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POLIEDROS Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. Elementos de un poliedro: Caras: Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. Aristas: Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común. Vértices: Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. Ángulos diedros: Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común. Ángulos poliédricos: Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común. Diagonales: Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara. Ejemplo: Revisar la página. http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/ 111213_poliedros.elp/elementos_del_poliedro.html Los poliedros se clasifican en: Poliedros regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales. Existen sólo cinco tipos de poliedros regulares: Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales

Sintesis de Periodo Septimo

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TEMAS CUARTO PERIODO

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Page 1: Sintesis de Periodo Septimo

POLIEDROS

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Elementos de un poliedro:

Caras: Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas: Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices: Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros: Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos: Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales: Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Ejemplo:

Revisar la página.

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/111213_poliedros.elp/elementos_del_poliedro.html

Los poliedros se clasifican en:

Poliedros regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales.

Existen sólo cinco tipos de poliedros regulares:

Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos

equiláteros iguales

Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales

Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por

ocho triángulos equiláteros iguales

Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales

Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos

equiláteros iguales

Page 2: Sintesis de Periodo Septimo

Poliedros irregulares: es un poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y los prismas.

ÁREA Y EL VOLUMEN DE CUALQUIER PRISMA

Ejemplo:

Hallar el área total y el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.

Solución:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras) que es el área coloreada.

Page 3: Sintesis de Periodo Septimo

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es triangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, triángulos isósceles). Es el área coloreada.

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma triangular especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma triangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del triángulo y multiplicando por la altura del poliedro.

Área y el volumen de cualquier pirámide

Page 4: Sintesis de Periodo Septimo

Ejemplo:

Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Solución:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Page 5: Sintesis de Periodo Septimo

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos que tienen superficies curvas, tales como el cono, el cilindro y la esfera.

Page 6: Sintesis de Periodo Septimo

Área y volumen de los cuerpos redondos

Esfera

Cilindro

Cono

Estadística es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo con esos análisis.

Frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato.

Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.

Page 7: Sintesis de Periodo Septimo

Porcentaje es la multiplicación de la frecuencia relativa por cien.

Al recoger la información obtenemos un gran número de datos que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada tabla de frecuencias.

Ejemplo:

Determinar la tabla de frecuencias de la información que se ha recogido en un curso de sexto grado sobre el deporte que practican. Los datos son:

Baloncesto, voleibol, voleibol baloncesto fútbol, voleibol fútbol, fútbol, fútbol baloncesto natación, baloncesto fútbol voleibol baloncesto natación, voleibol, fútbol, fútbol, fútbol.

Solución:

Frecuencia absoluta: Contamos las veces que se repite cada dato.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Baloncesto 5

Voleibol, 5

Fútbol 8

Natación 2

Total 20

Frecuencia relativa: dividimos la frecuencia absoluta en el número total de datos.

Deporte favorito Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Baloncesto 5 520

=0,25

Voleibol, 5 520

=0,25

Fútbol 8 820

=0,4

Natación 2 220

=0,1

Total 20 2020

=1

Porcentaje: Multiplicamos la frecuencia relativa por 100.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Baloncesto 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Voleibol, 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Page 8: Sintesis de Periodo Septimo

Fútbol 8 820

=0,4 0,4×100=40%

Natación 2 220

=0,1 0,1×100=10%

Total 20 2020

=1 1×100=100%

Para graficar se utiliza un histograma de frecuencias, en donde se ubican los datos de la frecuencia absoluta y la variable estudiada.

Baloncesto Voleibol, Fútbol Natación Total0

5

10

15

20

25

Deporte Favorito

Reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos

Cuando los datos contienen una gran cantidad de elementos, para facilitar los cálculos es necesario agruparlos, a estos grupos se los llama intervalos o clases. Un intervalo es una serie de números incluidos entre dos extremos, así por ejemplo, el intervalo 40 – 45 está formado por 40, 41, 42, 43, 44 y 45, siendo 40 el límite inferior, 45 el límite superior.

Las reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos son:

1. Calcule el Rango (R): Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

2. Seleccione el Número de Intervalos de Clase (ni): es la raíz cuadrada del numreo total de datos.

ni=√n

3. Calcule el Ancho del Intervalo (i): Se obtiene dividiendo el Rango para el número de intervalos

Ejemplo:

A 40 estudiantes se les pidió que estimen el número de horas que habrían dedicado a estudiar la semana pasada (tanto en clase como fuera de ella), obteniéndose los siguientes resultados:

36 30 47 60 32 35 40 5054 35 45 52 48 58 60 3832 35 56 48 30 55 49 39

Page 9: Sintesis de Periodo Septimo

58 50 65 35 56 47 37 5658 50 47 58 55 39 58 45

Solución:1) Calculando el Rango se obtiene:

2) Calculando el número de intervalos se obtiene:

ni=√40=6.32=6

3) Calculando el ancho se obtiene:

Redondeando se obtiene: i = 6.

4) Realizando el conteo de datos que cae dentro de cada clase, calculando la marca de clase y las frecuencias se obtiene:

Clases f xm fr fa f% fra fra%

30-35 8 (30+35)/2 = 32,5 0,2 8 20 0,2 20

36-41 6 (36+41)/2 = 38,5 0,15 14 15 0,35 35

42-47 5 (42+47)/2 = 44,5 0,125 19 12,5 0,475 47,5

48-53 7 (48+53)/2 = 50,5 0,175 26 17,5 0,65 65

54-59 11 (54+59)/2 = 56,5 0,275 37 27,5 0,925 92,5

60-65 3 (60+65)/2 = 62,5 0,075 40 7,5 1 100

Total 40 1 100

Para mejor entendimiento revisar el link:https://www.youtube.com/watch?v=-ZnUSLlUj9A

PROBABILIDAD

La probabilidad nos ayuda a entender lo que puede suceder.

Es una parte de las matemáticas en la que conocemos los posibles resultados, pero no podemos predecirlos con exactitud.

Probabilidad expresada en fracciones

Para calcular la probabilidad de que ocurra algo, divide el número de eventos entre las posibles opciones, por ejemplo:

Una moneda tiene 2 lados: cara y cruz.

Si tiras la moneda al aire, la probabilidad de que salga “cara” es 1 de 2 ó 12.

¿Por qué? Sólo hay 1 cara y 2 posibilidades en total.

Probabilidad expresada en un diagrama de árbol

Para ayudarte a resolver problemas de probabilidad, puedes hacer un listado de todos los posibles resultados de algo o un diagrama de árbol. Esto te ayuda a entender las posibilidades.

Page 10: Sintesis de Periodo Septimo

Por ejemplo:

Deseas anotar los resultados de tirar una moneda al aire. Usemos un diagrama de árbol para ayudarnos a descubrirlo.

Como ves, al final tendrás dos posibilidades.

Monedasello

cara