Sesion 6 Modifi

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  • Econometra

    Sesion 5

    Juan Carlos Abanto Orihuela

    j.abanto@giddea.com

    Giddea Consulting & Training

    Enero - 2013

  • Parte I

    Teora Asintotica

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Teora Asintotica

    Teora de Muestras Finitas

    Formas de muestreo.Estadsticos, estimadores(estimados), distribuciones muestrales.Muestras hipoteticas, muestreo repetido y simulaciones deMonteCarlo.

    Teora de Muestras Infinitas

    Formas de convergencia de variables aleatorias.Distribuciones lmitesDistribuciones asintoticas o aproximadas.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Parte II

    Teora de Muestras Finitas

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Conceptos Basicos

    Poblacion Objetivo: Conjunto de elementos que se desea

    analizar.

    Muestra: Subconjunto de la poblacion disponible para el

    analisis.

    Una muestra es representativa si refleja las principales

    caractersticas de la poblacion:

    El optimo es utilizar una muestra representativa.

    En la practica no siempre es posible obtener muestras

    representativas.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Tecnicas de Muestreo

    Las tecnicas de muestreo mas conocidas son:

    Muestreo aleatorio simple (MAS).Muestreo sistematico (MS).Muestreo estratificado (ME).Muestreo por conglomerados (MC).

    Muestra Aleatorio

    Una muestra aleatoria de tamano n de X consiste en unasucesion de n variables aleatorias independientes entre s,X = [x1, x2, ..., xn], cada una de las cuales posee la mismafuncion de probabilidades.X puedde ser una variable o un vector de variables aleatorias.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Distribucion Muestral

    El Histograma determina la distribucion de las frecuencias delos diferentes valores de una variable.

    Dado que la frecuencia es (en el lmite) una medida deprobabilidad, el histograma (distribucion de frecuencias) deuna variable es una buena aproximacion de la distribucionmuestral de la variable aleatoria.

    Estadstico: es una funcion cualquiera que depende de losvalores muestrales o datos. Ejemplos: Media 1

    n

    n

    1(Xi ),

    Varianza 1n1

    n

    1(Xi X )2, Covarianza

    1n

    n

    1(Xi X )(Yi Y ).

    Estimador: es un estadstico que permite aproximar unparametro poblacional a partir de la informacion muestral.

    es un parametro de la funcion de probabilidades.

    El valor que toma el estimador cuando se reemplazan los datos

    se denomina estimado.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Muestreo repetido y simulacion MonteCarlo

    Apartir de un proceso generador de datos(PGD)puedenobtenerse una muestra hipotetica.

    Si se repite este ejercicio muchas veces-muestreo repetido- seobtienen muchas muestras hipoteticas.

    Bajo los supuestos del PGD,es posible construirdistribuciones muestrales de diferentes estimadores ycompararlos: Simulacion de MonteCarlo.

    MonteCarlo permite determinar las propiedades estadsticasde estimadores: media, varianza, forma de la distribucion.

    Como se eligen estimadores? Criterios de comparacion:

    Insesgadez.

    Varianza mnima.

    Error cuadratico medio.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Parte III

    Teora de Muestras Infinitas

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Convergencia en Probabilidad

    Una sucesion de variables aleatorias Xn converge a unaconstante c si se cumple que:

    LimnP[|Xn c| > ] = 0 , > 0

    Toda la masa de la distribucion de probabilidades seconcentra en puntos cercanos a c.

    Usualmente se denota como: Xnp

    c Plim(Xn) = c

    La definicion anterior indica que se hace cada vez masimprobable que xn tome valores distintos a c, a medida quen, el tamano de la muestra aumenta.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Ejemplo

    Supongamos que tenemos una variable aleatoria xn cuya funcionde probabilidad es la siguiente.

    f (xn) =

    {1 1

    n,si xn = 0,

    1

    n,si xn = n.

    En este caso:LimnP[|xn 0| > ] = 0

    Es decir, xn converge en probabilidad a 0. Por que? La razon esque, a medida que n aumenta, xn toma el valor de n con unaprobabilidad cada vez menor ( 1

    nconverge a 0 a medida que

    n). Esto es, toda la masa de la distribucion se concentran enaquellos puntos en la vecindad de 0.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Convergencia en Media Cuadratica

    Una sucesion de variables aleatorias Xn, con medias yvarianzas diferentes, converge en media cuadratica a unaconstante c si se cumple que:

    LimnE [(Xn c)2] = 0

    Lo cual equivale a:

    LimnE [(Xn)] = c; LimnVar [(Xn)] = 0

    Entonces decimos que Xn converge en media cuadratica a la

    constante c, y se denota como: Xnq.m.

    c y ademas se tieneque plim(Xn) = c.

    Ademas debemos notar que convergencia en mediacuadratica implica convergencia en probabilidad pero no a lainversa.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Ejemplo

    En el ejemplo anterior podemos ver si converge en mediacuadratica a 0.

    E(xn) = n1

    n+0(1

    1

    n) = 1;Var(xn) = (n1)

    2 1

    n+(01)2(1

    1

    n) = n1

    Entonces LimnE(xn) = 1; LimnVar(xn) =. Sin embargo,plim(xn) = 0

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Convergencia en media r-esima

    Una sucesion de variables aleatorias Xn, caracterizada porE [X r

    n]

  • Formas de Convergencia

    Convergencia en casi segura (almost sure)

    Una sucesion de variables aleatorias Xn, converge de maneracasi segura a una constante c, si:

    Pr((w : Xn(w) c a.s. n )) = 1

    Lo cual tambien puede ser definido como:

    Pr [w |LimnXn(w) = X (w)] = 1 Esto es, la secuencia Xnconverge a x con probabilidad 1. Lo cual se simboliza como:Xn

    a.s.

    c Plim(Xn) = c

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Ejemplo

    Si Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas con E(Xn) =

  • Ejemplo

    Sea una variable aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo[0.1].Se definen las siguientes variables aleatorias:Xn(x) = x + x

    n

    X (x) = xEntonces la variable aleatoria Xn(x) converge de forma casi seguraa la variable aleatoria X (x).

    Xn(x)a.s.

    X (x)

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Convergencia de Momentos

    Si Xn es tal que E [|X |r ] < y converge en media r-esima a

    X, entonces:

    lmn

    E [|Xn|r ] = E [|X |r ]

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Convergencia en Distribucion

    Sean Xn y X con funciones de distribucion F (xn) y F (x),respectivamente. Se dice que Xn converge en distribucion a Xsi para todos los puntos de continuidad de F (x) se cumple:

    lmn

    |Fn(xn) F (x)| = 0

    Lo cual se simboliza como: Xnd c

    La convergencia en distribucion no implica que converga (noimplica un solo lmite).

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Ejemplo

    Sea xn una variable aleatoria con la siguiente distribucion deprobabilidades.

    Pr(xn = 1) =1

    2+

    1

    n + 1,Pr(xn = 2) =

    1

    2

    1

    n + 1

    La sucesion de variables aleatorias xn no converge, pues tiene doslmites. Sin embargo, ambas funciones convergen a 12 cuando ncrece al infinito.Convergencia en probabilidad implica convergencia en distribucionpero no viceversa. Es decir, el concepto de convergencia enprobabilidad es mas fuerte.

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Formas de Convergencia

    Relaciones de convergencia

    (Xna.s. X ) // (Xn

    p X ) // (Xn

    d X )

    (Xnr X )

    88

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Convergencia y Criterios de Convergencia

    Estimador Consistente

    Un estimador n del parametro poblacional es consistentesi:

    plim(n) =

    Consistencia de la Media Muestral

    La media muestral Xn de una muestra aleatoria obtenida decualquier poblacion con media y varianza 2, finitas, es unestimador consistente de :

    plim(Xn) = plim(1

    n

    n

    i=1

    Xi ) =

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Convergencia y Criterios de Convergencia

    Consistencia de una media de funciones

    En muestreo aleatorio, para cualquier funcion h(x), si E [h(x)]y Var [h(x)] son constantes finitas, entonces:

    plim(1

    n

    n

    i=1

    h(x)) = E [h(x)]

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Resultados Importantes

    Teorema de Slutsky

    Si h(xn) es una funcion continua que no depende de n,entonces se cumple que:

    Plim[h(xn)] = h[plim(xn)]

    Desigualdades

    Desigualdad de Jensen. Si h(xn) es una funcion concava dexn entonces h(E [xn]) E [h(xn)]

    Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Para dos variablesaleatorias se cumple: E [|xy |] (E [x2])1/2(E [y2])1/2

    Desigualdad de Chebychev. Establece que si xn es unavariable aleatoria y c y son constantes, entonces:

    Pr(|xn c| > ) E [xnc]

    2

    2

    Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra I

  • Resultados Importantes

    Propiedades de Esperanzas Condicionales

    Sean a y b constantes, g una funcion de valor real, y suponga queX,Y,Z son conjuntamente distribuidas, entonces:

    E [a|Y ] = a

    E [aX + bZ |Y ] = aE [X |Y ] + bE [Z |Y ]

    E [X |Y ] 0 si x 0

    E [X |Y ] = E [X ] si X e Y son independientes

    E [Xg(Y )|Y ] = g(Y )E [X |Y ]

    E [