SLOŽENE FIGURE

Najpre ćemo iz površine kvadrata izračunati dužinu stranice.

2

236

366

P aa

aa cm

=

=

==

Pretumbajmo malo sliku...

A B

CD

a=6cm

r=3cm

A B

CD

r=3cmI II

IIIIV

I II

IIIIV

Površinu osenčenog dela ćemo dobiti kad od površine kvadrata oduzmemo površinu kruga čiji je poluprečnik jednak polovini stranice kvadrata! ( vidi sliku )

2

2

36 3

36 9

9 4 9

9(4 )

of kv kr

of

of

of

of

P P P

P

P

P

P cm

π

π

π

π

= −

= −

= −

= ⋅ −

= −

www.matematiranje.com

Proučimo najpre sliku...

8m

1m1m 8m

3m3m

45o

45o

5m

Uočimo da se njena površina sastoji iz dva dela, površine pravougaonika i površine trougla, koji je jednakokrako pravougli sa stranicom 1+8+1 = 10 m i odgovarajućom visinom od 5m.

2

210 58 3

224 2549

pr

a

P P P

a hP a b

P

PP m

= +

⋅= ⋅ +

⋅= ⋅ +

= +

=

www.matematiranje.com

Naravno, ovde je neophodno nacrtati sliku i postaviti problem...

8cm

6cmr = d

2

Ideja: od površine kruga ćemo oduzeti površinu pravougaonika! Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći dijagonalu pravougaonika.

2 2 2

2 2 2

2

2

8 664 36100

10

d a bdddd cm

= +

= +

= +

==

Poluprečnik kruga je polovina dijagonale: 10 52 2dr r r cm= → = → =

.

2

2

2

5 3,14 8 625 3,14 4878,5 4830,5

pravP P P

P r a bPPPP cm

π

= −

= − ⋅

= ⋅ − ⋅= ⋅ −= −

=

www.matematiranje.com

Pretumbajmo malo sliku…

P

Q

R

S

a=6cm

a=6cm

Označenu četvrtinu kruga prebacimo dole... Šta primećujemo? Osenčena površina je ustvari 3/4 od površine kvadrata!

2

2

2

34343 643 3643 9

27

of

of

of

of

of

of

P P

P a

P

P

P

P cm

=

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

=

www.matematiranje.com

Prvo slika...

a

a

Sad pretumbamo...

Ideja: od površine kvadrata oduzmemo površinu kruga! Nadjimo najpre poluprečnik kruga, koji je jednak polovini stranice kvadrata.

2

2

2

282

32

dP

P

P cm

=

=

=

2

2

2

(2 2)4 2

8

P r

PP

P cm

π

ππ

π

=

=

= ⋅

=

i konačno je :

2

32 88 4 88(4 )

P P PPPP cm

ππ

π

= −

= −= ⋅ −

= −

www.matematiranje.com

r = a2

a

a

a

a

8

22

8 22

4 24 2 2 22 2

d cm

da

a

aa cm r r r cm

=

=

=

= → = → = → =

A B

CD

III

2cm

4cm

Površina se sastoji od površine manjeg kruga ( žuti ) i površine četvrtine većeg kruga. Obim se sastoji od celog obima manjeg kruga i četvrtine obima većeg kruga.

22

22

2

4

442

44 48

vecimanji

PP P

RP r

P

PP cm

ππ

ππ

π π

π

= +

= +

= +

= +

=

422

42 42 2

44 26

vecimanji

OO O

RO r

O

OO cm

ππ

ππ

π ππ

= +

= +

⋅= ⋅ +

= +=

www.matematiranje.com

A B

CD

E 2r =

Tražena površina se sastoji od površine polukruga( crveni) I površine trougla , koji je ustvari polovina površine kvadrata. Nadjimo dužinu stranice kvadrata i poluprečnik kruga.

4

22

4 22

2 22 2 22 2

d cm

da

a

aa cm r r r cm

=

=

=

= → = → = → =

2

2

2

Površina polukruga je:

2

22

22

pk

pk

pk

pk

rP

P

P

P cm

π

π

π

π

=

=

=

=

2

2

2

Površina trougla je:1P21P2 21 4P2 216P4

P 4

P

d

cm

=

=

=

=

=

2

površina je:

4(4 )

pk

TraženaP P P

PP cm

π

π

= +

= +

= +

www.matematiranje.com

Obim figure se sastoji iz dva obima kruga!

22 24 624

O OO rOO cm

πππ

= ⋅

= ⋅= ⋅=

Da bi izračunali površinu, malo ćemo da pretumbamo sliku...

A B

CD

A B

CD

#

#

$

$

I II

Tražena površina se sastoji iz površine kruga( kad spojimo polukrugove I i II ) i površine kvadrata.

2 2

2 2

2

6 1236 14436 36 436( 4)

P P P

P r aPPPP cm

π

πππ

π

= +

= +

= += += + ⋅

= +

www.matematiranje.com

Moramo dobro proučiti sliku...

6cm

6cm

30o

30o

60o

60o

12cm

12cm

12cm

60

60

o

o

120o

Kraci ugla su tangente kruga, pa prave prav ugao sa poluprečnikom. Spojimo centar kruga sa temenom ugla i dobijamo dva podudarna trougla koji zajedno čine jednakostranični trougao. Ideja: Od površine jednakostraničnog trougla stranice 12 cm ćemo oduzeti trećinu površine kruga( jer je centralni ugao od 120 stepeni)

2

2

2

34

12 34

144 34

36 3

aP

P

P

P cm

=

=

=

=

2

13

2

13

13

213

3

63

363

12

rP

P

P

P cm

π

π

π

π

=

=

=

=

13

2

36 3 12

12 3 3 12

12(3 3 )

P P P

P

P

P cm

π

π

π

= −

= −

= ⋅ −

= −

www.matematiranje.com

Proučimo , kao i uvek datu sliku…

A

B

C

O A O

B

C

20o

r=8cm

M

Delići ABM i CBM su jednaki po površini! Ubacimo delić CBM u delić ABM i dobijamo kružni isečak čiji je centralni ugao 20 stepeni i poluprečnik 8 cm.

2

0

2 0

0

2

3608 20

3606418

329

isP P

rP

P

P

P cm

πα

π

π

π

=

=

=

=

=

www.matematiranje.com

Iz visine jednakostraničnog trougla nađemo stranicu trougla.

32

3 12 12 3 12 36 3 12 4 32 33 3 3

ah

a a a a a a cm

=

= → = → = → = ⋅ → = → =

A B

C

D60

o

4 3

2 3

6

Ideja: Od površine kružnog isečka ABC ćemo oduzeti površinu pravouglog trougla ADC !

2

0

2 0

0

2

360(4 3) 60

36016 3

68

is

is

is

is

rP

P

P

P cm

πα

π

π

π

=

=

⋅=

=

2

22 3 6

26 3

ACD

ACD

ACD

a bP

P

P cm

⋅=

⋅=

=

2

8 6 3

2(4 3 3)

is ADCP P P

P

P cm

π

π

= −

= −

= −

www.matematiranje.com

12cm

6cm

p

Ideja: od površine pravougaonika sa stranicama 12cm i 6 cm ćemo oduzeti površinu polukruga koji dobijamo kad spojimo ove dve četvrtine .

2

2

2

1212112 6 62

172 362

72 1818 4 1818(4 )

prP P P

P a b r

P

P

PPP cm

π

π

π

ππ

π

= −

= ⋅ −

= ⋅ −

= +

= += ⋅ +

= +

www.matematiranje.com

8cm

6cm2cm

2cm

4cm

2cm

A B

CD

P

R1/4 kruga

Ideja: Od površine pravougaonika oduzmemo površinu 1/4 kruga!

2

2

2

141418 4 24

(32 )

prP P P

P a b r

P

P cm

π

π

π

= −

= ⋅ −

= ⋅ −

= −

Što se tiče obima, moramo da obiđemo celu figuricu! O = PB + BC + CD + DR + ¼ obima kruga (luk RP)

16 4 8 2 24

120 22

20(20 )

O r

O

OO cm

π

π

ππ

= + + + +

= +

= += +

www.matematiranje.com