SIFAT-SIFAT DAN APLIKASI DFT

Pencuplikan dalam domain frekuensi Discrete Fourier Transform (DFT) DFT sebagai Transformasi Linier Sifat-sifat DFT Linear Filtering berdasarkan DFT

Pencuplikan dalam domain frekuensi

n

nje)n(x)(X

x(n) sinyal aperiodik dengan energi terbatas

Respon frekuensi :

Fungsi kontinyu

Periodik dengan perioda 2

20

Dicuplik dengan :

N

2

N

2 1N,,1,0kk

N

2k

n

N/kn2jk e)n(xk

N

2X)k(X)(X

1N,,1,0ke)n(xkN

2X

n

N/kn2j

1N2

Nn

N/kn2j

1N

0n

N/kn2j1

Nn

N/kn2j

e)n(x

e)n(xe)n(xkN

2X

m

1NmN

mNn

N/kn2je)n(xkN

2X

N/kn2j1N

0n m

e)mNn(xkN

2X:mNnn

m

p )mNn(x)n(x

Perulangan periodik dari x(n) setiap N cuplikan

xp (n) fungsi periodik dengan perioda N

Dapat dinyatakan dalam deret Fourier :

1N,,1,0nec)n(x1N

0k

N/kn2jkp

1N,,1,0ke)n(xN

1c

1N

0n

N/kn2jpk

N/kn2j1N

0np e)n(xk

N

2X

N/kn2j1N

0np e)n(xk

N

2X

1N

0n

N/kn2jpk e)n(x

N

1c

1N,,1,0kkN

2X

N

1ck

1N,,1,0nec)n(x1N

0k

N/kn2jkp

1N,,1,0nekN

2X

N

1)n(x

1N

0k

N/kn2jp

LN

LN

1Ln0)n(x

lainnyan0

1Nn0)n(x)n(x

p

1N,,1,0nekN

2X

N

1)n(x

1N

0k

N/kn2j

n

nje)n(x)(X

nj1N

0n

1N

0k

N/kn2j eekN

2X

N

1)(X

1N

0n

1N

0k

n)N/k2(jeN

1k

N

2X

j

Nj1N

0n

nj

e1

e1

N

1e

N

1)(P

k

N

2P

)ee(e

)ee(e

N

1

e1

e1

N

1)(P

2/j2/j2/j

2/Nj2/Nj2/Nj

j

Nj

2/)1N(je)2/sin(N

)2/Nsin()(P

kN

2Pk

N

2X)(X

1N

0k

1N,,2,1k0

0k1k

N

2P

)2/sin(

2/Nsin

Contoh Soal 10.1

Diketahui sinyal diskrit : 1a0)n(ua)n(x n

Spektrum sinyal ini dicuplik pada frekuensi-frekuensi :

Jawab :

1N,,1,0kN

k2k

Tentukan hasil rekonstruksi spektrumnya untuk a = 0,8 pada N = 5 dan N = 50

j

0n

njn

n

nj

ae1

1eae)n(x)(X

jae1

1)(X

N/k2jk ae1

1

N

k2X)(X

Nn

0m

mNn0

m

mNn

0

m

mNn

mp

a1

1aaaaa

a)mNn(x)n(x

Efek aliasing 0 bila N

Discrete Fourier Transform (DFT)

1Ln0)n(x

20e)n(x)(Xn

nj

1L

0n

nje)n(x)(X

LNe)n(x)k(XkN

2X

1L

0n

N/kn2j

1N,,1,0ke)n(x)k(X1N

0n

N/kn2j

1N,,1,0ke)n(x)k(X1N

0n

N/kn2j

Discrete Fourier Transform (DFT)

1N,,1,0ne)k(XN

1)n(x

1N

0k

N/kn2j

Inverse Discrete Fourier Transform (IDFT)

Contoh Soal 10.2

Diketahui deret diskrit x(n) dengan panjang terbatas L :

lainnya0

1Ln01)n(x

Tentukan N-point DFT dari x(n) untuk N L

Jawab :

)2/sin(

)2/Lsin(e

e1

e1

ee)n(x)(X

2/)1L(jj

Lj

1L

0n

nj1L

0n

nj

)2/sin(

)2/Lsin(e)(X 2/)1L(j

NLkj

Nkj

NkLj

eNk

NkL

Nke

ekX

/)1(

/2

/2

)/sin(

)/sin(

1,1,01

1)(

N-point DFT :

Bila N = L DFT menjadi :

1,2,1,0

0,)(

Lk

kLkX

11010

1)(

1,,1,0)(1

)(1

0

/2

nx

NnekXN

nxN

k

Nknj

50N10L 100N10L