Fakulteta za matematiko in �zikoJadranska 191000 Ljubljana

SEMINAR IIMATEMATI�NI PARADOKSI

Nina Friedl4.letnik, pedago²ka matematika

Ljubljana, 7.11.2006

Kazalo1 UVOD 3

2 LOGI�NI PARADOKSI 42.1 Paradoks o laºnivcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Neskon£no ponavljanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Koko² ali jajce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Alica in rde£i kralj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Krokodil in otrok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Paradoks o brivcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Dolgo£asen ali zanimiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Swamijeva prerokba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Nepri£akovani tiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 �TEVILSKI PARADOKSI 73.1 Presenetljive enakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Dokaz, da je 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Dokaz, da je 7=13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Dokaz, da se vrednost ²tevila kljub preme²£anju ²tevk ne spremeni . . . . . . . . . 8

3.2 Silovito zmanj²evanje prebivalstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Zbegani voznik avtobusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Magi£na matrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Paradoksi in neskon£nost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5.1 Neskon£ne vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5.2 Gabrielov rog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 VERJETNOSTNI PARADOKSI 114.1 Druºina s ²tirimi otroki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Igra z denarnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Princip indiferentnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 STATISTI�NI PARADOKSI 135.1 Paradoks o rojstnih dnevih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Trik s kartami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Paradoks z volitvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 GEOMETRIJSKI PARADOKSI 156.1 Nenavadni razrezi likov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.1.1 Curry-ev paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.1.2 Razrez kvadrata plo²£ine 8× 8 na pravokotnik plo²£ine 5× 13 . . . . . . . . . . . . 166.1.3 Langman-ov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Kam je izginil ²krat? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Nemogo£i predmeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.4 Opti£ne iluzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 ZAKLJU�EK 20

8 Literatura in viri 21

2

1 UVOD�Bog ni vsemogo£en, £e ne more zgraditi zidu, preko katerega ne more sko£iti.�Stavek, ki ²e tako malodu²nemu £loveku daje zanos, da se poglobi v £udoviti svet paradoksov.

Paradoksi so kot £arovni²ki triki - zanimajo in privla£ijo nas, ker ne upo²tevajo �logike in zdravepameti�, nasprotujejo £lovekovi intuiciji in tako sproºijo takoj²nje presene£enje. SSKJ opredeli pojemparadoksa kot: �Misel ali trditev, ki temelji na neskladju s splo²no veljavnim in priznanim.�

Obstajajo ²tirje glavni tipi paradoksov:

1. Trditev, ki je videti napa£na, a je dejansko resni£na.

2. Trditev, ki je videti resni£na, a je dejansko napa£na.

3. Dokazovanje, ki se zdi brezhibno, ki pa vodi v logi£no protislovje. Pride torej do trditev, ki se medsabo izklju£ujejo. (Ta tip paradoksa imenujemo zmota.)

4. Trditev, katere to£nost ali napa£nost je neodlo£ljiva.

Paradoksi v matematiki, kakor tudi znanosti, so lahko veliko ve£ kot ²ale. Izzivajo mo£ sklepanja,vodijo do globokega razumevanja in nenazadnje pomagajo razvijati sposobnosti za re²evanje problemov.Od njih se torej lahko zelo veliko nau£imo. Ker so tako presenetljivi, ponavadi ho£emo takoj vedeti, kakoso narejeni.

Paradoksi so begali glave ºe starim Grkom, ki jim nikakor ni ²lo v ra£un, kako je lahko en stavekhkrati pravilen in napa£en. Nadleºen paradoks jim je bil tudi, da niso mogli natan£no izmeriti diagonalekvadrata s stranico 1, pa £e so imeli ²e tako �no razdeljeno ravnilo. To vznemirjajo£e dejstvo je odprlovelikansko podro£je teorije iracionalnih ²tevil. Matematikom 19. stoletja se je zdelo izredno paradoksalno,da se dajo vsi £lani neskon£ne mnoºice postaviti v enoli£no in povratno enoli£no korespondenco s £laniene od njenih pravih podmnoºic in da lahko obstajata dve neskon£ni mnoºici, katerih £lani se ne dajopostaviti v enoli£no in povratno enoli£no korespondenco. Ti paradoksi so vodili do razvoja moderneteorije mnoºic, ki pa je imela mo£an vpliv na �lozo�jo znanosti. Mogo£e se v£asih niti ne zavedamo, atudi dandanes lahko najdemo vse polno paradoksov, med njimi tudi take, katerih ²e vedno ne znamo re²iti.Eden izmed njih je npr. t.i. Newcombov paradoks, katerega si je izmislil �zik William Newcomb. Grenekako takole:

Nekega dne je bitje iz vesolja Omega pristalo na zemlji. S seboj je prineslo najbolj izpopolnjeno opremoza prou£evanje £love²kih moºganov. Z veliko natan£nostjo je lahko napovedalo, katero od dveh alternativbo kdo izbral. Preiskalo je veliko ljudi. Za poskus je uporabilo dve ²katli. �katla A je bila prozorna in vnjej je bil bankovec za tiso£ dolarjev. V ²katli B, ki pa ni bila prozorna, ni bilo ni£ ali pa milijon dolarjev.Omega je dejal vsakemu: �Imate dve izbiri. Ena je ta, da vzamete obe ²katli in obdrºite denar, ki jev njih. Toda, £e bi jaz vedel, da boste tako ravnali, bi pustil ²katlo B prazno in vi bi dobili samo tiso£dolarjev. Druga izbira pa je, da vzamete samo ²katlo B. �e bi vedel, da boste to storili, bi dal v ²katloB milijon dolarjev in vi bi jih dobili.� Neki mo²ki se je odlo£il, da bo vzel samo ²katlo B. Takole sklepa:�Opazoval sem Omego pri stotinah poskusov. Vedno je pravilno napovedal. Vsak, ki je vzel obe ²katli, jedobil samo tiso£ dolarjev. Jaz pa bom vzel samo ²katlo B in postal milijonar.� Neka ºenska pa je vzelaobe ²katli in takole sklepala: �Omega se je ºe odlo£il, katero alternativo bom izbrala, in od²el. �katla Bse ne bo spremenila. �e je prazna, bo ostala prazna. �e je polna, bo ostala polna. Torej bom vzela obe²katli in dobila vse, kar je v njih.� Obe dokazovanji ne moreta biti pravilni. Katero je pravilno? Zakaj?

Obstaja ve£ razli£nih tipov paradoksov, ki so odvisni od tega, kje se pojavi situacija, ko govorimo oparadoksu. Na podro£jih matematike tako poznamo logi£ne, ²tevilske, verjetnostne, statisti£ne, geometri-jske paradokse. Ko sem iskala literaturo za seminarsko nalogo, sem naletela na kar nekaj presenetljivihprimerkov, katere bom omenila v posameznih poglavjih.

3

2 LOGI�NI PARADOKSI�e upo²tevamo nujno potrebo logike - ne samo v matematiki, ampak pri vsem deduktivnem dokazovanju- nas preseneti, ko ugotovimo, da je logika polna navidezno brezhibnih rezultatov, ki vodijo v £istaprotislovja. Posledica prizadevanj, da bi re²ili klasi£ne paradokse, je bilo hitro napredovanje v modernilogiki in teoriji mnoºic.

2.1 Paradoks o laºnivcuGre za enega najbolj znanih logi£nih paradoksov. Imenuje se tudi �Epimenidov paradoks� in predstavljatemeljni kamen cele druºine paradoksov, znanih pod imenom �paradoksi o laºnivcu�. V originalni oblikigre takole:

Prebivalec Krete, Epimenid, je rekel: �Vsi prebivalci Krete so laºnivci.� Ali je glede na to, da je bilKre£an, govoril po resnici?

Trditev je logi£no protislovna, £e privzamemo, da laºnivci vedno laºejo in da resnicoljubi vedno govorijoresnico ter £e predpostavimo, da so vsi prebivalci Krete laºnivci ali pa so vsi resnicoljubi. Ne more bitipravilna, ker bi potem bil Epimenid laºnivec, torej bi bilo to, kar on pravi, napa£no. Pa tudi napa£no nemore biti, ker bi to pomenilo, da so Kre£ani resnicoljubi, torej bi bila Epimenidova trditev pravilna.

Stari Grki so bili zelo za£udeni, kako trditev, ki je videti popolnoma smiselna, ne more biti nitipravilna niti napa£na, ne da bi bila v nasprotju sama s seboj. Filozof - stoik Hrizip je napisal ²est razpravo �paradoksu o laºnivcu�, od katerih se ni nobena ohranila. Filet s Kosa, gr²ki pesnik, ki je bil tako suh,da je baje imel svinec v £evljih, da ga ni odpihnilo, se je tako mu£il s tem paradoksom, da ga je spravilv prezgodnji grob.

Najpreprostej²a oblika �paradoksa o laºnivcu� je trditev:

Ta stavek je napa£en.

Ali je pravilen? �e je napa£en, je resni£en, in £e je resni£en, je napa£en.Poznamo tudi dvojno verzijo �paradoksa o laºnivcu�. V£asih ji re£ejo �Jourdainov paradoks s karto�.

Imamo namre£ karto in na njeni prvi strani pi²e:

Trditev na drugi strani te karte je resni£na.

�e karto obrnemo, na drugi strani preberemo:

Trditev na drugi strani te karte je napa£na.

Gre za tale paradoks: £e je prva trditev resni£na, je druga trditev resni£na, torej je prva trditev napa£na.�e je prva trditev napa£na, potem je tudi druga trditev napa£na, zato mora biti prva trditev resni£na.Prva trditev je torej resni£na £e in samo £e je napa£na, to je pa nemogo£e.

Nekateri �lozo� in matematiki pravijo, da izjave oblike �Ta trditev je napa£na.� niso dobro utemeljene.Preden lahko vemo, kaj za trditev pomeni, da je napa£na, moramo najprej razumeti smisel trditve same.Kak²en je pomen trditve same po sebi, kaj nam pove? Le to, da je trditev sama po sebi napa£na, nevemo pa ²e, kaj za trditev pomeni, da je napa£na. Trditev torej ne daje nobene prave informacije. Zarazliko npr. od trditve 2 + 2 = 3, pri kateri vemo pomen vseh besed v njej, in tako vemo, da je napa£na.Podobno tudi trditve oblike �Ta trditev je resni£na.� niso dobro utemeljene.

2.2 Neskon£no ponavljanje

2.2.1 Koko² ali jajce?Gre za zelo dobro znan paradoks:

Kaj je bilo prej - koko² ali jajce?

Koko²? Ne, saj se je morala izvaliti iz jajca. Jajce? Ne, saj ga je morala izvaliti koko². Starovpra²anje o koko²i in jajcu je najbolj znan primer tega, kar logiki imenujejo neskon£no ponavlanje. Tak²na

4

ponavljanja sre£amo dokaj pogosto. Npr. platnice revije Scienti�c American se odraºajo v £love²kemo£esu. V sliki manj²e oko odraºa manj²e platnice in tako naprej. Ali pa: v brivnici, kjer si zrcala stojijonasproti, lahko vidimo za£etek neskon£nega zaporedja slik. Lep primer neskon£nega ponavljanja je izraziltudi matematik Augustus De Morgan v pesmi, ki gre takole:

Velike bolhe imajo majhne bolhe,ki jih pikajo po hrbtu,majhne bolhe imajo ²e manj²e bolhein tako ad in�nitum.Velike bolhe imajo same tudive£je bolhe za pikanje;te imajo pa ²e ve£jein ²e ve£je in tako naprej.

Na dve prastari znanstveni vpra²anji o neskon£nem ponavljanju verjetno nikoli ne bomo na²li odgov-ora. Ali je na²e vsemirje edino ali je del ²e bolj ogromnega sistema, o katerem ni£ ne vemo, in ali jeelektron osnovni delec ali ima notranjo strukturo iz ²e manj²ih delcev? Nekateri �ziki mislijo, da selestvice struktur neomejeno ²irijo v obe smeri. Celotno vesolje vesolij je kot ogromna mnoºica ²katel,ki se dajo vloºiti ena v drugo, kjer prav tako ni niti najmanj²e niti najve£je ²katle kot ni najmanj²egaulomka ali najve£jega pozitivnega celega ²tevila.

2.2.2 Alica in rde£i kraljParadoks �Alica in rde£i kralj� ima dve neskon£ni ponavljanji.Gre pa takole:

Alica pravi, da sanja o Rde£em kralju. A on spi in sanja o njej, ki sanja o njem, ki sanja o njej . . .

Ali je kralj stvar v njenih sanjah, ali je ona stvar v njegovih? Kaj je resnica in kaj so sanje? Dvojnesanje vodijo v globoka �lozofska vpra²anja o resni£nosti. Koko²i in jajca grejo nazaj v £asu in ²tevilokoko²i in jajc je neskon£no, pri Alici in Rde£em kralju pa je ponavljanje izmeni£no.

Ta izmeni£ni paradoks ponazarjajo tudi �Riso£e roke� znanega nizozemskega umetnika Mauritsa Es-cherja:

2.3 Krokodil in otrokTa paradoks se mi zdi ²e posebno zanimiv. Takole gre:

Krokodil iztrga materi otroka. Nato ji pravi: �Ali bom pojedel tvojega otroka? �e bo² odgovorilapravilno, ti bom otroka vrnil nepo²kodovanega.� Mati mu odvrne: �Ojoj, mojega otroka bo² pojedel.�Krokodil ugotavlja, da £e ji otroka vrne, pomeni, da ni povedala pravilno. Mora ga torej pojesti in to povemateri. A ta mu odvrne: ��e bo² mojega otroka pojedel, sem povedala pravilno, torej mi ga mora² vrniti.�Ubogi krokodil je bil tako osupel, da je otroka izpustil. Mati ga je zgrabila in stekla pro£. Krokodil si jerekel: �Presneto! Ko bi bila rekla, da bom otroka vrnil, bi imel slasten obed.�

Krokodil je v ko£ljivem poloºaju, saj mora isto£asno pojesti otroka in ga vrniti materi. Mati je zelopametno ravnala. �e bi rekla, da ji bo krokodil otroka vrnil, bi ga krokodil lahko pojedel ali vrnil - vobeh primerih brez protislovja. �e ga vrne, je mati povedala pravilno, krokodil pa je drºal besedo. �epa je dovolj podel, pa lahko otroka poje. V tem primeru je bila materina trditev napa£na, kar krokodilaodveºe obljube, da otroka vrne.

5

2.4 Paradoks o brivcuZnani paradoks o brivcu je podal Bertrand Russell. Glasi se takole:

Brivec nekega majhnega mesta je bril vse prebivalce tega mesta, ki se niso brili sami, nikoli pa ni brilprebivalcev, ki so se brili sami. Ali se je brivec bril sam ali ne?

�e se je brivec bril sam, je kr²il pravilo, saj je bril nekoga, ki se je bril sam. �e se ni, je spet kr²ilpravilo, ker ni bril nekoga, ki se ni bril sam. Tak brivec torej ne obstaja.

Bertrand Russell je podal paradoks brivca, da bi prikazal znani paradoks, ki ga je odkril o mnoºicah.Kaºe, da nekatere konstrukcije vodijo v mnoºice, ki naj bi bile elementi samih sebe. Npr. mnoºicavseh stvari, ki niso hru²ke, ne more biti hru²ka, torej mora biti element same sebe. Pogledamo mnoºicovseh mnoºic, ki niso elementi samih sebe. Ali je ta mnoºica element same sebe? Vidimo, da kakorkoliodgovorimo pridemo do protislovja.

S tem paradoksom je povezan eden najbolj dramati£nih elementov v zgodovini logike. Znani nem²kilogik Gottlob Frege je dokon£al drugi del svojega ºivljenskega dela Grundgesetze der Arithmetik. Mislilje, da je v njem razvil neprotislovno teorijo mnoºic, ki bo osnova vse matematike. Nato mu je Russellposlal pismo s sporo£ilom o odkritju svojega paradoksa. Fregejeva teorija mnoºic je dovoljevala tvorbovseh mnoºic, ki niso elementi samih sebe. Russell pa je ugotovil, da so te mnoºice protislovne same sebi.Tako so bili zru²eni temelji Fregejevega ºivljenjskega dela.

2.5 Dolgo£asen ali zanimivTale paradoks je ²e posebno zabaven. Gre pa takole:

Nekateri ljudje so zanimivi, nekateri dolgo£asni. Naredimo seznam vseh dolgo£asnih ljudi na svetu inseznam vseh zanimivih ljudi. Nekje na seznamu dolgo£asneºev je najbolj dolgo£asen £lovek na svetu. Pravzato pa postane zelo zanimiv. In tako moramo najve£jega dolgo£asneºa vpisati na drug seznam. Zdaj bokdo drug najbolj dolgo£asen £lovek in bo zato postal zanimiv. Kon£no bodo vsi zanimivi.

Ali bo res tako?

Ta paradoks je variacija �dokaza�, da je vsako naravno ²tevilo zanimivo. Poraja veliko vpra²anj. Alije dokaz pravilen ali ne? Ali postane zato, ker drugo dolgo£asno osebo prestavimo na seznam zanimivihoseb, prva prestavljena oseba spet dolgo£asna ali ostane zanimiva? Ali je kak²en smisel v tem, da je vsak£lovek zanimiv, zato ker je najbolj dolgo£asen v dolo£enih mnoºicah? �e so vsi ljudje zanimivi, ali topomeni, da je pridevnik zanimiv brez pomena?

2.6 Swamijeva prerokbaGre za malo ve£ kot spremenjeno razli£ico paradoksa o laºnivcu, ki se glasi takole:

Nekega dne se je Swami pri£kal s svojo najstni²ko h£erko Suzano. Trdil je, da zna napovedovatiprihodnost, Suzana pa mu je dejala, da mu lahko dokaºe, da to ni res. Napisala je nekaj na listek, gazloºila in vtaknila pod kristalno kroglo. Rekla je o£etu: �Opisala sem dogodek, ki se bo zgodil ali pa sene bo zgodil pred tretjo uro. �e lahko pravilno napove², ti ne bo treba kupiti avta, ki si mi ga obljubil zamaturo.� Nato mu je dala prazen list in dejala, naj napi²e gor Da, £e misli, da se bo dogodek zgodil, inNe, £e misli, da se dogodek ne bo zgodil. Swami je nekaj napisal na listek. Ob treh je Suzana vzela listekizpod kristalne krogle in na glas prebrala: �Pred tretjo uro bo² napisal Ne na listek.� Swami ji je natojezno dejal: �Speljala si me! Napisal sem Da, torej nisem imel prav. Toda ko bi bil napisal Ne, bi bilotudi narobe. Karkoli bi napisal, bi bilo narobe!�

V originalni obliki tega paradoksa nastopa ra£unalnik, ki lahko odgovori le z da ali ne. Vpra²ajoga, ali bo naslednji£ odgovoril ne. Jasno je, da je logi£no nemogo£e, da bo naslednja napoved pravilna.Paradoks lahko zelo poenostavimo, in sicer tako, da nekoga vpra²amo, £e bo njegova naslednja besedane. Prosimo ga, naj odgovori z da ali z ne.

Beseda ne tu pomeni �Ni res, da zdaj pravim ni res�. Po drugi strani pa je isto kot �Ta stavek jenapa£en�.

6

2.7 Nepri£akovani tigerKot zadnji primer izmed logi£nih paradoksov, bi rada navedla �paradoks o nepri£akovanem tigru�, ki semi je zdel ²e posebno zabaven in presenetljiv. Gre pa takole:

Princesa vpra²a svojega o£eta, £e se lahko poro£i z Mihom. O£e ji odvrne, da lahko, £e bo Miha ubiltigra, ki je za enimi od petih vrat, katere mu bo pokazal. Vrata mora odpirati po vrsti, za£en²i s prvimi.Dokler ne bo odprl pravih vrat, ne bo vedel, v kateri sobi je tiger. Zato bo ta tiger nepri£akovan. Ko jeMiha videl vrata, si je rekel: ��e bom odprl ²tiri prazne sobe, bom vedel, da je tiger v peti. Toda kralj jerekel, da ne bom vedel vnaprej, torej tiger ne more biti v peti sobi. Torej mora biti v eni izmed prvih ²tirihsob. �e bom odprl prve tri prazne sobe, bo tiger v £etrti sobi. Toda potem ne bo nepri£akovan, torej £etrtasoba tudi odpade.� S takim sklepanjem je Miha dokazal, da tiger ne more biti niti v tretji niti v drugi nitiv prvi sobi. Miha je bil od veselja ves iz sebe. Ko je tako dokazal, da tigra ni, je za£el hrabro odpirativrata. Na njegovo presene£enje je tiger sko£il iz druge sobe. Bil je popolnoma nepri£akovan. Tako je kraljdrºal besedo.

Paradoks se je prvi£ pojavil v ²tiridesetih letih 20. stoletja kot paradoks o profesorju, ki je objavil,da bo nekega dne v naslednjem tednu nepri£akovan izpit. �tudentom je zagotovil, da nih£e ne bo mogelugotoviti dneva, kdaj bo izpit, dokler ta dan ne bo nastopil. Neki ²tudent je dokazal, da to ne more bitizadnji dan v tednu, niti predzadnji in tako za vse dni v tednu. Vendar je profesor drºal besedo, tako daje, na primer, imel izpit tretji dan.

V resnici je ºe prvi korak Mihovega sklepanja napa£en. Recimo, da odpre vsa vrata razen zadnjih.Ali lahko iz tega pravilno sklepa, da v zadnji sobi ni tigra? Ne, kajti £e tako sklepa, lahko odpre vrata innaleti na nepri£akovanega tigra. Paradoks drºi, ºe £e gre za samo ena vrata.

Logiki sogla²ajo, da £eprav kralj ve, da drºi besedo, Miha tega nikakor ne more vedeti. Zato ne morenarediti veljavnega sklepa, da za poljubnimi vrati - vklju£no z zadnjimi - ni tigra.

3 �TEVILSKI PARADOKSI�tevilski paradoksi so imeli velik vpliv na razvoj matematike. Povzro£ili so zmedenost matematikov invpeljavo iracionalnih, imaginarnih, kompleksnih ²tevil, ²tevil, kot so npr. kvaternioni, za katere ne veljakomutativnost mnoºenja: a · b = b · a, ²tevil, kot so npr. Cayleyjeva ²tevila, ki se ne pokoravajo zakonu oasociativnosti mnoºenja: a · (b · c) = (a · b) · c ter trans�nitnih ali neskon£nih ²tevil, na primer ²tevil alef,ki jih je odkril Georg Cantor.

Najdemo lahko celo paleto najrazli£nej²ih paradoksov o ²tevilih, ki nas pustijo vse prej kot ravnodu²ne.Tak²ni so npr. dokazi, da je 1=2, paradoks o silovitem zmanj²evanju prebivalstva, zgodba o zbeganemvozniku avtobusa, magi£ne matrike, kon£nost vsote neskon£ne geometrijske vrste ter ²tevilni drugi.

3.1 Presenetljive enakostiGre za klasi£ne dokaze, ki se zdijo neprevidnim re²evalcem brezhibni, a v resnici zaradi zmote vodijo vlogi£no protislovje.

3.1.1 Dokaz, da je 1=2Eden takih dokazov je npr:

a=bMnoºimo obe strani z a:

a2 = abOd obeh strani od²tejemo b2:

a2 − b2 = ab− b2Zapi²emo obe strani kot produkt:

(a+ b)(a− b) = b(a− b)Delimo obe strani z a− b:

a+ b = b�e vzamemo a = b = 1, dobimo 1 = 2.

7

�e smo dovolj pozorni, lahko hitro najdemo napako v dokazu. Ne moremo namre£ deliti obeh straniz a− b, saj bi to ob predpostavki, da je a = b, pomenilo deljenje z 0.

3.1.2 Dokaz, da je 7=13Re²ujemo ena£bo x+5

x−7 − 5 = 4x−4013−x :

Lahko jo transformiramo takole:

x+ 5− 5(x− 7)

x− 7=

4x− 40

13− x−4x+ 40

x− 7=

4x− 40

13− x4x− 40

7− x =4x− 40

13− x

Ker sta imenovalca enaka, mora veljati 7−x = 13−x, od koder sledi 7 = 13. Torej ni razlike med sre£nimin nesre£nim ²tevilom. :)

�e smo dovolj pozorni, lahko hitro vidimo, da je zadnji sklep napa£en, saj re²itev x = 10 zado²£aena£bi. Dobimo namre£ 0 = 0. Lahko zaklju£imo, da iz a

b = ad sledi b = d v primeru, ko je a 6= 0.

3.1.3 Dokaz, da se vrednost ²tevila kljub preme²£anju ²tevk ne spremeniDokaz naredimo za trimestna ²tevila.Vzamemo poljubni dve trimestni ²tevili N in N1:N = 100a+ 10b+ cN1 = 100a1 + 10b1 + c1Ozna£imo z s vsoto cifer ²tevila N ter z s1 vsoto cifer ²tevila N1:s = a+ b+ cs1 = a1 + b1 + c1Od ²tevila N od²tejemo ²tevilo N1 in dobimo:N −N1 = 100(a− a1) + 10(b− b1) + (c− c1)Vsota cifer ²tevila N −N1 je enaka:(a− a1) + (b− b1) + (c− c1) = (a+ b+ c)− (a1 + b1 + c1) = s− s1

�e imata ²tevili N in N1 enako vsoto cifer, velja s = s1, torej s− s1 = 0, kar pomeni da je vsota cifer²tevila N−N1 enaka 0, torej je N−N1 = O in od tod N = N1. Tako pridemo do zaklju£ka, da sta ²tevili,ki se razlikujeta v vrstnem redu cifer, enaki. Tako npr. velja: 257 = 275 = 527 = 572 = 725 = 752.Podoben dokaz lahko naredimo za poljubna ve£mestna ²tevila. Kako je to mogo£e?

�e smo dovolj pazljivi lahko najdemo napako v dokazu. Zavedati se namre£ moramo, da so a − a1,b− b1 in c− c1 lahko negativna ²tevila in v tem primeru tak²en dokaz ni pravilen, saj vsota cifer ²tevilaN −N1 ne more biti enaka (a− a1) + (b− b1) + (c− c1).

3.2 Silovito zmanj²evanje prebivalstvaGre za zabaven paradoks, ki nas lahko precej preseneti. Po premisleku pa lahko hitro ugotovimo, kje jenapaka v sklepanju. Paradoks se glasi takole:

Veliko sli²imo o tem, kako hitro nara²£a prebivalstvo na zemlji. Predsednik Zveze proti nadzarovanjurojstev se s tem ne strinja. Misli, da prebivalstvo na zemlji upada. Njegova utemeljitev se glasi: �Vsak£lovek ima dva star²a. Vsak od star²ev je imel dva star²a, zato imamo ²tiri stare star²e. In vsak od starihstar²ev je imel dva star²a, torej dobimo osem prastarih star²ev. �tevilo prednikov se torej podvoji za vsakoprej²njo generacijo. �e gre² za 20 generacij nazaj do srednjega veka, bi imel 1048576 prednikov. In tovelja za vsakega danes ºive£ega £loveka. Torej je moralo biti v srednjem veku milijonkrat ve£ prebivalcevkot danes.�

Kje je napaka v tak²nem sklepanju? Tak²na utemeljitev je pravilna le pri predpostavkah, da se vrodovniku vsakega ºive£ega £loveka noben prednik ne pojavi ve£ kot enkrat in da se ista oseba ne pojaviv ve£ kot enem rodovniku. Nobena predpostavka ne more biti pravilna v vseh primerih. Ne upo²teva seniti podvojitev v posameznih rodovnikih niti ogromen presek mnoºic ljudi, ki tvorijo rodovnik vsakegaºivega £loveka. Milijone ljudi se torej ²teje milijonkrat.

8

3.3 Zbegani voznik avtobusaParadoks gre takole:

Dva avtobusa sta namenjena v isti kamp. Na enem je 40 de£kov, na drugem pa 40 deklic. Predodhodom gresta voznika na kavo. Medtem 10 de£kov izstopi iz svojega avtobusa in se vtihotapi v avtobusk deklicam. Ko se je voznik avtobusa za deklice vrnil, je opazil, da je v avtobusu preve£ potnikov. Ker jeimel avtobus le 40 sedeºev, je voznik ukazal, naj gre 10 potnikov ven. Deset potnikov neznanega spola jeizstopilo, vstopilo v avtobus za de£ke in zasedlo 10 praznih sedeºev. Kasneje je voznik avtobusa za deklicepremi²ljeval, v katerem avtobusu je ve£ potnikov napa£nega spola. Teºko je verjeti, toda ne glede na spol10 otrok, ki so prestopili v avtobus za de£ke, bo v obeh avtobusih natanko isto ²tevilo nasprotnega spola.

�e dobro pomislimo, lahko hitro ugotovimo, zakaj je tako. Recimo, da so 4 de£ki na avtobusu zadeklice. Zato so ostali prazni 4 sedeºi na avtobusu za de£ke. Na te prazne sedeºe morajo sesti 4 deklice.Enako razmi²ljamo za katerokoli drugo ²tevilo de£kov.

Na principu tega paradoksa je osnovanih mnogo trikov s kartami. Eden izmed njih je npr.:

Kup kart razdelimo to£no na pol, en polovi£ni kup£ek obrnemo z licem proti sebi in oba kup£kazme²amo. Gledalcem pokaºemo preme²ani kup kart, ne da bi jim povedali, da smo to£no 26 kart obrniliz licem proti sebi. Sedaj damo karte nekomu, da jih dobro preme²a. Re£emo mu, naj na roko se²teje 26kart in jih poloºi na mizo. Medtem skrivaj obrnemo svojo polovico kart in jih poloºimo na mizo polegnjegovih. Pre²tejemo ²tevilo kart z licem na vrhu iz obeh kupov in vidimo, da sta ²tevili enaki!

3.4 Magi£na matrikaParadoks gre takole:

Nari²emo matriko 4× 4 in o²tevil£imo kvadratke od 1 do 16. Obkroºimo poljubno ²tevilo. Potegnemonavpi£no £rto skozi stolpec, ki vsebuje na²e ²tevilo in vodoravno £rto skozi vrstico, ki vsebuje na²e ²tevilo.Nato obkroºimo katerokoli ²tevilo, ki ²e ni pre£rtano. Spet potegnemo £rti skozi stolpec in vrstico. Na istina£in izberemo tretje ²tevilo in pre£rtamo njegovo vrstico in stolpec. Kon£no obkroºimo edino ²tevilo, kije ²e ostalo. Na²a matrika je videti nekako takole:

Se²tejemo vsa ²tiri ²tevila, ki smo si jih izbrali, in vidimo, da je vsota ne glede na sprotno izbiro ²tevilenaka 34.

Zakaj nas matrika prisili, da vedno izberemo ²tiri ²tevila, katerih vsota je enaka 34? Skrivnost jeduhovita in preprosta. Na vrh vsakega stolpca matrike 4 × 4 postavimo ²tevila 1, 2, 3, 4, na levo vsakevrste pa ²tevila 0, 4, 8, 12. Teh osem ²tevil imenujemo generatorji magi£ne matrike. V vsak kvadratekzdaj vpi²emo ²tevilo, ki je enako vsoti njegovih generatorjev, generatorja poleg vrste in generatorja nadstolpcem. Ko izpolnimo vse kvadratke, dobimo matriko:

9

Postopek jam£i, da nikdar ne bosta dve obkroºeni ²tevili v isti vrstici ali stolpcu. Ker je vsako ²tevilovsota edinstvenega para generatorjev, bo vsota ²tirih obkroºenih enaka vsoti osmih generatorjev. Ker paje vsota generatorjev enaka 34, mora biti tudi vsota obkroºenih ²tevil enaka 34.

Ko enkrat razumemo, kako je matrika sestavljena, lahko naredimo matriko poljubne velikosti. Oglejmosi npr. matriko reda 6 z 12 generatorji. V tem primeru so generatorji izbrani tako, da so ²tevila vkvadratkih videti slu£ajna. To ²e bolj prikrije osnovno strukturo matrike, ki je videti ²e bolj zapletena.

Vsota generatorjev je 30. �e izberemo 6 ²tevil v skladu s postopkom, bo njihova vsota 30. To izsiljeno²tevilo (ali vsota) je seveda lahko poljubno izbrano ²tevilo.

Tako lahko sestavimo poljubne magi£ne matrike. Celo take, ki bodo imele v kvadratkih negativna²tevila. Generator je lahko katerokoli ²tevilo, pozitivno ali negativno, racionalno ali iracionalno.

Lahko pa celo sestavimo tako magi£no matriko, pri kateri izbrana ²tevila mnoºimo (in ne se²tevamo).Osnovna zgradba je popolnoma ista. V tem primeru postane izsiljeno ²tevilo zmnoºek generatorjev.Zanimivo je tudi, £e v kvadratkih uporabimo kompleksna ²tevila.

3.5 Paradoksi in neskon£nostNeskon£nost od nekdaj vznemirja £loveka. Spra²ujemo se, ali je vesolje neskon£no, ali je £as neskon£en,ali je neskon£no vesolij, ali obstaja neskon£no veliko, ali obstaja neskon£no majhno, ali je neskon£nostena sama...

Vpra²anja o neskon£nosti so se kupi£ila skozi stoletja. Pogosto so bila preºeta s teologijo. Vsak je imelsvojo nejasno predstavo o neskon£nosti, kupi£ili so se paradoksi, ki jih niti najbolj²i matematiki niso znalidobro razloºiti. Korak za korakom pa so vendarle odstrenjevali tan£ico, ki je zagrinjala neskon£nost. Takoje npr. na£elo matemati£ne indukcije ali sklepanja od n do n+1 postalo ena najpomembenj²ih matem-ati£nih tehnik. Pojem limite je zamenjal nejasno govorjenje o neskon£no majhnih koli£inah. Pojasnili so,kako se se²teva neskon£no mnogo sumandov, odkrili so krivulje z neskon£no dolºino, ki so robovi likovs kon£no plo²£ino. Z deli Bolzana, Weierstrassa in Cantorja je neskon£nost postala prav tako doma£akot kon£nost, £eprav obstaja manj²ina matematikov (intuicionalisti), ki bi jo ²e vedno radi izgnali izmatematike. Celo Gauss se je upiral obstoju neskon£nih mnoºic, ki jih je vpeljal nem²ki matematikGeorg Cantor.

Cantor je odkril, da obstaja ve£ vrst neskon£nosti. Svoja nenavadna ²tevila je poimenoval alef-ni£,alef-ena, alef-dva itd. Odkril je, da so nekatere neskon£ne mnoºice �ve£je� kot druge. �tevilo naravnih²tevil je tako najniºja neskon£nost, katero je ozna£il z alef-ni£. Zanimivo je, da imata tako mnoºica lihihkot mnoºica sodih ²tevil enako kardinalno ²tevilo kot mnoºica naravnih ²tevil N. Neskon£ne mnoºiceimajo tako lahko navidez paradoksalno lastnost, saj obstajajo deli takih mnoºic, ki imajo prav tolikoelementov kot mnoºica sama. Podobno je na dveh razli£no dolgih daljicah enako mnogo to£k. Mnoºicarealih ²tevil R tvori ve£jo neskon£no mnoºico. Cantor jo je ozna£il z alef-ena. Menil je, da je alef-enaprvo kardinalno ²tevilo ve£je od alef-ni£. Dokazal je, da ne obstaja povratno enoli£na preslikava medR in mnoºico celih ²tevil Z. Pokazal je tudi, da ustreza ²tevilu to£k na daljici, premici, v kvadratu, naravnini, na kocki, v prostoru itd. do hiperkock in prostorov vi²jih dimenzij. Dokazal je tudi, da je ²tevilo2 z eksponentom alef ve£ji alef, ki ga ne moremo postaviti v povratno enoli£no korespondenco z alefomv ekponentu. Tako se lestvica alefov nadaljuje navzgor brez konca.

3.5.1 Neskon£ne vrsteVsota neskon£ne geometrijske vrste s = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + . . . :

Ozna£imo z sn vsoto prvih n £lenov vrste. Tedaj je s1 = 1/2, s2 = 3/4, s3 = 7/8, od koder uganemovsoto prvih n £lenov vrste: sn = 1 − 1/2n, ki jo zlahka dokaºemo z matemati£no indukcijo. Formula

10

namre£ velja za n = 1 in sn+1 = sn + 1/2n+1 = 1 − 1/2n + 1/2n+1 = 1 − 1/2n+1. Ker je torejsn = 1− 1/2n < 1 za vsak n, je vsota vrste s ≤ 1. Pomnoºimo ena£bo z 2 in dobimo

2s = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 1 + s,

od koder sledi, da je s = 1, kot smo pri£akovali.(Vsoto bi lahko izra£unali tudi po formuli, ki smo jo izpeljali ºe v srednji ²oli. Velja namre£, da je

vsota neskon£ne geometrijske vrste enaka a1/(1 − q), pri £emer je a1 prvi £len geometrijske vrste, q pakoli£nik sosednjih £lenov vrste an+1 in an, torej q = an+1/an. Seveda to velja le v primeru, ko je |q| < 1,saj sicer vrsta divergira. Ker je q v na²em primeru 1/2, lahko ra£unamo po tej formuli).

Pri²li smo torej do paradoksa, ki pravi, da je lahko vsota neskon£no mnogo pozitivnih ²tevil kon£na.

Vsota harmoni£ne vrste s = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . .+ 1/n+ . . . :Zapi²emo vsoto harmoni£ne vrste takole: s = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + . . ..

Ker je vsota £lenov v vsakem oklepaju ve£ja od 1/2, rastejo £leni zaporedja delnih vsot harmoni£ne vrstepreko vsake meje. Harmoni£na vrsta ima torej �vsoto enako neskon£no� oziroma se njenih £lenov ne dase²teti.

Tokrat pa smo pri²li do paradoksa, ki pravi, da obstajajo neskon£na zaporedja ²tevil z lastnostjo, daje za poljubno vnaprej predpisano ²tevilo ε > 0 kve£jemu kon£no mnogo £lenov ve£jih od ε, vsota £lenovtega zaporedja pa je vseeno enaka neskon£no.

3.5.2 Gabrielov rogTudi v geometriji lahko zasledimo paradokse o neskon£nosti.

Lep primer tega je geometrijsko telo, ki ga je odkril Evangelista Torricelli, in se imenuje Torricellijevatrobenta, nekateri pa ga imenujejo tudi Gabrielov rog. Gre za telo, ki nastane z vrtenjem grafa funkcijey = 1/x, za x ≥ 1 (tako se izognemo asimptoti pri x = 0), okoli osi x:

Telo ima paradoksalno lastnost, saj ima neskon£no veliko povr²ino, vendar kon£no prostornino. Tolahko dokaºemo s pomo£jo formul za prostornino in povr²ino vrtenine (vrtimo, tako kot je opisano):prostornina vrtenine: V = π

∫ baf(x)2dx

povr²ina vrtenine: S = 2π∫ baf(x)

√1 + (f ′(x))2dx

�e opazujemo del roga med x = 1 in x = a (a > 1) je prostornina enaka:π∫ a

11/x2 dx = π(−1/x)|a1 = π(1− 1/a)

Povr²ina pa je na istem obmo£ju enaka:2π∫ a

11/x√

1 + 1/x4dx > 2π∫ a

11/x dx = 2πln x|a1 = 2πln a

�e se a pove£uje v neskon£nost, gre tudi velikost povr²ine v neskon£nost, prostornina pa gre proti π.

4 VERJETNOSTNI PARADOKSIVerjetnostni ra£un je pomemben na vseh podro£jih znanosti - ne le v �ziki, ampak tudi v biologiji indruºbenih vedah. Vedno ve£jo vlogo ima tudi pri pou£evanju matematike na niºji stopnji. �kof JosefButler in drugi pred njim (npr. Cicero) so dejali, da je verjetnost pravi vodnik v ºivljenju. Od jutra dove£era naredimo na tiso£e nezavednih malih stav o verjetnih izidih.

V verjetnostnem ra£unu je vse polno rezultatov, ki so mo£no v nasprotju z intuicijo. Veliko je prob-lemov, katerih pravilna re²itev je popolnoma v nasprotju z zdravo pametjo. Zato se lahko pri ra£unanjuverjetnosti hitro zmotimo. Navedla bom tri primere, za katere menim, da so precej presenetljivi.

11

4.1 Druºina s ²tirimi otrokiParadoks se glasi:

Pri druºini s ²tirimi otroki je najve£ja verjetnost, da so trije de£ki in ena deklica ali pa en de£ek intri deklice.

Trditev se nam lahko hitro zdi £udna. Ponavadi namre£ razmi²ljamo takole: �Obstaja 50-odstotnaverjetnost, da je vsak otrok de£ek ali deklica. Torej je jasno, da je najve£ja verjetnost, da so v druºinis ²tirimi otroki dva de£ka in dve deklici.� Vendar pa tak²no sklepanje ni pravilno. Pravilna trditev jetrditev paradoksa.

To najlaºje dokaºemo tako, da najprej zapi²emo vse moºnosti, ki se lahko zgodijo. Ozna£imo zM mo²ki spol in z � ºenski spol ter zapi²emo vse moºne primere: MMMM, MMM�, MM�M, MM��,M�MM, M�M�, M��M, M���, �MMM, �MM�, �M�M, �M��, ��MM, ��M�, ���M, ����. Vidimo,da obstaja 16 enako verjetnih moºnosti. Zdaj pa poglejmo, kolik²na je verjetnost, da se rodita dva de£kain dve deklici. Vidimo, da se to zgodi v ²estih primerih, torej je verjetnost 6/16 oz. 3/8. (ra£unamo poformuli klasi£ne verjetnosti: ²t.ugodnih izidov deljeno s ²t. vseh moºnih izidov). Sedaj pa izra£unajmo,kolik²na je verjetnost, da se rodijo trije de£ki in ena deklica ali en de£ek in tri deklice. Hitro lahkopre²tejemo, da je vseh ugodnih izidov 8, torej je verjetnost enaka 8/16 oz. 1/2. Verjetnost, da so vsiotroci enakega spola pa je, kot lahko hitro izra£unamo, enaka 2/16 oz. 1/8. Po vseh izra£unih torejvidimo, da je najverjetneje, da so v druºini trije de£ki in ena deklica ali pa en de£ek in tri deklice.

4.2 Igra z denarnicoGre za zabaven paradoks, ki ga je izumil francoski matematik Maurice Kraitchik. Ena izmed verzijparadoksa gre takole:

Profesor Kova£ je ²tudentoma matematike Petru in Jani pokazal novo igro. Dejal jima je, naj poloºitavsak svojo denarnico na mizo. Nato jima je rekel, da bo zmagal tisti, v £igar denarnici je manj denarja,ta bo dobil ²e ves denar iz druge denarnice. Peter je razmi²ljal takole: �Hm. �e imam jaz ve£ denarjakot Jana, bo dobila samo toliko, kolikor imam jaz. �e pa ima ona ve£, bom jaz dobil ve£ kot imam. Torejbom dobil ve£, kot lahko izgubim. Torej je ta igra zame ugodnej²a kot za Jano�. Jana pa je razmi²ljalatakole: �Hm. �e imam jaz ve£ kot Peter, bo dobil samo toliko, kolikor imam jaz. �e pa ima ve£ on, bomzmagala jaz in dobila ve£ kot imam. Ta igra je torej zame ugodnej²a kot pa za Petra�.

Kako more biti neka igra ugodnej²a za oba igralca? Seveda to ni mogo£e. Ali pride do paradoksazato, ker vsak igralec napa£no domneva, da sta verjetnosti, da dobi in izgubi, enaki?

�e poloºaj natan£no de�niramo z dolo£enimi domnevami, vidimo, da je igra po²tena. Seveda, £e pavemo, da ima eden od igralcev obi£ajno pri sebi manj denarja kot drugi, potem igra ni po²tena. �e patakih podatkov nimamo, lahko predpostavljamo, da ima vsak igralec pri sebi neko slu£ajno vsoto denarja.Kraitchik je glede na to predpostavko naredil matriko pla£evanja, iz katere se vidi, da je igra �simetri£na�in enako ugodna za vsakega od obeh igralcev.

�al pa iz tega ne zvemo, kaj je napa£no v sklepanju obeh igralcev. Kraitchinkova knjiga nam pri temni v pomo£ in o tej igri nikjer drugje ni ni£ napisanega. �V £em je torej fora??�

4.3 Princip indiferentnostiGre za princip, ki pravi, da imamo lahko nekaj z enako verjetnostjo za pravilno ali napa£no, £e nimamodobrih razlogov za domnevo, da je nekaj pravilno ali napa£no. Nepremi²ljena raba tega principa jemnoge matematike, znanstvenike in celo �lozofe zapeljala v mreºo absurdnosti. Francoski astronom inmatematik Laplace je ta princip neko£ uporabil za ra£unanje verjetnosti dogodka, da naslednji dan soncene bo vz²lo, in dobil rezultat 1:1826214!

Prvi primer nepravilne rabe principa je npr.:

Kolik²na je verjetnost, da je na najve£jem Saturnovem satelitu Titanu ºivljenje? Uporabimo principindiferentnosti in dobimo za odgovor 1/2. Kolik²na je verjetnost, da na Titanu ni preprostih rastlin?Odgovor je spet 1/2. In da ni praºivali? Odgovor je spet 1/2. Kolik²na je verjetnost, da na Titanu niniti preprostih rastlih niti praºivali? Po zakonih verjetnosti moramo pomnoºiti 1/2 z 1/2 in dobimo 1/4.To pomeni, da se je verjetnost, da je na Titanu neke vrste ºivljenje, pove£ala na 1− 1/4 = 3/4, kar je vnasprotju z neko prej²njo oceno, ki je bila 1/2.

12

Drugi primer pa se glasi:

Kolik²na je verjetnost atomske vojne pred letom 2000? Po principu indiferentnosti ugotovimo, daje 1/2. Kolik²na je verjetnost, da na ZDA ne bo padla atomska bomba? Odgovor je 1/2. In da ne bopadla na Sovjetsko zvezo? Odgovor je spet 1/2. In da ne bo padla na Francijo? Odgovor: 1/2. �e takosklepanje uporabimo pri desetih razli£nih drºavah, je verjetnost, da atomska bomba ne bo padla na nobenood njih, (1/2)10 ali 1/1024. �e to od²tejemo od 1, dobimo verjetnost 1023/1024, kar je verjetnost, da boatomska bomba padla vsaj na eno od desetih drºav.

V obeh primerih dobimo absurdne rezultate. Napaka je bila v domnevanju, da so neodvisni dogodki,ki o£itno niso neodvisni. V lu£i evolucijske teorije je verjetnost za razumsko ºivljenje na Titanu odvisnaod obstoja niºjih oblik ºivljenja na njem. �e poznamo poloºaj v svetu, verjetnost, da bo atomska bombapadla, recimo na ZDA, ni neodvisna od verjetnosti, da bo taka bomba padla na Sovjetsko zvezo.

Tretji primer povr²ne rabe principa indiferentnosti je paradoks o neznani kocki:

Denimo, da nam nekdo pove, da je v omari skrita kocka, katere rob meri od 2 do 4 cm. Nimamorazloga za domnevo, da je rob manj kot 3 cm ali ve£ kot 3 cm, zato je najbolje, da re£emo, da je 3 cm.Kolik²na pa je prostornina te kocke? Biti mora med 23 = 8 cm3 in 43 = 64 cm3. Nimamo razloga zadomnevo, da je prostornina manj kot 36 ali ve£ kot 36, zato re£emo, da je prostornina 36 cm3. Po na²inajbol²i oceni ima torej kocka rob 3 cm, prostornino pa 36 cm3, kar bi bila prav nenavadna kocka.

Paradoks kocke je dober primer, da pokaºemo, v kak²no teºavo lahko pride znanstvenik ali statistik,ko dobi minimalne in maksimalne vrednosti za neko koli£ino, potem pa domneva, da je dejanska vrednostnajverjetneje nekje v sredini med maksimumom in minimumom.

Princip indiferentnosti se popolnoma zakonito uporablja v verjetnostnem ra£unu, kadar lahko zaradisimetrije (geometrijske, �zikalne, sile v zraku...) domnevamo, da so verjetnosti enake. V primeru, kjertakih simetrij ne poznamo, ali kjer ne obstajajo, vodi njegova uporaba pogosto do absurdnih rezultatov.

5 STATISTI�NI PARADOKSIStatistika ima vedno ve£ji pomen v dana²njem nadvse kompliciranem svetu. Ukvarja se predvsem zdobivanjem, organiziranjem in analiziranjem numeri£nih podatkov. Teºko je najti znanstveno podro£je,na katerem nima bistvene vloge, da ne govorimo o njeni nepogre²ljivosti na ²tevilnih drugih podro£jih -kot so zavarovanje, zdravstvo, reklama - in skoraj v vsakem poklicu.

Tudi na podro£ju statistike najdemo celo paleto pestrih paradoksov. Statisti£ne trditve so namre£lahko izredno paradoksne in v£asih naravnost varljive. Ena takih je npr. aritmeti£na sredina, ki jedragocena statisti£na mera povpre£ja, vendar lahko daje laºen vtis, kadar je med podatki nekaj ekstremnihvrednosti. To dokazuje primer, ko je v nekem mestu en sam milijarder, vsi ostali me²£ani pa imajo nizkedohodke. Povpre£je dohodkov na osebo pa je ²e vedno visok (visoki dohodek milijarderja namre£ zelovpliva na povpre£je). V tak²nem primeru je torej bolje namesto aritmeti£ne sredine za povpre£je vzetimodus, ki predstavlja tisto vrednost, ki se najve£krat ponovi. V na²em primeru je torej povpre£je nizekdohodek, saj ima najve£ ljudi nizke dohodke.

Ni teºko najti podobnih situacij, pri katerih je trditev o povpre£ju prav tako varljiva. Na primer neki£astnik poro£a, da je nekdo utonil v reki, katere povpre£na globina je samo dobre pol metra. To nas sprvapreseneti, a ko izvemo, da je utonil na kraju, kjer je voda globoka 3 metre, se nam ne zdi ve£ nenavadno.

�e eno splo²no napa£no pojmovanje o povpre£ju je, da morajo dejansko obstajati primeri povpre£ja.Tako je na primer paradoksalna trditev, da niti ena druºina v mestu ni povpre£na, saj so izra£unali, daje povpre£no ²tevilo otrok enako 2 1

2 .Pomembno je tudi, da ne sklepamo prehitro o vzroku in posledici, ko sli²imo o statisti£ni soodvisnosti.

Na primer, statistika kaºe, da se zgodi najve£ nesre£, ko avtomobili vozijo z zmerno hitrostjo, in da sele malo nesre£ zgodi pri hitrostih, ki so ve£je od 150 km/h. Ali to pomeni, da je varneje voziti z ve£johitrostjo? Odgovor je seveda ne. Statisti£na razmerja namre£ pogosto nimajo ni£ skupnega z vzrokomin posledico. Ve£ina ljudi vozi z zmerno hitrostjo, zato je naravno, da se ve£ina nesre£ zgodi pri zmernihitrosti.

Meni najbolj presenetljiv pa je paradoks majhnega sveta. Mnogi ljudje smo namre£ zelo presene£eni,£e sre£amo tujca (posebno, £e se to zgodi dale£ od doma) in ugotovimo, da imamo skupnega prijatelja.Statistiki pa so dokazali, da to ni neverjeten slu£aj. Skupina sociologov z in²tituta za tehnologijo v

13

Massachusettsu je namre£ ugotovila, da £e v ZDA na slepo izberemo dve osebi, bo vsaka poznala vpovpre£ju 1000 ljudi, kar pomeni, da poznajo drug drugega z verjetnostjo okoli 1/100 000. Verjetnost,da imajo skupnega znanca, se naglo dvigne na okoli 1/100. Verjetnost, da so povezani v verigo dvehposrednikov, pa je dejansko ve£ja od 99/100. Psiholog Staneley Milgram se je lotil problema majhnegasveta tako, da je izbral slu£ajno skupino za£etnih oseb. Vsakemu so dali dokument, ki naj bi ga predalneznanemu prejemniku, ki ºivi v oddaljeni drºavi. Milgram je ugotovil, da se ²tevilo posrednikov (predendokument pride do prejemnika) giblje od 2 do 10. Njegova raziskava torej kaºe, kako tesno smo ljudjepovezani z mreºo skupnih prijateljev. Torej ni presenetljivo, £e imata tujca, ki se sre£ata dale£ od doma,skupnega prijatelja. Mreºa skupnih prijateljev tudi pojasnuje druge nenavadne statisti£ne pojave, kot naprimer hitrost, s katero se prena²ajo £en£e, senzacionalne novice, zaupne informacije in ²ale.

Med prebiranjem literature sem naletela ²e na ²tevilne druge presenetljive statisti£ne paradokse. Triizmed njih bom predstavila v naslednjih podpoglavjih.

5.1 Paradoks o rojstnih dnevihGre za dobro znan paradoks, ki se glasi takole:

�e se slu£ajno sre£a 23 ljudi, je verjetnost, da bosta najmanj dve osebi imeli rojstni dan na isti dan vistem mesecu, nekoliko ve£ja od 1/2.

Najpreprosteje dokaºemo to tako, da najprej izra£unamo verjetnost, da imajo vsi ljudje rojstni dan vrazli£nih dneh. �e to od²tejemo od 1, dobimo verjetnost, ki jo i²£emo. Verjetnost, da imata dva £lovekarojstni dan v razli£nih dneh, je 364/356, ker je samo ena moºnost od 365, da imata rojstni dan na istidan v istem mesecu. Verjetnost, da bo nek drug £lovek imel rojstni dan na drug dan kot prej omenjena£loveka, je 363/356. Analogno razmi²ljamo naprej. Na koncu torej zmnoºimo 22 ulomkov:

364

365× 363

365× 362

365× . . .× 343

365

�e ta produkt od²tejemo od 1, dobimo 0, 5073. �e je ve£ kot 23 oseb, se verjetnost ujemanja rojstnih dnipresenetljvo hitro pove£a. Pri 30 ljudeh je verjetnost za ujemanja rojstnih datumov 7/10. Pri 100 ljudehpa je verjetnost, da so vsi datumi razli£ni, komaj 1/3 000 000.

Na podoben na£in lahko dokaºemo tudi paradoks, ki pravi, da £e se sre£ajo ²tirje ljudje, je verjet-nost, da sta vsaj dva od njih rojena v istem znamenju zodiaka, pribliºno enaka 4/10, kar je tudi precejpresenetljiv rezultat.

5.2 Trik s kartamiGre za presenetljiv paradoks s kartami, ki je povezan s teorijo urejevanja v skupine. Gre pa takole:

Najprej paket kart uredimo tako, da se bodo barve menjavale. Potem karte privzdignemo in seprepri£amo, da sta spodnji karti pri obeh kupih razli£nih barv. Zdaj oba kupa temeljito zme²amo, tako daizmenoma spu²£amo po eno ali ve£ kart iz vsakega kupa. Nato jemlemo po dve karti z vrha. Kljub temu,da so bile karte zme²ane, bo v vsakem paru ena rde£a, ena pa £rna.

Ta nenavaden trik s kartami nam pokaºe, kako skrita matemati£na struktura vpliva na urejanje vskupine in da rezultat, ki videti nadnaraven. Odkril ga je matematik in amaterski £arovnik NormanGilbreath leta 1958. Tako je trik danes poznan kot Gilbreathov princip. Na osnovi tega principa je odtedaj nastalo na stotine duhovitih trikov s kartami.

Dokaz z matemati£no indukcijo nam pokaºe, zakaj princip res deluje. Kup kart privzdignimo tako, dasta spodnji karti obeh polovic razli£ni. Potem ko s palcem spustimo prvo karto na mizo, bosta spodnjikarti obeh kupov enake barve in druge barve kot karta, ki je padla. Zato je vseeno, katera od teh dvehkart po padla naslednja. V vsakem primeru bo padla na prvo karto karta druge barve in tako bo namizi par razli£nih barv. Zdaj je poloºaj natanko tak kot prej. Spodnji karti obeh polovic sta razli£ni...Postopek se ponavlja, dokler ne zmanjka kart. �e ho£emo pokazati ta trik prijateljem, ga prej skrivajtako uredimo, da se barve vrstijo izmeni£no. Nato prosimo nekoga, naj deli karte z vrha kupa na drugkup, dokler ne bo v njem pribliºno 26 kart. (Tako si zagotovimo, da spodnji karti iz obeh kupov nistaiste barve.) Potem naj obe polovici zme²a, tako da izmenoma spu²£a po eno ali ve£ kart z vsakega kupa.Nato drºimo �preme²ane� karte pod mizo, tako da jih ne vidijo niti gledalci niti mi sami, in izjavimo, dalahko z utipom ugotovimo barvo kart in da bomo karto jemali iz kupa tako, da bo v vsakem paru enarde£a in ena £rna karta. Seveda moramo za to samo preprosto jemati karte z vrha. :)

Gledalce lahko presenetimo ²e s ²tevilnimi drugimi triki, ki delujejo na istem principu. Npr., £euredimo karte po vrsti po barvah PSTK, PSTK, PSTK,... (P=pik, S=srce, T=tref, K=karo). Nato

14

delimo z vrha na drug kup, da dobimo pribliºno 26 kart (to£no ²tevilo ni pomembno). To deljenjeavtomati£no obrne vrstni red kart. Zdaj zme²amo karte po istem principu kot v prej²njem triku. Natojemljemo z vrha £etverice kart. Vidimo, da je v vsaki po ena karta od vsake barve.

5.3 Paradoks z volitvamiZopet gre za zanimiv paradoks, ki gre takole:

Recimo, da trije kandidati A, B in C kandidirajo za ºupana. Volitve pokaºejo, da ima 2/3 volilcevraje A kot B in 2/3 volilcev raje B kot C. Ali bo ve£ina volilcev imela raje A kot C? Izkaºe se, da ninujno. �e namre£ volilci razvrstijo kandidate tako, da jih 1/3 glasuje za vrstni red A, B, C, 1/3 za B,C, A ter 1/3 za C, A, B, vidimo, da nima ve£ina volilcev raje A kot C.

Paradoks izvira iz 18. stoletja in je primer netranzitivnega odnosa, do katerega lahko pride, £e ljudjeodlo£ajo v parih. V tem paradoksu torej ne velja, da iz xRy (x je v relaciji z y) in yRz sledi xRz, karnas lahko precej preseneti. Pri£akujemo namre£, da je relacija raje vedno tranzitivna. Paradoks v£asihimenujemo paradoks Arrowa, po ekonomistu in Nobelovem nagrajencu Kenethu J. Arrowu, ki je s temparadoksom in drugimi logi£nimi analizami pokazal, da je popoln demokrati£en volivni sistem v principunemogo£.

6 GEOMETRIJSKI PARADOKSIGre za paradokse, ki se meni osebno zdijo najlep²i in najbolj presenetljivi. Ko sem naletela na nekatereprimerke, sprva dejansko nisem mogla verjeti svojim o£em. Nekaj izmed njih bom poskusila karsedaslikovito prikazati v nadaljevanju.

6.1 Nenavadni razrezi likov6.1.1 Curry-ev paradoksTa znameniti paradoks je odkril leta 1953 newyor²ki amaterski £arovnik Paul Curry. Gre pa takole:

Imamo mreºo velikosti 13 × 5. Na njej je pravokotni trikotnik, ki ima dalj²o kateto dolgo 13, kraj²opa 5. Ta trikotnik lahko razreºemo na dva pravokotna trikotnika, tako da ima eden od njiju dalj²o katetodolgo 8, kraj²o pa 3, drugi pa ima dalj²o kateto dolgo 5, kraj²o pa 2. Ta dva manj²a trikotnika sta lahkopoloºena v veliki trikotnik na dva razli£na na£ina, tako kot prikazuje slika spodaj. Vidimo, da v prvemprimeru ostane nezapolnjen pravokotnik velikosti 5×3, v spodnjem primeru pa pravokotnik velikosti 2×8.Prvi pravokotnik ima torej plo²£ino enako 15, drugi pa 16. Kako je to mogo£e?

Kar vidimo, se nam zdi neverjetno. Izkaºe se, da nas na²e o£i dejansko varajo. Naj zgleda zadeva²e tako mogo£a, nam zdrava pamet pravi, da ne moreta obstajati dva popolnoma skladna trikotnikaz razli£nima plo²£inama. �e bi trikotnik zelo natan£no izrezali in ga namestili tako, kot kaºe slika,bi ugotovili, da navidez ravna hipotenuza najve£jega trikotnika v resnici ni £isto ravna. O tem se na-jlaºje prepri£amo tako, da izra£unamo naklonski kot obeh manj²ih trikotnikov. Ugotovimo, da ima rde£itrikotnik naklonski kot enak pribliºno 21, 8 stopinj, vijoli£asti pa pribliºno 20, 5 stopinj. To pomeni,da je navidez ravna hipotenuza v prvem primeru nekoliko vbo£ena, v drugem primeru pa izbo£ena, karpovzro£i, da ima drugi trikotnik pravokotnik z en kvadratek ve£jo plo²£ino kot pa pravokotnik v prvemtrikotniku.

Ugotovimo lahko tudi naslednje. Kot vidimo, je dolºina kraj²e katete rde£ega trikotnika enaka 2,kraj²a kateta vijoli£astega trikotnika pa meri 3, medtem ko dalj²a kateta rde£ega meri 5, dalj²a katetavijoli£astega 8, najdalj²a kateta najve£jega trikotnika pa meri 13. Opazimo, da so ²tevila 2, 3, 5, 8 in13 del Fibonaccijevega zaporedja, pri katerem je prvi £len F1 enak 1, drugi £len F2 je enak 1, vse ostale£lene pa dobimo kot vsoto prej²njih dveh. Torej velja Fn = Fn−1 + Fn−2.

Levi pravokotnik, ki je v najve£jem trikotniku, je dimenzije 3× 5, desni pravokotnik pa je dimenzije2 × 8. �e pa ozna£imo te ²tevilke kot £lene Fibonaccijevega zaporedja, lahko zapi²emo, da je plo²£ina

15

prvega pravokotnika enaka Fn−2 × Fn−1, plo²¢ina spodnjega pravokotnika pa je enaka Fn−3 × Fn. Enaizmed lastnosti Fibonaccijevega zaporedja je t.i. Ocagnijeva identiteta, ki pravi: Fn+1Fm − FnFm+1 =(−1)nFm−n. �e vstavimo v to formulo m = n− 2, dobimo formulo: FnFn−3 − Fn−1Fn−2 = (−1)n. Odtod vidimo, da v na²em primeru velja 8× 2− 5× 3 = 1. (n je namre£ v na²em primeru enak 6, saj smoza Fn vzeli ²tevilo 8, ki pa je ²esti £len Fibonaccijevega zaporedja.) Pravokotnik dimenzije 3 × 5 torejlahko preoblikujemo v pravokotnik dimenzije 2× 8, pri £emer nam en kvadratek ostane. To se lepo vidina tejle sliki:

Opomba: Ocagnijevo identiteto dokaºemo z ve£imi koraki. Najprej z indukcijo dokaºemo, da velja Fm+n = Fm+1Fn+

FmFn−1 za vsa m,n ∈ Z. Sedaj vstavimo v to formulo −n namesto n in dobimo Fm−n = Fm+1F−n + FmF−n−1. Natodokaºemo z indukcijo zvezo F−n = −(−1)nFn. Fibonaccijevo zaporedje se namre£ razteza tako v pozitivno kot negativnosmer. Z de�nicijo F0 = 0, F1 = 1 in Fn = Fn−1 + Fn−2 namre£ vidimo, da velja Fn+1 = Fn + Fn−1 in od todFn−1 = Fn+1 − Fn. Tako je lahko znano Fibonaccijevo zaporedje raz²irjeno tudi v negativno smer in zgleda nekako tako:. . . , −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .Ker velja F−n = −(−1)nFn, velja tudi F−n−1 = −(−1)nFn+1. �e vstavimo to v formulo Fm−n = Fm+1F−n +FmF−n−1

dobimo Fm−n = −(−1)nFm+1Fn + (−1)nFmFn+1. �e sedaj pomnoºimo obe strani z (−1)n, dobimo iskano Ocagnijevoidentiteto.

Navidez ravna hipotenuza najve£jega trikotnika pride, ko je n > 5. Za manj²i n pa lahko ºe sprostim o£esom opazimo, da hipotenuza ni ravna. Na spodnji sliki je primer za n = 4. (Torej so dolºineposameznih katet ravno prvi peti £leni Fibonaccijevega zaporedja: 1, 1, 2, 3 in 5).

6.1.2 Razrez kvadrata plo²£ine 8× 8 na pravokotnik plo²£ine 5× 13

Oglejmo si naslednjo sliko:

Kako je mogo£e, da smo po razrezu kvadrata plo²£ine 8 × 8 lahko sestavili pravokotnik plo²£ine5 × 13? Ta paradoks je tako presenetljiv in tako teºko ga je razloºiti, da se spla£a kvadrat narisati namilimetrski papir, ga razrezati in tako sestaviti v pravokotnik kot kaºe slika. �e so deli kvadrata zeloveliki in izrezani z izredno natan£nostjo, lahko opazimo, da se vzdolº glavne diagonale pravokotnika kosine prilegajo popolnoma. In prav zaradi tega pride do odve£nega kvadratka. (Ozek paralelogram ostanenepokrit, njegova plo²£ina pa je po t.i. Pickovem teoremu enaka ravno 1.) Da se kosi ne prilegajo, selahko prepri£amo tudi tako, da izra£unamo naklonske kote (tako kot pri prej²njem paradoksu).

Dolºine kosov so 3, 5, 8, 13. Zopet lahko opazimo, da so ta ²tevila zaporedni £leni Fibonaccijevegazaporedja.

Ali lahko napovemo, ali bo plo²£ina pravokotnika ve£ja ali manj²a, £e poznamo ²tiri £leneFibonaccijevega zaporedja, na katerih je osnovana varianta paradoksa?Paradoks razlaga eno od osnovnih lastnosti Fibanaccijevega zaporedja, ki pravi, da je kvadrat poljubnega²tevila v zaporedju enak produktu ²tevila pred njim in ²tevila za njim, plus ali minus ena. Algebrsko tozapi²emo takole: F 2

n = (Fn−1 · Fn+1) + (−1)n−1.

16

Opomba: To formulo imenujemo Cassinijeva identiteta in jo lahko dokaºemo (poleg z uporabo indukcije) s pomo£jot.i. Fibonaccijeve matrike F =

�1 11 0

�. Velja namre£

�Fn+1

Fn

�=

�1 11 0

�n �10

�za n ≥ 1. Prav tako velja

Fn =

�1 11 0

�n=

�Fn+1 FnFn Fn−1

�. Iz linearne algebre vemo, da je determinanta produkta enaka produktu determinant.

Od tod z malo truda dobimo Cassinijevo identiteto. (Ta dokaz ni na nivoju gimnazijske snovi).

Jasno je, da leva stran Cassinijeve identitete daje plo²£ino kvadrata, desna pa plo²£ino pravokotnika.Znaka plus in minus se v zaporedju vseskozi izmenjujeta. Vsako Fibonaccijevo ²tevilo, ki je na lihemmestu v zaporedju, ima kvadrat, ki je za 1 ve£ji kot produkt obeh sosednjih ²tevil, ki sta na sodih mestih.Nasprotno pa ima vsako ²tevilo, ki je na sodem mestu, kvadrat, ki je za 1 manj²i kot produkt obehsosednjih ²tevil, ki sta na lihih mestih. Ko enkrat to vemo, z lahkoto napovemo, ali bo pravokotnik izdolo£enega kvadrata pridobil ali izgubil eno plo²£insko enoto.

Varianta paradoksa, ki temelji na posplo²enem Fibonaccijevem zaporedju:Fibonaccijevo zaporedje se za£ne z 1, 1, toda posplo²eno Fibonaccijevo zaporedje se lahko za£ne s poljub-nim parom ²tevil. Obstajajo variante paradoksa, ki so osnovane na drugih Fibonaccijevih zaporedjih. Naprimer, na zaporedju, 2, 4, 6, 10, 16, 26 . . . so izgube in pridobitki 4 plo²£inske enote, pri zaporedju 3, 4,7, 11, 18, . . . pa 5.

�e so a, b, c trije poljubni zaporedni £leni posplo²enega Fibonaccijevega zaporedja, x pa izguba alipridobitek, veljata dve formuli: a + b = c in b2 = ac ± x. Za x lahko vstavimo poljubno izgubo alipridobitek in za b poljubno dolºino stranice kvadrata. Re²itev sistema obeh ena£b nam da vrednosti zaa in c, pri £emer ni nujno, da so to racionalna ²tevila.

Ali se da kvadrat tako razrezati na ²tiri dele, da iz njih sestavimo pravokotnik, kateregaplo²£ina bi bila enaka plo²£ini kvadrata?Da bi odgovorili na to vpra²anje, vstavimo v drugo od zgornjih dveh ena£b x = 0 in izrazimo b z a. Edinapozitivna re²itev je b = (1+

√5)a

2 . To pa je znamenito razmerje zlatega reza ali Φ. Z drugimi besedami,edino Fibonaccijevo zaporedje, pri katerem je kvadrat nekega £lena enak produktu dveh sosednih £lenov,je 1, Φ, Φ2, Φ3, Φ4, . . . Na preprost na£in lahko dokaºemo, da je to zaporedje pravo Fibonaccijevozaporedje, tako da pokaºemo, da je enako zaporedju 1, Φ, Φ + 1, 2Φ + 1, 3Φ + 2, . . .

Varianta paradoksa, pri katerem sta plo²£ina kvadrata in pravokotnika enaka, zgleda torej takole:

Veljati mora (1 + Φ) : 1 = (1 + 2Φ) : Φ, kar je ekvivalentno dejstvu, da obstaja t.i. zlati pravokotnik,za katerega velja Φ : 1 = 1 : (Φ− 1) in ki izgleda takole:

Kvadrat s plo²£ino 8× 8 pa lahko razreºemo tudi takole:

Na zgornji sliki je tokrat prikazan razrez ra£unalni²ko natan£no, zato lahko jasno vidimo, da se likiob notranji £rti med sabo prekrivajo, kar povzro£i, da ima nov lik za en kvadratek manj²o plo²£ino.

17

6.1.3 Langman-ov paradoksOglejmo si sliko:

Tudi tokrat je bila slika narejena z ra£unalni²ko natan£nostjo, zato lahko jasno vidimo, da se liki, kiso bili prene²eni v pravokotnik s plo²£ino 5×21, ne prilegajo £isto £rti, temve£ je vmes ozek paralelogrampraznega prostora, ki povzro£i, da ima dobljeni lik za 1 kvadratek ve£jo plo²£ino.

6.2 Kam je izginil ²krat?Gre za zabaven in zanimiv paradoks. Poglejmo si sprva sliko:

Sedaj pa poglejmo, kaj se zgodi, £e zgornja dva pravokotnika na sliki zamenjamo:

Vidimo, da je na prvi sliki 15 ²kratov, na drugi pa le ²e 14. Kam je izginil en ²krat?

Paradoksi o izginjo£ih osebah se uporabljajo ºe ve£ kot sto let v reklamne namene. Leta 1880 jeameri²ki iznajditelj ugank Sam Loyd izdal kroºno verzijo, pri kateri izgleda, da kitajski vojak izgine, kokolut zavrtimo. Od tedaj se je pojavilo mnogo verzij, ravnih in kroºnih.

Najbolje razloºimo ta paradoks tako, da na list papirja nari²emo 10 £rt, tako kot prikazuje spodnjaslika:

18

Nato prereºemo papir po £rtkani £rti, potem pa spodnji del premaknimo navzdol in v levo:

Pre²tejemo £rte. Sedaj jih je samo 9! Nesmiselno se je spra²evati, katera od desetih £rt je izginila.V resnici smo 10 £rt razrezali na 18 delov, te pa potem preuredili, da smo dobili 9 novih £rt. Sevedaje vsaka od teh za 1/9 dalj²a kot vsaka od prvotnih desetih £rt. Ko spodnji del premaknemo nazaj, seprikaºe deseta £rta in zdaj so £rte za 1/10 kraj²e kot prej.

To£no isto se zgodi s ²krati. Ko je 15 ²kratov, je vsak za 1/15 kraj²i od vsakega od 14 ²kratov. Ko kosezamenjamo, ne moremo dolo£iti, kateri ²krat je izginil, kajti mnoºica ²tirinajstih je mnoºica popolnomadruga£nih ²kratov. Vsak je za 1/14 dalj²i kot prej.

Princip tega paradoksa je tudi osnova stare metode za ponarejanje denarja. 9 bankovcev je moºnorazrezati na 18 kosov (po zgledu s £rtami) in iz njih sestaviti 10 bankovcev. Seveda pa je nove bankovcelahko odkriti, ker se ²tevilke ne ujemajo. Na vseh ameri²kih bankovcih so ²tevilke na nasprotnih koncih,ene zgoraj druge spodaj - ravno zato, da bi prepre£ili ponarejanje. Leta 1968 so v Londonu nekogaobsodili na osem let zapora, ker je uporabil ta sistem na angle²kih bankovcih za 5 funtov.

6.3 Nemogo£i predmetiZanimivo je, da se da narisati ²tevilne predmete, ki v realnosti ne morejo obstajati. Pravimo jim �nemogo£ipredmeti� ali �neodlo£ljivi liki�. Oglejmo si nekaj primerov:

Na prvi sliki so prikazane �nemogo£e stopnice� . Po njih lahko hodimo neskon£no dolgo, ves £asnavzgor, a se vedno vra£amo na isto mesto. Nemogo£e stopnice sta izna²la britanski genetik LionelS. Penrose in njegov sin, matematik Roger Penrose, in jih prvi£ objavila leta 1985. Zato jih pogostoimenujemo Penroseove stopnice.

Na drugi sliki je prikazano nenavadno �vitezovo oroºje� . Ali ima dva ali tri roglje? Jasno je videti,da ne velja ne eno ne drugo in da tak²en predmet ne more obstajati. Prvi£ se je pojavil leta 1965 naplatnicah revije Mad Magazine, kjer se je pojavila slika Alfreda E. Neumana, ki je drºal na kazalcu takpredmet.

Tretja slika pa prikazuje nenavadno �kletko� . Ali lahko naredimo tako kletko? Zopet se jasno vidi,da tak²na kletka ne more obstajati.

Vsi trije predmeti kaºejo, kako hitro se lahko pustimo preslepiti, misle£, da geometrijski diagramprestavlja resni£en predmet, £eprav je logi£no protisloven in zato ne more obstajati. Predmeti so vizualnianalogoni takih neodlo£ljivih stavkov, kot je �Ta stavek je napa£en�.

S slikanjem nemogo£ih predmetov se je precej ukvarjal nizozemski umetnik M. C. Escher. Penroseovestopnice so ga tako o£arale, da jih je u£inkovito upodobil v eni od svojih litogra�j, Vzpenjanje in spu²£anje.�udno kletko pa je upodobil na eni od svojih slik, ki se imenuje Belvedere. Na internetni strani

www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/

si lahko ogledamo nekaj zanimivih realizacij Escherjevih nemogo£ih predmetov, ki pod dolo£enimi kotispominjajo na originalne nemogo£e predmete. Na omenjeni strani lahko med drugim tudi opazimo, da jepogosta sestavina nemogo£ih stvari t.i. Penroseov trikotnik.

19

6.4 Opti£ne iluzijeOpti£ne iluzije so primeri nenehno se spreminjajo£ega tolma£enja tistega, kar vidimo. Poglejmo si nekajprimerov:

V prvem primeru vidi na² razum ravninski vzorec kot perspektivno risbo ve£ kock; toda to risbo lahkovidimo na dva razli£na na£ina. Ali je na sliki 6 ali 7 kock? Obe interpretaciji sta enako dobri, tako darazum kar naprej koleba med njima.

Isti opis velja za sliko mlade ºenske ali stare gospe. Nemogo£e je ne videti eno ali drugo in razumska£e sem in tja med obema interpretacijama.

Tretji primer dopu²£a tri interpretacije: majhno kocko v kotu sobe, majhno kocko, ki je pritrjena zzunanje strani velikega bloka ali pa velik blok s kockasto luknjo v enem voglu. U£enje �videti� ta diagramna tri moºne na£ine je mo£no povezano z zmoºnostjo interpretiranja geometrijskih risb. �e v geometriji�vidimo� diagram nepravilno, je to lahko glavni vir zme²njave.

Seveda obstaja ²e vrsto drugih primerov opti£nih iluzij. Na internetu jih npr. kar mrgoli in moramre£i, da so vsaj po mojem mnenju prava pa²a za o£i. :) Res se mi zdi nenavadno, kako lahko kak²no stvarhitreje vidimo kot drugo, posebej pa ob£udujem ljudi, ki znajo ustvariti tak²ne mojstrovine.

7 ZAKLJU�EKKot se lahko vidi skozi seminarsko nalogo, so matemati£ni paradoksi zelo dobro sredstvo za izzivanjebral£eve mo£i sklepanja in intuicije, pomagajo razvijati sposobnosti za re²evanje problemov, pripomorejotudi k razvijanju jasnega in preciznega de�niranja, opreznemu re²evanju in ocenjevanju rezultata. Ker soponavadi presenetljivi, potencirajo bral£evo vedoºeljnost, kaj je v ozadju, spodbudijo ga k razmi²lanju inkriti£nosti. Prav zato mislim, da se z njimi da poºiveti u£enje matematike, saj po mojem mnenju lahkovzbudijo presene£enje in zanimanje tudi pri tistih, ki se jim zdi matematika dolgo£asna in neuporabna.

20

8 Literatura in viri

Literatura[1] Martin Gardner(1988): Aha! Pa te imam: Paradoksi za napenjenje moºganov in razvedrilo. Ljubl-

jana: Drºavna zaloºba Slovenije.

[2] Jurij Kovi£(1996): Znate re²iti sami? Ljubljana: Dru²tvo matematikov, �zikov in astronomovSlovenije.

[3] Milan Krajnovi¢(1967): Gdje je pogre²ka?: Matemati£ki priru£nik za srednje ²kole. Zagreb: �kolskaknjiga.

[4] Raymond Smullyan(2000): Poznate naslov te knjige? Kamnik: Logika d.o.o.

Viriwww.wordsmith.demon.co.uk/paradoxes

www.cut-the-knot.org/Curriculum/Fallacies/CurryParadox.shtml

mcraefamily.com/MathHelp/BasicRecurrenceRelationsFibonacci.htm

en.wikipedia.org/wiki/Gabriel's_horn

www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/

21