Embed Size (px)
Citation preview
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Systems of Linear Algebraic Equations
Sistem Persamaan Linear 2
Acuan
Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.
Sistem Persamaan Linear 3
Serangkaian n persamaan linear:
nnnnnn
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
...
.
.
.
...
...
2211
22222121
11212111
Sejumlah n persamaan linear
ini harus diselesaikan secara
simultan untuk mendapatkan
x1, x2,…, xn yang memenuhi
setiap persamaan tsb.
Metoda Penyelesaian
Penyelesaian
Grafis
Cramer
Eliminasi
Penyelesaian langsung
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Iteratif
Jacobi
Gauss-Seidel
Successive Over Relaxation
4
Jml. pers. sedikit, n « Jml. pers. banyak, n »
Metoda Grafis 5
x2 = …
x1 = …
x2
x1
Metoda Grafis 6
x2
x1
x2
x1
x2
x1
ill-conditioned system singular system singular system
sejajar berimpit hampir sejajar
Metoda Cramer 7
Variabel tak diketahui, xi, merupakan perbandingan dua determinan
matrix
Penyebut : determinan, D, matrix koefisien sistem persamaan
Pembilang : determinan matrix koefisien sistem persamaan seperti penyebut,
namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien ci
Contoh
3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
Metoda Cramer 8
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A A
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
D A
D
aac
aac
aac
x33233
23222
13121
1 D
aca
aca
aca
x33331
23221
13111
2 D
aaa
caa
caa
x32331
22221
11211
3
Determinan Matrix 9
Matrix bujur sangkar: n n
Mencari determinan matrix
Hitungan manual
MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()
Contoh hitungan determinan matrix 2 2 dan 3 3
2221
1211
aa
aaA A
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B B
Determinan Matrix 10
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aaD A
312232211331233321123223332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
B
Metoda Cramer 11
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
4.71
3.19
85.7
102.03.0
3.071.0
2.01.03
3
2
1
x
x
x
CXA
353.210
3.072.01.02.0
3.03.0101.01.02.03.01073det
A
Metoda Cramer 12
102.04.71
3.073.19
2.01.085.7
1A
104.713.0
3.03.191.0
2.085.73
2A
4.712.03.0
3.1971.0
85.71.03
3A
059.631det 1 A1A 883.525det 2 A2A 471.1472det 3 A3A
3353.210
059.631
det
det1
A
A1x 5.2353.210
883.525
det
det2
A
A2x 7353.210
471.1472
det
det3
A
A3x
Metoda Eliminasi 13
Contoh: 2 persamaan linear
11221122111212222121111222121
21122112121111212111211212111
acxaaxaacxaxaacxaxa
acxaaxaacxaxaacxaxa
2111122211221122 acacxaaxaa
21121122
2111122
aaaa
acacx
21121122
1212221
aaaa
acacx
Eliminasi Gauss 14
Strategi
Forward elimination
Back substitution
Contoh
3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
(1)
(2)
(3)
Eliminasi Gauss 15
1
11
313313
11
3133212
11
3132
1
11
212313
11
2123212
11
2122
1313212111
ca
acxa
a
aaxa
a
aa
ca
acxa
a
aaxa
a
aa
cxaxaxa
3333232
2323222
1313212111
cxaxa
cxaxa
cxaxaxa
Forward elimination #1
Hilangkan x1 dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan
pengurangan dengan pers. pertama.
pivot equation pivot coefficient
(1)
(2')
(3')
Eliminasi Gauss 16
2
22
323323
22
3233
2323222
1313212111
ca
acxa
a
aa
cxaxa
cxaxaxa
Forward elimination #2
Hilangkan x2 dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan
pengurangan dengan pers. kedua.
pivot equation pivot coefficient
(1)
(2')
(3'') 3333
2323222
1313212111
cxa
cxaxa
cxaxaxa
Eliminasi Gauss 17
Back substitution
Hitung x3 dari pers. (3''), hitung x2 dari pers. (2’), dan x1 dari pers. (1)
33
33
a
cx
22
32322
a
xacx
11
31321211
a
xaxacx
Eliminasi Gauss 18
Forward elimination
11
22323
22323222
11313212111
.
.
.
...
...
...
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
cxa
cxaxa
cxaxaxa
cxaxaxaxa
1,...,2,1,1
1
11
1
1
nni
a
xac
x
a
cx
i
ii
ij
j
i
ij
i
i
i
n
nn
n
nn
Back substitution
Eliminasi Gauss 19
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
Eliminasi Gauss 20
Forward elimination
Eliminasi x2 dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot
Eliminasi x3 dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot
0843.700120.1000)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
615.7002.1019.00)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Eliminasi Gauss 21
Backward substitution
Menghitung x3 dari Pers. 3''
70120.10
0843.703 x
Substitusi x3 ke Pers. 2' untuk menghitung x2
5.2
0033.7
72933.05617.192
x
Substitusi x3 dan x2 ke Pers. 1 untuk menghitung x1
3
3
5.21.072.085.71
x
Metoda Eliminasi 22
Strategi
Eliminasi variabel tak diketahui, xi, dengan penggabungan dua persamaan.
Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk
mendapatkan satu variabel xi.
Kelemahan Metoda Eliminasi 23
Pembagian dengan nol
Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.
Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi.
Round-off errors
Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada
langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat
terakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat besar.
Ill-conditioned systems
Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa
koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.
Perbaikan 24
Pemilihan pivot (pivoting)
Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation
adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.
Metoda Penyelesaian 25
Matrix Inverse
Gauss-Jordan
Metoda Iteratif
Jacobi
Gauss-Seidel
Metoda Gauss-Jordan 26
Mirip dengan metoda eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back
substitution.
Contoh
3 persamaan linear
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Metoda Gauss-Jordan 27
4.71
3.19
85.7
101.03.0
3.071.0
2.01.03
4.71
3.19
385.7
101.03.0
3.071.0
32.031.033
4.71
3.19
6167.2
101.03.0
3.071.0
0667.00333.01
6150.70
5617.19
6167.2
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
0843.70
7931.2
5236.2
0120.1000
0419.010
0681.001
Metoda Gauss-Jordan 28
6150.70
5617.19
6167.2
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
6150.70
0033.7/5617.19
6167.2
0200.101900.00
0033.7/2933.00033.7/0033.70033.7/0
0667.00333.01
6150.70
7931.2
6167.2
0200.101900.00
0419.010
0667.00333.01
7
7931.2
5236.2
100
0419.010
0681.001
0120.10/0843.70
7931.2
5236.2
0120.10/0120.100120.10/00120.10/0
0419.010
0681.001
Metoda Gauss-Jordan 29
7
5.2
3
100
010
001
7
5.2
3
3
2
1
x
x
x
Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss 30
Metoda Gauss-Jordan
Jumlah operasi lebih banyak (50%)
Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss
Pembagian dengan nol
Round-off error
Inversi Matrix 31
CAXCXA 1
100
010
001
333131
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
1
13
1
12
1
11
100
010
001
aaa
aaa
aaa
Inversi Matrix 32
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
Inversi Matrix 33
100
010
001
102.03.0
3.071.0
2.01.03
A
100
010
003333.0
102.03.0
3.071.0
0667.00333.01
A
100999.0
010333.0
003333.0
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
A
Inversi Matrix 34
100999.0
01422.00047.0
003333.0
0200.101900.00
0417.010
0667.00333.01
A
10270.01009.0
01422.00047.0
00047.03318.0
0121.1000
0417.010
0681.001
A
Inversi Matrix 35
0999.00027.00101.0
01422.00047.0
00047.03318.0
100
0417.010
0681.001
A
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.0
0068.00049.03325.0
100
010
001
A
1A
Inversi Matrix 36
0002.7
4881.2
0004.3
4.71
3.19
85.7
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.0
0068.00049.03325.0
3
2
1
3
2
1
1
x
x
x
x
x
x
CAX
Metoda Iteratif: Jacobi 37
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
33
23213133
22
32312122
11
31321211
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
33
0
232
0
13131
3
22
0
323
0
12121
2
11
0
313
0
21211
1
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
0
0
0
0
3
0
2
0
1
x
x
x
33
23213131
3
22
32312121
2
11
31321211
1
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
nnn
nnn
nnn
nilai awal,
biasanya xi0 = 0 iterasi diteruskan
sampai konvergen
xin+1 xi
n, xi
Metoda Iteratif: Jacobi 38
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
Metoda Iteratif: Gauss-Seidel 39
33
1
232
1
13131
3
22
0
323
1
12121
2
11
0
313
0
21211
1
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
33
1
232
1
13131
3
22
323
1
12121
2
11
31321211
1
a
xaxacx
a
xaxacx
a
xaxacx
nnn
nnn
nnn
iterasi diteruskan
sampai konvergen
xin+1 xi
n, xi
Metoda Iteratif: Gauss-Seidel 40
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
Jacobi vs Gauss-Seidel 41
33
1
232
1
1313
1
3
22
0
323
1
1212
1
2
11
0
313
0
2121
1
1
axaxacx
axaxacx
axaxacx
33
2
232
2
1313
2
3
22
1
323
2
1212
2
2
11
1
313
1
2121
2
1
axaxacx
axaxacx
axaxacx
33
0
232
0
1313
1
3
22
0
323
0
1212
1
2
11
0
313
0
2121
1
1
axaxacx
axaxacx
axaxacx
33
1
232
1
1313
2
3
22
1
323
1
1212
2
2
11
1
313
1
2121
2
1
axaxacx
axaxacx
axaxacx
Jacobi Gauss-Seidel
Successive Over-relaxation Method 42
Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), xn+1, tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya
Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), xn
faktor relaxasi l dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi)
under-relaxation: 0 < l < 1
over-relaxation: 1 < l < 2
n
i
n
i
newxxx ll
11
1
Successive Over-relaxation Method 43
33
2
1
2321
1
13131
3
22
3231
1
12121
2
11
31321211
1
11
1
a
xxaxxacx
a
xaxxacx
a
xaxacx
nnnnn
nnnn
nnn
llll
ll
Successive Over-relaxation Method 44
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh: 3 persamaan linear
