SMA 5878 Análise Funcional II - USPAlexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 5878 Analise Funcional II An´alise Espectral de Operadores Lineares Operadores sim´etricos e auto-adjuntos

Análise Espectral de Operadores Lineares

SMA 5878 Análise Funcional II

Alexandre Nolasco de Carvalho

Departamento de MatemáticaInstituto de Ciências Matemáticas e de Computação

Universidade de São Paulo

28 de Abril de 2021

Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 5878 Análise Funcional II

Análise Espectral de Operadores LinearesOperadores compactos

Operadores simétricos e auto-adjuntos

Operadores compactos

Sejam X ,Y espaços de Banach sobre K. Diremos que umoperador linear K : X → Y é compacto se K (BX1 (0)) é umsubconjunto relativamente compacto de Y .

Denotamos por K(X ,Y ) o espaço dos operadores linearescompactos K : X → Y .




Exerćıcio

Seja X = C ([a, b],C) e k ∈ C ([a, b]× [a, b],C). Defina K ∈ L(X )por

(Kx)(t) =

∫ b

a

k(t, s)x(s)ds.

Mostre que K ∈ L(X ) e, usando o Teorema de Arzelá-Ascoli,mostre que K ∈ K(X ).




Teorema

Sejam X ,Y espaços de Banach sobre K. Então K(X ,Y ) é umsupespaço fechado de L(X ,Y ).




Prova: Se K(X ,Y ) ∋ Knn→∞−→ K ∈ L(X ,Y ) na topologia de

L(X ,Y ), dado ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que

K (BX1 (0)) ⊂ Knǫ(BX1 (0)) + B

Yǫ (0).

Disto segue facilmente que K (BX1 (0)) é totalmente limitado (logorelativamente compacto) em Y .




Exerćıcio

Seja X = ℓ2(C) e A : X → X dado por A{xn} ={

xnn+1

}

. Já

sabemos que A é limitado e 0 ∈ σc(A). Mostre que A é compacto.




Teorema

Sejam X ,Y ,Z espaços de Banach sobre um corpo K,A ∈ L(X ,Y ) e B ∈ L(Y ,Z ),

(a) se A ∈ K(X ,Y ) ou B ∈ K(Y,Z ), então B ◦ A ∈ K(X ,Z ),

(b) se A ∈ K(X ,Y ), então A∗ ∈ K(Y ∗,X ∗) e

(c) se A ∈ K(X ,Y ) e R(A) é um subespaço fechado de Y , entãoR(A) tem dimensão finita.




Prova: As provas de (a) e (c) são deixadas como exerćıcio para oleitor. Para provar (b) mostraremos que, se {x∗n} for uma seqüênciaem A∗(BY

∗

1 (0)), {x∗n} possuirá uma subseqüência convergente.

Considere o espaço C (A(BX1 (0)),K). Note que, para y∗ ∈ BY

∗

1 (0)e z ∈ A(BX1 (0)) existe x ∈ B

X1 (0) tal que z = Ax e,

consequentemente,

|y∗(z)| = |y∗(Ax)| 6 ‖A‖L(X ,Y ).

Além disso, se z1, z2 ∈ A(BX1 (0))

|y∗(z1)− y∗(z2)| 6 ‖z1 − z2‖Y .




Desta forma F = {y∗∣∣A(BX

1(0))

: y∗ ∈ BY∗

1 (0)} é uma faḿılia

uniformemente limitada e equicont́ınua de C (A(BX1 (0)),K).

Segue do Teorema de Arzelá-Ascoli que, se x∗n = y∗n ◦ A com

y∗n ∈ BY ∗

1 (0), existe uma subseqüência y∗nk

de {y∗n} tal que

supx∈BX1 (0)

|x∗nk (x)− x∗nl(x)| = sup

x∈BX1 (0)

|y∗nk ◦ A(x)− y∗nl◦ A(x)|

= supz∈A(BX1 (0))

|y∗nk (z)−y∗nl(z)|

k,l→∞−→ 0.

Logo {x∗n} tem uma subseqüência convergente para algumx∗ ∈ X ∗ e a prova de (b) está conclúıda.




Seja X um espaço de Banach, uma projeção P : X → X éuma transformação linear cont́ınua tal que P2 = P eP ∈ K(X ) se, e somente se, Z = R(P) tem dimensão finita.

De fato, se dimZ < ∞, P(BX1 (0)) é limitado e portantorelativamente compacto em Z e P é compacta. Se P écompacta, como P(BX1 (0)) ⊃ B

Z1 (0) é relativamente

compacto, do Teorema 6.5 em [Brezis], dimZ < ∞.

Claramente o operador identidade I : X → X é compacto se,e somente se, X tem dimensão finita. Assim, se A∈K(X ) e Xtem dimensão infinita então 0∈σ(A) (se 0∈ρ(A), I =A◦A−1

é compacto e dim(X ) < ∞).




Teorema

Seja X um espaço de Banach sobre K e A ∈ K(X ). Se λ ∈ K\{0},então N((λ − A)n) tem dimensão finita, n = 1, 2, 3, · · · .




Prova: Consideremos primeiramente n=1. Claramente N((λ−A))é fechado e, se x∈N((λ−A)), temos x=λ−1Ax . Assim o operadoridentidade em N((λ−A)) é compacto e dimN((λ−A))



Exerćıcio

Seja X um espaço de Banach sobre K e T ∈ L(X ). Mostre que∗,se N(T n0)=N(T n0+1), então N(T n)=N(T n+1), para todo n≥n0.

∗Sugestão: Mostre que N(T n+1) = {x ∈ X : Tx ∈ N(T n)}.




Teorema

Seja X um espaço de Banach sobre K, A ∈ K(X ) e λ ∈ K\{0}.Existe n0∈N tal que N((λ−A)

n+1)=N((λ−A)n), para todo n≥n0.




Prova: Basta provar que N((λ − A)n0+1) = N((λ − A)n0), paraalgum n0 ∈ N.

Claramente, N((λ−A)n) é fechado e N((λ−A)n)⊂N((λ−A)n+1),para todo n ∈ N.

Suponha que N((λ − A)n) ( N((λ − A)n+1) para todo n ∈ N.

Do Lema 6.1 em [Brezis], existe xn ∈ N((λ − A)n+1) tal que

‖xn‖X = 1 e ‖xn−x‖X ≥12 , para todo x∈N((λ− A)

n) e n∈N.




Logo, se 1 ≤ m < n,

Axn − Axm = λxn + (−λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn) = λxn − z ,

onde z = −λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn ∈ N((λ − A)n). Logo

‖Axn − Axm‖X = |λ|‖xn − λ−1z‖x ≥

|λ|

2

e {Axn} não possui uma subseqüência convergente e A não écompacto. Esta contradição prova o teorema.




Se N(λ − A) 6= {0} temos que λ é um auto-valor de A; isto é,λ ∈ σp(A).

Neste caso,

A multiplicidade geométrica de λ é a dimensão de N(λ − A)

Existe um menorn0∈N∗ tal que N((λ−A)n0)=N((λ−A)n0+1).

Diremos que N((λ − A)n0) é o auto espaço generalizadoassociado ao auto-valor λ e

A dimensão de N((λ−A)n0) é a multiplicidade algébrica de λ.




Observação

Observe que, se X é um espaço de Banach sobre K, λ ∈ K\{0} eA ∈ K(X ), do Teorema 6.6 (c) em [Brezis], R(λ− A) = X se, esomente se, N(λ − A) = {0}. Logo λ ∈ ρ(A) se, e somente se,N(λ − A) = {0}. Segue que, todos os pontos em σ(A)\{0} sãoauto-valores.




Lema

Seja X um espaço de Banach com dimensão infinita sobre umcorpo K e A ∈ K(X ). Se {λn} for uma seqüência de escalaresdistintos tais que

λn → λ

λn ∈ σ(A)\{0}, ∀n ∈ N.

Então λ = 0; isto é, todo ponto de σ(A)\{0} é isolado.




Prova: Como λn ∈ σp(A), escolha xn 6= 0 tal que (λn − A)xn = 0e considere o subespaço Xn = [x1, . . . , xn] de X , n ∈ N.

Provaremos que Xn(Xn+1 mostrando que o conjunto {x1, . . . , xn}é linearmente independente, para cada n∈N.

Suponhamos que {x1, . . . , xn} seja linearmente independente emostremos que {x1, · · · ,xn+1} será linearmente independente.

Se xn+1 =

n∑

i=1

αixi , então

n∑

i=1

λn+1αixi = λn+1xn+1 = Axn+1 =

n∑

i=1

αiλixi .




Disto segue que

n∑

i=1

αi (λn+1 − λi )xi = 0 e portanto α1 = · · · = αn = 0.

Segue que xn+1 = 0, o que é uma contradição. Portanto{x1, · · · , xn+1} é um conjunto linearmente independente.

Como x1 6= 0, por indução finita, {x1, · · · , xn} é linearmenteindependente, para cada n ∈ N, e Xn ( Xn+1, para todo n ∈ N.

Ainda, (λn − A)Xn ⊂ Xn−1 (pois (λn−A)xj = (λn−λj)xj , j ∈N).




Do Lema de Riesz (Lema 6.1 em [Brezis]), seja {yn} uma seqüência

em X com yn∈Xn, ‖yn‖=1 e dist(yn,Xn−1)≥1

2, para todo n ≥ 2.

Se 2 ≤ m < n, então

Xm−1 ⊂ Xm ⊂ Xn−1 ⊂ Xn.

e,

∥∥∥∥

Aynλn

−Aymλm

∥∥∥∥=

∥∥∥∥

∈Xn−1︷︸︸︷

(λm−A)ymλm

−(λn−A)yn

λn− ym + yn

∥∥∥∥

≥ dist(yn,Xn−1) ≥1

2.

(1)




Se λ fosse diferente de zero,

{ynλn

}

seria limitada e, como A é

compacto,

{Aynλn

}

teria uma subseqüência convergente e nos

levaria a uma contradição com (1). Logo λ = 0.

O teorema a seguir sintetiza os resultados obtidos acima a cerca doespectro de um operador compacto.




Teorema

Seja X um espaço de Banach sobre um corpo K e A ∈ K(X ).Então todo ponto de σ(A)\{0} é um auto-valor, σ(A) contém nomáximo um número contável de pontos e o conjunto dos pontosde acumulação de σ(A) é vazio ou {0}.

Frequentemente os operadores compactos surgem como inversa deoperadores ilimitados. Estes operadores são os chamadosoperadores com resolvente compacto que definimos a seguir.




Definição

Seja X um espaço de Banach sobre K e A : D(A) ⊂ X → X umoperador fechado e com resolvente não vazio. Diremos que A temresolvente compacto se para algum λ0 ∈ ρ(A) temos que(λ0 − A)

−1 ∈ K(X ).

É uma conseqüência simples da identidade do resolvente e daspropriedades de operadores compactos que, se A tem resolventecompacto, então (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A).




Exemplo

Seja X = {f ∈ C ([0, 1],K) : f (0) = 0} e A : D(A) ⊂ X → Xdefinido por D(A) = {f ∈ C 1([0, 1],K) : f (0) = f ′(0) = 0} e, paraf ∈ D(A), Af = f ′. É fácil ver que A é um operador fechado,densamente definido e que 0 ∈ ρ(A). Para ver que A temresolvente compacto, basta aplicar o Teorema de Arzelá-Ascoli.

Exerćıcio

Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado com 0 ∈ ρ(A). EmD(A) defina a norma do gráfico ‖x‖G(A) = ‖x‖+ ‖Ax‖ e denotepor Y o espaço D(A) munido da norma ‖ · ‖G(A). Mostre que Y éum espaço de Banach e que se Y está compactamente imerso emX, então A tem resolvente compacto.





Seja H um espaço de Hilbert e 〈·, ·〉H : H × H → K o seu produtointerno. Se A : D(A) ⊂ H → H é um operador densamentedefinido, o adjunto A• : D(A•) ⊂ H → H de A é definido por

D(A•) = {u ∈ H : v 7→ 〈Av , u〉H : D(A) → K é limitado}

e, se u ∈ D(A•), A•u é o único elemento de H TRR tal que

〈v ,A•u〉H = 〈Av , u〉H ,∀v ∈ D(A).




Observação

Se H é um espaço de Hilbert sobre C, E : H → H∗ definido porEu(v) = 〈v , u〉H , é uma isometria linear-conjugada entre H e H

∗.Identificaremos H e H∗ identificando u com Eu. SeA∗ : D(A∗) ⊂ X ∗ → X ∗ é o dual de A, então A• = E−1 ◦ A∗ ◦ E.




Note que, embora E e E−1 sejam operadores lineares-conjugados,E−1 ◦ A∗ ◦ E é linear por dupla conjugação. Chamaremos ambosA• e A∗ de adjunto de A e denotaremos ambos por A∗ mas éimportante observar que, se A = αB então A• = ᾱB• enquantoque A∗ = αB∗. Desta forma, (λI − A)• = λ̄I − A• enquanto que(λI − A)∗ = λI ∗ − A∗.




Muitas vezes escreveremos A∗ para denotar os operadores dual eadjunto, indistintamente. Nos referiremos a ambos como operadoradjunto.




Definição

Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉H .Diremos que um operador A :D(A)⊂H→H é simétrico (tambémchamado Hermitiano quando K = C) se D(A) = H e A ⊂ A∗; istoé, 〈Ax , y〉H = 〈x ,Ay〉H para todo x , y ∈ D(A). Diremos que A éauto-adjunto se A = A∗.




Exerćıcio

Seja H um espaço de Hilbert. Se A : D(A) ⊂ H → H é umoperador densamente definido, então A• : D(A•) ⊂ H → H éfechado. Além disso, se A é fechado, então A• é densamentedefinido.

Exerćıcio

Seja H um espaço de Hilbert sobre K. Mostre que, seA : D(A) ⊂ H → H é simétrico e λ ∈ K é um auto-valor de A,então λ ∈ R. Além disso,

inf‖x‖H=1

〈Ax , x〉H ≤ λ ≤ sup‖x‖H=1

〈Ax , x〉H .




Exerćıcio

Seja H = Cn com o produto interno usual. Se A = (ai ,j)ni ,j=1 é

uma matriz com coeficientes complexos que representa umoperador linear em A ∈ L(H), encontre A• e A∗.

Exerćıcio

Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉H eA : D(A) ⊂ H → H um operador densamente definido. Mostre queG (A∗) = {(−Ax , x) : x ∈ D(A)}⊥ (aqui M⊥ representa oortogonal de M).




Proposição

Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉H .Se A : D(A) ⊂ H → H é um operador auto-adjunto, injetor e comimagem densa, então A−1 é auto-adjunto.




Prova: Como A é auto-adjunto, é fácil ver que

{(x ,−Ax) : x ∈ D(A)}⊥ = {(Ax , x) : x ∈ D(A)} = G (A−1).

Como A é injetor e tem imagem densa, segue facilmente doExerćıcio anterior,

G ((A−1)∗) = {(−A−1x , x) : x ∈ R(A)}⊥ = G (A−1).

Logo A−1 = (A−1)∗.


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