1

Universitatea Spiru HaretFacultatea de Stiinte Juridice, Economie si Administrative, CraiovaProgramul de licenta: Contabilitate şi Informatică de GestiuneDisciplina: ECONOMETRIE ŞI PREVIZIUNE ECONOMICĂTitular disciplină : Conf. univ. dr. Laura Ungureanu

I: CE ESTE ECONOMETRIA?

Progresul continuu al societăţii contemporane este strâns legat de realizarea a numeroase obiective îndiferite sectoare de activitate. Metodele tradiţionale fac faţă cu greu complexităţii mereu crescânde a proiectelor, acerinţelor sporite privind obţinerea unor parametri economici corespunzători. Din această perspectivă, rezolvareaproblemelor economice este o luptă cu timpul şi cu eforturile materiale sau costul. Tendinţele negative care conducla depăşiri de termene şi costuri se manifestă, uneori, tot mai intens pe măsura avansării lucrărilor, singura cale deevitare sau de atenuare a lor este folosirea unor metode ştiinţifice de previziune, planificare, decizie şi control.

În etapa actuală de dezvoltare economică, pe lângă extraordinara complexitate a tuturor activităţilor deproductie a bunurilor materiale se ridică cu deosebită acuitate şi problema resurselor materiale de a căror limitaresuntem nevoiţi să ţinem mereu seama. De altfel, crizele economice au la origine şi problema resurselor limitate,ceea ce declanşează crize energetice cu influenţe asupra întregii economii. Toate aceste elemente impun cunecesitate folosirea metodelor ştiinţifice de abordare şi soluţionare pe care le ridică practica economică.

Aşadar, sarcinile ce stau în faţa economistului (chiar şi cel din departamentul financiar - contabil) suntfoarte complexe şi, prin urmare, el trebuie să aibă cunoştinţe tot mai cuprinzătoare şi din alte domenii, mai ales înceea ce priveşte modelarea fenomenelor economice. Astfel, azi nu mai putem vorbi de o bună pregătire aeconomistului dacă nu are cunoştinţe şi nu ştie să utilizeze metode şi modele ale cercetărilor matematice şistatistice.

Specializările în pregătirea economică superioară sunt diversificate, pe lîngă specializarea financiar-contabilă există specializări în comerţ, economia industriei construcţiilor şi transporturilor, în economiaagriculturii, în planificare şi cibernetică cărora li s-au adăugat în ultimii ani şi specializări în economia serviciilorde alimentaţie publică şi turism.

În această lucrare încercăm să conturăm o tematică a conţinutului cunoştinţelor de matematică şi statisticăpe care trebuie să le aibă un economist modern, pregătirea sa trebuind totuşi adoptată în funcţie de cerinţeledisciplinelor de profil care-i asigură viitorului economist specializarea.

Economistul trebuie să ştie să facă raţionamente corecte şi riguroase căci numai în felul acesta ne vomasigura că este capabil să înţeleagă modele noi, să le aplice efectiv în rezolvarea unor probleme concrete pe care leridică practica economică. Aceasta îi dă posibilitatea să pătrundă adânc în esenţa fenomenelor, să sintetizeze şi săfacă abstractizări şi eventual să aducă corecţii modelelor sau să construiască modele noi.

1.1. Definiţie şi rol. Ansamblul activităţilor umane desfăşurate în sfera producţiei, distribuţiei şiconsumului bunurilor şi serviciilor este numit economie. Putem însă privi economia şi ca un studiu analitic ce seocupă de relaţiile care există sau pot fi presupuse că există între mărimi măsurabile direct. Preţurile, dobânzile,veniturile, costurile, cantităţile de mărfuri vândute sau cumpărate pe piaţă şi cantităţile de factori de producţiefolosiţi de o întreprindere sunt numai câteva exemple de mărimi variabile folosite în economie. Unele din acestemărimi pot fi măsurate în unităţi fizice sau naturale, altele numai în bani sau în alte unităţi valorice. Important estecă ele sunt măsurate în nişte unităţi oarecare. Deci nu există nici o îndoilă ca în economie se pot aplica metodematematice şi statistice. O ramură a economiei care urmăreşte să introducă mai multă rigoare în demersuleconomic prin utilizarea unor astfel de metode este econometria.

Denumirea sa, bazată pe termenii de limbă greacă oikonomia = economie şi metran = măsură, subliniazăpreocupările econometricienilor de măsurare nu atât a cantităţilor şi preţurilor cât mai ales a relaţiilor dintrevariabilele economice (în special a relaţiilor cauză – efect) dar şi de descriere prin metode operaţionale a proceseloreconomice şi a economiei naţionale în ansamblu, deoarece, de-a lungul timpului s-a ajuns la concluzia că numaidatele numerice pot asigura o bună cunoaştere a ceea ce ne interesează. Să ne amintim de cugetarea lordului Kelvinde la sfârşitul secolului al XIX lea: „Dacă ceea ce afirmi se poate măsura şi exprima în numere, atunci poţi spune căcunoşti ceva despre acest lucru; când însă nu-l poţi măsura şi exprima în numere, cunoaşterea dobândită este slabăşi nesatisfăcătoare”.

Aşadar, econometria este o ramură particulară a ştiinţelor economice, o ramură care urmăreşte aplicareametodelor statistice şi analizei matematice în economie.

Scopul cercetărilor econometrice propriu-zise este descoperirea, dincolo de datele statistice, amecanismului subiacent care transformă o categorie de obiecte economice ale căror semnale înregistrate constituieo mulţime de date, într-o altă categorie de obiecte economice ale căror semnale observate formează o altă mulţimede date [45].

2

Economistul norvegian Ragner Frisch a fost cel care a introdus acest termen şi a delimitat câmpul decercetare manifestându-se public prin constituirea Societăţii de econometrie în anul 1931.

1.2. Matematica şi econometria. În lumea actuală, de o mare tehnicitate, nimic nu poate fi imaginat fără ocontribuţie directă şi uneori decisivă a matematicii în dezvoltarea tuturor ştiinţelor naturii. „Matematica este ştiinţacare studiază relaţiile calitative şi cantitative şi structurile care se pot imagina între obiectele lumii reale, în cadrulmodelelor care se construiesc pentru reprezentarea lor” afirma acad. Caius Iacob în [18]

Începuturile matematicii au izvorât din unele operaţii practice ale omului, şi anume din acelea care-ireveneau să se orienteze în spaţiu şi timp, să-şi administreze munca. Cu alte cuvinte, din nevoia aplicaţiiloreconomice încet - încet s-au elaborat, pentru acele operaţii, reguli generale, din ce în ce mai generale, din ce în cemai clar exprimate şi legate raţional unele de altele. Astfel a apărut econometria. Ca orice teorie matematică,econometria are ca ţintă posibilitatea de a răspunde cerinţelor practice, deoarece cercetarea în orice ştiinţă trebuiesă corespundă cerinţelor fundamentale ale dezvoltării ştiinţei respective. Viitorul va confirma desigur justeţeaorientării în cercetarea respectivă.

Problemele de economie, de planificare a producţiei nu mai pot fi abordate astăzi fără un aspect matematictot mai complicat deoarece „forţa matematicii constă în posibilitatea ei de a contribui la cercetarea oricăreia dintreformele de evoluţie a materiei în măsura în care, în cadrul ştiinţelor naturii, această cercetare, depăşind fazeleiniţiale de observaţie trece la experimentarea şi măsurarea de efecte, căpătând un aspect nu numai calitativ ci şicantitativ” (Caius Iacob).

O problemă care se ridică este aceea a modului de abordare a diverselor rezultate matematice. Desigur încontinuare nu vom insista pe rafinamentul raţionamentului pur matematic dar nici nu vom transforma matematicaîntr-o colecţie de rezultate bune de utilizat în anumite situaţii.

Cel ce utilizează aparatul matematic trebuie să cunoască şi să discearnă condiţiile în care soluţia uneiprobleme este asigurată şi mai mult decât aceasta, să ştie dacă soluţia este unică sau nu şi mai ales să fie capabil săobţină soluţia problemelor. Acest lucru îi va permite să analizeze din punct de vedere economic rezultatelenumerice, să tragă concluzii asupra evoluţiei viitoare a fenomenelor.

Numai cu o pregătire adecvată se pot aborda programele dinamice deterministe sau aleatoare, discrete saucontinue, cu orizont limitat sau nelimitat care apar azi în stabilirea practicilor optimale atunci când se studiazăprocese de un înalt grad de complexitate şi la a căror finalizare sunt antrenate mari resurse materiale şi umane.

Din toate acestea rezultă marea importanţă care trebuie acordată modelării fenomenelor şi proceseloreconomice, iar matematica (componentă a econometriei) se impune în acest caz nu numai ca instrument necesardar şi indispensabil. Tocmai modelele economiei matematice definesc domeniul econometriei. Care este diferenţadintre matematica economică şi econometrie? Dacă matematica economică transpune problemele economiei înlimbajul matematicii pentru o mai uşoară utilizare a sistemului de noţiuni ale economiei şi a disciplinelor derivateeconometria caută valori numerice pentru parametrii modelelor matematice, ca ocupându-se cu măsurareaobiectelor economice ce au ca echivalente analoge modele matematico - economice.

Savanţii au reuşit să modeleze o largă varietate de fenomene cum ar fi stabilitatea navelor în hidrostatică,diferenţierea celulară în biologie, bătaia inimii şi transmiterea fluxului nervos în fiziologie, anorexia mentală înpsihiatrie, comportamentul mulţimilor în sociologie, evoluţia societăţii în ştiinţele politice, formarea preţurilor înştiinţa economică. Matematica are un câmp de aplicare nelimitat. Toate teoriile matematice reuşesc să creeze„reţele” ce leagă discipline foarte diferite precum fizica şi sociologia, chimia şi economia. Aceste serii „luptăîmpotriva împrăştierii Cunoaşterii într-un nor de cunoaşteri parţiale, descoperind fundamentala unitate structurală anaturii” iar „sursa profundă a acestei interdisciplinarităţi este forţa generativă a matematicilor” după cum afirma, pebună dreptate Alain Bontat..

„Limbajul interdisciplinarităţii, spune Thom, este în mod necesar matematic. Numai din momentul în careun concept de viziune experimentală a fost matematizat, desprins prin abstractizare de locul său de origine, poateîncepe a avea un rol interdisciplinar”. Astfel, matematica nu reprezintă doar un simplu instrument de calcul şipredicţie ci serveşte ca germen al unor structuri abstracte (teoria catastrofelor, haosul).

Necesitatea înţelegerii şi studierii unor sisteme de reacţii cu un număr mare de variabile sau cu un numărmare de conexiuni a dat naştere economiei matematice care nu se ocupă cu problemele unei singure ramuri aeconomiei, ci de problemele de structură, comune tuturor domeniilor economiei. Econometria este o dezvoltareulterioară care urmăreşte specificarea numerică a metodelor economiei matematice. Disciplinele economicematematizate au dus apoi la cristalizarea analizei macro şi microeconomice, indiferent de particularităţile deramură, îmbrăţişând probleme comune oricărui sector al economiei.

1.3. Statistica şi econometria. În publicaţia Royal Statistical Society fondată încă din 1834 găsimurmătoarea definiţie: „statistica este constatarea şi punerea în evidenţă a faptelor care sunt calculate pentru a ilustracondiţiile şi perspectivele societăţii”. Astăzi, statistica reprezintă un puternic instrument de cunoaştere a căreimetodă, având o mare putere de generalizare, se numără printre metodele particulare la care fac apel aproape toatedisciplinele.

3

În practica economică, prin natura fenomenelor aleatoare, cunoştinţele matematice pe care le utilizează şicu care operează economistul sunt de neconceput fără aprofundarea unor elemente de teoria probabilităţilor şistatistică matematică.

Statistica studiază fenomenele de masă din punct de vedere cantitativ şi le interpretează ca fenomeneprobabile. Din această cauză este necesar să se ţină cont de principiile teoriei probabilităţilor şi de cerinţele legiinumerelor mari (J.Bernoulli, 1713) conform căreia, într-un număr suficient de mare de cazuri individuale,influenţele factorilor se pot compensa în aşa fel încât să se ajungă la o anumită valoare tipică pentru întregulansamblu.

De exemplu, la sfârşitul unei activităţi avem la dispoziţie o mulţime de date, informaţii privindcaracteristicile procesului economic respectiv (cifre privind factori consumaţi, factori solicitaţi, unele valorioptime). Aceste date reprezintă statisticile care constituie materie primă pentru econometrie. Pornind de la acestsistem de date, econometricianul reconstituie modelul prin care unele se transformă în factori, iar altele înobiective. De fapt econometria intervine acolo unde nu există un model satisfăcător, apelând la combinarea unoractivităţi de producţie pentru care unica sursă de a le studia eficienţa este agregarea lor în statistici.

Statistica studiază regularităţile cu care fenomenele economice şi sociale se produc, evidenţiază gradul deinfluenţă a factorilor şi mutaţiile structurale din interiorul fenomenelor şi de asemenea permite extindereacunoaşterii fenomenelor studiate. Este, aşa cum afirmă anumiţi cercetători [25], o ştiinţă de graniţă alături deeconometrie, psihologie economică ş.a., constând în folosirea instrumentelor formale furnizate de matematică încunoaşterea celorlalte domenii: economie, sociologie, medicină, politică etc. Cu ajutorul său se poate cunoaştevariaţia oricărui proces economic, ajutând astfel la luarea unei decizii mai bune în corelaţie cu realităţile economiceşi sociale.

Demersul statistic are la bază atât raţionamentul deductiv cât şi pe cel inductiv. În timp ce metodadeductivă presupune stabilirea de ipoteze generale şi deducerea acestora prin raţionamentul logic, pornind de lageneral la particular, cea inductivă presupune un proces invers, pornind de la observaţii particulare se ajunge lareguli generale după cum se produc şi se manifestă fenomenele şi procesele social-economice. Statistica se ocupăde fenomenele cu caracter social-economic de masă, urmărind să descopere ceea ce este esenţial, durabil şi logic însânul acestora, ea reprezentând astăzi un puternic instrument de cunoaştere la care fac apel aproape toatedisciplinele.

Metoda celor mai mici pătrate, analiza de regresie, metoda corelaţiei sau estimaţiile sunt suportul esenţialîn econometrie, economiştii fiind permanent tentaţi de descoperirea trendurilor viitoare ale unor anumite proceseeconomice.

Printre instrumentele statistice folosite în econometrie se numără:- Regresia multiplă – tehnică statistică de identificare a „celei mai potrivite ecuaţii” care indică legătura dintre

valoarea unei variabile dependente şi valorile multiple ale unui număr dat de variabile independente. Spre exemplu,o firmă poate afla cum sunt influenţate vânzările sale de modificarea nivelului cheltuielilor de publicitate, amărimii forţelor de vânzare şi a preţului.

- Metoda discriminantului – tehnică statistică de împărţire a obiectelor sau persoanelor în două sau mai multecategorii. Exemplu: O mare reţea de magazine poate determina variabilele care stau la baza diferenţelor întreamplasamentele indicate şi cele contraindicate magazinelor [60].

- Analiza factorială – tehnică statistică utilizată pentru determinarea dimensiunilor esenţiale ale unuioansamblu mai larg de variabile independente. Exemplu: O reţea de televiziune poate reduce numărul mare alprogramelor TV transmise la un set mai mic de programe [29,pag.28].

- Analiza grupurilor – tehnică statistică de separare a componentelor unei mulţimi într-un număr prestabilit degrupuri care se exclud reciproc, astfel încât grupurile obţinute să fie relativ omogene. Exemplu: Un analist demarketing poate împărţi o mulţime de oraşe în patru grupe de oraşe similare.

- Analiza canonică – tehnică statistică de descompunere a preferinţelor determinate ale subiecţilor faţă deoferte diferite, în vederea determinării funcţiei utilităţii personale implicite a fiecărui atribut şi a importanţeirelative a acestuia. Exemplu: O companie aeriană poate determina utilitatea totală a diferitelor combinaţii deservicii.

- Scalarea multidimensională – categorie de tehnici de reprezentare a obiectelor sub formă de puncte într-unspaţiu multidimensional de atribute, distanţele dintre ele indicând diferenţele existente. Exemplu: Un producător decalculatoare doreşte să afle unde se situează marca sa în comparaţie cu mărcile concurente.

Multe studii şi modele au încercat să descopere care este trendul viitor al unor procese economice, pornindde la informaţii din trecut, informaţii care cuprind comportamentul preţurilor, capitalizarea bursieră, volumulvânzărilor, costuri, stocuri, fluxuri de numerar etc. De exemplu, cu ajutorul modelului lanţurilor Markov (careindică probabilitatea trecerii de la o stare considerată actuală la o stare viitoare) orice producător de bunuri deconsum poate determina periodic modificările şi stagnările corespunzătoare mărcii proprii şi, în cazul în careprobabilităţile sunt constante, cota finală deţinută de marcă pe piaţă, iar modelarea sistemului activelor financiarede către econometricieni (folosind teoria mersului aleator – the random walk by pathesis) are o deosebită

4

semnificaţie în cadrul teoriilor pieţelor financiare, acest risc reprezentând o problemă extrem de delicată pentruorice investitor.

Modelele econometrice trebuie să fie compatibile cu modelele de activitate. Rolul important al statisticiieste tocmai realizarea acestei compatibilităţi. Datele statistice confirmă sau infirmă corectitudinea unui modeleconometric. Odată cu intensificarea folosirii metodelor statistico-matematice s-au înregistrat progrese în ştiinţăprin apariţia modelelor economice.

Contrar aşteptărilor, elaborarea modelelor nu elimină statistica din câmpul cercetării, ci, dimpotrivă, osolicită mai intens.

1.4. Previziunea şi econometria. În previziune, cercetările cantitative au drept scop să reconstituie, învederea extrapolării, legăturile dintre diverse variabile, care, de cele mai multe ori, nu sunt perceptibile direct sauîn mod evident. Obiectivul lor este de a facilita gândirea în termeni medii, ca primă etapă a unui proces desimplificare şi de schematizare. Din câte se ştie, explorarea viitorului facilitează identificarea conexiunilor şi aintervenţiilor specifice fluxului informaţional valori → obiective → nevoi → resurse (fig.1.1) amplificând atâteficacitatea acţiunii sociale raţionale, cât şi motivaţia şi satisfacţia în muncă.

- Fig.1.1 -

Analiza schemei evidenţiază pregnant o serie de efecte benefice asupra comportamentului individual şicolectiv, a interesului manifestat pentru educaţie şi cultură, reflectat în nivelul aspiraţiilor. Accelerarea fărăprecedent a ritmului schimbărilor a impus prevederea ca cea mai importantă funcţie sau atribut a managementului,iar previziunea sau orientarea economico-socială ca disciplină ştiinţifică distinctă, din familia celor de sinteză,precum filozofia, economia şi psihologia. Apelând la construcţii de investigaţii laborioase şi pragmatice, bazate pecunoştinţe logice, matematice, omul poate anticipa nu numai starea viitoare a evenimentelor, fenomenelor şipreceselor, ci şi rezultatele probabile pe care le generează acţiunea umană, precum şi consecinţele acestora asupraindividului şi a societăţii.

Între variabilele de previziune X şi Y există mai multe tipuri de legături, şi anume:• Relaţia de definiţie sau cantitativă, decurgând din logica structurilor teoretice ale ştiinţei economice, cum ar

fi: produsul intern brut se exprimă ca diferenţa între produsul global brut şi consumurile intermediare, sau ca sumăa produsului intern net şi amortizarea capitalului fix. Din relaţia generală, de bază, se deduc relaţiile secundare cuajutorul cărora se calculează elementele componente ale prdusului intern brut;

• Relaţia econometrică, având la bază una sau mai multe variabile independente cuantificate individual,precum şi o variabilă suplimentară exprimând influenţa globală a factorilor ce contribuie la evoluţia de ansamblunu se cuantifică individual;

• Relaţia de echilibru sau de balanţă (FFÎt + PFt = FFSt + SFt) în care variabila dependentă decurge dinoperaţiuni de însumare, scădere sau combinare a celor două demersuri, presupunându-se cunoscute valorilepreconizate ale componentelor (variabilelor) independente; de pildă, produsul global brut la nivelul economieinaţionale rezultă din însumarea producţiilor brute pe sectoare sau ramuri şi subramuri de activitate (FFÎ = fondurifixe la începutul anului; PF = fonduri fixe puse în funcţiune; SF = fonduri fixe scoase din funcţiune; FFS = fondurifixe la sfârşitul anului; t = anul);

• Relaţia de tendinţă sau de trend, în care factorul timp reprezintă variabila independentă;Relaţia deterministă, de dependenţă ori de interdependenţă, care poate fi unifactorială (variabila dependentă este înfuncţie de evoluţia unei singure variabile independente, cum ar fi previziunea muncii numai în raport cu gradul deînzestrare tehnică a muncii) sau multifactorială, când variabila dependentă este determinată de două sau de maimulte variabile independente. Folosirea uneia sau alteia dintre ipoteze depinde de valoarea coeficientului decorelaţie dintre variabile (pentru X există întotdeauna Y şi invers), respectiv relaţia reciprocă între cele douăvariabile, din care una apelează logic la cealaltă, semnalând asocierea dintre ele.

Viitorul – reprezentat prin previziuni – este funcţie de necesitate, dar şi rod al întâmplării, de unde rezultă căactivitatea umană organizată se prezintă sub forma unui registru de posibilităţi situate între certitudine şiincertitudine [54]. Prin urmare, previziunile se clasifică în trei categorii valorice distincte, şi anume:

Sistem de valori Nevoi (aspiraţii şiinterese)

Obiective aledezvoltării social-

economice

Programarea şiplanificarea

social-economică

Nevoi umane,fizice şi sociale

Structura relaţiilorsociale

Structura relaţiiloreconomice

5

a – Previziuni în condiţii de certitudine, care au rezultate sigure, cu efecte imediate sau pe termen scurt;rezultatele se determină cu ajutorul funcţiilor matematice liniare, pe baza unei analize de tip determinist aproceselor;

b – Previziuni în condiţii de risc, adică fără a se cunoaşte riguros rezultatele posibile, deşi acestea şi gradul derisc au fost corect anticipate. În asemenea împrejurări, deciziile pentru situaţiile simple sunt adoptate pornind de lavaloarea minimă a riscului, iar pentru cele complexe, pe baza optimalizării raportului dintre risc şi costul măsurilorantirisc;

- Fig.1.4 -

c – Previziuni în condiţii de incertitudine, respectiv când nu pot fi cunoscute nici şansele rezultatelor şi nicichiar toate rezultatele posibile. În acest caz, factorii de decizie apelează la informaţii suplimentare pentru a stabililimitele câmpului de apariţie a unui rezultat.

II: FUNCŢII ŞI ECUAŢII ECONOMETRICE

Una din cele mai dificile probleme ale econometriei este estimarea legăturilor ce se înregistrează întrefactorii producţiei şi rezultatele obţinute. Cele mai multe modele caută să explice creşterea economică (sporul deproduse şi de venit) prin aportul combinat a doi factori de producţie: capitalul (K) şi munca (L). Aceşti factoriexprimă rezultatul serviciilor productive în unităţi fizice sau naturale. Dinamica dezvoltării economice depinde atâtde rata acumulării de capital şi a investiţiilor (K) cât şi de progresul tehnic (ceea ce permite reducerea ponderii luiL ca urmare a creşterii productivităţii muncii).

2.1. Funcţii econometrice. Funcţiile de producţie sunt expresii matematice care descriu legăturilecantitative dintre principalii indicatori economici ce caracterizează volumul activităţilor verigilor organizatoriceale economiei naţionale în ansamblul său (produs global brut, produs intern brut sau net, valoare adăugată, venitulnaţional, producţia globală, ramurile sau sectoarele instituţionale etc) şi principalii factori de producţie, respectivcapitalul fix sau capital total (fix şi circulant), forţa de muncă din activitatea productivă, progresul tehnico-ştiinţific, resursele de materii prime şi materiale [15,pag.175].

Funcţiile de producţie şi cele de consum, funcţiile de ofertă respectiv de cerere atât pe piaţa bunurilor, aforţei de muncă cât şi a banilor sunt descrise în econometrie cu ajutorul funcţiilor reale de mai multe variabilereale. Caracteristicile acestor funcţii vor varia în funcţie de specificul procesului economic analizat. Pentru aurmări activităţile ce duc la obţinerea producţiei dorite se realizează o anumită „combinare” a factorilor deproducţie.

Să considerăm spaţiul vectorial ∗+ ∈ NnR n , . Coordonatele unui element

( ) nn Rxxxx +∈= ,,, 21 reprezintă cantitatea consumată din factorul de producţie i . Un vector de producţie este

un vector de forma ( ) 11 ,,, +∈−−= n

n Ryxxv unde y este outputul aşteptat. Vectorul v se numeşte posibil dacăexistă o combinaţie de inputuri ( )nxx ,,1 care să ducă la realizarea din punct de vedere tehnologic a outputuluiy .

Domeniul de producţie posibil corespunzător pentru o firmă F reprezintă toate combinaţiile posibile defactori de producţie care permit din punct de vedere tehnologic obţinerea unor anumite niveluri de producţie y .

Fiind dat vectorul resurselor ca nivelul unei firme F numim funcţie de producţie la nivelul firmei aplicaţia)(,: xyyRRy n =→ ++

în condiţiile în care combinaţia ( )nxxxx ,,, 21 = există şi este posibilă din punct de vedere tehnologic, iarresursele sunt folosite cu eficienţă maximă. Iată câteva din proprietăţile unei funcţii de producţie:

1. )(xyy = este monoton crescătoare, deci creşterea consumului din cel puţin un factor, fără a diminuaconsumul din ceilalţi factori duce la creşterea volumului de producţie;

Medii mobileşi ajustări

Extrapolareatendinţei

Extrapolareaseriilor

decompozabile

Prognoze pe bazaseriilor de timp

Modele cauzale

Cantitative

Calitative

Metode şi tehnicide prognoză

6

2. Are proprietatea de esenţialitate slabă, care înseamnă că în lipsa oricărui factor de producţie nixi ,1, = nu

se poate obţine output, adică 0)( =xy dacă şi numai dacă 0=x .3. Păstrează neschimbată unitatea de măsură atunci când scala producţiei se modifică. Această proprietate este

cunoscută sub numele de economie de scală. Matematic, înseamnă că )(xf este omogenă de gradul , deci

)()( xfxf = . Coeficientul caracterizează funcţia de producţie astfel:- dacă 1> economie de scară crescătoare- dacă 1= economie de scară constantă- dacă 1< economie de scară descrescătoare

Un proces de producţie se numeşte tehnologic ineficient dacă există un altul care produce acelaşi output cuun consum mai mic de resurse, sau cu acelaşi volum de resurse permite obţinerea unui volum mai mare de output.

Evident, fiecare funcţie ( )nxxyy ,,1 = are caracteristici care reflectă specificul procesului economicanalizat. Aceste caracteristici pot fi caracterizate cu ajutorul indicatorilor medii, marginali, de elasticitate şi desubstituţie.

1. Indicatorii medii şi marginali, pentru factorul i , sunt determinaţi de:

ii x

yy = respectiv

ixi x

yf

i ∂∂== '

2. Elasticitatea nivelului activităţii în raport cu un factor ix se defineşte ca:

i

ix x

x

y

yE

i

∆∆= : sauii

i x

y

x

yEx :

∆∆=

unde y∆ este variaţia (creşterea sau descreşterea) nivelului activităţii y pe seama variaţiei ix∆ a factorului

(inputului) ix , ceilalţi factori rămânând constanţi. Elasticitatea reprezintă creşterea sau descreşterea procentuală a

nivelului activităţii

∆%

y

yla o variaţie (creşterea, descreşterea) de 1% a factorului ix

=

∆%1

i

i

x

xceilalţi

factori rămânând neschimbaţi.3. Indicatorii de substituire se calculează de-a lungul curbelor de indiferenţă, adică la nivelul constant al

variabilei rezultative şi arată gradul în care factorul ix poate substitui cu alt factor jx fără a modifica nivelul

variabilei rezultative [42,pag.107].

Se numeşte rată medie de substituire a factorilor raportuli

j

ji x

xr

∆∆

−= , iar raportul

( )( ) j

i

nx

nx

i

j

ji xxf

xxf

dx

dxr

i

j

==−=,,

,,

1'

1'

se numeşte rată marginală de substituire (semnul (-) arată că o creştere

(descreştere) a factorului ix este consecutivă unei descreşteri (creşteri) a factorului jx ).

Punctul de plecare al instrumentarului analitic folosit de modelele de creştere economică, considerată în[65,pag.195] drept „cea mai bună reprezentare pentru analiza economică” este funcţia de producţie Cobb - Douglas(formulată de C.W.Cobb şi P.Douglas în 1929), funcţie ce exprimă în mod simplificat relaţia dintre cantitatea şicombinarea celor doi factori de producţie (K şi L) şi rezultatul obţinut, fie sub forma sporului obţinut (Q), fie subforma creşterii venitului (Y).

Forma elementară a funcţiei Cobb - Douglas esteQ = f(K.L) sau Y = f(K,L)

iar forma generalizată este

∏=

=n

i

iixAy

1

unde y este un indicator al rezultatului producţiei, xi este variabila corespunzătoare factorului i, iar A parametru descară sau de proporţionalitate, care înglobează contribuţia factorilor de producţie neidentificaţi sau neexplicaţi înmodelul funcţiei şi αi sunt constante. Însă, în forma sa clasică, funcţia are trei variabile:

uLAKY =unde u este o variabilă aleatoare. Parametrii α şi β (care se estimează pe baza seriilor Y, K, L) sunt elasticităţilecelor doi factori consideraţi.

Pe baza acestei funcţii se pot calcula indicatori de mare utilitate în analiza macroeconomică

7

1

1

−

−

=∂∂

=∂∂

LAKL

Y

LAKL

Y

- Cum elasticitatea unei activităţi în raport cu un factor determinant al ei se realizeaza prin raportul întrecreşterea procentuală a nivelului activităţii, indusă de creşterea (sau descreşterea) procentuală a factorului,respectiv:

K

K

Y

Y ∆∆: sau

L

L

Y

Y ∆∆:

trecând la variaţii obţinem elasticităţile

=⋅=⋅∂∂

=⋅=⋅∂∂

−

−

LAK

LLAK

Y

L

L

YLAK

KLAK

Y

K

K

Y

1

1

α reprezintă elasticitatea producţiei în funcţie de capital şi arată cu cât creşte produsul muncii la o variaţie,respectiv o creştere de 1% a capitalului, iar β reprezintă elasticitatea producţiei în raport cu munca, respectiv ocreştere de 1% a forţei de muncă.Între elasticităţile α şi β (α > 0 şi β > 0) pot exista relaţiile:

a) α + β < 1 când există o eficienţă descrescândă a factorilor utilizaţi. O creştere simultană cu 1% a volumuluiutilizat din cei doi factori va determina o creştere mai mică de 1% a venitului, punând în valoare reprezentareaspaţială (K,L,Y) pentru α = 0,2; β = 0,3 şi A = L (fig.2.1)α + β = 1 la o creştere a producţiei proporţională cu totalul creşterii capitalului şi a forţei de muncă, proporţia fiinddată de coeficientul A. Producţia se manifestă în acelaşi sens cu factorii, adică eficienţa folosirii factorilor deproducţie este constantă. Pentru α = 0,5; β = 0,5 şi A = 2 se obţine altă reprezentare grafică în acelaşi spaţiu(fig.2.2)α + β >1 când se remarcă o eficienţă crescândă în creşterea simultană a factorilor, caracteristic celor mai dinamicedomenii de activitate. În sfârşit, în eventualitatea în care α = 0,5; β = 0,7 şi A = 2 avem o reprezentare graficădiferită în acelaşi spaţiu (fig.2.3)

- Productivitatea medie sau randamentul mediu, indicator care exprimă câte unităţi de producţie se obţin la ounitate din factorul de producţie analizat este un alt indicator uşor de calculat cu ajutorul acestei funcţii:

LAKK

YK

1−== reprezintă productivitatea medie în funcţie de capital, pe când 1−== LAKL

YL

este randamentul mediu în funcţie de factorul muncă (productivitatea muncii).- Mărimile limită ale productivităţii muncii şi randamentului capitalului fix arată sporul de producţie ce revine

pe unitatea de spor a factorilor de producţie. Aceste mărimi marginale sunt inferioare mărimii medii.

KK

LL

LAKK

Y

LAKL

Y

==∂∂=

==∂∂=

−

−

1

1

O caracteristică a funcţiilor de producţie este aceea că ele reflectă posibilitatea înlocuirii reciproce parţiale afactorilor de producţie între ei. Dar, această substituire ridică problema asigurării unui raport optim între factorii deproducţie (prezentând importanţă pentru alocarea optimă a resurselor între ramuri şi subramuri pentru mărireaeficienţei).

- Rata de substituire dintre factori arată modul în care capitalul fix productiv poate fi înlocuit cu forţa demuncă sau invers.Această rată se determină din egalitatea care se obţine condiţionând ca volumul productiei să fie constant (ΔΥ=0).

0=∂∂∂+∂

∂Υ∂=Υ∂ k

k

YL

L

kk

YL

L

Y ∂∂∂−=∂

∂∂⇒ , deci

L

K

K

L

k

Y

L

Y

L

kRS ⋅==

∂∂

∂∂=

∂∂=

:

- Aspectele privind eficienţa investiţiilor în capitalul fix productiv necesar înlocuirii unei unităţi de forţă demuncă se evidenţiază prin intermediul elasticităţii ratei de substituire. Aceasta se calculează folosind relaţia:

=⋅=

∂∂= GG

L

K

L

KE ::

- Tot cu ajutorul funcţiei de producţie se poate calcula necesarul forţei de muncă

- Fig.2.2 -

- Fig.2.3 -

8

1

Υ=

AKL

şi necesarul de capital fix productiv

1

Υ=

ALK

Alte funcţii de producţie utilizate sunt:• Funcţia de producţie liniară 0,0,),( >>+= babLaKLKF

• Funcţia strict proporţională { } 0,0,,min),( >>= babLaKLKF

• Funcţia ALLEN 0,0,0,2),( 22 >>>+−= cbabLaKLcKALKF

• Funcţia CES ( )[ ] 1,10,0,1),(1

−≥≤≤>−+= − AKLALKFDeoarece mijloacele de muncă existente fac parte din producţii obţinute în perioade de timp diferite, care

încorporează realizări diferite ale ştiinţei şi tehnicii, respectiv generaţii succesive de tehnică diferă din punct devedere calitativ apar numeroase probleme dificile care privesc determinarea corectă a funcţiilor de producţie,agregarea diferitelor componente ale progresului tehnic atât la nivel microeconomic cât mai ales la nivelmacroeconomic, compararea anticipărilor (calcule exacte) cu realizările efective (calcule expost), măsurareavolumului capitalului şi a eficienţei lui etc.

Funcţia de profitÎn acţiunea sa, decidentul trebuie să determine planul de producţie Z astfel încât firma să ajungă la un profitmaxim. Pentru a analiza acest obiectiv se introduce funcţia:

RA →: iar )(Z reprezintă profitul obţinut de către firmă în urma realizării programului de producţieZ.

Dacă preţurile celor n bunuri de pe piaţă sunt date sub forma vectorială ( )npppP ,,, 21 = atunci

profitul firmei va fi

PZzpzn

iii == ∑

=1

)(

în cazul în care firma nu modifică preţurile pe piaţă. Dacă preţurile sunt afectate de nivelul producţiei:

ZPzzpznz

n

iii )(

1

)()( =⋅= ∑=

unde )(zpi este preţul produsului i.Funcţia de costIntotdeauna managerul caută o decizie care să ducă la minimizarea costurilor de producţie. Notăm

( )kxxxx ,, 21= şi ( )myyyy ,, 21= imputurile, respectiv outputurile unei firme iar cu )(yV mulţimeaimputurilor necesare obţinerii de outputuri la nivelul dat de vectorul y. Să presupunem că firma este competitivă pepiaţa factorilor şi să notăm vectorul preţurilor imputurilor cu ( )kppp ,,1 = . Atunci funcţia cost este

( ) ∑∈

=)(

,yVx

pxypC

Această funcţie:1. este omogenă de gradul întâi în p pentru fiecare vector de outputuri y, fixat;2. este monoton crescătoare în p pentru fiecare y fixat.

În cazul în care ),( LKfy = funcţia de cost a firmei are formaLPKPLKC LK ⋅+⋅=),(

2.2. Funcţii de ajustare. Problema aproximării. Fie [ ] Rbaf →,: . Se pune problema de a determina ofuncţie g, care să aproximeze funcţia f în intervalul [a,b].

De obicei, nu se cunoaşte expresia analitică a lui f, ci se cunosc doar valorile sale într-un număr finit depuncte [ ]baxxx n ,, 21 ∈ sau expresia lui f este destul de complicată, calculele cu ajutorul său fiind deosebit dedificile. În esenţă, dispunem totuşi de un număr suficient de valori ale lui f, necesare pentru construirea unei funcţiiaproximative mai simple g.

9

Să presupunem, deci, că sunt cunoscute valorile funcţiei f, nixfy ii 2,1),( == şi fie )(xgy = funcţiasimplă de aproximare. Expresia analitică a funcţiei g o vom determina punând în evidenţă un anumit criteriu deaproximare. Să considerăm erorile (abaterile):

)()(

)()(

)()(

22222

11111

nnnnn xgxfyy

xgxfyy

xgxfyy

−=−=

−=−=

−=−=

Dorim să găsim expresia analitică a lui g, astfel încât eroarea aproximării să fie minimă.În mod natural, în primul rând ar trebui să impunem cel mai simplu criteriu de aproximare, adică eroarea

totală [ ]∑=

−=n

iiiT xgxf

1

)()( să fie minimă. Acest criteriu de aproximare, deşi destul de simplu, prezintă

inconvenientul că nu admite o singură soluţie. Într-adevăr, să presupunem că sunt cunoscute numai două puncte( ))(, 11 xfx şi ( ))(, 22 xfx de pe graficul lui f. Este evident că dacă baxxg +=)( (imaginea sa geometrică este odreaptă), cea mai bună dreaptă de aproximare este cea care trece prin cele două puncte, deoarece eroarea totală estenulă. Dar şi pentru dreapta întreruptă L eroarea totală este nulă, deoarece )()( 11 xgxf − şi )()( 22 xgxf − suntegale şi de semn contrar, deci suma lor este nulă.

Următoarea etapă logică ar fi minimizarea valorilor absolute ale erorilor, adică:

∑∑==

−=n

iii

n

ii xgxf

11

)()( să fie minimă.

Nici acest criteriu de aproximare nu se poate utiliza, deoarece derivata funcţiei modul nu există în origine.Pentru a evita dificultăţile apărute în cele două criterii, vom determina funcţia de aproximare g, cu condiţia

ca suma pătratelor erorilor, adică:

[ ]∑∑==

−=n

iii

n

ii xgxf

1

2

1

2 )()(

să fie minimă.Să considerăm acum funcţia de aproximare g un polinom de grad n≤ , adică

nkxaxaxaaxg kk ≤++++= ,)( 2

210 . Parametrii kaaa ,,, 10 îi vom determina folosind criteriul de

aproximare, adică expresia

( )[ ]∑=

++++−n

i

kiki xaxaxaaxf

1

22210)(

să fie minimă. Această expresie este o funcţie de cei (k+1) parametri pe care o notăm ),,( 10 kaaaF . Condiţiilede minim impuse lui F conduc la următorul sistem de (k+1) ecuaţii:

( ) ( ) ( ) 0,,;;0,,;0,, 10'

10'

10'

10=== kakaka aaaFaaaFaaaF

k

Efectuând calculele se ajunge la:

[ ]

[ ]

[ ]

=⋅−++++

=⋅−++++

=−++++

∑

∑

∑

=

=

=

0)(2

0)(2

0)(2

1

2210

1

2210

1

2210

n

i

kii

kikii

i

n

ii

kikii

n

ii

kikii

xxfxaxaxaa

xxfxaxaxaa

xfxaxaxaa

După ordonarea calculelor se obţine sistemul de (k+1) ecuaţii liniare cu (k+1) necunoscute (parametrinecunoscuţi kaaaa ,,,, 210 din expresia analitică a lui g):

10

⋅=++++

⋅=++++

=++++

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

===

+

=

+

=

==

+

===

====

)(

)(

)(

11

2

1

22

1

11

10

11

1

1

32

1

21

10

111

22

110

i

n

i

ki

n

i

kik

n

i

ki

n

i

ki

n

i

ki

i

n

ii

n

i

kik

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

kik

n

ii

n

ii

xfxxaxaxaxa

xfxxaxaxaxa

xfxaxaxana

Aceste ecuaţii poartă denumirea de ecuaţiile normale ale lui Gauss. Se poate arăta că determinantul sistemului estediferit de zero (punctele nxxx ,,, 21 fiind presupuse distincte). În aceste condiţii sistemul admite o singurăsoluţie, deci polinomul de aproximare este unic. Această metodă de aproximare a funcţiei f se mai numeşte şiajustare iar g(x), funcţia de ajustare sau curba de ajustare. Pentru a se alege cât mai corect funcţia de ajustare estenecesar să se reprezinte grafic punctele ( ))(, ii xfx şi să se aprecieze tipul curbei după care acestea se împrăştie.Dăm exemple de curbe de ajustare mai frecvent utilizate:

a – Funcţia liniară – este o funcţie polinomială de gradul unu, care se pretează la evoluţii liniare, adică pentruvariabilele cu o rată de creştere sau scădere „aproape” constantă.

RxbxaxgRRg ∈∀+=→ )(,)(,: ,

unde a R∈ şi b ≠ 0 sunt numere reale fixate. Graficul funcţiei liniare este o dreaptă (fig.2.4):

- Fig.2.4 -

∑=

−+=n

iii ybxabaG

1

2)(),( şi condiţiile pentru calculul constantelor a şi b sunt:

1)

=+

=+⋅

∑∑∑∑∑

xyxbxa

yxban2

2) 022

2

>=∂∂

na

G

02

11

2

2

22

2

2

2

>

−=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∑∑==

n

ii

n

ii xxn

b

G

ba

Gba

G

a

G

Condiţiile fiind evident verificate, soluţia unică (a0,b0) a sistemului

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑−

−=

−

−=

22022

2

0 ,xnx

xynxyxb

xnx

yxxyxa

este un punct de minim pentru G. Funcţia de ajustare obţinută:Rxxbaxg ∈∀+= )(,)( 00

b – Funcţia de gradul al doilea (parabolică)(1) – se presupune

RxcxbxaxgRRg ∈∀++=→ )(,)(,: 2

yy

(0,a)

(0,a)

xxb > 0 b < 0

Evoluţie ascendentă Evoluţie descendentă

11

- Fig.2.5 -

în care a,b,c R∈ şi c ≠ 0 sunt numere reale fixate. Graficul funcţiei de gradul al doilea este o parabolă (fig.2.5):Suma pătratelor abaterilor este:

( )∑=

−++=n

iiii ycxbxacbaG

1

22),,(

Condiţiile pentru calculul constantelor a,b,c sunt:

1)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=++

=++

=++⋅

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

yxcxbxax

xycxbxax

ycxbxan

2432

32

2

2) 02

2

>∂∂

a

G

0,0

2

222

2

2

22

22

2

2

2

22

2

2

2

>

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

>

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

c

G

cb

G

ca

Gcb

G

b

G

ba

Gca

G

ba

G

a

G

b

G

ba

Gba

G

a

G

Cu formulele lui Cramer, obţinem soluţia unică a sistemului liniar:

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

==

432

32

2

422

3

2

0

432

32

2

432

32

2

0 ,

xxx

xxx

xxn

xyxx

xxyx

xyn

b

xxx

xxx

xxn

xxyx

xxxy

xxx

a

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

=

432

32

2

232

2

0

xxx

xxx

xxn

yxxx

xyxx

yxn

c

Funcţia de ajustare este:Rxxcxbaxg ∈∀++= )(,)( 2

000

c – Funcţia parabolică (2) – se presupune 0,, ≠∈ bRba .Funcţia

[ )

∈∀+=

+∞→

Exbxaxg

aEg

)(,)(

,:

a

bac

4

24 −

a

bac

4

24 −

yy

(0,a)

(0,a)

x x

c

b

2

−

c

b

2

−(c < 0) (c > 0)

12

unde

+∞−= ,

b

aE , dacă 0>b şi

−∞−=

b

aE , , dacă 0<b exprimă pe x ca funcţie de gradul doi în y.

Graficul ei este un arc de parabolă situat în semiplanul superior şi este inclus într-o parabolă simetrică faţă de axatimpului îndreptată în sens pozitiv, dacă b > 0 şi în sens negativ, dacă b < 0 (fig.2.6).

Transformata funcţiei g este dată prin ecuaţia: 0,0,2 ≥+≥+= bxaybxaySistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b este:

+=

+⋅=

∑∑∑∑ ∑

22

2

xbxaxy

xbany

Parametri a şi b rezultă pe baza relaţiilor:( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

−

−=

−

−=

22

22

22

222

,xnx

xynyxb

xnx

yxxyxa

- Fig.2.6 -

d – Funcţia parabolică cubică (3) – se presupune a,b R∈ şi b ≠ 0 şi 3)(,: bxaxgRRg +=→Graficul funcţiei (fig.2.7):

- Fig.2.7 -

Transformata lui g este dată de ecuaţia: bxay +=3 şi exprimă pe y3 ca funcţie de gradul întâi de x.Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b este:

+=

+⋅=

∑∑∑∑∑

23

3

xbxaxy

xbany

El admite soluţia unică:( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

22

33

0

22

323

0

xnx

xynyxb

xnx

yxxyxa

e – Parabola semicubică – se presupune a,b R∈ şi a,b ≠ 0, şi REg →:

aa,aa,

− 0,b

a

yy

− 0,b

ax x

b>0 b<0

− 0,b

a

− 0,b

a

( )3,0 a( )3

,0 a

yy

xx

b>0 b<0

13

- Fig.2.8 -

Exbxaxg ∈∀+= )(,)( 3

unde

+∞−= 3 ,

b

aE dacă b > 0 şi

−∞−= 3,

b

aE dacă b < 0.

Graficul funcţiei este de forma celui din fig.2.8.Transformata dată de ecuaţia: 32 bxay += exprimă pe y2 ca funcţie polinomială de x. Se obţine sistemul:

+=

+⋅=

∑∑∑∑∑

6332

32

xbxaxy

xbany

cu soluţia:( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

236

32332

0

236

33262

0

xxn

xyxxynb

xxn

xxyxxa

f – Parabola lui Neile – se presupune a,b,c R∈ şi RxcxbxaxgRRg ∈∀++=→ )(,)(,: 3 2 . Graficulfuncţiei (fig.2.9):Transformata este dată de ecuaţia: 23 cxbxay ++=

- Fig.2.9 -

Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a, b şi c este:

++=

++=

++⋅=

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

43223

323

23

xcxbxaxy

xcxbxaxy

xcxbany

şi are soluţia unică:

−3 0,

b

a

−3 0,

b

a

yy

( )a,0( )a,0 x

x

b>0 b<0

(3

a ,0)

y

x

a

b−

3

4

24

c

bac −

c > 0

14

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

==

432

32

2

4232

33

23

0

432

32

2

4323

323

23

0 ,

xxx

xxx

xxn

xxyx

xxyx

xyn

b

xxx

xxx

xxn

xxxy

xxxy

xxy

a şi

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

=

432

32

2

2332

32

3

0

xxx

xxx

xxn

xyxx

xyxx

yxn

c

g – Funcţia – putere – se presupune ,),0(: Rg →∞ baxxg =)( ,

),0()( ∞∈∀ x . Graficul funcţiei este de forma (fig.2.10):

- Fig.2.10 -

şi de forme care se pot preciza în alte cazuriTransformata: xbay lnlnln +=Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b:

( )

+=⋅

+=

∑∑∑∑∑

2)(lnln)(lnlnln

lnlnln

xbxaxy

xbany

Se obţine:

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )22

ln

22

2

ln)(ln

lnln)ln(ln

ln)(ln

lnlnlnlnlnln

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

−

−⋅=

=

−

⋅−=

xxn

yxxynb

ea

xxn

xxyxya

a

h – Funcţia exponenţială (1) – este folosită la previzionarea variabilelor care au un ritm de creştere mai alert.Poate avea formele

Qxbxaxbx eaKyeybayeay ⋅±==⋅=⋅= + ,,,Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0 este de forma (fig.2.11):

yy

xxdacă a > 0 şi b > 0 dacă a > 0 şi b < 0

15

- Fig.2.11 -

Se procedează la liniarizarea sa, prin logaritmare: bxay += lnlnSe obţine sistemul de ecuaţii normale, pentru determinarea constantelor a şi b:

+=

+=

∑∑∑∑∑

2)(ln)ln(

lnln

xbxayx

xbany

El are soluţia:( )( ) ( )( )

( ) ( )aea

xxn

xyxxya

ln

22

2lnln

ln

=

−

⋅−=

∑∑∑∑∑∑

( )( )( ) ( )22

ln)ln(

∑∑∑∑∑

−

−⋅=

xxn

yxyxnb

i – Funcţia exponenţială (2) – forma funcţiei este: xbay ⋅=Graficul este de forma (fig.2.12):Transformata se obţine prin logaritmare: bxay lnlnln +=Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:

( )( ) ( )

+=

+=

∑∑∑∑∑

2lnlnln

lnlnln

xbxayx

xbany

Necunoscutele sunt lna, lnb. Parametri a şi b se calculează astfel: ba ebea lnln , ==

- Fig.2.12 -

j – Funcţia exponenţială (3) – forma funcţiei: xaeky −−=Pentru liniarizare notăm: ze =−1 şi obţinem: zaky ⋅−=Graficul funcţiei este de forma (fig.2.13):

- Fig.2.13 -Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:

(0,a)

y

x

şi de forma

dacă

aa

yy

x xb > 1 0 < b < 1

k

y

k - a

xdacă a > 0

16

−=

+⋅=

∑∑∑∑∑

2zazkyz

zakny

admite soluţia:( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

22

22

2

zzn

yznzya

zzn

zyzzyk

în care 1−= ezk – Funcţia logaritmică – se utilizează pentru previzionarea variabilelor a căror evoluţie iniţială este accentuată

şi se reduce treptat până când evoluţia devine descrescătoare.Fie ),0()(,ln)(,),0(:,0, ∞∈∀=→∞≠∈ xxaxgRgaRa

Graficul funcţiei pentru a > 0 este de forma (fig.2.14):

- Fig.2.14 -

Se obţine:∑∑=

2)(ln

ln

x

xya

l – Funcţia semilogaritmică – se consideră a, b ≠ 0 R∈ şi RxxbaxgRg ∈∀+=→∞ )(,ln)(,),0(:Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0, este de forma (fig.2.15):

- Fig.2.15 -

Liniarizarea se obţine notând lnt = z. Rezultă g(x) = a + bzSistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:

+=⋅

+=

∑∑∑∑∑

2)(lnlnln

ln

xbxaxy

xbnay

Rezultă:( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

−

−⋅=

−

⋅−=

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

22

22

2

ln)(ln

ln)ln(

ln)(ln

ln)ln)(ln

xxn

yxxynb

xxn

xxyxya

m – Funcţia Prais – forma funcţiei este: x

ba

ey−

=

x

y

l

a

x

y

l

17

Logaritmândx

bay −=ln şi notând v

xuy == 1

,ln , se obţine liniarizarea xvau −= .

Graficul funcţiei este de forma (fig.2.16):

- Fig.2.16 -Sistemul de ecuaţii este:

−=

⋅

−=

∑∑∑

∑∑

2

11ln

1

1ln

xb

xay

x

xbnay

Parametri a şi b se determină din relaţiile:

( )

∑∑

∑∑∑∑

−

−

=

2

2

2

11

ln1

ln11

xn

x

yx

yxx

a

( )

∑∑

∑ ∑∑

−

−

=

2

211

ln1

ln1

xn

x

yx

yx

n

b

n – Funcţia hiperbolică – este folosită pentru previzionarea variabilelor care, la început, au un ritm de creştere(scădere) mai rapid, după care creşterea (scăderea) încetează.

Fie

−−∈∀

+=→

−−∈≠

b

aRx

bxaxgR

b

aRgRba )(,

1)(,:,0, .

De altfel, pentru b ≠ a, oricare ar fi a, graficul funcţiei este o hiperbolă, de unde şi denumirea de funcţiehiperbolică.

Notând g(x) = y, obţinembxa

y+

= 1

Relaţia bxay

+=1realizează liniarizarea.

Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0 este de forma (fig.2.17):

- Fig.2.17 -

Pentru a > 0, b < 0, graficul este de forma (fig.2.18):

yy

xxdacă a > 0 şi b > 0 dacă a > 0 şi b < 0

ea

ea

a

1,0

y

x

18

- Fig.2.18 -

Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor a şi b este:

+=

+=

∑∑∑

∑∑2

1

xbxay

x

xbnay

Parametri a şi b se calculează astfel:

( )( )

( )2222

2 1

;

1

∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑∑∑−

−

=−

−

=xxn

yx

y

xn

bxxn

xy

xx

ya

o – Funcţiile sau modelele Törnqvist – se folosesc în marketing pentru previzionarea cererii de produsealimentare, nealimentare şi de uz casnic.

1) { } )0(:,)( ≠→−−+

== aRaRgax

kxyxg

Graficul pentru k > 0, a > 0 este de forma (fig.2.19):

- Fig.2.19 -

Pentru a < 0, k > 0 graficul are forma din fig.2.20 (în ambele cazuri se obţin arce de hiperbolă).

Dinax

kxy

+= , prin inversare rezultă:

kx

a

kykx

ax

y+=+= 11

;1

. Notăm bk

a = şi avemx

b

ky+= 11

Pentru vx

uy

== 1,

1, obţinem liniarizarea bv

ku += 1

(fig.2.17).

Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelork

1şi b este:

+=

+=

∑∑∑

∑∑

2

1111

11

xb

xkyx

xb

k

n

y

a

1,0

−b

a

x

y

y = k

x

y

19

- Fig.2.20 -Rezultă:

−

−

=

⇒

−

−

=

∑∑∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

xyxxy

xxn

k

xxn

xyxxy

k

1111

11

11

1111

1

2

2

2

2

2

2

2

2

11

111

−

−

=

∑∑

∑∑∑

xxn

yxyxn

b

−

−

=⋅=

∑∑∑∑

∑∑∑

xyxxy

yxyxn

bka1111

111

2

2) Forma funcţiei este:( )

b

axky

++=

1Graficul (fig.2.21) are forma:

- Fig.2.21 -

Transformata funcţiei se obţine astfel:

axk

ab

kyaxk

abax

y +⋅−+=⇒

+−++= 111

)(

)(1

Notândax

vy

u+

== 1;

1se obţine liniarizarea v

k

ab

ku ⋅−+= 1

Sistemul de ecuaţii pentru determinarea lui k, b şi a este:

y = k

x

y

b

ka,0

- a x

y

k

20

+−=

+−=

+−=

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

ycybxykxy

xcyxbxkyx

ncybxkyx

22

22

unde c = ka

3)ax

cxbxy

+−=

Graficul (fig.2.22) are forma:

- Fig.2.22 -Transformata funcţiei:

dx

yabxydxaybxyx

dcbcbxbxyayxcxbxaxy

−−=⇒−−=

=−=+⇒−=+

2

2 ,)()(

Sistemul de ecuaţii pentru determinarea lui a, b şi d este:

−−=

⋅−=

−−=

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

x

yd

x

yayb

x

y

xdyaxbyx

ndx

yaxby

2

22

2

Rezultă a, b şi d;d

bc =

p – Funcţii logistice – sunt folosite pentru elaborarea unor previziuni privind cererea populaţiei pentru diversebunuri.Funcţia logistică clasică este definită de relaţia:

cxbe

ky

+=

1iar funcţia logistică complexă este definită de relaţia:

)(

)(

1 axk

axk

e

BAey +

+

++=

Pentru funcţia logistică, clasică obţinem:

Bk

cBAcByA

y

y

yk

cc

y

y

y

y

===−+=∆

+−==∆

;;

,'

Se determină parametri A şi B (din c şi k) din sistemul de ecuaţii normale:

∑∑∑∑∑

∆=+

∆=+−

yyByA

y

yyAn

2

)1(

y

x

21

În faza a doua se calculează parametrul b, pornind de la relaţia: ctbey

k =−1

Prin logaritmare, obţinem cty

kb +

−= 1lnln . Deoarece avem o serie statistică cu n variabile (xi,yi), rezultă

+

−= ∑∑ xc

y

k

nb 1ln

1ln

Variabila independentă fiind timpul, b se calculează după relaţia

2

11ln

1ln

++

−= ∑ n

cy

k

nb

unde n reprezintă numărul anilor din perioada de analiză retrospectivă.

r – Funcţiile Gompertz şi Johnson – forma funcţiilor: xb

ak

ey +−

= şi respectiv,xbcaey −=

Se studiază analog

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2

1

1lglg2lg

lg22lg3lg1

lg2lg3lg11lg

−

−⋅−⋅=

⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅

=

∑∑

∑∑∑∑∑∑

xb

byya

yyy

yyy

nk

De exemplu, daca se cunosc următoarele date privind volumul activităţii de export realizat de agenţiieconomici dintr-o anumită localitate:

mii dolariAnul Volum export

1 172152 208063 247694 278245 315096 350887 394548 434399 4677910 4906311 53720

Total 389669

Utilizând metoda extrapolării tendinţelor uşor de identificat, se solicită:1) Sa se prognozeze pe baza trendului rezultat, nivelul probabil al exportului.

Propunem parcurgerea următoarele etape:a) Reprezentarea grafică a seriei şi determinarea funcţiei matematice care aproximează cel mai corect evoluţia

exportului realizat de agenţii economici din localitatea A,b) Să se calculeze variaţia valorilor empirice faţă de valorile ajustate şi pe baza cărora se decide funcţia

matematică corectă,c) Să se determine nivelul probabil al exportului în anii 13 şi 15,d) Să se garanteze aceste rezultate cu o probabilitate de 95%.2) Să se determine ritmul de creştere a exportului pe întreaga perioadă, care se prezintă astfel:

%052,12100117215

5372010 =×

−=R

Acest ritm se preconizează că se va menţine şi în următoarea perioadă.Cunoscând că o alta localitate a realizat în anul 11 un volum de 80 mil. dolari, iar ritmul de creştere anual

este de numai 7%, sa calculam:

22

e) după câţi ani începând cu anul 11 volumele de export în cele două localităţi vor fi egale şi care sunt acesteaîn mărime absolută,

f) după câţi ani începând cu anul 11 volumul exportului din localitatea A este de 2,5 ori mai mare decât cel dinlocalitatea B şi care vor fi acestea în mărime absolută.

a) Evoluţia acestui indicator nu este bine definită fapt pentru care trebuie să recurgem la calcule. Se pare căformele cele mai apropiate ar putea fi:

- o tendinţă liniară de tipul:btay +=

- o funcţie exponenţială de tipul:taby =

- o tendinţă parabolică de tipul:2ctbtay ++=

Se încearcă fiecare din aceste trenduri şi se consideră cel mai corect acela în care suma abaterilor dintrevalorile reale şi valorile ajustate este minimă.

Pentru trendul liniar de tipul:

btay +=Parametrii a şi b se determină prin utilizarea metodei celor mai mici pătrate, ajungându-se la soluţia

a=35424 şi b=3797,8.Se consideră următorul tabel ajutător de calcul:

Anii y t 2t ty tY 8,3797354241 +=

1234567891011

1721520806247692782431509350883945443439467794906353720

-5-4-3-2-1012345

251694101491625

-86075-83224-74307-56648-31509

03945486878140337196252286600

1643520233240312782831626354243922243019468175061554413

Total 389669 0 110 417758 389667

Ecuaţia teoretică a trendului liniar va fi:tY 8,3797354241 +=

În ultima coloană a tabelului au fost determinate valorile teoretice calculate pe baza trendului.Ecuaţia arată că nivelul de pornire al exportului este 35424 mii dolari, iar după aceea în fiecare an în medie

a avut loc o creştere a exportului cu 3797,8 mii dolari.

În ipoteza ajustării aceleiaşi serii statistice pe baza unei funcţii exponenţiale de tipul: taby =pentru aflarea parametrilor a şi b se logaritmează expresia:

btay lglglg +=Parametrii lga şi lgb se află rezolvând următorul sistem de ecuaţii logaritmice, sistem la care se ajunge prin

metoda celor mai mici pătrate:

=+=+

∑∑∑∑∑

yttbta

ytban

lglglg

lglglg2

Se pune condiţia ca 0=∑t şi sistemul de mai sus devine:

==

∑∑∑

yttb

yan

lglg

lglg2 de unde:

∑∑

∑

=

=

2

lglg

lglg

t

ytb

n

ya

23

Prin antilogaritmare se află valorile parametrilor a şi b.Tabelul pentru calculul ajutător va fi:

Aniiiy t

iylg iyt lg 2Y

1234567891011

1721520806247692782431509350883945443439467794906353720

-5-4-3-2-1012345

4,235914,318184,393914,444424,498434,545164,596094,637874,670054,690754,73014

-21,17955-17,27272-13,18173-8,88884-4,49843

04,596099,2757414,01015

18,76323,6507

1923221477239832678229907333983729541647465085193557996

Total 389669 0 49,7609 5,27441 390160

1167,1;04794,0110

27441,5lg

8,33397;52372,411

7609,49lg

=⇒==

=⇒==

bb

aa

Funcţia exponenţială teoretică are expresia:tY 1167,18,333972 ×=

Valorile ajustate după o funcţie exponenţială apar în ultima coloană a tabelului anterior. Calcululmatematic este aproximativ corect întrucât suma valorilor teoretice este aproape egală cu cea a valorilorajustate.

În ipoteza funcţiei reprezentată de o parabolă de gradul 2 având forma:2ctbtay ++=

Tabelul de calcul va fi:

Anii y t 2t 4t yt 23Y

1234567891011

1721520806247692782431509350883945443439467794906353720

-5-4-3-2-1012345

251694101491625

62525681161011681256625

-86075-83224-74307-56648-31509

03945486878140337196252286600

1643520233240312782831626354243922243019468175061554413

Total 389669 0 110 1958 417758 389667

Se obţin următoarele valori pentru parametri:a = 35487,2; 8,3797=b ; c = -6,297.Funcţia parabolică teoretică are expresia:Y3 = 35487,2 + 3797,8t – 6,297t2

Seria ajustată pe baza ecuaţiei parabolice este înscrisă în ultima coloană a tabelului. Suma valorilor ajustateeste aproape egală cu suma valorilor reale ceea ce confirmă corectitudinea calculelor.

b) Pentru alegerea din cele trei variante a funcţiei celei mai potrivite se calculează suma abaterilor în valoareabsolută dintre valorile reale şi cele ajustate şi se alege acea funcţie cu valoare minimă, adică:

min=−∑ Yy

Abaterile sunt calculate în tabelul se mai jos:

24

Anii DateIniţiale

Abateri absolute după procedeul:Trend liniar

1Yy −Trend

exponenţial

2Yy −

Trendparabolic

3Yy −1234567891011

1721520806247692782431509350883945443439467794906353720

780573738

411733623542038

1552693

20176717861042160216902162179227128724276

8756117323217439917938245

1515598

Total 389669 5486 19181 5542

Întrucât 5486 < 5542 < 19181, rezultă că ecuaţia liniară este cea mai potrivită pentru ajustarea serieidate.c) Prognoza exportului pe baza funcţiei liniare

$6200978,379735424~11 miiY =×+=

$6960498,379735424~13 miiY =×+=

d) Se determină abaterea medie pătratică:( )

$47,51211

2888953

11

693......738573780

11

222221

mii

Yyi

==

=++++=−

=

Limitele între care se vor plasa valorile prognozate vor fi:

ntYYL

±= ~

Pentru anul 11 se obţin limitele:

$61706

$6231247,51296,162009

11 mii

mii

nYL ±=

Pentru anul 13 se odţin limitele:

$69301

$6990647,51296,169604

13 mii

mii

nYL ±=

Cu o probabilitate de 95% limitele inferioare şi superioare pentru anii 11 şi 13 sunt cele rezultate din calcul.e) Se fac notaţiile:- ( ) ( )BA

yy 00 ; nivelele din perioada de bază privind volumul exportului în cele două localităţi adică în anul 11.

( ) ( ) $80000$;53720 00 miiymiiyBA

==- ritmurile anuale de creştere vor fi în perioada următoare:

( ) ( ) %7%;052,12 ==BA yy rr

Timpul necesar pentru egalizarea celor două nivele de export se determină potrivit relaţiei:

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]BA

AB

yy rr

yyt

+−+

−=

1lg1lg

lglg 00

anit 63,8029383,00494196,0

730136,490309,4

07,1lg12052,1lg

53720lg80000lg =−

−=−

−=

Cu alte cuvinte după 8,63 ani cele două nivele de export vor fi egale.Volumele absolute vor fi în anul final:

25

( ) $14342512052,153720 63,8 miiYAt =×=

( ) $1434407,180000 63,8 miiYBt =×=

f) anit 4925,2807,1lg12052,1lg

5372080000lg5,2lg =−

−+=

După 28,49 ani nivelul din yA = 2,5 yB;Verificare:

( ) $137475112052,153720 4925,28 miiYAt =×=

( ) $5499297,180000 4925,28 miiYBt =×=

Raportul dintre nivele ≈ 2,5 ori.

III: METODE DE CERCETARE CANTITATIVĂ

3.1. Elemente de teoria estimaţiei. Scopul estimării sau ajustării unor funcţii şi ecuaţii econometrice esteobţinerea unui instrument eficace de predicţie. Eficienţa predicţiei depinde, bineînţeles, de gradul de concordanţădintre modelul econometric considerat şi datele statistice. Acest lucru se poate calcula cu ajutorul estimaţiei. Ofuncţie f(x1, x2, ..., xn) privită tot ca variabilă aleatoare, ce depinde de variabilele de sondaj se numeşte funcţie desondaj. Să vedem acum utilitatea unui sondaj asupra unei variabile aleatoare X. Să presupunem că legea teoreticăde repartiţie a variabilei X conţine un anumit parametru θ a cărei valoare numerică nu este cunoscută. Plecând de la

un anumit eşantion dat se poate estima valoarea acestui parametru. Pentru aceasta se consideră statistica ~ (x1, x2,..., xn) convenabil aleasă pentru scopul propus (adică, atunci când volumul eşantionului tinde la ∞, estimaţiaconverge în probabilitate la θ). Această statistică se numeşte estimaţie sau estimator a parametrului θ. Estimaţiilepot fi de mai multe tipuri:

1. Dacă =)~

(M estimaţia este nedeplasată

2. Dacă ( ) =∞→

~lim Mn

estimaţia este asimptomatic nedeplasată

3. Dacă =)~

(M şi ( ) 0~

lim =∞→D

nestimaţia este absolut corectă sau consistent nedeplasată

4. Dacă ( ) =∞→

~lim Mn

şi ( ) 0~

lim =∞→D

nestimaţia este convergentă

5. Dacă =)~

(M şi dispersia este minimă spunem că estimaţia este eficace.Există şi alte criterii ale estimaţiilor pe care cititorul interesat le poate găsi în tratatele de statistică.3.1.1. Verosimilitatea – principiu al modelelor econo-metrice. Vom prezenta pe scurt o metodă generală

de a căuta estimaţii „bune” pentru diferiţi parametri, atunci când nu avem la dispoziţie valoarea mediei saudispersiei de sondaj. Această metodă se numeşte metoda verosimilităţii maxime (R.A.Fisher) şi constă înurmătoarele:a) dacă X este discretă se cunoaşte repartiţia P {X = x} = p(x,θ)b) dacă X este continuă se cunoaşte densitatea f(x,θ).Având la dispoziţie un eşantion {x1, x2, ..., xn} relativ la variabila X vom calcula probabilitatea corespunzătoareacestui eşantion considerând funcţia L(x1, x2, ..., xn,θ) care se numeşte funcţie de verosimilitate şi este dată de:a) dacă X este variabilă discretă

L(x1,x2,…,xn,θ) = P{x1=x1,x2=x2,…,xn=xn} =

p(x1,θ)p(x2,θ)…p(xn,θ) = ∏=

n

iixp

1

),(

b) dacă X este variabilă continuăL(x1,x2,…,xn,θ) = P{x1<X1<x1+h,...,xn<Xn<xn+h} =

hnf(x1,θ)f(x2,θ)...f(xn,θ) = ∏=

n

ii

n xfh1

),(

Metoda verosimilităţii maxime (maximum likelihood) constă în a alege ca estimaţie pentru θ, estimaţia ~

care maximizează L(x1,x2,...,xn,θ). Pentru a găsi maximul funcţiei de verosimilitate se constată că funcţia L îşiatinge maximul în acelaşi punct cu funcţia lnL deoarece φ(x)=lnx este o funcţie monoton crescătoare. Prin urmareestimatorul lui θ va fi ~ care maximizează funcţia lnL, deci pentru care

26

0ln =∂

∂

L

Soluţiile acestei ecuaţii sunt punctele staţionare ale funcţiei de verosimilitate.Dacă θ0 = Tn(x1,x2,...,xn) este o soluţie a acestei ecuaţii şi

201

2 ),,...,(

∂∂ nxxL

< 0

atunci θ0 este o estimaţie de maximă verosimilitate pentru parametrul θ, iar statistica Tn(x1,x2,...,xn) corespunzătoareeste un estimator de maximă verosimilitate a lui θ.

În cazul în care θ este un parametru vectorial real definiţiile rămân valabile, iar procedeul de determinare aestimatorului de maximă verosimilitate vectorial este identic cu metodologia de determinare a punctelor de extremlocal pentru funcţii de mai multe variabile reale.

Există şi alte metode de estimare ca de exemplu metoda momentelor (K.Pearson), metoda minimului lui2x sau estimarea prin intervale de încredere hi.

În teoria de specialitate s-a demonstrat că „idealul” este distribuţia normală a erorii generate de model.Această distribuţie a unei erori înseamnă de fapt o concentrare a valorii sale în jurul valorii aşteptate a erorii, careeste zero.

De exemplu, dacă pentru un şir de relaţii

nnn ubxay

ubxay

ubxay

=−−

=−−=−−

222

111

se vor alterna mai multe perechi de valori a şi b, pentru ca după un număr de încercări să se obţină o serie estimată{ }''

2'1 ,, nuuu , astfel încât să fie satisfăcută condiţia de distribuţie normală atunci se va obţine un model de

maximă verosimilitate.

( )( )

−

⋅= ∑ 2

222

21 2

1exp

2

1,,, inn uuuup

Dacă se admite( )22

iii bxayu −−=atunci funcţia de verosimilitate L va fi

( )( )

−−−

⋅= ∑ 2

222 2

1exp

2

1iin

bxayL

cum

( )∑ −−−−−=i

ii bxaynn

L 2

22

2

1ln

22ln

2ln

şi maximizarea lui L cere anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi, se obţine

( )

( )

( ) 02

1

2

1)(ln

1)(ln

01)(ln

2

422

2

2

=−−+−=∂

∂

−−=∂

∂

=−−=∂

∂

∑

∑

∑

iii

iiii

iii

bxayL

bxayxb

L

bxaya

L

Se obţin astfel ecuaţiile

∑∑∑∑∑

+=

+=2iiii

ii

xbxayx

xbnay

( )2

24 22

1

n

bxay ii =−−∑adică

( )∑ −−= 22 1ii bxay

n

27

şi anume abaterea medie pătratică a erorii este şi estimarea sa cu maximă verosimilitate. De aceea, econometriapune mare accent pe modelele cu erori normal distribuite pentru că aşa cum se afirma şi în T.Schattles:„econometria este tehnica de estimare după principiul verosimilităţii maxime a metodelor matematicii economice”[65].

3.1.2. Analiza de regresie şi metoda corelaţiei. Analiza de regresie reprezintă o tehnică econometrică cestabileşte o legătură între variabile, un model cauzal de previziune în care, din datele istorice se stabileşte o relaţiefuncţională folosită apoi pentru a previziona valorile dependente ale variabilelor.

O variabilă este cunoscută sau estimată şi este folosită pentru a previziona valoarea unei variabilenecunoscute.

În continuare considerăm cea mai simplă situaţie de regresie, pentru doar două variabile şi relaţia lorfuncţională liniară.

Fie două serii statistice {x1, x2,..., xn} şi {y1, y2,..., yn} provenind din variabilele X, respectiv Y. Săpresupunem că mx, my reprezintă mediile variabilelor X, respectiv Y şi σx

2 şi σy2 reprezintă dispersiile lor. Prin

covarianţa seriei de cupluri (xi, yi) ni ,1= numim numărul

yx

n

iiixy mmyx

n−= ∑

=1

1

iar prin coeficientul de corelaţie al celor două serii înţelegem

yx

xyxyr

=

În cazul în care se cunosc doar mediile şi dispersiile de sondaj yx, respectiv yx SS~

,~

, se folosesc

formulele:

yxyxn

n

iiixy −= ∑

=1

1 şi

yx

xyxy

SSn

nr

~~1−=

Există şi o formă grafică de a vizualiza legătura liniară (atunci când există) dintre cele două serii statistice,prin vizualizarea unei drepte de regresie de ecuaţie y=ax+b, ce leagă cuplurile de observaţii, în sensul minimizăriidistanţei dintre punctele (xi, yi), corespunzătoare cuplului şi punctele (xi, axi+b) corespunzătoare dreptei deregresie.

Formulele de calcul ale coeficientului de regresie a şi a constantei b, ce apar în formulele dreptei deregresie, sunt:

x

yxya

= , b = y – ax

sau

2

11

2

111

2

1

−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

xyxxy

a

2

11

2

111

−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxn

b

iar ecuaţia primei drepte de regresie este

)( xxyyx

yxyx −=−

iar a celei de-a doua

)( yyxxy

xxyy −=−

După rezolvarea sistemului de ecuaţii şi aflarea parametrilor a şi b se pot calcula valorile teoretice alevariabilei dependente pentru fiecare valoare a lui x, ceilalţi factori fiind consideraţi constanţi. Pe baza valorilorteoretice ale ecuaţiei de regresie se pot face aprecieri cu privire la modificarea şi tendinţa evoluţiei fenomenuluianalizat sub influenţa variaţiei factorului independent.

28

În situaţia în care studiul legăturilor dintre fenomenele şi procesele economico-sociale se face pe baza unuinumăr mare de date statistice, se impune folosirea tabelului de corelaţii pentru a calcula valorile funcţiei de regresieastfel

=+

=+

∑∑∑∑∑∑∑

xyiixixi

yixixy

nyxnxbnxa

nynxbna

2

unde xn şi yn sunt frecvenţele grupelor după valorile x şi y xyn - frecvenţele valorilor de funcţii (x,y).Metoda corelaţiei, specifică statisticii, este utilizată pentru studierea legăturilor statistice dintre

caracteristicile variabilelor. Cu acestă metodă se determină cantitativ direcţia şi intensitatea legăturii de cauzalitatedintre fenomene. În acest scop este necesară luarea în considerare a factorilor determinanţi, cu acţiune esenţială,făcând abstracţie de factorii cu acţiune întâmplătoare. În funcţie de numărul factorilor de influenţă sau alevariabilelor luate în calcul, relaţia poate fi simplă (unifactorială sau bidimensională) sau multiplă. Această metodăreprezintă de fapt o cuantificare a intensităţii legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice.

Pentru determinarea intensităţii acestor legături este necesar să se calculeze coeficientul de corelaţie. Încazul regresiei liniare simple acesta reprezintă media produselor abaterilor normale normate, iar în practică sefoloseşte expresia

( ) ( )

−

−

−=

∑∑∑∑∑∑∑

2222iiii

iiiixy

yynxxn

yxyxnr

Valorile coeficientului de corelaţie satisfac inegalitatea 11 ≤≤− xyr iar interpretarea lor este următoarea:

- dacă 2,00 ≤≤ xyr între variabilele x şi y nu există legătură sau această legătură este foarte slabă; dacă

5,02,0 ≤≤ xyr legătura este slabă; dacă 75,05,0 ≤≤ xyr legătura este de intensitate medie; dacă 175,0 <≤ xyr

există o legătură deterministă sau de tip funcţional. Tipul de legătură dintre cele două variabile este determinat prinsemnul lui r, dacă r este pozitiv legătura este directă, pentru 0<r legătura este indirectă. Când 0=r variabilelesunt independente sau necorelate.Raportul de corelaţie (coeficientul Pearson) este un alt indicator al intensităţii legăturii. El poate fi aplicat atât încazul regresiei liniare, cât şi în cazul regresiei neliniare simple sau multiple. Calculul acestui raport are la bazărelaţia dintre variaţia totală a lui iy datorată tuturor categoriilor de cauze, variaţia datorată factorilor neînregistraţi(consideraţi reziduali) şi variaţia datorată cauzelor esenţiale (variabila factorială ix ):

( ) ( ) ( )∑∑∑===

−Υ+Υ−=−n

ixi

n

ixii

n

ii y

ny

nyy

n 1

2

1

2

1

2 111

iar expresia sa este:

( )( )∑

∑−

Υ−−=

2

2

1yy

yR

i

xii

XY şi 10 ≤≤

XYR

Dacă 0=X

YR variabilele sunt independente şi nu există legătură între ele, iar dacă 1=X

YR legătura este

funcţională. Pentru 0→X

YR avem o legătură foarte slabă, pe când pentru 1→X

YR legătura este intensă, foarte

puternică.În cazul regresiei liniare multiple se calculează intensitatea legăturii dintre o caracteristică rezultativă y şi

două sau mai multe caracteristici factoriale mixi ,1, = , după relaţia

( )( )∑

∑−

Υ−−=

2

2,,

,,,21

211

yy

y

i

xxxi

xxxym

m

şi yxirn > mi ,1=∀ .

Să mai notăm că numai în anumite cazuri putem vorbi de o regresie liniară consistentă, cu toate că, înprincipiu, modelul poate fi aplicat oricăror două variabile aleatoare cuplate. Uzual, înaintea folosirii modelului severifică următoarele condiţii:

a) variabila dependentă Y este normal repartizată, pentru orice valoare a variabilei independente X;b) dispersia lui Y este aceeaşi pentru orice valoare a lui X;c) relaţia ce leagă cele două variabile trebuie să fie liniară.

Problema care se pune este cum verificăm a priori aceste condiţii. Fără a intra în amănunte este suficientă odiagramă care să arate „norul” de împrăştiere al valorilor celor două variabile.

29

Exemplul 1. Dacă într-o firmă avem următoarele date numerice pentru publicitatea (reclama) unui produsşi vânzările acestuia:

Trimestrul Publicitate(100000$)

Vânzări(1000000$)

12345678910

4101512816157910

1454342142

Să încercăm să determinăm relaţia dintre vânzările viitoare (V t) şi reclame (Xt). Pentru aceasta efectuămcalculele:Trimestrul Publicitate Vânzări Xt

2 Vt2 XtVt

12345678910

4101512816157910

1454342142

1610022514464256254981100

116251691641164

440754824641073620

∑ 96 30 1060 108 328

Folosind formulele de mai sus găsim a=0,29 şi b=0,22, iar dreapta estimată de regresie, relaţia dintrevânzările viitoare şi publicitate este:

Yt=0,29Xt+0,22

- Fig.3.1 -

Aşadar, pentru trimestrul 11 putem estima vânzările laYt=0,22+0,29∙11=3,41 mil.$

30

Exemplul 2 [39]. Se fac 10 serii de câte 15 probe pentru studierea corelaţiei dintre două variabile statisticeX şi Y, obţinându-se pentru X valorile 10,1;15,1, == jixij şi pentru valorile Y 10,1;15,1, == jiyij (primul

indice, i, este asociat numărului de ordine al probei). Punctele ( )ijij yx , sunt înregistrate în tabelul 3.1; în fiecare

„celulă” prima valoare reprezintă ijx , iar a doua ijy .

3.1.3. Erori de măsurare şi estimare. „Cercetarea cantitativă în termenii teoriei probabilităţilor prezintă interes cainstrument de evaluare a utilităţii predictive a datelor obţinute”. Firesc, cunoscând doar statistica comportării unuiproces economic, orice proiectare predictivă sau previzională va conţine un element de eroare. În momentul în carese evaluează diferite metode de previziune este nevoie şi de calculul măsurii eficienţei lor. Eroarea de previziuneeste mecanismul de ţinere a evidenţei acestei eficienţe. Când deciziile importante se bazează pe previziuni, erorilemari pot avea ca rezultat greşeli foarte costisitoare. Unele tipuri de erori de estimare sunt mai costisitoare decâtaltele. „În unele cazuri, direcţia erorii este critică; în alte cazuri mărimea erorii este cea mai importantă. Deşicosturile exacte ale erorilor sunt adesea dificil de determinat, erorile de previziune pot fi şi trebuie convertite încosturi, chiar dacă o astfel de conversie trebuie aproximată intuitiv”. Studii recente investighează impactul erorilorde previziune asupra costului de producţie-stocare. Aceste studii ilustrează modul în care reducerea erorii depreviziune poate avea ca rezultat scăderea costurilor totale de producţie. Eroarea de previziune reprezintă diferenţanumerică dintre cererea previzionată şi cererea reală. Teoria probabilităţilor este cea care ne furnizează concepteleşi metodele unei teorii a erorii de măsurare şi previziune, pentru că, evident, o metodă de previziune care duce laerori mai mari este mai puţin de dorit decât una care duce la erori mai mici.

Definim acum valoarea medie absolută (întâlnită cu notaţia MAD în cărţile de specialitate). MADreprezintă o măsură a erorii de previziune care reprezintă eroarea de previziune, indiferent de direcţie şi secalculează ca sumă a valorii absolute a erorii de previziune pentru toate perioadele, raportată la numărul total deperioade evaluat.

∑∑==

−==n

iripi

n

ipi cc

ne

nMAD

11

11

unde n este numărul de perioade, ep – eroarea de previziune, cp – cererea previzionată iar cr - cererea reală.Se observă că dacă previziunea este perfectă cererea reală este egală cu cererea previzionată şi eroarea de

previziune este zero. MAD exprimă magnitudinea dar nu şi direcţia erorii, se afirmă în [75]. Această măsurare avalorilor absolute se numeşte deviaţie absolută.

Între deviaţia medie absolută şi măsurarea clasică a dispersiei pentru eroarea de previziune există o relaţieatunci când erorile de previziune au o distribuţie normală:

δe ≅ 1,25MADO altă măsură a erorii de previziune, dar mai puţin folosită este abaterea. Abaterea reprezintă media

erorilor de previziune, în funcţie de direcţie şi arată orice tendinţă constantă referitoare la supra sau subestimare.Este suma erorilor reale de previziune pentru toate perioadele raportată la numărul total de perioade evoluat.

( )∑∑==

−==n

iripi

n

ipi cc

ne

nA

11

11

Spre deosebire de MAD, abaterea indică tendinţa direcţională a erorilor de previziune. Dacă previziuneasupraestimează repetat cererea reală, abaterea va avea o valoare pozitivă; subestimarea repetată va fi indicatăprintr-o valoare negativă.

Aceste serii permit econometricianului să facă comparaţii între diferitele modele, însă pot fi nefolositoaredacă variabilele tind către zero. În asemenea cazuri trebuie folosite alternativele

∑

∑

=

=−

=n

ipi

n

iripi

c

cc

MAD

1

1'

sau

( )

nc

ncc

An

ipi

n

iripi

/

/

1

1'

∑

∑

=

=−

=

În cadrul extrapolării nu sunt de dorit erori foarte mari. Acestea le putem detecta apelând la analiza erorilormedii pătratice:

( )∑=

−=n

iripi cc

nMSE

1

21

31

Această eroare poate fi descompusă astfel

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−+

−−−=−

n

i

n

iripiripiripiripi cccccc

ncc

n 1 1

222 11

adică, se poate scrie ca diferenţă între eroarea medie şi o abatere la pătrat, acest lucru fiind relevant deoarececomponenta abatere se poate ajusta în eventualitatea unei simulări

Un alt grup de mărimi folosite pentru evaluarea prognozelor ex-post sunt coeficienţii de inegalitate Theil[Applied Economic Forecasting, North-Holland, Amsterdam, 1966] care apar sub diferite forme:

( )

∑∑

∑

==

=

+

−

=n

iri

n

ipi

n

iripi

cn

cn

ccn

T

1

2

1

2

1

2

111

1

pentru o prognoză ideală T1 = 0, iar în caz opus T1 = 1.Deoarece numitorul lui T1 nu are nici o interpretare s-a propus

( )

∑

∑

=

=−

=n

ipi

n

iripi

cn

ccn

T

1

2

1

2

21

1

ca şi pentru T1, o prognoză ideală se obţine dacă T2 = 0.Erori similare pot fi formulate în funcţie de schimbarea diferenţelor de ordinul întâi:

1

1

−

−

−=∆

−=∆

rrr

ppp

ccc

ccc

sau a schimbărilor procentuale11 loglog~;loglog~

−− −=−= rrrppp cccccc

Apare astfel interpretarea

( )

∑

∑

=

=∆

∆

∆−∆

=n

ipi

n

iripi

cn

ccn

T

1

2

1

2

21

1

unde ∆2T = 1 este echivalentul prognozei status quo, deci 0=∆ rc , iar valorile mai mari decât unitatea indică faptul

că prognoza actuală este mai „proastă” decât un simplu model de lucru aleator.De exemplu, dacă o firmă producătoare de piese de schimb pentru automobile a previzionat 500 lunar

pentru o perioadă de trei luni iar cererea reală a fost de 400, 560 şi 700 lunar:

1203

700500560500400500=

−+−+−=MAD unităţi

( ) ( ) ( )53

3

700500560500400500 −=−+−+−=A unităţi

Putem afirma că firma producătoare nu dispune de un model foarte exact deoarece eroarea medie absolută estedestul de mare, 24% din numărul previzionat de piese. În acest exemplu, deoarece cererea reală este în medie 553de unităţi, s-a efectuat o „subestimare” de 9,6%.

3.2. Elemente de teoria echilibrului şi a stabilităţii. Asupra obiectelor, fenomenelor şi proceselor dinnatură şi societate acţionează în permanenţă factori contradictorii, care tind să menţină starea de repaus sau demişcare a acestora, denumită echilibru. Ştiinţa economică a împrumutat termenul de echilibru din fizică, chimie,psihologie, însă sistemul economic este mult mai complicat decât oricare corp sau sistem natural. Noţiunea deechilibru, în economie are numeroase valenţe: echilibrul producătorului, echilibrul consumatorului, echilibruldintre cerere şi ofertă, echilibrul pieţelor, echilibrul macroeconomic şi afirmă că unele caracteristici ale sistemuluieconomic pot fi asemănătoare cu cele ale sistemelor din orice domeniu al realităţii.

Starea de echilibru în economie este expresia compatibilităţii deciziilor luate de agenţii producători şiconsumatori, o concordanţă relativă a acestora care se menţine o anumită perioadă de timp, până intervin factoriperturbatori cu acţiune contrarie [44].

Echilibrul macroeconomic exprimă acea stare spre care tind structurile economiei, fluxurile şi pieţelebunurilor şi serviciilor, piaţa monetară, piaţa capitalului şi piaţa muncii, adică piaţa în ansamblul ei, caracterizată

32

printr-o concordanţă relativă a cererii şi ofertei, în diferitele lor segmente, abaterile dintre ele fiind nesemnificativepentru a se produce dificultăţi (dezechilibre) în funcţionarea economiei naţionale.

În raport cu modul de manifestare în timp se disting echilibrul macroeconomic static şi dinamic. Echilibrulstatic se caracterizează prin manifestarea unor schimbări imperceptibile, nesemnificative între diferite procese sausubsisteme ale economiei naţionale, încât starea generală a acesteia rămâne nemodificată. Condiţia necesară pentruca o economie naţională să se afle în echilibru static este:

S = Dadică oferta globală (S) să fie egală cu cererea globală (D), neexistând nici un exces de ofertă (ΔS = 0) şi nici unexces de cerere globală (ΔD = 0).

Bazându-se pe tradiţia folosirii matematicii în economie W.St.Jevons, L.Walras, F.Y.Edgeworth şiV.Pareto au dat amploare, s-au preocupat, cu cercetări care s-au concretizat în teoria echilibrului economic generalal lui Leon Walras, curbele de indiferenţă elaborate de F.Y.Edgeworth şi teoria optimului parţial formulată deVilfredo Pareto.

În lucrarea sa „Elemente de economie politică pură” Walras elaborează un model abstract decomportament raţional în economia de piaţă, pornind de la interdependenţa care există între preţurile tuturorcategoriilor de bunuri, precum şi dintre diferitele sfere ale activităţii economice. Modelul urmăreşte să demonstrezeposibilitatea înfăptuirii unui echilibru economic general, cu condiţia ca libera concurenţă să funcţionezenestânjenit. Teoria echilibrului economic general are la bază următoarele idei [73]:

- în economia modernă de piaţă există două feluri de pieţe: piaţa produselor, piaţa serviciilor productive(furnizate de muncă, pământ şi capital);

- fiecare dintre pieţe şi interdependenţa dintre ele sunt guvernate de aceleaşi legi ale echilibrului, consecinţă apropagării schimbărilor ce intervin în diferite segmente la scara întregii economii;

- mijlocul prin intermediul căruia se poate înfăptui echilibrul parţial şi general îl constituie mişcarea (oscilaţia)preţurilor în funcţie de raportul dintre cererea şi oferta pentru diferite bunuri finale şi factori de producţie pentruobţinerea lor;

- agentul economic cel mai important care are un rol hotărâtor în realizarea acestor multiple interdependenţeeste întreprinzătorul, care face legătura dintre diferite pieţe şi are un rol esenţial în adoptarea deciziilor economice;pe piaţa serviciilor el apare în calitate de cumpărător de factori de producţie, iar pe piaţa produselor în calitate devânzător de bunuri finale şi intermediare;

- în contrast cu rolul său esenţial în funcţionarea acestui model, agentul economic se găseşte într-o situaţieparadoxală (după părerea lui Walras) în ceea ce priveşte rezultatele obţinute: dacă procesele economice sedesfăşoară normal, el plăteşte serviciile factorilor de producţie la preţul lor normal, în funcţie de utilitatea lorfinală, vinde produse fabricate cu ajutorul acestor factori la preţuri care îi permit să recupereze cheltuielile făcutecu achiziţionarea factorilor de producţie, deci costul de producţie este egal cu preţul de vânzare şi, în principiu, nuexistă profit, prin diferenţa dintre preţul de vânzare şi preţul de cost, acesta este numit de Walras „rentă dedezechilibru”;

- preţul serviciilor productive coincide cu veniturile proprietarilor acestor factori (salariul, dobânda, rentafunciară) ceea ce înseamnă că totalul producţiei oferite pe piaţă poate fi cumpărat cu veniturile respective, cu altecuvinte, creşterea ofertei atrage după sine creşterea cererii corespunzătoare, făcând imposibile crizele economice.

Modelul elaborat de Walras şi susţinut printr-un sistem de ecuaţii corespunzător numărului de necunoscuteconstituie un remarcabil efort de sintetizare a acţiunii unui ansamblu de pârghii economice şi a rezultatului final alinterdependenţei dintre acestea.

Influenţa benefică a gândirii lui Walras se resimte în numeroase lucrări şi scrieri contemporane, de laanaliza input-output a lui W.Leontief, la lucrări recente semnate de prestigioşi economişti, unii dintre ei laureaţi aipremiului Nobel.

De exemplu, pe o anumită piaţă, pentru un anumit bun sau serviciu, sub acţiunea legilor cererii şi ofertei seajunge la o situaţie sau un anumit punct în care acestea sunt în echilibru, stabilind nivelul preţului.

Într-o economie de piaţă, formarea preţului este rezultatul acţiunii legii cererii şi ofertei sub incidenţaconcurenţei (fig.3.3).

33

Modelul de interacţiune între cerere, ofertă şi preţ- Fig.3.3 -

unde: Q = cantitatea de bunuri (oferte); q = cantitatea de bunuri (cerere); PE = preţul de echilibru; L – intersecţiacererii cu oferta; 0P2 – nivelul preţului de echilibru la care se vinde cantitatea 0Q2 din produsul Q.

Modificarea condiţiilor tehnico-economice ale ofertei (modificarea procesului de producţie, atehnologiilor) determină deplasarea curbei spre dreapta sau stânga. Preţul care în mod continuu reflectă egalitateadintre cantitatea cerută de consumatori şi cea oferită de producători se numeşte preţ de echilibru.

Dacă preţul scade, atunci se vor găsi cumpărători, iar cantitatea vândută va fi mai mare.Modificarea stării economiei sub acţiunea contradictorie a factorilor dezvoltării şi creşterii economice, a

raportului dintre resurse şi nevoi, dintre cererea globală şi oferta globală, ca şi dintre subsistemele economieinaţionale defineşte starea de echilibru macroeconomic dinamic, care se poate manifesta atât pe termen scurt cât şipe termen lung.

Condiţia existenţei echilibrului economic dinamic este:Y ≠ D

excesele (ΔY şi ΔD), respectiv deficitele globale de cerere sau ofertă (-ΔY,-ΔD) soluţionându-se, în timp, prinfolosirea integrală şi cu eficienţă sporită a factorilor de producţie existenţi, atragerea de noi factori şi redistribuirearesurselor pe activităţi economice, în funcţie de oscilaţiile preţurilor pe piaţă, ca expresie concentrată a modificăriiraportului dintre structurile ofertei globale şi structurile sistemului de trebuinţe. Echilibrul macroeconomic dinamicpresupune mişcarea structurilor economiei naţionale, ruperea coerenţei structurilor existente şi crearea de noicompatibilităţi structurale, adică restabilirea unui nou echilibru între componentele structurale ale economiei, dupăcare urmează repartiţia dezacordurilor între structurile interne ale economiei naţionale etc [44].

Pentru ca economia unei ţări să se afle în stare de echilibru este necesară respectarea unor condiţii, şianume:

- oferta globală (Y) să fie egală cu cererea globală D, adică Y = D, condiţie în care cererea excedentară estenulă, De = 0.

Mărimea produsului naţional brut sau a venitului naţional (Y) se repartizează pentru consum (C) şi pentrueconomii (S), adică Y = C + S

Cererea globală (D) se concretizează în mărimea cererii de bunuri de consum (C) şi bunuri investiţionale(I), adică D = C + I

Cererea excedentară (De) este diferenţa dintre cantităţile de bunuri materiale şi servicii cerute deconsumatori şi producţia curentă (Qc) la care se adaugă rezervele necesare (Rn). De = D – (Qc + Rn)

Condiţia de echilibru pe piaţa unui anumit bun economic este dată de relaţia p iieD = 0 în condiţiile în care

0≤ieD şi 0≥ip unde pi – preţul bunului economic i şi

ieD este cererea excedentară pentru bunul economicrespectiv.

O componentă a condiţiei de echilibru, relaţie cunoscută sub numele de legea lui Walras este 0=⋅ eDp .

Această relaţie are loc în cadrul unei pieţe cu concurenţă perfectă unde cererea este egală cu oferta, deci cerereaexcedentară este nulă.

Dacă Y = D, cum Y = C + S şi D = C + I se obţine C + S = C + I, de unde S = I- Dacă se ia în considerare importul (H) şi exportul (E) de bunuri economice, relaţia de echilibru pe piaţa

producătorului esteY + H = D + Esau C + S + H = C + I + Eadică S + H = I + E ↔ S – I = E - H

- Cum starea de echilibru economic general depinde şi de situaţia pieţei monetare, avem Ym = Dm, unde Ym

este oferta de monedă, iar Dm cererea de monedă.

Curba cererii

Curba oferteiExcedentulde bunuri

L

Deficitul debunuri

cantitate

preţ

P1

P2

P3

0 q1 Q1 Q2 q3 Q3

PE

34

Deoarece acestea sunt influenţate de masa monetară (M), viteza de mişcare a banilor (V), volumul global altranzacţiilor de pe piaţă (T) şi de nivelul general al preţurilor, condiţia de echilibru al pieţei monetare revine la MV= PT, unde MV este oferta reală de monedă, iar PT cererea reală de monedă.

- Condiţia de echilibru pe piaţa muncii este dată de YL = DL, adică oferta de locuri de muncă este egală cucererea de forţă de muncă pe piaţă.

Leon Walras este cel care a elaborat prima reprezentare de model al echilibrului general într-o economie„pură şi perfectă”. În cadrul teoriei echilibrului economic, modelele economice semnificative sunt cele ale luiWalras – Wald şi Arron – Debreu – McKenzie.

3.3. Seriile dinamice în econometrie. Un şir de valori pe care le înregistrează la momente sau intervale detimp succesive o anumită caracteristică statistică la o unitate sau o colectivitate statistică reprezintă o seriedinamică (sau cronologică).

Prin studierea seriilor dinamice se studiază variaţia în timp a unui fenomen evidenţiindu-se creşterile saudescreşterile de nivel, modificările de structură. În funcţie de scopul urmărit, există mai multe metode de observareşi analiză a acestor serii [51,pag.128]:

• Pentru a stabili nivelul şi modificarea de nivel, în timp, a unui fenomen se folosesc indicatorii de nivel,exprimaţi în mărimi absolute, relative sau medii;

• Pentru a determina variaţia de la o perioadă la alta şi influenţa factorilor se foloseşte metoda indicilordinamicii fenomenelor;

• Pentru estimarea tendinţai (trendului), a oscilaţiilor sezoniere şi a variaţiilor aleatoare se foloseşte metoda deanaliză a componentelor;

• Pentru extrapolarea trendului se folosesc metode de prognoză statistică.Din punct de vedere econometric, aceste serii ajută la dezvăluirea unor regularităţi într-un proces evolutiv,

ceea ce înseamnă un pas înainte spre specificarea precisă a unor variabile care acţionează în timp, reprezentândtotodată „măsura artificială” a unor variabile necuantificabile dar care sunt elemente ale mecanismului economicstudiat.

În cadrul econometriei se urmăresc, în determinarea trendului trei tendinţe:• Trendul direct, ce se referă la anumite fenomene ce nu pot fi nemijlocit specificate;• Trendul ca factor auxiliar în funcţii în care nu toţi factorii care acţionează asupra unui proces pot fi

explicitaţi;• Trendul care face separare analitică a acelor factori care sunt specificaţi dar nu sunt în acelaşi timp

cuantificabili.Majoritatea seriilor dinamice întâlnite în economie au o tendinţă de lungă durată, peste care, acolo unde

este cazul se suprapun componente ce conţin modificări:• Ciclice reprezentate de oscilaţii în jurul tendinţei generale, oscilaţii care au o anumită periodicitate în

manifestare;• Sezoniere, generate de acţiunea unor factori sezonieri, care apar de obicei pe parcursul unui an. Aceste

oscilaţii se produc sub influenţa unor factori naturali – climatici (producţia agricolă) sau cu caracter social(concedii, sărbători, tradiţii), lungimea lor fiind de regulă constantă;

• Accidentale, care apar datorită unor factori întâmplători, cu acţiune imprevizibilă. Se manifestă sub formaunor abateri de la ceea ce este sistematic în evoluţia fenomenului analizat. Erorile de observare a datelor se înscriutot în această categorie.

- Fig.3.6 -

În funcţie de aceste componente, prezentăm schematic câteva modele de evoluţii în dinamică (fig.3.6).Metoda de determinare şi analiză a trenduluiDeoarece sistemul de indicatori ai unei serii dinamice nu este suficient pentru a releva schimbările care au

loc în fiecare an, cele datorate unei mişcări de durată (chiar cu tendinţă seculară), cele cu oscilaţii nesistematice saucele ciclice (care pot fi periodice sau neperiodice) este necesar să apelăm la modelarea acestora. În generalagregarea celor patru componente ale unei serii dinamice: trendul (T), componenta ciclică (C), componenta

Model de trendliniar

Model de trendliniar şi ciclu

Model de trend liniarşi modificări

sezoniere

35

sezonieră (S) şi componenta aleatoare (E) se face prin combinarea acestora fie ca model aditiv (fig.3.7) decombinare a componentelor unei serii dinamice T = C + S + E,

Model aditiv de combinare a componentelor unei serii dinamice- Fig.3.7 -

fie ca model multiplicativ T = C · S · E (fig.3.8) de combinare a componentelor unei serii dinamice

Model multiplicativ de combinare a componentelor unei serii dinamice- Fig.3.8 -

În practică, însă, această analiză nu urmează întotdeauna un anumit model şi atunci trebuie ales un modelcare să aproximeze cel mai bine evoluţia reală a fenomenului studiat. Cunoaşterea tendinţei, a legii de evoluţie aprocesului economic studiat nu este însă posibilă decât prin măsurarea acţiunii fiecărei categorii de factoriimplicaţi.

În sens larg, a determina trendul unei serii dinamice sau a ajusta o astfel de serie înseamnă a înlocuitermenii săi yi, ni ,1= cu termenii yi

* ai unei serii teoretice, yi* fiind obţinuţi prin metode de cuantificare şi

eliminare a abaterilor provocate de factori cu caracter periodic şi aleator.Analiza acestor serii de date statistice pentru elaborarea studiilor previzionale porneşte de la început de la

ipotezele formulate de ştiinţele economice, pentru că din datele respective nu rezultă de cele mai multe ori dacăîntre fenomene există sau nu o legătură cauzală sau de asociere. Dacă dependenţa dintre date a fost admisă, trebuiestabilită forma acestei dependenţe, adică descrierea legăturii dintre fiecare valoare a variabilei dependente şi fiecarevaloare a variabilei sau variabilelor interdependente ale seriilor de date statistice. Conceptul de ajustare porneşte dela ipoteza că legătura poate fi descrisă dar nu neapărat şi explicată [A]. Funcţia econometrică ce formalizeazămatematic legătura dintre două variabile generează, pentru variabila dependentă, o nouă serie de date y i

*.Descrierea cu suficientă precizie a formei legăturii dintre variabile presupune cunoaşterea unor serii de datestatistice suficient de lungi, ceea ce de multe ori este greu de asigurat. Subliniem că în calcule nu se urmăreştestabilirea unor corelaţii exacte ci a unora convenabile, cu abateri minime faţă de datele reale, iar rezultateleobţinute cu ajutorul funcţiilor econometrice trebuie neapărat asociate şi cu alte metode de analiză sau cercetareprospectivă, atât pentru compararea rezultatelor cât şi pentru sporirea gradului de siguranţă.

Metoda folosită frecvent pentru elaborarea studiilor previzionale prin „prelungirea tendinţelor trecute alevariabilelor”, care se bazează pe cunoaşterea relaţiilor cauzale este metoda extrapolării. „Extrapolarea transportă înmod simplist trecutul spre viitor” [15,pag234]. Există două modalităţi de aplicare a acestei metode: extrapolareamecanică şi extrapolarea euristică şi mai multe procedee de extrapolare: extrapolarea analitică; extrapolarea princurbe înfăşurătoare; extrapolarea fenomenologică.

Extrapolarea mecanică presupune că relaţiile formate între variabile nu se modifică în viitor, admiţândastfel, prin continuitate, prelungirea tendinţelor manifestate în trecut.

În cadrul extrapolării euristice, pornindu-se de la analiza perioadei precedente, se introduc anumitecorecţii în curba de evoluţie viitoare a fenomenului în funcţie de modificarea previzibilă a desfăşurării fenomenuluisau de anumite opţiuni ale factorilor de decizie.

Extrapolarea analitică pleacă de la o serie de valori ale seriei dinamice, valori pe care le prelucreazăputând astfel să estimeze comportarea ulterioară a fenomenului descris de seria respectivă. Această extrapolare serealizează cu ajutorul sporului mediu absolut, al ritmului mediu anual şi al funcţiilor de corelaţie. Formula folosităîn această situaţie este:

ynyy tt ∆+= 0

yy

t t

t

yy

t

36

unde yt este valoarea variabilei de previziune în anul final al orizontului, y0 valoarea variabilei în anul de bază, y∆sporul mediu absolut al variabilei de previziune în perioada statistică, iar n t este numărul anilor din perioada depreviziune.

În cazul unei extrapolări euristice, sporul mediu absolut se corectează prin înmulţire cu un coeficient k(subunitar sau supraunitar, după cum se apreciază modificarea tendinţei evoluţiei):

kynyy tt ⋅∆+= 0

Extrapolarea cu ajutorul ritmului mediu anual se aplică în special când este vorba despre fenomene ceevoluează sub formă de progresie geometrică:

tt ryy )1(0 +=

în care )1( r+ este ritmul mediu anual de creştere a variabilei, iar t numărul de ani ai perioadei de previziune.La fel ca mai sus, în cadrul extrapolării euristice se utilizează coeficientul k:

tt ryy )1(0 += k

Alegerea şi estimarea unei curbe. Cea mai dificilă problemă de determinare a trendului este alegerea tipuluide funcţii şi estimarea parametrilor. Funcţia aleasă trebuie să descrie în modul cel mai adecvat tendinţa de evoluţiedin perioada precedentă, tendinţă care se presupune că se va afirma şi în viitor. De aceea sunt necesare următoarelesuccesiuni [15,pag.236]:

• Definirea obiectului previziunii care condiţionează, fixarea orizontului de previziune şi stabilirea gradului desiguranţă al acesteia;

• Alegerea variabilelor independente;• Determinarea perioadei pentru analiza retrospectivă;• Alegerea funcţiei de extrapolare care descrie cel mai bine evoluţia trecută a variabilei dependente;• Estimarea parametrilor funcţiei de extrapolare sau parametrizarea acesteia;• Aprecierea calităţii funcţiilor de extrapolare cu ajutorul estimatorilor statistici;• Efectuarea calculului de previziune (particularităţi în raport cu modelul econometric al funcţiei de

extrapolare);• Analiza economică a rezultatelor obţinute, pentru a selecta cea mai bună variantă din mai multe posibile.

Reprezentarea grafică este metoda cea mai simplă şi poate da rezultate satisfăcătoare în cazul funcţiilor detrend şi de corelaţie simplă.

O metodă cu mai mare precizie este metoda Hanstein sau analitică. Aplicarea acestei metode necesităurmătoarele operaţii:

• Calculul fucţiilor asociate unei funcţii de extrapolare;• Reprezentarea grafică a funcţiilor asociate;• Analiza comparativă a reprezentărilor respective cu graficele corespunzătoare asociatelor unor funcţii de

extrapolare.Fiecare funcţie de extrapolare are trei funcţii asociate, cu ajutorul cărora se pot aprecia direcţiile de

creştere, natura procesului, simetria etc [A].• Derivata absolută:

t

yt

∂∂=)( ceea ce în cazul diferenţelor finite devine 1)( −−= tt yyt

• Derivata relativă:

yt

yt :)(

∂∂= ceea ce pentru diferenţe finite înseamnă

1

1)(−

−−=

t

tt

y

yyt

• Funcţia de elasticitate:

t

t

y

yt

∂∂= :)( sau, pentru diferenţe finite ty

yyt

t

tt ⋅−

=−

−

1

1)(

Revenind asupra celor trei tendinţe urmărite în econometrie în determinarea trendului subliniem căfuncţiile de extrapolare pot fi funcţii de corelaţie, când variabila sau variabilele independente sunt mărimieconomice sau tehnice, ca de exemplu y = f(x) sau y = f(xi) şi, funcţii de tendinţă, adică y = f(t). Cele maicunoscute modele matematice ale funcţiilor de extrapolare sunt funcţiile liniare, parabolice, exponenţiale,hiperbolice, logaritmice, logistice etc. Pentru estimarea parametrilor acestor funcţii se foloseşte metoda celor maimici pătrate pe care am prezentat-o în subcapitolul 2.2.

Extrapolarea cu ajutorul curbei înfăşurătoare constă în reprezentarea grafică a mai multor curbe de evoluţiea unor activităţi şi extrapolarea tendinţelor pe o înfăşurare, chiar dacă nu se cunoaşte cu siguranţă soluţia concretăce va apare în viitor.

37

În literatura economică noţiunea de curbă înfăşurătoare este definită de profesorul M.Botez în cursul său deprognoză astfel [15,pag151]:

Curba înfăşurătoare de speţa I- Fig.3.9 -

Dacă {yα = fα(x)} este o familie finită de funcţii pozitive fα(x) ≥ 0 definite pe intervalele Iα = (aα,bα) şi {gα}curbele care reprezintă grafic aceste funcţii se numeşte înfăşurătoare de gradul I a acestei familii funcţia care estedefinită pe

II = , care asociază oricărui Ix ∈ numărul )(max)( xfxy

= . Notăm C1 curba înfăşurătoare a

acestei funcţii (fig.3.9) care este, de fapt, o reuniune de porţiuni ale unei curbe gα.Considerând aceeaşi familie de curbe {gα} numim înfăşurătoare de speta a II-a a acestei familii, curba C2,

tangentă tuturor curbelor acestei familii (fig.3.10).

Curba înfăşurătoare de speţa a II-a- Fig.3.10 -

O analiză globală a fenomenului în urma căruia să se deducă legile ce guvernează variabila respectivuluifenomen se face cu ajutorul extrapolării fenomenologice. Această metodă urmăreşte identificarea unor legi înevoluţia fenomenului studiat şi încearcă să descrie variaţia pe baza acestora, concentrându-se pe analiza factorilorce modifică tendinţele manifestate în perioada trecută. De exemplu, o funcţie de forma

y = a ± bkt

este pusă în evidenţă de studierea variaţiei randamentelor agregatelor şi a consumului specific de combustibil înanalizarea evoluţiei producţiei de energie electrică.

3.4. Elemente de dinamică economică. Majoritatea lucrurilor din lumea naturală nu se conformează cuuşurinţă ecuaţiilor liniare, astfel că formele neliniare sunt mai degrabă regulă decât excepţie. Tehnicile matematiceau avut mare succes în prezicerea fenomenelor excepţionale, care sunt aproape liniare, cum ar fi traiectoriileproiectilelor, planetelor şi particulelor. Subiecte mai haotice cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor şicrizele economice au înşelat cu încăpăţânare previziunile.

Astfel, în economie, pentru a prezice corect piaţa este nevoie nu numai să detectăm elementeleconstructive sau modelele sistemelor neliniare dar şi să descifrăm sensul neliniar al interacţiunilor multiple dintremodele succesive.

Astăzi, dinamica economică constituie unul din demersurile de vârf ale cercetării economice, ducând la ocunoaştere aprofundată a mecanismelor care determină creşterea şi dezvoltarea economică, ciclurile şi fluctuaţiileproceselor economice. Această teorie s-a constituit şi dezvoltat utilizând cele mai noi concepte şi metode de analizăşi sinteză ale sistemelor economice reale şi pune la dispoziţia cercetătorului tehnici şi instrumente cu ajutorulcărora să reprezinte şi să interpreteze în mod coerent, sistematic şi raţional procesele evolutive din economie.

12

3

5

4

a1 a2 b1 a3 a4 b2 a5 b4 b3 b5

x

y

0

C1

a1 a2 b1 a3 b2 a4 b3 b4

x

y

0

C2

38

Munca lui Newton, Leibnitz şi von Neumann ne dă exemple despre interacţiunea dintre matematică şi alteştiinţe. Economia modernă este caracterizată prin aplicarea matematicii în problemele complexe care apar. Astăzi,răspunsul la cea mai simplă întrebare din domeniul economic nu se poate obţine fără a aplica matematica.

Conceptele de echilibru – dezechilibru, stabilitate – instabilitate, haos sunt dificil de explicat fărămatematică. Încă de la începutul sec.IXX calculul diferenţial a fost folosit în economie (Cournnot 1838). Mai apoi,Walras (1874) şi Pareto (1908) au creat teoria generală a echilibrului economic, care în timpul celui de-al doilearăzboi mondial a culminat cu „Valoarea şi Capitalul” a lui Hicks (1939) şi „Fundamentele analizei economice”(Samuelson, 1947).

Ulterior, au mai apărut aplicaţii ale matematicii avansate (teoria convexităţii, topologia) în economie(Nikaido 1968, Arrow şi Hahn 1971, Takayama 1985, Anderson, Arroe şi Pines 1988).

Recent teoria bifurcaţiei, teoria catastrofelor şi chiar teoria practală sunt foarte utilizate în studiul evoluţieiproceselor economice.

3.5. Ciclicitatea proceselor economice şi crizele economice. Incertitudinea este o caracteristică esenţialăa economiei de piaţă, intemeiată pe proprietatea privată şi deciziile individuale ale agenţilor economici. Extindereaariei de cuprindere a economiei de piaţă în decursul ultimelor secole şi mai ales accelerarea ritmului creşteriieconomice în condiţiile progresului ştiinţific şi tehnic din secolul XX au dus la accentuarea oscilaţiilor şifluctuaţiilor care însoţesc această economie [65]. Apar astfel diferite forme de fluctuaţii economice, începând cufluctuaţiile conjuncturale, de mică amplitudine, continuând cu fluctuaţiile periodice mai pronunţate care semanifestă în mod repetat sub formă de crize economice, imprimând activităţii economice un caracter ciclic.

Ciclicitatea reprezintă acea formă de mişcare a activităţii economice dintr-o ţară, în care fazele deexpansiune alternează cu cele de stagnare şi descreştere. Ciclul economic reprezintă unitatea de timp pentrumişcarea ciclică.

Ca formă de mişcare a reproducţiei şi creşterii economice, ciclicitatea se caracterizează sub două aspecteprincipale:

• Succesiunea şi repetabilitatea în timp a unor stări ale economiei, numite fazele ciclului, care seamănă în liniigenerale de la un ciclu la altul, în fiecare fază, starea economiei şi performanţele sale agregate – ritmul creşteriiprodusului intern brut, o producţie industrială şi agricolă, gradul de ocupare a forţei de muncă, evoluţia eficienţeieconomice, dinamica nivelului de trai şi a calităţii vieţii – au anumite caracteristici şi înregistrează fluctuaţiisemnificative de la o fază la alta;

• În înlănţuirea lor, aceste faze pregătesc premisele ce conduc la schimbări calitative în condiţiile creşteriieconomice şi ale reproducţiei, care le asigură continuitatea ca şi progresul economic.

Ciclul economic surprinde succesiunea în timp a condiţiilor şi rezultatelor reproducţiei şi creşteriieconomice. Un ciclu economic sau un ciclu al afacerilor se caracterizează prin creşterea simultană a niveluluimajorităţii activităţilor economice, urmată de o scădere a acestor niveluri, după care urmează faze de expansiune aciclului următor.

Pentru evidenţierea fluctuaţilor ciclice se prelucrează serii cronologice de date referitoare la anumiţiindicatori: produsul intern brut şi net, volumul vânzărilor cu amănuntul sau cu ridicata, nivelul dobânzilor bancare,nivelul şomajului, venitul personal etc. Prelucrarea statistică a seriilor respective permite identificarea trendului sautendinţei principale, a variaţiei sezoniere şi a variaţiei întâmplătoare, pentru evidenţierea componentei ciclice, avariaţiei totale. Cu ajutorul unor metode statistice adecvate (vezi serii cronologice!) se calculează curba trendului,care reprezintă variaţia medie a fenomenului analizat.

Un alt mod, mai complex, de a pune în evidenţă ciclurile economice este acela de determinare a ciclurilorlimită corespunzătoare unui sistem dinamic ce modelează fenomenul economic studiat.

Începând cu anii ’30, observăm o proliferare a modelelor formale care folosesc variante de tipul investiţie-accelerator şi consum-multiplicator (Harrod 1936, Kalecki 1937, Samuelson 1939, Metzler 1941, Hicks 1950). Oclasă mai generală de modele sunt cele care au la bază principiul capitalului ajustat (sau „acceleratorul flexibil”):investiţiile curente sunt egale cu raportul dintre capitalul dorit (aşteptat) şi cel actual. Stocul aşteptat variază directcu outputul. Investiţiile nete depind de asemenea, direct de output şi invers de stocul iniţial de capital (Kalecki1935, Kaldor 1940, Goodwin 1951). Dinamica acestor modele este determinată de neliniarităţi. Neliniarităţile suntfolosite în teoria ciclurilor economice şi au fost sistematic explorate în literatura recentă de specialitate. Astfel,metodele analitice ale teoriei bifurcaţiei şi teoriei catastrofelor au fost aplicate în analizarea fluctuaţiiloreconomice, a crizelor economice, depresiunilor, revenirilor rapide.

Studiul ciclurilor economice este foarte vast, foloseşte termeni din macroeconomie şi are o mareaplicabilitate în creşterea economică, economia monetară, studiul inflaţiei, instabilitatea financiară şi ajustareagraduală a preţurilor. Iată câteva din rezultate matematice privind ciclurile economice:

A. Teorema Poincaré-Bendixson şi aplicaţiile sale în economieFie sistemul bidimensional de ecuaţii diferenţiale ordinare

39

( )

( )

=

=

212

211

,

,

xxgdt

dx

xxfdt

dx

unde ( ) 221 ,, RUUxxx T ⊂∈= şi funcţiile f şi g sunt netede în raport cu x. Un studiu asupra ciclurilor limită

corespunzătoare unui astfel de sistem este dat de Ye (1986).

Punctul x* este punct limită pentru x dacă există un şir astfel încât ( ) *lim xxWtt

=∞→

unde Wt(x) este

curentul (fluxul) sistemului.Teorema Poincaré-Bendixson. O mulţime limită a unui flux plan, compactă, nevidă şi care nu conţine

puncte fixe este o orbită închisă. Dacă traiectoria prin x intră şi nu părăseşte un domeniu închis, mărginit D, care nuconţine puncte staţionare atunci există cel puţin o orbită periodică în D.

Să notăm că această teoremă nu exclude posibilitatea unor cicluri limită multiple.Teorema Bendixson. Să presupunem că f şi g au derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D. Dacă

suma

∂∂+

∂∂

21 x

g

x

fare semn constant pe tot domeniul D atunci nu există soluţie periodică pe D.

Această teoremă redă condiţiile în care putem exclude existenţa unor cicluri pe un domeniu.Teorema De Baggis. Fie un sistem structural stabil. Atunci el are numai un număr finit de cicluri limită în

domeniul D care sunt alternativ stabile şi instabile în sens asimptotic.Aceste teoreme au multiple şi importante aplicaţii în economie (Schinasi 1982, Semmler 1985, 1986). O

mare importanţă o are, de fapt,Ciclul comercial al lui Kaldor (1940).

Modelul este studiat de Kaldor în 1940. El este prezent în diferite forme în teoria afacerilor. Prezentarea originală afost nematematică şi a fost studiată cu tehnici bazate pe grafică (Marama 1946). Primul studiu riguros matematic afost dat de Ichimura în 1955, apoi a fost studiat de Chang şi Smyth în 1971, cu ajutorul teoremei Poincaré-Bendixson. Modelul propus de aceştia este

( ) ( )[ ]

( )KYIdt

dK

KYSKYIdt

dY

,

,,

=

−=

unde Y, K, S şi I reprezintă venitul real, capitalul, funcţia consum şi funcţia investiţie netă, respectiv. Se maipresupune că SK < 0 şi KK SI ⟩ .

Se poate observa că produsul valorilor proprii este α(SKIY - SYIK) în punctul de echilibru. Acest număr trebuie să fiepozitiv pentru a exclude posibilitatea apariţiei unui punct şa. Suma valorilor proprii este α(IY – SY) + IK care trebuiede asemenea să fie strict pozitivă dacă dorim ca echilibrul determinat să fie instabil. Chang şi Smyth au demonstraturmătoarea teoremă:

Teoremă (Chang şi Smyth). Dacă sistemul considerat este definit pe 2+R şi are următoarele proprietăţi:

a) IK < SK < 0; IY > 0; SY > 0;b) la echilibrul (K0,Y0), α(IY – SY) + IK > 0 şi SKIY < SYIK;

c) 0=dt

dKintersectează axa 0K într-un număr finit K(0) > 0;

d) 0=dt

dYintersectează axa 0Y pentru Y1 > Y0 finit iar +=

→K

Y 0lim ∞

e) sistemul este structural stabilatunci fiecare traiectorie este un ciclu limită sau aproximează un ciclu limită (fig.3.29):

40

- Fig.3.29 -

Această teoremă găseşte condiţiile de existenţă ale ciclului limită dar nu spune nimic despre unicitatea sa saudespre tipul oscilaţiilor.

Lorenz a încercat să rezolve problema unicităţii ciclului limită folosind:Teorema (Levinson and Smyth 1942). Ecuaţia generalizată de tip Liénard

−=

−=

)(

)(

xgdt

dy

xfydt

dx

sau 0)()('2

2

=++ xgdt

dxxf

td

xdare o soluţie unică dacă sunt satisfăcute condiţiile:

a) f’ şi g sunt de clasă C’b) pentru orice x1 > 0 şi x2 > 0 astfel încât –x1 < x < x2 are loc f’(x1)<0 şi f’(x2)>0c) xg(x) > 0 oricare ar fi x ≠ 0

d) ∞==∞→∞→

)(lim)(lim xGxFxx

unde ∫=x

dvvfxF0

)(')( ; ∫=x

dvvgxG0

)()(

e) G(-x1) = G(x2)Aplicând această teoremă sistemul iniţial poate fi scris sub forma

( ) ( )

−+−=

dt

dkSI

dt

dYSI

td

YdkKYY

2

2

şi diferenţiind în raport cu timpul obţinem

( ) ( ) 02

2

=−−−− ISIdt

dYSI

td

YdkkYY

Aplicând teorema şi presupunând că stocul de capital este determinat de deciziile economice, adică

Sdt

dK = unde S = S(Y) şi că expresia W(Y) = IK - SK este independentă de stocul de capital ecuaţia poate fi

rescrisă astfel

0)(2

2

=−− SIdt

dYYW

td

YdK

Cu aceste presupuneri, destul de acceptabile Lorenz (1986) a demonstrat că dacă investiţia şi economiile suntfuncţii simetrice în raport cu Y atunci sistemul iniţial considerat admite un ciclu limită unic.

Prin importanţa neliniarităţii, ciclul comercial al lui Kaldor stimulează încă cercetarea. Recent Grasman şiWenzel (1994) au arătat că în acest model este posibilă coexistenţa unui echilibru stabil cu un ciclu limită stabil.

IV.MODELE ECONOMETRICE SAU STRATEGII DE CREŞTERE ŞI DEZVOLTARE ECONOMICĂ

4.1. Model economic. Modelarea. În dicţionarul de matematică şi cibernetică în economie [19] se arată cămodelul reprezintă „unul din cele mai importante instrumente de cunoaştere ştiinţifică, o imagine convenţională aobiectului de cercetare. Modelul se construieşte de către modelul cercetării astfel încât să reflecte caracteristicileobiectului (atributele, relaţiile reciproce, parametrii structurali şi funcţionali) esenţiale pentru scopul cercetării. Deaceea, problema calităţii acestei reflectări, adică a măsurii în care modelul este adecvat obiectului, poate fi corect

K

0=•K

0=•Y

Y

K

K

Y

∗0K

∗0Y0

41

rezolvată numai în raport cu scopul stabilit” . Mircea Maliţa îl defineşte ca „o reprezentare mintală sau scrisă,calitativă sau matematică a unei părţi dintr-o realitate ce constituie un sistem (adică un set având părţileinterconenctate). Modelul selectează componentele cele mai reprezentative ale sistemului şi descrie relaţiile care leleagă”.

Crearea unui model nu serveşte numai cunoaşterii, ci are şi scopuri practice, constituind o bază deexperimentare.

Datorită complexităţii proceselor reale, în construirea modelelor trebuie adoptată o anumită limită dedetaliere, reţinând elementele esenţiale şi principalele dependenţe dintre ele. De aceea, modelul trebuie să fieîntotdeauna o reprezentare simplificată a realităţii care să permită acţiuni, bazate pe raţionament, asupra procesuluimodelat. Limita de detaliere este diferită de la epocă la epocă, ea crescând cu timpul.

Modelarea constă în fapt din construirea unei reprezentări cu grad de dificultate variabil al lumii reale sauale unei părţi componente ale acesteia. Înţelegerea fenomenului sau segmentului de realitate abordat, cunoaştereaamănunţită, cât şi acţiunea asupra fenomenului analizat motivează raţiunea de a apela la astfel de reprezentări. Celmai des limbaj utilizat este limbajul matematic. Folosirea modelării matematice ajută la fundamentarea unei deciziiîn condiţii de eficienţă, oferind posibilitatea de a se gândi mai bine şi mai repede fără a denatura realitatea.Formalizarea matematică nu este singura formă posibilă de abstractizare, dar „este treapta superioară aabstractizării ştiinţifice, care ne epropie de hotarele certitudinii în măsura în care nu sunt falsificate premisele”după cum afirma T. Shattles.

Plecând de la ideea că orice model se bazează pe date şi parametri reali devine necesar faptul de a obţinedate de încredere care să permită o reprezentare convenabilă a realităţii prin model. Astfel, se identifică, atuncicând este cazul, aspectul ciclic sau periodic al fenomenului studiat, implicit orizontul de timp la care se referă.

Matematizarea disciplinelor economice a dus la cristalizarea analizei macro şi microeconomice, indiferentde particularităţile de ramură, abordând probleme comune oricărui sector al economiei. Microeconomicul esteconceput ca un element izolat dintr-un sistem mai mare, dar nu ca ceva existând pentru sine. Sistemele economicesunt sisteme sinergetice ierarhice, diferitele dinamici economice corespunzând scării la care este studiat fenomenuleconomic. Modelele microeconomice (de microscară) constituie nuclee sau „cărămizi” din care se compunmodelele macroeconomice (de macroscară). Estimarea parametrilor modelelor macroeconomice în dependenţă decaracteristicile microeconomice este, de fapt, scopul principal al econometriei, ca şi al altor domenii ale economieicantitative, de mare utilitate din punctul de vedere al politicii economice şi al planificării.

Modelul econometric se bazează pe teoria economică şi pe datele statistice privind evoluţia variabilelor.Rolul unui astfel de model constă, în general, în cunoaşterea implicaţiilor pe care unele modificări previzibile înpolitica economică, dar şi unele schimbări generate de conjunctura economică internă sau internaţională le pot aveaasupra diverselor sectoare din economie. În fig.4.1 este prezentat locul, dar şi rolul unui astfel de model [3,pag.18].

- Fig.4.1 -

Analiza fenomenelor economice poate câştiga în rigurozitate prin utilizarea cu discernământ a metodeloreconometrice.

În anii 1930 Jan Tinberger şi-a început cercetările şi a elaborat primele modele macroeconomice cu maimulte ecuaţii. Prototipul lor modern, cristalizat, este modelul Klein - Goldberger (1955) care leagă diferite variabilemacroeconomice - venit, consum, impozite, cheltuieli, investiţii - de un şir de variabile microeconomice - deexemplu, funcţii de cerere.

Modelul este „bun”, „robust”, când structura procesului la care se aplică nu suferă schimbări prea grave lavariaţia datelor, deci sistemul dinamic corespunzător este structural stabil. De exemplu, dacă modelul prevede oevoluţie într-o anumită ciclicitate, atunci confirmarea acesteia are loc numai dacă în sistem nu s-au produs mutaţii

Teoria economică Metode econometrice Date statistice

Condiţii şiobiective urmărite

Elaborrea modelului

Aplicarea modeluluieconometric

Prezumţii privindevoluţia var.fact.

Verificări, reevaluări,actualizări de date

Rezultate utileanalizei şi prognozei

Decizii privind politica economicăîn prezent şi în viitor

42

structurale, cum ar fi o masivă intervenţie de stat care modifică întregul mecanism de reacţii ale sistemului.Problema modelelor economice este o problemă a tipului de proces dinamic la care se aplică şi în consecinţă atipului de serie de date corespunzătoare procesului.

Pe măsura dezvoltării şi maturizării ştiinţei economice au avut loc progrese însemnate în ce priveştemetodele şi instrumentele de cercetare, de analiză economică. Aceste progrese au rezultat din ample controversemetodologice, ca de pildă, între susţinătorii metodei inductive şi promotorii metodei deductive şi ai abstractizării,între partizanii legilor naturale (obiective) din economie şi partizanii legilor psihologice, între adepţii analizeicantitative şi cei ai analizei calitative (structurale, sistemice), între speciliştii în probleme statice şi cei carecercetează dinamica economică.

Studiul econometric al mecanismelor de producţie - micro sau macroeconomice - presupune construireaanticipată a unor modele matematice, neempirice, raţionale. „Pentru economist, cercetarea statistică - econometricăechivalează cu cercetarea de laborator din domeniul altor ştiinţe şi dacă are ceva în comun cu ele în privinţatehnicii de cercetare, atunci aceasta constă tocmai în construcţia prealabilă cercetării empirice a unor modelematematice” [65].

O expresie a progreselor realizate în epoca modernă o constituie folosirea modelelor economico-matematice şi practica modelării economice şi matematice. Modelele economico-matematice sunt construite cuajutorul metodelor economico-matematice, create la zona de contact dintre economie, matematică şi cibernetică[19].

În functie de mijloacele de modelare alese modelele se clasifică în modele abstracte sau conceptuale(modele logice, matematice, numerice) şi modele materiale sau fizice (machete).

Modelele care urmăresc să explice structura sau comportamentul obiectului cercetat se numesc descriptive(ex. Modelul lui Keynes), iar cele ce urmăresc să determine starea optimă se numesc normative.

În esenţă, un model matematic admite trei categorii importante de elemente [30]:a) variabilele care constau fie din indicatori economici (venit, cerere, ofertă, consum) fie din rata lor;b) relaţiile dintre variabile date cu ajutorul unor ecuaţii (de definiţie şi comportamentale) şi inegalităţi,

precum şi interdependenţa dintre ele redată cu ajutorul unor funcţii (funcţia ocupării, funcţia ofertei, funcţia cereriiglobale, funcţia investiţiilor);

c) parametrul multiplicator investiţional cu ajutorul căruia se exprimă gradul de intensitate a influenţei uneivariabile (ex.: cheltuiala de venit) asupra altora (ex.:consumul, economia).

Modelele economice pot fi clasificate după multiple criterii. Destinaţia (de prognozare sau planificare),gradul de agregare, starea de cuprindere (globale sau sectoriale), tehnica de elaborare (de optimizare, simulare,echilibru sau mixte), modul în care iau în consideraţie factorul timp (statice sau dinamice) sunt câteva din acestea.Din punct de vedere didactic cele mai importante criterii sunt nivelul la care se abordează problemele (micro,macro şi mondoeconomice) şi baza teoretică de la care pleacă (keynesism, neoclasicism, marxism, radicalism etc).

În modelele clasice salariile sunt determinate de nevoile de subzistenţă ale muncitorilor, iar profitul este„un surplus rezidual” pe când în modelele neoclasice „rata dobânzii este preţul de ofertă al capitalului şi salariilereprezintă restul”, iar în modelele keynesiste „repartiţia este guvernată de investiţii şi de economisire” [6].

N.Kaldor face un pas înainte în modelarea şi analiza creşterii economice pe baze keynesiste prin includereaîn model a problemei repartiţiei venitului naţional şi prin analiza funcţiei progresului tehnic. Progresul realizat deacesta constă în faptul că nu a examinat numai categoriile globale (cerere, ofertă, venit, economii, investiţii) ci aînceput analiza structurală a unora dintre ele, făcând distincţie între economiile făcute de întreprinzători din profitulobţinut şi economiile făcute de muncitori din salariile încasate. Kaldor consideră că dezvoltarea economicăpresupune un echilibru economic însoţit de folosirea deplină a mâinii de lucru pe termen lung.

Există însă mari deosebiri în ce priveşte modul în care este perceput şi utilizat factorul timp. Astfelmodelele de creştere economică neoclasice au în vedere timpul istoric, ceea ce înseamnă că se bazează peînvăţămintele trecutului dar şi pe anticipările viitorului.

Apariţia unor probleme globale, planetare, ce influenţează procesul creşterii, al dezvoltării la scarănaţională, zonală sau globală, cum ar fi epuizarea unor resurse naturale neregenerabile, structura populaţiei,deteriorarea mediului natural, dezvoltarea tehnicii, problema alimentaţiei, criza datoriei externe, urbanizareaexcesivă, subdezvoltarea economică, economia politică a dus la investigarea multiplelor probleme teoretice şipractice în domeniul echilibrului economic. Cele mai semnificative modele din teoria echilibrului economic suntcele ale lui Walras - Wald şi Arrow - Debreu - Mekenzie. De asemenea, un model de creştere economică cu obază teoretică mixtă este modelul input - output elaborat de W. Leontief, un buncunoscător al matematicii şistatisticii ca şi al istoriei multor economii naţionale, ce a contribuit în mod substanţial la perfecţionareainstrumentarului analitic de cercetare empirică şi cantitativă. Modelul său a fost conceput ca instrumentmultifuncţional - static şi dinamic - de studiere a economiei naţionale.

Îmbinarea teoriei economice cu statistica şi matematica economică au condus la dezvoltarea analizei şimodelării sistemelor economice. Acestea sunt abordate matematic în scopul identificării, cunoaşterii şiperfecţionării mecanismelor interne de reglare şi control, structuri prin intermediul cărora variabile sau părţi ale

43

unui sistem interacţionează în scopul determinării celui mai bun răspuns (comportament optim) la acţiuneamediului înconjurător.

Din punct de vedere econometric metodele clasice, bazate pe continuitate, liniaritate şi stabilitate s-audovedit inadecvate pentru a putea reprezenta fenomene şi procese economice cu un grad de complexitate mairidicat. Cercetătorii sunt obligaţi să urmărească aceste procese în mod dinamic, să studieze schimbările de ordincantitativ care intervin între variabilele economice implicate precum şi rezultatele obţinute cu ajutorul lor.

Pe lângă alte caracteristici modelele matematice permit introducerea unui izomorfism între sistemuleconomic real şi cel ideal, reprezentat prin model. Astfel modelul de reglare al lui Metzler, modelul de stabilizareal lui Phillips, modelul ciclurilor economice al lui Goodwin, modelul de creştere cu două sectoare al lui Uzawareprezintă doar câteva din modelele în care au putut fi evidenţiate matematic mecanismele economice care intervin,reuşind să fie subliniate modalităţile prin care sistemul economic poate fi reglat şi controlat pentru a evolua însensul dorit.

Alături de modelele statistice, stocastice sau algebrice cele bazate pe sisteme dinamice au cunoscut înultima perioadă o adevărată reevaluare dorită apariţiei şi dezvoltării teoriei sistemelor haotice şi, strâns legată deaceasta, a concepţiei sinergetice. Devine astfel posibilă abordarea comportamentelor instabile ale diferitelorsisteme economice neliniare subliniindu-se tot mai des faptul că liniaritatea şi stabilitatea sunt de fapt cazuriparticulare ale evoluţiei economice.

Dacă dinamica economică tradiţională se baza pe celebrul principiu de corespondenţă al lui Samuelson,conform căruia perturbaţiile mici ale parametrilor din sisteme determină schimbări mici ale variabilelor , nouaconcepţie, care devine dominantă în dinamica actuală, consideră că schimbări mici ale parametrilor pot duce lamodificări calitative ale comportamentului dinamic. Astfel, sistemele pot deveni din stabile, instabile, dindeterministe, haotice, din liniare, neliniare.

In 1965, teoria mulţimilor fuzzy a lui Zadeh (de unde şi modelele fuzzy) a fost întâmpinată cu neîncredereşi rezistenţă, generând reacţii de respingere iar astăzi decidenţii operează de la sine înţeles în condiţii deincertitudine şi vaguitate generate de mediul extern, abordarea deterministă fiind privită doar ca un caz particular.

Descoperirea haosului şi progresele înregistrate în teoria sistemelor dinamice au introdus o nouă paradigmăîn dinamica economică. Astfel, Benhabib şi Day (şi mai târziu Tobin) au propus un model al fenomenelormonetare intergeneraţii, iar Grantmont un model dinamic al comportamentului consumatorului cu preferinţeendogene care pun în evidenţă existenţa unei dinamici haotice. Haosul a mai fost pus în evidenţă în modelele deduopol (Day 1983), Deneckere şi Pelikan (1986) respectiv Dana şi Montrucchio (1986).

Modelele deterministe ce prezintă haos sunt alcătuite în principal din mecanisme feedback neliniare ce ledetermină comportamentul temporal (exemplu: mecanisme feedback neliniar al profitului; Stacey).

Multe procese economice, cum ar fi comportamentul firmei sau al consumatorului, evoluţia şomajului şiinflaţiei, dependenţa outputului de de factorii de producţie sunt reprezentate cu ajutorul unor funcţii cu proprietăţimatematice bine definite.

Procesele economice recente din centrul şi estul Europei au dus la apariţia unei noi paradigme înmodelarea matematică: crearea de modele macroeconomice care să încerce descrierea şi previzionarea acestorprocese, deci ale unor modele ale economiilor în tranziţie deoarece modelele care descriu sistemul economieicentralizate nu mai pot fi utilizate iar modelele economiilor de piaţă nu pot fi utilizate în condiţiile concrete dincadrul tranziţiei.

Modelele elaborate în cadrul teoriei singularităţilor şi teoriei catastrofelor pot ajuta la analiza problemelorcare implică schimbări calitative bruşte care sunt cele din perioada de tranziţie la economia de piaţă.

De asemenea, utilizarea teoriei bifurcaţiei în modelarea cibernetică a proceselor de tranziţie poate fideosebit de promiţătoare având în vedere caracteristicile de instabilitate şi dezechilibru care se manifestă în aceastăperioadă.

Trebuie să remarcăm că metoda modelării proceselor şi fenomenelor economice este, în prezent, o metodăde referinţă pentru teoria şi practica modelării matematice. Modelul se construieşte ca o reprezentare izomorfă arealităţii şi oferă o imagine intuitivă dar totuşi riguroasă a acesteia în sensul structurii logice a fenomenului studiat.În acest fel, se facilitează descoperirea unor legături şi legităţi care, practic, pe alte căi, ar fi imposibil sau foartegreu de găsit. Precizarea unor evoluţii se întemeiază pe rezultatele unor astfel de estimări.

Din multitudinea de modele existente ne vom fixa atenţia asupra unora cunoscute pentru care s-a studiatrăspunsul sistemului economic la variaţii ale parametrilor. Cu ajutorul structurilor de date se construiesc diagramede tranziţie a stărilor care indică toate operaţiile specifice fiecărui tip de obiect şi de clasă corespunzătoare. Încontinuare prezentăm o clasificare a modelelor economice în funcţie de trei mari criterii: matematice, economice şimatematice-neeconomice.4.2. Modele cantitative naive. Există mai multe modele din această categorie, şi anume:

• Media simplă reprezintă media cererilor înregistrate în toate perioadele anterioare, ponderate în mod egal.

∑=

=n

iiS D

nM

1

1unde Di – cererea în perioada i; n – numărul de perioade.

44

Această medie este reprezentativă pentru model mai ales pe măsură ce numărul de perioade folosite în calculcreşte; se reduc şi şansele de a fi indus în eroare de fluctuaţiile mari care pot apărea în orice perioadă. Dacămodelul de bază se modifică însă în timp, această medie nu va detecta modificarea.

• Media mobilă simplă este media cererilor înregistrate în mai multe din cele mai recente perioade. Adăugândcele mai recente perioade cele mai vechi sunt eliminate pentru a păstra corectitudinea calculelor. Această mediecombină datele legate de cerere din ultimele perioade, media lor fiind previziunea pe următoarea perioadă. Esenţialîn calculul acestei medii este ca numărul de perioade să fie constant.

∑=

=n

iim D

nM

1

1unde Di – cererea pentru perioada i iar n – numărul ales de perioade; i = 1 cea mai veche

perioadă în media cu n perioade; i = n cea mai recentă perioadă.• Media mobilă ponderată este o metodă de calcul a mediei care permite ponderarea diferită a cererilor vechi.

∑=

=n

tttmp DCM

1

unde 1;101

=≤≤ ∑=

n

ttt CC

O astfel de medie permite ponderarea diferită, inegală a cererilor vechi. Alegerea acestor ponderi este critică pentrusuccesul sau eşecul modelului. Dacă sunt alese cu atenţie se pot compensa însă tendinţele de sezonalitate.

• Nivelarea exponenţială reprezintă o metodă de calcul care scade exponenţial ponderea cererilor mai vechi.Modelele de nivelare exponenţială sunt disponibile în pachete standard de software şi necesită un volum relativ micde stocare a datelor şi de calcul. Aceste modele se disting prin modul special în care ponderează fiecare cereretrecută. Modelul ponderilor are o formă exponenţială. Cererea pentru perioada cea mai recentă este ponderată celmai mult iar ponderile din diferite perioade succesive mai vechi scad exponenţial. În cadrul acestui model sedisting două cazuri ăAEş:

a - Nivelarea exponenţială de prim rang. Ecuaţia de creare a unei previziuni noi sau actualizate foloseşte douăinformaţii: cererea reală pentru cea mai recentă perioadă (Dt-1) şi previziunea pentru cererea cea mai recentă (Pt-1).

( ) 11 1 −− −+= ttt PDP unde 10 ≤≤ iar t este perioada.

Acest model este numit nivelare exponenţială deoarece după extrapolări succesive poate fi rescrisă( ) ( ) ( ) ( ) 4

33

22

11

0 1111 −−−− −+−+−+−= ttttt DDDDP şi se observă că pentru [ ]1,0∈ ,

termenii ( ) ( ) ( )210 1,1,1 −−− etc sunt din ce în ce mai mici, cu alte cuvinte ponderile scad exponenţial. se numeşte coeficient de nivelare. Alegerea sa este foarte importantă deoarece un coeficient ridicat pune opondere mare pe majoritatea cererii recente iar unul redus ponderează cererea recentă mai puţin (fig.4.2).

- Fig.4.2 -

Acest coeficient poate fi stabilit pentru clase sau familii de elemente pentru a minimiza costurile şi pentru aactualiza periodic previziunea. Este nevoie doar de valoarea lui , cererea din ultima perioadă şi previziuneapentru ultima perioadă, deci de foarte puţine date. Acesta este avantajul nivelării exponenţiale simple.Nivelarea exponenţială adaptivă este o metodă medie în care un coeficient de nivelare nu este fixat, ci este stabilitiniţial şi apoi permite să fluctueze în timp pe baza modificărilor din evoluţia cererii. Această metodă oferă o bunăalternativă la previziune şi în plus, poate fi modificată pentru a încorpora tendinţa şi componentele sezoniere.

45

b - Nivelarea exponenţială dublă are tendinţa să elimine prin nivelare distorsiunile într-o serie de timp stabilă acererii. Acest model nivelează previziunea exponenţială de prim rang şi vechea previziune exponenţială:

( ) 10;1 1 ≤≤Υ−+Υ=Υ − ttt DDunde Yt este modelul de nivelare exponenţială de prim rang şi trebuie calculat înainte de determinarea YD i.

4.3. Modele liniare. Modelele liniare prezentate în continuare sunt în general constituite cu ajutorulecuaţiilor sau al sistemelor de ecuaţii algebrice, diferenţiale sau cu diferenţe finite şi de limitează la descriereafenomenului respectiv. Pentru alte detalii indicăm [2], [9], [11], [20], [23], [41], [43], [69], [70], [74].

Modelul trimestrial de investiţii al lui Eisner.

tttttttt KIPPSSI +++∆+∆+∆+∆+= −−−−−

•

615241322110 ,

unde tI - investiţia, S - economiile în societate, P - profiturile ( P∆ - modificări profituri ), K - fonduri capitale

existente la începutul perioadei. Să observăm că ecuaţia acestui model este cu argument întârziat, deci acesta esteinfinit dimensional.

Model cerere-ofertăEste un model studiat de Beckmann şi Ryder în 1969 şi de Collel în 1986. Acest model prezintă reacţia pe

care preţul p o produce asupra cantităţii q şi invers. El este dat de

( )[ ]( )[ ]

−=

−=•

•

,

,

qCpq

qpFkp

unde ( )pF - excesul de cerere iar ( )qC - costul lui q . De obicei 1=k şi 0> este un parametru. Preţul creşteca răspuns la excesul de cerere ( )pF sau cantitatea q descreşte în raport cu costul ( )qC .

Model de creştere cu capital umanAcest model neoclasic simplu, în care capitalul uman are un rol crucial, a fost propus de Mankiw şi conţine

o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] −−= 1tLtAtHtKtY .Modelul descrie o evoluţie economică şi are forma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++−=

++−=•

•

,

,

thgntySth

tkgntyStk

h

k

unde ( )tY - funcţia de producţie, ( )tK - stocul de capital fizic, ( )tH - stocul de capital uman, ( )tL - forţa demuncă presupusă crescătoare cu rata g şi cantităţile pe unitatea de muncă sunt ALYy = , ALKk = ,

ALHh = .Politici de stabilizareFluctuaţiile economiei pot fi ţinute sub control prin varierea cheltuielilor guvernamentale G , ori de câte

ori acestea scad brusc faţă de un nivel dorit ∗G , adică ( )GGbG −= ∗•

, unde b este constanta pozitivă cereprezintă viteza de ajustare. Phillips şi Allen disting trei tipuri de nivele de cheltuieli guvernamentale ∗G şianume:

a) YG −=∗1 , când venitul naţional cumulat scade brusc sub nivelul dorit ∗Y presupus egal cu zero pentru

simplicitate;

b) ∫−=∗t

ydyG0

2 , când venitul naţional cumulat scade de asemenea sub un nivel ( )0=∗∗ YY ;

c)•

∗ −= YgG3 , când cheltuielile guvernamentale scad odată cu creşterea venitului.Ţinând seama că venitul naţional brut creşte odată cu excedentul cererii globale X faţă de oferta globală

Y , pentru politicile de stabilizare obţinem trei modele diferite corespunzătoare celor trei tipuri de cheltuieliguvernamentale.

( )( )

=−=

−=∗

•

•

.3,2,11,

,

GGG

YXhY

iModel pentru productivitatea muncii

46

Să considerăm sistemul dinamic afin ce descrie corelaţia între dinamica productivităţii muncii jw ,

înzestrarea tehnică a muncii jk , la două sucursale ale unei firme producătoare de autoturisme

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+=

++=•

•

,

,

22212

1322111

tkbtwbtw

tkatwatwatw

cea de-a doua sucursală livrându-i primeia o serie de subansamble.

Se cunosc stările iniţiale: ( ) 011 0 ww = (mii lei/persoană) - productivitatea medie lunară, ( ) 0

22 0 ww = (mii

lei/persoană) - înzestrarea tehnică a muncii ( ) 011 0 kk = , ( ) 0

22 0 kk = , 1a , 2a , 3a , 1b , 2b - parametri constanţi.Ciclul comercial al lui Samuelson (1939)Modelul lui Samuelson este construit cu ajutorul unui multiplicator şi accelerator. Consumul curent tC

este o funcţie liniară descrescătoare de venitul Y pe o anumită perioadă 1−tY iar investiţia curentă tI creşte cucreşterea consumului 1−− tt CC . Mai precis 1−= tt cYC ( )10 << c , ( ) 211 −−− −=−= ttttt cvYcvYCCvI

( )0>v , 1=tG (nivelul cheltuielilor guvernamentale), tttt GICY ++= , ( )[ ]121 +−+= −− tttt CCvCCC .

Cei doi parametri ai modelului sunt c - multiplicator şi ( )cv −= 11 - accelerator. v reprezintă viteza derăspuns a lui tI la creşterea consumului. Prin substituţie se obţine o ecuaţie funcţională algebrică

( ) 11 21 =++− −− ttt cvYYvcY , ( 10 ,YY - daţi)

- Fig.4.2 -

a cărei soluţie este ( )cAAY ttt −++= 112211 , unde ( )cYY pc −== 11 este o soluţie particulară iar

constantele 1A şi 2A au expresii în care apar 0Y şi 1Y . Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei omogene în tY este

( ) 012 =++− cvvc şi are rădăcinile ( ) ( )

−+±+= cvvcvc 411

2

1 222,1 . Cei doi parametri c şi v

determină stabilitatea lui tY , în funcţie de natura şi semnele lui 1 şi 2 , deci de cele trei cazuri în care

determinantul ( ) cvvc 41 22 −+=∆ este pozitiv, nul sau negativ. Astfel, în cazul rădăcinilor complexe ( 0<∆ )

soluţia tY este periodică. În cazul 0=∆ avem că ( ) ( )214 vvvc += este o funcţie concavă pentru ( )2,0∈v ,

care îşi atinge maximul în ( ) ( )1,1, =vc . La 2=v , ( )vc are un punct de inflexiune şi apoi devine convexă, adică

( ) 01 =′c , ( ) ( ) ( )4128 vvvc +−=′′ şi ( ) 0<′′ vc pentru 2<v , ( ) 0>′′ vc pentru 2>v . Sub curba ( )vc

rădăcinile 2,1 sunt reale şi distincte implicând o descreştere monotonă a lui tY (adică fără fluctuaţii) iar deasupra

ei rădăcinile sunt complexe indicând fluctuaţii. Pe curba ( ) ( )214 vvvc += soluţia este

( )tBtBrY tt sincos 21 += , unde cvr = . Ea este stabilă dacă 1<r şi instabilă dacă 1>r . În loc de

stabilă (instabilă) se mai zice convergentă (divergentă). Astfel, cele două curbe 1=cv şi ( )214 vvc += împart

spaţiul parametrilor în 4 zone de comportament diferit ale lui tY : monoton divergentă (1), periodic divergentă (2),periodic convergentă (3) şi monoton convergentă (4). Acestea completează ciclul lui Samuelson. În plus, s-aconsiderat doar semibanda 10 << c , 0>v în care c şi v au sens economic.

47

omogenă în diferenţe( )

( )[ ] 01

121

0

=++−+ −− tttt

kYYkbYgY

se reduce la o ecuaţie omogenă în diferenţe în

tD , 1−tD , 2−tD şi arată că ( ) 11 2 >+ gk este condiţia de instabilitate.Modelul mai poate fi extins prin considerarea comerţului exterior, importurile fiind funcţii de venit:

1−= tt mYM , 10 << m . Exporturile sunt determinate de cererea externă, care se presupune a creşte cu o rată

proporţională constantă xg , astfel că ( )txt gXX += 10 .

4.4. Modele neliniare. Foarte multe relaţii dintre variabilele economice analizate în teoria economică suntdescrise ca având o formă neliniară. Varietatea relaţiilor de acest tip prezintă importanţă atât din perspectivaestimării (fiind mai „aproape” de realitate) cât şi din cea a prognozelor pe termen mediu şi, mai ales, lung. Încontinuare prezentăm cele mai importante modele neliniare din literatura de specialitate.

Determinarea preţului de maximizare a profituluiEconomiştii au elaborat un model de stabilire a preţului pentru ca acesta să contribuie la maximizarea

profitului. Se pleacă de la ideea că firma respectivă cunoaşte care sunt funcţiile cererii şi costului produsului încauză. Dacă în urma analizei de regresie ecuaţia cererii are forma

aPbQ −=iar funcţia costului ce descrie costul total C al producerii cantităţii Q într-o perioadă de timp este de tip liniar:

vQFC +=unde F este costul total fix şi v – costul variabil pe unitatea de produs şi ţinând cont că ecuaţia venitului total Veste:

QPV ⋅=unde P – preţul practicat, Q – cantitatea vândută şi profitul total Z

CVZ −=firma poate determina raportul dintre profit şi preţ astfel

FvbPvabaPZ

aPbvFaPbPvQFPQCVZ

−−++−=−−−−=−−=−=

)(

)()(2

Deci, profitul total net este o ecuaţie de gradul doi ce are ca necunoscută preţul. Maximul se atinge în

punctula

vabP

2* +=

Modele GARCH pentru analiza riscului de portofoliuModelele GARCH (G – generalizat, AR – autoregresiv, C – condiţional, H – heteroschedasticitate) au fost

proiectate pentru a modela serii economice ce nu urmează o distribuţie normală. În cadrul acestor serii există oabatere largă a valorilor extreme de la media lor, unele fiind chiar asimetrice, ele prezentând şi o evoluţieneuniformă a dispersiei de-a lungul perioadei de timp analizate. Primul astfel de model a fost realizat de cătreRobert Eagle în 1982. El cuprinde o ecuaţie pentru medie şi una pentru dispersie, respectiv [11,pag.4]:

21

21

2−− ++=

+=

ttt

ttt xy

unde yt este variabila dependentă în perioada curentă, xt – variabila independentă în perioada curentă, -

coeficientul care arată influenţa variabilei independente asupra variabilei dependente, t - termeni reziduali în

perioada curentă, 2t - dispersia variabilei dependente în periada curentă, - constanta ecuaţiei dispersiei, α –

coeficientul ARCH, 1−t - termeni reziduali din perioada precedentă, 21−t - dispersia variabilei dependente în

perioada precedentă, β – coeficient GARCH.O prezentare generalizată a acestui model poate fi găsită în [31,pag.480].Un alt model asemănător, a fost introdus de Nelson în 1991:

1

1

1

121

2 )log()log(−

−

−

−− +++=

t

t

t

ttt

iar efectul de levier poate fi testat prin testarea inegalităţii 0< . Să remarcăm că logaritmul transferă modelulîntr-unul neliniar.

Modelul lui Goodwin de repartiţie a venituluiSă considerăm o economie constând din muncitori şi capitalişti şi să presupunem că muncitorii îşi

cheltuiesc toate veniturile. Iată definiţiile şi relaţiile care descriu cadrul economic de lucru, în care preţurile au fostnormalizate la unitate,

48

Y - producţie (realizările economiei); L - muncă (identificată cu muncitorii); K - capital investit (identificat cucapitaliştii); W - salariu (identificat cu salariul mediu lunar); ( )1=pP - preţ produse (bunuri);

teaaLY 0== , - constantă - productivitatea muncii; wL - venitul muncii (venitul muncitorilor);

awYwLu == - partea muncii din venit (partea muncitorilor din venit); wLY − - venitul capitaliştilor;aw−1 - partea capitaliştilor din venit; ( )Yaw−1 - economii; =YK (constanţi) - raportul capital-

producţie; nteNN 0= , n - constanţi - număr de muncitori; NLv = - rata de ocupare a forţei de muncă;

Presupunând că investiţiile I egalează economiile, atunci creşterea stocului de capital KK•

este de

forma ( ) ( ) awKYawKK −=−=•

11 . Rata de creştere a stocului de capital este egală cu rata de creştere

a venitului YY•

atunci când raportul capital-producţie este constant. Cunoscând productivitatea muncii, a , se

poate determina forţa de muncă L , necesară unei producţii Y , prin formula aYL = . Logaritmând şi diferenţiind

această formulă obţinem ( ) −−=−=••

awYYLL 1 . Rezumând, avem următoarele rate de creştere

folosite în model: nNN =•

, =•

aa , ( ) awYYKK −==••

1 , −=••

YYLL .Variabilele de stare în modelul lui Goodwin sunt: rata v de ocupare a forţei de muncă şi partea

muncitorilor de venit u . Pentru a deduce ecuaţiile în v şi u să luăm în considerare doar evoluţia ratei de ocuparea forţei de muncă. Logaritmând, diferenţiind şi efectuând calculele în expresia lui v obţinem

( ) ( )( )vuuv +−−=•

1 . Efectuând aceleaşi prelucrări şi în expresia lui u obţinem −=••

wwuu . Goodwin

presupune că salariul muncitorilor evoluează conform curbei standard a lui Philips, adică ( )vfww =•

, în care f

verifică condiţiile ( ) ∞=→

vfv 1lim , ( ) 0lim

0<=

→wvf

vşi 0>∂∂ vf . Pentru simplicitate această curbă este

aproximată cu o linie v +− , deci evoluţia părţii din venit ce revine muncitorilor capătă expresia

−+−=•

vuu . De aici deducem imediat: ( )uvu −+−=•

. Prin urmare ţinând seama de toateipotezele de mai sus, evoluţia ratei de ocupare a forţei de muncă şi a părţii din venit ce revine muncitorilor estedescrisă de s.e.d.o. de forma

( )( )

−=

−=•

•

,

,

11

11

uvdcu

vubav

unde na −−−= 11 , −−=1c , 11 −=b , −=1d .Problema Cauchy pentru acest sistem poate fi asociată unui sistem dinamic bidimensional cu neliniarităţi

pătratice care depinde de patru parametri reali. El este cunoscut sub numele de modelul lui Goodwin. Acest modelare pentru majoritatea valorilor parametrilor două echilibre, pentru o altă mulţime de măsură nulă având un singurechilibru. De asemenea el posedă şi un ciclu limită.

Modelul lui Denenbourg, de Palma şi Kahn (1979)Acest model descrie alegerea dinamică a unei modalităţi de transport.Fie ix - numărul de drumuri. Dacă 2,1=i atunci modelul este dat de iii xDdtdx −= unde

Dxx =+ 21 . Punând ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xAxAxDAxD ii 21 += , dinamica depinde de fiecare iA . Dacă presupunem că

iA sunt proporţionale cu vitezele iii vAv =: şi că nu există interacţiuni între cele două (fie maşină şi autobuz),

atunci avem ( )11 1 bxav += , ( )nn sxcdxv 222 += . Dacă, în plus, 1=== srn atunci dinamica modalităţii detransport este dată de

( )( ) ( )

( )( ) ( )

−+++

+=

−+++

+=

•

•

.1

,1

2221

122

1221

11

xxcdxxa

xcDdxx

xxcdxxa

xaDx

Model de creştere cu rată de ajustareSistemul descrie interacţiunea dinamică dintre rata de creştere şi sistemul de asigurări sociale. Este

considerat cazul în care viteza de ajustare a ratei de creştere este optimă dar nu prea rapidă. El are forma

49

( )[ ]( )( )

−−=

−=•

•

,1

,1

11

21

gbazQz

gzbsg

unde g - rata de creştere, s - viteza de ajustare, 1a - viteza de consum, 1b - creşterea raportului capital-producţie,z - valoarea totală a producţiei.

( ) ( ) 2122 4121 zPXzQ −±−=−= . ( )zQ trebuie să fie negativ când z este pozitiv; PXz = , X -

capacitatea, PX - valoarea totală a capacităţii.

Bibliografie obligatorie1. Caracotă, Dumitrache; Caracotă Răzvan (2001)- Strategii de dezvoltare. Previziune economică.Editura Sylvi, Bucureşti;2. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004) - Previziunea – premisă a dezvoltării durabile, EdituraFundaţiei România de Mâine, Bucureşti.3. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004) -Econometria sau ştiinţa de a cunoaşte şi proiecta viitorul,Editura Universităţii “Lucian Blaga”, Sibiu.

Bibliografie facultativa1. Firică, Oana(2002)- Modele pentru fundamentarea deciziilor în managementul organizaţiei, EdituraMatrix, Bucureşti;2. Andreea, Iacob; Ovidiu Tanasoiu (2005) – Modele econometrice, Editura ASE, Bucuresti;3. Valentin, Nicolae (1998)- Previziune şi orientare economică, Editura Economică, Bucureşti;4. Oprescu, Gheorghe (1995) - Modele dinamice ale economiei de piaţă. Studii de caz, Editura Eficient,Bucureşti;5. Pecican Ştefan (2003) - Econometrie pentru economişti, Editura Economică, Bucureşti;6.Pecican Ştefan (2000) - Piaţa valutară, bănci şi econometrie, Editura Economică, Bucureşti;7. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004)- Decizia sau demersul antientropic de la cauza la efect,Editura Universităţii “Lucian Blaga”, Sibiu;