Inenjerska fizika 1

2006 Nejra Hodi - skinuto sa www.etf.ba

*TITRANJE (OSCILACIJE)*Osciliranje predstavlja vrstu kretanja ili vrstu fizikog procesa koji se odlikuje odreenim stepenom ponavljanja. U zavisnosti od prirode fizikog procesa koji se ponavlja, oscilacije dijelimo na: mehanike, elektromagnetske i elektromehanike. U zavisnosti od karaktera djelovanja na oscilatorni sistem razlikujemo: slobodno titranje, prigueno titranje i prisilno titranje. Titranja kod kojih se veliina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkciji vremena nazivaju se harmonina titranja (oscilacije).Harmonijske oscilacije

Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je objeena na elastinu oprugu. U stanju ravnotee sila, silu teine mg uravnoteuje elastina sila (Hookeov zakon), tj. .

Ako pomjerimo kuglicu iz ravnotenog poloaja na rastojanje x: .

Uzimajui u obzir uvjet ravnotee dobivamo: .

Sila F ima osobine:

proporcionalna je pomjeranju kuglice iz poloaja ravnotee i

uvijek je usmjerena prema poloaju ravnotee.Za sile koje se ponaaju po istoj zakonitosti kaemo da su kvazielastine.Sistem u kojem djeluje kvazielastina sila, pri pomjeranju iz ravnotenog poloaja na rastojanje x dobiva potencijalnu energiju: .Jednaina kretanja za kuglicu, prema II Njutnovom aksiomu, ima oblik: .

Kretanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika , predstavlja harmonino kretanje.

Iz jednadbe kretanja dobijamo: .Veliina najveeg otklona od ravnotenog poloaja naziva se amplituda titranja A.

Veliina naziva se faza titranja. Konstanta zove se poetna faza oscilovanja.Period titranja je , gdje je kruna frekvencija (broj oscilacija za sekundi).

Frekvencija titranja (broj titranja u jedinici vremena): .

Veza izmeu f i : .

Brzina: .Ubrzanje: .

Ubrzanje i pomjeranje nalaze se u protiv fazi.

Iz poetnih uvjeta odreujemo A i :

,

Energija harmonijskog oscilovanja

Kvazielastina sila je konzervativna, pa je ukupna energija harmoninog titranja konstantna.

Maksimalna potencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najveem otklonu od ravnotenog poloaja: , ().

U momentu prolaska kroz ravnoteni poloaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetiku energiju: .Ukupna energija harmoninog titranja: .

Harmonini oscilatorHarmonini oscilator predstavlja sistem koji vri harmonina titranja oko poloaja ravnotee:

.Impuls harmoninog oscilatora: .Kvadriranjem i sabiranjem posljednje dvije jednaine dobijamo: .

Grafiki predstavljen impuls harmoninog oscilatora u funkciji otklona x, daje elipsu.Ukupna energija harmoninog oscilatora je proporcionalna povrini elipse, pri emu je koeficijent proporcionalnosti vlastita frekvencija oscilatora: .

Slaganje harmonijskih oscilacijaPri istovremenom djelovanju vie razliitih elastinih sila na oscilator on ce vriti sloeno kretanje, koje ce biti jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija. Rjeavanje ovih problema znatno se olakava ako se oscilacije predstave pomou, tzv. vektora amplitude.Promatrajmo slaganje dva harmonina titranja istog smjera i iste frekvencije. Rezultirajue pomjeranje tijela vrit e se po istoj pravoj tako da je jednako algebarskom zbiru oba pomjeranja:

.Vektor predstavlja rezultujue titranje. Primjenom kosinusne teoreme dobijamo:

, odnosno,

.

Ako je fazna razlika izmeu dva titranja konstantna, titranja se nazivaju koherentna. Ako je fazna razlika jednaka nuli ili : i .

Ako je fazna razlika jednaka : i .

Matematiko klatnoMatematiko klatno sastoji se od takaste mase m objeene na nerastegljivu vrlo laganu nit duine l.Matematiko klatno osciluje harmonijski samo za male amplitude, dok je, za vee amplitude, period klatna funkcija amplitude.

Jednaina kretanja matematikog klatna glasi:

. (iskoritena je formula za tangencijalno ubrzanje )U sluaju malih pomjeranja , pa jednaina ima oblik , i predstavlja jednainu harmoninog titranja tako da ima rjeenje: , .

Period matematikog klatna za male amplitude: .

Fiziko klatno

Priguene oscilacijePriguene oscilacije su one oscilacije kod kojih dolazi do gubitaka energije i prestanka titranja elastine opruge nakon odreenog vremena.Jednaina kretanja za priguene oscilacije: , gdje je vlastita frekvencija nepriguenog oscilatora, a faktor priguenja.Rjeenje prethodne jednadbe: , .

Brzina priguenih oscilacija:

Ubrzanje priguenih oscilacija: .

Amplituda opada eksponencijalno s vremenom; to je faktor priguenja vei, to i amplituda bre opada.Prisilne oscilacije. Rezonancija

Kada vanjska periodina sila djeluje na sistem koji moe titrati, nastaje prisilno titranje.Kada se priblii vlastitoj frekvenciji sistema , dolazi do rezonancije, tj. titranja s vrlo velikim amplitudama.Moe se rei da je rezonancija je pojava poveanja amplitude oscilovanja pri djelovanju vanjske periodine sile.

Jednaina kretanja prisilnog harmoninog oscilatora: (nakon dijeljenja sa m i koritenja forumule ), gdje je amplituda vanjskog oscilatora.Rjeenje prethodne jednadbe: , gdje je kanjenje u fazi titranja vanjskog oscilatora: .Amplituda prisilnog osciliranja: .

Amplituda osciliranja je maksimalna pri rezonantnoj frekvenciji: .

Rezonantna frekvencija, u sluaju priguenog oscilatora neto je manja od vlastite frekvencije; rezonantna frekvencija nepriguenog oscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji.*MEHANIKI VALOVI*Proces prostiranja oscilacija u prostoru naziva se val ili talas.

Longitudinalni val je takav val kod kojeg estice osciliraju du pravca prostiranja.

Transverzalni val je takav val kod kojeg estice osciliraju u smjeru koji je okomit na pravac prostiranja vala.estice koje jedna od druge stoje na rastojanju vT osciliraju u istoj fazi.

Rastojanje izmedu najbliih estica koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna duina: .Geometrijsko mjesto taaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vremena t naziva se valni front.Geometrijsko mjesto taaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna povrina (najjednostavnije su one koje imaju oblik ravni ili sfere). Pravci du kojih se ire oscilacije od take do take zovemo zrakama vala i one su okomite na valne povrine.Jednaina ravnog i sfernog valaValna jednaina je izraz koji daje pomjeranje oscilirajue take kao funkciju njenih koordinata x, y, z i vremena t, .Funkcija mora da bude periodina kako u odnosu na vrijeme t, tako i u odnosu na koordinate x, y, z.Jednaina ravnog vala moe se napisati u obliku: (val se rasprostire u smjeru rasta x).

Brzina prostiranja vala jeste brzina pomjeranja faze, pa se zove fazna brzina.Jednaina ravnog vala moe se napisati u obliku: , gdje je k valni broj, .Veza izmeu valnog broja, krune frekvencije i fazne brzine: .Jednaina sfernog vala ima oblik: .

Jednaina ravnog vala koji se prostire u proizvoljnom smjeruJednaina ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama x, y, z obrazuje uglove : , gdje je , , .Jednaina ravnog vala ponekad se pie i u obliku: , pri emu se koristi samo realni dio izraza.Valna jednainaJednaina bilo kojeg vala je rjeenje diferencijalne jednaine koju zovemo valna jednaina.Posmatrajmo ravni val u smjeru x-ose: .Naimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu:

, .Iz prethodne dvije jednaine dobijamo valnu jednainu: .

Valna jednaina u tri dimenzije ima oblik: .

Brzina prostiranja elastinih valova

Brzina longitudinalnih valova jednaka je kvadratnom korijenu iz Youngovog modula podijeljenog s gustoom sredine: .

Youngov modul: , gdje je normalno naprezanje, a srednja relativna deformacija.Brzina transverzalnih valova: , gdje je G modul smicanja.

Energija elastinog valaPotencijalna energija vala: .Izraz za potencijalnu energiju elementarnog volumena: , gdje je Youngov modul elastinosti, a relativna deformacija.Izraz za kinetiku energiju elementarnog volumena: , gdje je masa i brzina datog elementa.Ukupna energija: .Gustoa energije: .

Srednja vrijednost gustoe energije po volumenu: .Val sa sobom prenosi energiju.

Koliina energije koju prenosi val kroz neku povrinu u jedinici vremena naziva se gustoa tok energije ili fluks kroz povrinu.

Fluks (kao vektor): .

Srednja vrijednost vektora gustoe toka energije: .

Intenzitet vala je skalarna vrijednost vektora (jednak je srednjoj vrijednosti energije, koju val prenosi kroz jedininu povrinu u jedinici vremena) .

Interferencija valovaAko se u sredini istovremeno prostire nekoliko valova, onda e oscilacije estica sredine biti jednake geometrijskoj sumi oscilacija koje bi vrile estice pri prostiranju svakog vala pojedinano. Ovaj princip naziva se princip superpozicije valova.U sluaju kada oscilacije, uvjetovane pojedinim valovima u svakoj taki sredine, imaju konstantnu razliku faza valovi se zovu koherentni. Pri slaganju koherentnih valova dolazi do pojave interferencije, koja se sastoji u tome da se oscilacije u jednim takama pojaavaju a u drugim slabe.

Maksimalno osciliranje dobivamo na mjestima gdje je razlika u fazi:

Na tim mjestima oba osciliranja su u fazi i dobivamo tzv. konstruktivnu interferenciju, s amplitudom A1+A2=A.U takama u kojima je razlika u fazi: dobivamo minimalno osciliranje, odnosno destruktivnu interferenciju, s amplitudom .Navedeni uvjeti svode se na to da geometrijsko mjesto taaka u kojima se oscilacije pojaavaju ili oslabljuju predstavlja porodicu hiperbola:

Difrakcija valova (nema u pitanjima)Kada na svom kretanju valovi susretnu prepreku, oni je obilaze. Ta pojava naziva se difrakcija.

Nastajanje difrakcije moe se objasniti pomou Huygensovog principa: svaka taka do koje dolazi valno kretanje, postaje centar sekundarnih valova koji su u homogenoj i izotropnoj sredini sferni.Stojei valovi

Kada imamo interferenciju dva ravna vala jednakih amplituda koji se kreu jedan nasuprot drugoga, oscilatorni proces koji pri tome nastaje naziva se stojei val.Jednaina stojeeg vala: .

U takama gdje je , amplituda oscilacija dostie maksimalnu vrijednost 2A (trbusi stojeeg vala).

U takama gdje je , amplituda oscilacija pretvara se u nulu (vorovi stojeeg vala).

Refleksija valova (nema u pitanjima)Kad val upada na granicu izmeu dvije sredine, jedan dio energije vala se reflektira, a ostatak prelazi u drugu sredinu: od upadnog vala nastaje reflektirani (odbijeni) i transmitirani (proputeni) val.Pri refleksiji na guoj sredini reflektirani val je pomaknut u fazi za prema upadnom, dok pri refleksiji na rjeoj sredini nema pomaka u fazi. Posebno, pri refleksiji od vrste prepreke nema transmitiranog vala, reflektirani val ima istu amplitudu kao upadni ali je pomaknut u fazi za ; pri refleksiji na slobodnom kraju upadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze. Pri odbijanju talasa od ravne povrine upadni i odbojni ugao meusobno su jednaki.Zakon odbijanja valova: Upadni ugao jednak je odbojnom uglu, a upadni zrak, normala i odbojni zrak lee u istoj ravni.

Refrakcija (prelamanje) valova (nema u pitanjima)Zakon prelamanja valova: Odnos sinusa upadnog i prelomnog ugla jednak je odnosu brzina u te dvije sredine, a upadni zrak, normala i prelomni zrak lee u istoj ravni: , gdje je indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu sredinu.ZvukU fizici pod zvukom podrazumijevamo sve pojave vezane za mehanike oscilacije ije se frekvencije kreu u granicama osjetljivost ula sluha.Granica ujnosti nalazi se priblino na 20 Hz i 20.000 Hz. Mehanike oscilacije koje prelaze 20.000 Hz nazivaju se ultrazvuk, a oscilacije ija je frekvencija ispod 20 Hz nazivaju se infrazvuk.Zvuni valovi

Zvuni valovi u gasovima i tenostima mogu biti samo longitudinalni dok u vrstim tijelima mogu biti i longitudinalni i transverzalni.Promjena pritiska pri prostiranju longitudinalnog vala kroz plinovitu sredinu je sinusna funkcija: .

Snaga koja se prenosi valom jednaka je koliini energije koju prenosi zvuni val u jedinici vremena kroz ravan okomitu na pravac prostiranja vala: .

Srednja snaga proporcionalna je kvadratu amplitude promjene pritiska: .Brzina zvunih valova u plinovimaBrzina zvuka u plinovitoj sredini: .

Uvrtavanjem u prethodni izraz dobivamo: (gdje je gdje je odnos specifine toplote gasa pri stalnom pritisku i specifine toplote pri stalnoj zapremini, M - molekulska masa, R = 8,314. J/mol K, univerzalna plinska konstanta i T - apsolutna temperatura) ili (gdje je v0= 331 m/s, brzina zvuka u zraku na temperaturi T0= 273 K).Dopplerov efekatKada se zvuni izvor, ili slualac, ili oboje kreu u odnosu na zrak, visina (frekvencija) zvuka koju uje slualac nee u opem sluaju biti ista kao kad bi izvor i slualac mirovali. Ova pojava se naziva Dopplerov efekat. Ovisno o relativnoj brzini prema izvoru, promatra e izmjeriti razliitu frekvenciju izvora.Dopplerov efekat formulom moemo prikazati na sljedei nain:

, gdje je pozitivno ako se prijemnik pribliava izvoru, a negativno ako se prijemnik udaljava od izvora. Slino tome, brzina izvora je pozitivna ako se izvor kree u pravcu prijemnika a negativna ako se izvor udaljava od prijemnika. Pri tome pretpostavljamo da se izvor i prijemnik kreu du pravca koji ih povezuje.

Specijalni sluajevi:1. Posmatra miruje, izvor se kree prema posmatrau: ,2. Posmatra miruje, izvor se kree od posmatraa: ,

3. Izvor miruje, posmatra se kree prema izvoru: ,

4. Izvor miruje, posmatra se kree od izvora: .U sluaju svi valovi se dodiruju u taki gdje se nalazi izvor. U toj taki nalazi se akumulirana oscilatorna energija i to je tzv. zvuni zid. Ako je dolazi do zvune eksplozije.

Zvuni izvoriSvaki mehaniki oscilator koji pravilno oscilira u opsegu frekvencije zvuka naziva se zvuni izvor. Kao najei zvuni izvori susreu se zategnute ice i zrani stubovi.

Zategnute ice osciliraju transverzalnim oscilacijama. Stojei val e se formirati ako duina ice iznosi: Frekvencija je . Za n=1 imamo osnovni ton.

Osciliranje zranih stubova moe se ostvariti u cijevima koje mogu biti otvorene na jednom kraju ili na oba kraja. Ako je cijev otvorena na jednom kraju, onda e se uvijek na otvorenom kraju formirati trbuh, a na zatvorenom vor stojeeg vala. U zranih stubovima mogu se obrazovati samo longitudinalni stojei valovi.

Valna duina zvuka u zatvorenim stubovima: , a frekvencija: . Za otvorene stubove vrijedi da je , pa je frekvencija: .Osjeaj zvuka (nema u pitanjima)ovjek prima zvuk pomou ula sluha, uha. Postojanje dva organa sluha omoguava ovjeku da ocijeni pravac prostiranja zvuka.

Kod subjektivnog osjeaja zvuka, razlikuju se tri njegove osobine: visina, boja i intenzitet (jaina zvuka). Svaki realni zvuk predstavlja superpoziciju harmoninih oscilacija, koje se nalaze u danom zvuku, i naziva se akustiki spektar. Ako se u zvuku nalaze oscilacije svih frekvencija u nekom intervalu od f' do f'', tada se spektar naziva kontinuiran. Ako se zvuk sastoji iz diskretnih oscilacija (odvojenih konanim intervalima) sa frekvencijama f1,f2,... spektar se naziva linijski.Jaina zvuka

Jaina ili intenzitet zvuka odreuje se koliinom energije koju prenosi val u jedinici vremena kroz povrinu normalnu na pravac prostiranja vala: .

Jedinica intenziteta zvuka u SI sistemu je .

Prema Weber - Fechnerovom zakonu ulo sluha osjeaja gradaciju jaine zvuka priblino kao logaritam intenziteta zvuka. Zvuni val koji jo moe izazvati osjeaj zvuka mora imati minimalnu vrijednost Io koja se naziva prag ujnosti i iznosi priblino pri frekvenciji 1000 Hz.Nivo jaine zvuka: , gdje je k koeficijent proporcionalnosti.

Stavljanjem k=1 nivo jaine je izraen u belima (B). Meutim, u praksi se koristi deset puta manja jedinica, decibel (dB): .

Pri intenzitetima od 120 dB i vie, uho prestaje da prima val kao zvuk i nastaje osjeaj bola ili pritiska (prag osjeaja bola).

Za subjektivnu jainu zvuka uvedena je logaritamska skala sa jedinicom koja se zove fon.Apsorpcija zvuka

Kada doe na granicu izmeu dvije sredine, zvuni val se u opem sluaju djelomino odbija od granice, a djelomino prodire u drugu sredinu i produuje u njoj da se prostire. Val postepeno slabi pri prostiranju kroz danu sredinu i energija osciliranja prelazi u druge oblike energije.

Pri proraunu akustikih osobina prostorija upotrebljava se vrijeme u toku koga se energija zvuka smanji na 10-6 dio prvobitne vrijednosti, tj. , ovo vrijeme se naziva vrijeme reverberacije (jeke).

Gustoa zvune energije opada sa vremenom po eksponencijalnom zakonu: , gdje je u0 gustoa zvune energije u poetnom trenutku, koeficijent apsorpcije pri odbijanju, a n broj odbijanja u jedinici vremena.

Vrijeme reverberacije: . Stavljajui za dobivamo: .

Ultrazvuk

Za dobivanje ultrazvunih valova koriste se uglavnom dva fizikalna efekta: efekt magnetosrikcije (feromagnetni materijali pri djelovanju promjenjivog magnetnog polja se lagano deformiraju) i piezoelektrini efekt (inverzni piezoelektrini efekt: ploice nekih metala pod djelovanjem elektrinog polja se deformiraju).

Osnovno svojstvo ultrazvuka po kojem se on razlikuje od zvuka je gotovo pravolinijsko prostiranje.

Energija ultrazvunog vala visoke frekvencije je znatno vea od energije zvunog vala niske frekvencije iste amplitude.

Znaajna osobina, koja je bitna za koritenje ultrazvuka, je mala apsorpcija pri prolazu ultrazvuka kroz vrsta i tena tijela.

Sve primjene ultrazvuka u tenostima zasnivaju se na djelovanju kavitacije, koja nastupa pri odreenom intenzitetu. Pod kavitacijom u hidrodinamici se podrazumijeva obrazovanje mjehuria u fluidu, uslijed vrtloenja i zagrijavanja.

Moment koliine kretanja

Veliina analogna koliini kretanja je moment koliine kretanja.

Moment koliine kretanja materijalne take mase m i koliine kretanja s obzirom na referentnu taku 0 (npr. sredite krunice), definira se kao proizvod radijus vektora i koliine kretanja:

ili .

Smjer momenta koliine kretanja jednak je smjeru ugaone brzine.

Jedinica momenta koliine kretanja je .

Zakon o ouvanju momenta koliine kretanja

Ako je vektorski zbir momenata svih vanjskih sila s obzirom na neku taku jednak nuli, tada je ukupni moment koliine kretanja sistema (krutog tijela) za tu istu taku konstantan i po smjeru i iznosu.

U zatvorenom sistemu je moment koliine kretanja sauvan.

Lorentzove transformacijeTransformacije slue za pretvaranje veliina pri prelazu iz jednog sistema referencije u drugi (pri emu se oba sistema referencije kreu bez ubrzanja). Lorentzove transformacije su transformacije koje zadovoljavaju Einsteinov zahtjev (postavke teorije relativnosti). Ti zahtjevi su: transformacije izmeu inercijalnih sistema moraju biti takve da brzina svjetlosti ostane konstantna

svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije

zahtjev da prostor bude homogen nuno vodi na linearnost transformacija (prava linija se transformie u pravu liniju)

Razlikujemo sistem referencije K i sistem referencije K' koji se kree brzinom v u odnosu na sistem referencije K.Uzmimo da neki tap miruje u sistemu referencije K'. U tom sistemu njegova duina je l0. Taj isti tap e imati duinu l, ako se mjerenje vri iz sistema K. Veza izmeu tih duina je data formulom:

Ova pojava se naziva kontrakcija duine, tj. tijela koja se kreu u odnosu na nekog posmatraa P e se tom posmatrau initi kraim, nego onima koji se kreu zajedno sa tim tijelom. Uzmimo da se neki dogaaj desio na istom mjestu u sistemu referencije K'. Mjereno iz tog sistema, taj dogaaj je trajao t0. Taj isti dogaaj e trajati t, ako se mjerenje vri iz sistema K. Veza izmeu tih vremenskih intervala je data formulom:

Ova pojava se naziva dilatacija vremena, tj. dogaaji koji se deavaju na nekom tijelu koje se kree u odnosu na nekog posmatraa P e se tom posmatrau initi duim, nego onima koji se kreu sa tim tijelom.

PAGE 1

_1199730950.unknown

_1199912056.unknown

_1199949734.unknown

_1355474195.unknown

_1355476864.unknown

_1355487426.unknown

_1355490173.unknown

_1355493660.unknown

_1355494582.unknown

_1355492335.unknown

_1355487917.unknown

_1355477120.unknown

_1355486586.unknown

_1355477037.unknown

_1355476154.unknown

_1355476426.unknown

_1355476450.unknown

_1355476308.unknown

_1355474997.unknown

_1355475297.unknown

_1355474656.unknown

_1199950302.unknown

_1199951192.unknown

_1199952645.unknown

_1199953284.unknown

_1199953332.unknown

_1199953207.unknown

_1199951363.unknown

_1199950971.unknown

_1199951127.unknown

_1199950876.unknown

_1199950170.unknown

_1199950248.unknown

_1199950110.unknown

_1199914078.unknown

_1199914110.unknown

_1199914258.unknown

_1199949682.unknown

_1199914166.unknown

_1199914092.unknown

_1199914101.unknown

_1199914084.unknown

_1199912677.unknown

_1199913584.unknown

_1199913610.unknown

_1199912866.unknown

_1199912518.unknown

_1199912567.unknown

_1199912468.unknown

_1199732701.unknown

_1199896389.unknown

_1199897295.unknown

_1199897894.unknown

_1199911890.unknown

_1199897810.unknown

_1199896708.unknown

_1199896839.unknown

_1199896640.unknown

_1199733217.unknown

_1199896163.unknown

_1199896242.unknown

_1199896101.unknown

_1199733054.unknown

_1199733167.unknown

_1199732776.unknown

_1199731869.unknown

_1199732191.unknown

_1199732314.unknown

_1199732482.unknown

_1199732262.unknown

_1199732090.unknown

_1199732122.unknown

_1199731973.unknown

_1199731515.unknown

_1199731587.unknown

_1199731699.unknown

_1199731553.unknown

_1199731171.unknown

_1199731397.unknown

_1199731012.unknown

_1199719833.unknown

_1199722233.unknown

_1199730094.unknown

_1199730302.unknown

_1199730730.unknown

_1199730786.unknown

_1199730365.unknown

_1199730250.unknown

_1199730284.unknown

_1199730164.unknown

_1199729348.unknown

_1199729702.unknown

_1199729796.unknown

_1199729620.unknown

_1199729188.unknown

_1199729211.unknown

_1199728944.unknown

_1199721171.unknown

_1199721911.unknown

_1199722048.unknown

_1199722135.unknown

_1199721952.unknown

_1199721805.unknown

_1199721853.unknown

_1199721450.unknown

_1199720407.unknown

_1199720561.unknown

_1199720718.unknown

_1199720521.unknown

_1199720016.unknown

_1199720125.unknown

_1199719970.unknown

_1199711459.unknown

_1199718793.unknown

_1199719122.unknown

_1199719672.unknown

_1199719800.unknown

_1199719179.unknown

_1199719013.unknown

_1199719051.unknown

_1199718994.unknown

_1199717367.unknown

_1199718414.unknown

_1199718590.unknown

_1199717537.unknown

_1199716973.unknown

_1199717184.unknown

_1199716937.unknown

_1199710696.unknown

_1199710938.unknown

_1199711097.unknown

_1199711260.unknown

_1199711036.unknown

_1199710850.unknown

_1199710770.unknown

_1199710803.unknown

_1199710124.unknown

_1199710564.unknown

_1199710615.unknown

_1199710409.unknown

_1193770586.unknown

_1199709406.unknown

_1199709897.unknown

_1199709515.unknown

_1199709622.unknown

_1193770850.unknown

_1199709384.unknown

_1193770741.unknown

_1193770438.unknown

_1193770538.unknown

_1193731310.unknown