SIMBA - htw-dresden.deklix/simba/Modell.pdf · Program SIMBA werden ständig ergänzt, bzw. verbessert. Einige Modelle befinden sich noch Einige Modelle befinden sich noch in der

SIMBA

Ein Programm zur 3D-Simulation des innerelektronischen Verhaltens von

Halbleiterstrukturen

Modelle und Lösungsverfahren Version 5.0, Juni 2008 HTW Dresden Fachbereich Elektrotechnik

SIMBA - Modelle und Lösungsverfahren 2

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung...........................................................................................................................4 2 Mathematisch-physikalisches Modell .............................................................................5

2.1. Modellhierarchie ..........................................................................................................5 2.2. Modellierung des Ladungstransportes ........................................................................6

2.2.1. Drift-Diffusions-Modell..........................................................................................6 2.2.2. Energiebalance-Modell ........................................................................................7 2.2.3. Quanten-Energiebalance-Modell .........................................................................9 2.2.4. Quanten-Drift-Diffusions-Modell...........................................................................10

2.3. Thermische Modellierung ............................................................................................12 2.4. Modellierung von Heterostrukturen .............................................................................13 2.5. Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung...................................................................14

2.5.1. Selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung..................14 2.5.2. Berechnung von Tunnelströmen..........................................................................15

2.6. Ladungsträgerbeweglichkeiten....................................................................................19 2.6.1. Vorbemerkungen..................................................................................................19 2.6.2. Dotierungsabhängigkeit .......................................................................................19 2.6.3. Temperaturabhängigkeit ......................................................................................19 2.6.4. Feldstärkeabhängigkeit senkrecht zur Stromrichtung..........................................19 2.6.5. Feldstärkeabhängigkeit parallel zur Stromrichtung..............................................20 2.6.6. Feldstärkeabhängigkeit für organische Halbleiter ................................................21 2.6.7. Abhängigkeit von der Verspannung.....................................................................21

2.7. Rekombinationsmodelle ..............................................................................................23 2.7.1. Shockley/Read/Hall-Rekombination.....................................................................23 2.7.2. Rekombination über Trap-Niveaus ......................................................................23 2.7.4. Auger-Rekombination ..........................................................................................24 2.7.5. Oberflächenrekombination ...................................................................................24 2.7.6. Strahlende Rekombination...................................................................................25

2.8. Generationsmodelle ....................................................................................................26 2.8.1. Avalanche-Generation: ........................................................................................26 2.8.2. Fotogeneration: ....................................................................................................26 2.8.3. Alphateilchen-Generation:....................................................................................27 2.8.4. Band-Band Tunnel-Generation: ...........................................................................28

2.9. Weitere Modelle...........................................................................................................29 2.9.1. Modell für getrappte Ladungsträger .....................................................................29 2.9.2. Band-Gap-Narrowing ...........................................................................................29 2.9.3. Simulation von Widerstandsgebieten...................................................................30

2.10. Einbeziehung von Verspannungseffekten ...............................................................31 2.10.1. Koordinatentransformation, Verspannung und Kristalldehnung.......................31 2.10.2. Deformationspotential ......................................................................................34 2.10.3. Verspannungsabhängige Beweglichkeiten ......................................................35

2.11. Normierungsfaktoren und andere Größen...............................................................36 2.12. Erzeugung des Dotierungsprofils.............................................................................38 2.13. Erzeugung des Streßprofils .....................................................................................39

3 Geometrische Grundstruktur...........................................................................................41 4 Randbedingungen ............................................................................................................43

4.1. Elektrische Randbedingungen.....................................................................................43 4.2. Thermische Randbedingungen ...................................................................................45 4.3. Randbedingungen für die Energiebalance-Gleichungen.............................................45

5 Numerische Lösungsverfahren .......................................................................................46 5.1. Vorbemerkungen .........................................................................................................46 5.2. Ortsdiskretisierung.......................................................................................................47 5.3. Simulation des dynamischen Verhaltens.....................................................................51


5.4. Lösung der diskretisierten Halbleitergleichungen........................................................52 5.5. Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung...................................................................54 5.6. Lösung der linearen Gleichungssysteme ....................................................................56

6 Postprocessing - Berechnung der Kleinsignalparameter............................................57 7 Literatur .............................................................................................................................58


1 Einleitung Das Programm SIMBA dient zur örtlich dreidimensionalen Simulation des statischen und dynamischen Verhaltens von Halbleiterstrukturen. Zweidimensionale Simulationen sind ebenfalls möglich. Die Hauptaufgabe des Programms besteht in der Berechnung der räumlichen und zeitlichen Verteilung des elektrostatischen Potentials und der Ladungsträgerdichten sowie den daraus abgeleiteten Größen, insbesondere den Klemmenströmen, bei vorgegebenem Zeitverlauf der Kontaktspannungen. Die Berechnung wird in Abhängigkeit der horizontalen und vertikalen Geometrie des Bau-elementes, seines Dotierungsprofils, der Materialzusammensetzung, der Randwertbelegung (Art und Lage der Kontakte) und anderen äußeren Einflüssen (Temperatur, Lichteinfall u.a.) durchgeführt. In SIMBA sind alle wesentlichen Modelle zur Simulation moderner Halb-leiterbauelemente implementiert. Die Standardwerte der Modellparameter wurden zum größ-ten Teil der Literatur entnommen. Eine Änderung dieser Parameter ist jederzeit möglich. Spezielle Nutzerwünsche für zusätzliche Modelle können nach Absprache implementiert werden. Das Programm gestattet neben der Simulation von Bauelementen aus Silizium auch die Be-rücksichtigung anderer Halbleiterwerkstoffe und die Einbeziehung von Heteroübergängen. Die Modelle für das innerelektronische Verhalten und die numerischen Lösungsverfahren im Program SIMBA werden ständig ergänzt, bzw. verbessert. Einige Modelle befinden sich noch in der Testphase, bzw. sind in der aktuellen Programmversion nicht implementiert. In der Beschreibung der Eingabebefehle wird entsprechend darauf hingewiesen. Für einen Über-blick zur numerischen Simulation elektronischer Bauelemente sei auf [42] verwiesen. Das Programm SIMBA läuft auf verschiedenen Rechnerplattformen (SUN, DEC, SGI, HP und LINUX-PC’s). Die bevorzugte Rechnerplattform ist zur Zeit SUN. Die Rechenzeit hängt sehr stark von der zu simulierenden Halbleiterstruktur und dem zu berechnenden Arbeits-punkt ab. Richtwerte können daher nicht angegeben werden. Generell kann für die Fehlerfreiheit des Programms und die Richtigkeit der damit berechne-ten Ergebnisse keine Garantie übernommen werden. Hinweise zur Verbesserung, Änderung oder Fehlerbeseitigung sind an die folgenden Adres-sen zu richten: Prof. Dr.-Ing. habil. Wilfried Klix Prof. Dr.-Ing. habil. Roland Stenzel Hochschule für Technik und Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (HTW) Wirtschaft Dresden (HTW) Fachbereich Elektrotechnik Fachbereich Elektrotechnik Friedrich-List-Platz 1 Friedrich-List-Platz 1 01069 Dresden 01069 Dresden Tel.: (0351) 462 2504 Tel.: (0351) 462 2548 Fax: (0351) 462 2193 Fax: (0351) 462 2193 Email: [email protected] Email: [email protected] Im Internet finden sie uns unter der Adresse: http://www.htw-dresden.de/~klix/simba/


2 Mathematisch-physikalisches Modell 2.1. Modellhierarchie Mathematisch-physikalische Modelle zur Simulation des Ladungsträgertransportes unterteilt man prinzipiell in klassische oder makroskopische Modelle, die von der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet werden, und Quantenmodelle, die von der Wigner-Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden oder die Lösung von Poisson- und Schrödinger-Gleichung beinhalten. Eine weitere Möglichkeit bietet die direkte Lösung der Transportgleichungen mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation. Im Programmsystem SIMBA erfolgt die Simulation des Ladungstransportes in Halbleiter-strukturen auf klassischer (makroskopischer) Ebene, d.h. die Beschreibung erfolgt mit Hilfe von Mittelwerten, wie z.B. den Ladungsträgerdichten. Jede dieser Größen wird mit Hilfe einer Erhaltungs- und einer Transportgleichung beschrieben. Das bedeutet, die numerische Lö-sung einer, i.a. nichtlinearen, partiellen Differentialgleichung pro Größe. Die Anzahl der ein-bezogenen Größen bestimmt die Modellebene. Bei der einfachsten Modellstufe, dem Drift-Diffusions-Modell, wird neben der Poissonglei-chung nur der Ladungserhalt berücksichtigt. Durch Hinzunahme der Energieerhaltungsglei-chungen erhält man daraus das vereinfachte hydrodynamische Modell oder Energiebalance-Modell. Je nach Anforderung können bei Bedarf auch mikroskopische Teilmodelle, wie zum Beispiel die Schrödinger-Gleichung oder Modelle für Tunnelströme, mit einbezogen werden. Alternativ können an Stelle der Schrödinger-Gleichung Modelle für eine Quantenkorrekturpo-tentialmethode verwendet werden. Zusammen mit dem Drift-Diffusions-Modell wird diese Stufe als Quanten-Drift-Diffusions-Modell bezeichnet, und zusammen mit dem vereinfachten hydrodynamischen Modell erhält man das Quanten-Energiebalance-Modell. Thermische Effekte können in jeder Modellstufe durch Zuschalten der Wärmeleitungsglei-chung erfaßt werden. Eine Vielzahl von Modellen für die Ladungsträgerbeweglichkeit, für unterschiedliche Rekombinations- und Generationsvorgänge und zur Einbeziehung von He-terostrukturen ergänzen das Programmsystem. Bild 1 zeigt die Modellhierarchie zur Simula-tion des Ladungsträgertransportes und die im Programmsystem SIMBA implementierten Mo-delle.

Klassische Modelle

Quanten- Modelle

Bewegungs- Modelle

Energie- erhaltungs-

Modelle

Drift- Diffusions-

Modelle

Boltzmann- Transport- gleichung

vollständige hydrodynamische

Modelle

vereinfachte hydrodynamische

Modelle

Standard Drift-Diffusions-

Modell

Wigner-Boltzmann-

Transport-Gl.

Quantenhydro-dynamisches

Modell

Quanten- Energiebalance-

Modell

Quanten- Drift-Diffusions-

Modell

Schrödinger-Poisson- gleichung

SIMBA

Bild 1: Modellhierarchie und im Programmsystem SIMBA implementierte Modelle


2.2. Modellierung des Ladungstransportes 2.2.1. Drift-Diffusions-Modell Die Simulation des innerelektronischen Verhaltens im Programm SIMBA basiert standard-mäßig auf einem Drift-Diffusions-Modell, das mit Hilfe eines nichtlinearen partiellen Differen-tialgleichungssystems beschrieben wird. Als Variablenvektor wird das elektrostatische Po-tential ϕ , die Löcherdichte p und die Elektronendichte n verwendet. Damit lassen sich die Grundgleichungen zur Beschreibung des Ladungstransportes ohne Temperatureinfluß in folgender Weise darstellen: Poissongleichung:

( ) ( )ADD-A

+D NNnpe graddiv ρ+−+−−=ϕ⋅ε (1)

Neben dem Dotierungsprofil -A

+D NN − kann zusätzlich eine feste Raumladungsdichte ADDρ

vorgegeben werden. Die Poissongleichung ist in allen weiteren Modellen in unveränderter Form enthalten und wird daher in den nächsten Abschnitten nicht mehr aufgeführt. Kontinuitätsgleichungen für Löcher- und Elektronenstrom:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⋅−=tpGRe div pJ (2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⋅=tnGRe div nJ . (3)

Transportgleichungen: ( )( )p gradUgradpe Tppp ⋅+Θ−ϕ⋅⋅µ⋅−=J (4) ( )( )n gradUgradne Tnn n

⋅−Θ+ϕ⋅⋅µ⋅−=J . (5) In den Gleichungen (4) und (5) sind

pΘ ,

nΘ die sogenannten Bandparameter, siehe dazu

Abschnitt 2.4. Die Gesamtstromdichte J berechnet sich zu:

tnp ∂

∂ε++=

EJJJ . (6)

Neben diesen Grundgleichungen sind zahlreiche weitere Modelle notwendig, die die Einsatz-möglichkeiten des Programms und die Praxixrelevanz der Ergebnisse in starkem Maße bestimmen. Beispielsweise sind das Modelle für die Ladungsträgerbeweglichkeiten np µµ , , siehe dazu den Abschnitt 2.6, und für die Rekombinations- und Generationsraten R und G. Die Rekombinations- und Generationsraten R und G in (2), (3) setzen sich jeweils aus der Summe einzelner Effekte zusammen, siehe dazu die Abschnitte 2.7. bis 2.8. Mit Hilfe des Drift-Diffusions-Modells können mit relativ geringem Rechenzeitaufwand die meisten Aufgabenstellungen bei der Simulation des Verhaltens von Halbleiterbauelementen gelöst werden.


2.2.2. Energiebalance-Modell Beim Energiebalance-Modell oder vereinfachten hydrodynamischen Modell, wird neben dem Ladungserhalt noch zusätzlich der Enegieerhalt der Ladungsträger berücksichtigt [29], [30], [31]. Dieses Modell sollte vorwiegend dann eingesetzt werden, wenn die Ladungsträgerdich-ten nicht mehr mit dem Gitter im thermodynamischen Gleichgewicht stehen und es zu einer nennenswerten Aufheizung der Ladungsträger kommt. Das ist insbesondere bei sehr hohen Feldstärken in kleinen MOS-Strukturen oder Heterobauelementen wie HEMT’s und HBT’s der Fall. Die Aufsplittung des Leitungsbandes in Quantendrähten oder Multiquantumwells, sowie Tunnelströme können damit nicht simuliert werden. Mit der üblichen Vernachlässigung des Anteils der kinetischen Energie der Ladungsträger erhält man für die Energie der Löcher und Elektronen pω bzw. nω unter Zuhilfenahme der

Löcher- und Elektronentemperatur pT bzw. nT die folgende Beziehung

np,np, Tk23 ⋅≈ω . (7)

Die neben den Gleichungen für den Ladungserhalt zusätzlich zu lösenden Bilanzgleichungen für die Energieflußdichten pS und nS ergeben sich zu

( ) ( )GR p

tp

div pp

0pp*pp −ω−

τω−ω

−∂ω∂

−⋅=ω

EJS , (8)

( ) ( )GR n

tn

div nn

0np*nn −ω−

τω−ω

−∂ω∂

−⋅=ω

EJS . (9)

In (8) und (9) bezeichnen pωτ und nωτ die Energierelaxationszeiten der Löcher und Elektro-nen, die in Anlehnung an [39], [40], [45] sowohl für Elektronen als auch Löcher durch die folgenden Modelle beschrieben werden: Modell 0: 0 ωω τ=τ Modell 1:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅τ+τ=τ ωωω 300

TC C300T

CC300T

Cexp 30np,

2

2

0np,

110 (10)

Modell 2:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅

+⋅τ=τ ωω 2nspnp4np,

0 vmCTk3

TT

,, (11)

Die Modelle gelten für die ganze Struktur einheitlich. Das Modell 1 wird als Standardmodell verwendet.


Bei den Termen der Jouleschen Wärmegeneration *p EJ ⋅ bzw. *

n EJ ⋅ in den Gleichungen

(8) und (9) bezeichnet *E eine sogenannte effektive Feldstärke, die durch Gleichung (31) beschrieben wird. pS und nS sind die Energieflußdichten, die den folgenden Energie-transportgleichungen gehorchen:

ppppp T2e5k T grad JS +κ−= , (12)

nnnnn T2e5k T grad JS −κ−= . (13)

In diesen Transportgleichungen sind wiederum pκ und nκ die thermischen Leitfähigkeiten, die durch das Wiedemann-Frantz-Gesetz beschrieben werden:

( )np,T2e5k np,np,

2

np, ⋅µ⋅=κ . (14)

Neben der Einbeziehung der Energieerhaltungsgleichungen müssen auch die Transportglei-chungen für die Löcher und Elektronen durch zusätzliche Terme modifiziert werden, die ei-nen Ladungsträgertransport durch den Gradient der Energie bzw. der Ladungsträgertempe-ratur bewirken

( )( )pTpTpppp T gradDpp gradUgradpe ⋅⋅+⋅⋅µ+Θ−ϕ⋅⋅µ⋅−=J , (15)

( )( )n

TnTnnn T gradDnn gradUgradne

n⋅⋅−⋅⋅µ−Θ+ϕ⋅⋅µ⋅−=J . (16)

In den feldstärkeabhängigen Beweglichkeitsmodellen, siehe Abschnitt 2.6., kann bei diesem Modell die elektrische Feldstärke E in Richtung der zu berechnenden Stromdichte durch eine effektive Feldstärke ersetzt werden (Standard), die sich aus den Löcher- und Elektronentem-peraturen wie folgt berechnet:

( )

np,np, s

np,np, eff 2ev

TT3k E

ωτ⋅−

= . (17)

Bei dem Beweglichkeitsmodell, welches den Einfluß der senkrecht zum Stromfluß wirkenden Feldstärke berücksichtigt (68), d.h. die Beweglichkeitsminderung durch Oberflächendefekte nachbildet, wird weiterhin immer die elektrische Feldstärke E verwendet. Die Einbeziehung der o.g. effektiven Feldstärke in das Avalanche-Generationsmodell (89) ist bisher noch nicht implementiert. Das Energiebalance-Modell erfordert gegenüber dem Drift-Diffusions-Modell eine deutlich höhere Rechenzeit. Bei praktischen Rechnungen erweist sich insbesondere die Modellierung der Energierelaxationszeiten, Gleichungen (10) bzw. (11) als kritisch.


2.2.3. Quanten-Energiebalance-Modell Das Quanten-Energiebalance-Modell ist das umfangreichste, und damit auch rechenzeitin-tensivste Modell im Programm SIMBA. Neben den Energieerhaltungsgleichungen werden in den Transportgleichungen für die Ladungsträger und in den Energietransportgleichungen noch zusätzliche Terme verwendet, die mit Hilfe eines Quantenkorrekturpotentials den Spannungstensor, bzw. die Energiedichte einer komprimierten, elektrisch geladenen Flüs-sigkeit mit in die Modellierung des Ladungstransportes einbeziehen (Dichtegradiententheo-rie). Diese Korrekturgrößen sind aus der Wigner-Boltzmann-Gleichung abgeleitet, d.h., mit Hilfe einer makroskopischen Größe wird das mikroskopische Verhalten der Ladungsträger beschrieben. So ist es mit Hilfe dieses Modelles möglich, ohne Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung Resonanz-Tunnel-Effekte und Tunnelströme durch Oxidgebiete zu simulieren oder das Ver-halten der Ladungsträgerdichten an Heteroübergängen realistisch nachzubilden. Die Quantenkorrekturpotentiale berechnen sich nach [40] wie folgt:

pp

me6

p

2p

pgrad⋅

⋅⋅γ−

=λh

, (18)

n

nme6

n

2n

ngrad⋅

⋅⋅γ

=λh

. (19)

Die Wichtungsfaktoren pγ und nγ dienen zur Kalibrierung der Ergebnisse. Mit Hilfe dieser Quantenkorrekturpotentiale werden sowohl die Transportgleichungen für die Ladungsträger (15), (16), als auch die Kontinuitäts- und Transportgleichungen des Energie-balance-Modells (12), (13) durch zusätzliche Terme ergänzt: ( )( )p

TpTppppp T gradDpp gradUgradpe ⋅⋅+⋅⋅µ+λ−Θ−ϕ⋅⋅µ⋅−=J , (20)

( )( )n

TnTnnn T gradDnn gradUgradne

nn⋅⋅−⋅⋅µ−λ+Θ+ϕ⋅⋅µ⋅−=J . (21)

( ) ( )

( )pp

p

pp

0pp*pp

pt

e21RGpe

21

GR p t

p div

λ∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

τλ−

−ω−τ

ω−ω−

∂ω∂

−⋅=

ω

ωEJS

, (22)

( ) ( )

( )nn

n

nn

0np*nn

nt

e21RGne

21

GR n t

n div

λ∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

τλ+

−ω−τ

ω−ω−

∂ω∂

−⋅=

ω

ωEJS

. (23)

ppppppp 23T

2e5k T grad JJS λ++κ−= , (24)

nnnnnnn 23T

2e5k T grad JJS λ+−κ−= . (25)


2.2.4. Quanten-Drift-Diffusions-Modell Das Quanten-Drift-Diffusions-Modell steht mit seinem Modellumfang zwischen dem einfa-chen Drift-Diffusions-Modell und dem Quanten-Energie-Balance-Modell. Das Verhalten der Ladungsträgerdichten an Grenzflächen wird damit weiterhin realistisch modelliert. Tunnelströme können jedoch im Gegensatz zum Quanten-Energiebalance-Modell, nicht er-faßt werden. Bei diesem Modell werden lediglich die Transportgleichungen durch die Quantenkorrekturpo-tentiale pλ und nλ modifiziert:

( )( )p gradUgradpe Tppppp ⋅⋅µ+λ−Θ−ϕ⋅⋅µ⋅−=J , (26) ( )( )n gradUgradne Tnnn nn

⋅⋅µ−λ+Θ+ϕ⋅⋅µ⋅−=J . (27) Auf die nochmalige Darstellung der weiteren Gleichungen dieses Modells (1), (2), (3), (18), (19) unter Einbeziehung der Quantenkorrekturpotentiale wird hier verzichtet.



2.3. Thermische Modellierung Zur Modellierung thermischer Effekte, die durch unterschiedliche Umgebungsbedingungen oder durch Eigenerwärmung auftreten, werden neben der nun zusätzlich notwendigen Wärmeleitungsgleichung

( ) H tTcT grad div −=∂∂

⋅ρ−⋅λ , (28)

wobei in Gleichung (28) T die Gittertemperatur, ρ die Dichte und c die spezifische Wärme-kapazität bezeichnen, noch Modelle für die Wärmeleitfähigkeit λ und die Wärmegenerations-rate H benötigt. Für die Modellierung der Wärmegenerationsrate stehen im Programm SIM-BA folgende Modelle zur Verfügung:

Modell 1: 0HH = (29)

Modell 2: *H EJ ⋅= (30)

( )0* grad ϕ−ϕ−=E (31)

Dabei ist in Gleichung (31) ϕ0 das Potential im thermodynamischen Gleichgewicht. Modell 2 ist das Standardmodell. Die Wärmeleitfähigkeit λ in Gl. (28) kann durch die folgenden Modelle beschrieben werden: Modell 1: ( ) 0T λ=λ (32) Modell 2: ( ) ( ) β−⋅λ=λ KTT 0 (33)

Modell 3: ( )cmK W

cTbTa1T 2 ⋅++

=λ (34)

Neben der Einbeziehung der Temperaturabhängigkeit in die Rekombinations-, Generations- und Beweglichkeitsmodellen müssen auch die Transportgleichungen entsprechend modifi-ziert werden. In Anlehnung an das Energiebalance-Modell wird jetzt jedoch an Stelle der Ladungsträgertemperaturen die Gittertemperatur T verwendet: ( )( )T gradDpp gradUgradpe T

pTppppp ⋅⋅+⋅⋅µ+λ−Θ−ϕ⋅⋅µ⋅−=J (35) ( )( )T gradDnn gradUgradne T

nTnnn nn⋅⋅−⋅⋅µ−λ+Θ+ϕ⋅⋅µ⋅−=J , (36)

mit

2T

UD Tnp,T

np,⋅µ

= . (37)

Die Simulation thermischer Effekte kann bei jedem Ladungstransportmodell mit verwendet werden. Bei gleichzeitiger Verwendung des Energiebalance-Modells ist jedoch zu beachten, daß dann die Gittertemperatur T nur in den Rekombinations-, Generations-Modellen und in den Bweglichkeitsmodellen verwendet wird. In den Transportgleichungen (15), (16) werden jedoch die Ladungsträgertemperaturen pT und nT verwendet.


2.4. Modellierung von Heterostrukturen Neben der Simulation von Halbleiterbauelementen, die nur aus einem Material bestehen, bietet das Programm SIMBA die Möglichkeit, Heterostrukturen einzubeziehen. Dazu werden die sogenannten Bandparameter np und ΘΘ nach [1] eingeführt. Das sind Funktionen, die im wesentlichen nur vom Ort abhängen (außerdem noch von der Temperatur), und deren Werte durch das jeweils vorliegende Material bestimmt werden. Ausgehend von den Daten eines Bezugsmaterials, die in den Gleichungen (38), (39) mit "ref" indiziert sind, berechnen sich diese Bandparameter zu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅+

−+

−=Θ

refV

VgrefgEArefEAp N

NlneTk

eWW

eWW

, (38)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅+

−=Θ

refC

CrefEAEAn N

NlneTk

eWW

. (39)

Damit kann nun das Transportmodell in der in (4),(5) angegebenen Weise modifiziert wer-den, so daß der Einfluß des Heteroüberganges auf den Stromfluß erfaßt wird. Neben der Modellierung von Heteroübergängen lassen sich über diese Bandparameter auch Effekte wie beispielsweise das Band-Gap-Narrowing mit einbeziehen. Die Poissongleichung wird durch eine ortsabhängige Dielektrizitätskonstante ε modifiziert. Weiterhin müssen natürlich alle anderen Modelle (Beweglichkeiten, Rekombinations- und Generationsmodelle) ebenfalls in Abhängigkeit der Materialzusammensetzung, d.h. in Ab-hängigkeit des Ortes, variiert werden. Als Referenzmaterial wird standardmäßig Silizium verwendet. Eine Einbeziehung von Oxidgebieten in die Simulation ist auf verschiedene Weise möglich: a) Für diese Gebiete wird als Material 'OXID' spezifiziert. In diesen Gebieten werden die La- dungsträgerdichten Null gesetzt und an Stelle der Poisson-Gleichung die Laplace- Gleichung gelöst. Die Dielektrizitätskonstante des Oxides wird standardmäßig von Refe- renzmaterial übernommen, kann aber modifiziert werden. Mit diesem Modell kann zwar die Feldstärke im Oxid berechnet werden, Tunnelströme ins Oxid (Gateströme) werden jedoch nicht erfaßt. b) Für diese Gebiete wird in der Materialbibliothek ein Material definiert, daß zwar als Halb- leiter behandelt wird, aber in seinen Eigenschaften einem Oxid nahekommt, d.h., eine sehr breite verbotene Zone, eine sehr kleine Eigenleitungsdichte und sehr geringe La- dungsträgerbeweglichkeiten aufweist. Mit dieser Methode können unter Zuhilfenahme des Quanten-Energiebalance-Modells auch Tunnelströme ins Oxid berechnet werden.


2.5. Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung 2.5.1. Selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung Bei Bauelementen mit Abmessungen im Nanometerbereich bzw. bei Heterobauelementen an den Materialübergängen treten verschiedene quantenmechanische Effekte auf. Die La-dungsträger können sich nicht mehr frei in alle Raumrichtungen bewegen. Die Bewegung ist in einzelne Richtungen beschränkt, so daß sich so genannte zwei-, ein- oder nulldimensiona-le Ladungsträgergase bilden. Das makroskopisch als kontinuierlich angenommene Leitband ist im Bereich dieser Ladungsträgergase in einzelne Energieniveaus aufgespalten. Die selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung ist ein mikroskopisches Modell zur Beschreibung dieser quantenmechanischen Effekte. Für den Simulator SIMBA ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Elektronen im-plementiert [41]. Wegen des erheblichen Rechenaufwandes bei der selbstkonsistenten Lö-sung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung soll dieses mikroskopische Modell nur in den Teilen der Halbleiterstruktur angewendet werden, in denen relevante Quantisierungseffekte auftreten. Beispiele hierfür sind Quantendrähte und das zweidimensionale Elektronengas im Kanal eines HEMT (high electron mobility transistor) [32]. Als Ergebnis der Lösung der Schrödinger-Gleichung erhält man die mikroskopisch berechne-te Elektronendichte und die diskreten Energieniveaus im Elektronengas. In allen anderen Strukturteilen wird weiterhin mit dem makroskopischen Modell gerechnet. Für den gekoppelten mikroskopisch/makroskopischen Algorithmus [32], [33] wird die effekti-ve-Masse-Näherung der Schrödinger-Gleichung für die Elektronen gelöst. Die Lösung erfolgt ein- bzw. zweidimensional in Abhängigkeit von der Art der betrachteten Struktur und des Elektronengases. Die Schrödinger-Gleichung

( ) 0EWm1

2 *

2=ψ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ∇⋅∇−

h (40)

und die Poisson-Gleichung (1) werden selbstkonsistent gelöst. m* ist die effektive Masse der Elektronen und wird als Materialkonstante angenommen. E repräsentiert die diskreten Ener-gieniveaus, ψ die entsprechenden Wellenfunktionen. h ist die Plancksche Konstante. Die potentielle Energie W ist definiert mit

imxcC WWWeW ++∆+ϕ−= (41) ∆WC ist die Diskontinuität des Leitbandes am Heteroübergang, Wxc ist die lokale Wechsel-wirkungs-Korrelations-Energie und Wim die Bildenergie [34]. Das elektrostatische Potential ϕ als Ergebnis der Lösung der Poisson-Gleichung und die Wellenfunktionen ψk sowie die Eigenenergien Ek als Ergebnis der Schrödinger-Gleichung werden zur Berechnung der mikroskopischen Elektronendichte nmik genutzt [35], [36].

∑ +ψ⋅=k

bulk2

kkmik nnn (42)

Die Berechnung der Elektronendichten nk in den einzelnen diskreten Energien erfolgt in Ab-hängigkeit von der Zustandsdichte der Elektronen, und damit von der Dimension der zu lö-senden Schrödinger-Gleichung.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+π⋅

=kT

EWexp1kTmn kFn2

*

k,2DEG lnh

(43)


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= − kTEW

hkT2mn kFn

21

*

k,1DEG /F (44)

WFn ist die Quasi-Fermi-Energie der Elektronen. Die Bulk-Elektronendichte nbulk in Glei-chung (42) wird als Elektronendichte in einem dreidimensionalen kontinuierlichen Energie-band angenommen, das sich oberhalb der diskreten Energieniveaus befindet. Werden Poisson- und Schrödinger-Gleichung selbstkonsistent gelöst, wird der Bandparame-ter nΘ , Gleichung (39), in der Transportgleichung der Elektronenstromdichte abhängig vom elektrostatischen Potential und von der Elektronendichte angepaßt:

( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−ϕ+Θ=ϕ∆Θ+Θ=Θ

C

mikFnnmikmikn,nmikn, N

nlne

kTWWe1n, . (45)

Prinzipiell kann die Lösung der Schrödinger-Gleichung bei jeder Modellstufe mit einbezogen werden. Jedoch schließen sich die Schrödinger-Gleichung und die Benutzung des Dichte-gradienten-Modells mit den Quantenkorrekturpotentialen pλ und nλ gegenseitig aus. 2.5.2. Berechnung von Tunnelströmen Tunneleffekte bestimmen beispielsweise den Ladungsträgertransport senkrecht zu einer Potentialbarriere wesentlich, sie wirken zusätzlich zu thermoionischen Transportvorgängen, bei denen Elektronen mit ausreichend hoher Energie über die Barriere gelangen können. Prinzipiell unterscheidet man bei Tunnelprozessen Intrabandtunneln, bei dem die zu durch-tunnelnde Barriere sich im Leitungs- bzw. Valenzband befindet, und Interbandtunneln (Band-Band-Tunneln), bei dem die Ladungsträger vom Leitungsband ins Valenzband oder umge-kehrt gelangen. Diese letztgenannten Prozesse sollen hier nicht behandelt werden, siehe dazu Abschnitt 2.8.4.. Im weiteren wird das Vorgehen zur Berechnung von Tunnelströmen bei Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung skizzenhaft erläutert, für Einzelheiten sei auf [41], [42] verwiesen.

CW

Tn12J

CW

eU

1 2

Tn21Tn12Tn JJJ −=

Tn21J

x

Bild 2: Tunnelströme an einer Barriere im Leitungsband

Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist zunächst eine Halbleiterstruktur, bestehend aus zwei gleichartigen hochdotierten Halbleiter-gebieten 1 und 2, getrennt durch eine einfache Barriere im Leitungsband, realisiert durch ein anderes Material. Es sei eine Spannung U ange-legt. Siehe dazu Bild 2. Der resultierende Tunnelstrom bzw. die Tunnel-stromdichte TnJ ergibt sich als Differenz zweier entgegengerichteter Tunnelströme mit den Stromdichten Tn12J und Tn21J . Mit Beschränkung auf die x-Richtung gilt für die Stromdichte TnxTn JJ = .


Die Elektronenstromdichte nxJ in x-Richtung ergibt sich mit der Geschwindigkeit nxv in x-Richtung zu:

nxnxn env J J == . (46)

Die Elektronendichte dn in einem Volumenelement zyxk dkdkdkdV = des Impulsraumes erhält man unter Berücksichtigung des Pauliprinzips mit

( ) k3 dVWf4

1 dn ⋅π

= , (47)

wobei ( )Wf die Fermi-Verteilung ist. Die mittlere Teilchengeschwindigkeit der Elektronen in x-Richtung ist

x

x dkdW1 v

h= . (48)

Da die Elektronen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere durchtunneln, muß zur Berechnung der Tunnelstromdichte TnJ die Stromdichte nach Gleichung (46) mit der Tunnelwahrscheinlichkeit ( )WT multipliziert werden. Unter Berücksichtigung, daß nur die Elektronen tunneln können, die auf der entsprechenden Gegenseite einen leeren Platz im k-Raum vorfinden, erhält man für die beiden Anteile der Tunnelstromdichte Tn12dJ und Tn21dJ und den resultierenden Anteil TndJ im Volumen kdV des Impulsraumes somit

( ) ( )( ) ( ) k21x

3Tn12 dVWTWf1Wf dkdW

4e dJ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=

h, (49)

( ) ( )( ) ( ) k12x

3Tn21 dVWTWf1Wf dkdW

4e dJ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=

h, (50)

( ) ( )( ) ( ) k21x

3Tn21Tn12Tn dVWTWfWf dkdW

4e dJdJdJ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=−=

h. (51)

Durch Integration erhält man schließlich die Gesamtstromdichte. Unter der Voraussetzung einer parabolischen Bandstruktur und mit W WW F1 −= und eUW WW F2 −−= ergibt sich für diese Tunnelstromdichte die Beziehung

( ) ( )( )( )( ) dW

kTeUWWexp1kTWWexp1ln WT

h2ekTm J

0 F

F32

*

Tn ∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

−+⋅

π= . (52)

Das wesentliche Problem bei der Berechnung der Tunnelstromdichten ist die Bestimmung der Tunnelwahrscheinlichkeiten ( )WT . Dafür haben sich das Transfermatrixverfahren und die WKB-Näherung durchgesetzt. Bei der im folgenden beschriebenen Transfermatrixmethode werden die Tunnelwahrschein-lichkeiten für Gleichung (52) für den Durchtritt von Elektronen durch eine Potentialbarriere,


auch als Transmissionskoeffizienten bezeichnet, dadurch bestimmt, daß eine beliebig ge-formte Potentialbarriere in Intervalle mit jeweils konstantem Potential bzw. konstanter Ener-gie zerlegt und durch Stufen approximiert wird. Für Gebiete konstanten Potentials liefert die Schrödingergleichung als analytische Lösung eine ebene Welle:

xjk1

xjk11

11 eBeA −+=Ψ (53)

xjk2

xjk22

12 eBeA −+=Ψ . (54) Der Wellenvektor k ist dabei wie folgt definiert

( )( )

h

xVWm2k i

*i

i−

= . (55)

Die Wellen mit den Amplituden iA sind bezüglich der x-Achse die hinlaufenden Wellen und die mit den Amplituden iB die rücklaufenden. Mit den Bedinungen, daß sowohl die Wellen-funktion als auch deren Ableitung an der Übergangsstelle 1x stetig ist, erhält man eine Dar-stellung in Matrixform

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅−⋅−⋅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+−−−

1

1xkkj

1xkkj

1

xkkj1

xkkj1

2

2

BA

eS1eS1eS1eS1

21

BA

112112

112112

(56)

mit

2

*1

1*2

1 kmkm S = . (57)

Der Einfluß der gesamten Barriere wird nun dadurch näherungsweise nachgebildet, daß jede einzelne Teilbarriere als Vierpol betrachtet wird und die Kettenschaltung dieser Einzelvierpo-le das Gesamtverhalten beschreibt. Für eine beliebige, durch Stufen approximierte Potentialschwelle ergeben sich die Amplitu-den der Wellenfunktionen im Intervall j in Abhängigkeit der Wellenfunktionen vor der Barriere zu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∏−

= 1

11j

1mm

j

j

BA

M BA

(58)

mit

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+⋅−⋅−⋅+

= −+

+−−−

++

++

1

1xkkj

mxkkj

m

xkkjm

xkkjm

m BA

eS1eS1eS1eS1

21 M

mm1mmm1m

mm1mmm1m

, (59)

und

1m

*m

m*

1mm km

km S+

+= . (60)

Das Produkt der einzelnen Vierpolmatrizen


M MMMM

MN

1mm

2221

1211 ∏=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (61)

wird als Transfermatrix bezeichnet. Mit der Annahme, daß im Intervall N+1 die auslaufende Welle nicht mehr reflektiert wird, d.h. 0B 1N =+ gilt, erhält man für die Amplitude der auslau-fenden Welle

1N1

11N

2222

12212211

1

1N

kmkm

M1

MMMMM

AA

+

++ ⋅=−

= *

* . (62)

Der Transmissionskoeffizient ( )WT wird definiert als Verhältnis der durch die Barriere tun-nelnden zur einfallenden Teilchendichte

( )1N1

11N2

221N1

11N2

1

21N

kmkm

M1

kmkm

A

A WT

+

+

+

++ ⋅=⋅= *

*

*

*. (63)

Die Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeiten oder Transmissionskoeffizienten mit der Transfermatrixmethode ist relativ aufwendig, gestattet jedoch auch die Anwendung für Dop-pel- und Mehrfachbarrieren, bei denen der Resonanztunneleffekt auftreten kann. Für Einzel-heiten sei auf [41] verwiesen. Im Gegensatz zur Transfermatrixmethode lassen sich mit der WKB-Näherung (nach WENT-ZEL, KRAMERS, BRILLOUIN) die Transmissionskoeffizienten für bestimmte Fälle einfach und in guter Näherung mit einer geschlossenen Formel bestimmen. Insbesondere eignet sich diese Methode für einfache Potentialbarrieren. Für die Modellierung des Resonanztunneleffektes an Doppelbarrieren ist die WKB-Näherung nicht geeignet. Für die Transmissionskoeffizien-ten durch eine einfache Potentialbarriere ergeben sich nach der klassischen WKB-Näherung die folgenden Beziehungen:

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−= ∫

2

1

x

x

dxxk2 exp WT , (64)

mit

( ) ( )( )h

xVW2m xk* −

= . (65)

Die Integrationsgrenzen 1x und 2x in Gleichung (64) sind dabei die Begrenzungen der Potentialbarriere. Für weitere Einzelheiten sei auf [41] verwiesen. Im Programm SIMBA lassen sich beide Methoden zur Bestimmung der Tunnelwahrschein-lichkeiten verwenden.


2.6. Ladungsträgerbeweglichkeiten 2.6.1. Vorbemerkungen Die in den Transportgleichungen für die Ladungsträgerdichten (4),(5), bzw. (15),(16) oder (20),(21) auftauchenden Beweglichkeiten np µµ , werden im Programm SIMBA in Abhängig-keit der Dotierung (Modell nach CHAUGHEY/THOMAS [5]), der elektrischen Feldstärke (parallel und senkrecht zur Stromrichtung) und der Gittertemperatur T (nach [4]) in der unten angegebenen Reihenfolge berechnet, wenn die jeweiligen Modelle zugeschaltet sind. Für jedes Materialgebiet in der Halbleiterstruktur läßt sich das Modell für die Feldstärkeabhän-gigkeit wie auch alle anderen Parameter getrennt wählen.

2.6.2. Dotierungsabhängigkeit Die Berücksichtigung einer Dotierungsabhängigkeit bei den Beweglichkeiten modelliert die Stoßprozesse zwischen Ladungsträgern und Störstellen.

( )( )( ) np,

ref np,AD

D np,min np,ADnp, NNN1

NN α++

µ+µ=+µ (66)

Dieses Modell wird immer verwendet, min np,µ , D np,µ , ref np,N und np,α sind materialabhän-gige Konstanten.

2.6.3. Temperaturabhängigkeit Die Berücksichtigung einer Temperaturabhängigkeit bei den Beweglichkeiten modelliert die Stoßprozesse zwischen Ladungsträgern und Gitteratomen (Phononenstöße). Das Modell wird dann verwendet, wenn die Simulation des thermischen Verhaltens aktiviert ist. 0T ist die Bezugstemperatur von 300 K und np,γ sind materialabhängige Konstanten. Bei organischen Halbleitern ist dieses Modell nicht wirksam. Hier muß zur Einbeziehung der Temperaturab-hängigkeit die Feldstärkeabhängigkeit (76) zugeschaltet werden, in der ein Temperaturein-fluß enthalten ist.

( ) ( ) ( ) np,0ADnp,np, TTNNT γ−⋅+µ=µ (67)

2.6.4. Feldstärkeabhängigkeit senkrecht zur Stromrichtung Mit Hilfe einer Abhängigkeit von der senkrecht zur Stromflußrichtung wirkenden Feldstärke

⊥E wird der Einfluß von Oberflächendefekten (Rauhigkeiten oder Versetzungen) auf die Beweglichkeiten nachgebildet. Das Modell spielt insbesondere bei MOS-Transistoren eine große Rolle. Es kann wahlweise zu- oder abgeschaltet werden und wird nur in einem dünnen Bereich an der Oberfläche berücksichtigt. pnT,E sind materialabhängige Konstanten.

( ) ( )pnT,

ADnp,np, EE1

TNNE

⊥⊥ +

+µ=µ

, (68)


2.6.5. Feldstärkeabhängigkeit parallel zur Stromrichtung Die Abhängigkeit der Beweglichkeit von der parallel zur Stromflußrichtung wirkenden Feld-stärke modelliert die Verringerung der Freiflugzeiten der Ladungsträger bis zum nächsten Stoßprozess, wenn die durch das elektrische Feld hervorgerufene Geschwindigkeit nicht mehr gegen die thermische Geschwindigkeit vernachlässigbar ist. Dafür stehen verschiede-ne Modelle zur Verfügung. In allen folgenden Gleichungen ist E der Betrag der parallel zur Stromflußrichtung wirkenden Feldstärke.

Modell 0: keine Feldstärkeabhängigkeit

Modell 1: ( ) ( )( )[ ] np,np,

p np,

np,np,

EE1

EE βα

⊥

+

µ=µ (69)

Modell 2: ( ) ( )( ) ( )( )[ ] np,np,

1 s np,np,

np,np,

vEE1

EE κκ

⊥

⊥

⋅µ+

µ=µ / (70)

Modell 3: ( )( )

( )[ ] np,np,

p np,

4p np,

3

s np,np,

np,EE1

EEvE

E βα

⊥

+

⋅+µ

=µ (71)

Modell 4: ( ) ( )( ) ( )( )[ ] np,np,

1 s np,np,

np,np,

vEE11

E2E κκ

⊥

⊥

⋅µ++

µ⋅=µ / (72)

Modell 5: ( )( )

( )

( )[ ] np,np,

np,

np,

p np,

p np,

1

s np,np,

np,EE1

EEvE

E βα

α

−α

⊥

+

⋅+µ

=µ (73)

Modell 6: Dieses Modell muß vom Nutzer selbst programmiert werden. Dazu wird eine

Routine mobili.f bereitgestellt, an die alle vorhandenen Parameter, überge-ben werden. In diese Routine muß der Nutzer seine gewünschte Funktion einfügen und die Routine compilieren. Standardmäßig wirkt die vorhandene Routine wie das Modell 0.

Modell 7: z.Z. nicht benutzt Modell 8: Das Modell ist speziell zur Modellierung der feldstärke- und temperaturabhän-

gigen Beweglichkeit in organischen Halbleitern vorgesehen, siehe dazu Ab-schnitt 2.6.6.

In allen feldstärkeabhängigen Modellen werden die Sättigungsgeschwindigkeiten s np,v und

die Peak-Feldstärken p np,E als von der Gittertemperatur T abhängig angenommen:

( ) ( )0np, v0 np,s np, TTdvTv −−= (74)

( ) ( )0np, E0 np,p np, TTdETE −−= . (75)


Wird das Energiebalance-Modell verwendet, so kann bei allen hier aufgeführten Modellen, Gleichung (69) bis (73), an Stelle der elektrischen Feldstärke E eine effektive Feldstärke nach Gleichung (17) verwendet werden (Standard). Um eine Richtungsabhängigkeit der Beweglichkeit, d.h. anisotrope Halbleiter, zu modellie-ren, kann in jeder Koordinatenrichtung ein Wichtungsfaktor angegeben werden, mit dem die Beweglichkeiten dann multipliziert werden. Der Standardwert für diese Faktoren ist 1.0.

2.6.6. Feldstärkeabhängigkeit für organische Halbleiter Zur Modellierung der feldstärkeabhängigen Beweglichkeit bei organischen Halbleitern wird ein Modell nach [44] verwendet:

Modell 8: ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

⋅⋅µ=µ *.exp, E252kT

cTE2

0np, (76)

Dabei ist σ die Breite der Zustandsdichteverteilung in kT , c ist ein Fit-Parameter. Für die in Gleichung (76) verwendete Feldstärke *E kann sowohl die in Stromrichtung wir-kende (parallele) Feldstärke pE , die senkrecht zur Stromrichtung wirkende Feldstärke sE oder beide Komponenten verwendet werden:

2s

2p

* EbEaE ⋅+⋅= (77) Die in Gleichung (77) auftretenden Größen a und b sind Wichtungsfaktoren zwischen Null und Eins.

2.6.7. Abhängigkeit von der Verspannung Gitterverspannungen bewirken neben der Verschiebung der Bandkanten eine Beeinflussung der Ladungsträgerbeweglichkeiten. Dieser Einfluß wird letzten Endes durch einen von der Verspannung abhängigen Faktor in jeder Gitterrichtung erfaßt. Für die genauen Einzelheiten siehe Abschnitt 2.10. Mit diesem Faktor wir die aus Dotierung und Temperatur berechnete Beweglichkeit in jeder Gitterrichtung multipliziert.



2.7. Rekombinationsmodelle 2.7.1. Shockley/Read/Hall-Rekombination Die Modellierung der thermischen Rekombination erfolgt nach dem bekannten und weit-verbreiteten Modell von SHOCKLEY/READ/HALL [6]. Zusätzlich wird angenommen, daß sich das Energieniveau der Rekombinationszentren in der Mitte der verbotenen Zone befindet.

( ) ( )inip

2i

SRH npnnnnpR

+τ++τ−⋅

= (78)

Das Modell wird immer verwendet. Es kann wahlweise mit konstanter oder von der Dotierung abhängiger Lebensdauer gerechnet werden. Die Modellierung der Dotierungsabhängigkeit der Lebensdauer von Elektronen und Löchern erfolgt nach der halbempirischen Beziehung von KENDALL [7]:

( )

ref np,

AD

0 np,ADnp,

NNN1

NN+

+

τ=+τ (79)

Die materialabhängige Konstante ref np,N ist dabei die Dotierung, bei der die Lebensdauer der Löcher oder Elektronen im Vergleich zur Lebensdauer in einem schwach dotierten Ge-biet auf die Hälfte gesunken ist. Wird mit dotierungsunabhängigen Lebensdauern gerech-net, so werden in Gleichung (78) die Werte von 0 np,τ verwendet.

2.7.2. Rekombination über Trap-Niveaus Bei hohen Feldstärken tritt eine starke Verringerung der Ladungsträgerlebensdauern auf. Dieser Effekt, der auf dem Tunneln von Ladungsträgern in Trapniveaus in der verbotenen Zone basiert (Trap-Assisted-Tunneling), kann mit Hilfe der folgenden Beziehungen modelliert werden [28]:

( ) ( )( )E1NN

Enp,

ADnp,np, Γ+

+τ=τ , (80)

mit

( )2

nRTp,nRTp,np, E

EexpE

E32E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=Γ für V/cm109 E 5⋅< (81)

und

( )h⋅⋅⋅⋅

=e

Tkm6E

30

nRTp, (82)

bzw.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅∆

⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅

π⋅

∆=Γ EK

TkW

expEtaEtaEtaEK3

2Tk

WE np,

np,3np,1

2np,1np,1

np,

np,np,

für V/cm109 E 5⋅≥ (83) mit


( )( )

( )

1

np,

np,np,

np, EK23

EK23

TkW

1 Et

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅−⋅

∆

⋅β+=/

, (84)

( )Ee

Wm5034EK

3np,0

np, ⋅⋅

∆⋅⋅⋅=

h

. (85)

und 34802420a1 .= , 09487980a2 .−= , 74785560a3 .= ,

0616850.=β , eV 50W np, .=∆ . Die mit Hilfe der Gleichung (80) berechneten Lebensdauern werden dann im Shockley/Read/Hall-Modell (78) verwendet. Das Modell ist wahlweise zuschaltbar und wird im Programm SIMBA nur in einer Schicht einstellbarer Dicke an Oxid-Halbleiter-Übergängen benutzt. Bezüglich des Konvergenzverhaltens ist das Modell kritisch und erfordert sorgfältige Kalibrierung. Das Modell sollte immer zusammen mit dem Modell zur Beschreibung der Band-Band-Tunnelgenerationsrate, Gleichung (93), eingesetzt werden.

2.7.4. Auger-Rekombination Die Berechnung der phononenassistierten Auger-Rekombinationsrate, die insbesondere bei Hochinjektion bzw. -dotierung eine dominierende Rolle spielt, wird im Programm SIMBA in der nachfolgenden Form berechnet [8] :

( )( )2ipnAug npnpCnCR −+= (86)

Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar. pC und nC sind materialspezifische Konstanten. 2.7.5. Oberflächenrekombination Im Berech der Halbleiteroberfläche kommt es durch den Abbruch des periodischen Gitters zu verstärkten Rekombinationsvorgängen. Zur Beschreibung dieser Oberflächenrekombination wird die folgende Beziehung verwendet:

( ) ( )i

ni

p

2i'

Surfnp

v1nn

v1

nnpR+++

−⋅= (87)

Die materialspezifischen Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten pv und nv können für jeden Oxid- und MOS-Randwert einzeln spezifiziert werden. Das Modell wird immer verwen-det, jedoch sind die Standardwerte für pv und nv so gewählt, daß praktisch ohne Oberflächen-rekombination gerechnet wird. Bedingt dadurch, daß die Rekombinationsvorgänge durch die Struktur der Gleichung (87) an einer Fläche konzentriert werden, kann es bei zu großen Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten zu Konvergenzschwierigkeiten führen.


2.7.6. Strahlende Rekombination Zur Simulation von lichtemittierenden Bauelementen muß die strahlende Rekombination mit einbezogen werden. Das Modell befindet sich noch in der Testphase und wird erst in den nächsten Versionen bereitstehen.


2.8. Generationsmodelle 2.8.1. Avalanche-Generation: Zur Berücksichtigung der Lawinenvervielfachung infolge Stoßionisation wurde im Programm SIMBA die Avalanche-Generationsrate nach [9] implementiert. Der Ansatz zur Berechnung der Lawinengenerationsrate beruht auf dem klassischen Stoßmodell. Zur Modellierung der stark nichtlinearen ( )Eα -Beziehung wurde das Modell nach CHYNOWETH [10] gewählt, wobei zur Berechnung der Stoßionisationskoeffizienten nur die in Stromrichtung wirkende Feld-stärke Berücksichtigung findet (Modell nach SCHÜTZ/SELBERHERR [11]). Das ist insbesonde-re für die Simulation des Lawinendurchbruchs in MOS-Transistoren von Bedeutung. nnppAVG JJ ⋅α+⋅α= (88) mit

np,m

np,np,np,np,

B-expA ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

⋅=αJEJ

(89)

np,np, B A , und np,m sind materialspezifische Konstanten. Die Generationsrate AVG wird nur berechnet, wenn eine bestimmte Mindestfeldstärke erreicht ist. Zur Berechnung der Genera-tionsrate in einer Raumzelle werden in (88), (89) die Mittelwerte der Stromdichten und der Feldstärke aus jeder Raumrichtung, gewichtet mit dem Kehrwert der Abstände zu den be-nachbarten Gitterpunkten, benutzt. Übersteigt die Feldstärke eine bestimmte materialabhän-gige Grenzfeldstärke 1E , so wird ein anderer Koeffizientensatz 1 np,A und 1 np,B zur Berech-

nung der Stoßionisationsparameter np,α in (89) verwendet. Übersteigt die berechnete maxi-male Generationsrate eine empirisch vorgegebene Schranke so wird die Generationsrate auf diesen Wert dieser Schranke begrenzt. Standardmäßig gilt: scm 30E 01G 3

max += . . Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar. Bei Benutzung sollte insbesondere im Bereich des zu erwartenden Durchbruchs nur mit sehr kleinen Spannungsänderungen an den Kontakten weitergerechnet werden. Die Rechenzeit kann unter Umständen enorm anwachsen, Konver-genzproblemen sind ebenfalls zu erwarten.

2.8.2. Fotogeneration: Die Grundlage für die Berechnung der durch Lichteinfall hervorgerufenen Ladungsträger- generation ist das Bändermodell nach EINSTEIN (Grundgitterabsorption). Die Einbeziehung der Störstellenabsorption bleibt unberücksichtigt. Die Modellierung der Reflexions-eigenschaften der lichtzugewandten Halbleiteroberfläche erfolgt mit Hilfe der wellen-längen- und materialabhängigen Reflexionskoeffizienten R nach [12], [26]. Aus den gleichen Quellen wurden auch die Werte für den wellenlängen- und ebenfalls materialabhängigen optischen Absorptionskoeffizienten Fα übernommen. Standardmäßig erfolgt die Integration über den Photonenfluß FΦ des gesamten, senkrecht in x-Richtung einfallenden Spektrums. Als Licht-spektren stehen AM1 oder von Nutzer vorzugeben, konstante oder gaußförmig verteilte Spektren zur Verfügung. Die Simulation kann mit statischer Beleuchtung oder zeitlich gauß-förmigen verlaufenden Lichtimpulsen erfolgen. Die an der Lichteinfallsfläche angeordneten Kontakte können als lichtdurchlässig oder abschattend angenommen werden. Eine nicht-ideale Quantenausbeute bei Lichteinfall, bzw. im entgegengesetzten Fall eine Konzentration des Lichtes kann durch einen konstanten Faktor effQ berücksichtigt werden. Die Fotogenerationsrate berechnet sich nach [12] zu:


( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] λλα⋅⋅λΦ⋅λα⋅λ−⋅= ∫λ

λ

d x-expR1QGo

u

FFFeffopt . (90)

Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar und bezüglich seiner Auswirkung auf das Konvergenz-verhalten relativ harmlos. 2.8.3. Alphateilchen-Generation: Für die durch α-Teilchen hervorgerufene Generation von Ladungsträgerpaaren wird im Pro-gramm SIMBA das folgende Modell verwendet [13] :

( )2

2T

2

2H

Peek201

2

2m

2wrexp

2wxxexpCxAexpC

2tt-exp

2aG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅+−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ−

πτ=α

(91) Die Normierungskonstante a wird dabei so bestimmt, daß sich

( ) dtdV aGQ0 V

T ∫ ∫∞

α= (92)

durch Integration der Generationsrate bei vorgegebener generierter Gesamtladung TQ er-gibt. Die Einfallrichtung des Teilchenstrahls kann beliebig vorgegeben werden. Mit Hilfe die-ses Generationsmodells können neben dem Einfluß von α-Teilchen auch eine optische Ge-neration unter stark reduzierten Modellaufwand, bzw. die Generation durch β-Teilchen o.a. Partikel bei entsprechender Modifikation der Parameter erfaßt werden. In Gleichung (91) bedeuten: τ : Halbwertszeit der Generation (in ns) tm : Lage des Generationsmaximums auf der Zeitachse (in ns) wT : Halbwertsbreite des Teilchenschlauches (in µm) xPeek : Tiefe des Peeks in Spurrichtung (in µm) A0 : Absorptionsparameter für optische Eigenschaften (1/cm) wH : Halbwertsausdehnung des Peeks in Spurrichtung (in µm) C1 : Absorptionsparameter für optischen Teil (1/cm) C2 : Absorptionsparameter für Gauß-Peek (1/cm) x : Tiefe des Ortspunktes in Spurrichtung der α-Teilchen. r : Seitlicher Abstand des Ortspunktes von der Spur der α-Teilchen. Eine örtliche Begrenzung der Generationsrate nach einer bestimmten Tiefe in Spurrichtung ist möglich. Zur Zeit werden keine unterschiedlichen Absorptionsparameter für verschiedene Materialien verwendet. Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar. Für die Parameter stehen keine Standardwerte zur Ver-fügung.


2.8.4. Band-Band Tunnel-Generation: Die bei hohen Feldstärken auftretende Tunnelgeneration zwischen Leitungs- und Valenz-band wird im Programm SIMBA nach dem Modell von HURKX, u.a. [27] beschrieben:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

EW

BexpWE AG

3/2g

BBg

2

BBBB (93)

gW ist die Breite der verbotenen Zone, BBA und BBB sind materialspezifische Konstanten. Das Modell ist wahlweise zuschaltbar und wird im Programm SIMBA nur in einer Schicht einstellbarer Dicke an Oxid-Halbleiter-Übergängen benutzt. Bezüglich des Konvergenzver-haltens ist das Modell kritisch und erfordert sorgfältige Kalibrierung. Das Modell sollte immer zusammen mit dem Modell zur Beschreibung der feldstärkeabhängigen Verringerung der Ladungsträgerlebensdauern, Gleichung (80), eingesetzt werden.


2.9. Weitere Modelle 2.9.1. Modell für getrappte Ladungsträger Neben den freien Elektronen können auch die Beiträge getrappter Elektronen zur Raum- ladung mit berücksichtigt werden [25]. In diesem Falle werden auf der rechten Seite der Poissongleichung zusätzlich zu den in Gleichung (1) vorhandenen Termen noch die Dichte der getrappten Ladungen −+ − TATD NN addiert:

( ) ( )( ) ( )TD

TDnDTD

TDpD

nDpDTDTD

ppNC

1 nnNC

1Cp Cn

N+⋅

⋅++⋅

⋅

+=+ (94)

( ) ( )( ) ( )TA

TAnATA

TApA

pAnATATA

ppNC

1 nnNC

1Cn Cp

N+⋅

⋅++⋅

⋅

+=− (95)

Bei den Kontinuitätsgleichungen (2), (3) wird in der Rekombinationsrate zusätzlich zu den in den Abschnitten 2.7. und 2.8. beschriebenen Modellen ein zusätzlicher Term für die Rekom-binationsprozesse über die Trapniveaus hinzugefügt:

( )

( ) ( )( )

( ) ( )TApATAnA

2inApATA

TDpDTDnD

2inDpDTD

T ppC nnCnnpCCN

ppC nnC

nnpCCNR

+⋅++⋅−⋅⋅⋅⋅

++⋅++⋅−⋅⋅⋅⋅

= (96)

Die Trapzustandsdichten TDTA N ,N , sowie die Einfangraten C und C ,C ,C pDnDpAnA werden

gebietsweise vorgegeben. Für die Dichten TATA n ,p bzw. TDTD n ,p die sich aus der energe-tischen Lage der Trapniveaus ergeben, wird vorerst jeweils die Eigenleitungsdichte in ver-wendet. Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar.

2.9.2. Band-Gap-Narrowing Wahlweise ist eine Berücksichtigung des Band-Gap-Narrowing Effektes möglich. Die durch hohe Dotierungen hervorgerufene Verringerung der verbotenen Zone wird über die Bezie-hung von DHARIWAL [15] modelliert:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+⋅=∆ BGN

2

BGN

AD

BGN

ADBGNg C

NNNln

NNNlnWW (97)

BGNW , BGNN und BGNC sind materialspezifische Parameter. Zur Zeit stehen vernünftige Werte für diese Parameter nur für Silizium zur Verfügung. Die mit Gleichung (97) errechnete Verringerung der Bandlücke wird jeweils zur Hälfte zu den Bandparametern np und ΘΘ , siehe Geichungen (38) und (39), addiert und dann in den beiden Transportgleichungen (4), (5) verwendet. Bei der Berechnung der Eigenleitungsdichte, siehe Abschnitt 2.10, wird gW∆ ebenfalls verwendet. Das Modell ist wahlfrei zuschaltbar.


2.9.3. Simulation von Widerstandsgebieten In der Version SIMBA 5.0 können in die Simulation auch Widerstandsgebiete zur Nachbil-dung verteilter Kontaktwiderstände einbezogen werden. In diesen Gebieten, für die zwing-enderweise eine konstante Dotierung vorgeschrieben ist, wird lediglich die Stromdichte der Majoritätsträger berücksichtigt. Für die Minoritätsträgerbeweglichkeiten wird daher Null an-genommen. Die Beweglichkeiten der Majoritäten sind in diesen Gebieten konstant und tem-peraturunabhängig. Diese Widerstandsgebiete können aus beliebigem Material sein, ausge-nommen ‘OXID’.


2.10. Einbeziehung von Verspannungseffekten 2.10.1. Koordinatentransformation, Verspannung und Kristalldehnung Die Verspannung des Halbleiterkristalls beeinflußt das elektronische Verhalten der Bauele-mente auf verschiedene Weise. Durch die Verformung werden die Gitteratome verschoben und damit die Banstruktur, d.h. letzten Endes die Kanten von Leitungs- und Valenzband, beeinflußt. Dieser Effekt wird durch das sogenannte Deformationspotential [46] beschrieben. Weiterhin äußert sich eine Verspannung des Kristallgitters in einer veränderten Beweglich-keit der Ladungsträger [47]. Da die Änderung der elektronischen Eigenschaften im Kristall berechnet wird, ist eine Transformation von Größen zwischen den Koordinaten des Simulati-onssystems und dem Kristallsystem erforderlich. Standardmäßig gilt folgende Zuordnung der Koordinatensysteme des Kristalls und des Simu-lationssystems, die jedoch durch Eingaben geändert werden kann: x-Achse des Simulationssystems zeigt in Kristall-Richtung (0, 0, 1) y-Achse des Simulationssystems zeigt in Kristall-Richtung (1, 1, 0) z-Achse des Simulationssystems zeigt in Kristall-Richtung (1, -1, 0) . Ausgehend von diesen Festlegungen der Koordinatenrichtungen wird jeweils ein System orthonormierter Basisvektoren für diese Richtungen berechnet. Mit deren Hilfe können nun die Transformationsmatrizen für Vektoren zwischen dem Simulationssystem und dem Kri-stallsystem berechnet werden. Im folgenden werden die Transformationsregeln hergeleitet.

Gegeben seien die zwei orthonormierten Basen { }32 , eee1, im Simulationssystem und

{ }32 , '',' eee 1 im Kristall. Da alle Basisvektoren auch dem Raum 3R angehören, kann man sie durch eine Linearkombination der jeweils anderen Basis ausdrücken: eTe ⋅=' bzw. '' eTe ⋅= (98)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

TTTTTTTTT

eee

eee

'''

bzw. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

TTTTTTTTT

'''

'''''''''

eee

eee

Offensichtlich gilt hier 1−= TT' . Ausgehend von diesen Matrizen werden die Transformationsregeln für Vektoren abgeleitet. Gegeben sei dazu ein Vektor v, der durch

ev ⋅= Tv bzw. '' ev ⋅= Tv (99)

beschrieben wird. Dabei sind ( )321T vvvv = und ( )321

T vvvv '''' = die transponier-ten Spaltenmatrizen der Komponenten von v in der ungestrichenen bzw. der gestrichenen Basis. Der Vektor v muß, unabhängig davon mit welcher Basis er beschrieben wird, immer gleich sein.

'' ee ⋅=⋅ TT vv bzw. ee ⋅=⋅ TT vv '' (100) Setzt man nun die Transformationsregeln für die Basen (98) in die Darstellung der Vektoren (99) auf der jeweils rechten Seite von (100) ein, erhält man jeweils

eTe ⋅⋅=⋅ TT vv ' bzw. ''' eTe ⋅⋅=⋅ −1TT vv


Ein Koeffizientenvergleich liefert dann

T⋅= TT vv ' bzw. 1TT vv −⋅= T' woraus sich durch durch abschließende Transposition die Transformationsvorschriften für die Komponenten eines Vektors ergeben:

'vv T ⋅= T bzw. ( ) vvT1 ⋅= −T' (101)

Für orthonormierte Basen gilt zusätzlich T1 TT =−

, d.h. ( ) TT =− T1, wie weiter unten darge-

stellt wird (104).

Die Berechnung der Transformationsmatrizen T bzw TT erfolgt ausgehend von (98), bzw. in

anderer Darstellung als

j

3

1=jji,

'i T ee ∑= bzw '

j

3

1=j

'ji, i T ee ∑= , (i=1,2,3). (102)

Geschrieben. Für orthonormierte Basen gilt

ji,j i δ=⋅ee , bzw. ji,'j i δ=⋅ee' (i,j=1,2,3) (103)

wobei ji,δ das Kronecker-Symbol bezeichnet:

⎩⎨⎧

≠=

=δji 0ji 1

ji, .

Mit (103) erhält man aus (102) die Berechnungsvorschriften für die Matrixelemente von T bzw. TTT =' :

j'i ji,T ee ⋅= bzw. '

j i'ji,T ee ⋅= . (104)

Aus (104) folgt außerdem 'ij,ji, TT = , d.h. zwischen den Matrizen T und 'T besteht neben

dem Zusammenhang 1−= TT' zusätzlich die Beziehung T1 TT =− . Im Programm SIMBA kann ein Verspannungsprofil vorgegeben werden, wobei an jedem Punkt eine Verspannung nur in Richtung der Koordinatenachsen (x, y und z) des Simulati-onssystems zugelassen ist, d.h. im Streß-Tensor σ sind in der Matrix nur die Haupt-diagonalelemente von Null verschiedenen:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ=σ

33

22

11

ij

000000

(105)

mit xx11 σ=σ , yy22 σ=σ , zz33 σ=σ .


Dieser Streßtensor wird in das Kristallkoordinatensystem als 'σ transformiert. Entsprechend den Rechenregeln [48] gilt für die Matrixelemente von ij'σ

mnjnimij TT σ=σ' (i,j,m,n : 1,..,3) (106) Aus der Verspannung wird mit Hilfe des Elastizitätsmoduls S eine Dehnung ε im Kristallsy-stem berechnet. In reduzierter Notation [49] lauten die Berechnungsvorschriften

∑=

σ⋅=ε6

1jjiji S '' (107)

mit dem reduzierten Elastizitätsmodul

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44

44

44

111212

121112

121211

ij

S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS

S (108)

und der reduzierten Form des Streßtensors

[ ]'''''''654321

Tj σσσσσσ=σ

mit 111 '' σ=σ , 222 '' σ=σ , 333 '' σ=σ ,

( )21124 50 ''.' σ+σ⋅=σ , ( )31135 50 ''.' σ+σ⋅=σ , ( )32236 50 ''.' σ+σ⋅=σ . Die mit Gleichung (107) berechnete, reduzierte Form des Dehnungstensors wird in verglei-barer Weise wieder in die nichtreduzierte Form überführt [49]

333231

232221

131211

6

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ε

ε

'''

'''

'''

'...'

(109)

mit

111 '' ε=ε , 412 50 '.' ε⋅=ε , 513 50 '.' ε⋅=ε ,

222 '' ε=ε , 1221 '' ε=ε , 623 50 '.' ε⋅=ε ,

333 '' ε=ε , 1331 '' ε=ε , 2332 '' ε=ε .


2.10.2. Deformationspotential Nach [46] kann aus der mit (107), (109) berechneten Dehnung des Kristalls ein Deformati-onspotential für das Leitungs- und das Valenzband berechnet werden. • Leitungsband:

'''', )( 112C3322111C1C DDW ε+ε+ε+ε=∆ (110)

'''', )( 222C3322111C2C DDW ε+ε+ε+ε=∆ (111)

'''', )( 332C3322111C3C DDW ε+ε+ε+ε=∆ (112)

kTkTW

31W

3

1i

iCC ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−=∆ ∑

=

,expln (113)

• Valenzband:

)(D

))()()((2

D

)(D∆W223

213

212

23V

23311

23322

22211

22V

3322111V1V,'''

''''''

'''

ε+ε+ε+

ε−ε+ε−ε+ε−ε

−ε+ε+ε=

)(D

))()()((2

D

)(D∆W223

213

212

23V

23311

23322

22211

22V

3322111V2V,'''

''''''

'''

ε+ε+ε+

ε−ε+ε−ε+ε−ε

+ε+ε+ε=

kTkTW

21W

2

1i

iVV ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=∆ ∑

=

,expln . (114)

Diese Änderungen der Bandkanten werden verwendet, um die Bandparameter in (38) und (39) entsprechend zu modifizieren. Dabei wird die Änderung der Leitungsbandkante (113) benutzt um die Elektronenaffinität zu verändern:

C0EAEA WWW ∆−= (115)

0EAW ist dabei die Elektronenaffinität ohne Verspannung des Kristalls. Die Breite der verbotenen Zone wird von beiden Änderungen (113), (114) beeinflußt

VC0gg WWWW ∆−∆+= (116)

0gW ist dabei die Breite der verbotenen Zone ohne Verspannung des Kristalls.


2.10.3. Verspannungsabhängige Beweglichkeiten Ausgehend von den berechneten Deformationspotentialen werden nach [47] die Ladungs-trägerbeweglichkeiten modifiziert. Vorerst ist im Programm SIMBA nur ein Modell für die Ab-hängigkeit der Elektronenbeweglichkeit von der Verspannung im Kristallsystem implemen-tiert. Dabei wird die von der Dotierung und Temperatur abhängige Bulkbeweglichkeit 0nµ

durch einen von den Deformationspotentialen abhängigen Faktor '_ iinF für die einzelnen Kri-

stallrichtungen multipliziert. '

_'

_ iin0niin F⋅µ=µ ( )321i ,,= (117) mit

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆−∆⋅

⋅+−

+= 1kT

WWmm21

mm11F iCC

ntn

ntniin

,'_ exp

l

l ( )321i ,,= (118)

In (118) sind ntm bzw. lnm die effektiven Massen der Elektronen in transversaler bzw. lon-gitudonaler Richtung. Die mit den Gleichungen (117) und (118) errechneten Anteile der Be-weglichkeit in den Richtungen des Kristallgitters (Hauptdiagonalelemente in der Matrix des Beweglichkeitstensors) müssen abschließend noch in das Simulations-Koordinatensystem zurücktransformiert werden. Entsprechend den Rechenregeln [48] gilt für die Matrixelemente von ijn _µ : mnnjnimijn TT __ ''' µ=µ (i,j,m,n : 1,..,3) (119) In Gleichung (119) sind imT' und jnT' die Elemente der transponierten Transformationsma-

trix TTT =' . Nicht auf der Hauptdiagonale liegende Matrixelemente werden dabei vernachlässigt, so daß sich letzten Endes nur eine Modifikation der Beweglichkeit in Abhängigkeit der Verspannung in den drei Koordinatenrichtungen (x, y und z) ergibt. Ein Modell zur Modifizierung der Löcherbeweglichkeit ist z.Z. noch nicht implementiert.


2.11. Normierungsfaktoren und andere Größen Innerhalb des Programmes wird mit normierten Größen gerechnet. Entnormierte Werte er-scheinen nur für den Nutzer bei der Ein- oder Ausgabe. Die Normierung hat den Zweck, zum einen den Zahlenbereich für die innerelektronischen Größen so zu legen, daß Rundungsfeh-ler minimiert werden und andererseits unnötige Operationen mit Konstanten einzusparen. Im Programm SIMBA wird das in der Bauelememtesimulation allgemein übliche Normierungs-system von DE MARI [23] verwendet, siehe untenstehende Tabelle.

Physikalische Größe

Normierungsfaktor

Zeit s 1tN =

Temperatur K 1TN =

Potentiale, Spannungen,

Bandparameter

eTkUT⋅

=

Dichten in

Längen

i

HL0TDB ne

UL⋅

ε⋅ε⋅=

elektr. Feldstärke

DB

TN L

UE =

Beweglichkeiten

NT

2DB

N tUL⋅

=µ

Stromdichten

N

DBiN t

LneJ ⋅⋅=

Rekombinations- und

Generationsraten

N

iN t

nR =

Geschwindigkeiten

N

DBN t

Lv =

Flächenladungsdichten

DBiSN Ln ⋅=ρ

Ströme 2DBNN LJI ⋅=


Im folgenden werden weitere wichtige Beziehungen und Größen angegeben, die in den bis-her verwendeten Gleichungen des Abschnittes 2. enthalten sind [2], [3], [4] : Temperaturspanung:

eTkUT⋅

= (120)

Effektive Zustandsdichten:

( )51

V(300K)C,VC, K300TNTN

,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= (121)

Breite der verbotenen Zone: Die Breite der verbotenen Zone gW ist neben dem Material selbst noch von der Temperatur, der Kristallverspannung (Streß) und der Dotierung abhängig. Im Temperaturbereich von 150K bis 450K kann die Temperaturabhängigkeit näherungsweise durch ( ) ( )K300TdWTW wgg(300K)g −⋅−= (122) beschrieben werden. Bei Einbeziehung des Streß- und Band-Gap-Narrowing-Effektes gilt: ( ) ( ) ggADg WTWNNW ∆−=+ (123)

Eigenleitungsdichte :

( ) ( ) ( ) ( )kT

NNWexpTNTNTn ADg

VCi+−

⋅⋅= (124)


2.12. Erzeugung des Dotierungsprofils Das Dotierungsprofil ist eine wichtige Größe, die das Verhalten von Halbleiterstrukturen we-sentlich beeinflußt. Neben der Nettodotierung -

A+D NN − , die in die Poissongleichung (1) ein-

geht, wird zusätzlich noch die Bruttodotierung AD NN + zur Berechnung der Beweglichkeit (66) bzw des Band-Gap-Narrowings (97) benötigt. Im Programm SIMBA wird das Dotierungsprofil durch analytischen Funktionen beschrieben. Diese Funktionen sind nicht in jedem Falle realen Technologieschritten aus der Fertigung zuzuordnen. Vielmehr sind sie so gestaltet, daß sich reale Dotierungsprofile in ausreichender Genauigkeit nachbilden lassen. Eine Prozeßsimulator zur genauen Modellierung des Herstellungsprozesses ist derzeit nicht verfügbar ist. Jedoch besitzt das Programm SIMBA eine Dateischnittstelle, über die ander-weitig erzeugte Dotierungsprofile eingelesen werden können. An analytischen Modellen stehen derzeit konstante Dotierung und Gaußprofile zur Verfü-gung. • Bei Gebieten mit konstanter Dotierung wird innerhalb eines quaderförmigen Teilgebietes

eine konstante Dotierung ( ) 00 FNzy,x,N ⋅= angenommen. Dieser Wert kann sowohl zu einer bereits vorhandenen beliebigen Grunddotierung vorzeichenrichtig addiert werden, oder innerhalb des Teilgebietes wird das bereits vorhandene Dotierungsprofil mit dem angegebenem Wert überschrieben. Positives Vorzeichen bedeutet dabei n-Dotierung und negatives Vorzeichen dementsprechend p-Dotierung. Die quaderförmigen Teilgebiete müssen parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet sein und zumindest teilweise in-nerhalb der zu simulierenden Struktur liegen.

• Beim Einbringen von Gaußprofilen wird innerhalb eines 2- oder 3-dimensionalen Fen-

sters, daß ebenfall teilweise innerhalb der zu simulierenden Struktur und parallel zu den Koordinatenachsen liegen muß, eine Oberflächenkonzentration ( ) 00 FNzy,x,N ⋅= vor-gegeben. Außerhalb des vorgegebenen Fensters wird eine Gaußfunktion für das Profil angenommen.

( ) 2D

2

z

02

y

02

x

0

00

fzz

fyy

fxx-

expFNzy,x,Nl

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⋅⋅= (125)

Die so berechnete Konzentration ( )zyxN ,, wird vorzeichenrichtig zu der bereits vorhan-denen Dotierung addiert. Die seitliche Ausdiffusion kann in jeder Koordinatenrichtung durch Wichtungsfaktoren zyx f und f f , beeinflußt werden.

x0 ... z0 : Koordinaten des Maskenfensters Zusätzlich kann das Gaußprofil bei einer Konzentration maxN abgeschnitten werden.

Die Diffusionslänge Dl wird entweder angegeben oder durch Angabe der Koordinaten des pn-Überganges xue, yue, zue und der an dem Koordinatenpunkt bereits vorhande-nen Dotierung oder einer eingegebenen Konzentration berechnet.

Die Angabe eines Störstellenionisationsfaktors 01F0 .≤ ist sowohl bei Gebieten mit kon-stanter Dotierung als auch bei Gaußprofilen möglich. Ist dieser Faktor kleiner als 1.0, so wird beit der Nettodotierung nur die mit diesem Faktor gewichtete Störstellendichte verwendet.


2.13. Erzeugung des Streßprofils Das Streßprofil wird verwendet um den Einfluß von Gitterverspannungen auf die Ladungs-trägerbeweglichkeit und die Bandstruktur zu beschreiben. Im Programm SIMBA wird das Streßprofil durch analytischen Funktionen beschrieben. Diese Funktionen sind nicht realen Technologieschritten aus der Fertigung zuzuordnen. Vielmehr sind sie so gestaltet, daß sich reale Streßprofile in ausreichender Genauigkeit nachbilden lassen. Eine Prozeßsimulator zur genauen Modellierung des Herstellungsprozesses ist der-zeit nicht verfügbar ist. Jedoch besitzt das Programm SIMBA eine Dateischnittstelle, über die anderweitig erzeugte Streßprofile eingelesen werden können. An analytischen Modellen stehen derzeit konstante Verspannung, Gaußprofile oder abklin-gende Exponentialfunktionen zur Verfügung. • Bei Gebieten mit konstanter Dotierung wird innerhalb eines quaderförmigen Teilgebietes

eine konstante Verspannung, die in jeder Koordinatenrichtung getrennt anzugeben ist, angenommen ( ) 0_xx Szy,x,S = , ( ) 0_yy Szy,x,S = und ( ) 0_zz Szy,x,S = . Dieser Wert kann sowohl zu einer bereits vorhandenen beliebigen Verspannung vorzeichenrichtig addiert werden, oder innerhalb des Teilgebietes wird das bereits vorhandene Verspan-nungsprofil mit dem angegebenem Wert überschrieben. Positives Vorzeichen bedeutet dabei Dehnung und negatives Vorzeichen dementsprechend Stauchung in der entspre-chenden Koordinatenrichtung. Die quaderförmigen Teilgebiete müssen parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet sein und zumindest teilweise innerhalb der zu simulie-renden Struktur liegen.

• Beim Einbringen von Gaußprofilen wird innerhalb eines 2- oder 3-dimensionalen Fen-

sters, daß ebenfall teilweise innerhalb der zu simulierenden Struktur und parallel zu den Koordinatenachsen liegen muß, eine konstante Verspannung in jede Koordinatenrich-tung 0_xS , 0_yS und 0_zS getrennt vorgegeben. Außerhalb des Fensters wird eine Gaußfunktion für das Profil jeder Verspannung in die drei Koordinatenrichtungen ange-nommen.

( )K

fzz

fyy

fxx-

expSzy,x,S 2zy,HV_x,

2

zy,z_x,

02

zy,y_x,

02

zy,x_x,

0

zy,0_x,zyxl

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⋅=,, (126)

Die so berechneten Verspannungen ( )zyxS zyx ,,,, werden vorzeichenrichtig zu der be-reits vorhandenen Verspannung addiert. Der seitliche Verlauf außerhalb des Fensters kann für die Verspannungen zyxS ,, in jeder Koordinatenrichtung durch Wichtungsfakto-

ren zy,z_x,zy,y_x,zy,x_x, f und f f , getrennt beeinflußt werden.

x0 ... z0 : Koordinaten des Maskenfensters

0_xS ... 0_zS : Konstante Verspannung in x-, y- und z-Richtung

HV_xl ... HV_zl : Halbwertstiefe der x-, y- und z-Verspannung

x_xf ... x_zf : Wichtungsfaktor der x-Verspannung in x-, y- und z-Richtung

y_xf ... y_zf : Wichtungsfaktor der y-Verspannung in x-, y- und z-Richtung

z_xf ... z_zf : Wichtungsfaktor der z-Verspannung in x-, y- und z-Richtung


• Beim Einbringen von Exponentialprofilen wird innerhalb eines 2- oder 3-dimensionalen Fensters, daß ebenfall teilweise innerhalb der zu simulierenden Struktur und parallel zu den Koordinatenachsen liegen muß, eine konstante Verspannung in jede Koordinaten-richtung getrennt vorgegeben. Außerhalb des Fensters wird eine abklingende Exponenti-alfunktion für das Profil jeder Verspannung in die drei Koordinatenrichtungen angenom-men.

( )K

fzz

fyy

fxx-

expSzy,x,Szy,HV_x,

2

zy,z_x,

02

zy,y_x,

02

zy,x_x,

0

zy,0_x,zyxl

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⋅=,, (127)

Die so berechneten Verspannungen ( )zyxS zyx ,,,, werden wieder vorzeichenrichtig zu der bereits vorhandenen Verspannung addiert. Der seitliche Verlauf außerhalb des Fen-sters kann wie bei Gaußprofilen für die Verspannungen zyxS ,, in jeder Koordinatenrich-

tung durch Wichtungsfaktoren zy,z_x,zy,y_x,zy,x_x, f und f f , getrennt beeinflußt werden.

HV_xl ... HV_zl : Halbwertstiefe der x-, y- und z-Verspannung Alle anderen Parameter haben sinngemäß die gleiche Bedeutung wie bei Gaußprofilen. Sowohl bei Gauß- als auch bei Exponentialprofilen ist die Konstante K in den Gleichungen (126) und (127) so gewählt, daß sich im Abstand HVl zum gegebenen Fenster die Verspan-nung halb so groß ist, wie der konstante Wert 0S innerhalb des Fensters. Damit ergibt sich die Konstante zu ( ) 69314702K .ln == .


3 Geometrische Grundstruktur Die zu simulierende Halbleiterstruktur muß durch entsprechende Daten beschrieben werden. Neben dem Dotierungsprofil müssen die Materialzusammensetzung, die Art und Lage der Randbelegungen (Kontakte und Oxidschichten) sowie viele innerelektronische Parameter angegeben werden. Dabei werden Materialzusammensetzung, Dotierungsprofil und Randbe-legung jeweils als getrennter Komplex behandelt. Innerhalb jedes dieser Komplexe erfolgt die Beschreibung prinzipiell in gleicher Weise. Bei der Materialbeschreibung wird zunächst von einem Quader ausgegangen, dessen Ab-messungen denen der Gesamtstruktur entsprechen. Innerhalb dieses Quaders werden alle innerelektronischen Parameter mit dem eines Referenzmaterials belegt. Standardmaßig wird dafür Silizium verwendet, die Daten werden aus einer Materialbibliothek entnommen. Durch weitere kleinere Quader kann gebietsweise ein anderes Material, auch Oxid, oder nur ein-zelne innerelektronische Parameter anders festgelegt werden. Diese Quader können sich dabei teilweise überschneiden. Jeder neu hinzukommende Quader überschreibt in dem durch seine Koordinaten gegebenem Gebiet die bereits vorhandenen Werte für die jeweili-gen Modellparameter, siehe dazu nebenstehendes Bild 3.

x

0 y

z *

Material 1 (Referenz)

Material 2

Material 3

0

Bild 3: Materialbeschreibung und Koordinatensystem

Das verwendete Koordinatensystem ist ebenfalls im Bild 3 dargestellt. Es ist zu beachten, daß dieses Koordi-natensystem kein "Rechtsdreibein" bildet, aus diesem Grund wird die dritte Koordinatenrichtung mit z* bezeichnet. Der Koordinatenursprung befindet sich standardmäßig an der linken, vorderen, oberen Ecke. Negative Koordinaten sind zulässig.

Prinzipiell gleichartig verläuft die Beschreibung des Dotierungsprofils. Auch hier wird das resultierende Profil durch eine Anzahl von Quadern zusammengesetzt, die sich gegenseitig überschneiden dürfen. Innerhalb jedes Quaders kann entweder konstante Dotierung ange-nommen werden, oder zusätzlich, ein außerhalb des Quaders mit einer Gaußfunktion abfal-lendes Profil. Das Dotierungsprofil jedes neu hinzukommenden Quaders wird vorzeichenrich-tig zum Gesamtprofil addiert oder überschreibt wahlweise bei konstanter Dotierung innerhalb seines Gebietes das vorhandene Dotierungsprofil. Die Quader dürfen zu einem Rechteck entarten, um Maskenfenster nachzubilden. Im Gegensatz zur Materialbeschreibung existiert keine Standardannahme für die Gesamtstrukur. Es ist daher darauf zu achten, daß alle Be-reiche der Struktur eine Dotierung zugewiesen bekommen. Diese Teilbereiche für das Dotierungsprofil müssen nicht mit den Teilbereichen der Material-zusammensetzung übereinstimmen. Die Randbeschreibung erfolgt in gleicher Weise, geometrisches Grundelement ist hier ein Rechteck. Alle sechs Flächen des sich aus der Materialbeschreibung ergebenden Quaders der Gesamtstruktur werden mit solchen Rechtecken bedeckt, die nebeneinander oder teil-weise überdeckend angeordnet werden. Jedes neu hinzukommende Rechteck überschreibt in dem durch seine Koordinaten gegebenem Gebiet die bereits vorhandenen Werte für die jeweiligen Modellparameter. Standardvorgabe für die Randbelegung ist ein isolierender, la-dungsfreier Rand. Die Randwerteingabe ist so zu gestalten, daß Kontakte und MOS-Elektroden nicht teilweise von anderen Randwerten überschrieben werden. Zwei Kontakte, an denen später eine unterschiedliche Spannung angelegt wird, dürfen sich nicht berühren.


Als Standardannahme wird zunächst auf allen sechs Begrenzungsflächen ein raumladungs-freier, isolierender Rand (Symmetrierand) angenommen. Die sechs Begrenzungsflächen der Struktur sind hinsichtlich der Belegungsmöglichkeiten mit Kontakten, Oxidladungen und MOS-Elektroden weitgehend gleichberechtigt. Ausnahmen von dieser Gleichberechtigung der Koordinatenrichtungen bestehen lediglich: • bei Einbeziehung der Fotogeneration, ein Lichteinfall ist vorerst nur senkrecht in x-

Richtung über die obere Deckfläche möglich. • Bei Einbeziehung nichtplanarer Oberflächen. Hier darf nur die obere Deckfläche des

Quaders strukturiert oder mit Oxid bedeckt werden. Die vorgegebenen Randbedingungen auf dieser Deckfläche werden in die Vertiefungen hineinprojiziert (siehe Bild 4). Damit sind zwar senkrechte Kanten, jedoch keine Unterhöhlungen möglich. Randbedingungen an den seitlichen Deckflächen werden nicht in die Struktur hineinprojiziert.

x

y0

Rand 2

Rand 3

Rand 1

Rand 4

Reihen- folge der Eingabe

Halbleiterstruktur mit Randbe-dingungen

Bild 4: Projektion der Randbedingungen in eine Oberflächenvertiefung


4 Randbedingungen 4.1. Elektrische Randbedingungen Für die Lösung des den Ladungstransport beschreibenden Differentialgleichungssystems werden entsprechende Randbedingungen benötigt. Vom Standpunkt der Simulation gese-hen, existieren folgende Randbedingungen:

- Ohmsche Kontakte, - Schottkykontakte, - MOS-Kontakte, - Oxidflächen, - Symmetrieflächen.

Aus mathematischer Sicht unterscheidet man dagegen Dirichletsche und Neumannsche Randbedingungen. Bei Dirichletschen Randbedingungen werden die Funktionswerte, d.h., das Potential und die Ladungsträgerdichten vorgegeben. Bei Neumannschen Randbedin-gungen wird dagegen die Normalenableitung der Funktionswerte vorgegeben. Da an jeder realen Struktur beide Arten von Randwerten vorkommen, liegt insgesamt ein gemischtes Randwertproblem vor. Für die einzelnen Randwerte ergeben sich folgende Modelle: • Ohmsche Kontakte:

Ohmsche Kontakte sind Dirichletsche Randbedingungen. Weiterhin wird thermodynamisches Gleichgewicht und damit auch Raumladungsfreiheit angenommen. Ausgehend von der Pois-songleichun (1) und den Bandparametern (38), (39) erhält man für die Funktionswerte für

00 p ,ϕ und 0n am Kontakt:

( )( ) 2Uexpn2NNarsinhU np

Tnpi

ADT0

Θ−Θ+

Θ+Θ⋅⋅−

⋅=ϕ (128)

( )( )T0pi0 Uexpnp ϕ−Θ⋅= (129) ( )( )T0ni0 Uexpnn ϕ+Θ⋅= (130) Andere Arbeitspunkte als das thermodynamische Gleichgewicht erhält man, wenn zu

0ϕ noch die entsprechende Kontaktspannung addiert wird. Kontakte werden als ideal ange-nommen. Ein Übergangswiderstand wird nicht berücksichtigt. • Schottky-Kontakte:

Schottky-Kontakte entsprechen weitgehend den Ohmschen Kontakten. Zusätzlich wird hier jedoch eine Barrierenspannung BU , die einen Temperaturkoeffizienten Uα hat, mit berück-sichtigt. Damit erhält mann für die Funktionswerte am Rand:

( )( ) [ ]( )2

TTUUexpn2

NNarsinhU np0UB

Tnpi

ADT0

Θ−Θ+−α−−

Θ+Θ⋅⋅−

⋅=ϕ (131)

( )( )T0pi0 Uexpnp ϕ−Θ⋅= (132) ( )( )T0ni0 Uexpnn ϕ+Θ⋅= (133)


• MOS-Kontakte:

Oxidränder sind inhomogene Neumannsche Randbedingungen. Mit Hilfe der Austrittsarbeit MW des Gatematerials, den Materialparametern gW und EAW des unter dem Gate liegen-

den Halbleiters und den Bandparametern np ,ΘΘ wird das Gatepotential berechnet (134).

Daraus wird unter Hinzunahme der Oberfächenladungsdichte S'ρ die Normalenableitung des Potentials berechnet (135). Als Randwert für die Ladungsträgerdichten wird deren Norma-lenableitung, also die Normalkomponente der Stromdichten, ausgedrückt mit den Oberflä-chenrekombinationsraten SR' , als Randwerte verwendet (136):

2e

WWe2

W npMEAgGATE

Θ−Θ+

−+

⋅=ϕ , (134)

'SRand-HLHLOxidrandOX ρ−

∂ν∂ϕ

ε=∂ν∂ϕ

ε , (135)

'

Snp ReJJ ⋅−=−= νν . (136) • Oxid-Rand:

Oxidränder sind ebenfalls inhomogene Neumannsche Randbedingungen. Wie bei MOS-Kontakten wird die Normalenableitung des Potentials, ausgedrückt mit der Oberfächenla-dungsdichte S'ρ und die Normalenableitung der Ladungsträgerdichte, also die Normalkom-ponente der Stromdichten, ausgedrückt mit den Oberflächenrekombinationsraten SR' als Randwerte verwendet:

'SRand-HLHL ρ=

∂ν∂ϕ

ε (137)

'

Snp ReJJ ⋅−=−= νν (138) • Symmetrie-Rand:

Symmetrieränder sind künstliche Randbedingung zur Eingrenzung des Simulationsgebietes. Sie entsprechen einem Oxidrand ohne Oberflächenladungen und ohne Oberflächenrekombi-nation und gehören damit zu den (homogenen) Neumannschen Randbedingungen, hier gilt dementsprechend:

0 Rand-HLHL =∂ν∂ϕ

ε (139)

0JJ np =−= νν (140)


4.2. Thermische Randbedingungen Zur Simulation des thermischen Verhaltens werden für die numerische Lösung der Wärme-leitungsgleichung (28) ebenfalls Randbedingungen benötigt. Diese Randbedingungen ent-sprechen sinngemäß denen bei der Simulation des Ladungstransportes. An der zu simulie-renden Struktur sind gleichberechtigt auf allen Deckflächen folgende Gebiete zugelassen: • Thermische Kontakte :

An thermischen Kontakten wird konstante Temperatur vorgegeben, sie entsprechen damit einer Dirichletschen Randbedingung: 0TT = (141) • Strahlende Randbedingung :

Strahlende Randbedingungen sind im mathematischen Sinne inhomogene Neumannsche Randbedingungen. Die Normalenableitung der Temperatur wird durch Angabe einer thermi-schen Oberflächenleitfähigkeit Surfλ und einer Bezugstemperatur REFT ausgedrückt (142). Das entspricht dem Anschluß eines thermischen Widerstandes an die Halbleiteroberfläche, wobei das andere Ende dieses Widerstandes auf der Bezugstemperatur REFT gehalten wird. Das elektrische Äquivalent dazu sind die MOS-Kontakte.

Rand-HLHLOberflächeSurf T T∂ν∂

λ=∂ν∂

λ (142)

• Wärmeisolation:

Wärmeisolierende Ränder sind künstliche Randbedingung zur Eingrenzung des Simulati-onsgebietes. Sie entsprechen einer strahlende Randbedingung ohne thermischen Oberflä-chenleitfähigkeit und gehören damit zu den (homogenen) Neumannschen Randbedingun-gen. Das elektrische Äquivalent dazu sind die Symmetrieränder:

0 TRand-HLHL =

∂ν∂

λ . (143)

4.3. Randbedingungen für die Energiebalance-Gleichungen Für die numerische Lösung der Energiebalance-Gleichungen (8), (9) werden zwei Arten von Randbedingungen benutzt. An allen Stellen, die mit Ohmschen oder Schottky-Kontakten belegt sind, wird thermodyna-misches Gleichgewicht angenommen und die Ladungsträgertemperaturen werden gleich der Gittertemperatur gesetzt (Dirichletsche Randbedingung).


5 Numerische Lösungsverfahren 5.1. Vorbemerkungen Numerische Lösungsverfahren anzuwenden bedeutet, von einer gesuchten physikalischen Größe die Funktionswerte in dem zu untersuchenden Gebiet an ausgewählten Punkten im Inneren und an einigen Teilen des Randes zu berechnen. Liegen diese Punkte genügend dicht, so approximieren sie in ausreichender Güte den kontinuierlichen Funktionsverlauf. Über die notwendige Anzahl und die Verteilung der Punkte kann man von vornherein kaum genaue Aussagen treffen. Der Rechenzeitbedarf steigt im allgemeinen überlinear mit der Anzahl dieser Punkte. Die Differentialgleichungen sind zunächst durch Anwendung von Diskretisierungsverfahren, bei nichtlinearen Differentialgleichungen mit nachfolgender Linearisierung, in algebraische Gleichungen bzw. Gleichungssysteme zu überführen, deren Auflösung die Funktionswerte an den Gitterpunkten ergeben, siehe Bild 5. Entsprechend der zu diskretisierenden Differen-tialgleichung ist sowohl örtlich als auch in Zeitrichtung zu diskretisieren.

NichtlinearesGl.-Syst.

Funktions-werte

Partielle DGL

Diskretisieren Linearisieren Lösen

Lineares Gl.-Syst.

Bild 5: Prinzipieller Ablauf beim numerischen Lösen partieller Differentialgleichungen Die Differentialoperatoren werden zunächst durch Differenzenquotienten approximiert. Ge-geben sei dazu eine genügend oft stetig differenzierbare reellwertige Funktion f. Diese Funk-tion werde um den Punkt x in eine Taylorreihe entwickelt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... xf3!h xf

2!h xf

1!h xf hxf '''

3''

2' ++++=+ , (144)

( ) ( ) ( ) ( ) hO h

xfhxf xf 2' +−+

= . (145)

Unter Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung erhält man daraus näherungsweise für die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x die Beziehung

( ) ( ) ( ) h

xfhxf xf ' −+= . (146)

Mit Anwendung dieser Differenzenapproximation ist zwangsläufig ein Diskretisierungsfehler verbunden. Durch Einbeziehung von Gliedern höherer Ordnung läßt sich dieser Fehler zwar vermindern, aber nicht prinzipiell beseitigen. In gleicher Weise wie die erste, lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung darstellen, wenn man annimmt, es existiere eine Funktion g mit

( ) ( )xf xg '≈ , (147) auf die wiederum Gleichung (146) sinngemäß angewendet wird.


5.2. Ortsdiskretisierung Die Halbleitergleichungen werden im Programm SIMBA auf einem orthogonalen, nicht äqui-distanten Gitter unter Anwendung einer Box-Methode diskretisiert. Lokale Verfeinerungen und unterbrochenene Gitterlinien sind nicht zulässig. Im folgenden wird das Verfahren zu-nächst an Hand der zweidimensionalen Diskretisierung der Poissongleichung beschrieben. Die gesamte Struktur wird dazu mit sich senkrecht schneidenden Gitterlinien überdeckt. Die Stellen, an denen sich die Gitterlinien schneiden, sind die sogenannten Gitterpunkte, siehe dazu Bild 6. An diesen Punkten werden die Funktionswerte für das Potential berechnet.

1 NY

1

2

2

NX

x

y

i

j

(i,j)

(i-1,j)

(i+1,j)

(i,j+1) (i,j-1)

Bild 6: Diskretisierungslinien und Gitter- punkte für den zweidimensionalen Fall. Eine Gitterzelle ist hervorgehoben

Box

1xiE − 1yjA −

xiE

yjE 1yjE −

ji,ϕ 1ji +ϕ ,1ji −ϕ ,

j1i ,+ϕ

j1i ,−ϕ

jiV ,

xiA

1xiA −

yjA

Bild 7: Gitterzelle, Randflächen, Feldstärken und Potentiale am Punkt (i,j) und den Nachbarpunkten

Jeder Gitterpunkt (i,j) liegt in einer Gitterzelle auch als Box bezeichnet, siehe dazu Bild 7. Die Grenzen dieser Gitterzelle liegen jeweils genau in der Mitte zwischen zwei Gitterpunkten. Eine Ausnahme bilden die Randzellen, hier liegt der zur jeweiligen Zelle gehörende Gitter-punkt direkt auf der Randlinie bzw. Ecke. Die Gitterzelle wird unter der Annahme, daß die Ausdehnung in z-Richtung Eins ist, von den Randflächen

2

xx A A 1-iiyj1-yj

∆+∆== ,

2yy

A A 1-jjxi1-xi

∆+∆== (148)

begrenzt. Das Volumen ji,V dieser Gitterzelle ist dementsprechend

2

yy2

xx V 1-jj1-iiij

∆+∆⋅

∆+∆= . (149)

Die Multiplikation mit der Ausdehnung in z-Richtung wurde in (148) und (149) weggelassen. Die zu diskretisierende Gleichung, hier die Poissongleichung (1), wird zunächst unter An-wendung des Gaußschen Satzes umgeformt

( ) ∫∫ ρ=⋅ϕε−VA

dV d grad A . (150)

Zweckmäßigerweise definiert man bei Anwendung der Box-Methode alle Feldstärken vom zentralen Punkt (i,j) in Richtung der umliegenden Nachbarpunkte, wie im Bild 7 dargestellt.

Unter der Annahme, daß im gesamten Volumen ji,V , also in der Gitterzelle, die Raumla-

dungsdichte örtlich konstant ist und den Wert ji,ρ hat, erhält man für die rechte Seite von (150) den Ausdruck


ji,ji,V

V dVji,

⋅ρ=ρ∫ . (151)

Im diskretisierten Fall wird aus dem Integral auf der linken Seite von Gleichung (150) eine Summe über die Verschiebungsflüsse durch alle sechs Begrenzungsflächen einer Box

( ) ∑∫=

ε⇒⋅ϕε−6

1kkkk

A

AE d grad A . (152)

und man erhält an Stelle der Gleichung (150) für den zweidimensionalen Fall die folgende Beziehung:

V AE AE AE AE ji,ji,yj1yj1/2ji,1-yj1-yj1/2ji,xixij1/2,i1-xi1-xij1/2,i ρ=ε+ε+ε+ε +−+− . (153) Im einfachsten Fall werden dabei die Permittivitäten jeweils zwischen zwei Gitterpunkten gemittelt. Approximiert man nun die Feldstärken bzw. Die Potentialgradienten durch eine Differenzenapproximation, entsprechend Gleichung (146), so erhält man an Stelle der Glei-chung (153) eine äquivalente Gleichung zur Berechnung des Potentials am Punkt (i,j):

V E D C B A ji,ji,1ji,ji,j1,+iji,ji,ji,j1,iji,1ji,ji, ρ−=ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ +−− , (154) mit den Koeffizienten

(155)

( )1-j

i1-i1/2-j i,ji, y2

xx A

∆⋅∆+∆ε

= , ( )

1-i

j1-jj 1/2,-iji, x2

yy B

∆⋅∆+∆ε

= , (156)

(157)

( )i

j1-jj 1/2,+iji, x2

yy D

∆⋅∆+∆ε

= , ( )

j

i1-i1/2+j i,ji, y2

xx E

∆⋅∆+∆ε

= , (158)

ji,ji,ji,ji,ji, E D B A C −−−−= . (159) Bei Gitterzellen, die am Rand oder in Vertiefungen der nichtplanaren Oberfläche liegen, wird im Prinzip genau so verfahren. Jedoch ist zu beachten, daß die jeweils am Rand liegende-Box teilweise angeschnitten wird, siehe Bild 8.

Volumen V

6Fläche AFläche A 1

E2

E3 E

4

E5

E 6

E1

6 Fläche A Fläche A1

Volumen V

E 5

E6

E4

E 3

E 2

E 1

Bild 8: Diskretisierungszellen im Inneren (links) und bei nichtplanarer Oberfläche (rechts) Weiterhin ist bei Randzellen zu beachten, daß je nach Randbedingung, z.B. bei Symmetrie-flächen, siehe Abschnitt 4.1, keine Feldstärke aus der Struktur austritt.


Bei den Kontinuitätsgleichungen (2), (3) ist prinzipiell in gleicher Weise zu verfahren. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes erhält man aus (2)

( )∫∫ ∂∂+−⋅−=⋅VA

p dVtpGRed AJ . (160)

Unter der entsprechenden Annahme, daß im gesamten Volumen der Box die Nettorekombi-nationsrate R-G und die Löcherdichte örtlich konstant ist, erhält man für die rechte Seite von (160) den Ausdruck

( ) ( ) ji,ji,V

VtpGRe dVtpGReji,

⋅∂∂+−⋅−=∂∂+−⋅− ∫ . (161)

Im diskretisierten Fall wird aus dem Integral auf der linken Seite von Gleichung (160) wieder eine Summe über die Löcherströme durch alle sechs Begrenzungsflächen einer Box

∑∫=

⇒⋅6

1kkpk

Ap AS dAJ . (162)

Die Stromdichten in (162) werden nun durch die Transportgleichungen ausgedrückt, beim Drift-Diffusions-Modell beispielsweise durch (4),(5). Die direkte Approximation der Ladungs-trägerdichtegradienten in diesen Gleichungen durch Differenzenformeln führt zu untragbar großen Diskretisierungsfehlern. Aus diesem Grund wird die Diskretisierungsmethode von SCHARFETTER und GUMMEL [16] verwendet. Dazu werden die Transportgleichungen zwischen zwei Gitterpunkten als eindi-mensionales Randwertproblem unter folgenden Bedingungen analytisch gelöst, siehe Bild 9:

nipi J , J

nipi , µµ

( )iii n , p , ϕ ( )1i1i1i n , p , +++ϕ

ix 1ix +

i1i xxx −=∆ +

i1i ϕ−ϕ=ϕ∆ +

Bild 9: Stromdichte, Trägerdichten, Beweg-

lichkeiten und Potential im Disketi- sierungsgitter

• Konstante Ladungsträgerbeweglichkeit zwischen den Gitterpunkten,

• linearer Potentialverlauf zwischen den

Gitterpunkten (konstante elektrische Feld-stärke)

• Rekombinations- und Generationsprozes-

se sind nur in den Gitterpunkten lokalisiert (konstante Stromdichte zwischen den Git-terpunkten).

Mit den im Bild 9 dargestellten Vereinbarungen erhält man als Lösung des Randwertproble-mes für die Stromdichten zwischen den Gitterpunkten die folgenden Beziehungen:

( ) ( )[ ]i1ii

pipi pFNpFP

xJ ⋅ϕ∆−⋅ϕ∆

∆µ

−= + , (163)

( ) ( )[ ]i1ii

nini nFPnFN

xJ ⋅ϕ∆−⋅ϕ∆

∆µ

−= + . (164)

mit denen sich die Kontinuitätsgleichungen diskretisieren lassen.


In den Gleichungen (163) und (164) sind ( )ϕ∆FP und ( )ϕ∆FN die sogenannten Bernoulli-Funktionen:

( ) ( )ϕ∆−−ϕ∆

=ϕ∆exp1

FP (165)

( ) ( )ϕ∆−ϕ∆−

=ϕ∆exp1

FN . (166)

Für kleine Potentialdifferenzen ∆ϕ muß zur numerischen Umsetzung von (165),(166) eine Reihenentwicklung verwendet werden. Zu der in den Gleichungen (163), (164) bzw. (165),(166) auftretenden Potentialdifferenz ∆ϕ werden je nach gewähltem Transportmodell zusätzliche Terme hinzugefügt. Bei der Simula-tion von Heterostrukturen beispielsweise die Differenz der Bandparameter np und ΘΘ (38), (39). Die entstehenden Gleichungssysteme werden dann nach den Ladungsträgerdichten p bzw. n aufgelöst. Die Wärmeleitungsgleichung (28) wird in gleicher Weise wie die Poissongleichung diskreti-siert, und die Energieerhaltungsgleichungen (8), (9) mit den Energietransportgleichungen (12), (13) werden wie die Kontinuitätsgleichungen und Transportgleichungen für die La-dungsträgerdichten behandelt.


5.3. Simulation des dynamischen Verhaltens Bei den Kontinuitätsgleichungen, die örtliche und zeitliche Ableitungen enthalten, werden ausgehend von einem bereits bekannten Arbeitspunkt, dem Anfangswert, bei einer Ände-rung der Randwerte die zeitlichen Verläufe der Trägerdichten berechnet. Hier sind Rand-Anfangswert-Aufgaben zu lösen. Nach der Ortsdiskretisierung der beiden Kontinuitätsglei-chungen erhält man je ein System von m Differentialgleichungen 1. Ordnung bezüglich der Zeit, m ist die Anzahl der Gitterpunkte. Für die so entstandenen gewöhnlichen Differentialgleichungen müssen Anfangswertaufga-ben gelöst werden. Die aus den Kontinuitätsgleichungen entstandenen Differentialglei-chungssysteme lassen sich explizit nach den zeitlichen Ableitungen der Ladungsträgerdich-ten auflösen, d.h. für jeden Gitterpunkt in der Form

( ) ( )( )t, tyf ty =•

(167) darstellen. Zur numerischen Lösung von (167) mit einem Diskretisierungsverfahren wird die Zeitachse durch eine Menge Zeitpunkte nt ( )... 0,1,2,n = mit den Zeitschrittweiten nt∆ er-setzt, und, ausgehend von einem Anfangswert, wird rekursiv eine Folge von Näherungswer-ten ( ) ( )n

n tyY ≈ berechnet. Im Programm SIMBA wird dafür wegen des Zeitkonstantenproblems das implizite Euler-Verfahren ohne Zeitschrittweitensteuerung

( ) ( ) ( )( )nn

n1-nn t,Yft Y Y ⋅∆+= , (168)

verwendet, das sich als besonders günstig hinsichtlich Stabilität und Aufwand erwiesen hat. Wendet man das implizite Euler-Verfahren (168) beispielsweise auf die Kontinuitätsgleichung zur Berechnung der Löcherdichte (2) an, so erhält man

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+∆−= − nnn

pn1nn GRJ div

e1t p p . (169)

Nach Einsetzen der entsprechenden Rekombinations- und Generationsmodelle kann durch Anwendung der im Abschnitt 5.2. beschriebenen Ortsdiskretisierung für den Divergenzopera-tor das entstehende Gleichungssystem nach den Löcherdichten ( )np an allen m Gitterpunk-

ten aufgelöst werden. Als Anfangswert ( )1-np dient der vorher berechnete statische Arbeits-punkt. In gleicher Weise wird bei der Berechnung der Elektronendichte vorgegangen. An Stelle der Poissongleichung (1) wird im Programm SIMBA bei der Simulation des dyna-mischen Verhaltens eine Gleichung für die Kontinuität des Gesamtstromes verwendet. Diese Gleichung erhält man, wenn die Poissongleichung (1) nach der Zeit differenziert wird und anschließend an Stelle der Ableitungen tn und tp ∂∂∂∂ die entsprechend umgestellten Kontinuitätsgleichungen (2),(3) eingesetzt werden (Verfahren von MOCK [22]). Damit ergibt sich

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )nn

n

n1n t divt divet

t graddivt graddiv JJ +=∆

ϕ⋅ε−ϕ⋅ε + . (170)

Diese Gleichung wird linear nach den Potentialwerten ( )1nt +ϕ aufgelöst. Für Sonderfälle ist das Modell abschaltbar und durch die Poissongleichung ersetzbar.


5.4. Lösung der diskretisierten Halbleitergleichungen Die numerische Lösung der diskretisierten Halbleitergleichungen, Poisson- und Kontinuitäts- gleichungen, erfolgt im Programm SIMBA mit einem sukzessiven Verfahren. Dabei werden die Halbleitergleichungen in einer Iterationsschleife abwechselnd gelöst, bis eine geforderte Genauigkeit erreicht ist (Gummel-Algorithmus [17]), siehe Bild 10.

Randwerte vorgeben (Spannungen und Zeitschrittweite)

Weitere Randwerte oder Zeitschritte ?

Ja

Nein

Nein

Ja

Genauigkeit erreicht ?

Kontinuitätsgleichung LöcherstromILU-BiCGSTAB

ILU-BiCGSTAB Kontinuitätsgleichung Elektronenstrom

WärmeleitungsgleichungILU-BiCGSTAB

NEWTON-Algorithmus Poissongleichung

ILU-BiCGSTAB

Mocksche Gleichung

ILU-BiCGSTAB

statisch dynamisch

ElektronentemperaturgleichungILU-BiCGSTAB

LöchertemperaturgleichungILU-BiCGSTAB

Dieses Verfahren hat gegenüber der sogenannten simultanen Lösung, bei der ein einziges großes nichtlineares Gleichungssystem gelöst wird, ver-schiedene Vorteile: Der Algorithmus läßt sich leicht durch zusätzliche Gleichungen erweitern, z.B. durch die Wärmeleitungsglei-chung (28) und die Energiebalance-gleichungen (8),(9). Außerdem sind die bei der Diskretisie-rung entstehenden großen linearen Gleichungssysteme i.a. besser kondi-tioniert als bei einem simultanen Verfahren. Für Startwerte, die weit ab von der Lösung liegen und für Arbeits-punkte bei kleinen Stromdichten ist das Konvergenzverhalten i.a. eben-falls besser. Die Einbeziehung der Gleichungen zur Berechnung der Quantenkorrek-turpotentiale, Gleichungen (18) und (19) erfolgt in analoger Weise, ist jedoch im Bild 10 nicht dargestellt. Bei höheren Stromdichten und Ava-lancegeneration ist beim Gummel-Algorithmus dagegen mit extrem ho-hen CPU-Zeiten zu rechnen. Zur Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung, die z.Z. nur bei statischen Rechnungen anwendbar ist, siehe Abschnitt 5.5.

Bild 10: Sukzessives Lösungsverfahren im Programm SIMBA


Im Programm SIMBA wird die Poissongleichung (1) nichtlinear mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst. Dabei wird angenommen, daß sich während der Lösung der Poisson-Gleichung die Quasifermipotentiale np und ΦΦ nicht ändern. Für die Löcher- und Elektro-nendichte werden dabei die folgenden Ansätze verwendet:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ−Φ⋅=

T

pi U

expnp (171)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−ϕ⋅=

T

ni U

expnn . (172)

Dieses Verfahren der nichtlinearen Lösung hat zwei Vorteile: • Die entstehenden linearen Gleichungssysteme mit der Jacobimatrix sind hauptdiagonal-

dominant, da die entsprechenden Ableitungen von (171),(172) nach ϕ auf der Hauptdiagonale lokalisiert sind.

• Nach jedem Newton-Schritt kann mit der berechneten Korrektur ∆ϕ auch die Löcher- und Elektronendichte korrigiert werden:

( )ϕ∆−⋅= exppp altneu (173)

( )ϕ∆⋅= expnn altneu , (174) wodurch sich ein verbessertes Konvergenzverhalten ergibt. Die Kontinuitätsgleichungen werden, unter Vernachlässigung der Nichtlinearität in den Re-kombinations- und Generationstermen innerhalb einer Iteration des sukzessiven Verfahrens, als lineare Gleichungssysteme direkt nach den Ladungsträgerdichen p bzw. n aufgelöst. Beim Anlegen neuer Randwerte wird bei Vorhandensein von zwei zurückliegenden Lösun-gen ein Startwert für ϕ, p und n nach den folgenden Beziehungen ermittelt:

( )k

1k1kkk1k U

U∆∆⋅ϕ−ϕ+ϕ=ϕ +

−+ (175)

k

1kU

U

1k

kk1k np,

np,np,np,∆∆

−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= . (176)

Dabei sind 1-kk U und U ∆∆ die angelegten Spannungsänderungen des letzten bzw. vorletz-ten Arbeitspunktes. Voraussetzung für das Wirksamwerden dieser Extrapolation ist, daß die Spannung jedesmal am gleichen Kontakt geändert wurde. Bei dynamischen Rechnungen wird versucht, falls die obige Bedingung nicht zutrifft, eine Extrapolation mit den Zeitschritt-weiten durchzuführen. Sind beide Möglichkeiten nicht gegeben, wird der letzte Arbeitspunkt als Startwert verwendet. Die Extrapolation ist für Sonderfälle abschaltbar.


5.5. Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung Die selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung erfolgt mittels eines Newton-Verfahrens für die Poisson-Gleichung. Die Korrektur der Elektronendichte, resultie-rend aus der Änderung des elektrostatischen Potentials innerhalb eines Newton-Schrittes erfolgt jetzt durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung. Die Quasifermienergie der Elek-tronen wird während der Newton-Iteration konstant gehalten. Zur Einbindung dieser selbst-konsistenten Lösung siehe Bild 11.

Poisson-Gleichung, ϕ

Bandparameter mikn,Θ

Transport- und Kontinuitäts-Gleichungen

Quasifermienergie WFn

Newton-Verfahren

Konvergenz?

Nein Ja

Konvergenz?

Nein Ja

Schrödinger-Gleichung, mikn

Bild 11: Einbindung der selbstkonsistenten Lö- sung von Schrödinger- und Poisson- Gleichung in den Gummel-Algorithmus

Als Ergebnis des Newton-Verfahrens erhält man eine Lösung für das elektrostatische Potential ϕ und für die mikroskopische Elek-tronendichte mikn (42). Mit dieser mikrosko-pischen Elektronendichte werden die korri-gierten Bandparameter mikn,Θ (45) berech-net [41]. Damit kann über die Lösung der Kontinui-täts- und Transport-Gleichungen für die La-dungsträger der Gummel-Algorithmus in der im Abschnitt 5.4. beschriebenen Weise fort-gesetzt werden. Für das Newton-Verfahren zur selbstkonsi-stenten Lösung von Schrödinger- und Pois-son-Gleichung gilt der übliche auch beim makroskopischen Modell verwendete Ab-bruchfehler. Werden Probleme bei der Kon-vergenz des Newton-Verfahrens erkannt, erfolgt eine Dämpfung bei der Änderung des elektrostatischen Potentials. Für die Schrödinger-Gleichung werden Di-richlet-Randbedingungen angenommen. Das bedeutet, daß die Wellenfunktionen und folg-lich auch die Besetzungswahrscheinlichkeit

der diskreten Energien 2kψ an den Rän-

dern Null sind. Das Berechnungsgebiet für die Schrödinger-Gleichung ist entsprechend zu wählen, die Ränder sollten in Gebiete mit Elektronenverarmung gelegt werden.

In diesem Algorithmus kann die Schrödinger-Gleichung eindimensional, zweidimensional oder quasi-2D bzw. quasi-3D gelöst werden. Die eindimensionale Lösung erfolgt stets in x-Richtung, zweidimensional dagegen immer in der xy-Ebene. Bei den so genannten quasi-2D bzw. quasi-3D Verfahren wird die Schrödin-ger-Gleichung dann an verschiedenen Diskretisierungslinien entlang der y- oder/und z-Richtung bzw. in verschiedenen Diskretisierungsebenen entlang der z-Richtung gelöst. Die Kopplung in diese Richtungen erfolgt über die Transport-Gleichung und damit über die Elek-tronenstromdichte. Dieses Verfahren wird als zulässig betrachtet, wenn der Gradient des Potentials entlang dieser Richtung klein ist. Als Maß kann hier dienen, daß die Differenz der Eigenenergien benachbarter Diskretisierungslinien bzw. -ebenen kleiner kT ist.


Die Lösung der effektiven Masse Näherung in der Schrödinger-Gleichung führt zu einem Eigenwertproblem. Die Eigenfunktionen repräsentieren die Wellenfunktionen, die Eigenwerte sind die diskreten Eigenenergien. Für die Überführung der Differentialgleichung in dieses Eigenwertproblem sind zwei Verfahren implementiert: • Das Rayleigh-Ritz -Verfahren [38]. • Die Methode der finiten Differenzen [37] Beim Rayleigh-Ritz-Verfahren werden die Wellenfunktionen als Summe von Sinus-Funktionen berechnet. Die Diskretisierung erfolgt über das allgemeine nichtäquidistante rechteckige Gitter. Der Vorteil ist, daß die Lösungsgenauigkeit des Verfahrens unabhängig von der Diskretisierung ist und nur noch von der Anzahl der verwendeten Entwicklungsfunk-tionen für die Wellenfunktionen bestimmt wird. Die Methode der finiten Differenzen resultiert in einem speziellen Eigenwertproblem mit einer symmetrischen Koeffizientenmatrix mit Bandstruktur. Der Rechenaufwand und der Speicher-bedarf ist im allgemeinen geringer als beim Rayleigh-Ritz-Verfahren. Beim Rayleigh-Ritz-Verfahren entsteht eine voll besetzte symmetrische Koeffizientenmatrix. Als Standardverfahren wird die Methode der finiten Differenzen verwendet. Zur Lösung des Eigenwertproblems wird die Koeffizientenmatrix tridiagonalisiert, die Eigen-werte werden mit dem Bisektions-Verfahren und der Sturm-Sequenz bestimmt. Es wird nur eine bestimmte Anzahl der kleinsten Eigenwerte (Energien) berechnet. Die Eigenvektoren werden mit der inversen Vektoriteration bestimmt [41]. Die Einbeziehung der Schrödinger-Gleichung und die Verwendung der Quantenkorrekturpo-tentiale pλ und nλ schließen sich gegenseitig aus.


5.6. Lösung der linearen Gleichungssysteme Bei der Diskretisierung der Differentialgleichungen entstehen große lineare Gleichungssy-steme. Auf Grund der gewählten Diskretisierungsmethode mit Boxen sind bei entsprechen-der Numerierung der Gitterpunkte die entstehenden Koeffizientenmatrizen regelmäßig be-setzte Bandmatrizen mit 7 Diagonalen, siehe Bild 12. Bei 2D-Simulationen entstehen durch Wegfall der dritten Koordinatenrichtung *z lediglich 5-Diagonal-Bandmatrizen.

x y

*z

(i, j+1, k)(i, j-1, k) (i, j, k)

(i, j, k-1)

(i, j, k+1)(i-1, j, k)

(i+1, j, k)

i i+1i-1k-1 k+1 j+1 j-1

Koeffizientenmatrix Bild 12: Differenzenstern und Struktur der Matrizen Die Dimension der Gleichungssysteme liegt etwa in der Größenordnung: • einige 10.000 bis einige 100.000 Gleichungen bei 3D-Simulation • einige 1.000 bis einige 10.000 Gleichungen bei 2D-Simulation Die Lösung dieser Gleichungssysteme ist der rechenzeitintensivste Teil der gesamten Simu-lation. Etwa 80-95% der gesamten CPU-Zeit werden dafür benötigt. Die Lösungsverfahren müssen zudem die spezielle Matrixstruktur ausnutzen um überhaupt mit real verfügbaren Hauptspeichergrößen lauffähig zu sein. Für derartige Systeme haben sich überwiegend vor-konditionierte Gradientenverfahren durchgesetzt. Im Programm SIMBA stehen mehrere derartige Verfahren zur Auswahl, die vom Nutzer be-liebig eingesetzt werden können. Standardmäßig wird dafür ein vorkonditioniertes BiCG-STAB-Verfahrens verwendet [21]. Die Vorkonditionierung erfolgt für alle zur Verfüging ste-henden Gradientenverfahren durch eine unvollständige LU-Zerlegung (ILU-Verfahren). Für die Poissongleichung kann bei unkomplizierten Rechnungen auch ein für diese Fälle gut geeignetes CG-Verfahren [18] verwendet werden. Als Vorkonditionierer kommt hierbei eine nach GUSTAFFSON modifizierte unvollständige LU-Zerlegung zum Einsatz [19]. Als Alternati-ve steht für alle Gleichungssysteme an Stelle des BiCGSTAB-Verfahrens ein ebenfalls gut geeignetes ILU-BCG-Verfahren [20], bzw. ein ILU-CGS-Verfahren zur Verfügung.


6 Postprocessing - Berechnung der Kleinsignalparameter Die Kleinsignalparameter eines Bauelementes können durch ein Zusatzprogramm (KLEINS) berechnet werden. Die Voraussetzung dafür ist, daß dazu an einem statischen Arbeitspunkt jeweils die Sprungantwort für einen kleinen Eingangs- und Ausgangsspannungssprung be-rechnet wurde [43], [24]. Aus den Daten dieser dynamischen Rechnungen werden die Klein-signalparameter nach folgenden Beziehungen berechnet:

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∆ω−∆ω

⋅ω+∆ω∆ω

⋅ω∆∆

+ω=ω i

ii

i

ii

i1-ii

t1tcosTsin

ttsinTcos

UIyReyRe (177)

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∆ω−∆ω

⋅ω−∆ω∆ω

⋅ω∆∆

−ω=ω i

ii

i

ii

i1-ii

t1tcosTcos

ttsinTsin

UIyImyIm (178)

Dabei bedeuten:

iT : Zeitschritt i it∆ : Zeitschrittweite f2 ⋅π=ω : Kreisfrequenz

iI∆ : Stromdifferenz zum vorherigen Schritt U∆ : Spannungssprung Ausgehend von diesen Y-Parametern werden die Leistungsverstärkungen h21, MUG, MSG und MAG nach den Beziehungen

11

2121h

yy

= (179)

{ } { }2211

221

ReRe4MUG

yyy

= (180)

12

21MSGyy

= (181)

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⋅= 1kkMAG 2

12

21yy (182)

mit

{ } { } { } { }

2112

21122211 ReReReRe2kyy

yyyy −= (183)

berechnet [24]. Für die Grenzfrequenzen fT und fmax gelten die Bedingungen: ( )dB0hff 21T == , (184) ( )0dBMAGffmax == . (185)


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