364

smk12mat MudahBelajarMatematika Toali

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika kelas 3 smk

Citation preview

  • Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII Tim Penyusun Penulis : Toali Ukuran Buku : 21 x 29,7 Cetakan I Tahun 2008 Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007-03-30 Duiperbanyak oleh

    510.07 TOA TOALI M Matematika : Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk kelas XII/ Oleh Toali Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan

    Nasional, 2007 vii, 206 hlm.: 29,7 cm. Bibliografi ISBN 979-462-816-6 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul

  • iii

    SAMBUTAN

    Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untukpenggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu. Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan Sugijanto

  • vKATA PENGANTAR

    Dengan mengucap syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita semua, sehingga Alhamdulillah, buku matematika SMK untuk kelas XII Kelompok Penjualan dan Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan dapat terselesaikan dengan baik.

    Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan SMK/MAKyang sesuai dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia No. 22 dan 23 Tahun 2006 Tentang Standar Isi dan Standar Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah dengan pengembangannya yang mudah-mudahan dapat melengkapi pemahaman konsep-konsep dasar matematika dan dapat menggunakannya baik dalam mempelajari pelajaran yang berkaitan dengan matematika, pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari.

    Tiap bab berisi ringkasan teori yang melandasi kompetensi yang harus dipahami secara benar oleh siswa-siswi peserta didik dan disertai contoh-contoh soal yang relevan dengan teori tersebut. Soal-soal dibuat didasarkan pada teori dan sebagai latihan untuk dapat menyelesaikan uji kemampuan yang digunakan sebagai parameter atau indikator bahwa peserta diklat sudah kompeten atau belum pada materi yang dipelajarinnya.

    Kami menyadari bahwa tersediannya buku-buku referensi atau sumber bacaan dari berbagai penulis dan penerbit sangat membantu penulis dalam menyajikan konsep-konsep dasar yang sesuai dengan kaidah-kaidah matematika. Dan mudah-mudahan buku ini dapat bermanfaat secara khusus untuk anak-anakdidik di Sekolah Menengah Kejuruan dan bagi siapapun yang berkenan menggunakan buku ini.

    Akhir kata Tidak Ada Gading yang Tak Retak, tidak ada karya manusia yang sempurna selain dari karya-Nya. Demikian pula dengan buku ini masih jauh dari apa yang kita harapkan bersama. Oleh karena itu segala kritik dan saran demi kebaikan bersama sangat diharapkan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari buku ini.

    Jakarta, September 2007

    Penulis

  • vi

    DAFTAR ISI

    Kata Pengantar ii Daftar Isi iii Petunjuk Penggunaan Buku iv BAB 1 Teori Peluang..

    A. Pendahuluan...... B. Kompetensi Dasar.........................................................

    B.1 Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi... B.2 Peluang Suatu Kejadian.........

    Uji Kemampuan ....

    1 2 2 2

    19 36

    BAB 2 Statistika............................................

    A. Pendahuluan............................................................................ B. Kompetensi Dasar..........................................................

    B.1 Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel........... B.2 Penyajian Data .... B.3 Ukuran Pemusatan (Tendensi Sentral) ... B.4 Ukuran Penyebaran (Dispersi) ...

    Uji Kemampuan ....

    41 42 42 42 50 63 75 91

    BAB 3

    Matematika Keuangan........................... A. Pendahuluan............................................................. B. Kompetensi Dasar...........................................................

    B.1 Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk....... B.2 Rente.............................................................................. B.3 Anuitas............................................................................... B.3 Penyusutan Nilai Barang...................................................

    Uji Kemampuan .... Daftar Bunga.................................................................................

    95 96 96 96

    125 141 161 178 185

    Kunci Jawaban.......................................................................................... Glosarium..................................................................................................Indeks....................................................................................................... Daftar Pustaka ........

    195 200 203 206

  • Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

    MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah

    Tim Penyusun

    Penulis : Nuniek Avianti Agus

    Ukuran Buku : 21 x 28

    Cetakan I Tahun 2008

    Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007

    Diperbanyak oleh

    510.07 AGU AGUS, Nuniek Avianti M Mudah Belajar Matematika 3: untuk kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah/Oleh Nuniek Avianti Agus. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2007

    vi, 138 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi : hlm. 138 Indeks. Hlm. 136-137

    ISBN 979-462-818-2

    1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul

  • iii

    SAMBUTANSAMBUTAN

    Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu. Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan Sugijanto

  • vBuku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini merupakan buku penuntun untukmu dalam mempelajari matematika. Untuk membantumu mempelajarinya, kenalilah terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, yaitu sebagai berikut.

    Gambar Pembuka Bab

    Judul Bab

    Judul-Judul Subbab

    Materi Pengantar

    Cerdas Berpikir

    Rangkuman

    Sudut Tekno

    Peta Konsep

    Situs Matematika

    Problematika

    Uji Kompetensi Bab

    Kunci Jawaban

    Solusi Matematika

    Uji Kompetensi Awal

    Materi Pembelajaran

    Contoh Soal

    Plus +

    Kegiatan

    Tugas

    Gambar, Foto, atau Ilustrasi

    Uji Kompetensi Semester

    Uji Kompetensi Akhir Tahun

    Berisi gambaran penggunaan materi yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.

    Materi dalam buku ini disertai dengan gambar, foto, atau ilustrasi yang akan membantumu dalam memahami materi.

    Setiap bab diawali oleh sebuah foto yang mengilustrasikan materi pengantar.

    Berisi soal-soal yang memiliki lebih dari satu jawaban.

    Berisi ringkasan materi yang telah dipelajari.

    Berisi pertanyaan-pertanyaan untuk mengukur pemahamanmu tentang materi yang telah dipelajari.

    Disajikan sebagai sarana evaluasi untukmu setelah selesai mempelajari bab tertentu.

    Berisi soal-soal untukmu sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester.

    Berisi soal-soal dari semua materi yang telah kamu pelajari selama satu tahun.

    Berisi soal-soal materi prasyarat untuk memudahkanmu memahami konsep pada bab tertentu.

    Berisi materi pokok yang disajikan secara sistematis dan menggunakan bahasa yang sederhana.

    Berisi soal-soal yang disertai langkah-langkah cara menjawabnya.

    Berisi kegiatan untuk menemukan sifat atau rumus.

    Berisi tugas untuk mencari informasi, berdiskusi, dan melaporkan.

    Berisi soal-soal terpilih EBTANAS, UAN, dan UN beserta pambahasannya.

    Berisi soal-soal untuk mengukur pemahamanmu terhadap materi yang telah kamu pelajari pada subbab tertentu.

    1

    2

    34

    5

    67

    89

    10 11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    1920

    21

    22

    23

    24

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    9

    10

    Uji Kompetensi Subbab13

    11

    8

    12

    14

    16

    15

    17

    20

    19

    18

    21

    22

    23

    24

    Panduan Menggunakan Buku

  • vi

    Prakata

    Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan.Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika.

    Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit danmenggunakan bahasa yang sulit dipahami.

    Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan.Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX SekolahMenengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakanbahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidakmerasa bosan.

    Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnyabuku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika.Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar.

    Penulis

  • vii

    Daftar Isi

    Panduan Menggunakan Buku .............................................................................................. v

    Prakata ..................................................................................................................................... vi

    Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar........................ ................................................. 1A. Kesebangunan Bangun Datar ........................................................................................... 2B. Kekongruenan Bangun Datar ........................................................................................... 8Uji Kompetensi Bab 1 ............................................................................................................. 14

    Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung ................................................................................... 17A. Tabung ............................................................................................................................... 18B. Kerucut .............................................................................................................................. 23C. Bola ................................................................................................................................... 28Uji Kompetensi Bab 2 ............................................................................................................. 35

    Bab 3 Statistika ...................................................................................................................... 37A. Penyajian Data................................................................................................................... 38B. Ukuran Pemusatan Data .................................................................................................... 44C. Ukuran Penyebaran Data................................................................................................... 48Uji Kompetensi Bab 3 ............................................................................................................. 52

    Bab 4 Peluang ........................................................................................................................ 55A. Dasar-Dasar Peluang.......................................................................................................... 56B. Perhitungan Peluang ......................................................................................................... 59C. Frekuensi Harapan (Pengayaan)........................................................................................ 63Uji Kompetensi Bab 4 ............................................................................................................. 67

    Uji Kompetensi Semester 1 ..................................................................................................... 70

  • viii

    Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya............................................................................................ 73A. Bilangan Berpangkat Bulat................................................................................................ 74B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan.................................................................................... 85Uji Kompetensi Bab 5 ............................................................................................................. 97

    Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret............................................................................. 99A. Pola Bilangan..................................................................................................................... 100B. Barisan Bilangan................................................................................................................ 107C. Deret Bilangan .................................................................................................................. 114Uji Kompetensi Bab 6 ............................................................................................................. 124Uji Kompetensi Semester 2 ..................................................................................................... 126Uji Kompetensi Akhir Tahun ................................................................................................... 128Kunci Jawaban ........................................................................................................................ 131

    Daftar Pustaka ......................................................................................................................... 138

  • 1Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun DatarDi Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut.

    Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan pada papan catur, baik yang berwarna hitam maupun yang berwarna putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

    A. Kesebangunan Bangun Datar

    B. Kekongruenan Bangun Datar

    1Bab

    Kesebangunan dan

    1Bab

    Sumber: CD Image

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX2

    5. Perhatikan gambar berikut.

    Jika ? P1 = 50, tentukan besar ? Q2, ? R3, dan? S4.

    Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

    A. Kesebangunan Bangun Datar1. Kesebangunan Bangun DatarDalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah mendengar istilahmemperbesar atau memperkecil foto. Ketika kamu memperbesar (ataumemperkecil) foto, berubahkah bentuk gambarnya? Bentuk benda pada fotomula-mula dengan foto yang telah diperbesar adalah sama, tetapi ukurannyaberlainan dengan perbandingan yang sama. Gambar benda pada foto mula-mula dengan foto yang telah diperbesar merupakan contoh dua bangun yangsebangun.

    Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 1.1 . Sebangunkah persegi-panjang ABCD dengan persegipanjang EFGH? Pada persegipanjang ABCDdan persegipanjang EFGH, perbandingan panjangnya adalah 4 : 8 = 1 : 2.Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. Dengan demikian,perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebutdapat dinyatakan sebagai berikut.ABEF

    BCFG

    CDGH

    DAHE

    = = = =12

    12

    12

    12

    ; ; ;

    Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjangABCD dan persegipanjang EFGH. Oleh karena keduanya berbentukpersegipanjang, setiap sudut besarnya 90 sehingga sudut-sudut yangbersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegi -panjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding sedang-kan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjangABCD dan persegipanjang EFGH dikatakan sebangun..

    Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.

    H

    E

    G

    F8 cm

    4 cm

    D

    A

    C

    B4 cm

    2 cm

    Kesebangunandilambangkan dengan ~ .KesebanKeseba

    Plus +

    1. Jelaskan cara mengukur sudut menggunakan busurderajat.

    2. Jelaskansifat-sifatpersegipanjang,persegi, layang-layang, trapesium, belah ketupat, dan segitiga.

    3. Jelaskan cara membuat segitiga sama sisi.4. Tentukan nilai a .

    3

    3 3

    3

    R 2

    Q 2 P 2

    S 24

    4 4

    4

    1 1

    11

    (a)

    (b)

    Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai.Sudut- sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebutsama besar.

    Uji Kompetensi Awal

    Gambar 1.1Dua persegipanjang yang sebangun.

    Buatlah tiga persegipanjang yangsebangun dengan kedua persegipanjang pada Gambar 1.1 .

    Cerdas Berpikir

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 3

    Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

    Jawab:a. Perhatikan persegipanjang IJKL dan persegi MNOP. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

    IJMN

    JKNO

    KLOP

    LIPM

    = = = =62

    22

    62

    22

    ; ; ;

    Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebanding.

    (ii) Besar setiap sudut pada persegipanjang dan persegi adalah 90 sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP sama besar.

    Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebangun.

    b. Perhatikan persegi MNOP dan persegi QRST. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

    MNQR

    NORS

    OPST

    PMTQ

    = = = =26

    26

    26

    26

    ; ; ;

    Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP dan persegi QRST sebanding.

    (ii) Oleh karena bangun MNOP dan QRST berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90 sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar.

    Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegi MNOP dan persegi QRST sebangun.c. Dari jawaban a telah diketahui bahwa persegipanjang IJKL tidak sebangun

    dengan persegi MNOP. Dengan demikian, persegipanjang IJKL juga tidak sebangun dengan persegi QRST. Coba kamu jelaskan alasannya

    L P

    M

    O

    T

    Q

    S

    R

    NI

    K

    J6 cm

    6 cm

    2 cm

    2 cm

    Perhatikan gambar berikut.

    Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang QR.Jawab:Oleh karena persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding.ABQR

    BCRS QR

    QR= = =X

    =

    9 62

    9 26

    3

    Jadi, panjang QR adalah 3 cm.

    D

    A

    C

    B

    S

    P

    R

    Q2 cm

    6 cm

    9 cm

    ra gambarb

    ContohSoal 1.1

    kan gambkan gamb

    ContohSoal 1.2

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX4

    Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya.a .

    Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar?

    b .

    Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama?

    c.

    Kegiatan

    Diketahui dua jajargenjang yang sebangun seperti gambar berikut.

    Tentukan nilai x.Jawab:Perhatikan jajargenjang ABCD.1B = D = 120

    A = C = 180 120 = 60Oleh karena jajargenjang ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH, besar sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, 1E =1=A = 60.Jadi, nilai x = 60

    D

    A

    C

    B

    H

    E

    G

    F6 dm

    2 dm6 cm

    9 cm120 x

    i d j j

    ContohSoal 1.3

    2. Kesebangunan pada SegitigaBerbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

    2 cm

    4 cm

    3 cm

    5 cm

    6 cm

    10 cm8 cm

    3 cm (a)

    2,5 cm 37,5 cm

    2 cm 3 cm

    2 cm

    3 cm4,5 cm

    3 cm

    75

    2525

    75

    (a) (b)

    60

    60

    60 60

    60

    60 90 90

    4040

    50 50(a) (b)

    (b)

    Thales adalah seorang ahli

    mempelajari matematika,

    ilmu pengetahuan lain. Dalam matematika, ia terkenal dengan caranya mengukur tinggi piramida di Mesir dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga.

    Sumber: Matematika, Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-anak,

    1979.

    Thales624 SM546 SM

    SekilasMatematika

    1

    1

    1

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 5

    Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

    Jawab:Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yangdiapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi.a. Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, yaitu 50.b. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut.

    Untuk segitiga (a) dan (b).3

    10= 0,3 dan 6

    13= 0,46

    Untuk segitiga (a) dan (c).35

    610

    0 6= = ,

    Untuk segitiga (b) dan (c).105

    21310

    1 3= = ,dan

    Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)

    5050

    6

    3

    13

    1050

    510

    bb

    ContohSoal 1.4

    Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki 2 sisi bersesuaian yang samapanjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisiyang belum diketahui. Apakah sisi-sisi tersebut memiliki perbandingan yangsama dengan sisi-sisi yang lainnya? Kemudian, ukur pula sudut-sudut yangbersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar?

    Ketiga syarat kesebangunan pada segitiga dapat digunakan untuk mencaripanjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitigayang sebangun.

    Jika kamu mengerjakan kegiatan tersebut dengan benar, akan diperolehkesimpulan bahwa untuk memeriksa kesebangunan pada segitiga, cukup lakukantes pada kedua segitiga tersebut sesuai dengan unsur-unsur yang diketahui.

    Unsur-Unsur yang DiketahuiPada Segitiga

    Syarat Kesebangunan

    (i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

    (ii) Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd)

    (iii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

    Perbandingan sisi-sisi yangbersesuaian sama.Sudut-sudut yang bersesuaian samabesar.Dua sisi yang bersesuaian memilikiperbandingan yang sama dan sudutbersesuaian yang diapit sama besar.

    (a) (c)(b)

    Dari gambar berikut, ada berapa buah segitiga yangsebangun? Sebutkan dan jelaskan jawabanmu.

    D E

    C

    A BF

    Problematika

    Tabel 1.1 Syarat kesebangunan pada segitiga

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX6

    Gambar berikut menunjukkan ABC dengan DE sejajar BC. Jika panjang AD = 8 cm, BD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan panjang BC.

    Jawab:Oleh karena ABC sebangun dengan ADE,

    ADAD DB

    DEBC BC+

    =

    += maka

    88 2

    4

    810

    4=

    BC

    BC = X =4 108

    5

    Jadi, panjang BC adalah 5 cm

    A

    C

    BD

    E

    b ik

    ContohSoal 1.6

    ContohSoal 1.5

    Perhatikan gambar berikut.

    Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR.Jawab:PQ = 3 KL = 21 cmQR = 3 LM = 30 cmPR = 3 MK = 3 6 = 18Jadi, panjang PR adalah 18 cm

    P

    R

    Q

    30 cm

    21 cm K

    M

    L

    10 cm 6 cm

    7 cm

    Perhatikan gambar berikut.

    Panjang QT adalah ....a. 4 cmb. 5 cmc. 6 cmd. 8 cmJawab:QST sebangun dengan QRP.

    SSTTRP

    QQTTQP

    QTQT

    =

    =+

    812 3

    8(QT + 3) = 12QT8 QT + 24 = 12 QT4QT = 24QT = 6Jadi, panjang QT adalah 6 cm.

    Jawaban: cSoal UN, 2007

    R

    S

    QT

    8 cm12 cm

    3 cmP

    Sebuah tongkat yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut.Jawab :Misalkan, DE = tinggi tongkat

    BD = bayangan tongkatAB = bayangan tiang benderaAC = tinggi tiang bendera

    k

    ContohSoal 1.7

    C

    E

    BDA

    ?

    1,5 m

    2,5 m

    1 m

    SolusiMatematika

    R

    S

    QT

    8 cm12 cm

    3 cmP

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 7

    BDAB

    DEAC AC

    = = ,

    ,maka 12 5

    1 5

    , ,AC = 2 5 1 51

    ,= 3 75Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m

    5. Tentukan nilai x dan y pada pasangan bangun-bangun yang sebangun berikut.

    a.

    b.

    6. Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

    Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Manakah di antara bangun-bangun berikut yang

    pasti sebangun? a. Dua jajargenjang b. Dua trapesium c. Dua persegi d. Dua lingkaran e. Dua persegipanjang

    2. Perhatikan gambar berikut.

    Sebangunkah persegipanjang ABCD dan persegi-panjang EFGH? Jelaskan jawabanmu.

    3. Gambar-gambar berikut merupakan dua bangun yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y.

    a.

    b .

    4. Deni membuat sebuah jajargenjang seperti gambar berikut.

    Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dibuat Deni.

    10

    42

    x

    10

    5

    4

    10

    20

    y

    10

    635

    Uji Kompetensi 1.1

    D

    A

    CH

    E

    G

    F15

    6

    2

    5

    B

    E

    HF

    G

    70

    x

    70A C

    D

    B

    70

    65

    S R

    QP

    103

    S R

    QPx

    y

    15

    9

    5 12

    6330 30 30

    (a) (b) (c)

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX8

    B. Kekongruenan Bangun Datar1. Kekongruenan Bangun DatarPernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu? Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut benda-benda yang kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda lain di sekitarmu yang kongruen.

    Perhatikan Gambar 1.3

    Gambar 1.3: Dua bangun kongruen

    A

    D

    B

    C P

    Q

    S

    R

    Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

    Kongruen disebut juga sama dan sebangun, dilambangkan dengan .

    KongrueKongru

    Plus+

    Gambar 1.3 menunjukkan dua bangun datar, yaitu layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu AB = QR = AD = RS dan BC = PQ = CD = SP. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut juga sama besar, yaitu A = R, C = P, B = Q, dan

    D = S. Oleh karena itu, layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS kongruen, ditulis layang-layang ABCD layang-layang PQRS.

    C

    D

    A B

    E

    Pada gambar di samping, DE // AB. Jika AB = 12 cm, DE = 8 cm, dan DC = 10 cm, tentukan panjang AC.

    8. Buktikan bahwa DEF sebangun dengan GHF.

    D E

    7

    5

    12

    4F

    G HDEB

    A

    12 m

    aliran sungai

    9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai bayangan 1,5 m. Jika pada saat yang sama, sebuah pohon mempunyai bayangan 30 m, tentukan tinggi pohon tersebut.

    10. Seorang pemuda menghitung lebar sungai dengan menancapkan tongkat di titik B, C, D, dan E (seperti pada gambar) sehingga DCA terletak pada satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut.

    Gambar 1.2Sumber: Dokumentasi Penulis

    7.

    1 1

    1 1 1 1 1 1

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 9

    Perhatikan gambar berikut.

    Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen.Jawab :a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan trapesium PQRS

    sama besar, yaitu AB = PQ, BC = QR, CD = RS, dan AD = PS.b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besar, yaitu

    A = P = E = Q dan C = R = D = S.Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD trapesium PQRS.

    Perhatikan gambar berikut.

    ContohSoal 1.9

    ContohSoal 1.8

    A

    E

    H

    D C

    G

    F

    B

    Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada bangun tersebut.

    Jawab : Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya. Pada balok ABCD. EFGH, sisi-sisi yang kongruen adalah

    sisi ABCD sisi EFGHsisi ABFE sisi CDHGsisi BCGF sisi ADHE

    Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

    Tentukan besar E.

    120

    45

    x60

    A

    D

    C H

    G

    E

    F

    B

    k d b

    ContohSoal 1.10

    Manakah pernyataan yang benar?a. Bangun-bangun yang sebangun pasti kongruen.b. Bangun-bangun yang kongruen pasti sebangun. Jelaskan jawabanmu.

    Tugas

    D R

    S

    Q

    P

    A

    C

    B

    1 1 1 1 1 1 1 1

    1

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX10

    2. Kekongruenan SegitigaPada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan pada bangun segitiga. Untuk menunjukkan apakah dua segitiga kongruen atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, bandingkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perhatikan tabel syarat kekongruenan dua segitiga berikut.

    Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga

    Syarat Kekongruenan

    (i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

    (ii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

    (iii) Sudut-sisi-sudut (sd.s.sd) atau

    Sudut-sudut-sisi (sd.sd.s)

    Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

    Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebutsama besar.

    Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.

    Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisi STU. Jika SO tegak lurus TU dan panjang sisi-sisinya 3 cm, buktikan bahwa STO SUO.

    U

    O

    T

    S

    Jawab :Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar.

    A = F = 45C = H = 60D = G = 120B = E = ?

    Jumlah sudut pada bangun datar ABCD = jumlah sudut pada bangun datar EFGH = 360.

    E = 360 ( F + G + H ) = 360 (45+120+ 60 ) = 360 225 = 35Jadi, E = 35

    ContohSoal 1.11

    www.deking. wordpress.comwww.gemari.or.id

    Situs Matematika

    Tabel 1.2 Syarat kekongruenan pada segitiga

    1

    1 1

    1 1

    1 1

    1 1

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 11

    Perhatikan dua segitiga yang kongruen berikut.

    Tentukan nilai w, x, y, dan z.Jawab: Oleh karena ABC @ PQR, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu 1A = Q = z = 35

    C = R = w = 65B = P = x = y = 180 (35 + 65)

    = 180 100 = 80Jadi, w = 65, x = y = 80, dan z = 35.

    35 z

    w 65

    x y

    A

    C R

    P

    Q

    B

    ContohSoal 1.12

    Jawab: STO merupakan segitiga samasisi sehingga ST = TU = US = 3 cm dan STU = TUS = UST = 60. SO tegak lurus TU maka SOT = SOU = 90 dan TO = OU sehingga OST = 180 ( STO + TOS) = 180 (60+ 90) = 30 USO = 180 ( SOU + OUS) = 180 (90 + 60) = 30Oleh karena (i) T = U = 60 (ii) ST = US = 3 cm (iii) OST = USO = 30terbukti bahwa STO SUO

    Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Dari gambar-gambar berikut, manakah yang

    kongruen?D

    A B

    C

    x

    40

    75

    C

    A

    5 cm

    12 cm B

    F

    D

    13 cm5 cm

    E

    Uji Kompetensi 1.2

    C

    AB

    DE

    G

    I

    H

    4 cm

    4 cm

    4 cm

    13 cm13 cm

    13 cm13 cm

    4 cm4 cm

    L

    K

    N

    Q

    RP

    M

    O

    J

    F

    75 65

    40

    4 cm

    2.

    Pada gambar di atas, tentukan nilai x.

    3. Perhatikan gambar berikut.

    Buktikan bahwa ABCDEF.

    Diketahui segitiga ABC dengan siku-siku di B; kongruen dengan segitiga PQR dengan siku-siku di P.Jika panjang BC = 8 cm dan QR = 10 cm maka luas segitiga PQR adalah ....a. 24 cm

    c. 48 cm

    b. 40 cm

    d.

    80 cmJawab:

    Oleh karena ABC @ PQR maka BC = PR = 8 cm.Menurut Teorema Pythagoras,

    PQ QR PR=

    = 10 8

    = 100 64 = 36 = 6

    2 2

    2 2

    Luas12

    =12

    PQR PR PQ RR

    8 6 = 24

    Jadi, luas PQR adalah 24 cm2.Jawaban: aSoal UN, 2007

    A

    B C8 cmQ

    P R

    10 cm

    SolusiMatematika

    1

    11

    1 1

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX12

    Dua atau lebih bangun dikatakan sebangunjika memenuhi syarat-syarat berikut.- Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada

    bangun-bangun tersebut mempunyai per-bandingan yang senilai.

    - Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar.

    Syarat kesebangunan pada dua atau lebihsegitiga adalah- perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

    senilai (s.s.s),- sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

    (sd.sd.sd), atau- dua sisi yang bersesuaian memiliki per-

    bandingan yang sama dan sudut yangdiapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

    Rangkuman

    4.

    Jika PSR = 140dan SPR = 30 , tentukan besar PRQ.

    P

    Q

    R S

    T

    14060

    P

    S

    Q

    R140

    5. Perhatikan gambar berikut.

    Pada gambar tersebut, panjang PR = (5x + 3) cm dan PS = (2x + 21) cm. Tentukan panjang PS.

    Dua atau lebih bangun dikatakan kongruenjika memenuhi syarat-syarat berikut.- Bentuk dan ukurannya sama.- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

    Syarat kekongruenan dua atau lebih segitigaadalah- sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,- dua sisi yang bersesuaian sama panjang

    dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar , atau

    - dua sudut yang bersesuaian sama besar dansatu sisi yang bersesuaian sama panjang.

    Setelah mempelajari bab Kesebangunan dan Kekongruenan ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa?Pada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik?Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini?

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 13

    Peta Konsep

    Kesebangunan dan

    Kekongruenan Bangun Datar

    Kesebangunan

    Bangun Datar

    Bangun Datar

    Segitiga

    Segitiga

    Perbandingan sisi-sisi tyang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilaiSudut-t sudut yang bersesuaian sama besar

    Perbandingan sisi-sisi yang tbersesuaian senilai (s.s.s)Sudut-t sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)Dua sisi yang bersesuaian tmemiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (s.sd.s)

    Bentuk dan ukurannya samatSudut-t sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

    Sisi-sisi yang bersesuaian sama tpanjang (s.s.s)Dua sisi yang bersesuaian sama tpanjang dan satu sudut yang diapit sama besar (s.sd.s)Dua t sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s)

    Kekongruenan

    meliputi

    untuk

    untuk

    syarat

    syarat

    syarat

    syarat

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX14

    A. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. Berikut adalah syarat kesebangunan pada bangun

    datar, kecuali ....a. perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya

    senilaib. sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besarc. sudut-sudut yang bersesuaiannya memiliki

    perbandingan yang senilaid. pernyataan (a) dan (b)

    2. Perhatikan gambar dua trapesium yang sebangun berikut.

    Nilai n yang memenuhi adalah ....a. 12 b. 14 c. 16 d. 18

    3. Ukuran persegipanjang yang sebangun dengan persegipanjang berukuran 4 cm 12 cm adalah ....

    a. 4 cm 2 cmb. 18 cm 6 cmc. 8 cm 3 cmd. 20 cm 5 cm

    4. Bangun-bangun di bawah ini pasti sebangun, kecuali ....a. dua persegib. dua persegipanjangc. dua lingkarand. dua segitiga samasisi

    5. Perhatikan gambar berikut.

    Jika ABC dan DEF sebangun, per nyataan yang benar adalah ....a. AC = DFb. AB : DE = BC : EF

    c. AB AC = FD EDd. AC : AB = DE : DF

    6. Pernyataan yang benar mengenai gambar berikut adalah ....

    a. e

    fa b

    b=

    +

    b. ef

    d cd

    =

    +

    c. e

    fba

    =

    d. efc

    d=

    7. Perhatikan gambar berikut.

    Nilai x sama dengan .... a. 6,7 cmb. 5,0 cmc. 4,1 cmd. 3,8 cm

    8. Diketahui PQR dengan ST sejajar PQ, PS = 6 cm, ST = 10 cm, dan RP = 15 cm. Panjang BS adalah ... cm.

    a. 9 cm b. 10 cm c. 12 cm d. 15 cm

    9. Jika DEF kongruen dengan KLM, pernyataan yang benar adalah ....a. D = L b. E = Kc. DF = LMd. DE = KL

    B E

    A D C F

    e

    a

    d

    f c

    b

    10 cm6 cm

    9 cmx

    6 9

    12A B 16

    8n

    CDH

    E F

    G

    Uji Kompetensi Bab 1

  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar 15

    10. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah ....a. jika sudut-sudut dua segitiga sama besar, sisi-

    sisi yang bersesuaian sama panjangb. jika sisi-sisi dua segitiga sama panjang sudut-

    sudut, kedua segitiga itu sama besarc. jika dua segitiga sebangun, kedua segitiga itu

    kongruend. jika dua segitiga sebangun, sisi-sisinya sama

    panjang11. Perhatikan gambar berikut.

    Pasangan segitiga yang kongruen adalah ....a. DAB dan CADb. CDA dan CBAc. ABC dan ADCd. BAD dan CAD

    12. Perhatikan gambar berikut.

    Nilai x + y = .... a. 260 b. 130 c. 50 d. 25

    13. Pada gambar berikut, PQR @ STU.

    Pernyataan yang benar adalah ....a. S = 50 b. T = 70 c. S = 60 d. U = 60

    A

    C

    B

    D

    14.

    Pada gambar di atas, besar RSP adalah ....a. 45 b. 40 c. 35 d. 30

    15. Perhatikan gambar berikut.

    Jika panjang AB = (6x 31) cm, CD = (3x 1) cm, dan BC = (2x + 3) cm, panjang AD = ....a. 29 cm b. 26 cm c. 23 cm d. 20 cm

    B. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Buatlah tiga pasang bangun datar yang sebangun.

    Kemudian, berikan alasan jawabannya.2. Perhatikan gambar berikut.

    Tunjukkan bahwa ABC sebangun dengan CDE.

    70

    R U

    SP Q T50

    R

    S

    P

    Q

    100

    45

    D

    A

    C

    B

    D

    A Bx

    C S50

    50

    R

    QP

    y

    A B

    C

    ED

  • Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX16

    3. Pada gambar berikut, tentukan panjang PQ. 4. Jelaskan cara menguji kekongruenan dua segitiga dengan kata-katamu sendiri.

    5. Perhatikan gambar berikut.

    Tentukan nilai x, y, dan z.

    85

    x

    z

    y

    R

    QP

    T

    S

    8 cm

    10 cm

    12 cm

  • vii

    PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU

    A. Deskripsi Umum

    Matematika SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi kelas XII terdiri atas 3 standar kompetensi, yaitu:

    1. Standar kompetensi Teori Peluang 2. Standar kompetensi Statistika 3. Standar kompetensi Matematika Keuangan

    Setelah mempelajari buku ini, kompetensi yang diharapkan adalah peserta didik dapat menerapkan konsep Teori Peluang, Konsep Statistika, dan Matematika Keuangan dalam menunjang program keahlian, yaitu program keahlian pada kelompok Penjualan dan Akuntansi.

    Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan buku ini menggunakan pendekatan siswa aktif melalui metode: Pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah serta presentasi. Guru merancang pembelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun bersama-sama.

    B. Prasyarat Umum

    Dalam mempelajari buku ini, setiap standar kompetensi yang satu dengan standar kompetensi yang lain saling berkaitan dan anda boleh mempelajari kompetensi ini tidak harus berurutan sesuai dengan daftar isi. Jadi untuk dapat mempelajari kompetensi berikutnya harus menguasai secara mendasar kompetensi sebelumnya. Standar kompetensi yang paling mendasar dan harus benar-benar dikuasai adalah standar kompetensi sistem bilangan real.

    C. Petunjuk Penggunaan Buku

    1. Penjelasan Bagi Peserta Didik a. Bacalah buku ini secara berurutan dari kata pengantar sampai cek kemampuan,

    lalu pahami benar isi dari setiap babnya. b. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam buku ini agar kompetensi anda

    berkembang sesuai standar. c. Buatlah rencana belajar anda dalam mempelajari buku ini, dan konsultasikan

    rencana anda dengan guru. d. Lakukan kegiatan belajar untuk memdapatkan kompetensi sesuai dengan rencana

    kegiatan belajar yang telah anda susun.

  • viiie. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai

    pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan guru ataupun tugas di rumah.

    f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan, anda jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum anda menyelesaikannya.

    g. Diakhir kompetensi, selesaikan Uji Kemampuan untuk menghadapi tes evaluasi yang diberikan oleh guru.

    2. Peranan Guru a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam

    tahap belajar. c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan

    mengenai proses belajar peserta didik. d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain

    yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian. g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan

    merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya. h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan evaluasi.

    Pemberian evaluasi kepada siswa diharapkan diambil dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia.

    D. Cek Kemampuan

    Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi. Rumus :

    Jumlah jawaban yang benar Tingkat Penguasaan = ______________________ ___________ x 100 % Jumlah soal

    Arti tingkat penguasaan yang anda capai : 90% - 100% = baik sekali 76% - 89% = baik 60% - 75% = sedang

    < 60% = kurang Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat meneruskan dengan kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika nilai anda di bawah 60%, anda harus mengulangi

    ateri tersebut terutama yang belum dikuasai. m

  • Sumber: Art and Gallery

    Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

    1. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang

    9. 1 Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

    9. 2 Menghitung peluang suatu kejadian

  • 2 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    A. PENDAHULUAN

    Standar Kompetensi Teori Peluang terdiri dari dua (2) Kompetensi Dasar. Pada penyajian dalam buku ini, setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi, dan Peluang Suatu KejadianStandar Kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah peluang suatu kejadian pada kehidupan sehari-hari dalam rangka untuk menunjang program keahliannya.

    Sebelum mempelajari kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real.

    Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soal-soal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut.

    Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah.

    Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.

    B. KOMPETENSI DASAR

    B.1. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

    a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

    Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan,

    permutasi, dan kombinasi Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan

    kombinasi

    b. Uraian Materi

    Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan-

  • 3BAB I Peluang

    permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan.

    Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain.

    1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots)

    Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas : a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),b. Permutasi, dan c. Kombinasi.

    2). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)

    Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : K = k1 x k2 x . . . x kn

    K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian. Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan

    Contoh 1 Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?

    Jawab:Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini:

    Dengan tabel silang

    Warna baju

    Warna celana Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u)

    Hitam (h) ( h, k ) ( h, m ) ( h, p ) ( h, u )

    Biru (b) ( b, k ) ( b, m ) ( b, p ) ( b, u )

  • 4 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    Dengan Diagram Pohon

    Warna celana

    Hitam (h)

    Biru (b)

    Warna baju

    Kuning (k)

    Merah (m)

    Putih (p)

    Ungu (u)

    Kuning (k)

    Merah (m)

    Putih (p)

    Ungu (u)

    ( h, k )

    ( h, m )

    ( h, p )

    ( h, u )

    ( b, k )

    ( b, m )

    ( b, p )

    ( b, u )

    Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u),

    Dengan Pasangan Terurut

    Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna.

    Contoh 2 Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?

    Jawab:Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh.

    Contoh 3 Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?

    Jawab:Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3 angka, yaitu 2, 3,

  • 5BAB I Peluang

    dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

    Contoh 4 Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

    a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk? b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk? c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk? d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?

    Jawab:a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan

    terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka.

    b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih

    angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka.

    c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih

    angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.

    d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih

    angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7.

    Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih

    angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7.

    Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka

    3.

  • 6 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7.

    Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) = 240 angka.

    3). Pengertian dan Notasi Faktorial

    n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : n faktorial)

    n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n 2) . (n 1) . n

    Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0!

    Jawab:Dari definisi faktorial : n ! = 1 . 2 . 3 .. (n 2) . (n 1) . n . . . 1), (n 1) ! = 1 . 2 . 3 .. (n 2) . (n 1) . . . 2).

    Jika persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh:

    n ! = (n 1) ! . n atau n = !)1n(

    !n

    . Jika n = 1 maka akan diperoleh kesamaan:

    1 = !)11(

    !1

    atau 1 = !0!1, Jadi, 0! = 1! = 1

    Contoh 6 Hitunglah nilai dari:

    a. 5! b. !4!7 c .

    !4.!6!10

    Jawab:a. 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

    b.!4!7 =

    4.3.2.17.6.5.4.3.2.1

    = 5 . 6 . 7 = 210.

    c.!4.!6

    !10 =

    4.3.2.1.!610.9.8.7.!6

    = 210.

    Contoh 7 Tulislah dengan notasi faktorial:

    a. 12.11.10.9

    1 b. n.(n 1).(n 2) (n 8) c.

    4321)3n).(2n).(1n.(n

    Jawab:

    a. 12.11.10.9

    1=

    12.11.10.9.8...3.2.18...3.2.1

    =!12!8

    b. n.(n 1).(n 2) (n 8) = 12..9)...3 (n1.2.9)...3 (n 8). (n 2) (n . )1n.( n

    =!9) (n

    !n

  • 7BAB I Peluang

    c.4321

    )3n).(2n).(1n.(n

    =

    1.2.3)...5n).(4n.(43211.2.3)...5n).(4n).(3n).(2n).(1n.(n

    =

    !4) !.(n4!n

    Contoh 8

    Sederhanakanlah bentuk : )!1n()!1n(

    +

    , untuk n 1

    Jawab:

    )!1n()!1n(

    +

    =)!1n(

    )!1n.(n).1n(

    + = (n + 1) . n = n2 + n

    Contoh 9

    Hitunglah n dari: )!3n()!1n(

    = 30.

    Jawab:

    )!3n()!1n(

    = 30

    )!3n()!3n).(2n).(1n(

    = 30

    (n 1).(n 2) = 30 n2 3n + 2 30 = 0 n2 3n 28 = 0 (n 7)(n + 4) = 0 n = 7 atau n = -4 (tidak memenuhi)

    1. Dalam suatu penelitian akan ditanam 4 jenis padi (p1, p2, p3, p4) pada 5 petak sawah yang berbeda (s1, s2, s3, s4, s5)a. Buatlah diagram pohon dan tabel silang pada penelitian itu! b. Berapa macam cara penanaman 4 jenis padi di 5 petak sawah yang berbeda?

    2. Dari kota A ke Kota B ada 5 jalan yang dapat dilalui. Dari Kota B ke Kota C ada 7 jalan yang dapat dilalui. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi: a. Dari Kota A ke C melalui B? b. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B? c. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B tetapi jalan yang

    ditempuh pada waktu kembali tidak boleh sama dengan jalan yang dilalui ketika berangkat?

    3. Berapa banyak lambang bilangan dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6: a. Jika bilangan tersebut terdiri dari 3 angka dan ada angka yang sama? b. Jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka yang berlainan dan genap?

  • 8 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    4. Berapa banyak pasang pakaian yang dapat dipakai seorang siswa apabila ia mempunyai 6 celana dan 8 kemeja?

    5. Dari angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan itu kurang dari 5000 dan tanpa pengulangan?

    6. Pengurus suatu organisasi terdiri dari 4 orang, yaitu seorang ketua, seorang sekretaris, seorang bendahara, dan seorang pembantu umum. Untuk jabatan ketua ada 5 calon, untuk sekretaris ada 7 calon, untuk bendahara ada 4 calon, dan untuk pembantu umum ada 3 calon. Jika dalam susunan pengurus itu tidak boleh seorang pun yang dicalonkan pada 2 jabatan atau lebih. Dengan berapa cara susunan pengurus itu dapat dibentuk?

    7. Untuk mengikuti lomba KEMAMPUAN MIPA di tingkat Kabupaten, akan dipilih wakil untuk pelajaran matematika, fisika, kimia, dan biologi. Masing-masing untuk 1 pelajaran ditempatkan seorang wakil. Bila untuk matematika tersedia 8 calon, Fisika 5 calon, Kimia 6 calon, dan Biologi 4 calon. Ada berapa cara pemilihan pasangan dapat dilakukan?

    8. Berapa banyaknya huruf dapat dibentuk dari kata SHOLAT, apabila : a. Huruf terakhir adalah konsonan? b. Huruf terakhir adalah huruf A?

    9. Berapakah banyaknya bilangan antara 500 dan 900 yang dapat disusun dari angka 2, 3, 4, 5, dan 6, jika pada penyusunan bilangan itu tidak boleh ada pengulangan angka?

    10. Delapan orang terdiri atas 2 pria dan 6 wanita. Mereka mendapatkan 8 kursi sebaris ketika menonton pertunjukan. Jika pria harus menempati di ujung-ujung kursi, ada berapa cara mereka duduk?

    11. Dari kotak A, B, dan C berturut turut berisi 5 bola merah, 6 bola kuning, dan 4 bola hijau. Seorang mengambil sebuah bola dari masing masing kotak sehingga mendapat 3 bola yang berlainan warna. Berapa cara agar mendapatkan 3 bola yang berlainan warna tersebut?

    12. Seorang karyawan dalam bertugas setiap harinya melewati 4 gedung. Dari gedung 1 ke gedung 2 ada 5 jalan, dari gedung 2 ke gedung 4 ada 6 jalan, dari gedung 1 ke gedung 3 ada 5 jalan, dari gedung 3 ke gedung 4 ada 2 jalan, namun dari gedung 2 ke gedung 3 tidak ada jalan. Setelah sampai dari gedung 4 orang tersebut kembali ke gedung 1 melalui gedung 3 atau gedung 2. Ada berapa cara orang tersebut untuk keluar dari gedung tempat dia bekerja? a. Jika waktu pulang boleh melalui jalan yang sama. b. Ketika pulang tidak boleh melalui jalan yang sudah dilewati.

    13. Dari angka-angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 9 akan disusun suatu bilangan puluhan ribu. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan tersebut: a. Merupakan bilangan yang habis dibagi 10 dan angka tidak berulang? b. Merupakan bilangan genap dan kurang dari 60.000?

  • 9BAB I Peluang

    14. Nyatakan dengan notasi faktorial:

    a. 10 . 9 . 8 c. 4.3.2.1

    6.7.8

    b. p.(p 1).(p 2).(p 3) d. (k+2).(k + 1).k.(k 1).(k 2)

    15. Seseorang akan pergi dari kota A ke kota F seperti gambar di bawah ini:

    Ada berapa jalan yang mungkin di lalui dari kota A ke kota F tersebut?

    16. Hitunglah:

    a. 7! d.!2!.15

    !17 g.

    )!320(!20

    b. 10! e.!3!.2!5!.4 h.

    !98!100

    c.!5!8

    f.!2!.2!5.!4.!3 i.

    )!210(!10

    17. Sederhanakan:

    a.)!3n()!1n(

    +

    c. )!2n()!1n(

    +

    b.)!2n()!1n(

    +

    =)!1n()!3n(3

    +

    d. )!4n()!2n(

    =!3!5

    18. Hitunglah n dari:

    a.!n

    !)2n( + = 42 d.

    !)1n!.(2!)1n(

    +

    = !)2n(

    !n

    b.!)2n(

    !n

    = !)3n(!)1n.(2

    ; n 3 e. !)2n(

    !n= 6

  • 10 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    4). Pengertian Permutasi

    a). Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

    Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun : a. Satu huruf, maka diperoleh susunan huruf A, B, C, dan D.

    Jumlahnya susunan ada 4 kemungkinan = 1.2.31.2.3.4

    = !3!4 =

    !)14(!4

    b. Dua huruf yang berbeda, maka diperoleh susunan: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC,

    CB, BD, DB, CD, dan DC. Jumlah susunan ada 12 = 4.3 =1.21.2.3.4

    =!2!4=

    !)24(!4

    c. Tiga huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu huruf pertama dapat ditempati 4 huruf yang tersedia, huruf kedua dapat ditempati 3 huruf sisa yang tersedia, dan huruf ketiga dapat ditempati dua 2 huruf sisa yang

    tersedia. Jumlah susunan ada 24 = 4 . 3 . 2 = !1!4=

    !)34(!4

    d. Empat huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian

    diperoleh jumlah susunan sebanyak 24 = 4 . 3 . 2 . 1 = !)44(

    !4!0!4

    =

    Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek yang berbeda dengan k < n diperoleh jumlah susunan:

    n.(n 1).(n 2) . . . (n k + 1) =

    1.2.3...)1kn).(kn(1.2.3...)1kn).(kn).(1kn(...)2n).(1n.(n

    + =

    !)kn(!n

    Susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k < n sering di dipopulerkan dengan istilah Permutasi k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia.Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis n Pk, atau dapat dirumuskan : nkP

    )!kn(

    !nPkn =

    Contoh 9 Berapa banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E.

    Jawab: Sebagai huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dari 5 huruf yang tersedia,

    yaitu A, B, C, D, atau E. Misalkan terpilih huruf A. Setelah huruf pertama dipilih, ada 4 huruf untuk memilih huruf ke dua, yaitu B, C,

    D, dan E. Berdasarkan kaidah perkalian, banyak susunan seluruhnya adalah = 5 x 4 = 20.

    Dengan menggunakan permutasi, berarti permutasi 2 objek dari 5 objek yang tersedia:

    )!25(

    !5P25

    = =1.2.31.2.3.4.5

    = 5 . 4 = 20.

  • 11BAB I Peluang

    Contoh 10 Berapa banyak susunan yang terdiri atas 4 huruf yang di ambil dari huruf-huruf T, O, S, E, R, B, dan A?

    Jawab:Banyaknya susunan huruf-huruf itu adalah permutasi 4 huruf berbeda yang diambil dari 7 huruf yang tersedia adalah:

    )!47(

    !7P47

    = =1.2.31.2.3.4.5.6.7

    = 7 . 6 . 5 . 4 = 840.

    Contoh 11 Hitunglah nilai dari 6 P 6!

    Jawab:

    !0!6

    )!66(!6

    P66 == = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.

    b). Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama

    Banyaknya permutasi n P n di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama, dan seterusnya adalah P, maka nilai P:

    ...!b.!a!nP =

    Contoh 12 Carilah banyak permutasi berikut ini: a. 5 objek yang memuat 3 objek yang sama b. 10 objek memuat 2 objek yang sama, 4 objek lainnya sama dan 3 objek lainnya

    lagi sama.

    Jawab:

    a.!3!5

    P = =3.2.1

    5.4.3.2.1 = 20.

    b.!3!.4.!2

    !10P = =

    3.2.1!.4.2.110.9.8.7.6.5!.4 = 12.600.

    Contoh 13 Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dibentuk dari huruf-huruf MATEMATIKA ?

    Jawab:Pada kata MATEMATIKA terdapat 10 huruf dengan 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T. Jika banyak susunan yang diminta adalah P, maka:

    !2.!3.!2

    !10P = =2.1.2.1.!3

    10.9.8.7.6.5.4.!3 = 151.200.

  • 12 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    Contoh 14 Dari 10 kelereng, 5 berwarna merah, 3 berwarna hitam dan 2 berwarna putih. Berapa banyak cara untuk menyusun kelereng tersebut berdampingan?

    Jawab:

    !2!.3.!5!10

    P = =2.1.3.2.1!.510.9.8.7.6!.5 = 2.520.

    c). Permutasi Siklik

    Jika ada 2 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 1 = (2 1)!, yaitu:

    Jika ada 3 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 2 = (3 1)!, yaitu:

    Jika ada 4 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 6 = (4 1)!, yaitu:

    Dari ilustrasi di atas, maka: Jika ada n objek duduk melingkar, maka banyak susunan yang terjadi ada (n 1)!

    Sehingga diperoleh definisi: Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik, maka banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau P siklik) adalah:

    P siklik = (n 1)!

    Contoh 15 Dari 8 peserta konferensi akan menempati kursi pada meja bundar, berapa macam susunan posisi duduk yang dapat terjadi?

    Jawab: Banyak objek n = 8, maka banyak permutasi sikliknya: P siklik = (8 1)! = 7! = 5.040.

    Contoh 16 Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Hanif, Nisa, dan Azzam ada di dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika: a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk b. Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh ketiganya duduk berdampingan

  • 13BAB I Peluang

    Jawab:a. Jika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih, maka banyak susunan

    siklik = (8 1)! = 5.040. b. Jika Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan, maka mereka bertiga

    dianggap satu objek dalam susunan siklik. Jumlah objek dalam susunan siklik tinggal 6 objek, maka banyak susunan siklik = (6 1)! = 120. Namun Hanif, Nisa, dan Azzam dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.

    Jadi, susunan siklik dimana Hanif, Nisa, dan Azzam duduk berdampingan adalah = 120 x 6 = 720.

    c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = 5.040 720 = 4.320.

    5). Pengertian Kombinasi

    Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun:

    a. Satu huruf, maka diperoleh huruf A, B, C, dan D. Jumlahnya ada 4 = !1!.)14(

    !4

    b. Dua huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB, dan CD = DC. Jumlah susunan ada 6

    =!2!.)24(

    !4

    c. Tiga huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: ABC, ABD,

    BCD, dan ACD. Jumlah susunan ada 4 = !3!.)34(

    !4

    d. Empat huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan hanya 1,

    yaitu ABCD, 1 =!4!.)44(

    !4

    Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek dengan

    urutan tidak diperhatikan, dan k < n diperoleh jumlah susunan =!k!.)kn(

    !n

    .

    Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k < n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia.

    Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis n C k, atau dan dapat di rumuskan:

    nkC

    !k)!.kn(

    !nC kn =

  • 14 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    Contoh 17 Tentukanlah nilai kombinasi di bawah ini:

    a. 4 C 2 b. 12 C 7 c. 212

    2725

    CC.C

    Jawab:

    a. 4 C 2 =!2)!.24(

    !4

    = 2.1.2.14.3.2.1

    = 6 .

    b. 12 C 7 =5.4.3.2.1!.712.11.10.9.8!.7

    !7!.5!12

    !7)!.712(!12

    ==

    = 792.

    c.412

    2725

    CC.C

    =3314

    495210

    4.3.2.112.11.10.9

    2.1.2.17.6.5.4

    4.3.2.1!.812.11.10.9!.8

    2.1!.5.2.1!.37.6!.5.5.4.!3

    !4!.8!12

    !2!.5!7

    .!2!.3

    !5

    ==== .

    Contoh 18 Carilah nilai n dari persamaan (n + 1) C 3 = 4 . n C 2

    Jawab: (n + 1) C 3 = 4 . n C 2

    !2.!)2n(!n

    .4!3)!.31n(

    !)1n(

    =++

    2!n.4

    6!n.)1n(=

    +

    !2.!)2n(!n.4

    6)!.2n(!)1n(

    =

    +

    26

    )1n(=

    +

    2

    !n.46

    !)1n(=

    + n + 1 = 12 n = 11.

    Catatan: Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal verbal:

    Soal verbal diselesaikan dengan permutasi, jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status.

    Soal verbal diselesaikan dengan kombinasi, jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status.

    Contoh 19 a. Dari 12 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 3 orang sebagai petugas ronda.

    Ada berapa susunan petugas ronda yang dapat dibentuk? b. Dari 35 siswa akan dipilih 3 siswa sebagai ketua kelas, bendahara, dan sekretaris.

    Ada berapa susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk? c. Suatu rapat dihadiri oleh 10 orang anggota. Pada kesempatan ini dipilih 3 orang

    untuk berbicara. Berapa banyak cara untuk memilih ketiga orang tersebut? d. Pada sebuah tes seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 6 dari 10 soal

    yang diberikan. Berapa jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan? e. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka 4, 5,

    6, 7, dan 8 tanpa pengulangan? f. Berapa macam susunan pengurus RT yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan

    bendahara dari 8 calon pengurus?

  • 15BAB I Peluang

    Jawab:a. Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya

    dengan menggunakan kombinasi:

    12 C 3 = 3.2.1!.912.11.10!.9

    !3!.9!12

    !3)!.312(!12 ==

    = 220.

    b. Objek memiliki status yaitu sebagai ketua, sekretaris dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi:

    35 P 3 = !3235.34.33!.32

    !32!35

    )!335(!35 ==

    = 39.270.

    c. Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi:

    10 C 3 = 3.2.1!.710.9.8!.7

    !3!.7!10

    !3)!.310(!10 ==

    = 120.

    d. Urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi:

    10 C 6 = 4.3.2.1!.610.9.8.7!.6

    !6!.4!10

    !6)!.610(!10 ==

    = 210.

    e. Urutan objek dibalik tidak sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan permutasi:

    5 P 3 =2.1

    5.4.3.2.1!2!5

    )!35(!5

    ==

    = 60.

    f. Objek memiliki status, yaitu sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi:

    8 P 3 = !5

    8.7.6!.5!5!8

    )!38(!8

    ==

    = 336.

    Contoh 20 Dari suatu kotak terdapat 20 bola dimana 8 warnanya merah, 7 warnanya putih, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, berapa banyak cara untuk mendapatkan warna: a. Dua merah dan dua putih? b. Semuanya hitam? c. Paling sedikit dua merah?

    Jawab:a. Mengambil 2 merah dari 8 merah sebanyak 8C2 cara dan mengambil 2 putih dari 7

    putih sebanyak 7C2 cara. Banyaknya cara untuk mendapatkan 2 merah, dan dua

    putih adalah : 8C2 x 7C2 = ==27.6

    x28.7

    !2!.5!7

    x!2!.6

    !8588.

    b. Mengambil 4 hitam dari 5 hitam sebanyak 5C4 cara = =!1.!4

    !55.

  • 16 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    c. Mengambil paling sedikit 2 merah memiliki beberapa kemungkinan, yaitu:

    2 merah dan 2 hitam = 8C2 x 5C2 = ==25.4

    x28.7

    !2!.3!5

    x!2!.6

    !8280.

    2 merah dan 2 putih = 8C2 x 7C2 = ==27.6

    x28.7

    !2!.5!7

    x!2!.6

    !8588.

    2 merah, 1 putih, dan 1 hitam = 8C2 x 7C1 x 5C1 = =!1!.4

    !5x

    !1!.6!7

    x!2!.6

    !8980.

    3 merah dan 1 putih = 8C3 x 7C1 = == 7x6

    8.7.6!1!.6

    !7x

    !3!.5!8

    392.

    3 merah dan 1 hitam = 8C3 x 5C1 = == 5x6

    8.7.6!1!.4

    !5x

    !3!.5!8

    290.

    4 merah = 8C4 = ==4.3.2.18.7.6.5

    !4!.4!8

    70.

    Jadi, banyaknya cara paling sedikit 2 merah adalah : = 280 + 588 + 980 + 392 + 290 + 70 = 2.600 cara.

    c. Rangkuman

    1. Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K di mana:

    K = k1 x k2 x . . . x kn

    2. n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n.

    n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n 2) . (n 1) . n

    3. Permutasi k dari n unsur:)!kn(

    !nPkn =

    4. Banyaknya permutasi n Pn di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama

    dan seterusnya adalah P, maka ...!b.!a

    !nP =

    5. Permutasi siklik atau P siklik = (n 1)!

    6. Kombinasi k dari n unsur: !k)!.kn(

    !nC kn =

    7. Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal verbal: Soal verbal diselesaikan dengan permutasi, jika urutan unsur dibalik bernilai

    berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status. Soal verbal diselesaikan dengan kombinasi, jika urutan unsur dibalik bernilai

    sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status.

  • 17BAB I Peluang

    1. Hitunglah:a. 6 P 1 d. 5 P 5 g. 15 P 2b. 5 C 4 e. 7 C 5 h. 11 C 6

    c.212

    25

    C f.

    P.4

    211

    2526

    CC.C

    i. 1820

    2020220

    CC.C

    i n jik

    pat duduk pada:

    huruf yang dapat disusun dari tiap huruf berikut ini:

    kursi, sedangkan salah seorang dari mereka harus selalu duduk di kursi tertentu?

    an. Dengan berapa cara mereka dapat duduk, jika ?

    tik yang tidak segaris

    rta, Jabar, Jateng, dan Yogyakarta. Berapa cara

    mbil 4 bola dari kotak tersebut, berapa banyak

    tu putih e. Tidak ada yang merah?

    akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang

    uduk?

    Yusuf, dan Azzam tidak boleh keempatnya duduk berdampingan?

    2. Tentukanlah nila a: a. nC3 = 20C17 c. nC5 = 2. nC2b. nP2 =2. n 1 P3 d. (n + 1) P3 = n P4

    3. Dengan berapa cara 5 orang daa. Lima kursi berdampingan b. Lima kursi yang terletak di sekeliling meja bundar?

    4. Berapa banyak susunan a. P, A, L, A, P, dan A b. M, O, N, O, T, O, dan N c. A, M, B, U, R, A, D, U, dan L?

    5. Berapa banyak cara duduk yang dapat terjadi jika 9 orang disediakan hanya 4

    6. Ada 3 orang Belanda, 4 orang Jerman, 3 orang Inggris dan 2 orang Jepang. Disediakan 12 kursi berdampingyang sebangsa berdampingan

    7. Tentukanlah berapa banyak: a. Garis lurus yang dapat dibuat dari 20 tib. Diagonal segi-10 yang dapat dibentuk c. Segitiga yang dapat di tarik dari 15 titik yang tidak segaris?

    8. Dari 12 orang Jenderal akan dipilih 4 orang sebagai Kapolda untuk ditempatkan di 4 provinsi, yaitu DKI Jakapemilihan dapat dilakukan?

    9. Dari suatu kotak terdapat 25 bola, 10 warnanya merah, 9 warnanya putih, dan sisanya berwarna hitam. Jika diacara untuk mendapatkan warna:a. Tiga merah dan sa d. Paling banyak dua hitamb. Semuanya hitam c. Paling sedikit dua putih

    10. Dari 10 anggota Karang Taruna di mana Tutik, Susan, Yusuf, dan Azzam ada didalamnya,terjadi jika: a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat db. Tutik, Susan, Yusuf, dan Azzam harus duduk berdampingan? c. Tutik, Susan,

  • 18 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    11. Suatu pertemuan diikuti oleh 10 orang peserta yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Jika dalam peserta tersebut ada Ani, Badu, dan Cecep. Tentukan banyak susunan yang terjadi: a. Jika semua peserta bebas memilih tempat dudukb. Ani dan badu duduk berdampingan c. Ani, Badu, dan Cecep duduk berdampingan

    12. Berapa banyak warna campuran yang terdiri atas 4 warna yang dapat dipilih dari 8 warna dasar yang berbeda?

    13. Dari 40 siswa suatu sekolah, ditunjuk 3 siswa untuk mengikuti penyuluhan NARKOBA di Kelurahan. Ada berapa susunan siswa yang terpilih?

    14. Dari 45 anggota DPRD akan ditunjuk 3 orang untuk mengunjungi 3 daerah bencana, yaitu Tanah longsor di Jember, Tanah longsor di Banjarnegara, dan banjir di Kendal. Ada berapa susunan utusan yang dapat dibentuk yang terjadi?

    15. Dari 100 orang peserta demo di PT X ditunjuk 5 orang sebagai wakil untuk berbicara dengan Direktur. Ada beberapa susunan yang terjadi apabila Badu, dan Dodi sebagai penggerak demo sudah pasti terpilih sebagai wakil?

    16. Dari 30 peserta kontes akan dipilih 3 kontestan sebagai juara 1, juara 2, juara 3, dan juara harapan. Ada berapa susunan yang terjadi jika: a. Ada peserta yang mengundurkan diri, dan Ani sebagai peserta kontes sudah

    pasti juara 1? b. Tidak ada peserta yang mau dijadikan juara harapan?

    17. Berapa banyak permutasi berikut ini: a. 3 unsur diambil dari 20 unsur yang tersedia? b. 4 unsur diambil dari 50 unsur yang tersedia?

    18. Carilah banyaknya kombinasi berikut ini: a. 4 unsur diambil dari 15 unsur yang tersedia? b. 3 unsur diambil dari 100 unsur yang tersedia?

    19. Dari 16 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang Ketua, Wakil ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Tentukan banyaknya cara pemilihan pengurus sebuah organisasi tersebut?

    20. Dari 10 orang anggota Karang taruna di mana Hanif, Aldi, dan Muslim ada di dalamnya akan dipilih untuk satu team bola voli. Tentukan banyaknya susunan team yang dapat dibentuk apabila: a. Semua anggota bebas untuk dipilih? b. Hanif sebagai Kapten harus dipilih? c. Hanif sebagai kapten harus dipilih dan Muslim tidak masuk untuk dipilih? d. Hanif dan Aldi harus dipilih? e. Aldi harus dipilih, Hanif dan Muslim tidak ikut untuk dipilih?

  • 19BAB I Peluang

    B.2 Peluang Suatu Kejadian

    a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

    Menjelaskan pengertian kejadian dan ruang sampel Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian Menghitung peluang suatu kejadian Menghitung peluang kejadian saling lepas Menghitung peluang kejadian saling bebas Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah program keahlian.

    b. Uraian Materi

    1). Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

    Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, hasil yang muncul dapat dituliskan dengan memakai notasi himpunan. Misalkan G dimaksudkan munculnya gambar dan A munculnya angka. Himpunan dari semua hasil di atas yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {G , A}, S disebut ruang sampel atau ruang.

    Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam, himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. S disebut ruang sampel atau ruang contoh.

    Jadi, ruang sampel adalah Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S yang disebut sebagai himpunan semesta. Anggota-anggota ruang contoh disebut titik sampel atau titik contoh. Misalnya ruang contoh S = {G, A} mempunyai 2 titik contoh, yaitu G dan A yang disebut sebagai anggota-anggota dari himpunan semesta. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S).

    Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian atau peristiwa. Misalnya, kegiatan melempar sekeping uang logam akan muncul sisi gambar (G) atau munculnya sisi angka (A). Kegiatan melempar sebuah dadu bersisi enam, akan diperoleh hasil kejadian yang mungkin muncul salah satu dari enam sisi mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

    Jadi, hasil kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan dari titik sampel atau merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Himpunan kosong atau { } dan S sendiri adalah himpunan bagian dari S, sehingga merupakan kejadian-kejadian.

    disebut kejadian yang tak mungkin (mustahil), sedangkan S disebut kejadian yang pasti.

    Contoh 21 Dua uang logam dilempar bersamaan, tentukan: a. Ruang Sampel dan banyaknya ruang sampel? b. Titik sample?

  • 20 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    Jawab:a. Ruang sampel diperlihatkan pada tabel di bawah ini:

    A G

    A (A, A) (A, G) G (G, A) (G, G)

    Jadi, ruang sampelnya adalah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} dan n(S) = 4

    b. Titik sampelnya ada 4, yaitu: (A,A), (A,G), (G,A), (G,G).

    Contoh 22 Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, jika P adalah kejadian muncul 2 angka, tentukanlah ruang sampel S, banyaknya ruang sampel, dan himpunan kejadian P.

    Jawab:S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} dan n(S) = 8 P = {AAG, AGA, GAA}

    2). Pengertian Peluang Suatu Kejadian

    Sebelum mengetahui definisi dari peluang suatu kejadian, sebaiknya diketahui dahulu pengertian frekuensi relatif.

    Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya hasil yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.

    Misalnya percobaan melempar sekeping uang logam sebanyak 12 kali. Jika muncul G

    7 kali dan muncul A 5 kali, maka frekuensi relatif (Fr) dari G =127

    dan frekuensi

    relatif (Fr) dari A = 125

    atau dapat ditulis: Fr(G) = 127

    dan Fr(A) =125

    . Dengan

    demikian nilai frekuensi relatif sekeping mata uang dari G atau A akan mendekati 21 .

    Peluang munculnya G atau A adalah 21

    ditulis P(G) = P(A) = 21

    .

    Jadi, suatu percobaan yang mempunyai beberapa hasil, masing-masing mempunyai peluang yang sama, dapat dirumuskan sebagai berikut :

    )S(n)A(n)A(P =

    Keterangan: P(A) = Peluang munculnya suatu kejadian A n(A) = Banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) = Banyaknya anggota dalam himpunan ruang sampel.

  • 21BAB I Peluang

    Nilai P(A) berkisar antara 0 sampai 1, P(A) = 1 adalah suatu kepastian dan P(A) = 0 adalah suatu mustahil.

    Contoh 23 Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul: a. Bilangan 2? b. Bilangan prima?

    Jawab:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6 a. Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan 2, maka A ={2}, dan n(A) = 1

    Jadi, P(A) =)S(n)A(n

    =61

    .

    b. Misalkan B adalah kejadian muncul bilangan prima, maka B = {2, 3, 5}, n(B) =3

    Jadi, P(B) = )S(n)B(n

    =63

    =21

    .

    Contoh 24 Pada pelemparan suatu uang logam dan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya: a. Gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu? b. Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada dadu?

    Jawab: dadu

    Uang logam 1 2 3 4 5 6

    A (Angka) G (Gambar)

    (A, 1) (G, 1)

    (A, 2) (G, 2)

    (A, 3) (G, 3)

    (A, 4) (G, 4)

    (A, 5) (G, 5)

    (A, 6) (G, 6)

    Dari tabel di atas: S = {(A, 1), (A, 2), . . . , (G, 6) }, maka n(S) = 12 a. Misalkan A kejadian muncul gambar pada uang logam dan bilangan genap pada

    dadu, maka A = {(G, 2), (G, 4), (G, 6)}, dan n(A) = 3. Jadi, P(A)=)S(n)A(n

    =123

    =41

    .

    b. Misalkan B kejadian muncul Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada

    dadu, maka B = {(A, 4), (A, 6)}, n(B) = 2. Jadi, P(B) = )S(n)B(n

    = 122

    = 61

    .

    Contoh 25 Suatu kotak berisi 6 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang yang terambil itu: a. Sebuah bola putih? b. Sebuah bola merah?

    Jawab:Bola putih dan bola merah seluruhnya ada 10 buah, jadi, n(S) = 10 a. Bola putih ada 6, jadi, n(bola putih) = 6 jadi, peluang terambilnya sebuah bola putih adalah:

  • 22 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

    P (1 bola putih) = )S(n

    )putihbola(n = 106

    =53

    .

    b. Bola merah ada 4, jadi, n(bola merah) = 4 jadi, peluang yang terambil sebuah bola merah adalah :

    P (1 bola merah) = )S(n

    )merahbola(n = 104

    =52

    .

    Contoh 26 Di dalam sebuah kotak ada 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Apabila 2 bola diambil secara acak (random), tentukan peluang terambilnya: a. Kedua bola bernomor ganjil b. Kedua bola bernomor genap c. Satu bola bernomor ganjil dan satu bola bernomor genap?

    Jawab:

    Banyaknya ruang sampel: memilih 2 bola dari 9 bola adalah 9C2 =!2.!7

    !9=

    29.8

    = 36

    a. Misalkan A kejadian muncul bola bernomor ganjil, maka A memilih 2 bola dari 5

    bola yang bernomor ganjil, n(A) = 5C2 =!2.!3

    !5= 10

    P(A) = )S(n)A(n

    = 3610

    =185

    b. Misalkan B kejadian muncul bola bernomor genap, maka B memilih 2 bola dari 4

    bola yang bernomor genap, n(B) = 4C2 =!2.!2

    !4= 6 dan P(B) =

    )S(n)B(n

    = 366

    =61

    c. Misalkan C kejadian muncul 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor genap, n(C) = 5C1 x 4C1 = 4 x 5 = 20

    P(B) = )S(n)C(n =

    3620

    =95

    Contoh 27 Pasangan suami istri berencana memiliki 3 orang anak. Tentukan peluang 3 anak tersebut:a. Laki-laki semua b. Dua laki-laki c. Paling sedikit 1 perempuan?

    Jawab:Misalkan laki-laki dilambangkan dengan L, dan perempuan dengan P, maka: S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}, sehingga n(S) = 8

    a. Jika A = semua laki