Skripta iz Osnova elektrotehnike - WordPress.com · 2015-10-27 · Skripta iz Osnova elektrotehnike Amar Trnka & Nejra Hodžić – Skinuto sa 4 []F d S C =ε0 = Jedinica mjere za

Skripta iz Osnova elektrotehnike

Amar Trnka & Nejra Hodžić – Skinuto sa www.etf.ba

1

KULONOV ZAKON I OSNOVNI POJMOVI (1) Elektrostatika je oblast elektrotehnike, koja se bavi izučavanjem fizičkih, pojava unutar sistema, formiranih od prostorno nepokretnih i vremenski nepromjenljivih električnih naboja. Makroskopski pristup. Prilikom razmatranja mehaničkog međudjelovanja među česticama uzimamo u obzir tri sile (gravitaciona, elektromagnetna i mezonska). Makroskopski pristup stavlja mezonske sile u drugi plan. Zakon očuvanja električnog naboja u izolovanom sistemu kaže da se ukupni električni naboji ne mijenjaju tokom vremena. Akumulacija električnog naboja na materijalnim tijelima:

1. trenjem jednog materijalnog tijela od drugo, pri čemu dolazi do prelaska elektrona sa jednog na drugo tijelo

2. elektrostatskom indukcijom, a to je izlaganje električki neutralnog provodnog tijela djelovanju sila ESP, pri čemu se na jednoj strani grupišu negativni, a sa druge strane pozitivni naboji.

3. opterećivanjem elektroda električnog kondenzatora električnim nabojima. Materijalna tijela unutar kojih se može ostvariti usklađeno pomjeranje elektrilnih naboja zovu se provodna tijela, dok tijela kod kojih se ne može ostvariti nazivaju se izolatori ili dielektrici. Primjer savršenog dielektrika je vakum. Materijalna sredina je homogena ako u svim elementarnim dijelovima svoje zapremine ima iste fizičke osobine. Materijalna sredina je izotopna ukoliko unutar svake svoje elementarne zapremine ima iste osobine u svim pravcima. Materijalno tijelo je linearna sredina ako njegove EM-ne osobine nisu u funkcijij intenziteta vanjskih dejstava, bilo da su ona električne ili magnetne prirode. Električni naboj Q [C] je svojstvo čestice materije da ima vezu sa sopstvenim EMP i međusobnim djelovanjem sa spoljasnjim EMP-em. Dielektrička sredina ε predstavlja veličinu koja definiše uticaj sredine na silu uzajamnog djelovanja. ε u vakumu iznosi εo = 8,85·10-12 [F/m] i uzima se kao referentna dialektrička propustljivost.

ε = εr· εo Linijski raspoređen električni naboj q’, u opštem slučaju, je naboj dQ koji se nalazi na dužini provodnika dl.

dQ = q’·dl q’= [C/m] Površinska gustina električnog naboja σ je kada su električni naboji raspoređeni u vrlo tankom sloju po geometrijske površine.

[ ]2/ mCdSdQ

==σ

Zapreminska gustina električnog naboja ρ se definiše kao omjer ukupne količine naboja ∆Q lokalizovanje u elementarnoj zapremini ∆V.

[ ]3/ mCdVdQ

==ρ

Kulonov zakon: mehanička sila uzajamnog djelovanja dva nepokretna naboja Q1 i Q2 u homogenoj sredini direktno je srazmjerna njihovom proizvodu i obrnuto srazmjerna kvadratu njihovog rastojanja r, gdje je k koeficijent proporcionalnosti k=9·109 [Nm2/C2]. Ako su obje čestice ili pozitivno ili negativno naelektrisane, sila je odbijajuća, a ako su suprotnog naboja sila je privlačna.

[ ]0

221

41,πε

==⋅

= kNrr

QQkF o



2

ELEKTROSTATSKO POLJE I GAUSOV TEOREM (2) Elektrostatsko polje je posebno stanje električnog polja u kojem su električni naboji prostorno nepomični, a pripadajuće im količine naboja ne mijenjaju svoje iznose tokom vremena. Vektor jačine ESP se grafički predstavlja linijama vektora jačine elektrostatskog polja. Linije vektora jačine ESP se ne mogu međusobno sjeći. Po svom pravcu i smjeru vektor E se pruža duž radijalnih zraka, koje imaju svoje ishodište u centru lopte, pri čemu uslov q>0 obezbjeđuje da su ti zraci usjereni od lopte ka okolnom prostoru, a uslov q<0, obezbjeđuje da su ti zraci usmjereni od okolnog prostora ka lopti.

[ ]mVrr

dqEd o /4 2 ==πε

Električne silnice su zamišljene linije kojim je vektor ESP tangenta u svakoj tački u smjeru polja. Fluks elektrostatskog polja je fizička veličina, koja iskazuje mjeru broja linija vektora ESP koje prožimaju neku površinu.

∫ ⋅=Φ⇒⋅=ΦS

SdESdE EEd

Gausov teorem uspostavlja vezu između vektora jačine ESP E i električnih naboja unutar homogene i izotropne sredine. Gausov teorem glasi: Fluks vekotra jačine ESP E kroz zatvorenu površ u homogenoj i izotropnoj sredini, jednak je količniku algebarske sume električnih naboja, obuhvaćenih tom površi i dialektrične propustljivosti te sredine. Analitički se Gausov teorem u integralnoj formi izražava pomoću sljedeće relacije:

∫ ∑=S

iQSdE

ε

Gausov teorem u integralnom obliku može se koristiti samo za slučajeve sferne simetrije. Da bi se odredio vektor jačine ESP u tijelima koja nemaju osobine simetričnosti, koristi se formulacija Gausove teoreme u diferencijalnom obliku.

0ερ

=Ediv

PROVODNICI U ESP I ELEKTRIČNI POTENCIAL ESP (3) Da bi u makroskopskom svijetu nastupilo ravnotežno stanje, odnosno prostorno mirovanje slobodnih električnih naboja, neophodno je da se u provodnim tijelima ispune sljedeći uslovi:

1. U unutrašnjosti provodnika, vektor jačine ESP mora biti određen relacijom E=0. U suprotnom došlo bi do kretanja slobodnih elektrona.

2. Tagencijalna komponenta vektora jačine ESP E, uz površ provodnika, sa strane sredine koja okružuje provodnik, jednaka je nuli.

3. Sve tačke provodnog tijela su na istom električnom potencijalu, pa je površ ekvipotencijalna. 4. Normalna komponenta vektora jačine ESP proporcionalna je gustini elektrilčnog naboja

raspoređenog po površini provodnika, što proiziliazi iz Gausovog teorema u integralnom obliku.

5. U skladu sa diferencijalnim oblikom Gausovog zakona divE = ρ/εo, zbog uslova broj 1, unutar provodnika nema slobodnih naelektrisanja.

Elektrostatska indukcija je izlaganje električki neutralnog provodnog tijela djelovanju sila ESP, pri čemu se na jednoj strani grupišu negativni, a sa druge strane pozitivni naboji.



3

Rad sila ESP pri pomjeranju tačkastog naboja iz jedne tačke u drugu ne zavisi odoblika putanje po kojoj se pomjeranje odvija, već samo od prostornog položaja. Ako su M i N dvije fiksirane tačke u prostoru, međusobno povezane krivom linojom l1, unutar kojeg se manifestuje djelovanje vektora jačine ESP E, rad sila ESP, pri pomjeranju bilo kojeg tačkastog električnog naboja Qi, iz dačke M u N, definiše relacija:

[ ]JldEQldFAN

M

N

Mii =⋅=⋅= ∫ ∫ 11

Električni potencijal je skalarna veličina koja ima sposobnost da opiše energetska stanja svih tačaka u ESP. Odabere li se neka referentna tačka P, tada potencijal tačke A u razmatranom ESP, u odnosu na potencijal tačke P, određuje relacija:

( ) [ ]∫ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⋅=

P

A PA

ir

r

i Vrr

QrdrQ

ldEAVP

A

1144 0

20 πεπε

Električni napon između tačaka A i B unutar razmatranog ESP, defunuše se kao razlika električnog potencijala tih tačaka u tom polju.

( ) ( ) [ ]VBVAVU AB =−= Ekvipotencijalna površ je geometrijsko mjesto tačaka koje formira površ u prostoru i kod kojeg sve njegove tačke imaju istu vrijednost eletkričnog potencijala. Ekvipotencijalna linija je geometrijsko mjesto tačaka, koje formira liniju u prostoru i kod kojeg sve njegove tačke imaju istu vrijednost električnog potencijala. Ekvipotencijalne linije i linije vekotra jačine ESP su međusobno ortogonalne. Ekvipotencijalni sistem je sistem u kojem sve tačke imaju istu vrijednost električnog poetncijala. Poissonova diferencijalna jednačina proizilazi iz Gaussovog teorema u diferencijalnom obliku kada se unesu izrazi koji određuju komponente ESP u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu.

02

2

2

2

2

2

0 ερ

δδ

δδ

δδ

ερ

−=++⇒=zV

yV

xVdivE

Laplaceova diferencijalna jednačina je specijalan slučaj Poissonove jednačine kada je ρ=0, odnosno kad nema prostorno raspoređenih električnih naboja.

02

2

2

2

2

2

=++zV

yV

xV

δδ

δδ

δδ

ELEKTRIČNI KAPACITET I POVEZIVANJE ELEKTRIČNIH KONDENZATORA (4) Električni kondenztor je namjenski konstruisan uređaj koji je u stanju, unutar svoje strukture, akumulirati određenu količinu naboja, odnosno određeni iznos elektrostatske energije. Električni kapacitet nekog tijela ili sistema provodnih tijela, može se definisati kao sposobnost tog tijela, odnostno tih tijela, da pri djelovanju električnog napona U, akumulira određenu količinu naboja Q, odnosno određene količine naboja Qi (i=1,2…k) u slučaju sistema sastavljenog od k provodnih tijela.

[ ]FUQCUCQ ==⇒⋅=

Kapacitet provodnih tijela zavisi od njihovog oblika, dimenzija i međusobnog položaja, kao i od dialektričkih osobina sredine između provodnih tijela. Kapacitet ne zavisi od količine elektriciteta na provodnim tijelima i napona između njih. Kod pločastog kondenzatora električni kapacitet je određen relacijom:



4

[ ]FdSC == 0ε

Jedinica mjere za električni kapacitet je farad [F]. Međutim, to je izuzetno veliki iznos kapaciteta, jer da bi vazdušni pločasti kondenzator imao kapacitet od 1F, pri rastojanju njegovih elektroda od 1 mm, površina elektroda bi trebala biti oko 100 km2. U tehničkoj praksi kondenzatori se izgrađuju u vrijednosti µF, nF, pF. Pored pločastih kondenzatora, u elektrotehnici se još susreću, sferni i cilindrični kondenzatori. Pri paralelnom vezivanju kondenzatora kondenzatora svaki od kondenzatora s obzirom na pripadnu kapacitivnost C1, odnosno C2 i izloženost djelovanju električnog napona U preuzima na svoje elektrode, električni naboj Q1, odnosno Q2 respektivno.električni kondenzatori su izloženi djelovanju jednosmjenog napona, istog iznosa U. Paralelno se mogu spajati samo oni električni kondenzatori, čiji je nazivni napon, gledano pojedinačno ili za svaki upotrebljeni kondenzator, veći ili jednak od napona U.

,21 CCC += 21 QQQ += , 21 UU = Serijsko ili redovno vezivanje kondenzatora u osnovi je karakteristično po tome, što su svi serijski povezani kondenzatori opterećeni istom količinom elektirčnog naboja. Serijski spoj električnih kondenzatora moguće je izložiti većem naponskom nivou od onog koji može podnijeti jedan usamljeni kondenzator iz takvog spoja.

21

111CCC

+= , 21 UUU += , 21 QQ =

Elektrostatička energija Sistem od n nepomičnih tijela sa odgovarajućim električnim nabojima lokalizovan unutar određenog fizičkog prostora raspolaže sa određenom količinom energije. Da bi se nekom tijelu koje raspolaže električnim nabojem qi i koje se u tom trenutku nalazi na električnom potencijalu Vi, povečao električni naboj za elementarni iznos dqi, mora se prethodno obaviti elementarni rad dAi određen relacijom:

dAi = vi · dqi Sav rad koji obave energetski izvori u okviru razmaranog pomjeranja električnog naboja dq, utroši se na povećanje energetskih rezervi u analiziranom sistemu, što se moze i analitički iskazati relacijom:

ii dWdA =

Sav rad A se transformiše u prirast elektrostatske energije razmaranog procesa, pa se može pisati da je:

[ ]JQiViWAn

ie =

⋅== ∑

=1 2

Kada se ova relacija primjeni na pločasti kondenzator sa vazdušnim dialektrikom, elektrostatička energija iznosi:

UQW ⋅=21

Proračun sila pomoću elektrostatske energije Određivanje djelovanja sile u elektrostatskom polju, duž nekog generaliziranog pravca l, se može vršiti po osnovu korištanja veze između djelujuće sile i zavisnosti energije posmatranog sistema. Prema relaciji za elementarni rad sila ESP, tokom pomjeranja električnih naboja u pravcu koordinate l,



5

dA = F·dl, i uspostavljenoj ravnozeži unutar analiziranog sistema električnih naboja, u skladu sa zakonom o održanju energije može se ispisati da je:

∑=

+=⋅n

ielii dWdlFdqv

1

rad spoljašnjih sila, odnosno energija uložena izvana

=

mehanički rad koji izvrše elektrostatske sile tokom pomjeranja el. naboja u

naznačenom pravcu

+

prirast elektrostatičke energije po osnovu

promjene nivoa električnog naboja

Postoje dva slučaja: 1. kada su električni potencijali tijela konstantni, dakle vi = Vi, a električni naboji na tijelima qi se

mijenjaju:

dldW

FdWdlFdqV el

n

ielii =⇒+=⋅∑

=1

2. Kada se električni potencijali na tijelim konstantni, dakle qi=Qi, a električni potencijali tijela vi se mijenjaju:

dldW

FdWdlF elel −=⇒+=0

Metod ogledala Izračunavanje elektrostatskih polja naelektrisanih tijela, kada se oni nalaze u blizini ravnih provodnih površina, moguće je u određenom broju slučajeva pojednostaviti koristeći metod ogledala. Prema slici vektor jačine ESP je:

( ) ( ) 2/3220

220 24

cos2hrhQ

hrQEh

+

⋅−=

+⋅⋅−

=πεπε

θ

Za određivanje jačine vektora ESP u tačci M(x,y,z), koja se nalazi u okolini tačkastog električnog naboja Q, u porstoru iznad beskonačne provodne ravni se koristi sljedeca relacija:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−⋅=

−QMQMM rrrr

QE 114 0πε

gdje je rM vektor položaja tačke M, rQ i r-Q vektori položaja tačkastih naboja Q i (-Q) u odnosu na ishodište Dekartovog koordinatnog sistema, koji leži na provodnoj ravni. Ako tačka M padne na beskonačnu provodnu ravan, zbog | rM - rQ | = | rM - r-Q |, funkcija električnog potencijala poprima vrijednost nula.

DIELEKTRICI U ESP (6)

Tokom razmatranja i određivanja vektora elektrostatske sile, vektora ESP, skalarne funkcije električnog potencijala i energije ESP, konstatovano je da intenziteti ovih veličina zavise, između



6

ostalog, i od dielektričkih osobina sredine, unutar koje se oni proučavaju. Kada se dialektrici izlože djelovanju stranog ESP, na elementarne električne naboje se djeluje mehaničkom silom. Dielektrička čvrstoća dielektričnog materijala je kritična-granična vrijednost količnika, između napona dovedenog na krajeve tog dielektrika i debljine istog dielektrika, pri kojoj još uvijek ne dolazi do narušavanja, odnosno razaranja dielektrične strukture samog dielektrika. Dielektrična konstanta ima prirodu specifične kapacitivnosti i u tom smislu dielektrična konstanta nekog dielektrika, pokazuje koliko puta će se povečati električni kapacitet analiziranog kondenzatora, kada se vakum između njegovih elektroda, zamjeni upravo tim dielektrikom. Nepolarni dielektrici Kod ovih dielektrika raspored elementarnih električnih čestica u nepobuđenom stanju je takav da je njihovo ukupno električno djelovanje jednako nuli. Električni dipol je sistem od dva elementarna električna naboja (q) i (-q), međusobno postavljena na maloj udaljenosti d, jedno od drugog. Ukoliko se toj vrijednosti d da vektorska priroda tako da vektor odstojanja d ima smjer od negativnog naboja ka pozitivnom, tada proizvod q·d određuje moment električnog dipola p, zbog čeka važi da je:

dqp ⋅= Sferna simetrija prisutne raspodjele gustine električnog naboja, obezbjeđuje da je moment električnog dipola jednak nuli. Električna polarizacija je veličina koja se definiše pomoću gustine električnih momenata dipola:

( )dV

pP ∑=

Kod nepolarnih dielektrika, intenzitet vektora električne polarizacije ne zavisi od temperature. Nepolarni molekuli imaju osobinu elastične polarizacije, jer se nakon uklanjanja stranog ESP njihovi električni dipoli vraćaju u prvobitno stanje. Uticaj stranog ESP, na moment električnog dipola atoma nepolarnog dielektrika p, može se opisati relacijom (gdje je a poluprečnik atoma):

Eap ⋅= 304πε

Proporcionalnost između vektora jačine ESP E i vektora električne polarizacije nepolarnog dielektrika P glasi (gdje je αe konstanta proporcionalnosti):

EP e ⋅= α

Polarni dielektrici Kod ovih dielektrika raspored elementarnih električnih čestica u nepobuđenom stanju je takav da su električni centri pozitivnih i negativnih opterećenja u azomu međusobno pomjereni, pa obrazuju tzv. električne dipole. Molekuli polarnih dielektrika imaju moment električnog dipola raličit od nule, zbog intenzivnog termičkog kretanja i njihovog haotičnog prostornog rasporeda usljed tih termičkih kretanja. Električni dipoli molekula polarnog dielektrika orjentišu se u smjeru djelovanja ESP samo pri vrlo snažnim vanjskim ESP. Sposobnost polarizacije polarnih dielektrika izraženo zavisi od ambijentalne temperature. Pri povećanju temperature povećavaju se i termička kretanja, što smanjuje mogućnost usmjeravanja njihovih električnih dipola, odnosno sposobnost njihove usmjerene polarizacije. Polarizacija je usmjeravanje električnih dipola, pod djelovanjem vektora jačine ESP.



7

Parametar α se još naziva sposobnost polarizacije dielektrika i daje za osnov da se takav dielektrik klasificira kao linearni, izotropni dielektrik. Parametar α se može izraziti i pomoću dielektričke konstante vakuma εo i jedne nove konstante χ (električna susceptibilnost dielektrika) i tako da je:

α = εo · χ Ako se pločasti kondenzator sa vazdušnim dielektrikom izloži djelovanju stalnog jednosmjernog napona U12, putem priključenja na idealni izvor, u kratkom roku na elektrodama se akumuliraju električni naboji q1=Q i q2=–Q. Između elektroda se uspostavlja ESP Eo, čiji je intenzitet određen relacijom Eo = U12/s. Pod opisanim okolnostima električni kapacitet i električni naboj su određeni relacijom:

sSC ⋅= 00 ε 120120 U

sSUCQ ⋅⋅=⋅= ε

Ukoliko se prostor između kondenzatora ispuni homogenim, izotropnim i linearnim dielektrikom, dielektrične konstate ε>εo, nakon kratkog vremena između elektroda će se ponovo uspostaviti napon U12, dok će se na elektrodama kondenzatora pojaviti novi iznosi električnih naboja q1’=Q’, (q1’>q1) i q2= -Q (|q2’| > |q2|). Logično je da će doći i do promjene kapaciteta i to C > Co. Izlaganje dielektrika ESP Eo, dovodi do polarizacije, pri čemu stvoreni električki dipoli postavljaju se tako da je njihov negativni električni naboj priljubljen uz pozitivni električni naboj Q, smješten na donjoj elektrodi kondenzatora, a pozitivni električni naboj dipola uz negativni električni naboj –Q smješten na gornoj elektrodi kondenzatora. Električni naboji pozicionirani na površini dielektrika vezani su mnogo čvršće, pa zato ne mogu napustiti strukturu dielektrika i oni se često nazivaju vezanim električnim nabojima. Površinska gustina vezanih električnih naboja se ordređuje prema relaciji (no je jedinični vektor normale na površinu dielektrika):

0nPv ⋅=σ Površinska gustina vezanih električnih naboja uz donju elektrodu kondenzatora je negativna (vektori P i no su suprotni) Pv −=σ , dok je površinska gustina vezanih naelektrisanja uz gornju elektrodu

pozitivna (vektori P i no su kolinearni) Pv =σ .

DIELEKTRIČNI POMJERAJ (7) Pod uticajem stranog ESP dolazi do prostornog pomjeranja vezanih elekrona unutar dielekrika. Posmatrajući ta pomjeranja moguće je odrediti količinu električnog naboja koji prođe kroz poprečni presjek S dielektrika, a to se naziva dielektrički pomjeraj. U homogenom stranom ESP relacija za intenztet vektora električne polarizacije je

[ ]2/ mCS

QP V ==

Za nehomogeno polje intenzitet vektora električne polarizacije se može defnisati kao količnik vezanog naboja koja se pomjerila tokom procesa uspostavljanja ESP kroz elementarnu površ dS, normalnu na pravac pomjeranja tog naelektrisanja.

[ ]2/ mCSd

dQP V ==

Vektor dielektričnog pomjeraja D je vektor, čiji je intenzitet jednak količniku količine električnog naboja, koji se pomjerio tokom procesa uspostavljanja ESP kroz elementarnu površinu dS:

[ ]2/ mCSd

dQD ==



8

U odsustvu dielektrka, kada je između elektroda kondenzatora vakum relacija Do glasi:

SddQ

D 00 =

Ispunjavanjem vakuma nepolarnim dielektrikom, vektor ukupnog dielektričkog pomjeraja, koji objedinjava i pomjeranja eelektričnih naboja u vakumu i pomjeranja vezanih električnih naboja unutar dielektrika, ima intenzitet:

SddQ

SddQv

SddQ

PDD =+=+= 00

U uslovima priključenja elektroda na kondenzatora na idealni naponski izvor U, na koji je bio razmatrani kondenzator priključen tokom postojanja vakuma između njegovih elektroda, poslije ubacivanja dielektrika i njegove električne polarizacije, povećava se iznos električnog naboja na elektrodama kondenzatora, sa vridnosti Qo, na vrijednost Q, pri čemu je Q>Qo. Maxwellov postulat Maxwell je uspio da poopšti Gausov teorem, uspjevši da prevaziđe Gausove restrikcije, koje su važnost ovog teorema vezivale samo na homogeni i izotropnu sredinu.Maxwellov postulat glasi: Fluks vektora dielektričkog pomjeraja kroz bilo koju zatvorenu površ S u pravcu i smjeru spoljašnje normale na tu površ, jednak je algebarskoj sumi svih električnih naboja obuhvaćenih dijelom prostora koji je ograničen upravo tom površi S.

( )Su

S

QSdD_∑∫ =⋅

Granični uslovi na dodiru dvije linearne dielektrične sredine Za homogene, izotropne i linearne dielektrike vrijedi da je vektor dielektričnog pomjeraja:

ED ⋅= ε Ukoliko se Maxwellov postulat primjeni na zapreminu, tada se može pisati da je:

SSdD SS

∆⋅=⋅∫ σ

Ukoliko je σS = 0, tada važi odnos:

nnnn EEDD 221121 εε =⇒= U sljedećoj relaciji sa σvezano je označeno naelektrisanje koje se pojavljuje na razdvojenoj graničnoj površi, nakon polarizacije i jednog i drugog dielektrika:

( ) vezanonnvezanoS

PPSSdP σσ =−⇒∆⋅=⋅∫ 21

Odnosno vektor jačine ESP, sadržan u pojavi vezanih električnih naboja na granici dodira dva polarizovana dielektrika je:

( ) vezanonn EE σε =− 120

Pod pretpostavkom da su bočne stranice pravougaone konture ∆h →0 onda imamo:

2

2

1

112 εε

ttnn

DDEE =⇒=

Vrijedi i sljedeće:

2

1

2

12221112211 coscossinsin

θθ

εε

θεθεθθtgtg

EEEE =⇒=∧=



9

Energija u ESP za bilo koji dielektrik homogene strukture se izračunava preko relacije:

∫ ⋅⋅=Ve dVEDW

21

ELEKTRIČNI KRUGOVI STALNIH JEDNOSMJERNIH STRUJA (8) Električni krug je skupina tijela koja predstavlja zatvoren put za električnu struju. U elektrotehnici se tretiraju tri vrste struja:

1. kondukcione električne struje ili struje provodnosti 2. struje dielektričkog pomjeraja 3. konvekcionalne struje

Konvekcionalne struje su struje koje nastaju kretanjem električnih naboja uzrokovanih mehaničkim silama, odnosno to su struje koje se uspostavljaju prenošenjem električnih naboja putem elemenarnih naelektrisanih čestica ili tijela. Ove struje se uspostavljaju u vakumu ili gasovima. U vakumu gustina konvekcione struje definiše se relacijom:

vJ KONV ⋅= ρ Idealni dielektrik je dielektrik koji u svojoj strukturi nema slobodnih električnih naboja koji bi mogli izazvati električne struje. Međutim, kada se ne posmatra idealni dielektrik, onda kroz elementarnu vektorsku površinu dsnsd o ⋅= , tada očigledno protiče električna struja koja se naziva strujom dielektričnog pomjeraja. Vektor gustine struje dielektričnog pomjeraja Jpom može se dovesti u vezu sa vektorom dielektričnog pomjeraja D:

dtDdJ pom =

Za kvantitativno opisivanje električne struje, uobićajno se koristi termin intenzitet električne struje. Jačina električne struje koja protiče kroz neku konačnu površinu s, može se izraziti preko vektora gustine električne struje:

∫=s

sdJi

Jedinica za intenzitet električne struje je Amper.

[ ] [ ][ ]sCA

111 =

Električna struja koja se po svom intenzitetu i smjeru ne mijenja tokom vremena naziva se stalnom jednosmjernom strujom. Intenzitet električne struje i gustina električne struje su makroskopske veličine, kojim se kvantitativno izražavaju odnosi uspostavljeni u kolu. Tokom posmatranja provodnog tijela proizvoljnog oblika, kroz koje je uspostavljen tok stalne jednosmjerne struje, može se uočiti da postoje zavorene linije, koje se nazivaju strujnim linijama, dok dio prostora ograničen strujnim linijama, unutar kojeg je ista jačina električne struje nosi naziv strujna tuba. Neka je sa N* označena zapreminska gustina pokretljivih električnih naboja, a sa e njihov pojedinačni električni naboj, a sa vs makroskopska srednja brzina njihovog pomjeranja dobija se da je vektor gustine električne struje J:

( ) evNJ s ⋅⋅= * U odsustvu stranog električnog polja, pomjeranje električnih naboja je haotično i dominantno određeno temperaturom materijala. Kada se struktura provodnika izloži djelovanju stranog električnog polja, haotičnom termičkom kretanju električnih naboja, dolazi do uređenog pomjeranja električnih naboja, uzrokovano djelovanjem tog polja.



10

Makroskopski gledano registuju se pomjeranja električnih naboja u pravcu djelovanja stranog električnog polja, konstantnom srednjom brzinom: Evs ⋅=η , gdje je η koeficijent proporcionalnosti koji se naziva pokretljivost elektrona i on zavisi od vrste provodnika i temperature. Relacija koja direktno iskazuje povezanost vektora jačine elektrostatskog polja E i vektora gustine električne struje je:

( ) EevNJ ps ⋅=⋅⋅= σ* , gdje je pσ skalar, kojim se izražavaju pojedinačne električne osobine tih materijala i on nosi naziv specifična električna provodnost materijala. Jedinica za pσ je (Ωm)-1. Analogno tome jedinica za specifičnu električnu otpornost je (Ωm). Ohmov zakon: Razlika potencijala na krajevima provodnika pri konstantnom otporu proporcionalna je struji koja protiče kroz provodnik.

IRVVU ⋅=−= 21 Struja dI može se eksplicitno izraziti u ovisnosti od električnog otpora strujne tube i električnog napona U koji vlada između njenih krajeva pomoću relacije:

stRUdI =

Kod tankih linijskih provodnika, homogene strukture, sa specifičnom otpornošću ρR, čija je dužina l, a poprečnipresjek s, električna otpornost provodnika se određuje pomoću izraza:

slR Rρ=

Specifična električna otpornost metalnih provodnika mijenja se u osvisnosti od ambijentalne temperature:

))(1( 1212 θθαρρ −⋅+⋅= gdje je ρ2 specifične električni otpor metala provodnika pri temperaturi θ2, a sa simbolom ρ1 označen je specifični otpoer metalnog provodnika pri temperaturi θ1. θ1 ima obicno temperaturu od 20° C, a relacija služi za određivanje specifičnog otpora na nekoj drugoj temperaturi. Temperaturni koeficijent α pri značajnim promjenama temperature također se mijenja. Glavne karakteristike elemenata električnih krugova opisuju se nizom električnih veličina, kao što su: električna snaga, koju oni mogu odavati ili preuzimati na sebe, električni napon, koji mogu elementi održavati između svojih krajeva. Električni kondenzatori u osnovi blokiraju tok stalne jednosmjerne struje, te se oni u električnim krugovima ponašaju kao otvoren prekidač. Joule-ov zakon Poznato je da se električni provodnici zagrijavaju tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu je prvi analitički uspješno opisao Joule. Svaki od električnih otpornika, pri svom priključku na naponski izvor, pretvara toplotu u električnu snagu. Po Joule-ovom zakonu važi relacija:



11

[ ])(12 vatWdVJEIUIRPV∫ =⋅⋅=⋅=⋅=

Ako se uvede pojam zapreminske gustine snage, odnosno specifične snage p, dobiva se Joule-ov zakon

u diferencijalnom obliku, koji glasi: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅=⋅=⋅== 3

22 m

WEJJEdVdPp PR σρ .

Jednačina kontinuiteta električne struje:

dtdqsdJ

S

−=⋅∫

KIRHOFOVI ZAKONI (9.2) Prvi Kirhofov zakon: Algebarska suma svih električnih struja, koje dolaze ili odlaze u čvorište električnog kruga jednaka nuli, odnosno:

01

=∑=

n

kkI

Čvorište električnog kruga je mjesto u njegovoj električnoj šemi, na kojem se sastaje tri ili više grana razmatranog električnog kruga. Elektromotorna sila Termin električni krug podrazumijeva elektrrčni krug koji se sastoji od jednog izvora električne energije i jednog potrošača električne energije. Izvor električne energije može biti naponski ili strujni; u tehničkoj praksi se koristi termin generator električne energije. U električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, potrošač je po pravilu predstavljen aktivnim otporom R.

IRIrdlEdlEΕAmBBnA

i ⋅+⋅=⋅+⋅= ∫∫

U prethodnoj relaciji Ei je unutrašnja elektromotorna sila izvora. Prvi integral je pad električnog napona, odnosno gubitak električnog napona koji se dešava unutar generatora električne energije, zbog protivljenja generatora da se uspostavi električna struja I. Drugi integral pretstavlja pad napona, ili gupitak električnog napona, pri savladavanju protivljenja priključenog potrošaća aktivne otpornosti R, prilikom uspostavljanja stalne struje I. Drugi Kirhofov zakon: U proizvoljnoj zatvorenoj konturi složenog linearnog električnog kruga, algebarska suma padova napona, uzrokovanih prolaskom struja Ijk, kroz aktivne električne otpore Rjk, uravnotežena je algebarskom sumom EMS Ejk, koje djeluju unutar te razmatrane konture. Ova tvrdnja se formalno analitički izražava relacijom:

∑∑ =⋅ jkjkjk ERI Termin, algebarska suma padova napona, odnosno algebarska suma EMS, u drugom Kirhofovom zakonu ima za cilj da upozori svoje korisnike da predznak ispred pojedinih sabiraka u prethodnoj relaciji može biti kako pozitivan tako i negativan.



12

METOD KONTURNIH STRUJA (10) Porastom broja grana električnog kruga, raste i broj jednačina, koje su neophodna osnova za izračunavanje nepoznatih vrijednosti električnih struja u granama analiziranog električnog kruga. Maxwell je nastojao da pronađe efikasniji put za rješavanje takvih slučajeva. To je uradio preradom 2KZ-a, pri čemu se taj zakon primjenjuje samo na konture kojima se može pripisati atribut nezavisna. Da bi neka kontura bila nezavisna, ona mora biti struktuirana tako da posjeduje bar jednu granu koja pripada samo toj konturi. Algebarske jednačine, koje se postavljaju za svaku od utvrđenih kontura, zasnivaju se na 2KZ-u:

∑∑ =⋅ mkmkjk ERI Algebarski zbir EMS unutar konture m, može se formalno pretstaviti sa ΣEmk, pri čemu se EMS koje djeluju u smjeru konture m uzimaju u zbiru ΣEmk sa predznakom plus, dok se ostalim EMS-ma unutar te konture, u predmetnom zbiru, pridružuje predznak minus. Zakon o očuvanju električne snage (energije) U svakom linearnom električnom krugu stalnih jednosmjernih struja i napona, prema Zakonu o održanju energije, ukupna električna snaga, koju odaju naponski i strujni izvori električne energije pristuni unutar tog električnog kruga, jednaka je električnoj snazi koju apsorbuju-preuzimaju, potrošaći električne energije istog tog električnog kruga, odnosno relacija:

( )∑∑∑===

⋅+⋅=⋅n

ikjjkSi

n

iii

n

iii UIIEIR

111

2

U relaciji članovi na lijevoj strani su uvijek pozitivni, dok članovi sa desne strane mogu biti i pozitivni i negativni. Granični uslovi dodira dvije homogene provodne sredine Da bi se odredilo ponašanje karakteristicnih velicina strujnog polja, vektora jacine elektricnog polja E i vektora gustine elektricne struje J , na granici dodira dvije homogene provodne sredine, sa specificnim elektricnim provodnostima σP1 i σP2, mora važiti kako Ohmov zakon ( )EJ P ⋅= σ tako i prvi

Kirchhoffov zakon 0=Jdiv . Primjeni li se IKZ u diferencijalnom obliku, na granicu dodira dvije homogene provodne sredine, sa specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2, tada ima smisla pisati da je:

nnS

nn JJsJsJsdJ 212211 , =⇒∆⋅−∆⋅=⋅∫

iz čega zaključujemo da da su normalne komponente vektora gustine električne struje jednake. S obzirom na pretpostavljenu homogenost provodnih sredina i važenje Ohmovog zakona, omogučava da se napiše da je:

nPnP EE 2211 ⋅=⋅ σσ

Prethodna relacija kao i relacija 0∫ =⋅l

ldE omogućava da se uspostavi odnos između uglova θ1 i θ2

koje zaklapaju vektori E i J, sa normalama na površ u čijim tačkama se susreću provodne sredine:



13

2

1

2

1

2

22

1

11 ;

P

P

n

t

n

t

tgtg

JJ

tg

JJ

tg

σσ

θθ

θ

θ=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

Analogija specifične električne provodnosti sredine i dielektričnosti sredine

Relacije sa stanovišta spec. elek. provodnosti sredine (σP)

Relacije sa stanovišta dielektričnosti sredine (ε)

0∫ =⋅l

ldE 0∫ =⋅l

ldE

EJ P ⋅= σ ED ⋅= ε

0=Jdiv 0=Ddiv gradVEJ PP ⋅−=⋅= σσ gradVED ⋅−=⋅= εε

nn JJ 21 = nn DD 21 =

2

2

1

1

P

t

P

t JJσσ

= 2

2

1

1

εεtt DD

=

∫⋅=

sP sdE

URσ

U

sdEC s

∫⋅=ε

MAGNETNE POJAVE U STACIONARNOM STRUJNOM POLJU (11) Magnetno polje stacionarnih struja Danski fizičar Oersted je svojim eksperimentom, kojim je ispitivao uticaj prolaska galvanske struje kroz žicu na magnetnu iglu u blizini žice, dokazao da promjena smjera struje dovodi do promjene orijentacije magnetne igle. (Zemlja se ponaša kao ogroman magnet čiji se južni magnetni pol nalazi negdje na geografskom sjeveru, a sjeverni negdje na geografskom jugu. Tačnija mjerenja pokazuju da se pravac magnetne igle ne podudara u potpunosti s pravcem sjever-jug. Prema tome. kompas nam daje samo približnu orjentaciju na Zemlji.) Za grafičko predočavanje karakteristika magnetnog polja, danas se koristi vektor magnetne indukcije B , čije vektorske linije iskazuju neke osnovne osobine tog prostora. Linije vektora B su neprekidne usmjerene linije, zatvorene same u sebe, čija gustoća naglašava intenzitet vektora magnetne indukcije. Sila u magnetnom polju na elementarni električni naboj q koji se kreće Stalna jednosmjerna električna struja ima uticaj i na prostor, u okolini provodnika kroz koji protiče. Ona stvara magnetno polje oko provodnika sa tom strujom. Ukoliko se u tom prostoru pojavi neko električno opterećenje q, koje se pri tom kreće srednjom brzinom v , tada će na to električno opterećenje djelovati sila

BvqEqF q ×+= (Lorentzov izraz za silu).



14

Prva komponenta ove sile je neovisna o brzini kojom se kreće naboj, ukoliko su svi drugi naboji koji generišu električno polje nepomični. Druga komponenta u rezultantnoj sili ovisi o brzini pomjeranja električnog naboja, ali i o karakteristikama magnetnog polja izraženim preko vektora B . Sila u magnetnom polju na provodnik kroz koji protiče stalna jednosmjerna struja

BldIBldsdJFd ×⋅=×⋅⋅= Laplaceov izraz za određivanje magnetne sile na provodnik sa stalnom jednosmjernom strujom, kada se on nalazi unutar područja djelovanja magnetnog polja indukcije B :

∫ ×⋅= )( BldIF

Jedinica mjere za intenzitet magnetne indukcije je tesla: AmNT 11 = .

Smjer magnetnog polja određujemo pravilom desne ruke: Obuhvatimo li desnom rukom provodnik kroz koji protiče struja, tako da palac pokazuje smjer struje, onda će savijeni prsti pokazivati smjer linija magnetnog polja (magn. indukcije). Smjer sile na provodnik određuje se pravilom lijeve ruke: Lijevu ruku ispružimo tako da linije magnetnog polja ulaze u dlan, prsti pokazuju smjer struje, a ispruženi palac smjer magnetne sile. Amper je pokazao da se ukupna sila 12F kojom strujna kontura 1C , sa stalnom jednosmjernom električnom strujom 1I , djeluje na strujnu konturu 2C , sa stalnom jednosmjernom električnom strujom

2I i obje se nalaze u vazduhu, može odrediti iz relacije:

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××=

2 1

211

220

124 C C R

RldIldIFπµ

, ),( 21122112 FdFdFF ≠= .

Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu Moment magnetnog dipola m :

SnISIm ⋅⋅=⋅= 0 , gdje je I stalna jednosmjerna struja, uspostavljena u strujnoj konturi, koja ograničava površ S, za koju je jedinični vektor pozitivne normale, označen sa 0n . Elementarni moment sile Md :

FdrMd ×= .

Rezultantni moment M svih elementarnih sila, koje djeluju na strujnu konturu je BmBrdrIM ×=××= ∫ )( .

Dejstvo elektromagnetnih sila se svodi na čisti spreg sila, koji ima tendenciju da zaokrene konturu i to tako da se vektor magnetnog momenta strujne konture m , poklopi po pravcu i smjeru djelovanja sa vektorom magnetne indukcije B , stranog homogenog magnetnog polja. Hallov efekat Edwin Herbert Hall je, tokom izvođenja eksperimenta, uočio jednu do tada neregistriranu pojavu, koja proizilazi iz sadejstva stacionarne električne struje, usmjeravane kroz tanku metalnu traku i stranog stacionarnog magnetnog polja, unutar kojeg se takva traka nalazi (Hallov efekat).



15

Eksperiment: Laboratorijska struktura se sastoji od:

• idealnog naponskog izvora sa naponom izmežu stezaljki 0V ,

• stranog magnetnog polja, okarakterisanog vektorom magnetne indukcije 0B ,

• metalne pločice od odgovarajućeg materijala (monovalentni materijal), u obliku kvadra, sa dimenzijama L,d,w,

• idealnog voltmetra HV . Nakon zatvaranja strujnog kruga u razmatranom električnom krugu se uspostavlja stalna jednosmjerna struja intenziteta:

dwEI ⋅⋅⋅= 00 σ .

Na slobodne elektrone supstance djeluje elektromagnetna sila )( Bve ×− , potiskujući ih ka donjoj stranici metalnog kvadra površine )( Lw ⋅ . Na donjoj osnovici kvadra se nagomilava negativan električni naboj eq , dok na gornjoj stranici površine nastaje povećana koncentracija pozitivnog električnog naboja pq . Između ta dva sloja naelektrisanja, tada djeluje elektrostatička sila ypy EqF ⋅= , ( yey EqF ⋅= ). Razdvajanje električnih naboja prestaje onog momenta, kad se uspostavi relacija:

vBEEeBve yy =⇒=⋅−×⋅− 0)( . Električni napon između gornje i donje stranice:

BJdkV xHH ⋅⋅⋅= ,

gdje je *

1eN

kH = Hallova konstanta.

Hallov efekat je osnova za niz vrlo korisnih aplikacija, kao što je teslametar, a često se uz pomoć Hallovog efekta određuju i pojedine relevantne karakteristike poluprovodnika. Kretanje električnog naboja u magnetnom polju

1. Kada naelektrisana čestica uleti u homogeno magnetno polje okomito u odnosu na silnice homogenog magnetnog polja, kreće se po kružnici, čiji je poluprečnik proporcionalan količini kretanja čestice vm , a obrnuto proporcionalan magnetnoj indukciji B i naelektrisanju q.

2. Ako naelektrisana čestica uleti u homogeno magnetno polje po pravcu koji je paralelan silnicama magnetnog polja, kreće se jednoliko po pravcu, tj. magnetno polje uopće ne utiče na kretanje čestice.

3. Ako čestica ulijeće u homogeno magnetno polje pod nekim uglom θ , kreće se po putanji koja ima oblik spirale. Osa spiralne putanje ide duž silnica magnetnog polja, a njen poluprečnik je

qBmv

r q θsin= .

Jednačine dinamičkog kretanja električnog naboja q, iz kojih se analitički može rekonstruisati putanja njegovog kretanja:



16

EqBvqdtvdm eeq ⋅+×⋅= )( i EqB

dtrdq

dtrdm eeq ⋅+×⋅= )(2

2

.

Ubrzavanje kretanja elementarnih električnih naboja vrši se u posebnih spravama kao što su ciklotroni i betatroni. MAGNETNO POLJE PROIZVEDENO STRUJOM (12) Biot-Savart-Laplaceov zakon Francuski fizičari Biot i Savart su na osnovu rezultata eksperimentalnih istraživanja zaključili da je u slučaju veoma dugih žičanih provodnika postavljenih u vazduhu, intenzitet uspostavljenog magnetnog polja obrnuto proporcionalan, spram udaljenosti, računate od tačaka u kojim se polje mjeri, do provodnika sa stacionarnom strujom, koji upravo generiše to magnetno polje. Istovremeno su zaključili i da je u fiksiranoj tački prostora, intenzitet magnetnog polja direktno proporcionalan intenzitetu stacionarne električne struje, pod uslovom da provodnik sa tom strujom prostorno miruje. Nastojeći poopštiti rješenje problema određivanja magnetne indukcije, za slučajeve provodnika ma kakvog geometrijskog oblika, opterećenih stacionarnom električnom strujom, Laplace je došao do sljedećih zaključaka:

1. Kada više permanentnih magneta i/ili provodnika sa stacionarnim električnim strujama, stvara vlastita magnetna polja u okolnom prostoru, tada se rezultantno magnetno polje određuje sabiranjem njihovih pojedinačnih magnetnih polja, po pravilima vektorskog računa.

2. Ukupna magnetna indukcija, koju generiše cjelokupan izolovani provodnik, tokom usmjeravanja stacionarne električne struje, jednaka je zbiru elementarnih magnetnih indukcija, nastalih djelovanjem pojedinih strujnih elemenat, pri čemu se zbir formira po pravilima vektorskog računa.

3. Elementarna magnetna indukcija Bd , koju u tački P, smještenoj u vazduhu, stvara strujni element )'( ldI ⋅ , određena je relacijom:

20

0 4'R

RlIdBd pπ

µ ×= (Biot-Savart-Laplaceov zakon).

Amperov zakon u osnovnom obliku Amperov zakon za određivanje vrijednosti vektora magnetne indukcije B : Cirkulacija vektora magnetne indukcije B , po zatvorenoj konturi C, smještenoj u vazduhu, jednaka je algebarskom zbiru svih struja, koje prolaze provodnicima što su obuhvaćeni konturom C, pomnoženom sa 0µ :

∫∑∫ ==SC

sdJIdlB 00 µµ .

Diferencijalni oblik Amperovog zakona: JBBrot 0)( µ=×∇= .

Magnetni fluks. Gaussov zakon za magnetna polja Elementarni fluks neke vektorske funkcije B , kroz elementarnu površ sd :

sdBd ⋅=Φ .



17

Ukupni magnetni fluks:

∫ ⋅=Φs

sdB .

Magnetni fluks je po svojoj prirodi skalarna veličina. Jedinica mjere magnetnog fluksa je weber: 2mTWb ⋅= .

Fluks vektora magnetne indukcije, kroz bilo koju zatvorenu površ jednak je nuli. Gaussov zakon za magnetna polja u integralnoj formi (zakon o konzervaciji magnetnog fluksa):

0=⋅∫ sdBs

.

Gaussov zakon u diferencijalnoj formi (četvrta Maxwellova jednačina u diferencijalnoj formi): 0=Bdiv .

Određivanje rada elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Elektromagnetna sila Fd tokom pomjeraja strujnog elementa lId , za dužinu 1dl će izvršiti rad:

Φ⋅=⋅×⋅=⋅= δδ IldBldIldFdA 11 )( . Elementarni rad ima isti predznak, kao i elementarni fluks. Ukupni rad elektromagnetne sile, koji se obavi tokom translatornog pomjeranja strujne konture C za dužinu 1dl , jednak je zbiru elementarnih radova:

Φ⋅== ∫ dIAdA δ .

Ako simbolom 1Φ označimo fluks vektora magnetne indukcije B, kroz konturu C u njenom početnom položaju, a simbolom 2Φ fluks vektora magnetne indukcije B kroz konturu C u njenom krajnjem položaju, tada se može pokazati da je:

12 Φ−Φ=Φd . Kada se kolo pomjera pod djelovanjem elektromagnetne sile, tada je rad tih sila pozitivan, pa je i priraštaj magnetnog fluksa dФ pozitivan, odnosno magnetni fluks se povećava. Dakle elektromagnetne sile djeluju tako da nastoje strujnu konturu postaviti u položaj u kojem ona zauzima maksimalni magnetni fluks. Sopstveni magnetni fluks ostaje konstantan u odnosu na strujnu konturu i tokom ostvarenog njenog translatornog pomjeranja. Određivanje elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Pri translatornom pomjeranju strujne konture, unutar stranog magnetnog polja, rezultantna sila F , pod čijim uticajem se ostvaruje pomjeranje te strujne konture u nekom pravcu l1 za dužinu dl1, obavlja mehanički rad dAF, određen relacijom:

11111

dldIFdIdlFldFdAFΦ

⋅=⇒Φ⋅=⋅=⋅= .

Magnetne osobine materijala S obzirom na tip međudjelovanja sa vanjskim magnetnim poljem, materijali se dijele na 3 grupe:

1. Prva grupa materijala pripada klasi dijamagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako,



18

da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava oslabiti strano magnetno polje (npr. bakar, olovo, grafit...).

2. Druga grupa materijala pripada klasi paramagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako, da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava podržati strano magnetno polje (npr. natrij, aluminij, bakarni sulfat...).

3. Treća grupa materijala pripada klasi feromagnetnih materijala, koji se fenomenološki ponašaju čak donekle slično kao i paramagnetni materijali, ali je nivo njihove reakcije, u smislu podržavanja djelovanja stranog magnetnog polja, izraženiji (npr. željezo, magnetit...).

Parametri za iskazivanje magnetnih osobina materijala:

• Relativna magnetna propustljivost: oM

mMr B

B=µ , gdje je oMB intenzitet magnetne indukcije u

nekoj tački M, kada se svitak nalazi u vazduhu, a mMB intenzitet magnetne indukcije u nekoj tački M, kada se svitak postavi na jezgro od odabranog materijala. Za dijamagnetne materijale, relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno manju od 1, (1-ε<µd<1 ), za paramagnetne materijale relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno veću od 1, (1<µp<1+ε), dok kod feromagnetnih materijala relativna magnetna propustljivost ima vrijednost mnogo veću od 1 (µFe>>1).

• Magnetna susceptibilnost: 1−= rm µχ .

Vektor magnetizacije M predstavlja zapreminsku gustinu magnetnih momenata: ( )

VVum

M∆

∆= ∑ .

Algebarska suma Amperovih struja, obuhvaćenih zatvorenom konturom C, unutar koje se našla neka materijalna sredina:

∫∑ ⋅=C

mA ldMi .

Uopšteni oblik Amperovog zakona Do poopštenja Amperovog zakona došlo je s ciljem da on ne važi samo za vakuum, nego i za bilo koju drugu materijalnu sredinu. Uopšteni oblik Amperovog zakona:

( )Cunutar

C

ildH ∑∫ =⋅ ,

Gdje je H vektor jačine magnetnog polja i važi relacija:

MBH −=0µ

.

Karakteristike feromagnetnih materijala

1. Sposobnost da obezbjede veliku zapreminsku gustinu magnetne energije. 2. Zavisnost magnetne propustljivosti, ne samo od intenziteta vektora jačine magnetnog polja µ=µ(H), nego i od ranijeg magnetnog stanja analiziranog uzorka feromagnetnog materijala.



19

3. Apsolutna vrijednost magnetne propustljivosti feromagnetika: a

a

HB

=µ (simbol a u

indeksaciji veličina, asocira da se uzimaju vrijednosti amplituda magnetne indukcije i jačine magnetnog polja sa osnovne krive magnećenja).

4. Diferencijalna magnetna propustljivost: dHdB

d =µ .

5. Inkrementalna magnetna propustljivost: HB

∆∆

=∆µ .

6. Magnetne osobine feromagnetika su veoma ovisne o apsolutnoj vrijednosti temeperature feromagnetika. Pri temperaturi apsolutne nule feromagnetik dolazi u stanje apsolutnog zasićenja. Porast temperature feromagnetika otežava usmjeravanje Amperovih mikrostruja, tako da pri temperaturi, koja se naziva Curie-va temperatura, feromagnetik praktično poprima, u magnetnom smislu, osobine paramagnetika.

Gubici uslijed pojave histerezisa Tokom opisivanja histerezisnog ciklusa, feromagnetni materijal se zagrijava, po osnovu pretvaranja dijela dovedene električne energije za obezbjeđivanje željene vrijednosti jačine magnetnog polja, u toplotu. Gubici električne energije, tokom jednog histerezisnog ciklusa proporcionalni su površini koju ograničava petlja histerezisa. U skladu sa tom činjenicom, u aplikacijama gdje se stalno ponavljaju ciklusi magnećenja, povoljno je da upotrebljeni feromagnetni materijali imaju usku petlju histerezisa. Takvi feromagnetni materijali, nazivaju se mekim feromagnetnim materijalima i koriste se za transformatorska jezgra energetskih transformatora , te izradu magnetnih kola obrtnih električnih mašina. Feromagnetni materijali sa širokom petljom histerezisa, teško se mogu razmagnetisati djelovanjem stranog magnetnog polja i uglavnom imaju primjenu kod permanentnih magneta. Nazivaju se tvrdim feromagnetnim materijalima. Pored gubitaka električne energije uslijed histerezisnog efekta, u aplikacijama gdje se koriste periodički promjenljiva magnetna polja, u tijelu feromagnetika se pojavljuju i vrtložne struje, usljed kojih također dolazi do gubitaka. OSNOVNI MAGNETNI KRUGOVI. ANALOGIJA SA ELEKTRIČNIM KRUGOVIMA (13) Magnetni krug je skup materijalnih tijela ili sredina, kroz koje se usmjerava i zatvara magnetni fluks. Tri osnovne veličine za opisivanje stanja magnetnog kruga: magnetni fluks (ekvivalent električne struje u električnom krugu), magnetnomotorna sila, ili magnetnopobudna sila ( ekvivalent izvora električne energije u električnom krugu) te magnetni otpor magnetnog kruga (ekvivalent električnog otpora u električnom krugu). Međusobni odnosi između navedenih relevantnih veličina magnetnog kruga uređeni su relacijom koja se često naziva Ohmovim zakonom za magnetni krug. U relaciji za magnetni fluks, nazivnik predstavlja magnetni otpor magnetnog kruga, a brojnik magnetnomotornu silu:

∫ ⋅

⋅=Φ

C dSdl

INd

µ

.

Kod magnetnih krugova svako postojanje magnetomotorne sile, NI ≠ 0, znači i da će se uspostaviti magnetni fluks kroz neku zatvorenu putanju u tom prostoru.



20

Proračuni složenijih magnetnih krugova Za svako čvorište magnetnog kruga u kojem se susreće tri ili više grana magnetnog kruga važi relacija da je algebarska suma magnetnih flukseva koji dolaze ili odlaze iz tog čvorišta jednaka nuli:

0=Φ∑ k . Prema ovoj relacija formira se 1−čn jednačina. Za svaku zatvorenu putanju, po kojoj se mogu kanalisati magnetni fluksevi, uspostavlja se i relacija:

∑∑==

Φ=n

kmkk

n

kk RF

11

.

Prema ovoj relacija formira se preostalih )1( −− čnn jednačina, gdje je n broj nepoznatih flukseva. Granični uslovi na dodiru dvije linearne, izotropne i homogene magnetne sredine Na granici dodira dvije linearne, izotropne i homogene magnetne sredine, moraju važiti odnosi:

1. H1t = H2t, 2. B1n = B2n,

ELEKTRIČNA I MAGNETNA POLJA KOJA SU PROMJENLJIVA U VREMENU (14) Faraday-ev zakon elektromagnetne indukcije. Lenz-ov princip Faraday je pokazao kako se pomoću magnetnog polja može proizvesti električna struja. Faraday je na osnovu eksperimenata zaključio da tok električnog naboja kroz konturu (sa aktivnim električnim otporom R, u kojoj se nalazi i galvanometar, čiji je zadatak da registruje eventualne protoke električnih opterećenja unutar konture) ima jedan smjer kada se povećava intenzitet magnetnog fluksa kroz nju, a drugi smjer kada se smanjuje intenzitet magnetnog fluksa kroz istu konturu. Također je utvrdio da se može uspostaviti i proporcionalnost, između količine električnog opterećenja

q∆ , koja protekne kroz poprečni presjek provodne konture unutar određenog vremenskog intervala i promjene magnetnog fluksa ∆Φ , koji se obuhvata sa tom konturom, tokom istog vremenskog intervala:

Rq ∆Φ

−=∆ .

Prethodna relacija se u graničnom procesu transformiše u relaciju:

Rddq Φ

−= ,

iz koje slijedi izraz za određivanje inducirane elektromotorne sile:

RE ∆Φ

−= .

Dakle, elektromotorna sila koja se indukuje u konturi obuhvaćenoj magnetnim fluksom, proporcionalna je negativnoj vrijednosti brzine promjene tog magnetnog fluksa. Negativni predznak promjene brzine magnetnog fluksa, predstavlja matematički izraz Lenz-ovog pravila, prema kojem indukovana elektromotorna sila u provodnoj konturi, pokušava uspostaviti struju, koja će svojim vlastitim magnetnim fluksom, djelovati tako da nastoji spriječiti mijenjanje iznosa stranog magnetnog fluksa, koji obuhvata upravo tu provodnu konturu. Značajna je uloga zakona elektromagnetne indukcije u obezbjeđenju funkcionisanja električnih mašina.



21

Koeficijenti samoindukcije i koeficijenti uzajamne indukcije Ukoliko se razmatra odnos magnetnog fluksa i struje koja je stvorila taj magnetni fluks, tada se kao koeficijent proporcionalnosti, pojavljuje samoinduktivnost L:

IL ⋅=Φ . Ako razmatramo odnos jednog dijela fluksa 1Φ , dakle, fluksa 12Φ ( 112 Φ<Φ ), koji dopire do neke konture 2C I struje 1I , koja je prolazeći kroz konturu 1C stvorila magnetni fluks 1Φ , faktor proporcionalnosti je međuinduktivnost 12M :

11212 IM ⋅=Φ .

Magnetna energija u linearnim i nelinearnim sredinama Najopštiji izraz za određivanje energije lokalizovane u magnetnom polju:

∫ ⋅⋅=V

m dVHDW21 .

Za određivanje magnetne energije pridružene svitku sa N zavojaka, kroz koje protiče struja I:

ψ⋅= IWm 21 ,

gdje je ψ ulančeni fluks za takav svitak. Izraz za određivanje magnetne energije linearnih magnetnih sredina:

LIWm ⋅= 2

21 .

Documents

Skripta iz Osnova elektrotehnike - WordPress.com · 2015-10-27 · Skripta iz Osnova elektrotehnike Amar Trnka & Nejra Hodžić – Skinuto sa 4 []F d S C =ε0 = Jedinica mjere za