GrupodeEnsinoePesquisaemEducaoMatemticaNotas de Aula No7.5ChristianQ.Pinedo5ii Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisA meus paisChristian (em memria) e.Noemi.iiiiv Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisTtulo do originalSries de Potncias e Equaes DiferenciaisJaneiro de2011Direitos exclusivos para lngua portuguesa:UFT - CAMPUS DE PALMASCoordenao de Engenharia Civil/Eltrica512.8Pinedo. Christian Quintana, 1954 -Sries de Potncias e Equaes Diferenciais / Christian Jos Quin-tana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas,Curso de Engenharia Civil/Eltrica,2009.250 p. il. 297mmI. Srie de Potencias e Equaes Diferenciais. Christian Q. Pinedo. II.Srie. III. TtuloCDD 512.8 ed. CDUSUMRIOPREFCIO xi1 Srie de potncias 11.1 Sries de nmeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Critrios de convergncia das sries numricas . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Sumrio dos Critrios para Sries de Nmeros. . . . . . . . . . . . . 151.2 Sries de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Raio de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Exerccios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3 Desenvolvimento em sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 A funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Operaes com srie de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.1 A srie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5 Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.1 Srie de Taylor associada a uma funo. . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.2 Polinmio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.3 Convergncia da srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exerccios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6 Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.6.1 Resto de um Polinmio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.2 Combinando Sries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.7 Lista de srie de Taylor de algumas funes comuns . . . . . . . . . . . . . 591.8 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.8.1 Clculo de limites e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.8.2 Estudo de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.8.3 Outra denio para a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.9 Srie de Taylor em vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.9.1 Para duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Exerccios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67vvi Sries de Potncias e Equaes Diferenciais2 Equaes diferenciais de1aordem. 712.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2 Equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.1 Classicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2.2 Ordem e grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.2.3 Problemas que conduzem a uma equao diferencial . . . . . . . . . 762.2.4 Equaes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2.5 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3 Soluo de uma equao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.1 Soluo Geral. Soluo Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3.2 Soluo Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3.3 Problemas de valores iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.3.4 Campo de direes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.4 Classicao das EDO de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.4.1 Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.4.2 Forma Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Exerccios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.5 Soluo de alguns tipos e equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.5.1 Equaes de variveis separveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.5.2 Equaes Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.5.3 Equaes Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.5.4 Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.6 Fator integrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.6.1 Mtodos de soluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.6.2 Determinao de um fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Exerccios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.7 Equaes diferenciais no lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . 1222.7.1 Equaes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.7.2 Equao de primeira ordem de graun . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.7.3 Equaes da formaF(y, y

) = 0 e F(x, y

) = 0 . . . . . . . . . . . 1242.7.4 Equao de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.7.5 Equao de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Exerccios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293 Equaes diferenciais de ordemn > 1. 1313.1 Teoria preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2 Equaes diferenciais especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.3 Equaes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Christian Jos Quintana Pinedo vii3.3.1 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4 Teorema de existncia e unicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4.1 Problema de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4.2 Dependncia Linear. Independncia linear . . . . . . . . . . . . . . 1373.4.3 O Wronskiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Exerccios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.5 Equaes diferenciais lineares de coecientes constantes . . . . . . . . . . . 1473.5.1 Equao homognea de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.2 Equao homognea de ordem maior que dois . . . . . . . . . . . . 1493.6 Equaes lineares no homogneas de coecientes constantes . . . . . . . . 1523.6.1 Equao no homognea de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . 1523.6.2 Equao no homognea de ordem maior que dois . . . . . . . . . . 1553.6.3 Mtodo dos coecientes a determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.6.4 Mtodo de variao de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Exerccios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.7 Equaes diferenciais lineares de coecientes variveis . . . . . . . . . . . . 1693.7.1 Mtodo dos coecientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.7.2 Mtodo da variao de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.8 Equaes Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.8.1 Mtodo de Euler-Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.8.2 Mtodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.8.3 Mtodo de reduo de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.9 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.9.1 Movimento harmnico simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.9.2 Movimento vibratrio amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.9.3 Movimento vibratrio forado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.9.4 Outras aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Exerccios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.10Resoluo de Equao Diferencial por Srie de Potncias . . . . . . . . . . 1993.10.1 Mtodo da Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.10.2 A equao de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.10.3 A equao de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.10.4 Mtodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.10.5 Equao de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.10.6 Equao de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Exerccios 3-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227viii Sries de Potncias e Equaes Diferenciais4 Transformada de Laplace 2314.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.2 Existncia da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.2.1 Funo seccionalmente contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.2.2 Funo de ordem exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.3 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.3.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.3.2 Deslocamento ems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.3.3 Derivada da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Exerccios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.4 Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.5 Transformada da integral de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.6 Transformadas de funes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.6.1 Funo gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.6.2 Funo delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.7 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.7.1 Clculo de transformadas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Exerccios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2634.8 Resoluo de equaes diferenciais mediante a transformada de Laplace . . 2654.8.1 Equaes com termo no homogneo descontnuo . . . . . . . . . . 2694.8.2 Deslocamento no domnio do tempot . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.9 Convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2734.10Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2784.10.1 Aplicaes em circuitos eltricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Exerccios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815 SRIE DE FOURIER 2855.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.2 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2885.3 Funo Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895.4 Funes Ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915.4.1 Coecientes de uma srie respeito de um conjunto ortogonal . . . . 2935.5 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2945.5.1 Clculo dos coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2945.5.2 Outra Representao da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 2995.5.3 Srie exponencial de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.6 Coecientes de Fourier que tendem a zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3025.7 Aproximao mediante uma srie nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Christian Jos Quintana Pinedo ix5.8 Srie de Fourier de seno e coseno de comprimento mdio . . . . . . . . . . 306Exerccios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.9 CONVERGNCIA DA SRIE DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . 3115.9.1 Critrio DAlemberts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125.9.2 Sries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135.9.3 Convergncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135.10Convergncia de sries trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.11Convergncia da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3185.11.1 Condies de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3215.11.2 Outros critrios de convergncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3245.11.3 A derivada da srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3265.12Sries duplas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.13Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.13.1 Convergncia da srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.13.2 Soluo de uma EDO de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 3285.13.3 Equao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3285.13.4 Soma de uma srie numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330APNDICE 332Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335x Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisPREFCIOO propsito de uma primeira disciplina de Sries de Potncias e Equaes Diferenci-ais ensinar ao estudante as noes bsicas das sries de funes em R e de equaesdiferenciais ordinrias, assim como as tcnicas e aplicaes bsicas que acompanham taisconceitos; estas Notas de Aula a continuao e abordagem de conceitos e teorias sobresrie de potncias,tipos de equaes diferenciais e soluo de alguns tipos de equaesdiferenciais mediante sries de funes.Esta obra representa o esforo de snteses na seleo de um conjunto de problemas que,comfreqnciaseapresentaquandoumestudantecomeaaestudarclculoavanado.Estas notas de aula esto divididas em trs captulos.Noprimeirocaptulo, apresenta-senoesgeraissobresriedepotncias, sriesdeTaylor e MacLaurin, e teoremas do resto, teis na soluo de equaes diferenciais.No segundo captulo, apresenta-se noes gerais sobre equaes diferenciais ordinriase notao a ser utilizada nestas notas, e parte da classicao das equaes de primeiraordem que se utiliza com muita freqncia.No terceiro captulo, apresenta-se alguns mtodos para a soluo de equaes diferen-ciais ordinrias de primeira ordem vistas no primeiro captulo.Oquartocaptuloestdedicadoparaasoluodeequaesdiferenciasordinriaslinearesdeordemn>1, onde n N. Equaesestasdecoecientesconstantesouvariveis.xixii Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisOltimocaptuloestreservadoparaoestudodatransformadadeLaplaceesuasaplicaesnasoluodeequaesdiferenciaislinearesdecoecientes constantes, assimcomo as propriedades que esta transformada apresenta para a soluo de outros problemas.O objetivo deste trabalho orientar a metodologia para que o leitor possa identicare construir um modelo matemtico e logo resolv-lo.Cada captulo se inicia com os objetivos que se pretende alcanar; os exerccios apre-sentados em quantidade suciente, esto classicados de menor a maior diculdade.Avariedadedosproblemaseexercciospropostospretendetransmitirminhaexper-inciaprossional durantealgumasdecadascomoConsultoremMatemticasPuraseAplicadas, assim como professor de ensino superior, com atuao na graduao da docn-cia universitria.Ficoprofundamentegratopelaacolhidadesdetrabalhoepelascontribuiesesug-estes dos leitores, em especial a meus alunos do Curso de Engenharia Civil e Eltrica daUniversidade Federal do Tocantins.Christian Quintana Pinedo.Palmas - TO, Janeiro de2011A Matemtica a honra do esprito humanoLeibnizCaptulo 1Srie de potnciasBrook TaylorBrookTaylor nasceu em 18 agosto de 1685 em Edmonton,Middlesex,Inglaterraefaleceuem29dedezembrode1731emSomerset House, Londres, Inglaterra.Taylorteveumaexcelenteeducaoemcasaantesdeen-trarnoCollegeBrookSt JohnsdeCambridgeem03deabrilde1703, nessapocaeletinhaumaboabaseemclssicos damatemtica. Em Cambridge Taylor envolveou-se altamente coma matemtica.Graduou-se com um Bacharel em Direito em 1709, mas nessapoca ele j havia escrito umprimeiro artigo importante dematemtica (em 1708) embora no fosse publicado at 1714.SabemosquealgodosdetalhesdopensamentodeTaylorarespeito de vrios problemas matemticos a partir de cartas quetrocou com Machin e Keill no incio dos ltimos anos de graduao.Adicionou a matemtica um novo ramo agora chamado o Clculo das Diferenas Finitas,inventouaintegraoporpartes, edescobriuaclebrefrmulaconhecidacomoaexpansodeTaylor, de qual a importncia permaneceu no reconhecida at 1772 quando Lagrange proclamouisto como o princpio bsico do clculo diferencial.Em1708Taylorencontrouumasoluoparaoproblemadocentrodeoscilao,sendoqueisso foi indito at 1714, resultando em uma disputa de prioridade com Johann Bernoulli.Em 03 de abril de 1712, Taylor foi eleito membro da Royal Society. Foi uma eleio baseadamais nas experincia que Machin (matemtico e astrnomo), Keill (matemtico) e outros sabiama respeito de Taylor. Por exemplo, Taylor escreveu em 1712 para Machin sobre uma soluo paraum problema de Kepler sobre a segunda lei do movimento planetrio.Tambm em 1712, Taylor foi nomeado para o comit criado para se pronunciar sobre o pedidode Newton ou Leibnitz ter inventado o Clculo. De 14 de janeiro de 1714 at 21 de outubro de1718 Taylor foi secretrio da Royal Society.Comenta-sedeumexperimentodeTaylorem1715paraadescobertadasleisdaatraomagntica e um mtodo no provado para aproximar as razes de uma equao, dando um novomtodo para logaritmos computacionais (1717). Taylor desenvolveu em1715 os princpios fun-damentaisdaperspectivaemPerspectivasLineares(1715)juntocomos NovosPrincpiosdaPerspectiva Linear.12 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais1.1 Sries de nmeros reaisRepresentamos por N+o conjunto dos nmeros naturais positivos, isto :N+= 1, 2, 3, 4, , n,Seja annN+ umasequnciadenmerosreais, apartirdeelapodemosobterosseguintes elementos:s1= a1;s2= a1 + a2;s3= a1 + a2 +a3;...sn1= a1 + a2 + a3 ++ an2 + an1;sn= a1 + a2 + a3 ++ an2 + an1 + anIsto , podemos obter outra sequncia snnN+, chamada srie onde seus elementosso somas parciais de elementos da sequncia an.Quando o ndicen seja o maior possvel (por exemplon +), teremos a escrevero termo geral da sequncia sn como uma soma de uma quantidade indeterminada deelementos da formaai ondei N+.A notao que permite exprimir esta soma : sn=n

k=1ak.Por se tratar sn de uma sequncia de nmeros reais, todo o estudado para seqnciasnumricas annN+podemos aplicar a nossa srie sn; por exemplo limitao, monoto-nia, convergncia entre outros.Logo, a srie sn limitada, se existe uma constanteC R tal que [sn[ C n N+isto +

n=1an C.A srie sn convergente, se limn+sn= Sou limn_n

i=1ai_ = S, para algumS Rxo e nico.Assim, podemos dizer que existem sries convergentes e sries divergentes. O objetivodeste captulo aprender a distinguir umas das outras.Dada uma sequncia an de nmeros reais, a soma innita a1+a2+a3++an2+an1 + an + , ser representada simblicamente por+

n=1an.Nosso objetivo agora estabelecer condies sobre a sequncia an para que a somainnita+

n=1an tenha como resultado um valor de nmero real. Se este for o caso dizemosque a soma innita converge.Estas somas innitas so denominadas sries innitasou simplesmente sries.Christian Jos Quintana Pinedo 3Denio 1.1.Dizemosqueasrieconvergente,quandoasequncia sndesuassomasparciaisfor convergente. Neste caso, a soma da srie o limite da sequncia sn, isto :+

n=1an= limn+sn= S (1.1)Quando uma srie no converge, ela denominada divergente.Estamos trabalhando com os ndicesn N dos elementos das sries, ento podemosescrever+

n=0an ou

n=0an entende-se que a variao do ndice n de zero (ou outro nmero)at+Exemplo 1.1.Sean=0 n N+, a srie gerada pela sequncia an convergente, sua soma zero; isto +

n=1an= 0.Sebn=1 n N+, a srie gerada pela sequncia bn divergente, sua soma indeterminada; na verdade+

n=1bn=+Sean= (1)n+1 n N+, ento a srie gerada pela sequncia an divergente,a soma de todos seus termos indenida; isto +

n=1(1)n+1= 1 ou1 ou 0.Pela unicidade do limite limnsn= S, conclumos que essa soma no existe.Por denio uma sriegeomtrica da formaS=+

n=1arn1,onde o nmerordenominado razo da srie, e o nmero constantea seu coeciente.Exemplo 1.2.Estudar a srie geomtrica.Soluo.Pela propriedade de somatrio podemos escrever S=+

n=1rn1= +

n=1rn1, de onde:sn= n

i=1ri1= 1 rn1 r(1.2)Quando [r[ 1 a srie diverge.Por denio uma srie harmnica da forma+

n=11n.Exemplo 1.3.Srie harmnica.Determine se srie harmnica+

n=11nconverge.Soluo.Sabe-se que esta srie representa o termo n-simo de uma sequncia sn, ondesn=+

n=11n.Consideremos duas subseqncia desn:sn= 1 +12+13+14+ +1n+s2n= 1 +12+13+14+ +1n+ +12n 1+12nSuponha que sn L quando n +, ento tem-se que sn L quando n +es2n L quandon +, segue que (sns2n) 0 quandon +.Porm, sn s2n=1n + 1+1n + 2+1n + 3+ + +1n++12n 1+12n 12n+12n+12n+ +12n=12de onde limn+(sns2n) 12 ,= 0, caso o limite existisse.Portanto, a srie harmnica+

n=11n. divergente.Uma sriep da forma+

n=11np, ondep R uma constante xa.Mostra-se que a srie:+

n=11np= 1 +12p+13p+ +1np+ (1.3)converge sep > 1, e diverge sep 1, p R.Observao 1.1.A srie+

n=1(bnbn+1) denominada srie de encaixe devido natureza de seus termos:(b1b2) + (b2b3) + (b3b4) + + (bnbn+1) +Christian Jos Quintana Pinedo 5A sequncia de suas somas parciais sn, vem dado pela expresso:sn= (b1b2) + (b2b3) + (b3b4) + + (bnbn+1) = b1bn+1(1.4)Se a sequncia bn convergir para um nmero L, segue que sn converge para b1L.Exemplo 1.4.Vericar que a srie+

n=11n2+ nconverge.Com efeito, observe que+

n=11n2+ n=+

n=1_1n 1n + 1_ = 1 1n + 1, logo;limn+n

i=11n2+n= limn+_1 1n + 1_ = 1 0 = 1Portanto, a srie+

n=11n2+ nconverge. Exemplo 1.5.Determine se a srie+

n=1Ln_nn + 1_ converge.Soluo.Observe que, podemos escrever+

n=1Ln_nn + 1_ =+

n=1[Lnn Ln(n + 1)].Logo,n

k=1Ln_kk + 1_ = Ln1Ln(n+1) limn+n

k=1Ln_kk + 1_ = limn+[Ln1Ln(n + 1)] = 1 = Portanto, a srie+

n=1Ln_nn + 1_ diverge. A propriedade a seguir fornece uma condio necessria, mas no suciente para queuma srie numrica seja convergente.Propriedade 1.1.Critrio don-simo termo.Seja

n=1an convergente, ento:i)A sequncia sn de somas parciais limitada.ii) limnan= 0.6 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDemonstrao. i)Se+

n=1anconverge, entoexisteem RolimiteL= limn+snlogo, sendo snumasequncia convergente, ela limitada. Demonstrao. ii)Denotandopor snasequnciadesomasparciaisdasrie,+

n=1antemosquean=snsn1 e admitindo que a srie convergente, resulta que a sequncia de somas parciaissn converge para um certo nmeroL, o mesmo ocorrendo com a subseqncia sn1,ento:limnan= limn+(snsn1) = limn+sn limn+sn1= L L = 0Exemplo 1.6.Vericar que a srie+

n=1n22n2+ 3ndiverge.Soluo.Observe que o limitelimnn22n2+ 3n=12 ,= 0Logo pelo critrio don-simo termo a srie diverge. Esta ltima propriedade nos leva a um primeiro teste para a deteco da divergnciade uma srie e justica a seguinte propriedade.Propriedade 1.2.Se limn+an ,= 0 ou no existe, ento a srie+

n=1an diverge.A demonstrao exerccio para o leitor. Exemplo 1.7.1. A sries+

n=1nn + 1e+

n=1n ambas so divergentes.Com efeito, limnnn + 1= 1 ,= 0 e limnn ,= 0.2. A sries+

n=1(1)n+1e+

n=1n3n + 4ambas so divergentes.Observe que, limn(1)n+1,= 0 e limnn3n + 4 ,= 0.A Propriedade (5.15) constitui-se no primeiro critrio de convergncia, para sries. Aoanalisar a convergncia de uma srie, em primeiro lugar observamos a convergncia de seuprimeiro termo geralsn, como sugere o seguinte diagrama:Christian Jos Quintana Pinedo 7an divergeE

n=1an divergeEFimL ,= 0

n=1an diverge Fim

n=1anEEE EEEE Elimnan= LL = 0E?A condio limn+an= 0 no d informao sobre a convergncia da srie+

n=1an sendonecessria uma anlise adicional para determinar se a srie converge ou diverge.Exemplo 1.8.A seguinte tabela ilustra algumas situaes:+

n=1Lnnn20indenida+

n=1n3n + 513divergente+

n=1enn2+ divergente+

n=1anlimnansituaoObservao 1.2.Suponhatemosumasrie+

n=1anconvergente; isto limn+sn=Sexiste. Entocorreto armar que:limn+(snS) existe se e somente se, limn+sn= Sexiste.Deduzimos assim, que podemos omitir um nmero nito de termos (entre os primeiros)de uma srie innita sem afetar sua convergncia.8 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisComonocasodasseqnciasnumricas, oacrscimoouaomissodeumnmeronito de termos no altera a convergncia de uma srie, podendo alterar o valor de suasoma.Propriedade 1.3.Se as sries

n=1ane

n=1bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quan-tidade nita, ento ambas so convergentes ou ambas so divergentes.A demonstrao exerccio para o leitor. Aindamais, umaconsequnciadaPropriedade (1.3), temosqueparacadanmerok N+, as sries

n=1ane

n=kan so ambas convergentes ou ambas divergentes.Exemplo 1.9.As sries

n=91ne

n=91n 8ambas sodivergentes, entantoas sries

n=91n2e

n=91(n 8)2ambas so convergentes.Propriedade 1.4.Sejam

n=1ane

n=1bn duas sries numricas e R.(a)Se as sries

n=1ane

n=1bn so convergentes, ento

n=1(an+bn)e

n=1 an tambmconvergem.(b)Se

n=1ane convergente e

n=1bn divergente, a srie

n=1(an + bn) diverge.(c)Se

n=1an divergente e ,= 0, ento a srie

n=1an tambm divergente.A demonstrao exerccio para o leitor. Observao 1.3.Quando as sries

n=1ane

n=1bnso ambas divergentes, a Propriedade(1.4) no dinformao sobre a convergncia da srie

n=1(an + bn).Exemplo 1.10.Christian Jos Quintana Pinedo 9As sries

n=11ne

n=11nso ambas divergentes, entanto que a srie

n=1(1n+1n)converge.Asrie

n=1_1n2+ n+34n1_convergente, enquantoas sries

n=11n2+ ne

n=134n1so convergentes.Propriedade 1.5.Condio de Cauchy.Seja sn uma sequncia de nmeros reais, a sriesn=n

k=1ak convergente se, paraqualquer > 0, existen0> 0 tal que [smsn[ < sempre quem, n > n0.A demonstrao exerccio para o leitor. Existemcasosondeasrietmseustermosdecrescentes, entopodemosutilizaraseguinte propriedade.Propriedade 1.6.Suponhamostemosumasriedetermogeral andemodoquean an+1paratodon N+; logo:A srie

n=1an converge se e somente se, a srie

n=12n a2ntambm converge.A demonstrao exerccio para o leitor. Exemplo 1.11.Vericar que a srie

n=11n2converge.Soluo.Tem-se quean=1n2>1(n + 1)2= an+1, ento podemos obter a2n=1(2n)2.Logo,

n=12n a2n=

n=12n

1(2n)2=

n=12n22n=

n=112n=limn12 __1 _12_n1 12__ = 1.Como a srie

n=112nconverge, ento a srie

n=11n2tambm converge. Uma srie

n=1an onde cada termo an maior ou igual do que zero denominada sriede termos positivos.10 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisPropriedade 1.7.Seja anumasequnciacoman 0paratodon N+. Entoasrie

n=1anconvergente se, e somente se, a sequncia de somas parciais sn limitada.A demonstrao exerccio para o leitor. Exemplo 1.12.A srie

n=11n(n + 1) convergente.Observe que1n(n + 1)=1n 1n + 1para todon N+.Comosn=112 +123 +134 + +1n(n + 1), tem-se quesn= 1 1n + 1 1 paratodon N+.Sendo os termos positivos, e a sequncia de somas parciais sn limitada, ento srie

n=11n(n + 1) convergente.Denio 1.2.Dizemos que a srie

n=1an dominada pela srie

n=1bn quandoan bn, n N+.Nesse caso

n=1an a srie dominada e

n=1bn a srie dominante.Observao 1.4.Para sries de termos positivos, os seguintes fatos so imediatos:1. A sequnciasn de somas parciais montona crescente.2. Se a srie

n=1an dominada pela srie

n=1bn, as respectivas sries de somas parciaissn etn satisfazem a relaosn tn, n N+.Estes fatos junto com a Propriedade (1.7) estabelecem o seguinte critrio de convergn-cia conhecido como critrio de comparao.1.1.1 Critrios de convergncia das sries numricasPropriedade 1.8.Critrio de comparao.Sejam

n=1ane

n=1bn duas sries de termos positivos:Christian Jos Quintana Pinedo 11i)Se a srie

n=1bn converge ean bn, n N+, ento a srie

n=1antambm converge.ii)Se a srie

n=1an diverge ean bn, n N+, ento a srie

n=1bntambm diverge.Sendo as armaes i) e ii) equivalentes, suciente mostra apenas uma delas.A demonstrao exerccio para o leitor. Denio 1.3.Srie absolutamente convergente.Dizemos que uma srie

n=1an absolutamente convergente, se a srie

n=1[an[ con-vergente.Observe, sean 0, n N+ [an[=an, assim, a srie

n=1an absoluta-mente convergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergnciae a convergncia absoluta no a mesma.Exemplo 1.13.Todasrieconvergente, cujostermosnomudamdesinal absolutamenteconver-gente. Emparticularquando 1 1, a srie

n=1an diverge.A demonstrao exerccio para o leitor.Exemplo 1.16.A srie

n=1pnn! absolutamente convergente, para todop R.Com efeito, sep = 0 imediato.Suponhamos quep ,= 0, e sejaan=pnn!paran N+, ento:an+1an =pn+1(n + 1)! n!pn =[p[n + 1Calculando o limite,r =limnan+1an =limn[p[n + 1= 0.Portanto a srie

n=1pnn! absolutamente convergente.A srie

n=1senn!n! absolutamente convergente.Com efeito,

n=1senn!n!

n=11n!Pelo critrio de comparao (Propriedade(1.11), a srie

n=1senn!n!converge ab-solutamente.1Tambm conhecido como Critrio da razo.14 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisPropriedade 1.13.Critrio de Cauchy2.Suponhamos que limnn_[an[ = r R.i)Ser < 1, a srie

n=1an absolutamente convergente.ii)Ser > 1, a srie

n=1an diverge.A demonstrao exerccio para o leitor.Exemplo 1.17.A srie

n=1npanconverge absolutamente se [a[ < 1, e divergente se [a[ > 1.Com efeito,n_[npan[ = (nn)p[a[ paran N+, de onde limnn_[npan[ = [a[.Se [a[ < 1 pelo critrio de Cauchy, a srie absolutamente convergente.Se [a[ > 1 a srie diverge.2Tambm conhecido como Critrio da raizChristian Jos Quintana Pinedo 151.1.2 Sumrio dos Critrios para Sries de Nmeros.Critrio Srie Converge Diverge Comentriodo n-simo termo

n=1anlimnan ,= 0O critrio no pode serusado para provar con-vergnciada srie ge-omtrica

n=1arn[r[ < 1 [r[ 1 soma: S =a1 rpara sriesp

n=11npp > 1 p 1Propriedade(1.4)

n=1an

n=1(an + bn) se

n=1bn< +Propriedade(1.4)

n=1an

n=1(an + bn) se

n=1bn +Propriedade(1.6)

n=1an

n=1an< + se

n=12n a2n< +para sries teles-cpicas

n=1(bnbn+1) limnbn = L soma: S = b1Lde comparao(an, bn> 0)

n=1anse, 0 an bne

n=1bn< +se, 0 bn ane

n=1bn da integral (fcontnua, positivae decrescente)

n=1anan = f(n) 0_1f(x)dx < +_1f(x)dx +resto:0 < RN 0)

n=1anlimnanbn= L > 0e

n=1bn< +limnanbn= L > 0e

n=1bn +

n=1an< +casoL = 0 e

n=1bn< +de Raabe

n=1ank > 1 k < 1 k =limnn_1 an+1an_de DAlembertsou da razo

n=1anlimntoan+1an < 1absolutamentelimntoan+1an > 1inconclusivo se:limnan+1an = 1de Cauchyoudaraiz

n=1anlimnton_[an[ < 1absolutamentelimnton_[an[ > 1inconclusivo se:limnton_[an[ = 1de Leibnitz oupara sries alter-nadas

n=1(1)nan 0 < an+1 ane limntoan = 0Resto: [RN[ aN+116 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais1.2 Sries de funesAslinguagensdeprogramaodecomputadoresfornecemcertasfunestaiscomoseno, coseno, logaritmo, exponencial, etc.No entanto, muitas vezes no temos a funo pr-denida e recorremos ao desenvolvi-mento em srie de potncias para fazer nossos clculos.Anteriormenteforamestudadassriesdenmerosdaforma

n=0anondecadaanum nmero real. Em analogia a essas sries podemos estudar series de funes da forma

n=0an(x) onde osan(x) so funes. Um exemplo tpico desta classe de sries

n=1cos(nx)n2=cos x1+cos 2x4+cos 3x9+Evidentemente quando substitumos um valor para x, por exemplo, x = 2, retornamosao estudo da srie numrica.Nossa ateno estar centrada nas somas particulares innitas de equaes tais comoex= 1 +x1!+x22!+x33!+referentesasomasdequantidadesquedependemde x. Emoutraspalavrasestamosinteressados em funes denidas mediante equaes da forma

n=1fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) + (1.5)Em tal situao fi ser certa sequncia de funes; para cada valor dex obteremosuma sequncia de nmeros fi(x) ef(x) ser a soma desta sequncia.Para analisar tais funes tem-se que lembrar que cada somaf1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) + por denio o limite da sequnciaf1(x), f1(x) + f2(x), f1(x) + f2(x) + f3(x), f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) +Se denirmos uma nova sequncia de funes sn mediantesn= f1 + f2 + f3 +f4 + + fnChristian Jos Quintana Pinedo 17ento podemos expressar mais sucintamente este fato escrevendof(x) = limn+sn(x)Assim estaremos concentrados em funes denidas como limites.De modo natural, existem duas perguntas importantes respeito de uma srie de funes.1apergunta: Para quais valores dex a srie (1.5) converge?2apergunta: Aqualfunoconverge asrie de funes(1.5)? Isto, qual asomaf(x) da srie ?Para obter resposta a nossa preocupao ser estudada as sries de potncias.Denio 1.4.Srie de potncias.Uma srie innita da forma

n=0anxn= a0 + a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4+ (1.6)ondean nmero que no depende dex, denomina-se srie de potncias dex.Por conveno(x c)0= 1, quandox = c. O nmeroc chamado centro da srie.Pela sua forma, a igualdade (1.6) podemos imaginar como uma funo polinmica devarivelx. As sries de potncias dex so uma generalizao da noo de polinmio.Mais geralmente, em matemtica, uma srie de potncias de (xc), (de uma varivel) uma srie innita da forma

n=0an(x c)n= a0 + a1(x c) + a2(x c)2+ a3(x c)3+ (1.7)onde an representa o coeciente do n-simo termo chamado coeciente da srie de potn-cia,c uma constante, ex varia em torno dec (por esta razo, algumas vezes a srie dita srie centrada emc).Note que no se trata de uma srie numrica. Uma srie do tipo (1.7) pode convergirparaalgunsvaloresde xedivergir paraoutrosvalores. Assim, fazsentidofalar emdomnio de convergncia, o qual denotamos porD(s), que o conjunto dos valores dex que tornam a srie (1.7) convergente.Essas sries de potncias aparecem primariamente em anlise, mas tambm ocorre emcombinatria(sobonomedefunesgeradoras)eemengenhariaeltrica(sobonomede Transformada-Z), tambm as sries de potncias aparecem em muitos problemas daFsica-Matemtica, como, por exemplo, em fenmenos ondulatrios, onde recorremos asFunes de Bessel .18 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDenio 1.5.Chama-se domnio de convergnciaD(s) da srie de potncias(1.7) ao conjunto dosvalores reais que, substitudos na srie, originam uma srie numrica convergente.Exemplo 1.18.O domnio de convergncia da srie

n=0xn= 1+x+x2+x3+ D(s) = (1, 1)O valor0 (zero) pertence sempre ao domnio de convergnciaD(s) desta srie, mais,paraqualquer x (1, 1)tem-seque

n=0xndeneafunof(x) =11 x. Estachamada srie geomtrica, um dos exemplos mais importantes de sries de potncia.A igualdade (1.7) permite imaginar que qualquer polinmio pode ser facilmente ex-presso como uma srie de potncias em torno de um centrox=c, embora um ou maiscoecientes sejam iguais a zero. Como mostra o exemplo a seguir.Exemplo 1.19.O polinmiop(x)=x2+ 2x + 3 pode ser escrito como a srie de potncia em tornodec = 0 assim:p(x) = 3 + 2x + 1x2+ 0x3+ 0x4+ou em torno do centroc = 1 comop(x) = 6 + 4(x 1) + 1(x 1)2+ 0(x 1)3+ 0(x 1)4+ou mesmo em torno de qualquer outro centroc.Exemplo 1.20.So exemplos de srie de potncias.A frmula da funo exponencial: ex=

n=0xnn!= 1 + x +x22!+x33!+A frmula do seno: senx =

n=0(1)nx2n+1(2n + 1)!= x x33!+x55! x77!+Exemplo 1.21.Considere-se a srie:

k=0_23_k(x 12)kParax = 1 obtm-se:

k=0_23_k(12)k=

k=0_13_k srie convergente.Parax = 3 obtm-se:

k=0_23_k(52)k=

k=0_53_k srie divergenteChristian Jos Quintana Pinedo 19Para os valores dex em que a srie de potncias convergente,a soma dene umafuno de varivelx.Potncias negativas no so permitidas em uma srie de potncias, por exemplo1 + x1+ x2+no considerada uma srie de potncia (embora seja uma srie de Laurent).Similarmente, potncias fracionais, tais como x1/2, nosoconsideradas sries depotncias (veja srie de Puiseux).Observao 1.6.Existem sries de potncias da forma:

k=0ak[(x)]k= a0 + a1[(x)] + a2[(x)]2+ a3[(x)]3+ + ak[(x)]k+onde(x) funo dex.Tal srie chamada desrie de potncia em(x).1.2.1 Raio de convergnciaO raio de convergnciar pode ser encontrado utilizando na srie dos mdulos corre-spondente, o critrio da razo ou outro critrio utilizado na determinao da natureza deuma srie numrica.Uma srie de potncias

k=0ak(x c)kpode convergir para alguns valores conforme osvalores tomados da varivel x, e pode divergir para outros. Sempre h um nmero r com0 r tal que a srie converge quando [x c[ < r e diverge para [x c[ > r.Denio 1.6.Intervalo de convergncia.Chama-se intervalo de convergncia da srie de potncias(1.7) ao subconjunto de Rde todos os valores para os quais a srie converge.O intervalo de convergncia e o domnio de convergncia so sinnimos quando estu-damos sries em R;isso no acontece com as sries em Rn, neste ltimo caso se estudadiscos ou esferas de convergncia, geralmente se entende como regio de convergncia.O intervalo de convergncia de uma srie de potncias pode ser de um dos seguintestipos(c r, c + r) ou [c r, c + r) ou (c r, c + r] ou [c r, c + r]isso depende da convergncia da srie nos extremos.20 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDenio 1.7.Raio de convergncia.Onmerorqueametadedocomprimentodointervalodeconvergnciadasrie(1.7) chamado de raio de convergncia da srie de potncias(1.7)Emcasos particularesr=+, logoasrie (1.7) converge emtodo R, paraocasor = 0 a srie de potncias s converge emx = c.O raio de convergnciar pode ser encontrado utilizando na srie dos mdulos corre-spondentes,o critrio da razo ou outro critrio utilizado na determinao da naturezade uma serie numrica.Tambmcostumedeterminarointervaloeoraiodeconvergnciardasriedepotncias

k=0ak(x c)kusando um dos seguintes procedimentos:1. Seak ,= 0, k N, isto a srie s tem potncias positivas de(x c), entor1=limkak+1ak(1.8)sempre que o limite exista.2. Se srie tem a forma

k=0ak(x c)kpondep N entor1=plimkak+1ak(1.9)e a sequncia dos expoentes3. Para o caso da srie de potncias (1.7) tiver coecientes iguais a zero, e a sequnciados xc que caram qualquer3, ento o raio de convergncia podemos determinarpela frmular1=limksup.[ak[1k(1.10)ou, equivalentemente,r =limkinf.[ak[1kna qual somente se usan valores deakdiferentes de zero. Esta frmula tambm til nos dois primeiros casos.4. Emtodos oscasos ointervalode convergncia pode-se determinaraplicandodireta-menteocritriodeDAlembertouodeCauchyaumasriedeterminadapelosvalores absolutos dos termos da srie inicial3Isto no forma uma P.G. como no caso anteriorChristian Jos Quintana Pinedo 21A srie converge absolutamente para [x c[ 0 existeM> 0 tal que [akxk1[ < 1 sempre quek MSe y tal que [y[ < [x1[ ento [akyk[ = [akyk

xk1yk[ = [akyk[[xk1yk[ < [x1y [kk M.4Dirichlet 1805 1859 nasceou na Alemanha. Foi educado na Alemanha e na Frana, onde foi alunodosmaisrenomadosmatemticosdapoca. Suaprimeirapublicaofoi sobreoltimoteoremadeFermatChristian Jos Quintana Pinedo 23Como a srie

k=0[x1y [kconverge, pois seu raior= [yx1[ < 1, e temos que

k=0[akyk[ [x2[.Demonstrao.Suponhamos que a srie

k=0akxkseja convergente, para algumx1 tal que [x2[ < [x1[,pela Propriedade (1.15) a srie converge quandox2. Isto contradio !Portanto, a srie

k=0akxkdiverge para todoy tal que [y[ > [x2[Propriedade 1.17.Seja a srie

k=0akxk, ento uma e somente uma das condies cumpre1. A srie converge s sex = 0.2. A srie converge absolutamente para todos os valores dex.3. Se r o raio de convergncia da srie, ento a srie converge absolutamente se [x[ < re diverge se [x[ > r.Demonstrao.1. Sex = 0, ento

k=0akxk= a0 + 0 + 0 + 0 + = a0, a srie converge.2. Suponhamos que a srie dada seja convergente para x = x1, onde x1 ,= 0, ento a srieconverge absolutamente para todox tal que [x[ < [x1[.Senoexisteoutrovalordexparaoqualasriedadasejadivergente, podemosconcluir que a srie converge absolutamente para todox3. Suponhamos que a srie dada seja convergente parax = x1, onde x1 ,= 0, e divergenteparax=x2onde [x2[ > [x1[, entopelaPropriedade(1.16)asriedivergeparatodosx tal que [x[ > [x1[.24 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisPortanto, [x2[ um limite superior do conjunto de valores de [x[ para o qual a srieconvergeabsolutamente. LogopeloAxiomadoSupremo5, esteconjuntotemumsupremo que o nmeror.Esta propriedade nada arma sobre a convergncia da srie nos extremos do intervalode convergncia. O intervalo de convergncia o maior intervalo aberto em que a srie convergente.A Propriedade (1.17) consequncia do seguinte TeoremaTeorema 1.1.de Abel.Sejay= x c, se temos a srie

k=0akyknas condies da Propriedade(1.4) ento:1. A srie converge somente quandox = c.2. Existe um nmeror>0 tal que a srie converge absolutamente para todox R talque [x c[ < r e diverge x R tal que [x c[ > r.Logo o intervalo de convergncia ser um dos intervalos:(c r, c +r), (c r, c + r], [c r, c +r), [c r, c + r]No teorema anterior, quando se verica o1ocaso tem- ser = 0 e quando se verica o2ocaso tem- ser = .UmdoscorolriosdoTeoremadeAbel ofatoqueparatodasriedepotnciasexiste um intervalo de convergncia [x c[ < r para o qual a srie de potncias convergeabsolutamenteeforadointervalodiverge. Nosextremosdointervaloistoemx=c r diversas sries de potncias se comportam de um modo diferente: umas convergemabsolutamente em ambos os extremos; outras convergem condicionalmente em ambos osextremos, o bem em um dos extremos convergem condicionalmente e no outro divergem;umas terceiras divergem em ambos os extremos.Exemplo 1.25.Determine o raio de convergncia de cada uma das seguintes sries:1.

k=0(1)kx2k2.

k=0x2k5k+13.

k=0(x 2)k2kk2.Soluo.1. r1=limkak+1ak =limk(1)k+1(1)k = 1 r = 1.A srie converge absolutamente se [x[0convergesempre

n=0anconverge.5. Determine os intervalos de convergncia para as seguintes series de potncias:1. 2x +83x3+325x5+1287x7+ 2.x12+x223+x322 4+x423 5+3. 1 x222+x42242 x6224262+6. Calcule o raio de convergncia das seguintes sries de potncias:1.

n=1_n2n + 1_2n1xn2.

n=1(1)n135(2n 1)246(2n)x2n3.

n=1_1 +1n_n2(x 1)n4.7. Encontre a regio de convergncia das seguintes sries de potncias:1.

n=1(x 3)nn5n2.

n=0(n + 1)52n + 1x2n3.

n=1nn + 1_x2_n4.

n=1(1)n+1x2n1(2n 1)!5.

n=12nxnn26.

n=1(x + 2)nLn(n + 1)7.

n=1Lnnn + 1(x 5)n8.

n=1n!xn9.

n=111 + x2n8. Determine o maior intervalo aberto em que a srie+

n=1(n!)2(2n)!xn convergente.9. Determine a convergncia da srie+

n=1_(n + 1)n2n + 1_ (x 2)n10. Mostre que a srie+

n=1x2(1 + x2)n convergente em R.28 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais11. Considere a srie de potncias

n0an+1n + 1xn+1; coma R+:1. Determine o raio de convergncia da srie e estude a sua natureza nos extremosdo intervalo de convergncia.2. Considere a srie numrica que se obtm fazendox = 3. Justique que existeum nico valor de a para o qual a srie numrica correspondente simplesmenteconvergente e determine-o.12. Considere a srie de potncias

k=1xk+3k + 31. Determine o maior intervalo onde a srie convergente.2. Representandopor f(x)asomadasriedada, escrevaodesenvolvimentodef

(x) em srie de potncias e determine a soma desta srie.3. Utilizando a parte 2. calcule a soma da srie dada.13. Determine o intervalo de convergncia das seguintes sries de potncias e estude asua natureza nos extremos de aquele intervalo:1.

n=1xn2n +n2.

n=12nxn1 + 2n3.

n=1[2 + (1)n]2n(x + 1)n4.

n=1(x 3)nn5.

n=1(x 1)n1 + n26.

n=1(1)n(n + 1)!2 4 6(2n)xn+17.

n=1(x + 5)n5n+18.

n=1(x + 3)2n(n + 1)4n9.

n=1(1)n(2n + 1)!(x 1)n10.

n=1(3x 1)n32n11.

n=112.

n=1Christian Jos Quintana Pinedo 291.3 Desenvolvimento em sries de potnciasSejaa um nmero real (no nulo) e considere-se a sequnciauk= ak, k N.Considere-se uma nova sequncia, obtida de uk, a qual designamos por Sn, de tal modoque para cada n a soma dos n +1 primeiros termos de uk, onde k = 0 at n N, isto ,Sn=n

k=0akEmbora imediato compreender o seu signicado (soma dosn + 1 primeiros termosda sequnciauk), tal como a sequnciaSn est escrita, no nos revela muito sobre o seucomportamento. Esta sequnciaSn limitada?, convergente?Tentemos ento escrev-la de outra forma.Sn= a0+a1+a2+a3+ +an1+an= a0+a(1 +a1+a2+a3+ +an1) = 1 +aSn1tambmSn= a0+a1+a2+a3+ +an1+an= (a0+a1+a2+a3+ +an1) +an= Sn1+andeste modoSn1 + an= 1 + aSn1 Sn1=1 an1 ase a ,= 1sabemos quelimn+an=_0 se [a[ < 1se [a[ 1Assim, limnSn1=___11 ase [a[ < 1 se [a[ 1.Portanto, S=

k=0ak=limn_n1

k=0ak_ =limnSn1=11 ase [a[ < 1Logodesenvolvemosf(x) =11 xemsriedepotnciasdexemtornodex=0,obtendo, para [x[ < 1, a soma

n=0xn.Deste desenvolvimento obtemos outros. Escrevamos ento o mesmo desenvolvimentomas em ordem a uma nova varively:11 y=

n=0ynse [y[ < 1 (1.11)30 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisSuponhamos que dada uma constantec, y= x c, ento podemos escreverg(x) =11 (x c)=

n=0(x c)nse [x c[ < 1Admitindo que no interior do intervalo de convergncia de uma srie de potncias dex, a derivada da srie igual srie das derivadas e que a primitiva da srie igual srie das primitivas. Isto vai-nos permitir obter desenvolvimentos em srie de potnciasdex como por exemplo para funesLn(1 + x) earctan(x).De fato, quandoy= x, na igualdade (5.12) tem-se11 + x=

n=0(1)nxnse [x[ < 1logo_11 + xdx =_

n=0(1)nxndx Ln(x + 1) =

n=0(1)nn + 1xn+1+C se [x[ < 1Quandoy= x2, na igualdade (5.12) tem-se11 + x2=

n=0(1)nx2nse [x2[ < 1logo_11 + x2dx =_

n=0(1)nx2ndx arctan x =

n=0(1)n2n + 1x2n+1+C se [x2[ < 11.3.1 A funo exponencialPodemos admitir que uma maneira de denir a funo exponencial :ex=+

n=01n!xn(1.12)quefazsentidoparatodonmeroxreal, oumelhor, comoasrie(5.38)emquestoconverge para todo nmero real x ento dene um funo de domnio R. A essa funodex chamamos funo exponencial dex.Lembrar que graas Propriedade (5.16), se existe o limite limn+an+1an = [r[ < 1Christian Jos Quintana Pinedo 31ento a srie de potncias+

n=0an(x c)nconverge absolutamente para todo x em (c r, c +r) e diverge para todo o x em (, c r) (c+r, +) a convergncia em x = r tem que ser averiguada para cada caso especcodean.Nesta abordagem informal,introduzamos a varivel xi na denio (5.38) acima deexponencial (ondei2= 1). Sabe-se que:i0= 1, i1= i, i2= 1, i3= i, i4= 1, i5= i, i6= 1, i7= i, assim,i2k= (1)k, i2k+1= (1)ki, k N. entoeix=+

n=01n!(xi)n=+

n=01(2n)!(xi)2n++

n=01(2n + 1)!(xi)2n+1eix=+

n=0(1)n(2n)! x2n++

n=0(1)i(2n + 1)!x2n+1lembrando queeix= cos x +isenx segue:cos x =+

n=0(1)n(2n)! (x)2ne senx =+

n=0(1)(2n + 1)!(x)2n+1(1.13)Comopodemosobservar, paradeterminarasomadesriesdepotncias, comumpartir de uma das seguintes sries:+

n=0xn=11 x, [x[ < 1 e+

n=0xnn!= exAtravs de processos como substituio de variveis, multiplicao, integrao e difer-enciao, efetuadosemambososmembrosdaigualdade, possvelchegarsriecujasoma queremos determinar.Exemplo 1.28.Calcular o limite L =limx02ex2 2x x2x senx.Soluo.32 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDas igualdades (5.38) e (1.13) em sries de potncias temosL =limx02ex2 2x x2x senx=limx02[

k=01n!xn] 2 2x x2x

n=0(1)(2n + 1)!(x)2n+1=L =limx02x33!+2x44!+x33! x55!+=limx023!+2x4!+13! x25!+= 2Portanto, L =limx02ex2 2x x2x senx= 2.1.4 Operaes com srie de potnciasCada srie de potncias

n=0anxndene uma funoff(x) =

n=0anxn(1.14)o domnio da funof o intervalo de convergncia da srie.Consequncia do Teorema de Abel (1.1) que qualquer funo denida por uma sriede potncias dex c, com raior> 0, indenidamente derivvel em(c r, c + r) e assuas derivadas podem ser calculadas derivando a srie termo a termo.Propriedade 1.18.Dada uma srie de potncias como em (1.14) cujo raio de convergncia r ,= 0, entosua funo derivada denida porf

(x)=+

n=1nanxn1em cada nmerox do intervaloaberto(r, r).A demonstrao exerccio para o leitor.Observao 1.7.Se o raio de convergncia da srief(x) =+

n=0anxnr> 0, entor tambm o raiode convergncia da srief

(x) =+

n=2n(n 1)anxn2Propriedade 1.19.Dada uma srie de potncias f(x) =+

n=0anxncujo raio de convergncia r ,= 0, entoChristian Jos Quintana Pinedo 33para [x[ < r tem-se:x_0f(t)dt =+

n=0x_0antndt =+

n=0ann + 1xn+1Demonstrao.Sejamf(x)=

n=0anxne g(x)=

n=0ann + 1xn+1ento pela Propriedade (1.18)g(t)tm o mesmo raio de convergncia def(t) eg

(x) = f(x). Comog(0) = 0, pelo teoremafundamental do clculo integral segue quex_0f(t)dt = g(x)

As Propriedades (1.18) e (1.19) apresentam vrios aspectos.Armam que f derivvele integrvel e implica que o raio de convergncia da srie derivada e integrada o mesmoraio de convergncia da srie original (no arma nada respeito dos extremos do intervalode convergncia).Exemplo 1.29.Obter uma representao em srie de potncias para1(x 1)2.Soluo.Sabemos pela igualdade (5.12) que11 x= 1 + x + x2+x3+ + xn+, se [x[ < 1 derivando respeito dex segue1(1 x)2= 1 + 2x + 3x2+ 4x3+ +nxn1+, se [x[ < 1Portanto,1(x 1)2=+

n=1nxn1.Exemplo 1.30.Vericar que ex=+

n=0xnn!.Soluo.34 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisSabe-se que sef(x) = ex, ento sua derivadaf

(x) = ex= f(x).Sejaf(x) =+

n=0xnn! f

(x) =+

n=1nxn1n!=+

n=1xn1(n 1)!=+

k=0xnn!= f(x)Portanto, ex=+

n=0xnn!. O teorema a seguir uma complementao das Propriedades (1.18) e (1.19).Teorema 1.2.Seja asrie

n=0an(x c)ncom raio de convergnciar,isto,asrie converge nointervalo aberto(a r, a + r). Ento, denindo f(x) =

n=0an(x c)ntem-se que:1. f(x) contnua em(c r, c + r).2. Existe f

(x) tal quef

(x) =

n=1nan(x c)n13. Existe h(x) tal queh(x) =_ _

n=0an(x c)n_dx =

n=0an(x c)n+1n + 1A demonstrao exerccio para o leitor.Exemplo 1.31.Determine uma representao em sries de potncias para oarctan xSoluo.Sabe-se que11 y= 1 + y + y2+ y3++ ynquando [y[ < 1. Considerary= t2,logox_011 + t2dt =x_0(1 t2+ t4t6+ + tn+ )dt, [ x2[ < 1arctan x = x x33+x55x77+x99x1111+, [x[ < 1Propriedade 1.20.Sejamf(x)=+

n=0anxne g(x)=+

n=0bnxnconvergentesem [x[ 00 se x 0Observe a derivadaf

(0) =limx0f(x) f(0)x 0=limx0e1/xxaplicando a regra de LHospital segue quef

(0) =limx0(1/x2)(2/x3)e1/x2=limx0x2e1x2= 0Pode-se seguir mostrando quef

(0) = 0, f

(0) = 0,f(n)(0) = 0 n NChristian Jos Quintana Pinedo 43Assim, uma srie em torno de uma vizinhana dex = 0 paraf(x) +

n=0f(n)(0)n!(x 0)n= 0 + 0x + 0x2+ 0x3+ ,= f(x)Isto nos indica que se exige de uma condio adicional como por exemplo limx0Rn(x) =0 para garantir a existncia da srie de Taylor.3apergunta: Qual a relao entre esta a srie de Taylor e a funofque usamos paracalcular os coecientes da srie?Na seo anterior procurou-se mostrar entre outros asuntos que funes transcendentes(no caso,exponencial,seno, coseno,logaritmo e arco de tangente) podem ser expressascomo sries de potncias (pelo menos em parte do seu domnio) e que as sries de potnciasso diferenciveis e integrveis termo a termo evidenciando assim a importncia de poderexprimir uma funo custa de uma srie de potncias.Exemplo 1.40.Determine o intervalo de convergncia da funof(x) = Lnx em potncias dex 1.Soluo.Sef(x) = Lnx, entof(1) = 0. As derivadasf

(x) =1x, f

(x) = 1x2, f

(x) =2!x3, fiv(x) = 3!x4em geralf(n)(x) = (1)n1(n 1)!xnde ondef(n)(1) = (1)n1(n 1)!.A srie de Taylor paraLnx da formaLnx = (x 1) (x 1)22+(x 1)33+ =

k=1(1)k1(x 1)kkPara determinar o raio de convergncia: r1=limnan+1an =limn1(n + 1) n1 = 1.A srie converge se [x 1[ 1. Quando [x 1[ =1,parax = 0 diverge, parax = 2 converge.Portanto, a srie converge no intervalo(0, 2].Exemplo 1.41.44 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDada a funo de Bessel de ordem zero J0(x) =

k=0(1)kx2k22k(k!)2, determine seu domniode convergncia.Soluo.Tem-se que r1=limkak+1ak =limk(1)k+122(k+1)((k + 1)!)2 22k(k!)2(1)k =limk122(k + 1)2 =0, logor = +, converge em todo R.Quandok=0 S0=1, quando0 k 1 S1=1 x24 , quando0 k 2 entoS2= 1 x24+x464, logoS3= 1 x24+x464 x626(3!)A Figura (1.3) mostra as aproximaes para a funo de Bessel, a Figura (1.4) mostrao grco da funo de Bessel.Figura1.3: Aproximaesparaafunode BesselJ0(x) Figura 1.4: A funo de BesselJ0(x)Exemplo 1.42.Sejaq Q+algum nmero, determine o intervalo de convergncia da funog(x) =(1 + x)qem potncias dex.Soluo.Tem-se que ak-sima derivada deg dada porg(k)(x) = q(q 1)(q 2)(q 3)(q k + 1)(1 + x)qkportanto, a srie de MacLaurin desta funo chamada srie binomial dada porg(x) = (1 + x)q= 1 + qx +q(q 1)2!x2+q(q 1)(q 2)3!x3+ + +q(q 1)(q k 1)k!xk+ =

k=0CkxkondeCk=q(q 1)(q 2)(q k 1)k!.Christian Jos Quintana Pinedo 45Quandoq seja um inteiro no negativo ento a srie binomial converge.Para determinar o raio de convergncia: limnan+1an =limnCn+1Cn =limna nn + 1=1.A srie converge se [x[ < 1 e diverge se [x[ 1.Portanto o raio de convergncia r = 1 Observe que para o caso da funoh(x) = (b + x)qpodemos fatorar o nmerob paraobter(1 + x)q. Assim por exemplo podemos determinar a srie binomial para 9 + x =31 + y substituindoy porx3.Retomando o assunto em discusso, seria desejvel que a srie de Taylor convergissepara a funo que lhe deu origem, pelo menos em alguma vizinhana dex = c.46 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisChristian Jos Quintana Pinedo 47Exerccios 1-21. Desenvolver em sries de potncias dex2a frao f(x) =x4x4+ x222. Desenvolver em sries de potncias dex a frao f(x) =x + 2x2+x + 1.3. Sejaf(x)=11 x. 1. Desenvolva em srie de potncias dex a funoxf

(x),indicandoorespectivointervalodeconvergncia. 2. Utilizeodesenvolvimentoobtido em 1. para mostrar que+

k=1k2k= 2.4. Desenvolva em srie de potncias de x as seguintes funes:1. f(x) =1(1 + x)22. f(x) =1(x 1)(x 2)3. f(x) = arctan x4. f(x) = Ln_1 x1 + x5. f(x) =1(1 x)26. f(x) =2x(1 2x)25. Considere a srie de potncias

k=1(1)k(1 1k)kxk. 1. Determine o conjunto dospontos onde a srie convergente. 2.Seja f(x) a funo denida pela srie anterior.Determine o domnio da funog(t) = f(1 2t)6. Considereafunof(x)=x31 + x2. Desenvolvaf(x)emsriedepotnciasdex,determine o respectivo intervalo de convergncia e calcule o valor def(9)(0)7. Desenvolva as seguintes funes em srie de Taylor, na vizinhana do ponto a indi-cado, e determine o maior intervalo aberto de R onde a srie representa a funo:1. x2ex, c = 0 2. 1x, c = 1 3. sen2x, c = 04. Lnx, c = 1 5.x, c = 1 6.2(x + 1)(x + 2), c = 08. Considere a srie de potncias+

k=1(x + 1)kk3k1. Determine em que pontos a srie converge absolutamente e em que pontos con-verge simplesmente.2Sendof(x)afunodenidaporaquelasrienospontosondeconvergente,calculef

(1); f

(1) e escreva a srie de Taylor defno pontox = 1 da funox +f

(x)48 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais9. Diga, justicando, se so verdadeiras ou falsas as seguintes proposies:1. Se+

k=1akxktem raio de convergncia1/2 ; ento+

k=1ak convergente.2. Se+

k=1akxktem raio de convergncia2; ento limk+ak= 0.10. Estude, para os diferentes valores dex, a natureza das sries:1.+

k=1(x 4)k(k + 1)3k+12.+

k=1xkk(k + 2)2k11. Determine o domnio de convergncia da srie de potncias+

k=1(1)k5k(k + 2)(x + 2)k12. Considereasriedepotncias+

k=1(1 x)k_kk + 1_k. (1.) Determineomaiorsubconjunto de R para o qual a srie convergente e indique se existem pontos paraos quais a srie simplesmente convergente. (2.) Sendof(x)=+

k=1(1 x)kkk + 1no intervalo de convergncia desta srie, determinef

(x).13. Considereasriedepotncias+

k=1(x + 3)k2k+ 1. (1.) Determineomaiorsubcon-juntode Rparaoqualasrieabsolutamenteconvergente. (2.) Sendof(x)=+

k=1(x + 3)k2k+ 1denida no intervalo de convergncia desta srie, determine a primitivadef(x) que parax = 3 toma o valor2.14. Expresseafuno1(1 x)2comosomadeumasriedepotncias. Emseguida,encontre a soma da srie numrica

n=1n2n15. Obtenha o desenvolvimento em srie de potncias da funof(x) abaixo em tornodo ponto a indicado.1. f(x) =1(x 2)(x 3), a = 0 2. f(x) = senhx, a = 03. f(x) = sen2x, a = 0 4. f(x) = senx cos x, a = 05. f(x) = Lnx, a = 1 6. f(x) = cos x, a = /3Christian Jos Quintana Pinedo 491.6 Frmula de TaylorDada uma funof: R R ea-xoa R, a frmula de Taylor tem como objetivodecompor o valor f(x+a) da funo f(x) como uma soma de outras duas funes Tn(x) eRn(x), onde Tn(x) um polinmio de grau arbitrrio n, e Rn(x) um termo complementar.Denio 1.11.Funo analtica.Umafunofdiz-seanalticanumpontox=c,doseudomnio,sefasomadeuma srie de potncias dex em alguma vizinhana dec. Isto , se existe uma sequnciaak tal que, para algum > 0.f(x) =

k=0ak(x c)kpara todox (c , c + )Logo, uma funofque pode ser representada por uma srie de potncias podemosdizerqueumafunoanaltica. Assim, esabendoqueumasriedepotnciaspodeser diferenciada termo a termo no interior do seu intervalo de convergncia, osakso asn-simas derivadas defemx = c multiplicadas porn!, e esta representao em sries depotncias para uma funo analtica nica.Portanto, funes analticas num pontox=c so indenidamente diferenciveis emx = c.Exemplo 1.43.A funof(x) =11 x analtica no pontox = 0.A3apergunta que fazemos acima pode agora reformular-se da seguinte maneira:4apergunta: Ser que todas as funes indenidamente diferenciveis num pontox = cso analticas emx = c?A resposta no!Nemtodas as funes quesoindenidamentediferenciveis soanalticas, comomostrado na seo anterior para a funof(x) =_e1x2se x ,= 00 se x = 0Estafunoindenidamentediferencivel emqualquerx, comtodasasderivadasnulas emx = 0. Conseqentemente sua srie de Taylor gerada porfemx = 0 :+

n=00xn=+

n=00 = 050 Sries de Potncias e Equaes Diferenciaisa srie converge para todox R, porm converge paraf(x) somente quandox = 0.Assim, f(x) no podemos escrever como uma srie de potncias para todox no seudomnio. Isto ,f(x) s nula emx=0, onde a srie de MacLaurin defno convergepara a funo em nenhuma vizinhana dex = 0.Denio 1.12.Diz-sequefdesenvolvvel emsriedeTaylornumpontox=csefasomadasua srie de Taylor em alguma vizinhana dex = c.5apergunta: Como reconhecer as funes indenidamente diferenciveis num ponto x =c que so analticas nesse pontox = c ?O seguinte resultado d um critrio para as distinguir:Teorema 1.3. Condio suciente de Desenvolvimento em Srie de Taylor.Sejafumafunoindenidamentederivvel nointervalo(c , c + )paraaqualexiste uma constanteMtal que k 0, x (c , c + ) [f(k)(c)[ MEnto, neste intervalo,f soma da srie de Taylor no pontox = c, isto ,f(x) =

k=0f(k)(x)k!(x c)k x (c , c + )Nota: Para aplicar este teorema temos que majorarfe todas as suas derivadas, em(c , c + ), pela mesma constante.A demonstrao do teorema exerccio para o leitor. OTeorema(1.3)podemosinterpretarcomoque, seumafunoindenidamentediferencivel e tem todas as suas derivadas globalmente limitadas em alguma vizinhanadex = c, ento, nessa vizinhana dec, a funo igual a sua srie de Taylor.Exemplo 1.44.As funes (indenidamente diferenciveis) senx e cos x so tais que as suas derivadasso sempre um das seguintes funes: senx, cos x, senxou cos x.Os mdulos de tais funes, [senx[ e [ cos x[, so limitados por1, qualquer que sejax RPropriedade 1.22.Seumafunofasomadeumasriedepotncias

k=0f(k)(x)k!(x c)k, emumavizinhana de um pontox = c, esta srie coincide com a srie de Taylor defemx = c.Isto , para qualquern > 0, tem-sean=f(n)(c)n!.Christian Jos Quintana Pinedo 51A demonstrao do teorema exerccio para o leitor. Assim conclumos que uma funof analtica num pontox=c se e s se desen-volvvel em srie de Taylor no pontox = c.Esta Propriedade (5.17) permite garantir que uma certa srie a srie de Taylor deumafunonumpontoemostrarqueafunosomadessasrie, recorrendoade-senvolvimentos conhecidos e/ou aos resultados sobre derivao e integrao de sries depotncias.Uma pergunta natural :6apergunta: Se a funofno for indenidamente diferencivel emx = c?Isto , sefs admitirn derivadas no pontox = c?Se a funofda igualdade (1.17) admitir derivadas contnuas no pontox=c, at aordem n, as duas funes f(x) e Tn(x) e suas primeiras derivadas tendero para o mesmolimite quandox c, e ser natural considerarTn(x) como o valor aproximado def(x),quandox tenha pequeno valor absoluto. Assim temos quef(x) = Tn(x) + Rn(x) (1.20)ondeTn(x) um polinmio de grau arbitrrion N+emx c dado em (1.17) e Rn(x) um termo complementar.Ento vale a frmula de Taylorf(x) = f(0) +f

(0)1x +f

(0)2!x2+f

(0)3!x3+ +f(n)(0)n!xn+ Rn(x)ondeRn(x) uma funo dex tal quelimxcRn(x)(x c)n= 01.6.1 Resto de um Polinmio de TaylorNas aplicaes da srie de Taylor,torna-se impossvel computar todos os termos dasrie. O que se faz considerar somente um nmero nito deles.Se a srie (1.17) truncada aps on-simo termo, obtemos a aproximao (1.20)O erro que se obtm nesta aproximao constitui o erro de truncamentoRn(x), apre-sentado na igualdade (1.20).Um dos problemas mais importantes do Clculo Numrico a estimativa do erro detruncamento, sem o conhecimento do qual a aproximao dada pela igualdade (1.17) nofaz qualquer sentido.52 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisPrecisamos de uma medida da preciso na aproximao do valor de uma funof(x)por seu polinmio de Taylor Tn(x). Podemos usar a idia de um resto Rn(x) denido pelaigualdade (1.20).O valor absoluto [Rn(x) = Tn(x) f(x)[ chamado de erro associado aproximao.Vejamos como possvel estimar o erro de truncamento Rn(x). Seja f(x) uma funocontnua em x para a qual as derivadas f

(x), f

(x), f

(x), , f(n)(x), f(n+1)(x) existemnum dado intervaloa x b. Satisfeitas estas condies, logo formalmente vem quex_af(n+1)(t)dt = f(n)(t)xa= f(n)(x) f(n)(a)x_ax_af(n+1)(t)(dt)2=x_a[f(n)(x) f(n)(a)]dt = f(n1)(x) f(n1)(a) f(n)(a)(x a)x_ax_ax_af(n+1)(t)(dt)3= f(n2)(x) f(n2)(a) f(n1)(a)(x a) f(n)(a)(x a)22integrando assim sucessivamentex_a

x_af(n+1)(t)(dt)n+1= f(x)f(a)f

(a)(xa)f

(a)(x a)22f(n)(a)(x a)nn!f(x) = f(a)+f

(a)(xa)+f

(a)(x a)22++f(n)(a)(x a)nn!+x_a

x_af(n+1)(t)(dt)n+1comparando com a igualdade (1.20) vem que o erro cometido quando se considera apenasosn + 1 primeiros termos da srie Rn(x) =x_a

x_af(n+1)(t)(dt)n+1Sejam m1e m2 respectivamente os menor e maior valores de f(n+1)(x) para a t x,assimx_a

x_am1(t)(dt)n+1x_a

x_af(n+1)(t)(dt)n+1x_a

x_am2(dt)n+1isto conduzm1

(x a)n+1(n + 1)! Rn(x) m2

(x a)n+1(n + 1)!Christian Jos Quintana Pinedo 53assim, existe (a, x) tal queRn(x) =f(n+1)()(n + 1)!(x a)n+1(1.21)Esta ltima identidade conhecida como Frmula de Lagrange. No sendocon-hecido explcitamente, o emprego desta frmula ca limitado a estimativa do valor maisdesfavorvel do erro de truncamento[Rn(x)[ M(n + 1)!(x a)n+1(1.22)onde o valor deM o valor mximo absoluto de [f(n+1)()[, a x.Observao 1.8.i)O erro cometido ao aproximar f(x) pelo polinmio de Taylor Tn(x) inferior a [Rn(x)[da desigualdade(5.39)ii)Considerandox a = h na equao(5.13)Rn(h) =f(n+1)(a + th)(n + 1)!hn+1, 0 t 1 (1.23)Sem considerarmos o termo f(n+1)(a+th), que muitas vezes no varia substancialmentecom h e n , a igualdade (1.23) nos mostra que quanto menor [h[ e quanto maior n, menorser o valor de [Rn(h)[.Logo verica-se a seguinte propriedade.Propriedade 1.23. Resto de Lagrange.Sob as condies do Teorema(1.3) o resto da frmula de Taylor podemos escrever naformaRn(h) =hn+1(n + 1)!f(n)(a + th) onde. 0 < t < 1 (1.24)A demonstrao exerccio para o leitor.Exemplo 1.45.Para o exemplo (1.40) determine: a)Ln0, 8 para [[ < 0, 01, onde o erro absoluto.Soluo.Calculamos noExemplo(1.40) que f(n)(x) =(1)n1(n 1)!xn, entof(n+1)(x) =(1)n(n)!x, assim na igualdade (1.24)Rn(h) =hn+1(n + 1)! (1)n n!(1 + h)n+1onde. 0 < t < 154 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisComo0 x 1 e queremosLn 0, 8 consideremosh = 0, 2 de onde[Rn(0, 2)[ (0, 2)n+1(n + 1)

1(1 0, 2)n+1=(0, 25)n+1n + 1< 1resulta, por tentativas, quen 2. Portanto, vem da srie obtida no exemplo (1.40) queLn 0, 8 = 0 + (0, 2) +(0, 2)22!com erro [[ < 0, 01A condio de que uma funo que seja indenidamente diferencivel num certo inter-valo seja analtica , evidentemente, que o resto da frmula de MacLaurin para todo valorxo dexno intervalo tendaa zero quandon +, isto , sendoa srie convergentelimn+Rn(x) = 0.Exemplo 1.46.1. ex= 1 + x +x22!+x33!+ +xnn!ex(0 < x < 1)2. senx =x1! x23!+x55! x77!+ +xnn!sen(x + n2) (0 < < 1)3. cos x = 1 x22!+x44! x66!+ +xnn!cos(x +n2) (0 < < 1)Considerandooresto,nostrscasos podemosobservarqueestesrestostendemparazeroparaqualquervalorxode x R. AstrsfunessoportantoanalticasemReas sries innitas queseobtmdas frmulas acimaquando n+soseusdesenvolvimentos em srie.Teorema 1.4.de Roche-Schl omilch.Se f(x) admitir derivadas contnuas at a ordem n no intervalo I= [a, b] considerandob a=heumaderivadanicadeordemn + 1nointervaloaberto(a, b),entonesteintervalo aberto existe ao menos um valorc parax tal queRn(c) =hk(b c)n+1kn!f(n+1)(c); k N (1.25)Demonstrao.SejaA uma constante denida pela igualdadef(b) = Tn(h) + Ahk(1.26)suponhamos(x) = f(x) + (b x)f

(x) +(b x)22!f

(x) + +(b x)nn!f(n)(x)Christian Jos Quintana Pinedo 55e consideremos a funo auxiliar(x) = (x) Tn(h) + A(b x)k(1.27)Quandox=atem-seque, (a)=Ahke(b)=f(b) Tn(h)=AhkecumpreascondiesdoTeoremadeRollenointervalo(a, b). Logoexisteumc (a, b)tal que

(c) = 0, isto

(c) =

(c) kA(b c)k1= 0ento(b c)nn!f(n+1)(c) kA(b c)k1= 0 A =(b c)n+1kn!kf(n+1)(c)Logo, das igualdades (1.25) e (1.26) segue queRn(c) = f(b) Tn(h) = Ahk=hk(b c)n+1kn!kf(n+1)(c)Observe que, para c (a, b) existe t (0, 1) tal que c = a+t(ba) = a+th e podemosescrever o resto do polinmio de Taylor (1.25) na formaRn(c) =hn+1(1 t)n+1kn!kf(n+1)(a + th) (1.28)Teorema 1.5.de Taylor.Seffor derivvel at a ordemn +1 em um intervalo abertoIcontendoc, ento paracadax emIexiste um nmeroa entrex ec tal quef(x) = f(c) + f

(c)1(xc) + f

(c)2!(xc)2+ f

(c)3!(xc)3+ + f(n)(c)n!(xc)n+Rn(x)ondeRn(x) uma funo dex tal queRn(x) =f(n+1)(a)(n + 1)!(x c)n+1A demonstrao do teorema exerccio para o leitor. Propriedade 1.24.Se f(x)admitirderivadascontnuasataordemnnointervaloI =[a, b] eumaderivada de ordemn + 1 integrvel nesse intervalo, ento fazendob a = hRn(h) =h_0xnn!f(n+1)(b x)dx (1.29)56 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisDemonstrao.Param < n + 1 integrando por partesI=h_0xm1(m1)!f(m)(b x)dx =xm(m)!f(m)(b x)h0+h_0xmm!f(m+1)(b x)dxisto I=h_0xm1(m1)!f(m)(b x)dx =hmm!f(m)(a) +h_0xmm!f(m+1)(b x)dxComom = 1, 2, 3, , n 1, n somando os resultados, obtm-seh_0f

(b x)dx =n

m=1hmm!f(m)(a) +h_0xnn!f(n+1)(b x)dxf

(b x)h0=n

m=1hmm!f(m)(a) +h_0xnn!f(n+1)(b x)dxf(b) = Tn(h) +h_0xnn!f(n+1)(b x)dxPortanto,Rn(h) =h_0xnn!f(n+1)(b x)dx.Exemplo 1.47.Afuno f(x)=3x11temderivadascontnuasataordemtrsemtodoR, logoquandoc = 8 a frmula de Taylor fornece a igualdadef(x) = f(8) + f

(8)(x 8) +f

(8)2!(x 8)2+x_8(x t)f

(t)dt3x11= 2048 +28163(x 8) +281618(x 8)2+44027x_8(x t)3t2dtTeorema 1.6.Estimativa do Resto.Se existirem constantes positivasMer tais que [f(n+1)(t)[ Mrn+1para todot entrec ex, inclusive, ento o restoRn(x) no Teorema de Taylor(1.5) satisfar a desigualdade[Rn(x)[ M rn+1[x c[n+1(n + 1)!Christian Jos Quintana Pinedo 57A demonstrao do teorema exerccio para o leitor. Observe que, se essas condies forem vlidas para todo n e todas as outras condiesdo Teorema de Taylor forem satisfeitas porf, ento a srie convergir paraf(x) e o errocometido ao aproximarf(x) pelo polinmio de Taylor menor do que [Rn(x)[.Exemplo 1.48.UseopolinmiodeTaylorparaaproximar cos 750eestimeaprecisodaaproxi-mao.Soluo.Observe que70o= 60o+ 15o=3+ 15180. Sejaf(x) = cos x, logof(3) =12f

(3) =32, f

(3) = 12, f

(x) = senx. O polinmio de Taylor at a segunda ordem T2(x) =12 32(x 3) 122!(x 3)2T2(3+15180) =12 32(15180) 122!(15180)2= 0, 256134 cos 75o= 0, 256134Para estimar a preciso, considere[R2(x)[ =f

()3!(x 3)3 =sen3!(x 3)3onde est entre3ex. Como [f (x)[ 1, segue[R2(3+15180)[ =sen3!(x 3)313!(15180)3 0, 002990Assim, cos 75o=256134 tem preciso de trs casas decimais. Para o caso de querermaior pr3eciso, devemos determinar um maior valor para n de modo que [Rn(3+ 15180)[esteja dentro do intervalo desejado.Observao 1.9.1. As funes como o resto de ordemn,Rn(x), que quando divididas por outra funo etomando o limite quandox tende para um certoc se obtm0, tm uma designaoespecial:f(x) = (g(x)), x c limxcf(x)g(x)= 0(leia-se f(x) o pequeno deg(x) quandox tende ac)58 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisAssim, podemos escreverRn(x) = ((x a)n), x c2. Se f for n+1 vezes diferencivel em c tem-se a seguinte frmula para o resto (conhecidapor frmula do resto de Peano):Rn(x) =(x c)n+1(n + 1)!_f(n+1)(c + n(x)_onden(x) uma funo dex tal que:limxcn(x) = 0Exemplo 1.49.Determine o valor numrico do nmero de Nepere.Soluo.Sabe-seque, dadoy =ex, suasderivadasdn+1dxn+1ex=ex, entoseRnorestodeLagrange (??) segueex=

k=0xkk! e1=n

k=01n!+ Rnonde Rn=et(n + 1)!, 0 < t < 1Por exemplo, quandon = 9, os nove primeiros termos do nmeroe com um erroR9=et10! 02. Sen mpar,ftem ponto de inexo emx = c.A demonstrao exerccio para o leitor.1.8.3 Outra denio para a derivadaDadafdiferencivel num pontox = c, podemos escrever a sua frmula de Taylor deordem1 (um) relativamente a esse pontoc:f(x) = f(c) + f

(c)(x c) + R1(x) onde lim R1(x)x c= 0Suponhamosagoraque, dadaumafunofdenidaemumavizinhanadex=c,existe um nmero real e uma funoR1(x) tal quef(x) f(c) = (x c) + R1(x) f(x) f(c)x c=(x c) + R1(x)x c= +R1(x)x a64 Sries de Potncias e Equaes Diferenciaise portantolimxcf(x) f(c)x c= limxc_ +R1(x)x a = + limxcR1(x)x a= ou sejaf diferencivel emc comf

(c) = .Mostramos ento quef diferencivel emx = c, equivalente a dizer que existe umnmero real, chamemos- lhe, e uma funoR1(x), tal quef(x) = f(c) + (x c) + R1(x) onde lim R1(x)x c= 0Reescrevendo esta expresso na formaf(x) f(c) = (x c) + R1(x) onde lim R1(x)x c= 0podemos dizer desta funo quef(x) f(c) aproximadamente linear emx c.f(x) f(c) (x c)e que essa aproximao tanto melhor quandox estiver mais prximo dex=c, j queR1(x) tende para zero mais rpidamente quex tende parac. Dito de outra forma ainda,a distnciadef(x) af(c) , aproximadamente, uma funo linear da distnciadexatc.1.9 Srie de Taylor em vrias variveisA srie de Taylor pode tambm ser denida para funes de RnR.1.9.1 Para duas variveisDenio 1.14.Seja a funof: R2R diferencivel at a ordemn+1 em qualquer pontoP0(a, b)de um domnioD(f), ento para qualquer o pontoP(x, y) 1(a, b) vlida a frmula deTaylor:f(x, y) = f(a, b) +11![(x a)fx(P0) + (y b)fy(P0)] +12![(x a)2fxx(P0) ++2(x a)(y b)fxy + (y b)2fyy] +13![(x a)3fxxx(P0) + 3(x a)2(y b)fxxy(P0) +(1.31)+3(x a)(y b)2fxyy(P0) + (y b)3fyyy(P0)] + +1n![(x a)x+ (y b)fy]nf(P0) + RnChristian Jos Quintana Pinedo 65Isto f(x, y) =2

k=01k!_k

j=0k!j!(k j)! kfxkjyj(P0)(x a)kj(y b)j_+ R2(x, y) (1.32)Sef diferencivel at a ordemn + 1 no ponto(a, b), entolimxaybRn(x, y)(_(x a)2+ (y b)2)n= 0 (1.33)Para o caso particulara = b = 0 a frmula (5.14) tem a formaf(x, y) = f(0, 0) +11![xfx(P0) + yfy(P0)] +12![x2fxx(P0) + 2xyfxy + y2fyy] +13![x3fxxx(P0) ++3x2yfxxy(P0) + +3xy2fxyy(P0) + y3fyyy(P0)] + +1n!_x x+ y fy_nf(P0) + (2) (1.34)onde =_x2+ y2.Esta ltima frmula a Frmula de MacLaurin.Exemplo 1.53.Desenvolver em srie de Taylor a funof(x, y) = x2Lnyem torno do pontoP(1, 1)at os termos de segunda ordem inclusive.Soluo.Tem-sefx(x, y) = 2xLny, fy(x, y) =x2y, fxx(x, y) = 2Lny, fyy(x, y) = x2y2, fxy(x, y) =2xyf(1, 1) = 0, fx(1, 1) = 0, fy(1, 1) = 1, fxx(1, 1) = 0, fyy(1, 1) = 1, fxy(1, 1) = 2Pela frmula (5.14)de Taylor tem-se no desenvolvimentof(x, y) = 0+ 11![(x1)0+(y1)1]+ 12![(x1)20+2(x1)(y1)0+(y1)2(1)]+(2)onde =_(x 1)2+ (y 1)2.Exemplo 1.54.Desenvolver em srie de Taylor a funof(x, y)=x2 xy 2y2 3x + 4y + 8emtorno no pontoP(1, 3).Soluo.66 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisObserve quef(1, 3) = 21. Calculemos as derivadas parciaisfx= 2xy3, fy= x4y+4, fxx= 2, fyy= 4, fxy= 1,kfxki yi= 0, k 3fx(1, 3) = 2, fy(1, 3) = 15, fxx= 2, fyy= 4, fxy= 1kfxki yi(1, 3) = 0, k 3Pela frmula (5.14) seguef(x, y) =2

k=01k!_k

j=0k!j!(k j)! kfxkjyj(1, 3)(x 1)kj(y + 3)j_+ Rn(x, y)f(x, y) = f(1, 3) +_fx(1, 3)(x 1)1+ fy(1, 3)(y + 3)1++ 12!_fxx(1, 3)(x 1)2+ 2fxy(1, 3)(x 1)(y + 3) + fyy(1, 3)(y + 3)2+ 0f(x, y) = 21 +_(2)(x 1) + (15)(y + 3)1++ 12!_(2)(x 1)2+ 2(1)(x 1)(y + 3) + (4)(y + 3)2+A srie de Taylor pedida :f(x, y) = 21 + 2(x + 1) + 15(y + 3) + (x 1)2(x 1)(y + 3) 2(y + 3)2+ Rn(x, y)Para mais de duas variveisNesse caso, tem-se que a srie de Taylor defem torno do pontoP(x01, x02, x03, , x0n) dada por:f(x1, x2, x3, , xn) =

k01k!_n

i=1fxi(P)(x x0i)_konde_fxi(P)_kdenotakfxki(P), assim tem-se_n

i=1fxi(P)(xx0i)_k=

iN,n

i=1i=k_k!1!n!

kfx11 xnn(P)(x1x01)1 (xnx0n)n_Christian Jos Quintana Pinedo 67Exerccios 1-31. Determine as constantesa0, a1, a2, a3e a4 de modo que3x417x3+35x232x +17 = a4(x 1)4+a3(x 1)3+a2(x 1)2+a1(x 1) +a02. Determine uma srie de potncias dex + 1 para a funof(x)=e2x, e uma sriede potncias dex 1 para a funog(x) = Lnx.3. Uma funof(x) tem as seguintes propriedades: f(x) > 0, x R, f

(x) =2xf(x), x Re f(0) =1. Acharumasriedepotnciasquerepresenteafunof(x).4. Idem ao exerccio 3 para uma funo g(x) com as propriedades: g(0) = 0, g

(0) = 1e g

(x) = g(x), x R.5. Desenvolva as seguintes funes em srie de Taylor no ponto x = 1 e indique o maiorintervalo aberto em que a srie representa a funo:1. f(x) =1x22. f(x) =Lnx(x 1)26. Represente1(1 x)2numa srie de MacLaurin para [x[ < 1.7. Sendog(x) =14 + x2, desenvolvaemsriedepotnciasdex cfunog

(x)eindique o maior intervalo aberto em que o desenvolvimento vlido.8. DesenvolvaemsriedeMacLaurinafunof(x) =Ln1x + 2eindiqueomaiorintervalo aberto em que esse desenvolvimento vlido.9. Vericar quex_0et2dt =+

(1)n(2n + 1)n!x2n+1.10. Dadof(x) =+

n=1sennxn3, vericar que_0f(x)dx = 2

n=11(2n 1)4.11. Considere a funof(x)=arctan(x2). 1. Escreva o desenvolvimento em srie deMacLaurin def

(x), indicando o maior intervalo aberto onde esse desenvolvimento vlido. 2. Usando a item anterior, calculef

(12) + f

(0).12. Dadoumk Z+considereak-simaderivadadaFunodeBessel deprimeiraespcieJk(x), denida porJk(x) =+

n=0(1)nn!(n + k)!_x2_2n+k68 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais1. Determine o raio de convergncia desta srie.2. Mostrequeoerrocometidoaoaproximar Jk(x), 0 x 1, pelopolinmio1 x24+x464 x62304 inferior a105.3. Vericar queJ

0(x) = J1(x) e_x3J2(x)dx = x3J3(x)13. Encontreumaexpansoemsriedepotnciasdexparax2ex, logoderiveesteresultado para provar que+

n=2(1)n(n + 2)2nn!= 8.14. Ache a srie de MacLaurin para f(x) =___1 cos xxse x ,= 00 se x = 0e indique o raiode convergncia.15. calcular limx0x arctan xx2.16. calcular limx01 cos xex1 x.17. calcular0,2_0senxxcom preciso at0, 0001.18. calcular0,1_0ex1xcom preciso at0, 001.19. Determine o grau do polinmio de TaylorPn(x), expandido em torno dex = 1, demodo que o resto da aproximao deLn(1, 2) seja menor do que0, 00120. Desenvolver pela frmula de MacLaurin at os termos de terceira ordem, inclusive,a funof(x, y) = senhy cos x.21. Desenvolver pela frmula de MacLaurin at os termos de quarta ordem, inclusive,a funog(x, y) = eysenx.22. Determine a srie de Taylor da funoex1xem torno dea = 0.23. Por diferenciao termo a termo da srie de potncias do exerccio 22 , mostre que

n=1n(n + 1)!= 1Christian Jos Quintana Pinedo 6924. Calcule as seguintes integrais com erro inferior a104:1.1/2_0senx2dx 2.1_1/2senxxdx 3.1/3_0dx1 + x44._0q cosxdx 5. 6.25. Use sries de potncias para calcularLn(1, 2) earctan 14, com erro inferior a104.26. Derivando termo a termo duas vezes uma srie de potncias que representa a funoex2, mostre que+

n=1(1)n+1(n + 2)n!2n= 127. DetermineopolinmiodeTaylordeordemmdasfunesseguintesnospontosindicados.1. f(x, y) =12 + x 2y, m = 2, (x0, y0) = (2, 1)2. f(x, y) = cos(x + seny), m = 2, (x0, y0) = (0, 0)3. f(x, y) = ex+2y, m = 3, (x0, y0) = (0, 0)4. f(x, y) = yx, m = 2, (x0, y0) = (1, 1)28. Desenvolva em srie de potncias dex a funof(x) =23 + 4x3.29. Calcular1_01 x3dx com quatro casas decimais.30. Calcular1_0senx2dx com cinco casas decimais.70 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisCaptulo 2Equaes diferenciais de1aordem.L. EulerLeonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707 Basilia naSua e Faleceu em 18 de setembro de 1783 em So PetersburgonaRssia. Eulerampliouasfronteirasdageometriaanalticae da trigonomtria modernas deu contribuies decisivas para ageometria, o clculo e a anlise numrica.Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seusestudosparaaMatemticaajudadopelapersuasodeJohannBernoulli, que intercedeujuntoaseupai. JohannBernoullitornou-se ento seu professor.Euler ingressou na Academia de Cincias de So Petersburgoem 1727, dois anos aps a sua fundao por Catarina I. Em SoPetersburgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professorde Fsica na academia em1730,e professor de Matemtica em1733. Neste mesmo ano ele casou-se e deixou a casa de JohannBernoulli. Deste casamento Euler teve 13 lhos, dos quais apenas cinco sobreviveram primeirainfncia. Elecostumavadizerquealgumasdesuasmaioresdescobertasforamfeitasenquantosegurava um beb nos braos, tendo os outros lhos brincando em suas pernas.A publicao de diversos artigos e de seu livro Mechanics(1736 37) - no qual apresentavapela primeira vez a dinmica Newtoniana na forma de anlise matemtica - iniciaram Euler noscaminhos de um trabalho matemtico mais incisivo.Em1741, porconvitedeFredericooGrande, Eulerassociou-seAcademiadeCinciadeBerlim, onde ele permaneceu por vinte e cinco anos. Neste perodo em Berlim ele escreveu cercade200artigos, trslivrosdeanlisematemtica, eumapublicaocientcapopular, Cartaspara uma princesa da Alemanha(3 volumes, 1768 72).Em 1766 Euler voltou Rssia e perdeu a viso do olho direito aos 31 anos e logo aps re-tornar a So Petersburgo cou quase inteiramente cego aps uma operao de catarata. Graas sua formidvel memria ele foi capaz de continuar seus trabalhos em tica, lgebra e movimen-toslunares. Surpreendentementeaps1765(quandotinha58anos)eleproduziuquasemetadede seu trabalho, a despeito de estar totalmente cego.Depois de sua morte, em 1783, a Academia de So Petersburgo continuo a publicar todos osseus trabalhos ainda no publicados durante quase cinqenta anos.7172 Sries de Potncias e Equaes Diferenciais2.1 IntroduoNuma primeira disciplina de Clculo1estudamos que existem funes polinomiais degraun e so da formaf: R R tais quef(x)=a0 + a1x + a2x2+ a3x3++ anxnsempre quean ,=0 e, osai sejam constantes que no dependam dex. O grau a que nosreferimos no sentido algbrico. Quando estas funes polinomiais igualamos a zero,isto f(x)=0, estas expresses so chamadas de equaes de graun de varivel x (ouna incgnitax).Resolver uma equao, signica determinar valores para a varivel de modo ao substituir-mos estes valores na equao se obtenha uma proposio verdadeira. Estes valores deter-minados da equao chama-se soluo da equao.Em geral, para o caso da varivel x ser matrizes, teramos uma equao matricial;para o caso da varivelx ser funo, teramos uma equao funcional.2.2 Equaes diferenciaisQuando estudamos uma disciplina de clculo diferencial inicial, aprendemos que, dadauma funoy=f(x),sua derivada sempre que exista a funodydx=f

(x),tambmestudamos que dada uma funo de varivelx sua derivada calculada com regras apro-priadas. Por exemplo, se y= ex4ento sua derivada dydx= 4x3ex4oudydx= 4x3y.Uma pergunta natural :Dadaumaequao, porexemplodydx=4x3y, possvel acharcomalguma tcnica uma funo y= f(x) que seja soluo de tal equao.Dito de outro modo, nosso objetivo resolver equaes diferenciais.Denio 2.1.Equao diferencial.Dizemosequaodiferencial atodaexpressoalgbricaqueapresentaosmbolodeigualdade e tem como varivel uma funo incgnita assim como suas derivadas.Isto , equaes diferenciais so relaes entre variveis independentes, funes, suasderivadas ou diferenciais, at certa ordem.Uma grande quantidade das leis da Fsica, Qumica e Biologia tm sua expresso nat-ural nas equaes diferenciais com derivadas ordinrias ou parciais. Tambm so muitasas aplicaes das equaes diferenciais em Engenharia, Economia, Cincias Sociais, As-tronomia, emesmonasMatemticas. Omotivosimples, seumfenmenopodemosexpressar mediante vrias mudanas instantneas entre variveis implicadas ento conse-qentemente teremos uma ou mais equaes diferenciais.1Clculo Diferencial em R, Editora EUMET 2008, do mesmo autorChristian Jos Quintana Pinedo 73Um exemplo simples a equao diferencial que provem da segunda lei de Newtonpara a fora, ista F=ma, mais, se um corpo de massam cai sob a inuncia dagravidade terrestreg entom a = m g (2.1)comoaacelerao a=d2ydt2 , ondey(t)aposiodocorponoinstantet, entodaigualdade anterior obtemosd2ydt2= gsendo esta igualdade uma equao diferencial ordinria, cuja soluo a funo de posioy(t).Para este nosso exemplo, podemos supor que sobre o corpo atua uma fora de fricono meio em que esta inserido,cuja magnitude proporcional velocidade instantaneadydtsegue ento da igualdade (2.1) quemd2ydt2+ kdydt= mgde onded2ydt2+kmdydt= gEsta ltima igualdade uma equao diferencial ordinria e satisfaz as condies denosso problema. Outros exemplos so as famosas equaes em derivadas parciais do calor, da onda ede Laplace, que tm a forma2ux2+2uy2+2uz2=1a2 ut2ux2+2uy2+2uz2=1a2 2ut22ux2+2uy2+2uz2= 0respectivamente ondea uma constante no nula.Exemplo 2.1.Asseguintessoequaesdiferenciaisenvolvendoafunoincgnitay =f(x)ou74 Sries de Potncias e Equaes Diferenciaisz= g(x, t).F(x, y,dydx,d2ydx2,) = 0 (2.2)F(x, u, v,dudx,dvdx,) = 0 (2.3)F(x, y, z,zx,zy,) = 0 (2.4)ondeF uma funo nas variveis respectivas.2.2.1 ClassicaoAs equaes diferenciais classicam-se em:Equaes diferenciais ordinrias: Sendo aquelas em que s h uma varivel indepen-dente, comoem(5.32)e(2.3), maspodendohaverumafunocomoem(5.32),ou mais como em (2.3), e elas se caracterizaro por no apresentarem derivadas oudiferenciais parciais. Denotam-se as equaes diferenciais ordinrias como EDOs.Equaes diferenciais com derivadas parciais: So aquelas em que h mais de umavarivel independente, como o caso (2.4) caracterizado por apresentar derivadasou diferenciais parciais. Denotam-se as equaes diferenciais com derivadas parciaiscomo EDPs.Exemplo 2.2.Asseguintessoequaesdiferenciaisenvolvendoafunoincgnitay =f(x)ouz= g(x, t).dydx+ 8x 3 = 0 (2.5)eyd2ydx2+ 5 (dydx)31 = 0 (2.6)6d3ydx3 (tan x)d2ydx2+ 8xy= 4 (2.7)(d2ydx2)4+ 9y (dydx)3+ y2(dydx)2= 9x (2.8)2zt2 62zx2= 0 (2.9)Asequaesdiferenciais(2.5)at(2.8)sodotipoEDOpois, afunoincgnitadepende s dex. A equao (2.9) uma EDP, pois depende dex e det.Christian Jos Quintana Pinedo 752.2.2 Ordem e grauDenio 2.2.Ordem.Dizemos ordem de uma equao diferencial ordem mais alta da derivada da funoincgnita que nela comparece.Segundoaordem, asequaesdiferenciaisclassicam-seemequaesde1aordem(aquelas que apresentam diferenciais somente primeiras), de2aordem; de3aordem, etc.Exemplo 2.3.Aequao(2.5)umaEDOdeprimeiraordem; (2.6), (2.8)e(2.9)soequaesdiferenciais de segunda ordem. A equao(2.7) uma EDO de terceira ordem.Para falar de grau de uma equao diferencial, temos que fazer analogia com o grauno sentido algbrico de uma equao em nmeros reais, isto ; uma equao de graun da forma anzn+an1zx1+ +a1z +a0= 0, an ,= 0 onde aos ai R so constantes.Em analogia com esta denio de grau de uma equao em nmeros reais, se consid-eramos z como uma funo de y= y(x) (ou de alguma de suas derivadas) e consideramosas constantes ai como funes que no dependam de y= y(x), ento faz sentido a seguintedenio.Denio 2.3.Grau.Ograudeumaequaodiferencial ograualgbrico aqueseencontraelevadaaderivada de ordem mais alta da funo incgnita.Isto, ograudeumaequaodiferencial amaiorpotnciaqueseencontraaordemde uma equao diferencial, considerando a derivada ou diferencial como se fosseuma incgnita numa equao algbrica. por isto, esta noo de grau pode carecer desentido em certos casos (aqueles em que a equao no fosse algbrica) como no exemplo(2.6).Exemplo 2.4.A equao(2.8) uma EDO de segunda ordem de grau quatro, pois a derivada maisalta (a segunda neste caso) se encontra elevada potncia quatro.Aequao(2.5)deprimeiraordemedeprimeirograu,entantoaequao(2.7)de terceira ordem e primeiro grau.Exemplo 2.5.A equao (2yx2)4+2yx2(yx)5 x8y9=cos x de segunda ordem de grau quatro.Observequeograudotrmino2yx2(yx)5seis, noobstanteograudaderivadasegunda um.76 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisObservao 2.1.1. Nem toda equao diferencial pode ser classicada segundo o grau. Por exemplo, (2.6)no possui grau, pois no pode ser escrita sob a forma de um polinmio na funoincgnita e de suas derivadas, em razo da presena do termo ey.2. Para obter o grau de uma equao diferencial, quando necessrio temos que racionaliza-la respeito as derivadas que contenha e eliminar todas estas dos denominadores.2.2.3 Problemas que conduzem a uma equao diferencialNa prtica equaes diferenciais aparecem de muitas formas, existe um caminho parachegar as equaes diferenciais que til para intuir a classe de solues que se espera.Exemplo 2.6.Suponhamosqueumcorpo,quetemtemperaturay0noinstantedetempot =0, seencontra colocado em um meio cuja temperatura igual aTm ondey0> Tm.Problema: Achararelaopelaqual variaatemperaturadocorpoemrelaoaotempo.Como a temperatura do corpo est em funo do tempo, iremos designar esta temper-atura pory(t).Sabe-se pelas leis da fsica, que a velocidade de esfriamento do corpo proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente. Considerando que a funo decrescente em virtude da interpretao mecnica da derivada, tem-se quedy(t)dt= k[y(t) Tm] (2.10)ondek a constante de proporcionalidade.Arelao(2.10)omodelomatemticodoprocessofsicodado. umaequaodiferencial, pelo fato que junto com a funo desconhecida y(t) encontra-se sua derivada.Outro mtodo que utilizaremos o de eliminao de constantes, este mtodo varia deacordo com a forma em que aparecem as constantes na relao dada. Pelo fato que emcadadiferenciaoapareceumanovarelao, onmerodederivadasquenecessitamosutilizar o mesmo que o nmero de constantes que aparece na primeira relao.Exemplo 2.7.Umafbricaproduzumdeterminadoprodutodestinadopopulaoondeexisteumnmeromdepotenciais compradores. Estafbricadecideestabelecerumacampanhapublicitria para promocionar o produto. Os proprietrios solicitam a seu departamentode publicidade uma medida de impacto de publicidade. possvel resolver este problema?Soluo.Christian Jos Quintana Pinedo 77Seja y(t) o nmero de pessoas que conhecem o produto no instante t. Suponhamos quea velocidade com que vara o nmero de pessoas que conhecem o produto proporcionalaonmerodepessoasqueconhecemoproduto, comoaspessoasquenoconhecemoproduto, entodydt= y(my)onde uma constante positiva.Podemos tentar uma soluo na formadydt= y(my) 1m_dyy+dymy_ = Ln[y(my)] = mt +C1y(my) = Cemt y(t) =m1 + CemtondeC1 uma constante.Na literatura econmica a equao y(t) =m1 + Cemt conhecida como a equaoda curva da logstica, a qual nos proporciona o nmero de pessoas que conhecem o produtoao tempot.Exemplo 2.8.Elimineaconstanteadaequao (x a)2+ y2=a2amdeobterumaequaodiferencial.Soluo.Derivandoestaigualdadeobtm-se 2(x a) + 2yy

=0 de ondeyy

=(a x)oua = x + yy

. Logo, na equao original tem-se(yy

)2+ y2= (x + yy

)2 y2= x2+ 2xyy

Portanto, aequaodiferencialquad(y2 x2)dx + 2xydy

=0temcomosoluoarelao(x a)2+ y2= a2. So circunferncias de centro(a, 0) e raioa.Exemplo 2.9.Obter a equao diferencial que tem como soluo a relao y= Bcos(x+), onde um parmetro.Soluo.Aqui temos que eliminar Be. Derivando respeito de x obtemos y

= Bsen(x+). A derivada segunda y

= B2cos(x + ). De ondey

+ 2y= (B2cos(x + )) + 2(Bcos(x + )) = 0Portanto,y

+ 2y= 0 tem como soluoy= Bcos(x +).78 Sries de Potncias e Equaes DiferenciaisExemplo 2.10.Elimine as constante arbitrrias C1eC2 da relao y= C1e2x+C2e3xa m de obteruma equao diferencial.Soluo.Derivando em relao ax podemos obter o sistema de equaes lineares emC1e C2y + C1e2x+ C2e3x= 0 (2.11)y

2C1e2x+ 3C2e3x= 0 (2.12)y

+ 4C1e2x+ 9C2e3x= 0 (2.13)Sabemos, pelas propriedades da lgebra linear elementar que as trs equaes (2.11),(5.33) e (2.13) consideradas como equaes das incgnitasC1e C2podem ter soluosomente se o determinante (Wronskiano)y e2xe3xy

2e2x3e3xy

4e2x9e3x= 0 (2.14)e2xe3x(y

y

6y) = 0 y

y

6y= 0, pois e2xe3x,= 0Portanto, a equao diferencial y

y

6y= 0 tem como soluo y= C1e2x+C2e3x.

Este ltimo mtodo permite observar que a eliminao das constantes C1, C2, , , Cn1,Cn de uma relao da formay= C1em1x+ C2em2x+ + Cn1emn1x+Cnemnxnos conduz sempre a uma equao diferencial da formaan(x)dnydxn+ an1(x)dn1ydxn1+ + a1(x)dydx+a0(x)y= 0onde os coecientesa0, a1, a2, , , an1, an so constantes.2.2.4 Equaes diferenciais linearesDenio 2.4.Equao diferencial linear.Uma EDO de ordemn na funo incgnitay= f(x) dizemos que linear se pode serChristian Jos Quintana Pinedo 79escrita sob a formaan(x)dnydxn+an1(x)dn1ydxn1+ + a1(x)dydx+ a0(x)y= b(x) (2.15)As funesaj(x), j= 0, 1, 2,ne b(x) supem-se conhecidas, dependem apenasda varivelx.Observao 2.2.As equaes diferenciais lineares so caracterizadas por duas propriedades.1. A varivel dependentey= y(x) e todas suas derivadas so do primeiro grau; isto , apotncia de cada termo envolvendoy(x) um.2. Cada coeciente de(2.15) depende apenas da varivel x.Denio 2.5.Equao diferencial no linear.As equaes diferenciais que no podem ser postas sob esta forma (2.15) dizem-se nolineares.Exemplo 2.11.Aequao(2.5)umaEDOlineardeprimeiraordem, aqui a1(x) =1, a0(x) =0, b(x)= 8x + 3. A equao(2.7) linear de terceira ordem, comb3(x)=6, a2(x)=tan x, a1(x) = 0, a0(x) = 8x, b(x) = 0. As equaes(2.6) e(2.8) no so lineares.2.2.5 MotivaoDizemos que as equaes diferenciais, so de grande interesse nas cincias exatas e nasengenharias, uma vez que muitas leis e relaes fsicas podem ser formuladas matemti-camente por meio de uma equao diferencial.fundamental noapenassaberresolverumaequaodiferencial mas, sobretudo,formular