SIMULAZIONE BIDIMENSIONALE DELLA PROPAGAZIONE DI …

XXX° Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche - IDRA 2006 Master Class: Modelli numerici di correnti fluviali su fondo fisso e fondo mobile

SIMULAZIONE BIDIMENSIONALE DELLA PROPAGAZIONE DI UN’ONDA DI SOMMERSIONE IN AMBIENTI A TOPOGRAFIA ACCIDENTATA

Gabriella Petaccia1

(1) Dipartimento di Ingegneria Idraulica e Ambientale, Università degli studi di Pavia, – Pavia (IT) e-mail:[email protected]

Parole chiave: idraulica delle acque basse,moto vario, simulazioni bidimensionali, topografia accidentata.

SOMMARIO

L’attività che viene descritta in seguito costituisce una sintesi dell’attività di ricerca cominciata nel 2000 nell’ambito del Dottorato di Ricerca in Ingegneria Civile, sezione Idraulica, che la scrivente ha condotto presso il Dipartimento di Ingegneria Idraulica e Ambientale dell’Università di Pavia, riguardante la simulazione matematica e numerica della propagazione di onde a fronte ripido in alvei naturali. L’attività di ricerca ha incluso lo sviluppo di codici di calcolo che integrano le equazione delle acque basse in domini mono e bidimensionali e la loro applicazione per la simulazione di esperienze di laboratorio e di eventi reali. In particolare la scrivente si è interessata all’applicazione degli schemi numerici presenti nella più recente letteratura (accurati al primo e al secondo ordine) e al trattamento del termine sorgente con l’obiettivo di una loro applicazione a casi reali caratterizzati da bruschi cambiamenti di pendenza o di variazioni repentine della forma e della dimensione delle sezioni trasversali o in presenza di singolarità idrauliche che ostacolano il deflusso (ponti, traverse fluviali, salti di fondo). Molto spesso schemi di elevato ordine di accuratezza vengono proposti solo nella riproduzione delle soluzioni analitiche, o per la simulazione di casi test di laboratorio che non presentano difficoltà dal punto di vista della caratterizzazione della geometria. A tal fine la scrivente ha raccolto i dati relativi alle prove sperimentali più recenti presenti in letteratura, alcune condotte nell’ambito di progetti di ricerca europei (CADAM, IMPACT). Nell’ambito dell’attività di ricerca la scrivente ha partecipato al progetto di ricerca di base congiunto tra l’Università Catholique di Louvian La Neuve e l’Università di Pavia. Entrambe le università si occupano da tempo di tematiche comuni riguardo alla modellizzazione idrodinamica delle onde di piena estreme (rotture di dighe, di argini, piene improvvise). La collaborazione ha anche riguardato lo scambio di dati sperimentali che i ricercatori delle due università avevano ottenuto in precedenti ricerche. Questa memoria si inserisce in questo contesto, e riguarda la simulazione della propagazione di un onda di sommersione in ambiente urbano, caratterizzato da una serie di edifici allineati tra di loro. Le prove sperimentali sono state condotte all’UCL di Louvian La Neuve; le simulazioni numeriche sono state effettuate con un codice di calcolo bidimensionale ai volumi finiti, che integra le equazioni delle acque basse scritte in forma conservativa, utilizzando schemi upwind del primo e secondo ordine di accuratezza.

1 INTRODUZIONE

La propagazione di correnti a rapida evoluzione è un problema applicativo che è stato molto studiato nel recente passato anche nell’ambito di progetti di ricerca finanziati dalla comunità Europea (CADAM, IMPACT). Il progetto CADAM (Concerted Action on Dam Break Modelling), terminato nel 2000, ha confrontato i risultati di modelli mono e bidimensionali applicati a modelli fisici. Tutti i modelli analizzati utilizzavano il modello matematico delle equazioni delle acque basse, preferibilmente scritte in forma conservativa in

171

G.Petaccia

modo tale da simulare in modo corretto la celerità di propagazione delle discontinuità che si originano nel campo di moto. Il rapporto finale (Morris 2000) non ha evidenziato differenze significative nell’applicazione di schemi numerici di diversa accuratezza a casi reali, ma ha redatto linee giuda che evidenziano le caratteristiche che un codice numerico deve avere per riuscire a simulare in modo corretto i fenomeni in esame. Simili risultati sono stati ottenuti nel passato da Petaccia e Savi (2001; 2002), e da Macchione e Morelli (2003). La corretta rappresentazione della topografia del dominio risulta determinante nella simulazione della propagazione di onde a fronte ripido. Le ricerche condotte nell’ambito del progetto IMPACT (Investigation of extreMe flood Processes uncertAinTies) si sono concentrate soprattutto su questo aspetto con particolare riferimento a modelli bidimensionali, focalizzando l’attenzione sull’interazione tra corrente e strutture, come ad esempio la presenza di ostacoli nel campo di moto di diversa forma ed orientazione rispetto alla corrente (Soares Frazao 2003, Zech e Frazao 2002, Petaccia e Savi 2003, Natale et al 2004).

L’inondazione conseguente alla rottura di uno sbarramento artificiale molto spesso interessa aree solitamente non occupate da piene naturali. In un’area urbana la direzione del flusso è dettata principalmente dalla posizione degli edifici, che determinano complessi percorsi della corrente. Queste condizioni sono state studiate in letteratura da numerosi autori in diverse condizioni, sia di corrente subcritica, che di corrente supercritica. In tale contesto si inseriscono, tra gli altri, i lavori di Nania et al (2004), Riviere e Perkins (2004), i quali hanno presentato uno studio sperimentale di deflusso supercritico in corrispondenza di un incrocio stradale, definendo relazioni monodimensionali per predirre la separazione del flusso, e quello di Ishigaki et al (2003), nel quale si è studiato l’inondazione all’interno di un’area urbana rappresentata da una serie di edifici e di strade.

2 MODELLO MATEMATICO BIDIMENSIONALE E DISCRETIZZAZIONE AI VOLUMI FINITI

Il modello matematico è costituito dalle equazioni di bilancio di massa e quantità di moto (Shallow Water Equations, SWE) scritte forma bidimensionale conservativa (Ligget 1975)

( ) ( ) SGFU=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

yU

xU

t (1)

con:

U

=

y

x

qqh

+=

hqq

hgh

qq

F

yx

x

x

2

22

+

=

2

22hg

hq

hqq

q

G

y

yx

y

( )( )

−−=

fyy

fxx

SSghSSghS

0

0

0 (2)

dove con h si è indicato il tirante idrico, con qx e qy le componenti del vettore portata lungo i due assi coordinati, con Sox ed Soy la pendenza di fondo lungo i due assi coordinati e con Sfx e Sfy le cadenti delle linee dei carichi totali lungo i due assi coordinati x,y utilizzando la formula di Manning,, e con g l’accelerazione di gravità. Nel seguito si indicheranno con u e v rispettivamente le componenti del vettore velocità lungo i due assi coordinati x ed y. L’equazione (1) può essere scritta in forma divergente come:

172

Simulazione bidimensionale della propagazione di un onda di sommersione in ambiente a topografia accidentata

( ) SGFU=⋅∇+

∂∂ ,

t (4)

la sua espressione sul volume Ω fissato è:

( ) ∫∫∫ΩΩΩ

Ω=Ω⋅∇+Ω∂∂ dddt

SGFU , (5)

Applicando il teorema della divergenza otteniamo, definendo con S la superficie che ingloba il volume Ω:

( )( ) ∫∫∫ΩΩ

Ω=⋅+Ω∂∂ ddSdt

S

SnGFU , (6)

Il dominio è discretizzato in volumi finiti, il cui generico elemento Ωi è descritto in figura 1

Figura 1-Definizione del dominio in volumi finiti

Ciascun volume di controllo è definito in funzione del suo baricentro al quale vengono assegnati i valori delle variabili idrauliche (tirante idrico) e cinematiche (portate e velocità lungo gli assi coordinati) L’equazione (6) verrà applicata a ciascun volume finito e si indicheranno con Ui, i valori medi delle variabili associate al volume stesso. Essendo la maglia computazionale fissa nel tempo, l’espressione (6) potrà scriversi come:

( )( ) iiS

ii

i

dt

Ω=⋅+Ω∂

∂∫ SSnGF

U

,

, (7)

173

G.Petaccia

nella quale resta da definire l’integrale di superficie. Volendo seguire una trattazione del tutto generica e non legata alla forma e al numero dei lati del volume di controllo, che si indicheranno con nl, l’integrale di superficie può essere approssimato da una sommatoria estesa ad nl:

( )( ) ( )( )∑∫=

⋅=⋅nl

kwww

Skkk

i

dd1

,, SnGFSnGF (8)

dove con wk si è indicato l’indice corrispondente alla parete k-ma del volume finito, con nwk la normale esterna alla parete k-ma del volume e con dSwk la lunghezza di tale parete. L’espressione rappresenta i flussi numerico dello schema scelto valutati sulla parete wk . Il suo prodotto con la normale a tale parete rappresenta infatti la sua componente nella direzione ortogonale alla parete considerata, che può esprimersi come:

( )kwGF,

( ) ( ) ( )kkkkkk wywwxwww nn ⋅+⋅=⋅ GFnGF, (9)

Per calcolare l’espressione (8) sono necessari esclusivamente i flussi numerici normali alle pareti del volume di controllo. La discretizzazione ai volumi finiti del sistema di equazioni di bilancio di massa e di quantità di moto nel caso 2D (SWE) può essere espresso, indicando con Ai l’area dell’elemento i-mo, dalla:

( )( ) ∫∑Ω=

+ Ω∆+

⋅

∆−= dtd

At

n

i

nl

kwww

i

ni

ni kkk

SSnFGUU1

1 ( 10)

3 SCHEMI NUMERICI UTILIZZATI

Nel lavoro che si presenta sono stati utilizzati due schemi numerici upwind , uno del primo e uno del secondo ordine di accuratezza (Roe 1981; Batten et al 1996), che vengono descritti in dettaglio nei paragrafi successivi e che sono stati sviluppati dalla scrivente durante la recente attività di ricerca (Petaccia 2003, Natale et al 2004, Petaccia e Savi 2005).

3.1 Schema di Roe del primo ordine

La base dello schema upwind di Roe (Roe, 1981) sta nella definizione dello Jacobiano approssimato del flusso, Ai+1/2 su ciascuna parete delle celle di calcolo. Una volta definita questa matrice, il flusso numerico all’interfaccia è determinato dalla:

( )

−⋅−+=

+ LRRLLR iUUAFFF

21

~21* (11)

Il flusso numerico upwind bidimensionale si otterrà applicando l’espressione (11) a ciascuna parete della cella di calcolo, come mostrato in figura 1. Formalmente si scriverà allora:

172


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]kkkkk wLRwRLwLRww UUJnGFGFnGF −⋅−+=

~,,21, (12)

dove k=1,nl, utilizzando le notazioni definite in precedenza, e indicando rispettivamente con i pedici R e L le variabili presenti negli elementi presenti a destra e a sinistra della parete wk;, con ( )

kwRLJ~ la matrice

jacobiana approssimata del vettore del flusso normale alla parete, con ( )kwRLJ~ la matrice i cui autovalori

sono il modulo delgli autovalori di ( )kwRLJ~ .

La matrice jacobiana deve soddisfare alle seguenti condizioni: 1. ( )

kwRLJ~ dipenderà esclusivamente da UR e UL

2. ( ) ( ) ( )kkk wLRwRLwLR UUJFF −=−

~

( )~3. kwRLJ è una matrice di valori reali e distinti e tali sono i suoi autovettori

( )~4. ( ) ( LRwRL kUJUJJ == se LR UU = )

avendo indicato con J(U) la matrice jacobiana del flusso normale esatto, che è definita come:

( )( )yyxxyx nnnn AA

UG

UF

UnGFJ +=

∂∂

+∂∂

=∂

⋅∂=

, (13)

Nella equazione (13) si è indicata con n il vettore unitario normale alla parete considerata; con Ax e Ay le matrici jacobiane delle due componenti cartesiane del tensore del flusso, definite come:

−−=

uvuvuuc 02

01022

xA

−−=

vvcuvuv20

100

22yA (14)

Sostituendo la loro espressione nella equazione (13) si ottiene:

( )( )

+⋅+⋅−

+⋅+⋅−=

yxy

yxx

yx

unvnncvununncunn

nunununuJ

2

20

(15)

avendo indicato con u=(u,v) e c=√gh. La matrice J ammette come autovalori am:

cvnunca yx ++=+⋅= nu1yx vnuna +=⋅= nu2 (16) cvnunca yx −+=−⋅= nu3

e autovettori em, (m=1,3):

173

G.Petaccia

++=

y

x

cnvcnu

11e

−=

x

y

cncn0

2e

−−=

y

x

cnvcnu

13e (17)

Nello stesso modo è possibile definire autovalori ed autovettori della matrice ( )

kwRLJ~ che per comodità

di notazione d’ora in avanti indicheremo solo come RLJ~ . Si ammetterà che essa abbia la stessa forma di J con la differenza che al posto delle variabili u e c si avranno le ( )vuu ~,~~ = e c~ . I suoi autovalori ed autovettori saranno rispettivamente:

ca ~~~1 +⋅= nu nu ⋅= ~~ 2a ca ~~~3 −⋅= nu (18)

++=

y

x

ncvncu

~~~~

1~1e

−=

x

y

ncnc

~~0

~ 2e

−−=

y

xncvncu

~~~~1

~3e (19)

Per definire le grandezze con la cediglia la differenza delle grandezze conservative può essere espressa in funzione degli autovettori di RLJ~ secondo la:

( ) ∑=

=−=3

1

~m

mRL

mRLLRRL eUUU αδ (20)

dalla quale si ottiene l’espressione dei coefficienti RLα

( ) ( )[ RLyRLxRLRL

RL hnhvnhuc

hδδδ

δα nu ⋅−+±= ~

~21

23,1 ] (21)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]yRLRLxRLRLRL nhuhunhvhvc

δδδδα ~~~12 −−−= (22)

Applicando la proprietà 2. Si ottiene l’equazione vettoriale:

( ) ∑=

=−=3

1

~m

mRL

mRL

mRLLRRL a eFFF αδ (23)

Uguagliando il secondo e il terzo membro della (23) è possibile ottenere i valori delle tre grandezze con la cediglia, separando le variabili che dipendono da c~ da un lato e quelle che dipendono da dall’altro, seguendo lo stesso procedimento del caso monodimensionale, ottenendo:

( )vuu ~,~~ =

174


( )2

~ LR hhgc

+=

LR

LLRR

hh

uhuhu

+

+=~

LR

LLRR

hh

vhvhv

+

+=~ (24)

Abbiamo allora determinato univocamente la matrice RLJ~ . Uno schema upwind costruito su una matrice approssimata dei flussi può generare discontinuità idrauliche non spiegabili fisicamente. Per evitarlo è necessario introdurre la correzione di entropia, sostituendo agli autovalori della matrice RLJ~ con il modulo degli stessi. Nella parete che separa due celle si calcolerà prima la quantità:

( ) ( )[ ]kRL

kR

kL

kRL

kRL aaaa −−= ~,~,0maxε k=1,3 (25)

che risulterà diversa da zero solamente nella regione in cui le caratteristiche divergono. Il modulo del primo e del terzo autovalore sarà allora sostituito dalla grandezza:

<

≥= k

RLkk

RL

kRL

kkkRL

ase

asea

εε

εψ ~

~~ k=1,3 (26)

Questo accorgimento aumenta la viscosità numerica dello schema nella quantità necessaria. La matrice ( )

kwRLJ~ si ridefinisce in modo tale che i suoi autovalori siano in modulo quelli di RLJ~ corretti tramite

la (26), cioè:

( ) 1

3

2

1

~

00

0~000

~~ −

⋅= ΠΠJ

RL

RL

RL

RL a

ψ

ψ (27)

dove con Π~ e 1Π−~ si sono indicate le matrici che diagonalizzano J ( ( ) ΠJΠdiag ~~ 1 ⋅⋅= −ma ) e che valgono, rispettivamente:

−+−−+=

yxy

xyx

cnvcncnvcnucncnu

101~Π ( )

−−⋅+−−

⋅+=−

yx

xyxy

yx

nncnnvnun

nnc

cnu

nuΠ 222

21~ 1 (28)

3.2 Estensione al secondo ordine

Viene riportata l’estensione dello schema di Roe al secondo ordine di accuratezza, valida per maglie triangolari. Lo schema del primo ordine riportato nel paragrafo precedente è stato costruito calcolando i flussi su ciascuna faccia a partire dai valori delle grandezze idrauliche U delle celle adiacenti, considerate costanti

175

G.Petaccia

su ciascuna cella di calcolo. Per ottenere una maggiore ordine di accuratezza nello spazio si ammette che la variabile U non sia costante sulla cella ma vari secondo un piano inclinato (vedi figura 2a),

Figura 2a-Schema dell’interpolazione delle variabili nello spazio

interpolando i valori delle variabili nello spazio a partire dai valori medi nel centro delle celle, con funzioni lineari ottenendo il valore delle variabili sulle facce delle celle, secondo le (29)

RRLRR DrUU +⇒ LLRLL DrUU +⇒ (29)

dove rRL è il vettore che parte dal centro della cella L al punto medio del lato LR (vedi figura 2b).

Figura 2b-Schema delle grandezze R e L

176


I nuovi valori delle variabili all’interfaccia R e L sono valori interpolati costruiti a partire dai valori iniziali delle variabili nelle celle adiacenti. La costruzione dell’operatore D risulta di cruciale importanza per lo schema numerico. Deve essere conservativo e garantire la monotonicità. In questo lavoro è stato utilizzato l’operatore MLG (maximum limiter gradient), studiato anche da Batten et al (1996). La procedura per una ricostruzione non oscillante dei valori iniziali della soluzione è trattata in seguito. Dati i tre baricentri A, B e C delle tre celle adiacenti ad un triangolo (di centro O), vedi figura 2c :

Figura 2c-Schema della griglia non strutturata

può essere definito un unico piano gradiente come:

−−

= 31

32

//mmmmD (30)

dove con mk si è indicata la k-ma componente del vettore normale al piano (ABC) dato dalla:

−

×

−

=

Bk

Ck

Ak

Ck

k yx

yx

yx

yx

UUUUm (31)

Per determinare l’operatore D su una griglia non strutturata triangolare al meno 4 piani gradienti devono essere considerati: quelli passanti per i tre baricentri delle celle adiacenti ABC e quelli passanti per il baricentro della cella O e i tre baricentri A,B,C, che hanno un lato in comune. D1=∆(ABC) D2= ∆ (ABO) D3= ∆ (BCO) D4= ∆ (CAO) (32) Dove con ∆(ABO) si indica il piano gradiente attraverso i punti ABO. L’operatore Di viene limitato attraverso uno scalare ai in modo tale che

177

G.Petaccia

iii DD α= (33)

dove 0<α<1 e α è massimizzato in modo da non ottenere oscillazioni della soluzione. Nell generico elemento O, adiacente al generico elemento E, α è determinato su un lato con il generico elemento contiguo E come:

( )( ) ( ) (( )( )

)

( ) (

<+−

>+−

=

casialtrinegli

UUDrUseDrUUU

UUDrUseDrUUU

EOEOE

E

EOEOE

E

1

,min,min

,max,max

0000

0000

α ) (34)

Questa procedura viene portata avanti sequenzialmente per tutti i lati dell’elemento e D viene così limitato se si riscontrano delle possibili oscillazioni. α viene posto uguale a zero nel caso in cui la soluzione all’istante precedente nella cella sia la massima o la minima rispetto a tutte le celle contigue. Viene infine selezionato l’operatore Di per il quale la norma è massima. Per ottenere il secondo ordine di accuratezza anche nel tempo si è utilizzato una tecnica predictor - corrector, calcolando le variabili al tempo tn+1/2 = tn +∆t/2 ed utilizzando questi valori per il calcolo dei flussi al tempo tn+1

( ) ni

n

w

ne

KwW

I

nI

ni

tdCSt

kkKSnGFUU

2,

2 1

21 ∆

+

∆−= ∑

=

+ (35)

( ) 212

1

1

1 ,+

+

=

+ ∆+

∆−= ∑ n

i

n

w

ne

KwW

i

nI

ni tdC

St

kkKSnGFUU (36)

La condizione di stabilità di uno schema bidimensionale è legata al numero di Courant. Nel nostro caso il passo di integrazione temporale è stato calcolato adottando una formulazione che si sposa bene con la discretizzazione ai volumi finiti (Alcrudo e Garcia Navarro,1993) :

[ ]

++

≤∆

ji

ij

vuc

drCFLt

,

22max

min (37)

dove con si sono indicate le distanze del baricentro dell’elemento considerato con i baricentri

degli elementi contigui. ijdr

Nel calcolo con i due solutori non sono state imposte condizioni di prosciugamento/bagnamento delle celle (Brufau et al 2002 ). Quando i valori di tirante e portata risultavano inferiori a una soglia pari a εh=0.0001 m e εq 0.0001m3/s, si è ritenuto la cella non ancora bagnata e si sono azzerati i valori di tirante

178


e portata. Questa semplificazione non ha perturbato significativamente il bilancio di massa che nelle simulazioni è stato rispettato con errori relativi dell’ordine dell’ 1 %.

4 DESCRIZIONE DELLE PROVE DI LABORATORIO

Le prove di laboratorio a cui si fa riferimento sono state condotte all’Università cattolica UCL di Louvian la Neuve (Soares Frazao et al 2006). Il canale sperimentale, a sezione trapezoidale, è lungo 36 m e largo 3.6 m (vedi figura 3). La paratoia è posizionata tra due blocchi impermeabili per simulare la rottura di una diga o di un argine. Il flusso che si ottiene dall’apertura della paratoia è essenzialmente bidimensionale e si espande a valle, dove è posta una griglia quadrata di 5 x 5 edifici che schematizzano un’area urbana. Gli edifici sono ostacoli impermeabili realizzati con blocchi di legno di 0.3 m X 0.3 m. Il livello iniziale del serbatoio è 0.40 m e a valle è posto un film di 0.01m.

Figura 3-descrizione dell’apparato sperimentale,in pianta e in sezione.

L’evoluzione del tirante idrico è stata registrata in diversi punti del dominio con misuratori di livello (circa 40 punti di misura per ciascuna prova). Il campo di velocità è stato misurato utilizzando una tecnica di riconoscimento delle immagini (Capart et al 2002) che permette di individuare le traiettorie delle particelle di tracciante sulla superficie libera. I dati sperimentali, gentilmente forniti dagli autori delle prove, sono dei profili di velocità e del tirante idrico a t=6, 8 e 10 s dall’apertura della paratoia e in corrispondenza di y=0.2 m. Il coefficiente di resistenza di Manning, come ricavato dagli Autori, è stato posto a 0.01 m s-1/3. In figura 3 è anche indicato in verde un punto di misura degli idrogrammi dei tiranti idrici che è stato scelto per il confrontato con i risultati delle elaborazioni. Sono state utilizzate due griglie diverse, una non strutturata di 53950 elementi, con dimensioni minime di 1 cm e massime di 20 cm di lato; l’altra strutturata costituita da 51552 elementi quadrati di 5 cm di lato. In figura 4a e 4b si riportano dei particolari delle due griglie, in corrispondenza del serbatoio di monte e del gruppo di ostacoli.

179

G.Petaccia

Figura 4a-particolare del serbatoio, griglia non strutturata e griglia strutturata

Figura 4b- particolare del gruppo di edifici, griglia non strutturata e griglia strutturata

5 SIMULAZIONI NUMERICHE

Nel seguito si riportano i risultati di diverse simulazioni. Dopo aver confrontato le simulazioni preliminari con quelle ottenute dagli Autori delle prove sperimentali, sono stati effettuate diverse simulazioni con l’obiettivo di analizzare l’influenza sui risultati delle simulazioni di alcuni parametri numerici. Le simulazioni sono sintetizzate in tabella 1:

Simulazione Descrizione 1 1ordine Pavia 2 1 ordine UCL 3 1 ordine CFL=0.5 4 1 ordine n=0 5 1 ordine smallq=0 6 1 ordine strutturata 7 2 ordine

Tabella 1

180


La simulazione 1 è quella preliminare ottenuta utilizzando lo schema di Roe al primo ordine di accuratezza, il valore del numero di Courant pari a 0.9, considerando i tiranti idrici nulli se minori di 0.001m e le portate nulle se minori di 0.001 m3/s e utilizzando il valore di resistenza al moto di Manning fornito dagli autori delle prove e pari a 0.01 m s-1/3. La simulazione 2 è stata gentilmente fornita dagli autori delle prove sperimentali ( Frazao et al 2006). Le simulazioni 3, 4, 5 e 6 sono state ottenute utilizzando lo schema di Roe del primo ordine di accuratezza su griglia non strutturata e utilizzando rispettivamente:

• un valore del numero di Courant pari a 0.5 (simulazione 3), • il valore di resistenza al moto di Manning pari a 0 m s-1/3 (simulazione 4), • annullando la soglia sul valore delle portate e portandola al valore di 0 m3/s (simulazione 5)

La simulazione 6 fa riferimento alla simulazione sulla griglia strutturata ( vedi figura 4b) La simulazione 7 è stata ottenuta utilizzando l’estensione al secondo ordine con il limitatore MLG dello schema di Roe .

3.3 Confronto tra gli schemi Pv e UCL

Le figura 5 a e b rappresentano rispettivamente il confronto, dopo 6 secondi dall’apertura della paratoia, tra i profili di pelo libero e di velocità risultati delle simulazioni condotte con gli schemi accurati al primo ordine a sviluppati a Pavia e all’UCL ( simulazione 1 e 2) .Le figure 6 a e b rappresentano le stesse grandezze dopo 8 secondi dall’apertura della paratoia.

Figura 5a-Profilo del pelo libero a t=6 s - simulazione 1 e 2

181

G.Petaccia

Figura 5b-Profilo di velocità a t=6 s - simulazione 1 e 2


182



Si nota una certa discrepanza tra le due simulazioni soprattutto nella zona ove sorgono gli edifici, evidenziata dal tratteggio nera nelle figure precedenti. La simulazione 2 riesce infatti a riprodurre meglio le riflessioni dell’onda nel reticolo stradale. Entrambe le simulazioni riescono a riprodurre la formazione del risalto idraulico inizialmente a monte degli edifici e poi a valle degli stessi. A monte della zona interessate dagli edifici le due simulazioni sono del tutto confrontabili. A titolo di esempio si riportano i confronti degli idrogrammi di livello osservati e simulati con i due codici di calcolo in due punti di misura posti a monte del blocco degli edifici (vedi figura 3) I risultati ottenuti con i due codici di calcolo, ancorché differenti, riproducono i valori osservati con un dettaglio del tutto confrontabile.

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t(s)

h(m

)

10

exppvucl

Figura 6c:Idrogrammi dei livelli nel punto x=5 m y=1 m

183

G.Petaccia

3.4 Influenza del numero di Courant

Nelle figure 7 a e b è riportato il confronto tra i risultati delle simulazioni condotte con lo schema al primo ordine di accuratezza modificando il numero di Courant utilizzato, da 0.9 per la simulazione 1 a 0.5 per la simulazione 3. Come preventivabile, non si notano sostanziali differenze, sia nei profili longitudinali di pelo libero (figura 7a) che in quelli di velocità (fig.7b)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7

x(m)

h(m

)

8

exppvcfl=0.5


0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(m)

v(m

/s)

10

sperpvcfl=0.5


184


3.5 Influenza della soglia sulle portate

Un’ulteriore prova è stata condotta annullando il valore soglia (inizialmente posto paro a 10-4 m3/s) per il quale si ritiene la cella non ancora bagnata e in corrispondenza del quale si azzerano i valori di tirante e portata. I risultati sono mostrati in figura 8 a e b.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(m)

h(m

)

exppvsmallq=0


0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(m)

v(m

/s)

10

sperpvsmallq=0


185

G.Petaccia

In questo caso si nota una migliore simulazione delle riflessioni che avvengono nel blocco di edifici.

3.6 Influenza della resistenza al moto

A titolo di esempio è stata condotta una simulazione sulla griglia di calcolo non strutturata con il solutore numerico del primo ordine annullando il termine di resistenza al moto. La differenza nella propagazione dell’onda in questo caso risulta più marcata. Come ci si aspetta l’onda simulata risulta in anticipo rispetto a quella osservata, ma non è caratterizzata da un maggior numero di riflessioni

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(m)

h(m

)

exppvn=0


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(m)

v(m

/s)

10

sperpvn=0


186


3.7 Influenza della griglia di calcolo

Si è per ultimo analizzato l’influenza della griglia di calcolo sulla propagazione dell’onda di sommersione. A tal proposito sono state prese in considerazione una griglia strutturata e una griglia non strutturata ( vedi figura 4a e 4b). Le maggiori differenze si notano in corrispondenza degli ostacoli, dato che la griglia strutturata rappresenta le strade ( 10 cm) con due elementi mentre la griglia non strutturata le rappresenta in 14 elementi. Si ricorda che il numero totale degli elementi della griglia non strutturata era 53950 e il numero totale di elementi della griglia strutturata era 51552.

Figura 10 a-b-particolare della strada nella griglia non strutturata e strutturata

In figura 11 sono mostrati i confronti delle due simulazioni in termini di andamento longitudinale del

profilo di pelo libero dopo 6 secondi dall’apertura della paratoia centrale. La simulazione su griglia non strutturata riesce a rappresentare meglio la riflessione che avviene a monte degli ostacoli, come si nota se si osserva un idrogramma dei livelli in un punto a monte del blocco di edifici della città (figura 11a).

187

G.Petaccia

Figura 11-Profilo del pelo libero a t=6 s - simulazione 1 e 6

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t(s)

h(m

)

10

exppv_unstrpv_strutt

Figura 11a –idrogrammi dei livelli nel punto x=5 m y=1 m

3.8 Influenza dell’ordine di accuratezza dello schema

Per ultimo si riportano i confronti tra le simulazioni condotte con i due diversi ordini di accuratezza, come descritto nel paragrafo 3.2. I risultati non sono quantitativamente differenti. Il tempo di

188


esecuzione del secondo ordine di accuratezza è però circa due volte quello di esecuzione del primo ordine.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(m)

h(m

)

exp1 ord2 ord


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(m)

h(m

)

10

exp1 ord2 ord


189

G.Petaccia

CONCLUSIONI

In questa memoria si è condotta un esaustiva analisi della simulazione della propagazione di un onda di sommersione generata dalla repentina rimozione di una paratoia in un canale trapezoidale e la sua interazione con un gruppo di edifici allineati. Le simulazioni bidimensionali sono state effettuate con schemi numerici di tipo upwind del primo e del secondo ordine di accuratezza, con griglie strutturate e non strutturate. I risultati della simulazione sono essenzialmente influenzati dalla scelta della griglia di calcolo, soprattutto in corrispondenza del blocco di edifici: l’adozione di una griglia non strutturata con infittimento della maglia in vicinanza degli ostacoli ha permesso di simulare in maggior dettaglio il risalto idraulico a monte degli edifici e la ripartizione delle portate nel reticolo stradale. Di minore importanza ma comunque apprezzabile è l’effetto della condizione di bagnamento/asciugamento delle celle. Se infatti si elimina la soglia al di sotto della quale si considera che nella cella non si abbia moto i risultati migliorano notevolmente. Il valore del numero di Courant utilizzato per le simulazioni, come ci si aspettava, non ha determinato grandi differenze nei risultati. L’applicazione poi di uno schema accurato al secondo ordine, oltre ad aumentare notevolmente i tempi di calcolo (quasi duplicandoli) non ha provocato significative variazioni nei risultati.

Ringraziamenti. Ringrazio gli autori delle prove sperimentali, in particolare la Dott.ssa Sandra Soares Frazao e il Prof Yves Zech dell’Universitè Catholique di Louvian la Neuve ( UCL) per aver fornito i dati sperimentali. Ringrazio il Professor Luigi Natale e il Professor Fabrizio Savi per il prezioso aiuto fornito in questa ricerca .

BIBLIOGRAFIA

F. Alcrudo ,P. Garcia Navarro, “A high resolution Godunov type scheme in finite volumes for the 2D

shallow water equations”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, (1993),16: pp 489-505

P.Batten, C.Lambert, D.M. Causon “Positively Conservative high resolution convection schemes for unstructured

elements”, International journal for numerical methods in Engineering, (1996) ,39, pp.1821-1838 P Brufao, P. Garcia Navarro, “Two dimensionale dam break flow simulation”, International journal for numerical

methods in fluids (2000),33, pp 33-57 P Brufao, P. Garcia Navarro, M.E. vasquez Cendon, A.mendez, J.Puertas ”Numerical model validation with

experimental data on dam break problems involving wetting/drying fronts over initially dry bed adverse slopes” Proceedings of International Conference in Fluvial Hydraulics , Riverflow 2002, Louvian La Neuve (2002), vol 1, pp. 487-494

H. Capart, D.L. yiung, Y. Zech , “Voronoi imaging methods for the measurements of granular flows”, Experiments in

fluids (2002) , 32(1):pp. 121-135 T.Ishigaki,K. Toda, K.Inoue”Hydraulic model tests of inundation in urban area with underground space”30th

IAHR Cngress, August 2003, Greece, (2003) pp 487-493 J.A.Liggett ”Basic Equations of Unstweady Flow”, in Unsteady flow in open channel, Water resources

pubblications, Fort Collins, 1975, vol 1, Edited by K.Mahmood and V.Yevjevich M.W. Morris, ”CADAM Concerted Action on Dambreak Modelling, Final Report”, Report SR 571, .(2000),

Wallingford

190


F. Macchione, M.A. Morelli, “Practical aspects in comparing Schock capturing schemes for Dam Break problems”, ASCE Journal of hydraulic Engneering (2003), Vol 129, (3), pp:187-195

L.S. Nania, M.Gomez, J. Dolz, “Experimental study of the dividine flow in steep street crossings” Journal of

Hydraulic Research (2004) 42 (4):406-412 L. Natale ,G. Petaccia, F. Savi“Il deflusso a fronte ripido attraverso singolarità idrauliche”, atti del XXIX Convegno

di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Trento, 7-10 Settembre 2004, (2004) pp 877-884 L. Natale, G. Petaccia, F.Savi,“Simulazione di una corrente bidimensionale in presenza di ostacoli o bruschi cambi

di direzione”, atti del XXIX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Trento, 7-10 Settembre 2004, (2004), pp 885-892

G. Petaccia Propagazione di onde a fronte ripido per rottura di sbarramenti in alvei naturali, Tesi di dottorato, Pavia

(2003 ) G. Petaccia ,F. Savi,”Mathematical simulation of laboratory dam-break waves with shocks”, Proceedings of the

Applied Simulation and Modelling ASM, 4-7 September 2001Marbella, Spain, (2001):, pp. 444-449; G. Petaccia, F.Savi, "Discussion of ' Numerical and Experimental Study on Two-Dimensional Flood Flows with and

Without Structures' by Shige-eda/Akiyama" Journal of Hydraulic Engineering, April 2005, (2005) Vol 131 (4), pp 335

Roe P.L.”Approximate Riemann Solvers, parameter vectors and difference schemes”, Journal of Compu-

tational Physics, (1981) 43: pp 357-372 N.Riviere R.J.Perkins, “Supercritical flow in channel inteserctions” Proceedings of International Conference in

Fluvial Hydraulics , Riverflow 2004, Naples (2004),vol 2, pp. 1073-1087 Soares Frazão S, Zech Y, “ Dam-break flow experiment : The isolated building test case “,. IMPACT, 2nd Project

Workshop CD-ROM proceedings, (2002), Mo-I-Rana, Norway, September 2002 Soares Frazão S, “ Isolated building benchmark –presentation of the modellers results” 3rd IMPACT Worhshop. 5-7

Novembre 2003 Louvain La Neuve, ,(2003), CD-ROM proceedings S. Soares Frazao, B. Spinewine, A. Duthoit, J.F. Dewijsen, Y.Zech, “Dam break flow experiments in simplified city

layout” Proceedings of the International Conference Riverflow2006 (2006 ), vol 1, pp. 513-521

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