SLUČAJNA SLUČAJNA VARIJABLAVARIJABLA

OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE44

Vrste slučajnih varijabli:

• Diskretne• Kontinuirane• Mješovitog tipa

Diskretna slučajna varijablaVarijabla X je diskretna slučajna varijabla, ako poprima konačno ili prebrojivo mnogo vrijednosti s vjerojatnostima )()( ii xpxXP pri čemu vrijedi: 1)( 0)(

iii xpxp

Funkcija koja svakoj vrijednosti slučajne varijable pridružuje određenu vjerojatnost zove se funkcija (zakon) vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Ona može biti zadana grafički, tabelarno ili analitičkim izrazom.

Kumulativna funkcija distribucije slučajne varijable X definirana je izrazom:

xXPxF )(

itdxpxpxpxXPxF

xpxpxXPxFxpxXPxF

)()()()()()()(

)()(

32133

2122

111

Kumulativna funkcija distribucije diskretne slučajne varijable izračunava se kako slijedi:

Distribucija 50 kutija prema broju neispravnih proizvoda dana je u tabeli:neispravnih proizvoda

Broj kutija

0 2

1 5

2 12

3 20

4 9

5 250

0

5

24

60

36

10

135

2)( xxf 14,58

14,45

5,88

1,80

15,21

10,58

62,5

ix if iixf 2iixf

0

5

48

180

144

50

427

0,04

0,10

0,24

0,40

0,18

0,04

1,00

)( ixp

0,00

0,10

0,48

1,20

0,72

0,20

2,70

ii px

0,00

0,10

0,96

3,60

2,88

1,00

8,54

ii px2

Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu

i

ii

fxf

x 7,250

135

i

ii

fxxf 2

2 )(

22

2 xfxf

i

ii

25,150

5,62

25,129,750427

Izračunajte empirijsku vjerojatnost za svaki broj neispravnih proizvodaKako se zovu tako dobivene frekvencijeDa li se broj neispravnih proizvoda može smatrati slučajnom varijablom

Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju pomoću relativnih frekvencija

ii pxx 7,2 2222 xpxpxx iiii 25,129,754,8

Očekivana vrijednost i varijanca diskretne slučajne varijable

 

Očekivana vrijednost (sredina) diskretne slučajne varijable definirana je izrazom:

E(X) )()(i

ii xpxXE

Varijanca diskretne slučajne varijable računa se izrazom

i

i xpxxExExVar )()()()( 22

i

xpxxExVar 22222 )()()(

Alternativno:

Primjer 1: U kutiji je 25 proizvoda od čega je 5 loših. Slučajno se bira jedanproizvod s vračanjem 4 puta. X je slučajni broj izvučenih loših proizvoda.a) naći distribuciju slučajne varijable xb) izračunati P(2≤X≤3)

Rješenje

0 1 2 3 4

DDDD

LDDDDLDDDDLDDDDL

LLDDLDLDLDDLDLDLDDLLDLLD

LLLDLLDLLDLLDLLL

LLLL

0,84 4*0,2*0,83 6*0,22*0,82 4*0,23*0,8 0,24

0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016

p=0,2 q=1-p=0,8

4040 8,02,0 224

2 8,02,0 1343 8,02,0 044

4 8,02,0 3141 8,02,0

X 0 1 2 3 4P(x) 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016

F(x) 0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000

P(2≤X≤3) =P(2)+P(3)=0,1536+0,0256=0,1792iliP(2≤X≤3)=F(3)-F(1)=0,9984-0,8192=0,1792

Primjer 2: Strijelac ima na raspolaganju 4 metka i gađa metu sve dok je nepogodi. Vjerojatnost pogodka u svakom gađanju je 0,8. X je broj potrošenihmetaka.Izračunati a) distribuciju slučajne varijable b) očekivani broj potrošenih metaka c) varijancu d) P(X<1); P(X≥3)

X 1 2 3 4  0,8 0,2*0,8 0,22*0,8 0,23*0,8+0,24

P(x) 0,8 0,16 0,032 0,008

xP(x) 0,8 0,32 0,096 0,032 1,248

x2P(x) 0,8 0,64 0,288 0,128 1,856

E(x)=xP(x)=1,248 Var(x)=∑x2 P(x)-μ2=1,856-1,2482=0,298496

P(X<1)=0 P(X≥3)=0,032+0,008=0,04

Primjer 3: Diskretna slučajna varijabla ima distribuciju:

X 0 2 5 7 9

P(x) 0,3 0,2 0,05 0,25 p

Nađite p p=1-(0,3+0,2+0,05+0,25)=1-0,8=0,2

Primjer 4: U kutiji su 3 bijele i 3 crne kuglice. Izvlači se po 1 kuglica bez vračanja sve dok se ne izvuće bijela. X je broj izvlačenja.Napišite distribuciju slučajne varijable:

X P(x)

1 (3/6)=1/2 10/20

2 (3/6)(3/5)=3/10 6/20

3 (3/6)(2/5)(3/4)=3/20 3/20

4 (3/6)(2/5)(1/4)(3/3)=1/20 1/20

Primjer 4: U kutiji se nalazi pet dobrih i sedam loših žarulja. Neka je X brojdobrih žarulja u slučajnom uzorku od 4 žarulje. Odredite distribuciju slučajnevarijable.

x 0 1 2 3 4P(x)

412

475

)(xx

xpx 0 1 2 3 4

P(x) 7/99 35/99 42/99 14/99 1/99

Primjer 5: Dva strijelca S1 i S2 gađaju po jednom u istu metu. Vjerojatnost pogotka za S1 je 0,7 a za S2 0,6. X je broj pogodaka u metu. Napišite distribuciju slučajne varijable, očekivani broj pogodaka i vjerojatnost da je meta pogođena najviše jednom

S1 S2

- -

-+

+-

+ +

S1 S2

0,3 0,4

0,30,7

0,60,4

0,7 0,6

Microsoft Office Excel Worksheetx p(x)

 0 0,12

 1 0,46

 2 0,42

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

x P(x)

Primjer 6: Bacaju se dvije kocke. X je dobiveni zbroj. Napišite distribuciju Slučajne varijable i funkciju vjerojatnosti

2

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1/363 2/364 3/36

5 4/366

78

9

1112

10

5/36

6/365/36

4/36

3/362/361/36

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;11;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;21;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;31;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;41;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;51;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

7 x za

361

3613

7 x za 361

361

)(

x

xxp

Analizira se dnevna prodaja videouređaja u jednom trgovačkom centru. Podaci o broju prodanih videouređaja i broju prodavača za 400 dana bila je slijedeća:*

Broj prodanih uređaja

(x)

Broj prodavača (y)

1 2 3

0 13 17 101 24 39 502 12 35 433 16 44 404 6 34 17

Formirajte dvodimenzijalnu slučajnu varijabluIzračunajte marginalne distribucijeIzračunajte očekivanja i varijance varijabliIzračunajte uvjetne distribucije vjerojatnostiIzračunajte zajedničku funkciju distribucijeProvjerite statističku nezavisnostIzračunajte kovarijancuIzračunajte koeficijent korelacije

Microsoft Excel Worksheet

DVODIMENZIONALNA SLUČAJNA VARIJABLA

*Ivan Šošić: Primjenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb 2006;Zadatak 6.61

Mali dioničar ima sedam udjela dionice DA i tri udjela dionice DB, čije su varijacije cijena raspoređene prema distribuciji vjerojatnosti predočenoj u slijedećoj tablici:*

Cijena dionice DA

u €

Cijena dionice DB u €

40 50 60 70

25 0,100 0,125 0,125 0,150

35 0,150 0,125 0,125 0,100

a) Izračunajte marginalne vjerojatnosti cijena dionica DA i DB,te polazeći od tih vjerojatnosti izračunajte očekivane vrijednosti i varijance cijena dionica DA i DB

b) Koliko iznosi kovarijanca cijena dionica DA i DBc) Izračunajte očekivanu vrijednost i varijancu cijene portfelja

*Grupa autora: Poslovna statistika, Sveučilište u Zagrebu 2011; zadatak 5.4.Microsoft

Excel Worksheet

Kontinuirana slučajna varijablaKontinuirana slučajna varijabla poprima neprebrojivo mnogo

vrijednosti na skupu realnih brojeva. Njezina vjerojatnosna svojstva opisana su preko funkcije gustoće vjerojatnosti koja ima slijedeća svojstva:

1.  f(x)0 za svaki x2. Ukupna površina ispod krivulje gustoće vjerojatnosti jednaka je 1

1)( dxxf

3. Pa x b = dio površine ispod krivulje f(x) omeđen intervalom a,b

b

a

aFbFdxxfbxaP )()()(

4.  F(a) = PX aP-<Xa= dio površine ispod krivulje f(x) omeđen intervalom (-,a

a

dxxfaFaxP )()(

-3 -2 -1 0 1 2 3

a b

0,97725

0,15866

0,81859

0

1

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5 2

2,5 3

3,5x0

F(x0)

F(x)

f(x)

F(x0)

Funkcija f(x) nema značenje vjerojatnosti. Kao vjerojatnost može se interpretirati umnožak f(x)dx koji označuje vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u okolini točke x.

S pomoću f(x) vjerojatnosti se pridružuju intervalima vrijednosti, dok je vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost u jednoj točki jednaka nuli

Iz izloženog se može zaključiti da je slučajna varijabla potpuno definirana ako je poznata njena funkcija gustoće vjerojatnosti ili funkcija distribucije. S obzirom na to da analitički izrazi tih funkcija mogu biti složeni, slučajne varijable opisuju se pomoću parametara, kao što su očekivana vrijednost, varijanca i općenito momenti višeg reda.

Očekivana vrijednostOčekivana vrijednost

)( )()( XEdxxxfXE

VarijancaVarijanca

dxxfxXEXEXVar )()())(()( 22