SIGNAL & SPECTRUMO L E H : G U TA M A I N D R A

Rangkaian Elektrik

Prodi Teknik Elektro

Fakultas Teknik 2017

TUJUAN PERKULIAHAN

Memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal

Memahami konsep harmonisa

Memahami sinyal periodic yang dipandang sebagai suatu spectrum

PERNYATAAN GELOMBANG SINYAL

Gelombang periodic dan aperiodik

Sinyal kausal dan non kausal

Nilai sesaat

Amplitudo

Nilai puncak ke puncak (𝑉𝑝𝑝)

Nilai puncak

Nilai rata-rata

Nilai efektik

PERIODIK DAN APERIODIK

Suatu gelombang dinyatakan periodic jika gelombang tersebut selalu berulangsetiap selang waktu tertentu.

Jadi jika 𝑣(𝑡) adalah sebuah gelombang periodic, maka 𝑣(𝑡 + 𝑇0) untuk semua nilai𝑡 dengan 𝑇0 adalah periode (waktu ang diperlukan untuk membentuk satugelombang).

Sinyal aperiodic adalah sinyal yg tidak periodik.

Gambar 1 : Sinyal aperiodik Gambar 2 : Sinyal periodik

CONTOH SINYAL PERIODIK DAN TIDAK PERIODIK𝒗𝒂 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝟒𝒕) (sinyal periodik)

𝑣𝑏 𝑡 = 10𝑒−𝑡

2 (sinyal aperiodik)

𝒗𝒄 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅 𝟏𝟎𝒆−𝒕

𝟐 𝒕 (sinyalaperidik)

Note : Sinyal eksponensial adalah sinyal yang tidak periodik (aperiodic)

Periodic_aperiodik.m

SINYAL KAUSAL DAN NON-KAUSALSinyal kausal adalah sinyal yang bernilai nol sebelum saat Ts tertentu atau dengan kata lain sinyal yang bernilai nol untuk semua waktu negatif (-t).

Sinyal non kausal adalah sinyal yang bernilai tidak nol untuk semua waktu negatif (-t).

Sinyal anti kausal adalah sinyal yang bernilai 0 untuk semua t yang bernilai positif.

Sinyal Kausal Sinyal non-kausal Sinyal anti-kausal

Jika sebuah fungsi sinyal dikalikan dengan sinyal anak tangga (step) maka akan didapatkan hasil

berupa sinyal kausal.

Pada kenyataannya sebuah sinyal non-kausal tidak mungkin untuk dibuat, terkecuali

dimimplementasikan dengan menggunakan memory yang menyimpan keadaan pada saat 𝑡 < 0

NILAI SESAAT

Nilai amplitudo gelombang 𝑣 𝑡 , 𝑖(𝑡) ataupun 𝑝(𝑡)pada suatu saat 𝑡 tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu.

Misalkan :

Jika diketahui sebuah fungsi arus 𝑖 𝑡 = 2sin(2𝜋3𝑡), tentukan nilai pada saat 𝑡 = 2!

𝑖 2 = 2 sin 2𝜋3.2

𝑖 2 = 1.22

Nilai sesaat 𝑖 pada saat 𝑡 = 2 adalah 1.22

AMPLITUDOPada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu diantara dua nilaiekstrem yaitu amplitudo maksimum (𝑉𝑚𝑎𝑥) dan amplitudo minimum(𝑉𝑚𝑖𝑛)

𝑉𝑚𝑎𝑥

𝑉𝑚𝑖𝑛

VPP (NILAI AMPLITUDE PUNCAK KE PUNCAK)

Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dari

amplitudo dan didefinisikan sebagai:

𝑉𝑝𝑝 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 − 𝑉𝑚𝑖𝑛

𝑉𝑚𝑎𝑥

𝑉𝑚𝑖𝑛

Nilai puncak 𝑉𝑝 adalah nilai absolut dari

amplitudo

𝑉𝑝 = 𝑀𝑎𝑥 𝑉𝑚𝑎𝑥 , 𝑉𝑚𝑖𝑛

NILAI RATA-RATA

Nilai rata- secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut ini:

𝑉𝑎𝑣𝑔 =1

𝑇 𝑡0𝑡0+𝑇 𝑣 𝑥 𝑑𝑥

Untuk sinyal periodik selang waktu 𝑇 sama dengan 𝑇0

Sinyal rata-rata juga digunakan untuk mengetahui apakah dalam sebuah sinyalterdapat komponen konstan atau komponen yg tidak berubah terhadap waktu.

Komponen konstan ini disebut juga komponen searah dari sinyal.

NILAI EFEKTIF (NILAI RMS)

𝑝 𝑡 =1

𝑅𝑣(𝑡) 2

𝑃𝑎𝑣𝑔 =1

𝑇

𝑡0

𝑡0+𝑇

𝑝(𝑡) 𝑑𝑡

𝑃𝑎𝑣𝑔 =1

𝑅

1

𝑇

𝑡0

𝑡0+𝑇

𝑣(𝑡) 2𝑑𝑡

𝑉𝑟𝑚𝑠 =1

𝑇

𝑡𝑜

𝑡0+𝑇

𝑣(𝑡) 2𝑑𝑡

𝑃𝑎𝑣𝑔 =1

𝑅𝑉𝑟𝑚𝑠2

Nilai efektif (rms) menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal.

Misalkan: sebuah resistor diberikan tegangan 𝑣(𝑡), maka nilai daya dapat

dihitung dengan menggunakan:

Daya rata – rata dirumuskan dengan :

Sehingga :

1

𝑇

𝑡0

𝑡0+𝑇

𝑣(𝑡) 2𝑑𝑡Adalah nilai rata-rata dari

kuadrat gelombang

Akar dari besaran nilai rata – rata kuadrat gelombang

disebut dengan nilai rms atau nilai efektif.

Sehingga untuk mencari daya rata-

rata dapat dengan mudah hanya

menggunakan :

CONTOH KASUS

Tentukan nilai :

1. Tegangan puncak (𝑉𝑝)

2. Tegangan puncak-puncak (𝑉𝑝𝑝)

3. Tegangan rata –rata 𝑉𝑎𝑣𝑔

4. Tegangan efektif (𝑉𝑟𝑚𝑠)

𝑉𝑝 = 6𝑉; 𝑉𝑝𝑝 = 6𝑉 ; 𝑇 = 3

𝑉𝑎𝑣𝑔 =1

3

0

2

6𝑑𝑡 +

2

3

0𝑑𝑡 =1

3. 12 + 0 = 4𝑉

𝑉𝑎𝑣𝑔 = 4𝑉

𝑉𝑟𝑚𝑠 =1

3

0

2

62𝑑𝑡 +

2

3

02𝑑𝑡 =1

3. 72 + 0 = 4.9 𝑉

𝑉𝑟𝑚𝑠 = 4.9𝑉

SPEKTRUM SINYAL

Suatu sinyal dapat dinyatakan sebagai suatu spektrum yang menunjukan perilakusinyal sebagai fungsi frekuensi.

Suatu sinyal dapat dipandang dari kawasan waktu dalam bentuk gelombang (fungsiwaktu) atau suatu sinyal dapat dipandang dari kawasan frekuensi dalam bentukspectrum.

Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus,dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan.

Dalam penguraian sinyal, sinyal akan terdiri dari komponen-komponen sinyal yangberupa komponen searah (nilai rata-rata dari sinyal), komponen sinus denganfrekuensi dasar 𝑓0, dan komponen sinus dengan frekuensi harmonisa 𝑛𝑓0

FREKUENSI HARMONISA

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalian frekuensidasar 𝑓0 dengan bilangan bulat 𝑛.

Frekuensi 𝑓0 disebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi ini yang menentukan

periode sinyal 𝑇0 =1

𝑓0

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2𝑓0) harmonisa ketiga (3𝑓0) dan seterusnya. Harmonisa ke 𝑛mempunyai frekuensi 𝑛𝑓0

CONTOH SINYAL HARMONISA

𝑣 𝑡 = 3 cos 2𝜋𝑓0𝑡𝑓0 = 3ℎ𝑧𝑘 = 1 (komponen searah)

Diketahui sebuah sinyal sinus seperti dibawah

ini:

Dimana 7 sinyal digunakan untuk

mengharmonisa sinyal dasar adalah :

𝑣 𝑡 = 3 cos 2𝜋(𝑛𝑓0)𝑡

𝑛=1

7

3 cos 2𝜋(𝑛𝑓0)𝑡

Jadi persamaan dari sinyal harmonisa tersebut

adalah :

𝑣 𝑡 = 1 + 3 cos 2𝜋𝑓0𝑡 +

𝑛=1

7

3 cos 2𝜋(𝑛𝑓0)𝑡harmonisa.m

CONTOH KASUSDiketahui sebuah sinyal yang terharmonisa, dipenuhi oleh persamaan berikut ini:

𝑣 𝑡 = 𝟏𝟎 + 𝟒𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒇𝟎𝒕 + 20 sin 2𝜋(2𝑓0)𝑡 − 10cos(2𝜋(4𝑓0)𝑡)

Untuk melihat spectrum dari sinyal tersebut maka harus disamakan bentukpersamaannya dengan bentuk standar 𝑣 𝑡 = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 + ∅)

Dengan menggunakan identitas trigonometri :

sin 𝑥 = cos 𝑥 − 90°

−cos 𝑥 = cos 𝑥 + 180°

𝑣 𝑡 = 10 + 40 cos 2𝜋𝑓0𝑡 + 20 cos 2𝜋2𝑓0𝑡 − 90° + 10cos(2𝜋4𝑓0𝑡 + 180°)

Frekuensi 0 𝒇𝟎 𝟐𝒇𝟎 𝟒𝒇𝟎

Amplitudo 10 40 20 10

Sudut fase - 0 -90 180

BENTUK SPEKTRUM

IMPLEMENTASI PENGURAIAN SINYALPenguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisanya dapat diperluasuntuk semua bentuk sinyal gelombang periodik. (bahkan untuk gelombang persegi!! Bagaimana bisa?)

Selama sinyal gelombang yang akan direkontruksi adalah sinyal yang periodik makasinyal tersebut dapat dibentuk dari penjumlahan harmonisa sinus.

𝑣 𝑡 = 10 sin 2𝜋𝑓𝑡 +10

3sin 2𝜋3𝑓𝑡 +

10

5sin 2𝜋5𝑓𝑡 + ⋯+

10

21sin 2𝜋21𝑓𝑡

harmonisa_persegi.m

BENTUK SPEKTRUMFrekuensi 𝒇𝟎 𝟑𝒇𝟎 𝟓𝒇𝟎 𝟕𝒇𝟎 𝟗𝒇𝟎 𝟏𝟏𝒇𝟎 𝟏𝟑𝒇𝟎 𝟏𝟓𝒇𝟎 𝟏𝟕𝒇𝟎 19𝒇𝟎 𝟐𝟏𝒇𝟎 𝟐𝟑𝒇𝟎 𝟐𝟓𝒇𝟎 𝟐𝟕𝒇𝟎

Amplitudo 10 3.3 2 1.42 1.1 0.9 0.76 0.66 0.58 0.52 0.47 0.43 0.4 0.37

Sudut fase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Note : Selisih antara frekuensi tertinggi

dengan frekuensi terendah disebut

dengan lebar pita (band width)

REKONSTRUKSI GELOMBANG PERSEGI

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatuspektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsiperiodik kedalam deret Fourier.

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑓0𝑡 + 𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑛𝑓0𝑡)

harmonisa_persegi.m NEXT … DERET FOURIER