of 51 /51
UVOD U PRIJENOS TOPLINE I TVARI DIO I PROVOĐENJE TOPLINE ILI KONDUKCIJA Frano Barbir FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTE U SPLITU Studeni 2013

Skripta Iz PTT

Embed Size (px)

DESCRIPTION

f

Text of Skripta Iz PTT

  • UVOD

    U

    PRIJENOS TOPLINE I TVARI

    DIO I

    PROVOENJE TOPLINE ILI KONDUKCIJA

    Frano Barbir

    FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

    SVEUILITE U SPLITU

    Studeni 2013

  • 1 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Frano Barbir

    Uvod u prijenos topline i tvari

    Dio I: Provoenje topline ili kondukcija

    Sadraj Uvodne napomene predgovor 2

    1. Uvod u prijenos topline i tvari 3

    1.1 Jedinice 3

    1.2 Naini prijenosa topline 4 1.3 Osnovna jednadba prijenosa 6 1.4 Slinost prijenosa momenta, topline i tvari 8

    2. Uvod u kondukciju 11

    2.1 Izvod osnovne jednadbe provoenja topline ili kondukcije 11 2.2 Granini uvjeti 13

    3. Stacionarno provoenje topline u jednoj dimenziji 15 3.1 Provoenje topline kroz zid 15 3.2 Provoenje topline kroz vieslojni zid 16 3.3 Provoenje topline kroz cilindrini zid 18 3.4 Prolaz topline kroz zid 20

    3.5 Kritina debljina izolacije 21 3.6 Zid sa unutranjim izvorom topline 23

    4. Stacionarno provoenje topline u dvije dimenzije 25 4.1 Analitiko rjeenje 25 4.2 Metoda konanih razlika 28 4.3 Metoda kontrolnih volumena 32

    5. Nestacionarno provoenje topline 33 5.1 Analitiko rjeenje nestacionarnog provoenja topline kroz zid (beskonanu plou) 33 5.2 Nestacionarno provoenje topline u polu-beskonanom tijelu 35 5.3 Metoda prorauna pomou dijagarama (Heislerovi dijagrami) 39 5.4 Viedimenzionalno provoenje topline u geometrijskim tijelima metoda superpozicije 44

    5.5 Numerike metode metoda kontrolnih volumena 46 5.6 Metoda cjelokupnog toplinskog kapaciteta 48

    Literatura 50

  • 2 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Uvodne napomene predgovor

    Ovaj uvod u prijenos topline i tvari namijenjen je studentima koji su upisali kolegij Prijenos

    topline i tvari na prvoj godini diplomskog studija strojarstva. Za pretpostaviti je da su u okviru

    kolegija Termodinamika dobili osnove prijenosa topline. U ovom kolegiju se ide dublje u

    teoriju i probleme stacionarnog i nestacionarnog provoenja topline te se daju metode rijeavanja takvih problema. Takoer se ulazi dublje u teoriju prijelaza topline kako laminarnog tako i turbulentnog.

    Propisani udbenik za ovaj predmet interna skripta Elementi prijenosa topline i tvari autora Nevena Ninia u izdanju Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Splitu nije dovoljan za svladavanje gradiva. Ova skripta se nadopunjuju i razrauju poglavlja koja u propisanom udbeniku nisu dovoljno objanjenja. Konkretno ova skripta sadre slijedee sadraje:

    Uvod u prijenos topline i tvari Jedinice, kratki pregled naina prijenosa topline, izvod osnovne jednadbe prijenosa, slinost prijenosa momenta, topline i tvari

    Uvod u kondukciju - Izvod osnovne jednadbe provoenja topline te opis moguih graninih uvjeta

    Stacionarno provoenje topline u jednoj dimenziji kroz zid, vieslojni zid, cilindrini zid, ukupni prolaz topline kroz tid ukljuujui i konvekciju s obe strane zida, te provoenje topline u zidu s unutranjim izvorom topline.

    Stacionarno provoenje topline u dvije dimenzije - analitiko rjeenje i numerike metode (metoda konanih razlika i metoda kontrolnih volumena

    Nestacionarno provoenje topline - analitiko rjeenje nestacionarnog provoenja topline kroz zid (beskonanu plou) i u polu-beskonanom tijelu, metoda prorauna pomou dijagarama (Heislerovi dijagrami) ukljuujui i viedimenzionalno provoenje topline u geometrijskim tijelima, numerike metode (metoda kontrolnih volumena) i metoda cjelokupnog toplinskog kapaciteta

    Prijenos topline ili konvekcija te istovremeni prijenos topline i tvari, koji ine sastvni dio kolegija Prijenos topline i tvari, predvidja se obraditi u posebnim skriptama.

  • 3 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    1. UVOD U PRIJENOS TOPLINE I TVARI

    Termodinamika se bavi prouavanjem topline i njenim odnosima sa drugim oblicima energije poglavito radom. Termodinamika ne ulazi u detalje prijenosa topline; za

    termodinamika prouavanja bitno je koliko se topline prenese, dovede ili odvede, koliko se dobije ili uloi rada, te koje je konano stanje sustava. Detaljno prouavanja fenomena prijenosa topline daje odgovore na pitanja kako, na koje naine se toplina prenosi, kojom brzinom, kakav je rezultirajui raspored temperatura u vremenu i prostoru.

    1.1. Jedinice

    U analizi prijenosa topline i tvari koriste se slijedee osnovne veliine i njihove jedinice:

    Duina, L, D, d, , x metar [m]

    Masa, m kilogram [kg]

    Koliina tvari, N kilomol [kmol]

    Vrijeme, t, sekunda [s]

    Temperatura, T, t Kelvin [K] ili stupanj Celzijusov [C]

    Sve ostale fizike veliine mogu se izvesti iz ovih osnovnih:

    Povrina, A [m2]

    Volumen, V [m3]

    Brzina, u, v [m/s]

    Ubrzanje, a, g [m/s2]

    Sila, F = masa ubrzanje [kg m/s2] = Newton [N]

    Tlak, p = sila/povrina [N/m2] = Pascal [Pa]

    Rad, W, energija E, toplina Q = sila duina [Nm] = Joule [J]

    Snaga, P = energija/vrijeme [J/s] = Watt [W]

    Toplinski tok, Q, q [W] ili [W/m2]

    Maseni protok, m [kg/s]

    Volumni protok, Q,V [m3/s]

    Molni protok, J, NJ , [kmol/s]

    Gustoa, = masa/volumen [kg/m3]

    Specifini volumen, v = volumen/masa [m3/kg]

    Specifina toplina, c, cp, cv

    Kkg

    J

    Plinska konstanta, R

    Kkg

    J

    Univerzalna plinska konstanta, Ru, R

    Kkmol

    J

    Koeficijent prolaza topline,

    Km

    W

    Koeficijent prijelaza topline,

    Km

    W2

    Koeficijent difuzije, D [m2/s]

  • 4 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Toplinski difuzivitet, a [m2/s]

    Kinematski viskozitet, [m2/s]

    Viskozitet, [Pa s]

    1.2. Naini prijenosa topline

    Postoje tri mogua naina prijenosa topline

    Provoenje topline ili kondukcija,

    Prijenos topline ili konvekcija,

    Toplinsko zraenje ili radijacija.

    a) Provoenje ili kondukcija Toplina se provodi (difundira) kroz tvar koja miruje mehanizmom direktnog kontakta

    elementarnih estica te tvari. Iako se ovaj nain prostiranja topline moe dogaati i u plinovima i tekuinama najee se promatra u krutim tijelima. Koliina topline koja prolazi u jedinici vremena i po jedinici povrine proporcionalna je gradijentu temperature:

    x

    Tqx

    (1.1)

    Konstanta proporcionalnosti, , se naziva koeficijent toplinske vodljivosti, dakle svojstvo materijala, i ima jedinicu W m

    -1 K

    -1. Negativan znak jednadbe osigurava znai da

    temperature opada u smjeru prolaza topline, odnosno da toplina ide s vee na niu temperature (slika 1)

    Slika 1 Provoenje topline

    b) Prijenos topline ili konvekcija

    Toplina prelazi bilo sa nekog tijela na fluid koji ga oplakuje (slika 2a) ili sa fluida na

    tijelo (slika 2b) ovisno o temperaturama fluida i povrine tijela. I ovdje toplina ide s vee na niu temperaturu. Koliina topline koja u jedinici vremena i po jedinici povrine prijee je dana jednostavnom jednadbom:

    TTq z (1.2)

  • 5 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    gdje je jednostavno koeficijent prijelaza topline s jedinicom W m-2 K-1., i koji ovisi o vrsti fluida (tj. njegovoj gustoi, viskozitetu, toplinskoj vodljivosti i specifinoj toplini), brzini strujanja i geometriji povrine.

    Slika 2 Prijelaz topline a) sa stijenke na fluid; b) s fluida na stijenku

    c) Toplinsko zraenje ili radijacija Toplina se moe prenositi i putem elektro-magnetskih valova s jednog tijela na drugo

    kroz propustan medij ili vakum. Svako tijelo emitira (zrai) energiju koja je proporcionalna njegovoj temperaturi na etvrtu potenciju:

    4Tq (1.3)

    gdje je konstanta proporcionalnosti , Stefan-Boltzmannova konstanta koja iznosi

    5,6710-8 Wm-2K-4, a je emisivnost tijela (u odnosu na crno tijelo ija je emisivnost jednaka 1). Toplina koja se izmijeni izmeu dva tijela razliitih temperatura, T1 i T2, je onda:

    424121 TTFq (1.4)

    gdje je F1-2 geometrijski faktor. Za sluaj zraenja izmeu dvije paralelne beskonane ploe, kao to je to prikazano na slici 3, taj geometrijski faktor je:

    111

    1F

    21

    21

    (1.5)

    Za svaki drugi sluaj geometrijski faktor zraenja je potrebno posebno odrediti.

  • 6 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slika 3 Zraenje topline izmeu dva tijela

    1.3. Openita jednadba prijenosa

    Osim prijenosa topline postoji i prijenos tvari, a esto su prijenos topline i prijenos tvari povezani, kao na pr. kod procesa prijelaza topline ili konvekcije, ili pak kod procesa

    ishlapljivanja.

    Prijenos tvari je i strujanje fluida, ime se bavi posebna grana strojarstva Mehanika fluida, ali ne ulazei u toplinske efekte. Proces difuzije tvari je takoer proces prijenosa tvari koji ne mora imati veze sa prijenosom topline. Ali, sam proces provoenja topline fiziki je zapravo proces difuzije topline. Slian je i fenomen transporta momenta u viskoznom fluidu. Nije ni udo da su onda jednadbe kojima se opisuju ova tri procesa vrlo sline.

    Procesi prijenosa momenta, topline i tvari, pa i elektrine energije se opisuju slinim jednadbama. U principu je brzina prijenosa proporcionalna pogonskoj sili a obrnuto proporcionalna otporu. To se moe prikazati openitom jednadbom:

    Pogonska sila

    Brzina prijenosa: ______________________

    (1.6)

    Otpor

    Drugim rijeima potrebna je nekakva pogonska sila da bi se prevladao otpor kako bi dolo do prijenosa neega. Kod prijenosa topline pogonska sila je razlika temperature, kod strujanja fluida razlika tlakova, kod difuzije razlika koncentracija, a kod elektrine struje razlika potencijala. Pojam otpora moda je najlake shvatiti kod prijenosa elektrine struje, pa i kod strujanja fluida.

    Matematiki se prijenos neke veliine moe izraziti jednadbom:

    dx

    dx

    (1.7)

    gdje je x tok neke veliine (momenta, topline, tvari) u smjeru osi x izraen kao koliina

    u jedinici vremena i po jedininom poprenom presjeku okomito na smjer toka, je

    jednostavno konstanta proporcionalnosti, a je koncentracija te veliine, tj. koliina po jedinici volumena.

    Integracijom izraza 1.7 dobije se

  • 7 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    2

    1

    2x

    1x

    x ddx (1.8)

    12

    21x

    xx

    (1.9)

    Iz jednadbe 1.9 proizlazi da koncentracija opada linearno sa x, to je vidljivo na slici 1.4. Tok je u smjeru opadajue koncentracije to objanjava negativni znak u jednadbi 1.7.

    koncentracija

    1

    2

    x, udaljenost

    x1 x2

    tok

    Slika 1.4. Promjena koncentracije i smjer toka

    U stacionarnom stanju i kad nema stvaranja neega, tok na ulazu u nekakav jedinini

    element duljine x (na slici 1.5) jednak je toku na izlazu, ili

    xxxxx (1.10)

    to znai da je u tom sluaju x konstantan.

    Slika 1.5 Jedinini element

    Za sluaj nestacionarnog toka u x smjeru moe se postaviti

    Tok na ulazu = tok na izlazu + brzina akumulacije (1.11)

  • 8 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Brzina akumulacije se moe izraziti kao promjena veliine s vremenom u jedininom

    volumenu 1x:

    Brzina akumulacije xt

    (1.12)

    Uvrtavanjem izraza 1.10 i 1.12 u 1.11 dobije se

    xtxx

    xxx

    (1.13)

    Ako se izraz (1.13) podijeli sa x i uzme limes kad x0 dobije se:

    tx

    x

    (1.14)

    Derivacijom jednadbe 1.7 i njenim uvrtenjem u 1.14 dobije se

    tx2

    2

    (1.15)

    to predstavlja generalnu jednadbu prijenosa za nestacionarne uvjete, tj. promjenu koncentracije u vremenu i prostoru. U matematici, ovakav tip diferencijalne jednadbe zove

    se Poissonova jednadba. Za stacionarne uvjete, dakle kad nema promjene veliine po vremenu, dobije se jednostavno:

    0x2

    2

    (1.16)

    to se u matematici zove Laplaceova diferencijalna jednadba.

    1.4. Slinost prijenosa momenta, topline i tvari

    U plinovima moemo imati prijenos momenta, topline i tvari. Ovaj prijenos je zapravo molekularnog karaktera. U sluaju da postoji gradijent koncentracije momenta, topline ili tvari nastati e tok i to u smjeru od vee k manjoj koncentraciji. Ukoliko se radi o koncentraciji momenta, molekule s veim momentom e migritati u podruje s manjim momentom. Slino e i u sluaju postojanja temperaturnog gradijenta toplije molekule migrirati u hladnije podruje. To je jo oitije kod prijenosa tvari, iz podruja njene vee koncentracije u podruje manje koncentracije.

    Vano svojstvo fluida, po emu se fluidi i razlikuju od krutih tijela, je viskoznost. Ako je kruto tijelo izloeno naprezanju dolazi do deformacije i eventualno do loma tok tijela. Meutim, ako se fluid izloi naprezanju dolazi do njegovog toka ija brzina je proporcionalna sili naprezanja. Svojstvo viskoznosti se moe lako vizualizirati na primjeru fluida koji se nalazi izmeu dvije paralelne ploe. U jednom trenutku donja ploa se povue u smjeru osi x sa konstantnom brzinom V. Sloj neposredno us donju plou se giba sa istom brzinom kao i ploa. Meutim uslijed viskoznosti fluida njegov se moment prenosti na susjedni sloj i tako

  • 9 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    dalje sve do gornje nepomine ploe. Brzina sloja neposredno uz gornju plou je dakle jednaka 0 (iz istog razloga iz kojeg je brzina sloja neposredno uz donju plou jednaka V). Eventualno, nakon nekog vremena e se uspostaviti linearni profil brzina u smjeru osi x, kako je to prikazano na dnu slike 1.6a (vx(0) =V a vx(Y) = 0).

    Sila po jedinici povrine (F/A) naziva se smino naprezanje fluida, yx. i ima jedinicu N m

    -2 ili kg m

    -1 s

    -2 U tom sluaju vrijedi:

    dy

    dvxyx (1.17)

    gdje je viskoznost ili u stvari konstanta proporcionalnosti, koja ima dimenziju kg m-1 s-1 , a vx brzina u smjeru osi x a koja je funkcija o y. Treba primijetiti slinost jednadbe (1.17) sa openitom jednadbom (1.7).

    Integracijom se dobije

    Y

    V

    0Y

    V0

    A

    F

    (1.18)

    Ako desnu strane jednadbe (1.17) pomnoimo i podijelimo sa gustoom dobije se:

    dy

    vd xyx

    (1.19)

    Jedinicu za naprezanje [kg m-1

    s-2] se moe napisati kao [kg m s-1] / [s-1 m-2] pa iz toga

    moemo zakljuiti da je yx zapravo moment [kg m s-1] po jedinici vremena i jedinici povrine.

    Drugim rijeima to je tok x-momenta u smjeru osi y. Viskoznost podijeljena sa gustoom, /,

    je takozvana kinematika viskoznost, , koja ima jedinicu m2/s. Izraz u zagradama (vx) predstavlja koncentraciju momenta po jedinici volumena s jedinicom [kg m s

    -1] / [m

    3].

    Slinost s jednadbom 1.7 sad je jo oitija.

    Identina analogija moe se primijeniti i na provoenje topline. Fourierova jednadba za provoenje topline primijenjeno na sliku 1.6b glasi:

    y

    Tqy

    (1.20)

    gdje je qy toplinski tok u smjeru y (koliina topline u J, po jedinici vremena i jedinici

    povrine). U ovom sluaju je konstanta proporcionalnosti , toplinska vodljivost koja ima

    jedinicu W m-1

    K-1. Ukoliko desnu strane jednadbe pomnoimo i podjelimo s (c), gdje je c

    specifina toplina [J kg-1K-1] dobijemo jo jasniju slinost s prijenosom momenta:

    y

    cT

    cqy

    (1.21)

  • 10 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    gdje je c

    toplinski difuzivitet, a, s jedinicom m

    2/s, dakle istom jedinicom kao i konstanta

    proporcionalnosti kod prijenosa momenta, tj. kinematiki viskozitet. Izraz u zagradama (cT)

    s jedinicom

    33 m

    JK

    kgK

    J

    m

    kg predstavlja koncentraciju topline.

    b) prijenos topline c) prijenos masea) prijenos koliine kretanja

    Slika 1.6 Slinost prijenosa momenta, topline i tvari

    Identina analogija moe se takoer primijeniti i na prijenos tvari. Molekularna difuzija tvari A kroz neku drugu tvar B, moe se opisati Fickovim zakonom:

    y

    CDN AABAy

    (1.22)

    gdje je NAy molarni tok tvari A u smjeru y po jedinici povrine

    2ms

    mol, DAB je koeficijent

    difuzije tvari A kroz tvar B s jedinicom m2/s, a CA je koncetracija tvari A u mol/m

    3.

  • 11 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    2. UVOD U KONDUKCIJU

    2.1 Izvod osnovne jednadbe provoenja topline ili kondukcije

    Iskustveno znamo da toplina uvijek prelazi sa nekog tijela vee temperature na tijelo nie temperature, ili unutar nekog tijela sa podruja vee temperature na podruje nie temperature. Koliina topline ili toplinski tok je proporcionalan gradijentu temperature:

    x

    Tq

    A

    Q

    (2.1)

    Ako se umetne konstanta proporcionalnosti onda

    x

    TAQ

    (2.2)

    gdje je Q toplina koja se provede u jedinici vremena u W, A je povrina okomito na smjer

    prolaza topline u m2,

    x

    T

    je temperaturni gradijent u smjeru prolaza topline , a je konstanta

    proporcionalnosti koja predstavlja toplinsku provodljivost materijala i ima jedinicu Km

    W.

    Negativni znak znai da toplina ide sa vie na niu temperature, ime je zadovoljen drugi zakon termodinamike. Jednadba (2.2) je poznata kao Fourierov zakon provoenja topline.

    Ako krenemo od jednadbe (2.2) moe se doi do osnovne openite jednadbe koja opisuje provoenje topline. Promatranjem prolaza topline kroz infinitezimalno mali dijeli nekog tijela debljine dx (slika 2.1) moemo postaviti ravnoteu energija:

    Energija (toplina) koja dolazi na lijevu stranu + toplina koja se generira u elementu =

    promjena unutranje energije elementa + energija (toplina) koja se odvodi s desne strane

    Slika 2.1 Jedinini element za prouavanja provoenja topline

  • 12 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Energija (toplina) koja dolazi na lijevu stranu = x

    TAQx

    toplina koja se generira u element = Adxq

    promjena unutranje energije elementa = dxT

    cA

    energija (toplina) koja se odvodi s desne strane =

    dxx

    T

    xx

    TA

    x

    TAQ

    dxx

    dxx

    Kombinacijom ovih jednadbi dobije se:

    dx

    x

    T

    xx

    TAdx

    TcAAdxq

    x

    TA (2.3)

    Ili nakon sreivanja:

    Tcq

    x

    T

    x (2.4)

    Za sluaj kad je toplinska provodljivost konstanta, tj. ne mijenja se s x (to je najee i sluaj), dobije se:

    Tcq

    x

    T2

    2

    (2.5)

    ili

    Tcq

    x

    T2

    2 (2.6)

    Veliina a =c

    je tzv. toplinski difuzivitet i ima jedinicu m

    2/s, dakle isto kao i difuzijski

    koeficijent D ili kinematski viskozitet .

    T

    a

    1q

    x

    T2

    2 (2.7)

    Za openiti trodimenzionalni sluaj nestacionarnog provoenja topline sa unutranjom proizvodnjom topline jednadba je

    T

    a

    1q

    z

    T

    y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    2

    2 (2.8)

    Ova se jednadba moe pojednostavniti za sluaj kad nema unutranje proizvodnje topline

  • 13 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    T

    a

    1

    z

    T

    y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    2

    2

    (2.9)

    Ili za stacionarno provoenje topline sa unutranjom proizvodnjom topline

    0q

    z

    T

    y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    2

    2

    (2.10)

    Ili za stacionarno provoenje topline bez unutranje proizvodnje topline

    0z

    T

    y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    2

    2

    (2.11)

    Za stacionarno provoenje topline samo u jednom smjeru (x):

    0x

    T2

    2

    (2.12)

    Gornje jednadbe se rjeavaju analitiki (uglavnom za jednostavnije geometrije) ili numeriki.

    2.2 Granini uvjeti

    Za analitiko ili numeriko rjeavanje jednabi prijenosa topline potrebni su granini uvjeti, tj. uvjeti na povrini promatranog tijela koja je u kontaktu sa okoliem. Pri tome je to tijelo u ravnotei ili razmjenjuje toplinu s okoliem. Najee su zadani slijedei granini uvjeti:

    a) Zadana konstantna temperature povrine (slika 2.2a)

    ST0xT (2.13)

    b) Zadan toplinski tok na povrini (slika 2.2b)

    s

    0x

    qx

    T

    (2.14)

    c) Izolirana povrina (ili linija simetrije) (slika 2.2c)

    0x

    T

    0x

    (2.15)

    d) Konvektivni prijenos topline izmeu tijela i okolia zadane temperature T

    TT

    x

    T0x

    0x

    (2.16)

  • 14 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slika 2.2. Granini uvjeti kod provoenja topline; a) zadana temperature, b) zadani toplinski tok, c) izolirana povrina (ili linija simetrije), d) konvektivni prijelaz topline na povrini

  • 15 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    3. STACIONARNO PROVOENJE TOPLINE U JEDNOJ DIMENZIJI

    3.1 Provoenje topline kroz zid

    Prolaz topline kroz zid je primjer kondukcije u jednom smjeru okomito na zid. Pri tome se podrazumijeva da zid ima konanu debljinu ali da su druge dimenzije zida znatno vee od njegove debljine. Drugim rijeima, provoenje topline u drugim smjerovima je zanemarivo. Ukoliko se provoenje topline u drugim smjerovima ne moe zanemariti onda to postaje 2-D ili 3-D provoenje topline.

    Integracijom Fourierove jednadbe dobije se

    12 TTA

    x

    TAQ

    (3.1)

    gdje je:

    Q = toplina (toplinski tok) koja prolazi kroz zid, W

    A = povrina zida okomito na smjer prolaza topline, m2

    = koeficijent provoenja topline, W m-1 K-2

    = debljina zida, m T1 = temperatura na povrini zida s jedne strane, K (ili C s obzirom da se radi o razlici temperatura)

    T2 = temperature na povrini zida s druge strane, K (ili C s obzirom da se radi o razlici temperatura)

    Potrebno je naglasiti da je smjer provoenja topline uvijek s vie na niu temperature, pa je prema tome T1 > T2 kako je to prikazano na slici 1.1. Promjena temperature kroz zid je

    linearna. To se moe lako dokazati dvostrukom integracijom jednadbe (2.12) koja opisuje jednodimenzionalno provoenje topline, s graninim uvjetima:

    T = T1 za x = 0

    T = T2 za x =

    Nakon prve integracije dobije se:

    1Cx

    T

    (3.2)

    I nakon druge integracije:

    21 CxCT (3.3)

    Iz prvog graninog uvjeta slijedi:

    12 TC (3.4)

    A iz drugog graninog uvjeta:

  • 16 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    121

    TTC (3.5)

    Uvrtenjem izraunatih konstanti integracije dobije se

    112 TxTT

    T

    (3.6)

    to je jednaba pravca, dakle linearna promjena temperature s x.

    Nagib pravca se moe dobiti iz

    12 TT

    A

    Q

    x

    T (3.7)

    Dakle za istu koliinu topline promjena temperature e biti strmija za manji , dakle za bolji toplinski izolator.

    3.2 Provoenje topline kroz vieslojni zid

    Jednadba (3.1) se moe napisati u obliku:

    A

    TTQ 21

    (3.8)

    Ili openito

    otportoplinski

    atemperaturrazlikatoplineprotok (3.9)

    to neodoljivo podsjea na Ohmov zakon otpora:

    otporelektricni

    naponarazlikastrujeelprotok . (3.10)

    S ovom analogijom se moe rijeiti bilo koja kombinacija paralelnih i serijskih otpora.

    topl

    ukupni

    R

    TQ ili

    n

    1n nn

    n

    1n1

    A

    TTQ ili

    n

    1n n

    n

    1n1 TTq (3.11)

    Za tri serijska otpora kako je prikazano na slici 3.1 jednadba (3.11) postaje:

  • 17 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    33

    3

    22

    2

    11

    1

    41

    AAA

    TTQ

    (3.12)

    Treba napomenuti da je toplina koja proe kroz svaki sloj vieslojnog zida jednaka:

    33

    3

    43

    22

    2

    32

    11

    1

    21

    A

    TT

    A

    TT

    A

    TTQ

    (3.13)

    temperaturniprofil

    xAAA

    xCCA

    xBBA

    xA xB xC

    Slika 3.1 Provoenje topline kroz vieslojni zid

    Za dva paralelna otpora ukupan otpor se analogno elektrinim otporima rauna sa

    21uk R

    1

    R

    1

    R

    1 (3.14)

    Ili za vie paralelnih otpora

    n

    1n nuk R

    1

    R

    1 (3.15)

    Za kombinaciju serisjkih i paralelnih otpora, kao na primjer na slici 3.2, ukupan otpor

    je:

    GF

    E

    DCB

    Auk

    R

    1

    R

    1

    1R

    R

    1

    R

    1

    R

    1

    1RR

    (3.16)

    Treba napomenuti da u sluaju paralelnih otpora pretpostavka o jednodimenzionalnom provoenju topline moe doi u pitanje (jer je y dimenzija pojedinih paralelnih elemenata konana), pa je u sluaju gdje je potrebna vea tonost potrebno primijeniti 2-D provoenje topline.

  • 18 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slika 3.2. Primjer kombinacije serijskih i paralelnih otpora

    3.3 Provoenje topline kroz cilindrini zid (koritenje cilindrinih koordinata)

    U sluaju da je zid kroz koji se provodi toplina zakrivljen, kao na primjer u tehnikoj praksi dosta estom sluaju cijevi (slika 3.3), povrina poprenog presjeka, A, se mijenja s duljinom, tj. polumjerom u smjeru provoenja topline (unutranja povrina cijevi je manja od vanjske).

    rL2A (3.17)

    Fourierov zakon ostaje isti jedino je duljina x zamijenjena s polumjerom r:

    r

    TrL2

    r

    TAQ

    (3.18)

    Problem je i dalje jednodimenzionalan jer je provoenje topline jednako u svim smjerovima.

    Integracija jednadbe s graninim uvjetima

    T = Tu kad je r = ru

    T = Tv kad je r = rv

    daje:

    uvvu

    rr

    TTL2Q

    /ln

    (3.19)

  • 19 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    ln(rv/ru)

    2LR =

    Slika 3.3 Provoenje topline kroz stijenke cilindra (cijevi)

    Za sluaj vieslojnog cilindra (na pr. cijevi s nekoliko slojeva izolacije)

    n

    1i i

    i1i

    1n1

    rr

    TTL2Q

    /ln (3.20)

    Konkretno za sluaj sa tri sloja prikazanom na slici 3.4:

    3

    34

    2

    23

    1

    12

    41

    rrrrrr

    TTL2Q

    /ln/ln/ln (2.31)

    ln(r2/r1)

    2LA

    ln(r4/r3)

    2LC

    ln(r3/r2)

    2LB

    Slika 3.4 Provoenje topline kroz vieslojni cilindar (cijev)

  • 20 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slino se moe postaviti i za u praksi puno rijei problem provoenja topline kroz sferini zid. U tom sluaju se koriste sferine koordinate, pa je toplina koja se provodi kroz sferini zid:

    vu

    vu

    r

    1

    r

    1

    TT4Q

    (3.22)

    Odnosno kroz vieslojni sferini zid

    i1i

    n

    1i i

    11n

    r

    1

    r

    11

    TT4Q (3.23)

    3.4. Prolaz topline kroz zid

    U sluaju kad temperature zida nisu poznate vec su poznate temperature fluida s jedne i s druge strane zida, potrebno je uzeti u obzir i konvekcijski prijelaz topline s toplijeg fluida na

    zid s jedne strane i sa zida na hladniji fluid s druge strane (Slika 3.5). Postupak rijeavanja je isti jedino konvekcijski prijelazi topline predstavljaju dodatne toplinske otpore u seriji s

    provoenjem topline kroz zid. Ista toplina prjee sa toplijeg fluida na zid, zatim proe kroz zid i na kraju prijee sa zida na hladniji fluid.

    1A

    11A

    12A

    1

    2

    Slika 3.5 Prolaz topline kroz zid

  • 21 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    v2v211uu TTATTA

    TTAQ

    (3.24)

    Toplinski tok je opet omjer ukupne temperaturne razlike i ukupnog toplinskog otpora

    vu

    vu

    11

    TT

    A

    Qq

    (3.25)

    Ukupni koeficijent prolaza topline kroz stijenku ili zid U [W/m2K] je onda:

    vu

    11

    1U

    (3.26)

    U tom sluaju je toplina koja prolazi:

    vu TTUAQ (3.27)

    Za sluaj prolaza topline kroz cilindrini zid (na pr. stijenku cijevi)

    vv

    uv

    uu

    vu

    A

    1

    L2

    rr

    A

    1

    TTQ

    /ln (3.28)

    Poto se kod cilindrinog zida vanjska i unutranja povrina razlikuju onda se ukupni koeficijent prolaza topline moe bazirati ili na vanjskoj ili unutranjoj povrini stijenke:

    vuuuvuvv TTAUTTAUQ (3.29)

    Pri emu su:

    v

    uvv

    uu

    v

    v1

    L2

    rrA

    A

    A

    1U

    /ln

    (3.30)

    vv

    uuvu

    u

    u

    A

    A

    L2

    rrA1

    1U

    /ln

    (3.31)

    3.5. Kritina debljina izolacije

    Kod izolacije cijevi postoji kritina debljina izolacije, odnosno kritini vanjski polumjer izolacije kod kojega je gubitak topline maksimalan. Ukoliko se uzme da je temperatura na

    vanjskoj povrini cijevi poznata Tc onda je prema slici 3.6 gubitak topline kroz izolacijski sloj:

  • 22 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    ln(rv/rc)

    2L

    1

    2rvL

    rc rv

    v

    Tc T

    T

    Tc

    Slika 3.6 Prolaz topline kroz izolaciju cijevi

    vv

    cv

    c

    r

    1rr

    TTL2Q

    /ln (3.32)

    Iz jednadbe (3.32) je vidljivo da kondukcijski otpor raste sa logaritmom vanjskog polumjera, ln(rv), dok je konvekcijski obrnuto proporcionalan vanjskom polumjeru, rv. Prema

    tome gubitak topline, Q, e za neki rv imati maksimum. Matematiki to se moe nai iz uvjeta dQ/drv = 0:

    2

    vv

    cv

    2

    vvv

    c

    v

    r

    1rr

    r

    1

    r

    1TTL2

    0dr

    dQ

    /ln (3.33)

    ije je rjeenje:

    v

    kritvr

    , (3.34)

    Dakle, za rv=/v, gubitak topline kroz izolacijski sloj debljine rv rc e biti maksimalan, kako je prikazano na slici 3.7. To znai da ukoliko je vanjski polumjer manji od kritinog (rv

  • 23 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    3.6. Zid sa izvorom topline

    U zidu debljine prikazanom na slici 3.8 generira se toplina q jednolino po cijelom

    volumenu (q ima dimenziju W/m3). Poto se toplina odvodi na lijevoj i desnoj strani zida, za odrediti raspored temperatura u zidu treba krenuti od jednadbe za stacionarno jednodimenzionalno provoenje topline s unutranjom generacijom (2.10), koja za jednodimenzionalno provoenje topline glasi:

    0q

    dx

    Td2

    2

    (3.35)

    2

    Tz

    2

    Tmax

    Tz

    toplina generiranapo jedinici volumena

    Slika 3.8 Provoenje topline kroz zid s unutranjom generacijom

    Za rijeenje ove jednadbe potrebni su granini uvjeti. Na stijenkama zida (x=/2) neka je temperatura T=Tz. Poto e tok topline biti simetrino iz unutranjosti zida prema lijevoj i desnoj strani zida u sredini zida (x=0) temperature e biti najvia, T=Tmax.

    Integracijom jednadbe (3.35) dobije se:

    1Cxq

    dx

    dT

    (3.36)

    Konstantu integracije C1 moe se odrediti iz drugog graninog uvjeta

    x=0, T=Tmax, 0dx

    dT

    U tom sluaju C1= 0.

    Jo jednom integracijom dobije se:

    2

    2

    C2

    xqT

    (3.37)

  • 24 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Konstanta integracije C2 takoer slijedi iz graninog uvjeta x=0, T=Tmax, pa je C2 = Tmax

    Onda je:

    2

    xqTT

    2

    max (3.38)

    Kad je x=/2 temperatura T=Tz, pa je

    8

    qTT

    2

    z

    max (3.39)

    Dijeljenjem jednadbi (3.38) i (3.39) dobije se:

    2

    z

    x4

    TT

    TT

    max

    max (3.40)

    to predstavlja parabolinu distribuciju temperature u zidu. Maksimalna temperatura se dobije iz jednadbe :

    8

    qTT

    2

    z

    max (3.41)

  • 25 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    4. STACIONARNO PROVOENJE TOPLINE U DVIJE DIMENZIJE

    Osnovna jednadba kojom se opisuje stacionarno provoenje topline u dvije dimenzije je:

    0y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    (4.1)

    Ova jednadba se moe rijeiti analitikim ili numerikim putem. Rjeenjem se dobije raspored temperatura u dvodimenzionalnom x-y prostoru, dakle T(x,y). Iz toga se pomou Fourierove jednadbe moe izraunati tok topline u x i y smjeru:

    x

    TAq xx

    (4.2)

    y

    TAq yy

    (4.3)

    Ukupni tok topline u bilo kojoj toki x-y prostora je onda rezultanta ova dva toka, kako je to prikazano na slici 4.1.

    Slika 4.1. Provoenje topline u dva smjera i njihova rezultanta

    4.1 Analitiko rjeenje

    Analitiko rjeenje jednadbe (4.1) se moe dobiti metodom separacije varijabli. Pri tome se pretpostavi da rjeenje ima formu umnoka dviju varijabli:

    T = X(x)Y(y) (4.4)

    Uvrtenjem ovog rjeenja u poetnu jednadbu (4.1) dobije se

    2

    2

    2

    2

    y

    T

    Y

    1

    x

    X

    X

    1

    (4.5)

    Moe se primijetiti da je lijeva strana jednadbe neovisna o desnoj jer su x i y neovisne varijable. To je mogue ako su i lijeva i desna strana jednake nekoj konstanti, na primjer K2.

  • 26 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    U tom sluaju umjesto jednadbe (4.5) mogu se napisati dvije odvojene obine diferencijalne jednadbe:

    0XKx

    X 22

    2

    (4.6)

    i

    0YKy

    Y 22

    2

    (4.7)

    Konstanta K2, naziva se konstantom separacije. Njena vrijednost se moe odrediti iz

    graninih uvjeta.

    Ukoliko je K2 = 0 onda su rjeenja:

    xCCX 21 (4.8)

    yCCY 43 (4.9)

    yCCxCCT 4321 (4.10)

    Ukoliko je K2 < 0 onda su rjeenja:

    Kx

    6

    Kx

    5 eCeCX

    (4.11)

    KyCKyCY 87 sincos (4.12)

    KyCKyCeCeCT 87Kx6Kx5 sincos (4.13)

    Ukoliko je K2 > 0 onda su rjeenja:

    KxCKxCX 109 sincos (4.14)

    Ky

    12

    Ky

    11 eCeCY

    (4.15)

    Ky12Ky11109 eCeCKxCKxCT sincos (4.16)

    Za jednu jednostavnu pravokutnu geometriju s isto tako jednostavnim graninim uvjetima s istom temperaturom T1 na tri strane i razliitom temperaturom T2 na evrtoj strani, kako je to prikazano na slici 4.2:

    T = T1 za y = 0 T = T1 za x = 0

    T = T1 za x = W T = T2 za y = H

  • 27 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slika 4.2 Primjer jednostavne geometrije i graninih uvjeta za sluaj 2-D kondukcije

    Konstanta separacije K2 je u ovom sluaju vea od nule. Pomou prva tri granina

    uvjeta dobije se rjeenje u obliku:

    1n

    n1W

    yn

    W

    xnCTT sinhsin (4.17)

    Iz etvrtog graninog uvjeta dobije se:

    1n

    n12W

    Hn

    W

    xnCTT sinhsin (4.18)

    Ekspanzijom jednabe (4.18) u Fourierov red u intervalu 0 < x < W i usporedbom s jednadbom moe se dobiti konstanta Cn i onda i konano rjeenje u obliku:

    1n

    1n

    12

    1

    W

    HnW

    yn

    W

    xn

    n

    112

    TT

    TT

    sinh

    sinh

    sin (4.19)

    Dakle ak i ovako jednostavna geometrija i jednostavni granini uvjeti dobije se relativno komplicirano rjeenje. Za rjeavanje problema dvodimenzionalnog provoenja topline potrebno je dobro poznavanje teorije ortogonalnih funkcija kao to su to Fourierovi redovi i Besselove funkcije. esto je ovakve probleme znatno jednostavnije rijeiti numerikim metodama.

  • 28 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    4.2 Metoda konanih razlika

    Bilo koje dvodimenzionalno tijelo se moe podijeliti u mreu s konanim razlikama u x i y smjeru. Za bilo koji vor unutar tijela moe se postaviti jednadba za izraun temperature na tom mjestu. Na taj nain se se za n vorova dobiti n jednadbi sa n nepoznanica koje e trebati

    simultano rijeiti. Pri tome se diferencijal zamjenjuje konanim razlikama x i y. Naravno,

    to su manje odabrane vrijednosti za x i y to e rjeenje biti tonije, ali istovremeno manje

    odabrane vrijednosti za x i y znae da e biti potrebno rijeiti vei broj jednadbi. Gradijenti temperature oko vora (m,n), sa slike 4.3, gdje m oznaava broj vora u smjeru

    x, a n broj vora u smjeru y, se mogu napisati kao:

    Slika 4.3 Geometrija i oznake za unutranji vor

    x

    TT

    x

    T nmn1m

    n21m

    ,,

    ,/

    (4.20)

    x

    TT

    x

    T n1mnm

    n21m

    ,,

    ,/

    (4.21)

    y

    TT

    y

    T nm1nm

    21nm

    ,,

    /,

    (4.22)

    y

    TT

    y

    T 1nmnm

    21nm

    ,,

    /,

    (4.23)

    Druge derivacije po x i y u toki m,n su onda:

    2nmn1mn1mn21mn21m

    nm

    2

    2

    x

    T2TT

    x

    x

    T

    x

    T

    x

    T

    ,,,,/,/

    ,

    (4.24)

    2nm1nm1nm21nm21nm

    nm

    2

    2

    y

    T2TT

    y

    y

    T

    y

    T

    y

    T

    ,,,/,/,

    ,

    (4.25)

  • 29 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Prema tome jednadba za stacionarno provoenje topline (2.11) koja u dvije dimenzije glasi:

    0y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    (4.26)

    se pomou jednadbi (4.24) i (4.25) moe napisati kao:

    0

    y

    T2TT

    x

    T2TT2

    nm1nm1nm

    2

    nmn1mn1m

    ,,,,,, (4.27)

    Za sluaj da su x i y odabrani isti, odnosno x = y onda se jednadba pojednostavljuje u:

    0T4TTTT nm1nm1nmn1mn1m ,,,,, (4.28)

    4

    TTTTT 1nm1nmn1mn1mnm

    ,,,,, (4.29)

    Dakle temperatura u nekom voru je srednja vrijednost od temperatura u okolnim vorovima.

    Za vor koji se nalazi na granici tijela na kojoj je temperatura zadana naravno ne treba raunati temperaturu koja je ve zadana. Ali za vor koji se nalazi na granici tijela koja je

    izloena konvektivnom prijelazu topline temperature sa ili na fluid temperature T (Slika 4.4) se moe izraunati iz energetske ravnotee tog vora (m,n):

    Slika 4.4 Geometrija i oznake za vor na povrini s konvektivnim prijelazom topline

    TTy

    y

    TT

    2

    x

    y

    TT

    2

    x

    x

    TTy nm

    1nmnm1nmnmn1mnm

    ,

    ,,,,,, (4.30)

    Za sluaj da su x i y odabrani isti, odnosno x = y onda se jednadba pojednostavljuje u:

  • 30 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    0TTT22

    1T

    x2

    xT 1nm1nmn1mnm

    ,,,, (4.31)

    S obzirom da je

    Bix

    (4.32)

    temperatura u voru m,n je onda:

    0Bi2

    BiT2

    TTT

    T

    1nm1nm

    n1m

    nm

    ,,

    ,

    , (4.33)

    Za vor (m,n) koji se nalazi na izoliranoj povrini temperature se odreuje na slijedei nain (slika 4.5):

    Slika 4.5. Geometerija i oznake za vor na izoliranoj povrini

    0T4TTT2 nm1nm1nmn1m ,,,, (4.34)

    4

    TTT2T 1nm1nmn1mnm

    ,,,, (4.35)

    Isto vrijedi i za vor koji se nalazi na liniji simetrije. Naime na izoliranoj povrini isto

    kao i na liniji simetrije nema izmjene topline pa je gradijent T/x = 0.

    Za vor (m,n) na vanjskom uglu (prema slici 4.6) izloenom konvektivnim graninim uvjetima temperatura se odreuje na slijedei nain:

    0TTTx22x2T 1nmn1mnm

    ,,, (4.36)

    odnosno

    Bi1

    BiT2

    TT

    T

    1nmn1m

    nm

    ,,

    , (4.37)

  • 31 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Slika 4.6 Geometrija i oznake za vor na vanjskom uglu

    Za vor (m,n) na unutranjem uglu (prema slici 4.7) izloenom konvektivnim graninim uvjetima temperatura se odreuje na slijedei nain:

    0TTT2T2Tx2T3x2 1nmn1m1nmn1mnm

    ,,,,,

    (4.38)

    odnosno

    Bi3

    BiT2

    TTTT

    T

    1nmn1m

    n1m1nm

    nm

    ,,

    ,,

    , (4.39)

    Slika 4.7 Geometrija i oznake za vor na unutranjem uglu

  • 32 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    4.3. Metoda kontrolnih volumena

    Metoda kontrolnih volumena je matematiki identina metodi konanih razlika, tj. koristi iste jednadbe ali one imaju drukije i moe se rei ispravnije fiziko znaenje. Kod ove metode dvodimenzionalno tijelo se podijeli u kontrolne volumene a vor se nalazi u sreditu svakog volumena. Na taj nain temperatura u voru zapravo predstavlja srednju temperaturu u cijelom kontrolnom volumenu. Kako bi vorovi bili pozicionirani na povrini elementa, povrinski elementi se odaberu sa debljinom ili irinom jednakom polovini debljine ili irine unutranjih elemenata. Vie o ovoj metodi moe se nai u skripti N. Nini, Elementi prijenosa topline i tvari.

    Tablica 4.1 Jednadbe za temperature karakteristinih vorova metoda konanih razlika

  • 33 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    5. NESTACIONARNA KONDUKCIJA

    Kod nestacionarne kondukcije temperature nekog tijela se mijenja ne samo u prostoru nego i

    u vremenu. To se dogadja kada se na primjer neko tijelo izloi okoliu razliite temperature od temperature tijela ili nekakvom toplinskom toku. U tom sluaju se temperatura tijela pone mijenjati i u prostoru i u vremenu dok se eventualno ne uspostavi neko novo stacionarno

    stanje. Rjeenjem osnovne jednadbe kondukcije mogue je dobiti raspored temperatura u prostoru i vremenu.

    5.1 Analitiko rjeenje nestacionarnog provoenja topline kroz zid (beskonanu plou)

    Osnovna jednadba nestacionarne kondukcije (2.9) za najjednostavniji sluaj provoenja topline u samo jednom smjeru postaje :

    T

    a

    1

    x

    T2

    2

    (5.1)

    Postupak rjeavanja ove jednade dati e se za jednostavnu geometriju beskonane ploe debljine 2L (na slici 5.1) koja je inicijalno na temperaturi Ti a onda se u jednom trenu na svojim povrinama izloi temperaturi T1 nioj od inicijalne temperature tijela Ti. Za oekivati je da e uslijed razlike temperature nastati toplinski tok iz unutranjosti tijela prema povrini. Pri tome e se temperatura tijela smanjivati dok se ne uspostavi neko novo stacionarno stanje, tj. temperatura cijele ploe ne izjednai s temperaturom na njenim povrinama.

    Slika 5.1 Beskonana ploa

    U rjeavanju jednadbe lake je raditi s razlikom temperatura T T1 = pa jednadba postaje:

    a

    1

    x 2

    2

    (5.2)

    Inicijalni i granini uvjeti potrebni za rjeavanje jednadbe su:

  • 34 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    T = Ti odnosno = i = Ti T1 za = 0 i za 0 x 2L

    T = T1 odnosno = 0 za x = 0 i za > 0

    T = T1 odnosno = 0 za x = 2L i za > 0

    Jednadba se moe rijeiti metodom separacije varijabli. Kod te metode pretpostavka je

    da rjeenje ima oblik umnoka dviju funkcija (x,) = X(x)H() i onda se jednadba pretvara u dvije obine diferencijalne jednadbe:

    0XKx

    X 22

    2

    (5.3)

    i

    0HKaH 22

    2

    (5.4)

    gdje je K2 separacijska konstanta. Da bi se zadovoljili granini uvjeti potrebno je da je

    K2 > 0, pa rjeenje ima oblik:

    aK212

    eKxCKxC sincos (5.5)

    Iz graninog uvjeta (b) proizlazi da je C1 = 0 za > 0. Kako onda ne moe i C2 biti jednako nuli iz graninog uvjeta (c) proizlazi da je sin(2LK) = 0 pa je onda:

    L2

    nK

    za n = 1,2,3, (5.6)

    Rjeenje je onda:

    1n

    aL2

    n

    nL2

    xneC

    2

    sin (5.7)

    Ovo predstavlja Fourierov red, a konstanta Cn se moe odrediti iz inicijalnog uvjeta (a):

    i

    L2

    0

    inn

    4dx

    L2

    xn

    L

    1C

    sin n = 1,3,5 (5.8)

    Pa je konano rjeenje onda

    1n

    aL2

    n

    iL2

    xne

    n

    142

    sin n = 1,3,5 (5.9)

    Odnosno

  • 35 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    1n

    aL2

    n

    1i

    1

    i L2

    xne

    n

    14

    TT

    TT2

    sin n = 1,3,5 (5.10)

    Ovo je, dakle, rjeenje za najjednostavniju geometriju i najjednostavnije granine uvjete. Rjeenja za druge geometrije i druge inicijalne i granine uvjete mogue je dobiti na slian nain ali uz dobro baratanje teorijom ortogonalnih funkcija, kao to su to Fourierovi redovi i Besselove funkcije. esto je ovakve probleme nestacionarnog provoenja topline u kompliciranijim geometrijama znatno jednostavnije rijeiti numerikim metodama.

    5.2. Nestacionarno provoenje topline u polubeskonanom tijelu

    Polubeskonano tijelo ima jednu odreenu plohu dok su mu ostale dimenzije dovoljno velike da se mogu smatrati beskonanim (slika 5.2).

    Slika 5.2 Provoenje topline kroz polubeskonano tijelo

    a) konstantna temperatura

    Poetna temperature tijela je Ti sve do trenutka = 0 kad mu se temperature na toj plohi naglo smanji na T0 i onda odrava na toj temperature. Uslijed toga nastati e toplinski tok iz toplijeg unutarnjeg dijela tijela prema hladnijoj povrini, dok se eventualno ne uspostavi stacionarno odnosno dok se temperature itavog tijela ne izjednai s temperaturom njegove povrine. Taj process opisuje se jednadbom za jednodimenzionalno nestacionarno provoenje topline:

    T

    a

    1

    x

    T2

    2

    (5.11)

    s inicijalnim i graninim uvjetima

    T(x, =0) = Ti

    T(x=0, ) = T0

    Ovaj se problem moe rijeiti pomou Laplaceove transformacije koja bi dala slijedee rjeenje:

  • 36 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    a2

    xerf

    TT

    TT

    0i

    0 (5.12)

    gdje je erf Gaussova funkcija grijeke definirana kao:

    2ax

    de2

    a2

    xerf

    2/

    (5.13)

    gdje je proizvoljna varijabla, pa je vrijednost integral odreena njegovom gornjom granicom. Uvrtenjem definicije erf u jednadbu (5.12) dobije se rjeenje:

    2ax

    0i

    0 de2

    TT

    TT 2/

    (5.14)

    Vrijednosti za erf funkciju mogu se nai u matematikim tablicama. Na slici 5.3 prikazan je rezultirajui raspored temperature u polubeskonanom tijelu sa zadanom konstantnom temperaturom na graninoj plohi.

    Slika 5.3 Raspored temperature u polubeskonanom tijelu sa zadanom konstantnom temperaturom na graninoj plohi

    Mogue je izraunati i toplinski tok na graninoj plohi za x = 0:

    x

    Tqx

    (5.15)

    x

    T

    se dobije derivacijom jednadbe za raspored temperature (5.12):

    a4x0ia4x0i

    22

    ea

    TT

    a2

    x

    xe

    2TT

    x

    T // (5.16)

  • 37 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Za x = 0, dakle na povrini tijela:

    a

    TTkq 0i0x (5.17)

    b) Konstantni toplinski tok

    U ovom sluaju se u trenutku = 0 granina ploha polubeskonanog tijela jednoline poetne temperature Ti izloi konstantnom toplinskom toku q0. Poetna jednadba je ista kao i uprethodnom sluaju s konstantnom temperaturom na graninoj plohi, inicijalni uvjet je takoer isti ali je granini uvjet drukiji_

    0x

    0x

    Tq

    za > 0 (5.18)

    Identinim postupkom kao i u prethodnom sluaju dobije se rjeenje:

    a2

    xerf1

    A

    xqe

    A

    aq2TT 0a4x0i

    2 // (5.19)

    c) Konvektivni granini uvjeti

    Trei mogui sluaj nestacionarnog provoenja topline u polubeskonanom tijelu je kada se

    granina ploha naglo u trenutku = 0 izloi konvektivnom prijelazu topline sa ili na okolni fluid. U tom sluaju je granini uvjet

    0xx

    T0TT

    , (5.20)

    A rjeenje je:

    a

    a2

    xerf1e

    a2

    xerf1

    TT

    TT 22ax

    i

    i (5.21)

    Za praktinu primjenu jednadba je grafiki prikazana na slici 5.4 za razne vrijednosti

    parametra

    a. Moe se primijetiti da u sluaju kad profil temperature se pribliava

    rjeenju za prvi sluaj kad je granina povrina naglo izloena temperaturi T0.

  • 38 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    a

    x2a

    Slika 5.4 Raspored temperatura u polubeskonanom tijelu sa konvektivnim prijenosom topline ne graninoj plohi

    Sva tri prethodno promatrana sluaja su prikazana na slici 5.5. U prvom sluaju uslijed nagle promjene temperature na povrini temperatura u tijelu se s vremenom pribliava vrijednosti T0, a time toplinski tok na povrini x = 0 opada (nagib). U drugom sluaju, s konstantnim toplinskim tokom na povrini, temperatura na povrini raste s vremenom, tonije

    s 1/2. U treem sluaju temperatura na povrini i temperatura unutar polubeskonanog tijela s

    vremenom postiu vrijednost T nakon ega konvektivni prijelaz topline isezava.

    Slika 5.5 Raspored temperatura u polubeskonanom tijelu a) s zadanom temperaturom, b) s zadanim toplinskom tokom i c) s konvektivnim prijenosom topline na graninoj plohi

  • 39 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    5.3. Metoda prorauna pomou dijagrama (Heislerovi dijagrami)

    Za nestacionarno provoenje topline u nekim geometrijskim tijelima izloenim konvektivnom prijelazu topline na njihovim povrinama postoje rjeenja izraena u obliku dijagrama (Heisler, 1947). Konkretno, to se odnosi na (a) plou ija debljina je mala u usporedbi s drugim dimenzijama, (b) cilindar iji je promjer malen u usporedbi s duinom i (c) kuglu

    (slika 5.6). U tim dijagramima T je temperatura fluida, T0 je temperatura u centru tijela. U

    trenutku =0 cijelo tijelo ima temperaturu Ti. U dijagramima su prikazane razlike temperatura i to:

    = T(x,) T (za plou) (5.22) ili

    = T(r,) T (za cilindar i kuglu) (5.23)

    i = Ti T (5.24)

    0 = T0 T (5.25)

    Slika 5.6 Geometrijska tijela i oznake

    Da bi dijagrami bili univerzalno primjenjivi temperature su prikazane u ovisnosti o

    Fourierovom i Biotovom broju:

    2L

    aFo

    (za plou) (5.26)

    ili

    2

    0r

    aFo

    (za cilindar i kuglu) (5.27)

    i

    LBi (za plou) (5.28)

    ili

  • 40 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    0

    rBi (za cilindar i kuglu) (5.29)

    gdje je L = polovina debljine ploe, a r0 polumjer cilindra ili kugle.

    Biotov broj predstavlja omjer unutranjeg-konduktivnog otpora i povrinskog-konvektivnog otpora prijenosu topline. Mala vrijednost Biotovog broja znai da je unutranji-konduktivni otpor zanemariv u odnosu na povrinski-konvektivni otpor. To znai da je u tom sluaju temperatura unutar tijela gotovo uniformna, pa se moe primijeniti aproksimativna metoda cjelokupnih toplinskih kapaciteta (vidi poglavlje 5.6). Fourierov bezdimenzionalni

    broj je omjer dubine penetracije temperaturnog vala (promjene temperature) u danom

    vremenu, , i karakteristine dimenzije tijela (poludebljina ili polumjer). Proraun pomou dijagrama daje zadovoljavajuu tanost za vrijednosti Fourierovog broja vee od 0,2:

    2L

    aFo

    > 0,2 (za plou) (5.30)

    ili

    2

    0r

    aFo

    > 0,2 (za cilindar i kuglu) (5.31)

    Za odreivanje temperature u centru tijela (ili sline problem gdje je temperatura u centru zadana a trai se jedna od veliina sadranih u Fourierovom ili Biotovom broju) koriste se dijagrami na slici 5.7a-c.

    Za sluaj da se trai temperatura na nekoj drugoj dubini T(x,) odnosno T(r,), potrebno je najprije odrediti temperaturu u centru a onda pomou dijagrama 5.8a-c odrediti traenu temperaturu.

    Pomou dijagrama 5.9a-c mogue je odrediti ukupan gubitak (ili dobitak) topline, Q, u

    nekom vremenu , u odnosu na poetnu unutranju energiju tijela, Q0, u vremenu = 0, tj. prije nego je tijelo bilo izloeno konvektivnom prijelazu topline na svojim povrinama, gdje je:

    ii0 VcTTVcQ (5.32)

  • 41 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Bi-1=/L

    Fo=a/L2

    Bi-1=/r0

    Fo=a/r02

    Bi-1=/r0

    Fo=a/r02 Figure 5.7 Temperatura u centru tijela kao funkcija Fo i 1/Bi a) ploa, b) cilindar, c) kugla

  • 42 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Bi-1=/L

    Bi-1=/r0

    Bi-1=/r0 Figure 5.8 Temperatura na bilo kojem mjestu u tijelu a) ploa, b) cilindar, c) kugla

  • 43 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Bi2 Fo=2a/2

    Bi2 Fo=2a/2

    Bi2 Fo=2a/2

    Figure 5.9 Toplinski tok s povrine tijela a) ploa, b) cilindar, c) kugla

  • 44 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    5.4. Viedimenzionalno provoenje topline u geometrijskim tijelima metoda superpozicije

    Iako su i ploa i cilindar i kugla razmatrani u prethodnom poglavlju 3-dimenzionalna geometrijska tijela, za odreivanje lokacije u tijelu za koje se trai temperatura bila je potrebna samo jedna koordinata x (za plou) ili r (za cilindar ili kuglu), tj. udaljenost od centra. Stoga je s aspekta provoenja topline problem bio jednodimenzionalni. Ukoliko visina i/ili dubina ploe nije velika u usporedbi s njenom debljinom, ili ukoliko visina cilindra nije velika u usporedbi s njegovim polumjerom, temperature unutar tih tijela se ne bi mogle

    odrediti direktno pomou Heislerovih dijagrama. Ali na sreu mogue je kombinirati rijeenja iz jednodimenzionalnih sustava i primijeniti ih na viedimenzionalna geometrijska tijela. Na primjer, beskonano dugi pravokutni tap nije nista drugo nego geometrijski presjek dvaju beskonanih ploa. Jednadba kojom se odreuje raspored temperatura unutar takvog tijela u prostoru i vremenu je:

    T

    a

    1

    y

    T

    x

    T2

    2

    2

    2

    (5.33)

    Metodom separacije varijabli mogue je doi do rjeenja oblika:

    T(x,y,) = X(x)Y(y)W() (5.34)

    Moe se dokazati da se raspored temperature unutar takvog tijela moe prikatati kao umnoak rjeenja za dvije jednodimenzionalne ploe debljina 2L1 i 2L2:

    ploL2iploL2itapi 21TT

    TT

    TT

    TT

    TT

    TT

    (5.35)

    Na slian nain mogue je odrediti raspored temperature u drugim dvo- i trodimenzionalnim geometrijskim tijelima. Na primjer, za blok (paralelopiped) dimenzija

    2L1x2L2x2L3 rezutat e bit umnoak rezultata triju beskonanih ploa debljina 2L1, 2L2 i 2L3. Ili za cilindar konane visine, rjeenje e biti umnoak rjeenja za beskonani cilinndar i beskonanu plou debljine jednakoj zadanoj visini cilindra. Na slici 5.10 prikazana su rjeenja za nekoliko dvo- i trodimenzionalnih tijela. Oznake na slici znae:

    C(r,) rjeenje za beskonani cilindar

    P(x,) rjeenje za beskonanu plou

    S(x,) rjeenje za polubeskonano tijelo

    Na slian nain, metodom superimpozicije, mogue je doi i do rjeenja gubitka (ili dobitka) topline sloenih tijela. Za dvodimenzionalno problem tijela koje je geometrijski presjek dvaju jednodimenzionalnih rjeenja, ukupni gubitak topline je:

    10201020102010total0Q

    Q1

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    (5.36)

  • 45 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    A za trodimenzionalni problem:

    201030102010total0Q

    Q1

    Q

    Q1

    Q

    Q

    Q

    Q1

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    Q

    (5.37)

    Slika 5.10 Rjeenja nestacionarnog provoenja topline u geometrijskim tijelima metodom superpozicije

  • 46 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    5.5. Numerike metode metoda kontrolnih volumena

    Metoda kontrolnih volumena za nestacionarno provoenje topline obraena je u skripti N. Nini, Elementi prijenosa topline i tvari.

    Tablica 5.1 Jednadbe za temperature karakteristinih vorova eksplicitna varijanta

  • 47 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Tablica 5.2 Jednadbe za temperature karakteristinih vorova implicitna varijanta

  • 48 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    5.6. Aproksimativna metoda cjelokupnih toplinskih kapaciteta

    U nekim sluajevima se moe pretpostaviti da je temperatura tijela uniformna, tj. jednaka u svakoj toki tog tijela. Naravno da ta pretpostavka nije realna jer ukoliko se neko tijelo hladi ili grije mora postojati tok topline unutar tijela prema ili od njegove povrine. Ipak u sluaju da je otpor provoenju topline dovoljno malen ta pretpostavka e imati manju grijeku nego to je nesigurnost u odreivanju koeficijenta prijelaza topline na ili sa povrine tijela. Takvi sluajevi su kad je tijelo malih dimenzija (tanka stijenka ili mala kuglica na pr.) i/ili kad je dobar provodnik topline (na pr. bakar ili aluminij). Dakle kod takvog tijela mogue je pretpostaviti da je toplina koja se s povrine tijela odvodi u ili dovodi iz okolia jednaka

    promjeni unutranje energjije tijela, mcT:

    d

    dTVcTTAQ (5.38)

    gdje je

    = koeficijent prijelaza topline izmeu povrine tijela i okolia, W/m2K A = povrina tijela preko koje se vri izmjena topline s okoliem, m2

    T = temperatura tijela (pretpostavljena jednaka u svakoj toki tog tijela), K

    T = temperatura okolia, K c = specifina toplina tijela, J/kgK

    = gustoa, kg/m3

    V = volume tijela, m3

    d

    dT= promjena temperature tijela s vremenom

    Inicijalni uvjet je temperatura tijela T = Ti u trenutku = 0

    Rjeenje ove jednostavne diferencijalne jednadbe daje:

    VcA

    i

    eTT

    TT / (5.39)

    Moe se primijetiti da je eksponent u gornjoj jednadbi jednak umnoku Biotovog i Fourierovog broja:

    FoBis

    as

    sc

    s

    scVc

    A22

    (5.40)

    Takoer, moe se primijetiti da reciprona vrijednost izraza u zagradama u jednadbi (5.39) ima dimenziju vremena i naziva se vremenska konstanta sustava:

    A

    Vc0

    (5.41)

    pa je onda:

  • 49 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    /0eTT

    TT

    i

    (5.42)

    Kada je = 0 onda temperaturna razlika T T iznosi 36,8% od poetne temperaturne

    razlike Ti T.

    Poetna pretpostavka ove metode izrauna promjene temperature nekog tijela s vremenom je bila da je otpor provoenju topline unutar tijela zanemariv u odnosu na otpor dovoenja/odvoenja topline na/s povrine tijela. Moe se pokazati da za sluaj kad je:

    10

    AV,

    /

    (5.43)

    da e greka u proraunu ovom metodom biti manja od 5%. Kako veliina V/A predstavlja karakteristinu dimenziju tijela, s (s dimenzijom metar) to se gornji uvjet moe napisati kao:

    10Bis

    ,

    (5.44)

    Dakle aproksimativna metoda cjelokupnog toplinskog kapaciteta je primjenjiva kada je

    omjer konduktivnog i konvektivnog otpora ili Biotov broj manji od 0,1. Na primjer, u sluaju eline kuglice promjera 3 cm koja se hladi pri sobnoj temperaturi u mirujuem zraku Biotov

    broj bi bio 8,7410-4 ( = 40 W/mK, = 7 W/m2K), a u sluaju bakrene kuglice jo i manji

    9,2110-5 ( = 380 W/mK), pa se aproksimativna metoda moe primijeniti s dovoljnom tonou.

    Na slici 5.11 prikazan je raspored temperatura unutar nekog tijela (stijenka ili zid) u

    funkciji vremena za tri razliita Biotova broja. Jasno je vidljivo da u sluaju jako malog Biotovog broja temperatura unutar tijela je skoro uniformna, tj. priblino jednaka u bilo kojoj toki tijela.

    Slika 5.11 Raspored temperatura unutar zida u funkciji vremena za tri razliita Biotova broja

  • 50 F. Barbir, Prijenos topline i tvari

    Literatura

    U pripremu ovih skripta koriteni su materijali iz slijedeih knjiga:

    - C.J. Geankoplis, Mass Transport Phenomena, Ohio State University, Columbus, Ohio, 1972

    - N. Nini, Elementi prijenosa topline i tvari, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Sveuilite u Splitu, 2005

    - E.N. Gani, Prijenos toplote, mase i koliine kretanja, Svjetlost, Sarajevo, 2005

    - J.P. Holman, Heat Transfer, 8th edition, McGraw-Hill, New York, 1997

    - T.L. Bergman, A.S. Lavine, F.P. Incropera, D.P. DeWitt, Introduction to Heat Transfer, 8

    th edition, Wiley, New York, 2011

    - L.C. Thomas, Heat Transfer, Professional Version, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1993

    - O. Fabris, Osnove inenjerske termodinamike, Pomorski fakultet Dubrovnik, 1994

    - F. Bonjakovi, Nauka o toplini, I i II Dio, IV izdanje, Tehnika knjiga Zagreb, 1970