23
Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran

Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

Gymnázium Cheb

Shodné zobrazení v rovině seminární práce

Cheb, 2007 Lojza Tran

Page 2: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

2

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma:

“Shodné zobrazení v rovině”

vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených ve zdroji na počítači v programech MS Word, Cabri a Malování.

V Chebu dne 16.prosince 2007 ....................................................

Podpis řešitele

Page 3: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

3

Anotace

Ve své semární práci se budu zabývat matematickým tématem shodné zobrazení těles v rovině. Blíže se společně podíváme na čtyři nejčastější druhy shodných zobrazení: středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí a otáčení.

Page 4: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

4

Obsah Úvod ......................................................................................................................................................................5

Shodné zobrazení .................................................................................................................................................6

Identita ..................................................................................................................................................................7

Osová souměrnost ................................................................................................................................................7

Středová souměrnost ...........................................................................................................................................9

Posunutí ............................................................................................................................................................. 10

Otočení ............................................................................................................................................................... 11

Řešené příklady s použitím shodného zobrazení: ........................................................................................... 13

Skládání shodných zobrazení ............................................................................................................................ 20

Posunutá souměrnost ....................................................................................................................................... 21

Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení ............................................................................................... 22

Seznam použité literatury ................................................................................................................................. 23

Page 5: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

5

Úvod Mezi nejdůležitější části matematiky patří nepochybně geometrie. Rozhodl jsem se zabývat ve

své seminární práci jedním z témat geometrie, a to shodné zobrazení tělesa v rovině. Shodné

zobrazení je také jedno z maturitních témat, proto se budu v této práci snažit výstižně, za to však

přesně definovat a vysvětlit čtyři základní druhy shodného zobrazení: středová souměrnost, osová

souměrnost, posunutí a otáčení. U každého druhu jsem rozebral jeden příklad pro názornou

ukázku. Pro lepší pochopení celého tématu jsem zpracoval několik příkladů na téma shodné

zobrazení.

Cíl práce: shrnout středoškolské učivo o shodném zobrazení v rovině

Page 6: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

6

Shodné zobrazení

Zobrazení Z v rovině je předpis, kdy ke každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X´

roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X´ jeho obraz. Symbolicky zapisujeme Z: XX′.

Zobrazení v rovině nazýváme shodné zobrazení neboli shodnost právě tehdy, když obrazem

každé úsečky AB je úsečka A´B´, pro kterou platí |AB| = |A´B´|. Jestliže body A, A´splynou, pak

se bod A=A´ nazývá samodružný bod daného zobrazení.

Jinými slovy se dá říct, že shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které

se po posunutí na sebe navzájem kryjí. Pro názornou představu a pro pochopení dalších pojmů

použijeme jeden příklad z praktického života. Nakreslíme na papír útvar U. Tento útvar

překreslíme na průsvitku. Průsvitku pak přemístíme tak, že ji buď ponecháme vzhledem k papíru

lícem nahoru, nebo obrátíme lícem dolů. Tímto dostaneme nový útvar, který je shodný

s původním útvarem U.

Je-li potřeba při přemísťování obracet průsvitku, jde o nepřímou shodnost. V opačném případě

se jedná o shodnost přímou. Jestliže obraz každého bodu útvaru U je opět bodem tohoto útvaru,

pak obraz U´ útvaru U s ním splývá (přitom ovšem každý bod X útvaru U nemusí splývat se

svým obrazem X´). V tomto případě říkáme, že útvar U´=U je samodružný útvar daného

zobrazení.

V rovině existují několik druhů shodných zobrazení

přímé shodnosti:

identita

posunutí (translace)

otočení (rotace)

středová souměrnost

nepřímé shodnosti:

osová souměrnost

posunutá souměrnost

Page 7: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

7

Základní vlastnosti shodných zobrazení vyjadřují následující věty:

obrazem přímky AB je přímka A´B´; obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné

přímky

obrazem polopřímky AB je polopřímka A´B´; obrazem opačných polopřímek jsou opačné

polopřímky

obrazem poloroviny pA je polorovina p´A´; obrazem opačných polorovin jsou opačné

poloroviny

obrazem úhlu AVB je úhel A´V´B´ shodný s úhlem AVB

obrazem útvaru U je útvar U´ shodný s útvarem U

pro každé shodné zobrazení existuje inverzní zobrazení, která je opět shodné a složením

shodného zobrazení a k němu inverzního zobrazení je identické zobrazení

inverzní zobrazení ke shodnému zobrazení je stejného typu, jako původní zobrazení

(například inverzním zobrazením k otočení je opět otočení atd.)

Identita Definice:

Identita, nebo také identické zobrazení, je zvláštním případem shodnosti, kdy každému bodu X

dané roviny přiřazuje jako obraz týž bod X´ = X.

Osová souměrnost Definice:

Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení O(o), které přiřazuje:

1. každému bodu X o bod X´ tak, že přímka XX´ je kolmá k přímce o a střed úsečky XX´ lež

na přímce o,

2. každému bodu Y o bod Y´= Y

Page 8: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

8

Přímka o se nazývá osa souměrnosti, o bodech X, X´ říkáme, že jsou souměrně sdružené podle

osy souměrnosti. Osová souměrnost je nepřímá shodnost. Samodružnými body osové

souměrnosti jsou právě jen všechny body osy o.

Příklad s využitím osové souměrnosti:

Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

c = 7 cm, va = 6,5cm, a + b = 12,5 cm

Rozbor:

Jako první najdeme bod A0, který je průsečíkem kružnic k (SAB; r = ½*c) a l (A; r = va). Následně

najdeme bod X ležící na přímce A0 ve vzdálenosti a+b od bodu B. Hledaný bod C bude ležet na

ose úsečky AX (XCA tvoří rovnoramenný trojúhelník) v průsečíku s přímkou BX.

Konstrukce:

1) AB; |AB| = c = 7cm;

2) k; k (SAB; r = ½ *c), SAB ... střed AB;

3) l; l (A; r = va);

4) Ao; Ao k l;

5) m; m(B; r = a+b);

6) X; XmBAo;

7) o ; o ... osa úsečky XA;

8) C; C o BAo;

9) ∆ABC;

Úloha má jedno řešení v dané polorovině.

Page 9: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

9

Středová souměrnost Definice:

Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení S(S), který přiřazuje:

1. každému bodu X ≠ S bod X´ tak, že bod X´ leží na polopřímce opačné k polopřímce SX,

2. |SX´| = |SX|,

3. bodu S bod S´= S.

Středová souměrnost je speciálním případem otočení o úhel velikost α = 180˚. Středová

souměrnost je přímá shodnost. Jediným samodružným bodem je střed souměrnosti S.

Příklad s využitím středové souměrnosti:

Je dána úsečka AA1 délky 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí a

přitom platí, že velikost strany b je 6 cm a těžnice tb má velikost 6 cm.

Řešení

Rozbor:

Bod B náleží na kružnici l se středem v těžišti a poloměrem 2/3 velikosti tb. Ve středové

souměrnosti A1 jsou hledané body B a C souměrné. Proto bod C bude ležet na průniku kružnice

l´, která je obrazem kružnice l ve středové souměrnosti se středem A1, a kružnice k se středem

v bodě A a velikostí b. Bod B najdeme jako obraz bodu C ve středové souměrnosti se středem A1.

Page 10: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

10

Konstrukce:

1) AA1; |AA1| = 5cm;

2) T; |TA1| = 1/3 * |AA1|;

3) l; l (T; r = 4 cm);

4) l´; S(A1): l → l´;

5) k; k (A; r = 6 cm);

6) C; C2 l´ k;

7) B; S(A1): C → B;

8) ∆ABC;

Úloha má 2 řešení v dané polorovině, protože se kružnice l´ protla s kružnicí k ve dvou bodech.

Posunutí Definice:

Posunutí (translace) v rovině je shodné zobrazení, která každému bodu X roviny přiřazuje obraz

X´ takový, že platí XX´ = s, kde s je daný vektor.

Vektoru s se říká vektor posunutí, jeho velikost (délka) udává délku posunutí a jeho směr určuje

směr posunutí.

Příklad s využitím posunutí:

Sestrojte lichoběžník ABCD (AB // CD), je-li dáno a = 6,5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm a d = 3 cm.

Page 11: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

11

Řešení

Rozbor:

Bod D získáme sestrojením trojúhelníku AB1D podle věty sss, kde |AB1| = a-c, |B1D| = b. Bod C

následně najdeme posunutím bodu D pomocí vektoru BB1.

Konstrukce:

1) ∆AB1D; |AB1| = 3,5cm, |B1D| = 4cm; |AD| = 3cm;

2) B; B AB1 k (A; r = 6,5cm);

3) T(B1B): D → C;

4) lich. ABCD;

Úloha má jedno řešení v dané

polorovině.

Otočení Definice:

Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je φ, a bod S. Otočení neboli rotace je shodné

zobrazení R(φ, S), které přiřazuje:

1. každému bodu X ≠ S bod X´ tak, že |X´S| = |XS| a orientovaný úhel XSX´ má

velikost φ,

2. bodu S bod S´ = S.

Page 12: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

12

Otáčení je jednoznačně určeno středem otáčení S, velikostí úhlu otáčení φ a daným smyslem

otáčení - kladný či záporný.

Příklad s využitím otočení:

Je dána kružnice k(S; 3 cm) a bod A (|SA| = 1,5 cm). Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k o

délce 5,5 cm, které procházejí bodem A. Sestrojte objekty podle zadání a vytvořte hypotézu o

poloze hledaných bodů X, Y vzhledem k zadaným útvarům.

Řešení:

Rozbor:

Tětivu XY získáme sestrojením libovolné tětivy X'Y', která má stejný rozměr, jako hledaná

tětiva, ale nenáleží ji bod A. Poté sestrojíme množinu všech bodů, které mají vzdálenost od středu

S shodnou s vzdáleností SA tj. kružnice l(S; r=1,5cm). Průnikem X'Y' s kružnicí l získáváme

body A' a A''. Otočením A' a A'' získáváme i otočenou úsečku X'Y' která je hledanou tětivou.

Konstrukce:

1) k; k(S;r=3cm); A; |SA|=1,5 cm;

2)X'Y'; |X'Y'|=5,5 cm X'Y' ... tětiva k;

3) l; l(S;r=1,5cm);

4)A'; A' X'Y' l;

5) R(A'SA; S): A' → A X'Y' → XY;

6) XY;

Úloha má 2 řešení.

Page 13: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

13

Řešené příklady s použitím shodného zobrazení:

Př.1 Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby YBC, ZCD.

Řešení:

Rozbor

Hledáme body Y, Z v rovnostranném trojúhelníku. Body Y, Z jsou osově souměrné podle osy

AC, tedy bude stačit nalézt jeden z těchto dvou bodů. Osa souměrnosti AC je zároveň i osou úhlu

při vrcholu A. V rovnostranném trojúhelníku platí, že každý vnitřní úhel trojúhelníka se rovná

60˚. V tomto případě osa úhlu bude svírat se stranou AZ, resp. AY úhel o velikosti 30˚. Bod

Z bude tedy průsečíkem strany čtverce CD a přímky svírající s osou soměrnosti 30˚. Bod Y

najdeme v osové souměrnosti zobrazením bodu Z podle osy AC.

Konstrukce:

1) čtverec ABCD;

2) X; |XAC| = 30˚;

3) Z; ZAX CD;

4) Y; O(AC): Z→Y;

5) ∆AYZ;

Úloha má jedno řešení v dané polorovině.

Page 14: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

14

Př. 2:

Jsou dány dvě soustředné kružnice k (S; 2 cm), l (S; 3 cm) a bod A tak, že |SA| = 2,3 cm.

Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí Bk, Cl.

Řešení:

Rozbor

Hledáme body B, C. Bod C je obrazem bodu B v otočení R(A; +60˚). Jelikož bod B leží na

kružnici k, musí bod C ležet na kružnici k´, která je obrazem k v otočení R(A; +60˚). Bod C tedy

náleží l a kružnice k´. Bod B pak můžeme sestrojit pomocí inverzního zobrazení R(A; -60˚).

Konstrukce

1) k, l, A;

2) k´; R(A; +60˚): k→k´;

3) C; C l k´;

4) B; R(A; -60˚): C→B;

5) ∆ ABC;

Úloha má 2 řešení v dané polorovině. Pokud totiž zvolíme bod B jako na obrázku č.2, je bod C

obrazem bodu B v otočení R(A; -60˚).

Př. 3

Je dána úsečka AA1, |AA1| = ta. Sestrojte všechny trojúhleníky ABC, v nichž AA1 je těžnicí ta a

jejichž další dvě těžnice mají délky tb a tc.

Řešení

Rozbor

Hledáme body B, C. Sestrojíme úsečku AA1 a těžnici T. Bod B leží na kružnici k1(T; 2/3*tb) a

bod C na k2(T; 2/3*tc). Bod B je obrazem bodu C v souměrnosti podle středu A1. Z toho vyplývá,

že bod B leží na kružnici k2´, která je obrazem kružnice k2 ve středové souměrnosti S(A1).

Page 15: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

15

Bod C pak sestrojíme jako obraz bodu B v S(A1).

Konstrukce

1) AA1; |AA1| = ta

2) T; TAA1 |AT| = 2/3*ta

3) k1; k1(T; 2/3*tb)

4) k2; k2(T; 2/3*tc)

5) k2´; S(A1): k2→k2´

6) B; Bk1 k2´

7) C; S(A1): B→C

8) ∆ABC

Diskuse

Úloha má řešení právě tehdy, neleží-li bod B na přímce AA1´ a zároveň je průsečíkem kružnic

k1(T; 2/3*tb) a k2´(T´; 2/3*tc), kde T´ je obrazem bodu T v S(A1). To platí v případě, že kružnice

k1 a k2´ mají právě dva společné body, tedy právě tehdy, když platí:

|⅔tb - ⅔tc| < ⅔ta < ⅔tb + ⅔tc

|⅔tb - ⅔tc| < |TT´| < ⅔tb + ⅔tc

|tb - tc| < ta < tb + tc

Jsou-li tyto nerovnosti splněny, má úloha dvě řešení, jinak úloha nemá řešení.

Př. 4

Kružnice k1(O1; r1) a k2(O2; r2) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte

kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely po řadě na kružnicích k1, k2 a úhlopříčka

BD (|BD| = 5 cm) na přímce p. Volte vzájemnou polohu kružnic k1, k2 a přímky p tak, aby úloha

měla a) 2 řešení, b) 1 řešení, c) 0 řešení d) nekonečně mnoho řešení.

Page 16: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

16

Řešení

Rozbor

Body A a C jsou souměrně sdružené podle osy souměrnosti p. Bod C leží na kružnici k2 a bod A

leží na kružnici k1. Zobrazením kružnice k1 do k1´ podle osové souměrnosti p dostaneme hledaný

bod C jako průsečík kružnic k1´ a k1. Následně bod A nalezneme jako obraz bodu C v inverzním

zobrazení.

Body B a D leží na přímce p. Z vlastnosti kosočtverce vyplývá, že úhlopříka BD je půlená

úhlopříčkou AC a AC je na ni kolmá. Proto body B a D nalezneme jako průsečík přímky p

s kružnicí k(P; ½*|BD|), kde P je průsečík BD s AC.

Konstrukce

1) k1; k2; p

2) O(p): k1→k1´

3) C; Ck2 k1´

4) A; O(p): C→A

5) P; PAC p

6) k; k(P; ½*|BD|)

7) B, D; B Dk p

8) kos. ABCD

Diskuse

Úloha nemá řešení, neprotnou-li se kružnice k1´ a k2 ani v jednom bodě. Úloha má jedno řešení,

mají-li k1´ a k2 vnější nebo vnitřní dotyk. Úloha má dvě řešení, jestliže k1´ a k2 se protínají. Úloha

má nekonečně mnoho řešení, budou-li se splývat kružnice k1´ a k2.

Page 17: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

17

Př. 5

Je dána kružnice k(S; r) a bod A, který na této kružnici neleží. Určete množinu všech bodů X

takových, že bod A je středem úsečky XY , přitom Y leží na kružnici k.

Řešení

Rozbor

Hledáme množinu všech bodů X. Bude tvořit kružnici k´(S´;r), která je obrazem k ve středové

souměrnosti se středem A.

Konstrukce

1) k, A

2) k´; S(A): k→k´

Úloha má 1 řešení.

Př. 6

Je dána přímka p a kružnice k(S; r), l(O; ρ), S ≠ O, r > ρ, |Sp| = d1, |Op| = d2. Sestrojte všechny

přímky rovnoběžné s přímkou p, na nichž kružnice k, l vytínají stejně dlouhé tětivy.

Řešení

Rozbor

Předpokládejme, že existuje hledaná přímka m. Tětivy, které mají požadovanou vlastnost

označíme AB a CD, A,Bk a C,D l. Platí |AB| = |CD| a zároven tyto body leží v jedné přímce.

V posunutí T určené vektorem C - A se bod A zobrazí v bod C a bod B zobrazí v bod D. Jelikož

A, B leží na kružnici k(S; r), musí body C, D ležet na kružnici k´(S´; r), která je obrazem

k v posunutí T a střed S´ je bod S v posunutí T. Poté najdeme body C, D jako průsečík k´ a

Page 18: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

18

kružnice l. Pokusíme se tedy najít střed kružnice k´ bod S´. Bude ležet na přímce q, která je

rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem S. Protože k´ prochází body C, D, leží S´ také na ose

úsečky CD, tzn. na přímce n, která je kolmá na přímku p (p || CD) a prochází bodem O (i

kružnice l prochází body C, D). Úsečka CD leží na hledané přímce m.

Kostrukce:

1) p, k, l

2) q; Sq q || p

3) n; On n p

4) S´; S´q n

5) k´; k´(S´; r)

6) C, D; C, Dl k´

7) m; m = CD

8) A, B; A, Bm k

Diskuse:

Úloha má řešení právě tehdy, existují-li dva různé body C, D, které jsou průsečíky kružnic k´ a l.

Aby kružnice k´ a l měli dva společné body, musí platit:

r - ρ < |S´O| < r + ρ

r - ρ < |d1 - d2| < r + ρ

Jsou-li splněny tyto rovnosti, má úloha jedno řešení, jinak nemá úloha řešení.

Př.7

Je dána přímka a a bod Aa, dále je dána přímka s ≠ a. Sestrojte pravidelný šestiúhelník

ABCDEF se středem Ss a stranou ABa.

Řešení

Rozbor

Page 19: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

19

Máme danou přímku a, bod A a přímku s. Hledáme tedy bod S. Víme, že v šestiúhleníku platí

| SAB| = 60˚. Při otočení přímky a o -60˚ se přímka a zobrazí jako přímka AS. Bod S tedy

najdeme v průsečíku přímky AS a přímky s. Pomocí středu a jednoho vrcholu již snadno

sestrojíme šestiúhelník.

Konstrukce:

1) a, A, s

2) a´; R(A;-60˚): a→a´

3) S; SAS a´

4) prav.šest. ABCDEF

Úloha má dvě řešení.

Př. 8:

Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: a+b+c = o = 12 cm, α=45˚, β=75˚.

Řešení:

Rozbor

Nejprve si musíme sestrojit pomocný trojúhelník XYC, kde |XY| = o, |CXY| = ½*α, |CYX|

= ½*β. Hledané body A a B nalezneme v průsečíku XY s osami souměrnosti XZ a YZ.

Konstrukce

1) ∆XYC; |XY| = 12cm, |CXY| = 22,5˚, |CYX| = 37,5˚;

2) o1; o1...osa souměrnosti XC

3) o2; o2...osa souměrnosti YC

4) A; Ao1XY

Page 20: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

20

5) B; Bo2XY

6) ∆ABC

Úlohá má jedno řešení v dané polorovině.

Skládání shodných zobrazení

Definice:

Jsou dána dvě shodná zobrazení Z1, Z2 a X je libovolný bod (roviny); Z1: X→X´, Z2: X´→X´´.

Zobrazení Z: X→X´´ se nazývá zobrazení složené ze zobrazení Z1Z2 v tomto pořadí.

Pro skládání shodných zobrazení se používá značka ○. Zobrazení Z složené ze zobrazení Z1, Z2

v tomto pořadí zapíšeme jako Z = Z2○Z1.

Pro skládání shodných zobrazení platí následující věty:

1) Složením dvou přímých shodností získáme přímou shodnost, složením dvou nepřímých

shodností získáme přímou shodnost a složením přímé a nepřímé shodnosti získáme nepřímou

shodností.

2) Složením dvou osových souměrností vznikne jedno z následujících shodných zobrazení:

identita, posunutí, otočení, středová souměrnost (zvláštní případ otočení).

3) Složením tří osových souměrností vznikne osová souměrnost nebo posunutá souměrnost.

Důkaz věty 2 a 3:

Page 21: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

21

Identita - získáme složením dvou osových souměrností se stejnou osou o. Nejdříve zobrazíme

každý bod v osové souměrnosti s touto osou. Jeho obraz zobrazíme zpátky podle stejné osy.

Otočení - vznikne složením dvou osových souměrností s osami různoběžnými. Jeho středem je

průsečík daných os. Velikost úhlu otočení je rovna dvojnásobku velikosti úhlu os, smysl je určen

pořadím os.

Posunutí - vznikne složením dvou osových souměrností. Jeho délka je rovna dvojnásobku

vzdálenosti os daných osových souměrností, jeho směr je kolmý k oběma osám a je dán jejich

pořadím.

Středová souměrnost - speciální případ otočení o 180˚.

Posunutá souměrnost Definice

Je dána přímka s a orientovaná úsečka RS, která leží na přímce s. Posunutá souměrnost je

zobrazení, které vznikne složením posunutí o orientovanou úsečku a osové souměrnosti s osou s.

Page 22: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

22

Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení Shodné

zobrazení

Středová

souměrnost

Osová souměrnost Posunutí

(translace)

Otočení (rotace)

Čím je

určeno?

bodem přímkou vektorem středem otáčení,

úhlem, smyslem

Samodružné

body

střed osa souměrnosti žádné střed otočení

přímá/nepřímá

shodnost?

přímá shodnost nepřímá shodnost přímá shodnost přímá shodnost

Page 23: Shodné zobrazení v rovině - Gymnázium Chebabsolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava2/semka.pdf5 Úvod Mezi nej důležitější část i matematiky patří nepochybně geometrie

23

Seznam použité literatury [1] POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky, 7.vyd. Praha, 1991. ISBN 80-7196-196-5

[2] RNDr. POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia - Planimetrie, 4.vyd. Praha, 1993.

ISBN 80-7196-174-4