Seminarski Specijalni problemi fundiranja

7/29/2019 Seminarski Specijalni problemi fundiranja

1/22

GRAEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADUKATEDRA ZA GRAEVINSKU GEOTEHNIKUSPECIJALNI PROBLEMI FUNDIRANjA2012/2013.

SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA

SPECIJALNI PROBLEMIFUNDIRANjA

Predmetni nastavnik: Prof.dr Milo Lazovi, d.i.g.Asistent: dr Selimir Lelovi, d.i.g.Kandidat: Slobodanka Jovaevi 525/12


2/22

SPECIJALNI PROBLEMI FUNDIRANjA

Slobodanka Jovaevi 525/12 2

A. FORMIRANjE MATRICE FLEKSIBILNOSTI

A.1. Formiranje matrice fleksibilnosti tla integracijom Boussinesqu-ovog reenja za

sleganje taaka na povrini poluprostora usled dejstva koncentrisane vertikalne sile

Teorija prorauna temelja na deformabilnoj podlozi predstavlja veoma opirnu oblastteorije konstrukcija. Mnoge od metda prorauna su komplikovane i nepogodne zapraktinu primenu, dok se neke od metoda zasnivaju na hipotezama koje ne odgovarajustvarnom ponaanju podloge. Pretpostavka prema kojoj se podloga tretira kao homogen,elastian u izotropan poluprostor pod odreenim uslovima dovoljno dobro odraava fizikekarakterstike tla na koje je temelj oslonjen.

Kao posledica prenoenja optereenja preko temeljnog nosaa na podlogu u kontaktnojpovrini javljaju se otpori podloge. Veliina i raspored otpora zavise od osobina podloge,krutosti temeljnog nosaa, krutosti konstrukcije iznad temeljnog nosaa, veliine i poloajaoptereenja koje se preko temeljnog nosaa prenosi na tlo.

Ukoliko se tlo idealizuje i tretira kao elastina, homogena i izotropna sredina tada se na tlomogu primeniti sva reenja linearne teorije elastinosti.

Posmatramo savijanje temeljnog nosaa (slika 1), optereenog proizvoljnim poprenimoptereenjem koje se menja po zakonu p(x). Pretpostavljamo da se otpor tla menja ponekom, za sada, nepozatom zakonu q(x). Ako je visina temeljnog nosaa mala u odnosuna njegovu duinu, tada na deformacije nosaa moemo primeniti Bernoulli-jevu hipotezuravnih preseka. Diferencijalnu jednainu elastine linije nosaa konstantnog poprenogpreseka moemo napisati u sledeem obliku:

= () () (1)

gde je D krutost nosaa na savijanje.

Slika 1.

U diferencijalnoj jednaini (1) imamo dve nepoznate funkcije: jednainu elastine linijetemeljnog nosaa y(x) i zakon promene pritiska na tlo q(x). Ovaj problem se moe retisamo postavljanjem i dopunske jednaine kojom se definie veza izmeu funkcija y(x) iq(x). Ovo se moe postii ako se za postavljanje dopunske jednaine iskoristi uslov da je usvakoj taki kontaktne povrine vertikalno pomeranje taaka ose nosaa jednako sleganjupodloge u odgovarajuoj taki. To znai da treba odrediti zavisnost izmeu sleganjataaka podloge ispod nosaa i pritiska nosaa na podlogu.

Ako na ravan, koja ini deo konture poluprostora, deluje koncentrisana sila P sleganjeproizvoljne take koja se nalazi na rastojanju tod take gde deluje koncentrisana sila Pdato je, prema Boussinesq-u sledeim izrazom:


3/22



= 1 (2)gde su: Poissono-ov koeficijent podloge

moduo elastinosti podloge

Neposredno ispod koncentrisane sile (za t=0) prema izrazu (2) sleganje je beskonano.Sleganja, ipak, nisu beskonana. Zamislimo da je u blizini delovanja koncentrisane sileiseena cilindrina povrina malog poluprenika i da je koncentrisana sila Pzamenjenastatiki ekvivalentnim sistemom sila koje deluju na iseenu povrinu.

Izrazom (2) definisana je zavsnost izmeu sleganja podloge i pritiska na podlogu. Prematome, moemo uvesti i dopunski uslov za reavanje diferencijalne jednaien (1).

Ako pretpostavimo da deformacije temeljnog nosaa prate deformacije podloge ispodnjega, imaemo poklapanje elastine linije temeljnog nosaa sa sleganjem podloge uodgovarajuim takama. To znai da ove vrednosti moemo izjednaiti i na taj nainodrediti uzajamni uticaj temeljnog nosaa i podloge. Od ovog uzajamnog uticaja zavisi iraspodela pritiska podloge na temeljni nosa i obrnuto. Da bismo uspostavili potrebneveze izmeu elastine linije temeljnog nosaa i otpora podloge posmatraemo nosa (slika2) oslonjen na podlogu sa otporom koji se manja po zakonu neke krive q(x). Po istomzakonu se menja i pritisak nosaa na podlogu.

Slika 2.

Radi odreivanja sleganja proizvoljne take K ispod temeljnog nosaa uoimo neku

elementarnu silu koja se od take K nalazi na rastojanju t. Ovu elementarnu silu, s obziromna to da deluje na beskonano maloj duini dt, moemo smatrati koncentrisanom.Elemantarna sila izazvae elementarno sleganje take K koje moemo odrediti pomouizraza (2).

= 1 (, ) (3)U izrazu (3) reaktivno optereenje obeleili smo sa:(, ) = ( )

(, ) = ( )za 0 < < za

0 < <

jer smo pretpostavili da je optereenje funkcija rastojanja od koordinatnog poetka ( ),odnosno ( + ).


4/22



Ako sa y(t) obeleimo sleganje take K, koja se nalazi na rastojanju t od take u kojojdeluje elementarna sila = (, ), tada izraz za elementarno sleganje take Kmoemo napisati u sledeem obliku: = () (, ) (4)U izrazu (4) funkcija y(t) je potpuno odreena.

() = 1 1 Sleganje take Kod ukupnog optereenja koje se preko posmatranog temeljnog nosaaprenosi na podlogu bie:

= () ( )

+ () ( + )

(5)Izrazom (5) data je veliina sleganja proizvoljne take Kija je apcisax. Istovremeno ovimizrazom je odreena i veliina ordinate elastine linije temeljnog nosaa u istoj taki.Prema tome, izraz (5) predstavlja istovremeno i jednainu elastine linije temeljnog nosaakoja mora zadovoljiti i diferencijalnu jednainu (1), pa moemo napisati:

() ( )

+ () ( + )

() + () = 0 (6)iz ove integro-diferencijalne jednaine treba odrediti funkciju q(x).

Definicija problema

Radi odreivanja sleganja proizvoljne

podeone take K izdvajamo jednu lameluirine c koja pripada podeonoj taki J itraimo sleganje take Kkoja se nalazi napodunoj osi nosaa na odstojanju x odteita izdvojene lamele (slika 3).

Ravnomerno podeljeno optereenje bie ,

gde je b irina nosaa. Uoimo beskonanomali element na posmatranoj lamelidimenzija i h sa koordinatama i h uodnosu na taku K. Sila koja deluje na

uoenom elementu jednaka je: Slika 3. = h Sleganje take Kusled delovanja elementarne sile , prema izrazu (2), bie:

= 1 h (7)Sleganje take K, usled delovanja ravnomernog podeljenog optereenja na povriniizdvojene lamele, dobiemo integracijom izraza (7):

= 2(1 ) h + hh

h

(8)


5/22



Posle izvrene integracije izraza (8) i uvoenja oznaka: = i

=

izraz za sleganje take Kmoemo napisati u sledeem obliku: = 1 (9)gde je: = (2 + 1) 1(2 + 1) (2 1) 1(2 1)+(2 + 1) (2 1) (10)Izraz (10) je izveden pod pretpostavkom da se taka Knalazi izvan optereene povrine. Ako se taka Knalazi u

teitu optereene povrine (slika 4), funkcija ima oblik: = 2 1 +() (11)Kada je poznata uticajna funkcija za neku taku sleganjete take moe se odrediti pomou izraza (9).

Sleganje neke take Kpodloge, date izrazom (9), odnosise na sluaj kada se preitisak na podlogu prenosi prekolamele koja pripada podeonoj taki koja se nalazi unutarposmatranog integracionog intervala. Ako se pritisak prenosi

preko lamele koja pripada taki koja se nalazi na graniciposmatranog intervala (slika 5) uticajnu funkciju trebazameniti uticajnom funkcijom .

Slika 5.

= 2 12 (2 1) 1(2 1) +(2 )(2 1) (12)ako je .

Slika 4.


6/22



Ako je = tada je uticajna funkcija data sledeim izrazom: = 1 +() (13)Kada su poznate numerike vrednosti uticajne funkcije sleganje take K se moeodrediti pomou izraza:

= 1

(14)

Ukupno sleganje take Ku kontaktnoj povrini od pritiska nosaa na podlogu bie:

= + + (15)Kako je: = 1

= 1

= 1 sleganje take Kje:

= 1 + + = 0,1, , (16)

Sleganje podloge u podeonim takama

0,1,,moemo prikazati u saetoj formi

matrinom jednainom: = 1 (17)U matrinoj jednaini (17) je kvadratna matrica reda + 1. Elementi ove matrice suuticajne funkcije , odnosno i predstavljaju sleganje take ( = 0,1, , ) kada jepreko lamele ( = 0,1, , ) na podlogu prenosi ravnomerni pritisak intenziteta jednakogjedinici. [1]

=

, , , , , ,, , , , ,, ,

U Prilogu dat je programski kod u matlabu pomou koga se raunaju elementi matrice

fleksibilnosti.


7/22



A.2. Numerike vrednosti matrice fleksibilnosti sraunati Gaus-ovim postupkom

numerike integracije

Reavanje integrala parcijalnom integracijom

= 2 h + h =h

h

= 2 h + h =

hh

= 2 + +h

(h

) h

=

hh

= 2 + 2 + + 2 + h 2 + 2 + h

h=h

h uvodimo smenu = + i =

=2 +

+h

h

hh ()

2 +

+h

h

hh () =

reavanjem integrala () i () dobijamo:= 2 + 2 2 + 2 12 + 2 2 + 2 1 == 2

+ 2

2

2

2

2

=

2 = 2 = 2 + 2 = 2 + = 2 + 1 = (2+1)2 = 2 = 2 2 = 2 = 2 1 = (2 1) = =

= (2 +1) 1(2 +1) (2 1) 1(2 1) + (2 + 1)(2 1)


8/22



Reavanje integrala ()() = 2 + + h h

hh =

= + + = h = 1 + + 12 ( + )( + ) = h

=

= 2 h + + hh 2 hh

h 1 + + 12 1 + ( + ) == + + 2 2 h2

hh

1 + + 1 + ( + ) =

reavanjem integrala

dobijamo:

= +2 2 + 1 1 + 2 2 == +22 + 1+ 2 2 1 ==

22

+ 2

+ 1

+ 2

2 1 =

= 2 + 2 + 2 +1+ 2 2 1 == 2 + 2 2 + 2 1Reavanje integrala ()Integrali () i () su istog oblika i granica, a jedina razlika je u konstantama i . U tomsluaju reenje integrala

()je:

() = 2 + + h hh

h == 2 + 2 2 + 2 1Reavanje integrala

= 2 h

2h

h 1 + + 1 + ( + ) =

+

=

h

=

( + ) = 2 =


9/22



= 1 1 + 1 2 =

= 2 + = + = =

12 + =

=

= 4 2 =

= 2 2 + + [2]

= 4 2 2

12 2 + 2

=uvravanjem granica i vraanjem smena dobijamo:

= 1 2 2 + 2 + 1 == 1 2 2Numerika integracija

Numerika integracija se zasniva na integraciji interpolacionih polinoma. Naime, ako je() = ()+ (), tada je() () Dok je greka ovakve integracije

()

Pretpostavimo da je f-ja interpolirana Lagrange-ovim interpolacionim polonomom. Tada je:

() = ()( ) ()

+()

= ()( ) ()

+()

Imamo da je vrednost integrala sledeeg oblika:

() = +gde je = ()( ) () .


10/22



Formule oblika koje aproksimiraju vrednost integrala nazivaju se kvadraturneformule. Ako je funkcija() polinom stepena , da je tada () = 0, a samim tim je = 0, te je za polinome spepena zadovoljeno da je()

=

.Uzimajui da je funkcija {1,,, , } dobijamo sistem jednaina: = ;

2 = ; . + 1 = .

Iz koga odreujemo koeficijente .Gausove kvadraturne formule

Formule oblika:

() = () Nazivamo kvadraturnim formulama.

Koeficijente odreujemo tako da formula bude tana za polinome to veeg stepena.Zamenom {1,,, , } dobijamo koeficijente,, , . Greka je tada: ( + 1)! |( ) ( )|

.

Ako se uoi da je dobijena formula tana i za , , , a da ne vai za , tada jegreka ( + + 1)! |( )( ) ( )|.

Formule oblika

()

= ()

+ (),gde su ( = 1, , ) nule Legandre-ovog polinoma -tog stepena() = 12! (( 1))()Nazivamo Gauss-ovim kvadraturnim formulama i pri tome je

() 2(2 + 1)! (!)(2)!.Ako imamo integraciju na intervalu [, ], a elimo da primenimo Gauss kvadraturneformule, prvo uvodimo smenu: [3]

= + 2 + 2 , [1,1].


11/22



A.3. Raunanje vrednosti elemenata matrice fleksibilnosti korienjem reenja

Steinbrener-a za prostiranje napona u tlu usled ravnomernog optereenja na

pravougaonoj povrini poluprostora

Promena naponskog stanja u tlu usled optereenja dodatnim silama na povrini ili na

relativno maloj dubini moe se odrediti razliitim aproksamitivnim postupcima jer je realnufiziku heterogenost materijala i njegovo sloeno naponsko i deformaciono ponaanjenemogue obuhvatiti sa nekom apsolutnom tanou.

Reenja i rezultati teorije elastinosti se najee koriste za odreivane napona u masi tlausled delovanja spoljnih optereenja. Pri tome se podrazumeva linearna elastnost, aveina korisnih reenjapretpostavlja da je tlo homogeno i izotropno.

U graevinskoj praksi su optereene povrine ili temelji esto pravougaonog oblika. Stogaza odreivanje napona po pravougaonim povrinama najpogodnije je razmotriti raspodeluvertikalnih napona na vertikalnoj liniji koja prolazi kroz ugao pravougaonika, kao to jeprikazano na Slici 3.1.U ovom sluaju je:

= =

Slika 3.1. Integrisanje uticaja po pravougaonoj optereenoj povrini

Integracijom se dobija relativno dug izraz, koji je izveo Steinbrener, a ima sledei oblik:

= 2 ( + )

gde, radi kraeg pisanja, uvodimo oznake:

= , = , = , = ( + + 1) = , = ( + + 2)( + 1)( + 1)tako da se veliina vertikalnog napona moe izraziti u obliku:

=

gde je uticajni koeficijent koji zavisi od proporcije / pravougaono optereene povrinei dubine prikazan, dijagramom u bezdimenzionalnom obliku na Slici 3.2.


12/22



Slika 3.2. Steinbrener-ov dijagram za odreivanje vertikalnih uticaja

Ukoliko se eli izraunati napon u bilo kojoj taki, koja lei na pomenutoj vertikali,optereeno podruje se izdeli na odgovarajue pravougaonike tako da se za svaki oddobijenih elementarnih pravougaonih povrina, taka nalazi ispod ugla svakogpravougaonika dojenog podelom, a zatim se primeni superpozicija ovih uticaja. Za svakielementarni pravougaonik stranica

je uvek kraa stranica elementarnog pravougaonika

koji se koristi za izraunavanje bezdimenzionalnih odnosa

/i

/radi oitavanja

uticajnog koeficijenta za odgovarajui elementarni pravougaonik.


13/22



Slika 3.3. Primena superpozicije pri izraunavanju vertikalnih napona primenom reenjaSteinbrener-a

Elastine deformacije elementa tla mogu se izraunati iz promene komoponentalnihnapona ako su poznati modul elastinosti i Poasonov koeficijent. Vertikalna deformacija u

pravcu u funkciji komponentalnih napona je: = 1 [ ( + )]Vertikalno pomeranje, sleganje take na povrini elastinog poluprostora, moe se dobitiintegracijom:

= .Sleganje usled jednako podeljenog optereenja na povrini proizvoljnog oblika na povrini

elastinog poluprostora moe se, u naelu, dobiti analitikim ili numerikim integrisanjem.Opti izraz za sleganje glasi:

= (1 ) ,gde je karakteristina dimenzija optereene povrine, a je uticajni koeficijent koji zavisiod oblika optereene povrine i poloaja take za koju se sleganje trai. [4]

U Prilogu dat je programski kod u matlabu pomou koga se raunaju elementi matrice

fleksibilnosti.


14/22



B. BROJNI PRIMER

Reenje:

Sleganje podeonih taaka Boussinesqu

Ordinate reaktivnog optereenja Boussinesqu


15/22



Sleganje podeonih taaka Steinbrener

Ordinate reaktivnog optereenja - Steinbrener


16/22



1. Integracija Bousinesqu-ovog reenja

Matrica fleksibilnosti

Sleganje temeljnog nosaa usled revnomerno rasporeenog optereenja

Reaktivno optereenje ukoliko je sleganje temelja ravnomerno


17/22



1. Reenje Streinbrener-a

Matrica fleksibilnosti

Sleganje temeljnog nosaa usled revnomerno rasporeenog optereenja

Reaktivno optereenje ukoliko je sleganje temelja ravnomerno


18/22



C. PRILOG

[L,B,Eo,ni,ro,so,n]=UlazniPodaci; % unos podatakafor i=1:n+1 % zadato reaktivno opterecenje (niz)

qo(i)=ro;endfor i=1:n+1 % zadato sleganje (za svaki segment - niz)

sz(i)=so;end% Busineskovo resenjeFB=MFB(L,B,n); % matrica fleksibilnostiKB=FB^(-1); % matrica krutostiyb=(((1-ni^2)/(pi*Eo))*FB*qo').*100; % sleganje

rb=((pi*Eo)/(1-ni^2))*KB*sz'; % reaktivno opterecenjeres=1;Stampa(FB,KB,yb,rb,n,res);

%SteinbrenerFS=UticajniKoeficijentIz(L,B,n); % matrica fleksibilnostiKS=FS^(-1); % matrica krutosti

ys=((1-ni^2)*(B/Eo)*FS*qo').*100; % sleganjerb=1/((1-ni^2)*(B/Eo))*KS*sz'; % reaktivno opterecenjeres=2;Stampa(FS,KS,ys,rb,n,res);

function [L,B,Eo,ni,ro,so,n]=UlazniPodacifilename='FundiranjeUPiR';sheet=1;% ucitavanje podatakaL=xlsread(filename,sheet,'C1');

B=xlsread(filename,sheet,'C2');Eo=xlsread(filename,sheet,'C3');ni=xlsread(filename,sheet,'C4');ro=xlsread(filename,sheet,'C5');so=xlsread(filename,sheet,'C6');n=xlsread(filename,sheet,'C7');return

Ulazni podaci:C1 L=20 m % duina temeljaC2 B=1.4 m % irina naleue povrine temeljaC3 Eo=25000 kN/m2 % modul deformacije tlaC4 ni=0.3 % poissonov koeficijent

C5 ro=280 kN/m % reaktivno optereenje tlaC6 so=0.028 m % zadato sleganje krutog temeljaC7 n=20 % broj podela nosaa na jednake segmente

function [F]=MFB(L,B,n)c=L/n;a=c/B;G1(1)=a*asinh(1/a)+asinh(a);for k=2:n+1

x=abs(k-1)*c;m=x/c;G1(k)=2*a*m*asinh(1/(2*a*m))-a*(2*m-1)*asinh(1/(a*(2*m-1)))+asinh(2*a*m)-

asinh(a*(2*m-1));

endfor k=1:n+1

for i=2:nif i==k


19/22



Fs(k,i-1)=2*(a*asinh(1/a)+asinh(a));else

x=abs(k-i)*c;m=x/c;Fs(k,i-1)=a*(2*m+1)*asinh(1/a/(2*m+1))-a*(2*m-1)*asinh(1/a/(2*m-

1))+asinh(a*(2*m+1))-asinh(a*(2*m-1)); end

endendfor k=1:n

x=abs(k-n-1)*c;m=x/c;Gn(k)=2*a*m*asinh(1/(2*a*m))-a*(2*m-1)*asinh(1/(a*(2*m-1)))+asinh(2*a*m)-

asinh(a*(2*m-1));endGn(n+1)=a*asinh(1/a)+asinh(a);F=[G1',Fs,Gn'];return

function Iz=UticajniKoeficijentIz(L,B,n)z=0;e=1;Iz=zeros(n+1);Iz1=zeros(n+1);Iz2=zeros(n+1);while e>0.01

z=z+0.01;Iz=Iz+((Iz1+Iz2)./2).*0.01;Iz2=Iz1;for i=1:n+1 % prva vrsta

x(i)=(L/n)*(i-1);if i==1

a1=(L/n)/2;b1=B/2;if a1


20/22



endendfor i=1:n+1 %sredisnje jezgro

for j=2:nif i==j

a1=(L/n)/2;b1=B/2;if a1


21/22



b1=c;endif a2


22/22


LITERATURA

[1] Stevan Stevanovi: Fundiranje graevinskih objekata, asopis Izgradnja, Beograd2009.[2] Milan Merkle: Matematika analiza teorija i hiljadu zadataka za student tehnike,

Akademska misao, Beograd 2005.

[3] http://numdis.etf.rs/PDFs/CLASS3.pdf[4] Milan M Maksimovi: Mehanika tla, igoja tampa, Beograd 2001.

Documents

Seminarski Specijalni problemi fundiranja