Skripta Izpitnih Nalog in Nalog Za Vaje 2008

  • View
    106

  • Download
    12

Embed Size (px)

DESCRIPTION

biomehanika 1

Text of Skripta Izpitnih Nalog in Nalog Za Vaje 2008

Univerza v Ljubljani Fakulteta za port Katedra za Biomehaniko porta Gortanova 22 1000 Ljubljana Slovenija

Fakulteta za port

Zbirka izpitnih nalog in nalog za vaje iz Biomehanike 1Avtorja: doc. dr. Matej Supej, asis. prof. dr. Otmar Kugovnik

Ljubljana, 2008

Pripravila: Supej M., Kugovnik O.

Stran 2

Pripravila: Supej M., Kugovnik O.

Uvodne naloge za ponovitev matematinih vsebin1.) Narii graf funkcije: y(x) = sin(x) a.) Doloi nile, intervale padanja in naraanja b.) Doloi definicijsko obmoje c.) Kako se na grafu spremeni, e imamo funkcijo y(x) = a*sin(bx) d.) Narii e inverzno funkcijo k funkciji y(x )= sin(x) in doloi definicijsko obmoje (grafina predstava inverzne funkcije) 2.) Enako kot pri 1. nalogi naredi e za funkcijo cos(x)! 3.) Narii kronico z radijem r na kartezini koordinatni sistem. Doloi toko na kronici v kartezinih koordinatah, e pozna kot , ki ga oklepa abscisa in radij vektor iz izhodia do toke na kronici. Pomagaj si z pravokotnim trikotnikom. a.) Doloi povezave med koti in stranicami trikotnika (sin, cos, tg, ctg). b.) Narii funkcijo tg in ctg po enakem postopku kot pri 1. nalogi. c.) Doloi povezave med kotnimi funkcijami (sin, cos, tg, ctg). d.) Iz Pitagorovega izreka izpelji znano relacijo kotnih funkcij istega kota. 4.) Enako kot pri prvi nalogi naredi e za eksponentno funkcijo! 5.) Poenostavi enabo y(x) = AeaxBebx. a.) Iz enabe izrazi x (poii inverzno funkcijo). 6.) Obravnavaj kvadratno enabo y(x) = ax2 + bx + c. Doloi nile, lokalne ekstreme, intervali naraanja in padanja, ter druge karakteristine toke. a.) Narii graf funkcije! b.) Kako se vidi na grafu, da je diskriminanta negativna? c.) K izbrani toki x0 narii tangento! Enaba premice (Kaj pomenijo posamezni parametri in kako do njih pridemo?) Grafini prikaz odvoda! d.) Ponovi celotno proceduro za enabo y(x) = x2 4x + 3 7.) Reevanje sistemov ve enab z ve neznankami. a.) Doloi x in y, e pozna parametre a,b,...,f v naslednjih dveh enabah: ax + by = c in dx + ey = f (Dva naina raunanja.) b.) Kako bi reil sistem treh enab s tremi neznankami (kaj pa sistem ve enab)?

Stran 3

Pripravila: Supej M., Kugovnik O. 8.) Rei sistem enab: ax + by = c in dx2 + ey2 = f, e pozna parametre a,b,...,f! 9.) Definicija integralske funkcije (inverzna funkcija odvoda). sin(x), cos(x), tg(x), x-1, xn, ax, 10.) a.) b.) c.) d.) Definiraj integral kot ploino lika, ki jo omejuje krivulja funkcije in abscisna os! Limita vsote. Numerina metoda: Simpsonova formula. Pozitivna, negativna ploina (razlika obeh). Primer za y(x) = c in y(x) = ax2 + bx + c (naprej izraunaj splono nato pa vstavi parametre a = 1, b = -4, c = 3) Primerjava z numerino metodo.

11.) Izraunaj kolikno pot bi printer pretekel v t = 10 s, e bi se mu hitrost asovno spreminjala takole: v(t) = v0(1-et/), kjer je v0 = 12 m/s in = 10s. Premisli koliken bi moral biti , da bi printer tekel 10 s na 100 m! 12.) a.) b.) c.) Obrazloi kaj je vektor in kako si ga predstavljamo v prostoru! Vsota dveh vektorjev a in b (vsota ve vektorjev). Definiraj skalarni produkt. r Izraunaj koliken je kot med dvema poljubnima vektorjema a dvodimenzionalnem prostoru. r r d.) Pokai to na primeru a = (3,2) in b = (-1,1)!

r in b

v

13.) Izraunaj ploino trikotnika z danimi oglii T1, T2 in T3. a.) Izraunaj za primer: T1 = (0,0,0), T2 = (7,2,-1) in T3 = (-2,-1,1). b.) Kako se povea ploina, e stranico T1T2 podaljamo za faktor k = 1.5? 14.) Meani produkt treh vektorjev a, b in c. Kaj predstavlja? a.) Izraunaj volumen paralelopipeda, ki ima e eno ogljie T4 = (1,1,1) poleg ogli iz naloge 13.

Stran 4

Pripravila: Supej M., Kugovnik O.

A.1 Kinematika raunske naloge1. NALOGA a.) Definiraj hitrost in pospeek v vektorsko diferencialni obliki in pot ter hitrost v integralski obliki! b.) K spodnjim grafom na diagramu narii e pripadajoe grafe poti in pospekov!

2. NALOGA Zgornji diagram prikazuje enodimenzionalno pot portnika med meritvijo v odvisnosti od asa. Na spodnji diagram skiciraj pospeek v odvisnosti od asa. Pomagaj si s pomonimi vertikalnimi rtami.

s

a

t

t(s)

Stran 5

Pripravila: Supej M., Kugovnik O.

3. NALOGA Na spodnjem diagramu je prikazan potek kotne hitrosti v odvisnosti od asa t. Na dva dodatna diagrama skiciraj e pripadajoa grafa pospeka v odvisnoti od asa t in kota v odvisnosti od asa t.

4. NALOGA Kolesar je na 42 km dolgem maratonu. Zaradi prestavnih razmerij, ki jih ima njegovo kolo, mu odgovarjata dve hitrosti vonje v1 = 10 m/s in v2 = 11.5 m/s. Kolikno pot je prevozil s prvo oziroma kolikno pot z drugo hitrostjo, e je za celotno pot porabil 64 minut. 5. NALOGA Kolesar vozi na eni od etap. Na del etape, kjer mi zasledujemo njegove zmogljivosti, prikolesari s hitrostjo v0 = 20 m/s. Kolikno pot bo opravil v naslednjih t0 = 40 s, e poznate njegov graf pospeka? Narii e graf hitrosti in poti, ter izraunaj nalogo e geometrijsko!

Stran 6

Pripravila: Supej M., Kugovnik O.

a(m/s ) 2 1 -16. NALOGA Opazujemo dva kolesarja na eni od etap. Prvi kolesar je bolji v klanec, drugi pa po klancu navzdol. Zato je prvi kolesar na vrhu t = 1 s pred drugim kolesarjem in ima na vrhu hitrost v1 = 6 m/s, drugi kolesar pa ima na vrhu hitrost v2 = 5.5m/s. Zanima nas kateri bo hitreje prispel na konec poti navzdol doline l = 150 m, e se prvi giblje enakomerno pospeeno s pospekom a1 = 0.5 m/s2, drugi pa s pospekom a2 = 0.8 m/s2? e je drugi hitreji od prvega, izraunaj e kje se sreata. V kolikor ni hitreji pa izraunaj kje bi se sreala, e bi e vedno enakomerno pospeevala od konca klanca naprej. 7. NALOGA Zasledujemo kinematiko kolesarja na eni od etap. Na zaetku opazovanja ima kolesar hitrost v0 = 20 km/h. V prvih desetih sekundah t1 = 10 s enakomerno pospeuje s pospekom a1 = 0.4 m/s2. Nato se vozi s konstantno hitrostjo naslednjih t2 = 15 s dokler ne pride do zadnjega opazovanega dela etape, kjer se zane vzpenjati. V tem delu se giblje enakomerno pojemajoe s pospekom a3 = -0.6 m/s2. Na tri diagrame skiciraj graf pospeka, hitrosti in poti za opazovani as ts = 35 s. Izraunaj e kakno pot je opravil v tem asu. 8. NALOGA Met krogle smo opazovali s kamero frekvence 10s-1. Doloili smo toke krogle T0 = c(0,0,0), T1 = c(1.5,0,1.15), T2 = c(3,0,2.2), T3 = c(4.5,0,3.16) in T4 = c(6,0,4.02), kjer je c=1m. Z linearno aproksimacijo izraunaj hitrost ob asu 0.32 s. (Namig: Raunaj v vektorski obliki. Skico rii v ravnini xz.) 9. NALOGA Met krogle smo opazovali s kamero frekvence 10s-1. Doloili smo toke krogle T0 = c(0,0,0), T1 = c(1.5,0,1.15), T2 = c(3,0,2.2), T3 = c(4.5,0,3.16) in T4 = c(6,0,4.02), kjer je

2

10 20 30 40

t(s)

Stran 7

Pripravila: Supej M., Kugovnik O. c = 1 m. Z linearno aproksimacijo izraunaj pospeke krogle na posameznih intervalih. Iz izraunanega argumentiraj ali so kinematini izmerki smiselni! 10. NALOGA Z metodo kinematine analize, ki zajema slike s frekvenco =25s-1, smo merili skok v daljino z mesta. Iz izmerjenih tok smo izraunali naslednje toke teia: T0 = c(0,1.1,0.2), T1 = c(0.21,1.2,0.2), T2 = c(0.42,1.28, 0.2), T3 = c(0.63,1.35,0.2) in T4 = c(0.84,1.40,0.2), kjer je c = 1 m. Izraunaj hitrost teia ob asu t = 0.11 s. (Napotek za delo: Raunaj v vektorski obliki.) 11. NALOGA printerja na 100 m smo opazovali s kamero frekvence = 25 s-1. Doloili smo toke teia v nekem odseku proge, ki so prikazani v tabeli: t [s] X [m] 0 6.933 0.04 7.258 0.08 7.585 0.12 7.912 0.16 8.23 0.2 8.542 0.24 8.871 Y [m] 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 Z [m] 0.985 1.006 1.018 1.011 0.982 0.956 0.958

Z linearno aproksimacijo izraunaj hitrost ob asu t0 = 0.16 s in povpreno hitrost na celotnem delu meritve. 12. NALOGA printerja na 100 m smo opazovali s kamero frekvence = 25s-1. Doloili smo toke teia v nekem odseku proge, ki so prikazani v tabeli: t [s] X [m] 0 6.933 0.04 7.258 0.08 7.585 0.12 7.912 0.16 8.23 0.2 8.542 0.24 8.871 Y [m] 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17 Z [m] 0.985 1.006 1.018 1.011 0.982 0.956 0.958

Z linearno aproksimacijo izraunaj hitrost teia ob asu t0 = 0.07 s. 13. NALOGA Teie smuarja smo zasledovali s sistemom za kinematino analizo s frekvenco = 50s-1. V tabeli so podatki za hitrost v vseh treh smereh za teie telesa za asovni interval od 0.78 s do 0.9 s. Izraunaj za im iri interval, kako se spreminja pospeek v r x smeri. Doloi e hitrost v ob asu t1 = 0.82 s in t2 = 0.862 s. t (s) vx (m/s) vy (m/s) vz (m/s) 0.78 11.8737 0.5985 5.25 0.8 11.9371 0.4879 5.225

Stran 8

Pripravila: Supej M., Kugovnik O. 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 14. NALOGA Skok v daljino z mesta je bil posnet z dvema videokamerama s frekvenco = 25 s-1. Opravljena je bila kinematina analiza. V zadnjih 12-ih stotinkah sekunde, ko se skakalec e dotika tal, so bili izmerjeni naslednji poloaji teia telesa (smatramo, da je gibanje ravninsko): Toka T1 T2 T3 T4 t (s) 0 0.04 0.08 0.12 x (m) 0,373 0,461 0,563 0,667 y (m) 0,776 0,84 0,924 1,011 11.9452 11.9296 11.9693 11.9695 12.0092 0.3061 0.1163 -0.0813 -0.2394 -0.3579 5.125 4.95 4.8 4.725 4.675

S pomojo linearne aproksimacije izraunaj hitrost ob asu t = 0.03 s in pospeek v asu t = 0.08 s. (Namig: raunaj v vektorski obliki.) 15. NALOGA Skok v daljino z mesta je bil posnet z dvema videokamerama s frekvenco = 25s-1. Opravljena je bila kinematina analiza. V zadnjih 12-ih stotinkah sekunde, ko se skakalec e dotika tal, so bili izmerjeni naslednji poloaji teia telesa (smatramo, da je gibanje ravninsko): Toka T1 T2 T3 T4 t (s) 0 0.04 0.08 0.12 x (m) 0,373 0,461 0,563 0,667 y (m) 0,776 0,84 0,924 1,011

S pomojo linearne aproksimacije izraunaj hitrost ob asu t = 0.05 s in pospeek v asu t = 0.04 s. (Namig: raunaj v vektorski obliki.) 16. NALOGA Padalec skoi iz letala. S pomojo kinematinega sistema za doloanje lege teia telesa smo izmerili podatke predstavljene v tabeli. S pomojo linearne aproksimacije im natanneje doloi hitrost gibanja teia telesa ob asu t