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• MAE 3401 – Modeling and Simulation

SECTION 5: LAPLACE  TRANSFORMS

• K. Webb MAE 3401

This section of notes contains an introduction to Laplace transforms. This should mostly be a review of material covered in your differential equations course.

Introduction – Transforms2

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Transforms

 What is a transform?  A mapping of a mathematical function from one domain to  another

 A change in perspective not a change of the function

 Why use transforms?  Some mathematical problems are difficult to solve in their  natural domain  Transform to and solve in a new domain, where the problem is  simplified

 Transform back to the original domain

 Trade off the extra effort of transforming/inverse‐ transforming for simplification of the solution procedure

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Transform Example – Slide Rules

 Slide rules make use of a logarithmic transform

 Multiplication/division of large numbers is difficult  Transform the numbers to the logarithmic domain   Add/subtract (easy) in the log domain to multiply/divide  (difficult) in the linear domain

 Apply the inverse transform to get back to the original  domain

 Extra effort is required, but the problem is simplified

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Laplace Transforms5

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Laplace Transforms

 An integral transform mapping functions from the time  domain to the Laplace domain or s‐domain

 Time‐domain functions are functions of time,

 Laplace‐domain functions are functions of

 is a complex variable

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Laplace Transforms – Motivation

 We’ll use Laplace transforms to solve differential  equations

 Differential equations in the time domain   difficult to solve

 Apply the Laplace transform  Transform to the s‐domain

 Differential equations become algebraic equations  easy to solve

 Transform the s‐domain solution back to the time domain

 Transforming back and forth requires extra effort, but  the solution is greatly simplified

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Laplace Transform

 Laplace Transform:

(1)

 Unilateral or one‐sided transform  Lower limit of integration is   Assumed that the time domain function is zero for all  negative time, i.e.

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In the following section of notes, we’ll derive a  few important properties of the Laplace  transform.

Laplace Transform Properties9

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Laplace Transform – Linearity

 Say we have two time‐domain functions: and

 Applying the transform definition, (1)

∙ ∙

(2)

 The Laplace transform is a linear operation

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Laplace Transform of a Derivative

 Of particular interest, given that we want to use Laplace  transform to solve differential equations

 Use integration by parts to evaluate

 Let  and

then

and

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Laplace Transform of a Derivative

0 0 0

 The Laplace transform of the derivative of a  function is the Laplace transform of that function  multiplied by  minus the initial value of that  function

(3)

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Higher‐Order Derivatives

 The Laplace transform of a second derivative is

0 0 (4)

 In general, the Laplace transform of the  derivative of a function is given by

0 0 ⋯ 0 (5)

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Laplace Transform of an Integral

 The Laplace Transform of a definite integral of a  function is given by

(6)

 Differentiation in the time domain corresponds to  multiplication by  in the Laplace domain

 Integration in the time domain corresponds to  division by  in the Laplace domain

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Next, we’ll derive the Laplace transform of  some common mathematical functions

Laplace Transforms of Common  Functions

15

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Unit Step Function

 A useful and common way of characterizing a linear  system is with its step response  The system’s response (output) to a unit step input

 The unit step function or Heaviside step function:

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Unit Step Function – Laplace Transform

 Using the definition of the Laplace transform

1 1

1 0

1 1

 The Laplace transform of the unit step

(7)

 Note that the unilateral Laplace transform assumes that  the signal being transformed is zero for   Equivalent to multiplying any signal by a unit step

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Unit Ramp Function

 The unit ramp function is a useful input signal for  evaluating how well a system tracks a constantly‐ increasing input

 The unit ramp function:

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Unit Ramp Function – Laplace Transform

 Could easily evaluate the transform integral  Requires integration by parts

 Alternatively, recognize the relationship between  the unit ramp and the unit step  Unit ramp is the integral of the unit step

 Apply the integration property, (6)

1 1 ∙ 1

(8)

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Exponential – Laplace Transform

 Exponentials are common components of the  responses of dynamic systems

0 1

(9)

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Sinusoidal functions

 Another class of commonly occurring signals, when  dealing with dynamic systems, is sinusoidal signals – both  and

 Recall Euler’s formula

 From which it follows that

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22

Sinusoidal functions

sin 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 0

1 1 2 0

1 1 2

2

(10)

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Sinusoidal functions

 It can similarly be shown that

(11)

 Note that for neither  nor  is the  function equal to zero for  as the Laplace  transform assumes

 Really, what we’ve derived is

1 ∙ sin and       1 ∙ cos

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More Properties and Theorems24

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Multiplication by an Exponential,

 We’ve seen that

 What if another function is multiplied by the  decaying exponential term?

 This is just the Laplace transform of  with  replaced by

(12)

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Decaying Sinusoids

 The Laplace transform of a sinusoid is

sin

 And, multiplication by an decaying exponential,  , results in a substitution of  for  , so

and

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Time Shifting

 Consider a time‐domain  function,

 To Laplace transform  we’ve assumed  0 for

0, or equivalently  multiplied by 1

 To shift  by an amount,  , in time, we must also

multiply by a shifted step  function, 1

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Time Shifting – Laplace Transform

 The transform of the shifted function is given by

∙ 1

 Performing a change of variables, let

and

 The transform becomes

∙ 1

 A shift by  in the time domain corresponds to multiplication by  in the  Laplace domain

∙ 1 (13)

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Multiplication by time,

 The Laplace transform of a function multiplied by time:

(14)

 Consider a unit ramp function:

⋅ 1 1 1

 Or a parabola: ⋅

 In general !

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Initial and Final Value Theorems

 Initial Value Theorem  Can determine the initial value of a time‐domain signal or  function from its Laplace transform

(15)

 Final Value Theorem  Can determine the steady‐state value of a time‐domain  signal or function from its Laplace transform

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