Escola Profissional Gustave Eiffel Matemtica 2010/2011 Professora: Ana Pires Mdulo 7 Probabilidades Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 2 ndice Termos e conceitos probabilsticos ........................................................................................3 Conjuntos. Operaes com conjuntos e Leis de Morgan......................................................3 Termos e Conceitos probabilsticos ....................................................................................6 Operaes com acontecimentos........................................................................................9 Definio frequncista de probabilidade ..........................................................................11 Definio clssica de probabilidade .................................................................................13 Probabilidade em experincias compostas .......................................................................17 Probabilidade em experincias compostas .......................................................................21 Definio axiomtica de probabilidade de probabilidade. Probabilidade condicionada. Acontecimento independentes ...........................................................................................24 Definio axiomtica de probabilidade ............................................................................24 Probabilidade Condicionada ............................................................................................28 Acontecimentos independentes ......................................................................................34 Probabilidade Condicionada e axiomtica ........................................................................38 Anlise combinatria ..........................................................................................................42 Princpio fundamental da contagem ................................................................................42 Factorial de um nmero natural n....................................................................................45 Permutaes ..................................................................................................................46 Arranjos sem repetio ...................................................................................................51 Arranjos com repetio ...................................................................................................54 Combinaes..................................................................................................................56 Como resolver problemas variados ..................................................................................60 Tringulo de Pascal .........................................................................................................62 Binmio de Newton ........................................................................................................63 Distribuio de probabilidades. Curva norma .......................................................................65 Distribuio de probabilidades ........................................................................................65 Mdia e desvio-padro ................................................................................................66 Curva normal..................................................................................................................66 Exerccios propostos ...........................................................................................................70 Bibliografia.........................................................................................................................77 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 3 Termos e conceitos probabilsticos Conjuntos. Operaes com conjuntos eLeis de Morgan Cardinal de um conjunto Ao nmero de elementos de um conjunti chama-se cardinal do conjunto e representa-se pelo smbolo # (l-se: cardinal). Igualdade entre conjuntos A={2,3,5}={nmerosprimos menores do que 7} Subconjunto de um conjunto Reunio e interseco de conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {2,3,5} AB = {1,2,3,4,5} e AB = {2,3} Conjuntos disjuntos A e B so Conjuntos disjuntos se AB = Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 4 Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5} AB =A e B so conjuntos disjuntos Propriedades das operaes com conjuntos Complementar de um conjunto OcomplementardeumconjuntoA representa-se por

Complementar de um conjunto relativo a outro Sejam A e B dois conjuntos. O complementar de B relativamente a A representa-se por A\B e tem-se: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 5 Leis de Morgan Sejam A e B dois conjuntos quaisquer: Exemplo 1: Mostra que: Resoluo: 1.1) 1.2) 1.3) 1.1) 1.2) 1.3) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 6 Exemplo 2 Seja S o conjunto universal eS = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 1, 3, 5, 7} B = {2, 4, 6, 8} C = {5, 6, 7, 8, 9} Representa em extenso: 2.1)AB;2.6)BC; 2.2)AB;2.7)

; 2.3)AC;2.8)

; 2.4)AC;2.9)A(BC); 2.5)BC2.10)((

)

). Resoluo: 2.1)AB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}2.6)BC = {6, 8} 2.2)AB = { }2.7)

= {9} 2.3)AC = = {5, 7}2.8)

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.4)AC = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}2.9) A(BC) = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8} 2.5)BC = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}2.10)((

)

) = {2, 3, 4, 8, 9} Termos e Conceitos probabilsticos Considera as duas experincias seguintes: Deitar uma pedra para um tanque cheio de gua; Lanar uma moeda de 1. Antes da realizao da primeira experincia pode-se prever o resultado que vai acontecer: a pedra vai ao fundo do tanque. Neste caso estamos perante uma experincia determinista (ou causal). Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 7 Antesda realizaodasegunda experincianopodemosprevero resultado quevaiacontecer.Isto,nopodemosgarantirsesaifaceouportuguesa. Neste caso estamos perante uma experincia aleatria (ou casual). Experincias deterministas Caracterizam-seporproduziremomesmoresultado,desdequesejam repetidas sob as mesmas condies. Portanto, s tm um resultado possvel. Experincias aleatrias Caracterizam-sepelaimpossibilidadedepreveroresultadoqueseobtm, ainda que as experincias sejam realizadas nas mesmas condies. Ateoriadasprobabilidadesocupa-sedoestudodasleisqueregemos fenmenoscujoresultadodependedoacaso.Porisso,sasexperincias aleatrias interessam ao estudo das probabilidades. A experincia aleatria uma experincia -poderepetir-seumndevezestograndequantosedesejea experincia,nasmesmascondies,ou,pelomenos,emcondies muito semelhantes; -so conhecidos os resultados possveis; -oresultadoindividual,emcadarepetio,nopodeserexactamente previsto; -humaregularidade estatstica,quandoobservadososresultadosde umalongasriaderepeties,emboraaocorrnciadosresultados individuaissemostreirregular,apontodetornarineficazqualquer tentativa de previso. Exemplos de experincia aleatrias: oLanamentodeumdado e registodo ndepontosobtidonafaceque fica voltada para cima; oLanamento de uma moeda e observao do lado que fica para cima; oExtracodeumacartadeumbaralhoeanotaodassuas caractersticas; oLanamento de dois dados e anotao do par de pontos obtidos; Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 8 oMedio do tempo que esperamos peloautocarro quando vamos para a escola; oPerguntar a uma pessoa ao acaso quantos irmos tem; oDestravar o carro numa rua com uma grande inclinao No so experincias aleatrias, por exemplo: o Colocarumabarradeferrosobreumachapaembrasadurante5 minutos e observar a barra a aquecer; o Atirar ao cho uma lmpada de vidro e verificar se partiu. Espao de resultados Ao conjunto formado por todos os resultados possveis de uma experincia aleatria chama-se espao de resultados. Representa-se por O ou S. (Tambm se pode chamar ao espao de resultados, espao amostral, espao de acontecimentos ou universo amostral). Oespaoderesultadospodeserdiscretooucontnuo.Sestudamos espaos de resultados discretos e finitos, ou seja, aqueles que tm um n fi nito de elementos. Acontecimentos Num saco temos 3 bolas azuis e 1 verde. Retirou-sedosacoumabolaeregistou-seacor.Qualoespaode resultados? Paranocometermos erros,omelhor numerar asbolasazuis.Temos, ento: S = { A1, A2, A3, V } Consideremos os seguintes subconjuntos de S: A: sair bola azulB: sair bola verde A = { A1, A2, A3 } B = { V } A qualquer subconjunto de S chamamos acontecimento Acontecimentodeumaexperinciaaleatriacadaumdos subconjuntos do espao amostral. Alguns dos acontecimentos tm nomes especficos: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 9 Acontecimentoelementardizemosquesetratadeumacontecimento elementarseoresultadodeumaexperinciaconstadeumselementodo espao amostral. Exemplo:NouniversoS={A1,A2,A3,V},B={V}umacontecimento elementar. Acontecimentocompostodizemosquesetratadeumacontecimento composto se o resultado de uma experincia consta de dois ou mais elementos do espao amostral. Exemplo: No universo S = { A1, A2, A3, V }, A = { A1, A2, A3 } um acontecimento composto. Acontecimento certo dizemos que se trata de um acontecimento certo se o resultadodeumaexperinciaconstadetodososelementosdoespao amostral. Exemplo: Consideremos o acontecimento C: sair uma bola colorida C = { A1, A2, A3, V } Nesta experincia C um acontecimento certo porque C = O. Acontecimentoimpossvelseoresultadodeumaexperincianotem qualquerelementodoespaoamostral,dizsequesetratadeum acontecimento impossvel. Exemplo: Consideremos o acontecimento D: sair uma bola vermelha D = C Neste caso, D um acontecimento impossvel porque D = C. Operaes com acontecimentos Acontecimentos incompatveis e acontecimentos contrrios Na experinciade lanarumdado,numeradode1a6, e registara face voltada para cima, consideremos os acontecimentos A, B e C: A: obter um n par; Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 10 B: obter um n mpar; C: obter um n par maior que 2. Recorrendo a operaes com conjuntos, podemos a partir dos acontecimentos dados definir novos acontecimentos. Assim, tem-se, por exemplo: AB: obter um n par ou mparAB = { 2, 4, 6 }{ 1, 3, 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }(Acontecimento certo) AB: obter um n par e mpar AB = { 2, 4, 6 } { 1, 3, 5 } = C(Acontecimento impossvel) BC: obter um n mpar ou par maior do que 2 BC = { 1, 3, 5 }{ 4, 6 } = { 1, 3, 4, 5, 6 } BC: obter um n mpar e par maior do que 2 BC = { 1, 3, 5 } { 4, 6 } = C(Acontecimento impossvel) ComoABumacontecimentoimpossvel,osacontecimentosAeB dizem-seincompatveis.Analogamente,osacontecimentosBeCtambm so incompatveis. Dois acontecimentos, X e Y,dizem-seincompatveisse a suaverificao simultnea for o acontecimento impossvel, ou seja, XY = C. No caso dos acontecimentos A e B, alm de serem incompatveis (AB = C), verifica-sequeABumacontecimentocerto(AB=O).Poressarazo, tambm se chama a A e B acontecimentos contrrios. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 11 O acontecimento contrrio do acontecimento X resulta da sua negao e representa-se porX. Na tabela seguinte faz-se uma sntese das relaes entre acontecimentos. Definio frequncista de probabilidade Experincia 1: Tinhamos10pregostodosiguais.O acontecimento atirarospregos para uma mesa e registar o nmero de pregos que ficam com o bico para cima. Com os dados da tabela construiu-se o seguinte grfico: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 12 Experincia 2: Consideramos a experincia aleatria:lanamento de uma moeda de 1 euro ao ar. Realizadas vrias vezes a experincia e calculadas as frequncias doacontecimentoSaircaradamoeda,observaram-seosresultadosda tabela seguinte: Resultados do lanamento de uma moeda: Considerando as variveis nmero de lanamentos e frequncia relativa do acontecimento Sair Face, podemos construir o seguinte grfico de linhas:

Feitas estasduas experincias,vejamosoque elastm emcomum ede diferente. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 13 oAsfrequnciasrelativasdosacontecimentostendema estabilizar-se volta de um valor. oNaprimeiraexperincianopodiamos,antesdearealizar,prevero valor volta do qual a frequncia relativa se veio a estabilizar. oNa segunda experincia podamos esperar que o valor volta do qual a frequncia relativa se vinha a estabilizar era 0,5. Aovalor0,25paraa1experinciae0,5na2experinciachama-se probabilidade do acontecimento. Lei dos grandes nmeros Aonumerovoltadoqualestabilizaafrequnciarelativadeum acontecimentoquandoonumeroderepetiesdaexperienciacresce consideravelmente chama-se probabilidade do acontecimento. Definio clssica deprobabilidade Aprimeiradefinioqueseconhecedeprobabilidadefoienunciadapor Laplace(1749-1827).Estadefiniospodeseraplicadaquandoos acontecimentos elementares so igualmente provveis (equiprovveis). Assim, no podemos calcular a probabilidade de uma carica ficar voltada para cima usandoestalei.Neste,eemmuitosoutroscasos,teramosderecorrer experincia.Nocasodelanamentodedados,deextracodebolas,de lanamento de moedas, de extraco de cartas de um baralho e em todas as situaes emqueos acontecimentos elementaresso equiprovveispodemos calcular, com vantagem, a probabilidade sem recurso experincia usando a definio clssica de probabilidades. Lei de Laplace a probabilidade de um acontecimento A igual ao quociente entre o n de casos favorveis ao acontecimento e o n de casos possveis. Ou seja, ()possveis casos de nA nto acontecime ao favorveis casos de nA P = Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 14 Probabilidade da reunio de 2 acontecimentos: -Acontecimentos compatveis: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) -Acontecimentos incompatveis: se AB = C, temos que P(AB) = 0. Logo: P(AB) = P(A) + P(B). Se A, B e C so incompatveis, tambm P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C). Probabilidade do acontecimento contrrio: P(A) = 1- P( A) (Estapropriedadeteminteresseporquemuitasvezesmaisfcil calcular a probabilidade deA do que a probabilidade de A. Normalmente esta situaoverifica-sequandonadefiniodoacontecimentoseutilizaa expresso pelo menos). Exemplo 3 Numa caixa forma colocados 10 cartoes numerados como indica a figura: Um dos cartes vai ser retirado ao acaso. Calcula a probabilidade de sair um carto com o nmero: 3.1) 9 3.2) 1 3.3) 7 Resoluo: 2.1) 2.2) 2.3) Exemplo 4 Os nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 so igualmente provveis quando se roda o rapa da figura: Rodou-se o rapa uma vez. Qual a probabilidade de: 4.1) obter o nmero 5? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 15 4.2) No sair o nmero 5. Resoluo: 4.1) 4.2) Exemplo 5 Numsacohbolasdetrscores:5brancas,3 pretas e 6 amarelas. Uma bola retirada do saco ao acaso. Qual a probabilidade da bola ser: 5.1) branca? 5.2) preta? 5.3) branca ou preta? 5.4.) branca ou amarela? Resoluo: 5.1) 5.2) 5.3) 5.4) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 16 Exemplo 6 Rodou-se o rapa da figura Qualquerumdosnmeros1,2,3ou4temigual probabilidade de sair. Consideram-se os acontecimentos: A: Sair nmero primo; B: sair mltiplo de 4; C: sair divisor de 8. 6.1) Define os acontecimentos AB e A B. 6.2) Calcula: P (A); P (B); P (AB); P (A C). Resoluo: 6.1) 6.2) Exemplo 7 Interrogaram-se200donasdecasaacercadautilizaodedois detergentes: D1 e D2. 80 Pessoas declararam utilizar D1 60 Pessoas declararam utilizar D2 20 Pessoas declaram utilizar D1 e D2 Escolhe-se uma pessoa uma pessoa ao acaso. Qual a probabilidade de ela: 7.1) Utilizar pelo menos um dos detergentes? 7.2) No utilizar nenhum dos detergentes?7.3) Utilizar apenas o detergente D2? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 17 Resoluo: Na resoluo deste problema vamos utilizar um diagrama de Venn. Observando o diagrama, a resposta fica facilitada. Assim: 7.1) 7.2) 7.3) Probabilidade em experincias compostas Lanar dois dados, um dado e uma moeda, retirar de um saco mais do queumabola,etc.,soexperienciasqueenvolvemmaisdoqueuma experiencia simples. Por isso chamam-se experincias compostas. Astabelasdeduplaentradasoteisparaidentificartodasas possibilidades de sadas quando se trar de duas experiencias simples. Osdiagramasdervoresusam-separaomesmoefeito,maspodemser utilizados para duas ou mais experiencias. Exemplo 8 lanar um dado e uma moeda Lana-se um dado e uma moeda. 8.1) Quantos casos possveis h de sadas? 8.2) Calcula e probabilidade de sair: 8.2.1) Um cinco e coroa; 8.2.2) Um nmero mpar e coroa. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 18 Resoluo: 8.1) 123456 CC1C2C3C4C5C6 EE1E2E3E4E5E6 Observando a tabela conclui-se que h 2 x 6 = 12 casos possveis. 8.2.1) P (cinco e coroa) =

Pode calcular-se esta probabilidade atravs do produto das probabilidades de sair 5 e sair coroa: P (5) =

; P (coroa) =

; P (5 e coroa) =

x

=

8.2.2) P (mpar e coroa) =

x

=

Exemplo 9 Recorre-seexperienciaoAntnioconcluique probabilidadedeacertarcomodardonocentrodeumalvo era de 0,3. 9.1) Calcula a probabilidade de o Antnio atirar uma ser e no acertar no alvo. 9.2) O Antnio atirou dois dardos. 9.2.1) Constri um diagrama de rvore que descrever a situao. 9.2.2)Usaodiagramadervorequeconstituiparacalculara probabilidade do Antnio acertar: a) Com os dois dardos no centro do alvo; b) Apenas com um dos dados no centro do alvo. Resoluo: 9.1) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 19 Exemplo 10 Lanam-se dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de sair nmero mpar num dado e nmero par no outro dado? Resoluo: 9.2.1) 9.2.2)a) b) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 20 Aprobabilidadedesairnmeromparnosdoisdados. Esta probabilidade igual para o caso de sarem ambos nmeros pares. No caso de sair mpar e par pode sair mpar no 1 dado e par no 2 dado ou sair par no 1 dado e mpar no 2 dado. Assim, tem-se: Logo, a probabilidade perdida . Exemplo 11 Consideraquenasceuumrapaz igualmenteprovvelanasceruma rapariga. Calcule a probabilidade de um casal que tem trs filhos ter: 11.1) trs rapazes; 11.2) dois rapazes e uma rapariga. Resoluo: Consideram-se os acontecimentos A: nascer um rapaz B: nascer uma rapariga Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 21 O diagrama de rvore ajuda no clculo da probabilidade perdida: 11.1)Casos possveis: 8 Casos favorveis: 1 Logo, 11.2)Casos possveis: 8 Casos favorveis: 3 Logo, Probabilidade em experincias compostas Emproblemasanterioresjsurgiramsituaesdeexperinciasque envolviammaisdoqueumaexperinciasimples:lanar2dados,lanar3 moedas, tirar de um saco sucessivamente 3 bolas, ... Vamos aprofundar mtodos para a resoluo deste tipo de problemas. Consideremos a situao: Temos um saco com 5 fichas brancas e 3 pretas. Retirmosumafichadosacoetommosnotadacor,colocmosde novo a ficha no saco e retirmos nova ficha. Qual a probabilidade das duas fichas serem pretas? Esta experincia composta por duas experincias simples. Paracalcularmosaprobabilidadenestassituaes,procuramoso mtodo mais conveniente para contar os casos favorveis e os casos possveis. Vamos resolver este problema por trs mtodos diferentes. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 22 1 Mtodo Vamosconstruirumatabeladeduplaentradaparacontarmososcasos favorveis e os casos possveis: 1 ficha 2 ficha 2 Mtodo Contagem dos casos possveis: 1 tiragem2 tiragem 88 =64 Contagem dos casos favorveis: 1 tiragem2 tiragem 3 3 =9 Logo, P (sarem 2 fichas pretas) = 649 3 Mtodo No diagrama seguinte vamos representar as probabilidades correspondentes a cada uma das tiragens. BBBBBPPP BBBBBBBBBBBPBPBPB BBBBBBBBBBBPBPBPB BBBBBBBBBBBPBPBPB BBBBBBBBBBBPBPBPB BBBBBBBBBBBPBPBPB PBPBPBPBPBPPPPPPP PBPBPBPBPBPPPPPPP PBPBPBPBPBPPPPPPP Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 23 Para determinarmos a probabilidade das duas serem pretas, pensamos assim: Em 83 dos casos a 1 ficha preta e a 2 ficha tambm preta em 83 dos 83 dos casos. Como 8383 = 649. Logo, P(sarem 2 fichas pretas) = 649. Nota: O3mtodopodetervantagemseacercadomesmoproblemase perguntarem vrias hipteses. Por exemplo, determine a probabilidade de: -as duas fichas serem brancas; -as duas fichas serem de cor diferente; -as duas fichas serem da mesma cor. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 24 Definio axiomtica de probabilidade de probabilidade. Probabilidade condicionada. Acontecimento independentes Definio axiomtica de probabilidade Axiomas e Teoremas Axiomas so proposies, sugeridas pela nossa intuio ou experiencia, que no se demonstram e se aceitam como verdadeiras. Provaroudemonstrarumaproposiomostrar,usandoraciocnios lgicos, que ela resulta de outras consideradas verdadeiras. Teoremas so proposies que se demonstram a partir dos axiomas ou de outras proposies j demonstradas. Axioma das probabilidades: Axioma 1 - A probabilidade de um acontecimento um nmero no negativo. () 0 A P >Axioma 2 - A probabilidade do acontecimento certo 1. ( ) 1 S P =(S o acontecimento certo) Axioma3-Aprobabilidadedareuniodedoisacontecimentosdisjuntos igual soma das probabilidades desses acontecimentos. Se= B A , ento( ) () ( ) B P A P B A P + = Teorema 1 - A probabilidade do acontecimento impossvel zero. () 0 P =Teorema2- A probabilidade de qualquer acontecimento A um nmero no intervalo| | 1 , 0 . () 1 A P 0 s sTeorema3-AprobabilidadedoacontecimentocontrrioA igual diferena entre 1 e a probabilidade de A. ( ) () A P 1 A P = Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 25 Teorema 4 Lei de Laplace AprobabilidadedeumacontecimentoAcoincidecomoquocienteentreo nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis sempre que todos os acontecimentos elementares so equivocveis e incompatveis. P (A) = m/ n Teorema 5 - Probabilidade da reunio de dois acontecimentos ( ) () ( ) ( ) B A P B P A P B A P + = Exemplo 12 De um baralho de 52 cartas retirou-se ao acaso uma carta. Calcula a probabilidade de: 12.1) Um s ou um duque; 12.2) Um s ou uma copa. Resoluo: 12.1) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 26 12.2) Exemplo 13 Numestudoestatsticofeitonumacidade,concluiu-seque60%das pessoas lem regularmente o jornal A, 30% lem o jornal B e 85% lem pelo mesmo um destes jornais.Seseleccionamosumadaspessoasdacidadeaoacaso,quala probabilidade de esta ler regularmente os dois jornais? Resoluo: Utilizando um diagrama de Venn Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 27 Exemplo 14 De dois acontecimentos A e B, resultantes de uma mesma experincia aleatria sabe-se que: 14.1) Determina P(A) e P(B). 14.2) Averigua se os acontecimentos A e B so incompatveis ou contrrios. Resoluo: 14.1) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 28 14.2) Probabilidade Condicionada Exemplo 15 Dos100alunosquefrequentamumcentrodeexplicaes40tm explicaes a matemtica, 25 de Fsica e 5 de Matemtica e Fsica. No diagrama de Venn seguinte est representado a situao. M = {alunos que tm explicao a Matemtica} F = {alunos que tm explicao a Fsica} C = {alunos que frequentam o centro de explicaes} Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 29 Encontra-se um dos 100 alunos ao acaso. 15.1)QualaprobabilidadedeeleterexplicaesdeMatemticae Fsica? Tem-se: 15.2)Numasalaencontram-seos25alunosquetmexplicaesa Fsica e seleccionando,ao acaso,umdestes25alunos,qualaprobabilidade de este ter tambm explicao a Matemtica? Ouseja,qualaprobabilidadede eleter explicaes aMatemticadadoque tem de fsica? De um modo geral, tem-se: Partindo de dois acontecimentos A e B, sendo P(B)0. Representa-se por P(A/B)= a probabilidade de ocorrncia de A, na hiptese de B se ter realizado, : Exemplo 16 Observa o diagrama de Vem, ao lado. Oconjuntoderesultadosconstitudapor12 acontecimentos elementares igualmente provveis. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 30 De acordo com o diagrama calcula: P (A); P(B); P(A\B); e P (B/A). Resoluo: Exerccio 17 Paraangariarfundosparaumaviagemdeestudo,aturmadaAna organizouumsorteioemqueoprmioeraumlivro.Fizeram-se80rifas numeradas de 0 a 79 e a Ana comprou os nmeros 1, 11, 21, 31 e 34. 17.1) Qual a probabilidade da Ana ganhar o livro? 17.2) calcula a probabilidade da Ana ganhar o livro dado que: a) saiu um nmero maior do que 50; b) sair um nmero menor do que 30. Resoluo: 17.1) Foram feitos 80 bilhetes e a Ana comprou cinco. A probabilidade da Ana ganhar o livro : 17.2)Pararesolverqualquerdasquestesapresentadaspode-seaplicar directamenteadefiniodeprobabilidadefazendocontagemdoscasos possveisedoscasosfavorveisouusar-seadefiniodeprobabilidade condicionada. Seja: A: sair um acontecimento 1, 11, 21, 31 ou 34 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 31 a)B: Sair um nmero maior do que 50 b)B: Sair um nmero menor do que 30 Exerccio 18 Naroletadasorte, representadanafigura, igualmentepossvelsair qualquer um dos nmeros de 1 a 8 nela representados. Roda-se a roleta uma vez. 18.1) Qual a probabilidade de sair o nmero 6? 18.2)Sabendoquesaiuumnmeropar,quala probabilidade de sair o 6? Resoluo: 18.1) A probabilidade de sair o 6 1/8 (1 caso favorvel, 8 casos possveis). 18.2) A probabilidade de sair o nmero 6 dado que saiu um nmero par (1 caso favorvel, 4 casos possveis). Estaprobabilidadepodeserobtidausandoadefiniodeprobabilidade condicionada. Sejam os acontecimentos A: sair 6; A = {6} B: sair nmero par; B = {2, 4, 6, 8}; AB = {6} Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 32 Exemplo 19 Numacaixah3bolaspretase5bolas brancas.Tira-se,aoacaso,umabolada caixa e esconde-se. A seguir, uma bola tirada da caixa. 19.1) Qual a probabilidade da segunda bola tirada ser preta sabendo que a primeira bola ser preta? 19.2)Qualaprobabilidadedasegundabolaserbrancasabendoquea primeira bola era preta? 19.3)Qualaprobabilidadedasegundabolaserbrancasabendoquea primeira bola era branca? 19.4) Qual a probabilidade das duas bolas serem brancas? Resoluo: Usando um diagrama em rvore 18.1) 18.3) 18.2) 18.4) Qualquerumadastrsprimeirasquestespodemserresolvidas aplicando a definio Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 33 Sejam os acontecimentos: A: A primeira bola preta; B: A segunda bola preta; Exemplo 20 Duas caixas, C1 e C2 tm bolas verdes e azuis. Na caixa C1 h 3 verdes e uma azul e na caixa C2 h 2 verdes e 4 azuis. Escolhe-se uma caixa ao acaso e retira-se uma bola. 20.1) Calcula a probabilidade de a bola ser verde; 20.2) Verificou-se que saiu verde. Qual a probabilidade de ter sado da caixa C2? Resoluo: 20.1) Sejam os acontecimentos: C1: sada da caixa C1; C2: sada da caixa C2; V: Saida da bola verde. Tem-se: Nas duas caixas h bolas verdes, assim a probabili dade de sair bola verde : Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 34 20.2) Pretende-se calcular P (C2/V) Logo, a probabilidade da bola ter sado sa caixa C2 dado que saiu verde Acontecimentos independentes Oconceitodeindependnciaumdosmaisimportantesem probabilidades. Doisacontecimentossoindependentesquandoarealizaodeum deles no interfere na probabilidade da realizao do outro Se A e B so independentes, ento possvel substituir P(A/B) por P(A) na frmula: E obtm-se: Assim sendo, tambm se pode definir acontecimentos independestes do seguinte modo: Deummodogeral,seA1,A2,,Nasonacontecimentos independentes, ento: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 35 Exemplo 21 Lanam-se dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de no primeiro dado sair um nmero par eno segundo sair um nmero mpar? Resoluo: Exemplo 22 Em dois lanamentos sucessivos de umdado, com as faces numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de sair duas vezes o nmero 1? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 36 Exemplo 23 Numacaixah10amndoasamarelase12 amndoas brancas. Retirou-se uma amndoa da caixa e comeu-se. Retirou-se outra amndoa da caixa. Qualaprobabilidadedasegundaamndoaser branca se a primeira era amarela? Resoluo: Sejam os acontecimentos: A: tirar amndoas amarelas; B: tirar amndoas branca; Ao acontecimentos no so independentes, O resultado da primeira tiragem afecta a segunda tiragem.Como podemos observar no seguinte diagrama, Aprobabilidadedasegundaserbrancadadoqueaprimeiraeraamarela 12/21. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 37 Exemplo 24 O Joo e a Ana tm cada um, na mo, um baralho com 52 cartas. Ambos vo tirar, sorte, uma carta do seu baralho. Qual a probabilidade de serem ambas de ouros? Resoluo: Sejam os acontecimentos: A: O Joo tira uma carta de ouros; B: A Ana tirar uma carta de ouros; Os acontecimentos so independentes, logo: Exemplo 25 Cinco amigas esto a festejar os anos de uma delas. Uma lembrou-se de perguntar qual o signo de cada uma. Qual a probabilidade de pelo menos duas delas terem o mesmo signo? Resoluo: Naresoluodoproblemavamosconsiderarqueigualmenteprovvelter qualquer um dos 12 signos. Sejam os acontecimentos: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 38 Logo,aprobabilidadedepelomenosdiasdelasteremomesmosigno aproximadamente 0,62. Probabilidade Condicionada e axiomtica SendoSoconjuntoderesultados ,vamos demonstrar que P (A\B) satisfaz os trs axiomas da teoria das probabilidades. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 39 Exemplo 26 Numa dada experiencia aleatria acerca dos acontecimentos A e B sabe-se que: Calcula: Resoluo: Exemplo 27 Um dado lanado. Determina a probabilidade de sair 1 sabendo que saiu nmero mpar. Resoluo: Seja A o acontecimento Sair 1 e B o acontecimento de Sair mpar. A = {1};B={ 1, 3, 4, 5, 6} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} AB = {1} Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 40 Exemplo 28 lanada uma moeda, em seguida lana-se um dado. Determina a probabilidade de obter o 1, dado que saiu a face cara volta para cima. Resoluo: SejaAo acontecimentoSairafacevoltadaparacima e Boacontecimento Sair 1. Exemplo 29 Lanam-se dois dados e verificou-se que os nmeros so diferentes. Determina a probabilidade da soma dos dois nmeros ser 5. Resoluo: Seja A o acontecimento sarem nmeros diferentes no lanamento de dois dados e B o acontecimento sa soma ser 5. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 41 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 42 Anlise combinatria Princpio fundamental da contagem Suponhamos que num grupo havia 6 pessoas. Trssfalamingls,duassfalamfrancs eumafala francs e ingls. Qualseraprobabilidadededoiselementosdogrupo escolhidos ao acaso podem conversar sem auxlio de intrprete? AplicandoaLeideLaplace,temosdecontaroscasospossveiseoscasos favorveis Casos possveis Temos 15 casos possveis. Casos favorveis Temos 9 casos favorveis. Logo a probabilidade pedida

. Paraaresoluodesteproblemapode-seusarumesquemapara facilitar a contagem.No caso de termos no um grupo de 6 pessoas mas um grupo de 200 complicado ou impossvel fazer um esquema, um diagrama de rvoreoutabela.Paraessescasososmatemticoscriarammtodosde contagem a que chamamos Anlise Combinatria. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 43 Paraoestudodaanlisecombinatriavoserintroduzidasnovas definiesesimbologias,masemqualquerprocessodecontagemusa-se sempre o princpio fundamentar da contagem. Se um acontecimento pode ocorrer de n1 maneiras diferentes e se, aps este acontecimento,umsegundopodeocorrerde n2maneirasdiferentes e, apseste,umterceiropodeocorrerden3maneirasdiferentes,entoo nmero de maneiras diferentes em que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada igual ao produto: n1 x n2 x n3 x Exemplo 30 A Ana esta no local A e pretende ir para C, mas para tal tem de passar pelo local B. De A para B h 4 percursos alternativos e de B para C h 2 percursos alternativos. Quantos percursos diferentes pode a Ana escolher? Resoluo: Aplicandooprincipiofundamentaldecontagem aAnatem4 x2=8 percursos diferentes. Utilizando um diagrama em rvore d igualmente 8 percursos. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 44 Exemplo 31 A Ana vai oferecer sua irm Eva uma das suas 12 bonecas de coleco e um dos seus 10 selos estrangeiros. Quantos presentes diferentes pode receber a Eva? Resoluo: A Eva pode receber 12 bonecas x 10 selos = 120 presentes. Exemplo 32 As turmas da Ana e do Joaquim so assim constitudas: RaparigasRapazesTotal Turma da Ana101222 Turma do Joaquim13720 Vai ser constituda uma comisso de dois elementos sendo um de cada turma, 32.1) Quantas comisses possvel formar? 32.2)Qualaprobabilidadedacomissoserconstitudapordois rapazes? 32.3) Qual a probabilidade da comisso ser constituda por um rapaz e uma rapariga? Resoluo: 32.1) H 22 x 20 = 440 comisses diferentes possveis. 32.2) P (dois rapazes) =

=

= 0,19 32.3) P (dois rapazes) =

+

=

= 0,51 Exemplo 33 O Joo esqueceu-se o cdigo do cofre. Sabe que tem exactamente as 6 letras de PODIAM, e que a 1 letra M e a 2 letra uma vogal. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 45 Quantas experinciasvaiterde fazer,setiveroazardesacertar na ltima? Resoluo: Logo h: 1 x 3 x 4 x 3 x 2 x 1= 72 experincias a fazer. Factorial de umnmero naturaln Chama-se factorial de um nmero natural n e representa-se por n! ao produto: n! = n (n-1) (n-2) x x 3 x 2 x 1. Aplicando a definio: 1! = 1 2! = 2 x 1 3! = 3 x 2 x 1 4! = 4 x 3 x 2 x 1 . 6! = 6 x 5! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7! = 7 x 6 x 5! Por conveno tem-se: 0! = 1 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 46 Exerccio 34 Simplifica os seguintes factoriais: 34.1) 34.2) 34.3) Resoluo: 34.1) 34.2) 34.3) Permutaes Numacorridadebicicletaparticiparamcincopessoas.Nohavendo empates, de quantas formas diferentes pode ficar a classificao final? Lugares a preencher 1 2 3 4 5 N de solues por lugar 5 4 3 2 1 Resposta: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! Ao nmero total de classificaes tambm se chamam Permutaes de cinco e escreve-se P5. P5 = 5! Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 47 De um modo geral: Chama-se permutao de n elementos a todas as sequncias diferentes que possvel obter com os n elementos. O nmero dessas sequncias representa-se por Pn (l-se Permutaes de n) Pn=n! Exerccio 35 Umtestede exametem6questes. Um estudantepode responder s questes segundo qualquer ordem. De quantos modos diferentes pode o estudante responder? Resoluo: Pretende-se calcular P6. P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Exerccio 36 Para colocar numa prateleira tem-se trs livros de Matemtica e quatro livros de Fsica. De quantas formas diferentes possvel colocar os livros: 36.1) Sem qualquer ordem especial? 36.2) Ficando juntos os livros de cada disciplina? Resoluo: 36.1) Ao todo tem-se 7 livros. Logo possvel formar 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 formas diferentes. 36.2) Tem-se 4! X 3! X 2! = 288 formas diferentes de colocar os livros Duas disciplinas Trs livros de Matemtica Quatro livros de Fsica Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 48 Exerccio 37 AAnavaiformarpalavrascomousemsentidousandoasletrasda palavra LOURES. 37.1) Quantas palavras diferentes possvel formar? 37.2)QuantaspalavraspossvelformarsealetraLsemprea primeira letra? 37.3)QuantaspalavrasdiferentespossvelformarsealetraS sempre a primeira e R a ltima. Resoluo: 37.1) A palavra LOURES constituda por 6 letras todas diferentes 6x5x4x3x2x1 Parao1lugartemos6hiptesesdeescolher,parao2lugartemos5 hiptese, para o 3 lugar temos 4 hipteses, etc P6 = 6! = 720 Palavras diferentes 37.2)SealetraLfixano1lugarrestamP5=5!=120possibilidadesde formar palavras diferentes. Lx5x4x3x2x1 P5 = 5! = 120 Possibilidades de formar palavras diferentes. 37.3) Fixamos as duas letras nos lugares Lx4x3x2x1xR Ficamos apenas com 4 letras livres para permutar. Logo temos P4 = 4! = 24 possibilidades de formar palavras diferentes. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 49 Exemplo 38 ComasletrasdapalavraSABADOquantaspalavrascomousemsentido possvel formar? Resoluo: A palavra SABADO tem 6 letras, mas duas delas so repetidas (a letra A aparece 2 vezes). Emprimeirolugarignoramosasrepetiesetemos6posiespara ocupar com 6 letras. Consideramos as duas letras A como sendo A1 e A2. Por exemplo: A1xA2xSxBxDxO Ou SxBxA1xA2xDxO Mas a troca de posio das letras A no origina palavras diferentes. Porisso,aoconsiderar-mos6!Cometemosumerro,poisconsideramos2! Vezes mais palavras do que na realidade existem. Assim, a soluo correcta : 6!/2! 2!X(nmerodepalavrascomasletrasA,A,S,B,DeO)=Nmerode palavras com as letras A1, A3, S, B, D e O.

Exemplo 39 Com as letras da palavra MATEMTICA, quantas palavras com ou sem sentido possvel formar? Resoluo: Nmero de letras da palavra = 10 Letra M = 2 Letra A = 3 Letra T = 2 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 50 Letra E = 1 Letra I = 1 Letra C = 1 Logo,h

=151200palavrasdiferentesquepossvel formar. Exemplo 40 Observa as figuras seguintes. A Ana est no local A e pretende ir para B. Em cada cruzamento tem de decidir se vai para a direita ou para cima. No primeiro esquema escolheu o percurso: D C D D C No segundo esquema escolheu o percurso: C D C D D Quantos percursos diferentes a Ana pode escolher? Resoluo: Na resoluo deste problema podemos fazer de forma os exerccios anteriores. Pode formar 5 caminhos. DxDxCxDxC Logo, temos:

percursos diferentes para fazer. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 51 Exemplo 41 Determina o nmero diferente de palavras que possvel formar com letrasda palavra AUGUSTA ficando as letras ST sempre juntas. Resoluo: Consideramos ST como uma nica letra. AUGUSTA 6 letras A 2 U 2 G 1 ST 1 Como ST tambm pode permutar ficando TS, a soluo :

x 2! Logo h 360 palavras diferentes com as letras S e T juntas. Arranjos sem repetio Numacorridaparticipamcincopessoas.Nohavendoempates,dequantas formas diferentes se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze? Lugares a preencher123 N de solues por lugar543 Resposta: 5 x 4 x 3 = 60 Ao nmero 60 tambm se chama arranjos sem repetio decinco trs a trs ou arranjos simples de cinco trs a trs e escreve-se: nAp = 5A3 = 5 x 4 x 3 = 120 De um modo geral Dados n elementos quaisquer, chama-se arranjos sem repetio de n elementos p e p a todas as sequncias que possvel obter com p elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados. O nmero de todas estas sequncias designa-se por nAp (l-se arranjos de n, p a p) Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 52 nAp = n (n-1) (n-2) (n-p+1) n, pN e np Da definio, deduz-se que: nAp =

nAp = Pn Exemplo 42 Um coleccionador de canecas tem um expositor com 11 lugares. Ele tem 14 canecas diferentes para colocar sendo 8 de fabrico nacional e 6 de fabrico estrangeiro. De quantas formas diferentes podem ser colocadas as canecas: 42.1) Sem qualquer restrio. 42.2) Se os primeiros 6 lugares so ocupadospor canecas nacionais e os restantes por canecas estrangeiras. Resoluo: 42.1) 14A11 =

42.2) Paraos6lugares tem8 canecas eparaosrestantes5 lugarestem6 canecas. Ento existem: 8A6 x 6A5 Exemplo 43 Uma equipadeonzejogadoresde futebolvai tirar uma fotografia colocando-se em duas filas. A fila superior tem 6 jogadores e a de baixo 5. O guarda-redes quer ficar na fila de baixo e os doisavanadosmaisaltosqueremficarnafila Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 53 superior. Quantas fotografias diferentes possvel tirar? Resoluo: Possibilidades para os dois avanados mais altos: 6A2 Possibilidade para o guarda-redes: 5A1=5 Os outros 11 -3 = 8 jogadores ocupam um lugar qualquer na fotografia. Logo h: 6A2 x 5 x P8 = 6 x 5 x 5 x 8! = 6048000 Possveis fotografias diferentes. Exemplo 44 ParavendernoS.Joo aAnavai fazerbandeiras comduasoutrscoresmastodascomtrsfaixas horizontais, como se mostra na figura. Ou a bandeira tem trs faixas de cores diferentes ou tem duasfaixaslateraisiguaiseafaixadomeiodecor diferente. SeaAnatemcartolinade5cores,quantas bandeiras diferentes pode fazer? Resoluo: Bandeiras com 3 cores: 5A3= 5 x 4 x 3 = 60 Bandeiras com 2 cores: 5A2= 5 x 4 = 20 Logo, a Ana pode fazer 60 + 20 = 80 bandeiras diferentes. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 54 Arranjos com repetio Considera os algarismos de 1 a 9. Quais e quantos so os nmeros de doisalgarismos que se podem escrever com os algarismos dados? E quantos so os de trs algarismos? Para se enumerarem os casos pode utilizar-se um diagrama em rvore: Qualquer um dos algarismos pode ocupar a 1 posio e, da mesma forma, para a 2 tambm h 9 possibilidades. Assim, conclui-se que possvel escrever 92 nos de dois algarismos com os novedados:soosnosinteirosentre11e99(includos),exceptoos terminados em zero. Sesequisessesaberquantosnosdedois algarismos possvel escrever com 1, 2 e 3, era mais simples: Havia 32 nos de dois algarismos escritos utilizando apenas 1, 2 e 3. Com um n reduzido de elementos mais fcil enumerar e contar os casos. Quandosepretenderesolverumproblemaondeaparecemmuitos elementos,podepensar-seoqueacontecerianumcasosemelhante,mas com poucos elementos e tentar concluir depois para o n maior. Nocasodesequerersaberquantosnosdetrs algarismossepodem escreverapartirdosnovedebase,arespostaimediata:h93 possibilidades(osnosnaturaisquevode111a999,exceptoos terminados em zero). Os elementos podem aparecer repetidos e tambm interessa considerar a ordem pela qual aparecem os algarismos, pois, naturalmente, o n 123 Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 55 diferente de 321, por exemplo. D-se o nome de arranjos com repetio dos novealgarismostomadostrsatrsssequnciasordenadasde3 elementos escolhidos entre 9 disponveis. Dados n elementos diferentes, chama-se arranjos com repetio de n elementos tomados p a p a todas as sequncias de p elementos, sendo estes diferentes ou no, que se podem formar com os n elementos. Representa-se por nAp e o seu valor dado por: nApl se arranjos com repetio de n elementos, p a p. nAp = np Os conjuntos A e B esto definidos em extenso: A = {Snia, Nuno} ; B = {azul, castanho, verde} Quantas funes de domnio A e o conjunto de chegada B se podem definir? H tantas funes quantas as sequncias de dois elementos (o n de alunos do conjunto A) que se podem formar com os trs elementos de B. Assim, o n de arranjos com repetio de n objectos, p a p, corresponde ao n total de aplicaes de um conjunto com p elementos num conjunto com n elementos. Exemplo 45 Comosalgarismos2,3,4,5,6e7,quantosnmerosdetrs algarismos possvel formar? Resoluo: 6A3 = 63 = 216 nmeros diferentes Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 56 Combinaes Dispondo de 3 rosas de cores diferentes branca, amarela e rosa podem fazer-se 3 ramos diferentes com 2 rosas: B A,A R,B R J se fossem 4 rosas as anteriores mais uma vermelha e se se quisesse ramos de 3 rosas, seria: B A R,B A V,A R V,B R V. Obter-se-iam 4 ramos. Dizem-se as combinaes dos 4 objectos 3 a 3. Chama-secombinao(oucombinaosemrepetio)aqualquer subconjuntoformadoporpelementosdeentreosnelementosdeum conjunto dado. Representa-sepor pnC ou ||.|

\|pnonmerodecombinaesquepossvel formar com p elementos escolhidos de entre os n elementos dadosN p , n ee n p s . pnC lsendecombinaesdenelementos,pap,ou,simplesmente, combinaes de n, p a p). Se h pnCcombinaes e para cada uma h! parranjos, o n total de arranjos : ! p C Apnpn =e, portanto, ! pACpnpn= nCp =

Nota: Quandoseconsideraramarranjos,interessavaaordempelaqualse escreviamoselementostratava-sedesequncias,masquandosefala em combinaes, sinteressamos elementos emsi enoaordemtrata-sede conjuntos. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 57 20C5 =

= 15504. Logo, o Antnio tem 15504 maneiras diferentes de fazer a oferta. Exemplo 46 O Antnio tem 20 selos e vai oferecer cinco ao irmo Pedro. De quantas maneiras diferentes pode escolher os cinco selos para a oferta? Resoluo: No interessa a ordem. Sem repetio. Oferecer os selos ABCDE o mesmo que oferecer BACDE. Assim pretende-se calcular: Exemplo 47 Umgrupoconstitudopor6rapazese6 raparigas.Parajogarascartasconstituram-separes formadossempreporumrapaz euma rapariga.Com osseisparesassimconstitudosformaram-setrs mesasdejogo,cadamesacomdoispares,quantos modos diferentes existem para constituir as mesas? Resoluo: Comeamosporcalcularquantospares diferentes possvel formar.

x

x

x

x

x

Para o 1 par ia buscar um rapaz e tinha 6 hipteses de escolha de raparigas. Parao2pariabuscarumrapaz etinha5hiptesesde escolhade raparigas H 6! = 720 pares possveis. Formados os 6 pares, cada par funciona como uma unidade e pretende -se agora organizar mesas de 2. Como a ordem no interessa, escolhido um par Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 58 paraumadasmesas existem5 escolhaspossveispara completar; escolhido um par entre os 4 restantes para outra mesa existem 3 hipteses de escola do segundo par; os dois pares restantes ocupam a ltima mesa. Existem 5 x 3 = 15 possibilidades de formar as mesas. Logo, a soluo para o problema : 6! X 15 = 10800. Exemplo 48 Uma pessoa tem um cofre com cinco rodas e sabe que abre com 3 oitos e 2 setes. Esqueceu-se da sequncia. De quantas maneiras diferentes pode ser o cdigo? Resoluo: Pode ser 77 888; 78 878; Ou seja:

=

=10 Logo, h 10 maneiras diferentes. Exemplo 49 De quantas formas diferentes se podem sentar pessoas volta de uma mesa redonda? Resoluo: Designamos as 5 pessoas por A, B, C, D e E. A sequencia A, B, C, D e E igual a B C D E A. Logo, temos

= 4! Formas diferentes de sentar cinco pessoas volta de uma mesa redonda. Exemplo 50 Umacomissode4pessoasvaisserescolhidadeumgrupode3 mulheres e 4 homens. 50.1) Se quantas formas diferentes se pode fazer a comisso? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 59 50.2)Sequantasformasdiferentespodemosescolherdoishomense duas mulheres? 50.3) Se o senhor x tem de fazer parte da comisso e a senhora y no esta disponvel, de quantas formas diferentes se pode fazer a comisso? Resoluo: 50.1) Trata-se de formar subconjuntos com 4 elementos de um conjunto com 7 elementos. Logo h 35 formas diferentes de fazer a comisso. 50.2) Dos 4 homens escolheram-se 2, das 3 mulheres escolheram-se 2. Logo, h 18 comisses com 2 homens e 2 mulheres. 50.3) Se o senhor x fizer parte, s necessrio escolher 3 dos 6 restantes. Se a senhora Y no quer fazer parte s h 5 pessoas disponveis. Logo, h 10 comisses nas condies indicadas. Exemplo 51 De um baralho de 40 cartas vo ser retiradas simultaneamente 5. Determina o nmero de resultados possveis de modo que saiam exactamente 2 valetes. Resoluo: No baralho h 4 valetes e 40 4 = 36 cartas que no so valetes. Como a tiragem simultnea no interessa a ordem. Logo fica: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 60 Exemplo 52 Tiram-sesucessivamentequatrobolasdeumsaco que contem 10 bolas numeradas de 1 a 10 sendo 3 azuis e 7 amarelas. Determina o numero de tiragens diferentes admitindo que saiem: 52.1) 4 bolas amarelas (com os sem reposio); 52.2) 2 bolas amarelas (com os sem reposio). Resoluo Como resolver problemas variados Neste momento, estudam-se j vrias tcnicas de contagem: arranjos com e sem repetio, permutaes e combinaes sem repetio. Assim, em cada problema , agora, necessrio distinguir qual das tcnicas se deve utilizar. O caminho a seguir ser: -ler atentamente o problema e compreend-lo; -fazer um diagrama ou esquema; -se os nos forem muito grandes, experimentar com nos mais pequenos; -comparar com outros problemas j conhecidos; -escolher a tcnica de contagem conveniente e completar a resoluo do problema. Quando se procura distinguir qual a tcnica a aplicar, deve ter-se em ateno seaordemtemounoinfluncianoagrupamento esepodeounohaver repetio dos elementos. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 61 Em resumo: A ordem influi? Pode haver repetio? Expresso Arranjos com repetio SimSim p 'pnn A =Arranjos sem repetio SimNo( ) ( ) 1 p n 1 n n Apn+ = Permutaes SimNo( ) 1 2 3 1 n n Pn = Combinaes NoNo ! pACpnpn= Expresses de nAp e nCp Considerando 0! = 1, temos: -para 0 s p s n ! ) p n (! nApn=-para 0 s p s n ! p ! ) p n (! nCpn = Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 62 Tringulo dePascal Como se constri o Tringulo de Pascal? As linhas 0 e 1 so compostas apenas por algarismos1, um na linha 0 e dois na linha 1;Nas extremidades de cada linha surge sempre o algarismo 1;Todososrestantes elementosdotringuloobtm-seapartirdalinha imediatamenteacima,somandoemcadacasoosdoisnmerosqueo precedem.1 1 1 1 21 1 3 31 1 4 641

Pensando em termos de combinaes, possvel explicar o processo de construodoTringulodeumaformasemelhante,fazendocorrespondero ndice superior ao nmero da linha e o ndice inferi or posio do elemento na linha. Na linha 0 temos 0C0=1 e na linha 1 temos 1C0=1 e 1C1=1. Nas linhas seguintes,nas extremidadesdan-simalinha colocam-se nC0=1 e nCn=1.Os restantes elementos obtm-se a partir da linha acima, somando em cada caso os nmeros que o precedem, ou seja, fazendo: 1 p1 n1 pnpnC C C+++ = + Linhan = 0 0C0n = 1 1C0 1C1n = 2 2C0 2C12C2n = 3 3C0 3C1 3C23C3n = 4 4C0 4C1 4C24C34C4Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 63 Binmio de Newton OBinmiodeNewtonumbinmiodotipo( ) b a + elevadoauma potncia n, ou seja,( )nb a + . Desenvolvendo este binmio, obtm-se: ( )0b a +- ---- 0Co ( )1b a +---- 1Co a +1C1 b ( )2b a +--- 2Co a2 + 2C1 ab + 2C2 b2 ( )3b a +-- 3Co a3 + 3C1a2b + 3C2 ab2 + 3C3 b3 ( )4b a +- 4Co a4 + 4C1 a3b + 4C2 a2b2 + 4C3 ab3 + 4C4 b4 Portanto, de um modo geral, tem-se: ( )nnn 1 n1 nn 2 2 n2n 1 n1n n0nnb C ab C ... b a C b a C a C b a + + + + + = +

Pode-se observar no desenvolvimento de ( )nb a + que: -o grau dos monmios do desenvolvimento de( )nb a + n; -os coeficientes binomiais so os nmeros do Tringulo de Pascal. Exemplo 53 Calcula os termos mdios do desenvolvimento de: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 64 Ento: Exemplo 54 Determina o termo em x5 do desenvolvimento de: Resoluo: A expresso do termo de ordem p : Ento: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 65 Distribuio de probabilidades. Curva norma Distribuio de probabilidades Supondo que lanamos dois dados e adicionamos os pontos obtidos. Os resultados obtidos entre 2 e 12, inclusive. Considera-se a varivel aleatria x que varia entre 2 e 12 e a funo que fazcorresponderacadavalorxarespectivaprobabilidade.funoassim definida chama-se distribuio de probabilidade ou funo de probabilidade. A representao desta funo pode ser feita por uma tabela ou por um grfico. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 66 Mdia e desvio-padro Quando lanamos muitas vezes um dado a mdia dos valores obtida : Se lanarmos muitas vezes dois dados a mdia da soma dos valores obtidos 3,5 x 2 = 7. Comacalculadora grficapoder-se-iaobter estevalorusandoosvaloresda probabilidade de sada de cada uma das somas. Paraalmdamdiacalculou-seodesvio padro: ou Curva normal Quando observamos certos objectos naturais (por exemplo, a altura de bebsaonascer,otamanhodefolhasdasrvores)ecomosdados construmos histogramas, medida que o nmero de observaes aumenta, o histograma aproxima-se cada vez mais do histograma da distribuio normal. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 67 Notaqueutilizamhistogramaspararepresentargraficamente distribuiesquandoavarivelestagrupadaemclasses.Opolgonode frequncias outra forma de graficamente representar uma distribuio. Este polgono pode obter-se unindo os centros dos lados superiores dos rectngulos do histograma. medida que o nmero de observaes aumenta o polgono de frequncias aproxima-se cada vez mais do que se chama curva de distribuio. Acurvadadistribuioarepresentaogrficadadistribuiode frequncias ou de probabilidade quando a varivel contnua. Afrequnciaouaprobabilidadedeumdadointervaloigualrea limitada pelo eixo horizontal, pelas rectas verticais que passam pelos extremos do intervalo e pala curva de distribuio. A probabilidade corresponde ao intervalo ]a,b[ a rea A. A distribuio normal caracteriza-se por: ter uma curva de probabilidade em forma de sino; a curva ser simtrica em relao media; o mximo da funo ser o valor correspondente media; amedidaqueavarivelseafastadamdiaovalordafunoir diminuindo. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 68 Numa distribuio normal, verifica-se que: Aproximadamente, 68% da distribuio corresponde ao intervalo. E 96% da distribuio corresponde ao intervalo Exemplo 55 Calcularamdiaeodesvio-padrodasomadospontosobtidosno lanamento de dois dados 100 vezes. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 69 Resoluo: As somas so: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12. Distribuio da probabilidade Distribuio de frequncias relativas Graficamente: Calcular a mdia: Calcular o desvio-padro: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 70 Exerccios propostos 1)Considere a experincia aleatria que consiste no lanamento de um dado tetradrico perfeito, cujas faces esto numeradas de 1 a 4, e a anotar a pontuao da face que ficou voltada para baixo. 1.1)Qual o espao de resultados S? 1.2)Qual a probabilidade dos acontecimentos: 1.2.1) A: sair pontuao menor que 2 1.2.2) B: sair pontuao no inferior a 2? 2)Um grupo de 12 amigos, dos quais 3 so da famlia Fonseca, 5 da famlia SousaeosrestantesdafamliaMagalhes,concorreuaumconcursoe ganhouumcomputador.Resolvemsorte-loentreeles.Quala probabilidade de o computador sair: 2.1) Catarina, que pertence famlia Magalhes? 2.2) famlia Sousa? 2.3)nem famlia Sousa nem famlia Magalhes? 2.4) famlia Brito, que no concorreu ao concurso? 3)Numacaixadechocolates,todoscomomesmoaspectoexterior,hdez chocolates com recheio e sete sem recheio.A Paula tirou um chocolate da caixa. Qual a probabilidade de: 3.1)sair um chocolate com recheio? 3.2)sair um chocolate com recheio ou sem recheio? 4)Numa escola h alunos com olhos castanhos, verdes e azuis. Sabendo que a probabilidade de encontrar, ao acaso, um aluno dessa escola comolhoscastanhos0,6eumalunocomolhosverdes0,2,quala probabilidade de, encontrar casualmente um aluno dessa escola, ele: 4.1)ter olhos azuis? 4.2)no ter olhos azuis? 5)Uma turma de 11 ano perguntou-se aos alunos se pensavam frequentar a universidade e os resultados obtidos esto registados na seguinte tabela de dupla entrada: Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 71 MasculinoFeminino Sim910 No63 Observando a tabela, indique: 5.1)O nmero de alunos da turma; 5.2)Quantos alunos pensam frequentar a universidade; 5.3)A probabilidade de, escolhendo um aluno ao acaso, 5.3.1)No ir frequentar a universidade; 5.3.2)Ser um rapaz que vai frequentar a universidade; 5.3.3)Ser uma rapariga que no vai frequentar a universidade. 6)Lanam-se dois dados, um verde e um azul, com as faces numeradas de 1 a 6. Determine a probabilidade de sair: 6.1)A: n par no dado azul e n mpar no dado verde. 6.2)B: soma par. 6.3)C: soma maior do que 7. 6.4)D: produto par. 7)Jogam-se simultaneamente dois dados perfeitos, um vermelho e um preto. 7.1)Qual a probabilidade de o nmero marcado no dado vermelho ser o dobro do nmero marcado no dado preto? 7.2)Qual a probabilidade da soma dos dois nmeros ser 6? 7.3)Qual a probabilidade de a soma ser um nmero primo? 8)Os jovens e o desporto. Aoanalisarosresultadosdeuminquritofeitoaos1000alunosdeuma escola, verificou-se que 150 praticavam ginstica, 200 voleibol e 750 nenhuma destasduasmodalidades.Ao escolherumdestesalunos aoacaso,qual a probabilidade de que pratique: 8.1)uma, pelo menos, destas modalidades? 8.2)ambas as modalidades? 8.3)apenas uma das modalidades? 9)Numprdiocom20habitaes,oardinaentregouem12habitaeso jornalPblico,em7oJornaldeNotciaseem5noentregouqualquer jornal. Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 72 9.1)Elabore o Diagrama de Venn. 9.2)Qualaprobabilidadede,escolhendoaoacasoumahabitao, terem recebido os dois jornais? 10)40Alunosinscreveram-separa exame.Sdois alunos quefaltarama todos os exames e os outros fizeram exame a uma ou mais das seguintes disciplinas: Matemtica (M), Fsica (F) e Biologia (B). Odiagramaseguinteindicaonmerodealunos em cada exame. Se escolhermos ao acaso um dos alunos inscritos para exame, qual a probabilidade de: 10.1)ter feito exame de Matemtica? 10.2)ter feito exame de Matemtica mas no de Fsica nem de Biologia? 10.3)ter feito exame s trs disciplinas? 11) Lanaram-se 3 moedas, todas iguais. Qual a probabilidade de: 11.1)A = sarem 3 faces iguais? 11.2)B = sair exactamente uma cara? 11.3)C = sarem, pelo menos, duas caras? 12) Num saco temos 18 bolas: 4 amarelas, 5 brancas e 9 pretas. Tira-se uma bola ao acaso do saco. 12.1)Qual a probabilidade de a bola ser preta? 12.2)Qual a probabilidade de a bola ser branca ou amarela? 12.3)Haver um acontecimento cuja a probabilidade seja 1820? Justifique. 12.4)Supondoquetirvamosduasbolas aoacasodo saco,sem repora primeira, determine a probabilidade de as duas bolas serem: 12.4.1)ambas pretas; 12.4.2)uma preta e uma amarela. 13) Num saco h 10 bolas vermelhas, 3 verdes e 12 roxas. Retiraram-se sucessivamente do saco trs bolas (sem reposio). Determine a probabilidade de: 13.1)sarem as trs da mesma cor? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 73 13.2)sair uma de cada cor? 14) Retiraram-se ao acaso, sucessivamente, duas cartas de um baralho de 40 cartas. Sabendoqueaprimeiracartacolocadanobaralhoantesdeextraira segunda e atendendo ordem de sada, determine a probabilidade de obter: 14.1)uma dama e um rei. 14.2)pelo menos uma carta preta. 14.3)duas cartas que tenham figura. 15) Num baralho com 52 cartas extraem-se, sucessivamente ecom reposio, duas cartas. 15.1)Qual a probabilidade de as duas cartas tiradas ao acaso: 15.1.1) serem um rei e uma dama (por qualquer ordem)? 15.1.2) serem ambas espadas? 15.1.3) no serem de paus? 15.1.4) uma, pelo menos, ser uma copa? 15.2)Repita as alneas anteriores, supondo que se extraem as duas cartas sem reposio. 16) Uma urna contm 3 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 1 bola azul. Tiram-se,sucessivamente,esemreposio2bolasdaurna.Quala probabilidade de cadaum dos acontecimentos seguintes: 16.1)as duas bolas extradas serem brancas? 16.2)as duas bolas extradas serem da mesma cor? 16.3)as duas bolas extradas serem de cor diferente? 16.4)uma das bolas extradas ser azul? 16.5)nenhuma das bolas extradas ser vermelha? 17) O Antnio, o Bruno, a Cladia e a Eva foram jantar fora. De quantas maneiras se podem sentar os quatro amigos volta de uma mesa redonda? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 74 18) Dossete concorrentesauma corridada finaldos200mbruos, trsvo recebermedalhasdeouro,deprataedebronze.Dequantosmodos diferentes se podem distribuir pelo pdio os sete nadadores? 19) Nocampeonatodefutebolda1diviso jogam18 equipas.Sabendoque cada par de equipas joga duas vezes, uma em cada campo, quantos jogos necessrio efectuar num campeonato? 20) Numinfantrio, a educadoracostumasentaras suas12 crianas volta de uma mesa redonda para almoarem. De quantas maneiras diferentes se podem sentar? 21) O Sr. Ribeiro tem 7 pisa-papis diferentes para dispor numa prateleira de uma vitrina. De quantas maneiras distintas pode ele proceder? 22) A Joana tem 5 fotografias que pretende colar num quadro para a parede, colocando-as umas ao lado dos outras. 22.1)De quantos modos diferentes o pode fazer? 22.2)Mudandodeideias,aJoanaresolvecolocarnocentroasuafoto preferidaedistribuirasoutrasquatrovolta.Quantashipteses tm neste caso? 23) Com as 23 letras do alfabeto, de quantos modos se pode escolher o segredo de um cofre, com 5 dessas letras. 23.1)Sem repetir nenhuma delas? 23.2)Podendo repetir letras? 24) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5: 24.1)Quantos nmeros com 4 algarismos podemos formar? 24.2)Quantos desses nmeros tm 4 algarismos diferentes? 25) Para representar uma turma com 30 alunos vo ser escolhidos 3. Quantas so as diferentes escolhas possveis? 26) A Rita quer oferecer a uma amiga 3 discos escolhidos entre os 8 de que ela mais gosta. De quantas formas diferentes pode faz-lo? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 75 27) Um grupo de doze rapazes e oito raparigas pretende organizar um clube. 27.1)Dequantosmodosdiferentessepodeobterumadirecode cinco elementos com funes indiferenciadas, sabendo que: 27.1.1)so todos elegveis? 27.1.2) formada s por rapazes? 27.1.3) formada s por raparigas? 27.1.4) formada por trs rapazes e duas raparigas? 27.2)Sabendoqueaescolhadoselementosparaadirecofeitapor sorteio e que todos so elegveis, qual a probabilidade : 27.2.1)dos cinco elementos serem todos rapazes? 27.2.2)da direco ter, no mximo, dois rapazes? 28) Uma turma do 12 ano tem 23 alunos, dos quais 11 so raparigas. Num saco introduziram-se 23 cartes, todos de igual textura e formato, cada um deles com o nome de um aluno da turma. 28.1)Quantos so os resultados diferentes que podemos obter ao extrair 6 cartes, 28.1.1)se tirarmos um de cada vez, sem reposio? 28.1.2)se os tirarmos de uma s vez? 28.2)Se extrairmos de uma s vez os seis cartes, qual a probabilidade de que apenas quatro deles tenham nomes de raparigas? 29) Numa turma de 28 alunos do 11 ano, 12 so rapazes e 16 so raparigas. Vo ser escolhidos 3 elementos ao acaso para representar a turma numa reunio de finalistas. 29.1)Quantos casos possveis existem? 29.2)Qual a probabilidade de serem todos rapazes? 29.3)Qual a probabilidade de serem todos do mesmo sexo? 30) Uma urna contm 6 bolas numeradas: 3 vermelhas, respectivamente, com os nmeros 1, 3 e 5 e 3 pretas com, respectivamente, os nmeros 2, 4 e 6. Tiram-se,aoacaso,sucessivamenteesemreposio,2bolasdaurnapara formarumn: aprimeirabola extrada indicao algarismodasunidades e a segunda o algarismo das dezenas. 30.1)Efectuandotodasasextracespossveisquantosnmeros diferentes podemos escrever? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 76 30.2)Qualaprobabilidadedonserformadoporbolasdecores diferentes? 31) Um grupo de amigos, constitudo por trs rapazes e duas raparigas, vai ao cinema e ocupa 5 lugares consecutivos. 31.1)De quantos modos diferentes se podem sentar? 31.2)E se as raparigas ficarem nos extremos? 31.3)E se as raparigas no se sentarem nos extremos? 32) Numa gaveta esto 18 meias: 12 azuis e 6 vermelhas todas desarrumadas e misturadas. Setirarmosduasaoacaso,qualaprobabilidadedesetersorteeelas formarem um par da mesma cor? 33) O Poker joga-se com um baralho de 52 cartas e as 5 cartas que um jogador recebe chamam-se mo. 33.1)Quantas mos diferentes existem no Poker? 33.2)Qualaprobabilidadedeumjogadorreceberumamosem nenhum s? 33.3)E com um s? 33.4)E com dois ases? 33.5)E com trs? 34) Num congresso participam 5 portugueses, 2 italianos e 4 franceses. 34.1)Dequantasmaneirasdiferentessepodemsentaroscongressistas em fila? 34.2)Qual a probabilidade de: 34.2.1) os portugueses ficarem todos juntos? 34.2.2) ficarem juntos os congressistas com a mesma nacionalidade? 35) Seis alunos de uma turma, juntamente com um professor, vo apresentar um trabalho aos restantes colegas. 35.1)Dequantasmaneirassepodemdispornoestrado,sabendoque ficam todos ao acaso? 35.2)Qual a probabilidade de o professor ficar numa ponta e os alunos a seguir? Escola Profissional Gustave Eiffel2010/2011 Professora: Ana PiresPg. 77 36) Desenvolve as seguintes expresses: 36.1)(x + y)2 36.2)(2x + 3)3 36.3)(x + 3y)4 Bibliografia Neves,MariaAugustaFerreira;Silva,M.Carlos;Guerreiro,Lus;Pereira, Albino. MATEMTICA B 12 Ano. Porto Editora. Neves,MariaAugustaFerreira;Silva,M.Carlos;Faria,Lusa.Cadernode Actividades MATEMTICA B 12 Ano. Porto Editora.