Sintesis Analisis Matematico II

8/17/2019 Sintesis Analisis Matematico II

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Aclaración:“Esta es mi carpeta de Análisis Matemático II. Simplemente la pasé alWord, sin gráfcos (salvo n par!, " más #e nada para tener toda a

teor$a %nta. Es posi&le #e 'a"a algn #e otro error.El docmento está dividido por nidad de la materia, segn la g$a de

tra&a%os prácticos) de modo #e peda separarse &ien cada tema.

Armé los sigientes 'iperv$nclos a cada nidad para acceder más*ácil a cada parte del docmento. Espero #e les sirva.+

- parcialAE/0: E12A1I0ES 3I4E5E1IA6ES27: 421I0ES 8 90060;IA2 109I2I3A32?: 3E5I@AI6I3A32B: 3I4E5E1IAI6I3A32C: 421I0 10M2ES9A E IM6I1I9A

2D: 06I0MI0 3E 9A>605 8 E/95EM0S

7- parcialAE/0: E12A1I0ES 3I4E5E1IA6ES2: I9E;5A6 125@I6IEA 8 421I0 09E1IA62F: I9E;5A6ES M269I6ES2G: I9E;5A6 3E S2E54I1IE 8 462H02: 9E05EMAS I9E;5A6ES (;5EE, S90ES, ;A2SS!

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ANEXO:ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIÓN: Se denomina ecuación diferencial a a#ella #evincla n determinado nmero de varia&les con la derivada de nade ellas respecto a las restantes, o ss correspondientes di*erenciales.

1ando la *nción incógnita de la ecación di*erencial es na*nción escalar (de na sola varia&le!, dic'a ecacióndi*erencial se denomina ordinaria.

Si la *nción incógnita tiene dos o más varia&les, la ec. 3i*. Sedenomina parcial o en derivadas parciales.

FORMA ENERAL DE UNA ECUACIÓN ORDINARIA

( ) 0,,,,, )( =′′′ n y y y y x H

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es el ma"or orden dederivación #e aparece en la ecación di*erencial.

RADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es el ma"or eJponenteal #e está elevada la derivada #e dio el orden, lego de podereJpresar la ec. 3i*. 1omo n polinomio en J, ", " ss primerasderivadas.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

( ) x f es solción de la ecación di*erencial( ) ( ) 0)(,),(),(,0,,,,, )()( ≡′⇔ℜ⊆∈∀=′′′ x f x f x f x H I x y y y y x H nn

(Sólo es solción si al reemplaKarla en la ecación reslta naidentidad!

SOLUCIÓN GENERAL: Es a#ella eJpresión #e satis*ace laecación di*erencial. En s eJpresión fgran tantas constantesar&itrarias o irredci&les como el orden de la ecacióndi*erencial.

SOLUCIÓN PARTICULAR: Srge de dar valor o valores a cadana de las constantes nméricas esenciales de la solcióngeneral. Se de&en conocer condiciones de 'ipótesis) pore%emplo: n pnto #e perteneKca a la crva solción, lapendiente, etc.

SOLUCIÓN SINGULAR: Es a#ella solción #e no estáincl$da en la eJpresión de la solción general, es decir, #e nosrge de dar valor o valores a la o las constantes nméricas

esenciales de la solción general.

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ECUACIÓN DE LA FAMILIA DE CUR!AS DE UNA ECUACIÓNDIFERENCIALEs el procedimiento inverso a resolver na ecación di*erencial.

1onsiste en, dada la *amilia de crvas, o&tener la ecación di*erencialde modo tal #e la *amilia dada sea solución "eneral.

#RA$EC#ORIAS OR#OONALES3os crvas planas, inclidas en el recadrado, son ortogonales entres$ si tienen por lo menos n pnto de contacto " en todos ss pntosde contacto las rectas tangentes son perpendiclares.2na *amilia de crvas es ortogonal a otra *amilia si cada crva de laprimer *amilia es ortogonal a cada na de la segnda *amilia, " cadacrva de la segnda *amilia es ortogonal a todas las crvas de laprimer *amilia. Se dice #e am&as *amilias de crvas son

mtamente ortogonales.

M%#ODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

E12A1IL 3I4E5E1IA6 M9030 ME1AISM0 3E5ES0621IL

)()( yl xm y ⋅=′ @aria&lessepara&les

( ) ( )dydx ∫ ∫ =

)()( xq y xm y +=′ 6inealvuvu y

vu y

′⋅+⋅′=′⋅=

)( x

y g y =′ Nomogénea

z x z y x z y

x y z

+′=′⋅=

=

x y Q P con y xQ

y x P y ′=′−=′

),(

),( 9otal eJacta k y x =),(φ

x y N M con y x N

y x M y ′≠′−=′

),(

),(5edci&le a

total eJacta por*actor

integrante dy M

M N

dx N

N M

y x

x y

e y

e x

k y x

∫ =

∫ =

=

′−′

′−′

)(

)(

),(

µ

µ

φ

EXPLICACIÓN DEL MÉTODO LINEAL

rimero se lleva la ecación di*erencial, de ser posi&le, a la eJpresiónsigiente (caso contrario no se pede aplicar el método!:

)().( xq y x p y +−=′

6ego se reemplaKa " acomoda de la sigiente manera, sando lossigientes reemplaKos: vu y .= , uvvu y .. ′+′=′

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( ) 1)(.)()(.).(..

)().(

xquvu x puv

xqvu x puvvu

xq y x p y

=′++′

=+′+′

=+′

Igalamos a G el paréntesis " resolvemos la ecación resltante:

2)(ln

)(

)(

0)(

)(∫ =⇒−=

−=

−=

=+′

−

∫

∫ ∫ dx x p

eudx x pu

dx x pu

du

u x pdx

du

u x pu

5eemplaKando en :

∫ +

∫ =

∫ =′

=∫ ′+ −

3)(

)(

)(0

)(

)(

)(

C dxe xqv

e xqv

xqev

dx x p

dx x p

dx x p

5eemplaKando 7 " < en vu y .= reslta la solción:

+

∫ ∫ = ∫

−C dxe xqe y

dx x pdx x p )()(

)(.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE &' ORDEN A COEFICIEN#ESCONS#AN#ES CON &' MIEM(RO NULO

5esponden a la *orma 0,,10... ≠ℜ∈=+′+′′ acbacon yc yb ya

50IE3A3: Si 1 y e 2 y son solciones de la ec. 3i*. 3ada, todacom&inación lineal de dic'as *nciones es tam&ién solción

3EM0S95A1IL: 11 221121 de solucion yC yC yde solucion y y +=⇒∧

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 000

1

0

2222

0

1111

222222111111

221122112211

2211

2211

2211

=+=+′+′′++′+′′=

=+′+′′++′+′′=

=++′+′+′′+′′⇒

′′+′′=′′

′+′=′

+=

==

hipotesis por hipotesis por cy yb yaC cy yb yaC

ycC ybC yaC ycC ybC yaC

yC yC c yC yC b yC yC aenoeemplazand

yC yC y

yC yC y

yC yC y

M%#ODO DE RESOLUCIÓN:ara resolver na ecación di*erencial de la *orma antes mencionadase de&e o&tener la ecación cadrática caracter$stica asociada a laecación di*erencial dada) elevando la varia&le nmérica (r! a lapotencia coincidente con el orden de derivación.

0..0... 2012 =++⇒=++ cr br ar cr br a

3ependiendo de cómo sean las ra$ces las solciones tienen distintas*ormas:

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[ ]

+=⇒−=∧+=⇒∆

)()cos(0)(

0)(

0)(

11

2121

2121

21

21

x !sen x "e yir ir nantediscrimi

xeC eC yrealesr r nantediscrimi

eC eC yrealesr r nantediscrimi

x

xr xr

xr xr

β β β α β α α

ECUACIONES DIFERENCIALES DE &' ORDEN A COEFICIEN#ESCONS#AN#ES $ &DO MIEM(RO NO NULOSon de la *orma 0,,1)(... ≠ℜ∈=+′+′′ acbacon x f yc yb ya

PROPIEDAD: 3emostraremos #e si h y es solción de la ecación'omogénea #e se o&tiene igalando el primer miem&ro a cero " p yes solción de la ecación di*erencial completa entonces la sma deam&as es solción de la ecación di*erencial en (!.3EM0S95A1IL:

( ) ( ) ( )( ) ( ) )()(0

1

)(0

x f x f cy yb yacy yb ya

y yc y yb y yaenoeemplazand

y y y

y y y

y y y

hipotesis por x f

p p p

hipotesis por

hhh

ph ph ph

ph

ph

ph

=+=+′+′′++′+′′=

=++′+′+′′+′′⇒′′+′′=′′

′+′=′

+=

==

RESOLUCIÓN:(En este tipo de ecaciones di*erenciales, se pede 'allar la solciónparticlar por medio de dos métodos: por variación de parámetros "por coefcientes indeterminados. En este caso sólo tra&a%aremos concoefcientes indeterminados.!

5esolver la ec. 3i*. Nomogénea Nallar na solción particlar Smar ph y y +

9a&la de solciones particlares propestas:*(J! 103I1IL p y 502ES9A

)( x P n

4igran y yo y y y ,,, ′′′′′ )( x P nSólo fgran y y ′′′ , )(1 x P n +Sólo fgra y ′′ )(2 x P n+

xeα

21 r r ≠∧≠ α α xea y α .=

21 r r =∧≠ α α x

xea y α

.=21 r r =∧= α α

xe xa y α 2.=

(/)cos( x seno y x δ δ

δ β β β =∧−=∧= ir ir 21 (.)cos(. x xsenb x xa y δ δ +=

1ando no ocrre loanterior

)(.)cos(. x senb xa y δ δ +=

LINEAS DE CAM)O:

5


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3ado n campo vectorial *, a toda linea 1 de ecación )(t g x = con tperteneciente a n intervalo real, #e cmpla #e: en cada pnto dela crva 1, el vector * calclado en dic'o pnto es tangente a ello

( ) ( )

dy

y xQ

dx

y x P

dt t ydt

k y xQ

dt t xdt

k y x P

t yt xk y xQ y x P

t g k t g f

dy

dx

),(),(

)(),(

)(),(

)();(),();,(

)())((

=⇒

′⋅=

′⋅=

′′⋅=

′⋅=

PROPIEDAD: si * es conservativo entonces eJiste la *ncion potencial" las lineas de campo son ortogonales a las lineas e#ipotenciales ocrvas de nivel de la potencial

ara calclar las l$neas de campo de n campo conservativo, 'a" #'allar la potencial e igalarla a na constante (como si *era na totaleJacta! " lego sacar ss tra"ectorias ortogonales.

C

6


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U&: FUNCIONES

FUNCIÓN ESCALAR:)(/: x f y " f =ℜ→ℜ⊆

CAM)O ESCALAR:

),,,(/: 21 nn x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆1aso particlar cando nO7

),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆

6a "r*+ca de 3ℜ⊆ f es na super+cie P defnida de *ormaeJpl$cita como ),( y x f z =

FUNCIÓN !EC#ORIAL:( ))(,),(),()(/: 21 t f t f t f t f " f mm =ℜ→ℜ⊆

m #omf #omf #omf f #om ∩∩∩= 211aso particlar cando mO7

[ ] ( ))(),()(/,: 2 t yt xt f ba f =ℜ→ℜ⊆ 6a i,a"en de la *nción es la curva 1 parametriKada por f

CAM)O !EC#ORIAL:( )),,,(,),,,,(),,,,(),,,(/: 2121221121 nmnnnmn x x x f x x x f x x x f x x x f " f =ℜ→ℜ⊆

m #omf #omf #omf f #om ∩∩∩= 21

CON-UN#OS DE NI!EL 3ado el campo escalar ),,,(/: 21 nn x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆ , se defne como

con%nto de nivel al s&con%nto del dominio de *, tal #e la imagende cada elemento de ese s&con%nto coincida con Q (cota! (igalar aQ el campo!.

{ }k x f " #omf xC k N

==∈= )(/

Si nO7, los con%ntos de nivel se denominan curvas de nivel . Si nO


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Sea ( )),(),,(),,(),(/: 32 vu z vu yvu xvu f " f =ℜ→ℜ⊆ campo vectorialcontino en el con%nto coneJo A, se denomina sperfcieparametriKada por el campo vectorial f al con%nto imagen #esrge de aplicar el campo vectorial f al con%nto A.

L/NEAS COORDENADAS

3ada la sperfcie parametriKada por f las l$neas coordenadas srgende considerar constante na de las dos varia&les " v.( ) )(,0 v g vu f =

NOCIONES (0SICAS DE #O)OLO/A

DEFINICIÓN DE EN#ORNO EN 2ℜ( ) { }220

2

0

2

002 )()/(),(),,( r y y x x y xr y x !


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2n con%nto es pRconeJo si cal#ier par de pntos del mismo pedennirse mediante na poligonal (de nmero fnito de lados!, totalmenteinclida en dic'o con%nto. 6os con%ntos no coneJos se llamandesconeJos.

CON-UN#O CON!E1O

2n con%nto es conveJo cando todo par de pntos del con%ntodeterminan n segmento totalmente inclido en dic'o con%nto.

CON-UN#O SIM)LEMEN#E O MUL#I)LIMEN#E CONE1O2n con%nto plano incl$do en 2ℜ es simplemente coneJo si:

R Es coneJoR 9oda poligonal cerrada *ormada por pntos del con%nto

determina n pol$gono totalmente incl$do en dic'o con%nto. 9odo con%nto coneJo #e no es simplemente coneJo se denominamltiplemente coneJo " el orden de coneJión es n, si sonnecesarios n cortes para trans*ormarlo en simplemente coneJo.

9


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U5: L/MI#ES $ CON#INUIDAD

CON#INUIDADara todo tipo de *nción visto 'asta a'ora:

% Es con6inua en

=•

ℜ∈=∃•

∃•

→

)(

)(lim

)(

0

0

00

& % '

' & %

& %

& m & &

% Es discon6inua en( )

( )

∞=∨∃/•

∃/

≠ℜ∈=∃•

→→

→

($(NCI"' & % & %

()I*"!'( & %

' & % ' & %

&

& & & &

m

& &

)(lim)(lim

)(

)()(lim

00

00

0

0

L/MI#ES

L#MITE DE UNA "UNCIÓN ESCALARSea #omf denacumulaciode punto x0

[ ]ε δ ε δ ε


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valor l. En consecencia, si por dos caminos distintos se llega avalores distintos, entonces podemos asegrar #e el l$mitedo&le no eJiste. 3e esta idea nacen los conceptos de l$mitesscesivos, l$mites radiales, l$mites para&ólicos, etc.

o NOTA: En el desarrollo de esta asignatura, calcularemosel valor del límite doble como, si es posible, ante un

reemplazo directo o simultáneo o aplicando la mayoría delas propiedades desarrolladas en Análisis I (infnitésimo por acotada, etc.). En realidad, para asegurar laeistencia del límite doble !abría "ue utilizar la defnici#n.

)ara des6ruir el l7,i6e do8le9 se pueden usar las si"uien6eserra,ien6as:

L%&i'es sucesiv(s ( i'erad(sSe acerca al pnto primero por na varia&le " lego por la otra, "despés al revés. Si dan distintos no eJiste el l$mite.

=

=

→→→→),(limlim),(limlim

00001,22,1 y x f l y x f l

y y x x x x y y

L%&i'es radiales ) ara*+lic(s1onsiste acercarse por rectas o pará&olas #e pasen por el pntodel l$mite. Si se encentran caminos distintos o l$mites #edependan de na constante se pede afrmar #e no eJiste ell$mite. (e%emplos: "OmJ) "OmJ7) "ORJ) etc.!L%&i'es (r una curva1onsiste en acercarse por cal#ier crva contina #e pase por elpnto.

L#MITE DE UN CAMPO $ECTORIALSea f #omdenacumulaciode punto & 0

ε δ ε δ ε


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U=: DERI!A(ILIDAD

DERI!ADA DE UN CAM)O ESCALAR

α

tan)()(

)( 00

00 lim =

−+=′

→ h

x f h x f x f

h

DERI!ADA DE FUNCIÓN !EC#ORIALSea ( ))(,),(),()(/: 21 t f t f t f t f " f mm =ℜ→ℜ⊆ " f #omdeterior in puntot 0 )la derivada de f en ese pnto es:

* h

t f ht f t f

h

=

−+=′

→

)()()( 00

00 lim

El vector derivado reslta ser tangente a la crva en el pnto 0t .AnaliKando la defnición de )( 0t f ′ o&servamos #e dic'o vectorderivado reslta tangente a la crva imagen de f en el pnto

)( 00 t f P = , siendo s sentido el de los arcos crecientes (sentido en el

cal la crva va siendo traKada al amentar el parámetro t!.

)RO)IEDAD: 3ada ( ))(,),(),()(/: 21 t f t f t f t f " f mm =ℜ→ℜ⊆ ) si( ))(,),(),()()(1:)( 00201000 t f t f t f t f t f miit f mi ′′′=′∧′∃≤≤∀⇒′∃

DEFINICIÓN DE )UN#O REULAR DE UNA CUR!A:Si la crva 1 parametriKada por la *nción )(t g , el pnto )( 00 t g P = sedice #e es pun6o re"ular de la crva 1 si 0)()( 00 ≠′∧ℜ∈′∃ t g t g

m . 2npnto 0 P es reglar de na crva si eJiste por lo menos na

parametriKación de la misma dada por )(t g #e cmpla lascondiciones anteriores. 9odo pnto no reglar de na crva sedenomina sin"ular.12I3A30: A veces los pntos son singlares &a%o na determinadaparametriKación, pero no en otras.

ECUACIÓN DE LA REC#A #ANEN#E $ DEL )LANO NORMAL ENUN )UN#O REULAR DE LA CUR!A

Sea ( ))(),(),()(/: 3 t z t yt xt f " f =ℜ→ℜ⊆ " )( 00 t f P = pnto reglar:

RECTA TANGENTE: ( ) ( ) ( ))(),(),(,,,, 000000 t z t yt x z y x z y x ′′′+= λ PLANO NORMAL: ( ) ( ) 0)(),(),(,, 000000 =′′′•−−− t z t yt x z z y y x x

DERI!ADA DE UN CAM)O ESCALARSea ),,,(/: 21 n

n x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆ " #omf deterior in punto & 0

DERI$ADA SEG,N UN $ECTOR ( )0≠∧ℜ∈ vv n

h

& f vh & f v & f

h

)().(),( 00

0

0 lim −+

=′

→

12


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50IE3A3 3E N0M0;EEI3A3: ),(.).,( 00 v & f cvc & f ′=′

DERI$ADA DIRECCIONAL ( )1=∧ℜ∈ vv n

Es la derivada segn la dirección de n versor:

α

tan)().(

),()( 00

0

00

lim =−+

=′=

∂

∂

→ h

& f vh & f v & f

v

x f

h

09A: 1omo la derivada direccional sólo depende del campo escalardel pnto 0 & " de la dirección " sentido del versor (independiKándolode la norma!) pede considerarse como tasa instantánea de cam&iode * en la dirección " sentido de v.

DERI$ADAS PARCIALESSea ie n versor de la &ase canónica de nℜ

h

& f eh & f e & f

x

f x f i

hi

i

xi

)().(),()( 00

000 lim

−+=′=

∂

∂=′

→

6a nica varia&le #e se incrementa es la de la derivada parcial

En campos escalares de la *orma ),( y x f :

h

y x f yh x f

x

f y x f

h

x

),(),(),( 0000

0

00 lim −+

=∂∂

=′→

k

y x f k y x f

y

f y x f

k y

),(),(),( 0000

000 lim

−+=

∂∂

=′→

I$%E&'&E%AI$ *E+-%&IA 6a derivada parcial de n campoescalar de dos varia&les respecto de la varia&le " en el pnto ),( 00 y x ,si eJiste, mide la pendiente de la recta tangente a la crva #ereslta de interceptar a la sperfcie *ncional con el plano 0 x x = .Análogamente, se interpretará geométricamente la derivada respectode J como la intercepción de la recta con 0 y y =

#EOREMA DE SC>?AR. O DE )ERMU#A(ILIDAD EN EL ORDENDE DERI!ACIÓNSea ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " ),( 00 y x pnto interior.

Si: xy y x f f f ′′′′∃ ,,

en n con%nto a&ierto S al cal pertenece),(

00

y x

, " xy f ′′

contina en S ),(),( 0000 y x f y x f f xy yx yx ′′=′′∧′′⇒ .ara el tercer orden:

),(),(),( 000000 y x f y x f y x f xyx yxx xxy ′′′=′′′=′′′ > ),(),(),( 000000 y x f y x f y x f yxy yyx xyy ′′′=′′′=′′′

/E&I0A/A1 12E1I0A1

h

y x f yh x f y x f x x

h

xx

),(),(),( 0000

0

00 lim′−+′

=′′→

k

y x f k y x f y x f x x

k

xy

),(),(),( 0000

0

00 lim′−+′

=′′→

h

y x f yh x f y x f y y

h

yx),(),(),(

0000

0

00 lim ′−+′=′′→

13


14/38

k

y x f k y x f y x f

y y

k yy

),()(),(

0000

000 lim

′−+′=′′

→

DEFINICIÓN DE RADIEN#E3ado ),,,(/: 21 n

n x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆ #e admite todas ss n derivadas

parciales en n con%nto "$ ⊆

, se defne "radien6e como el campovectorial defnido de nn$ ℜ→ℜ⊆ tal #e:

( ))(,),(),()(/:21

x f x f x f x f +rad $ +rad m x x x

nn ′′′=ℜ→ℜ⊆

El gradiente es el campo vectorial *ormado por las derivadasparciales. 1omnmente, el gradiente se defne con el (erad(r na*la por *:

∂∂

∂∂

∂∂=

∂

∂∂

∂∂∂=∇ )(,),(),()(.,,,

2121

x x

f x

x

f x

x

f x f

x x x f

mm

DERI!ADA DE UN CAM)O !EC#ORIAL

Sea( )),,,(,),,,,(),,,,(),,,(/: 2121221121 nmnnnmn x x x f x x x f x x x f x x x f " f =ℜ→ℜ⊆

DERI$ADA RESPECTO A UN $ECTOR

h

& f vh & f v & f

h

)().(),( 00

00 lim

−+=′

→

DERI$ADA DIRECCIONAL

h

& f vh & f v & f

v

x f

h

)().(),(

)( 00

00

0

lim

−+

=′=∂

∂

→

DERI$ADA PARCIAL

h

& f eh & f e & f x

f i

hi

i

)().(),( 00

00 lim −+=′=∂

∂→

3ado el campo vectorial f #e admite n vectores derivados parcialesen n con%nto a&ierto f #om$ ⊆ . Se denomina MA#RI.

-ACO(IANA del campo vectorial f a la #e tiene por colmnas los nvectores derivados parciales de m componentes cada no:

∇

∇

∇

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

m

n

mmm

n

n

f

f

f

x

f

x

f

x

f

x f

x f

x f

x

f

x

f

x

f

x f #

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

50IE3A3ES V9I6ES:

nr "r 'r " f ℜ∈∀=′ ,)(),(

& k & f .)( =

14


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U@: DIFERENCIA(ILIDAD

Si &ien en Análisis I para *nciones escalares 'emos demostrado #etoda *nción con derivada fnita en n pnto es contina en dic'opnto) esta propiedad no es válida para *nciones de dos o másvaria&les. 1omo 'emos visto, eJisten campos escalares #e admiten

todas las derivadas direccionales en cal#ier dirección " sentido, enn determinado pnto, " no resltan ser continas en dic'o pnto.1omo el concepto de derivada es mc'o más dé&il, es necesariointrodcir otro concepto más amplio " comple%o denominadodiferencia8ilidad.Intitivamente sa&emos #e na *nción contina no tiene nagráfca “rota+ (con ag%eros, cortes o ra%adras!. 2na *ncióndi*erencia&le de dos varia&les de&e ser tal #e s gráfca no esté“rota+ pero además de8e 6ener de+nido plano 6an"en6e nicoen cada uno de sus pun6os, es decir, no de&e 'a&er do&leces,es#inas o picos en la gráfca. sta de&e ser “suave+.

DIFERENCIA(ILIDAD EN FUNCIONES ESCALARES

0)()()()()( lim0

000 =+′=−+→

h siendohh x f h x f h x f h

ε ε

DEFINICIÓN DE DIFERENCIA(ILIDAD )ARA CAM)OS!EC#ORIALESSea

( )),,,(,),,,,(),,,,(),,,(/: 2121221121 nmnnnmn x x x f x x x f x x x f x x x f " f =ℜ→ℜ⊆ f #omdeterior in punto & 0 si

)()(/ 000 & f # H & f f #om H & H n

∃∧+∃∈+ℜ∈∀ tal #e el incremento*ncional peda escri&irse como:

)(.)()()(000 H H H & f # & f H & f ε +⋅=−+ Siendo

m

H

H ℜ∈=→

0)(lim0 ε )

entonces se dice #e f es di*erencia&le en 0 & .

DIFERENCIA(ILIDAD )ARA CAM)OS ESCALARESSea ),,,(/: 21 n

n x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆ " #omf deterior in punto & 0

Si ( ))()(/ 00 & f M M H & f H nn ∇≡ℜ∈∃∧+∃ℜ∈∀ entonces:

)(.)()( 00 H H H M & f H & f ε +•=−+ Siendo 0)(lim0

=→

H H

ε

CASO PARTICULAR: Sea ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " ),( 00 y x pnto

interior. Si ( ) ( ) nmm M #omf k yh x f k h H ℜ∈=∃∧∈++ℜ∈=∀ 21002

,),(/,

entonces: ),(.),(),(),(),( 22210000 k hk hk hmm y x f k yh x f ε ++•=−++

siendo 0),(lim)0,0(),(

=→

k hk h

ε

15


16/38

#EOREMAS DE LA DIFERENCIA(ILIDAD

TEOREMA -: 9odo campo escalar di*erencia&le en n pnto tiene derivadasparciales en dic'o pnto.

20010000 ),(),();( m y x f m y x f y xenblediferencia f y x =′∃∧=′∃⇒

3EM0S95A1IL 3E6 9E05EMA :( )k h H ,=∀ ),(.),(),(),(),( 22210000 k hk hk hmm y x f k yh x f ε ++•=−++ siendo

0),(lim)0,0(),(

=→

k hk h

ε

1onsiderando ( )0,h H =Entonces:

)0,(..),(),( 10000 hhhm y x f yh x f ε +=−+ dividiendo todo por ':

0)(lim/)0,(..),(),(

0

10000 =+=−+

→hh

h

h

h

hm

h

y x f yh x f

hε ε aplicando l$mite:

0)(lim/)0,(.lim.

lim),(),(

lim0

0

inf

cot

0

1

0

),(

0000

0

100

=+/

/=

−+→

=

→

=

→

′=

→hh

h

h

h

hm

h

y x f yh x f

h

init,nit,

adaa funci-u

h

m

h

y x f

h

x

ε ε

or lo tanto:100 ),( m y x f =′

Análogamente se pede demostrar #e 200 ),( m y x f y =′∃ considerando( )k H ,0=

NO#A: Esto %stifca #e el vector M de la defnición coincide con)(

0 x f ∇ .

Se denomina di*erencial total de n campo escalar di*erencia&leal prodcto del gradiente de dic'o campo por el vector

incremento: H x f xdf x f blediferencia f n •∇=ℜ∈∇∃⇒ )()(/)( 000NOTA: Si el campo escalar *(J,"! es di*erencia&le en ),( 00 y x , el

),( 00 y xdf mide el incremento s*rido por el plano tangente al pasardel pnto 0 & al pnto incrementado H & +0

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE A LA SUPER"ICIE GR."ICADE ),( y x f z = DI"ERENCIA/LE EN ),( 00 y x :

)).(,()).(,(),( 00000000 y y y x f x x y x f y x f z y x −′+−′+=

ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL:

16


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( ) ( ) ( 1),,(),,(),(,,,, 00000000 −′′+= y x f y x f y x f y x z y x y xλ

TEOREMA 0:

9odo campo escalar di*erencia&le en n pnto es contino00 & encontinuo f & enblediferencia f ⇒

3EM0S95A1IL:Sea ),,,(/: 21 n

n x x x f u " f =ℜ→ℜ⊆ #omf deterior in punto & 0 " *

di*erencia&le:nn & f H ℜ∈∇∃ℜ∈∀ )( 0

0)(lim/)(.)()()(0

000 =+•∇=−+→

H H H H & f & f H & f H

ε ε

5eemplaKamos 00 & & H & H & −=⇒=+ " aplicamos l$mite

Entonces:[ ]

0

00

0

00

)(

0 )(.)()()()( limlimlimlim00

0

00

→

→

→

→

=

→→

−−+−•∇+= & & & & & & & f & f & f & & & &

& f

& & & &

ε

or lo tanto:

)()( 0lim0

& f & f & &

=→

TEOREMA 1:

9odo campo escalar di*erencia&le en n pnto admite derivadasdireccionales en toda dirección " sentido.),( 00 u & f u & enblediferencia f

n ′∃ℜ∈∀⇒

3EM0S95A1IL1onsiderando )0(. ≠= huh H

0).(lim/).(...)()().(0

000 =+•∇=−+→

uhuhuhuh & f & f uh & f h

ε ε

3ividimos por ':

( ) ).(..1.)(.1)().( 000 uhuhh

uh & f hh

& f uh & f ε +•∇=

−+

Acomodamos a!licamos l"mit#:

( )

0

.1

.

0

)(

00

);(

00

0

).(.)(.)().(

limlimlim

00 →

=

→

•∇=

→

′

→

+•∇/

/=

−+ IN%

"C.*"#" %

h

u & f

h

u & f

h

uhuh

hu & f

h

h

h

& f uh & f ε

$o% lo tanto:

u & f u & f •∇=′ )(),( 00Esta eJpresión es na regla práctica para calclar las derivadas

direccionales si la *ncion es di*erencia&le.

17


18/38

1omo consecencia de este teorema, si na *nción es di*erencia&lesola,en6e 6iene B derivada ,*i,a9 B ,7ni,a9 sólo & nulas .6as cales se calclan de la sigiente *orma:artiendo de la eJpresión α cos)(),( 00 ⋅⋅∇=′ u & f u & f

DERI$ADA M.XIMA: 1ando es igal a Go )( 0 & f f M"& ∇=′

o)(

)(

0

0

& f

& f u M"&

∇∇

=

DERI$ADA M#NIMA: 1ando es igal a X.o )( 0 & f f MIN ∇−=′

o)(

)(

0

0

& f

& f u MIN

∇

∇−=

DERI$ADAS NULAS: 1ando es igal a XY7 " S2S 10SE12E1IAS:

=′′′

•∇=′∃ℜ∈∀

′∃≤≤∀

⇒∈

02

1

1

)(),(

)(1:

00

0

0

1

f

f

f

u & f u & f u

& encontinua f

& f nii

blediferencia f $ enC f

MIN

M"&

n

xi

09A: En el cadro anterior se resmen los ? teoremas antedic'os "ss consecencias " es IM059A9E destacar #e sólo se cmplen losdirectos " los contrarrec$procos pero 0 los rec$procos ni los

contrarios.

)UN#O REULAR DE UNA SU)ERFICIE )ARAME#RI.ADASea S sperfcie parametriKada por

000000 ),(),,(&m/),( P vuh z y x$ hvuh ==∧=

),(),(),(),(),(),( 0000000000 vuhvuh N vuhvuhvuhvuh vuvu ′×′=∧=′∧=′

Se dice #e 0 P es pnto reglar de S si

0),(,0),(,0),(),(0020000 00≠′×′∧′′∧≠′∃≠′∃

vuvuvuvu hhvu !encontinuashhvuhvuh

18


19/38

U: FUNCIONES COM)UES#AS E IM)L/CI#AS

DERI!ADA DE LA FUNCIÓN COM)UES#A3FORMA MA#RICIAL DELA RELA DE LA CADENA

Sean )(/:)(/: y f z ! f x g y " g smmn =ℜ→ℜ⊆∧=ℜ→ℜ⊆

Si ))(())(/(:&m x g f x g f " f g h #omf g sn =ℜ→ℜ⊆=∃⇒⊆

Si g es di*erencia&le en 0 & " * di*erencia&le en )( 0 & g entonces g f esdi*erencia&le en 0 & :

)())(()( 0)( 0 x #g & g #f g f # o & •=

CASOS PARTICULARES Si nO , mO , sO:

)())(()( 0)( 0 x g x g f g f # o & ′•′= (regla de la cadena para varia&le!

1ando la compesta es na *nción escalar (nO, mZ, sO!:

)())(()( 0)( 0 t g t g f g f # ot ′•∇=

1ando la compesta es n campo escalar (nZ, mZ, sO!:

)())(()( 0)( 0 x g # x g f g f o &

•∇=∇

M%#ODO DE LA RED ORIEN#ADANa" otra *orma de encontrar la derivada de la compesta estdiandolos caminos desde las varia&les iniciales 'asta las varia&lesterminales, por e%emplo de la sigiente manera:

3e esta *orma se deriva " mltiplica para cada camino a las varia&les" lego se sman todos los caminos. En este e%emplo ser$a de lasigiente manera:

xv xu x v f u f h ′⋅′+′⋅′=′

yv yu y v f u f h ′⋅′+′⋅′=′

As$ o&tenemos las derivadas parciales " el gradiente en este caso.Este en n método a veces más rápido para pensar los e%ercicios.

FUNCIONES DEFINIDAS IM)L/CI#AMEN#E )OR UNA ECUACIÓN

f

'

(

)

19


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6a eJistencia de na *nción defnida impl$citamente por naecación se estdia a nivel local, todas las condiciones #e esta&leceel sigiente teorema remite a n pnto determinado.

TEOREMA DE EXISTENCIA DE "UNCIÓN IMPL#CITASea la *nción 0),( = y x % tal #e:

0),( 00 = y x % (el pnto perteneKca a la crva! ),( 002 y x !en f f y x ′∃∧′∃

0),( 00 ≠′ y x % y

Se demestra #e )( x f y =∃ en n entorno de 0 x deriva&le en 0 x :

),(

),(

00

00

0 y x %

y x %

dx

dy

y

x

x ′

′−=

TEOREMA DE CAUC345DINI O DE "UNCIÓN DE"INIDAIMPL#CITAMENTE POR UNA ECUACIÓN 6EXISTENCIA 4 DERI$A/ILIDAD7

Sea el campo escalar 0),,(/: 3 =ℜ→ℜ⊆ z y x % " % " ),,( 0000 z y x & = pntointerior al dominio) si:

0),,( 000 = z y x % (el pnto perteneKca a la crva! )(),,( 03

1

0003 & !enC % z y x !encontinuas f f f z y x ∈⇔′∃∧′∃∧′∃

===

=),(

),(

),(

0),,(

z xh y

z y g x

y x f z

z y x %

o Si 0),,( 000 ≠′ z y x % z

Se demestra #e ),( y x f z =∃ en ),( 002 y x ! di*erencia&le en ),( 00 y xtal #e:

),,(

),,(),(),(

),,(

),,(),(),(

000

000

0000

000

000

0000 z y x %

z y x % y x

y

f y x f

z y x %

z y x % y x

x

f y x f

z

y

y

z

x

x ′

′−=

∂

∂=′∧

′

′−=

∂

∂=′

(3e esta *orma tam&ién se pede demostrar respectivamente para lasposi&ilidades de JOg(",K! " "O'(J,K!!

3EM0S95A1IL: Si 0),,( = z y x % defne ),( y x f z = en ),( 002 y x ! :5eemplaKando o&tenemos: 0)),(,,(),( == y x f y x % y xh3erivamos miem&ro a miem&ro tiliKando regla de la cadena (se sóred orientada!:

0

1

=′⋅′+′⋅′=′=

x z x x x z % x % h

EspecialiKando: 0),(),,(),,( 00000000 =′⋅′+′ y x / z y x % z y x % x z x

3espe%ando:),,(

),,(),(

000

000

00 z y x %

z y x % y x /

z

x

x ′′

−=′

Análogamente para yh′ se demestra derivando respecto de "

20


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)RO)IEDAD B: 9odo campo escalar de 7 varia&les no constante " di*erencia&le en ncon%nto incl$do en s dominio cmple #e el gradiente de dic'ocampo es perpendiclar a ss crvas de nivel.

3EM0S95A1IL:Sea k y x f =),( " ℜ→ℜ⊆ 2: " % di*erencia&le en "$ ⊆1onsideramos na parametriKación de dic'a crva dada por

$ & C & t g C g t yt xt g ∈∧∈=∧== 00)(&m/))(),(()(

Evalamos el campo escalar * en todos los pntos de la crva 1,o&teniendo el valor constante Q: k t g % t yt x % == ))(())(),((3erivamos m.a.m tiliKando regla de la cadena:

0)())(( =′•∇ t g t g % EspecialiKando:

0)())(( 00 =′•∇ t g t g %

0)( 0 =•∇ * & % el gradiente de 4 reslta perpendiclar a la crva denivel correspondiente al pnto de análisis.

)RO)IEDAD &: 9odo campo escalar de < varia&les ),,( z y x % no constante "di*erencia&le en n con%nto S inclido en el dominio cmple #e elgradiente de dic'o campo es perpendiclar a s sperfcie de nivel

3EM0S95A1IL: Se realiKa casi lo mismo #e en la propiedadanterior, pero en < varia&les. Esto nos permite afrmar #e el vectortangente a la crva coordenada reslta perpendiclar al gradiente enel pnto de análisis. Si consideramos toda na *amilia de crvasinclidas en la sperfcie de nivel #e pasa por el pnto, de igalmanera, podemos demostrar los vectores tangentes en todas esascrvas son perpendiclares al gradiente, dic'os vectores estáninclidos en el plano tangente a la sperfcie de nivel en el pnto) conlo cal demostramos #e el gradiente es perpendiclar a la sperfciede nivel en el pnto.

SI 6A S2E54I1IE ES9[ 3E4II3A E 405MA IM6=1I9A > 0 & 2905E;26A5:

( ) 0)(: 00 =∇•− & % & & tg π )(.: 00 & % & & r n ∇+= λ

21


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U: )OLINOMIO DE #A$LOR G E1#REMOS

DIFERENCIALES SUCESI!OS

dy y x f dx y x f H f y xdf y x ),(),(),( ′+′=•∇=222 ))(,(),(2))(,(),( dy y x f dxdy y x f dx y x f y x f d yy xy xx ′′+′′+′′=

32233 ))(,()(),(3))(,(3))(,(),( dy y x f dydx y x f dydx y x f dx y x f y x f d yyy xyy xxy xxx ′′′+′′′+′′′+′′′=

En general:( ) nk k C f con & f H & f d ∈⋅•∇= )()( )(

#EOREMA DE #A$LOR )ARA CAM)OS ESCALARES DE &!ARIA(LESSea el campo escalar ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " ),( 00 y x pnto interior#e admite derivadas scesivas continas 'asta orden n en n

con%nto a&ierto incl$do en s dominio al cal pertenece),(

00

y x

,entonces se demestra #e:Siendo

0000000 ),(),( x xh y yk h x xk y y y xk yh x H & & −=∧−=∧+=∧+=⇒=++=+=

cn *

n

& P

n

n

H & f d

n

& f d & f d & df & f & f H & f

)*1(

)(

*

)(

*2

)()()()()( 0

1

)(

00

2

000 +Θ+

+++++==++

Con 10


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E1#REMOS )ARA CAM)OS ESCALARES

EXTREMOS RELATI$OS EN CAMPOS ESCALARES MA/IM0 5E6A9I@0:

3ado )(/: & f u " f n =ℜ→ℜ⊆ " 0 & pnto interior del dominio[ ]),(),(),(),(:),(/),(ma),( 0000200200 y x f y x f y x ! y x y x y x !ampliorelativo y x f ≤⇒∈∀∃⇔

[ ()(,(),(),(),(:),(/),(ma),( 0000200200 x si y x f y x f y x ! y x y x y x !estrictorelativo y x f ⇒∈∀∃⇔

EXTREMOS A/SOLUTOS EN CAMPOS ESCALARES MA/IM0 AS06290:

3ado )(/: & f u " f n =ℜ→ℜ⊆ " "$ ⊆ [ ])()(:ma)( 00 & f & f $ & & $ en f deamplioabsoluto & f ≤⇒∈∀⇔[ ]))(()(:ma)( 000 & & si & f & f $ & & $ en f deestrictoabsoluto & f ≠


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E1#REMOS RELA#I!OS )ARA CAM)OS ESCALARESDIFERENCIA(LESEXTREMOS LOCALES:ara campos escalares di*erencia&les #e admiten máJimo o m$nimolocal se de&erán o&tener el o los pntos del dominio *ncional dondese anlan todas las derivadas parciales primeras.

Si el campo escalar es de 7 varia&les, di*erencia&le, esta condición seredce a la anlación de x f ′ " y f ′ de modo tal #e el plano tangenteen el pnto correspondiente al eJtremo relativo sea 'oriKontal) a lospntos #e anlan las derivadas primeras se los denominan pun6oscr76icos o es6acionarios.Esta condición es necesaria pero no sfciente pes eJisten pntossperfciales #e admiten plano tangente 'oriKontal " sin em&argo la*nción no presenta eJtremos locales (e%: para&oloide 'iper&ólico!. Aestos pntos se los denomina de silla o de ensilladura) donde elplano tangente atraviesa la sperfcie *ncional.

Si[

]),(),(/),(),(),(),(/),(),(:),()),(,,(

002200222

0011002110020000

y x f y x f y x ! y x

y x f y x f y x ! y x y x ! sillade punto y x f y x

∈∃∀⇒

3EM0S95A1IL 3E 6A 103I1IL E1ESA5IA A5A 6A E/IS9E1IA3E E/95EM0S 601A6ES E 1AM0S ES1A6A5ES:Sea )(/: & f u " f n =ℜ→ℜ⊆ " 0 & pnto interior del dominio

Si ( ( 0,,)( 000 =′⇒′∃∧ u & f u & f relativoextremo & f

Sponemos #e )( 0 & f es maJimo relativo. 6a recta #e pasa por 0 &

está dirigida por u es u & & .0 λ += ( )ℜ∈λ siendo

0)0( & & ==λ .Evalando * en todos los pntos de esta recta reslta:)()0()()()( 00 & f hhu & f & f ===+= λ λ λ

or 'ipótesis sa&emos #e * tiene n eJtremo (lo sponemos máJimo!en )( 0 & f correspondiente a )0( =λ h .En consecencia, si los valores de* se mantienen por de&a%o de )( 0 & f en na )( 0 & !n , en particlarscederá lo mismo por los pntos de la recta considerada eJceptopara 0=λ . odemos afrmar #e )0(h es máJimo relativo de ' paralos pntos de la recta considerada.Aplicando la condición necesaria para la eJistencia de eJtremos

locales, podemos afrmar #e la derivada en 0=λ de&e anlarse.0)0(ma)0(ma)( 0 =′⇒⇒ hrelativoh f derelativo & f

k hh

=∆=∆

−∆+

→∆

λ λ

λ

λ

0)0()0(

lim0

entonces:

( ) 0,0)()( 0000

lim =′⇒=−+

→

u & f k

& f uk & h

k

Análogamente se demestra sponiendo n m$nimo.

24


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+$1E2E$IA1o Si ( ) 0,:)( 000 =′ℜ∈∀⇒∧ u & f uextremo & f & endif f n

o Si 0)(0)()( 0000 =∇⇒=•∇⇒∧ & f u & f extremo & f & endif f

CONDICIÓN NECESARIA $ SUFICIEN#E )ARA LA E1IS#ENCIA DEE1#REMOS LOCALES

3ESSIANOSea ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " )( 0

2 $ & abierto$ "$ enC f ∈∧⊆∈ , sedenomina essiano al sigiente determinante:

),(),(

),(),(),(

0000

0000

00 y x f y x f

y x f y x f y x H

yy yx

xy xx

′′′′

′′′′=

CONDICIÓN NECESARIA 4 SU"ICIENTE CON CRITERIOS DECLASI"ICACIÓN 6PARA 8 DE 0 $ARA/LES7

Sea ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " ),( 00 y x pnto interior del dominio " f esdiferencia8le en ),( 00 y x :

Si 0),(0),( 0000 =′∧=′ y x f y x f y x " además:o ),(0),(0),( 0000/00 y x f y x f y x H yy xx ⇒>′′> es &9i&( rela'iv(

o ),(0),(0),( 0000/00 y x f y x f y x H yy xx ⇒ es &%ni&( rela'iv(

o ( )),(,,0),( 000000 y x f y x y x H ⇒< es un'( de sillao 0),( 00 = y x H el cri'eri( n( c(nclu)e

1ando el 'essiano da G, como n( (de&(s a!r&ar la eJistencia ono de eJtremos, se de&e estdiar el comportamiento del campoescalar en n disco de centro ),( 00 y x tiliKando la defnición demáJimo local, m$nimo local " pnto de silla.

25


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UH: IN#ERAL CUR!IL/NEA G FUNCIÓN )O#ENCIAL

CONCE)#OS )RE!IOS:Sea ( ))(),(),()(/: 3 t z t yt xt g " g =ℜ→ℜ⊆ contina en [ ]ba " ,= e

C g =&m : Curva cerrada )()( b g a g =⇔

Curva si,ple ( ]baeninyectiva g ,⇔ Curva suave [ ]bat t g continuat g ,0)()( ∈∀≠′∧′⇔ Curva suave a 6ro;os si se pede particionar en mc'as

crvas saves.

10H290S 3E ME3I3A 26A: En ℜ : pntos aislados. En 2ℜ : pntos aislados, crvas. En 3ℜ : pntos aislados, crvas, sperfcies.

LONI#UD DE ARCO DE CUR!ASi el l$mite de la longitd de todas las poligonales inscriptas convértices ordenados desde )()( 0t g a g = 'asta )()( nt g b g = cando elma"or de los lados tiende a G eJiste " es fnito se dice #e la crva esrectifca&le (de longitd fnita! " dic'a longitd se denomina S.TEOREMA: Sea la crva simple 1 imagen de la *nción vectorialcontina [ ] ( ))(),(),()(/,: 3 t z t yt xt g ba g =ℜ→ℜ⊆ " g deriva&le concontinidad en todo el intervalo [ ]ba, con derivadas no nlas (Csi,ple suave!, entonces se demestra #e la longitd del arco decrva es la sigiente integral defnida simple:

∫ ′= b

adt t g $ )(

IN#ERAL DE #RA$EC#ORIA O DE CAM)O ESCALAR SO(RE UNACUR!ASea la *nción vectorial ( ))(),(),()(/: 3 t z t yt xt g " g =ℜ→ℜ⊆ contina "deriva&le en [ ]ba, " de derivada no nla en el mismo, de modo tal#e C g =&m save) si además está defnido el campo escalar

),,(/: 3 z y xhu "h =ℜ→ℜ⊆ #e reslta contino para todos los pntos dela crva 1 inclida en s dominio entonces: Se defne como in6e"ralde 6raec6oria o in6e"ral del ca,po a lo lar"o de la curva C ala sigiente integral defnida simple:

dt t g t g hds z y xhb

aC ∫ ∫ ′⋅= )())((),,(

IN#ERAL CUR!IL/NEA O IN#ERAL DE CAM)O !EC#ORIAL ALO LARO DE UNA CUR!A C 2CIRCULACIÓN4Sea ( ))(),(),()(/: 3 t z t yt xt g " g =ℜ→ℜ⊆ contina " deriva&le en [ ]ba, "de derivada no nla en el mismo la crva save 1 parametriKada por g " sea "C " f ⊆ℜ→ℜ⊆ /: 33 contino " acotado en todos los pntos dela crva 1 (eJcepto en pntos de medida nla so&re 1!) se defne

como in6e"ral curvil7nea del ca,po f a lo lar"o de C a lasigiente integral defnida simple:

26


27/38

dt t g t g f sd f b

aC ∫ ∫ ′⋅=⋅ )())((

$+%AI$ 6as integrales crvil$neas so&re crvas cerradas se selenescri&ir con el sigiente s$m&olo: ∫ C Se denomina vec6or diferencial de arco sd al #e tiene decomponentes los di*erenciales de las varia&les respectivas:

222

)()()( dz dydxds sd k dz 0dyidx sd ++==⋅+⋅+⋅=09A: 9oda circlación o integral crvil$nea de n campo vectorialso&re na crva reslta ser la integral de tra"ectoria del campoescalar #e srge de pro"ectar tangencialmente al campo vectorial#e está circlando) es decir #e el campo escalar #e e%erce e*ectode arrastre so&re la crva es la componente tangencial del campovectorial.

E1)RESIÓN DIFERENCIAL DE LA IN#ERAL CUR!IL/NEA

Si dt t g t g f sd f b

aC ∫ ∫ ′⋅=⋅ )())((

" ( )),,(),,,(),,,(),,( z y x z y xQ z y x P z y x f =

entonces la integral de l$nea se pede eJpresar de la sigientemanera tam&ién: dz z y x dy z y xQdx z y x P

C ∫ ++ ),,(),,(),,(

)RO)IEDADES DE LA IN#ERAL CUR!IL/NEA ( )∫ ∫ ∫ +⋅=⋅+⋅C C C sd f sd g sd f g β α β α ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅∪∪= 3321 1 2 C C C C C C C sd f sd f sd f sd f

IN#ERAL DE L/NEA DE UN CAM)O DE RADIEN#ESpongamos #e el campo vectorial f no es no cal#iera, sino #e

reslta ser el gradiente de n campo escalar, es decir, )( x f φ ∇=donde )( xφ es di*erencia&le con gradiente contino en n con%ntoa&ierto " coneJo inclido en s dominio) entonces demostramos #ela integral de l$nea reslta ser independiente del camino #e ne elpnto inicial " fnal de la crva.

3EM0S95A1IL:artiendo de )( x f φ ∇= con )( xφ di*erencia&le se demestra #e

∫ −=⋅ ! " " ! sd f )()( φ φ es independiente de la tra"ectoria.Sponemos na crva 1 #e ne A " parametriKada por

!t g "t g t g ba =∧= )()(/)( entonces:∫

∫∫∫

−=−=−=

==′=′⋅∇=′⋅=⋅′=′

! "

abab

t

t

t

t

t

t

gh

t

t

" !t gt gthth

thdtthdtt gt gdtt gt g f sd f b

a

b

a

b

a

b

a

)()()(()(()()(

)()()())(()())((

)(

φ φ φ φ

φ

φ

FUNCIÓN )O#ENCIALSi n campo vectorial f es el gradiente de n campo escalar φ entonces se dice #e φ es la función po6encial de f o &revementeel potencial de f .

27


28/38

El con%nto de pntos de 2ℜ en el #e el campo escalar φ toma elmismo valor se llama l7nea euipo6encial.En 3ℜ se denomina super+cie euipo6encial.

+$/II$ $EE1A&IA 'E&+ $+ 123IIE$%E 'A&A 4A E5I1%E$IA/E '+%E$IA4

Si ( )),();,(),(/: 22 y xQ y x P y x f " f =ℜ→ℜ⊆ admite *nción potencial

siendo ),(),( y x y x f φ ∇= siendo φ n campo escalar de derivadasparciales continas en A demostraremos #e de&en cmplirse lascondiciones de simetr$a:

" y xQ P x y ∈∀′=′ ),(

3EM:Si ( ) ( )),();,(),(),();,(),( y x y x y x y xQ y x P y x f y x φ φ φ ′′=∇==Entonces:

xy y x P y x y x P φ φ ′′=′→′= ),(),(

yx x y Q y x y xQ φ φ ′′=′→′=

),(),(or 9eorema de Sc'\arK: x y Q P ′=′

Ampliación a < dimensiones:( )),,();,,();,,(),,(/: 33 z y x z y xQ z y x P z y x f " f =ℜ→ℜ⊆

simetrica f # " z y x Q P Q P y z x z x y ⇔∈∀′=′∧′=′∧′=′ ),,(

09A: Esta condición es necesaria pero no sfciente pes eJistencampos vectoriales de matriK %aco&iana contina " simétrica #e noson campos de gradientes (conservativos!.

+$/II$ $EE1A&IA 6 123IIE$%E /E E5I1%E$IA /E '+%E$IA4Sea ( )),();,(),(/: 22 y xQ y x P y x f " f =ℜ→ℜ⊆ deriva&le con continidaden n con%nto "$ ⊆ siend( S si&le&en'e c(ne(, entonces sedemestra #e:

conexoe simplement $ y xQ P y x f y x y x x y ∈∀′=′⇔=∇∃ ),(),(),(/),( φ φ

{ } "$ −ℜ= 2 no es simplemente coneJo "$ −ℜ= 3 es simplemente coneJo

28


29/38

UJ: IN#ERALES MKL#I)LES $ CAM(IOS DECOORDENADAS

IN#ERAL DO(LEDEFINICIÓN: Si convergen tanto la sma in*erior como la sperior almismo nmero real, entonces ),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ es integra&le ":

∑∑∫∫ = =→∆+∆

∆∆=m

0

n

i

0i 0i

M"& #

y x f dxdy y x f

0 yi x 1 10

),(),( lim22

β α

)RO)IEDADES #deareadxdy

#=∫∫ 1

( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ +=⋅+⋅ # # # dxdy x g dxdy x f dxdy x g x f )()()()( β α β α

nulamedidade # #condxdy x f dxdy x f dxdy x f # # # # #

212121

)()()( ∩+= ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∪= Si el campo ),( y x f z = está defnido no negativo en el recinto

2ℜ⊆ # la integral mide el volmen del cilindroide limitadoin*eriormente por el recinto 3, speriormente por la grafca*ncional " lateralmente por las infnitas rectas traKadas por elcontorno de 3, perpendiclares al plano J".

C0LCULO DE UNA IN#ERAL DO(LE )OR REDUCCIÓN AIN#ERALES SUCESI!AS G E1)RESIÓN DE RECIN#OS )LANOSEJiten < tipos de recintos simples planos:

. 5E19A;26A5

≤≤

≤≤=

d yc

b xa

#

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ == b

a

d

c

d

c

b

a #dx y x f dydy y x f dxdxdy y x f ),(),(),(

7. SIM6E 10@E/0 SE;V 6A 3I5E11IL 3E6 EHE >

≤≤

≤≤=

)()( 21 x g y x g

b xa #

∫ ∫ ∫∫ = )(

)(

2

1

),(),( x g

x g

b

a #dy y x f dxdxdy y x f


30/38

CAM(IO DE !ARIA(LES EN IN#ERALES DO(LES#EOREMA DE CAM(IO DE !ARIA(LE EN UNA IN#ERAL DO(LE:

Sean ( )),();,(),(/: 22 vu yvu xvuh1 h =ℜ→ℜ⊆ " ),(/: 2 y x f z # f =ℜ→ℜ⊆ , si: 1C h ∈ 1−∃⇒ h1 enbiyectivah

#entegrablein y x f ),(

El %aco&iano de la trans*ormación es no nlo:

0≠′′

′′=

vu

vu

y y

x x 2

Entonces se demestra:( )∫∫ ∫∫ == ⋅= vu y x #1 # # dudv 2 vu yvu x f dxdy y x f ,, ),();,(),(

0SE5@A1IL: Interpretación del %aco&iano de pasa%e: El módlo del %aco&iano de pasa%e reslta ser el *actor de proporcionalidad entre las

áreas elementales, es decir, nmero positivo por el #e 'a" #emltiplicar los nevos di*erenciales para o&tener la eJpresión delnevo di*erencial de área elemental

COORDENADAS )OLARES 4órmlas de pasa%e:

o 3irectas:

=

=

)(

)cos(

θ ρ

θ ρ

sen y

x

o Inversas:

=

+=

+)(

)(

22

22

y x

y

x

y

arcsen

arctg

y x

θ

ρ

1ampo de varia&ilidad:

π θ

ρ

20 ≤≤ℜ∈ +

Entonces:( ))();cos(),(/: 22 θ ρ θ ρ ρ θ senh #1 h =ℜ⊆→ℜ⊆

ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ θ

θ ρ

θ ρ =+=+=−=′′′′= )(coscos

cos

cos 2222 sen sen sen

sen

y y

x x 2

ρ ρ ρ =⇒ℜ∈= + 2 como 2

( )∫∫ ∫∫ ⋅=θ ρ

θ ρ ρ θ ρ θ ρ ,,

;cos),( # #

d d sen f dxdy y x f y x

09A: En la ma"or$a de los casos, es conveniente la tiliKación decoordenadas polares cando el recinto de integración es n c$rclocentrado o desplaKado o na porción circlar del mismo.

COORDENADAS )OLARES DES)LA.ADAS

4órmlas de pasa%e:

30


31/38

+=+=

)(

)cos(

0

0

θ ρ

θ ρ

sen y y

x x

Haco&iano de pasa%e: ρ = 2

COORDENADAS EL/)#ICAS 4órmlas de pasa%e:

=

=

)(

)cos(

θ ρ

θ ρ

senb y

a x

Haco&iano de pasa%e: ρ ab 2 =

IN#ERALES #RI)LESDEFINICIÓN: Sea ),,(/: 3 z y x f u " f =ℜ→ℜ⊆ contino o discontino enn con%nto de medida nla en 3ℜ :

k

m

0

n

i

u

k

0ik 0i

M"& )

z y x f dxdydz z y x f

k z 0 yi x

∆∆∆= ∑∑∑∫∫∫ = = =→∆+∆+∆ 1 1 10

),,(),,( lim222

γ β α

)RO)IEDADES: ) devolumendxdydz

) =∫∫∫ 1

( ) ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ +=⋅+⋅ ) ) ) dxdydz x g dxdydz x f dxdydz x g x f )()()()( β α β α

nulamedidade) ) condxdydz x f dxdydz x f dxdydz x f ) ) ) ) )

212121

)()()( ∩+= ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∪=C0LCULO DE IN#ERALES #RI)LES:

3efniendo n cerpo por el recinto @, en este casosiendo pro"ecta&leso&re el plano J":

≤≤

≤≤

≤≤

=

),(),(

)()(

21

21

y x g z y x g

xm y xm

b xa

)

∫ ∫ ∫ ∫∫∫ = b

a

xm

xm

y x g

y x g ) dz z y x f dydxdxdydz z y x f

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

),,(),,(

31


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COORDENADAS CIL/NDRICAS O )OLARES EN EL ES)ACIOara &icar n pnto en el espacio se peden dar ss trescoordenadas cartesianas o ss tres coordenadas cil$ndricas, de lascales las 7 primeras resltan ser las coordenadas polares aplicadas alas varia&les correspondientes al plano en #e se decidió pro"ectar(en este caso J"! " la tercer coordenada es la coordenada cartesiana

correspondiente al e%e perpendiclar al plano de pro"ección (K!.

4órmlas de pasa%e:o 3irectas:

=

==

z z

sen y x

)()cos(

θ ρ θ ρ

o Inversas:

=

=

+=

+

z z

arcsenarctg

y x

y x

y x

y

)()(

22

22

θ

ρ


z z =≤≤

ℜ∈ +

π θ

ρ

20

Haco&iano de pasa%e:o ρ = 2

( ) dz d d z sen f dz dxdy z y x f z z y x ) )

∫∫∫ ∫∫∫ ⋅=,,,,

;;cos),,(θ ρ

θ ρ ρ θ ρ θ ρ

09A: En la ma"or$a de los casos, es conveniente la tiliKación decoordenadas cil$ndricas cando el sólido de integración tiene e%e desimetr$a o reslta ser na porción sectorial del mismo

32


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COORDENADAS ESF%RICAS

4órmlas de pasa%e:o 3irectas:

=

==

ω

ω θ ω θ

cos

cos

r z

senrsen y senr x

o Inversas:

++= 222 z y xr


π ω

π θ

≤≤

≤≤ℜ∈ +

0

20

r

Haco&iano de pasa%e:o ω senr 2

2=

( ) ω θ ω ω ω θ ω θ ω θ

d d dr senr r senrsen senr f dz dxdy z y x f r z y x ) )

∫∫∫ ∫∫∫ ⋅=,,,,

2cos;;cos),,(

09A: Es conveniente, en la ma"or$a de los casos, la tiliKación decoordenadas es*éricas cando el sólido de integración tiene centro desimetr$a o reslta ser na porción sectorial o cónica del mismo.

FÓRMULAS DE A)LICACIONES F/SICAS )ARA IN#ERALESDO(LES $ #RI)LES

APLICACIÓN "#SICA

2ℜ 3ℜ

MASA (Ma! ∫∫ # dxdy y x ),(δ ∫∫∫ ) dxdydz z y x ),,(δ M0ME90ES9[9I10(Me!

Ma

Me y

Ma

Me x

dxdy y x x Me

dxdy y x y Me

x

+

y

+

# y

# x

==

=

=

∫∫ ∫∫

),(

),(

δ

δ

dz dxdy z y x x Me

dz dxdy z y x y Me

dz dxdy z y x z Me

) yz

) xz

) xy

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

=

=

=

),,(

),,(

),,(

δ

δ

δ

M0ME903E IE51IA(I!

∫∫ ∫∫ ∫∫

+=

=

=

#

# y

# x

dxd y x y x I

dxdy y x x I

dxdy y x y I

),()(

),(

),(

22

)0,0(

2

2

δ

δ

δ

d dxdy z y x x y I

d dxdy z y x z x I

d dxdy z y x z y I

) z

) y

) x

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

+=

+=

+=

),,()(

),,()(

),,()(

22

22

22

δ

δ

δ

33


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UB: IN#ERAL DE SU)ERFICIE G FLU-O

0REA DE SU)ERFICIE INCLU/DA EN 3ℜ3epende de cómo se eJprese la sperfcie:

Sea la sperfcie save parametriKada por el campo vectorial( )),(),,(),,(),(/: 32 vu z vu yvu xvuh "h =ℜ→ℜ⊆ , el área de la

sperfcie se eJpresa de la sigiente *orma:o dudvhh "

vu # vu∫∫ ′×′=∑

,

)(

Si la sperfcie está defnida en *orma eJpl$cita como gráfco de),(/: 2 y x f z " f =ℜ→ℜ⊆ " es di*erencia&le, el área de la sperfcie

se eJpresa como:

o ( ) ( ) dxdy f f " y x #

y x∫∫ +′+′=∑,

1)( 22

Si la sperfcie está defnida impl$citamente por 0),,( = z y x % "es pro"ecta&le de manera simple so&re algno de los planoscoordenados, se pede defnir el campo de versores normales:

o

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′+′+′

′

′+′+′

′

′+′+′

′=

zn

/ 3 x

/

yn

/ 3 x

y

xn

/ 3 x

x

% % %

%

% % %

%

% % %

% n

cos

222

cos

222

cos

222,,

Entonces) depende so&re #e plano se pro"ecte:

o ro"ecta&le en J": ∫∫ =∑ y x # z n

dxdy "

, cos)(

o ro"ecta&le en "K: ∫∫ =∑ y z # xn

dzdy "

, cos)(

o ro"ecta&le en JK: ∫∫ =∑ z x # yndxdz

", cos)(

IN#ERAL DE UN CAM)O ESCALAR A #RA!%S DE UNASU)ERFICIE

Sperfcie parametriKada:

o ( ) dudvhhvu zvu yvu x g d x g vu #

vu∫∫ ∫∫ ′×′⋅=∑ , ),(),,(),,()( σ Sperfcie eJpl$cita:

34


35/38

o ( ) ( ) ( ) dxdy f f y x f y x g d x g y x #

y x∫∫ ∫∫ +′+′⋅=∑ , 1),(,,)( 22

σ

Sperfcie impl$cita: teniendo en centa donde se pro"ecta(e%emplo J"!:

o ( ) zndxdy y x f y x g d x g

y x #

cos),(,,)(

,∫∫ ∫∫ ⋅=∑σ

IN#ERAL DE SU)ERFICIE DE CAM)O !EC#ORIAL O FLU-O

NO#A: ara el cálclo del ]%o sólo tra&a%aremos con sperfciesorienta&les o &iláteras. 0&serve #e, dada na sperfcie, #eda

defnido el campo de versores normales

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′+′+′

′

′+′+′

′

′+′+′

′=

zn

/ 3 x

/

yn

/ 3 x

y

xn

/ 3 x

x

% % %

%

% % %

%

% % %

% n

cos

222

cos

222

cos

222,,

donde a cada pnto de la sperfcie le 'ace corresponder n versor

normal, “orientándola+. Si dic'o campo de versores normales resltaconstante en toda la sperfcie, se dice #e es orienta&le o &ilateral.Es decir, #e toda sperfcie de ete tipo admite 7 orientacionesdistintas opestas entre s$ (n " 8n!.

462H0: 3ado el campo vectorial ),,(/: 33 z y x f ! f ℜ→ℜ⊆ contino en !⊆Σ : (0&serve #e en cada *órmla las normas del di*erencial se

cancelan con la del campo de versores normales!: Sperfcie parametriKada:

o ∫∫ ∫∫ Σ ′×′•=•=Φ vu # vu dudvhhvuh f d n f , )()),((σ Sperfcie eJpl$cita:

o ∫∫ ∫∫ Σ −′′•=•=Φ y x # y x dxdy f f y x f y x f d n f , )1,,()),(,,(σ Sperfcie impl$cita (en este caso pro"ecta&le so&re J"!:

o ∫∫ ∫∫ Σ ′∇•=•=Φ

y x # z

dxdy %

% y x f y x f d n f

,

)),(,,(

σ

35


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UBB: #EOREMAS IN#ERALES: REEN9 S#OES9AUSS

CONCE)#OS )RE!IOS:CAMPOS DESTACA/LES ASOCIADOS A UN CAMPO $ECTORIALDADO:

3ado n campo ( )),,();,,();,,(),,(/: 33 z y x z y xQ z y x P z y x f " f =ℜ→ℜ⊆

se defnen dos campos asociados al dado: DI$ERGENCIA: Es el campo escalar (siendo 1C f ∈ ! #e se

o&tiene smando las derivadas parciales de cada no de loscampos escalares componentes del campo vectorial respectode ss varia&les respectivas.

z y x Q P f z y x f div ′+′+′=•∇=),,(

6a divergencia tam&ién es la traKa de la matriK %aco&iana. 6aeJpresión de na&la escalarmente * viene de:

( ) z

y

Q

x

P Q P

z y x f

∂

∂+∂

∂+∂

∂=•

∂

∂

∂

∂

∂

∂=•∇ ,,,,

ROTOR O ROTACIONAL: Es n campo vectorial defnido como:( ) y x x z z y P Q P Q f z y x f rot ′−′′−′′−′=×∇= ,,),,(

Se eJpresa como na&la vectorialmente *:

( ) y x x z z y P Q P Q Q P

z y x

k 0i

f ′−′′−′′−′=∂∂

∂∂

∂∂=×∇ ,,

2n campo vectorial con rotor idénticamente nlo para todos ss

pntos se denomina IRROTACIONAL. 2n campo vectorial condivergencia nla en todo pnto se denomina SOLENOIDAL.

LAPLACIANO:Se defne como:

zz yy xx f f f f grad div f ′′+′′+′′==∇ ))((2

Si n campo tiene laplaciano nlo en todos ss pntos se denomina ARMÓNICO.

#EOREMA DE AUSS O DE LA DI!ERENCIA

ermite calclar el ]%o a través de sperfcies cerradas por medio dena integral triple.ENUNCIADO: 3ado el campo vectorial ),,(/: 33 z y x f " f ℜ→ℜ⊆ defnido" contino en n sólido @ pro"ecta&le so&re los tres planoscoordenados, donde dic'o campo vectorial es deriva&le concontinidad, se demestra #e la integral triple defnida en el sólido @de la divergencia de * es igal al ]%o saliente del campo * a través dela sperfcie cerrada ^ #e es la *rontera de @.Sea 33: ℜ→ℜ⊆ " f " ") enC f ⊆∈ 1 ) de fronteracerrada.s'!Σ

∫∫ ∫∫∫ Σ •=•∇ σ d n f dxdydz f )

APLICACIÓN CON$ENIENTE A SUPER"ICIES A/IERTAS:

36


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Si se desea aplicar “convenientemente+ el teorema de la divergenciaen na sperfcie a&ierta, se pede “cerrar+ la sperfcie por na omás caras " lego al ]%o total (calclado por la integral triple! se lede&e restar el ]%o a través de cada na de las caras #e se eligieronpara “cerrar+ la sperfcie, considerando siempre los versoressalientes respecto del sólido con*ormado.

#EOREMA DEL RO#OR O S#OESSirve para calclar la circlación a lo largo de na crva cerrada pormedio de na integral de sperfcie.E21IA30: 3ado el campo vectorial 33: ℜ→ℜ⊆ " f con derivadasparciales continas en n con%nto a&ierto A tal #e dic'o con%ntoincl"a a na sperfcie orienta&le a&ierta ^ c"o &orde es la crvacerrada 1, entonces el ]%o del rotor de * a través de la sperfcie ^ esigal a la circlación del campo vectorial * a lo largo de la crva 1recorrido en sentido positivo respecto a la cara elegida como positiva.Sea 33: ℜ→ℜ⊆ " f " "abiertoenC f 1∈ "abierta ⊆Σ .s'!

"C bordeC ⊆Σ / :( σ d n f sd f

C •×∇=∫ ∫∫ Σ

ara coordinar la orientación de la crva con la de la sperfcie sespone n o&servador de pie so&re la sperfcie #e mire la crvadesde el eJterior del versor normal a la cara elegida como “positiva+)si al recorrer la crva 1 la sperfcie ^ #eda a la iK#ierda delo&servador entonces 'emos logrado la coordinación de lasorientaciones.

#EOREMA DE REENSe tiliKa para calclar circlaciones a lo largo de crvas cerradas #elimitan n recinto plano por medio de na integral do&le.E21IA30: 3ado el campo vectorial 22: ℜ→ℜ⊆ " f deriva&le concontinidad en n recinto delimitado por la crva cerrada 1 de modotal #e 3 " 1 estén inclidos en el a&ierto A, entonces la circlación alo largo de la crva cerrada 1 recorrida en sentido anti'orario opositivo es igal a la sigiente integral do&le:

( )dxdy P Q sd f C #

y x∫ ∫∫ + ′−′=

"ÓRMULAS PARA EL C.LCULO DE .REAS PLANAD MEDIANTEINTEGRAL CUR$IL#NEA:ara dedcir *órmlas, 'a" #e encontrar campos vectoriales tales#e 1=′−′ y x P Q

1AS0S A59I126A5ES:. ∫ ∫ ==⇒=∧=→=′∧=′ C C y x xdydydx x # " y x P x y xQ P Q ),).(,0()(0),(),(017.

∫ ∫ −=−=⇒−=∧=→−=′∧=′ C C y x ydxdydx y # " y y x P y xQ P Q ),).(0,()(),(0),(10

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Documents

Sintesis Analisis Matematico II