SEMINARSKI RAD

Predmet: Istorijski razvoj fizike

Tema: Istorijski razvoj teorije elastičnosti

Univerzitet u Novom Sadu

Prirodno-matematički fakultet

Departman za fiziku

Studenti:

Dejan Ajdačić (115/09)

Miroljub Arbutina

Luka Gartner (155/09)

Igor Marinković (52/09)

Dragana Moguš (188/09)

Jovan Odavić (481/09)

Tatjana Puškarov (508/09)

Profesor:

prof. dr. Darko Kapor

2

Sadržaj

Sadržaj ............................................................................................................................ 3

1 Uvod ............................................................................................................................ 5

2 Otpornost materijala u 17. veku .................................................................................. 6

2.1 Galilej (Galileo Galilei) (1564-1642) ............................................................................. 6 2.2 Huk (Robert Hooke) (1635-1703) .................................................................................. 8 2.3 Mariot (Edme Mariotte) (1620-1684) ............................................................................. 9

3 Elastične krive ........................................................................................................... 10

3.1 Bernuli (Jacob i Daniel Bernoulli) ................................................................................ 10 3.2 Ojler (Leonard Euler) (1707-1783) ............................................................................... 11 3.3 Lagranž (Joseph Louis Lagrange) (1736-1813) ............................................................ 14

4 Otpornost materijala u osamnaestom veku ............................................................... 16

4.1 Paran (Antoine Parent) (1666-1716) ............................................................................. 16 4.2 Kulon ( Charles Augustin de Coulomb ) (1736-1806) .................................................. 17

5 Otpornost materijala između 1800. i 1833. godine ................................................... 22

5.1 Navije (Claude-Louis Navier) (1785-1836) .................................................................. 22 5.2 Eksperimentalni rad francuskih inžinjera između 1800. i 1830. godine ........................ 28 5.3 Ponsele (Jean-Victor Poncelet) (1788-1867) ................................................................ 29 5.4 Jang (Thomas Young) (1773-1829) .............................................................................. 31 5.5 Otpornost materijala u Engleskoj između 1800. i 1833. ............................................... 34 5.5 Ostali značajni doprinosi evropskih naučnika nauci o otpornosti materijala ................. 35

6 Počeci matematičke teorije elastičnosti ..................................................................... 36

6.1 Jednačine ravnoteže u teoriji elastičnosti ...................................................................... 36 6.2 Koši (Augustin-Louis Cauchy) (1789-1857) ................................................................ 38 Poason (Siméon Denis Poisson) (1781-1840) ................................................................... 40

7 Matematička teorija elastičnosti između 1833. i 1867. ............................................. 42

7.1 Fizička elastičnost i spor o elastičnoj konstanti ............................................................ 42 7.2 Rani radovi u oblasti elastičnosti na Kembridžu ........................................................... 45 7.3 Stouks (George Gabriel Stokes) (1819-190.) ................................................................ 46 7.4 Bare de Sen-Venan (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) (1797-1886) ........ 47 7.5 Franc Nojman (Franz Neumann) (1798–1895) ............................................................. 50 7.6 Kirhof (Gustav Robert Kirchhoff) (1824–1887) ........................................................... 52 7.7 Lord Kelvin (William Tomson) (1824 – 1907) ............................................................. 55

8 Zaključak ................................................................................................................... 57

Reference ...................................................................................................................... 58

3

4

1 Uvod

Još od najranijih vremena, kada su ljudi tek počinjali da grade, shvatili su da treba da znaju više o otpornosti građevinskih materijala, kako bi mogla da se ustanove pravila za određivanje sigurnosnih dimenzija pojedinih konstruktivnih elemenata. Još Egipćani su bez sumnje imali neka empirijska pravila te vrste, jer bi bez njih bilo nemoguće sagraditi onakve ogromne spomenike, hramove, piramide i obeliske, od kojih neki još i danas postoje. Stari Grci su dalje unapredili veštinu građenja. Oni su razvili statiku, koja predstavlja podlogu mehanike materijala. Arhimed (287-212 p.n.e.), pri konstruisanju raznih sprava za dizanje tereta, je koristio svoje teorije. On je i ocrtao metodu za iznalaženje težišta krutih tela.

Rimljani su bili veliki graditelji. Iz njihovih vremena dotrajali su do naših dana ne samo spomenici i hramovi, već i putevi, mostovi i utvrđenja. Mi znamo nešto o njihovim metodama građenja preko Vitruvijeve knjige, čiji je autor bio čuveni rimski arhitekt i inženjer za vreme imperatora Avgusta. Ta knjiga opisuje tadašnje rimske građevinske materijale i vrste konstrukcija. Rimljani su često primenjivali lukove i svodove u svojim građevinama. Poređenje dimenzija rimskih lukova sa savremenim lukovima pokazuje da su današnje konstrukcije znatno lakše. Rimljanji nisu imali tu pogodnost da se mogu koristiti analizom napona. Oni nisu znali kako da izaberu odgovarajući oblik, pa su obično uzimali polukružni luk relativno malog raspona.

Najveći deo znanja od strane Grka i Rimljana u pogledu građevinskog inženjerstva, izgubljen je u Srednjem Veku, tako da je to znanje obnovljeno tek sa Renesansom. Za vreme Renesanse oživelo je i zanimanje za nauke i veštine, pa su se pojavili istaknuti veštaci u arhitekturi i inženjerstvu.

Leonardo da Vinči (1452-1519) bio je najistaknutiji čovek svoga vremena. On je bio ne samo vodeći umetnik tog perioda, već je bio i veliki naučnik i inženjer. Leonardo da Vinči veoma se zanimao za mehaniku; u jednoj od svojih beležaka, on kaže: „Mehanika je raj matematičke nauke, jer tek ovde mi ubiramo plodove matematike“. On primenjuje pojam principa virtuelnih pomeranja da bi analizirao razne sisteme koturača i poluga, primenjenih u dizalicana. Leonardo da Vinči je proučavao otpornost materijala putem eksperimenata. Razmatrao je i otpornost greda, pa je ustanovio sledeći opšti princip: „Kod svakog elementa, koji je oslonjen, ali je slobodan da se savija, ima podjednaki poprečni presek i od istorodnog je materijala, najudaljeniji deo oslonca će se najviše poviti“. Leonardo da Vinči je vršio izvesna

5

Slika 1.1 – Pont du Gard, rimski akvadukt sagrađen oko 19. godine p.n.e.

istraživanja i u oblasti nosivosti stubova. On konstantuje da nosivost stuba opada sa njegovom dužinom, a da raste u izvesnom odnosu sa njegovim poprečnim presekom.

Prvi pokušaji da se nađu pouzdane dimenzije građevinskih elemenataputem matematičke analize načinjeni su tek u XVII veku. Galilejeva čuvena knjiga „Due nuove scienze“ („Dve nove nauke“) pokazuje jasno njegove napore da pronađe metodu pomoću koje bi se mogla izvršiti analiza napona u logičkom redosledu. To predstavlja početak nauke o otpornosti materijala.

2 Otpornost materijala u 17. veku

2.1 Galilej (Galileo Galilei) (1564-1642)

Galileo Galilej je rođen u Pizi, a bio je potomak jedne plemićske firentinske porodice. Osnovno obrazovanje na latinskom i grčkom jeziku je dobio u jednom manastiru blizu Firence. Godine 1581. počinje da studira medicinu na Univerzitetu u Pizi. Međutim, njega privlače predavanja iz matematike i posvećuje se proučavanju Euklidovih i Arhimedovih dela. Godine 1585. je morao da napusti Univerzitet zbog oskudice u novcu i vratio se kući u Firenci. Tamo je Galilej nastavio svoj rad u nauci. Godine 1586. napravio je hidrostatičku vagu za merenje gustine raznih supstanca, a bavio se i problemom položaja težišta čvrstih tela. Sredinom 1589. godine počinje da radi kao profesor matematike na Univerzitetu u Pizi.

Godine 1594. Galilej je napisao svoje čuveno delo o mehanici „Della Scienza Mechanica“. U tom radu razmatrani su razni problemi iz statike, uz primenu principa virtuelnih pomeranja. U isto to vreme, u vezi sa nekim problemima iz oblasti brodogradnje, Galilej se zainteresovao za otpornost materijala. Uskoro je astronomija privukla Galilejevu pažnju. U periodu kada je svojih poslednjih osam godina proveo u svojoj vili, u strogoj izolaciji, usled osude Inkvizicije, napisao je svoju slavnu knjigu „Duo nuove scienze“ u kojoj je rekapitulisao rezultate svog dotadašnjeg rada u raznim područjima mehanike. Knjiga je izdata 1638. kod Elzevira u Lajdenu. Onaj deo knjige, koji se odnosi na mehaničke osobine građevinskih materijala i na otprornost greda, prestavlja prvu publikaciju na polju otpornosti materijala, tako da istorija mehanike elastičnih tela počinje sa tom knjigom.

Čitav Galilejev rad na mehanici materijala sadržan je u prva dva dijaloga njegove knjige „Dve nove nauke“. On počinje sa nekoliko zapažanja koja je načinio za vreme svojih poseta jednom venecijanskom arsenalu, te diskutuje o geometrijski sličnim konstrukcijama. On kaže: „Jedan mali obelisk ili stub ili drugo koje slično telo može se postaviti ili uspraviti bez opasnosti da će se slomiti, dok će se vrlo veliki obelisk raspasti i zbog najmanjeg uzroka, i to samo zbog svoje sopstvene težine“.

Da bi to i dokazao, on počinje sa posmatranjem otpornosti materijala pod čistim zatezanjem pa ustanovljava da je jačina jednog štapa srazmerna površini njegovog

6

Slika 2.1.1 – Galilej

poprečnog preseka, a da ne zavisi od dužine. Tu jačinu štapa Galilej naziva „apsolutnom otpornošću na kidanje“, pa daje i neke brojke koje se odnose na čvstoću na kidanje bakra.

Poznajući „apsolutnu otpornost“ štapa, Galilej istražuje otpornost na slom istog štapa ako se on upotrebi kao konzola, opterećena na svom kraju. On kaže: „Jasno je da će se greda slomiti u tački gde ivica ležišta deluje kao oslonac poluge, na koju deluje sila; debljina grede je drugi krak poluge, duž koga se vrši otpor. Taj otpor se suprotstavlja odvajanju dela koji leži van zida od dela koji je uzidan. Iz prethodnog izlaganja proističe da se veličina sile koja deluje odnosi prema velčini otpora, koji se sadrži u debljini prizme, tj. u povezanosti baze sa uzidanim delom u istoj srazmeri kao polovina debljine dužine štapa prema dužini poprečnog preseka“.

Iz ovoga se vidi da Galilej uzima da je u trenutku sloma „otpornost“ ravnomerno raspodeljena po poprečnom preseku. Uzevši da štap ima pravougaoni presek i da se materijal pokorava Hukovom zakonu sve do sloma, mi ustvari dobijamo dijagram raspodele napona.

Na osnovu svoje teorije, Galilej izvlači nekoliko značajnih zaključaka. Posmatrajući gredu pravougaonog poprečnog preseka, on postavlja pitanje: „Kada i u kojoj srazmeri jedan štap ili prizma, čija je širina veća od njene debljine, pruža veći otpor slomu ako sila deluje u pravcu širine, nego kada sila deluje u pravcu debljine?“. Koristeći se svojom pretpostavkom on daje pravilan zaključak: „Ma koji dati lenjir ili prizma, čija je širina veća od njene debljine, pružiće veći otpor slomu ako leži na svojoj ivici nego ako leži pljoštimice i to u srazmeri širine prema debljini“.

Razmatrajući dalje problem grede-konzole i zadržavajući uvek isti poprečni presek, Galilej zaključuje da momenat savijanja, koji potiče od sopstvene težine grede, raste srazmerno kvadratu dužine. Posmatrajući geometrijski slične grede-konzole pod dejstvom njihove sopstvene težine, Galilej zaključuje da momenat savijanja na mestu njihovog uklještenja raste sa četvrtim stepenom dužine, dok je otporni momenat srazmeran kubu linearnih dimenzija. To ukazuje na činjenicu da geometrijski slične grede nisu podjednako otporne. Grede postaju utoliko slabije, ukoliko njihove dimenzije rastu , tako da napokon, kada postanu veoma velike, one se mogu slomiti pod samom svojom sopstvenom težinom. On zapaža da , ako se želi održati ista jačina greda, njihove poprečne dimenzije moraju rasti relativno brže nego dužina grede.

Imajući ova razmatranja na umu, Galilej daje sledeće značajno opšte zapaženje: „Može se lako zapaziti nemogućnost povećavanja veličine građevina do vrlo velikih dimenzija po vrsti ili prirodi, kao i nemogućnost građenja brodova, dvoraca ili hramova ogromnih veličina i to tako da se njihova vesla, jarboli, grede, gvozdeni

7

Slika 2.1.2 – Ilustracija konzole iz „Dve nove nauke“, demonstrira Galilejevo otkriće da se sila potrebna za pucanje grede povećava sa kvadratom njene dužine

klinovi i ukratko svi njihovi delovi drže skupa; ni priroda ne može proizvesti drva prekomerne veličine, jer bi se njihove grane polomile pod svojom sopstvenom težinom. Isto tako bilo bi nemoguće napraviti koštanu konstrukciju ljudi, konja ili drugih kakvih životinja tako da se sve to drži skupa i vrši svoje normalne funkcije kada bi to bilo ogromno povećano u visinu. Takvo povećanje u visinu bilo bi moguće samo uz primenu nekog čvršćeg i tvrđeg materijala nego što je uobičajen, ili uz povećanje dimenzija kostiju, menjajući tako oblik i izgled životinja sve dok životinje ne bi postale slične čudovištima… Ako se veličina nekog tela smanjuje, jačina tog tela se ne smanjuje u istoj srazmeri; u stvari, što manje telo, u toliko je njegova relativna jačina veća. Tako jedan pas može da nosi na svojim leđima dva do tri psa iste veličine, dok ja verujem da jedan konj ne bi možda mogao poneti ni jednog konja svoje veličine“.

2.2 Huk (Robert Hooke) (1635-1703)

Robert Huk je rođen kao sin parohijskog sveštenika koji je živeo na Ostrvu Uajt. Sa svojih trinaest godina upisan je u Vestminstersku školu gde je učio latinski, grčki i nešto hebrejskog jezika i upoznao se sa osnovama Euklidove geometrije i sa drugim matematičkim pojmovima. Na koledžu u Oksfordu je došao u dodir sa nekoliko naučnika, pa pošto je bio vešt mehaničar, on im je pomagao pri njihovim eksperimentima.

Godine 1662. na preporuku Roberta Bojla, Huk je postavljen za staratelja nad eksperimentima Kraljevskog Društva, tako da su njegovo poznavanje mehanike i njegova inventivna sposobnost došli do izražaja u korist Društva.

Tokom 1663-1664. godine Robert Huk se zainteresovao za mikroskopiju, pa je naredne 1665. godine izašla njegova knjiga „Mikrografija“. U njoj ne nalazimo samo obaveštenja o Hukovom mikroskopu, već i opise njegovih značajnih otkrića.

Posle velikog požara u Londonu, septembra 1666. godine, Huk je načinio model koji je sadržao njegov predlog za obnovu grada, pa ga je gradska uprava odredila za nadziratelja gradnje. On se pokazao kao veoma aktivan na poslu obnove grada, pa je i projektovao nekoliko građevina.

Godine 1678. objavljen je njegov rad „De Potentia Restituiva“ ili „O Opruzi“. Knjiga sadrži rezultate Hukovih eksperimenata sa elastičnim telima. To je prvi objavljeni rad u kom se raspravlja o elastičnim osobinama materijala. U pogledu eksperimenata on kaže: „Uzmite jednu strunu žice, pa njen gornji kraj pričvrstite za esker, a za donji kraj privežite terazijski tas u koji ćete stavljati tegove. Tada izmerite udaljenost dna tasa od zemlje ili od poda i pribeležite veličinu tog rastojanja. Potom stavite tegove u pomenuti tas pa merite razna izduženja pomenute strune i pribeležite ih. Tada uporedite razna izduženja pomenute strune žice, pa ćete naći da ona stoje u istoj srazmeri kao i tegovi, koji su ih prouzrokovali“.

8

Slika 2.2.1 –Huk

Huk opisuje i eksperimente sa helikoidalnim oprugama, sa časovničkim oprugama, savijenim u spiralu i sa „komadom suvog drveta, koji će se saviti i vratiti natrag , ako njegov jedan kraj uklještimo u horizontalan položaj, a o drugi kraj obesimo terete pod kojima će se drvo poviti nadole“. On ne samo što diskutuje o ugibanju te drvene konzole, već razmatra i deformacije podužnih vlakana, pa dolazi do značajnog zaključka da su vlakna na gornjoj, konveksnoj strani zategnuta, a da su vlakna na konkavnoj strani pritisnuta. Iz svih tih eksperimenata Huk izvlači sledeći zaključak:

„Vrlo je očigledno da je Zakon za svako telo slično opruzi da je sila ili snaga njegova, koja ga vraća u njegov prvobitni prirodni položaj uvek srazmerna udaljenosti ili prostoru za koliko je ono odmaknuto od prirodnog svog položaja, pa bilo da je to postignuto razmicanjem njegovih krajeva jednog od drugog, ili približavanjem krajeva. To se zapaža ne samo u tim i takvim telima, već u svim bilo kakvim elastičnim telima, bio to metal, drvo, kamenje, pečena zemlja, vlasi, rogovi, svila, kosti, strune, staklo i slično…“

Kao što vidimo, Robert Huk je ne samo uspostavio odnose između veličina sila i deformacija koje one proizvode, već je takođe i sugerisao neke eksperimente u kojima se ti odnosi mogu iskoristiti za rešavanje nekih vrlo važnih problema. Taj linearni odnos sile i deformacije poznat je pod imenom Hukov zakon, koji je kasnije poslužio kao osnova na kojoj je izgrađen dalji razvoj mehanike elastičnih tela.

2.3 Mariot (Edme Mariotte) (1620-1684)

Proveo je najveći deo svog života u Dižonu, gde je bio nastojatelj manastira. On je postao (1666) jedan od prvih članova Francuske Akademije Nauka, i mnogo je doprineo uvođenju eksperimentalnih metoda u francusku nauku. Njegovi eksperimenti sa vazduhom doveli su do poznatog Bojl- Mariotovog zakona, prema kome je, pri datoj masi nekog gasa i pri konstantnoj temperature, proizvod zapremine i pritiska gasa konstantan. Mariotova istraživanja u oblasti elektriciteta nalaze se u njegovom radu o kretanju fluida. Eksperimentišući sa staklenim i drvenim štapovima, on je našao da je Galilejeva teorija davala preuveličane vrednosti za opterećenja pri kojima dolazi do sloma, pa je stoga razradio svoju sopstvenu teoriju savijanja, u kojoj su elastična svojstva materijala uzeta u obzir.

Mariot je znatno doprineo unapređenju teorije u oblasti mehanike elastičnih tela. Uvodeći posmatranje elastičnih deformacija, on je poboljšao teoriju savijanja greda, a potom je primenio eksperimentalnu metodu da proveri svoju hipotezu. Isto tako, on je eksperimentalno proveravao neke Galilejeve zaključke u pogledu načina menjanja jačine grede sa promenom raspona. On je proučavao i uticaj uklještenja oslonaca na porast jačine grede, a dao je i obrazac za krajnju čvrstoću cevi, izloženih unutrašnjem pritisku.

9

3 Elastične krive

3.1 Bernuli (Jacob i Daniel Bernoulli)

Započet na kontinentu od strane Lajbnica, infinitezimalni račun se dalje razvijao pre svega zahvaljujući radu Jakoba i Johana Bernulija. Jedan od primera kojim je Jakob Bernuli (1654-1705) proširio polje primene infinitezimalnog računa odnosio se na oblik krive ugibanja elastičnog štapa. U odnosu na Galileja i Mariota, Bernuli je imao više matematički pristup problemu, to jest nije ulazio u fizičke osobine materijala.

Posmatrajući gredu pravugaonog preseka, čiji je jedan kraj

uklješten, a drugi opterećen silom P (Slika 3.1.1), Bernuli pokušava da nađe vezu između momenta sile i radijusa krivine. Sledeći Mariota, uzima tangentu na ivicu poprečnog preseka konkavne strane za neutralnu osu. Analizirajući ovaj slučaj Bernuli dobija da je krivina linije ugiba u svakoj tački srazmerna momentu savijanja u toj tački:

Pxr

C =

Koristeći ovu vezu nalazi jednačine koje opisuju oblik krive u slučaju kada su tangente na krajevima opterećenog štapa pod pravim uglom (Slika 3.1.2)

2

2

1 x

dxxdy

−= , 21 x

dxds

−= , 10 ≤≤ x

Hajgens kritikuje Bernulijev rad, jer nije pokazao nekoliko drugih oblika koje može elastična kriva imati (Slika 3.1.3). Bernuli prihvata njegovu kritiku i ukratko opisuje kako bi njegova teorija mogla da se proširi i na druge slučajeve.

10

Slika 3.1.2 – Pravougaona elastična linijaSlika 3.1.1 – Savijanje uklještene grede

Sledeći Bernuli koji je doprineo razvoju teorije o elastičnim krivama bio je Danijel Bernuli (1700-1782). Tokom svog izučavanja elastičnosti bio je u stalnoj prepisci sa Ojlerom, koji će mu kasnije pripisivati velike zasluge u svojim radovima. U svom pismu Ojleru oktobra 1742, Bernuli diskutuje opšti problem elastičnih krivih, ali ne uspeva da ga reši. Za opšti problem elastičnih krivih podrazumeva traženje oblika elastičnog štapa date dužine sa fiksiranim krajevima u kojima su poznate tangente na krivu. Dalje opisuje svoj bezuspešni pokušaj da izoperimetričkom metodom (varijacionim računom) nađe rešenje.

Godinu dana kasnije sugerisao je Ojleru da treba da primeni varijacioni račun pri izvođenju elastičnih krivih: „Pošto niko nije takav potpuni majstor u izoperimetičkoj metodi kao što ste Vi, to ćete Vi vrlo lako rešiti sledeći problem u kome se zahteva da

∫ 2r

ds bude minimum“.

Taj integral, kao što je danas poznato, predstavlja naponsku energiju savijenog štapa.

Danijel Bernuli je prvi uspeo da izvede diferencijalne jednačine o poprečnim vibracijama prizmatičnih štapova. Ojler je te jednačine rešio, a Bernuli je izveo i mnoštvo eksperimenata radi provere. O tome on piše Ojleru: „Te oscilacije nastaju slobodno, a ja sam izveo mnoštvo divnih eksperimenata radi utvrđivanja položaja čvornih tačaka i visine tona; i svi se oni divno slažu sa teorijom.“ Odatle vidimo da Danijel Bernuli nije bio samo matematičar, već i eksperimentator.

3.2 Ojler (Leonard Euler) (1707-1783)

Ojler proučava oblike koje će tanak elastičan štap, zanemarljive mase zauzeti u ravnoteži pod različitim uslovima opterećenja, koja deluju na krajeve štapa. Ojler izlaže svoje rezultate u apendiksu knjige „Methodus inveniendi lineas curvas...“, u kojoj obrađuje varijacioni račun.

Po preporuci Danijela Bernulija on prilazi problemu koristeći varijacioni račun. Na početku svog rada Ojler zapaža: „Pošto je ustrojstvo svemira potpuno savršeno jer je delo najmudrijeg Tvorca, to nema ni jedne pojave na svetu kod koje se ne bi javio odnos maksimuma i minimuma. Iz toga je apsolutno nesumnjivo da se svaka

11

Slika 3.1.3 – Hajgensov crtež elastičnih linija

posledica u vasioni može zadovoljavajuće rastumačiti krajnjim posledicama, pommoću maksimuma i minimuma, kao što može biti objašnjena i samim stvarnim uzrocima... Prema tome dve metode stoje pred nama pri proučavanju pojava Prirode: jedna pomoću stvarnih uzroka, koju obično zovemo direktnom metodom, i druga, pomoću krajnjih posledica... Čovek mora da se posebno napregne da bi video da oba puta pristupa rešavanju problema leže otvorena; jer ne samo što jedno rešenje biva uveliko pojačano drugim, nego i više od toga, iz slaganja jednog rešenja sa drugim polučujemo najviše zadovoljenje”.

Kao ilustraciju ove dve metode Ojler navodi problem lančanice (Slika 3.2.1). Diferencijalnu jednačinu lančanice možemo naći iz jednačine ravnoteže sila, i to bi bila primena direktne metode. Po metodi krajnjih posledica, od svih geometrijski mogućih krivih rešenje će biti ona kriva kod koje je potencijalna energija u minimumu. Problem dakle svodimo na traženje maksimuma integrala kada je dužina krive s data, a w predstavlja linijsku težinu lanca.

Primenjujući varijacioni račun Ojler nalazi minimum ∫ 2r

ds i dobija diferencijalni

sistem:

( ) 422

2 )(

axx

dxxxdy

+++−

++=γβα

γβα

( ) 422

2

axx

dxady

+++−=

γβα

gde su 2a

α,

a

β i γ parametri zadati silom, osobinama materijala, dužinom štapa.

Ojler prihvata teoriju Jakoba Bernulija da je krivina ugiba u svakoj tački srazmerna momentu savijanja na tom mestu i direktnom metodom dolazi do diferencijalnih jednačina. Time potvrđuje validnost metode krajnjih posledica.

Vrlo je verovatno da je Ojler imao uvid u Acta Eruditorum, u kome su se pojavila prva istraživanja Jakoba Bernulija. Hajgensova kritika Bernilijevog rada koja je izašla u istom časopisu verovatno je imala uticaj na Ojlerove radove. Ojlerov doprinos bio je

12

Slika 3.2.1. – Problem lančanice

sistematsko predstavljanje analize jednačine koja povezuje krivinu ugiba i moment savijanja, što ustvari predstavlja odgovor na Hajgensovu kritiku.

Posmatrajući različite slučajeve savijanja, Ojler klasifikuje elastične linije u devet

kategorija (Slika 3.2.2). Jedna od njih je i pravougaona kriva Jakoba Bernulija.

Kada je ugao između sila koje deluju na krajeve štapa mali, imamo slučaj izvijanja. Ojler pokazuje da je sila pri kojoj dolazi do izvijanja:

2

2

4l

CP

π=

gde je l dužina štapa, a C naziva apsolutnom elastičnošću, ne diskutujući njen fizički smisao. Za ovu jednačinu kaže: „Prema tome, ako sila P koju stub nosi nije veća od

2

2

4l

Cπ, nema apsolutno nikakve opasnosti od izvijanja, pak s druge strane, ako je sila

P veća, stub se neće moći odupreti izvijanju. Ako elastičnost stuba i njegova debljina ostanu napromanjeni onda će sila P koju stub može da primi bez opasnosti izvijanja, biti obratno proporcionalna kvadratu njegove visine; stub dvostruke visine moći će da nosi samo jednu četvrtinu tereta“. Odavde vidimo da jе Ojler još pre dvesta pedeset godina našao obrazac za izvijanje stubova koji se i danas široko primenjuje.

Kasnije će u svom radu ,,Sur la force des colonnes’’ dati prostu derivaciju obrasca za kritično opterećenje primenjujući uprošćenu diferencijalnu jednačinu:

13

Slika 3.2.2 – Elastične linije koje je ispitivao Ojler

Pydx

ydC −=

2

2

Ojler takođe proučava bočne vibracije štapa. Posmatrajući kretanje beskonačno malog dela mn vertikalnog štapa AB (Slika 3.2.3), linijske težine w, zapaža da je takvo kretanje ekvivalent kretanju matematičkog klatna. Zapisuje diferencijalnu jednačinu takvog kretanja:

l

wy

dx

ydC =

4

4

pa zaključuje „Prema tome, ovom jednačinom je izražena priroda krivih AmnB, a iz ovoga, ako bi se to primenilo na posmatrani slučaj, mogla bi se odrediti dužina l, odnosno ekvivalent klatna. Kada to saznamo, onda će nam i oscilatorno kretanje biti poznato“.

Ojler se ne ograničava samo na slučaj konzole već razmatra i poprečna kretanja štapova: sa oba kraja prosto oslonjena, oba kraja kruto uklještena, oba kraja potpuno slobodna. Za sva tri slučaja dobija izraz za frekvenciju f:

wl

Cgmf

4π=

gde je m broj koji zavisi od uslova na krajevima štapa i od načina vibriranja.

Ojler proširuje svoju analizu i na stub čije je aksijalno opterećene raspodeljeno po visini, ali ne dolazi do ispravnog rešenja

3.3 Lagranž (Joseph Louis Lagrange) (1736-1813)

Veliki deo Lagranžovog rada bio je pod uticajem Ojlera. Njegovo najpoznatije delo jeste „Mecanique Aalytique“. Najznačajniji Lagranžov doprinos elastičnosti jeste njegov rad „Sur la figure des colonnes“. Analiziraući slučaj prizmatičnog štapa, sa zglobovima na oba kraja (Slika 3.3.1), pod dejstvom aksijalne sile P, dobija

14

Slika 3.2.3

Pydx

ydC −=

2

2

što je Ojler već pokazao. Lagranž pokazuje da je rešenje te jednačine

xC

Pfy sin=

Kako ne bi došlo do izvijanja, treba biti zadovoljen uslov

πmlC

P =

gde je m ceo broj. Odatle se dobija da je sila pod kojom se javlja izvijanje stuba data jednačinom:

2

22

l

CmP

π= .

Prema tome može postojati beskonačno mnogo modova izvijanja (Slika 3.3.1).

15

Slika 3.3.1 – Modovi izvijanja štapa koje je proučavao Lagranž

4 Otpornost materijala u osamnaestom veku

Tokom sedamnaestog veka, naučna istraživanja su se razvijala uglavnom u rukama ljudi, koji su radili po različitim akademijama nauka. Malo se ko zanimao za mehaniku elastičnih tela, pa premda su Galilej, Huk i Mariot razmatrali neka pitanja iz oblasti elastičnosti i otpornosti materijala koja su poticala iz praktičnih problema, ipak je osnovni motiv njihovog rada bila naučna radoznalost.

U osamnaestom veku situacija se menja: naučni rezultati prethodnog veka nalaze praktičnu primenu, a naučne metode se postepeno uvode u različite oblasti inženjerstva. Novi razvoj u vojnom i građevinskom inženjerstvu zahteva ne samo iskustvo i praktična znanja, već i sposobnost da se novi problemi racionalno analiziraju. Osnivaju se prve inžinjerske škole, a prve knjige o građevinskom inženjerstvu se publikuju. U to doba Francuska je bila u tom razvoju ispred svih ostalih zemalja, tako da je proučavanje mehanike elastičnih tela napredovalo u osamnaestom veku uglavnom zahvaljujući naučnoj aktivnosti u toj zemlji.

Godine 1720. francuska vlada je ustanovila Inžinjerijski korpus za puteve i saobraćaj, a 1747. osnovana je i čuvena škola „École des Ponts et Chaussées“ u Parizu za obuku inžinjera u građenju puteva, kanala i mostova. Ta škola je odigrala vrlo značajnu ulogu u razvoju naše nauke.

Pred kraj osamnaestog veka objavljena je (1798) prva knjiga o otpornosti materijala od Žirarda („Traité analytique de la résistance des solides“, de P.S. Girard). Istorijski uvod u tu knjigu je od velikog značaja, jer on sadrži diskusiju o glavnim istraživanjima u oblasti mehanike elastičnih tela, izvršenih tokom sedamnaestog i osamnaestog veka. Pri izučavanju savijanja greda, Žirar razmatra Galilejeve i Mariotove metode analize iz njegovog izlaganja bi se moglo zaključiti da su u to vreme obe metode bile u upotrebi.

4.1 Paran (Antoine Parent) (1666-1716)

Bio je jedan od pionira u oblasti istraživanja raspodele napona u materijalima i fizičkog aspekta savijanja greda. Rođen u Parizu i živeo je od 1666. do 1716. god. Roditelji su mu bili namenili karijeru pravnika, ali se on zanimao više za matematiku i za fizičke nauke. Iako je, po želji roditelja, diplomirao na pravima, on se njima nikad nije bavio kao pozivom. Najveći deo svog vremena on posvećivao proučavanju matematike, a živeo je od davanja časova matematike. Godine 1699. izabran je Des Billettes za člana Akademije Nauka, pa je tom prilikom doveo sa sobom i Parana kao svog asistenta. Taj položaj u Akademiji omogućio je Paranu da dođe u dodir sa istaknutim francuskim naučnicima i da učestvuje na sastancima Akademije. Tamo mu se pružila prilika da pokaže svoje veliko znanje u raznim oblastim nauke, kao i da publikuje više svojih naučnih radova u sveskama akademijinih publikacija. Međutim, neki od tih njegovih radova nisu bili prihvaćeni za objavljivanje od strane Akademije, pa je tako Paran 1705. godine pokrenuo svoj sopstveni časopis u kom je štampao svoje radove, a prikazivao je i radove ostalih matematičara. Ti njegovi radovi bili su ponovo izdati 1713. godine u tri sveske pod zajedničkim nazivom „Recherche de Mathematique et de Physique“.

16

U svojim radovima o savijanju greda, Paran se drži Mariotovih postavki pomoću kojih uspeva da pronađe raznolike forme greda iste jačine. On isto tako razmatra jedan interesantan problem: kako jednu gredu pravougaonog preseka treba izrezati iz drvenog trupca okruglog preseka da bi se postigla maksimalna jačina, pa dokazuje kako će pri datom prečniku d (Slika 3.1.1), proizvod 2ab imati maksimalnu vrednost. To se pak postiže tako, što se prečnik deli na tri jednaka dela, pa se dignu upravne cf i eg, kao što se vidi na slici.

Paran je objavio 1713. god. dva svoja memoara o savijanju greda koji predstavljaju stvarne korake unapred. On pravilno izvodi jednačinu za kružne cevi i grede punog kružnog preseka kao i potpuno rešava statički problem savijanja greda gde pokazuje da sile otpora moraju da predstavljaju takav sistem sila koji potpuno uravnotežuje spoljašnju silu. Paran pošto nije raspolagao eksperimentalnim podacima o mehaničkim svojstvima materijala nije mogao da razvije dalje u osnovi vrlo tačne ideje o ovim problemima.

Iz njegovih radova se može videti da je on imao znatno jasnije predstave o raspodeli napona u gredama od svojih predhodnika. Međutim, njegovi radovi su ostali nezapaženi, tako da je većina inžinjera tokom celog osamnaestog veka i dalje primenjivala Mariotove obrazce. Uzrok ovoj pojavi leži možda u tome, što Paranovi glavni rezultati nisu objavljivani u saopštenjima Akademije, nego su se pojavljivali u sveskama njegovih sabranih radova, koje su bile rđavo opremljne i sadržale su mnoštvo štamparskih grešaka. Osim toga, Paranova izlaganja nisu bila uvek dovoljno jasna, tako da još i danas nije baš lako pratiti njegovo izvođenje. Najzad, on se u svojim radovima vrlo kritički odnostio prema radovima drugih istraživača, pa stoga svakako nije bio baš naročito omiljen među svojim savremenicima-naučnicima.

Šezdeset godina je moralo proći od pojave Paranovih radova dok se nije pojavio čovek koji će doneti sobom znatan napredak u mehanici elastičnih tela. To je bio Kulon sa svojim novim idejama i istaknutim radovima.

4.2 Kulon ( Charles Augustin de Coulomb ) (1736-1806)

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) rođen je u Anglemu. Pošto je u Parizu dobio svoje osnovno obrazovanje, Kulon je stupio u Vojni Inžinjerski korpus. Po završetku te škole, on je upućen na Martinik, gde je tokom devet godina rukovodio raznim građevinskim radovima, što ga je navelo da počne proučavati mehaničke osobine materijala i razne druge probleme konstruktorske inžinjerije. Još dok je boravio na Martiniku, Kulon je objavio svoj čuveni rad „Sur une Application des Règles de maximis & minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture“ („O primeni pravila maksimuma i minimuma ne neke statičke probleme u vezi sa arhitekturom“).

17

Slika 4.1.1 – Paranovo rešenje

Ovaj rad je bio prikazan u Francuskoj akademiji nauka (1773). U predgovoru tom svom radu, Kulon kaže: „Ovaj rad je napisan još pre nekoliko godina, i prvobitno je bio namenjen za moje individualne potrebe u vezi sa mojim profesionalnim radom kojim sam se tada bavio. To, što se ja sada usuđujem da rad podnesem Akademiji, to je zato što znam da ona i najslabije pokušaje prima sa ljubaznom dobrodošlicom, samo ako su oni usmereni nekom korisnom cilju. Osim toga, nauke su spomenik, posvećen javnom dobru. Svaki građanin treba da doprinese njihovom razvoju prema svojoj sposobnosti. A veliki ljudi će imati svoje mesto na vrhu te građevine na kojoj će se oni isticati i moći će da

izgrade najviše spratove, dok će obične zanatlije biti rastureni po nižim spratovima ili če biti skriveni u tami temelja, nastojeći da usavrše ono što su veštije ruke već načinile“.

Po svom povratku u Francusku, Kulon je radio kao inžinjer u La Rošelu i Šerburu. Godine 1779. dobio je, zajedno sa Van Svindenom nagradu koju je raspisala Akademija za najbolju konstrukciju kompasa, a dve godine kasnije on dobija Akademijinu nagradu za svoj rad „Théorie des machines simples“, u kome on prikazuje rezultate svojih opita o trenju različitih tela koja klize jedna po drugima (suva ili podmazana raznim supstancijama). Posle 1781. Kulon se nastanjuje stalno u Parizu, gde je izabran za rednovnog člana Akademije i gde mu se pružaju mnogo povoljniji uslovi za njegov naučni rad. Sada se on posvećuje istraživanjima u oblasti elektriciteta i magnetizma. U cilju merenja vrlo malih električnih i magnetskih sila, Kulon stvara vrlo osetljivu torzionu vagu, a u vezi s tim on istražuje otpornost žice na torziju.

Po izbijanju francuske revolucije, Kulon se povlači 1789. na svoje malo poljsko dobro u okolini Bloa. 1793. godine Akademija biva zatvorena, ali se posle dve godine ponovo uspostavlja, sada pod novim nazivom Institut National des Sciences et des Artes. Kulona biraju među prvim članovima ove nove institucije, a njegovi poslednju radovi o viskoznosti tečnosti i o magnetizmu bili su objavljeni u „Memoires de l`Institut“ (1801,1806). Kulon biva imenovan kao jedan od generalnih inspektora studija (1802); tome zadatku Kulon posvećuje veliki deo svoje energije u cilju poboljšanja javnog obrazovanja, u ono vreme veoma tegobna, što je bilo suviše naporno za njegove poodmakle godine i slabo zdravlje, tako da je on umro 1806. godine. Ali, njegovo delo živi, i mi se još i danas koristimo njegovom teorijom trenja, otpornosti građevinskih materijala i torzije.

Ni jedan drugi naučnik osamnaestog veka nije toliko doprineo nauci o mehanici elastičnih tela kao Kulon. Glavni njegovi doprinosi nalaze se u njegovom radu od 1773. godine. Taj rad počinje izlaganjem o nizu eksperimenata u cilju kvatifikovanja otpornosti raznih materijala na smicanje, kidanje i savijanje. Rešenja mnogobrojnijh

18

Slika 4.2.1 - Kulon

inžinjersko-građevinskih problema data su uz detaljna objašnjenja i precizne eksperimentalne rezultate.

Godine 1784. godine Kulon je objavio svoj memoar o torziji koji ćemo sada prikazati u njegovim osnovnim crtama. Kulon iznalazi torzionu otpornost žice, posmatrajući torzione oscilacije jednog metalnog valjka, obešenog o tu žicu (Slika 4.2.2).

Instrument se sastoji od jedne žice i oscilujućeg tela. Žica je jednim krajem pričvršćena za nepokretan oslonac. Na drugi kraj ove žice pričvršćeno je telo koje može da se (delovanjem momenta sprega sila Fd=M izvede iz ravnotežnog položaja na ugaone oscilacije). Ako se telo, koje je kruto vezano za žicu, zaokrene za neki ugao 0ϕ , delovanje spoljšnjeg momenta sprega sila M , doći će do pojave unutrašnjeg torzionog momenta sila tM (suprotnog smera unutra žice), kao posledica elastične deformacije uvijanja. U momentu prestanka spoljašnjeg uvijanja, telo miruje u napregnutom stanju žice i tada postoji jednakost spoljšnjeg momenta M i unutrašnjeg torionog momenta tM nastalog zbog elastičnih osobina žice:

tM=M −

U momentu prestanka dejstva spoljašnjeg momenta sila, telo se zbog delovanja unutrašnjeg momenta vraća u prvobitni položaj, prolazi ga zbog inercije i uvrće žicu na suprotnu stranu do vrednosti ugla 0ϕ− , odakle se opet vraća u ravnotežni položaj i tako ponovo, odnosno počinje da osciluje oko ravnotežnog položaja. Ugao 0ϕ se naziva amplituda oscilatornog kretanja, a bilo koji ugao uvrtanjaϕ se naziva elongacija. Jednačina kretanja klatna pod dejstvom unutrašnjeg momenta tM se može napisati u vidu relacije: ϕc=M t − , odnosno koristeći vezu momenta sile krutog tela koje rotira sa ugaonim ubrzanjem α : Iα=M .

Dobijamo jednačinu kretanja oblika: ϕc=Iα − , gde se ugaono ubrzanje α može

prema definiciji ugaonog ubrzanja napisati kao: 2

2

dt

d=α

ϕ.

Dobijena diferencijalna jednačina kretanja torzionog klatna:

19

Slika 4.2.2 – Kulonov instrument za testiranje torzije (skica preuzera iz Kulonovih memoara)

02

2

=ΦI

c+

dt

d ϕ,

potpuno je analogna jednačini kretanja za harmonijski oscilator. Rešenje jednačine se može napisati u obliku:

θ+tT

π=

2sin0ϕϕ ,

gde je T period oscilovanja torzionog klatna i po analogiji sa harmonijskim oscilatorom, period oscilovanja je jednak:

0

2

ωπ

=T ,

gde je 0ω sopstvena kružna frekvencija torzionog klatna i iznosi:

I

c=2ω� .

Zamenom izraza za sopstvenu frekvenciju, dobijamo izraz za period oscilovanja torzionog klatna:

c

Iπ=T 2 . (4.2.3)

Pomoću eksperimenata, Kulon dolazi do toga da je period nezavistan od ugla uvijanja (pod uslovom da taj ugao nije suviše velik) te zaključuje da je pretpostavka o srazmernosti momenta uvijanja i ugla uvrtanja ispravna. Potom, Kulon nastavlja svoje eksperimente, uzimajući žice od istog materijala, ali različitih dužina i debljina. Na taj način on ustanovljava sledeći obrazac za moment uvijanja:

ϕl

μd=M

4

(4.2.4),

pričem je l dužina žice, d je njen prečnik, dok je μ konstatna materijala. Poredeći

čelične i bakarne žice, Kulon nalazi da je odnos njihovih konstanti 1:3 31 , pa iz toga

izvlači zaključak da tamo gde je potrebna velika čvrstina, kao kod nosećih stubova, treba primeniti čelik.

Pošto je došao do svoje fundamentalne jednačine (4.2.3), Kulon nastavlja svoja istraživanja u oblasti mehaničkih osobina materijala, od kojih su žice načinjene. On za svaku vrstu žice nalazi torzionu granicu elastičnosti, preko koje ostaje neka trajna deformacija. Pored toga, on ustanovljava da ako se žica u početku uvrne daleko preko svoje elastične granice, onda ona postaje tvrđa, a njena granica elastičnosti se povećava, dok veličina μ u jednačini (4.2.4) ostaje nepromenjena. S druge strane,

20

sporim hlađenjem posle zagrevanja uspeva da poništi tvrdoću, postignutu plastičnom deformacijom.

Zasnivajući se na tim svojim eksperimentima, Kulon ustanovljava da je za definisanje mehaničkih karakteristika nekog materijala potrebno poznavati dve veličine, naime μ koje određuju elastične osobine materijala i granicu elastičnosti koje zavisi od veličine sile kohezije. Kaljenjem metala mi možemo pojačati te sile kohezije, podižući mu na taj način granicu elastičnosti, ali ne možemo promeniti elastične osobine materijala, određene konstanom μ .

Da bi pokazao da taj zaključak važi i za sve druge vrste deformacija, Kulon vrši opite sa savijanjem čeličnih štapova, koji se među sobom razlikuju samo po načinu svoje termičke obrade, pa dokazuje da svi štapovi pokazuju iste ugibe pod malim teretima (nezavisno od svog termičkog tretmana), dok su granice elastičnosti kod otpuštenih štapova daleko niže nego kod kaljenih štapova. Stoga se kod otpuštenih štapova, a pod većim teretim, javljaju znatne trajne deformacije, dok termički tretirani metal pokazuje i dalje savršenu elastičnost, tj. termička obrada menja granicu elastičnosti, ali ne utiče na elastične osobine materijala, koje ostaju nepromenjene.

Kulon ocrtava hipotezu da svaki elastični materijal ima neki svoj katakterističan molekularni sklop, koji se ne remeti pod dejstvom malih elastičnih deformacija. Kada se pak pređe granica elastičnosti, onda dolazi do nekog trajnog sklizavanja molekula, što rezultira u povećanju sila kohezije, premda elastične osobine materijala ostaju nepromenjene.

Kulon proučava i gašenje torzionih oscilacija, pa dokazuje eksperimentalno da njihov glavni uzrok nije otpor vazduha, nego neka nesavršenost materijala samih žica. On ustanovljava da je kod malih oscilacija stepen smanjivanja amplitude po jednom ciklusu približno proporcionalan veličini amplitude. Međutim, kada je zamah veći (kod žica čija je granica elastičnosti povećana hladnom obradom), efekat gašenja raste brže nego amplituda, a rezultati ispitivanja pokazuju veće rasipanje.

Kulon zahvaljujući svojim otkrićima na polju elastičnosti usavršava torzionu vagu, instrument koji mu omogućava da pouzdano meri slabe elektrostatičke sile. 1785. godine primenjuje torzionu vagu (Slika 4.2.5) na merenje sile između približno tačkastih naelektrisanja. Zakoni izvedeni iz rezultata ovog eksperimenta su uspešno opisali delovanje među naelektrisanjanim telima.

21

Slika 4.2.5 – Torziona vaga

5 Otpornost materijala između 1800. i 1833. godine

5.1 Navije (Claude-Louis Navier) (1785-1836)

Rođen je u Dižonu, u porodici imućnog advokata. U svojoj četrnaestoj godini ostaje bez oca, pa ga je usvojio njegov ujak, čuveni francuski inženjer Gotej, koji veliku pažnju posvećuje dečakovom obrazovanju. Navije je položio prijemni ispit u Politehničkoj školi 1802. godine, a 1804. pošto je završio tu školu, upisao se u Školu za mostove i puteve, u kojoj je njegov ujak takođe učio a kasnije i predavao matematiku.

Posle smrti njegovog ujaka Goteja, Navije nastavlja rad na njegovoj knjizi o mostovima i kanalima u tri toma. On rukopise svoga ujaka dovršava, sređuje i dodaje svoje uredničke napomene. Te napomene imaju veliki istorijski značaj jer one pokazuju stanje mehanike elastičnih tela na početku devetnaestog veka. Poredeći te napomene sa kasnijim Navijeovim radovima vidi se napredak koji je učinjen u toj nauci prvenstveno zahvaljujući baš Navijeovom radu.

Svoje pogrešne ideje i greške u radovima brzo ispravlja, i godine 1819. počinje sa svojim predavanjima u Školi mostova i puteva iz otpornosti materijala. On je 1820. god. podneo Akademiji nauka svoj memoar o savijanju ploča, a iduće godine (1821) objavio je svoj čuveni rad u kom on iznosi fundamentalne jednačine svoje matematičke teorije elastičnosti.

Premda veoma zauzet radom na teoriji, kao i poslovima oko ponovnog izdavanja knjiga, Navije je ipak nalazio vremena i za praktički inženjerski rad, većinom u vezu sa mostovima. Francuska vlada šalje Navijea u Englesku da izuči veštinu građenja visećih mostova. Posle dve posete Navije je podneo svoj izveštaj (1923), koji ne sadrži samo istorijski pregled, već i opis najvažnijih postojećih mostova, kao i teorijske metode za računanje takvih konstrukcija. Taj izveštaj je u narednih pedeset godina predstavljao najznačajniju knjigu o projektovanju visećih mostova, a zadržao je sve do danas izvestan značaj.

Godine 1824. Navije je izabran za člana Akademije, a 1830. je postao profesor više matematike i mehanike na Politehničkoj školi. Njegova predavanja tih predmeta bila su objavljena i tokom dugih godina bila su visoko cenjena i tražena među francuskim inženjerima.

Godine 1826. izlazi prvo štampano izdanje Navijeove knjige o otpornosti materijala u kojoj se nalaze sve one stvari od velikog značaja do kojih je Navije došao.

22

Slika 5.1.1 - Navije

Navije još od samog početka govori o važnosti granice do koje se konstrukcija ponaša potpuno elastično i nema trajnih deformacija. U tom području može se uzeti da je deformacija srazmerna sili pa se mogu postaviti relativno prosti obrasci za izračunavanje tih veličina. Iznad te granice elastičnosti, odnosi između sila i deformacija postaju znatno komplikovaniji. Navije predlaže da se obrasci izvedeni za elastično područje primene na postojeće konstrukcije, koje su se pokazale dovoljno jake, tako da se iz toga mogu naći dozvoljeni napone za različite materijale, koji su u granicama dovoljne sigurnosti, i koji će moći kasnije da se koriste za pronalaženje odgovarajućih dimenzija novih konstrukcija.

U prva dva poglavlja svoje knjige on razmatra prosti pritisak i prosto zatezanje prizmatičnih štapova, gde ukazuje da nije dovoljno navesti samo krajnju otpornost nekog materijala, da bi se dala njegova karakteristika, već i njegov modul elastičnosti E kojeg definiše kao odnos jediničnog opterećenja poprečnog preseka prema jediničnom izduženju, prouzrokovanom tim opterećenjem.

U trećem poglavlju Navije govori o savijanju prizmatičnih štapova i uzima još na samom početku da se savijenje vrši u istoj ravni u kojoj deluju spoljašnje sile, tako da njegovo razmatranje važi samo za grede koje imaju podužnu ravan simetrije i koje su opterećene silama u toj ravni.

Uzimajući da poprečni presek ostaje ravan tokom savijanja, primenjuje tri osnovne statičke jednačine ravnoteže i zaključuje da neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog preseka, a da je krivina data jednačinom:

MEI =ρ

gde I označava moment inercije poprečnog preseka u odnosu na neutralnu osu.

Uzevši u obzir činjenicu da su ugibi mali i da je x-osa u pravcu podužne ose grede Navije dobija sledeći izraz:

Mdx

ydEI =

2

2

Još za vreme Ojlera ova jednačina se koristila za izračunavanje ugiba konzola i simetrično opterećenih prostih greda. Navije je koristi za bilo koji slučaj poprečnog opterećenja proste grede, s tim da je kriva ugiba predstavljena raznim jednačinam za različite delove grede.

Ova metoda prikazana je na gredi koja je opterećena u ma

kojoj tački C, kao na slici 5.1.2.

23

Slika 5.1.2

Označivši sa α ugao koji tangenta u C zaklapa sa horizontalom, on dobija sledeće izraze za ugibe u A i B u odnosu na x-osu. Iz jednakosti tih ugiba jednakosti tih ugiba on dobija ugao α:

αtan3

3

bEI

b

l

Pafb += αtan

3

3

aEI

a

l

Pbf a +=

( )EIl

baPab

3tan

−=α

Znajući ugao α, te koristeći se već poznatom krivom ugiba konzole, sada se mogu napisati jednačine ugiba za oba dela grede AB.

Navije je prvi razradio opštu metodu analiziranja statički neodređenih problema u mehanici materijala. On tvrdi da su ti problemi neodređeni samo donde, dok tela posmatramo kao apsolutno kruta, ali čim uzmemo elastičnost u razmatranje, mi uvek možemo jednačinama statike dodati izvestan broj jednačina koje odražavaju uslove deformisanja, tako da ćemo uvek imati dovoljan broj jednačina za iznalaženje vrednosti svih nepoznatih veličina.

Istražujući statički neodređene probleme savijanja, Navije počinje od slučaja jedne grede, koja je jednim svojim krajem kruto uklještena, a drugim slobodno oslonjena kao na slici 2. Označavajući statički neodređenu reakciju u B sa Q, on dobija sledeće jednačine

)()(2

2

xlQxaPdx

ydEI −−−=

za deo AC i

)(2

2

xlQdx

ydEI −−=

za deo CB grede.

Integrišući te jednačine, te imajući u vidu da dva dela linije ugiba imaju u tački C zajedničku tangentu, a istu ordinatu, on dobija

24

Slika 5.1.3

−−=

22

22 xlxQ

Pa

dx

dyEI

−−

−=

6262

3232 xlxQ

axaPEIy

Pošto ugib isčezava pri lx = , on zapaža da je iz poslenje jednačine:

( )3

32

2

3

l

alaPQ

−=

Dobivši tako tu reakciju, problem je rešen, tako da se jednačine za oba dela krivih ugiba vrlo lako dobijaju.

Navije proučava i problem kada se savijanje prizmatičnog štapa obavlja pod kombinovanim dejstvom poprečnih sila i aksijalne sile. Nakon razmatranja izvijanja stuba pod dejstvom aksijalne sile pritiska, on uzima u razmatranje i slučaj ekscentričnog pritiska i zatezanja, kao i slučaj kada sila deluje na vrhu stuba, ali i pod izvesnim uglom prema osi stuba. Ovde su njegovi obrasci za izračunavanje maksimalnih momenata savijanja i maksimalnih izvijanja znatno komplikovaniji nego pri čistom savijanju pod dejstvom poprečnih sila, tako da je verovatno da su oni bili primenjivani od strane njegovih savremenika. Kasnije, međutim, sa sve većom primenom vitkih štapova u konstrukcijama, ovi obrasci dobili su svoju veliku važnost, pa su načinjene mnoge tablice kako bi se njihova primena uprostila.

Navije je u toj svojoj knjizi znatno doprineo i razvoju teorije savijanja krivih štapova. Ojler je već ranije načinio pretpostavku da je kod štapova, krivih već od ranije, momenat savijanja srazmeran promeni zakrivljenosti.

Navije uzima obrazac:

MEI =

−

0

11

ρρ

Pomoću njega

izračunava savijanje već krivog štapa AB kao na slici 5.1.4, uklještenog svojim krajem A. Uzimajući u posmatranje elemenat ds u tački C, on zaključuje iz gornje

25

Slika 5.1.4

jednačine da se ugao između 2 susedna poprečna preseka menja, usled savijanja presek C zaokreće se za vreme savijanja za ugao:

∫=s

EI

Mds0

δφ

Usled te rotacije, početne projekcije dx i dy elementa ds se menjaju i postaju dx1 i dy1, pa je

∫−=⋅⋅−=−s

EI

Mdsdydsdxdx

01 sin φδφ

∫=⋅⋅=−s

EI

Mdsdxdsdydy

01 cos φδφ

Integrišući ove obrasce, on dobija komponente pomeranja ma koje tačke C za vreme savijanja u sledećem obliku:

∫∫−=−ss

EI

Mdsdyxx

001

∫∫=−ss

EI

Mdsdxyy

001

Ako posmatramo, kao sa slike 5.1.5, simetrični luk na dva zgloba, opterećen u temenu koncentričnom silom, onda se pojavljuje statički neodređeni potisak H, čiju veličinu možemo naći iz uslova da horizontalno pomeranje zgloba B mora biti jednako nuli. Prema tome je

000

=∫∫ss

EI

Mdsdy

Iz ove jednačine Navije izračunava potisak H za parabolični i za kružni luk. On pravi slične proračune za slučaj ravnomerno podeljenih opterećenja po celom otvoru.

26

Slika 5.1.5 Slika 5.1.6

Sve te analize izvršene su uz pretpostavku da dužine elemenata, kao što je ds, ostaju nepromenjene. Međutim Navije na kraju daje i način kako da se uzme u obzir zbijanje luka, proizvedeno pritiskom aksijalne sile.

Poslednja glava knjige posvećena je problemima ljuski. On počinje od razmatranja ravnotežnog oblika jednog savršenog savitljivog i nerastegljivog konopca AB, izloženog normalnom pritisku u ravni krivine, kao na Slici 6, pa zaključuje (iz uslova ravnoteže elementa mn) da je:

constS = i pS =ρ

pri čemu je S zatezanje u konopcu, a ρ je radijus krivine. Dakle, krivina u ma kojoj tački mora biti srazmerna pritisku na tom mestu.

Uzimajući jedan oluk neodređene dužine (Slika 5.1.7 (a)), koji u sebi sadrži tečnosti, a koji se održava ravnomerno raspoređenim silama S, on traži pod kojim uslovima neće biti savijanja u ljusci i dokazuje da će to biti tada, kad krivina u ma kojoj tački m bude srazmerna dubini y. Kriva, koja zadovoljava taj uslov, dobija se tako, što se jedan prvobitno ravni, tanki i vitki list AB savije silama F prema slici 5.1.7 (b), pošto su momenat savijanja pa dakle i zakrivljenost elastične linije (krive) u ma kojoj tački m očigledno srazmeran dubini y.

Posmatrajući tanku ljusku, izloženu ravnomernom zatezanju S i normalnom pritisku p, Navije dobija jednačinu

pS =

+

1

11

ρρ

iz uslova ravnoteže. Pomoću nje, on nalazi izraz za napon zatezanja u sferičnoj ljusci debljine h, koji glasi

h

p

h

S

2

ρσ ==

Navije je vršio eksperimente sa sferičnim gvozdenim ljuskama prečnika 30 cm, debljine 2,5 mm. Izlažući ih unutarnjim pritiscima, dovoljno velikim da izazove slom,

27

Slika 5.1.7

on je našao da je granična jačina materijala u ovom slučaju približno ista onolika, kao kad se ispitivanje obavlja na uobičajeni način, zatezanjem uzoraka.

5.2 Eksperimentalni rad francuskih inžinjera između 1800. i 1830. godine

Tokom osamnaestog veka inžinjeri su se uglavnom zanimali za ispitivanje granične sile nosivosti kada je reč o materijalima. Iz ovog perioda se može zaključiti da su inžinjeri, pored praktičnog, bili zainteresovani i za naučni interes svojih eksperimenata. Tu su se najviše isticali učenici Politehničke škole.

Prvi od njih bio je F.P.C. Dupin (1784-1873). Njegov prvi rad je bio iz geometrije, mada imao je talenta i za matematiku. Francuska vlada ga je 1805. godine poslala na Krf kao inžinjera mornarice i tamo je izvršio značajna istraživanja sa savijanjem drvenih greda. Iz tih eksperimenata dolazi do više zaključaka u pogledu otpornosti i ugiba brodskih trupova, koji su se tada pravili od drveta. Ti rezultati su dobijeni pre Navijeove knjige o otpornosti materijala. Neki od zaključaka su:

Ispitujući savijanje drvene grede, slobodno oslonjene na oba svoja kraja, on ustanovljava da su do neke granice ugibi proporcionalni opterećenju. Kada se prekorači ta granica, ugibi rastu brže. Iz toga se odnos tereta prema ugibima može predstaviti paraboličnom krivom. Pošto je vršio eksperimente sa različitim vrstama drveta, došao je do toga da otpornost na savijanje raste sa porastom zapreminske težine pojedinih vrsta.

Poredeći to sa ugibom, pruzrokovanim delovanjem tereta u sredini raspona grede sa ugibom, nastalim usled ravnomernog opterećenja, iste veličine kao koncentrisana sila, zaključuje da je ugib u drugom slučaju manji. Odnos ugiba iz prvog i drugog slučaja je 19:30. Ovaj eksperimentalni odnos je veoma blizu vrednosti od 5/8, koja je dobijena teorijski.

Posmatrajući geometrijski slične grede od istog materijala, on zaključuje da je zakrivljenost , koju izaziva njihova sopstvena težina u sredini raspona, uvek ista, a da su njihovi ugibi proporcionalni sa kvadratima njihovih linearnih dimenzija.

Oblik krivih ugibanja, prouzrokovanih koncentrisanim teretom u sredini raspona, iskazuje krivom koja se može predstaviti jednom hiperbolom.

Još jedan učenik iste škole, A. Dilo, je izvršio brojna sistematska ispitivanja gvožđa i gvozdenih konstrukcija. On određuje neutralnu osu pri savijanju, i pogrešno uzima da je moment sile zatezanja oko te ose jednak momentu sile pritiska. Njegovi rezultati su valjani samo za grede pravougaonih preseka i štapove okruglog preseka.

Posmatra beskonačno dug štap i zaključuje da uklještenje krajeva grede smanjuje ugib u sredini raspona svega za jednu četvrtinu od odnosne vrednosti kod prosto oslonjene grede istog napona.

Bavio se ispitivanjem prizmatičnih gvozdenih štapova sa aksijalnim pritiskom. Tu koristi vrlo tanke štapove i imao je poteškoće sa određivanjem centralnog položaja opterećenja. Ovi eksperimenti su uspeli jer su se smatrali da su u skladu sa Ojlerovom teorijom.

28

Takođe je vršio eksperimente sa tankim gvozdenim lukovima sa dva zgloba i one koji su se odnosili na torziju prizmatičnih gvozdenih štapova. Tu razrađuje obrazac za ugao uvrtanja koji se poklapa sa Kulonovim obrascem.

Diloovi eksperimenti su vršeni uvek u granicama elastičnosti i njegovi materijali su se ponašali shodno Hukovom zakonu, a on je je sve to uvek nastojao da eksperimentalno proveri.

U to vreme je bilo opšte prihvaćeno da su torzioni naponi proporcionalni udaljenosti posmatranog elementa od ose štapa. Diloovi eksperimenti su pokazali da to nije tako, a kasnije ćemo videti da će Koši unaprediti tu teoriju, a da će problem najzad rešiti Sen-Venan.

Moramo pomenuti još par interesantnih rezultata do kojih su došli Seken, Lame i Vika u to doba. Prvi od njih je objavio rezultate svojih ispitivanja žice koju je upotrebljavao pri izgradnji prvog francuskog visećeg mosta. Lameova istraživanja su se odnosila na mehaničke osobine ruskog gvožđa. Vika je proučavao otpornost različitih metala na smicanje i došao do zaključka de je kod kratkih greda uticaj smičućih sila na otpornost vrlo značajan. Interesantno je da je on koristio materijale kao što su kamen i opeka, koji se ne pokorevaju Hukovom zakonu, pa je imao dosta poteškoća. Zato je njegov rad bio od neznatnog teorijskog značaja, ali je privukao veliku pažnju.

5.3 Ponsele (Jean-Victor Poncelet) (1788-1867)

Žan-Viktor Ponsele (1788-1867) rođen je u Mecu, u siromašnoj porodici. Posle osnovne škole je dobio stipendiju koja mu je omogućila da nastavi školovanje u liceju u svom rodnom mestu. Godien 1807. polaže konkursni ispit i ulazi u Politehničku školu, gde postaje Monžov učenik. Posle toga, 1810. godine upisuje Vojnu akademiju u Mecu, i po završetku se pridružuje Napoleonovoj armiji. On biva zarobljen i ostaje u zarobljeništvu dve duge godine. U gradu na Volgi, u Saratovu, te dve godine iskorišćava za naučno razmišljanje te razvija osnovne ideje svoje nove, projektivne geometrije. Nakon potpisivanje mira, Ponsele se vraća u Francusku gde rukovodi arsenalom u Mecu. Ovde takođe ima mnogo slobodnog vremena i nastavlja svoja naučna istraživanja. Tako je i izdata njegova knjiga „Traité des propriétés projectives des figures“, 1882. godine. Pošto su se francuski matematičari u to vreme najviše interesovali za primenu matematičke analize pri rešavanju fizičkih problema, Ponseleov rad je prošao neprimećeno. Zbog toga se posvetio rešavanju problema inžinjerske mehanike.

Godine 1825. je imenovan za profesora inžinjerske mehanike na Vojnoj akademiji u Mecu.

29

Slika 5.3.1 – Ponsele

Godine 1826. izlazi njegova knjiga „Cours de mécanique appliquée aux machines“, a 1829. izlazi i druga njegova knjiga „Introduction à la mécanique industrielle“.

Ponseleov rad na mehanici je ubrzo dobio i zaslužno priznanje i izabran je za člana Akademije nauka 1834. godine. Jedno vreme će predavati mehaniku u Parizu.

Tokom godina 1848-1850 on je upravnik Politehničke škole, međutim 1852. godine se povlači u penziju kako bi priredio nova izdanja svojih knjiga iz geometrije i primenjene mehanike.

Ponsele je najviše doprineo geometriji i dinamici, ali isto tako je dao veliki doprinos mehanici materijala koji je objavljen u njegovoj knjizi „Mécanique industrielle“. On, pored toga što daje rezultate dobijene mehaničkim ispitivanjima, detaljno diskutuje o praktičnim posledicama tih rezultata.

Uvodi dijagrame ispitivanje na zatezanje pri poređenju različitih vrsta gvožđa i čelika, i pokazuje kako se pomoću tih dijagrama najbolje bira radni, dopušteni napon odnosnog materijala. On je vrlo konzervativan pa retko kad preporučuje veće vrednosti od polovine granice elastičnosti posmatranog materijala.

Veliki značaj dinamičkog efekta tereta je prvi pokazao Tomas Jang, ali Ponsele se upušta u produbljivanje studija tih dinamičkih uticaja. Dokazuje da gvozdena šipka, sve do svoje granice elastičnosti može da apsorbuje samo mali deo kinetičke energije, a da uslovi udara mogu lako prouzrokovati trajnu deformaciju.

Dalje, on istražuje longitudinalni udar i njegov uticaj na štap, kao i longitudinalne vibracije, prouzrokovane takvim udarcem. Pokazuje da kada neka pulsirajuća sila deluje na jedan štap, da amplituda prinudne vibracije može zapasti u uslove rezonancije, pa time objašnjava zašto maršovanje jedne čete vojnika može dovesti do sloma mosta.

U svojoj „Industrijskoj mehanici“ kaže da se i najbolja opruga može dovesti do sloma pod dejstvom naizmeničnih napona pritiska i zatezanja.

Iz mnogih neobjavljenih njegovih materijala saznajemo da Ponseleu treba pripisati zaslugu za uvođenje uticaja smičuće sile u obrasce za ugib greda. On daje obrazac za ugib konzole pravougaonog poprečnog preseka, dužine l, širine b i visine h, opterećene po celoj svojoj dužini ravnomerno podeljenim opterećenjem q koji glasi:

+=

4

2

3

4

8

91

2

3

l

h

Ebh

qlf

Odnosi se na maksimalan ugib, a smičuća sila na ugib ima značaj samo ako se radi o relativno kratkoj gredi.

Ponsele se priklonio teoriji maksimalnih relativnih deformacija i tvrdi da slom nastupa onda kada deformacija dostigne određenu granicu, a da kod materijala kao što

30

su kamen ili liveno gvožđe to zavisi od bočnog širenja pod pritiskom. Kasnije je to primenjivao i Sen-Venan, ali i mnogi širom Evrope.

5.4 Jang (Thomas Young) (1773-1829)

Tomas Jang (1773-1829) rođen je u jednoj kvekerskoj porodici u Milvertonu. Još od malih nogu je pokazao izuzetnu sposobnost za učenje, naročito jezika i matematike. Sa 14 godina je pored živih jezika znao i latinski, starogrčki, hebrejski, persijski i arapski.

U periodu od 1787. do 1792. je bio vaspitač u jednoj bogatoj porodici i pored toga je imao dosta vremena da izučava filozofiju i matematiku. Posle toga počeo da studira medicinu u Londonu, kasnije u Edinburgu, da bi studije završio u Nemačkoj, u Getingenu, 1796. godine.

Godine 1797. se upisuje na Emanuel koledž u Kembridžu.

Pogledi i ciljevi matematičara u ono vreme bili su sasvim drugačiji nego što su sada, a Jang je bio ispred svih i zapažao je njihove nedostatke. On se zaista bavio svojom naukom i nije se družio ni sa jednim od filozofa. Nikada nije govorio o moralu, metafizici ili religiji.

Jang je otpočeo svoj naučni rad vrlo rano. Sa dvadeset godina podnosi Kraljevskom društvu svoj rad o teoriji vida, a za vreme boravka u Kembridžu se zanima za oblast akustike.

Godine 1801. je načinio svoje čuveno otkriće interferencije svetlosti, a sledeće godine je izabran za redovnog člana Kraljevskog društva i za profesora prirodne filozofije od Kraljevske institucije.

Kao nastavnik na Kraljevskoj instituciji se nije baš proslavio-naprotiv. Predavanja su mu bla suviše sažeta i njegova izlaganja bilo je jako teško pratiti. Zbog toga je podneo ostavku 1803. godine i počeo je da priprema svoja predavanja da bi ih publikovao.

Prilikom razmatranja zatezanja i pritiska, Jang tu prvi put uvodi pojam modula elastičnosti. Definicija te veličine razlikuje se od od onoga što mi danas podrazumevamo pod Jangovim modulom elastičnosti. On kaže: ,,Modul elastičnosti ma kog materijala jeste stub od iste supstance, sposoban da proizvede pritisak na svoju osnovu koji se odnosi prema teretu što prouzrokuje neki stepen zbijanja kao što se odnosi dužina te supstance prema smanjenju njene dužine’’.

31

Slika 5.4.1 – Jang

Primećuje da je visina modula nekog materijala nezavisna od poprečnog preseka, a težina modula je jednaka proizvodu onoga što mi danas nazivamo Jangovim modulom elastičnosti i površine poprečnog preseka štapa.

Opisujući svoje eksperimente o pritisku i zatezanju štapova, Jang iznosi činjenicu da podužne deformacije uvek prati i izvesna promena u poprečnim dimenzijama. Objašnjavajući Hukov zakon napominje da on važi samo do neke izvesne granice, preko koje je jedan deo deformacije neelastičan, pa predstavlja trajnu deformaciju.

Za odnos između smičućih sila i deformacija koje one proizvode kaže da se iz osobina uvrnutih supstanci može zaključiti da se sila menja u prostoj srazmeri sa udaljenošću delića od njihovog prvobitnog, prirodnog položaja. Isto tako, ona mora biti i prosto srazmerna veličini površine na koju deluje.

Kod uvijanja osovina, kružnog poprečnog preseka zapazio je da postoji i jedan dopunski otpor, srazmeran kubu ugla uvrtanja, a koji potiče od longitudinalnih napona vlakana koja bivaju uvrnuta u obliku heliksa.

Pri svom razmatranju savijanja konzola i prostih greda, on dolazi do osnovnih rezultata u pogledu ugiba i otpornosti bez pomoći izvoda.

Kad proučava neelastične deformacije, Jang daje sledeći veoma značajni sud. Trajne deformacije oblika ograničavaju jačinu materijala u praktičnom poglrdu skoro u istoj meri kao i pojava sloma. Do ovoga zaključka je ranije došao i Navije. Daje veoma zanimljiv zaključak za slom elastičnog tela udarom. Smatra da u tom slučaju nije odlučujuća težina tela koje udara, već samo količina kinetičke energije.

Konstatuje da je elastična deformacija kod prizmatičnog štapa, izloženom longitudinalnom udaru, srazmerna njegovoj dužini pošto će slična deformacija kod dužeg štapa biti i srazmerno veća.

Obeležavajući brzinu, kojom se talas kompresije kreće duž nekog štapa sa V, a brzinu udarajućeg tela sa v, on zaključuje da je jedinično zbijanje, prouzrokovano na kraju štapa u trenutku udara jednako v/V, a da se granična vrednost za v dobija izjednačavanjem odnosa v/V sa graničnom vrednošću zbijanja.

Proučavajući efekat udara na prizmatičnu gredu pravougaonog preseka, zaključuje da je za neki dati maksimalni napon na savijanje, prouzrokovan udarom, količina akumulisane energije u gredi srazmerna njenoj zapremini. Daje izraze za P – maksimalnu silu prozrokovana na gredi udarnim telom, i σ – ugib u tački udara:

l

bhkP

2

= , 3

3

1 bh

lPk=σ

gde je b – širina, h – visina, l – dužina grede, k i k1 su konstante koje zavise od modula materijala i od veličine maksimalnog napona.

Izraz za naponsku energiju U je:

32

22 12 bhlkk

PU == σ

Vidimo da je Jang mnogo doprineo otpornosti materijala uvođenjem pojma modula pritiska i zatezanja i dao je metodu za izračunavanje udara kod savršeno elastičnih materijala.

U drugoj svesci svoje „Prirodne filozofije“, u glavi o ravnoteži i otpornosti elastičnih tela, Jang razrađuje neke komplikovanije probleme u vezi sa izvijanjem štapova. Njegova knjiga je teška za čitanje, ali otkriva mnoga značajna rešenja problema koji još nisu ni načeti u to vreme.

Prvo proučava problem ekscentričnog zatezanja ili pritiska pravougaonog štapa. Dijagram raspodele napona predstavlja sa dva trogla i traži položaj neutralne ose vodeći se time da rezultanta tih napona mora prolaziti kroz tačku O koja je napadna tačka spoljne sile. Dobija:

e

ha

12

2

=

e – ekscentricitet sile, kada je 6/he = , onda je 2/ha =

Tu je maksimalni napon dvostruko veći nego kada ista sila deluje centrično.

Kao svoj drugi problem, Jang uzima izvijanje jednog prizmatičnog, pritisnutog stuba, koji je pre toga malo zakrivljen. Prvobitna zakrivljenost je predstavljena kao polutalas jedne sinusoide )/sin(0 lxπσ . Primenom pritiskajuće sile P dobijamo:

2

20

1π

σσ

El

Pl−=

Izvijanje će biti beskonačno, ma kolika bila veličina 0σ , jer će sila nadvladati stub, ili će bar pruzrokovati tako veliko izvijanje, koje će potpuno poremetiti dejstvo angažovanih sila.

Ukazuje da Ojlerovi obrasci za iznalaženje dimenzija poprečnog preseka stuba važe samo za vitke stubove.

Izvodi obrazac za povijanje vrha stuba pod dejstvom ekscentrično dejstvujuće sile P, u slučaju kada je neki vitki stub uklješten svojim donjim krajem, a slobodan svojim vrhom.

pl

pxey

cos

)cos1( −=

U ovom slučaju Jang je ispred Navijea.

33

Rešavanje mnogih problema koji su bili novi za ono vreme nije privuklo mnogo pažnje, međutim biograf Rejli 1892. godine je proučio Jangova predavanja i naišao na mnoge interesantne stvari.

Jedna od najimpresivnijih stvari jeste Jangova procena veličine molekula. On je procenio molekularni prečnik da će se kretati negde između dvo-milijarditog i deseto-milijarditog dela jednog palca tj. oko 25mm, što je čudesno predviđanje današnjag, savremenog znanja.

Pokazao je svoju izvanrednu sposobnost ne samo pri rešavanju čisto naučnih problema, već isto tako pri savlađivanju praktičnih inženjerskih poteškoća. Zato se možemo složiti sa ocenom lorda Rejlija koji je rekao za njega: „Položaji, koje je on već bio zauzeo, bili su mnogo puta ponovo osvajani od njegovih sledbenika, i to po cenu velikog utroška intelektualne energije“.

5.5 Otpornost materijala u Engleskoj između 1800. i 1833.

U ovom periodu Engleska nije imala škola koje bi bile istog ranga kao što su Politehnička škola ili Škola za mostove i puteve u Francuskoj. Nivo engleskih knjiga iz otpornosti materijala daleko je zaostajao za francuskim knjigama tog doba. Uprkos tome engleski inženjeri su morali da rešavaju mnoge vrlo značajne inženjerske probleme, morali su da istražuju i da se upoznaju s mehaničkim osobinama tih materijala. Stoga je u Engleskoj objavljen veliki eksperimentalni rad, čiji su rezultati bili primenjivani i u drugim zemljama.

Godine 1817. pojavila se u Engleskoj jedna knjiga od Pitera Barlou pod nazivom „Ogled o otpornosti drveta“. Ova knjiga je postala vrlo popularna i ubrzo je doživela svoja ponovna izdanja. Na početku te svoje knjige Barlou daje istorijski pregled otpornosti materijala. Takođe nalazi da su Ojlerovi instrumenti analize suviše delikatni da bi mogli biti sa uspehom primenjeni na takve probleme.

Raspravljajući o teoriji savijanja Barlou čini istu grešku kao i Dilo pa uzima da neutralna osa deli površinu poprečnog preseka grede tako da je moment svih napona zatezanja u odnosu na tu liniju jednak momentu svih napona pritiska. Ta greška je bila ispravljena u jednom od kasnijih izdanja.

Pripisuje Hodžikinsonu pronalaženje tačnog položaja neutralne ose. Nije znao da je Kulon izvršio tu ispravku pedeset godina pre.

Istina je da knjiga Barloua ne donosi ništa novo u teoriji otpornosti materijala, ali je tačno i to da sadrži opise mnogih eksperimenata izvršenih u prvoj polovini veka, a koji predstavljaju istorijski interes. Tu se pominju značajna ispitivanja Ferberna na zamoru limenih nosača, kao i izveštaj o dinamičkom dejstvu tereta u pokretu na gredu koja je izvršio Vilisov.

Drugi engleski inženjer koji je pisao knjige u prvoj polovini devetnaestog veka je Tomas Tredgold. Prva knjiga koju je izdao ne govori ništa novo što već nismo videli u Jangovim predavanjima. U drugoj knjizi se odnosi na praktični ogled otpornosti livenog gvožđa. Tu je on prvi uveo obrazac za nalaženje dovoljnog napona kod stubova.

34

5.5 Ostali značajni doprinosi evropskih naučnika nauci o otpornosti materijala

Rad na polju otpornosti materijala u Nemačkoj je započet tek početkom devetnaestog veka, a prvi značajni doprinos od strane nemačkih naučnika dao je Franc Jozef Gerstner koji je diplomirao na praškom Univerzitetu i posle nekoliko godina postao asistent. Godine 1789. je izabran za profesora matematike, ali se istovremeno interesovao i za praktičnu primenu nauke u inženjerstvu. Godine 1806. je otvoren Češki tehnički institut u tom gradu, a Gerstner je bio veoma aktivan sve do svoje smrti, kao profesor mehanike i direktor tog instituta.

Glavni njegov rad na mehanici je sadržan u tri toma njegove knjige „Priručnik iz mehanike“. Tu on daje svoja istraživanja sa zatezanjem klavirskih žica. Takođe dokazuje da kada se neka žica rastegne tako da zaostane izvesna trajna deformacija razvlačenja, pa se onda uzorak rastereti, a potom se ponovo tereti, da će ona potom slediti Hukov zakon sve do tereta koji je izazvao prvobitno stalno razvlačenje.

Drugi jedan nemački inženjer koji je doprineo boljem poznavanju inženjerske mehanike početkom devetnaestog veka zvao se Johan Albert Ajtelvajn. U svom slobodnom vremenu, on je studirao matematiku i inženjerske nauke tako da se osposobio i položio 1790. godine diplomski ispit za zvanje inženjera arhitekte. Prva kjniga mu je „Zadaci iz matematike, većinom primenjene“. Organizovao je sa još par nemačkih inženjera zavod i postao direktor tog zavoda, kao i profesor inženjerske mehanike. Napisao je još i knjige „Priručnik iz mehanike čvrstih tela“ i „Priručnik iz statistike čvrstih tela“, ali ništa posebno originalno nisu sadržale.

Godine 1815. osnovan je Politehnički institut u Beču, a zatim i u mnogim gradovima Nemačke.

Engleski, nemački i francuski napredak na polju otpornosti materijala povukao je napredak i u drugim zemljama, npr. u Švedskoj. Pošto je čelična industrija bila od velikog značaja za tu zemlju, nije ni čudno što su se prva ispitivanja u Švedskoj vršila sa čelikom. Predvodnik ove aktivnosti bio je švedski fizičar P. Lagerhjelm.

Njegova istraživanja su pokazala da je modul elastičnosti pri zatezanju skoro isti za sve vrste gvožđa, te da ne zavisi od valjanja, kovanja i ostalih termičkih obrada, ali da mogu da utiču na granicu elastičnosti ili graničnu čvrstoću. Ustanovio je da se gustina gvožđa na mestu sloma unekoliko smanji i da je konačna čvrstoća gvožđa u većini slučajeva srazmerna njegovoj granici elastičnosti. Mnogi kasniji švedski naučnici se pozivaju na njegove radove.

35

6 Počeci matematičke teorije elastičnosti

6.1 Jednačine ravnoteže u teoriji elastičnosti

Sva dosadašnja teorija otpornosti materijala, koja je do 19. veka razmatrana, uzimala je za pretpostavku da poprečni preseci greda ostaju ravni i tokom deformisanja, ka i da se materijal pokorava Hukovom zakonu.

Početkom devetnaestog veka javljaju se nastojanja da se u mehanici elastičnih tela stvori jedna temeljnija osnova. Želja da se elastična svojsta objasne putem sila privlačenja i odbijanja najsitnijih delića, potiću još od Njutnovog doba. Njih je razrađivao Ruđer Bošković, koji je uzimao da između svaka 2 najsitnija delića, po liniji koja ih spaja, deluju sile, i to privlačne pri izvesnim razdaljinama, i odbojne pri drugim odstojanjima.

Boškovićeve teorije pri proučavanju deformacija elastičnih tela prvi je primenio Poason pri svom izučavanju savijanja ploča. On posmatra ploču kao sistem čestica, ravnomerno raspoređenih po srednjoj ravni ploče. Međutim, takav jedan sistem se može suprostaviti zatezanju, ali ne i savijanju, pa stoga može predstavljati idealno fleksibilnu membranu, ali ne i ploču.

Dalji napredak u molekularnoj teoriju elastičnih tela načinio je Navije. On uzima da postoji dva sistema sila ∑F i 1∑F koje deluju na čestice jednog elastičnog tela. Sile se međusobno uravnotežuju i predstavljaju molekularne sile koje deluju kada spoljnih sila nema. Sile 1∑F uravnotežuju spoljašnje sile, kao npr.

gravitacione sile. Uzima se da su one srazmerne promenama )( 1 rr − udaljenosti između čestica i da deluju na pravcima koji spajaju sile.

Ako su u, v i w komponente pomeranja čestice ),,( zyxP , i ako su uu ∆+ , vv ∆+ , ww ∆+ odgovarajuća pomeranja susednih delića

),,( zzyyxxP ∆+∆+∆+ , onda je promena udaljenosti između ta dva susedna delića data izrazom:

wvurr ∆+∆+∆=− γβα1

pri čemu α, β, γ označavaju kosinuse uglova, koje pravci r zaklapaju sa koordinatnim osama x, y, z..

Odgovarajuća sila F1 je dalje

))((1 wvurfF ∆+∆+∆= γβα

gde je f(r) faktor, koji naglo opada sa porastom razdaljine r.

Sada Navije razvija u∆ , v∆ , w∆ u redove tipa

...2

1 22

2

+∆∆∂∂

∂+∆∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂=∆ yx

yx

ux

x

uz

z

uy

y

ux

x

uu

36

i ograničava se na izraze drugog reda. Potom, uvodeći te izraze u prethodnu jednačinu i stavljajući:

αrx =∆ , βry =∆ , γrz =∆

on dobija sledeće izraze za x za komponentu sile F1:

∂∂++

∂∂∂+

∂∂+

+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

2

2323

2

24223

1 2...

2)(...)(

z

w

yx

u

x

urfr

x

v

y

u

x

urrfF

αγβααβααα

Da bi izračunala celokupna sila koja deluje u pravcu x na pomereni delić ),,( zyxP , mora se obaviti sumiranje izraza sličnih gornjem ( 1Fα ) za sve deliće u

sferi delovanja delića P. Čineći to, i uzimajući da su molekularne sile nezavisne od pravca r, to jeste da je telo izotropno, Navije zapaža da svi članovi koji sadrže kosinuse, stepenovane na neparne eksponente, išćezavaju. i tako svi integrali iz prvog reda izraza 1Fα isčezavaju. Određivanje vrednosti onih integrala iz drugog reda, koji ne nestaju, svodi se na izračunavanje samo jednog integrala:

∫∞

=0

4 )(15

2drrfrC

π

Uzevši da je vrednost tog integrala poznata, projekcija na x osu rezultante sile, delujući na česticu P postaje:

∂∂

∂+∂∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂=∑ zx

w

yx

v

z

u

y

u

x

uCF

22

2

2

2

2

2

2

1223α

Na sličan način dobijamo i ostale dve projekcije.

Ako uvedemo sledeće notacije ∇, θ jednačine ravnoteže čestice P mogu se očigledno izraziti pri čemu su X, Y, Z komponente spoljnih sila, koje deluju na česticu

),,( zyxP .

z

w

y

v

x

u

∂∂+

∂∂+

∂∂=θ , 2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=θ

02 =+

∂∂+∇ X

xuC

θ

02 =+

∂∂+∇ Y

yvC

θ

02 =+

∂∂+∇ Z

zwC

θ

Ove relacije su Navijeove diferencijalne jednačine ravnoteže za izotropna elastična tela.

37

Kao što se vidi, uz ove pretpostavke, koje Navije čini, dovoljna je samo jedna konstanta C za određivanje elastičnih osobina nekog tela. Dodajući inercijalne sile čestice spoljnim silama X, Y, Z Navije dobija i opšte jednačine kretanja nekog elastičnog tela.

Osim tri gornje jednačine koje moraju biti zadovoljene u svakoj tački unutar posmatranog tela, potrebno je takođe ustanoviti i zahteve u pogledu delića na površini tela, gde molekularne sile moraju biti u ravnoteži sa spoljnim

silama, raspodeljenim po granici.

Označavajući tri komponente te sile sa nX , nY , nZ po jedinici površine, u tački sa spoljnom normalom n, te primenjujući princip virtuelnih pomeranja, Navije dolazi do zahtevanih graničnih uslova u sledećem obliku:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= γβα coscoscos3

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

uCX n

Koši je kasnije razjasnio značaj izraza u zagradi u gornjoj jednačini, pa je pokazao da su komponente nX , nY , nZ površinske sile linearne funkcije šest komponenata deformacija:

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u,,,,,

Dalji značajni doprinosi u razvoju teorije elastičnosti vezani su za Košijeve radove. On napušta izučavanje molekularnih sila između susednih delića (čestica) tela, pa namesto njih uvodi pojmove deformacija i napona, te tako izvanredno uprošćava izvođenje fundamentalnih jednačina.

6.2 Koši (Augustin-Louis Cauchy) (1789-1857)

Rođen je u Parizu gde odrasta okružen najistaknutijim pariskim naučnicima u atmosferi učenih razgovora i rasprava. Godine 1805. upisuje Politehničku školu, a 2 godine potom i Školu za Mostove i Puteve koju završava 1810. Kao istaknuti matematičar biva izabran, godine 1816. za člana Akademije u svojoj 27-oj godini. Posle što Navije objavio svoj prvi rad iz oblasti teorije elastičnosti, Koši se zainteresovao pa i sam počeo da radi na teoriji elastičnosti.

Za razliku od Navijea Koši ide drugim putem, pa uvodi pojam pritiska na površinu (ova koncepcija mu je bila bliska iz hidrodinamike), pa uzima da pritisak nije više upravan na površinu, na koju deluje u elastičnom telu. Na taj način uvodi u teoriju elastičnosti uveden pojam napona. Ukupni napon na beskonačno mali delić ravni, posmatran u deformisanom elastičnom telu definiše se kao rezultanta dejstava

38

Slika 6.2.1 – Koši

svih molekula, koji se nalaze sa jedne strane, na moleku s druge strane te ravni, a čiji se pravci (dejstava) seku u posmatranom deliću. Deleći ukupan napon površinom elementa, dobija se veličina napona.

Posmatrajući elementarni tetraedar Koši pokazuje da se tri komponente napona

nnn ZYX ,, na nekoj kosoj ravni abc dobijaju iz tri jednačine ravnoteže:

nmlX zxyxxn ττσ ++=

nmlY zyyxyn τστ ++=

nmlZ zyzxzn σττ ++=

gde su l, m, n kosinusi uglova, koje spoljnja normala na ravan abc zaklapa sa koordinatnim osama, a ,..., yxx τσ su normalna i tangencijalna komponenta napona koji deluje u O, u koordinatnim ravnima yz, xz i yx. On isto tako dokazuje da je

xyyx ττ = xzzx ττ = yzzy ττ =

Iz čega proističe da napon koji deluje na ma koju ravan kao što je abc, može biti određen sa šest naponskih komponenti kao što su yzxzxyzyx τττσσσ ,,,,, . Rastavljajući komponente nnn ZYX ,, u pravac normale na ravan abc, mi dobijamo normalni napon nσ koji deluje na tu ravan.

Koši pokazuje da ako povučemo vektor r, dužine nr σ/1= u svakom pravcu n iz koordinatnog početka O, onda će krajevi svih tih vektora ležati u ravni drugog reda. Koši naziva pravce glavnih osa te ravni glavnim pravcima, a odgovarajuće napone – glavnim naponima.

Koši izvodi diferencijalne jednačine ravnoteže za elementarni pravougaoni paralelopiped

0=+∂∂+

∂∂+

∂∂

Xzyx zxyxx ττσ

0=+∂∂+

∂∂+

∂∂

Yzyx zyyxy τστ

0=+∂∂+

∂∂+

∂∂

Zzyx zyzxz σττ

gde X, Y i Z označavaju tri komponente telesne sile po jedinici zapremine u tački O. Ako se radi o vibraciji, ovim telesnim silama se dodaju još i inercijalne sile.

Francuski matematičar isto tako proučava moguće deformacije nekog elastičnog tela oko tačke O pa dokazuje da, kada je deformacija mala, jedinično izduženje u bilo kom pravcu i promena pravog ugla između ma koja dva prvobitno upravna pravca, mogu biti izraženi preko šest komponenata relativnih deformacija:

39

Slika 6.2.2

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

uxzyzxyzyx ∂

∂+∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂= γγγεεε ,,,,,

Ovi odnosi daju tri pomeranja duž koordinatnih osa i deformacije uglova između tih osa.

Ako za svaku osu iz tačke O povučemo po jedan vektor, dužine rr ε/1= , pri čemu je rε relativna deformacija u pravcu r, krajevi tih vektora će ležati na jednoj površini drugog reda. Glavne ose te površine daju glavne pravce deformacija a odgovarajuća pomeranja su glavna pomeranja.

Koši isto tako daje odnose između šest komponenata napona i šest komponenata relativnih deformacija za neko izotropno telo. Uzimajući da se glavni pravci deformacija podudaraju sa pravcima glavnih napona, a da su komponente napona linearne funkcije komponenata deformacija, on piše sledeće jednačine

θεσ Kk xx += , θεσ Kk yy += θεσ Kk zz +=

gde su k i K dve elastične konstante, kao i

zyx εεεθ ++=

gde je θ jedinica zapreminske promene.

Za bilo koji pravac koordinatne ose, on tada dobija

θεσ Kk xx += , θεσ Kk yy += θεσ Kk zz +=

xyxy

k γσ2

= , xzxz

k γσ2

= , yzyz

k γσ2

=

Sve ove relacije koje je Koši dobio predstavljaju ustvari jedan dovršen, potpun sistem jednačina za rešavanje problema elastičnosti izotropnih tela. I on sam ih primenjuje pri svojim izučavanjima deformacija pravougaonih štapova. On se bavi problemima torzije pravougaonih štapova gde dokazuje da poprečni presek nekog uvrnutog štapa po pravilu ne ostaje ravan, već se vitoperi tokom uvrtanja.

Poason (Siméon Denis Poisson) (1781-1840)

Glavni rezultati njegovog rada na teoriji elastičnosti su objavljeni u dva njegova memoara, objavljena 1829. i 1831. godine, kao i u njegovom udžbeniku iz mehanike.

Polazeći u svojim razmatranjima od sistema čestica, između kojih deluju molekularne sile, on dolazi do tri jednačine ravnoteže i do tri granična uslova. Ovi su veoma slični sa onima, koje nalazimo kod Navijea i Košia u njihovim ranijim radovima. On dokazuje da su te jednačine ne samo potrebne, već i dovoljne da obezbede ravnotežu ma koga dela elastičnog tela. On uspeva da integriše jednačine kretanja, pa dokazuje ako se proizvede izvestan poremećaj u nekom malom delu tela, onda dolazi do pojave dve vrste talasa. Kod talasa veće brzine kretanja, kretanje svake

40

čestice je upravno na talasni front i to kretanje je propraćeno promenom zapremine (ili širenjem); dok kod drugog talasa je kretanje svake čestice tangencijalno na front talasa, i tu se javlja deformacija, ali bez zapreminske promene za vreme kretanja.

Primenjujući njegove opšte jednačine na izotropna tela, Poason nalazi da kod prostog zatezanja prizmatičnog štapa aksijalno izduženje ε mora biti propraćeno bočnom kontrakcijom veličine µε, gde je µ=1/4 . Promena zapremine biće tada:

εµε2

1)21( =− .

Iako Poason nije dao toliko fundamentalnih ideja teoriji elastičnosti nao Navije i Koši, on je rešio mnoge probleme od praktičnog značaja, pa se stoga njegovi rezultati koriste još i danas.

41

7 Matematička teorija elastičnosti između 1833. i 1867.

7.1 Fizička elastičnost i spor o elastičnoj konstanti

Pri izvođenju fundamentalnih jednačina svoje teorije elastičnosti, Navije se služio pretpostavkom da se idealno elastično telo sastoji od molekula između kojih se, pri deformacijama, javljaju sile. Ove sile su srazmerne promenama razdaljina između molekula i deluju na pravcima koji spajaju molekule. Na ovaj način, Navije je uz primenu samo jedne elastične konstante mogao da uspostavi relacije između deformacija i elastičnih sila kod izotropnih tela.

Koši je prvobitno upotrebljavao dve konstante da bi opisao odnose između napona i deformacija kod izotropnih tela. U najopštijem slučaju anizotropnih tela, i Poason i Koši su uzimali da svaka od šest naponskih komponenata može biti predstavljena kao linearna funkcija šest komponenata deformacija (uopšteni Hukov zakon). Tada je potrebno 36 elastičnih konstanti. Uz važenje pomenute molekulske teorije, broj potrebnih konstanti mogao se svesti na 15 u najopštijem slučaju, dok izotropija donosi još smanjenja, da bi se pokazalo da je jedna konstanta, koju je koristio Navije, zaista dovoljna da bi se izrazili odnosi između naponskih i deformacionih komponenata.

Poason je pokazao da pri prostom zatezanju izotropnog tela odnos bočne kontrakcije prema aksijalnom izduženju treba da bude jednak 1/4, a da će modul smicanja biti dat izrazom:

( ) EE

G 4.04112

=+

=

gde je E modul prostog istezanja, odnosno pritiska, a G modul smicanja.

Ideja o tome da se elastične osobine nekog tela mogu potpuno definisati samo jednom konstantom (kao što je modul istezanja E) bila je prihvaćena u ranom dobu razvoja teorije elastičnosti. Sa ovim su se slagali naučnici kao što su Navije, Koši, Poason, Lame, Klaperjon i drugi.

Veliku promenu u tim shvatanjima uvodi Džordž Grin, koji je predložio da se jednačine elastičnosti izvode bez upotrebe hipoteze o ponašanju molekulske strukture elastičnih tela.

Džordž Grin (1793-1841) je svoj prvi, i po mišljenju mnogih istoričara nauke najvažniji rad, objavio 1828. godine pod naslovom „Ogled o primeni matematičke analize na teorije elektriciteta i magnetizma“. U ovoj knjizi, on se služi francuskom matematičkom literaturom (navodi radove Laplasa, Poasona, Košija i Furijea), a ono što je posebno značajno je da upotrebljava funkciju „potencijala“, koju je Laplas već upotrebljavao, a koja se pokazala kao univerzalno korisna u svim granama fizike. Grinova publikacija privukla je pažnju matematičkog naučnog sveta, pa je dobio priliku da stupi na jedan od koledža Univerziteta Kembridž, iako, kao sin mlinara, prethodno nije imao redovno formalno obrazovanje. Godine 1837. on je dobio univerzitetsku diplomu, a dve godine kasnije izabran je i za člana svog Koledža.

42

Problemom elastičnosti Grin se bavio u radu „O zakonima odbijanja i prelamanja na zajedničkoj poovršini dva nekristalizovana medijuma“. U ovom radu, on izbegava da pravi pretpostavke u pogledu konačne strukture svetlosnog etra ili o međusobnom ponašanju molekula i polazi od toga da osobine etra moraju biti u skladu jedino sa zakonom održanja energije. Ovakvim pristupom, dolazi do jednačine sa 21 koeficijentom koji opisuju elastične osobine materijala. Za izotropna tela, funkcija iz koje dobijamo jednačine kretanja za tačke materijala može biti znatno uprošćena, i ona tada sadrži samo dva koeficijenta, a odgovarajuće jednačine kretanja samo dve elastične konstante, kao što je Koši i pretpostavio u svojim početnim jednačinama.

Grinova publikacija bila je povod za naučni spor, pa su se formirale dve struje u daljem razvoju teorije elastičnosti. Naučnici koji su prihvatali ideju o molekularnoj strukturi elastičnih tela držali su se Navijea i Košija i primenjivali su 15 konstanti za definisanje elastičnih osobina materijala u opštem slučaju, a jednu u izotropnom slučaju. Naučnici koji su prihvatili Grinov rad primenjivali su 21 konstantu u opštem slučaju, a dve za izotropna tela.

Među istraživačima koji su se bavili ovim problemom je Gijom Verthajm (1815-1861) koji je postigao značajne eksperimentalne rezultate ispitujući materijale ne samo na istezanje, već i sa longitudinalnim i transverzalnim talasima. On se najpre opredelio za hipotezu jedne konstante, pa u prvom radu koji je objavio u Parizu daje module istezanja za razne materijale. Svojim eksperimentima otkrio je da su vrednosti modula dobijene ogledima sa vibriranjem veće od vrednosti dobijenih statičkim ispitivanjem, pa zapaža da se pomoću te razlike može pronaći odnos specifične toplote pri konstantnoj deformaciji i specifične toplote pri konstantnoj zapremini. Verthajm je proučavao i uticaj temperature na modul i ustanovio je da modul istezanja po pravilu opada kontinualno sa porastom temperature od -15°C do 200°C (kao izuzetak od ovog pravila naveden je čelik, čiji modul u temperaturnom intervalu -15°C - 100°C raste, a nakon toga opada). Bavio se i proučavanjem elektroelastičnih i magnetoelastičnih osobina materijala, pa je izvršio obimna ispitivanja efekta električne struje na modul istezanja provodne žice i uticaja električne struje u solenoidu na longitudinalne deformacije gvozdenog štapa (jezgra elektromagneta). Verthajm je začetnik fotoelastičnosti, budući da je prvi ispitivao optičke osobine elastičnih tela. Na osnovu ovih ispitivanja, sastavio je tablicu boja na osnovu koje je mogao da meri napone u istegnutom štapu od providnog materijala. On je svojim eksperimentima dokazao i da ne postoji izražena granica elastičnosti, pa za granicu uzima arbitrarnu vrednost – relativno izduženje pri kome je trajna deformacija 0.00005 po jedinici dužine.

Kasnije je Verthajm, u saradnji sa Ševandijeom obavio obimna ispitivanja stakla i raznih vrsta drveta. Godine 1848. podneo je Akademiji svoj „Méemoire sur l’équilibre des corps solides homogènes“ u kome usvaja sugestiju Renjoa pa je za ispitivanja koristio staklene i metalne cilindrične cevi, mereći promene unutrašnjeg volumena cevi prouzrokovane aksijalnim istezanjem. Na ovaj način mogao je da izračuna bočne kontrakcije materijala. Eksperimentalni podaci nisu se poklapali sa Poasonovim teorijskim odnosom 1/4, a bočne kontrakcije su mogle biti objašnjene jedino uz primenu dve elastične konstante za izotropno telo. Verthajm nije odustajao od teorije jedne konstante, pa je predlagao da se za vrednost Poasonove konstante usvoji 1/3, što ne bi zadovoljavalo teorijske pretpostavke, niti bi se sasvim poklapalo sa eksperimentom.

43

Treba pomenuti i Verthajmov iscrpan rad o torziji koji obuhvata rezultate eksperimenata sa prizmatičnim štapovima sa pravougaonom osnovom, valjkastim štapovima sa kružnom i elipsastom osnovom i cevastim uzorcima. Ispitivanja su vršena na uzorcima od čelika, gvožđa, stakla i drveta. Kao i ranije, Verthajm dolazi do zaključka da je odnos bočne kontrakcije materijala bliži 1/3 nego Poasonovoj konstanti. Neslaganje eksperimentalno dobijenih vrednosti modula sa teorijskim takođe se moglo pripisati činjenici da ispitivani uzorak nije potpuno izotropan.

Konačno, iako je Verthajm svojim radovima značajno doprineo teoriji fizičke elastičnosti, on nije uspeo da reši spor o elastičnoj konstanti i ovo fundamentalno pitanje ostalo je otvoreno.

Pored Verthajma, fizičar Adolf Teodor fon Kupfer (1799-1865), prvi direktor ruske Centralne laboratorije za težine i mere (osnovane 1849), takođe se bavio eksperimentalnom elastičnošću. Za Kupfera su bila zanimljiva fizička svojstva metala budući da su ona uticala na standarde mera, pa je eksperimentisao ispitujući vibracione konstante elastičnosti i temperaturni efekat. Todhanter kaže: „Verovatno je da niko i nikada nije izvršio brižljivije i obimnije eksperimente no što je to učinio Kupfer pri istraživanjima vibracionih konstanti elastičnosti i temperaturnog efekta“. Svojim eksperimentima iz torzije on određuje modul smicanja G, a na osnovu teorije jedne konstante, modul istezanja E mogao se dobiti množeći G sa 5/2. Međutim, vrednosti modula istezanja dobijene ovako znatno su se razlikovale od onih dobijenih eksperimentima sa istezanjem i savijanjem, pa prema tome, Kupferovi rezultati ne stoje u prilog hipotezi jedne konstante. Kupfer je istraživao i uticaj temperature na modul elastičnosti, pa 1852. godine Ruskoj Akademiji Nauka podnosi rad o tome, za koji je kasnije nagrađen od strane Kraljevskog Društva u Getingemu. U ovom radu dokazano je da je zavisnost modula elastičnosti od temperature, pri malim promenama temperature (23°C do 45°C), linearna:

( )( )ttEE tt −−= 111

β

pri čemu je β konstanta koja zavisi od materijala.

Godine 1860. Kupfer je objavio knjigu u kojoj u kojoj su dati brojni rezultati njegovih istraživanja u oblastima savijanja i transverzalnih vibracija štapova. U predgovoru ovoj knjizi, Kupfer naglašava značaj osnivanja nacionalnih institucija u kojima bi se izučavale elastične osobine i otpornost konstruktivnih materijala i ukazuje na koristi koje bi u radu imali inžinjeri od objavljivanja podataka o osobinama materijala.

U Nemačkoj se u ovom periodu javlja čitava jedna škola, predvođena Francom Nojmanom, koja se bavi problemima fizičke elastičnosti. Nojman i njegovi učenici vršili su brojne eksperimente radi određivanja elastičnih konstanti, od kojih su posebno značajni oni kojima je Kirhof vrlo precizno odredio Poasonov odnos za neke materijale. Za čelik je dobijena vrednost 0.294, dok je za mesing dobijena vrednost 0.387, što je Kirhof uzeo sa rezervom tvrdeći da se mesing ne može smatrati izotropnim materijalom.

Svi ovi eksperimentalni rezultati bili su u sukobu sa hipotezom o jednoj konstanti za izotropna tela. Pored toga, ova hipoteza je dolazila u sve veći raskorak sa tadašnjim

44

pogledima na strukturu matrije. Daljim razvojem teorije elastičnosti, preovladavala je teorija koju je predložio Grin, po kojoj su odnosi napon-deformacija bili izvođeni iz razmatranja deformacione energije. Danas je ta teorija opšteprihvaćena.

7.2 Rani radovi u oblasti elastičnosti na Kembridžu

Radovi francuskih matematičara sa Politehničke škole podstakli su razvoj matematičke nastave u drugim zemljama, pa su tako uticali i na obnovu naučne aktivnosti u Kembridžu do koje je došlo u prvoj četvrtini devetnaestog veka. Grupa studenata, predvođena Čarlsom Bebidžom (1792-1871), Džonom Pikokom (1791-1858) i Džonom Frederikom Heršelom (1792-1871), osnovala je 1813. godine Analitičko društvo, koje je održavalo sastanke, držalo predavanja i borilo se za uvođenje kontinentalnog sistema pojmova i oznaka u infinitezimalnom računu na Kembridž. U ovu svrhu, Bebidž je putovao po Evropi i prevodio neka dela francuskih matematičara o diferencijalnom računu, a Pikok je objavio zbirku primera primena diferencijalnog i integralnog računa.

Bebidž je zastupao stanovište da se teorijska nauka mora povezivati sa praktičnim znanjima, jer od toga zavisi bogatstvo i moć nacije. On je bio vrlo zainteresovan za praktične primene nauke, pa je učestvovao u brojnim diskusijama o raznim tehničkim problemima u vezi sa radom engleskim železnicama. Pored ovoga, bavio se i problemima izgradnje cevastih mostova.

U ranoj fazi razvoja primenjene matematike na Kembridžu doprineli su mnogo Vilijam Vivel (1794-1866) i Džordž Bidel Ejri (1801-1892).

Vivel je diplomirao 1816. godine, a sledeće godine izabran je za člana Triniti koledža, gde je počeo sa predavanjima iz mehanike. Tada je objavio knjigu „An Elementary Treatise on Mechanics“, u kojoj se slobodno služi diferencijalnim i integralnim računom, i koja je znatno doprinela prenošenju kontinentalne matematike u Kembridž. U svojoj publikaciji „Analitička statika“ iz 1833. godine, on se, između ostalog, bavi ravnotežama elastičnih tela i daje elementarnu teoriju savijanja greda. Vivel je u drugim svojim knjigama pisao o Njutnovim radovima, o primenjenoj matematici, kao i o problemima više nastave.

Ejri je studije na Triniti koledžu završio 1823. godine kao najbolji matematičar u klasi, a 1826. izabran je za profesora matematike na svom koledžu. Te godine on izdaje „Matematički traktat o lunarnoj i planetarnoj teoriji, o obliku Zemlje, o precesiji i nutaciji i o varijacionom računu“ koji je na Kembridžu mnogo korišćen kao uvod u matematiku i matematiku primenjenu na probleme astronomije i teorijske fizike. Ejri se suprotstavljao strujama na Kembridžu koje su se zalagale za nastavu čiste, neprimenjene nauke, i insistirao je primeni matematike na razne grane teorijske fizike. On se zanimao za primenu matematike na rešavanje inženjerskih problema, prvenstveno u vezi sa konstrukcijom cevastih mostova. Godine 1862. podneo je Kraljevskom društvu rad o teoriji savijanja greda, u kome nije dato potpuno rešenje, ali je po prvi put primenio naponsku funkciju, koja će se kasnije pokazati kao vrlo korisna metoda za rešavanje problema elastičnosti.

45

7.3 Stouks (George Gabriel Stokes) (1819-190.)

Zlatni vek teorijske fizike na Kembridžu počeo je naučnim radom Džordža Gabrijela Stouksa (1819-1903). Stouks je bio član mnogobrojne porodice skromnog seoskog paroha iz sela Skrin u Irskoj. Osnovna znanja iz matematike dobio je od parohijskog knjigovođe, a školovanje je nastavio u Dablinu, pa potom na Bristolskom koledžu i Pembrok koledžu u Kembridžu. Nakon završenih studija, Stouks je ostao na koledžu dajući privatne časove đacima i baveći se originalnim istraživanjem u oblasti hidrodinamike, a kasnije je dobio mesto profesora matematike. Prvi Stouksovi radovi se odnose na hidrodinamiku, a kasnije se posvećuje optici.

U radu „O teoriji unutrašnjeg trenja kod tečnosti u pokretu i o ravnoteži i kretanju elastičnih čvrstih tela“, on znatnu pažnju posvećuje izvođenju fundamentalnih diferencijalnih jednačina elastičnosti kod izotropnih tela. Stouks smatra da se teorija elastičnosti ne može zasnivati na teorijskim pretpostavkama o molekulskoj strukturi čvrstih elastičnih tela, već na rezultatima fizičkih eksperimenata. Kao i Huk, on kao fizički dokaz proporcionalnosti napona prema relativnoj deformaciji navodi izohorne vibracije i sledeći svoje pretpostavke, postavlja jednačine ravnoteže koje sadrže dve elastične konstante. On pominje želatin i gumu, pozivajući se na Lamea i Klaperjona, kao materijale čiji odnosi bočnih kontrakcija prema aksijalnim izduženjima znatno odstupaju od predviđanja koja daje hipoteza o jednoj konstanti. Zatim,

opisuje eksperimente istezanja, torzije i ravnomernog pritiska obavljene u cilju pronalaženja odnosa dve konstante (E i G) za određene materijale. Stouks smatra da postoje dve vrste elastičnosti – jedna pri kojoj ravnomerno pritisnuto telo teži da povrati svoju prvobitnu zapreminu, i druga pri kojoj telo deformisano nezavisno od pritiska teži da se vrati svom prvobitnom obliku. Vezano za drugu vrstu elastičnosti, on pravi poređenje čvrstih tela i viskoznih tečnosti. Naime, mnoge vrlo elastične supstance, kao što su čelik i bakar, istovremeno su i plastične do nekog stepena. Stouks kaže da je verovatno da ukoliko je plastičnost supstance veća, elastičnost je manja. Kada se plastičnost i dalje povećava, elastičnost se smanjuje i supstanca prelazi u tečnost.

Kao što je rečeno, Stouks u jednom trenutku napušta svoje rano zanimanje za hidrodinamiku i posvećuje se optici. U ovoj oblasti, on posmatra svetlosni etar kao homogeni nekristalizovani medijum (kao što je neko čvrsto elastično telo), pa se tada ponovo bavi jednačinama teorije elastičnosti. U svom radu „O dinamičkoj teoriji difrakcije“ on postavlja teoreme koje su se pokazale kao vrlo značajne po teoriju vibracija elastičnih tela. Prva teorema omogućava svođenje problema nalaženja pomeraja na nalaženje pomeraja koji potiču od početnih brzina. Druga teorema odnosi se na poremećaj izazvan određenom promenljivom silom koja deluje u određenom

46

Slika 7.3.1 – Stouks

pravcu u datoj tački medijuma. Po ovoj teoremi, moguće je izračunati taj poremećaj ako su nam slobodne vibracije sistema poznate.

Godine 1854. Stouks postaje sekretar Kraljevskog društva. Ova pozicija oduzima veliki deo njegovog vremena i energije, pa se tada primećuje izrazit pad u njegovoj produktivnosti. Međutim, on se i dalje bavi nastavom teorijskih predmeta na Kembridžu, a često je i član komisije na ispitima iz matematike. U 5. svesci njegovih „Sabranih dela“, kao poseban dodatak, nalaze se zadaci za konkurse, takmičenja i ispite koje je pripremao za studente tokom godina. Od 1885. do 1890. Stouks je bio predsednik Kraljevskog društva.

O Stouksovim predavanjima, lord Rejli kaže: „Među njma [studentima] je bilo u svakom slučaju i takvih, koji su uživali u tome da slušaju takvog majstora svoje nauke, koji je bio u stanju da u svoja predavanja unese i stvari koje su dolazile sveže ispod čekića, sa njegovog istraživačkog nakovnja“.

7.4 Bare de Sen-Venan (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) (1797-1886)

Obimno delo „Istorija elastičnosti“ Todhantera i Pirsona posvećeno je Sen-Venanu rečima: „Uspomeni na M. Bare de Sen-Venana, najistaknutijeg savremenog elastičara, autori posvećuju svoj trud na ovoj knjizi“. Ova rečenica ilustruje ugled i značaj ovog naučnika koji se tokom čitavog života bavio problemima elastičnosti.

Budući da je poticao iz bogate porodice, Sen-Venanov talenat za matematiku je rano uočen i njegovo školovanje je usmeravano ka tome od detinjstva. Kasnije, on je pohađao licej u Brižu i Politehničku školu gde je učio kod Gej-Lisaka.

Politički događaji 1814. godine imali su znatan uticaj na Sen-Venanovu karijeru. Marta te godine, trupe evropske koalicije približavale su se Parizu u završnici onoga što je danas poznato kao Napoleonovi ratovi. Za odbranu Pariza tada su, pored ostalih, mobilisani i studenti Politehničke škole. Prvog dana borbi, 30. marta , kada je četa studenata izvlačila topove na bedeme pariskih utvrđenja, Sen-Venan, tada u rangu narednika, istupio je iz kolone odbijajući da se bori na strani „jednog uzurpatora“ zbog sopstvene savesti. Zbog ovog čina, on je kasnije proglašen dezerterom i nikada mu više nije dopušteno da nastavi školovanje na Politehničkoj školi. Tada je stupio u jednu barutanu, gde je kao asistent proveo osam godina. Tek 1823. vlada mu je dopustila da nastavi školovanje u Školi mostova i puteva. Ovde je Sen-Venan morao da trpi apsolutni bojkot od strane svojih kolega koji ne samo da su odbijali da govore sa njim, već i da sede pored njega. Bez obzira na ove okolnosti, Sen-Venan je završio svoje studije kao prvi u klasi.

47

Slika 7.4.1 – Sen-Venan

Nakon završetka studija, Sen-Venan je radio na izgradnji kanala Niverne i Ardenskog kanala, a u slobodno vreme bavio se teorijskim radovima. U francuskim naučnim krugovima postao je poznat nakon što je 1834. Akademija nauka objavila dva njegova rada – prvi iz oblasti teorijske mehanike, a drugi iz dinamike fluida. U drugom radu dao je tačno izvođenje Navije-Stoksovih jednačina za viskozne tečnosti, iako one danas ne nose njegovo ime, i prvi je definisao koeficijent viskoznosti. Zahvaljujući uspehu ovih radova, Sen-Venanu je ponuđeno privremeno mesto u Školi mostova i puteva, za vreme odsustva profesora Koriolisa. Sen-Venan prihvata posao, i dve godine (1837-1838) drži predavanja o otpornosti materijala u toku kojih je pominjao i neke probleme kojima će se kasnije baviti u svojim istraživanjima. Ova predavanja su litografisana i predstavljaju predmet velikog istorijskog interesa.

Sen-Venan je nastojao da svojim studentima predstavi najnaprednije činjenice iz teorije elastičnosti tog vremena. Služio se Navijeovom knjigom „Resume des Lecons“ u kojoj je Navije dao fundamentalne jednačine teorije elastičnosti, teoriju istezanja, pritiska, savijanja i torzije prizmatičnih štapova. Sen-Venan je svoja predavanja započeo razmatranjem hipoteze o molekularnom sastavu čvrstog tela i o silama koje deluju između molekula. Koristeći ovu hipotezu, definisao je napon, smičući napon i deformacije usled smicanja, a onda je pokazao da je istezanje u jednom pravcu kombinovano sa pritiskom iste veličine u normalnom pravcu ekvivalentno smicanju. Dalje on izlaže o savijanju greda, pri čemu vodi računa o smičućim naponima, i govori o načinu dimenzionisanja greda, za šta uzima da maksimalna relativna deformacija mora biti uzeta za osnovu pri određivanju dozvoljenih napona. Ovo je interesantno jer u to vreme teorija elastičnosti nije raspolagala rigoroznim rešenjima za praktične probleme, pa je bilo inženjera koji nisu očekivali da će im teorijska istraživanja doneti rešenja, na čemu je Sen-Venan insistirao.

Paralelno sa radom u Školi mostova i puteva, Sen-Venan se bavio i hidraulikom i njenom primenom u poljoprivredi, za šta je i nagrađen zlatnom medaljom Francuskog poljoprivrednog društva. Tokom dve godine (1850-1852), on je predavao mehaniku na Agronomskom institutu u Versaju. I pored svih dnevnih poslova koje je obavljao, Sen-Venan je neprekidno vršio istraživanja na polju teorije elastičnosti.

Godine 1843. Sen-Venan podnosi Akademiji svoj memoar o savijanju krivih štapova, a 1847. se pojavljuje njegov prvi memoar o torziji. Njegove ideje o savijanju i torziji dobile su zrele formulacije u memoarima iz 1855. i 1856. godine.

Pre svega, Sen-Venan se zanimao izvođenjem fundamentalnih jednačina teorije elastičnosti, pa se aktivno uključio u rešavanje spora o potrebnom broju elastičnih konstanti. On je podržavao ideje o molekularnoj strukturi čvrstih tela i manjem broju konstanti, o čemu je izlagao u više publikacija, a u potpunom obliku u takozvanom „V apendiksu“.

Istorijat razvoja jednačina elastičnosti prikazan je u Moanjoovoj knjizi „Lecons de Mechanique Analytique, Statique“ iz 1868. godine, čije je dve poslednje glave napisao Sen-Venan. U potrazi za ekspertom u teoriji elastičnosti koji bi napisao deo o statici elastičnih tela, Moanjo se obratio brojnim stranim autorima, a iz njihovih odgovora saznajemo da su Sen-Venana smatrali autoritetom par exellence i da je njegov ugled kao matematičara i istraživača bio ogroman, dok je u Francuskoj bio fatalno potcenjen.

48

Iste 1868. godine, Sen-Venan je izabran za člana Akademije i on u njoj ostaje kao najveći autoritet u mehanici do kraja svog života. Bavio se problemima iz mehanike čvrstih tela, a posebno vibracijama i problematikom plastičnih deformacija.

Sen-Venan nikada nije prezentovao svoja brojna istraživanja iz teorije elastičnosti u obliku jedne knjige, ali je zato izdao sa svojim beleškama i napomenama Navijeovu knjigu “Resume des lecons”, kao i svoj prevod, takođe sa napomenama, Klebšove “Theorie de l’elasticite des coprs solides”. Sen-Venanove beleške su toliko obimne i brojne da prevazilaze devetostruko Navijeov materijal, a Klebšov dvostruko. Ove dve knjige predstavljaju najvažnije publikacije za sve one koji se bave istorijom razvoja teorije elastičnosti i otpornosti materijala.

Godine 1853. Sen-Venan je Akademiji podneo svoj epohalni memoar o torziji. Članovi komiteta - Koši, Ponsele, Piober i Lame - bili su veoma impresionirani tim radom i preporučuju njegovo objavljivanje, što je i urađeno 1855. godine. Memoar sadrži ne samo Sen-Venanovu teoriju torzije, već daje pregled svega onog što je do tada bilo poznato o teoriji elastičnosti, uz mnoge značajne originalne dopune Sen-Venana. U ovom radu, on polazi od definicije napona i Hukovog zakona, a zatim definiše svoju polu-inverznu metodu, koja mu omogućava da nalazi rešenja za torziju i savijanje prizmatičnih štapova različitih poprečnih preseka. Takođe, dokazuje da se može uzeti da je torziona krutost čvrstih štapova jednaka torzionoj krutosti štapa koji ima eliptični poprečni presek jednake površine i isti polarni momenat inercije. Torziona krutost je obrnuto srazmerna polarnom momentu inercije, a ne direktno, kao što je do tada smatrano. Sen-Venan polu-inverznu metodu primenjuje i na slučaj savijanja konzole opterećene na svom kraju i dolazi do rigoroznih rešenja za savijanje prizmatičnih štapova različitih poprečnih preseka. On se ne ograničava na opšte rešenje problema, već razrađuje tablice u cilju veće pristupačnosti rada inžinjerima. Pomoću ovih tablica, lako se može izračunati maksimalni smičući napon kod greda pravougaonog preseka, što je značajna praktična primena. Imajući rešenja za torziju i savijanje prizmatičnih štapova, Sen-Venan dalje razmatra kombinovane torziju i savijanje, nalazi napone raspoređene po nekom poprečnom preseku, glavne napone i izračunava maksimalnu relativnu deformaciju. On preporučuje da se pri projektovanju greda dimenzije odaberu tako da se maksimalna relativna deformacija održi u granicama koje treba da se odrede za svaki konstruktivni materijal. Uticaj Sen-Venanovih memoara bio je ogroman – nakon njihovog pojavljivanja zavladala je opšta tendencija da se uvedu fundamentalne jednačine teorije elastičnosti u sve inženjerske knjige o otpornosti materijala.

Nakon što je završio sa radovima o torziji i savijanju, Sen-Venan nastavlja istraživanja u oblasti teorije elastičnosti, objavljujući radove u publikacijama Francuske akademije nauka.

Kao što je već rečeno, najznačajniji njegovi radovi objavljeni su u vidu beležaka Navijeove knjige i naponena uz Klebšovu knjigu.

Beleške uz Navijeovu knjigu sadrže potpunu teoriju elastičnosti za eolotropska tela, a sadrže i vrlo dobar izveštaj o pitanjima koja se odnose na broj potrebnih elastičnih konstanti. Iako Sen-Venan greši u pogledu broja konstanti, njegova istraživanja bila su od velikog značaja za elastičare, a predstavljaju i doprinos i inspiraciju za molekularne fizičare.

49

Sen-Venanove beleške uz Klebšovu knjigu imaju takođe veliki značaj, a posebno one o vibracijama štapova i o teoriji udara. Ovde ponovo dolazi do izražaja karakteristika Sen-Venanovog rada da želi, izračunavajući tablice i praveći dijagrame, da svoje rezultate učini pristupačnijim inžinjerima u praktičnom radu. Na primer, u vezi sa teorijom udara, izradio je dijagrame koji su ilustrovali različite faze longitudinalnog udara za različite vrednosti odnosa mase udarenog štapa prema masi koja nanosi udar. Sen-Venan se u 61. belešci (dugoj oko 150 stranica) Klebšove knjige bavi prinudnim vibracijama štapova i daje vrlo potpun prikaz vibracija koje kod štapa izaziva sila promenljiva u vremenu. U istoj belešci znatan prostor posvećuje problemu savijanja štapa pod dejstvom pokretnog tereta, pozivajući se na radove Stouksa i Vilisa u kojima se masa grede zanemaruje. On izvodi opštu jednačinu problema.

Njegovu pažnju na oblast plastičnih deformacija privukla su eksperimentalna istraživanja koja je vršio Treska u oblasti plastičnog tečenja metala pod velikim pritiscima. Treska je Francuskoj akademiji nauka 1868. godine podneo dva saopštenja na ovu temu, a Sen-Venan je bio zadužen da napiše izveštaj o njima. Nakon ovoga, Sen-Venan je objavio nekoliko radova u kojima je prvi postavio fundamentalne jednačine plastičnosti u ovoj potpuno novoj oblasti istraživanja, a prvi ih je i primenio u nekoliko praktičnih problema. Na taj način Sen-Venan je otpočeo proučavanje jednog potpuno novog područja mehanike materijala, koje je sam nazvao plastikodinamikom.

Objavljujući smrt velikog naučnika, predsednik Akademije rekao je: „Starost je bila milosrdna prema našem velikom kolegi. On je umro, u poodmaklim godinama, bez bolovanja, obuzet do svog poslednjeg časa problemima, koji su mu bili dragi, a u velikom prelasku su ga podržale iste one nade koje su podržavale i Paskala i Njutna.“

7.5 Franc Nojman (Franz Neumann) (1798–1895)

Franc Nojman se rodio u Joahimstalu, u provinciji Brandenburg. Zbog velikih teškoća, prouzrokovanih Napoleonskim ratovima, on svoje detinjstvo provodi u bedi. Osnovno obrazovanje je stekao u rodnom mestu, a sa desetom godinom se upisuje u privatnu gimnaziju u Berlinu.

Nakon oslobođenja Nemačke 1813., Nojman se prijavljuje za dobrovoljca u nemačku armiju, ali ga ne primaju zbog mladosti. Dve godine kasnije, on ipak navlači uniformu. U bitci kod Vaterloa on biva teško ranjen i ostavljen na bojnom polju među mrtvima sve do sutradan, kada je nađen i odveden do poljske bolnice. Uprkos ozbiljnoj povredi Nojman se nakon više meseci vraća u rat. U jesen 1815. učestvuje u opasdi Živea i tu dočekuje kraj rata.

Povratkom u Berlin, on nastavlja svoje školovanje. 1817. godine diplomira i upisuje se na Berlinski Univerzitet.

50

Slika 7.5.1 – Nojman

Brzo se sa teologije i prava preorijentisao na prirodne nauke (posebno mineralogiju), a znanje iz matematike stiče iz knjiga, pri čemu su Furijeovi radovi igrali ključnu ulogu. Rezultati njegovog rada iz mineralogije se javljaju u obliku knjige „Kristalonomije“.

1826. Nojman dobija doktorski stepen i prihvata poziv Kenigsburškog Univerziteta da predaje mineralogiju. Nemački sistem akademske slobode mu je omogućio da proširi svoja interesovanja, pa uspeva za tri godine svog predavačkog rada da savlada sve oblasti teorijske fizike. To mu ubrzo donosi posao za redovnog profesora (1829).

1834. u saradnji sa Jakobijem, Nojman organizuje seminar iz teorijske fizike i matematike. Ovaj način daljeg obrazovanja diplomiranih studenata se pokazuje kao vrlo uspešan, tako da ubrzo obuhvata sve nemačke Univerzitete i Visoke škole.

Nojmanov originalni rad na teoriji elastičnosti počinje u vreme kada su Navije, Koši i Poason bili aktivni, dakle dok je glavna primena ove teorije bila u oblasti optike.

Nojman se zanimao za elastične osobine kristala sa tri međusobno upravne ravni simetrije i pokazuje kakve eksperimente treba vršiti da bi se dobile vrednosti šests elastičnih konstanti sadržanih u njegovim jednačinama ravnoteže. Takođe, tom prilikom, izvodi obrazac za izračunavanje modula zatezanja za materijal prizme, izrezane od kristala bilo koje orijentacije. U ovim publikacijama Nojman zasniva svoja istraživanja na molekularnoj strukturi elastičnog tela, koristeći redukovan broj elastičnih konstanti kao i Poason.

U stalnoj potrazi za skladom između teorije i eksperimenta, Nojman uskoro dolazi do raskida sa Poasonom i Navijeom. Na kraju uspeva da nađe potreban broj konstanti za različite vrste kristala bez pribegavanja molekularnoj teoriji o njihovoj strukturi. On predlaže razne eksperimente, koje su uglavnom vršili njegovi učenici, za nalaženje tih konstanti.

Najinteresantniji takav rad obavio je Fojgt, konačno pokazavši da je u najopštijem slučaju neophodno imati 21, a ne 15 konstanti. Za izotropne materijale potrebne su dve konstante.

Najznačajniji Nojmanov doprinos teoriji elastičnosti nalazi se u njegovom velikom memoaru koji se odnosi na dvostruko prelamanje.

Nojman u svom memoaru razvija teoriju dvojnog prelamanja u napregnutim providnim telima. U slučaju homogeno napregnute ploče, teorija kaže da ako jedan zrak polarizovane svetlosti, upravan na ravan ploče, prolazi kroz tačku O sa amplitudom vibracije etra AO, onda će se ta amplituda razložiti na dve komponente OB i OC, paralelne osama x i y. Te dve komponente će se kretati različitim brzinama čija razlika će biti srazmerna razlici dveju glavnih relativnih deformacija, odnosno maksimalnoj smičućoj deformaciji.

51

Slika 7.5.2

Dovodeći dve komponente u interferenciju, možemo, posmatranjem nastale obojene slike, da nađemo relaciju između boja slike i veličine smičuće deformacije. Pomoću te informacije moguće je analizirati raspored smičuće deformacije u nehomogeno napregnutoj ploči.

Ako se, umesto bele, upotrebi zrak jednobojne polarizovane svetlosti, na ekranu ćemo dobiti sliku sa sistemom zamračenih i svetlih pojaseva. Uz pomoć ove konfiguracije možemo izvući zaključak o rasporedu smičućih deformacija. Ova tehnika se naziva fotoelastična analiza napona.

Nijman formira teoriju za opšti slučaj trodimenzionalne raspodele napona. On pokazuje kako se, uz pomoć prostih eksperimenata, mogu dobiti optičke konstante. Koristeći se njima, mogu se predskazati obojene slike za dati raspored napona i određeni materijal.

Potom ovu teoriju primenjuje na izračunavanje obojenih slika koje je Bruster zapazio kod nejednako zagrejanih staklenih ploča, pa ističe da te osobine takve ploče da vrši dvojno prelamanje potiče od napona, prouzrokovanih nejednakim zagrevanjem. Za ispitivanje tih napona, Nojman razvija jednačine ravnoteže koje sadrže član kojim se uzima u obzir toplotno širenje.

Primenjujući te jednačine na razna tela i, pritom, vršeći foto-elastične eksperimente, dobija potvrdu ispravnosti svoje teorije.

U poslednjoj glavi svog memoara, Nojman razmatra problem zaostajućih napona, koji i dalje ostaju u telu po otkalnjanju spoljnih sila kada se tokom terećenja vrši plastično deformisanje. Svoju teoriju zasniva na pretpostavci da se pravci glavnih relativnih elastičnih deformacija poklapaju sa pravcima glavnih elastičnih deformacija, a da su njihove veličine linearne funkcije komponenata glavnih elastičnih relativnih deformacija.

7.6 Kirhof (Gustav Robert Kirchhoff) (1824–1887)

Gustav Robert Kirhof se rodio i Kenigsbergu. Nakon zavrzene srednje škole, on se upisuje na Kengsberški Univerzitet, gde posećuje Nojmanova predavanja i učestvuje u njegovom seminarskom iz teorijske fizike.

1848. Kirhof stiče doktorsku titulu i istovremeno otpočinje svoju predavačku karijeru na Berlinskom Univerzitetu. Ubrzo, međutim, on odlazi na Breslavski Univerzitet kao vanredni profesor fizike.

Izvrstan nastavnik i veliki stručnjak u teorijskoj fizici, Kirhof je bio i eksperimentator ne manjih sposobnosti, tako da su njegovi studenti dobijali vrlo

solidna znanja u laboratoriji.

52

Slika 7.6.1 – Kirhof

1868. Kirhof nesrećnim slučajem ozbiljno povređuje nogu, što ga ostavlja u nemogućnosti da radi mnogo u laboratoriji, pa se mnogo više posvećuje teorijskom radu.

1875. prelazi na Berlinski Univerzitet gde dobija teorijsku katedru, što ga oslobađa obaveze da rukovodi i nadzire laboratorijske radove.

1876. izlazi njegova čuvena knjiga iz mehanike kao prva sveska njegovih predavanja iz teorijske fizike.

1882. Kirhof objavljuje sabrane radove. Međutim, zbog stalnog pogoršanja zdravstvenog stanja 1884. Biva prinuđen da prekine sa predavanjima. Nakon tri godine, Kirhof i umire.

Kao Nojmanov učenik, Kirhof ubrzo pokazuje interesovanje za teoriju elastičnosti. 1850. Objavljuje svoj rad o teoriji ploča u kojoj se nalazi prva zadovoljavajuća teorija o savijanju ploča.

Rad počinje dajući kratak istorijat razvoja tog problema, pominjući Sofiju Žermen i njene pokušaje da dođe do diferencijalnih jednačina za savijanja ploča, kao i Lagranžovu popravku njene greške. Mežutim, on izostavlja Navijeov rad gde se koristi hipoteza molekularnih sila. Takože, izlaže i Poasonov rad i ustanovio da njegova tri ivična uslova ne mogu biti zadovoljena istovremeno, tako da je francuski elastičar uspeo da reši problem vibriranja kružne ploče samo zahvaljujući simetričnom obliku vibracija koje je posmatrao, a koje su automatski zadovoljile jedan od ivičnih uslova.

Kirhof razvija svoju teoriju ploča na dve predpostavke koje se danas opšte prihvataju kao ispravne. Te hipoteze su: (1) da svaka linija koja je prvobitno upravna na srednju ravan ploče ostaje prava i tokom savijanja upravna na srednju ravan ugnute ploče i (2) da elementi srednje ravni ploče ne podležu razvlačenju pri malim ugibima ploče pod bočnim opterećenjem.

Koristeći ove hipoteze, Kirhof dolazi do ispravnog izraza za potencijalnu teoriju ugnute ploče:

dxdyyxyxyx

Dv ∫∫

∂∂

∂−+∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

22

2

2

2

22

2

22

2

2

)1(222

1 ωµωωµωω

gde je )1(12/ 23 µ−= EhD i označava krutost prema savijanju ploče, a nagib njene srednje ravni.

Dalje, primenom principa virtuelnog rada on dobija:

∫∫ = Vdxdzq δδω

Koristeći ove jednačine Kirhof izvodi poznatu jednačinu za savijanje ploča:

53

qyyxx

D =

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2ωωω

Dalje, Kirhof pokazuje da postoje samo dva, a ne tri, ivična uslova.

On sada počinje da primenjuje svoje jednačine na teoriju vibracija kružne ploče sa slobodnom ivicom. Međutim, ne zadržava se na izučavanju simetričnih vibracija (čije su čvorne linije koncentrični krugovi), već i načine pri kojima su čvorne linije prečnici krugova, a na koje Poasonovi ivični uslovi ne mogu biti primenjeni.

Našavši opšte rešenje, Kirhof se bavi obimnim izračunavanjima i daje tablicu frekvencija izračunatih za različite načine vibriranja. Koristeći svoje numeričke podatke on analizira rezultate eksperimenata do kojih su došli Hladni i Strelke u pokušaju da nađe vrednost Poasonovog odnosa .

Kako ti pomenuti eksperimenti nisu bili adekvatni za Kirhofov zadatak, on sprovodi sopstvene eksperimente.

Kirhof na svojim predavanjima proširuje teoriju ploča i na slučajeve kada ugibi nisu sasvim mali. Pojava ovakve teorije je predstavljala vrlo veliki korak unapred u teoriji elastičnosti.

Drugi veleiki doprinos koji je Kirhof dao teoriji elastičnosti je bila njegova teorija deformacija tankih štapova.

On je izveo opšte jednačine za trodimenzionalnu krivu ugiba i za slučaj kada ugibi isu mali. Zatim je dokazao da, kada sile deluju samo na krajeve štapa, su te jednačine identične sa jednačinam kretanja nekog krutog tela oko fiksne tačke. Na taj način se rešenja, već od ranije poznata iz dinamike krutog tela, mogu primeniti na deformacije tankih štapova. Ovo je poznato kao Kirhofova dinamička analogija.

Kao primer ove analogije, posmatraćemo izvijanje pritisnutog štapa (slika a), poredeći ga sa oscilacijom matematičkog klatna (slika b). Kako u oba slučaja imamo istu diferencijalnu jednačinu, možemo uspostaviti sledeći odnos: ako se tačka M kreće po krivoj AB ravnomernom brzinom, tako da za polu-period klaćenja klatna pređe put od A do B i počinje da se udaljava od A u trenutku kada je klatno u svom ekstremnom položaju, a tangenta u A zaklapa isti ugao sa vertikaolom kao i klatno u svom ekstremnom položaju, onda je pravac tangente u ma kom međupoložaju tačke M paralelan sinhronim ravcem klatna.

Kirhofova teorija je prouzrokovala burnu diskusiju, što je doprinelo raščišćavanju mnogih nejasnoća, dovelo do uprošćenog izvođenja i potvrdilo ispravnost Kirhofove teorije.

54

Slika 7.6.2

7.7 Lord Kelvin (William Tomson) (1824 – 1907)

Viliam Tomson, koji je kasnije dobio plemstvo i naziv Lorda Kelvina rođen je u Belfastu. Otac mu je bio profesor matematike na Kraljevskoj Akademskoj Instituciji u Belfastu.

1832. godine porodica Tomson prelazi u Glazgov, gde otac dobija katedru matematike u Glazgovskom Univerzitetu. Sa deset godina Wiliam upisuje Glazgovski univerzitet, gde studira strane jezike, matematiku i prirodnu filozofiju. Predavanja iz prirodne filozofije koja je držao Nikol probudila su zanimanja mladog Tomsona za matematiku.

U šesnaestoj godini profesor Nikol skreće Tomsonovu pažnju na radove Furijea, što će imati veliki uticaj na ranu fazu njegovog naučnog rada.

1841. on prelazi u Kembridž, gde se takođe bavi proučavanjem Furijea, pa jeseni iste godine izlazi njegov prvi matematički naučni rad o Furijeovim redovima.

Nakon što je diplomirao, ubrzo bira izabran za profesora prirodne filozofije na Glazgovskom Univerzitetu. Još od početka svog nastavničkog rada, Tomson najveću važnost poklanja eksperimentalnom radu svojih studenata. On se ne zadovoljava samo pružanjem eksperimentalnih demonstracija tokom predavanja, već organizuje labaratoriju u kojoj on sam, zajedno sa studentima, može da istražuje osobine materijala. To je prva laboratorija te vrste u Britaniji.

Najznačajniji doprinos koji je Tomson dao fizici tokom prvih godina rada u Glazgovu bio je iz oblasti termodinamike, ali je u tom periodu takođe pokupio mnoštvo podataka iz otpornosti materijala i elastičnosti.

Razmatrajući fundamentalne postavke teorije elastičnosti, on zaključuje da osobine materijala nekada znatno odstupaju od očekivanih. Razmatrajući nesavršenost u pogledu elastičnosti stvarnih materijala, uvodi pojam unutrašnjeg trenja koje izučava ispitujući prigušivanje vibracija elastičnih sistema. Iz ovih opita on zaključuje da trenje nije srazmerno brzini, kao kod tečnosti.

Eksperimenti u elastičnosti su doveli Tomsona na graničnu oblast između termodinamike i elastičnosti. Proučavajući temperaturne promene koje nastaju kod

Slika 7.7.1 – Lord Kelvin

elastičnog tela izlooženog deformisanju, on dokazuje da veličina modula zavisi od načina raspodele napona u uzorku.

Posmatrajući rezultate nekog eksperimenta sa zatezanjem, neka je OA dijagram naglog istezanja uzroka u granicama elastičnosti. Pri blagom nanošenju sile dijagram ima manji nagib (linija OB). Pri naglom istezanju nema razmene toplote izmedju uzorka i okoline (adijabatsko istezanje). U drugom slučaju možemo uzeti da se, zbog sporog istezanja uzorka, njegova temperatura ne menja (izotermsko istezanje).

Iz odgovarajućih dijagrama vidimo da je Jangov modul veći pri naglom istezanju. Uzorak koji se izloži naglom istezanju postaje, najčešće, hladniji od svoje okoline, tako da, usled izjednačavanja temperature dolazi do izvesnog prirasta istezanja (AB na grafiku). Ako se, nakon toga, istežuća sila naglo odstrani, dolazi do skupljanja uzorka i njegovog zagrevanja (tačka C), pa se povratak u prvobitno stanje dešava tek nakon nekog vremena, potrebnog da se tmperatura uzorka izjednači sa temperaturom okoline. Tada površina OABC predstavlja izgubljeni rad tokom jednog takvog ciklusa.

Postoje i izvesni materijali (npr. prirodna guma) koji pokazuju efekat zagrevanja pri istezanju, a hlađenja kada se spoljašnja sila odstrani. Kod takvog uzorka materijal se mora skupljati kada se zagreva, a istezati kada se hladi zaključuje Tomson.

Kasnije Tomson sprovodi opšte ispitivanje toplotne razmene koja nastaje prilikom deformisanja nekog elastičnog tela. Posmatrajući energiju tela, on daje prvi logičan dokaz postojanja funkcije deformacione energije, koja zavisi samo od deformacije, izmerene u odnosu na izvesno standardno stanje, a ne od načina na koji je došlo do te deformacije. Taj rad predstavlja jedano od najkrupnijih Tomsonovih doprinosa teoriji elastičnosti.

Tomsonovo razmatranje teorije elastičnosti dato u „Treatis on Natural Philosophy“ predstavlja prvi sistematski prikaz tog predmeta na engleskom jeziku. On je izvršio veliki uticaj na savremene i kasnije naučne radnike na teoriji elastičnosti u Engleskoj.

Slika 7.7.2

56

8 Zaključak

Kao što smo videli, važnost elastične teorije nije ostala ne primećena od strane velikih fizičara u istoriji, a njena primena će uvek imati vodeću ulogu u građevini. Iako je najveći napredak doživela za kratki period, pokriven u ovom radu, elastičnost i nakon toga privlači pažnju u naučnom svetu i njena povezanost sa drugim osobinama materijala nastavlja da se istražuje.

57

Reference

[1] Stepan Timošenko. Istorija otpornosti materijala. Građevinska knjiga

[2] Craig G. Fraser. Mathematical technique and physical conception in Euler’s investigation of the elastica. Centaurus, 34(3):211–246, 1991.

[3] C. Truesdell. The influence of elasticity on analysis: The classic heritage. Bull. AMS, 9(3):293–310,

[4] Isaac Todhunter. A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials, volume 1. Cambridge University Press, 1886

[5] Isaac Todhunter. A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials, volume 2. Cambridge University Press, 1886

[6] Isaac Todhunter. A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials, volume 3. Cambridge University Press, 1886

[7] Daniel Bernoulli. The 26th letter to Euler. In Correspondence Mathematique et Physique, volume 2. P. H. Fuss, October 1742

[8] Richard B. Hetnarski, Jozef Ignaczak. Mathematical Theory of Elasticity. Taylor & Francis, 2004

58