1

FIABILITATE ȘI DIAGNOZĂ

- SEMINAR -

BUCUREȘTI 2009

2

CUPRINS

Model de rezolvare aplicaţii - seminar Fiabilitate .......................3

A. Desemnarea procesului supus studiului de fiabilitate ........................... 3

B. Rezolvare ............................................................................................... 4

1. Media Timpului de Bună Funcţionare (MTBF) ................................... 4

2. Disponibilitatea sistemelor (D) ............................................................. 4

3. Fiabilitatea (R) ...................................................................................... 5

4. Probabilitatea de defectare a mecanismelor (F) .................................... 5

5. Fiabilitatea întregului sistem mecanic (Rtot) ........................................ 5

C. Concluzie ................................................................................................. 7

Model de rezolvare aplicaţii - seminar Diagnoză ........................8

A. Desemnarea procesului supus diagnozei ............................................... 8

B. Rezolvare ............................................................................................... 8

B1. Calcularea valorilor statistice reale ................................................ 8

B2. Introducerea studiului statistic ...................................................... 11

C. Determinarea capabilităţii procesului .................................................... 12

D. Determinarea indicilor de capabilitate .................................................. 13

E. Concluzii ................................................................................................ 13

Bibliografie ....................................................................................14

3

Model de rezolvare aplicaţii - seminar Fiabilitate

A. Desemnarea procesului supus studiului de fiabilitate

Un sistem mecanic funcţionează conform schemei din Fig.1 şi este

constituit din mecanisme cu o rată a căderii având aceeaşi valoare,

41,66 10 căderi/oră. Cunoscându-se Media Timpului de Reparaţie la

fiecare (Tabel 2), să se determine:

1. Media Timpului de Bună Funcţionare pentru fiecare sistem

mecanic (MTBF);

2. Disponibilitatea fiecărui mecanism în parte (D);

3. Fiabilitatea mecanismelor pentru t = 600 ore, (R);

4. Probabilitatea de defectare a mecanismelor (F) pentru t = 4000

ore;

5. Fiabilitatea întregului sistem la t = 600 ore, (Rtot).

Fig. 1. Schema de funcţionare al unui sistem mecanic

1 2

3

4

5

6

Tabel. 2. Mărimi ale timpului de reparaţie

Nr. sistem 1 2 3 4 5 6

MTR(ore) 210 180 200 220 240 205

4

B. Rezolvare

1. Media Timpului de Bună Funcţionare (MTBF) este timpul în care

un mecanism funcţionează în parametri ceruţi de standarde şi există

siguranţa ca el să nu se defecteze în perioada calculată.

Formula de calcul pentru MTBF este:

1MTBF

, unde este rata de cădere a sistemului.

Având în vedere că toate sistemele au o aceeaşi rată de cădere înseamnă

că şi MTBF va avea o aceeaşi valoare:

4

16000

1,66 10MTBF ore

2. Disponibilitatea sistemelor (D) este o mărime care caracterizează

nivelul la care un mecanism funcţionează corespunzător normelor. Formula

de calcul este:

( )MTBF

D tMTBF MTR

, unde MTBF este Media Timpului de Bună

Funcţionare iar MTR este Media Timpului de Reparaţie pentru fiecare sistem

în parte.

Aceasta înseamnă că pentru mecanismul1 (vezi Fig.1 şi Tabel 2) avem:

1

6000 60000,966

6000 210 6210D

, adică 96,6 %. Folosind formula de calcul

completăm tabelul de mai jos cu aceste date, Tabel. 3.

Tabel. 3. Disponibilitatea mecanismelor

Nr. sistem 1 2 3 4 5 6

MTR(ore) 210 180 200 220 240 205

D(%) 96,6 97,08 96,7 96,4 96,1 96,69

5

3. Fiabilitatea (R) este o mărime care caracterizează nivelul de

încredere ca un mecanism să funcţioneze optim în timpul prestabilit şi la

calitatea cerută de beneficiar, respectând totodată standardele de funcţionare.

Reprezintă un factor de calitate şi formula de calcul este:

( ) tR t e , unde e este numărul natural cu valoarea 2,71; este rata de

cădere al mecanismului şi t este momentul de timp la care se face calculul

fiabilităţii.

Având în vedere că fiecare mecanism are acelaşi ordin de mărime

pentru rata căderilor iar timpul de calcul este acelaşi, rezultă că fiecare

mecanism va avea fiabilitatea (pentru t = 600 ore):

41,66 10 600 0,1

0,1

1(600) 0,905R e e

e

4. Probabilitatea de defectare a mecanismelor (F) este o mărime care

caracterizează probabilitatea ca un mecanism să se defecteze într-un interval

de timp (0,t). Este o mărime conexă cu fiabilitatea şi formula de calcul este:

( ) 1 ( )F t R t , unde t este momentul de timp pentru care se calculează

probabilitatea de defectare, R este fiabilitatea mecanismului. În concluzie

formula devine:

( ) 1 tF t e , unde e este numărul natural cu valoarea 2,71; este rata

de cădere al mecanismului şi t este momentul de timp la care se face calculul

fiabilităţii.

Având în vedere că fiecare mecanism are acelaşi ordin de mărime

pentru rata căderilor iar timpul de calcul este acelaşi, rezultă că fiecare

mecanism va avea probabilitatea de defectare (pentru t = 4000 ore):

41,66 10 4000 0,66( ) 1 1 1 0,517 0,482 48,2%F t e e

5. Fiabilitatea întregului sistem mecanic (Rtot) se calculează în

funcţie de modul de asamblare, conform Fig.1.

6

Pentru calculul fiabilităţii totale se calculează fiecare ramură în parte, în

serie sau paralel folosindu-se de formulele standard:

a) Formula de calcul pentru fiabilitatea sistemelor mecanice în

serie este:

1

n

s n

i

R R

, unde n este numărul de mecanisme în serie pentru care se

face calculul.

b) Formula de calcul pentru fiabilitatea sistemelor mecanice în

paralel este:

1

1 (1 )n

p n

i

R R

, unde n este numărul de mecanisme în paralel pentru

care se face calculul.

Având în vedere că fiecare mecanism are aceeaşi rată de cădere (),

pentru t = 600 ore fiabilitatea lor a fost calculată la punctul 3 şi are valoarea

R(600) = 0,905.

Pasul 1 - Se calculează fiabilitatea mecanismelor în paralel 3 şi 4:

3,4 1 (1 0,905) (1 0,905) 0,9909R

1 2

5

6

3,4

7

Pasul 2 - Se calculează fiabilitatea mecanismelor în serie 1,2 cu 3,4:

1,2,3,4 0,905 0,905 0,9909 0,8115R

5

6

1,2,3,4

Pasul 3 - Se calculează fiabilitatea mecanismelor în paralel 5 şi 1,2,3,4:

1,2,3,4,5 1 (1 0,8115) (1 0,905) 0,982R

61,2,3,4,5

Pasul 4 - Se calculează fiabilitatea mecanismelor în serie 1,2,3,4,5 cu

6:

1,2,3,4,5,6 0,982 0,905 0,888R

1,2,3,4,5,6

C. Concluzie

Conform calculelor sistemul mecanic studiat are o Fiabilitate totală de

88,8% şi se încadrează în parametri standard de calitate al procesului.

8

Model de rezolvare aplicaţii - seminar Diagnoză

A. Desemnarea procesului supus diagnozei

Să se determine capabilitatea unui strung automat de a prelucra un

reper având caracteristica măsurabilă 0,01

0,034

ştiind că se prelevează din

fluxul de fabricaţie 6 eşantioane de câte 5 bucăţi, la intervale de o oră, iar

rezultatele măsurătorilor sunt înscrise în tabel.

Date suplimentare: d2 = 2,326 (cules din tabele, funcţie de mărimea

eşantionului).

Nr.Sel. ora Date primare (x = valori măsurate)

1 8 4,02 3,99 3,98 3,98 3,96

2 9 3,97 3,98 4,00 4,01 3,99

3 10 3,99 3,97 4,02 4,00 4,01

4 11 4,00 3,99 4,03 3,96 3,98

5 12 4,02 4,00 4,00 3,98 3,96

6 13 3,97 3,99 3,98 4,00 4,01

B. Rezolvare

B1. Calcularea valorilor statistice reale

a) Pentru calculul parametrilor statistici facem întâi media

valorilor x pentru fiecare set de eşantioane. Modelele statistice încep prin se

calcula valoarea medie a valorilor măsurate real din eşantioanele prelevate,

după care se calculează valoarea medie a tuturor eşantioanelor (valoarea

medie se notează cu x barat deasupra).

9

Pt. Set 1:

11

4,02 3,99 3,98 3,98 3,96 19,933,987

. 5 5

setset

xx mm

nr esantion

la fel şi pentru celelalte set-uri, 2, 3, 4, etc., după care se notează în

tabel.

Tabelul de mai sus se completează în felul următor:

Nr.

Sel. ora Date primare (x = valori măsurate) xset x

1 8 4,02 3,99 3,98 3,98 3,96 19,93 3,987

2 9 3,97 3,98 4,00 4,01 3,99 19,95 3,990

3 10 3,99 3,97 4,02 4,00 4,01 19,99 3,998

4 11 4,00 3,99 4,03 3,96 3,98 19,96 3,992

5 12 4,02 4,00 4,00 3,98 3,96 19,96 3,992

6 13 3,97 3,99 3,98 4,00 4,01 19,95 3,990

b) Pentru calculul valorii medii ale tuturor set-urilor:

(valoarea totală medie a valorilor medii pe set-uri se notează cu x

dublu barat deasupra)

1 2 3 4 5 63,987 3,990 3,998 3,992 3,992 3,990

. 6 6

23,9493,991

6

set set set set set setx x x x x xxx

nr set

x mm

aceasta este valoarea medie reală, calculată, a piesei de studiat.

c) Pentru a determina gradul de respectare al toleranţelor cerute

de beneficiar desemnăm cele două valori limită permise de contract, precum

şi valoarea nominală a piesei:

10

Valoarea nominală a piesei: xn = 4 mm;

Valoarea superioară a piesei: Ts = 4 + 0,01 = 4,01 mm;

Valoarea inferioară a piesei: Ti = 4 - 0,03 = 3,97 mm;

Toleranţa totală a piesei: T = Ts - Ti = 4,01 - 3,97 = 0,04 mm.

În procesul de fabricaţie, datorită greşelilor umane, a reglajului,

sistemului de prelucrare, etc., apar abateri de la valoarea nominală. Aceste

abateri sunt permise doar în câmpul de toleranţă impus de beneficiar. Pentru

a calcula valoarea reală a abaterii standard al procesului se studiază tabelul

cu eşantioane şi pentru fiecare set se verifică valoarea maximă a piesei şi

valoarea minimă a piesei.

Exemplu:

Pentru set-ul 1 valoarea maximă a piesei măsurate este 4,02* mm,

valoarea minimă a piesei este 3,96* mm. Pentru a afla abaterea procesului de

fabricaţie pentru set-ul 1 se scad cele două valori, rezultatul se notează în

tabel. Abaterea se notează cu R:

Rset1 = X maxset1 - X minset1 = 4,02 - 3,96 = 0,06 mm

Se completează tabelul cu valorile calculate pentru fiecare set.

Nr.

Sel. ora Date primare (x = valori măsurate) x x R

1 8 4,02* 3,99 3,98 3,98 3,96* 19,93 3,987 0,06

2 9 3,97* 3,98 4,00 4,01* 3,99 19,95 3,990 0,04

3 10 3,99 3,97* 4,02* 4,00 4,01 19,99 3,998 0,05

4 11 4,00 3,99 4,03* 3,96* 3,98 19,96 3,992 0,07

5 12 4,02* 4,00 4,00 3,98 3,96* 19,96 3,992 0,06

6 13 3,97* 3,99 3,98 4,00 4,01* 19,95 3,990 0,04

11

d) Abaterea medie a tuturor valorilor se calculează:

(abaterea medie se notează cu R barat deasupra)

1 2 3 4 5 60,06 0,04 0,05 0,07 0,06 0,04

. 6 6

0,320,053

6

set set set set set setR R R R R RRR

nr set

R mm

B2. Introducerea studiului statistic

Fiecare piesă, în funcţie de dimensiunea şi precizia cerută, precum şi de

importanţa sa pentru beneficiar are un standard de calitate.

Media pătratică a abaterilor nu are puterea de a compara şi aceste

considerente. În acest caz, în statistică se consideră că pentru desemnarea

valorii reale, în funcţie de importanţa procesului, se ia în calcul mărimea

ce reprezintă abaterea medie pătratică, având valoarea:

2

R

d , unde R reprezintă abaterea medie a piesei de studiat, în calculul

tabelar de mai sus, iar d2 reprezintă un factor de conversiune care este ales

din norme tabelare (în funcţie de dimensiunile şi importanţa piesei).

În acest caz avem (pentru procesul studiat):

2

0,0530,022

2,326

Rmm

d

Conform studiilor statistice valorile abaterilor pieselor din procesul de

fabricaţie se încadrează în limita a 99,97% din plaja de valori desemnat de

6 .

Dacă în cazul valorilor reale dimensiunile pieselor se încadrau între

abaterea superioară şi abaterea inferioară, pentru studiul statistic valorile se

încadrează între limita superioară şi limita inferioară a valorilor procesului,

calculat faţă de valoarea medie a pieselor ( x ). Faţă de această mărime există

12

abateri de 3 către valoarea superioară şi abateri de 3 către valoarea

inferioară a procesului.

În acest caz avem:

Limita inferioară, sau extrema inferioară:

3 3,991 3 0,022 3,925iL x mm ;

Limita superioară, sau extrema superioară:

3 3,991 3 0,022 4,057sL x mm

C. Determinarea capabilităţii procesului

Conform datelor de mai sus se calculează capabilitatea procesului ales

de noi pentru a respecta cerinţele impuse în contract, faţă de beneficiar.

Capabilitatea procesului se calculează cu formula:

6C

T

,

unde reprezintă abaterea medie pătratică, iar T reprezintă toleranţa

totală a piesei, conform cerinţelor.

Astfel capabilitatea procesului de studiat este:

6 6 0,0223,3

0,04C

T

Conform statisticii, capabilitatea procesului trebuie să se încadreze între

valorile 0,6 0,8C , dacă este sub 0,6 procesul este mult prea precis faţă de

necesităţi, iar dacă valoarea trece de 0,8 procesul nu respectă cerinţele

impuse de beneficiar.

În cazul nostru 3,3 0,8C , ceea ce ne arată că procesul tehnologic

ales de noi nu respectă necesităţile.

13

D. Determinarea indicilor de capabilitate

În determinarea factorilor care au contribuit la procesul de fabricaţie se

au în vedere indici care să desemneze precizia şi centrarea procesului.

În acest caz, indicele referitor la precizia procesului, notată cu Cp se

calculează conform relaţiei:

0,040,3

6 6 0,022

Ts TiCp

Iar indicele referitor la centrarea procesului, notată cu Cpk se

aproximează ca fiind valoarea minimă dintre două valori:

3,991 3,97 4,01 3,991

min ; min ; min 0,3;0,28 0,283 3 3 0,022 3 0,022

i sk k

x T T xCp Cp

Pentru verificarea procesului se cere, în general, ca 1,33Cp , iar 1,25kCp .

E. Concluzii

Comparând valorile de mai sus (C), determinate prin calcul, realizăm

că procesul tehnologic ales nu este capabil, nefiind nici precis şi nici centrat

(Cp şi Cpk).

14

Bibliografie

1. Neagu, Corneliu – note de curs Fiabilitate și Diagnoză;

Universitatea Ecologică din București, Facultatea de Inginerie Managerială,

București, 2009;

2. Mihoc, Gheorghe; Muja, Aneta; Diatcu, Eugeniu – Bazele

matematice ale teoriei fiabilității, Ed. Dacia, 1976, Cluj Napoca;

3. Tiron, Marin – Prelucrarea statistică și informațională a datelor de

măsurare, Ed. Tehnică, 1986, București;

4. Baron, Tudor – Metode statistice pentru analize și controlul

calității producției, Ed. Didactică și Pedagogică, 1979, București;

5. Raicu. N., Tövösi. L. – Statistică matematică cu aplicație în

producție, 1963, Ed. Academiei Române, București.