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Series Temporelles
Caracteristiques des donnees
Financieres
Tests
Comportement des Series Financieres
• La base de l’analyse repose sur les taux de rendements
• Raison– Concurrence parfaite, pas de rendements d’echelle– Comportement distinct des rendements et des prix
facilitant la construction de modeles de prevision
• Se mefier des prix (analyse en niveau) !
Exemples
USD/AUD
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02Petrole, Brent
10
15
20
25
30
35
40
45
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02
MSCI Europe
0200400600800
10001200140016001800
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02
Taux d'Interet, Australie 10 ans
4
5
6
7
8
9
10
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02
Caracteristiques des Prix
• ‘Trends’ et renversements de tendance• Pas de retour a la moyenne• Volatilite augmente avec le temps (infinie)• Exemple: Ecart type AUD/USD hebdo
– 1986-1994: 10.5%– 1994-2002: 22.4%
• Decroissance tres lente des autocorrelations sur echantillon fini
• NON STATIONARITE
Rendements
AUD/USD
-6-4-202468
10
Jan-8
6
Jan-8
7
Jan-8
8
Jan-8
9
Jan-9
0
Jan-9
1
Jan-9
2
Jan-9
3
Jan-9
4
Jan-9
5
Jan-9
6
Jan-9
7
Jan-9
8
Jan-9
9
Jan-0
0
Jan-0
1
Jan-0
2Petrole, Brent
-40-30-20-10
010203040
Jan-8
6
Jan-8
7
Jan-8
8
Jan-8
9
Jan-9
0
Jan-9
1
Jan-9
2
Jan-9
3
Jan-9
4
Jan-9
5
Jan-9
6
Jan-9
7
Jan-9
8
Jan-9
9
Jan-0
0
Jan-0
1
Jan-0
2
Taux d"interet, Australie 10 ans
-15
-10
-5
0
5
10
15
Jan-8
6
Jan-8
7
Jan-8
8
Jan-8
9
Jan-9
0
Jan-9
1
Jan-9
2
Jan-9
3
Jan-9
4
Jan-9
5
Jan-9
6
Jan-9
7
Jan-9
8
Jan-9
9
Jan-0
0
Jan-0
1
Jan-0
2
MSCI Europe
-10
-5
0
5
10
15
Jan-8
6
Jan-8
7
Jan-8
8
Jan-8
9
Jan-9
0
Jan-9
1
Jan-9
2
Jan-9
3
Jan-9
4
Jan-9
5
Jan-9
6
Jan-9
7
Jan-9
8
Jan-9
9
Jan-0
0
Jan-0
1
Jan-0
2
Carateristiques des Rendements
• Definition en temps discret:• R(t)=P(t)/P(t-1)-1• En temps continu: r(t)=log(Pt)-log(Pt-1)• Rendement cumule entre 2 periodes: • r(k periodes)=r(1)+r(2)+...r(t-k+1)• Pas de tendance• Evolution autour d’une moyenne constante• Sur grand echantillon, volatilite constante • STATIONARITE
Stationarite Faible: Definition
• Soit y une variable aleatoire stationnaire au sens faible
• Moyenne: E(yt)=• Variance: E[(yt-)2]=2= (0)• Autocovariance: E[(yt-) (yt-k-)]=(k)
• Autocorrelations: (k)=(k)/ (0)• Les series temporelles sont le plus souvent
analysees sur la base de leur fonction d’autocorrelation
• Meme information, meme forme
Ergodicite
• Des valeurs separees par un grand intervalle de temps doivent etre peu correlees
• Decroissance des autocorrelations
• Moyenne et variance calculees sur un echantillon donnent une estimation consistente des vraies valeurs des parametres
Autocorrelations
CAN/USD
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02
0 5 10 15 20 25-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Sample autocorrelation coefficients
k-values
sacf
valu
es
0 5 10 15 20 25-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Sample autocorrelation coefficients
k-values
sacf
valu
es
Rendements
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Jan-
86
Jan-
87
Jan-
88
Jan-
89
Jan-
90
Jan-
91
Jan-
92
Jan-
93
Jan-
94
Jan-
95
Jan-
96
Jan-
97
Jan-
98
Jan-
99
Jan-
00
Jan-
01
Jan-
02
Marche Aleatoire
• Efficience de marche– Roberts (1967): The information set includes all
information known to all a participants – Pas de profits ‘excessifs’ par des agents informes– Black (1971): If the price is going up, it should move
up all at one, rather than in a series of small steps
• Samuelson: ‘Perfectly anticipated prices fluctuate randomly)
• Hypothese continuellement testee par les chercheurs
Demonstration
• Samuelson (1965): Le prix P(t) est fonction d’une variable fondamentale V
• Iteration des esperances de rendements
• P(t)=E(V* | I(t) )=Et(V*)
• P(t+1)=E(V* | I(t+1) )=Et+1(V*)
• Et(P(t+1)-P(t))= Et(Et+1(V*))- Et(V*)=0
Lien avec Calcul Stochastique
• P(t+1)=a+ P(t)+e(t+1)• E( P(t)| P(0))=P(0)+at• Var( P(t) | P(0) )=s2t• Si e est distribue selon N(0, s2) le prix suit un
processus Brownien arithmetique • dP(t)=a t + s dB(t) avec B processus de Wiener• Si P est Brownien geometrique: dP/P suit une
marche aleatoire
A Retenir
• La majorite des modeles d’econometrie financiere sont valides sous hypothese de stationarite
• Necessaire de tester la stationarite des donnees avant l’application de modeles
Spurious Regression
• Ordinary Least-squares Estimates • R-squared = 0.4525 • Rbar-squared = 0.4518 • sigma^2 = 9924.5860 • Durbin-Watson = 0.0148 • Nobs, Nvars = 840, 2 • *********************************************************• Variable Coefficient t-statistic t-probability • Constante 878.008157 49.949349 0.000000 • Coefficient -71.666313 -26.315765 0.000000
Spurious Regression
• Y=MSCI Australie
• X=Taux d’interet en Allemagne
• Aucune relation economique
• Forte relation statistique
Exemple
• Y2t= Y2t-1+ut
• Y1t= Y1t-1+vt
• Estimation par Moindres Carres Ordinaires• Y2t=a+b Y1t+zt
• (a,b)=ArgMin(zt’zt)• Avec des tests conventionels a 5%,
l’hypothese nulle b=0 est rejetee dans 75% des cas
Identification du Probleme
• Le test de Durbin Watson= test d’autocorrelation d’ordre 1 des residus
• et= et-1+ft
• Si 0 violation des conditions MCO et le coefficient de regression est biaise, les erreurs sont sous-estimees
=0: Valeur attendue=2• < 2 s’il y a autocorrelation positive (au pire=0)• Entre 2 et 4 si autocorrelation negative
Premiere Solution
• 1) Inclure les valeurs passees dans la regressionY2t=a+a1 Y2t-1+ b1Y1t+b2 Y1t-1+ht
• Les coefficients b1 et b2 convergent vers leurs vraies valeurs
• T test est asymptotiquement N(0,1)• Mais le test joint F sur b1 et b2 a une
distribution non standard
Meilleure Solution
• 2) Differencer les variables afin qu’elles soient stationairesY2t =a+b Y1t +ut
• ut est stationaire
• Comportement attendu des tests t et F
Ordre d’Integration
• Une serie stationaire apres differentiation simple est integree d’ordre 1: I(1)
• Si stationaire apres d differentiations est integregree d’ordre d: I(d)
• Une serie stationaire est notee I(0)
Yt=a+Yt-1+et I(1)
Yt = Yt- Yt-1=a+et I(0)
Test Traditionnel
• 1000 observations Yt=0.5+0.99 Yt-1+et
• t test nous informe si b0, et non b=1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-10
0
10
20
30
40
50
60
70 Ordinary Least-squares Estimates
R-squared = 0.9932
Rbar-squared = 0.9932
sigma^2 = 1.0354
Durbin-Watson = 2.0547
Nobs, Nvars = 1000, 2
***************************************************************
Variable Coefficient t-statistic t-probability
variable 1 0.499668 4.114123 0.000042
variable 2 0.990018 381.212149 0.000000
Test de Dickey Fuller
• Yt=b0+b1 Yt-1+et
• Determiner si b1=1 (racine unitaire) or <1 (stationarite)
• Soustraire Yt-1 des deux cotes
Yt- Yt-1= b0+(b1-1) Yt-1+et
Yt=b0+ Yt-1+et
• Test:• H0: =0 Racine Unitaire• H1: <0 Stationarite
Tests Complementaires
• Tester 3 types de specification• 1) Marche aleatoire pure
Yt= Yt-1+et
• 2) Random walk with drift
Yt=b0+ Yt-1+et
• 3) Random walk with drift and deterministic trend
Yt=b0+ Yt-1+ct+et
Test ADF
• Augmente par inclusion d’autocorelation d’ordre superieur a 1
Yt=b0+b1 Yt-1+b2 Yt-2 +et• Le test DF est biaise car les residus sont
autocorreles• Rajouter les differences jusqu’a ce que
l’autocorrelation disparaisse
Yt=b0+ Yt-1+1 Yt-1 +… n Yt-n +et
Exemple 1
Log(GDP USA)
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
1957
Q119
59Q3
1962
Q119
64Q3
1967
Q119
69Q3
1972
Q119
74Q3
1977
Q119
79Q3
1982
Q119
84Q3
1987
Q119
89Q3
1992
Q119
94Q3
1997
Q119
99Q3
Le modele le plus approprie est probablement RW with drift and trend
Exemple 2
USA TBill
02468
10121416
1957
Q119
59Q3
1962
Q119
64Q3
1967
Q119
69Q3
1972
Q119
74Q3
1977
Q119
79Q3
1982
Q119
84Q3
1987
Q119
89Q3
1992
Q119
94Q3
1997
Q119
99Q3
Pas de tendanceLe meilleur modele sembleetre un RW with drift
Taille de l’Echantillon
• Taille versus frequence
• Simulation: yt=+0.7+0.95*yt-1+ et
• La serie est stationaire• Nbre de fois hypothese de racine unitaire est rejetee?
Taille Pourcentage500 99.8%250 50.8%100 9.5%50 6.3%
Conclusion de + en + forteque la serie estI(1)
