Sintesis Del Cuarto Periodo Academico

7/27/2019 Sintesis Del Cuarto Periodo Academico

1/49


2/49

POLIGONOS

Un polgono es una figura plana con lados rectos.

Los polgonos son formas bidimensionales. Estn hechos con lneas rectas, y

su forma es "cerrada" (todas las lneas estn conectadas).

Polgono(lados rectos)

No es un polgono(tiene una curva)

No es un polgono(abierto, no cerrado)

CLASES DE PLIGONOS

Nombre Lados Forma ngulo interiorTringulo (o t rgono) 3 60

Cuadriltero (o tet rgono) 4 90

Pentgono 5 108

Hexgono 6 120

Heptgono (o Sep tgon o) 7 128.571

Octgono 8 135

Nongono (or enego no) 9 140

Decgono 10 144

Endecgono (or u nd ecgo no ) 11 147.273

Dodecgono 12 150

TRINGULOS

Un tringulo tiene tres lados y tres ngulos. Los tres ngulos siempre suman180.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/plano.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/plano.html


3/49

CLASIFICACION DE TRIANGULOS

Segn la medida de sus lados:

:

Tringulo equiltero

Tres lados igualesTres ngulos iguales, todos 60

Tringulo issceles

Dos lados igualesDos ngulos iguales

Tringulo escaleno

No hay lados igualesNo hay ngulos iguales

Segn la medida de sus ngulos:Tringulo acutngulo

Todos los ngulos miden menos de 90

Tringulo rectngulo

Tiene un ngulo recto (90)

Tringulo obtusngulo

Tiene un ngulo mayor que 90

LINEAS NOTABLES EN UN TRIANGULO

Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vrtice allado opuesto.

El ortocentro (O) de un tringulo es el punto en el que se cortan las rectas que

contienen las tres alturas.


4/49

Bisectriz: Es la recta que parte de un vrtice y que divide al ngulointerior en dos ngulos iguales.

El incentro (I) de un tringulo es el punto en el que se cortan sus tresbisectrices.El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

Mediana: Es la recta (AM) que une el vrtice con el punto medio del ladoopuesto.

El baricentro (B) de un tringulo es el punto en el que se cortan las tresmedianas.

Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde supunto medio M.

El circuncentro (C) de un tringulo es el punto en el que se cortan sus tresmediatrices.El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.


5/49

REPRESENTACION DE POLIGONOS EN EL PLANO CARTESIANO

Para representar un polgono en el plano cartesiano, se ubica cada uno de losvrtices y luego, se trazan los segmentos entre ellos.

TRANSFORMACIONES RIGIDAS EN EL PLANO

Traslacin: Es una transformacin que consiste en desplazar una figuraa lo largo de una lnea recta.

Rotacin: es una transformacin que consiste en girar una figuraalrededor de un punto.

Reflexin: Es una transformacin que consiste en dar media vuelta a

una figura teniendo en cuenta una recta llamada recta de reflexin.

RECOLECCION DE DATOS

La poblacin: conjunto de sujetos sobre el que el estudio quiere saber algo.Una muestra: es un subconjunto de la poblacin sobre el que el estudio tomadatos.

TIPOS DE VARIABLES

Cualitativas: Son aquellos que se pueden medir.Ejemplos:

Nmero de hermanos: pueden ser 1, 2, 3 , pero nunca podr ser 3,45.Nmero de hijos


6/49

Nmero de empleados de una fbrica.Nmero de goles marcados por un equipo de futbol en la liga.

Cuantitativas: No se pueden medir numricamente.

Ejemplos:Color de los ojos.Bondad de una persona.Profesin de una persona.

TABLAS DE FRECUENCIAS

La distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin enforma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuenciacorrespondiente.

Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que aparece un

determinado valor en un estudio estadstico. Se representa por. Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta de un

determinado valor y el nmero total de datos. Se representa por.Lasuma de las frecuencias relativas es igual a 1.

, n es el nmero total de datos. Porcentaje: Se obtiene de multiplicar el valor de la frecuencia relativa

multiplicada por cien.

Ejemplo:Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientestemperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29,30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

Temperaturas 27 1 0.032 3.228 2 0.065 6.529 6 0.194 19.4

30 7 0.226 22.631 8 0.258 25.832 3 0.097 9.733 3 0.097 9.734 1 0.032 3.2total 31 1 100

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

Un grfico que usa columnas verticales para mostrar frecuencias (cuntas

veces ocurre cada puntaje).


7/49

No debera haber espacios entre las barras.

Ejemplo:

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

El diagrama "tallo y hojas" (Stem-and-Leaf Diagram) permite obtenersimultneamente una distribucin de frecuencias de la variable y surepresentacin grfica. Para construirlo basta separar en cada dato el ltimodgito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (queformar el tallo).

Esta representacin de los datos es semejante a la de un histograma peroadems de ser fciles de elaborar, presentan ms informacin que estos.

Ejemplo:Supongamos que los siguientes datos representan la edad de 20 personas.

36 25 37 24 39 20 36 45 31 3139 24 29 23 41 40 33 24 34 40

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media: se obtiene sumando todos los datos y dividiendo el resultadoentre la cantidad de valores. Se representa como.

Mediana: Es el valor que divide a un conjunto de datos en dos partesiguales.

Clculo:


8/49

1. Ordenar los datos de menor a mayor o viceversa.2. Si el n de datos es impar: la mediana es el valor central.3. Si el n de datos es par: la mediana es media aritmtica de los 2 puntos

centrales. Moda: Es el valor ms frecuente en la distribucin de datos. La moda

puede no existir y cuando existe puede no ser nica

ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar el experimento.

PROBABILIDAD

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posiblesresultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.

Ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuandolanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos undado.

Clculo de probabilidades:

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente frmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Ejemplo:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %


9/49


10/49

PERMETRO DE POLGONOS REGULARES E IRREGULARES

El permetro de un polgono es la suma de las longitudes de todos sus lados,es decir, su contorno.

Para obtener rpidamente el permetro de una figura cuyos lados tienen lasmismas dimensiones, se multiplica la medida por el nmero de sus lados. Porejemplo, si cada una de las paredes de una habitacin mide 3.5 metros, semultiplica esta cantidad por 4, lo que da como resultado 14, es decir, lahabitacin tiene un permetro de 14 metros.

Ejemplo:

En caso de que los lados de la figura sean diferentes, bastar con sumar suslados.

Ejemplo:

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

RECOLECCION DE DATOS


11/49

La poblacin: conjunto de sujetos sobre el que el estudio quiere saberalgo.

Una muestra: es un subconjunto de la poblacin sobre el que el estudiotoma datos.

TIPOS DE VARIABLES

Cualitativas: Son aquellos que se pueden medir.

Ejemplos:

Nmero de hermanos: pueden ser 1, 2, 3 , pero nunca podr ser 3,45.Nmero de hijosNmero de empleados de una fbrica.Nmero de goles marcados por un equipo de futbol en la liga.

Cuantitativas: No se pueden medir numricamente.

Ejemplos:

Color de los ojos.Bondad de una persona.Profesin de una persona.

TABLAS DE FRECUENCIAS

La distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin enforma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuenciacorrespondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que aparece undeterminado valor en un estudio estadstico. Se representa por.

Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta de undeterminado valor y el nmero total de datos. Se representa por.Lasuma de las frecuencias relativas es igual a 1. , n es el nmero total de datos.

Porcentaje: Se obtiene de multiplicar el valor de la frecuencia relativamultiplicada por cien.

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientestemperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29,

30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.


12/49

Temperaturas 27 1 0.032 3.228 2 0.065 6.529 6 0.194 19.430 7 0.226 22.6

31 8 0.258 25.832 3 0.097 9.733 3 0.097 9.734 1 0.032 3.2total 31 1 100

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

Un grfico que usa columnas verticales para mostrar frecuencias (cuntasveces ocurre cada puntaje).

No debera haber espacios entre las barras.

Ejemplo:

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

El diagrama "tallo y hojas" (Stem-and-Leaf Diagram) permite obtenersimultneamente una distribucin de frecuencias de la variable y surepresentacin grfica. Para construirlo basta separar en cada dato el ltimodgito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (queformar el tallo).

Esta representacin de los datos es semejante a la de un histograma peroadems de ser fciles de elaborar, presentan ms informacin que estos.

Ejemplo:Supongamos que los siguientes datos representan la edad de 20 personas.

36 25 37 24 39 20 36 45 31 31


13/49

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

TABLAS DE CONTINGENCIA

La tabla de contingencia es una tabla de doble entrada, donde en cada casillafigurar el nmero de casos o individuos que poseen un nivel de uno de losfactores o caractersticas analizadas y otro nivel del otro factor analizado.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media: se obtiene sumando todos los datos y dividiendo el resultadoentre la cantidad de valores. Se representa como.

Mediana: Es el valor que divide a un conjunto de datos en dos partes

iguales.

Clculo:4. Ordenar los datos de menor a mayor o viceversa.5. Si el n de datos es impar: la mediana es el valor central.6. Si el n de datos es par: la mediana es media aritmtica de los 2 puntos

centrales. Moda: Es el valor ms frecuente en la distribucin de datos. La moda

puede no existir y cuando existe puede no ser nica

ESPACIO MUESTRAL


14/49

Es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar el experimento.

PROBABILIDAD

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles

resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.Ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuandolanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos undado.

Clculo de probabilidades:

Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente frmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Ejemplo:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %


15/49


16/49

INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad en la que aparece una incgnita. Si elgrado de la inecuacin es uno, se dice que la inecuacin es lineal.Nota: Una desigualdad es donde involucramos smbolos como los siguientes:

Resolver una inecuacin es encontrar los valores de la incgnita para loscuales se cumple la desigualdad. La solucin de una inecuacin es, por logeneral, un intervalo o una unin de intervalos de nmeros reales.Si la solucin incluye algn extremo del intervalo, en la grfica representamosdicho extremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin no incluye elextremo, lo representamos mediante un crculo blanco (transparente).

Ejemplo:

Solucin: ( )SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2

Son sistemas de agrupacin de 2 ecuaciones de primer grado con dosincgnitas.

Se llama solucin de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de x e y que

sea solucin de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo desistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de lasecuaciones del sistema.

METODOS DE SOLUCION

Se encuentra el mtodo por sustitucin, igualacin, reduccin y un mtodogrfico.

MTODO POR SUSTITUCIN:

1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.


17/49

2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin,obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3. Se resuelve la ecuacin.4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca laincgnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

Despejamos la en la primera ecuacin:

Sustituimos esta expresin de la en la segunda ecuacin:

Resolvemos la ecuacin resultante:

Sustituimos el valor en :

As, la solucin del sistema es:

MTODO POR IGUALACIN:

1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin conuna incgnita.

3. Se resuelve la ecuacin.


18/49

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresionesen las que apareca despejada la otra incgnita.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

x + 2y = 32x - y = 1Se despeja la misma incgnita en las dos ecuaciones, en este caso voy adespejar la x:x = 3 - 2yx = (1 + y)/2Y ahora se igualan (de ah viene el nombre del mtodo):3 - 2y = (1 + y)/22(3 - 2y) = 1 + y6 - 4y = 1 + y

- 4y - y = 1 - 6-5y = -5y = -5/-5 = 1Ahora se sustituye la y en una de las dos ecuaciones donde est despejada lax:x = 3 - 21 = 3 - 2 = 1La solucin es:(1,1)

MTODO POR REDUCCIN:

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmerosque convenga.2. La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3. Se resuelve la ecuacin resultante.4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones inciales y seresuelve.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema

Ejemplo:2x + y = 5

x + 3y = 5Si eligiera la x :1 . ( 2x + y = 5 )2 . ( x + 3y = 5 )

multiplicas las dos ecuaciones de esta forma la incgnita elegida te quedamultiplicada por el mismo nmero.2x + y = 52x + 6y = 10Ahora segn el signo que tengas sumas o restas, la idea es que se anulen: eneste caso debemos restar una ecuacin de la otra.

2x + y = 52x + 6y = 10


19/49

------------------0x - 5y = -5as qued una ecuacin con una sola incgnita, despejando la y ya tenes elvalor de ella-5y = -5

y = -5 / -5y= 1

MTODO GRFICO:

El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante elmtodo grfico se resume en las siguientes fases:Se despeja la incgnita y en ambas ecuaciones.Se construye, para cada una de las dos funciones de primer gradoobtenidas, la tabla de valores correspondientes.

Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.En este ltimo paso hay tres posibilidades:Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son losnicos valores de las incgnitas x e y. Sistema compatible determinado.Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas solucionesque son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa rectaen la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin. Sistemaincompatible.

Ejemplo:

TEOREMA DE PITAGORAS

El Teorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo, el cuadradode la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual, ala suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores deltringulo rectngulo: los que conforman el ngulo recto). Si un tringulorectngulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es ,se establece que:
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo


20/49

Ejemplo: Dado el tringulo de lados b=3, a=4. Determinar la medida de c.

, luego CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Se dice que un ABC es congruente con otro DEF si sus lados respectivosson iguales y sus ngulos respectivos tambin lo son.Para expresar en lenguaje matemtico que los dos tringulos de la izquierdason congruentes, se usa la siguiente simbologa:

Al observar los tringulos de la figura puede apreciarse que tienen ladosrespectivamente congruentes, que son:

Tambin tienen ngulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que .Al revs: si dos o ms tringulos son congruentes, sus lados y ngulos lo sernrespectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vrtices paranombrarlos, salvo que grficamente se indique otra correspondencia.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Pythagorean.svg


21/49


22/49

SERIES

SUCESIONES

Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs deotra, en un cierto orden.

Ejemplo:{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesin muy simple (y es una sucesin infinita){20, 25, 30, 35, ...} tambin es una sucesin infinita{1, 3, 5, 7} es la sucesin de los 4 primeros nmeros impares (y esuna sucesin infinita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrs{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesin infinita donde vamos doblando cadatrmino

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones aritmticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesin aritmtica (oprogresin aritmtica), porque la diferencia entre un trmino y el siguiente esuna constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...Esta sucesin tiene una diferencia de 3 entre cada dos trminos.La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...Esta sucesin tiene una diferencia de 5 entre cada dos trminos.La regla es xn = 5n-2

Termino general:


23/49

Primer trmino: Diferencia: Numero de trminos: SUMA DE N TRMINOS CONSECUTIVOS DE UN APROGRESION ARITMETICA

Ejemplo:Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin : 8, 3, -2, -7, -12,...

INTERPOLACION DE MEDIOS ARITMETICOS

Interpolar (de inter , entre y polos, ejes) n nmeros entre otros dos conocidos ay b; consiste en construir una progresin aritmtica a, a1, a2, ... , an, b.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener laprogresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos

2) El primer trmino es a y el trmino an + 2 es b.

Aplicando la frmula del trmino general de una progresin aritmtica, se tieneque:b = a + [(n + 2) - 1] d ,

Una vez conocido el valor de la diferencia, a1 se obtiene como la suma de a y d; a2 es la suma de a1 y d , y as sucesivamente.

Los nmeros a1, a2, ... , an reciben el nombre de medios aritmticos.

EJEMPLO:

Interpolar cinco medios aritmticos entre -18 y 25.Resolucin:La progresin es: -18, a1, a2, a3, a4, a5, 25.Aplicando la frmula obtenida con a = -18 y b = 25.


24/49

La progresin aritmtica que se buscaba es:

Sucesiones geomtricasEn una sucesin geomtrica cada trmino se calcula multiplicando el anteriorpor un nmero fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...Esta sucesin tiene un factor 2 entre cada dos trminos.La regla es xn = 2n3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...Esta sucesin tiene un factor 3 entre cada dos trminos.La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...Esta sucesin tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos trminos.La regla es xn = 4 2-n

Termino general: Primer trmino: Razn:

Numero de trminos:

SUMA DE LOS N PRIMEROS TERMINOS DE UNA PROGRESION

GEOMETRICA


25/49

Despejando Sn,

Ejemplo:

Sumar los quince primeros de la progresin geomtrica 3/2, 9/2, 27/2 ...Resolucin:

INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS

Interpolarn medios geomtricos entre otros dos conocidos a y b, consisteen construir una progresin geomtrica a, a1, a2, ..., an, b.Para resolver este problema basta con conocer la razn que ha de tener laprogresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos.

2) El primer trmino es a y el n + 2 es b.

Aplicando la frmula del trmino general de una progresin geomtrica setiene que:

b = a rn + 2 - 1, de donde

Una vez conocido el valor de la razn, a1 se obtiene como el productode r pora; a2 es el producto de a1 porr, y as sucesivamente.

Ejemplo:

Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4.

Resolucin:

La progresin es 128, a1, a2,a3, a4,4.

Aplicando la frmula obtenida con a = 128 y b = 4:


26/49

La progresin geomtrica que se buscaba es:

128, 64, 32, 16, 8, 4, ...

RAZONES Y PROPOCIONES

La razn o relacin de dos cantidades: es el resultado de comparardos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuntoexcede una a la otra, es decir, restndolas, o hallando cuntas vecescontiene una a la otra, es decir, dividindolas. De aqu que haya dos clasesde razones: razn aritmtica o diferencia y razn geomtrica o porcociente.

La proporcin geomtrica o equicociente: es la igualdad de dosrazones geomtricas o por cociente.

Una proporcin geomtrica se escribe de los dos modos siguientes:

= o a : b :: c : dy se lee: a es a b como c es a d.

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razn de 5 cm., y 2 m.,es:Llamamos proporcin a la igualdad de dos razones:


27/49

El primero y ltimos trminos de una proporcin (a y d), (5 y 40) son lostrminos extremos. Los trminos (b y c), (200 y 1) son los trminos medios.

En toda proporcin, el producto de los valores de los trminos extremos esigual al producto de las medidas de los trminos medios.

De un modo ms breve se acostumbra decir: Producto de medios igual alproducto de extremos.

NGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS PORUNA SECANTE

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversalcrea 8 ngulos que reciben distintos nombres segn la posicin que ocupan:

Las recta rcorta a las rectas paralelas my n:

Los nombres de los ngulos segn el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

ngulos exteriores o externos:


28/49

Los ngulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en lazona exterior de las paralelas.

ngulos correspondientes:

Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ngulo en laparte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ngulos del mismo color son correspondientes:

El ngulo ase corresponde con el ngulo aEl ngulo bse corresponde con el ngulo bEl ngulo cse corresponde con el ngulo c

El ngulo dse corresponde con el ngulo d

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aqu y fijndonos en la figura podemosafirmar que los ngulos correspondientes son iguales entre s.

ngulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de

las rectas paralelas:


29/49

Los ngulos internos son d, c, by a. Si los tomamos alternadamente,tendramos, por un lado, los ngulos dy b, y por otro, cy ay comprobarsque los alternos internos son iguales entre s.

ngulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa delas rectas paralelas:

Los ngulos externos son: a, b, cy dque tomndolos alternadamentetendremos, por un lado los ngulos ay c, y por otro, los ngulos by d.Comprobars que los ngulos alternos externos son iguales entre s.

POLIGONOS SEMEJANTES

Dos polgonos son semejantes si los ngulos de uno son iguales a losngulos correspondientes del otro y los lados correspondientes sonproporcionales.


30/49

TRINGULOS SEMEJANTES

Dos tringulos que tienen la misma forma, pero no el mismo tamao.

Cuando dos tringulos son semejantes, los ngulos correspondientes son

congruentes y los lados correspondientes son proporcionales en medida.

RECTANGULOS SEMEJANTES

Dos rectngulos son semejantes cuando sus lados homlogos sonproporcionales. Es decir, si los rectngulos son ABCD Y A'B'C'D' debeverificarse que:

CRITERIOS DE SEMENJANZA DE TRIANGULOS

Se llaman Criterios de Semejanza de dos tringulos, a un conjunto decondiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que lostringulos son semejantes. Esos criterios o casos son:


31/49

CUERPOS GEOMETRICOS

Se denominan cuerpos geomtricos a aquellos elementos que ocupan unvolumen en el espacio desarrollndose por lo tanto en las tres dimensiones dealto, ancho y largo; y estn compuestos por figuras geomtricas.

CLASES DE CUERPOS GEOMTRICOS.

Se distinguen dos clases de cuerpos geomtricos:

Los poliedros o cuerpos planos: son cuerpos geomtricos compuestosexclusivamente por figuras geomtricas planas, que se denominancaras del poliedro; como por ejemplo el cubo.

Se distinguen dos clases de poliedros:

Los poliedros regulares en los cuales todas las caras son iguales.Los poliedros regulares son cinco:

El cubo: est compuesto por seis caras cuadradas; motivopor el cual se le conoce tambin con el nombre de hexaedroregular, (exaedro = cuerpo con 6 caras).

El tetraedro regular: compuesto por cuatro caras conforma de tringulos equilteros.

El octaedro regular: compuesto por ocho caras con forma

de tringulos equilteros, en forma de dos pirmides unidaspor su base.


32/49

El icosaedro regular: compuesto por veinte caras conforma de tringulos equilteros, que tiene un ejeplano hexagonal.

El dodecaedro regular: compuesto por doce caras conforma de pentgono.

Los poliedros irregulares en los cuales no se trata de que todas suscaras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden ms deun tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o loscaireles de una lmpara).

Los principales poliedros irregulares son:

El prisma: est compuesto por caras laterales rectangulares(que pueden ser cuadradas); y bases con forma detringulo, cuadrado (salvo cuando las caras tambin lo son,en cuyo caso es un cubo), pentgono, hexgono u otropolgono regular.

El prisma oblicuo: es similar al prisma, pero con dos lados deforma romboidal; por lo cual solamente puede tener basescuadradas.

La pirmide recta: compuesto por una base con forma depolgono regular, y lados triangulares cuya base son loslados del polgono, y unen todos su vrtices en un mismopunto, tambin llamado vrtice de la pirmide; el cual seencuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por sucentro.

La pirmide inclinada: similar a la anterior, pero cuyovrtice se encuentra sobre una perpendicular a la baseque no pasa por su centro.

Los cuerpos redondos: son cuerpos geomtricos compuestos total oparcialmente por figuras geomtricas curvas; como por ejemplo elcilindro, la esfera o el cono.

Los principales poliedros redondos son:

El cilindro: est compuesto dos bases circulares y una superficiecurva continua, equivalente a un rectngulo.


33/49

El cono: compuesto por una base circular, y una superficiecurva que la rodea y se une en un vrtice que se encuentrasobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

El cono truncado: siendo similar a un cono, tiene una baseconformada por un plano inclinado, con lo cual adopta unaforma de elipse.

La esfera: es circular en todos sus planos centrales.

La semiesfera: es una esfera que ha sido cortada por uno desus planos circulares, de manera que tiene una base circulary una cpula esfrica.

AREAS Y VOLUMENES


34/49

AREAS Y VOLUMENES DE POLIGONOS REGULARES


35/49


36/49

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia queda determinada por la relacin:

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d= 5 unidades

PUNTO MEDIO

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden conla semisuma de las coordenadas de los puntos extremos.

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente permite obtener el grado de inclinacin que tiene una recta.


37/49

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente quedadeterminada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntosde ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

ECUACIN DE UNA LNEA RECTA

La ecuacin explcita de la recta viene dada por la ya conocida

expresin:

Ecuacin general o implcita de la recta:

Ejemplo: Halla la ecuacin general de la recta

Solucin:

Nos dan la ecuacin explcita:

Tenemos que pasar todos los trminos de la ecuacin al ladoizquierdo y ordenarlos:

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

Ecuacin punto-pendiente


38/49

Sea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuacinviene dada por:

expresin que se denomina ecuacin punto-pendiente de la recta.

Ejemplo: Halla la ecuacin punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-

2, 4) y tiene pendiente 3.

Solucin:En la ecuacin punto-pendiente:

sustituimos m = 3,xo= 2, yo = 4, obteniendo:

SECCION CONICA

Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a todas las curvasinterseccin entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vrtice, seobtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,parbola, hiprbola y circunferencia.

ECUACION DE LA CICUNFERENCIA

Ecuacin Cannica de la Circunferencia con Centro en (0,0)

Dadas las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r",podemos utilizar la siguiente ecuacin para determinar el valor de "y"correspondiente a un valor de "x".


39/49

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el origen y conradio r = 3x + y = 3

Ecuacin Cannica de la Circunferencia con Centro en (kh,)

Dadas las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de lamisma, podemos utilizar la siguiente ecuacin para determinar el valor de "y"correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y conradio r = 4

(x - 2) + (y - 6) = 4


40/49

Ecuacin General de la Circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir suecuacin ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos laforma general

de la ecuacin de la circunferencia, as:

Ejemplo: Hallar la ecuacin general de la circunferencia con centro C(2;6) yradio r = 4

(x - 2) + (y - 6) = 4

x - 2(2x) + 2 + y - 2(6y) + 6 = 4

x - 4x + 4 + y - 12y + 36 = 16

x + y - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x + y - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24

ECUACION DE LA PARABOLA

Ecuacin Cannica de la Parbola - Vrtice (0, 0) y Eje de Simetraen x.

La ecuacin de la parbola convrtice (0,0) y foco en el eje xes:

y2 = 4px.

Las coordenadas del foco es (p, 0).La ecuacin de la directriz is x = -p.

Sip > 0, la parbola se abre hacia la derecha.Sip < 0, la parbola se abre hacia la izquierda.

Ecuacin Ordinaria de la Parbola con Vrtice (h, k) y Eje deSimetra Paralelo al Eje x.

Sip es positiva, la parbola se abre hacia la derecha.Sip es negativa, la parbola se abre hacia la izquierda.Las ecuaciones ordinarias para las parbolas paralelas al eje-x son:

(y - k)2 = 4p(x - h) y (y - k)2 = - 4p(x - h)


41/49

Ecuacin Cannica de la Parbola con Vrtice (0, 0) y Eje deSimetra en y.

La ecuacin de la parbola con vrtice (0, 0) y foco en el eje - yEs:

x2 = 4py.Las coordenadas del foco son (0,p).La ecuacin de la directriz is y= -p.Si p > 0, la parbola se abre hacia arriba.Si p < 0, la parbola se abre hacia abajo.

Ecuacin Ordinaria de la Parbola con Vrtice (h, k) y Eje deSimetra Paralelo al Eje y.

Si p es positiva, la parbola se abre hacia arriba.

Sip es negativa, la parbola se abre hacia abajo.

Las ecuaciones ordinarias para las parbolas paralelas al eje-y son:

(x- h)2 = 4p(y- k) y (x- h)2 = - 4p(y- k)

ECUACION DE LA ELIPSE

Ecuacin Cannica de una Elipse con Centro en (0, 0)

Ejemplo:

Ecuacin Cannica de una Elipse con Centro en (h, k)

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 2

2 2

1

5 4

125 16

x y

x y


42/49

Ejemplo:

Ecuacin General de Elipse

ECUACION DE LA HIPERBOLA

Ecuacin Cannica de la Hiprbola con Centro en (0, 0)

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuacin de una hiprbola con centro

en el origen de coordenadas y ecuacin de la hiprbola en su formacompleja.

Ejemplo:

Ecuacin de una Hiprbola con centro en el punto

Ecuacin General de la Hiprbola


43/49


44/49

REGLAS DE DERIVACION

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:


45/49

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejercicios:

Reglas para la derivada de funciones logaritmo comn

Reglas para la derivada de funciones logaritmo natural


46/49

Regla para la derivada de una raz cuadrada

Regla para la derivada de la funcin Euler

Reglas de derivada de las funciones trigonomtricas.

REGLA DE LA CADENA

Ejemplos:

1. Calcular la derivada de la funcin h(x) = sen x2.

Resolucin:

h'(x) = g'[f(x)] f'(x) = 2x cos x2


47/49

2. Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.

Resolucin:

Si u = x2

+ 1, u'= 2x

En este caso m = 3

f'(x) = 3 (x2 + 1)2 2x= 6x(x2 + 1)2

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

PUNTOS CRTICOS


48/49

Mximos Y Mnimos:Recordemos que fderivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, yslo si f(a) >0(f(a) 0, f posee en a un mnimo local.b. Si f(a) = 0 y f(x) < 0, f posee en a un mximo local.

PUNTO DE INFLEXIN

Es un punto donde los valores dexde una funcin continua pasa de un tipode concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemticamente laderivada segunda de la funcin fen el punto de inflexin es cero, o no existe.En el clculo de varias variables a estos puntos de inflexin se les conocecomo puntos de ensilladura.

Ejemplo:

f(x)=x4-2x2-1, su derivada f'(x)=4x3-4x y la segunda derivada f''(x)=12x2-4

Para calcular los extremos relativos hemos de: Resolver la ecuacin: f'(x)=4x3-4x=0 Soluciones: x=-1, x=0, x=-1 Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores

x= -1, f'(x)=0, f''(x)>0 mnimoen (-1,-2)x= 0, f'(x)=0, f''(x)


49/49

Documents

Sintesis Del Cuarto Periodo Academico