Sesion 6 Modifi

Econometra
Sesion 5
Juan Carlos Abanto Orihuela
j.abanto@giddea.com
Giddea Consulting & Training
Enero - 2013

Parte I
Teora Asintotica
Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

Teora Asintotica
Teora de Muestras Finitas
Formas de muestreo.Estadsticos, estimadores(estimados), distribuciones muestrales.Muestras hipoteticas, muestreo repetido y simulaciones deMonteCarlo.
Teora de Muestras Infinitas
Formas de convergencia de variables aleatorias.Distribuciones lmitesDistribuciones asintoticas o aproximadas.

Parte II
Teora de Muestras Finitas

Conceptos Basicos
Poblacion Objetivo: Conjunto de elementos que se desea
analizar.
Muestra: Subconjunto de la poblacion disponible para el
analisis.
Una muestra es representativa si refleja las principales
caractersticas de la poblacion:
El optimo es utilizar una muestra representativa.
En la practica no siempre es posible obtener muestras
representativas.

Tecnicas de Muestreo
Las tecnicas de muestreo mas conocidas son:
Muestreo aleatorio simple (MAS).Muestreo sistematico (MS).Muestreo estratificado (ME).Muestreo por conglomerados (MC).
Muestra Aleatorio
Una muestra aleatoria de tamano n de X consiste en unasucesion de n variables aleatorias independientes entre s,X = [x1, x2, ..., xn], cada una de las cuales posee la mismafuncion de probabilidades.X puedde ser una variable o un vector de variables aleatorias.

Distribucion Muestral
El Histograma determina la distribucion de las frecuencias delos diferentes valores de una variable.
Dado que la frecuencia es (en el lmite) una medida deprobabilidad, el histograma (distribucion de frecuencias) deuna variable es una buena aproximacion de la distribucionmuestral de la variable aleatoria.
Estadstico: es una funcion cualquiera que depende de losvalores muestrales o datos. Ejemplos: Media 1
n
n
1(Xi ),
Varianza 1n1
n
1(Xi X )2, Covarianza
1n
n
1(Xi X )(Yi Y ).
Estimador: es un estadstico que permite aproximar unparametro poblacional a partir de la informacion muestral.
es un parametro de la funcion de probabilidades.
El valor que toma el estimador cuando se reemplazan los datos
se denomina estimado.

Muestreo repetido y simulacion MonteCarlo
Apartir de un proceso generador de datos(PGD)puedenobtenerse una muestra hipotetica.
Si se repite este ejercicio muchas veces-muestreo repetido- seobtienen muchas muestras hipoteticas.
Bajo los supuestos del PGD,es posible construirdistribuciones muestrales de diferentes estimadores ycompararlos: Simulacion de MonteCarlo.
MonteCarlo permite determinar las propiedades estadsticasde estimadores: media, varianza, forma de la distribucion.
Como se eligen estimadores? Criterios de comparacion:
Insesgadez.
Varianza mnima.
Error cuadratico medio.

Parte III
Teora de Muestras Infinitas

Formas de Convergencia
Convergencia en Probabilidad
Una sucesion de variables aleatorias Xn converge a unaconstante c si se cumple que:
LimnP[|Xn c| > ] = 0 , > 0
Toda la masa de la distribucion de probabilidades seconcentra en puntos cercanos a c.
Usualmente se denota como: Xnp
c Plim(Xn) = c
La definicion anterior indica que se hace cada vez masimprobable que xn tome valores distintos a c, a medida quen, el tamano de la muestra aumenta.

Ejemplo
Supongamos que tenemos una variable aleatoria xn cuya funcionde probabilidad es la siguiente.
f (xn) =
{1 1
n,si xn = 0,
1
n,si xn = n.
En este caso:LimnP[|xn 0| > ] = 0
Es decir, xn converge en probabilidad a 0. Por que? La razon esque, a medida que n aumenta, xn toma el valor de n con unaprobabilidad cada vez menor ( 1
nconverge a 0 a medida que
n). Esto es, toda la masa de la distribucion se concentran enaquellos puntos en la vecindad de 0.

Convergencia en Media Cuadratica
Una sucesion de variables aleatorias Xn, con medias yvarianzas diferentes, converge en media cuadratica a unaconstante c si se cumple que:
LimnE [(Xn c)2] = 0
Lo cual equivale a:
LimnE [(Xn)] = c; LimnVar [(Xn)] = 0
Entonces decimos que Xn converge en media cuadratica a la
constante c, y se denota como: Xnq.m.
c y ademas se tieneque plim(Xn) = c.
Ademas debemos notar que convergencia en mediacuadratica implica convergencia en probabilidad pero no a lainversa.

Ejemplo
En el ejemplo anterior podemos ver si converge en mediacuadratica a 0.
E(xn) = n1
n+0(1
1
n) = 1;Var(xn) = (n1)
2 1
n+(01)2(1
1
n) = n1
Entonces LimnE(xn) = 1; LimnVar(xn) =. Sin embargo,plim(xn) = 0

Convergencia en media r-esima
Una sucesion de variables aleatorias Xn, caracterizada porE [X r
n]

Convergencia en casi segura (almost sure)
Una sucesion de variables aleatorias Xn, converge de maneracasi segura a una constante c, si:
Pr((w : Xn(w) c a.s. n )) = 1
Lo cual tambien puede ser definido como:
Pr [w |LimnXn(w) = X (w)] = 1 Esto es, la secuencia Xnconverge a x con probabilidad 1. Lo cual se simboliza como:Xn
a.s.
c Plim(Xn) = c

Ejemplo
Si Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas con E(Xn) =

Ejemplo
Sea una variable aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo[0.1].Se definen las siguientes variables aleatorias:Xn(x) = x + x
n
X (x) = xEntonces la variable aleatoria Xn(x) converge de forma casi seguraa la variable aleatoria X (x).
Xn(x)a.s.
X (x)

Convergencia de Momentos
Si Xn es tal que E [|X |r ] < y converge en media r-esima a
X, entonces:
lmn
E [|Xn|r ] = E [|X |r ]

Convergencia en Distribucion
Sean Xn y X con funciones de distribucion F (xn) y F (x),respectivamente. Se dice que Xn converge en distribucion a Xsi para todos los puntos de continuidad de F (x) se cumple:
lmn
|Fn(xn) F (x)| = 0
Lo cual se simboliza como: Xnd c
La convergencia en distribucion no implica que converga (noimplica un solo lmite).

Ejemplo
Sea xn una variable aleatoria con la siguiente distribucion deprobabilidades.
Pr(xn = 1) =1
2+
1
n + 1,Pr(xn = 2) =
1
2
1
n + 1
La sucesion de variables aleatorias xn no converge, pues tiene doslmites. Sin embargo, ambas funciones convergen a 12 cuando ncrece al infinito.Convergencia en probabilidad implica convergencia en distribucionpero no viceversa. Es decir, el concepto de convergencia enprobabilidad es mas fuerte.

Relaciones de convergencia
(Xna.s. X ) // (Xn
p X ) // (Xn
d X )
(Xnr X )
88

Convergencia y Criterios de Convergencia
Estimador Consistente
Un estimador n del parametro poblacional es consistentesi:
plim(n) =
Consistencia de la Media Muestral
La media muestral Xn de una muestra aleatoria obtenida decualquier poblacion con media y varianza 2, finitas, es unestimador consistente de :
plim(Xn) = plim(1
n
n
i=1
Xi ) =

Convergencia y Criterios de Convergencia
Consistencia de una media de funciones
En muestreo aleatorio, para cualquier funcion h(x), si E [h(x)]y Var [h(x)] son constantes finitas, entonces:
plim(1
n
n
i=1
h(x)) = E [h(x)]

Resultados Importantes
Teorema de Slutsky
Si h(xn) es una funcion continua que no depende de n,entonces se cumple que:
Plim[h(xn)] = h[plim(xn)]
Desigualdades
Desigualdad de Jensen. Si h(xn) es una funcion concava dexn entonces h(E [xn]) E [h(xn)]
Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Para dos variablesaleatorias se cumple: E [|xy |] (E [x2])1/2(E [y2])1/2
Desigualdad de Chebychev. Establece que si xn es unavariable aleatoria y c y son constantes, entonces:
Pr(|xn c| > ) E [xnc]
2
2

Sesion 6 Modifi

Text of Sesion 6 Modifi

SESION N°6 CONSTRUCCIONES

Resumen sesion 6

Calculo Diferencial-sesion 6

Sesion 6 add.ppt mm

6. Sesion Auditoria.ppt

Sesion 6 sistemas

Sesion 4 6° prim

Sesion 6 -ciudadania_social_e_importancia47020

Sesion 5 y 6

Sesion 6 Evaluacion Educativa

Py M Sesion 6

Power point sesion 6