Embed Size (px)
Citation preview
MINISTERUL EDUCAŢIEI,CERCETĂRII,TINERETULUI ŞI SPORTULUI SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI VÂLCEA CASA CORPULUI DIDACTIC VÂLCEA ŞCOALA „TAKE IONESCU”, RÂMNICU VÂLCEA ASOCIAŢIA „ ŞCOALA CU CEAS”
ÎNSCRIERI la
SESIUNEA NAŢIONALĂ DE REFERATE ŞI COMUNICĂRI METODICO-ŞTIINŢIFICE
DIN CADRUL CONCURSULUI DE MATEMATICĂ
„The CLOCK - TOWER SCHOOL”EDIŢIA A XIV-a
Râmnicu Vâlcea, 25 – 27.03. 2011
1. Înscrierile pentru sesiunea de comunicări şi referate metodico-stiinţifice se fac pe adresa:
2. Termenul limită de înscriere la simpozion este 14.03.2011 ora 24:00
3. Referatele vor fi redactate pe calculator, în Microsoft Office Word cu caractere Times
New Roman, 12, la 1,5 rânduri, având specificate Titlul referatului, numele autorului, şcoala şi
oraşul (scrise cu 14).
4. Simpozionul se desfăşoară pe două secţiuni:
i) Pentru profesorii de matematică: „Teme pentru grupele de performanţă”.
Se va edita o culegere cu ISBN în care coautori vor fi toţi profesorii ale căror referate vor
fi selectate. ( la final aveţi şi un model cu structura articolului: o scurtă introducere,
demonstraţie, clasificare cu probleme rezolvate la fiecare tip, probleme propuse,
cu indicaţii şi, în final, bibliografie)
Temele propuse sunt:1. Analogii triunghi-tetraedru
2. Cercul lui Euler
3. Combinatorică geometrică
4. Construcţii auxiliare
5. Construcţii cu rigla şi compasul
6. Cuburi perfecte
7. Ecuaţii diofantice
8. Ecuaţii Pell
9. Ecuaţii pitagoreice
2011
10. Identitatea lui Botez-Catalan
11. Identitatea lui Lagrange
12. Identităţi
13. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz
14. Inegalitatea mediilor
15. Inegalităţi algebrice demonstrate geometric
16. Inegalităţi clasice
17. Inegalităţi în triunghi
18. Jocuri şi strategii
19. Loc geometric
20. Metoda reducerii la absurd
21. Moduli
22. Numere raţionale. Numere iraţionale
23. Parte întreagă. Parte fracţionară
24. Partiţii de mulţimi
25. Patrulatere circumscriptibile
26. Patrulatere inscriptibile
27. Pătrate perfecte
28. Permutări. Aranjamente. Combinări
29. Perpendiculara comună a două drepte necoplanare
30. Planul bisector
31. Planul mediator
32. Principiul extremal
33. Principiul includerii şi excluderii
34. Principiul invariantului
35. Principiul lui Dirichlet
36. Principiul parităţii
37. Principiul reflexiei
38. Probleme de acoperire
39. Probleme de coliniaritate
40. Probleme de colorare a planului
41. Probleme de colorare a poliedrelor
42. Probleme de colorare a punctelor cercului şi poligoanelor
43. Probleme de colorare a tablelor
44. Probleme de concurenţă
45. Probleme de coplanaritate
46. Probleme de maxim
47. Probleme de minim
48. Probleme de numărare
49. Probleme de ordonare
50. Produse
51. Relaţia de congruenţă modulo n
52. Sume
53. Teorema lui Menelaus în plan şi spaţiu
54. Tetraedre ortocentrice
55. Triunghiul ortic
Observaţii:
i) O temă poate fi aleasă de maxim 2 profesori! După aceea, pe site-ul concursului va
apărea că tema respectivă este blocată.
ii) Puteţi veni cu îmbunătăţiri: scopul este să iasă o culegere utilă în pregătirea elevilor
pentru olimpiade!
Termenul limită DE ALEGERE a temei este 06.03.2011 ora 24:00, iar de trimitere a
referatului în format electronic este 13.03.2011 ora 24:00, iar a copiei scanate după donaţie până
la 14.03.2011, ora 24:00!
ii) Pentru profesorii de alte discipline, educatoare, învăţătoare şi institutoare tema este
„Aspecte metodologice privind identificarea copiilor supradotaţi”.
5. Se depune suma de 30 de lei / cadru didactic în contul Asociaţiei " Şcoala cu Ceas" ,
cod fiscal 14716116, cod IBAN RO94BRDE390SV04166383900, deschis la BRD Sucursala
Râmnicu Vâlcea.
6. Pentru a preîntâmpina problemele din anii precedenţi certificatele se vor înmâna imediat după
susţinerea referatului persoanei respective sau a celei desemnate de aceasta.
Răspundem doar pentru cei care au respectat această procedură!
Nu se mai admit solicitări ulterioare !7. Pentru eventualele mijloace auxiliare necesare prezentării referatului vă rugăm să
trimiteţi un e-mail la adresa de mai sus.Pentru eventualele informaţii suplimentare trimiteţi un e-mail la adresa
vlad.neacsu2009 @yahoo.com MODEL
( În coformitate cu articolele de pe VIITORII OLIMPICI)INEGALITATEA UZUALĂ
ABSTRACT. Articolul de faţă prezintă o inegalitate des folosită în gimnaziu, punând accent pe însuşirea unui inventar de idei şi pe metodica de rezolvare.
Lecţia se adresează elevilor din clasele a VII-a şi a VIII-a.Autor : Ştefan Smărăndoiu, profesor la Şcoala „Take Ionescu”, Rm. Vâlcea
1. Demonstraţi că , oricare ar fi numerele reale, pozitive şi .
DEMONSTRAŢIE: şi avem cu egalitate pentru
:
Din ipoteză şi , cu egalitate pentru
Observaţie: E important să scriem că , deoarece, în cazul ipotetic, , după împărţire, s-ar schimba sensul inegalităţii!
APLICAŢII de tipul I
i) inegalităţi necondiţionate:
1. Arătaţi că şi
Demonstraţie:
Vom folosi inegalitatea , şi cu egalitate pentru
Aplicând-o de trei ori avem:
, cu egalitate pentru
, cu egalitate pentru
, cu egalitate pentru
Din relaţiile , şi , prin însumare, obţinem:
Amplificând fracţiile din membrul stâng cu , respectiv cu , obţinem :
Din relaţiile , şi , avem egalitate pentru Observaţie: Acest stil de redactare presupune rezolvarea iniţială „ pe ciornă”, prelucrând
concluzia, după care se aplică metoda mersului invers!
ii) inegalităţi condiţionate:
2. Dacă , şi atunci:
Demonstraţie:
Din ipoteză respectiv, .
Atunci
, ceea ce devine evident,
aplicând de trei ori inegalitatea , şi cu egalitate pentru
Deci , , şi
cu egalitate pentru
iii) aplicaţii în geometrie:
3. Prin vârful A al paralelogramului ABCD se construieşte o o dreaptă oarecare ce taie
prelungirile laturilor şi în E şi respectiv F. Arătaţi că
Demonstraţie:
Din ipoteză este paralelogram AB || CD. AB || CF , conform teoremei lui
Thales, că
Din AD || CB. AD || CE
Din relaţiile şi , prin însumare, obţinem:
Evident că lungimile şi sunt pozitive şi-atunci aplicând
inegalitatea , şi cu egalitate pentru , luând
şi , obţinem .
cu egalitate pentru este mijlocul segmentului
Din relaţiile şi .
Din şi AD || CB este linie mijlocie în este mijlocul segmentului
Din şi AB || CD este linie mijlocie în este mijlocul segmentului
Din relaţiile şi este linie mijlocie în BD || EF, ceea ce înseamnă că avem egalitate dacă drepta costruită prin A este paralelă cu diagonala .
APLICAŢII de tipul al II-lea
D A
BC E
F
1. Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze că:
Demonstraţie: Se ştie că în orice au loc inegalităţile: , şi,
respectiv, Din Din 2) Din Din relaţiile (4), (5) şi (6) deducem că cele trei fracţii din membrul stâng sunt bine definite! Notăm:
Însumând relaţiile (7), (8) şi (9), obţinem: Din şi înlocuind în relaţia , obţinem :
, de unde rezultă că
Analog avem: şi
Ţinând cont de relaţiile 7-12, inegalitatea iniţială devine:
Din relaţiile 4-9 Astfel am redus inegalitatea inţială la o inegalitate de tipul I, rezolvată anterior.
Avem egalitate pentru este echilateral.
2. Fie numerele reale, pozitive , astfel încât. Să se demonstreze că:
Demonstraţie:Evident că numitorii sunt pozitivi!Fie suma din membrul stâng al inegalităţii.Din ipoteză
....................................................
Atunci
Observăm că : ,
iar în loc de 2 putem scrie
Din relaţiile (15), (16) şi (17) obţinem:
Aici intervin şi „ probleme” de numărare: i) Suma are 2011 termeni, deoarece fiecare termen al acestei sume este
rezultatul înmulţirilor de tipul cu
ii) În parantezele de tipul , cu , am fixat, succesiv, la numărătorul primului
termen pe , apoi pe , ....., pe , astfel că numărul acestor paranteze este egal cu
iii) Ţinând cont că numerele sunt pozitive, aplicînd inegalitatea
, cu egalitate pentru , pentru suma din fiecare paranteză , obţinem că
, cu egalitate pentru , unde .
Din relaţiile (18), (19), şi (21) deducem că:
, cu egalitate pentru .
Observaţie: Problema admite următoarea generalizare:
, oricare ar fi numerele
reale pozitive , astfel încât , cu .
OBSERVAŢIE : Din lipsă de timp nu am ataşat probleme propuse!
BIBLIOGRAFIE:
GHIOCA ADRIAN, COJOCARU LUANA, „ Matematica gimnazială dincolo de manual”, Editura GIL, 2005
