Seminar 13 - statistica psihologica

7/29/2019 Seminar 13 - statistica psihologica

1/15

Distribuia multinomialTestele chi-ptrat

Lect.univ. dr. Gh. Perea

Distribuia multinomial

Evenimentele de tip binomial se caracterizeaz prin caracterul dihotomic,putnd lua doar dou valori. Exist ns i evenimente care pot lua mai mult de douvalori posibile (trei sau mai multe). De exemplu, dac presupunem c exist doar treitipuri de liceu, atunci absolvenii de liceu, ar putea face parte dintr-una dinurmtoarele categorii: umanist, real, artistic. Dac raportm frecvena de apariiea fiecrei categorii (numrul subiecilor care au absolvit un anumit tip de liceu) latotalul subiecilor, probabilitile aferente fiecrui tip de liceu sunt, respectiv, P, Q iR. ntr-o asemenea situaie P+Q+R=1. Pe aceast baz, putem scrie probabilitile

pentru fiecare eveniment dup modelul: Q=1-P-R.

S lum n considerare situaia n care toate liceele ar avea acelai numr deabsolveni. In acest caz, P=Q=R=1/3=0.33 (alegerea unor ponderi diferite, aa cumeste i cazul n realitate, nu ar schimba datele raionamentului care urmeaz, dar l-arface mai puin evident). Mai departe, s ne imaginm c analizm tipul de liceuabsolvit de studenii unei faculti de psihologie i constatm c din 100 de studeni60 sunt absolveni de liceu umanist, 30 au absolvit un liceu cu profil artistic i 10,unul cu profil real. Ponderea studenilor la facultatea respectiv este, evident, diferitde ponderea din cadrul populaiei de absolveni. Pe baza acestor date, se poate afirmac absolvenii de profil umanist i artistic prefer psihologia mai mult dect careau absolvit un profil real? Sau, ntr-o formulare mai larg, se poate afirma c existo relaie ntre tipul de liceu absolvit i preferina pentru psihologie ca specialitateuniversitar?

nainte de a rspunde la aceast ntrebare, s analizm puin datele sugerate deexemplul de mai sus. Aa cum am spus, numrul studenilor la facultatea depsihologie este, n funcie de tipul de liceu absolvit, de 60, 30, respectiv, 10. Acestevalori se numesc frecvene observate sau frecvene calculate (notate cu fo de laObserved), fiind rezultatul msurrii n contextul cercetrii. Dac preferina pentrufacultatea de psihologie nu ar fi n legtur cu liceul absolvit (ipoteza de nul), atuncicercetarea ar trebui s consemneze un numr egal de studeni provenind din fiecare tipde liceu. n exemplul dat, acest numr ar trebui s fie, pentru fiecare tip de liceu100/3=33.3, care se numete frecven teoretic sau frecven ateptat (notat cufe de la Expected). Este uor de intuit faptul c, cu ct frecvenele calculate (reale)sunt mai ndeprtate de cele ateptate (teoretice), cu att ele se apropie de situaia de afi semnificativ diferite de acestea. Mai departe, nu ne rmne dect s gsim o

procedur pentru calcularea distanei dintre cele dou tipuri de frecvene i un modelde distribuie pentru rezultatul acestui calcul, n raport cu care s putem lua o deciziecu privire la ipoteza de nul.

Datele din exemplul dat nu mai pot fi analizate prin prisma distribuieibinomiale deoarece implic mai mult dect dou evenimente posibile. De aceea,distribuia acestora se numete distribuie multinomial. Desigur, procedura decalcul pentru acest caz ar putea urma modelul celei binomiale dar, din cauzacomplexitii acestei soluii, s-a apelat la o soluie mai simpl. Aceasta estefundamentat pe o aproximare derivat din formula binomial a lui z, care este pur sisimplu ridicat la ptrat, devenind:


2/15

Dac nainte de ridicarea la ptrat z urmeaz o distribuie normal, dupridicarea la ptrat z urmeaz un alt tip de distribuie, numit chi-ptrat, simbolizatcu litera greceasc , cu indicele de ridicare la ptrat (2). Valorile distribuiei 2 secalculeaz ca raport dintre frecvenele observate i cele teoretice, iar caracteristicile eieseniale sunt urmtoarele;

este, la fel ca distribuia normal, o familie de distribuii; are form asimetric; are originea n zero (din cauza ridicrii la ptrat); are o form dependent de numrul de grade de libertate.

Imaginea de mai jos prezint mai multe distribuii chi-ptrat, pentru diferitegrade de libertate (vom vedea mai trziu cum se calculeaz acestea).

Curbele distribuiilor chi-ptrat pentru 1, 2, 4, 6 i 10 grade de libertate

Tabelul de coresponden (contingen) pentru date nominale

nainte de a trece la testul propriu-zis, este util s aruncm o privirea asupramodului de organizare a datelor pentru o situaie similar exemplului de mai sus. nacest scop, putem s ne permitem o lrgire a cadrului de investigare. S presupunemc avem cele trei categorii de liceu i ne intereseaz distribuirea lor, nu n legtur cuo singur facultate (cea de psihologie), ci n legtur cu trei tipuri de faculti:umaniste, artistice i tehnice.

Dac realizm un cadru de reprezentare sintetic al valorilor celor douvariabile, obinem ceea ce se numete un tabel de coresponden. Iat cum ar arta unastfel de tabel, pentru un set de date ipotetice:

Liceuumanist

Liceureal

Liceuartistic

Total pelinii

Fac. Umaniste 45 20 30 95Fac. Tehnice 14 60 12 86Fac. Artistice 20 13 50 83Total pe coloane 79 93 92 264

Acesta este un tabel de coresponden pentru dou variabile nominale, fiecareavnd cte trei valori distincte (categorii)1. Valorile din celule reprezint numrul decazuri (frecvenele observate) care corespund fiecrei combinaii dintre categoriile

celor dou variabile. Totalul pe linii exprim numrul de studeni din fiecarefacultate, consemnai n

1 n mod similar, se pot crea tabele de coresponden pentru variabile categoriale avnd,fiecare, un numr diferit de valori (categorii).


3/15

cercetare, indiferent de tipul de liceu absolvit, totalul pe coloane, exprim numrulde absolveni din fiecare tip de liceu, indiferent de facultatea la care sunt nscrii, iarla intersecia celor dou totaluri regsim totalul general al subiecilor cercetrii(N=264).

Fundamentarea testului statisticAvnd un numr de 95 de studeni n faculti umaniste, aceast nseamn

c ei reprezint 36% din totalul subiecilor cercetrii (95/264*100=36). Acestprocent indic se refer la absolvenii care au ales o facultate de tip umanist,indiferent de liceul absolvit. n mod similar, calculm procentele corespunztoarecelorlalte tipuri de faculti. Valorile astfel calculate, pentru fiecare linie a tabelului,se numesc frecvene marginale.

Dac alegerea facultii nu ar avea nici o legtur cu tipul de liceu absolvitatunci, n mod normal, ar trebui s regsim, pentru fiecare tip de liceu, acelai

procent care exprim ponderea studenilor din fiecare facultate n totalul subiecilorcercetai. Avnd procentele studenilor din fiecare facultate i numrul absolvenilor din

fiecare tip de liceu, putem calcula frecvenele teoretice (ateptate) pentru fiecarecelul a tabelului. De exemplu, dintre cei 79 de absolveni de liceu umanistconsemnai de cercetare, 36% ar trebui s se afle n faculti umaniste, ceea censeamn: (79*36)/100=28.4. n mod similar, ar trebui s avem 32.5% (25.6) nfaculti tiinifice i 31.5% (24.8) n faculti artistice. Acelai raionament se aplicmai departe i celorlalte tipuri de liceu, cu utilizarea procentului corespunztorfiecrei faculti. Precizm c frecvenele teoretice (ateptate) vor fi aceleai, nfiecare celul, chiar dac vor fi calculate pe baza frecvenelor marginale de pecoloane.

Liceuumanist

Liceureal

Liceuartistic

Total pelinie

% pe linii

Fac. Umaniste 45(28.4) 20(33.4) 30(33.1) 95 (95/264)* 100=36%

Fac. Tehnice 14(25.6)

60(30.2)

12(29.9)

86 (86/264)* 100=32,5%

Fac. Artistice 20(24.8)

13(29.2)

50(28.9)

83 (83/264)* 100=31.5%

Total pe coloan 79 93 92 264

Aa cum constatm, ntre frecvenele observate i cele ateptate sunt diferene.Suma frecvenelor ateptate (teoretice) este egal cu suma frecvenelor observate(poate rezulta o anumit diferen ntre totaluri, ca urmare a aproximrii zecimalelor).

n final, problema cercettorului este aceea de a stabili dac ntre frecveneleobservate i cele teoretice (calculate) este o diferen care s justifice aprecierea cntre cele dou variabile exist sau nu o legtur. Datele de acest gen nu mai pot fianalizate prin prisma distribuiei binomiale, deoarece implic mai mult dect douevenimente posibile. De aceea, distribuia acestora se numete distribuiemultinomial. Desigur procedura de calcul pentru acest caz ar putea urma modelulcelei binomiale dar, din cauza complexitii ei, s-a apelat la o soluie mai simpl.Aceast soluie este fundamentat pe o aproximare derivat din formula binomial alui z, care este pur si simplu ridicat la ptrat, devenind:


4/15

este, la fel ca i distribuia normal, o familie de distribuii; are form asimetric; are originea n zero (din cauza ridicrii la ptrat); are o form dependent de numrul de grade de libertate.

La fel ca i distribuiile t i F, distribuia 2 este dependent de numrulgradelor de libertate. Acestea se calculeaz pe baza tabelului de coresponden dintrecele dou variabile, astfel:

df=(numr coloane-1)*(numr linii-1)

Formula de calcul pentru testul chi-ptrat, derivat din formula 4.8, este :

unde fO este frecvena observat, iar fE, frecvena ateptat.

Decizia pentru testul chi-ptrat se bazeaz pe compararea valorii calculate cu ovaloare critic, corespunztoare nivelului alfa ales (0.05 sau, opional, mai mic).Valorile critice pentru distribuia chi-ptrat se gsesc ntr-o tabel special (vezi anexa).Dac valoarea calculat a lui 2 este egal sau mai mare dect valoarea critic pentrunivelul ales al lui alfa, atunci ipoteza de nul poate fi respins, iar ipoteza cercetriiconfirmat.

Pe aceast structur formal se bazeaz dou variante distincte ale testului chi-ptrat: testul corespondenei (Goodness of Fit) i testul asocierii. Primul, compar

frecvenele observate ale valorilor unei singure variabile cu frecvenele ateptatepentru acele valori. Al doilea, compar frecvenele valorilor observate pentru douvariabile cu frecvenele lor ateptate, cu scopul de a testa relaia (asocierea) dintre celedou variabile.

Chi-ptrat pentru gradul de coresponden (Goodness of Fit)

Aceast variant a testului chi-ptrat compar frecvenele observate ale uneidistribuii cu frecvenele teoretice (ateptate) ale acelei variabile. De exemplu, dacavem frecvenele unei variabile putem afla dac aceasta se distribuie dup curbanormal (z), prin compararea cu frecvenele cunoscute ale acestei distribuii (aria de subcurb).

S presupunem c a fost aplicat un test de cunotine unui eantion de 200 deelevi, care a fost evaluat cu calificative, astfel: F.Slab, Slab, Mediu, Bun, F.Bun.

Problema cercetrii: Calificativele obinute se distribuie normal la nivelulclasei?Populaia 1: Calificativele obinute de elevi.

Dac nainte de ridicarea la ptrat z urmeaz o distribuie normal, dupridicarea la ptrat z urmeaz un alt tip de distribuie, numit chi-ptrat, simbolizat culitera greceasc cu indicele de ridicare la ptrat (2). Fr a intra n amnunte, vom

preciza c distribuia 2

prezint urmtoarele caracteristici:


5/15

Populaia 2: Calificativele, aa cum s-ar distribui pe o curb normal:FS=2.5%,B=14%, M=67%, B=14% i FB=2.5% (procentele sunt cele tipice unei curbez,mprite n cinci clase valorice).

Ipoteza cercetrii (H1): Distribuia calificativelor urmeaz legea curbeinormale la nivelul eantionului de elevi.

Ipoteza de nul (H0): Distribuia calificativelor nu urmeaz legea curbeinormale n rndul elevilor examinai.

Determinarea caracteristicilor deciziei statistice: alegem =0.05 (n cazul testului 2 decizia nu poate fi dect unilateral,

deoarece acest test nu poate lua valori negative) gsim valoarea critic pentru 2=9.48 n tabela pentru distribuia 2, pentru

df=(2-1)*(5-1)=4 i =0.05


6/15

Decizia statistic: 2 calculat (18,33) este mai mare dect 2 critic (9,48) Respingem ipoteza de nul i tragem concluzia c distribuia calificativelor

urmeaz forma curbei normale.

Concluzia statistic poate fi interpretat, n acest caz, ca fiind negativ dinpunctul de vedere al eficienei procesului didactic. n mod normal, dac activitatea denvare ar fi eficient, rezultatele elevilor ar trebui s se distribuie asimetric negativ,adic cu tendin de grupare a valorilor spre calificativele superioare. Rezultatele

procesului de nvare nu se distribuie normal, nefiind un proces natural, ci unuln care valorile (calificativele) sunt supuse unei influene sistematice (prin efortul

profesorilor i al elevilor nii) nspre valorile mari.

Facem, nc o dat, precizarea c aceast form a testului chi-ptrat se aplicatunci cnd vrem s comparm frecvene observate cu frecvene teoretice (ateptate),

pe care le cunoatem deja. El este echivalentul testului z pentru proporii pentrudistribuia binomial, cu specificaia c se utilizeaz atunci cnd avem mai mult dedou categorii. Testul chi-ptrat pentru gradul de coresponden (goodness of fit) nuare un indice de mrime a efectului.

Iat cteva exemple posibile de cercetri ale cror date pot fi analizate cutestul chi-ptrat al gradului de coresponden:

Vrem s tim dac exist o preferin pentru o anumit categorie demuzic (clasic, popular, pop-rock). n acest caz, dac distribuia preferinelor nu ar fiinfluenat de nici o anumit preferin (ipoteza de nul) atunci frecvena ateptat(teoretic) pentru fiecare gen muzical ar trebui s fie echivalent cu 100/3=33.3%numrul subiecilor. Mai departe, nu ne rmne dect s testm diferena dintre celedou categorii de frecvene (teoretice i observate), conform modelului de calcul demai sus.

ntr-un studiu asupra relaiei dintre atractivitate i preferina pentru

profesori, unui numr de studeni li se prezint fotografiile preselectate ale unor asepoteniali profesori, ale cror portrete sugereaz grade diferite de atractivitate, i li secere s aleag dintre acetia pe cel pe care ar dori s l aib ca profesor. Dac gradulde atractivitate nu are

Tabelul urmtor con ine datele de cercetare i al oritmul de calcul:


7/15

nici un impact asupra preferinei ca profesor, atunci frecvenele cu care sunt alesefotografiile ar trebui s fie egale (100/6=16.6%).

ntr-un studiu de marketing, o companie trebuie s aleag dintre patrupropuneri imagini. Acestea sunt prezentate unui eantion de subieci i seconsemneaz numrul de preferine exprimate pentru fiecare imagine. Dac toate aravea acelai impact, atunci numrul de preferine ar trebui s fie egal (25%, pentrufiecare imagine).

Chi-ptrat - testul asocierii (independence chi-square)2

Aceast variant a testului chi-ptrat este mai frecvent utilizat. Ea comparfrecvenele observate ale unei distribuii (variabile) cu frecvenele corespondente alealtei distribuii (variabile), ambele msurat pe scale de tip categorial, cu scopul de avedea dac exist o asociere ntre cele dou variabile.

S presupunem c avem rezultatele la testul de statistic (msurate pe o scal

ordinal i notate, convenional, cu A, B, C, D, E, unde A reprezint nivelul deperforman cel mai ridicat iar E, cel mai sczut).Problema cercetrii: Dorim s aflm dac exist o diferen semnificativ ntre

biei (M) i fete (F) la testul de statistic.Ipoteza cercetrii: Distribuia performanei depinde de genul masculin sau

feminin.Ipoteza de nul: Rezultatele la testul de statistic nu au legtur cu variabila sex.Determinarea criteriilor de decizie statistic:

alegem =0.05 df=(2-1)*(5-1)=4 citim valoarea critic pentru 2 n tabela pentru distribuia 2: 2critic= 9.49

Datele cercetrii ar putea fi astfel centralizate n urmtorul tabel de coresponden3:

A B C D F TotalMasculin

1034 140 10 6 200 = 57.14% din total

generalFeminin 10 32 97 6 5 150 = 42.86% din total

generalTotal 20 66 237 16 11 Total general=350

Frecvenele marginale sunt: 200 (57.14%) pentru biei i 150 (42.86%)

pentru fete Dac performana la test nu are nici o legtur cu genul subiecilor, trebuie s

regsim aceste procente pentru fiecare dintre calificativele acordate. Aceasta nseamn c, teoretic, n celula A/Masculin, ar trebui s gsim,

proporional, tot atia biei ci sunt pe ntregul lot (57.14%). Adic(20*57.14)/100=11.42, care reprezint frecvena ateptat pentru celularespectiv din tabelul de coresponden.

La fel, pentru celula A/Feminin ar trebui s avem 42.86% din totalul pentrufeminin, adic: (20*42.86)/100=8.52.

n acelai mod de calculeaz frecvenele observate pentru fiecare celul atabelului.

2 Cunoscut i sub numele testul chi-ptrat Pearson al asocierii, a fost elaborat de KarlPearson.3 Datele din acest exemplu nu se refer la o situaie real.


8/15

Pentru o mai uoar nelegere a mecanismului de calcul, vom rearanja tabelul astfel:

Se compar 2 critic (9.49) cu2calculat (1.85) pentru df = (2-1)(5-1) = 4 Valoarea calculat a testului este mai mic dect valoarea critic, ca urmare,

acceptm ipoteza de nul. Rezultatele la test nu confirm ipoteza c rezultatelese distribuie n funcie de apartenena de gen a subiecilor.

Condiii pentru aplicarea testului 2

Cele dou variabile nu trebuie s se intersecteze (s nu existe subieci care sfie inclui n mai mult de o celul de tabel)

Selecie aleatoare a eantioanelor Este recomandabil ca frecvena ateptat s nu ia valori mai mici de 5 (sau, cel

puin, n nu mai mult de 20% din celule).

Nici o celul nu trebuie s aib frecvena ateptat mai mic de 1.Pentru situaiile n care frecvenele ateptate sunt mai mici dect specificaiile de

mai sus, sau atunci cnd tabelul de coresponden dintre variabile are dou linii idou coloane, se recomand aplicarea unei corecii la formula de baz. Aceasta senumete corecia


9/15

Utilizarea testului chi-ptratal asocierii

Testul chi-ptrat al asocierii se utilizeaz atunci cnd dorim s testm relaiadintre dou variabile, ambele msurate pe scal de tip categorial. Facem precizarea cvariabilele categoriale dei sunt, de regul, de tip nominal, pot fi att ordinale ct i deinterval sau de raport. Ceea ce caracterizeaz o variabil categorial nu este att scalade msurare, ct faptul c primete puine valori, care mpart distribuia n categorii devalori. De exemplu, ntr-un studiu cu privire la relaia dintre gravitatea accidentelor decirculaie (fr rnii, cu rnii uor, cu rnii grav, cu mori) i putereamotoarelor (1400 cm3, 1600 cm3, 2000 cm3, 2500 cm3, 3000 cm3), ambele variabilesunt de tip categorial, dar prima este pe scal nominal, iar a doua pe scal cantitativ.

Testul chi-ptrat al asocierii (independenei) poate fi vzut ca un veritabil testde corelaie pentru date categoriale. De asemenea, poate fi folosit n locul testului t sauANOVA, dac nu sunt ndeplinite condiiile pentru variabila dependent. ntr-unasemenea caz, variabila dependent cantitativ se transform, prin gruparea nfrecvene, n variabil de tip categorial. Aceast opiune se va alege numai dac neaflm n faa unei flagrante violri a condiiei de normalitate, deoarece testele

parametrice au o putere mai mic dect cele neparametrice. La fel ca i n cazul altorteste statistice, nu se vor putea trage concluzii de tip cauzal dect numai dacvariabilele sunt msurate n contextul unui experiment psihologic.

Marimea efectului pentru testul chi ptratal asocierii

Coeficientul (fi)

Atunci cnd utilizm testul pentru asocierea variabilelor, valoarea 2certificfaptul c cele dou variabile sunt relaionate. Dar mrimea lui 2 nu ne spune nimic cu

privire la intensitatea relaiei dintre variabile. De fapt, mrimea lui2este n funcie deN. Dac multiplicm frecvenele celulelor cu o constant, valoarea lui 2 se multiplic iea cu acea constant, singura consecin fiind aceea c se diminueaz probabilitatea cavaloarea respectiv s fie obinut din ntmplare. Pentru completarea interpretriivalorii 2 este necesar un indicator suplimentar, care s ne spun ceva i despreintensitatea legturii, nu doar despre semnificaia acesteia. Un astfel de indicator este

coeficientul (fi), care se calculeaz pentru asocierea variabilelor care prezintfiecare doar dou valori posibile (tabele de contingen 2x2).Formula dup care se calculeaz este:

Coeficientul Cramer

Coeficientul este adecvat doar pentru tabelele de contingen de tip 2x2,cnd ambele variabile sunt dihotomice. O uoar modificare a acestuia, denumit Cramer, l face utilizabil pentru intensitatea asocierii dintre variabile avnd un numrdiferit de categorii.

Yeates i const n scderea unei constante (0.5) din expresia de la numrtor, luatn valoare absolut:


10/15

unde: N este volumul eantionului L este valoarea cea mai mic dintre numrul liniilor sau al coloanelor

tabelului de coresponden (de exemplu, pentru un tabel decoresponden 4x3 - patru linii i patru coloane - L are valoarea 3-1=2).

n cazul coeficienilor , dac frecvenele fiecrei celule din tabelul decoresponden sunt multiplicate cu o constant, att 2 ct i N cresc concomitent, iarvaloarea coeficientului rmne aceeai. Coeficientul se modific numai dac semodific i raporturile dintre proporii, ceea ce nseamn c mrimea lui nu esteinfluenat de N. El reprezint un indicator numeric al intensitii relaiei i poate lua

valori ntre zero - absena relaiei i unu - relaie perfect ntre cele dou variabile. Deexemplu, pentru testul chi-ptrat al asocierii dintre gen i performana la testul destatistic (care a rezultat nesemnificativ), al crui tabel de coresponden este deforma 2x5, valoarea coeficientului c este:

Interpretarea coeficienilor

Valoarea coeficientului se asociaz interpretrii testului chi-ptrat, atuncicnd acesta este semnificativ, pentru a aduga o informaie suplimentar cu privire laintensitatea relaiei. Prin ridicarea la ptrat a expresiei de calcul, coeficientul 2 poatefi interpretat procentual, la fel ca i coeficientul de determinare (r2), indicnd proporiavariaiei unei variabile determinat de variaia celeilalte variabile. n cazul nostru,numai 0.4% (0.072*100) din variaia calificativelor la testul de statistic este explicat

prin diferena de gen (masculin/feminin), ceea ce, n conformitate cu decizia statistic,s-a dovedit a fi nesemnificativ.

n conformitate cu recomandrile lui Cohen, cit. de Kotrlik i Williams (2003),valorile lui vor fi interpretate dup cum urmeaz:

(Cohen) 0.10

0.250.40

efect mic

efect mediuefect mare

Raportarea rezultatului

n cazul testului 2 elementele care vor fi incluse n raport sunt urmtoarele:gradele de libertate, valoare testului, nivelul p i coeficientul sau Cramer . nvarianta narativ, pentru exemplul de mai sus, prezentarea rezultatelor ar putea aveaurmtoarea form:

Rezultatele testului de statistic, evaluate pe cinci clase valorice (A,B,C,D,E)au fost comparate pe sexe. Testul 2 pentru asocierea variabilelor indic faptul c

rezultatele nu difer semnificativ n funcie de gen,

2

(4) = 1.85, p >0 .05, cu uncoeficient =0.07, care indic o asociere slab.n cazul n care testul ar fi fost semnificativ, raportarea rezultatelor ar fi trebuit

s conin i referine cu privire la procentele consemnate n celulele tabelului decoresponden, astfel nct s fie scoase n eviden diferenele releavnte dintrecategoriile comparate.

Indicele Cramerse calculeaz du formula:


11/15

Testul exact Fisher

Aa cum am precizat, testul chi-ptrateste calculat pe baza unei formule alecrei rezultate nu urmeaz cu maxim precizie distribuia 2. Dac n cele mai multesituaii acest lucru nu reprezint un neajuns notabil, sunt si cazuri n care rezultatele

pot fi alterate suficient de mult pentru a putea fi luate n considerare: atunci cnd volumul eantionului este redus (N


12/15

conduc la respingere a ipotezei de nul. Diferenele mici, produc valori ale testuluchi-ptrat apropiate de zero, conducnd la acceptarea ipotezei de nul. Atuncicnd fiecare dintre cele dou variabile au doar dou categorii, situaie n carefrecvenele ateptate sunt prea mici pentru a justifica o estimare chi-ptrat, seutilizeaz testul exact Fischer.

EXERCIII

1. Pentru a verifica ipoteza c exist o legtur ntre numrul de internripsihiatrice i anotimp, au fost numrate internrile pentru fiecare anotimp, obinndu-seurmtoarele valori: primvara=30; vara=40; toamna=20; iarna=10. Testai ipoteza cinternrile psihiatrice sunt inegal distribuite n funcie de anotimp (pentru alfa=0.05).

2. ntr-un serviciu de psihologie clinic rezultatele mai multor psihologi nterapia unor pacieni cu tulburri severe au fost evaluate astfel: Ameliorare, Frmodificri, nrutire. rezultatele studiului se afl n tabelul alturat:

psih. A psih. B psih. C psih. D psih. Embunt ire 15 11 16 13 10

Nemodificat 5 3 0 4 6nrutire 0 6 4 3 4

Enunai ipoteza cercetrii i ipoteza de nul Gsii 2 critic pentru =0.01 Testai ipoteza i prezentai rezultatul n format standard Calculai i interpretai coeficientul c

Not: Ignorai faptul c dou din celulele tabelului au valoarea zero!

11/13


13/15

ntrebri pregtitoare pentru evaluarea parial

1. Care este coeficientul de determinare, dac r=-0.80?2. n cazul testului t pentru eantioane dependente, pe ce scar se exprim

valorile variabilei independente?3. Care este numele celui care a introdus testul de corelaie pentru date

parametrice?4. Care este valoarea lui r pentru o corelaie perfect?5. Care dintre urmtorii coeficieni de corelaie este semnificativ: r=-0.70

(p=0.05) sau r=+0.70 (p=0.05)?6. n ce caz o valoare a lui r apropiat de 0 (zero), indic, totui, existena unei

corelaii ntre variabile?7. Distribuia binomial este...8. Care este probabilitatea lui P pentru un eveniment dihotomic aleator

(DA/NU)?9. Care este echivalentul parametric al testului z pentru proporii?10. n cazul testului chi-ptrat, frecvena ateptat se refer la...

11. Testul chi-ptrat goodness-of-fit se utilizeaz pentru a...12. Care sunt caracteristicile distribuiei chi-ptrat?

12/13


14/15

Tabelul 2 (parial, pn la 30 de grade de libertate)4

df\aria .100 .050 .025 .010 .005

1 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944

2 4.60517 5.99146 7.37776 9.21034 10.59663

3 6.25139 7.81473 9.34840 11.34487 12.83816

4 7.77944 9.48773 11.14329 13.27670 14.86026

5 9.23636 11.07050 12.83250 15.08627 16.74960

6 10.64464 12.59159 14.44938 16.81189 18.54758

7 12.01704 14.06714 16.01276 18.47531 20.27774

8 13.36157 15.50731 17.53455 20.09024 21.95495

9 14.68366 16.91898 19.02277 21.66599 23.58935

10 15.98718 18.30704 20.48318 23.20925 25.18818

11 17.27501 19.67514 21.92005 24.72497 26.75685

12 18.54935 21.02607 23.33666 26.21697 28.29952

13 19.81193 22.36203 24.73560 27.68825 29.81947

14 21.06414 23.68479 26.11895 29.14124 31.31935

15 22.30713 24.99579 27.48839 30.57791 32.80132

16 23.54183 26.29623 28.84535 31.99993 34.2671917 24.76904 27.58711 30.19101 33.40866 35.71847

18 25.98942 28.86930 31.52638 34.80531 37.15645

19 27.20357 30.14353 32.85233 36.19087 38.58226

20 28.41198 31.41043 34.16961 37.56623 39.99685

21 29.61509 32.67057 35.47888 38.93217 41.40106

22 30.81328 33.92444 36.78071 40.28936 42.79565

23 32.00690 35.17246 38.07563 41.63840 44.1812824 33.19624 36.41503 39.36408 42.97982 45.55851

25 34.38159 37.65248 40.64647 44.31410 46.92789

26 35.56317 38.88514 41.92317 45.64168 48.28988

27 36.74122 40.11327 43.19451 46.96294 49.64492

28 37.91592 41.33714 44.46079 48.27824 50.99338

29 39.08747 42.55697 45.72229 49.58788 52.33562

30 40.25602 43.77297 46.97924 50.89218 53.67196


15/15

Documents

Seminar 13 - statistica psihologica