Separat DIMENZIONIRANJE

1

Prof. dr. sc. Ivica Džeba

OTPORNOST POPREČNIH PRESJEKA I ELEMENATA U

ČELIČNIM KONSTRUKCIJAMA

- DIMENZIONIRANJE

Zagreb, listopad 2007. god.

METALNE KONSTRUKCIJE 1 – Preddiplomski studij ________________________________________________________________________________________________________________________________

2

OTPORNOST POPREČNIH PRESJEKA I ELEMENATA - DIMENZIONIRANJE ________________________________________________________________________________________________________________________________

3

Ovaj tekst služi kao nadopuna istoimenog VIII. poglavlja iz knjige “Metalne konstrukcije 1” autora Borisa Androića, Darka Dujmoviće i Ivice Džebe u izdanju “Instituta građevinarstva Hrvatske” iz 1994. godine. Nadopune se odnose na postupke dimenzioniranja poprečnih presjeka i elemenata čeličnih konstrukcija te oznake, što je posljedica promjena koje su nastale između ENV i EN verzije Eurokoda 3. Izmjene i dopune u ovom tekstu odnose se također samo na one nastavne jedinice predviđene za savladavnje gradiva u okviru kolegija “Metalne konstrukcije 1” na preddiplomskom studiju Građevinskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu. Brojevi poglavlja i podpoglavlja u knjizi „Metalne konstrukcije 1” i u ovom dodatku potpuno su jednaki.


4


5

SADRŽAJ:

UVOD ................................................................................................................. 7

1. OPĆENITO (dopuna) ....................................................................................... 8

2. KONSTRUKCIJSKA SVOJSTVA ELEMENTA ......................................... 9

2.1. Klasifikacija pop. presjeka (dopuna) ........................................................... 9

2.2. Primjeri svrstavanja pop. presjeka u klase (nova točka) ............................ 13 Primjer 1: Jednoosno savijanje oko osi y-y .................................................14 Primjer 2: Uzdužna tlačna sila ....................................................................16 Primjer 3: Uzdužna tlačna sila i jednoosno savijanje oko osi y-y ...............19

3. GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI (dopuna)...................................... 22

4. KRAJNJE GRANIČNO STANJE (dopuna) .................................................. 22

4.1. Parcijalni faktori (izmjena) ........................................................................ 22

4.3. Otpornost poprečnog presjeka na savijanje (dopuna) ................................ 23 4.3.1. Otpornost poprečnog presjeka na savijanje (dopuna) ...............................23 Primjer 4: Savijanje oko osi y-y ..................................................................24 4.3.2. Otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu (dopuna) .........................26 Primjer 5: Uzdužna tlačna sila ...................................................................28 4.3.3. Otpornost poprečnog presjeka na posmik (dopuna) ..................................30 Primjer 6: Posmik u smjeru osi z ................................................................33 4.3.11. Obuhvaćanje interakcije djelovanja uzdužne i poprečne sile te momenata savijanja na poprečnom presjeku prema Eurokodu 3 (izmjena) ................36 4.3.11.1. Općenito ......................................................................................36 4.3.11.2. Utjecaj poprečne sile ...................................................................36 4.3.11.3. Istovremeno djelovanje uzd. i popr. sile te momenata savijanja .37 Primjer 7: Interakcija momenta savijanja oko osi y-y, uzdužne sile i poprečne sile u smjeru osi z.......................................................44

4.4. Otpornost vlačnog elementa (dopuna) ....................................................... 48 Primjer 8: Centrički opterećeni vlačni štap ................................................49


6

4.5. Otpornost tlačnog elementa (dopuna) ........................................................ 50 4.5.2.6. Dokazi nosivosti prema eurokodu (izmjena) .................................51 4.5.2.7. Sažetak postupka za dimenzioniranje centrički opterećenih elemenata prema eurokodu (izmjena)............................................57 Primjer 9: Centrički opterećeni tlačni štap ................................................59

4.6. Otpornost elementa izloženog istovremeno tlaku i savijanju (dopuna) ..... 63 4.6.1. Otpornost elementa izražena interakcijskim izrazima (izmjena) .................63 4.6.8.1. Općenito ........................................................................................63 4.6.8.2. Elementi neosjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje.........................64 4.6.8.3. Interakcijski izrazi prema eurokodu 3 za klase presjeka 1, 2 i 3 ...70 4.6.8.4. Sažetak postupka za dimenzioniranje elemenata izloženih istovremeno tlačnoj sili i savijanju u skladu s eurokodom (novo)..72 Primjer 10: Element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i savijanju oko osi y-y ..73 Primjer 10a: Element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i savijanju oko osi y-y (integralni primjer) ................................................................81

Literatura ............................................................................................................... 92


7

UVOD

Europske norme za konstrukcije, poznatije pod nazivom Eurokod, budućnost su ujedinjenog europskog prostora u području tehničkog građevinskog konstruk-terstva. Kako se i Hrvatska trenutno nalazi u fazi pregovora oko pristupa Europ-skoj Uniji, jedna od zadaća je uskladiti i hrvatsko nacionalno tehničko zakono-davstvo s europskim. S tom zadaćom i u okviru Hrvatskog zavoda za norme osnovan je tehnički odbor “TO 548 – Konstrukcijski eurokodovi” s pododborima koji ima zadaću izraditi nacionalne dodatke za primjenu eurokodova u Hrvatskoj, najprije kao paralelne norme, a u konačnici i kao jedine važeće norme za područje na koje se odnosi. Naravno da je za punu primjenu eurokodova potrebno prihvatiti još mnoge druge EN norme i ISO dokumente. Isto tako, u okviru ovog odbora radi se i na prijevodima eurokodova na hrvatski jezik. Za taj veliki posao nužna predradnja je izraditi rječnik pojmova. Kako su eurokodovi kao ENV verzije na razne načine prisutni u Hrvatskoj već više od desetljeća, a s obzirom da istovremeno nije napravljen kompletan rječnik pojmova, za jedan te isti pojam koriste se i različiti izrazi. Posljedica je to različitih slobodnih prijevoda pojedinih autora, a različitost je potencirana i činjenicom da su autori vršili prijevode s raznih jezika (engleskog, njemačkog, talijanskog, fran-cuskog). Iako je u okviru tehničkog odbora usvojeno stajalište da će baza za prijevod biti engleski jezik, prema prvim rezultatima usuglašavnja pokazalo se da će i tu biti određenih odstupanja. S tim u vezi treba znati da će i nazivlje korišteno u knjizi “Metalne konstrukcije 1” kao i u ovoj dopuni zasigurno biti podložno promjenama, ali se smisao iznijete materije neće time mijenjati.


8

1. OPĆENITO Dopuna

U EN verziji eurokodova odmah se uočava jedna od vrlo važnih oznaka vezana uz učinke djelovanja na konstrukciju, a koja se provlači kroz sve eurokodove. Naime, ranije su dokazi pouzdanosti, koji su se odnosili na stranu djelovanja, bili vezani uz slovo S što je označavalo djelovanje na konstrukciju. Tako se npr. opći dokaz pouzdanosti ranije izražavao kao:

dd RS ≤ (1)

gdje je:

Sd - računsko djelovanje, Rd - računska otpornost. Kako se dokaz pouzdanosti provodi u pravilu na razini unutarnjih sila i momenata, to je i računsko djelovanje Sd u biti predstavljalo posljedicu djelovanja na kon-strukciju a ne samo djelovanje. U EN verziji eurokodova ovaj dokaz pouzdanosti sada glasi:

dd RE ≤ (2)

gdje je:

Ed - računski učinak djelovanja, Rd - računska otpornost. Prema gore navedenom, ako se u jednom poprečnom presjeku elementa radi dokaz pouzdanosti na uzdužnu tlačnu silu, tada ovaj dokaz glasi:

Rd,cEd NN ≤ (3)

gdje je:

NEd - računska uzdužna tlačna sila kao učinak djelovanja, Nc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu tlačnu silu.


9

Zbog toga se, kad je riječ o učincima djelovanja, svi izrazi navedeni u VIII. i IX. poglavlju trebaju pisati na novi način. Uz oznake uzdužne sile N, poprečne sile V, momenta savijanja M itd. u indeksu treba zamijeniti slovo S slovom E kao npr.:

EdSd NN ⇒ . (4) 2. KONSTRUKCIJSKA SVOJSTVA ELEMENTA

2.1. KLASIFIKACIJA POPREČNIH PRESJEKA

Dopuna

Prije provođenja bilo kakvih proračuna otpornosti poprečnih presjeka i elemenata, potrebno je svrstati poprečni presjek u odgovarajuću klasu poprečnih presjeka. Naime, o klasi poprečnog presjeka ovisi primjena odgovarajuće metode za proračun unutarnjih sila i momenata s jedne strane, te primjena odgovarajuće teorije elastičnosti ili plastičnosti za određivanje otpornosti poprečnog presjeka i/ili elementa. Bitno je zapamtiti da se klasificiraju svi oni poprečni presjeci koji su dijelom ili potpuno u području tlačnih naprezanja. To znači da se od obaveze klasificiranja poprečnih presjeka izuzimaju samo oni presjeci na koje djeluje samo centrična vlačna sila. Kako je u praktičnim inženjerskim zadacima nemoguće koristiti stvarne karakte-ristike rotacijske sposobnosti M-ϕ za svaki pojedini poprečni presjek, razvijen je postupak svrstavanja poprečnih presjeka u jednu od četiri klase prema graničnim vrijednostima lokalne vitkosti dijelova poprečnog presjeka. Tako se kod npr. valjanih I ili U profila lokalna vitkost određuje kao omjer dužine ravnog dijela poprečnog presjeka c i njegove debljine t (slika 1.). Kod kutnika je zadržan iz praktičnih razloga omjer dužine cijelog kraka b i debljine kraka kutnika t dok se lokalna vitkost za npr. okrugle cijevne profile određuje kao omjer vanj-skog promjera cijevi d i debljine stijenke t. Dimenzijske oznake vezane uz dijelove poprečnog presjeka se uglavnom nisu mijenjale i prikazane su na slici 1. Jedina značajnija novina se odnosi na veličinu c koja se danas koristi kod određivanja lokalne vitkosti pojasnica valjanih I i U profila prilikom klasifikacije poprečnog presjeka. U ENV verziji Eurokoda 3


10

veličina c odnosila se na polovicu širine pojasnice b kod valjanih I profila, odnosno na punu širinu pojasnice b kod valjanih U profila.

Slika 1. Dimenzijske oznake valjanih profila i lokalne vitkosti dijelova poprečnog presjeka Kako se i ranije kod hrpta profila lokalna vitkost vezala uz dužinu ravnog dijela hrpta d, bez obzira radilo se o valjanom ili zavarenom profilu, tako je u EN verziji Eurokoda 3 određivanje lokalne vitkosti pojasnice vezano također uz ravni dio pojasnice c, kako je to prikazano na slici 1. Na takav način se određivanje lokalne vitkosti dijelova poprečnih presjeka provodi konzekventno vežući se uz ravne dijelove poprečnih presjeka i to neovisno o načinu izrade ovih profila. U praktičnom postupku svrstavanja poprečnih presjeka u klase vrlo su važni sljedeći čimbenici:

• lokalna vitkost dijela poprečnog presjeka, • raspored tlačnih napona po promatranom dijelu poprečnog presjeka. Pri tome je također važno uočiti razliku između unutarnjih i vanjskih dijelova poprečnog presjeka (slika 2.) budući se u tim slučajevima ograničenja lokalne vitkosti za svaku pojedinu klasu razlikuju. Naime, ako su dva dijela poprečnog presjeka, unutarnji i vanjski, s jednakom lokalnom vitkošću, do lokalnog izboča-vanja prije će doći kod vanjskog dijela poprečnog presjeka jer je jedan njegov kraj

d

c

tf

tw d td

b

tf

c

tf

c/tf

d/tw

c/tf

d/tw

b/tf d/t

tw


11

slobodan. Stoga će i ograničenja lokalne vitkosti za istu klasu presjeka i isti način rasporeda tlačnih naprezanja biti manje za vanjski dio presjeka nego li za unutarnji.

Slika 2. Vanjski i unutarnji dijelovi poprečnog presjeka Također je vrlo važno znati da se cijeli poprečni presjek klasificira prema strožem kriteriju. Naime, može se dogoditi da jedan dio poprečnog presjeka zadovoljava klasu 1, a drugi klasu 3. U tom slučaju cijeli poprečni presjek se svrstava u klasu presjeka 3. Ograničenja veličine lokalne vitkosti po klasama poprečnih presjeka dana su u tablicama 1., 2. i 3. (zamjena za tablice VIII.-24., VIII.-25. i VIII.-26. u knjizi „Metalne konstrukcije 1”, koje više ne vrijede). Tablica 1. Najveći odnosi lokalnih vitkosti za unutarnje dijelove poprečnog presjeka u tlaku

Vanjski dio

Unutarnji dio


12

OS SAVIJANJA

OS SAVIJANJA

UUNNUUTTAARRNNJJII TTLLAAČČNNII EELLEEMMEENNTTII

KKLLAASSAA SSAAVVIIJJAANNJJEE TTLLAAKK TTLLAAKK II SSAAVVIIJJAANNJJEE

RASPO- RED

NAPONA (TLAK +)

RASPO-RED

NAPONA (TLAK +)

ψ≤−1 primjenjuje se tamo gdje su oba tlačna napona manja od granice popuštanja fy ili gdje je vlačna deformacija εy>fy/E.


13

Tablica 2. Najveći odnosi lokalnih vitkosti za vanjske dijelove poprečnog presjeka u tlaku 2.2. PRIMJERI SVRSTAVANJA POPREČNIH PRESJEKA U

KLASE

Nova točka

U sljedeća tri primjera ilustrirano je kako se klasificira isti poprečni presjek izlo-žen:

• momentu savijanja oko osi y-y, • tlačnoj sili, • istovremeno tlačnoj sili i momentu savijanja oko osi y-y.

VVAANNJJSSKKII TTLLAAČČNNII EELLEEMMEENNTTII

KKLLAASSAA TTLLAAKK TTLLAAKK II SSAAVVIIJJAANNJJEE

RASPO- RED

NAPONA (TLAK +)

RASPO- RED

NAPONA (TLAK +)


14

PRIMJER 1

KLASIFIKACIJA POPREČNOG PRESJEKA

JEDNOOSNO SAVIJANJE OKO OSI y.y

Potrebno je klasificirati poprečni presjek izložen savijanju oko osi y-y.

Odabrani profil: HE 200 A

Kvaliteta čelika: S 355

qd

My,Ed

Vz,Ed

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r My,Ed


15

Geometrijske i statičke veličine odabranog profila

Visina presjeka h = 190 mm

Širina pojasnice b = 200 mm Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm

Za S355 vrijedi ε=0,81.

1. KLASIFIKACIJA POJASNICE

Odnos promatrane širine pojasnice c i debljine pojasnice t :

mm75,782

1825,62002

r2tbc w =⋅−−

=⋅−−

=

mm10tt f ==

88,7

0,1075,78

tc

==

tablica 2.

Uvjet za klasu 1:

29,781,099tc

=⋅=ε⋅≤

7,88 > 7,29 ⇒ Pojasnica NIJE klasa 1.

tablica 2.

Uvjet za klasu 2:

1,881,01010tc

=⋅=ε⋅≤

7,88 < 8,1 ⇒ Pojasnica je klasa 2.

2. KLASIFIKACIJA HRPTA

Odnos ravnog dijela hrpta c i debljine hrpta t :

c = d mm1341820,102190r2t2hc f =⋅−⋅−=⋅−⋅−=

c

fy +


16

mm5,6tt w ==

62,205,6

134tc

==

tablica 1.

Uvjet za klasu 1:

32,5881,07272tc

=⋅=ε⋅≤

20,62 < 58,32 ⇒ Hrbat je klasa 1.

3. KLASIFIKACIJA POPREČNOG PRESJEKA

Pojasnica - klasa 2 Hrbat - klasa 1 Poprečni presjek svrstan je u klasu 2.

PRIMJER 2


UZDUŽNA TLAČNA SILA

Potrebno je klasificirati poprečni presjek izložen uzdužnoj tlačnoj sili.

d

fy

+

−

Pd Pd

NEd


17









mm75,782

1825,62002

r2tbc w =⋅−−

=⋅−−

=

mm10tt f ==

88,7

0,1075,78

tc

==

tablica 2.

Uvjet za klasu 1:

29,781,099tc

=⋅=ε⋅≤

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r

NEd

c

fy +


18


tablica 2.

Uvjet za klasu 2:

1,881,01010tc

=⋅=ε⋅≤




c = d mm1341820,102190r2t2hc f =⋅−⋅−=⋅−⋅−=

mm5,6tt w ==

62,205,6

134tc

==

tablica 1.

Uvjet za klasu 1:

73,2681,03333tc

=⋅=ε⋅≤

20,62 < 26,73 ⇒ Hrbat je klasa 1.



d

fy

+


19

PRIMJER 3


UZDUŽNA TLAČNA SILA I JEDNOOSNO SAVIJANJE OKO OSI y.y

Potrebno je klasificirati poprečni presjek izložen uzdužnoj tlačnoj sili i savijanju oko osi y-y u polovici raspona grede.

kN5,292PN dEd ==



qd

Pd Pd

Vz,Ed

My,Ed

NEd

c z

b

h d

z

yy

tw

tf My,Edr

NEd


20







mm75,782

1825,62002

r2tbc w =⋅−−

=⋅−−

=

mm10tt f ==

88,7

0,1075,78

tc

==

tablica 2.

Uvjet za klasu 1:

29,781,099tc

=⋅=ε⋅≤


tablica 2.

Uvjet za klasu 2:

1,881,01010tc

=⋅=ε⋅≤




c = d

c

fy +


21

mm1341820,102190r2t2hc f =⋅−⋅−=⋅−⋅−=

mm5,6tt w ==

62,205,6

134tc

==

tablica 1.

Uvjet za klasu 1:

113396

tc

−α⋅ε⋅

≤

Ed0M

yw Nfta2

=γ

⋅⋅⋅ ⇒

yw

0MEdft2

Na⋅⋅γ⋅

=

cm34,65,3565,02

0,15,292a =⋅⋅⋅

=

a2dd +=⋅α ⇒ 00,1a

2d

d1

≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=α

00,197,034,62

4,134,13

1≤=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=α

63,27197,013

81,0396tc

=−⋅

⋅≤

20,62 < 27,63 ⇒ Hrbat je klasa 1.



fy

+

−

d yα⋅d

fy

+

−

2a


22

3. GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI Dopuna

Dokazi vezani uz granično stanje uporabivosti i dalje ostaju isti kao što je to nave-deno u knjizi “Metalne konstrukcije 1”. Međutim, novina je ta da će konačna ogra-ničenja progiba, pomaka, vibracija i veličina pukotina biti određena nacionalnim dodatkom (NA) ili se čak dopušta i mogućnost da se ograničenja posebno ugovore sa klijentom odnosno naručiocem posla. Stoga sve vrijednosti prikazane u tablica-ma VIII.-3., VIII.-4. i VIII.-5. treba prihvatiti kao orjentacijske vrijednosti. Došlo je i do promjene u oznakama progiba koje su sljedeće:

w1 - progib od stalnog opterećenja (ranija oznaka δ1), w2 - progib od korisnog opterećenja (ranija oznaka δ2), wmax - ukupni progib mjeren od horizontalne linije (ranija oznaka δmax), w3 - nadvišenje nosača u neopterećenom stanju (ranija oznaka δ0)

Na sličan način promijenjene su i oznake vezane uz horizontalne pomake:

u1 - horizontalni pomak jednog kata u odnosu na drugi (ranija oznaka δ1), umax - ukupni horizontalni pomak cijelog objekta (ranija oznaka δ0). 4. KRAJNJE GRANIČNO STANJE

4.1. PARCIJALNI FAKTORI

Izmjena

Veličine dijela parcijalnih faktora su na temelju provedenih postupaka kalibracije smanjene tako da iznose:

0,10M =γ - otpornost poprečnog presjeka bilo koje klase, 0,11M =γ - otpornost elementa na stabilnost, 25,12M =γ - otpornost poprečnog presjeka u vlaku do loma.


23

Parcijalni faktori vezani uz spojeve nalaze se u IX. poglavlju. 4.3. GRANIČNA OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA

4.3.1. Otpornost poprečnog presjeka na savijanje Dopuna

Poprečni presjek opterećen na savijanje ima dostatnu otpornost ako je zadovoljen sljedeći uvjet:

1MM

Rd,c

Ed ≤ (5)

gdje je:

MEd - računski moment savijanja kao učinak djelovanja, Mc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na savijanje. Otpornost poprečnog presjeka na savijanje ovisi o klasi poprečnog presjeka. Za klase presjeka 1 i 2 mjerodavna je plastična otpornost poprečnog presjeka, dok je za preostale dvije klase presjeka 3 i 4 mjerodavna elastična otpornost poprečnog presjeka. Za klasu poprečnih presjeka 4, otpornost poprečnog presjeka na savijanje računa se s reduciranim (smanjenim) geometrijskim i statičkim veličinama poprečnog presjeka Weff. Tako vrijedi:

• 0M

yplRd,c

fWM

γ

⋅= za klasu presjeka 1 i 2, (6)

• 0M

yelRd,c

fWM

γ

⋅= za klasu presjeka 3, (7)

• 0M

yeffRd,c

fWM

γ

⋅= za klasu presjeka 4 (8)

gdje je: Wpl - plastični moment otpora poprečnog presjeka,


24

Wel - elastični moment otpora poprečnog presjeka (u tablicama se obično označava samo sa W),

Weff - efektivni moment otpora poprečnog presjeka izračunat na temelju smanjenih (reduciranih) karakteristika poprečnog presjeka.

fy - granica popuštanja čelika,

γMo - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka.

PRIMJER 4

OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA

SAVIJANJE OKO OSI y-y

Potrebno je izračunati računsku otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y u polovici raspona grede.

kNm8,60M Ed,y =

qd

My,Ed

Vz,Ed


25

Valjani profil: HE 200 A



Visina presjeka h = 190 mm Širina pojasnice b = 200 mm Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm Plastični moment otpora Wpl,y = 429,5 cm3



Iz primjera 1: Poprečni presjek svrstan je u klasu 2.

2. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA NA SAVIJANJE

(6)

Za klasu presjeka 2 → plastična otpornost poprečnog presjeka

0M

yy,plRd,y,plRd,c

fWMM

γ

⋅==

kNcm247150,1

5,355,429MM Rd,y,plRd,c =⋅

==

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf

My,Ed

r


26

(5)

Mc,Rd = Mpl,y,Rd = 152,5 kNm

UVJET NOSIVOSTI:

1MM

Rd,y

Ed,y ≤

40,05,1528,60

= < 1,00

0,40 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na savijanje.

4.3.2. Otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu Dopuna

Poprečni presjek opterećen na uzdužnom silom ima dostatnu otpornost ako je zadovoljen sljedeći uvjet:

1NN

Rd

Ed ≤ (9)

gdje je:

NEd - računska uzdužna sila kao učinak djelovanja,

NRd - računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu. Proračun otpornosti poprečnog presjeka se razlikuje ako je presjek opterećen vlačnom ili tlačnom silom.

a) Otpornost poprečnog presjeka na vlačnu uzdužnu silu Ukoliko je poprečni presjek opterećen vlačnom centričkom silom i na takvom presjeku nema nikakvih oslabljenja u smislu smanjenja površine poprečnog presjeka, tada se računska otpornost poprečnog presjeka na vlačnu silu Nt,Rd određuje kao plastična otpornost prema sljedećem izrazu:


27

0M

yRd,plRd,t

fANN

γ

⋅== (10)

gdje je:

Npl,Rd - plastična računska otpornost poprečnog presjeka na vlačnu uzdužnu silu, A - bruto površina poprečnog presjeka, fy - granica popuštanja čelika, γMo - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka. Ako na presjeku postoje oslabljenja poprečnog presjeka, na primjer zbog rupa za vijke na mjestu priključka, tada je potrebno otpornost poprečnog presjeka odrediti uz gornji izraz (10) i na mjestu tog oslabljenja:

2M

ueffRd,uRd,t

fA9,0NN

γ⋅

⋅== (11)

gdje je:

Nu,Rd - računska otpornost neto poprečnog presjeka na vlačnu uzdužnu silu, Anet - netto površina poprečnog presjeka, fu - čvrstoća čelika, γM2 - parcijalni faktor za otpornost neto poprečnog presjeka. Postoji li oslabljenje poprečnog presjeka, tada je za računsku otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu vlačnu silu Nt,Rd mjerodavna manja vrijednost dobivena prema izrazima (10) i (11). O načinu određivanja neto poprečnog presjeka detaljnije je obrazloženo u poglav-lju 4.4. o otpornosti elementa na uzdužnu vlačnu silu. b) Otpornost poprečnog presjeka na tlačnu uzdužnu silu Računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu tlačnu silu Nc,Rd ovisi o klasi poprečnog presjeka. Općenito, otpornost presjeka za klase 1 i 2 dosegnuta je u trenutku kad se sva vlakanca poprečnog presjeka ‘plastificiraju’ odnosno odsegnu napon granice popuštanja čelika fy. S druge strane, za klasu presjeka 3 otpornost presjeka je dosegnuta kad se u prvom vlakancu poprečnog presjeka dosegne granica popuštanja čelika fy.


28

Kako je riječ o centričnoj sili koja djeluje točno u težištu poprečnog presjeka, očito je da s povećanjem intenziteta uzdužne sile jednoliko po cijelom poprečnom presjeku rastu i naponi. To znači da će u trenutku kad prvo vlakance poprečnog presjeka dosegne granicu popuštanja čelika fy (iscrpljena otpornost presjeka za klasu presjeka 3) i sva ostala vlakanca dosegnuti isti napon, odnosno da će se cijeli poprečni presjek ‘plastificirati’. Drugim riječima, otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu određuje se na isti način za prve tri klase poprečnog presjeka, dok se za klasu 4 otpornost računa sa smanjenim geometrijskim karakteristikama poprečnog presjeka, tako da vrijedi:

•0M

yRd,c

fAN

γ

⋅= - za klasu presjeka 1, 2 i 3 (12)

•0M

yeffRd,c

fAN

γ

⋅= - za klasu presjeka 4 (13)

gdje je:

Nc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na tlačnu uzdužnu silu, A - površina poprečnog presjeka, Anet - smanjena površina poprečnog presjeka, fy - granica popuštanja čelika, γMo - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka.

PRIMJER 5


UZDUŽNA TLAČNA SILA

Potrebno je izračunati računsku otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu tlačnu silu.

Pd Pd

NEd


29

kN5,292NEd =




Visina presjeka h = 190 mm Širina pojasnice b = 200 mm Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm



Iz primjera 2: Poprečni presjek svrstan je u klasu 2.

2. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA NA UZDUŽNU TLAČNU SILU

(12)


b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r

NEd


30

(9)

0M

yRd,plRd,c

fANN

γ

⋅==

kN91110,1

5,3583,53NN Rd,plRd,c =⋅

==

Nc,Rd = Npl,Rd = 1 911 kN

UVJET NOSIVOSTI:

1NN

Rd,c

Ed ≤

15,09111

5,292= < 1,00

0,15 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na tlačnu silu. 4.3.3. Otpornost poprečnog presjeka na posmik Dopuna

Raspodjela posmičnih napona τ po visini poprečnog presjeka uslijed djelovanja poprečne sile V ovisi svakako o obliku poprečnog presjeka. Kako se vrlo rijetko događa da je presjek izložen samo poprečnoj sili, u realnim konstrukcijama se gotovo redovito javlja uz istovremeno djelovanje uzdužne sile N i/ili momenta savijanja M, koji uzrokuju normalna naprezanja σ u poprečnom presjeku. Uzme li se u obzir činjenica da je poprečna sila u tom slučaju rijetko dominantna te da se na različite načine određuje otpornost poprečnog presjeka (elastična ili plastična) ovisno o klasi poprečnog presjeka, očito je za računski model otpornosti poprečnog presjeka na poprečnu silu bilo moguće određeno pojednostavnjenje. Tako je na primjeru I profila (slika 3.) prikazana stvarna raspodjela posmičnih napona po visini poprečnog presjeka kao i pretpostavljena (fiktivna) za određivanje računske otpornosti poprečnog presjeka na poprečnu silu. Pri tome se pretpostavlja da poprečnu silu odnosno posmik prenose samo oni dijelovi poprečnog presjeka koji su okrenuti u smjeru djelovanja poprečne sile.


31

Površina poprečnog presjeka, koja sudjeluje u prijenosu poprečne sile, naziva se posmična površina poprečnog presjeka Av. (a) (b)

Slika 3. Stvarna (a) i fiktivna (b) raspodjela posmičnih napona

po visini poprečnog presjeka I profila Da bi se na takav način mogla određivati posmična površina poprečnog presjeka, vitki dijelovi poprečnog presjeka ne smiju se izbočiti uslijed djelovanja posmika prije dosezanja plastičene otpornosti poprečnog presjeka na posmik Vpl,Rd. Do pojave preranog izbočavanja hrpta bez dodatnih ukrućenja neće doći ako je zadovoljen sljedeći uvjet:

ηε

⋅≤ 72th

w

w (14)

gdje je:

hw - svjetli razmak između pojasnica I profila, tw - debljina hrpta I profila, ε - faktor ovisan o kvaliteti čelika (tablica 1.), η - faktor koji se određuje prema EN 1993-1-5, a za valjane profile iznosi 1,2. Poprečni presjek opterećen na posmik ima dostatnu otpornost ako je zadovoljen sljedeći uvjet:

1VV

Rd,c

Ed ≤ (15)

gdje je:


32

VEd - računska poprečna sila kao učinak djelovanja, Vc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na posmik. Ako je zadovoljen uvjet za izbočavanje hrpta prema izrazu (14), računska otpornost poprečnog presjeka na posmik Vc,Rd određuje se kao plastična otpornost prema izrazu:

( )0M

yvRd,plRd,c

3fAVV

γ

⋅== (16)

gdje je:

Vpl,Rd - računska plastična otpornost poprečnog presjeka na posmik, Av - posmična površina poprečnog presjeka, fy - granica popuštanja čelika, γMo - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka. U svakodnevnoj se inženjerskoj praksi posmična površina poprečnog presjeka Av određuje na sljedeći način: a) Valjani I i H profili, opterećenje paralelno sa hrptom:

( ) fwfv tr2ttb2AA ⋅⋅++⋅⋅−= ≥ ww th ⋅⋅η (17) b) Valjani U profili, opterećenje paralelno sa hrptom:

( ) fwfv trttb2AA ⋅++⋅⋅−= (18) c) Valjani T profili, opterećenje paralelno sa hrptom:

( )fv tbA9,0A ⋅−⋅= (19) d) Zavareni I, H, U i sandučasti profili, opterećenje paralelno sa hrptom:

∑ ⋅⋅η= wwv thA (20) e) Zavareni I, H, U i sandučasti profili, opterećenje paralelno sa pojasnicama:

∑ ⋅−= wwv thAA (21) f) Valjani pravokutni cijevni profili s jednakom debljinom stijenki:

- opterećenje paralelno s visinom profila: ( )hb/hAA v +⋅= (22)


33

- opterećenje paralelno sa širinom profila: ( )hb/bAA v +⋅= (23) g) Okrugli cijevni profili s jednakom debljinom stijenki:

π⋅= /A2Av (24)

gdje je:

Av - djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka, A - površina poprečnog presjeka, b - širina pojasnice (profila), h - visina profila, tf - debljina pojasnice, tw - debljina hrpta, r - radijus zakrivljenosti prelaza iz hrpta u pojasnicu, η - koeficijent definiran u EN 1993-1-5 (za valjane I i H profile iznosi 1,20 a može se konzervativno u ostalim slučajevima uzeti kao 1,00).

PRIMJER 6


POSMIK U SMJERU OSI z

Potrebno je izračunati računsku otpornost poprečnog presjeka na posmik u smjeru osi z u presjeku grede nad ležajem.

qd

Vz,Ed

My,Ed


34

kN5,40V Ed,z =

Valjani profil: HE 200 A Kvaliteta čelika: S 355




Svjetli razmak između pojasnica hw (prema slici na početku zadatka):

fw t2hh ⋅−=

mm1700,102190hw =⋅−=

1. PROVJERA OPASNOSTI NASTUPANJA IZBOČAVANJA HRPTA

(14)

Nema opasnosti od izbočavanja hrpta Ι profila ako je zadovoljen uvjet:

ηε

⋅≤ 72th

w

w

η=1,20 za valjane Ι profile

15,265,6

170th

w

w ==

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf

Vz,Edr

M


35

6,4820,181,07272 =⋅=

εη

⋅

15,26th

w

w = < 6,4872 =ηε

⋅

Nema opasnosti od izbočavanja hrpta Ι profila.

2. DJELOTVORNA POSMIČNA POVRŠINA POPREČNOG PRESJEKA

(17)

( ) wwfwfv thtr2ttb2AA ⋅⋅η≥⋅⋅++⋅⋅−=

( ) ( ) 0,18,1265,00,10,20283,53tr2ttb2AA fwfv ⋅⋅++⋅⋅−=⋅⋅++⋅⋅−= 2

v cm08,18A =

2ww cm26,1365,00,1720,1th =⋅⋅=⋅⋅η

22 cm26,13cm08,18 >

Av = 18,08 cm2

3. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA NA POSMIK

(16)

(15)

0M

yz,vRd,z,pl

3

fAV

γ⋅

⋅=

kN6,3700,13

5,3508,18V Rd,z,pl =⋅

⋅=

Vpl,z,Rd = 370,6 kN

UVJET NOSIVOSTI:

1VV

Rd,z

Ed,z ≤

11,06,3705,40

= < 1,00

0,11 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na posmik.


36

4.3.11. Obuhvaćanje interakcije djelovanja uzdužne i poprečne sile te

momenata savijanja na poprečnom presjeku prema Eurokodu 3

Izmjena

4.3.11.1. Općenito Istovremeno djelovanje uzdužne i poprečne sile te momenta savijanja u jednom poprečnom presjeku obuhvaćeno EN verzijom Eurokoda 3 donekle je drugačije nego u ENV verziji, pa se zbog toga mijenja točka 4.3.11. iz knjige „Metalne konstrukcije 1” i zamjenjuje se novom točkom. Na početku, potrebno je prisjetiti se da uzdužna sila i momenti savijanja uzrokuju pojavu normalnih naprezanja, dok poprečna sila uzrokuje posmična naprezanja po poprečnom presjeku. Uz to, posmična naprezanja su rijetko dominantna u odnosu na normalna naprezanja te se svi dokazi pouzdanosti baziraju u konačnici na dokaz normalnih naprezanja uz uzimanje u obzir i posmičnih naprezanja tamo gdje je to neophodno potrebno. 4.3.11.2. Utjecaj poprečne sile Niski intenziteti posmičnih naprezanja po poprečnom presjeku imaju tek neznatan utjecaj na smanjenje otpornosti poprečnog presjeka na djelovanje uzdužne sile i/ili momenta savijanja. Smatra se da ako je intenzitet računske poprečne sile VEd manji ili jednak polovici računske otpornosti poprečnog presjeka na posmik, neće doći do smanjnja otpornosti poprečnog presjeka na uzdužnu silu i/ili moment savijanja. Dakle, ako je zadovoljen uvjet:

Rd,plEd V5,0V ⋅≤ (25)

gdje je:

VEd - računska poprečna sila kao učinak djelovanja, Vpl,Rd - plastična računska otpornost poprečnog presjeka na posmik

neće doći do smanjenja otpornosti poprečnog presjeka na uzdužnu sili i/ili moment savijanja.


37

U suprotnom, računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu i/ili moment savijanja mora se odrediti na način da se te otpornosti određuju sa smanjenom veličinom granice popuštanja čelika:

( ) yred,y f1f ⋅ρ−= (26)

sa: 2

Rd,pl

Ed 1V

V2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=ρ (27)

gdje je:

fy,red - smanjena granica popuštanja čelika, fy - granica popuštanja čelika, VEd - računska poprečna sila kao učinak djelovanja, Vpl,Rd - plastična računska otpornost poprečnog presjeka na posmik. Vrlo je važno prisjetiti se da je kod većine poprečnih presjeka jasno znano koji dijelovi poprečnog presjeka sudjeluju u prijenosu poprečne sile. Zato se samo na tim dijelovima poprečnog presjeka primjenjuje smanjena veličina granice po-puštanja čelika prema izrazu (26) ako nije zadocoljen uvjet prema izrazu (25). 4.3.11.3. Istovremeno djelovanje uzdužne i poprečne sile te momenata

savijanja a) Konzervativan pristup Bez obzira radi li se o klasi presjeka 1, 2 ili 3, u konzervativnom pristupu dokaz otpornosti poprečnog presjeka na navedene učinke djelovanja može se dokazati prema izrazu:

1MM

MM

NN

Rd,z

Ed,z

Rd,y

Ed,y

Rd

Ed ≤++ (28)

gdje je:

NEd - računska uzdužna sila kao učinak djelovanja, NRd - računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu, My,Ed - računski moment savijanja oko osi y-y kao učinak djelovanja,


38

My,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na moment savijanja oko osi y-y, Mz,Ed - računski moment savijanja oko osi z-z kao učinak djelovanja, Mz,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na moment savijanja oko osi z-z. Napominje se da se u slučaju kada nije zadovoljen uvjet o veličini poprečne sile prema izrazu (25), otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu NRd te otpornosti na savijanje poprečnog presjeka My,Rd i Mz,Rd moraju odrediti uz pomoć smanjene granice popuštanja čelika prema izrazu (26). b) Pristup definiran u eurokodu

• Klase presjeka 1 i 2 Za klase presjeka 1 i 2 otpornost poprečnog presjeka određuje se primjenom teorije plastičnosti. U pravilu, način određivanja interakcije ovisi osim o klasi poprečnog presjeka još i o vrsti poprečnog presjeka te o osi oko koje se presjek savija. Konačan dokaz otpornosti poprečnog presjeka na interakciju učinaka djelovanja kod jednoosnog savijanja provodi se na način da se odredi otpornost poprečnog presjeka na savijanje uz istovremeno djelovanje uzdužne i poprečne sile MN,V,Rd koja mora biti veća ili jednaka od momenta savijanja kao računskog učinka djelovanja MEd tj.:

Rd,V,NEd MM ≤ . (29) Kod nosača opterećenih na savijanje često puta prisutan je uz poprečnu silu samo moment savijanja. U tom slučaju, ako je razina poprečne sile niska tj. zadovoljen je uvjet definiran izrazom (25), otpornost poprečnog presjeka na savijanje određu-je se na uobičajen način kako je to i objašnjeno u točki 4.3.1. Ako je razina poprečne sile visoka, tj. vrijedi:

Rd,plEd V5,0V ⋅>

uz istovremeno djelovanje poprečne sile otpornost poprečnog presjeka na savijanje My,V,Rd trebalo bi odrediti na način kako je to prikazano na slici 4., gdje je vidljivo da na hrptu, koji sudjeluje u prijenosu poprečne sile, dolazi do smanjenja granice popuštanja čelika fy na veličinu (1−ρ)⋅fy, kako je to definirano izrazom (26).


39

Slika 4. Raspored normalnih napona po visini I poprečnog presjeka za slučaj visoke razine poprečne sile Međutim, kako bi se pojednostavnio proračun, za ovakav relativno čest slučaj u realnim konstrukcijama, postoji gotov izraz za određivanje smanjene otpornosti poprečnog presjeka na savijanje koji glasi:

Rd,c0M

yw

2w

y,pl

Rd,V,y M

ft4A

W

M ≤γ

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅ρ

−

= (30)

sa:

www thA ⋅=

gdje je:

My,V,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y uz isto-vremeno djelovanje poprečne sile V,

Wpl,y - plastični moment otpora poprečnog presjeka oko osi y-y, ρ - faktor redukcije određen izrazom (27), hw - svjetli razmak između pojasnica I profila, tw - debljina hrpta I profila, γM0 - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka, Mc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y.

My,Ed Vz,Ed

Vz,pl,Rd

τfy

fy

(1-ρ)fy

(1-ρ)fy

My,V,Rd


40

U tablicama 3. i 4. navedene su smanjene otpornosti poprečnog presjeka na savi-janje uz istovremeno djelovanje uzdužne i/ili poprečne sile za različite tipove po-prečnih presjeka te za različite razine uzdužne i poprečne sile.

Tablica 3. Smanjena otpornost pop. presjeka na savijanje MV,N,Rd za standardne

valjane I i H profile te zavarene I i H profile s jednakim pojasnicama

Razina uzdužne sile Savijanje oko osi y-y

Rd,cEd N25,0N ⋅≤

0M

ywwEd

fth5,0N

γ

⋅⋅⋅≤

Rd,y,plRd,y,N,V MM =

Rd,cEd N25,0N ⋅>

i / ili

0M

ywwEd

fth5,0N

γ

⋅⋅⋅>

Rd,y,plRd,y,plRd,N,V,y Ma5,01

n1MM ≤⋅−

−⋅=

Razina uzdužne sile Savijanje oko osi z-z

0M

ywwEd

fthN

γ

⋅⋅≤ Rd,z,plRd,z,N,V MM =

0M

ywwEd

fthN

γ

⋅⋅>

za an ≤ : Rd,z,plRd,z,N,V MM =

za an > : ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−⋅=2

Rd,z,plRd,z,N,V a1an1MM

Rd,c

Ed

NN

n = ; 5,0A

tb2Aa f ≤

⋅⋅−=

Napomena: U slučaju da je Rd,plEd V5,0V ⋅> sve otpornosti poprečnog presjeka Nc,Rd, Mpl,y,Rd i Mpl,z,Rd moraju biti određene sa smanjenom vrijedno-sti granice popuštanja čelika ( ) yred,y f1f ⋅ρ−= pri čemu se ρ odre-đuje prema izrazu (27).


41

Tablica 4. Smanjena otpornost poprečnog presjeka na savijanje MV,N,Rd za pra-vokutne cijevne profile s jednakim debljinama stjenki te za zavarene sandučaste presjeke s jednakim pojasnicama i jednakim hrptovima

Savijanje oko osi y-y:

Rd,y,plw

Rd,y,plRd,N,V,y Ma5,01

n1MM ≤⋅−

−⋅=

Savijanje oko osi z-z:

Rd,z,plf

Rd,z,plRd,N,V,z Ma5,01

n1MM ≤⋅−

−⋅=

Pravokutni cijevni profili s jednakim debljinama stijenki

Zavareni sandučasti presjeci s jednakim pojasnicama i jednakim

hrptovima

5,0A

tb2Aa w ≤⋅⋅−

=

5,0A

th2Aa f ≤⋅⋅−

=

5,0A

tb2Aa f

w ≤⋅⋅−

=

5,0A

th2Aa w

f ≤⋅⋅−

=

Napomena: U slučaju da je Rd,plEd V5,0V ⋅> sve otpornosti poprečnog presjeka Nc,Rd, Mpl,y,Rd i Mpl,z,Rd moraju biti određene sa smanjenom vrijedno-sti granice popuštanja čelika ( ) yred,y f1f ⋅ρ−= pri čemu se ρ odre-đuje prema izrazu (27).

U gornjim tablicama 3. i 4. pojedine oznake imaju sljedeće značenje:

MV,N,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na savijanje uz istovremeno djelo-vanje poprečne sile V i uzdužne sile N,

Mpl,Rd - računska plastična otpornost poprečnog presjeka na savijanje, NEd - računska uzdužna sila kao učinak djelovanja, Nc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu, VEd - računska poprečna sila kao učinak djelovanja, Vpl,Rd - računska plastična otpornost poprečnog presjeka na posmik, b - širina pojasnice profila,


42

h - visina profila, hw - svjetli razmak između pojasnica I profila, tw - debljina hrpta, tf - debljina pojasnice, A - površina poprečnog presjeka, fy - granica popuštanja čelika, γM0 - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka. Ako se radi o dvoosnom savijanju, tada interakcijski izrazi glase:

1M

MM

M

Rd,N,V,z

Ed,z

Rd,N,V,y

Ed,y ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βα

(31)

gdje su eksponenti ovisni o tipu poprečnog presjeka kako slijedi:

• I i H presjeci: 2=α 0,1n5 ≥⋅=β

• okrugli cijevni presjeci: 2=α 2=β

• pravokutni cijevni presjeci: 6n13,11

66,12 ≤

⋅−=β=α

gdje je:

Rd,c

Ed

NN

n = .

• Klase presjeka 3 Za klase presjeka 3 otpornost poprečnog presjeka određuje se primjenom teorije elastičnosti. Dokaz za interakciju učinaka djelovanja provodi se na način da se u mjerodavnim točkama poprečnog presjeka zbrajaju normalna naprezanja tako da bude zadovoljen uvjet:

0M

yEd,x

fγ

≤σ (32)

gdje je:

σx,Ed - računska normalna naprezanja u mjerodavnoj točki poprečnog presjeka,


43

fy - granica popuštanja čelika, γM0 - parcijalni faktor za otpornost poprečnog presjeka. Zorni prikaz ovog dokaza vidljiv je na slici 5. U slučaju da je razina poprečne sile visoka tj. da vrijedi:

Rd,plEd V5,0V ⋅>

umjesto granice popuštanja čelika fy potrebno je koristiti smanjenu vrijednost tako da vrijedi:

( )0M

yEd,x

f1γ

⋅ρ−≤σ (33)

gdje se ρ određuje prema izrazu (27).

Slika 5. Zbrajanje normalnih naprezanja za klasu presjeka 3 Za klasu presjeka 4, interakcijski izrazi (32) i (33) su prilagođeni specifičnostima koje dolaze sa reduciranim karaketristikama geometrijskih i statičkih veličina poprečnog presjeka te ekscentričnostima, koje iz toga proizlaze.

My,Ed Vz,Ed

σN,Ed σM,y,Ed σx,Ed

NEd


44

PRIMJER 7


INTERAKCIJA MOMENTA SAVIJANJA OKO OSI y-y, UZDUŽNE SILE I POPREČNE SILE U SMJERU OSI z

Potrebno je odrediti računsku otpornost poprečnog presjeka za interakciju (istovremeno djelovanje) momenta savijanja oko osi y-y, uzdužne tlačne sile i poprečne sile u smjeru osi z. Inter-akcija M/N/V odnosi se na poprečni presjek u polovici raspona.

kN5,292NEd =

kNm8,60M Ed,y =

kN5,40V Ed,z =



qd

Pd Pd

Vz,Ed

My,Ed

NEd


45



Širina pojasnice b = 200 mm Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm Svjetla visina hrpta hw = 170 mm Površina poprečnog presjeka A = 53,83 cm2

Plastični moment otpora Wpl,y = 429,5 cm3



Iz primjera 4:

Poprečni presjek svrstan je u klasu 2.

2. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA

2.1. Otpornost na uzdužnu silu

Iz primjera 5:


b

h d

c

z

z

yy

tw

tf Vz,Edr

hw

NEd

My,Ed


46

00,115,09111

5,292NN

Rd,c

Ed <==

0,15 < 1,00

2.2. Otpornost na savijanje oko osi y-y

Iz primjera 4:


40,05,1528,60

MM

Rd,y

Ed,y == < 1,00

0,40 < 1,00

2.3. Otpornost na posmik u smjeru osi z

Iz primjera 6:

Vz,Rd = 370,6 kN

11,06,3705,40

VV

Rd,z

Ed,z == < 1,00

0,11 < 1,00

4.3.11.

2.4. M/N/V interakcija na presjeku u polovici raspona grede

4.3.11.2.

(25)

2.4.1. Ispitivanje utjecaja veličine poprečne sile na smanjenje

otpornosti poprečnog presjeka na savijanje

Nema smanjenja otpornosti poprečnog presjeka klase 2 na savijanje ako je zadovoljen uvjet:

• Poprečna sila u smjeru osi z

Rd,zEd,z V5,0V ⋅≤

kN5,40V Ed,z =

kN3,1856,3705,0V5,0 Rd,z =⋅=⋅


47

40,5 kN < 185,3 kN

Uvjet je zadovoljen.

4.3.11.3.

tablica 3.

tablica 3.

2.4.2. Ispitivanje utjecaja veličine uzdužne sile na smanjenje otpornosti poprečnog presjeka na savijanje


• Savijanje oko osi y-y

I. uvjet:

Rd,plEd N25,0N ⋅≤

kN5,292NEd =

kN478191125,0 =⋅

292,5 kN < 478 kN


II. uvjet:

0M

ywwEd

fth5,0N

γ

⋅⋅⋅≤

kN5,292NEd =

kN1960,1

5,3565,00,175,0fth5,0

0M

yww =⋅⋅⋅

=γ

⋅⋅⋅

292,5 kN > 196 kN

Uvjet nije zadovoljen.

4.3.11.3.

tablica 3.

2.4.3. Određivanje smanjene otpornosti poprečnog presjeka na savijanje zbog istovremenog djelovanja uzdužne sile

Rd,y,plRd,,y,plRd,y,N Ma5,01

n1MM ≤⋅−

−⋅=


48

153,01911

5,292NNn

Rd,pl

Ed ===

5,0A

tb2Aa f ≤⋅⋅−

=

628,083,53

0,10,20283,53a =⋅⋅−

= > 0,5 → 5,0a =

kNm2,1725,05,01

153,015,152a5,01

n1MM Rd,,y,plRd,y,N =⋅−

−⋅=

⋅−−

⋅=

kNm2,172M Rd,y,N = > kNm5,152M Rd,y,pl = → kNm5,152M Rd,y,N =

Nema smanjenja otpornosti poprečnog presjeka na savijanje uslijed istovremenog djelovanja uzdužne sile.

4.4. OTPORNOST VLAČNOG ELEMENTA

Dopuna

Pouzdanost centrički opterećenog vlačnog elementa dokazuje se prema sljedećim izrazu:

1NN

Rd,t

Ed ≤ . (34)

Kako centrički opterećeni vlačni štap otkazuje na najslabijem presjeku, to se otpornost centrički opterećenog vlačnog elementa svodi na otpornost poprečnog presjeka, što je detaljnije opisano u točki 4.3.2.b) ovog dodatka. Vezano uz oznake razmaka rupa za vijke, koje se nalaze u cik-cak liniji, razmak rupa za vijke u smjeru okomitom na os štapa ranije je bio označivan slovom ‘g’ a u EN verziji eurokoda 3 sa slovom ‘p’.


49

PRIMJER 8

OTPORNOST ELEMENTA

CENTRIČKI OPTEREĆENI VLAČNI ŠTAP

Potrebno je dimenzionirati centrički opterećeni vlačni element. Riječ je o vlačnoj zategi s napinjaljkom.

kN70PN dEd ==

Odabrani profil: ∅ 20 mm



Bruto površina pop. presjeka A = 3,14 cm2

Neto površina pop. presjeka Anet = 2,45 cm2

4.3.2.a)


tablica 3.

1.1. Otpornost bruto poprečnog presjeka

(10)

(9)

0M

yRd,plRd,t

fANN

γ

⋅==

kN5,1110,1

5,3514,3NN Rd,plRd,t =⋅

==

Nt,Rd = Npl,Rd = 111,5 kN

UVJET NOSIVOSTI:

1NN

Rd,t

Ed ≤

Pd Pd


50

63,0

5,1110,70

= < 1,00

0,63 < 1,00

Bruto poprečni presjek zadovoljava na vlačnu silu.

1.2. Otpornost neto poprečnog presjeka

(11)

(9)

kfA9,0NN2M

unetRd,uRd,t ⋅

γ⋅⋅

==

k=0,85 jer narez na kraju elementa nije rađen industrijski.

kN5,7685,025,1

0,5145,29,0NN Rd,uRd,t =⋅⋅⋅

==

Nt,Rd = Nu,Rd = 76,5 kN

UVJET NOSIVOSTI:

1NN

Rd,t

Ed ≤

92,05,760,70

= < 1,00

0,92 < 1,00

Neto poprečni presjek zadovoljava na vlačnu silu.

4.5. OTPORNOST TLAČNOG ELEMENTA

Dopuna

Zbog promjena u oznakama, tablica VIII.-12. iz knjige ‘Metalne konstrukcije 1’ nije više važeća. Zamjenjuju je tablice 1. i 2. navedene u točki 2.1. ove dopune. U pogledu oznaka vezanih uz ovo poglavlje, važno je uočiti sljedeće promjene:


51

Opis oznake Stara oznaka Nova oznaka

- dužina izvijanja Li Lcr - Eulerova kritična sila Nki Ncr Umjesto slike VIII.-50. vrijedi sljedeća slika 6.

Slika 6. Ponašanje tlačnog štapa uz različite pretpostavke ponašanja čelika 4.5.2.6. Dokaz nosivosti prema eurokodu

Izmjena

U suvremenom pristupu dokazu pouzdanosti tlačnih štapova napušten je pojam ‘idealnog Eulerovog štapa’, a kao zamjena uvodi se pojam ‘realnog ili industrij-

δg

δs δδ

N N

Ncr

N

δ

σ

ε

ffyy

δ

σ

ε

Npl

ffyy

σ

ε

Nkr

IDEALNO ELASTIČNO

IDEALNO PLASTIČNO

STVARNO PONAŠANJE


52

skog tlačnog štapa’ sa svim svojim nesavršenostima. Ove nesavršenosti mogu se podijeliti u dvije osnovne grupe, a to su:

• geometrijske nesavršenosti, • strukturalne nesavršenosti. U geometrijske nesavršenosti ubrajaju se sva odstupanja geometrije poprečnog presjeka (tolerancije kod valjanih profila, netočnost izrade kod zavarenih profila), os štapa nije potpuno ravna, sila ne djeluje točno u težištu poprečnog presjeka i u smjeru osi štapa itd. S druge strane, u strukturalne nesavršenosti ubraja se postojanje vlastitih napona te da granica popuštanja fy nije jednaka u svakoj točki poprečnog presjeka. Sve geometrijske nesavršenosti mogu se prikazati s početnom zakrivljenošću štapa pri čemu u sredini štapa na mjestu najveće zakrivljenosti imeprfekcija ima veličinu δg. Strukturalne nesavršenosti je puno teže egzaktno uzimati u proračun nosivosti tlačnih štapova te je uobičajeno rješenje da se strukturalne nesavršenosti prikazuju također kao zamjenska geometrijska imperfekcija δs, pri čemu njena veličina ima približno isti utjecaj na nosivost tlačnih štapova kao i stvarno postojanje struktu-ralnih nesavršenosti (slika 6.). Zbroj geometrijske imperfekcije δg i zamjenske geometrijske imperfekcije δs za strukturalne nesavršenosti daju ukupnu inicijalnu ekvivalentnu geometrijsku im-perfekciju e0. Postavljajući jednažbe ravnoteže na ovako inicijalno deformiranom štapu, primjenom teorije II. reda može se odrediti nosivost tlačnih štapova. Potrebno je voditi računa da do pojave izvijanja može doći na razne načine: savijanjem, savijanjem i torzijom te torzijom. U nastavku će biti kao najčešći slučaj obrađen slučaj izvijanja savijanjem. U raznim svjetskim laboratorijima provedena su eksperimentalna ispitivanja nosi-vosti tlačnih štapova čiji su poprečni presjeci bili različitog oblika i s različitom razinom vlastitih naprezanja te za različite vitkosti elemenata. Analizom rezultata nosivih sila Nkr kod koje je dolazilo do otkazivanja nosivosti, vršena su preraču-navanja tražeći odgovarajuću veličinu inicijalne geometrijske imperfekcije e0, s kojojm bi se primjenom teorije II. reda dobivala ista nosiva sila računskim putem.


53

Nakon toga svi su štapovi podijeljeni u 5 grupa, a kriterij je bio da im je veličina inicijalne geometrijske imperfekcije e0 bila približno jednaka. Ovim grupama po-prečnih presjeka štapova pridružene su europske linije izvijanja, koje su nastale na temelju laboratorijskih ispitivanja, a nose oznake a0, a, b, c i d, kako se to vidi na slici 7.

Slika 7. Europske linije izvijanja Europske linije izvijanja prikazane su na način da se mogu koristiti za različite kvalitativne grupe čelika. Tako je na apscisi navedena svedena vitkost λ , koja za prve tri klase poprečnih presjeka iznosi:

cr

y

cr

pl

NfA

NN ⋅

==λ (35)

gdje je:

Npl - plastična otpornost poprečnog presjeka na uzdužnu silu N, Ncr - elastična idealna kritična sila, poznata i pod nazivom Eulerova kritična

sila, A - površina poprečnog presjeka (za klasu presjeka 4 vrijedi A=Aeff),

Svedena vitkost λ

Fakt

or re

dukc

ije χ


54

fy - granica popuštanja čelika. Na ordinati je naveden faktor redukcije χ, koji predstavlja sljedeći odnos:

1NN

Rd,c

Rd,b ≤=χ (36)

gdje je:

Nb,Rd - računska otpornost elementa na izvijanje, Nc,Rd - računska otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu. Iz toga proizlazi i način određivanja otpornosti elementa na izvijanje Nb,Rd:

1M

yRd,cRd,b

fANN

γ

⋅⋅χ=⋅χ= . (37)

Za klasu presjeka 4 vrijedi da je A=Aeff. Ovdje valja uočiti da se umjesto parcijalnog faktora γM0, koji vrijedi za određivanje otpornosti poprečnog presjeka, sada koristi parcijalni faktor γM1 za otpornost elementa. Kako oba ova parcijalna faktora imaju istu vrijednost 1,0 i otpornost elementa na izvijanje se može skraćeno napisati kao produkt faktora redukcije χ i računske otpornosti poprečnog presjeka na uzdužnu silu Nc,Rd prema izrazu (37). Dokaz otpornosti elementa na izvijnaje provodi se konačno prema izrazu:

1NN

Rd,b

Ed ≤ (38)

a provodi se gotovo redovito za izvijanje oko glavnih osi poprečnog presjeka. Elastična kritična sila Ncr određuje se prema poznatom izrazu:

2cr

2

crL

EN Ι⋅⋅π= (39)

gdje je:

E - modul elastičnosti čelika, Ι - moment tromosti poprečnog presjeka,


55

Lcr - dužina izvijanja. Iako su linije izvijanja dobivene eksperimentalno, svaka linija izvijanja opisana je matematički na sljedeći način:

0,1122

≤λ−Φ+Φ

=χ (40)

sa:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

22,015,0 (41)

gdje je:

α - faktor imperfekcije ovisan o liniji izvijanja (tablica 5.), λ - svedena vitkost prema izrazu (35). U tablici 5. prikazane su za svaku liniju izvijanja veličine faktora imperfekcije α kao i veličine ekvivalentne geometrijske imperfekcije e0, koja zamjenjuje geome-trijske i strukturalne nepouzdanosti. Imperfekcije se razlikuju ovisno o vrsti ana-lize koja se primjenjuje u proračunu. Tablica 5. Faktori imperfekcije α i ekvivalentne geometrijske imperfekcije e0

Linija izvijanja a0 a b c d

Faktor imperfekcije α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

Ekvivalentna geometrijska imperfekcija e0 (elastična analiza) L/350 L/300 L/250 L/200 L/150

Ekvivalentna geometrijska imperfekcija e0 (plastična analiza) L/300 L/250 L/200 L/150 L/100

Preostalo je još da se određenom poprečnom presjeku pridruži i pripadajuća linija izvijanja. Kao što je rečeno, svrstavanje poprečnih presjeka u grupe rezultat je opsežnih laboratorijskih ispitivanja, a praktični postupak provodi se prema tablici 6. (zamjena za tablicu VIII.-17.).


56

Tablica 6. Pridruživanje mjerodavne linije izvijanja

POPREČNI PRESJEK OGRANIČENJA

OS IZV.

VRUĆE

HLADNO

SVI OSIM NIŽE NAVEDENIH

deb. vara:


57

4.5.2.7. Sažetak postupka za dimenzioniranje centrički opterećenih

elemenata prema eurokodu

Izmjena

• Klasifikacija poprečnog presjeka (točka 2.1.) - tablica 1. i 2. • Otpornost poprečnog presjeka (točka 4.3.2.)

1NN

Rd,c

Ed ≤ izraz (9)

0M

yRd,c

fAN

γ

⋅= - za klasu presjeka 1, 2 i 3 izraz (12)

• Određivanje dužine izvijanja Lcr,y i Lcr,z • Određivanje elastične kritične sile Ncr,y i Ncr,z (točka 4.5.2.6.)

2y,cr

y2

y,crL

EN

Ι⋅⋅π= i 2

z,cr

z2

z,crL

EN

Ι⋅⋅π= izraz (39)

• Određivanje svedene vitkosti yλ i zλ (točka 4.5.2.6.)

y,cr

yy

NfA ⋅

=λ i z,cr

yz

NfA ⋅

=λ izraz (35)

• Određivanje mjerodavne linije izvijanja (točka 4.5.2.6.) – tablica 6. • Određivanje pomoćne veličine Φy i Φz (točka 4.5.2.6.)

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

2yyy 2,015,0 izraz (41)

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

2zzz 2,015,0 izraz (41)


58

• Određivanje faktora redukcije χy i χz (točka 4.5.2.6.)

0,112y

2yy

y ≤λ−Φ+Φ

=χ (40)

0,112z

2zz

z ≤λ−Φ+Φ

=χ (40)

• Određivanje računske otpornosti elementa na izvijanje Nb,y,Rd i Nb,z,Rd (točka 4.5.2.6.)

1M

yyRd,cyRd,y,b

fANN

γ

⋅⋅χ=⋅χ= . (37)

1M

yzRd,czRd,z,b

fANN

γ

⋅⋅χ=⋅χ= . (37)

• Dokaz pouzdanosti elementa na izvijanje

1NN

Rd,b

Ed ≤ (38)

{ }Rd,z,bRd,y,bRd,b N;NminN = Napomena: Točke 4.5.2.8. i 4.5.2.9. iz knjige „Metalne konstrukcije 1” stavljaju se

van snage.


59

PRIMJER 9

OTPORNOST ELEMENTA

CENTRIČKI OPTEREĆENI TLAČNI ŠTAP

Potrebno je dimenzionirati centrički opterećen tlačni štap s jed-nakim dužinama izvijanja oko obje glavne osi.

Djelovanja: • stalno opterećenje: Gk = 50 kN • korisno opterećenje: Pk = 150 kN





Pk Gk Pk Gk

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r


60

Površina poprečnog presjeka A = 53,83 cm2 Moment tromosti Ιy = 3 692 cm4

Ιz = 1 336 cm4


xxxx

1. KOMBINACIJA DJELOVANJA ZA KRAJNJE GRANIČNO STANJE

dEd FN =

kQkGEd PGN ⋅γ+⋅γ= 15050,15035,1NEd ⋅+⋅=

kN5,292NEd =

točka 2.1.


Iz primjera 2:


toč. 4.3.2.b)

3. OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA NA UZDUŽNU TLAČNU SILU

(9)

Iz primjera 5:

15,09111

5,292NN

Rd,c

Ed == < 1,00

0,15 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na tlačnu silu.

Fd Fd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m


61

toč. 4.5.2.6.

4. OTPORNOST ELEMENTA NA IZVIJANJE

(39)

(35)

tablica 6.

(41)

• Dužine izvijanja Lcr

cm600LLL z,cry,cr ===

• Eulerova kritična sila izvijanja Ncr

kN1262600

692300021L

EN 2

2

2y,cr

y2

y,cr =⋅⋅π

=Ι⋅⋅π

=

kN769600

336100021L

EN 2

2

2z,cr

z2

z,cr =⋅⋅π

=Ι⋅⋅π

=

• Svedena vitkost λ

948,01262

5,3583,53N

fA

y,cr

yy =

⋅=

⋅=λ

576,1769

5,3583,53N

fA

z,cr

yz =

⋅=

⋅=λ

• Mjerodavna linija izvijanja

95,0200190

bh

== < 1,2

mm0,10tf = < 100 mm

os izvijanja y-y: linija izvijanja b ; 34,0y =α

os izvijanja z-z: linija izvijanja c ; 49,0y =α

• Pomoćna veličina Φ za određivanje faktora redukcije

( ) ( )[ ]22yyyy 948,02,0948,034,015,02,015,0 +−⋅+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

077,1y =Φ

( ) ( )[ ]22zzzz 576,12,0576,149,015,02,015,0 +−⋅+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

079,2z =Φ


62

(40)

(37)

(38)

• Faktor redukcije χ

630,0948,0077,1077,1

11222

y2yy

y =−+

=λ−Φ+Φ

=χ

291,0576,1079,2079,2

11222

z2zz

z =−+

=λ−Φ+Φ

=χ

• Otpornost elementa na izvijanje Nb,Rd

1M

yRd,b

fAN

γ

⋅⋅χ=

0M1M γ=γ

Rd,cRd,b NN ⋅χ=

kN20419111630,0NN Rd,cyRd,y,b =⋅=⋅χ=

kN5569111291,0NN Rd,czRd,z,b =⋅=⋅χ=

• Uvjet nosivosti

1NN

Rd,b

Ed ≤

24,02041

5,292N

N

Rd,y,b

Ed == < 1,00

0,24 < 1,00

Element zadovoljava za izvijanje oko osi y-y.

53,0556

5,292N

N

Rd,z,b

Ed == < 1,00

0,53 < 1,00

Element zadovoljava za izvijanje oko osi z-z.


63

4.6. OTPORNOST ELEMENTA IZLOŽENOG ISTOVREMENO

TLAKU I SAVIJANJU

Dopuna

U ovom poglavlju obrađeni su samo elementi koji nisu osjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje. To su elementi s prikladnim oblicima poprečnih presjeka (obično okruglog cijevnog ili kvadratičnog poprečnog presjeka) te elementi kojima su poprečni presjeci osjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje (kao npr. I ili H profili savijani oko jače osi poprečnog presjeka), ali im je tlačna pojasnica pridržana kontinuirano ili u dovoljnom broju diskretnih točaka elementima za stabilizaciju kao bočno-torzijsko pridržanje za izvijanje izvan ravnine. Detaljnije o ovoj problematici navedeno je u točki 4.6.8.2.

4.6.8. Otpornost elementa izražena interakcijskim izrazima

Izmjena

4.6.8.1. Općenito

Teoretski izrazi za otpornost elementa izloženog istovremeno djelovanju uzdužne sile i savijanju (e* formula) pokazuju određena odstupanja od provedenih brojnih primjera nosivosti takvih elemenata numeričkom simulacijom uz pomoć nekog od priznatih kompjutorskih programa zasnovanog na teoriji konačnih elemenata. Pri tome se provode analize s mehaničkim i geometrijskim nelinearnostima te uzima-jući u obzir i imperfekcije. Mehanička nelinearnost sastoji se u idealiziranom bi-linearnom dijagramu σ−ε te uzimajući u obzir postojanje vlastitih naprezanja, koja se razlikuju obzirom na vrstu profila prema načinu izrade (valjani ili zavareni) te prema obliku i tipu po-prečnog presjeka (npr. IPE, HEA, HEB itd.). Geometrijska nelinearnost uzima se u obzir na način da se zadaje inicijalna zakriv-ljenost elementa sinusoidalnog oblika s najvećom imperfekcijom od npr. L/1000 u polovici raspona.


64

Slika 8. Materijalna nelinearnost Traženje rješenja interakcije pojedinih djelovanja, koje bi obuhvatilo što bolje stvarno ponašanje ovako opterećenog elementa, rađeno je na tri razine:

• Razina 1: Što jednostavniji interakcijski izrazi za standardne slučajeve (pogodno za ‘ručne’ proračune)

• Razina 2: Precizniji i sveobuhvatniji interakcijski izrazi (pogodni za kompjutorske proračune, Excel rutine i slično)

• Razina 3: Numeričke simulacije (provode se primjenom kompjutorskih programa i metode konačnih elemenata)

Ovakvim pristupom na različitim razinama moguće je obuhvatiti sve slučajeve koji se pojavljuju u inženjerskoj praksi. Razina 1 predviđena je za dimenzioniranje odnosno dokaz pouzdanosti u svakodnevnoj inženjerskoj praksi, pri čemu najbolje rezultate pokazuje primjenom interakcijskih izraza za uobičajene i najčešće tipove poprečnih presjeka elemenata. Ako se radi o poprečnim presjecima, koji se ne mogu svrstati u gornju skupinu ili se želi provesti što točniji proračun, tada se dokazi pouzdanosti provode na razini 2. Najsloženiji, ali zato i najprecizniji odgovor o interakciji pojedinih djelovanja mo-guće je dobiti na razini 3, ali ona nije pogodna za svakodnevnu inženjersku praksu već služi kao baza odnosno temelj za formiranje izraza na razini 1 odnosno 2. 4.6.8.2. Elementi neosjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje

Općenito se smatra da su elementi neosjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje svi oni s poprečnim presjecima zatvorenog oblika, kao što su na primjer okrugle i kvadra-


65

tične cijevi te sa sandučastim poprečnim presjecima kvadratičnog oblika. Iako u eurokodu 3 nije izrijekom navedeno da pravokutni cijevni profili također nisu osjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje, parametarskim studijama kao i na temelju dosadašnjeg iskustva može se pokazati da se i pravokutni cijevni profili mogu svrstati u ovu grupaciju ako im odnos širine presjeka b u odnosu na visinu profila h ne prelazi odnos 1:2. U grupu elemenata neosjetljivih na bočno-torzijsko izvijanje ubrajaju se također i elementi s poprečnim presjecima koji su u pravilu osjetljivi na torzijske deformacije (npr. valjani I i H profili savijani oko jače osi poprečnog presjeka), ali im je tlačna pojasnica pridržana kontinuirano (npr. trapeznim limom s dostatnom krutošću lima, armirano-betonskom pločom itd.) ili u diskretnim točkama na dovoljno malom razmaku (npr. elementima za stabilizaciju) protiv bočno-torzijskog izvijanja (slika 9.). Elementi s I ili H poprečnim presjecima savijani oko slabije osi poprečnog pre-sjeka z-z također su neosjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje. Tlačna pojasnica valjanih I i H profila savijanih oko jače osi poprečnog presjeka može biti pridržana i u diskretnim točkama elementima za stabilizaciju (slika 9.c). Ako su razmaci tih diskretnih pridržanja Lc dovoljno mali, smatra se da su takvi elementi neosjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje. Da bi element s navedenim tipom poprečnog presjeka bio neosjetljiv na bočno-torzijsko izvijanje, mora biti zadovoljen sljedeći uvjet:

Ed,y

Rd,c0c

1z,f

ccf

MM

iLk

⋅λ≤λ⋅

⋅=λ (39)

sa:

ε⋅==λ 9,93f235

y1 (vrijednosti za ε vidi u tablici 1.)

1M

yyRd,c

fWM

γ

⋅= (40)

1,00,LT0c +λ=λ (41)

gdje je:


66

a) Zatvoreni oblici poprečnih presjeka (cijevni i sandučasti presjeci)

b) I profili s kontinuirano pridržanom tlačnom pojasnicom

c) I profili s bočno-torzijskim pridržanjima u dovoljnom broju diskretnih točaka na razmaku Lc

Slika 9. Poprečni presjeci elemenata neosjetljivih na bočno-torzijsko izvijanje

y y

z

z

yy

z

z

y y

z

z

My,Ed

y y

z

z

yy

z

z

x x

My,Ed

yy

z

z

x x

Lc


67

fλ - rezultirajuća vitkost ekvivalentne tlačne pojasnice, kc - korekcijski faktor vitkosti za rapodjelu momenata između točaka bočnog

pridržanja (tablica 7.), Tablica 7. Korekcijski faktor kc

Raspodjela momenata savijanja oko osi y-y između točaka bočnog pridržanja

Korekcijski faktor vitkost kc

ψ=1 −1 ≤ ψ ≤ +1

1,0

ψ⋅− 33,033,11

0,94

0,90

0,91

0,86

0,77

0,82

Lc - razmak točaka bočnog pridržanja tlačne pojasnice, if,z - radijus tromosti ekvivalentne tlačne pojasnice oko osi z-z, sastavljene od

pojasnice i trećine visine hrpta, fy - granica popuštanja čelika izražena u N/mm2,

0cλ - granična vitkost ekvivalentne tlačne pojasnice,


68

0,LTλ - faktor čija je preporučena vrijednost 0,4 za valjane i odgovarajuće I ili H profile,

Wy - moment otpora koji odgovara tlačnoj pojasnici, γM1 - parcijalni faktor za otpornost elementa, My,Ed - računski moment savijanja oko osi y-y kao učinak djelovanja. 4.6.8.3. Interakcijski izrazi prema eurokodu 3 za klase presjeka 1, 2 i 3

Interakcijski izraz za element izložen djelovanju tlačne sile i jednoosnom savijanju oko osi y-y može se u najopćenitijem slučaju napisati kao:

1M

MCk

NN

Rd,b

Ed,ymyy

Rd,b

Ed ≤⋅

⋅+ (42)

gdje je:

NEd - računska uzdužna sila kao učinak djelovanja, Nb,Rd - računska otpornost elementa na izvijanje, ky - interakcijski faktor, Cmy - ekvivalentni faktori momenta za savijanje oko osi y-y, My,Ed - najveći računski moment savijanja oko osi y-y duž elementa kao učinak

djelovanja, Mb,Rd - računska otpornost elementa na savijanje. Upravo na veličini određivanja interakcijskog faktora k ogleda se sva razlika u različitim prijedlozima za što bolje obuhvaćanje stvarnog ponašanja elementa izloženog istovremenom djelovanju uzdužne tlačne sile i jednoosnom savijanju oko osi y-y. Konačana EN verzija eurokoda 3 predviđa dvije metode za određivanje ovih inter-akcijskih faktora k. Metoda 1 je vrlo složena dok je metoda 2 puno jednostavnija za svakodnevnu inženjersku praksu. Koja od ove dvije metode će biti određena kao mjerodavna za provođenje dokaza pouzdanosti u postupku dimenzioniranja ovako opterećenih elemenata, znat će se nakon što bude izrađen i prihvaćen nacionalni dodatak za primjenu eurokoda 3 u Republici Hrvatskoj. U nastavku bit će prika-zana jednostavnija metoda 2.


69

I n t e r a k c i j s k i i z r a z i – m e t o d a 2 Za elemente s poprečnim presjecima klase presjeka 1, 2 i 3 izloženih istovremeno uzdužnoj tlačnoj sili i dvoosnom savijanju, interakcijski izrazi glase:

1MM

kM

Mk

NN

1M

Rk,z

Ed,zyz

1M

Rk,yLT

Ed,yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

⋅+

γ⋅χ

⋅+

γ⋅χ

(43)

1MM

kM

Mk

NN

1M

Rk,z

Ed,zzz

1M

Rk,yLT

Ed,yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

⋅+

γ⋅χ

⋅+

γ⋅χ

(44)

gdje je:

NEd - računska uzdužna sila kao učinak djelovanja, NRk - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu, My,Ed - računski moment savijanja oko osi y-y kao učinak djelovanja, My,Rk - karaketristična otpornost poprečnog presjeka na savijnaje oko osi y-y, Mz,Ed - računski moment savijanja oko osi z-z kao učinak djelovanja, Mz,Rk - karaketristična otpornost poprečnog presjeka na savijnaje oko osi z-z, χy ,χz - faktori redukcije kod izvijanja elementa, χLT - faktori redukcije kod bočno-torzijskog izvijanja elementa, kij - interakcijski faktori. Kod elementa koji nisu osjetljivi na bočno-torzijsko izvijanje, faktor redukcije χLT u izrazima (43) i (44) jednak je 1 te oni glase:

1MM

kMM

kN

N

1M

Rk,z

Ed,zyz

1M

Rk,y

Ed,yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

⋅+

γ

⋅+

γ⋅χ

(45)

1MM

kMM

kN

N

1M

Rk,z

Ed,zzz

1M

Rk,y

Ed,yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

⋅+

γ

⋅+

γ⋅χ

(46)


70

Karakteristična otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu NRk kao i karakte-ristične otpornosti poprečnog presjeka na savijanje My,Rk i Mz,Rk određuju se u skladu s klasom poprečnog presjeka. Za klasu presjeka 1 i 2 vrijedi plastična otpor-nost poprečnog presjeka na savijanje, a za klasu 3 elastična otpornost poprečnog presjeka na savijanje. Kad je riječ o otpornosti poprečnog presjeka na uzdužnu tlačnu silu, ona je jednaka za prve tri klase poprečnog presjeka i odnosi se na plastičnu otpornost poprečnog presjeka. Ako se radi o elementu izloženom istovremenom djelovanju tlačne sile i jedno-osnom savijanju samo oko jače osi poprečnog presjeka y-y te ako se radi o poprečnim presjecima neosjetljivim na torzijske deformacije kao što su npr. I, H ili pravokutni cijevni profili, interakcijski faktor kzy može se uzeti kao 0, te izrazi (45) i (46) poprimaju sljedeći oblik:

1MM

kN

N

1M

Rk,y

Ed,yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

⋅+

γ⋅χ

(47)

1N

N

1M

Rkz

Ed ≤

γ⋅χ

(48)

Interakcijski faktori kij određuju se prema tablici 8. Faktor jednolikog ekvivalentnog momenta Cm, kojim se različiti oblici momentnih dijagrama svode na jednoliki moment duž cijelog elementa, određuje se u skladu s tablicom 9.


71

Tablica 8. Interakcijski faktori kij za elemente neosjetljive na torzijske deformacije

Faktori Tip Proračunske pretpostavke kij presjeka Klasa presjeka 1 i 2 Klasa presjeka 3 i 4

kyy

( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γχ−λ+

1MRky

Edymy N

N2,01C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γχ+≤

1MRky

Edmy N

N8,01C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ⋅χ⋅λ⋅+

1MRky

Edymy N

N6,01C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ⋅χ⋅+≤

1MRky

Edmy N

N6,01C

kyz zzk6,0 ⋅ zzk

kzy yyk6,0 ⋅ yyk8,0 ⋅

kzz

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γχ−λ+

1MRkz

Edzmz N

N6,021C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ⋅χ⋅+≤

1MRkz

Edmz N

N4,11C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ⋅χ⋅λ⋅+

1MRkz

Edzmz N

N6,01C

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γχ−λ+

1MRkz

Edzmz N

N2,01C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γχ+≤

1MRkz

Edmz N

N8,01C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ⋅χ⋅+≤

1MRkz

Edmz N

N6,01C

Za I i H presjeke te za pravokutne cijevne profile izložene tlačnoj sili i jednoosnom savijanju My,Ed oko jače osi profila može se uzeti da je kzy = 0.


72

Tablica 9. Faktor jednolikog ekvivalentnog momenta Cm

MMψ

MMψ

hh

Ms

αs= Ms / Mh

M Mψh h

Ms

α = M s/ Mh h

Momentni dijagram PodručjeCmy Cmz CmLTi i

jednolikoopterećenje

koncentriranoćenje optere

11 ≤≤− ψ

10 ≤≤ sα 11 ≤≤− ψ

11 ≤≤− ψ

4.04.06.0 ≥+ ψ

01 <≤− sα

01 <≤− sα

10 ≤≤ hα

10 ≤≤ψ

10 ≤≤ψ

01 <≤− ψ

01 <≤− ψ

4.08.02.0 ≥+ sα

4.08.01.0 ≥− sα

4.08.02.0 ≥+ sα

4.08.0 ≥− sα

4.08.011.0 ≥−− sαψ 4.08.02.0 ≥−− sαψ

hα05.095.0 +

hα05.095.0 +

ψα 2105.095.0 ++ h

hα10.090.0 +

hα10.090.0 +

ψα 2110.090.0 +− h

Za elemente s pomičnim modom izvijanja za ekvivalentni jednoliki faktor momenta treba uzetiC = 0.9 ili C = 0.9 my mz

C , C i C treba odrediti obzirom na oblik momentnog dijagrama između relevantnih pridržanih točaka kako slijedi:

my mz mLT

faktor momenta: os savijanja: točke pridržanja u smjeru:C my

C mz

C mLT

y - yz - zy - y

z - zy - yy - y

4.6.8.4. Sažetak postupka za dimenzioniranje elemenata izloženih

istovremeno tlačnoj sili i savijanju u skladu s eurokodom

Novo

• Klasifikacija poprečnog presjeka (točka 2.1.) - tablica 1. i 2. • Otpornost poprečnog presjeka (točka 4.3.)

a) Otpornost na tlačnu silu (točka 4.3.2.)

b) Otpornost na savijanje (točka 4.3.1.)


73

c) Otpornost na poprečnu silu (točka 4.3.3.)

d) Interakcija djelovanja M/N/V na poprečnom presjeku (točka 4.3.11.) • Otpornost elementa na izvijanje (točka 4.5.2.6.) • Interakcija djelovanja M/N na elementu (točka 4.6.8.3.) Napomena: Točke 4.6.4., 4.6.5. i 4.6.6. iz knjige „Metalne konstrukcije 1” stavlja-

ju se van snage.

PRIMJER 10

OTPORNOST ELEMENTA

ELEMENT IZLOŽEN UZDUŽNOJ TLAČNOJ SILI I SAVIJANJU OKO OSI y-y

Potrebno je dimenzionirati element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i savijanju oko osi y-y. Tlačna pojasnica Ι poprečnog presjeka je bočno pridržana cijelom svojom dužinom te ne postoji opasnost od pojave bočno-torzijskog izvijanja. Ograničenje progiba je L/200.

Djelovanja: • stalno opterećenje: gk = 10 kN/m • korisno opterećenje: Pk = 195 kN



Pk Pk

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gk


74


Visina presjeka h = 190 mm Širina pojasnice b = 200 mm Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm Površina poprečnog presjeka A = 53,83 cm2 Moment tromosti Ιy = 3 692 cm4

Ιz = 1 336 cm4



A) GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI

1. KOMBINACIJA DJELOVANJA ZA GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd


75

Na progib, kao uvjet graničnog stanja uporabivosti, utječe samo poprečno kontinuirano opterećenje gk.

mkN0,100,100,1gg kGd =⋅=⋅γ=

2. DOKAZ VELIČINE PROGIBA

• Progib od stalnog opterećenja:

y

4d

ELg

3845w

Ι⋅⋅

⋅=

cm2,2692300021600100,10

3845w

42=

⋅⋅⋅

⋅=−

• Ograničenje veličine progiba:

200Lwmax =

cm0,3200600wmax ==

cm2,2w = < cm0,3wmax = Uvjet veličine progiba za granično stanje uporabivosti zadovoljava.

B) KRAJNJE GRANIČNO STANJE


kGd gg ⋅γ= mkN5,130,1035,1gd =⋅=

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd


76

kQd PP ⋅γ=

kN5,2921955,1Pd =⋅=

2. UČINCI DJELOVANJA

kN5,292PN dEd ==

kNm8,608

0,65,138

LgM22

dEd,y =

⋅=

⋅=

kN5,402

0,65,132

LgV dEd,z =

⋅=

⋅=

točka 2.1.


Mjerodavan poprečni presjek za klasifikaciju je onaj koji se nalazi najviše u tlaku. Na početku i na kraju grede moment savijanja je jedank nuli a djeluje uzdužna tlačna sila. Prema tome, ti presjeci su izloženi jednolikim tlačnim naprezanjima.

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd

Vz,Ed

My,Ed

NEd


77

Iz primjera 2:


točka 4.3.


točka 4.3.2.b


Iz primjera 5:


00,115,09111

5,292NN

Rd,c

Ed <==

0,15 < 1,00

točka 4.3.1.

4.2. Otpornost na savijanje oko osi y-y

Iz primjera 4:


40,05,1528,60

MM

Rd,y

Ed,y == < 1,00

0,40 < 1,00

točka 4.3.3.

4.3. Otpornost na posmik u smjeru osi z

Iz primjera 6:

Vz,Rd = 370,6 kN

11,06,3705,40

VV

Rd,z

Ed,z == < 1,00

0,11 < 1,00


78

točka 4.3.11.


Iz primjera 7:

MN,y,Rd = Mpl,y,Rd = 152,5 kNm

40,05,1528,60

MM

Rd,y,N

Ed,y == < 1,00

0,40 < 1,00

Otpornost poprečnog presjeka zadovoljava.

5. OTPORNOST ELEMENTA

točka 4.5.2.6.

5.1. Otpornost na izvijanje

Iz primjera 9:

Nb,Rd = Nb,z,Rd = 566 kN

00,152,0566

5,292NN

Rd,b

Ed <==

0,52 < 1,00

Otpornost elementa na izvijanje zadovoljava.

točka 4.6.

5.2. M/N interakcija

(47)

(48)

Interakcijski izrazi za slučaj kad je element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i jednoosnom savijanju oko osi y-y uz uvjet da je tlačna pojasnica kontinuiran-o bočno pridržana (klasa presjeka 2):

00,1MM

kNN

1M

Rk,c

Ed,yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

⋅+

γ⋅χ

00,1NN

1M

Rkz

Ed ≤

γ⋅χ


79

tablica 9.

Kako su parcijalni faktori γM0 i γM1 jednaki i iznose 1,0 , interakcijski izrazi se mogu napisati i u sljedećem obliku:

00,1MM

kN

N

Rd,c

Ed,yyy

Rd,y,b

Ed ≤⋅+

00,1N

N

Rd,z,b

Ed ≤

• Faktor zamjenskog jednolikog momenta Cmy za jednoliko raspodijeljeno opterećenje

0Mh =

Ed,ys MM =

0M0

MM

ss

hh ===α

hmy 05,095,0C α⋅+=

95,0005,095,0Cmy =⋅+=

tablica 8.

• Interakcijski faktor kyy za elemente koji nisu osjetljivi na torzijske deformacije

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ⋅χ

⋅+⋅≤

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ⋅χ

⋅−λ+⋅=

1M

Rky

Edmy

1M

Rky

Edymyyy NN8,01CN

N2,01Ck

Kako su parcijalni faktori γM0 i γM1 jednaki i iznose 1,0 , gornji izraz se može napisati i u sljedećem obliku:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−λ+⋅=

Rd,y,b

Edmy

Rd,y,b

Edymyyy NN8,01C

NN2,01Ck

Iz primjera 9: 948,0y =λ

( ) ( ) 123,12041

5,2922,0948,0195,0N

N2,01CkRd,y,b

Edymyyy =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−λ+⋅=

MSMh

ψMh


80

135,12041

5,2928,0195,0N

N8,01CRd,y,b

Edmy =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅

123,1kyy = < 1,135 → 123,1kyy =

(47)

(48)

• M/N interakcija

I. uvjet:

00,1MM

kN

N

Rd,c

Ed,yyy

Rd,y,b

Ed ≤⋅+

00,15,1528,60123,1

20415,292

≤⋅+

0,69 < 1,00

II. uvjet:

00,1N

N

Rd,z,b

Ed ≤

00,1566

5,292≤

0,52 < 1,00

M/N interakcija na elementu zadovoljava.

U nastavku je dan primjer 10a, koji obrađuje isti element kao u primjeru 10 ali u integralnom obliku, kakav bi trebao biti kao sastavni dio statičkog proračuna.


81

PRIMJER 10a

OTPORNOST ELEMENTA

ELEMENT IZLOŽEN UZDUŽNOJ TLAČNOJ SILI I SAVIJANJU OKO OSI y-y

Potrebno je dimenzionirati element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i savijanju oko osi y-y. Tlačna pojasnica Ι poprečnog presjeka je bočno pridržana cijelom svojom dužinom te ne postoji opasnost od pojave bočno-torzijskog izvijanja. Ograničenje progiba je L/200.

Djelovanja: • stalno opterećenje: gk = 10 kN/m • korisno opterećenje: Pk = 195 kN





Širina pojasnice b = 200 mm

Pk Pk

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gk

b

h d

c

z

z

yy

tw

tf r


82

Debljina pojasnice tf = 10 mm Radijus r = 18 mm Debljina hrpta tw = 6,5 mm Površina poprečnog presjeka A = 53,83 cm2 Moment tromosti Ιy = 3 692 cm4

Ιz = 1 336 cm4



A) GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI

1. KOMBINACIJA DJELOVANJA ZA GRANIČNO STANJE UPORABIVOSTI

Na progib, kao uvjet graničnog stanja uporabivosti, utječe samo poprečno kontinuirano opterećenje gk.

mkN0,100,100,1gg kGd =⋅=⋅γ=

2. DOKAZ VELIČINE PROGIBA

• Progib od stalnog opterećenja:

y

4d

ELg

3845w

Ι⋅⋅

⋅=

cm2,2692300021600100,10

3845w

42=

⋅⋅⋅

⋅=−

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd


83

• Ograničenje veličine progiba:

200Lwmax =

cm0,3200600wmax ==

cm2,2w = < cm0,3wmax = Uvjet veličine progiba za granično stanje uporabivosti zadovoljava.

B) KRAJNJE GRANIČNO STANJE


kGd gg ⋅γ= mkN5,130,1035,1gd =⋅=

kQd PP ⋅γ=

kN5,2921955,1Pd =⋅=

2. UČINCI DJELOVANJA

kN5,292PN dEd ==

kNm8,608

0,65,138

LgM22

dEd,y =

⋅=

⋅=

kN5,402

0,65,132

LgV dEd,z =

⋅=

⋅=

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd


84

točka 2.1.


Mjerodavan poprečni presjek za klasifikaciju je onaj koji se nalazi najviše u tlaku. Na početku i na kraju grede moment savijanja je jedank nuli a djeluje uzdužna tlačna sila. Prema tome, ti presjeci su izloženi jednolikim tlačnim naprezanjima.

3.1. Klasifikacija pojasnice


mm75,782

1825,62002

r2tbc w =⋅−−

=⋅−−

=

mm10tt f ==

88,7

0,1075,78

tc

==

tablica 2.

Uvjet za klasu 1:

Pd Pd

Lcr,y = Lcr,z = L = 6,00 m

gd

Vz,Ed

My,Ed

NEd

c

fy +


85

29,781,099tc

=⋅=ε⋅≤

7,88 > 7,29 ⇒ Pojasnica NIJE klasa 1

tablica 2.

Uvjet za klasu 2:

1,881,01010tc

=⋅=ε⋅≤


3.2. Klasifikacija hrpta


c = d mm1341820,102190r2t2hc f =⋅−⋅−=⋅−⋅−=

mm5,6tt w ==

62,205,6

134tc

==

tablica 1.

Uvjet za klasu 1:

73,2681,03333tc

=⋅=ε⋅≤

20,62 < 26,73 ⇒ Hrbat je klasa 1.

3.3. Klasifikacija poprečnog presjeka


točka 4.3.


d

fy

+


86

točka 4.3.2.b



(12)

(9)

0M

yRd,plRd,c

fANN

γ

⋅==

kN91110,1

5,3583,53NN Rd,plRd,c =⋅

==


UVJET NOSIVOSTI:

1NN

Rd,c

Ed ≤

15,09111

5,292= < 1,00

0,15 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na tlačnu silu.

4.2. Otpornost poprečnog presjeka na savijanje

(6)

(5)


0M

yy,plRd,y,plRd,c

fWMM

γ

⋅==

kNcm247150,1

5,355,429MM Rd,y,plRd,c =⋅

==


UVJET NOSIVOSTI:

1MM

Rd,y

Ed,y ≤

40,05,1528,60

= < 1,00

0,40 < 1,00


87

Poprečni presjek zadovoljava na savijanje.

4.3. Otpornost poprečnog presjeka na posmik

4.3.1. Provjera opasnosti od nastupanja izbočavanja hrpta

Svjetli razmak između pojasnica hw (prema slici na početku zadatka):

fw t2hh ⋅−= mm1700,102190hw =⋅−=

(14)

Nema opasnosti od izbočavanja hrpta Ι profila ako je zadovoljen uvjet:

ηε

⋅≤ 72th

w

w

η=1,20 za valjane Ι profile

15,265,6

170th

w

w ==

6,4820,181,07272 =⋅=

εη

⋅

15,26th

w

w = < 6,4872 =ηε

⋅

Nema opasnosti od izbočavanja hrpta Ι profila.

4.3.2. Djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka

(17)

( ) wwfwfv thtr2ttb2AA ⋅⋅η≥⋅⋅++⋅⋅−=

( ) ( ) 0,18,1265,00,10,20283,53tr2ttb2AA fwfv ⋅⋅++⋅⋅−=⋅⋅++⋅⋅−= 2

v cm08,18A =

2ww cm26,1365,00,1720,1th =⋅⋅=⋅⋅η

22 cm26,13cm08,18 >


88

Av = 18,08 cm2

4.3.3. Otpornost poprečnog presjeka na posmik

(16)

(15)

0M

yz,vRd,z,pl

3

fAV

γ⋅

⋅=

kN6,3700,13

5,3508,18V Rd,z,pl =⋅

⋅=

Vpl,z,Rd = 370,6 kN

UVJET NOSIVOSTI:

1VV

Rd,z

Ed,z ≤

11,06,3705,40

= < 1,00

0,11 < 1,00

Poprečni presjek zadovoljava na posmik.

4.3.11.


4.3.11.2.

(25)

4.4.1. Ispitivanje utjecaja veličine poprečne sile na smanjenje

otpornosti poprečnog presjeka na savijanje


• Poprečna sila u smjeru osi z

Rd,zEd,z V5,0V ⋅≤

kN5,40V Ed,z =

kN3,1856,3705,0V5,0 Rd,z =⋅=⋅


89

40,5 kN < 185,3 kN


4.3.11.3.

tablica 3.

tablica 3.

4.4.2. Ispitivanje utjecaja veličine uzdužne sile na smanjenje otpornosti poprečnog presjeka na savijanje


• Savijanje oko osi y-y

I. uvjet:

Rd,plEd N25,0N ⋅≤

kN5,292NEd =

kN478191125,0 =⋅

292,5 kN < 478 kN


II. uvjet:

0M

ywwEd

fth5,0N

γ

⋅⋅⋅≤

kN5,292NEd =

kN1960,1

5,3565,00,175,0fth5,0

0M

yww =⋅⋅⋅

=γ

⋅⋅⋅

292,5 kN > 196 kN

Uvjet nije zadovoljen.

4.3.11.3.

4.4.3. Određivanje smanjene otpornosti poprečnog presjeka na savijanje zbog istovremenog djelovanja uzdužne sile


90

tablica 3.

Rd,y,plRd,,y,plRd,y,N Ma5,01

n1MM ≤⋅−

−⋅=

153,01911

5,292NNn

Rd,pl

Ed ===

5,0A

tb2Aa f ≤⋅⋅−

=

628,083,53

0,10,20283,53a =⋅⋅−

= > 0,5 → 5,0a =

kNm2,1725,05,01

153,015,152a5,01

n1MM Rd,,y,plRd,y,N =⋅−

−⋅=

⋅−−

⋅=

kNm2,172M Rd,y,N = > kNm5,152M Rd,y,pl = → kNm5,152M Rd,y,N =

Nema smanjenja otpornosti poprečnog presjeka na savijanje uslijed istovremenog djelovanja uzdužne sile.

5. OTPORNOST ELEMENTA

toč. 4.5.2.6.

5.1. Otpornost elementa na izvijanje

(39)

(35)

• Dužine izvijanja Lcr

cm600LLL z,cry,cr ===

• Eulerova kritična sila izvijanja Ncr

kN1262600

692300021L

EN 2

2

2y,cr

y2

y,cr =⋅⋅π

=Ι⋅⋅π

=

kN769600

336100021L

EN 2

2

2z,cr

z2

z,cr =⋅⋅π

=Ι⋅⋅π

=

• Svedena vitkost λ

948,01262

5,3583,53N

fA

y,cr

yy =

⋅=

⋅=λ


91

tablica 6.

(41)

(40)

(37)

576,1769

5,3583,53N

fA

z,cr

yz =

⋅=

⋅=λ

• Mjerodavna linija izvijanja

95,0200190

bh

== < 1,2

mm0,10tf = < 100 mm

os izvijanja y-y: linija izvijanja b ; 34,0y =α

os izvijanja z-z: linija izvijanja c ; 49,0y =α

• Pomoćna veličina Φ za određivanje faktora redukcije

( ) ( )[ ]22yyyy 948,02,0948,034,015,02,015,0 +−⋅+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

077,1y =Φ

( ) ( )[ ]22zzzz 576,12,0576,149,015,02,015,0 +−⋅+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λ⋅α+⋅=Φ

079,2z =Φ

• Faktor redukcije χ

630,0948,0077,1077,1

11222

y2yy

y =−+

=λ−Φ+Φ

=χ

291,0576,1079,2079,2

11222

z2zz

z =−+

=λ−Φ+Φ

=χ

• Otpornost elementa na izvijanje Nb,Rd

1M

yRd,b

fAN

γ

⋅⋅χ=

0M1M γ=γ

Rd,cRd,b NN ⋅χ=

kN20419111630,0NN Rd,cyRd,y,b =⋅=⋅χ=


92

(38)

kN5569111291,0NN Rd,czRd,z,b =⋅=⋅χ=

• Uvjet nosivosti

1NN

Rd,b

Ed ≤

24,02041

5,292N

N

Rd,y,b

Ed == < 1,00

0,24 < 1,00

Element zadovoljava za izvijanje oko osi y-y.

53,0556

5,292N

N

Rd,z,b

Ed == < 1,00

0,53 < 1,00

Element zadovoljava za izvijanje oko osi z-z.

točka 4.6.

5.2. M/N interakcija

(47)

(48)

Interakcijski izrazi za slučaj kad je element izložen uzdužnoj tlačnoj sili i jednoosnom savijanju oko osi y-y uz uvjet da je tlačna pojasnica kontinuiran-o bočno pridržana (klasa presjeka 2):

00,1MM

kNN

1M

Rk,c

Ed,yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

⋅+

γ⋅χ

00,1NN

1M

Rkz

Ed ≤

γ⋅χ

Kako su parcijalni faktori γM0 i γM1 jednaki i iznose 1,0 , interakcijski izrazi se mogu napisati i u sljedećem obliku:

00,1MM

kN

N

Rd,c

Ed,yyy

Rd,y,b

Ed ≤⋅+

00,1N

N

Rd,z,b

Ed ≤


93

tablica 9.

• Faktor zamjenskog jednolikog momenta Cmy za jednoliko raspodijeljeno opterećenje

0Mh =

Ed,ys MM =

0M0

MM

ss

hh ===α

hmy 05,095,0C α⋅+=

95,0005,095,0Cmy =⋅+=

tablica 8.

• Interakcijski faktor kyy za elemente koji nisu osjetljivi na torzijske deformacije

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ⋅χ

⋅+⋅≤

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ⋅χ

⋅−λ+⋅=

1M

Rky

Edmy

1M

Rky

Edymyyy NN8,01CN

N2,01Ck

Kako su parcijalni faktori γM0 i γM1 jednaki i iznose 1,0 , gornji izraz se može napisati i u sljedećem obliku:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−λ+⋅=

Rd,y,b

Edmy

Rd,y,b

Edymyyy NN8,01C

NN2,01Ck

Iz primjera 9: 948,0y =λ

( ) ( ) 123,12041

5,2922,0948,0195,0N

N2,01CkRd,y,b

Edymyyy =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−λ+⋅=

135,12041

5,2928,0195,0N

N8,01CRd,y,b

Edmy =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅

123,1kyy = < 1,135 → 123,1kyy =

• M/N interakcija

I. uvjet:

MSMh

ψMh


94

(47)

(48)

00,1MM

kN

N

Rd,c

Ed,yyy

Rd,y,b

Ed ≤⋅+

00,15,1528,60123,1

20415,292

≤⋅+

0,69 < 1,00

II. uvjet:

00,1N

N

Rd,z,b

Ed ≤

00,1566

5,292≤

0,52 < 1,00

M/N interakcija na elementu zadovoljava.


95

Literatura: [1] Androić, B.; Dujmović, D.; Džeba, I.: Metalne konstrukcije 1, Institut građevinarstva Hrvatske, Zagreb, 1994. [2] EN 1993-1-1:2005, Eurocode 3, Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, European Standard [3] Gardner, L.; Nethercot, D.: Designers’ Guide to EN 1993-1-1, Eurocode 3,

Design of Steel Structures, Thomas Telford, 2005. [4] Ofner, R.: Results of a parametric study of steel beams under axial

comression and biaxial bending – comparisons with code regulations, Institute for Steel, Timber and Shell Structures, Technical University Graz

Documents

Separat DIMENZIONIRANJE