∪ T ; de aquı se deduce que

T = U ′0 ∪ V , donde U ′0 no tiene elementos en comun con V por ser U ′0 ⊂ U0.

Ahora vamos a definir la siguiente funcion ψ de S

ψ(s) =

{ϕ(s), si s ∈ S esta en U0

s, si s ∈ S esta en V.

Ahora, esta funcion es 1−1, ya que para elementos distintos s1, s2 de S entonces

tenemos

(i) Ambos estan en U0; luego ψ(s1) = ϕ(s1) es diferente de ψ(s2) = ϕ(s2)

por ser ϕ funcion 1− 1 en S.

(ii) Ambos estan en V . Esto es aun mas trivial pues como tomamos diferentes

elementos, se sigue que ψ(s1) = s1 6= s2 = ψ(s2).

(iii) s1 ∈ U0 y s2 ∈ V ; entonces ψ(s1) = ϕ(s1) y ψ(s2) = s2. Pero ψ(s1)

esta en U ′0 (pues s1 ∈ U0) y s2 esta en V . Como U ′0 y V no tienen

elementos en comun, se sigue que ψ(s1) 6= ψ(s2).

Luego, esta construccion nos permite concluir que S ∼ T al encontrar

la funcion necesaria. Esta funcion ψ es 1 − 1 de S = U0 ∪ V sobre ψ(S) =

ψ(U0) ∪ ψ(V ) = T porque ψ(U0) = ϕ(U0) = U ′0 y ψ(V ) = V .

2.3. Formulacion actual

Vamos a comenzar ahora con una pequena cuestion. Dados dos conjuntos

A y B. Entonces podemos definir muchas funciones entre ellos, pero ¿que con-

diciones necesitamos para asegurar que existe una funcion que sea una corres-

pondencia uno a uno? Dicho de otra manera, como podemos saber que existe

una biyeccion entre los dos conjuntos. Esto es justamente una de las aplica-

ciones directas del teorema y vamos a enunciarlo de esta manera, ya que es la

forma en que trabajos este resultado hoy en dıa.

14

Teorema 2.5 (Teorema de Cantor-Bernstein). Dados dos conjuntos M y N .

Si existen funciones f : M → N y g : N →M tales que f y g son inyectivas,

entonces existe una biyeccion de M a N .

Demostracion. Vamos a construir una funcion biyectiva h : M → N . Por el

Teorema de Banach A.1, existen A ⊂ M y B ⊂ N tales que f(A) = B y

g(N − B) = M − A. Sea ψ : (M − A) → (N − B) la funcion inverga de g

restringida a N −B, y sea h : M → N definida por

h(x) =

{f(x), si x ∈ Aψ(x), si x ∈M −A

.

Veamos que h es inyectiva. Sean x1, x2 ∈ M , con x1 6= x2. Si x1, x2 ∈ A,

tenemos que f(x1) 6= f(x2) por ser f inyectiva y entonces h(x1) 6= h(x2). Si

x1, x2 ∈ M − A, tenemos que ψ(x1) 6= ψ(x2) por ser ψ biyectiva y entonces

h(x1) 6= h(x2). Por ultimo, si x1 ∈ A y x2 ∈ M − A, sucede que f(x1) ∈ B y

ψ(x2) ∈ N −B, por lo que resulta que f(x1) = h(x1) 6= h(x2) = ψ(x2). Luego,

h es inyectiva.

Probemos ahora que h es sobre. Sea y ∈ N . Si y ∈ B, existe x ∈ A tal que

f(x) = y. Es decir, existe x ∈ M tal que h(x) = y. Si y ∈ N − B, entonces

g(y) ∈ M − A, luego ψ(g(y)) = y. Es decir, h(g(y)) = y, por lo que h resulta

ser sobre.

Hemos probado entonces que existe h : M → N biyectiva.

Esta es la primer demostracion que se introduce y, en lo que a mı respecta,

considero que es la mas sencilla con la cual es propicio comenzar un estudio

sobre el tema. En muchos casos, podrıa ser difıcil dar una forma explıcita de la

biyeccion, pero sabemos que podemos construirla. En otros casos, si su cons-

truccion es compleja, siempre podemos establecer su existencia al encontrar

dos inyecciones que cumplan con dicha version del teorema.

Veamos un pequeno cambio de hipotesis.

Teorema 2.6. Dados dos conjuntos A y B con B ⊂ A. Si existe una funcion

inyectiva f : A→ B, entonces existe una biyeccion h : A→ B.

Demostracion. Como B ⊂ A, podemos imaginar un dibujo de A que contie-

ne a B. Como estamos mapeando elementos de A en B, podrıa interesarnos

aquellos elementos que estan en A−B. Esto es, necesitamos mapear, a traves

de f , los elementos de A − B en B. Pero cuando hacemos esto dichos ele-

mentos van a “ocupar” la misma posicion de otros elementos que ya estan en

B (llamemosle f(A− B)). Ası que podemos pensarlo de la siguiente manera.

Movemos esos elementos que ya estaban en f(A−B) a otro lado, llamemosle

f(f(A − B)). Pero de nuevo, al igual que ocurrio al principio, ese lugar va a

15

ocupar la posicion de otros elementos que ya estaban. De modo que repetimos,

y movemos esos elementos a traves de la f .

Ahora repetimos este procedimiento infinitas veces (de aquı vemos que

necesitamos una secuencia infinita). Veamos esto en el siguiente grafico.

Representemos el cırculo rojo externo como A y el circulo interior como B.

Ahora, al ir aplicando la f a las diferencias, vamos “moviendo” de la siguiente

manera.

Donde la parte roja representa A − B, f(A − B) y ası sucesivamente. La

parte azul es “lo que va quedando” (notar que el cırculo azul mas grande

representaba B) en los traslados.

Ahora bien, la parte roja es claramente la union sobre todas las composi-

ciones. Vamos a escribirla entonces como

X =∞⋃n=0

f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸n veces

(A−B) =

∞⋃n=0

fn(A−B).

La funcion que necesitamos entonces es

16

h(x) =

{f(x), si x ∈ Xx, en caso contrario

.

Veamos que h es inyectiva. Supongamos que h(x1) = h(x2). Si x1, x2 ∈ X

entonces x1 = x2 por ser f inyectiva. Si x1, x2 6∈ X entonces x = y por

definicion de h. Finalmente, f(X) ⊂ X ası que si x1 ∈ X, f(x1) ∈ X y si

x2 6∈ X no puede ser igual, i.e. no podemos tener un elemento de la region

roja igual a un elemento de la region azul.

Veamos que h es sobre. Supongamos y ∈ B. Si y ∈ X, entonces y ∈fn(A−B) para algun n. Luego, existe un x ∈ fn−1(A−B) ⊆ X que satisface

h(x) = f(x) = y. Si y 6∈ X, se tiene directamente h(x) = y por definicion de

h.

Las hipotesis sobre la inyectividad de las funciones es quiza una convencion

para la formulacion mas usada del teorema. Lo importante es destacar las

condiciones que impone el mismo para deducir la equivalencia entre conjuntos

la cual, como ya se dijo, en su mayorıa no obtiene explıcitamente la biyeccion.

Podemos establecer, desde luego, otras hipotesis que cambian ligeramente este

teorema.

Proposicion 2.4. Sean f : M → N y g : M → N tales que f es inyectiva y

g es sobre. Entonces existe una biyeccion entre M y N .

Demostracion. Para cada y ∈ N , consideremos el conjunto My = g−1({y}).Notemos que My 6= ∅ para todo y ∈ N por ser g sobre. Luego, de cada My

podemos tomar un elemento xy y definimos hg : N → M como h(y) = xy.

Claramente hg es inyectiva pues g es una funcion sobre y por ello la familia

de conjuntos {My : y ∈ N} resulta una familia disjunta.

Finalmente, si consideramos las funciones f y hg estamos bajo las hipotesis

del teorema 2.7 y por lo tanto esta proposicion es verdadera.

Corolario 2.6. Sean f : M → N y g : N → M funciones sobre. Entonces

existe una biyeccion entre M y N .

Demostracion. Imitando los hechos en la demostracion anterior, podemos ob-

tener funciones hf : N →M y hg : M → N inyectivas y nuevamente estamos

bajos las hipotesis de 2.7.

Proposicion 2.5. Sean f : M → N inyectiva y g : N → M sobre. Entonces

existe una biyeccion entre M y N .

Esta ultima proposicion no es cierta en general. En efecto, tomemos como

M = {1, 2}, N = {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b, g(a) = g(b) = 1 y g(c) = 2.

Notemos que f y g cumplen la hipotesis de la proposicion, sin embargo no es

posible definir una biyeccion puesto que |M | = 2 mientras que |N | = 3.

17

2.3.1. Una demostracion discutida

Dados dos conjuntos finitos, resulta trivial que si suponemos la existencia

de funciones inyectivas de uno en otro, entonces dichas funciones son biyec-

tivas. Uno puede definir una relacion de orden9 sobre los numeros cardinales

suponiendo que de las sentencias

|A| ≤ |B|, |A| = |B|, |A| ≥ |B|

una y solo una de ellas ocurre. Dado que las inyecciones caracterizan la doble

desigualdad, resulta como trivialidad la igualdad de cardinales.

Cuando extendemos esto al caso de conjuntos infinitos, quiza sea mas pro-

blematico. Si X es un conjunto finito, entonces una funcion que resulte inyec-

tiva f : X → X es, de hecho, biyectiva. Al extender el caso, esta intuicion se

pierde. Por ejemplo, supongamos la funcion f : N → N dada por f(x) = 2x.

Claramente esta funcion es inyectiva, pero no sobre. Aun ası es facil ver que

una tal biyeccion debe existir, pues estamos tomando conjuntos iguales. Desde

luego, el teorema de Cantor-Bernstein nos es muy util para demostrar existen-

cia de biyecciones ya que, generalmente, es mas facil encontrar las inyecciones

necesarias.

Ahora, consideremos dos conjuntos infinitos A y B. Sean f : A → B

y sea g : B → A inyectivas. Los conjuntos dados, ası como las funciones,

son totalmente arbitrarios, por lo que resulta ser muy poca informacion para

construir una biyeccion. Sin embargo, si tomamos f o g entonces tenemos

algunos elementos en B − f(A) y A − g(B), es decir, algunos elementos que

no son mapeados. Hay, desde luego, una esperanza de que para valores en

B− f(A), tengamos que g−1 mapee estos elementos por g(B). Quiza entonces

nos podemos hacer una idea de que alguna combinacion de f y g−1 harıa

posible tal biyeccion.

Uno no puede tomar simplemente g−1 para todo a ∈ g(B) y f para los

otros valores, ya que no se garantiza, que bajo la definicion de f , estos no

coincidan con los g−1 para algunos valores, creando entonces algo que no es

una inyeccion, pues podrıa darse el caso de f(a) = g−1(b) donde se tiene

a 6= b para b ∈ g(B) y a ∈ A − g(B). Ası que uno puede de alguna manera

excluir tales b ∈ g(B) y mapear estos con f , considerando h = g−1 para

todo a ∈ A − (g(f(A − g(B)))) ∪ g(B), pero de nuevo, aunque el conjunto

resulta de menor tamano (asumiendo que quedan elementos b ∈ A que causen

problemas), podemos anadir algunos elementos al conjunto para los cuales

h = f , y aun ası seguirıamos teniendo algunos problemas, ya que podrıa

darse el caso de un elemento c ∈ g(f(A − g(B))) que coinciden con a, dando

g−1(a) = f(c) como ocurrıa antes.

9A saber, una ley de tricotomıa

18

Por lo tanto, es razonable considerar la iteracion de un proceso de este

tipo, en donde para cada elemento en A, hacemos g(f(a)), y g(f(g(f(a)))),

y ası sucesivamente. Como todos estos elementos son elementos de A, tiene

sentido en este caso considerar los elementos como vertices de un grafo dirigido,

donde hay una arista dirigida de un elemento a ∈ A y g(f(a)). Dado que g

y f son funciones, esta claro que el grado saliente de cada vertice es 1. La

inyectividad de las funciones nos da que el grado incidente de cada vertice es

menor o igual que 1. Entonces hay solo tres tipos de conexidad en el grafo

(i) Ciclo unidireccional.

(ii) Infinitos caminos que empiezan en algun vertice.

(iii) Infinitos caminos que se extienden al infinito en ambas direcciones (i.e.

que no tienen vertice inicial).

Deseamos saber cuales de los elementos pueden ser mapeados por g−1 y

cuales por f . Asumiendo que X es el conjunto de elementos que pueden ser

mapeados por f , y analogamente Y es el conjunto de los elementos que pueden

ser mapeados por g−1, donde Y y X son disjuntos. Entonces necesitamos que,

para todo a ∈ Y no haya un b ∈ X tal que f(b) = g−1(a) (o viceversa).

Consideremos lo siguiente

1. Para un ciclo unidireccional, para cada vertice a en el ciclo, tenemos

exactamente un b “detras” de el en el ciclo, con g(f(b)) = a, esto es,

f(b) = g−1(a). Luego, podemos incluir todos los elementos en el ciclo en

Y , entonces no hay un b ∈ X con f(b) = g−1(a) para cualquier a.

2. El mismo argumento que tenemos con ciclos unidireccionales se puede

aplicar para el caso de infinitos caminos que se extienden al infinito en

ambas direcciones.

3. Para los conexos con un vertice inicial, hay un problema con el elemento

a 6∈ g(B); si mapeamos a usando f , entonces tenemos que g(f(a)) ∈ Y ,

lo que serıa f(a) = g−1(g(f(a))), lo que viola la condicion de que no

tenemos tales valores. Sin embargo, podemos incluir todos los elementos

en este conexo en X, y luego dado cualquier elemento c en este conexo,

tenemos que si c = g(f(d)) para algun d, entonces d tambien esta en

el conexo (llamese el elemento “detras” de c en el camino). Luego, la

propiedad de que no tenemos a ∈ Y y b ∈ X tales que f(b) = g−1(a),

i.e. g(f(b)) = a, aun se mantiene.

Mas aun, podemos simplemente empezar considerando elementos que no

son mapeados por g(f(a)), y teniendo en cuenta los elementos g(f(a)) para

19

todo a en el primer conjunto, y ası sucesivamente, en especial considerando

exactamente los infinitos ciclos con vertice inicial. Una vez que tenemos todas

estas componentes, uno tiene un X y un Y , podemos tratar entonces de definir

una biyeccion h tomando distintos casos.

Dados conjuntos A y B, primero vamos a definir el conjunto de elementos

en A que son mapeados por elementos en B a traves de estos casos.

Definicion 2.8. Sea An ⊂ A, un conjunto de subconjuntos con ındice de A,

definidos recursivamente como

A1 := A− g(B)

An+1 := g(f(An))

Ahora podemos formar una particion de A en dos conjuntos, Y y X con

X :=⋃i∈N

Ai,

Y := A−X.

Sea entonces h : A→ B definida por

h(a) =

{f(a), a ∈ Xg−1(a), a ∈ Y

.

Lema 2.3. h esta bien definida

Demostracion. Es suficiente probar que h esta definida para todo valor en A

y que dado a ∈ A hay exactamente un b ∈ B tal que h(a) = b. Sea entonces

un a ∈ A arbitrario. Hay dos posibilidades

1. a ∈ X. En este caso, f es una funcion y esta bien definida, ası que f(a)

esta bien definida y por lo tanto tambien h para todo a.

2. a ∈ Y . En este caso, g−1 no esta bien definida para todo a ∈ A, ası que

debemos mostrar que g−1(a) esta definida para todo a ∈ Y , esto es, que

Y ⊆ g(B).

20

Esto se sigue de

Y = A−⋃i∈N

Ai

= A−

(A1 ∪

⋃i∈N

Ai+1

)

= (A−A1) ∩

(A−

⋃i∈N

Ai+1

)

= (A− (A− g(B))) ∩

(A−

⋃i∈N

Ai+1

)

= g(B) ∩

(A−

⋃i∈N

Ai+1

).

Por lo tanto, tenemos Y = g(B) ∩(A−

⋃i∈NAi+1

)⊆ g(B) por definicion de

interseccion. Por ser f y g funciones, estan definidas de forma unıvoca y como

Y y X forman una particion de A, h tambien esta definida de forma unıvoca.

Luego, h esta bien definida.

Lema 2.4. h es inyectiva.

Demostracion. Consideremos elementos arbitrario a, b ∈ A tal que a 6= b.

1. a, b ∈ X. En este caso, tenemos que h(a) = f(a) 6= f(b) = h(b) por ser

f inyectiva.

2. a ∈ X, b ∈ Y . Asumamos por contradiccion que h(a) = h(b), entonces

tenemos que g(h(a)) = g(f(a)) = b = g(g−1(b)) = g(h(b)). Sin embargo,

como a ∈ X, por definicion, tenemos que a ∈ Ai para algun i ∈ N,

entonces b = g(f(a)) ∈ Ai+1 ⊆ X, de nuevo por definicion, lo que es una

contradiccion pues asumimos que b ∈ Y y X ∩ Y = ∅.

3. b ∈ X, a ∈ Y . Analoga a la anterior.

4. a, b ∈ Y . Tenemos que

g(h(a)) = g(g−1(a)) = a 6= b = g(g−1(b)) = g(h(b)).

Luego, h es inyectiva.

Lema 2.5. h es sobre.

Demostracion. Consideremos un b ∈ B arbitrario. Consideremos los casos

21

1. g(b) ∈ X. Si es ası, tenemos que g(b) ∈ Ai para algun i ∈ N, sin em-

bargo, como A1 := A − g(B), tenemos que g(b) 6∈ A1. Tenemos en-

tonces que g(b) ∈ Ai para algun i ∈ N, i > 1. Tenemos entonces que

g(b) = g(f(c)) ∈ Ai para algun c ∈ Ai−1, entonces como g−1(g(b)) = b =

f(c) = g−1(g(f(c))), tenemos que h(c) = f(c) = b, siendo c el elemento

que necesitamos.

2. g(b) ∈ Y . Esto caso es mas trivial pues h(g(b)) = g−1(g(b)) = b, y

nuestro elemento necesario es el mismo g(b).

Luego h es sobre.

Usando los ultimos lemas hemos probado, con cierto desarrollo de detalles,

que es posible encontrar una biyeccion bajo las condiciones que plantea el

teorema.

Q .E .D

2.4. El axioma de eleccion

Durante mucho tiempo, los fundamentos de la matematica trataron de

lograr construcciones matematicas que usen la menor cantidad de axiomas

posibles. Uno de los mas importantes es el axioma de eleccion. Uno de los gra-

des objetivos de estos fundamentos es tratar de construir estructuras solidas

sin la necesidad de usarlo. El axioma puede encontrarse en muchas formas o

equivalencias, y son tantas que serıa muy difıcil tratar de mencionarlas todas.

Una de ellas es que el axioma de eleccion establece que, dado una coleccion

de conjuntos, existe una manera de tomar un elemento representante de ca-

da conjunto. Se vera ahora la relacion entre el teorema que tratamos y una

equivalencia del axioma de eleccion.

Consideremos una funcion h : X → Y como una relacion, h ⊆ X × Y

donde la relacion esta formada por los pares (x, h(x)) con x ∈ X, h(x) ∈ Y .

Recordamos que una funcion se define como una regla que asigna a cada ele-

mento del dominio exactamente un elemento de la imagen. Es decir, podemos

verlo como el conjunto de pares ordenados que cumplen lo siguiente

(x, y) ∈ h ∧ (x, z) ∈ h⇒ y = z.

Sean f : X → Y y g : Y → X, es claro que f ⊆ X × Y y g ⊆ Y ×X. Enunciamos ahora el teorema de Cantor-Bernstein y luego una pequena

variante.

Teorema 2.7. Si f : X → Y y g : Y → X son inyecciones, entonces existe

una biyeccion h : X → Y tal que h ⊆ f ∪ g−1.

Es claro que g−1 ⊆ X×Y 10 y esta inversa toma simplemente las preimage-

10Por ejemplo, g−1 pueden verse como los pares (g(y), y).

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nes. En realidad, el dominio de la g−1 puede no ser todo X pero al ser g

inyectiva, al elemento g−1(y) le corresponde uno, y solo uno, en X.

Teorema 2.8 (Teorema Dual de Cantor-Bernstein). Sean f : X → Y y

g : Y → X funciones sobre, entonces existe una biyeccion h : X → Y con

h ⊆ f ∪ g−1.

Definicion 2.9. El axioma de eleccion establece que toda funcion sobre tiene

una inversa por derecha.

Teorema 2.9. El teorema dual de Cantor-Bernstein es equivalente al axioma

de eleccion.

Demostracion. Supongamos como valido el axioma de eleccion. Dadas dos

funciones sobre, f : X → Y y g : Y → X, entonces existen inversas por

derecha u : X → Y y v : Y → X para g y f respectivamente. Vemos que, si

u(x) = u(x′) = y ∈ Y entonces aplicando la g tendrıamos g(y) = x y g(y) = x′

por ser u una inversa por derecha de g, pero por ser g una funcion tenemos

que x = x′ con lo que u resulta ser inyectiva; lo mismo ocurre para la funcion

v. Entonces, tenemos funciones u y v inyectivas y estamos bajos las hipotesis

del teorema 2.7 con lo cual existe una funcion biyectiva h : X → Y con

h ⊆ u∪ v−1. Ahora bien, u ⊆ g−1 y v ⊆ f−1 por ser g ◦u = idY y f ◦ v = idX .

Luego, h resulta ser una biyeccion de X en Y contenida en f ∪ g−1.

Supongamos ahora como valido el teorema dual de Cantor-Bernstein. Va-

mos a mostrar el axioma de eleccion al probar que toda funcion sobre f : X →Y tiene una inversa por derecha. Sea

Z = {0} ∪ Y ∪X × N,

asumiendo que esta union es disjunta. Definamos un mapeo k : Z → Z de la

siguiente manera

k(0) = 0,

k(s) = 0 ∀ s ∈ Y,

k(t, 0) = f(t) ∀t ∈ X,

k(t, n+ 1) = (t, n) ∀ t ∈ X ∧ ∀n ∈ N.

Veamos que k es sobre. Ciertamente el elemento 0 es alcanzado por al

menos un valor. Para k(t, 0) tambien resulta sobre porque la f lo es. Por

ultimo, la forma definida por (t, n) claramente recorre todos los valores de t en

X y todos los naturales, pues cada n+ 1 define su antecesor. Aplicamos ahora

el teorema dual de Cantor-Bernstein a las funciones k : Z → Z y k : Z → Z y

obtenemos una funcion biyectiva h : Z → Z tal que h ⊆ k∪k−1. En particular,

tenemos la siguiente restriccion

h|Y = {(s, h(s)) : s ∈ Y } ⊆ k ∪ k−1.

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Veamos esto como k−1 = {(z1, z2)} tales que z1 = k(z2), mas aun resulta

que k−1 = {(k(z2), z2)}. Por lo que {(s, h(s))} ⊆ {(k(z), z)}. Si h|Y ⊆ k−1,

entonces k(h(s)) = s para cada s en Y . Analizando esto, vemos que s esta en

Y , es decir k(h(s)) esta en Y . Pero, por la forma en que fue definida, la unica

manera de que k envıe algo a Y es a traves de k(t, 0) = f(t), ya que f(t) ∈ Y .

De esto, resulta que nos queda h(s) ∈ X × {0}. Sea entonces g : Y → X

definida tal que h(s) = (g(s), 0). Se sigue que

k(h(s)) = k(g(s), 0) = f(g(s)) = s,

para cada s ∈ Y , lo que muestra que g es una inversa por derecha de f .

Por otro lado, si hY 6⊆ k−1 entonces existe un unico s0 ∈ Y ∪ {0} tal que

h(s0) = 0.11 Podemos imaginarlo como estudiar los pares de la forma ( , 0),

es decir, si la imagen es cero, entonces s0 es o bien cero o un elemento de Y .

Si nos libramos de este elemento, podemos formar el conjunto Y ′ = Y − {s0}analizando los elementos s′ ∈ Y ′. Con esto, nos encontramos ahora bajo las

hipotesis del parrafo anterior, donde h|Y ⊆ k−1. Con esto, construimos una

g : Y ′ → X tal que f(g(s′)) = s′ para todo s′ ∈ Y ′ y la inversa de f buscada

podemos construirla tomando cualquier t′ ∈ X para el que f(t′) = s0 sea el

valor que falta de g en s0.

11La unicidad se debe a que h es biyectiva.

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A. Seccion de apendice

Teorema A.1 (Teorema de Banach). Si M y N son conjuntos, y f : M → N

y g : N →M funciones, entonces existen A ⊂M y B ⊂ N tales que f(A) = B

y g(N −B) = M −A.

Demostracion. Consideremos la funcion ϕ : P(M)→ P(M) dada por

ϕ(C) = M − (g(N − f(C))).

Si probamos que ϕ tiene un punto fijo, es decir que existe A ∈ P(M) tal

que ϕ(A) = A, entonces A y B = f(A) satisfacen la tesis. En efecto

A = ϕ(A)

= M − (g(N − f(A)))

= M − (g(N −B)).

De lo anterior, obtenemos que g(N −B) = M −A. Basta entonces probar

que ϕ tiene un punto fijo.

Veamos primero que ϕ es monotona creciente en (P(M),⊂). Sean entonces

los conjuntos A1, A2 ∈ P(M) tales que A1 ⊂ A2, entonces tenemos la siguiente

situacion

f(A1) ⊂ f(A2) ⇒ N − f(A1) ⊃ N − f(A2)

⇒ g(N − f(A1)) ⊃ g(N − f(A2))

⇒ M − g(N − f(A1)) ⊂M − g(N − f(A2))

⇒ ϕ(A1) ⊂ ϕ(A2).

Notemos ahora que Γ = {G ∈ P(M) : ϕ(G) ⊂ G} 6= ∅. Esto es cierto

pues M ∈ Γ. Sea A =⋂G∈Γ

G. Queremos ver que A ∈ Γ con lo que ϕ(A) ⊂ A.

Pero sabemos que A ⊂ G, ∀G ∈ Γ. De aquı que ϕ(A) ⊂ ϕ(G), ∀G ∈ Γ por

ser ϕ monotona creciente. Ademas, por la definicion de Γ, obtenemos que

ϕ(A) ⊂ G, ∀G ∈ Γ. Por lo tanto ϕ(A) ⊂ A.

Resta ver que A ⊂ ϕ(A). Como ϕ(A) ⊂ A y ϕ es monotona creciente,

tenemos que ϕ(ϕ(A)) ⊂ ϕ(A). Luego ϕ(A) ∈ Γ. Es decir, ϕ(A) es uno de los

G que participan de la definicion de A y entonces A ⊂ ϕ(A).

Luego, existe A ∈ P(M) tal que A = ϕ(A).

Referencias

[1] Bernhard Banaschewski and Gregory H. Moore. The dual cantor-

bernstein theorem and the partition principle. Notre Dame journal of

formal logic, 31(3):375–381, 1990.

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[2] G. Cantor. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite

Numbers. Dover Books on Mathematics. Dover Publications, 1952.

[3] Georg Cantor. Ueber unendliche, lineare punktmannichfaltigkeiten. Mat-

hematische Annalen, 21(4):545–591, 1883.

[4] Richard Dedekind. Was sind und was sollen die Zahlen? Springer, 1965.

[5] Herbert B Enderton. Elements of set theory. Academic Press, 1977.

[6] Abraham A Fraenkel. Abstract set theory. Bull. Amer. Math. Soc.

59 (1953), 584-585 DOI: http://dx. doi. org/10.1090/S0002-9904-1953-

09774-9 PII, pages 0002–9904, 1953.

[7] Matthew Gwynne. Csm25-the cantor-schroder-bernstein theorem. 2009.

[8] A. Hinkis. Proofs of the Cantor-Bernstein Theorem: A Mathematical

Excursion. Science Networks. Historical Studies. Springer Basel, 2013.

[9] A. Levy. Basic Set Theory. Number v. 13 in Basic set theory. Dover

Publications, 2002.

[10] JB Remmel. On the effectiveness of the schroder-bernstein theorem. Proc.

of The American Mathematical Society, 83:379–386, 1981.

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