Sinteza PI regulatora i estimatora varijabli stanja ...titan.fsb.hr/~bskugor/NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE/NDU AUDITORNE... · Zavod za robotiku i automatizaciju proizvodnih

Zavod za robotiku i automatizaciju proizvodnih sustava

Katedra za strojarsku automatiku

Seminarski rad iz kolegija

NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE

Sinteza PI regulatora i estimatora varijabli stanja

elektromotornog pogona s elastičnim prijenosnim

mehanizmom

Kruno Kantoci

0035150299

5-MEHROB

Neizrazito i digitalno upravljanje Kruno Kantoci

1

SADRŽAJ

1. SAŽETAK.............................................................................................................................. 2

2. DINAMIČKI MODEL SUSTAVA ...................................................................................... 3

2.1. Vremenski kontinuirani model sustava ........................................................................... 4

2.2. Vremenski diskretni model sustava................................................................................. 7

3. SINTEZA REGULACIJSKOG SUSTAVA .......................................................................... 9

3.1. Optimum dvostrukog odnosa .......................................................................................... 9

3.2. Sinteza vremenski diskretnog regulatora stanja ............................................................ 11

3.3. Sinteza vremenski diskretnog estimatora stanja............................................................ 14

4. REZULTATI SIMULACIJA .............................................................................................. 18

4.1. Režim malih signala ...................................................................................................... 18

4.2. Režim velikih signala .................................................................................................... 20

5. ZAKLJUČAK ...................................................................................................................... 22

6. PRILOG ............................................................................................................................... 23

6.1. MATLAB skripte .......................................................................................................... 23

6.1.1. Prelazak s kontinuiranog na vremenski diskretni model procesa .......................... 23

6.1.2. Sinteza PI regulatora primjenom Ackermannove formule..................................... 24

6.1.3. Sinteza PI regulatora i estimatora stanja primjenom Ackermannove formule....... 26

6.2. Simulink modeli ............................................................................................................ 28

6.2.1. Model procesa ........................................................................................................ 28

6.2.2. Regulacijski krug s PI regulatorom varijabli stanja ............................................... 29

6.2.3. Regulacijski krug s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom varijabli stanja

punog reda ........................................................................................................................ 30

6.2.4. Model estimatora stanja punog reda....................................................................... 31

7. LITERATURA..................................................................................................................... 32


2

1. SAŽETAK

U ovom radu biti će opisano projektiranje PI regulatora varijabli stanja punog reda, tj.

regulatora stanja proširenog integrirajućim djelovanjem po signalu regulacijskog odstupanja,

elektromotornog pogona s elastičnom transmisijom, te prethodno realiziranim podređenim

regulacijskim krugom struje armature motora. Zbog pretpostavke da je uz struju armature

jedino dostupno mjerenje brzine vrtnje tereta, potrebno je realizirati estimator varijabli stanja

punog reda bez estimacije poremećajne veličine, tj. momenta tereta.

Podešavanje regulatora i estimatora varijabli stanja provedeno je primjenjujući

Ackermanovu formulu uz izbor karakterističnog polinoma prijenosne funkcije zatvorenog

kruga prema kriteriju optimuma dvostrukog odnosa za dva različita iznosa ekvivalentne

vremenske konstante regulacijskog kruga eT , dok je ekvivalentna vremenska konstanta

estimatora birana u rasponu 2/6/ eeeo TTT −= . Dobiveni regulator i estimator varijabli

stanja, čija je sinteza u potpunosti provedena u vremenski diskretnom području uz vrijeme

uzorkovanja msT 2= , simulacijama su ispitani u programskim paketima MATLAB i

SIMULINK, s obzirom na skokovitu promjenu referentne vrijednosti brzine vrtnje za režim

malih i velikih signala, skokovitu promjenu momenta tereta, te šum mjerenja brzine vrtnje

motora uz amplitudu šuma mjerenja i kvantizacije signala pozicije od ± 1 impulsa.

Parametri dvomasenog mehaničkog sustava s elastičnom transmisijom te

inkrementalnog davača kao senzora brzine dani su kako slijedi:

1=eiK , msTei 2= , ANmK m /2= , 221 02,0 kgmJJ ==

radNmc /150= , radNmsd /1,0= , okrimpN /2048=


3

2. DINAMIČKI MODEL SUSTAVA

Dinamički model sustava elektromotornog pogona koji se sastoji od mehaničkog

sustava s dvije koncentrirane zamašne mase i elastične veze, te već prethodno realiziranog

podređenog regulacijskog kruga struje armature moguće je prikazati slikom 1. Radi

jednostavnosti sustava, uvode se sljedeće pretpostavke:

• Ostvarena je brza regulacijska petlja struje elektromotora upravljanog frekvencijskim

pretvaračem

• Sve mase sustava su koncentrirane u rotirajućim masama na strani motora i tereta s

momentima inercije 1J i 2J

• Elementi prijenosnog mehanizma su bez mase i zračnosti te posjeduju elastičnost

određenu konstantama krutosti c i prigušenja d

• Sve promatrane veličine svedene su na osovinu motora

(a)

(b)

Slika 1. Elektromotorni pogon s elastičnim prijenosnim mehanizmom:

principijelna shema (a) i blokovski dijagram (b)

Dinamika elektromotora i frekvencijskog pretvarača može se pojednostavljeno opisati

prijenosnom funkcijom proporcionalnog člana prvog reda:

(2.1)

)(1)(

)()(sT

KsisisG

ei

ei

aR

aei +

==


4

Zbog postupka uzorkovanja te utjecaja ekstrapolatora nultog reda, ekvivalentnoj vremenskoj

konstanti motora potrebno je pridružiti dvije parazitske vremenske konstante od 2/T . Kako

je 1=eiK , dobivamo:

( ) sTsTTsG

ei ∑∑ +

=++

=1

11

1)( (2.2)

2.1. Vremenski kontinuirani model sustava

Linearan vremenski-invarijantan kontinuirani sustav (LTI sustav) moguće je prikazati

sljedećim blok-dijagramom:

Slika 2. Blok dijagram LTI sustava

Blok dijagram se može opisati matričnom formom kako prikazuju jednadžbe (2.3) i (2.4),

koje opisuju otvoreni sustav upravljanja.

)()()( ttt BuAxx +=& ( ) 00 xx = (2.3)

( ) ( ) ( )ttt DuCxy += (2.4)

…gdje je:

◊ ( )tx& - vektor derivacija stanja dimenzije 1×n

◊ ( )tx - vektor stanja dimenzije 1×n

◊ ( )tu - vektor ulaza dimenzije 1×m

◊ ( )ty - vektor izlaza dimenzije 1×p

◊ ( )tA - matrica koeficijenata dimenzije nn×

◊ ( )tB - matrica ulaza dimenzije mn ×

◊ ( )tC - matrica izlaza dimenzije np ×

◊ ( )tD - matrica prijenosa dimenzije mp ×

◊ n - broj varijabli stanja, m - broj ulaza, p - broj izlaza


5

Uz ai , 1ω , α∆ i 2ω kao varijable stanja sustava (Slika 1), dobivamo matematički model u

prostoru stanja:

aRei

a iTK

Ti

ΣΣ

+−=1& (2.5)

( )mmJ

−= 11

11ω& (2.6)

21 ωωα −=∆ & (2.7)

( )22

21 mmJ

−=ω& (2.8)

Ako u obzir uzmemo da je

( )21 ωωα −+∆= dcm (2.9)

amiKm =1 (2.10)

te uz zanemarenje djelovanja momenta tereta 2m koji predstavlja nemodelirani poremećaj,

dobivamo SISO sustav sa referencom struje ( aRi ) kao ulazom, te brzinom vrtnje na strani

tereta ( 2ω ) kao izlazom:

aRei

a iTK

Ti

ΣΣ

+−=1& (2.11)

221

111

1 ωαωωJd

Jc

Jd

JKm +∆−−=& (2.12)

21 ωωα −=∆ & (2.13)

222

12

2 ωαωωJd

Jc

Jd

−∆+=& (2.14)

Spomenuto zanemarenje ima smisla jer će u zatvorenom regulacijskom krugu regulator

kompenzirati utjecaj nemodeliranog momenta tereta 2m kao poremećajnu veličinu.


6

Dobiveni vremenski-kontinuirani model procesa može se zapisati u obliku sljedećih matričnih

jednadžbi:

{

aR

TeiK

a

Jd

Jc

Jd

Jd

Jc

Jd

JmK

Ta

i

ii

BxA

x

+

∆

−=

∆

Σ

−

−−

Σ−

000

01010

000

2

1

222

1111

1

2

1

321444 3444 21321

&

&

&

&

&&

ωα

ω

ωα

ω (2.15)

[ ]

321

4434421

x

C

∆=

2

12 1000

ωα

ωω

ai

(2.16)

Ako se u izraze (2.15) i (2.16) uvrste parametri sustava dani u prvom odlomku, dobivamo

sljedeće rezultate:

−−

−−−

=

57500501010

575005100000250

A ;

=

000

250

B ; [ ]1000=C (2.17)

MATLAB funkcijom eig.m dobivamo polove vremenski kontinuiranog modela sustava,

koji su ujedno i svojstvene vrijednosti matrice A

011 == λs

is 37.122522 +−== λ

is 37.122533 −−== λ

25044 −== λs

Dobiveni vremenski-kontinuirani model procesa potrebno je transformirati u ekvivalentni

vremenski-diskretni model.

(2.18)


7

2.2. Vremenski diskretni model sustava

Vremenski-invarijantan diskretni sustav moguće je prikazati sljedećim blok

dijagramom:

Slika 3. Blok dijagram vremenski diskretnog sustava

Blok dijagram vremenski diskretnog sustava prikazan na slici 3 moguće je opisati matričnim

izrazima (2.19) i (2.20):

( ) ( ) ( )kkk ΓuΦxx +=+1 (2.19)

( ) ( ) ( )kkk DuCxy += (2.20)

gdje su x(k) vektor stanja, y(k) vektor izlaza te u(k) vektor upravljanja. Matrice Φ i Γ ovisne

su o periodu uzorkovanja T, a dimenzije im odgovaraju dimenzijama matrica A i B.

Vrijednosti pojedinih parametara opisanog modela mogu se odrediti na sljedeći način:

( ) TeT AΦ = (2.21)

( ) ( )BIAΓ A −= − TeT 1 (2.22)

gdje je pretpostavljen ZOH na ulazu procesa. Rješenje izraza za sistemsku matricu ( )TΦ i

matricu ulaza ( )TΓ nije uvijek moguće pronaći u simboličkom obliku pa se one često

računaju numeričkim putem, npr. primjenom MATLAB funkcije expm.m, naredbe

[Phi,Gamma,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh') ili razvojem u Tylorov red

matrične eksponencijalne funkcije:

( ) ⋅⋅⋅+++=== ∑∞

= !3!2!

33

0

22 TTTnTeT

n

nnT AAAIAΦ A (2.23)


8

( ) ( ) TTTnTeT

n

nnT BAAIBIAABIAΓ A

⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅=

−

=−= ∑

∞

=

−−

!3!2!

22

0

11 (2.24)

Uspoređujući dobivene vrijednosti za sva tri slučaja, uz odabir vremenske konstante

uzorkovanja T=2ms, vidljivo je da prva dva postupka daju isto rješenje, a da bi primjena

Tylorovog reda odgovarala istom tom rezultatu, bilo je potrebno primijeniti aproksimaciju 7.

reda.

−−

=

9754.07029.140246.00017.00020.09703.00020.00002.0

0246.07029.149754.01557.00006065.0

Φ ;

⋅⋅

=

−

−

4

5

105932,2109309,2

0424,03935,0

Γ (2.25)

MATLAB funkcijom eig.m dobivamo polove vremenski diskretnog modela sustava, koji

su ujedno i svojstvene vrijednosti matrice Φ :

011 == λz

iz 2399,09605,022 +== λ

iz 2399,09605,033 −== λ

6065,044 == λz

(2.26)


9

3. SINTEZA REGULACIJSKOG SUSTAVA

U ovom poglavlju biti razrađen postupak sinteze regulacijskog sustava temeljen na

optimumu dvostrukog odnosa. Postupkom sinteze određuju se struktura i parametri

regulatora te estimatora varijabli stanja kojima se ostvaruje što kvalitetnije vladanje slijednog

sustava s obzirom na referentnu i poremećajnu veličinu.

3.1. Optimum dvostrukog odnosa

Cilj optimuma dvostrukog odnosa je pronalaženje analitičke veze između koeficijenata

karakterističnog polinoma linearnog regulacijskog sustava proizvoljnog reda, takve da sustav

ima optimalno prigušenje koje odgovara prigušenju 2/2=ζ oscilatorskog člana drugog

reda. Kao primjer za izvod biti će razmatran linearan, vremenski-invarijantan, zatvoreni

regulacijski SISO sustav. Opći oblik prijenosne funkcije takvog sustava opisan je izrazom

(3.1)

( ) ( )( ) ( ) 1

111

11

1 ++⋅⋅⋅++=== −

− sasasasAsysysG n

nn

nR

(3.1)

Struktura sustava opisanog prijenosnom funkcijom (3.1) može se prema slici 4 predočiti

blokovskom shemom s n kaskadno spregnutih integralnih članova. Koeficijenti prijenosne

funkcije (3.1) i uvedene vremenske konstante nTT ,...,1 međusobno su povezani općim izrazom

ij

i

ji TTTTa ⋅⋅⋅=∏=

=21

1; ni ,...,1= (3.2)

Slika 4. Blok shema kaskadne strukture linearnog regulacijskog sustava


10

Odnosom vremenskih konstanti susjednih integralnih članova definirani su bezdimenzionalni

karakteristični odnosi

21

2

1 −

−

−

==i

ii

i

ii a

aaTT

D ; ni ,...,2= (3.3)

Prijenosne funkcije otvorenog i zatvorenog kruga i-te kaskade poprimaju redom oblike:

( ) ( )11

1 +≈

+ sTsTsG

iioi ; 1,...,1 −= ni (3.4)

( ) ( )( )

( )( ) 1

11 2

1 ++≈

+==

+ sTsTTsGsG

sysysG

iiioi

oi

Rici (3.5)

Preuređenjem (3.6), uzimajući u obzir (3.3), te izjednačavanjem s najčešće korištenim

oblikom oscilacijskog člana 2. reda dobivamo

( )12

11

1

12222

1 ++=

++=

++ sTsTsTsTDsG

oiioiiiici ζ

(3.6)

odakle slijedi veza karakterističnog odnosa iD i relativnog koeficijenta prigušenja iζ :

241

iiD

ζ (3.7)

Kako je ranije spomenuto da je vrijednost koeficijenta prigušenja 2/2=iζ optimalno,

uvrštavanjem u (3.7) dobivamo da je

5.0=iD (3.8)

Vrijednost bezdimenzionalnog člana dana sa (3.8) daje kvaziperiodski oblik prijelazne

funkcije oscilacijskog člana.


11

Karakteristični polinom ( )sA sustava (3.1) može se primjenom (3.3) zapisati u obliku

( ) =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −−−− 11

212

112111 sTsTTsTTTsTTTsA n

nnn

nn

1222

1122

221

12

21 +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −−−

−−−

− sTsTDsTDDDsTDDD eenn

en

nnnn

en

nn

pri čemu eT označava vremensku konstantu sustava.

3.2. Sinteza vremenski diskretnog regulatora stanja

U ovom će poglavlju biti prikazano projektiranje regulatora stanja. Podešavanje

parametara regulatora provest će se postupkom izravnog podešavanja položaja polova

zatvorenog regulacijskog kruga primjenom Ackermannove formule uz izbor karakterističnog

polinoma prijenosne funkcije zatvorenog kruga primjenom optimuma dvostrukog odnosa.

Razmatrat će se linearni, vremenski-invarijantan, diskretni sustav čija je dinamika

zadana u obliku sljedeće matrične diferencijalne jednadžbe:

( ) ( ) ( )kkk ΓuΦxx +=+1 (3.10)

Ako je vektor stanja u potpunosti mjerljiv, tada je moguće zatvoriti regulacijsku petlju po

vektoru stanja, tako da dobivamo izraz za upravljački signal, tj. izlaz regulatora stanja kako

slijedi:

( ) ( ) ( )kkku wKx +−= (3.11)

gdje je K matrica konstantnih pojačanja a w(k) referentni vektor vođenja. Kombiniranjem

jednadžbi (3.10) i (3.11) dobivamo

( ) [ ] ( ) ( )kkk ΓwxΓKΦx +−=+1 (3.12)

Sinteza regulatora metodom podešavanja polova svodi se na određivanje matrice pojačanja K,

tako da bude zadovoljen izraz (3.13).

( ) [ ] ( )i

n

izzzd λ−∏=+−=

=1det ΓKΦI (3.13)

(3.9)


12

U jednadžbi (3.13) iλ predstavljaju željene korijene sustava. Da bi dobili asimptotski stabilan

sustav, svojstvene vrijednosti se biraju takve da je zadovoljeno:

,1<iλ ni ,...,1= (3.14)

Regulator stanja definiran matricom K je proporcionalnog tipa. Njegov najveći nedostatak je

taj da sustav mora biti astatičan, te da ne smiju postojati nemodelirani poremećaji, ako želimo

osigurati statičku točnost. Da bi se odstranilo trajno regulacijsko odstupanje u stacionarnom

režimu rada, regulatoru se dodaje integrirajuće djelovanje. Slika 5. prikazuje sustav sa PI

regulatorom stanja elektromotornog pogona s elastičnom transmisijom.

Slika 5. Blok dijagram regulacijskog SISO sustava S PI regulatorom varijabli stanja

Iz blokovskog dijagrama na slici 5 slijedi da je:

( ) ( ) ( )kkk R 22 ωωε −= (3.15)

( ) ( )kk Cx=2ω (3.16)

( ) ( )kuku II ε+=+1 (3.17)

Te konačno uvrštavanjem jednadžbi (3.15) i (3.16) u (3.17) dobivamo:

( ) ( ) ( ) ( )kkkuku RII Cx−+=+ 21 ω (3.18)

Varijabla stanja Iu predstavlja numeričko integriranje signala regulacijske pogreške ( )kε .

Ova varijabla stanja se kaskadira izvornom modelu procesa te se time dobije prošireni model

procesa u prostoru stanja, gdje je 0, nul matrica/vektor:


13

( )( )

( ) ( )

( )( )( )

{

( ) ( )kkukuk

kuk

R

k

I

k

I

IIkII

2

1

10111

ω

+

+

−

=

++

+

0ΓxC

0Φx

ΓxΦx3214342143421

(3.19)

Upravljački signal, tj. izlaz regulatora stanja u tada glasi:

( ) ( ) [ ] ( )( )

−−=+−=

kuk

KuKkkuI

III

PI

xKKx

K43421

(3.20)

Za modificirani sustav regulacije, pojačanja po varijablama stanja i pojačavanje integrirajućeg

elementa dobiju se na sljedeći način:

[ ] [ ][ ] ( )In

IIIIIIPI pK ΦΦΓΦΓΓKK11100

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−= (3.21)

gdje je:

( ) nInIII aaaap ΦΦΦIΦ +⋅⋅⋅+++= 2

210 (3.22)

Izraz (3.21) naziva se Ackermannova formula za sustav n-tog reda. Kako je opisani sustav 5.

reda, možemo zapisati da je:

[ ][ ] ( )IIIIIIIIIIPI p ΦΦΓΦΓΦΓΦΓΓK 143210000 −= (3.23)

( ) 55

44

33

2210 IIIIII aaaaaap ΦΦΦΦΦIΦ +++++= (3.24)

Vrijednosti matrica IΦ i IΓ iz izraza (3.23) dobivene koristeći MATLAB su sljedeće:

−

−−

=

000.1000.100009754.07029.140246.00017.000020.09703.00020.00002.000246.07029.149754.01557.000006065.0

IΦ ;

=

00003.00000.00424.03935.0

IΓ (3.25)


14

Koeficijente polinoma (3.24) 50 ,...,aa dobivamo optimumom dvostrukog odnosa. Kako je

karakteristični polinom A(s) u kontinuiranom području, koristeći MATLAB funkciju c2dm.m

prebačen je u diskretno uz vrijeme uzorkovanja T=2ms i vremensku konstantu msTe 30= .

Dobivena matrica pojačanja primjenom Ackermannove formule tada je:

[ ]3042.03342.10215.2900106.40002.1 −=PIK (3.26)

Važno je napomenuti da MATLAB funkcija acker.m nije numerički pouzdana za visoke

redove procesa, tj. regulacijskog sustava. U tom se slučaju može koristiti funkcija pole.m.

Polovi proširenog regulacijskog kruga , koji su ujedno i svojstvene vrijednosti matrice

PIIIr KΓΦΦ −= , dobiveni su kako slijedi:

i2523.06969.01 +=λ

i2523.06969.02 −=λ

7659.03 =λ (3.26)

i1060.08978.04 +=λ

i1060.08978.05 −=λ

3.3. Sinteza vremenski diskretnog estimatora stanja

Estimator stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju objekta upravljanja proširenu

povratnom vezom po izlazima. Njihova primjena vrlo je važna sa stanovišta regulacije zbog

toga što u većini slučajeva varijable stanja nisu mjerljive. Da bi se estimator mogao koristiti,

potrebno je poznavanje svih parametara procesa. Njegov dinamički model prikazan na slici 6.,

bez uključenja dinamike regulacijskog kruga estimatora (K), može se matrično izraziti na

sljedeći način:

( ) ( ) ( ) ( )kkukk e ε∆++=+ KΓxΦx ˆ1ˆ (3.27)

gdje je…

( ) ( ) ( )kykyk ˆ−=∆ε (3.28)


15

Slika 6. Regulacijski SISO sustav s regulatorom varijabli stanja i estimatorom

Izraz za dinamičko vladanje estimatora dobivamo uvrštavajući ( ) ( )kky Cx= u jednadžbu

(3.27), pa je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkukk ee CxkΓxCKΦx ++−=+ ˆ1ˆ (3.29)

Da bi dobili izraz za dinamiku pogreške estimacije, koja pokazuje koji su uvjeti za točno

slijeđenje izlazne veličine, potrebno je usporediti stvarno i željeno ponašanje sustava:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkukkxkk e xCKΦΓΦxxx ˆ1ˆ11~ −−+=+−+=+ (3.30)

Iz toga slijedi da je:

( ) ( ) ( )kk e xCKΦx ~1~ −=+ (3.31)

Jednadžba (3.31) pokazuje da pogreška estimacije mora težiti k nuli ako su moduli

svojstvenih vrijednosti matrice CKΦ e− manji od jedan, jednako kao i pri projektiranju

regulatora stanja. To je uvjet za stabilno ponašanje estimatora.


16

Postoji još jedno dobro svojstvo regulacijskog sustava s regulatorom varijabli stanja i

estimatorom. Naime, sinteza estimatora se može provesti potpuno neovisno od sinteze

regulacijskog kruga, zahvaljujući svojstvu separabilnosti. Promatrajući sliku 6 u potpunosti,

možemo zapisati:

( )( )

( )( )

−−

−=

++

kk

kk

ee xx

CKΓKΦCKΓKΦ

xx

ˆ1ˆ1

(3.32)

te supstitucijom dinamike pogreške estimacije dobivamo:

( )( )

−

−=

++

CKΦΓKΓKΦ

xx

ekk

01~1

(3.33)

( ) ( )[ ] ( )[ ]CKΦIΓKΦICKΓKΦCK

ΓKΦI

Ie

ee

zzz

zzd −−⋅−−=

−−

−−

= detdet

00

det (3.34)

Uspoređujući izraze (3.13) i (3.34) jasno je vidljivo svojstvo separabilnosti. Važno je

spomenuti da se dinamika estimatora obično izabire da bude dva do šest puta brža od željene

dinamike zatvorenog kruga s regulatorom stanja, ovisno o zahtjevima na potiskivanje šuma.

Na slici 7. dan je blok dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli

stanja i estimatorom punog reda. Projektiranje estimatora, koji je kako je već prije navedeno

egzaktna kopija objekta upravljanja, izvršava se na sličan način kao i projektiranje regulatora

stanja.

Slika 7. Regulacijski SISO sustav s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom punog reda


17

Pri traženju karakterističnog polinoma optimumom dvostrukog odnosa, treba voditi računa o

tome da integrator nije dio procesa. Nakon pronađenog karakterističnog polinoma estimatora

MATLAB funkcijom c2dm.m uz vremensku konstantu estimatora msTee 10= , te koristeći

naredbu Ke=acker(Phi.',Cd.',Pe).', dobivamo pojačanje estimatora:

[ ]0580.10269.01223.29425.1=eK (3.35)

Svojstvene vrijednosti matrice CKΦ e− dobivene su kako slijedi:

i2610.06174.01 +=λ

i2610.06174.02 −=λ

i2610.06174.03 +=λ

i2610.06174.04 −=λ

(3.36)


18

4. REZULTATI SIMULACIJA

U ovom će odlomku biti prikazani rezultati projektiranih regulacijskih krugova. Najprije

će se prikazati dinamika projektiranog PI regulatora varijabli stanja elektromotornog pogona s

elastičnom transmisijom za režim malih i velikih signala, a nakon toga prošireni model sa

projektiranim estimatorom stanja punog reda. Skokovita promjena referentne vrijednosti

brzine vrtnje u režimu malih signala poprimat će vrijednost 1min100 − , a za režim velikih

signala 1min800 − . Također, vremenske konstante regulacijskog kruga poprimat će u oba

slučaja dvije vrijednosti, msTe 40= i msTe 60= . Ekvivalentna vremenska konstanta

estimatora je određena sa msTee 10= te se neće mijenjati. Modeli su ispitani s obzirom na

udarno opterećenje, uz šum mjerenja pozicije od ± 1 impuls.

4.1. Režim malih signala

Slika 8. Usporedni odziv brzina vrtnje, momenta tereta, struje armature te kuta uvijanja

osovine modela sa PI regulatorom varijabli stanja u režimu malih signala


19


osovine modela sa PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom stanja u režimu malih

signala

Iz slika 8. i 9. vidljivo je da moguće izbjeći mjerenje brzine vrtnje na strani tereta.

Naravno, potreban je oprez pri biranju vremenske konstante estimatora. To najbolje pokazuje

slika 9. Ako želimo brži odziv regulacijskog kruga s estimatorom, riskiramo pojavu šuma, i

obrnuto. Odabir vremenske konstante regulatora od 40ms, davat će veliki šum, a ako se

odabere ispod 20ms (za vremensku konstantu estimatora od 10ms), signal će biti

neupotrebljiv.


20

4.2. Režim velikih signala


osovine modela sa PI regulatorom varijabli stanja u režimu velikih signala


21


osovine modela sa PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom stanja u režimu malih

signala

Kao što je i očekivano, jednako dobar odziv regulacijskog kruga sa estimatorom stanja

dobiva se i pri režimu velikih signala. Ovdje je praćenje referentnog signala još i bolje.

Najbolje se to može vidjeti uspoređujući odzive brzina vrtnje.


22

5. ZAKLJUČAK

Projektirani regulacijski SISO sustav s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom

stanja punog reda, polučio je vrlo dobrim rezultatima u slučaju kada je jedino dostupno

mjerenje brzine vrtnje tereta, pri elektromotornom pogonu s elastičnom transmisijom.

Ackermannova formula pokazala se dobrom metodom pri izračunavanju pojačanja regulatora

i estimatora, s time da je trebalo voditi računa o redu procesa, jer metoda nije numerički

pouzdana za visoke redove regulacijskih sustava.

Primjenom estimatora varijabli stanja moguće je izbjeći mjerenje svih varijabli stanja,

odnosno za regulacijske svrhe mogu se koristiti samo one procesne varijable koje se

standardno mjere. Također, pokazalo se da nema nepovoljnog utjecaja na stabilnost

regulacijskog sustava, odnosno prigušenje odziva, što je vrlo dobra osobina principa

separabilnosti. Do izražaja je došao i odabir vremenske konstante estimatora. Pokazuje se da

se za razmjerno brzi odziv unosi relativno malo kašnjenje u odziv varijabli stanja u usporedbi

sa slučajem kada se regulator stanja zasniva na mjerenju svih varijabli.

Regulacija zasnovana na prikazanom estimatoru je statički točna zbog primjene

regulatora stanja proširenog integrirajućim djelovanjem.


23

6. PRILOG

6.1. MATLAB skripte

6.1.1. Prelazak s kontinuiranog na vremenski diskretni model procesa

close all clear all clc %parametri objekta upravljanja Kei=1; Tei=2e-3; Km=2; J1=0.02; J2=J1; c=150; d=0.1; %vrijeme uzorkovanja T=2e-3; Tsig=Tei+T; %kontinuirani proces u prostoru stanja A=[-1/Tsig 0 0 0;Km/J1 -d/J1 -c/J1 d/J1;0 1 0 -1;0 d/J2 c/J2 -d/J2]; B=[Kei/Tsig;0;0;0]; C=[0 0 0 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %diskretizacija primjenom funkcije c2dm() [Phi Gamma Cd Dd]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh'); I=eye(4,4); Phi_Ty1=I+A.*T; Phi_Ty2=I+A.*T+((A^2*T^2)/factorial(2)); Phi_Ty7=I+A.*T+((A^2*T^2)/factorial(2))+((A^3*T^3)/factorial(3))+... ((A^4*T^4)/factorial(4))+((A^5*T^5)/factorial(5))+((A^6*T^6)/... factorial(6))+((A^7*T^7)/factorial(7)); phi_expm= expm(T*A); Gamma_Ty1=(I+((A*T)/2))*B.*T; Gamma_Ty2=(I+((A*T)/2)+((A^2*T^2)/(1*2*3)))*B.*T; Gamma_Ty7=(I+((A*T)/2)+((A^2*T^2)/(1*2*3))+((A^3*T^3)/(1*2*3*4))+... ((A^4*T^4)/(1*2*3*4*5))+((A^5*T^5)/(1*2*3*4*5*6))+((A^6*T^6)/... (1*2*3*4*5*6*7))+((A^7*T^7)/(1*2*3*4*5*6*7*8)))*B.*T;


24

6.1.2. Sinteza PI regulatora primjenom Ackermannove formule

% close all % clear all % clc %parametri objekta upravljanja Kei=1; Tei=2e-3; Km=2; J1=0.02; J2=J1; c=150; d=0.1; %vrijeme uzorkovanja T=2e-3; Tsig=Tei+T; %parametri simulacije w0=800*pi/30; Mt=5; N=2048; var_noise=0.01; iaR_limit=10; %kontinuirani proces u prostoru stanja A=[-1/Tsig 0 0 0;Km/J1 -d/J1 -c/J1 d/J1;0 1 0 -1;0 d/J2 c/J2 -d/J2]; B=[Kei/Tsig;0;0;0]; C=[0 0 0 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %diskretizacija primjenom funkcije c2dm() [Phi Gamma Cd Dd]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh'); %regulacijski sustav Phi_I=[Phi zeros(length(Phi),1); -Cd 1]; Gamma_I=[Gamma;0]; %Te=40ms Te=40e-3; %dinamika zatvorenog kruga prema ODO D2=0.5; D3=0.5; D4=0.5; D5=0.5; num=1; den=[D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 ... D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1]; [numd,dend]=c2dm(num,den,T,'zoh'); %koeficijenti karakteristicnog polinoma a_0=dend(6); a_1=dend(5); a_2=dend(4); a_3=dend(3); a_4=dend(2); a_5=dend(1); %karakteristicni polinom po matrici Phi_I p=a_0*eye(5)+a_1*Phi_I+a_2*Phi_I^2+a_3*Phi_I^3+a_4*Phi_I^4+a_5*Phi_I^5; %matrica upravljivosti W=ctrb(Phi_I,Gamma_I); %Ackermannova formula K_PI=[0 0 0 0 1]*inv(W)*p; Phi_r=Phi_I-Gamma_I*K_PI; eig(Phi_r);


25

%zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava P=roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) Ka=acker(Phi_I,Gamma_I,P); eig(Phi_I-Gamma_I*Ka); %simulacija sim('PI_reg_st') figure(1); subplot(321); plot(t,nR,'--',t,n1,'r','LineWidth',2); legend('Referenca','T_e = 40 ms',' T_e = 60 ms'); ylabel('n_1 [min^{-1}]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(323); plot(t,n2,'r',t,nR,'--','LineWidth',2); ylabel('n_2 [min^{-1}]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(322); plot(t,mt,'--',t,m,'r','LineWidth',2); ylabel('m_2, m [Nm]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(324); plot(t,ia,'r','LineWidth',2); ylabel('i_a [A]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(326); plot(t,dalpha,'r','LineWidth',2); ylabel('\Delta\alpha [°]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on %Te=60ms Te=60e-3; %dinamika zatvorenog kruga prema ODO D2=0.5; D3=0.5; D4=0.5; D5=0.5; num=1; den=[D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 ... D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1]; [numd,dend]=c2dm(num,den,T,'zoh'); %koeficijenti karakteristicnog polinoma a_0=dend(6); a_1=dend(5); a_2=dend(4); a_3=dend(3); a_4=dend(2); a_5=dend(1); %karakteristicni polinom po matrici Phi_I p=a_0*eye(5)+a_1*Phi_I+a_2*Phi_I^2+a_3*Phi_I^3+a_4*Phi_I^4+a_5*Phi_I^5; %matrica upravljivosti W=ctrb(Phi_I,Gamma_I); %Ackermannova formula K_PI=[0 0 0 0 1]*inv(W)*p; Phi_r=Phi_I-Gamma_I*K_PI; eig(Phi_r); %zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava P=roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) Ka=acker(Phi_I,Gamma_I,P); eig(Phi_I-Gamma_I*Ka); %simulacija sim('PI_reg_st') figure(1); subplot(321); plot(t,n1,'k','LineWidth',2); hold on subplot(323); plot(t,n2,'k','LineWidth',2); hold on subplot(322); plot(t,m,'k','LineWidth',2); hold on


26

subplot(324); plot(t,ia,'k','LineWidth',2); hold on subplot(326); plot(t,dalpha,'k','LineWidth',2); hold on

6.1.3. Sinteza PI regulatora i estimatora stanja primjenom Ackermannove

formule

% close all % clear all % clc %parametri objekta upravljanja Kei=1; Tei=2e-3; Km=2; J1=0.02; J2=0.02; c=150; d=0.1; %vrijeme uzorkovanja T=2e-3; Tsig=Tei+T; %parametri simulacije w0=800*pi/30; Mt=5; N=2048; var_noise=0.01; iaR_limit=10; %kontinuirani proces u prostoru stanja A=[-1/Tsig 0 0 0;Km/J1 -d/J1 -c/J1 d/J1;0 1 0 -1;0 d/J2 c/J2 -d/J2]; B=[Kei/Tsig;0;0;0]; C=[0 0 0 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %diskretizacija primjenom funkcije c2dm() [Phi Gamma Cd Dd]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh'); %regulacijski sustav Phi_I=[Phi zeros(length(Phi),1); -Cd 1]; Gamma_I=[Gamma;0]; Cd_I=[Cd 0]; %dinamika zatvorenog kruga prema ODO D2=0.5; D3=0.5; D4=0.5; D5=0.5; %PI regulator stanja Te=40ms Te=40e-3; num=1; den=[D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1]; [numd,dend]=c2dm(num,den,T,'zoh'); %zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava P_I=roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) K_PI=acker(Phi_I,Gamma_I,P_I); eig(Phi_I-Gamma_I*K_PI); %estimator stanja Tee=10e-3; nume=1; dene=[D4*D3^2*D2^3*Tee^4 D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1]; [numed,dened]=c2dm(nume,dene,T,'zoh'); %zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava


27

Pe=roots(dened); %Ackermannova formula (matlab) Ke=acker(Phi.',Cd.',Pe).'; eig(Phi-Ke*Cd); %zapocni simulaciju sim('PI_reg_estimator'); figure(1); subplot(321); plot(t,nR,'--',t,n1,'r','LineWidth',2); legend('Referenca','T_e = 40 ms, T_e_e = 10 ms','T_e = 60 ms, T_e_e = 10 ms'); ylabel('n_1 [min^{-1}]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(323); plot(t,n2,'r',t,nR,'--','LineWidth',2); ylabel('n_2 [min^{-1}]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(322); plot(t,mt,'--',t,m,'r','LineWidth',2); ylabel('m_2, m [Nm]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(324); plot(t,ia,'r','LineWidth',2); ylabel('i_a [A]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on subplot(326); plot(t,dalpha,'r','LineWidth',2); ylabel('\Delta\alpha [°]'); xlabel('t [s]'); grid on; hold on %PI regulator stanja Te=60ms Te=60e-3; num=1; den=[D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1]; [numd,dend]=c2dm(num,den,T,'zoh'); %zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava P_I=roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) K_PI=acker(Phi_I,Gamma_I,P_I); eig(Phi_I-Gamma_I*K_PI); %estimator stanja Tee=10e-3; nume=1; dene=[D4*D3^2*D2^3*Tee^4 D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1]; [numed,dened]=c2dm(nume,dene,T,'zoh'); %zeljeni polovi zatvorenog regulacijskog sustava Pe=roots(dened); %Ackermannova formula (matlab) Ke=acker(Phi.',Cd.',Pe).'; eig(Phi-Ke*Cd); %zapocni simulaciju sim('PI_reg_estimator'); figure(1); subplot(321); plot(t,n1,'g','LineWidth',2); hold on subplot(323); plot(t,n2,'g','LineWidth',2); hold on subplot(322); plot(t,m,'g','LineWidth',2); hold on subplot(324); plot(t,ia,'g','LineWidth',2); hold on subplot(326); plot(t,dalpha,'g','LineWidth',2); hold on


28

6.2. Simulink modeli

6.2.1. Model procesa


29

6.2.2. Regulacijski krug s PI regulatorom varijabli stanja


30

6.2.3. Regulacijski krug s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom varijabli

stanja punog reda


31

6.2.4. Model estimatora stanja punog reda


32

7. LITERATURA

[1] J. Deur, Kompenzacija učinka elastičnosti i trenja u prijenosnim mehanizmima

slijednih sustava, Doktorska disertacija, Fakultet elektrotehnike i računarstva,

Sveučilište u Zagrebu, 1999.

[2] B. Novaković, Regulacijski sistemi, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb, 1985.

[3] D. Pavković, Procjena varijabli stanja automobilskog pogona s primjenama u

regulaciji, Doktorski rad, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu,

2007.

[4] G. F. Franklin, J. D. Poewell, and M. L. Workman, Digital Control of Dynamic

Systems, Addison-Wesley Longman Inc., Menelo Park, 1997.

[5] Bilješke s predavanja i vježbi

Documents

Sinteza PI regulatora i estimatora varijabli stanja ...titan.fsb.hr/~bskugor/NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE/NDU AUDITORNE... · Zavod za robotiku i automatizaciju proizvodnih