sisdinamik gabungan

  • Published on
    08-Aug-2015

  • View
    114

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

<p>SISTEM DINAMIK</p> <p>FASE POTRAIT DI SEKITAR TITIK TETAP</p> <p>Oleh: Any Tsalasatul Fitriyah Didik Hariyanto Mohamad Syafii Chilvita Ayu Lestari (116090400111003 ) (116090400111005) (116090400111009 ) (116090400111012)</p> <p>PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2012</p> <p>FASE POTRAIT DI SEKITAR TITIK TETAPSebelum kita membahas bab ini, terlebih dahulu kita memahami dan mempelajari beberapa definisi 1. Flow : adalah fungsi terhadap waktu (t) dan kondisi awal (x0) yang mempunyai</p> <p>solusi. Solusi yang diberikan ada dan tunggal.</p> <p>4.1 Stabilitas Titik Tetap Asumsikan bahwa sebuah sistem dari Persamaan Differensial </p> <p>mempunyai turunan parsial kontinu dari komponen F. Jadi, solusinya ada dan tunggal, Misal : adalah flow. dan</p> <p>Definisi 4.1.1 Sebuah titik dikatakan titik tetap, jika ada hanya tetap dan . Solusi-solusi itu dimulai di titik untuk semua t.</p> <p>tetap yang mempunyai kecepatan 0. Jadi</p> <p>Himpunan-Himpunan Limit Definisi 4.1.2 Sebuah titik q dikatakan sebuah titik limit syarat yang berada disepanjang lintasan dr ( dengan</p> <p>dekat dengan q ketika t menuju tak hingga (terdapat barisan waktu t j dengan tjj ) konvergen ke q). menuju 0 ketika t menuju tak hingga, maka x* adalah satudi x0. Sebenarnya ada lebih dari satu titik limit dari x0. Himpunan semua dan disebut himpunan limit dari x0.</p> <p>menuju tak hingga ketika j menuju tak hingga sedemikian sehingga Pastinya, jika satunya titik limit</p> <p>titik limit dari x0 dinotasikan dengan</p> <p>Definisi 4.1.3 q adalah titik limit- dari x0, jika lintasan tak hingga khususnya jika cukup dekat q ketika t menuju negative menuju ke 0 ketika t menuju negative tak hingga,</p> <p>maka x* adalah satu-satunya titik limitdinotasikan dengan</p> <p>dari x0. Himpunan semua titik limit-</p> <p>dari x0</p> <p>dan disebut himpuan titik limit- dari x0.</p> <p>Definisi 4.1.4 Untuk sebuah titik tetap x*, stabil manifold Ws(x*) adalah himpunan semua titik yang cenderung menuju ke titik tetap dengan t menuju tak hingga { } cenderung menuju x* dengan { { }} { }. Jika stabil manifold</p> <p>Pada konteks ini,jika orbit konvergen ke suatu titik tunggal x* ketika t menuju tak hingga, maka himpunan limitsama dengan titik tunggal tersebut., adalah himpunan terbuka, maka Ws(x*) dikatakan daerah kestabilan dari x*. Dengan cara sama, tidak stabil manifold pada titik tetap Wu(x*) adalah himpunan semua titik yang cenderung menjauhi titik tetap ketika t menuju negative tak hingga. { } cenderung menuju x* dengan { { }}</p> <p>Tipe-Tipe Kestabilan</p> <p>Definisi 4.1.5 Sebuah titik tetap x* dikatakan dengan stabil Lyapunov dengan syarat sembarang solusi mendekati x* untuk semua sedemikian sehingga jika , jika kondisi awal x0 mulai cukup dekat x*. lebih ada . berlaku tepatnya, sebuah titik tetap x* dikatakan stabil lyapunov, jika untuk setiap untuk smua</p> <p>Definisi 4.1.6 Titik tetap dikatakan tidak stabil, dengan syarat titik tetap tersebut tidak stabil Lyapunov (tedapat dan sedemikian sehingga untuk setiap tergantung pada titik dengan ada beberapa titik . dengan </p> <p>Definisi 4.1.7 Titik tetap dikatakan stabil asimtotik yang lemah, jika ada { } untuk semua ). ( sedemikian sehingga ketika untuk semua</p> <p>Titik tetap x* dikatakan stabil asimtotik, jika memenuhi stabil Lyapunov dan stabil asimtotik lemah. (Gambar : a sampai c).</p> <p>Definisi 4.1.8 Sebuah titik tetap dikatakan menjauhi, jika memenuhi stabil asimtotik backward in time (i. untuk sebarang bilangan yang dekat dengan berlaku ) untuk smua { } untuk semua ada sedemikian sehingga jika ; ii. Terdapat sehingga</p> <p>Definisi 4.1.9 Titik tetap dikatakan hyperbolic, dengan syarat tidak ada nilai eigen dari persamaan yang dilinearkan pada titik tetap yang mempunyai bagian real nol.</p> <p>Untuk sistem nonlinear, dua contoh berikut menunjukkan bahwa terdapat beberapa kasus tentang solusi terdekat yang akhirnya cenderung ke titik tetap, tetapi bukan L-stable, oleh karena itu hal ini digunakan untuk menambah asumsi bahwa titik tetap adalah L-stable yang setara dengan stabil asimtot lemah dalam definisi stabilitas asimtotik. Contoh 4.1.10 Sistem persamaan</p> <p>Dalam bentuk koordinat polar, kita mempunyai ,</p> <p>Dengan mensubtitusi dan dalam sistem persamaan awal, menjadi </p> <p>.................(1) ..................(2) dan persamaan (2) dikalikan , kedua persamaan</p> <p>Persamaan (1) dikalikan dengan dikurangi, sehingga didapat </p> <p>( )</p> <p>Dilakukan dengan cara yang sama untuk mendapatkan . Dengan mensubtitusi dan dalam sistem persamaan awal, menjadi dan persamaan (2) dikalikan </p> <p>.................(1) ..................(2) , kedua persamaan</p> <p>Persamaan (1) dikalikan dengan ditambahkan, sehingga didapat </p> <p> Jadi, dalam bentuk koordinat polar didapatkan dan sebagai berikut, ( )</p> <p>Lingkaran dengan r = 1 adalah invariant dan menuju ke lintasan terdekat. Pada lingkaran, dan 0 hanya pada . Sehingga semua lintasan mulai mendekati lingkaran yang terkecil</p> <p>mempunyai (x,y)=(1,0) sebagai limit; bagaimanapun titik dengan r=1 dan</p> <p>yang ada di sekeliling lingkaran dan cenderung pada titik tetap. Sehingga (1,0) adalah stabil asimtot lemah, tetapi bukan stabil asimtot. Lihat gambar 4.1.1</p> <p>Dengan menggunakan program MAPLE diperoleh &gt; restart; &gt; with(DETools):with(plots): &gt; phaseportrait([D(x)(t)=x(t)-y(t)x(t)*(x(t)^2+y(t)^2)+x(t)*y(t)/sqrt(x(t)^2+y(t)^2),D(y)(t)=x (t)+y(t)-y(t)*(x(t)^2+y(t)^2)x(t)^2/sqrt(x(t)^2+y(t)^2)],[x(t),y(t)],t=0..50,[[x(0)=1.2,y (0)=0.2],[x(0)=0.1,y(0)=0.1],[x(0)=1.2,y(0)=0.2],[x(0)=0.1,y(0)=0.1]],stepsize=0.005,linecolor=[blue,green,red,yellow]);</p> <p>Teorema 4.1.12 Diberikan persamaan diferensial linear (a) Jika semua nilai eigen .</p> <p>dari A mempunyai bagian real negatif, maka titik asal</p> <p>merupakan stabil asimtot. Khususnya, stable nodes, degenerated stable nodes, dan stable foci yang semuanya merupakan stabil asimtotik.</p> <p>(b) Jika salah satu nilai eigen</p> <p>mempunyai bagian real positif, maka titik asalnya tidak</p> <p>stabil. Khususnya, saddle, unstable nodes, unstable degenerated nodes, dan stable foci yang semuanya tidak stabil. Sebuah pelana mempunyai arah yang menarik dan yang lain meluas, tetapi masih memenuhi kondisi yang tidak stabil. (c) Dalam dua dimensi, jika nilai eigennya imajiner asli, merupakan L-stable tetapi bukan stabil asimtotik. (d) Dalam dua dimensi, jika salah satu nilai eigen adalah 0 dan yang lain negatif, maka titik asalnya merupakan L-stable tetapi bukan stabil asimtot. Teorema 4.1.13 Misal A matriks 2x2 dengan determinan (a) Jika (b) Jika dan trace . , maka titik asalnya</p> <p>, maka sistem linearnya adalah sebuah pelana, dan sehingga tidak stabil. dan , maka sistem linear tidak stabil. (i) jika , maka ini</p> <p>merupakan unstable node. (ii) jika unstable node. (iii) jika (c) Jika dan</p> <p>, maka ini merupakan degenerated , maka ini merupakan sebuah unstable focus. ,</p> <p>, maka sistem linear disebut stabil asimtotik. (i) jika</p> <p>maka ini merupakan stable node. (ii) jika stable node. (iii) jika (d) Jika</p> <p>, maka ini merupakan degenerated</p> <p>, maka ini merupakan sebuah stable focus. , maka nilai</p> <p>, maka salah satu dari semua nilai eigen adalah 0. (i) jika</p> <p>eigen kedua adalah positif. (ii) jika</p> <p>, maka kedua nilai eigen adalah 0. (iii) jika</p> <p>, maka nilai eigen kedua adalah negatif. Bukti : Persamaan karakteristik, , dengan akar-akar Maka,</p> <p>Dengan menyamakan koefisien dari</p> <p>dan konstanta, kita dapat</p> <p>(a) Jika</p> <p>, maka</p> <p>| |</p> <p>Jadi, sistem ini disebut titik pelana. Catatan, karena tanda akar kuadratnya positif, nilai eigennya real. (b) Asumsikan bahwa dan . (i) jika , maka nilai eigennya real.</p> <p> Jadi, sistem ini merupakan unstable node. (ii) jika , maka kedua nilai eigen sama ,</p> <p>dengan nilai dari , dan sistem tersebut merupakan unstable node. (iii) jika</p> <p>maka nilai eigennya kompleks dengan bagian real . Sehingga sistem ini disebut unstable focus. (c) Pembuktian sama dengan kasus (b) dan dilewati. (d) Karena produk dari nilai eigen adalah , paling sedikit terdapat satu dari nilai eigen yang</p> <p>harus 0. Karena penjumlahan dari nilai eigen disebut trace, nilai eigen yang lain harus sama dengan trace.</p> <p>4.2 Persamaan Diferensial Satu Dimensi Disebagian besar buku, kita dapat mengetahui persamaan diferensial dengan dua atau lebih variabel. (dua atau lebih variabel yang diturunkan lebih spesifik). Untuk memperkenalkan pendekatan persamaan nonlinier dalam sebuah konteks yang familier, pertama mempertimbangkan persamaan diferensial dimensi satu bentuk . Dalam bab terakhir kita tahu bahwa solusi dari persamaan linier dimensi satu, . Jika a &lt; 0 maka untuk kondisi awal , adalah , dimana</p> <p>menuju 0 ketika t menuju</p> <p>tak hingga. Di sisi lain, jika a &gt; 0 dan menuju tak hingga. Bagaimanapun jika Jadi</p> <p> 0, maka | = 0 maka</p> <p>| menuju tak hingga ketika t untuk semua t. . Titik tetap ini</p> <p>= 0 adalah sebuah titik tetap untuk persamaan diferensial </p> <p>didekati jika a &lt; 0 dan dijauhi jika a &gt; 0. Contoh berikut diberikan persamaan diferensial nonlinier dengan lebih dari satu titik tetap; satu titik tetap didekati dan yang lain dijauhi.</p> <p>Contoh 4.2.1 (Persamaan Logistik) Sebuah populasi tunggal diukur dengan variabel x. Turunan pertama diukur dari ratarata pertumbuhan populasi dan rasio /x mengukur rata-rata pertumbuhan populasi per unit. Dalam model logistik, rasio adalah himpunan positif untuk populasi yang kecil dan perubahan linier, dengan populasi yang dijadikan negatif dilevel K. Jadi ( ),</p> <p>Dimana r &gt; 0 dan K &gt; 0 adalah parameter. Dengan mengalikan silang x maka diperoleh persamaan diferensial untuk x, yaitu ( ) adalah sebuah solusi</p> <p>yang disebut persamaan diferensial logistik. Misalkan x(t) = dengan kondisi awal .</p> <p>Titik tetap (equilibria) untuk persamaan tersebut diperoleh solusi rx(1-x/K) = 0, maka x = 0 atau K. Jadi dan untuk semua t. &lt; K, Untuk sembarang 0 &lt; x &lt; K, f(x) &gt; 0, &gt; 0 dan solusi dari fungsi naik.Jadi jika 0 &lt; maka</p> <p>adalah fungsi naik. Solusi yang diperoleh tidak memotong solusi konstan di untuk semua t. Kita diberi sebuah teorema umum lalu pada harus konvergen pada titik tetap di K. Jadi untuk 0 K, f(x) &lt; 0, &lt; 0 dan solusi dari fungsi turun. Jika turun ketika t naik, tetapi harus tetap diatas K (yaitu &gt; K, maka</p> <p>). Jadi</p> <p>harus konvergen turun menuju titik tetap di K, dan limit solusinya adalah titik tetap K</p> <p>(yaitu ( ) = {K}). Ketika t turun, hingga dan ( ) = .</p> <p>naik. Jika tetap terbatas, maka akan konvergen akan menuju tak</p> <p>ke titik tetap lain. Karena tidak ada titik tetap lebih besar dari K,</p> <p>Untuk x &lt; 0, f(x) &lt; 0, &lt; 0 dan solusi dari fungsi turun. Jadi, jika Sekali lagi, karena tidak ada titik tetap kurang dari 0, solusi dari negatif tak hingga, maka limit adalah kosong (yaitu (</p> <p>&lt; 0,</p> <p>turun. harus menuju</p> <p>) = ). Untuk titik-titik ini, ( )</p> <p>= {0} dengan argumen yang sama yang telah digunakan sebelumnya. Jadi, kita harus menentukan dan limit dari sembarang kondisi awal dengan hanya menggunakan tanda f(x) dalam interval yang berbeda sepanjang garis. Kita kembali membahas solusi yang dekat dengan titik tetap. Solusi dimulai dengan x = K konvergen ke K ketika t menuju tak hingga, maka solusinya didekati. Perlu diperhatikan bahwa kenyataan f(K) = r 2r = -r &lt; 0 menjamin bahwa &gt; 0 untuk x &lt; K dan x dekat dengan K dan bahwa &lt; 0 untuk x &gt; K dan x dekat dengan K; oleh karena itu, kenyataannya bahwa f(K) &lt; 0 adalah cukup untuk menjamin bahwa titik tetap x = K adalah menarik. Dalam section ini untuk keberadaan dan ketunggalan, kita beri solusi eksplisit dari persamaan logistik,</p> <p>Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh &gt;phaseportrait(D(x)(t)=x(t)*(1-x(t)),x(t),t=0..5,[[x(0)=0.0025],[x(0)=0.1],[x(0)=0.6],[x(0)=1.6]],linecolor=[red,blu e,green,yellow]);</p> <p>Solusinya akan terdefinisi dengan baik sepanjang penyebutnya tidak nol. Penyebutnya nol ketika</p> <p>Oleh karena itu, untuk solusi yang tidak terdefinisi, sisi kanan dari persamaan terakhir harus menjadi positif, dimana terjadi untuk terdefinisi untuk waktu negatif, ( Tetapi terdefinisi untuk semua waktu positif, maka tak terdefinisi untuk sebuah waktu positif, ( tetapi . Akhirnya, untuk ) | | ( ) | | dan . ) . Untuk &lt; 0, solusi menjadi &gt; K dan &lt; 0. untuk &gt; K, solusi menjadi tidak</p> <p>Dalam hal khusus, untuk sembarang</p> <p>&gt; 0, solusinya akan terdefinisi untuk semua</p> <p>,</p> <p>dan ketika t menuju takhingga, solusinya konvergen ke</p> <p>Untuk</p> <p>solusinya juga terdefinisi untuk semua</p> <p>, penyebut menjadi besar, &gt; K, penyebut</p> <p>dan solusinya konvergen ke 0 ketika t menuju negatif takhingga. Untuk menuju 0 ketika t konvergen turun ke Untuk</p> <p>, sehingga solusinya menuju takhingga. Penyebut adalah positif dan</p> <p>&lt; 0, solusinya terdefinisi untuk</p> <p>pembilang adalah negatif, maka solusinya menuju negatif takhingga ketika t konvergen keatas ke .</p> <p>Teorema 4.2.2 Diberikan persamaan diferensial kontinu. Diasumsikan bahwa di , yang mana mempunyai turunan yang</p> <p>adalah solusi, dengan kondisi awal</p> <p>Diasumsikan juga bahwa maksimum interval memuat 0 yang mana maksimum interval tersebut dapat didefinisikan a. Diasumsikan bahwa solusi sedemikian sehingga | terbatas untuk | untuk (terdapat konstanta . Maka tidak terdefinisi</p> <p>harus konvergen baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana ketika konvergen ke b. . terbatas untuk</p> <p>Dengan cara yang sama, jika solusi</p> <p>. Maka tidak</p> <p>harus konvergan baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana terdefinisi ketika konvergen ke c. Diasumsikan bahwa i. Jika kenyataannya ii. Jika kenyataannya Maka dan . di .</p> <p>didefinisikan untuk semua</p> <p>, dengan mengasumsikan terdapat titik tetap adalah titik tetap terkecil yang lebih besar dari .</p> <p>dan</p> <p>, dengan mengasumsikan terdapat titik tetap adalah titik tetap terbesar yang lebih kecil dari ) konvergen ke ketika t menuju tidak hingga. .</p> <p>dan</p> <p>Bukti: Teorema di atas menunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial yang terbatas di sepanjang garis bilangan real harus konvergen baik di titik tetap atau ke suatu titik dimana tidak terdefinisi ketika konvergen baik di Pembuktian disini hanya untuk bagian (a) dan (c) Dengan menggunakan teorema ketunggalan, bahwa solusi tidak bisa memotong dimana . Jadi solusi tanda. Diasumsikan bahwa ( harus tetap di daerahnya dimana ) . Jadi mempunyai satu atau .</p> <p>naik dan terbatas ke atas.</p> <p>Sesuai dengan sifat dalam bilangan real, keadaan tersebut harus konvergen mendekati suatu nilai limit ketika konvergen ke nilai jika konvergen ke baik dan ( . Supremum yang merupakan flow terdefinisi ( . Karena )</p> <p>terdefinisi di sepanjang garis), sebut saja nilai limit ,</p> <p>atau tidak terdefinisi. Jika</p> <p>atau tidak terdefinisi, maka pembuktian selesai. Sebaliknya, jika , maka ketika bergerak dari bergerak dari sampai</p> <p>sampai . Tetapi terdapat beberapa waktu maka sampai . Hal ini kontradiksi dengan faktanya</p> <p>sedemikian sehingga , jadi solusi diperoleh ketika di bahwa .</p> <p>Lemma 4.2.3 Diasumsikan bahwa untuk semua dan kontinu uniform. Maka , terdefinisi, mendekati 0 dan terbatas, ,</p> <p>mendekati suatu nilai limit</p> <p>ketika t menuju tak hingga Bukti harus mendekati suatu nil...</p>