BACHELORSCRIPTIETWIN (WISKUNDE EN NATUURKUNDE)

GAN. ITA-YUKTI-BHAS. A VANJYES. T. HADEVA

Auteur:Jurjen DE JONG

Scriptiebegeleider:Dr. Steven WEPSTER

25 juni 2015

Voorwoord

Mijn interessegebied is erg breed en daarom vond ik het erg moeilijk om een on-derwerp voor mijn scriptie te vinden. Hierdoor ben ik eerst gaan kijken met welkedocent ik wilde samenwerken en met wie ik samen zou kunnen zoeken naar een ge-schikt onderwerp. Hierbij kwam ik al snel bij dr. Steven Wepster. Ik volgde bij hemin mijn tweede studiejaar het erg interessante vak ”Geschiedenis van de Wiskunde”.Door hem en prof. dr. Jan Hoogendijk, met wie hij samen dit vak gaf, raakte ikgeınteresseerd in de geschiedenis van de wiskunde. Met name het mysterieuze ka-rakter van de wiskunde van culturen die wat verder van ons af staan. Het leek mijechter moeilijk om een onderwerp hierin te vinden, waarin ik nog iets kon bijdragenals bachelorstudent en waarover genoeg informatie te vinden was.

In een goed gesprek met dr. Steven Wepster kwamen we uit op een onderwerp datte maken moest hebben met wis-en sterrenkunde, omdat ik mij graag ook wat meerwilde verdiepen in de sterrenkunde. Immers krijg ik binnenkort, naast een wiskunde,ook een natuur-en sterrenkunde bachelor. Nadat we dit besloten hadden, kwam dr.Steven Wepster al snel met een interessante tekst, welke over de wis-en sterrenkundeuit India ging. Deze tekst was nog niet lang geleden vertaald uit het Malayalam naarhet Engels en bevatte genoeg informatie om een TWIN scriptie mee te vullen. Opdeze manier kwamen we uit bij de Gan. ita-yukti-bhas.a (ca. 1530) van Jyes.t.hadeva(1500-1610).

Gedurende het bestuderen van de Gan. ita-yukti-bhas.a raakte ik steeds meer gegre-pen door de kracht van dit werk. Het bevatte namelijk zoveel boeiende onderwerpen,waarbij op een prachtige manier wis- en sterrenkundige zaken door de auteur werdenafgeleid, dat ik mij vaak afvroeg waarom ik hier nooit eerder van had gehoord. Naasthet bestuderen en leren van de teksten uit Gan. ita-yukti-bhas.a heb ik gedurende mijnscriptie onderzoek ook veel kennis opgedaan op het gebied van hedendaagse sferi-sche sterrenkunde. Over deze kant van de sterrenkunde wist ik, voordat ik aan dezescriptie begon, vrij weinig en hierover ben ik dankzij Jyes.t.hadeva en hedendaagseauteurs gedurende dit scriptieproject ook een stuk wijzer geworden.

Uiteraard leer je gedurende het schrijven van je eerste scriptie ook veel op hetgebied van het scriptie schrijven zelf. Zo dacht ik al snel op de goede weg te zijn,maar raakte ik, zonder dat ik het zelf vaak doorhad, op een zijspoor of sloeg ik zelfseen totaal verkeerde weg in. Gelukkig kreeg ik wekelijkse feedback van dr. StevenWepster, die mij erg veel geholpen heeft en mij af en toe terug op het goede pad hielp.Hem wil ik hier dan ook graag voor bedanken! Ook gaat mijn dank ook uit aan devertalers van de Gan. ita-yukti-bhas.a.

1

Zelf ben ik soms ietwat eigenwijs en hoewel ik mij qua notaties heb laten leidendoor alle bronnen die ik gebruikt heb, heb ik zelf toch wat eigen notaties ingevoerd.Ik probeer een vergelijking te maken tussen de Gan. ita-yukti-bhas.a en hedendaagsesterrenkunde en daarom zal ik ’'’ gebruiken om aan te geven als een waarde uitGan. ita-yukti-bhas.a en hedendaagse sterrenkunde met elkaar overeenstemt. Hiermeebedoel ik dan dat het ’=’-teken te krachtig is om te gebruiken, dit zou aangeven dathet de twee waarden altijd exact hetzelfde zijn. Het ’≈’-teken is dan weer te zwak omaan te geven dat twee waarden met elkaar overeenstemmen en dus eventueel gelijkzouden kunnen zijn. Ook gebruik ik AB om aan te geven dat ik over een booglengtein radialen spreek, waarbij AB = AB

R als de bijbehorende cirkel straal R heeft. Devertaler gebruikt hier gewoon AB voor, maar dit vind ik zelf verwarrend, omdat ditook een lijnstuk, de booglengte in meters of iets dergelijks kan betekenen. Verder zalik termen uit het Sanskriet schuingedrukt laten staan. Bij namen van wiskundigen ofboeken uit India doe ik dit niet. Belangrijk is ook dat als ik over ’de auteur’ spreek, ikhet over de oorspronkelijke auteur van de Gan. ita-yukti-bhas.a heb (Jyes.t.hadeva), wie,zoals we nog zullen zien, oorspronkelijk de Yukti-bhas.a in het Malayalam schreef.Als ik over ’de vertaler’ spreek, dan spreek ik over de belangrijkste vertaler Sarma, ofde toelichters Ramasubramanian, Srinivas of Sriram. Ik zal geen onderscheid makentussen de vertaler en toelichters en zal met ’de vertaler’ daarom beiden (vertaler oftoelichters) kunnen bedoelen.

Uiteindelijk was de Gan. ita-yukti-bhas.a een te groot werk om in zijn geheel tekunnen bespreken, daarom heb ik er enkele onderwerpen uit gekozen. In ieder gevalwilde ik graag eerste de wiskunde begrijpen, dus heb ik mij eerst daarop gericht.Vervolgens vond ik het belangrijk om te begrijpen hoe het universum er volgens deIndiers uitzag en hoe planeten bewogen. Ook de manier waarop afstanden en hoeken,betreffende de planeten, berekend werden volgens de auteur, wilde ik uitvoerigerbespreken. Daarna heb ik er nog enkele aansprekende onderwerpen uitgepikt om deIndiase wijze van sterrenkunde bedrijven en de invloed van religie op sterrenkunde telaten zien. Hopelijk kan ik met deze scriptie de lezer genoeg enthousiasme meegevenom zelf op onderzoek uit te gaan naar de overige onderwerpen! In ieder geval veellees en inspiratie plezier toegewenst.

2

Inhoudsopgave

1 Inleiding 9

2 Korte geschiedenis van de wis-en sterrenkunde in India 112.1 Vedische wis-en sterrenkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Overbrengen van teksten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Veda’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 De Sulba-Sutra’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Sterrenkunde in Vedische periode . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Voor-Klassieke periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Middeleeuwen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Siddhantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Aryabhat.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Andere bekende wis-en sterrenkundigen . . . . . . . . . . . 16

2.4 Wiskunde in Kerala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Madhava van San. gamagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Paramesvara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Nilakan. t.ha Somayaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.4 Jyes.t.hadeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.5 Yukti-bhas.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Gan. ita-yukti-bhas.a 193.1 Betekenis en eerste vertaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Gan. ita-yukti-bhas.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Gan. ita-bheda 224.1 Korte inleiding in het rekenen in Kerala . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Optellen en aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Kwadrateren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Machtsverheffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Deling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7 Breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.8 Worteltrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.9 Hogere machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

4.10 Trairasika-s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Kut.t.akara 305.1 Kut.t.ara in kalenderrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Zonnejaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Maanmaand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.3 Schrikkelmaand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.4 Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Kut.t.akara proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Bhagana van de middelbare zon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Goniometrie in Kerala 386.1 Jya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Sinussen berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Som-en verschilregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4 π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7 Inleiding in het wereldbeeld volgens Gan. ita-yukti-bhas.a 497.1 Bhugola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2 Bhagola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2.1 Sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2.2 Ecliptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3 Vayugola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.4 Yojanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 Beweging der planeten 538.1 Belangrijke aannames en begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.2 Verschillende modellen voor de zon en maan . . . . . . . . . . . . 55

8.2.1 Excentrisch model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2.2 Epycikelmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2.3 Vergelijking van de modellen . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2.4 Verklaring voor het gebruik van verschillende modellen . . 578.2.5 Verschil baan van de zon en de maan . . . . . . . . . . . . 58

8.3 Gebruik van het excentrische model en epicykelmodel . . . . . . . 598.3.1 Karn. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3.2 Cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3.3 Viparita-karn. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3.4 Ellipsbaan versus karn. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.3.5 Middelpuntsvereffening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.4 Lengtegraden van de planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4.1 Beweging van de buitenste planeten . . . . . . . . . . . . . 718.4.2 Uitdrukken in Trijya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.4.3 De elongatie uit de Gan. ita-yukti-bhas.a (buitenste planeten)

versus die van Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.4.4 Beweging binnenste planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4

8.4.5 De elongatie uit de Gan. ita-yukti-bhas.a (binnenste planeten)versus die van Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.5 sighra-sam. skara (Elongatie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.5.1 Het vinden van manda-sphut.a en sighra-sphut.a . . . . . . . 788.5.2 Toepassen van sighra-sam. skara . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.6 Breedtegraad van planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.7 Vergelijking van viks. epa met het model van Kepler . . . . . . . . . 838.8 Waarnemer op de maan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.9 Werkelijke afstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Waarnemer op de aardbol 899.1 Dr. kkarn. a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.2 Chaya-lambana en de straal van de aardbol . . . . . . . . . . . . . 919.3 Parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4 Bimbantara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10 Vyatipata 10010.1 Wat is vyatipata? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.2 Het plaatsvinden van vyatipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.3 Beweging van de baan van de maan . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.4 Inclinatie van de baan van de maan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.5 Inclinatie van de maan met huidige boldriehoeksrekening . . . . . . 10710.6 Declinatie van de maan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.7 Afleiden van vyatipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11 Conclusie 11111.1 Vragen voor een vervolg onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.2 Reflectie op de Gan. ita-yukti-bhas.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.3 Slotopmerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A Tijdperken (Yuga) 115

B Ellipsbaan, volgens het model van Kepler 116

C Woordenlijst 118

5

Lijst van figuren

2.1 Het deelstaatje Kerala weergegeven in rood. [6] . . . . . . . . . . . 17

4.1 Figuur ter illustratie bij vergelijking 4.2. [13, p.153]. . . . . . . . . 244.2 Figuur ter illustratie bij vergelijking 4.3. [13, p.153]. . . . . . . . . 254.3 Figuur ter illustratie bij Bhuja-kot.i-karn. a-nyaya [13, p.159]. . . . . 26

6.1 Regelmatige hexagon, omschreven door een cirkel. Als de straal vande cirkel r is, dan is lijnstuk OP = OQ = ON

2 = r2 . [13, p.209]. . . 39

6.2 Kwadrant voor de som-en verschilregels. . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Kwadrant van een cirkel voor de omtrek van een cirkel. . . . . . . . 43

7.1 De ecliptica en evenaar weergegeven met de aardbol als middelpunt.[13, p.671]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 De sterrenbeelden, die passeren op de ecliptica. [12, p.15]. . . . . . 52

8.1 In A. is het excentrisch model zichtbaar. In B. is het epicykelmodelzichtbaar. [13, p. 623-624]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2 Gebruik van de epicykel voor lusvormige beweging van hemellichaam. 588.3 Nogmaals het excentrische model en epyckelmodel naast elkaar gezet. 608.4 Meetkundige beschrijving, nodig voor berekeningen voor de ware

planeet. [13, p. 629] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.5 Cosinusregel voor driehoek OO′Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.6 Middelbare anomalieM weergegeven met behulp van driehoekOO′Pi. 638.7 Epicykelmodel voor het berekenen vanR, de straal van de pratiman. d. ala.[13,

p.634] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.8 Elliptische baan met excentrische cirkel. . . . . . . . . . . . . . . . 668.9 Middelbare en ware epicykels, met toegevoegde rechthoekige drie-

hoek (weergegeven in rood). [13, p. 632]. . . . . . . . . . . . . . . 698.10 Het model om de baan van Mars, Jupiter en Saturnus te beschrijven.

[13, p. 643]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.11 Het model van Kepler voor de buitenste planeten. . . . . . . . . . . 748.12 Het model om de baan van Mercurius en Venus te beschrijven. [9,

p.37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.13 Ellipsvormige model van Kepler, voor de binnenste planeten. . . . . 788.14 epicykelmodel voor de planeet. [13, p.648]. . . . . . . . . . . . . . 798.15 Breedtegraad (viks. epa) van een planeet. [13, p.656]. . . . . . . . . . 80

6

8.16 Breedtegraad (bhagola-viks. epa). [13, p.656] . . . . . . . . . . . . . 828.17 Viks. epa voor het model van Kepler. [9, p.48]. . . . . . . . . . . . . 838.18 Viks. epa voor het model van Kepler bij een dubbele breedtegraad. [13,

p.658]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.1 De bhagola en dr. ggola. [13, p.723]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.2 De parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.3 Verschuiving van de planeet, dankzij de parallax. [13, p. 785] . . . . 959.4 Bimbantara, de afstand tussen het centrum van de zon en de maan.

[13, p.828] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.5 Visualisatie van r. [13, p.832] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.6 Bimbantara, als de maan dichterbij ligt. . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.1 Viks. epa. [12, p. 358] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Viks. epa-vr. tta, als deze met de ecliptica en evenaar in hetzelfde punt

snijdt (Γ = Rahu). [13, p. 811]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.3 Viks. epa-vr. tta, als Rahu met het winterpunt snijdt. Figuur uit [13, p.

812] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.4 Viks. epa-vr. tta, als Rahu met de herfstequinox snijdt. [13, p. 812]. . . 10410.5 Viks. epa-vr. tta, als Rahu met het zomerpunt snijdt. [13, p. 813]. . . . 10510.6 De beweging van viks. epa-parsva. [13, p. 814]. . . . . . . . . . . . 10510.7 Viks. epa-parsva-vr. tta. [13, p. 814]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.8 De inclinatie van de baan van de maan. [13, p. 814]. . . . . . . . . 10610.9 De inclinatie van de baan van de maan met behulp van de boldrie-

hoeksrekening. [13, p. 814]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.10Berekening van de declinatie van de maan ten opzichte van de evenaar.108

B.1 Ellipsbaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7

Lijst van tabellen

3.1 Onderwerpen uit Gan. ita-yukti-bhas.a. De dikgedrukte hoofdstukkenzullen we in de scriptie tegenkomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 Variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.1 Ingevoerde variabelen, voor de beweging van de zon en de maan. . . 598.2 Variabelen voor de beweging van planeten. . . . . . . . . . . . . . . 728.3 Viks. epa bij verschillende posities van S, Oen P . . . . . . . . . . . . 868.4 Vergelijking van diameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.5 Vergelijking verhouding rs

R van de waarden uit Tantrasangraha metde hedendaagse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.1 Punten bij figuur 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.1 Tabel met aantal omwentelingen van de planeten in een Mahayuga. . 115

8

Hoofdstuk 1

Inleiding

In deze scriptie zullen we de vertaling van de Gan. ita-yukti-bhas.a (ca. 1530) be-spreken.1 Hierin bekijken we de wiskunde en sterrenkunde die door Jyes.t.hadevais beschreven.2 We zullen de resultaten vergelijken met onze huidige wiskunde ensterrenkunde. Ook proberen we te kijken of er nog bijzonderheden op te merken zijn.

Voordat we direct in de vertaling van de Gan. ita-yukti-bhas.a duiken, is het ver-standig om eerst een kort overzicht te geven van de geschiedenis van de wiskundein India tot aan de school van Kerala. Hierdoor kunnen we een beeld vormen vande ontwikkeling van de wiskunde en sterrenkunde in India. Dit zullen we doen inhoofdstuk 2. Daarna kunnen we kijken wat de Gan. ita-yukti-bhas.a ons allemaal vooronderwerpen te bieden heeft en hoe het ingedeeld is door de vertalers.3 Dit doen wedan in hoofdstuk 3. Vervolgens maken we een begin met het wiskunde deel, door debasisoperaties te bespreken, zoals ze in de Gan. ita-yukti-bhas.a door de auteur wordengeıntroduceerd. Als we dit hebben gedaan in hoofdstuk 4, gaan we in hoofdstuk 5verder met het oplossen van lineaire vergelijkingen. Dit staat in India bekend als hetkut.t.akara proces. We sluiten het wiskunde deel in hoofdstuk 6 af met de besprekingvan de goniometrie, die iets anders is dan de onze. Na dit hoofdstuk gaan we onsrichten op het sterrenkunde deel van Gan. ita-yukti-bhas.a. In hoofdstuk 7 introduce-ren we het wereldbeeld uit de Gan. ita-yukti-bhas.a. Daarna gaan we verder met hetbespreken van de beweging van de planeten in hoofdstuk 8. Vervolgens kijken wehoe de auteur vanuit het oogpunt van een waarnemer op de aardbol rekent, waarbijwe bijvoorbeeld de parallax zullen tegenkomen. Dit doen we in hoofdstuk 9. Hetlaatste hoofdstuk omvat de bespreking van vyatipata. Dit betekent dat de zon ende maan dezelfde declinatie hebben, maar tegengesteld toenemen. Dit doen we inhoofdstuk 10. In de bijlagen hebben we nog wat handige handvatten meegegeven omde achtergrond van sommige teksten beter te begrijpen. Ook bevindt zich hier eenwoordenlijst, waarin de belangrijkste woorden uit het Sanskriet met een Nederlandsevertaling van hoofdstuk 7 t/m 10 staan.

De doelgroep van deze scriptie is medestudenten uit het derde jaar van hun ba-1Deze vertaling is terug te vinden in Sarma (2008) [13].2Met Jyes.t.hadeva maken we kennis in hoofdstuk 2.4.4.3De oorspronkelijke auteur, Jyes.t.hadeva, had, zoals we straks zullen zien, de oorspronkelijke tekst

namelijk niet onderverdeeld in verschillende hoofdstukken.

9

chelor wis- en/of natuurkunde. In principe is het ook goed te volgen voor studentendie niet aan deze specifieke eisen voldoen, maar wel enige wiskunde kennis bezitten.

10

Hoofdstuk 2

Korte geschiedenis van de wis-ensterrenkunde in India

We zullen nu een korte geschiedenis presenteren over de ontwikkelingen van de wis-en sterrenkunde in India. Hiermee proberen we een beeld te krijgen van de wijzewaarop de wis-en sterrenkunde tot stand kwamen in India en weten we wat er zich opdit gebied allemaal afspeelde in India, voordat we gaan kijken naar het gebied waarhet hoofdonderwerp van de scriptie zich afspeelt, Kerala.

Het is belangrijk om erbij te zeggen dat voor veel historici de geschiedenis vande wis-en sterrenkunde in India een lastig onderwerp is, omdat er veel onzekerheidbestaat over de chronologische ontwikkeling van de wis-en sterrenkunde in India.Een belangrijke reden daarvoor is dat er veel losse teksten gevonden zijn en daarbijontbreekt er vaak een naam van de auteur of een datum. Een andere reden is dat erveel teksten mondeling werden overgebracht, waardoor er ook veel bronnen missen.

2.1 Vedische wis-en sterrenkunde

Het is moeilijk om aan te geven wanneer je wiskunde daadwerkelijk wiskunde kuntnoemen. Kun je het wiskunde noemen als je een grottekening van millennia oud zietmet enkele streepjes die misschien voor ’een aantal’ staan? Of spreek je pas overwiskunde als je een tekst tegenkomt waarin we iets herkennen als hedendaagse wis-kunde? Hierin zullen we de geschiedenis boeken moeten volgen. Hier wordt meestalgekozen voor de Vedische periode als het startpunt van de Indiase geschiedenis vanwiskunde en daarmee ook de sterrenkunde. Dit heeft er waarschijnlijk te maken methet feit dat de Veda’s bronnen zijn die goed bewaard zijn gebleven en waarvan weweten wanneer deze teksten ongeveer opgeschreven zijn.

11

2.1.1 Overbrengen van teksten

Bijzonder aan Indiase wiskunde is het overbrengen van de kennis. Dit gebeurde in devroegere periode veelal mondeling,1 door middel van Sanskriet Pandits.2 Met namein de Vedische periode en het begin van de middeleeuwen gebeurde dit.3 Doordat veelteksten mondeling overgedragen werden, zijn er nu minder archeologische vondstenterug te vinden op het gebied van wiskunde. Zo heeft er in de Indus Vallei eenhoogstaande beschaving geleefd, waarvan er bewijs bestaat dat ze bekend waren metgewichten, metingen en zelfs het gebruik van een decimaal getallenstelsel. Echteris hierover vrij weinig terug te vinden, omdat zij hun kennis ook veelal mondelingoverdroegen.4 Hedendaags zijn er nog steeds mensen die deze teksten uit hun hoofdkennen.

2.1.2 Veda’s

De Veda’s dateren ongeveer van 1500-1000 v.Chr. en zijn geschreven in het Sans-kriet. Wat opvalt voor een hedendaags wiskundige zijn de woorden die de Indiersgebruiken voor ieder getal en dat ze woorden gebruiken voor hele grote getallen.Waarom deze er waren voor deze hele grote getallen, is niet bekend, immers lijkendeze grote getallen geen functie te hebben in de geschriften. Hieronder zullen weenkele voorbeelden tonen:

”Heil voor de aarde, heil voor de atmosfeer, heil voor de lucht, heil voorde zon, heil voor de maan, heil voor de naks. atras [maan constellaties],heil voor het oosten, heil voor het zuiden, heil voor het westen, heil voorhet noorden, heil voor de opwaartse directie, heil voor de richtingen,heil voor de tussenliggende richting, heil voor de halve jaren, heil voorherfst, heil voor de dag-en-nacht, heil voor de halve maanden, heil voorde seizoenen, heil voor het jaar, heil voor allen.”(Yajur-veda 7.1.15)

”Heil voor een, heil voor twee, heil voor drie... heil voor achttien, heilvoor negentien [letterlijk ”een-minder-dan-twintig”], heil to negenen-twintig [letterlijk ”negen-twintig”], heil voor drieeendertig... heil voornegenennegentig, heil voor honderd, heil voor allen.”(Yajur-veda 7.2.11)

”heil voor honderd, heil voor duizend, heil voor ayuta [tienduizend], heilvoor niyuta [honderd duizend], heil voor prayuta [miljoen], heil voorarbuda[tien miljoen], heil voor nyarbuda [honderd miljioen], heil voorsamudra [biljoen], heil voor madhya [tien biljoen], heil voor anta [hon-derd biljoen], heil voor parardha [triljoen], heil voor het morgenlicht,heil voor de dageraad... heil voor de wereld, heil voor allen.”(Yajur-veda7.2.20) 5

1Dit was met name in de tijd van de Veda’s, maar ook in latere periodes gebeurde dit nog.2Een pandit is een Brahmaan (hindoeıstisch religieus persoon), die de teksten door middel van me-

lodieen en ritmes overdragen. Op deze manier is het makkelijker de teksten te onthouden.3Plofker (2009), [13].4Boyer (2011), [2, p.186].5Eigen vertaling van de teksten uit Plofker 2009 [10], p.14

12

In andere teksten zien we ook het gebruik van delingen en vermenigvuldigingen. Hierwordt er bijvoorbeeld uitgelegd hoe je iets kunt verdelen in kleinere delen.6

2.1.3 De Sulba-Sutra’s

Andere belangrijke bronnen van wiskunde uit India komen we tegen in de Sulba-Sutra’s. Deze teksten maken deel uit van de Shrauta Sutra’s, een soort appendicesvan de Veda’s. Deze teksten dateren ongeveer uit 700-400 voor Christus. Hierin zienwe dat de Indiers al bekend waren met de stelling van Pythagoras, Pythagoreıschedrietallen, meetkunde, verschillende benaderingen voor π en ook benaderingen vanirrationale getallen, zoals bijvoorbeeld 7

√2 = 1 +

1

3+

1

3 · 4− 1

3 · 4 · 34≈ 1.4142.

Er komen in de Sulba-Sutra’s veel methodes voor het beschrijven van afmetingenvan stenen en altaren voor. Deze werden vooral gebruikt door de Brahman. a families,wiens (erfelijke) beroep het was om offerrituelen uit te voeren.8

2.1.4 Sterrenkunde in Vedische periode

Een vroege vorm van sterrenkunde werd in de tijd van de Veda’s al bedreven. Ditdeden de Indiers om voorspellingen te doen voor de nieuwe en volle maan, equi-noxen, zonnestanden, of het bepalen van de posities van sterren en sterrengroepen.Hiermee konden ze kalenders maken. Dit gebruikten zij voor maandelijkse rituelenzoals darsapurnamasa en seizoensgebonden rituelen zoals caturmasya.9

In de Rigveda (ergens tussen 1500-1100 v.Chr. geschreven) zien we dat er ook alnamen van planeten bekend waren, zoals Jupiter (Brhaspati) en Venus (Venda). In deYajurveda (ergens tussen 1500-500 v.Chr. geschreven) was er zelfs al bekend dat eenzonnejaar iets meer dan 365 dagen bevatte. De Indiers rekenden met 12 maanmaan-den, wisselend met een lengte van 29 en 30 dagen. Hierdoor hielden ze 11 dagenover. Dit werden de 11 ’offeringsnachten’ genoemd. Later werd er ook gerekend meteen periode van vier jaar (vierjarige yuga), zodat er een schrikkeljaar ingevoerd konworden. De vier verschillende jaren noemden zij: Samvatsara, Parivatsara, Idavats-ara en Anuvatsara.10

In de Veda’s zien we invloeden uit Mesopotamie terugkomen. Zoals het in 360delen verdelen van een cirkel en het verdelen van maanmaanden in 30 gelijke dagen.Ook sommige sterrenkundige begrippen lijken sterk op die uit Mesopotamie.11

6Tegenwoordig staat ’Vedische wiskunde’ ook wel bekend als een handig algoritme om berekenin-gen te verrichten. In [10, p.16] legt Plofker in een voetnoot uit dat dit algoritme niet terug te vindenis in Vedische teksten en suggereert ze dat zoals het gepresenteerd wordt in Vedic Mathematics (1965),namelijk als gereconstrueerd uit de Atharva-veda, historisch niet klopt.

7Plofker (2009), [10, p.27].8Plofker (2009), [10, p.16-19].9Padmanabhan (2010), [9, p.1-2].

10Padmanabhan (2010), [9, p. 2-3].11Plofker (2009), [13, p. 41-42].

13

2.2 Voor-Klassieke periode

Door de veroveringen van Alexander de Grote (356 v.Chr.- 323 v.Chr.) op India (ca.327 v.Chr.) kwam er kennisoverdracht tussen de Grieken en de Indiers.12 Alexanderde Grote had maar een klein stukje in het noordwesten van India veroverd. Deze ken-nisoverdracht was daarom in het begin vooral tussen de Indo-Grieken in het noord-westen van India en de Grieken uit de rest van het rijk van Alexander de Grote,13

waarna de kennis in de loop van de tijd ook overgedragen werd op de rest van In-dia.14 De culturele fusie tussen de Grieken en Indiers resulteerde in de opkomst vande Indiase horoscoop en astrologie. Astrologie werd waarschijnlijk geıntroduceerddoor de Grieken, daarom lijkt de eerste Indiase astrologie sterk op die van de Grieken.Later hebben de Indiers deze Griekse kennis opnieuw geınterpreteerd en uitgebreid,waardoor deze een eigen vorm kreeg.15

Er zijn sinustabellen teruggevonden uit de voor-klassieke periode. Een van devroegst teruggevonden werken is de Panca-siddhantika.16 De sinussen die de Indiershier gebruikten, leken sterk op de onze. Dit is opvallend, omdat er in het Westeneerst gebruik gemaakt werd van koorden en kwamen pas later de sinussen die wij nugebruiken, terwijl er in India dus al gebruik gemaakt werd van de voor ons herkenbaresinussen.17

Het Jaınisme is een religie en filosofie met als grondlegger Mahavira (ca. 6e eeuwv.Chr.). Deze stroming had veel invloed op de ontwikkeling van de wiskunde in Indiaen kan gezien worden als een schakel tussen de vedische periode en de klassiekeperiode. Het gaat om ongeveer de periode van 500 v.Chr. tot 200 n.Chr. Wiskundewerd bij deze Jaınisten meer losgemaakt van de religieuze en rituele toepassingen.Zij hadden een fascinatie voor oneindigheid en grote getallen. Ze onderscheiddenverschillende soorten getallen: telbaar, ontelbare (eindig maar alleen in benaderinguit te drukken) en oneindige. Ook maakten de Jaınisten gebruik van namen voorverschillende vormen van berekenen.18

Er zijn nog veel vragen over het bedrijven van de wiskunde door Jaınische wis-kundigen. Wel is er een sterk vermoeden dat zij de eerste waren die het woord Suny-ata voor leegte gebruikte, wat voor hen hetzelfde betekent als dat nul voor ons nubetekent.19

2.3 Middeleeuwen

Terwijl in het Westen gedurende de middeleeuwen de wetenschap stil kwam te lig-gen, ging de ontwikkeling van de wis-en sterrenkunde in India wel verder. In deze

12Lendering (2004), [8].13Dit rijk van Alexander de Grote was uiteraard zelf ook al een mengeling van verschillende kennis

en culturen.14Plofker (2009), [10, p.9].15Plofker (2009), [10, p. 48-49].16Plofker (2009), [10, p. 49-53].17We zullen in hoofdstuk 6 hier dieper op ingaan.18Plofker (2009), [13, p. 57-60].19Plofker (2009), [10, p. 16]

14

periode is er in India dan ook veel gebeurd op het gebied van wis-en sterrenkunde.Er werden in deze periode veel commentaren uitgewisseld of fouten verbeterd vanoudere wiskunde. Hierdoor is het nooit zeker dat alle werken bij de genoemde per-soon horen. Een groot deel van de ontwikkeling van de wis-en sterrenkunde vondook plaats in Kerala, dit bespreken we in hoofdstuk 2.4.

We zullen nu in de komende subparagrafen een klein overzicht geven over deontwikkeling van de Indiase kennis gedurende de Middeleeuwen, op het gebied vande wis-en sterrenkunde met (indien bekend) bijbehorende auteurs. We zullen maartwee bekende wiskundigen bespreken.20

2.3.1 Siddhantas

De belangrijkste teksten op het gebied van astronomische berekeningen, welke be-waard zijn gebleven, zijn de Siddhantas. Er waren achttien Siddhantas, waarvaner maar vijf teruggevonden zijn. Dit zijn de Surya-Siddhanta, Brahma-Siddhanta,Vasistha-Siddhanta, Romaka-Siddhanta en Paulisa-Siddhanta.21

In deze teksten worden in verschillende hoofdstukken (adhyaya) gesproken overde middelbare posities (madhyama) van de toen bekende hemellichamen (Zon, maan,Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus).22 De auteurs onderscheidden hiervoorde manda correctie voor de maan en zon en de sighra correctie voor de planeten.Deze correcties zullen we ook terugzien en verder uitleggen in de tekst die we gaanbestuderen.23

De auteurs van de Siddantas waren ook al bekend met berekeningen van zons-verduisteringen, parallaxen, maansverduisteringen en andere op de aarde zichtbareverschijnselen op het gebied van sterrenkunde.24

2.3.2 Aryabhat.a

Aryabhat.a (ca. 476-550 n.Chr.) schreef als belangrijkste werk de Aryabhat.iya welkerond het jaar 500 verscheen. De Aryabhat.iya bestond uit 4 secties en 121 verzen.Hierin beschreef hij onder andere een sinustabel, kosmologie, kwadratische vergelij-kingen, onbepaalde vergelijkingen, methodes om de posities van planeten te bepalen,de hemelbol, de ecliptica, gebruik van schaduwen en nog meer. Er stonden ook en-kele fouten in, zoals de berekening van het volume van de piramide en de volume vaneen bol.25

Opmerkelijk was zijn idee over de beweging van de aarde. In de Indiase sterren-kunde werd aangenomen dat de aarde stilstond in een geocentrisch stelsel, waarom-heen de sterren op de hemelbol bewogen. Aryabhat.a stelde echter dat de aarde om

20Voor een klein overzicht van andere belangrijke figuren plus toelichting, zie Plofker 2009 [10]p.317-326

21Padmanabhan (2010), [9, p. 4].22De middelbare positie is de positie die een hemellichaam heeft als het een cirkelvormige baan

rond de aarde zou beschrijven. De ware posities berekenden zij door een correctie te gebruiken op demiddelbare posities. We komen hier later nog uitvoeriger op terug.

23Voor de nieuwsgierige lezer kunnen we alvast verwijzen naar hoofdstuk 8.24Padmanabhan (2010), [9, p. 4].25De Aryabhat.iya wordt becommentarieerd in het werk van Clark (1930) [5].

15

zijn as draaide en dat de sterren stilstonden. Voor zijn ideeen waren voor-en tegen-hangers. Helaas is zijn idee dan ook niet meer terug te zien in de tekst die we gaanbespreken en zullen we in het vervolg van de scriptie er vanuit gaan dat de aarde nietom zijn as draait en gewoon stilstaat.26

2.3.3 Brahmagupta

Brahmagupta (ca. 598-670 n.Chr.) schreef als belangrijkste werken de Brahma-sput.a-siddhanta (628 n.Chr.) en de Khan. d. a-khadyaka (665 n.Chr.). Hij zou de eerstezijn geweest die de regels gaf om te rekenen met het getal 0. Brahmagupta gebruikte3 als praktische waarde voor π en

√10 als nauwkeurige waarde voor π. Verder gaf

hij oplossingen voor lineaire vergelijkingen. Ook de oplossingen voor de eindigesommen

∑n,∑n2 en

∑n3 kende hij al. Er zijn ook enkele stellingen en formules

naar hem vernoemd, zoals de formule voor het oppervlak van een koordenvierhoek:√(x− a)(x− b)(x− c)(x− d).

Waar x = a+b+c+d2 en a,b,c en d de zijden van het koordenvierhoek zijn.27 Hij

gaf verder ook veel commentaren, zoals op het werk van Aryabhat.a, waar hij eenverbetering gaf voor de berekening voor het volume van een piramide en bol.

2.3.4 Andere bekende wis-en sterrenkundigen

Er zijn nog een heleboel andere belangrijke Indiase wis-en sterrenkundigen geweestgedurende de middeleeuwen. Enkele hiervan die een hoofdrol speelden in de deel-staat Kerala zullen we bespreken in de volgende paragraaf. De rest zullen we echterniet meer bespreken.

2.4 Wiskunde in Kerala

Een belangrijke school in India was de school in Kerala. We zullen zien dat debelangrijkste bron voor deze scriptie uit deze school komt.28 Kerala is een deelstaatin het zuidwesten van India (zoals weergegeven in figuur 2.1) en heeft als officieletaal het Malayalam. De school volgde in de sterrenkunde de school van Aryabhat.aen in astrologie de school van Varahamihira. De belangrijkste wiskundigen met hunbijdrages zullen we hier kort bespreken.29

2.4.1 Madhava van San. gamagrama

Madhava (1340-1425 n.Chr.) was de oprichter van de school in Kerala, daarom wordtdeze school nu ook wel eens de school van Madhava genoemd. Helaas is er weinigover zijn leven bekend. Hij scheen een van de eerste te zijn geweest die oneindige

26Chatterjee (1974), [4].27Boyer (2011), [2, 197-198].28Dit is tevens de reden dat we de geschiedenis van de wiskunde in Kerala iets verder uitdiepen.29Padmanabhan (2010), [9, p. 27-31].

16

Figuur 2.1: Het deelstaatje Kerala weergegeven in rood. [6]

reeksen gebruikte voor goniometrische functies en π. Deze reeksen vond hij eerderdan Leibniz en Gregory. Veel onderwerpen uit de Gan. ita-yukti-bhas.a die we zullenbespreken, in het vervolg van deze scriptie, hebben hun oorsprong bij Madhava.30

2.4.2 Paramesvara

Paramesvara (ca. 1362-1455 n.Chr.) was een directe leerling van Madhava. Hij wasvoorstander voor observatie binnen de sterrenkunde, in plaats van het gebruik vanwiskunde. Hij wilde dus alleen door observatie er achter komen hoe de hemellicha-men zich bewogen, zonder er een reden of wiskunde aan toe te voegen. Zo hield hijzich veel bezig met het observeren van zonsverduisteringen.31

In de wiskunde heeft hij ook zijn bijdrage geleverd. Hij gebruikte waarschijn-lijk als een van de eerste een soort numerieke wiskunde, door middel van een soortempirische methode bestudeerde hij namelijk convergentie condities en iteratieve al-goritmen.32

2.4.3 Nilakan. t.ha Somayaji

De zoon van Paramshvara was Damodara. Nilakan. t.ha Somayaji (ca. 1444-1544n.Chr.) was een leerling van Damodara.33 Nilakan. t.ha schreef enkele invloedrijkewerken, zoals de Tantrasangraha (1501 n.Chr.) over sterrenkunde en gaf ook enkeleuitgebreide commentaren op werken van Aryabhat.a. Hij stelde onder andere eenverbeterd planetenmodel voor, aan de hand van onder meer de vijfenvijftig jaar langenauwkeurige observaties van Paramesvara. Hier draaien de zon en de maan rond deaarde en andere planeten rond de zon in cirkelvormige banen. De astronomen nahem, aan de Keralese school, hebben dit van hem overgenomen.34

30Plofker (2009), [10, p. 217-221]. Padmanabhan (2010), [9, p. 27].31Ramasubramanian (2011), [12, p. xxxiii].32Plofker (2009), [10, p. 219].33Je zou haast denken dat ’ca. 1444-1544’ een typefout zou zijn, maar toch zie je deze schatting veel-

vuldig terugkomen in geschiedenis boeken. Overigens is deze schatting niet eens zo vreemd, als je ziethoevaak zijn naam gerelateerd wordt aan verschillende teksten en wis-en sterrenkundige ontdekkingen.

34Ramasubramanian (2011), [12, p. xxxiii-xxxvii].

17

2.4.4 Jyes.t.hadeva

Ook Jyes.t.hadeva (ca. 1500-1610 n.Chr.) was een leerling van Damodara.35 Er is, netals sommige anderen, niet heel veel over zijn leven bekend. Het belangrijkste wat weover hem, na lang speurwerk, te weten zijn gekomen is dat hij de Yukti-bhas.a (1530)schreef. In hoofdstuk 2.4.5 gaan we dieper in op de Yuki-bhas.a.

Sankara Variyar van Tirukkut.aveli (ca. 1500-1560 n.Chr.), leerling van Nilakan. t.ha,was erg beınvloed door het werk van Jyes.t.hadeva. Aan de hand van de Yukti-bhas.aschreef hij enkele commentaren op de Tantrasangraha, zoals in de Yukti-dipika enLaghu-vivr.ti.36

Jyes.t.hadeva had zelf ook leerlingen aan de Keralese school, zoals Acyuta-pis.arat.i(ca. 1550-1621 n.Chr.), wie het werk Karan. a schreef.

2.4.5 Yukti-bhas.a

De Yukti-bhas.a is de in het Malayalam geschreven tekst van Jyes.t.hadeva. De naarhet Engels vertaalde versie van deze tekst zullen we vanaf het volgende hoofdstukbekijken. Het is daarom goed als we nog even expliciet naar het in het Malayalamgeschreven werk van Jyes.t.hadeva, de Yukti-bhas.a, kijken. Hopelijk begrijpen we daniets meer de bijzonderheid van zijn werk.

In de Yukti-bhas.a (1530) kwam voor een van de eerste keren wiskunde en ster-renkunde samen in hetzelfde werk voor. Hoewel Jyes.t.hadeva zelf zijn werk nietexpliciet verdeelde in verschillende hoofdstukken, is het wel mogelijk het te schei-den in een deel over wiskunde en een deel over sterrenkunde. Het wiskunde deelis grotendeels een verzameling van wiskunde kennis die er in zijn tijd bestond. Hetmeest revolutionaire aan dit werk is dat Jyes.t.hadeva de wiskunde motiveerde en detussenstappen die hij nam, om tot een resultaat te komen ook gaf, in tegenstelling totzijn voorgangers. De motivaties die hij gaf, kun je zien als pseudo-bewijzen aande hand van veelal meetkundige voorbeelden, welke hij vervolgens veralgemeni-seerde.37 Zijn wiskunde voorbeelden waren vooral sterrenkundig gerelateerd. Hetdeel over de sterrenkunde was grotendeels overgenomen uit de Tantrasangraha vanNilakan. t.ha Somayaji.38 Waarbij Jyes.t.hadeva ook hier, in tegenstelling tot Nilakan. t.ha,de tussenstappen om tot het eindresultaat te komen, gaf en motiveerde. Dit zorgt erin ieder geval voor dat de lezer beter snapte hoe de sterrenkundige berekeningen enhet wereldbeeld in elkaar zat.

35Hij zal niet echt 110 jaar oud zijn geworden, maar dit is een grove schatting.36Ramasubramanian (2011), [12, p.xxxiii].37In sommige boeken over de Yukti-bhas.a zegt de schrijver, in plaats van ’motivaties’, dat het om

daadwerkelijke ’bewijzen’ gaan, maar het woord ’bewijs’ is naar onze mening niet altijd van toepassing.Dit zou namelijk impliceren dat het waterdichte bewijzen zijn, zoals we hedendaags in de wiskundegewend zijn en dit was in de Yukti-bhas.a niet altijd het geval.

38Sarma (2008), [13, p.xxxii-xxxix]. Ramasubramanian (2011), [12, p.xxxiii-xxxiv].

18

Hoofdstuk 3

Gan. ita-yukti-bhas.a

Zeer recent is de Yukti-bhas.a van Jyes.t.hadeva vertaald naar het Engels, getiteld”Gan. ita-yukti-bhas.a (Rationales Mathematical Astronomy) of Jyes.t.hadeva” (2008).1

De Engelse vertaling komt van K.V. Sarma (1919-2005 n.Chr.) en de toelichtingenkomen van K. Ramasubramanian, M.D. Srinivas en M.S. Sriram.

3.1 Betekenis en eerste vertaling

Als we naar de afzonderlijke betekenissen van de naam Gan. ita-yukti-bhas.a kijken,dan zien we dat gan. ita betekent ’de wetenschap van berekenen’. Yukti heeft meerderebetekenissen, wij kiezen hier voor de vertaling ’uitleg’. Bhas. a betekent ’taal uit deregio’. Op deze manier zien we dat Gan. ita-yukti-bhas.a betekent ’De wetenschap vanhet berekenen uitgelegd in de taal uit de regio’. Deze taal was bij de Yukti-bhas.a hetMalayalam.2

De eerste vertaling van de Yukti-bhas.a heette ook de Gan. ita-yukti-bhas.a, welkevan het Malayalam naar het Sanskriet was. Dit was echter een ruwe en slechte ver-taling. Waarschijnlijk was de vertaler (nog een onbekend persoon) niet bekend metwis-en sterrenkunde en zelfs zijn Sanskriet scheen niet foutloos te zijn.3 Vanaf nuzullen we het alleen nog maar over de Gan. ita-yukti-bhas.a van Sarma hebben, dus deEngelse vertaling.

3.2 Gan. ita-yukti-bhas.a

De Engelse vertaling van de Yukti-bhas.a, de Gan. ita-yukti-bhas.a van Sarma, is doorde vertalers onderverdeeld in twee verschillende delen en verschillende hoofdstuk-ken. De oorspronkelijke tekst van Jyes.t.hadeva was, zoals we net al zeiden, namelijkniet onderverdeeld in verschillende stukken. In het eerste deel zitten alle wiskundehoofdstukken en in het tweede deel de sterrenkunde hoofdstukken. Een klein over-zicht van alle hoofdstukken met onderwerpen zien we in tabel 3.1.

1Jyes.t.hadeva hebben we zojuist besproken in hoofdstuk 2.4.4.2Padmanabhan (2010), [9, p. 27].3Sarma (2008), [13, p.xxxix].

19

Tabel 3.1: Onderwerpen uit Gan. ita-yukti-bhas.a. De dikgedrukte hoofdstukken zullenwe in de scriptie tegenkomen.

Hoofdstuk 1 Rekenen met een decimaalstelsel. Optellen, aftrekken, ver-menigvuldigen, kwadrateren en worteltrekken.

Hoofdstuk 2 Tien algebraısche problemen met oplossingen.Hoofdstuk 3 Rekenen en de eigenschappen van breuken.Hoofdstuk 4 De regel van drie.Hoofdstuk 5 Kut.t.akara. Het oplossen van vergelijkingen met onbe-

kende(n).Hoofdstuk 6 Oneindige reeksen en benaderingen voor de verhouding van

de omtrek en de diameter van cirkels.Hoofdstuk 7 De Rsinus en de oneindige reeksen en benaderingen hiervoor.Hoofdstuk 8 Beweging van hemellichamen.Hoofdstuk 9 De aarde en de hemelbol.Hoofdstuk 10 Vijftien sterrenkundige problemen.Hoofdstuk 11 Rekenen met schaduwen, parallax en enkele hierop geba-

seerde problemen.Hoofdstuk 12 Zonsverduisteringen.Hoofdstuk 13 Vyatipata. Dit betekent: het moment dat de zon en de maan

dezelfde declinatie hebben, maar tegengesteld van elkaar toe-nemen.

Hoofdstuk 14 Zichtbare correcties en fases van hemellichamen.Hoofdstuk 15 Berekening van de afstand tussen het centrum van de maan

en de zon.

20

In deze scriptie zullen we uit de Gan. ita-yukti-bhas.a enkele onderwerpen bespre-ken, om zo een aardig beeld van dit werk te krijgen. Dit zullen met name de dikge-drukte hoofdstukken zijn, waar we overigens niet altijd alles van zullen bespreken.We zullen onderscheid maken tussen ’de auteur’ en ’de vertaler’. Als we het over ’deauteur’ hebben, dan spreken we over de oorspronkelijke auteur van de Yukti-bhas.a,Jyes.t.hadeva, als we het over ’de vertaler’ hebben, dan gaat het over Sarma.4

We kunnen zien dat de Gan. ita-yukti-bhas.a is geformuleerd alsof een leraar aaneen leerling uitlegt hoe een resultaat verkregen wordt. De auteur legt namelijk stapvoor stap uit wat de bedoeling is en hoe naar de oplossing gewerkt moet worden.Opvallend is dat er helemaal geen illustraties van de meetkundige figuren voorko-men in de Gan. ita-yukti-bhas.a, waarover de auteur wel spreekt. Wel probeert hij delezer uit te leggen over welke figuren het gaan en hoe deze geconstrueerd kunnenworden. Deze figuren zijn door de vertaler wel toegevoegd in zijn toelichtingen.Ook heeft deze vertaler alle wiskunde formules en afleidingen die door de auteur inwoorden uitgelegd zijn, toegevoegd in hedendaagse formules. In deze scriptie zullenwe grotendeels figuren van de vertaler gebruiken, maar zelf ook figuren tekenen engebruiken we de hedendaagse formuletaal.

4We maken geen onderscheid tussen de vertaling en toelichting, dus het zou ook kunnen zijn dat alswe over ’de vertaler’ spreken, dit eigenlijk het werk van Ramasubramanian, Srinivas of Sriram gaat.

21

Hoofdstuk 4

Gan. ita-bheda

We zullen beginnen bij het begin. Hier begint de auteur met het uitleggen hoe het re-kenen met een decimaalstelsel en verschillende rekenmethodes werkt, wat hier zoalsde titel al verklapt, gan. ita-bheda heet. In dit hoofdstuk zullen we de hoofdstukken 1,3 en 4 uit de Gan. ita-yukti-bhas.a bespreken.

4.1 Korte inleiding in het rekenen in Kerala

We kunnen gelijk opmerken dat religie en de wiskunde traditie, net als in de oudereIndiase wiskunde, nog steeds met elkaar verbonden zijn. De auteur opent namelijkde Gan. ita-yukti-bhas.a met het volgende vers:

pratyuhavyuhavihatikarakam. paramam. mahah.antah. karan. asuddhim. me vidadhatu sanatanam”Kan de allerhoogste macht, welke massa’s van obstakels verwijdert, mijeeuwige zuiverheid van geest schenken.”1

Hiermee spreekt de auteur dus een zegening uit. Dit is eigenlijk het enige religieuzeaspect aan de Gan. ita-yukti-bhas.a, maar desondanks wel typisch voor de tijd en plaatswaarin dit geschreven is.

De operaties beschouwt de auteur als een onderdeel van de natuur der getallen.Hiermee bedoelt hij waarschijnlijk dat het een soort onomstreden grondregels van dewiskunde zijn. Bij het rekenen waren de Indiers al lange tijd bekend met een decimaalgetallenstelsel. Dit is dan ook wat de auteur hanteert. Hierover zegt hij eerst dat debasisgetallen een tot en met tien alle getallen opbouwen. Zijn uitleg vervolgt mette vertellen dat als een getal vermenigvuldigd wordt met tien dat het getal dan eenpositie naar links verplaatst, met honderd twee plaatsen naar links, enzovoorts. Dezeplaatsen duidt hij aan met ’eenheids plaats’, ’tien’s plaats’, ...

Stijging (vr. ddhi) vindt plaats door optelling (yoga), vermenigvuldiging (gun. a),kwadrateren (varga) of tot de derde macht verheffen (ghana). Daling (ks. aya) vindtplaats door aftrekken (viyoga), deling (haran. a), worteltrekken. Overigens onder-

1Dit is een eigen vertaling van de Engelse vertaling van Sarma (2008), [13, p.1].

22

scheidt de auteur, voor worteltrekken, tweede- en derdemachtsworteltrekken (respec-tievelijk varga-mula en ghana-mula).

In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we de operaties, volgens de Gan. ita-yukti-bhas.a, afzonderlijk behandelen. We waarschuwen wel alvast dat dit hoofdstuk voorde meeste lezers relatief simpel zal zijn, omdat deze wiskundige operaties sterk lijkenop de onze. Hopelijk schrikt dit de lezer niet af voor het verder lezen van dezescriptie. Na dit hoofdstuk bouwt het niveau namelijk gauw op.

4.2 Optellen en aftrekken

Bij het optellen en aftrekken rekent de auteur met ’het eenheidsgetal’ (rupa en vyakti).Voor ons is dit het getal 1. Bij optellen en aftrekken krijg je dan +1 of -1. Het isvolgens hem een eigenschap van de natuur der getallen dat als je het eenheidsgetaloptelt of aftrekt, er het volgende hogere of lagere getal volgt. Het eenheidsgetal kanvolgens hem ook meerdere keren tegelijk worden opgeteld of afgetrokken, zodat jeook met grotere stappen kan optellen en aftrekken.

4.3 Vermenigvuldigen

Vermenigvuldiging ziet de auteur als meervoudig optellen. Hij onderscheidt hierbijtwee soorten getallen voor een vermenigvuldiging:

• gun. ya: Het getal dat wordt vermenigvuldigd.

• gun. akara: Het getal dat zorgt voor vermenigvuldiging.

Het lijkt op deze manier dat vermenigvuldigen dus als een niet-commutatieve opera-tie beschouwd wordt. Dit is voor ons natuurlijk vreemd. Vermenigvuldigen zien wijals een commutatieve operatie. Een mogelijke verklaring voor het gebruik van tweeverschillende begrippen voor de twee getallen die met elkaar worden vermenigvul-digd, is dat de auteur bij deling ook gebruik maakt van twee verschillende begrippen(zoals we straks zullen zien) en hij daarom ook onderscheid wil maken bij vermenig-vuldiging.2 Hij drukt operaties in woorden uit, dus dan lijkt het ook minder vreemdte zijn dat je twee verschillende begrippen gebruikt. Alleen staat er geen opmerkingbij dat het voor het resultaat niet uitmaakt als de twee getallen (of begrippen) wordenomgedraaid, dit had hij voor de duidelijkheid wel kunnen doen.

Voor vermenigvuldigingen zijn er in de Gan. ita-yukti-bhas.a verschillende metho-des. Een simpelere methode is het boven elkaar zetten van getallen en de getallen eenvoor een met elkaar vermenigvuldigen. Dus bijvoorbeeld in het geval van 123× 234

2Dit is echter, om duidelijk te zijn, een eigen speculatie.

23

Figuur 4.1: Figuur ter illustratie bij vergelijking 4.2. [13, p.153].

reken je eerst de volgende vermenigvuldigingen uit

100× 200 = 20000,

20× 200 = 4000,

3× 200 = 600,

100× 30 = 3000,

20× 30 = 600,

3× 30 = 90,

100× 4 = 400,

20× 4 = 80,

3× 4 = 12, (4.1)

vervolgens tel je deze op, zodat je ziet dat

123× 234 = 28782.

Deze methode is voor grotere berekeningen wat omslachtig. Zeker in de sterrenkundekrijg je te maken met grote getallen, dus daarom is het handig als er snellere metho-des zijn door middel van ”speciale” vermenigvuldigingsmethodes. Gelukkig voor deminder soepele rekenaars presenteert de auteur deze snellere methodes. Deze metho-des komen ongeveer neer op een soort algebraısche formules. Hij probeert een beeldbij vermenigvuldiging te vormen, door te zeggen dat een vermenigvuldiging voor testellen is als een vierzijdig figuur, opgebouwd door kleine vierkantjes met de zijdengelijk aan het eenheidsgetal.

Om een voorbeeldje te bekijken van speciale methodes, kunnen we onze eigen al-gebra gebruiken en x en y invoeren als de zijden van een vierzijdig figuur. Zo wordener methodes gegeven die equivalent aan de volgende formules zijn (met bijbehorendefiguren 4.1 en 4.2)

xy = x(y ∓ a)± xa, (4.2)

xy = (x− a)(y + b)− (x− a)b+ ay. (4.3)

De formules worden in woorden gegeven, maar hierbij legt de auteur verder nietmeer heel duidelijk uit wat er bijzonder is aan deze specifieke formules. Hij had er

24

Figuur 4.2: Figuur ter illustratie bij vergelijking 4.3. [13, p.153].

wat ons betreft iets dieper op in mogen gaan, bijvoorbeeld over het aantonen vangelijkheid. Misschien probeert hij de lezer wat creatief inzicht mee te geven op hetgebied van vermenigvuldiging? Er wordt door hem namelijk gezegd dat wat we invergelijking 4.2 en 4.3 a noemen, handig moeten kiezen, om de vermenigvuldigingte versimpelen.

De figuren gepresenteerd in figuur 4.1 en 4.2 tekent de auteur zelf niet, maar erwordt door hem een uitleg gegeven over hoe de lezer deze kan tekenen.3

4.4 Kwadrateren

Voor kwadrateren behandelt de auteur ook verschillende methodes. Het is eigenlijkeen speciaal geval van vermenigvuldigen, maar dan met twee dezelfde getallen. Hijmerkt dus direct op dat deze operaties te beschrijven zijn met vierkanten.

Opnieuw stelt hij verschillende methodes voor, aan de hand van meetkundigefiguren.4 We zullen er een bekijken, waarbij we weer onze huidige algebra gebruiken:

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2. (4.4)

Dit is voor ons een bekende formule om het kwadraat van de som van twee wil-lekeurige getallen uit te rekenen. De auteur legt hierbij uit dat een oppervlak van eenvierkant met zijden gelijk aan x+ y gelijk is aan de som van de vierkanten met zijdex en y plus twee maal de rechthoek met zijden x en y.

Een ander speciaal geval van kwadrateren is wat Bhuja-kot.i-karn. a-nyaya heet.Zie hiervoor figuur 4.3. Hier kun je afleiden dat

(a+ b)2 − 4 · 1

2ab = a2 + b2.

De 12ab is de oppervlakte van de gestreepte driehoeken. Hier zien we dus eigenlijk

een afleiding van de stelling van Pythagoras. Op deze manier kunnen we Bhuja-kot.i-karn. a-nyaya vertalen met ’de stelling van Pythagoras’.

3Gelukkig heeft de vertaler een groot deel van dit werk al voor ons gedaan in zijn toelichtingen.4Typisch voor de Gan. ita-yukti-bhas.a en wat we later meermalig zullen opmerken, is dat er door de

auteur nooit zelf een figuur wordt getekend. Hij laat dit aan de lezer over.

25

Figuur 4.3: Figuur ter illustratie bij Bhuja-kot.i-karn. a-nyaya [13, p.159].

4.5 Machtsverheffen

In de Gan. ita-yukti-bhas.a zien we ook het verheffen tot de derde macht langskomen,maar hoger dan deze macht gaat de auteur niet. Hij stelt machtsverheffen voor als op-pervlakken en volumes. Daarom had het waarschijnlijk geen zin om, fysisch gezien,verder dan de derde macht te gaan. Dit stelt namelijk de driedimensionale wereldvoor. Voor het worteltrekken maakt hij ook een onderscheid tussen de tweede-enderdemacht en kijkt hij, logischerwijs, niet naar hogere machten. We hebben dezederdemacht verder niet meer nodig, dus we zullen hier verder niet meer bij stilstaan.

4.6 Deling

Bij delen maakt de auteur onderscheid tussen ’het deelgetal’ (harya) en ’de deler’(haraka). Om een voorstelling te maken wat er bij delen gebeurt, kun je het deelgetalvolgens hem zien als het oppervlak van een rechthoek met de deler gelijk aan delengte en de quotient gelijk aan de breedte.

We kunnen hier zeggen dat harya hetzelfde is als de teller en haraka de deler.In dit geval is onderscheid tussen deze twee getallen wel op zijn plaats. Deling isnamelijk geen commutatieve bewerking.

4.7 Breuken

Breuken zijn in de Gan. ita-yukti-bhas.a een speciaal geval van deling, waarbij de de-ling geen geheel getal oplevert. Breuken ziet de auteur als ’delen’ of ’stukken’ vangetallen, wat avayava-s heet. Opnieuw kunnen we dus zeggen dat hij graag een beeldhierbij wilt vormen, in plaats van het abstract te houden. Het rekenen met breukenvergelijkt hij met het rekenen met gehele getallen. Het belangrijkste verschil metgehele getallen is dat als je twee breuken wilt optellen of aftrekken, je de noemersgelijk moet maken (savarn. a).

26

Voor het vermenigvuldigen (en kwadrateren) van gehele getallen met breukengeldt hetzelfde als gewoon vermenigvuldigen. Het aantal keer dat het getal de breukvermenigvuldigt, moet opgeteld worden. De auteur geeft als eenvoudig voorbeeld:10· 15 = 10

5 . Voor vermenigvuldigen van twee breuken moeten de twee tellers en tweenoemers met elkaar worden vermenigvuldigd. Hiermee komt hij nu met een andervoorbeeld: 2

3 ·34 = 6

12 .Vervolgens geeft hij ook een voorbeeld voor het delen van breuken, waarbij hij

uiteindelijk concludeert dat vermenigvuldigen en delen van breuken op elkaar lijkt.Echter moet je bij het delen de teller en de noemer verwisselen. Dus hiermee bedoelthij dat de deler a

b transformeert naar ba , waarmee vervolgens de regels voor verme-

nigvuldigen gewoon worden gevolgd. Het rekenen met breuken gaat dus hetzelfdeals bij ons hedendaags.

4.8 Worteltrekken

Ook het worteltrekken, de inverse operatie van kwadrateren, is belangrijk in de Gan. ita-yukti-bhas.a. Hiervoor laat de auteur een voorbeeld van het kwadraat van 123 zien.Vervolgens laat hij door het gebruik van een ingewikkelde methode zien dat als je te-rugrekent en de stappen dus in omgekeerde volgorde herhaalt, je op 123 uitkomt. Duseigenlijk rekent hij eerst 1232 = 15129 uit en laat hij dan zien dat

√15129 = 123.

Deze methode voor het worteltrekken is voor ons verder niet heel relevant, dus zullenwe hier niet bespreken.

4.9 Hogere machten

De auteur behandelt ook de derdemacht, maar hoger dan deze macht gaat hij niet.Hij stelt machtsverheffen voor als oppervlakken en volumes. Daarom had het waar-schijnlijk geen zin om, fysisch gezien, verder dan de derde macht te gaan. Dit steltnamelijk de driedimensionale wereld voor. Voor het worteltrekken wordt er door deauteur ook een onderscheid gemaakt tussen de tweede-en derdemacht. Echter heb-ben we voor onze latere sterrenkunde berekeningen niet zoveel aan derdemachten,dus we zullen hier niet langer bij stilstaan.

4.10 Trairasika-s

De regel van drie (trairasikanyaya) is een methode om verhoudingen te berekenenals er een onbekende is. In de Indiase wiskunde heeft deze regel een prominenterol, daarom gaan we hier iets uitvoeriger op in. Tegenwoordig staat deze regel bijons ook wel bekend als het kruisproduct bij verhoudingen en gelijkvormigheid of alskruislings vermenigvuldiging.5

De regel van drie wordt door de auteur geıntroduceerd met een voorbeeld: ”steldat je twee delen hebt waar een relatie tussen is, zodat als een bekend is, de andere

5Niet te verwarren met het kruisproduct bij vectoren.

27

ook direct vastligt.”6 Dit klinkt enigszins vaag, daarom wordt er in de Gan. ita-yukti-bhas.a een voorbeeld door de auteur gegeven.

”Stel dat er 5 rijstvelden zijn, welke corresponderen met 2 maten vanrijst. Stel nu dat er 12 rijstvelden zijn, met hoeveel maten van rijst cor-respondeert dit?”

In dit geval is 5 ’het argument’ (praman. a), 2 ’het gevolg’ (praman. a-phala) en 12 ’hetgewenste’ (iccha). De oplossing, welke je moet vinden, heet ’de resultant’ (iccha-phala).

Met deze gegevens legt de auteur uit hoe je dit moet oplossen. Dit doet hij (ui-teraard) in woorden, maar in hedendaagse algebra legt hij eigenlijk uit dat als je deverhoudingen hebt in de vorm

a

b=c

x,

waarbij a , b en c bekend zijn en x moet worden berekend, dat dan

x =b · ca.

Om enig inzicht te krijgen in een in het Sanskriet uitgedrukte vergelijking, zullenwe de regel van drie nu in het Sanskriet uitdrukken, waarbij we wel gewoon onzeeigen formuletaal hanteren. Op deze manier zien we dat we de regel van drie kunnenuitdrukken in de vorm:

praman. a-phalapraman. a

=iccha-phala

iccha.

Aan de hand van het voorbeeld met de rijstvelden wordt er nu uitgelegd dat de oplos-sing iccha-phala=24

5 is. Wat er op duidt dat in het algemene geval altijd geldt:

iccha-phala =iccha · praman. a-phala

praman. a.

Ook legt de auteur wat uit over de omgekeerde regel van drie (vyasta-trairasika).De omgekeerde regel van drie moet worden toegepast als je te maken hebt met hetgegeven dat:

praman. a-phala · praman. a = iccha-phala · iccha.

Hieruit volgt uiteraard:

iccha-phala =praman. a-phala · praman. a

iccha.

Deze regel van drie is, zoals we net al zeiden, eigenlijk een voor ons doodnormalekruislings vermenigvuldiging. In de Gan. ita-yukti-bhas.a wordt hier door de auteureen heel hoofdstuk aan gewijd, wat aangeeft dat dit een belangrijke methode is. We

6Met een dikke knipoog zou je je kunnen afvragen of hij hier al bekend was met kwantumverstren-geling.

28

zullen zien dat we in het vervolg van deze scriptie regelmatig deze methode gaangebruiken bij het rekenen met verhoudingen. Samen met de stelling van Pythograswaren dit in Kerala de belangrijkste hulpmiddelen voor een wis-en sterrenkundige.Zeker bij het gebruik van rechthoekige driehoeken en gelijkvormigheid, zoals in desferische sterrenkunde.

29

Hoofdstuk 5

Kut.t.akara

We zullen in dit hoofdstuk het proces van kut.t.akara bespreken. Dit kunnen we ver-gelijken met het oplossen van lineaire vergelijkingen. Het kut.t.akara proces is vooralhandig bij het berekenen van (Hindoe)kalenders en bij berekeningen van planeet-bewegingen. We zullen beide toepassingen bespreken aan de hand van de tekst uithoofdstuk 5 van de Gan. ita-yukti-bhas.a, van zowel de auteur als vertaler. Daarbij ge-ven we commentaar en proberen we het te vergelijken met de hedendaagse wiskunde.

5.1 Kut.t.ara in kalenderrekening

In het vroege India onderscheidden de Hindoes verschillende tijdperken, ook welyuga genoemd.1 Het huidige tijdperk is het Kali-tijdperk (Kaliyuga). We zullen nueerst uitleggen hoe de kalender er voor Hindoes uitzag, waarna we het aantal dagensinds het begin van het Kaliyuga aan de hand van deze kalender zullen berekenen.2

Hierbij moeten we wel opmerken dat er heel veel verschillende kalenders gehanteerdwerden (en nu nog steeds). Hier bespreken we de kalender die de auteur van deGan. ita-yukti-bhas.a lijkt te hanteren.3 Deze informatie over kalenders hebben weniet uit de Gan. ita-yukti-bhas.a zelf kunnen halen. Hier lijkt de auteur namelijk teveronderstellen dat dit niet nodig is.4

5.1.1 Zonnejaar

Een zonnejaar was bij de Hindoes de tijdsduur totdat de zon alle sterrenbeelden ge-passeerd had. Dit betekende dat de Indiers dus een siderisch jaar gebruikten, be-staande uit iets meer dan 365,25 dagen.5 De baan van de zon verdeelden ze in 12gelijke delen, de sterrenbeelden (de baan van de zon zullen we beter bespreken inhoofdstuk 7). Met deze sterrenbeelden kon dan een zonnemaand worden opgesteld.

1Zie voor uitgebreidere uitleg over de verschillende tijdperken bijlage A.2Deze kalender wordt nog steeds gehanteerd.3’Lijkt’, omdat hij zelf niet aangeeft over welke kalender hij spreekt.4Deze informatie hebben we gehaald uit Ramasubramanian (2011) [12, p. 4-27].5Dit zijn 365,256360417 dagen om precies te zijn.

30

Iedere maand was dan gelijk aan de tijd die de zon er over deed om een sterrenbeeldte passeren.

5.1.2 Maanmaand

Een maanmaand was volgens de Hindoes de tijdsduur tussen twee nieuwe manen.Hedendaags noemen we dit een synodische maand. Deze maanden werden opge-spannen door 30 tithis (welke wij hier maandagen noemen). Een tithi was gedefini-eerd als de tijdsduur waarin de zon en de maan een hoekverschil van 12◦ maakten.In totaal werd een maanjaar zo opgespannen door 360 tithi-s. Een tithi was dus kor-ter dan een gewone dag.6 In feite bestond een maanmaand uit afwisselend 29 en 30dagen.7 Samen spanden alle maanden dus een jaar op van 354 dagen.

5.1.3 Schrikkelmaand

Wij kennen het schrikkeljaar als het jaar waarin we een extra dag in februari toe-voegen om aan ongeveer 365,25 dagen per jaar te komen.8 De Hindoes gebruikten,zoals we net zagen, ook ongeveer 365,25 dagen in een zonnejaar. Echter zien wedat bij het gebruik van maanmaanden, ze maar op 354 dagen uitkwamen. Om nu hetverschil van 11,25 dagen tussen een zonnekalender en maankalender te overbruggenmoest er 7 maal in 19 jaar een extra maand in de maankalender worden toegevoegd,zodat de maankalender in zo’n jaar 13 maanden telde. Deze schrikkelmaand heetteadhikamasa.

5.1.4 Berekening

Het berekenen van kalenders was in India, net zoals in veel andere culturen, erg be-langrijk voor het uitvoeren van Hindoeıstische rituelen en het vastleggen van feestda-gen. Het was dan ook de bedoeling dat dit nauwkeurig ging. We zullen nu een kalen-derberekening uit de Gan. ita-yukti-bhas.a bespreken. Waarbij we uitrekenen hoeveeldagen er verstreken zijn sinds Kaliyuga, ook wel ahargana genoemd. We zullenhet eerst in woorden uitleggen, zodat we een idee krijgen hoe het voor de Indiers eruitzag als ze dit soort teksten lazen.9 Vervolgens gaan we variabelen invoeren omde tekst wat begrijpelijker te maken. De auteur maakt gebruik van de zonnejaren,maanmaanden en schrikkelmaanden van de zojuist besproken Hindoekalender.

Het aantal maanmaanden in een yuga min het aantal zonnemaanden (gelijk aantwaalf keer de zonnejaren in een yuga) is gelijk aan het aantal schrikkelmaanden ineen yuga (adhimasa-s). Hetzelfde idee geldt voor het bepalen van het aantal schrik-keldagen in een yuga (avamadina). Hiervoor moeten we berekenen hoeveel dagener weggelaten worden in een yuga. Het aantal verstreken maandagen (gelijk aan het

6Een ’gewone dag’ zullen we vanaf nu gewoon ’dag’ noemen.7Om precies te zijn gemiddeld 29,53058 dagen8Om precies te zijn hebben we zelfs nog een extra compensatie nodig, omdat het jaar bij ons

365,2421875 dagen telt, waardoor we eeuwen die niet door 400 deelbaar zijn als schrikkeljaar over-slaan.

9Overigens doen we dit wel in eigen woorden.

31

Tabel 5.1: Variabelen

Variabelen BetekenisSm Het aantal schrikkelmaanden in een yuga.Sd Het aantal schrikkeldagen in een yuga.Z Het anatal zonnejaren in een yuga.M Het aantal maanmaanden in een yuga.D Het aantal dagen in een yuga.z Het aantal verstreken zonnejaren sinds het begin van Kaliyuga.m Het aantal maanmaanden sinds het begin van het huidige zonne-

jaar.d Het aantal dagen sinds het begin van de huidige maanmaand.sm Het totaal aantal schrikkelmaanden.sd Het totaal aantal schrikkeldagen.A Het aantal verstreken dagen in Kaliyuga.

aantal maanmaanden maal dertig) min het aantal verstreken dagen in een yuga is ge-lijk aan het aantal schrikkeldagen. Dit is als je het zo leest niet meteen duidelijk. Omde begrijpelijkheid te vergroten, voeren we variabelen in, volgens tabel 5.1.Met deze variabelen kunnen we dan formules afleiden, welke in de Gan. ita-yukti-bhas.a ook worden afgeleid, zij het in langdradige zinnen met veel nieuwe termen inhet Sanskriet.

Het aantal schrikkelmaanden moet gelijk zijn aan het aantal maanmaanden in eenyuga min twaalf maal het aantal zonnejaren in een yuga, dit is

Sm = M − 12Z.

We kunnen opmerken dat 12Z het aantal zonnemaanden in een yuga zijn. Het aantalschrikkeldagen in een yuga moet gelijk zijn aan het aantal maanmaanden in een yugamaal dertig min het aantal dagen in een yuga, dit is dan

Sd = 30M −D.

We kunnen opmerken dat 30M het aantal maandagen in een yuga zijn. Het aantalverstreken zonnemaanden is gelijk aan (12z +m) en (30((12z +m+ sm) + d) zijnhet totaal aantal verstreken maandagen. Hiermee zie je dat

Zoals Sm staat tot 12Z, zo staat sm tot (12z +m). En zoals Sd staat tot30M , zo staat sd tot (30(12z +m+ sm) + d).

Met de regel van drie krijgen we het volgende resultaat:

sm = Sm

(12z +m

12Z

),

sd = Sd

(30(12z +m+ sm) + d

30M

).

32

Het aantal verstreken dagen in Kaliyuga,A (ahargana), sinds het begin van Kaliyugais gelijk aan het aantal verstreken maandagen minus het aantal schrikkeldagen.

A = 30(12z +m+ sm) + d− sd.

Deze lineaire vergelijkingen hebben wij nu opgelost met behulp van algebra. In deGan. ita-yukti-bhas.a wordt dit allemaal stap voor stap in woorden uitgelegd, maar hetkomt in principe op hetzelfde neer.

5.2 Kut.t.akara proces

We zullen nu het algemene kut.t.akara proces bespreken, zoals we in de inleiding vandit hoofdstuk al hadden aangekondigd. Het gaat in dit proces om het zoeken naaroplossingen in gehele getallen van vergelijkingen in de vorm

ax± cb

= y.

Hier is a ’de gedeelde’ (bhajya), b ’de deler’ (bhajaka of hara), c ’de tussenterm’(ks. epa), x ’de vermenigvuldiger’ (gun. aka) en y ’het quotient’ (labdhi). Als eerstemoeten we de grootste gemene deler (apavartana) van a, b en c zoeken. Deze ggdvinden we op een equivalente manier als met het algoritme van Euclides.10 De deler,de tussenterm en gedeelde worden hierdoor gedeeld, waarna we met deze geredu-ceerde termen (dr. d. ha) verder moeten rekenen. Nu volgt er na het reduceren metapavartana een enigszins magisch proces om op het antwoord uit te komen:

”...Nu moeten dr. d. ha-bhajya en dr. d. ha-hara van elkaar worden afgetrok-ken totdat het eenheidsgetal overblijft in de gedeelde als restterm. Schrijfde quotienten onder elkaar, de ks. epa daaronder en uiteindelijk 0 op debodem. Dit wordt valli schrijfwijze genoemd. Het getal boven het voor-laatste getal wordt vervangen door het product tussen dit getal en hetvoorlaatste getal bij het laatste getal op te tellen. Verwijder vervolgensde laatste term in de nieuwe rij. Herhaal deze operaties tot er twee getal-len overblijven. Dr. d. ha-bha. jya wordt van de bovenste term afgetrokken,net zo lang tot het niet meer kan. Hetzelfde moet worden gedaan voor deonderste met de dr. d. ha-hara. De getallen die overblijven zijn respectie-velijk de labdhi en gun. a. Dit zijn de getallen welke werden gezocht. Ditis in het geval dat het aantal quotienten een even aantal is. In het onevengeval moeten de labdhi en gun. a van de dr. d. ha-bha. jya en dr. d. ha-hara nogworden afgetrokken...”11

Het is moeilijk direct inzicht in deze methode te krijgen. Met een voorbeeld wordtdit meer duidelijk. We zullen daarom naar een voorbeeld uit de Gan. ita-yukti-bhas.akijken:

10We veronderstellen dat de lezer bekend is met dit algoritme. Zo niet, dan is er genoeg literatuurover te vinden.

11Dit is een eigen vertaling van Sarma (2008), [13, p.297].

33

”ckavim. satiyutasatadvayam. yadgun. am. gan. aka pancas. as. t.iyuk pancavarjitasatadvayoddhr. tam.suddhimeti gun. aka vadasu me”12

”Oh wiskundige! 221 is vermenigvuldigd door een zekere vermenigvul-diger, 65 is opgeteld bij dit product en dit wordt door 195 gedeeld en eris geen restterm. Vertel me wat de vermenigvuldiger is.”

In dit citaat kunnen we zien dat er wordt gevraagd om de volgende vergelijking naarx en y op te lossen:

221x+ 65

195= y.

We zoeken dus eerst naar de ggd van 221, 65 en 195. Dit gaat met apavartana oftewelhet algoritme van Euclides. We zien dat

221− 195 = 26,

195− 7 · 26 = 13,

26− 2 · 13 = 0,

dus de ggd is 13. Op een zelfde manier doen we dat voor 221 met 65 en 195 met165. Hier zullen we dan ook zien dat de ggd voor deze drie getallen 13 is. We delendaarom alle getallen door 13 en houden over

17x+ 5

15= y

Als we nu het boven beschreven proces volgen, moeten we kijken hoe vaak het ver-schil tussen 17 en 15 in 15 past, om tot het eenheidsgetal te komen.13

15) 17 (1152) 15 (7

141

Dit kan zeven keer. Samen met 1, vormen dit de quotienten. En 5 is de ks. epa,waardoor we nu deze getallen (op volgorde) op een rij kunnen zetten. Vervolgensvoeren we de methode uit, dus

7 · 5 + 0 = 35.

Nu volgt de vergelijking35 · 1 + 5 = 40.

De getallen die over zijn, zijn 35 en 40. Nu zien we

40− 2 · 17 = 6,

12Dit is oorspronkelijk een citaat uit Lilavati van Bhaskara II. Wij hebben het uit Sarma (2008), [13,p. 39].

13Met het eenheidsgetal bedoelt de auteur het getal 1.

34

35− 2 · 15 = 5.

Dus de getallen zijnx = 5 en y = 6.

Een overzichtelijke presentatie van de getallen, door middel van valli:

1 1 407 35 355 50

Zoals uitgelegd in het voorschrift moeten we het voorlaatste getal met het getal daar-boven vermenigvuldigen en optellen bij het onderste getal en dit moeten we vervan-gen in de rij ernaast voor het getal boven het voorlaatste getal. Dus 5 · 7 + 0 = 35komt op de tweede rij in plaats van 7. We verwijderen het onderste getal, in dit geval0, bij de tweede rij. De rest moeten we behouden (in dit geval alleen 1 en 5). Ditdoen we nu nogmaals, dus 35 · 1 + 5 = 40, in plaats van 1 en het getal 35 behoudenwe.

Deze methode is erg onduidelijk. De auteur geeft helaas geen duidelijke uitlegover hoe het wiskundig precies in elkaar zit, daarom moeten we het hiermee doen.We kunnen wel kijken hoe het zit als we kijken naar een uitbreiding van het algoritmevan Euclides. Als we nu de vergelijking omschrijven naar

17x− 15y = −5,

dan volgt er

17 = 1 · 15 + 2,

15 = 7 · 2 + 1. (5.1)

Nu kunnen we terugrekenen zodat we zien

1 = 15− 7 · 2= 15− 7 · (17− 1 · 15)

= 8 · 15− 7 · 17. (5.2)

Dus we zien1 = 8 · 15− 7 · 17,

5 = 40 · 15− 35 · 17.

Op deze manier volgt erx = 35 en y = 40.

De andere mogelijkheden zijn

x = 35− 15n en y = 40− 17n,

met n ∈ N, dus ook x = 5 en y = 6.We krijgen (uiteraard) op deze manier hetzelfde resultaat als in de Gan. ita-yukti-bhas.a.

35

5.3 Bhagana van de middelbare zon

Om iets meer van kut.t.akara te begrijpen, kunnen we ook nog laten zien hoe de auteuruitrekent hoeveel volledige omwentelingen de zon rond de aarde (bhagan. a-s) heeftvoltooid. Dit is een iets grotere berekening, waardoor we op een iets uitgebreideremanier laten zien hoe dit proces in zijn werk gaat.

De verhouding van het aantal omwentelingen (Ov) met het aantal verstreken da-gen (A) in een Kaliyuga, moet gelijk zijn aan de verhouding van het aantal omwen-telingen (Oy) met het aantal dagen (D) in een yuga. Dus is

OvA

=OyD,

waarbij we met de regel van drie zien dat

Ov = A

(OyD

).

In de Gan. ita-yukti-bhas.a stelt de auteur nu voor om Ov op te delen in twee delen,namelijk het aantal complete omwentelingen b en niet complete omwentelingen bs

D .14

Dus we krijgen dan de vergelijking

A

(OyD

)= b+

bsD.

Er is volgens de Indiers bekend dat in een yuga de zon 4.320.000 omwentelingenrond de aarde maakt. Het aantal dagen in een yuga zijn 1.577.917.200. Deze tweegetallen hebben een gemeenschappelijke deler, namelijk 7.500. De twee getallenkunnen worden gedeeld door deze deler, om de gereduceerde getallen te krijgen. Wekrijgen op deze manier de vergelijking

A · 576

210389= b+

bs210389

.

Nu passen we Kut.t.akara toe. Hiervoor moeten we echter nog weten wat bs is, voordatwe dit kunnen doen. Daarom kunnen we ons afvragen wat de bijbehorende b en Azijn als we weten dat bs = 100. Als we de vergelijking nu wat omschrijven danmoeten we oplossen:

210389b+ 100

576= A.

Nu volgt er met Kut.t.akara dat

14Hier is altijd D > bs.

36

576) 210389 (365210389149 ) 576 (3

467129 ) 149 (1

12920 ) 129 (6

1209 ) 20 (2

182 ) 9 (4

81

Hieruit krijgen we de valli:

365 365 365 365 365 365 94602003 3 3 3 3 25900 259001 1 1 1 6700 67006 6 6 5800 58002 2 900 9004 400 400

100 1000

Nu moeten we nog uitrekenen

9460200

210389= 44 +

A

210389

en25900

576= 44 +

b

576,

zodat we zien dat A = 203084 en b = 556.We sluiten hiermee het hoofdstuk af. Hopelijk is het iets duidelijker geworden

hoe de Indiers in Kerala dit soort vergelijkingen oplosten met behulp van Kut.t.akara.Met nadruk op ’iets’, aangezien de methode met het gebruik van valli er nog altijdenigszins magisch uitziet.

37

Hoofdstuk 6

Goniometrie in Kerala

Wij spreken over sinus, cosinus en tangens, als we het hebben over verhoudingen vanlengtes van lijnstukken. Met deze verhoudingen kunnen functies worden afgeleid,waarmee we dan booglengtes kunnen uitdrukken in deze verhoudingen. We gaan erhier vanuit dat de lezer bekend is met deze functies.

Goniometrie is een belangrijk hulpmiddel als je je bezighoudt met sferische ster-renkunde. We zullen in dit hoofdstuk kijken hoe de auteur dit onderwerp in de Gan. ita-yukti-bhas.a behandelt. Dit doen door hoofdstuk 6 en 7 uit de Gan. ita-yukti-bhas.a tebespreken. Deze goniometrie lijkt sterk op de onze.

6.1 Jya

Jya is de goniometrische ’functie’ waarmee in India gerekend werd. De Indiers on-derscheidden verschillende varianten van jya, namelijk: bhuja-jya, kot.i-jya, bhuja-sara en kot.i-sara. Vaak werd bhuja-jya gewoon jya genoemd, omdat deze gezienwerd als de standaard jya en werd dan kot.i-jya gewoon kot.i genoemd.

Deze termen stellen allen een lijnstuk voor. Om een meetkundige voorstellingvan de zojuist genoemde begrippen te krijgen, kunnen we kijken naar figuur 6.1. Wezien hier dat r sin (∠EOA) = OP . In de Gan. ita-yukti-bhas.a zien we dat op eenzelfde manier de jya van booglengte EA gelijk is aan lijnstuk OP . We weten verderdat booglengte EA gelijk is aan π·r

6 . Op deze manier kunnen we jya, welke ook welRsinus genoemd wordt, als volgt vergelijken met onze sinusfunctie:

jya(EA) = R sinEA = R sinπ · r

6= r sin

π

6= OP.

Zo zien we, naast hoe jya relateert aan onze sinusfunctie, dus ook wat de Rsinus is,waar R een algemene straal is (trijya).1 Op een zelfde manier gaat dit ook voor kot.i,welke we met de cosinus kunnen vergelijken. De kot.i van booglengte EA is gelijkaan lijnstuk OS, net als

kot.i(EA) = R cosEA = R cosπ · r

6= r cos

π

6= OS,

1Op trijya gaan we in hoofdstuk 8 verder in.

38

Figuur 6.1: Regelmatige hexagon, omschreven door een cirkel. Als de straal van decirkel r is, dan is lijnstuk OP = OQ = ON

2 = r2 . [13, p.209].

waar we zien dat kot.i de Rcosinus heet. Tot zover de bekende goniometrische func-ties. We hebben ook nog de tegenwoordig minder bekende versinus. Deze zoudenwe hedendaags defenieren als

versin(θ) = 1− cos θ.

Op een zelfde manier als de Rsinus en Rcosinus, zien we nu dat in figuur 6.1 deRversinus van booglengte EA gelijk is aan ES. In Gan. ita-yukti-bhas.a merkt deauteur op dat je in figuur 6.1 booglengte AB kunt zien als een boog, waar lijnstukAB dan het touw is wat de pijl ES opspant. Zo zie je dat zelfs bij zoiets abstractsals goniometrie, de auteur een fysische voorstelling probeert te maken. Dit zie jenatuurlijk ook terug aan het gebruik van booglengtes in plaats van hoeken.

Als we nu naar het algemene geval kijken, waar we bekijken hoe het zit met eenwillekeurige booglengte s met bijbehorende hoek θ van een willekeurige cirkel metstraal r, waar dus s = rθ, dan zien we dat

Jya(s) = Rsin(s)

= rsin(θ)

= rsin(s

r). (6.1)

(6.2)

39

Op een zelfde manier zien we dat Rcosinus (kot.i-jya) en Rversinus (sara):

Kot.i-jya(s) = Rcos(s)

= rcos(s

r) (6.3)

Sara(s) = Rversin(s)

= rversin(s

r)

= r − r cos(sr

). (6.4)

(6.5)

De Rvercosinus laten we achterwege, deze bestond wel in Indiase wiskundige litera-tuur en benoemd de auteur wel, maar wordt door hem in de Gan. ita-yukti-bhas.a nietecht gebruikt.

6.2 Sinussen berekenen

Een complete omtrek wordt in de Gan. ita-yukti-bhas.a gelijk gekozen aan 21600 boog-minuten, vaak in de literatuur aangegeven door 21600′. We kunnen dus zeggen datmet onze 360◦ voor een complete omtrek 1◦ = 60′. Om een sinustabel op te stellen,gebruikt de auteur de benadering

Rsin(112, 5′) ≈ 112, 5′.

Hiermee stelt hij dan sinustabellen op voor veelvouden van 112, 5′.De auteur leidt ook methodes af voor nauwkeurigere berekeningen van de Rsinus

voor willekeurige booglengte. Dit doet hij dan met behulp van de Rsinustabellen,waarbij hij kijkt naar het verschil tussen de booglengte die hij wilt berekenen en eenveelvoud van 112, 5′. Dit verschil wordt sis. t.a-capa genoemd. Hiervoor kunnen wenet als hem door middel van iteraties bijvoorbeeld afleiden, als we sis. t.a-capa noterenmet sc, dat

Rsin(s+ sc) ≈ Rsin(s) +scr

Rcos(s)− 1

2

(scr

)2Rsin(s). (6.6)

We zullen de afleiding hier niet reproduceren, maar we laten hiermee wel zien dat deauteur al bekend was met handige methodes om Rsinussen (en andere goniometrischefuncties) te berekenen.

Wat we wel kunnen laten zien is, dat als we vergelijking 6.6 omschrijven, dat wedan kunnen zien

Rsin(s+ sc) ≈ (1− 1

2

(scr

)2)Rsin(s) +

scr

Rcos(s). (6.7)

Dit is een benadering van de formule die we hedendaags kennen door gebruik temaken van

cos sc ≈ (1− (sc)2

2),

40

sin sc ≈ sc.

Dit kunnen we dan invullen voor de exacte formule, zoals we die kennen voor R sin (s+ sc):

R sin(s+ sc) = R(sin s cos sc + cos s sin sc),

om uit te komen op vergelijking 6.7. We kunnen zien dat vergelijking 6.6 nauwkeurigis, aangezien sc < 112, 5′.

6.3 Som-en verschilregels

Om wat Keralese wiskunde in actie te zien en te zien hoe de auteur gebruik maakt vangelijkvormigheid, kunnen we de afleiding van de som-en verschilregels van de sinus-en cosinusfunctie uit Gan. ita-yukti-bhas.a bekijken. Deze regel wordt jive-paraspara-nyaya genoemd. We kijken hiervoor naar figuur 6.2. We zien hier een kwadrant opge-deeld in gelijke booglengtes CiCi+1 (met C0C1 = AC1). Hierbij zijn bij booglengteACi, CiDi de Rsinussen, ODi de Rcosinussen en ADi de vercosinussen.Vanaf Citrekken we rechte lijnen loodrecht opOB, zodat we de punten Ii krijgen. Het middenvan lijnstuk C1C3 noemen we G. Vanuit G hebben we loodrechte lijnen getrokkenop OA en op OB, met respectievelijk de snijpunten E en J . Verder is hier H hetsnijpunt van D3C3 en GJ en is F het snijpunt tussen GE en C1I1.

Als s1 en s2 twee booglengtes zijn dan geldt er volgens deze regel dat

Rsin(s1 ± s2) = (1

r(Rsin(s1)Rcos(s2)± Rcos(s1)Rsin(s2)). (6.8)

Deze regel kunnen we door middel van gelijkvormigheid afleiden en door het vervol-gens toepassen van de regel van drie.

We kiezen de booglengtes zo, zodat s1 gelijk is aan de booglengte AC2 en s2gelijk aan booglengte C2C3. De booglengtes zijn gelijk aan elkaar, waardoor s2gelijk is aan booglengte CiCi+1. Nu is OG = OD1, dus OG = R cos(s2) enC3G = C1D1, dus C3G = R sin(s2). Driehoek C3HG en C2I2O zijn gelijkvormig(omdat OG loodrecht op C1C3 staat), net als OGE en OC2D2. Met de regel vandrie kunnen we zien dat

C3H = C2I2 ·C3G

OC2

=1

rRcos(s1)Rsin(s2), (6.9)

GE = C2D2 ·OG

OC2

=1

rRsin(s1)Rcos(s2). (6.10)

(6.11)

Nu krijgen we vergelijking 6.8, doordat

GE + C3H = C3D3 = Rsin(AC2 + C2C3) = Rsin(s1 + s2)

41

Figuur 6.2: Kwadrant voor de som-en verschilregels.

enGE − C3H = C1D1 = Rsin(AC2 − C2C3) = Rsin(s1 − s2),

vervolgens vullen we de waarden voor de hier boven afgeleide lengtes in en krijgenwe vergelijking 6.8.

Hetzelfde gebeurt in de Gan. ita-yukti-bhas.a ook voor Rcos(s1 ± s2), zodat wekunnen afleiden dat

Rcos(s1 ± s2) =1

r(Rcos(s1)Rcos(s2)∓ Rsin(s1)Rsin(s2)).

Deze vergelijking kunnen we op een zelfde manier als vergelijking 6.8 afleiden,maar zullen we achterwege laten. Ook andere goniometrische relaties leidt de au-teur in de Gan. ita-yukti-bhas.a af, zoals de regels van Simpson voor het optellen vanRsinussen en Rcosinussen.

6.4 π

We zullen nu laten zien hoe, in de Gan. ita-yukti-bhas.a, de auteur een nauwkeurigereeks voor de omtrek van een cirkel afleidt. Hiermee kunnen we zien hoe nauwkeurigde benadering voor π hier is. Als eerste moeten we hiervoor een kwadrant van eencirkel met straal R construeren, zoals de auteur ook voorstelt (en beschrijft). We ziendit in figuur 6.3.

42

Figuur 6.3: Kwadrant van een cirkel voor de omtrek van een cirkel.

In figuur 6.3 is de bovenste zijde opgedeeld in vijf gelijke stukken. Lijnstuk QHis onderverdeeld in vijf gelijke lijnstukken. Vanuit O zijn lijnen getrokken naar Ai,welke de cirkel snijden in Ci. Lijnstukken QB en AiEi staan loodrecht op lijnstukOAi+1. Lijnstuk CiDi is parallel aan lijnstuk AiEi, dus staan ook loodrecht oplijnstuk OAi. In het algemene geval gaat het om n gelijke stukken. De straal van decirkel is R. Nu kunnen we zien dat

OA2i = OQ2 +QA2

i

= R2 + (iR

n)2. (6.12)

We defenieren nu OAi = li. De driehoeken QBA1 en OQA1 zijn gelijkvormig,aangezien ∠OQA1 = ∠QBA1 en ∠QA1O een gemeenschappelijke hoek is. Met deregel van drie kunnen we afleiden dat

QB = QA1 ·OQ

OA1=

(R

n

)(R

l1

).

Op een zelfde manier geldt dat driehoek AiEiAi+1 gelijkvormig is met driehoekOQAi+1. Opnieuw zien we dat met de regel van drie

AiEi = AiAi+1 ·OQ

OAi+1=

(R

n

)(R

li+1

).

Verder zijn de driehoekenOCiDi enOAiEi gelijkvormig, omdat ∠AiOEi = ∠CiOD1

en ∠OAiEi = ∠OCiDi. Daarom is

43

CiDi = AiEi ·OCiOAi

=

(R

n

)(R

lili+1

)=

R2

nlili+1. (6.13)

Lijnstuk CiDi benadert, als n groot genoeg is, booglengte CiDi. Daarmee zien wedat de omtrek Z gelijk is aan 2

Z/8 ≈ ·

(n−1∑i=0

CiDi

). (6.14)

Aangezien voor grote n we weten dat li ≈ li+1, is CiDi ≈(Rn

) (R2

l1

)een goede

benadering is en verder li = OA0 = R, kunnen we schrijven

Z/8 ≈(R

n

)(n−1∑i=0

R2

l2i

). (6.15)

Door de benadering li ≈ li+1 kunnen we ook laten zien dat 1lili+1

≈ 12

(1l2i

+ 1l2i+1

).

Als we dit invullen in vergelijking 6.14, komt er een andere benadering. Deze kun-nen we aftrekken van de benadering in vergelijking 6.15 en daarmee zien we dat ditverschil voor grote n klein is.3

Om verder te gaan, hebben we wat kennis over iteratieve correcties (Sodhya-phala-s) nodig. Deze behandelt de auteur ook tussendoor.

Sodhya-phala-s

Voor yz zien we dat dit ook kan worden geschreven als

y

z= 1− (z − y)

z

en evenzoz − yz

=z − yy

(1− z − yz

),

dusy

z= 1− z − y

y+z − yy

z − yz

,

2QB = C0D0, zodat de sommatie wat makkelijker op te schrijven is. Merk namelijk op datvergelijking 6.14 equivalent is aan Z ≈ 8 ·

(QB +

∑n−1i=1 CiDi

).

3Dit wordt door de auteur uitgelegd. Een mooie uitwerking hiervan kan worden teruggevonden inde toegevoegde tekst van de vertaling (Sarma 2008 [13], p.187-188). Door dit resultaat kunnen we ziendat als n→∞ dat de sommatie steeds nauwkeuriger wordt.

44

nogmaals hetzelfde toepassen geeft

y

z= 1− z − y

y+

(z − yy

)2

−(z − yy

)2 z − yz

,

of in het algemeen:

y

z=

N∑k=1

(−1)k−1(z − yy

)k−1+ (−1)N

(z − yz

)(z − yy

)N−1(6.16)

In Gan. ita-yukti-bhas.a benadrukt de auteur dat dit proces oneindig kan doorgaan,waarmee hij dus bedoelt dat N → ∞. Hierbij zegt hij ook dat de correctieterm,

(−1)N( z−y

z

) ( z−yy

)N−1, verwaarloosbaar klein wordt. Wiskundig zouden we dit

tegenwoordig natuurlijk netjes moeten controleren op convergentie. Dit zullen wedan ook doen. We kunnen hiervoor het convergentie kenmerk van d’Alembert ge-bruiken:

indien limn→∞

|an+1

an| < 1 dan is

∞∑k=1

an convergent.

Hiermee zien we voor vergelijking 6.16 dat we moeten controleren of

limN→∞

|

(z−yy

)N(z−yy

)N−1 | = |z − yy | < 1.

Dit geldt als 0 < zy < 2 en dus, als y > 0, dat 2y > z. De correctieterm moet naar 0

gaan als N →∞, dus

limN→∞

(z − yy

)N−1= 0.

Dit kan alleen als 2y > z.

Toepassen van Sodhya-phala-s

Dit kunnen we nu gebruiken bij het berekenen van de omtrek. We moeten hiervooreerst opmerken dat met vergelijking 6.12 we CiDi kunnen schrijven als

CiDi ≈(R

n

)(R2

l2i

)≈

(R

n

)(R2

R2 +(iRn

)2). (6.17)

Om nu vergelijking 6.16 te gebruiken, moeten we controleren of 2R2 > R2+(iRn

)2,

dus of 1 >(in

)2.Dit is zo als i < n. Het is uiteraard vrij triviaal dat i < n, aangezien

i maximaal n− 1 is. We zien nu met vergelijking 6.16 dat

45

CiDi ≈(R

n

)(R2

R2 +(iRn

)2)

≈(R

n

) ∞∑k=0

(−1)k(

1

R2k

)(iR

n

)2k

≈(R

n

) ∞∑k=0

(−1)k(i

n

)2k

. (6.18)

Door dit nu in te vullen in vergelijking 6.14 volgt er

Z/8 ≈(R

n

) n∑i=0

( ∞∑k=0

(−1)k(i

n

)2k).

Om meer duidelijkheid in de betekenis van deze sommatie te krijgen, kunnen we debinnenste sommatie uitschrijven

Z

8R≈ 1

n(1 + 1 + 1...+ 1)

− 1

n

((1

n

)2

+

(2

n

)2

+ ...+ 1

)

+1

n

((1

n

)4

+

(2

n

)4

+ ...+ 1

)−...

= 1− 1

n3

n∑i=0

i2 +1

n5

n∑i=0

i4 − 1

n7

n∑i=0

i4 − ... (6.19)

Deze reeks (phala-parampara) bestaat uit afzonderlijke sommaties (phala-yoga). Nuis het van belang om uit te zoeken hoe we deze phala-yoga kunnen berekenen. Hier-voor wordt er in de Gan. ita-yukti-bhas.a door de auteur de theorie uitgelegd over som-maties van reeksen in het algemeen (San. kalita). Dit zullen wij ook doen.

San. kalita

Voor de sommatie over de natuurlijke getallen (Mula-san. kalita) geldt er

Sn = 1 + 2..+ (n− 1) + n

= n+ (n− 1) + ...+ (n− (n− 2)) + (n− (n− 1))

= n · n− (1 + 2 + ..+ (n− 1))

= n2 − Sn−1.(6.20)

46

Voor n groot genoeg volgt er, omdat Sn en Sn−1 van dezelfde orde grote zijn, dat

Sn ≈n2

2. (6.21)

We weten natuurlijk dat de exacte oplossing gelijk is aan

Sn =n(n+ 1)

2. (6.22)

Hoewel het in de tekst in de Gan. ita-yukti-bhas.a moeilijk terug te vinden is, wordter volgens de vertaler nog wel gezegd dat vergelijking 6.22 gegeven wordt door deauteur. Het bewijs wordt er alleen niet bij gegeven.4

Op een zelfde manier kan voor sommatie van hogere orde, dus de sommatie Skn =nk + (n − 1)k + ... + 1k voor willekeurige k, een schatting worden gemaakt. InGan. ita-yukti-bhas.a wordt dit door de auteur eerst gedaan voor S2

n (varga-san. kalita),S3n (ghana-san. kalita) en S4

n (varga-varga-san. kalita).Met behulp van deze resultaten, stelt de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a de vol-

gende hypothese op 5

Skn ≈nk+1

k + 1. (6.23)

Hoewel er niet echt een bewijs te vinden is in de Gan. ita-yukti-bhas.a zelf, heeft devertaler wel een ’trucje’ toegevoegd om de hypothese te testen door middel van in-ductie. Hiervoor moeten we gebruikmaken van het feit dat we weten dat voor k − 1dat

Sk−1n ≈ nk

k.

en dat

n · Sk−1n − Skn = (nk + n(n− 1)k−1 + n(n− 2)k−1 + ...n)− (nk + (n− 1)k + (n− 2)k + ...+ 1k)

= (n− n+ 1)(n− 1)k−1 + (n− n+ 2)(n− 2)k−1 + (n− n+ 3)(n− 3)k−1 + ...

= (n− 1)k−1 + 2(n− 2)k−1 + 3(n− 3)k−1

= Sk−1n−1 + Sk−1n−2 + ...

=(n− 1)k

k+

(n− 2)k

k+ ...

=Skn−1k

. (6.24)

Voor grote n kunnen we nu concluderen dat4Dit kun je zelf natuurlijk snel bewijzen door handig ordenen kun je zien dat 1+2+...+(n−1)+n =

12((n+ 1) + (n+ 1)..+ (n+ 1)) = n·(n+1)

2.

5De resultaten worden hier niet expliciet uitgewerkt, maar lijken sterk op de afschatting zoals invergelijking 6.20 wordt gedaan voor k = 1.

47

k · n · Sk−1n = Skn−1 + k · Skn≈ Skn + k · Skn≈ (k + 1)Skn, (6.25)

wat samen met k · n · Sk−1n = nk+1 het gewenste resultaat geeft voor k. Dezeafschattingen voor sommaties gebruikt De auteur waarschijnlijk vooral om de omtrekte berekenen, waarbij je met deze afschattingen makkelijker kan rekenen. De exacteoplossingen voor de sommaties waren al langer bekend bij Aryabhat.a.

Formule voor π

We kijken nu weer terug naar vergelijking 6.19 en passen vergelijking 6.23 hieroptoe, zodat we zien dat

Z

8R≈ 1− 1

n3

n∑i=0

i2 +1

n5

n∑i=0

i4 − 1

n7

n∑i=0

i4 − ...

= 1− 1

n3

(n3

3

)+

1

n5

(n5

5

)− 1

n7

(n7

7

)= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ ... (6.26)

Dus voor de diameter 2R = D volgt er dat we de omtrek Z kunnen uitdrukken als

Z ≈ 4D(1− 1

3+

1

5− 1

7+ ...). (6.27)

In de Gan. ita-yukti-bhas.a staat dat naarmate je verder komt in deze reeks, de termensteeds kleiner worden. Op een gegeven moment zijn ze dan klein genoeg om ze tekunnen verwaarlozen en kun je de omtrek uitrekenen.6 Er wordt verder niets over πspecifiek gezegd, maar we kunnen nu natuurlijk zien dat als we Z

D uitrekenen dat

Z

D= 4(1− 1

3+

1

5− 1

7+ ...) = π. (6.28)

Dus eigenlijk leidt de auteur ook een reeks af voor π. Deze kunnen we herkennen alsde reeks van de arctangens, zoals we die kennen door

arctanx = x− 1

3x3 +

1

5x5 − 1

7x7 + ...,

waar we x = 1 invullen en exact hetzelfde vinden.We zien nu dat vergelijking 6.27 een exacte uitdrukking is, in plaats van een

afschatting. Dit is wel opvallend en het is misschien nog interessant om na te gaanwaarom dat zo is. Zelf zullen we dit hier niet meer behandelen.

Wel is het nog vermeldingswaardig dat de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a nogandere reeksen voor de omtrek afleidt en zelfs correctietermen om zo nauwkeurigmogelijk de omtrek te berekenen.

6Hierbij zegt de auteur dat dit komt omdat Rn

voor grote n zo klein als een atoom (an. u) is.

48

Hoofdstuk 7

Inleiding in het wereldbeeldvolgens Gan. ita-yukti-bhas.a

Nu we wat weten over de wiskunde in Kerala, kunnen we ons richten op de sterren-kunde. Hiervoor zullen we eerst onszelf moeten inleven in het beeld van het univer-sum, volgens de Gan. ita-yukti-bhas.a. Daarom bespreken we in dit hoofdstuk eerstwat de aardbol en hemelbol volgens de auteur betekent. Dit doen we aan de hand vanhoofdstuk 9 uit de Gan. ita-yukti-bhas.a.

7.1 Bhugola

Bhu betekent ’aarde’ en gola betekent ’bol’, dus bhugola betekent ’aardbol’. In deGan. ita-yukti-bhas.a worden door de auteur enkele eigenschappen van deze bhugolabesproken. Zo bevinden op het oppervlak van deze aardbol alle bewegende en nietbewegende ’dingen’ zich. De aardbol (naks. atra-gola) handhaaft zich op zijn vasteplek, zonder enige externe invloeden. Het is de natuur van zware dingen om richtingde aarde te vallen.1 De aarde bevindt zich onder de hemel en de hemel bevindtzich vanaf alle locaties op aarde boven. Het zuidelijk halfrond bevat voornamelijkwater, terwijl op het noordelijk halfrond er meer land is. India (Bharata-khan. d. a)positioneert zich op het noordelijk halfrond.

De noordpool heet uttara-dhruva en de zuidpool heet dakshina-dhruva. Als erdoor deze punten een cirkel om de aarde getrokken wordt, loodrecht op de evenaar(niraksa-desa), dan krijg je de samarekha. Merk hier op dat we nog een derde puntnodig hebben om deze cirkel vast te leggen, hiervoor kiezen de Indiers de stad Lan.ka.Dit is hetzelfde als onze nulmeridiaan die wij door Greenwich kiezen. Vanaf niraks. a-desa kunnen de breedtegraden berekend worden en vanaf samarekha de lengtegraden.

Het zenith is het punt recht boven de waarnemer op de aardbol. Dit heet in Indiakha-madhya.

1Vreemd dat dit er zo staat, want betekent dit dat de hemellichamen die we straks gaan besprekengeen massa hebben of niet zwaar genoeg zijn?

49

7.2 Bhagola

Bha betekent ’hemel’ en gola is ’bol’, betekent bhagola dus ’hemelbol’. Dit is deschijnbare bol waar alle vaste sterren zich op bevinden met als middelpunt de aarde.De hemelbol heeft ook een evenaar, welke de ghat.ika-man. d. ala heet en een nulmeri-diaan, welke de daks. in. ottara-vr. tta heet.

7.2.1 Sterren

De sterren beschrijven vanuit het oogpunt van de aardbol een cirkelvormig pad. Dezecirkelvormige paden heten volgens de auteur de svahoratra-vr. tta-s. De straal vandeze cirkels neemt af, naar mate de sterren zich dichter bij de polen bevinden.2 Dezeschijnbare rotaties van de sterren doen vermoeden dat de hemelbol draait, maar inwerkelijkheid weten we natuurlijk dat dit komt omdat de aarde een dagelijkse rotatieom zijn eigen as maakt.3

7.2.2 Ecliptica

Vanuit het oogpunt van de aardbol beschrijft de zon een baan rond de aarde. Decirkel die deze oostwaartse beweging van de zon beschrijft, heet volgens de auteurde apakrama-man. d. ala. Wij kennen deze (schijnbare) oostwaartse beweging van dezon als de ecliptica. In de (sferische) sterrenkunde is het vlak van de ecliptica, welkehet middelpunt van de zon en van de aarde bevat, een belangrijk vlak. Dit zal in hetvolgende hoofdstuk duidelijk worden. Dit vlak maakt volgens de auteur een hoek van24◦ met het vlak van de evenaar, zoals we kunnen zien in figuur 7.1. Tegenwoordigweten we dat deze hoek schommelt tussen 21,5◦ en 24,5◦. Dit heeft te maken metde kracht die de maan en de zon op de aarde uitoefenen.4 De polen van het vlak vande ecliptica zijn de rasi-kut.a-s. Deze polen kun je zien als de normaal van het vlakvan de ecliptica die door het middelpunt van de hemelbol gaat en de hemelbol snijdt.Door de polen kunnen nog andere cirkels worden getrokken rond de hemelbol, ditzijn de zes rasi-kut.a-vr. tta-s. Dit zijn zes cirkels, zodat je twaalf snijpunten met hetvlak van de ecliptica krijgt. Hierdoor kan de ecliptica worden opgedeeld in twaalfverschillende delen, welke corresponderen met de twaalf maanden. Deze maanden

2Tegenwoordig zouden we deze banen kunnen vastleggen met een fotocamera waar we een langesluitertijd voor kiezen.

3Het schijnt dat Aryabhat.a ooit bedacht had dat de aarde om zijn as zou kunnen draaien. Waarbij hijzelfs de siderische rotatie van de aarde berekende als 23u56m4.1s. Dit is erg nauwkeurig, aangeziende moderne waarde 23u56m4.091s is. Voor dit idee van Aryabhat.a waren op enkele voorstanders,vooral tegenstanders. In Gan. ita-yukti-bhas.a wordt hierover door de auteur helemaal niets gezegd. Ditkomt vermoedelijk, omdat het fysisch misschien niet zou kunnen kloppen. [5, p. 14], [9, p. 7] Immerszou bijvoorbeeld een vogel niet meer bij zijn nest kunnen komen, als de aarde zou draaien. Zo zegtParame’svara dat de aarde niet zou kunnen draaien en dat in werkelijkheid de hemelbol in westwaartsebeweging beweegt door de wind Pravaha. Hij zegt daarbij dat hij ook niet gelooft dat Aryabhat.a zelfzou hebben gelooft dat de aarde zou draaien. Volgens sommigen, waaronder Nilakan. t.ha, zou Aryabhat.azichzelf ook weer tegengesproken hebben, door in een vers te zeggen dat de hemelbol draait. [4, p.51-55]

4Hoe dit precies zit, zullen we niet uitleggen.

50

Figuur 7.1: De ecliptica en evenaar weergegeven met de aardbol als middelpunt. [13,p.671].

krijgen ieder een naam van het sterrenbeeld waar de zon zich dan bevindt. Dit hebbenwe in figuur 7.2 weergegeven.

Equinoxen zijn de punten waar de ecliptica en de evenaar snijden en de zon zichdus op de evenaar bevindt. Wij kennen deze snijpunten ook wel als het lentepunten herfstpunt, zoals we zien in figuur 7.1, waar we ook het winterpunt en zomer-punt weergegeven hebben. In de Gan. ita-yukti-bhas.a staat dat de beweging van deequinoxen, door een oscillerende beweging, oostwaarts of westwaarts kunnen gaan.Deze beweging wordt in gang gezet door wat de Indiers ook wel de trilling van deequinoxen noemen. Helaas hebben we niet genoeg tijd om hier op in te gaan.

7.3 Vayugola

Er wordt in de Gan. ita-yukti-bhas.a ook wat uitgelegd over vayugola. Dit is de hemel-bol waarbij je het vlak van de evenaar zou kiezen als het centrale vlak. Deze beschrijftde auteur ook, maar gebruikt deze in het vervolg niet. Ook wij zullen vayogala indeze scriptie niet meer tegenkomen en gaan er hier daarom niet verder op in.

7.4 Yojanas

Lengtes in de Indiase sterrenkunde worden uitgedrukt in yojanas, net als in de Gan. ita-yukti-bhas.a. De auteur spreekt hier dan ook over, maar hij defineert de yojana niet.We weten dus niet hoe groot deze afstand volgens hem is. Ook de vertaler legt nietuit wat een yojana precies voorstelt.

Na wat speurwerk zien we dat dit in de Indiase sterrenkunde verschilde per as-tronoom. Zo was in de Surya-Siddhanta een yojana gelijk aan ongeveer 8 kilometer,

51

Figuur 7.2: De sterrenbeelden, die passeren op de ecliptica. [12, p.15].

terwijl Paramesvara zegt dat deze waarde, welke ook door Aryabhat.a werd gebruikt,anderhalf keer groter is dan 8 kilometer.5 We kunnen zeggen dat een yojana dus sterkuiteenloopt, maar grofweg varieert tussen de 8 tot 13 kilometer.6

5Thompson (1997), [16].6Deze grove afschatting zullen we in het vervolg gebruiken om te kijken in hoeverre hun begrip van

afstanden op astronomische schaal overeenstemt met de onze.

52

Hoofdstuk 8

Beweging der planeten

Als we langdurig naar de sterrenhemel zouden kijken, dan zouden we zien dat erenkele objecten zijn die lijken op sterren, maar anders (vooral sneller) bewegen. Dezeobjecten zijn planeten. Met het blote oog zijn Mercurius, Venus, Mars, Jupiter enSaturnus zichtbaar. Hiernaast kunnen we natuurlijk de zon en de maan met het bloteoog zien.

We zullen in dit hoofdstuk de verschillende methodes en modellen bekijken omde bewegingen van de hemellichamen te beschrijven,1 waarbij we steeds proberen tekijken hoe dit verschilt of overeenkomt met onze huidige sterrenkunde. Dit doen weaan de hand van hoofdstuk 8 uit de Gan. ita-yukti-bhas.a.

Belangrijk is om op te merken dat we in hoofdstuk 8.2 tot 8.6 alleen over leng-tegraden spreken. Daarna zullen we pas kijken naar de breedtegraden. Dit zijn delengte-en breedtegraden van de hemelbol, welke we vanaf de ecliptica uitrekenen.Het nulpunt op de ecliptica ligt op het snijpunt van de evenaar met de ecliptica. Deecliptica kiezen we hier net als de auteur als referentievlak, omdat alle planeten on-geveer in de ecliptica bewegen.2

In dit hoofdstuk zullen we de hedendaagse goniometrische functies gebruiken enniet jya. Dus we zullen, in tegenstelling tot hoofdstuk 6, nu gewoon gebruikmakenvan de sinus-en cosinusfuncties zoals wij die kennen, in plaats van de Rsinussen,Rcosinussen en Rversinussen. Dit doen we om de lezer, naast het worstelen met denieuwe termen uit het Sanskriet, niet teveel te verwarren. Ook kunnen we op dezemanier makkelijker een verbinding leggen met hedendaagse sterrenkunde. We zullenvoordat we de modellen bespreken, eerst een introductie in de nieuwe begrippen enaannames geven.

1In de Gan. ita-yukti-bhas.a komt, zoals we zullen zien, een instrumentalistische visie naar voren.Voor elke planeet is er namelijk een eigen methode om de beweging af te leiden. Ook bestaan er voorplaneten zelfs meerdere verschillende methodes, zonder dat de auteur aan een de voorkeur geeft.

2Dat alle planeten ongeveer in de ecliptica bewegen, vermeldt de auteur niet in de Gan. ita-yukti-bhas.a.

53

8.1 Belangrijke aannames en begrippen

In de Gan. ita-yukti-bhas.a zegt de auteur dat alle planeten cirkelbanen beschrijven.Met ’planeten’ bedoelen zij alle hemellichamen, inclusief de maan en de zon.3 Decirkelbanen leggen de planeten met een constante snelheid af en deze banen bewegenook mee gedurende een omwenteling van een planeet. Belangrijk om op te merkenis dat de auteur zegt dat alle planeten dezelfde snelheid hebben.

We zullen nu enkele nieuwe begrippen uit het Sanskriet introduceren. Deze ter-men worden door de vertaler ook gebruikt en hier bestaan niet altijd Nederlandse(of Engelse) betekenissen voor. We zullen wel zien dat we sommige termen kunnenvergelijken met onze hedendaagse sterrenkundige namen. Het zal in deze paragraafmisschien verwarrend worden, omdat het zoveel nieuwe termen zijn. Later zullen wemet meetkundige figuren werken, om het begrip te vergroten. Ook verwachten weniet dat de lezer direct alle termen van buiten kent. Daarom hebben we in appendixC nog een woordenlijst toegevoegd, welke we aanbevelen om te gebruiken.

Het enige punt wat in de modellen stilstaat is het middelpunt van de aardbol. Decirkelvormige baan waar de ware planeet (sphut.a) zich op bevindt heet de pratiman. d. ala.4

Het middelpunt van deze pratiman. d. ala is een brandpunt. Het brandpunt kan rond hetmiddelpunt van de aardbol bewegen in een kleinere cirkelbaan, wat dus ook impli-ceert dat de pratiman. d. ala meebeweegt. In de Gan. ita-yukti-bhas.a beschrijft de auteurdit, door te zeggen dat deze bewegingssnelheid gelijk is aan’de snelheid van de man-docca’, waar het brandpunt altijd in de richting van de mandocca ligt. De mandoccais het verste punt vanaf het middelpunt van de aardbol tot de baan van de ware planeet(de pratiman. d. ala). Dit verste punt kennen wij als het aphelium in het heliocentrischegeval en het apogeum in het geocentrische geval. De richting van het aphelium (enapogeum) vanaf het middelpunt van de aardbol zelf heeft ook een naam, namelijkucca. Het centrum van de pratiman. d. ala beschrijft ook weer een cirkelbaan. Dit iseen baan rond het centrum van de aardbol, deze baan heet de ucca-nica-vr. tta. Door-dat de pratiman. d. ala niet stilstaat, beweegt de ware planeet zich dus gedurende zijnbaan om de aardbol op een baan met een varierende straal. Deze niet cirkelvormigebaan heet de karn. a-vr. tta met de straal die karn. a heet.5 Voor de zon en de maan zullenwe laten zien dat dit een ellipsbaan is.

Een andere belangrijke cirkelvormige baan is die van de middelbare planeet (ma-dhyama), welke de kaks. ya-vr. tta heet. Dit is de baan die de ware planeet zou beschrij-ven, als zijn baan rond de aardbol (karn. a-vr. tta) perfect cirkelvormig zou zijn, waarde planeet met een constante snelheid rond de aarde zou bewegen. Dit betekent dusautomatisch dat het middelpunt van de kaks. ya-vr. tta het middelpunt van de aardbolis. Je zou kunnen zeggen dat de snelheid van de middelbare planeet de gemiddeldesnelheid is van de ware planeet op de karn. a-vr. tta rond de aarde. Dit laatste zegt deauteur er niet bij, omdat hij alleen kijkt naar de snelheid van de ware planeet op depratiman. d. ala en nergens spreekt over de snelheid van de planeet op de karn. a-vr. tta.

3Zo heeft de vertaler het in ieder geval vertaald.4De ware planeet is de naam voor de werkelijke positie van de planeet.5We zouden dus ook kunnen zeggen dat karn. a dus eigenlijk de afstand van het middelpunt van de

aardbol tot de ware planeet is.

54

Kendra is ook een belangrijke term. Deze term is gelijkwaardig aan ons begrip’anomalie’. In bijlage B leggen we uit wat de anomalie in hedendaagse sterrenkundebetekent.

Tot slot willen we nog trijya noemen. Deze term kwam heel kort voorbij toen weons in hoofdstuk 6 bezighielden met goniometrie. Dit is de naam voor de straal vaneen cirkel. In India werd de omtrek van een cirkel altijd gelijk aan 21600′ boogmi-nuten gekozen, zodat de Indiers een cirkel makkelijk konden onderverdelen in ver-schillende stukken. We kunnen opmerken dat 21600 veel verschillende delers heeft.Zo is 12 bijvoorbeeld een handige deler, zodat je bij het gebruik van 12 maanden, jelengtes van 21600′

12 = 1800′ boogminuten krijgt. Waar je bij gebruik van 30 dagenin een maand een dag krijgt met een lengte van 1800′

30 = 60′ boogminuten. In deGan. ita-yukti-bhas.a werd er geen gebruik gemaakt van 30 dagen in een maand, maardit werd voorheen wel gedaan. Voor trijya gebruiken we altijd de variabele R. Nuzien we dat als we een omtrek hebben van 2πR, we dus een waarde voor R hebbenvan

R =21600′

2π≈ 3437, 7468′,

wat ongeveer 3438′ boogminuten zijn.We zullen vast nog veel andere begrippen tegen komen. Deze zullen we waar

nodig, bespreken.

8.2 Verschillende modellen voor de zon en maan

We zullen nu de eerste twee modellen om de bewegingen van de maan en zon tenopzichte van de aarde bekijken, waar we eerst het excentrische model bespreken.Daarna kijken we naar het epicykelmodel.6 Hoewel de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a steeds spreekt over ’planeten’ zegt hij er wel bij dat deze modellen eigenlijkbedoeld zijn voor de zon en de maan. Wij zullen de terminologie uit de Gan. ita-yukti-bhas.a aanhouden, dus als wij bij het bespreken van de modellen in deze paragraaf hetover ’planeten’ hebben, dan kun je er eigenlijk vanuit gaan dat het over de zon en demaan gaat in deze paragraaf.

De modellen tonen we in figuur 8.1. We zullen proberen het zo helder mogelijkuit te leggen, maar het is niet vreemd als de lezer het niet vanaf de eerste keer kanvolgen. Immers komen er een hoop nieuwe begrippen langs, daarom is het aan teraden om de uitleg soms meerdere keren met het figuur er naast te bestuderen.

8.2.1 Excentrisch model

Het excentrische model wordt gepresenteerd in figuur 8.1 A. Het centrum van dehemelbol is weergegeven door het punt O. Het punt O′ is het middelpunt van depratiman. d. ala en ligt vanafO in de richting van de mandocca (aphelium of apogeum).De cirkel rond O waar O′ op ligt, is de ucca-nica-vr. tta waarover we in de vorigeparagraaf spraken. De ware planeet is weergegeven door P en beweegt zich op de

6Epicykels zijn een soort hulpcirkels om de beweging van planeten (in dit geval de zon en de maan)te kunnen verklaren.

55

Figuur 8.1: In A. is het excentrisch model zichtbaar. In B. is het epicykelmodelzichtbaar. [13, p. 623-624].

56

pratiman. d. ala rond O′.7 Bij de beweging van P beweegt O′ mee, waarbij O′ altijdin de richting van mandocca blijft liggen. Verder stelt Γ een referentiepunt op dehemelbol voor. Dit referentiepunt is altijd een ster en vanaf hier kunnen er hoekenbepaald worden. Zo is in de figuur de lengtegraad van mandocca gelijk aan ΓOO′ ende lengtegraad van de ware planeet (sphut.a-graha) gelijk aan ΓOP . Verder hebbenwe het meest oostelijke punt (in de hemelbol) weergegeven door E en het meestwestelijke punt (in de hemelbol) weergegeven door W . Samen vormt lijnstuk EWde oost-west lijn (purvapara-rekha). In het geval van figuur 8.1 kun je opmerkendat E samenvalt met mandocca. Dit is in het algemene geval niet zo, omdat O′ eenbeweging maakt op de ucca-nica-vr. tta, waardoor mandocca niet vastligt.

8.2.2 Epycikelmodel

In figuur 8.1B is het epicykelmodel gepresenteerd. Het model lijkt op het excentri-sche model, echter roteert in dit geval de ware planeet P over de manda-nicocca-vr. tta(epicykel) met middelpunt P0 (middelbare planeet). Hier zien we het gebruik van dekaks. ya-vr. tta met centrum O, waar de middelbare planeet P0 overheen beweegt. Destraal van kaks. ya-vr. tta is gelijk aan die van de pratiman. d. ala.

8.2.3 Vergelijking van de modellen

In figuur 8.1 B hebben we ook de pratiman. d. ala weergegeven en in figuur 8.1 A heb-ben we ook de middelbare planeet weergegeven. Hiermee kunnen we de verschil-lende modellen goed met elkaar vergelijken en zien dat de verschillende modellenhetzelfde beschrijven.

Mandocca (aphelium of apogeum) zien we in beide modellen in figuur 8.1 ookterugkomen. Deze wordt door planeet P bereikt als die zich op het oostpunt E be-vindt. In dit geval staat de planeet op zijn verste afstand van het centrum van deaardbol. Ucca (lengtegraad van mandocca) is dus gelijk aan ∠ΓOE.

8.2.4 Verklaring voor het gebruik van verschillende modellen

Een duidelijke verklaring voor het gebruik van twee modellen kunnen we helaas nietvinden, maar we kunnen hierover wel speculeren. In hoofdstuk 2.2 zagen we al datde Indiers en de Grieken kennis uitwisselden, na de verovering van Alexander deGrote op noordwest India. We vermoeden dan ook dat, aangezien het epicykelmodelvan de Indiers sterk lijkt op dat van Ptolemaeus (ca. 87-150 n.Chr.), dat dit modelvan de Grieken overgenomen is.8 Het zou dan ook zo kunnen zijn dat er eerste eenexcentrische model door de Indiers werd gebruikt, waarna kennis is vernomen vanhet epicykelmodel en deze (deels) is overgenomen. Dit is alleen speculatie, er zijnhier (nog) geen bewijzen van.

7We zullen gaan spreken over de ware en middelbare planeet. Hier is de ware planeet, de warepositie van de planeet. De middelbare planeet is de positie van de planeet als de ware planeet eenexcentrische cirkelbaan zou beschrijven. Dit zijn in hedendaagse sterrenkunde gangbare begrippen.

8Hoewel we niet te diep willen ingaan op de Griekse sterrenkunde, is het wel belangrijk te meldendat Hipparchus van Rhodos (ca. 190-125 v.Chr.) degene was die de basis voor het epicykelmodellegde.[14]

57

Figuur 8.2: Gebruik van de epicykel voor lusvormige beweging van hemellichaam.

Bij de Grieken werd het epicykelmodel gebruikt om alle bewegingen van hemel-lichamen in hun baan rond de aarde te verklaren. Deze lijken uit een geocentrischoogpunt en bij het gebruik van cirkelbanen soms een lusvormige beweging te maken,zie figuur 8.2. Deze lusvormige beweging heeft te maken met de schijnbaar terug-waartse beweging van een planeet vanuit het oogpunt van de aarde. In de Gan. ita-yukti-bhas.a gebruikt de auteur het epicykelmodel alleen om de beweging van de zonen de maan te verklaren. Bij deze twee hebben we niet te maken met een lusvormigebeweging. Een alternatief model voor de andere zichtbare planeten, zien we terug inhoofdstuk 8.4.

8.2.5 Verschil baan van de zon en de maan

De baan van de zon en maan zijn in de Gan. ita-yukti-bhas.a beiden geocentrisch. Ditwil zeggen dat de aarde in het midden staat en de zon en de maan een baan rond deaarde beschrijven. Het verschil is echter dat bij de zon het brandpunt O′ stilstaat endaarmee de pratiman. d. ala ook. In de Gan. ita-yukti-bhas.a verklaart de auteur dit doorgewoon aan te nemen dat het centrum van de pratiman. d. ala bij de zon zo langzaambeweegt, dat de beweging van de pratiman. d. ala daardoor mag worden genegeerd.Daarmee zegt de auteur eigenlijk dat mandocca een vaste plaats behoudt en de wareplaneet een cirkelvormige beweging rond O′ beschrijft (met constante snelheid).

Bij de maan is dit niet het geval. Hier beweegt het brandpunt wel en daarmee depratiman. d. ala. Dit model lijkt dus iets ingewikkelder dan dat van de zon. Voor deberekeningen maakt dit echter niet uit. Het brandpuntO′ ligt namelijk per definitie inde richting van de mandocca vanaf de aardbol gezien, waardoor we voor berekenin-gen de figuren altijd zo kunnen tekenen dat O (middelpunt aardbol), O′ (brandpunt)en E (oostelijk punt) op dezelfde lijn liggen. Je zou kunnen zeggen dat we op dezemanier de pratiman. d. ala stilzetten. Dit gaat niet ten koste van de geldigheid van deformules die we afleiden.

De auteur legt dit niet zo gedetailleerd uit. Hij zegt bij het beschrijven van hetexcentrische model en epicykelmodel wel dat het over de zon en de maan gaat, maarzegt er niet bij dat het model van de maan ondanks zijn extra bewegingen niet andersmoet worden behandeld dan dat van de zon. Ook de vertaler zegt hier niets over.

58

Tabel 8.1: Ingevoerde variabelen, voor de beweging van de zon en de maan.Variabelen Sanskriet Betekenis

R Trijya Dit is de straal van de pratiman. d. ala en kaks. ya-vr. tta.K Karn. a Dit is de afstand van het centrum van de aardbol tot

aan het centrum van een planeet. Tevens is dit destraal van de karn. a-vr. tta.

r - Straal van de epicykel (tevens gelijk aan de afstandvan O tot O′).

r0 - Straal van de middelbare epicykelθU Ucca Dit is de lengtegraad van ucca ten opzichte van het

referentiepunt (de ster). In veel figuren zal dit gelijkzijn aan de hoek ∠ΓOE of ∠ΓOU .

θsp Sphut.a Dit is de hoek die het referentiepunt maakt met hetcentrum van de aardbol en ware planeet. In de figu-ren vaak aangegeven door ∠ΓOP .

θma Madhyama Dit is de hoek die het referentiepunt maakt met hetcentrum van de aardbol en middelbare planeet. In defiguren vaak aangegeven door ∠ΓOP0.

8.3 Gebruik van het excentrische model en epicykelmodel

We zullen voordat we gaan kijken naar de beweging van een planeet (de zon of maan)volgens het epicykelmodel, enkele variabelen invoeren, zoals we in tabel 8.1 zien.

In figuur 8.3 zien we nogmaals de twee modellen naast elkaar staan. Hier is uccaaangegeven door punt U . Wij kennen de middelbare anomalie en ware anomalie alsbelangrijke begrippen binnen de sferische sterrenkunde. Hier kunnen we namelijkde middelpuntsvereffening mee opstellen. Dit laten we zien in bijlage B voor he-dendaagse sterrenkunde. Deze begrippen zijn in de Gan. ita-yukti-bhas.a ook belang-rijk, daar zullen we later nog op terugkomen. De middelbare anomalie (madhyama-kendra) is hier

θma − θU = ∠ΓOP0 − ∠ΓOU = ∠P0OU (8.1)

en de ware anomalie (sphut.a-kendra) is hier

θsp − θU = ∠ΓOP − ∠ΓOU = ∠POU. (8.2)

Met deze anomalien wordt door de auteur een vergelijking afgeleid, welke wij hierniet zullen uitwerken, maar wel zullen tonen. Dit is een nuttige relatie tussen de wareen middelbare anomalie, gegeven door:

K sin (θsp − θU ) = R sin (θma − θU ) (8.3)

Er zit alleen nog wel een verschil in, want in de Gan. ita-yukti-bhas.a rekent deauteur de anomalien vanaf het aphelium, terwijl wij dat tegenwoordig doen vanaf hetperihelium.

59

Figuur 8.3: Nogmaals het excentrische model en epyckelmodel naast elkaar gezet.

8.3.1 Karn. a

De karn. a-vr. tta is de baan die de ware planeet beschrijft. Dus de karn. a-vr. tta tekenje door steeds opnieuw de pratiman. d. ala te construeren, voor ieder mogelijke positievan de ware planeet. Zo stelt de karn. a-vr. tta dus de baan voor als je alle mogelijkeposities van de ware planeet op de verschillende pratiman. d. ala-s achter elkaar zet.Bedenk dat de karn. a-vr. tta wel een continue baan moet zijn, dus het moet letterlijkvoor ieder mogelijke positie worden getekend. De auteur legt dit niet op deze manieruit, hoewel hij het wel af en toe over de karn. a-vr. tta heeft, wat door het woordje’vr. tta’ impliceert dat het hier om een aaneengesloten baan gaat. Hij vraagt verdernergens aan de lezer om deze baan te tekenen. Wat hij belangrijker lijkt te vinden, ishet afleiden van de (varierende) straal van deze baan, ofwel de afstand van de wareplaneet tot het middelpunt van de aardbol. Deze afstand, of straal, heet karn. a.

We zullen nu laten zien hoe we karn. a, straal van karn. a-vr. tta, moeten uitrekenen.Op deze manier weten we dus ook, voor een willekeurige positie, wat de afstand vanhet centrum van de aardbol tot aan het centrum van de ware planeet is. In de Gan. ita-yukti-bhas.a worden verschillende manieren voorgesteld om karn. a uit te rekenen. Wezullen in eigen woorden een van deze methodes laten zien.

We kijken hiervoor naar figuur 8.4. Hier is karn. a gelijk aan lijnstuk OPi voorverschillende plaatsen van de ware planeet, Pi. Punt Bi is zo getekend, zodat lijn-stuk PiBi loodrecht op lijnstuk EW staat. Hiervoor weten we met de stelling vanPythagoras dat

K2i = OP 2

i = OB2i + PiB

2i . (8.4)

Er wordt door de auteur op een gegeven moment de volgende relatie gegeven (waarwe Pi0 gebruiken als de middelbare planeet voor Pi):

60

∠EO′Pi = ∠EOPi0 . (8.5)

Deze relatie leidt hij niet netjes af, maar volgt uit het feit dat de straal van de epicykelrond de middelbare planeet Pi0 , oftewel lijnstuk PiPi0 , altijd gelijk is aan OO′ en desnelheid van O′ en Pi op hun epicykels even groot zijn. Dit is misschien niet meteenduidelijk. We zullen daarom in hoofdstuk 8.3.2 hier op terugkomen en aantonen datvergelijking 8.5 altijd geldt. Nu kunnen we met relatie 8.5 ook het volgende afleiden:

PiBi = R sin (∠EO′Pi) = R sin (θma − θU ).

In figuur 8.4 kunnen we ook afleiden dat 9

BiO = |BiO′ ±O′O|

en O′O = r en O′Pi = R. Als we nu opmerken dat als Pi zich onder de horizontalelijn door O′ bevindt, dat cos (θma − θU ) < 0 en als Pi zich boven de horizontalelijn door O′ bevindt, dat cos (θma − θU ) > 0, dan kunnen we zien dat als BiO′ =R cos (θma − θU ), we voor iedere positie van Pi krijgen:

BiO = |R cos (θma − θU ) + r|.

Nu kunnen we vergelijking 8.4 oplossen door

K = OPi

=

√R2 sin2 (θma − θU ) + (R cos (θma − θU ) + r)2

=√R2 + r2 + 2rR cos (θma − θU ). (8.6)

Dit geeft ons meteen de maximale en minimale waarde voor K (karn. a):

Kmax = R+ r,

Kmin = R− r.

8.3.2 Cosinusregel

Als we nu beide zijden in vergelijking 8.6 kwadrateren, dan krijgen we een opvallendresultaat. We zien dan namelijk

OP 2i = R2 + r2 + 2rR cos (θma − θU ). (8.7)

Hier herkennen we een vergelijking die lijkt op de cosinusregel voor driehoekOO′Pi.Dit zien we terug in figuur 8.5. Hier zien we met de cosinusregel

OP 2i = R2 + r2 − 2rR cos (θM ). (8.8)

9Afhankelijk van de positie van Pi is het een plus-of minteken. We kunnen namelijk in figuur 8.4zien dat als Pi onder de horizontale lijn door O′ ligt, dat het een minteken wordt. In het andere gevaleen plusteken. De absolutewaarde tekens zijn nodig voor het geval dat de planeet zich op P3 bevindt.

61

Figuur 8.4: Meetkundige beschrijving, nodig voor berekeningen voor de ware pla-neet. [13, p. 629]

Figuur 8.5: Cosinusregel voor driehoek OO′Pi

62

Figuur 8.6: Middelbare anomalie M weergegeven met behulp van driehoek OO′Pi.

Als we nu vergelijking 8.7 en 8.8 vergelijken dan zien we dat we volgende relatiekrijgen:

π − θM = θma − θU .

We defenieren nu de volgende hoeken voor de middelbare anomalie (zie figuur 8.6):

M = θma − θU = ∠EOPi0 ,

M ′ = π − θM = ∠EO′Pi.

Hiermee zien we eigenlijk, omdat M = M ′, dat

∠EO′Pi = ∠EOPi0 .

Dit was precies wat we in vergelijking 8.5 al zagen en we nu dus zelf op een alterna-tieve manier bewezen hebben.

8.3.3 Viparita-karn. a

Een andere, volgens de auteur belangrijke afstand, is Viparita-karn. a. Deze kun jevertalen naar de ’inverse karn. a’. We kunnen dit eigenlijk gewoon de straal van dekaks. ya-vr. tta (of pratiman. d. ala) noemen, welke kan worden berekend als karn. a be-kend is. Dit gaat op een soortgelijke manier als het berekenen van karn. a. In deGan. ita-yukti-bhas.a werkt de auteur niet met formules, dus volgt er een nieuwe stapvoor stap uitwerking voor het berekenen van Viparita-karn. a. Dit kan op verschillende

63

manieren. Aangezien we voor het afleiden van vergelijking 8.6 gebruik gemaakt heb-ben van het excentrische model, is het goed om te kijken hoe we dan R kunnen af-leiden met het epicykelmodel. Hiervoor kijken we naar figuur 8.7. We zien hier allebekende punten in weergegeven. We weten dat R, de straal van de pratiman. d. alagelijk is aan OMi en dit is weer gelijk aan

OMi = |OBi ±BiMi|,

waarbij het plusminus teken afhankelijk is van de positie van de ware planeet. In hetgeval van positie 1 is dit een plusteken, in het geval van 2 een minteken. We zien hierdat

OBi =√K2 − (r sin (θma − θU ))2,

B1M1 = r cos (θma − θU ),

B2M2 = −r cos (θma − θU ),

waaruit we nu kunnen afleiden dat ten alle tijden

OMi =√K2 − (r sin (θma − θU ))2 − r cos (θma − θU ).

Dus hebben we op deze manier een formule voor Viparita-karn. a, gegeven door

Viparita-karn. a = R =√K2 − (rsin(θma − θU ))2 − rcos(θma − θU ). (8.9)

We gaan dit resultaat nu toepassen. Hiermee zullen we er achter komen dat we eenuitdrukking voor karn. a vinden die er voor zorgt dat we zien dat, na enkele benade-ringen, de planeet een ellipsbaan beschrijft.

In de Gan. ita-yukti-bhas.a legt de auteur uit dat de straal van de epicykel niet con-stant is. Deze blijkt te varieren gedurende zijn omwenteling, daarom bestaat er eenmiddelbare epicykel, welke we hier r0 zullen noemen. Een uitleg over het varierenvan de straal kunnen we niet terugvinden. Dit zal waarschijnlijk gewoon een ’empi-rische’ aanname zijn. Karn. a (K) is ook niet constant en heeft een middelbare groottegelijk aan trijya (R).10 Verder is nog bekend dat de verhouding r

K constant is, om-dat r en K gelijkmatig groter en kleiner worden. Dit moet (blijkbaar) altijd gelden,dus ook voor de middelbare straal van de epicykel, welke correspondeert met de af-stand van het middelpunt van de aardbol tot de middelbare planeet, R, dus we zienr0R = Constant. Waarom r en K gelijkmatig groter of kleiner worden is moeilijk tebegrijpen en wordt in Gan. ita-yukti-bhas.a gewoon aangenomen. We kunnen in iedergeval hieruit concluderen dat

r

K=r0R

= Constant.

De auteur doet verder niet heel veel met deze vergelijkingen, behalve dat hij zegt datr = K · r0R , maar wij gaan dit gebruiken om een nieuwe vergelijking voor karn. a te

10Dit volgt uiteraard uit het feit dat de afstand van het middelpunt van de aardbol tot aan de middel-bare planeet gelijk aan R is.

64

Figuur 8.7: Epicykelmodel voor het berekenen van R, de straal van depratiman. d. ala.[13, p.634]

berekenen. We kunnen eerst r = K · r0R in vergelijking 8.9 invullen, zodat we ziendat

R = K

(√1− (

r0R

sin (θma − θU ))2 − r0R

cos (θma − θU )

),

dit kunnen we omschrijven naar een formule voor K in de vorm

K =R√

1− ( r0R sin (θma − θU ))2 − r0R cos (θma − θU )

=R2√

R2 − (r0 sin (θma − θU ))2 − r0 cos (θma − θU ). (8.10)

Op deze manier hebben we nu een vergelijking afgeleid voor karn. a, waar R en r0constant zijn en K dus alleen afhankelijk is van (θma − θU ).

8.3.4 Ellipsbaan versus karn. a

De oplettende lezer zou kunnen opmerken dat vergelijking 8.10 sterk op de vergelij-king van een ellipsbaan in poolcoordinaten lijkt, zoals we die kennen uit het modelvan Kepler. Deze vergelijking voor de ellipsbaan leiden we in bijlage B af, met alsresultaat vergelijking B.2. We kijken nu naar figuur 8.8. Hier zien we een ellips metexcentrische cirkel met straal b. Punt A is de positie van de aarde. Punt Z is de positievan de zon. Punt O’ is het middelpunt van de ellips en excentrische cirkel. Verder

65

Figuur 8.8: Elliptische baan met excentrische cirkel.

is de straal van de excentrische cirkel gelijk aan b, de afstand van O′ naar het aphe-lium/perihelium gelijk aan a, de afstand van O′ naar Z gelijk aan d en c de afstandvan de zon tot aan de ellips. We kunnen nu de ellipsbaan beschrijven door

r(φ) =a(1− e2)1 + e cosφ

, (8.11)

waar we uit bijlage B de volgende relaties voor kennen:

a =c

1− e2,

b =c√

1− e2,

c = a(1− e2),

d = ae.

Hier is r de afstand van de planeet tot de zon, afhankelijk van de verandering vanhoek φ. Verder liggen e, b, a en d vast voor iedere planeet, dus deze zijn constant.11

We hebben ook een excentrische cirkel in figuur 8.8 getekend.Voordat we een vergelijking gaan maken tussen de ellipsbanen en de planeet-

banen uit de Gan. ita-yukti-bhas.a zullen we een nieuw teken introduceren. Vanaf nuzullen we gebruikmaken van ’'’ als we spreken over twee variabelen die voor beidemodellen dezelfde betekenis hebben en dus zo goed als gelijk aan elkaar zijn. Het isnamelijk gevaarlijk om het ’=’ teken te gebruiken als het niet zeker gelijk aan elkaaris en met het ’≈’ teken lijkt alsof het een benadering is.

11De precieze betekenis van deze constanten leggen we uit in bijlage B.

66

We kunnen zien dat bij de elliptische banen uit het model van Kepler de hoek φwordt gekozen vanaf het perihelium, terwijl (θma − θU ) de hoek is vanaf het aphe-lium.12 Daarom kunnen we zeggen dat (θma − θU + π) ' φ, dus

cos (θma − θU ) ' − cosφ,

sin (θma − θU ) ' − sinφ.

We gaan nu een aanname maken, waar we straks in hoofdstuk 8.3.5 op terug zullenkomen, namelijk dat

e ' r02R

.

Hiermee zien we dat

√R2 − (r0 sin (θma − θU ))2 '

√R2 − (2Re sin (θma − θU ))2

= R√

1− (2e sin (θma − θU ))2 (8.12)

Als we aannemen dat e � 1, wat voor de meeste ellipsbanen van planeten in onszonnestelsel zo is, kunnen we zien dat e2 verwaarloosbaar klein wordt ten opzichtevan 1 en dus zien we voor vergelijking 8.12 dat√

R2 − (r0 sin (θma − θU ))2 ≈ R.

Nu kunnen we zien dat vergelijking 8.10 kan worden omgeschreven volgens

R2√R2 − (r0 sin (θma − θU ))2 − r0 cos (θma − θU )

≈ R2

R− 2Re cos (θma − θU )

=R

1− 2Re cos (θma − θU )

' R

1 + 2e cosφ. (8.13)

Met a(1− e2) ≈ a zien we dat vergelijking 8.11 te schrijven is als

a(1− e2)1 + e cosφ

=a

1 + e cosφ. (8.14)

Vergelijking 8.13 en 8.14 zijn gelijk als

R

1 + 2e cosφ' a

1 + e cosφ,

dus wanneer

R ' a(

1 + 2e cosφ

1 + e cosφ

).

12Dit is geen toeval dat dit verschilt. Voorheen werd in het model van Kepler ook gerekend vanafhet aphelium. Echter, toen men ook kometen ging beschrijven in het model van Kepler, werd dit lastig,omdat kometen geen aphelium hebben.

67

We namen aan dat e� 1, dus we kunnen hogere orde van e, dusO(e2) verwaarlozen.Met een Taylorontwikkeling voor 1

1+e cosφ zien we dat

R ' a(1 + 2e cosφ)(1− e cosφ+ (e cosφ)2 − ...) = a(1 + e cosφ+O(e2)),

waarmee we nu kunnen zeggen dat we een nauwkeurige relatie voor R krijgen door

R ' a(1 + e cosφ).

Hiermee concluderen weK ' r(φ), (8.15)

als e� 1, O(e2) = 0, e ' r02R en R ' a(1 + e cosφ).

We zien dus eigenlijk dat de planeten die volgens het excentrische model enepicykelmodel uit Gan. ita-yukti-bhas.a bewegen, een ellipsbaan beschrijven.13 In deGan. ita-yukti-bhas.a wordt er, zoals we net al opmerkten, niks gezegd over de vormvan de karn. a-vr. tta (de baan van de ware planeet). Echter had de auteur dus eigenlijk,als hij deze baan had getekend, al kunnen zien dat het een ellipsbaan zou zijn.

8.3.5 Middelpuntsvereffening

We zullen nu de middelpuntsvereffening uit de Gan. ita-yukti-bhas.a bekijken. Dit is devergelijking die het verschil tussen de hoek die de middelbare planeet met de aardbolen het aphelium (of perihelium) maakt en de hoek die de ware planeet met de aardbolen het aphelium (of perihelium) maakt. Het berekenen van de middelpuntsvereffe-ning doen we met de formules uit de Gan. ita-yukti-bhas.a, waarna we deze vervolgensvergelijken met de hedendaagse die we in bijlage B in vergelijking B.3 presenteren.De middelpuntsvereffening is in het Sanskriet de manda-sam. skara.14

We maken nu gebruik van figuur 8.9. Hier zien we opnieuw het epicykelmodel.Hierin hebben we in dit geval twee verschillende epicykels weergegeven. Namelijkdie met straal r (willekeurige straal) en straal r0 (middelbare straal). Waar in ditgeval het brandpunt O′′ op afstand r0 van O staat. Punt P is de ware planeet bijde willekeurige epicykel en P1 is de ware planeet bij de epicykel met straal r0. Demiddelbare planeet wordt in deze figuur nog steeds weergegeven door P0 net als Γvoor de ster die als referentiepunt in de hemelbol fungeert. Verder hebben we puntX getekend, zodat we een rechthoekige driehoek PXP0 hebben. We zien hier dat demiddelpuntsvereffening gelijk is aan

∠ΓOP0 − ∠ΓOP = ∠POP0,

ofwel∠POP0 = θma − θsp.

13Dit zijn natuurlijk alleen de zon en de maan, maar ter algemeenheid hebben we het net als de auteurover ’planeten’.

14In bijlage B wordt uitgelegd wat de middelpuntsvereffening precies is en hoe we het hedendaagsuitrekenen.

68

Figuur 8.9: Middelbare en ware epicykels, met toegevoegde rechthoekige driehoek(weergegeven in rood). [13, p. 632].

We kunnen door gebruik te maken van driehoek OP0P en de met rood weergegevenrechthoekige driehoek P0XP , zien dat

XP = K sin∠POP0 = K sin (θma − θsp),

XP = r sin (∠PP0X) = r sin∠EOP0 = r sin (θma − θU ),

dus we concluderen hiermee

K sin (θma − θsp) = r sin (θma − θU ). (8.16)

Door vergelijking 8.16 om te schrijven naar

θma − θsp = arcsin (r

Ksin (θma − θU )),

hebben we een middelpuntsvereffening volgens de Gan. ita-yukti-bhas.a . Zoals weal zagen, weten we dat de straal van de epicykel r op dezelfde manier als karn. a Kvarieert, waarmee we de middelpuntsvereffening ook kunnen schrijven als

θma − θsp = arcsin (r0R

sin (θma − θU )), (8.17)

waarna we nu gebruik kunnen maken van de Taylorreeks van de arcsinus functie enzien dat15

θma−θsp =r0R

sin (θma − θU )+( r0R sin (θma − θU ))3

6+

3( r0R sin (θma − θU ))5

40+

15( r0R sin (θma − θU ))7

336+...

(8.18)15Dit is arcsinx = x+ x3

6+ 3x5

40+ 15x7

336+ ...

69

Deze laatste vergelijking (8.18) kunnen we vergelijken met de hedendaagse middel-puntsvereffening.

φ−M = 2e sinM +5

4e2 sin 2M +O(e3). (8.19)

In vergelijking 8.19 is de ware anomalie weergegeven door φ en de middelbare doorM . Opnieuw zien we de term e voor de excentriciteit hier in voorkomen. Zoals we alin paragraaf 8.3.4 zagen, wordt tegenwoordig de hoek vanaf het perihelium berekend,waar in de Gan. ita-yukti-bhas.a dit vanaf het aphelium gedaan wordt. Daarom moetenwe laten zien dat met

sinM = − sin (θma − θU ),

er geldt datφ−M ' θma − θsp (8.20)

Aangezien e � 1, zijn hogere orde termen O(e2) in vergelijking 8.18 en 8.19 ver-waarloosbaar klein en kijken we alleen naar de eerste orde. We zien nu dat ze tot opde eerste orde overeenkomen als

e ' r02R

. (8.21)

Dit is wat we al hebben gebruikt in de vorige paragraaf, maar toen alleen nog maarhadden aangenomen. Nu zien we dus waar het vandaan komt. Uiteindelijk kunnenwe zeggen dat

r0R

sin (θma − θU ) ' 2e sinM,

waardoor nu tot op de eerste orde geldt

θma − θsp ≈ φ−M,

waar we wel gebruikmaken van het ’≈’ teken, omdat we nu zeker weten dat hetongeveer gelijkwaardig aan elkaar is.

Dit geldt alleen voor planeten die een ellipsvormige baan beschrijven rond eencentraal punt, waarbij e� 1.

8.4 Lengtegraden van de planeten

Tegenwoordig weten we dat alle planeten in ons zonnestelsel, inclusief de aarde, rondde zon draaien. Dit doen ze allemaal in een verschillende baan. Het lijkt daardoor alsje vanaf de aardbol naar een andere planeet kijkt, dat deze soms een retrograde (terug-waartse) beweging maakt. Dit betekent dat als een planeet eerst oostwaarts ging, danlijkt deze ineens westwaarts te gaan. Deze beweging ziet er lusvormig uit en zagenwe al even voorbijkomen in hoofdstuk 8.2.4 en figuur 8.2. De schijnbaar vreemdebewegingen, vanuit aards oogpunt, kunnen we nu verklaren doordat een planeet diedichterbij de zon staat, een planeet die verderaf staat ’inhaalt’ tijdens zijn rotatie omde zon. Voor planeten die dichterbij de zon staan dan de aarde (Mercurius en Venus)wordt de aarde dus op een gegeven moment ’ingehaald’ en de planeten die verder vande zon afstaan (Mars, Jupiter en Saturnus), worden juist door de aarde ’ingehaald’.

70

Figuur 8.10: Het model om de baan van Mars, Jupiter en Saturnus te beschrijven.[13, p. 643].

In het Westen paste Ptolemaeus een ingewikkelder epicykelmodel toe, waarbij epicy-kels deze complexe bewegingen corrigeerde. In India was hier een andere oplossingvoor. Zij stelde voor dat de planeten rond de zon draaide en de zon rond de aarde.Het model dat hierbij hoort zullen we nu gaan bespreken. Hiervoor maakt de auteureen onderscheid tussen de binnenste (Mercurius en Venus) en buitenste (Mars, Jupi-ter en Saturnus) planeten gemaakt. We zullen eerst de buitenste bespreken en daarnade binnenste. Daarnaast vergelijken we deze modellen met het model van Kepler.

8.4.1 Beweging van de buitenste planeten

We zullen nu kijken naar figuur 8.10. Hier zien we dat het middelpunt van de aard-bol weergegeven is door O, de middelbare zon (sighrocca) door S en de ware pla-neet door P . Rond O is een cirkel getekend. Deze cirkel wordt door de auteur desighra-nicocca-vr. tta genoemd met straal rs. De manda-nicocca-vr. tta is de cirkelrond middelpunt S, waar ucca zich op bevindt. Verder beweegt S zich op sighra-nicocca-vr. tta. Er worden in dit geval twee verschillende karn. a-s onderscheid: desighra-karn. a (OP ) en manda-karn. a (PS). Deze twee karn. a-s hebben we nodigom de afstand van respectievelijk de aarde tot de planeet en van de zon tot de pla-neet te berekenen. Het punt B in de figuur is een hulpmiddel om een rechthoekigedriehoek PBS te kunnen construeren. Hiermee worden er nu twee nieuwe termengeıntroduceerd:

sighra-kendra-jya = PB = PS sin∠PSB,

71

Tabel 8.2: Variabelen voor de beweging van planeten.Hoek Variabelen Naam in Sanskriet∠ΓSP θms manda-sphut.a∠ΓOS θsr sighrocca∠ΓOP θss sighra-sphut.aOS rs -OP Ks sighra-karn. aPS Km manda-karn. a

sighra-kendra-kot.ijya = SB = PS cos∠PSB.

We zullen nu wat variabelen invoeren, zoals we die zien in tabel 8.2.We zien nu dat

∠PSB = θms − θsr.

Als we dit gebruiken zien we ook

sighra-kendra-jya = Km sin (θms − θsr),

sighra-kendra-kot.ijya = Km cos (θms − θsr).

Nu kunnen we sighra-karn. a (KSC) uitdrukken door

Ks =√PB2 +OB2

=√PB2 + (BS +OS)2

=√

(Km sin (θms − θsr))2 + (Km cos (θms − θrs) + rs)2. (8.22)

De volgende belangrijke uitdrukking is de sighra-samskara, deze is gelijk aan

∠OPC = manda-sphut.a− sighra-sphut.a = θms − θss.

Verder is OC de sighra-bhuja-phala, die we kunnen uitdrukken als

OC = OS sin∠OSC = OS sin∠PSB = rs sin (θms − θsr).

We kunnen metOP sin (∠OPC) = OC,

zien datKs sin (θms − θss) = rs sin (θms − θsr). (8.23)

Als we beide kanten door Ks delen, kunnen we samen met vergelijking 8.22 nu devolgende uitdrukking afleiden:

sin (θms − θss) =rs sin (θms − θsr)√

(Km sin (θms − θsr))2 + (Km cos (θms − θsr) + rs)2.

(8.24)

72

Op deze manier hebben we een vergelijking die de hoek tussen PS en PO weergeeft(∠OPS), uitgedrukt in de afstand van de aarde tot de planeet, Ks en in ∠PSB.Verder kunnen we hier opmerken dat ∠PSB = π − ∠OSP is.

De oplettende lezer kan nog opmerken dat we ∠OPS tegenwoordig kennen alsde elongatie van de aarde, gezien vanaf de planeet. We zullen hier op terugkomenin hoofdstuk 8.5, nadat we deze vergeleken hebben met de hedendaagse elongatievan de aarde, gezien vanaf de planeet. Belangrijk is nog dat in tegenstelling tot hetepicykelmodel, rs en Ks niet tegelijk varieren.

8.4.2 Uitdrukken in Trijya

In Gan. ita-yukti-bhas.a maakt de auteur gebruik van trijya om formule 8.24 af te lei-den. Hier is trijya de straal van de pratiman. d. ala. We zien in afbeelding 8.10 datU met constante snelheid roteert rond S.16 Dus na een omwenteling, zal gemiddeldgezien PS gelijk zijn aan PU = R. Hiermee zien we dan dat als Ks de gemiddeldelengte is van sighra-karn. a (OP ) dat dan de manda-karn. a (SP ) gelijk is aan trijya.Waaruit de volgende verhouding volgt

Ks

R=

Ks

Km

en dus met de regel van drie

Ks =R

KmKs.

Nu kunnen we een middelbare sighra-karn. a afleiden, door vergelijking 8.22 te ver-menigvuldigen met R

Km, wat resulteert in

Ks =

√(R sin (θms − θsr))2 + (R cos (θms − θrs) + rs

R

Km)2. (8.25)

Op deze manier hebben we een nieuwe vergelijking voor de gemiddelde lengte vanOP , uitgedrukt in ∠PSB, rs, R en Km. Dit is een handige uitdrukking als je metsinustabellen werkt, aangezien die uitgedrukt zijn in Rsinussen (jya) met standaardstraal R = trijya.

8.4.3 De elongatie uit de Gan. ita-yukti-bhas.a (buitenste planeten) versusdie van Kepler

In deze paragraaf zullen we vergelijking 8.24, voor de elongatie van de aarde gezienvanaf de planeet, vergelijken met dezelfde elongatie volgens het model van Kepler.We maken daarom in figuur 8.11 een figuur van twee planeten in een ellipsbaan rondde zon, volgens het model van Kepler. Een van de planeten kiezen we als de aarde.Planeten gaan in dit model rond de zon volgens een ellipsbaan, waar de zon een vande brandpunten van de ellips is. In deze ellipsbaan is een van de brandpunten het

16De snelheid is constant, omdat dit in de Gan. ita-yukti-bhas.a voor alle punten die een cirkelbaanbeschrijven zo is. Dit is een aanname waarop de modellen zijn gebaseerd.

73

Figuur 8.11: Het model van Kepler voor de buitenste planeten.

centrum van de zon (Z). We hebben het centrum van de aarde aangegeven met A endeze bevindt zich op de binnenste ellipsbaan. Een willekeurige planeet hebben weweergegeven met P . Verder hebben we een parallelogram ZPP ′A geconstrueerd,waarin we P ′ zo gekozen hebben, zodat AP ′ = ZP en ZA = PP ′. De hoeken

θms = ∠ΓZP = ΓAP ′,

θsr = (2π − ∠ΓAZ),

θss = ΓAP,

corresponderen met de hoeken uit hoofdstuk 8.4.1. De afstand van Z tot A noemenwe r en de afstand van Z tot P noemen we R. Met de cosinusregel kunnen weafleiden voor driehoek AZP , dat

AP 2 = R2 + r2 − 2rR cos (∠AZP )

= R2 + r2 − 2rR cos (π − ∠ZAP ′)

= R2 + r2 − 2rR cos (π − (θsr − θms))= R2 + r2 + 2rR cos (θsr − θms). (8.26)

We zien hier verder∠APZ = ∠PAP ′ = θss − θms.

Met de sinusregel kunnen we afleiden

sin (∠APZ)

AZ=

sin (∠AZP )

AP. (8.27)

74

Met het gegeven ∠AZP = θsr − θms, zien we nu

sin (θss − θms) =r sin (θsr − θms)√

R2 + r2 + 2rR cos (θsr − θms). (8.28)

Dit kunnen we ook schrijven als

sin (θss − θms) =r sin (θsr − θms)√

(R+ r cos (θsr − θms))2 + (r sin (θsr − θms))2. (8.29)

We kunnen nu opmerken dat vergelijking 8.24 en 8.29 met elkaar overeenkomen.Daarom we ook dezelfde namen voor de hoeken aanhouden, alleen maken we gebruikvan een tilde om onderscheid aan te duiden tussen verschillende modellen. Voor θmszien we dat in de Gan. ita-yukti-bhas.a de auteur gebruik maakt van de middelbare zon,terwijl hij in het model van Kepler de ware zon gebruikt. Het model van Kepler ishet meest nauwkeurig, daarom kunnen we zeggen dat in de Gan. ita-yukti-bhas.a er eenkleine afwijking zit door het gebruik van de middelbare zon.

We zien dat de auteur een erg nauwkeurige methode gebruikt om de banen vande buitenste planeten te beschrijven. Deze planeten beschrijven volgens hem duseigenlijk een nette ellipsvormige baan rond de (middelbare) zon, zonder dat hij ditzelf door zal hebben gehad.

8.4.4 Beweging binnenste planeten

Voor de beweging van de binnenste planeten werkt het anders dan de buitenste plane-ten. We zullen dit iets minder uitgebreid bespreken dan de beweging van de buitensteplaneten, omdat het grotendeels er op lijkt. We kijken hiervoor naar figuur 8.12 envoeren dezelfde variabelen in zoals in tabel 8.2 al door ons geıntroduceerd zijn.

Net als in het geval van de buitenste planeten, beweegt S (middelbare zon) opde sighra-vr. tta met straal R en met O (centrum van de aarde) als middelpunt. Deplaneet P beweegt op een excentrische cirkel met de U (ucca) als middelpunt en metstraal rs. Hier is PS de manda-karn. a met een grote van

rs =Ks

Rrs.

Een uitleg over deze waarde voor rs zien we niet zo duidelijk terugkomen, maar jekunt met de regel van drie en figuur 8.12 nagaan dat rs staat tot Ks zoals rs staat totR, waaruit dan de gewenste rs volgt. Punt B is zo gekozen, zodat driehoek OBPeen rechthoekige driehoek vormt. De middelbare zon (S) beweegt op een kleinerecirkel, in vergelijking met het model van de buitenste planeten. De hoeken definierenwe door

manda-sphut.a = ∠ΓSP = θms,

sighrocca = ∠ΓOS = θsr.

We kunnen, net als de auteur, de afstand OP (sighra-karn. a) berekenen door gebruikte maken van

PB = rs sin (θms − θsr),

75

Figuur 8.12: Het model om de baan van Mercurius en Venus te beschrijven. [9, p.37].

OB = OS +BS = R+ rs cos (θms − θsr),

waarmee we nu zien dat

Ks =√PB2 +OB2

=√

(rs sin (θms − θsr))2 + (R+ rs cos (θms − θsr))2. (8.30)

Op een zelfde manier kunnen we net als vergelijking 8.24 afleiden dat

sin (∠ΓOP − ∠ΓOS) =r sin (θms − θsr)

KSC.

Hier issighra-sphut.a = ∠ΓOP = θss,

dus we kunnen nu zien dat

sin (θss − θsr) =rs sin (θms − θsr)√

(R+ rs cos (θms − θsr))2 + (rs sin (θms − θsr))2. (8.31)

In deze vergelijking hebben we een uitdrukking voor θss−θsr = ∠POS uitgedrukt inde afstand van de aarde tot de planeet,Ks en in ∠PSB. Het opvallende hieraan is dater eigenlijk een uitdrukking is gevonden voor de elongatie, zoals we dat hedendaagsin de sterrenkunde noemen. Dit is de hoek, vanaf de aarde uit gezien, tussen deplaneet en de zon.

Dit model voor de binnenste planeten is een herziende versie van het eerderemodel in India. In het eerdere model werd gebruik gemaakt van de middelbare zonals middelbare planeet. Dit komt omdat Mercurius en Venus zo dicht op de zonstaan, vanaf de aardbol, dat ze moeilijk waar te nemen zijn. Nilakan. t.ha Somayajiwas degene die dit herzien had. Dit is later overgenomen in de Gan. ita-yukti-bhas.a.

76

Het enige echte grote verschil is dat de baan van de planeet rond de zon voorde buitenste planeten groter is dan voor de binnenste planeten. Dit zie je ook terugin de modellen die de auteur de lezer laat construeren. Als je dit inzicht hebt, danzou je je toch afvragen waarom de Indiers dan niet inzagen dat de aarde ook gewooneen baan rond de zon beschreef en die tussen de binnenste en buitenste planeten lag.Waarschijnlijk was het uit religieuze overwegingen niet mogelijk dat de aarde niethet centrum was en zou bewegen.

8.4.5 De elongatie uit de Gan. ita-yukti-bhas.a (binnenste planeten) ver-sus die van Kepler

Net als bij de buitenste planeten, zullen we ook voor de binnenste planeten dezeelongatie vergelijken met die van het model van Kepler. We kijken hiervoor naarfiguur 8.13, waarin we model van Kepler geschetst hebben voor een ellipsvormigebaan van zowel (middelpunt van) de aarde (A) als de binnenste planeet (P ), rond de(ware) zon (Z). We hebben de volgende hoeken in figuur 8.13 weergegeven:

∠PZA = θms,

∠ΓAP = θss,

∠ΓAZ = θsr.

We kunnen verder gebruikmaken van

∠AZP = π − (θms − θsr),

∠ZAP = θss − θsr,

waar we zien dat ∠ZAP de elongatie is. Met de sinusregel merken we op dat

sin (θss − θsr)ZP

=sin (π − (θms − θsr))

AP,

waar de straal van de ellipsbaan van A gelijk is aan R en die van P gelijk aan r.Hiermee zien we dat als we weer de cosinusregel gebruiken, zoals voor 8.26, dat weweer uitkomen op

AP =

√(r sin (π − (θms − θsr)))2 + (R+ r cos (π − (θms − θsr)))2.

Dus we concluderen nu

sin (θss − θsr) =r sin (θms − θsr)√

(r sin (θms − θsr))2 + (R+ r cos (θms − θsr))2, (8.32)

waarmee we zien dat vergelijking 8.31 overeenkomt met het model voor de binnen-ste planeten van Kepler. Opnieuw is er alleen een klein verschil in het gebruik vanmiddelbare zon in het model uit de Gan. ita-yukti-bhas.a en het gebruik van de warezon in het model van Kepler.

77

Figuur 8.13: Ellipsvormige model van Kepler, voor de binnenste planeten.

8.5 sighra-sam. skara (Elongatie)

We zagen in hoofdstuk 8.3.5 al manda-sam. skara voorbijkomen. Dit was de mid-delpuntsvereffening voor het zon-aarde systeem. Nu werkt de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a in het geval van een willekeurige planeet toe naar de sighra-sam. skaravergelijking. Met vergelijking 8.24 en 8.31 zien we een uitdrukking voor de bui-tenste planeet in de vorm sin (θms − θss) en voor de binnenste planeet in de vormsin (θss − θsr). Voor de buitenste planeten is (θms − θss) de sighra-sam. skara envoor de binnenste planeten is (θss − θsr) ook de sighra-sam. skara.

We kennen daar in de hedendaagse sterrenkunde geen algemene naam voor, maarherkennen in dit in het geval van de binnenste en buitenste planeten wel als respec-tievelijk de (gewone) elongatie en de elongatie van de aarde, gezien vanaf de planeet.

8.5.1 Het vinden van manda-sphut.a en sighra-sphut.a

Het is natuurlijk handig om formules af te leiden waarmee je kunt rekenen, maar hetis natuurlijk nog belangrijker dat dit kan worden toegepast. In de Gan. ita-yukti-bhas.awordt daarom uitgelegd hoe de manda-sphut.a (θsr) en sighra-sphut.a (θss) kunnenworden gevonden.

Voor manda-sphut.a kunnen we gebruikmaken van vergelijking 8.3, waarvoor weverder trijya, karn. a en de middelbare anomalie (madhyama − ucca) = (θma − θU )nodig hebben.17 Nu kan sphut.a, wat hetzelfde is als manda-sphut.a, berekend wordendoor ucca op te tellen bij (madhyama − ucca). Voor sighra-sphut.a werkt dit ietsanders.

17Trijya is een bekende grootheid, volgens de Gan. ita-yukti-bhas.a. Karn. a kunnen we berekenen opdezelfde wijze als in hoofdstuk 8.3. De middelbare anomalie kunnen we afleiden door aan te nemen datde middelbare planeet met constante snelheid een excentrische cirkelbaan beschrijft.

78

Figuur 8.14: epicykelmodel voor de planeet. [13, p.648].

De beweging van de planeet kunnen we observeren vanaf de aarde. In het modelbeweegt deze op de pratiman. d. ala met als centrum ucca. De (middelbare en ware)planeet beweegt altijd met een constante snelheid op de pratiman. d. ala. In de Gan. ita-yukti-bhas.a zegt de auteur dat door dit gegeven karn. a-vr. tta (de ware baan van deplaneet) kan worden bepaald. Dit doet hij door een epicykelmodel voor te stellen,zoals in figuur 8.14.

De auteur gebruikt iets andere termen voor de pratiman. d. ala en karn. a-vr. tta, maarom verwarring te voorkomen zullen wij gewoon deze termen aanhouden, waar we alshet goed is nu wel aan gewend beginnen te raken.

We zien hier dat ucca nu een speciale rol inneemt als middelpunt van de pratiman. d. ala.Ucca kan zelf roteren op de ucca-ken. dra-vr. tta, waarvan het middelpunt van de he-melbol (bhagola-madhya) het centrum is.18 De straal van de pratiman. d. ala en kaks. ya-vr. tta zijn bekend, deze zijn beide namelijk trijya. Aangezien de middelbare planeetP0 ook constant beweegt, kunnen we hiermee de excentrische cirkel (kaks. hya-vr. tta)afleiden. Door nauwkeurige observatie moeten we nu de ware planeet kunnen bepa-len en daarmee de karn. a-vr. tta. Hoe dit precies in zijn werk gaat, lijkt niet echt goeduitgelegd te worden in de Gan. ita-yukti-bhas.a. Als we aannemen dat we kaks. hya-vr. tta op bovenstaande manier kunnen afleiden, dan kunnen we ook de afstand vanP0 tot P afleiden, welke dezelfde afstand is van O tot U . Op deze manier kun jesighra-sphut.a (∠ΓOP ) afleiden.

18Bhagola-madhya is tevens de positie van de aarde.

79

Figuur 8.15: Breedtegraad (viks. epa) van een planeet. [13, p.656].

Opvallend is dat er in de Gan. ita-yukti-bhas.a eerst het model wordt getoond vaneen heliocentrisch beeld en vervolgens het epicykelmodel erbij gehaald wordt om telaten zien hoe je sighra-sphut.a kan bepalen. We zien hier dus dat het epicykelmodelnog steeds kan worden gebruikt. In de oudere Indiase sterrenkundige werden alleplaneten beschreven volgens het epicykelmodel.

8.5.2 Toepassen van sighra-sam. skara

We kunnen ook gebruikmaken van vergelijking 8.24 en 8.31 (voor respectievelijkbuitenste en binnenste planeten). In beide gevallen moeten we eerst de manda-sphut.avoor de planeet bepalen, aan de hand van de middelpuntsvereffening. Waar we dus demiddelbare anomalie gebruiken om de ware anomalie te vinden. Als we dit gedaanhebben, kunnen we sighra-sphut.a bepalen door sighra-sam. skara, waar we manda-sphut.a en sighrocca voor nodig hebben.19 De overige grootheden kunnen we afleidenop de wijze zoals we in de voorgaande hoofdstukken hebben besproken.

8.6 Breedtegraad van planeten

Zojuist hebben we alleen gekeken naar de lengtegraden van planeten. Nu zullen weook kijken naar de breedtegraden van planeten. Bij breedtegraden gaat het om dehoek die de baan van de planeet met de ecliptica (apakrama-man. d. ala) maakt. Dezeplanetaire breedtegraad wordt de viks. epa genoemd.

In Gan. ita-yukti-bhas.a wordt door de auteur uitgelegd hoe je een plaatje, zoalsgetekend in figuur 8.15, construeert. In deze figuur zien we de apakrama-man. d. ala

19Sighrocca is gewoon de middelbare anomalie voor het zon-aarde systeem. Deze hoeven we dusniet op een ingewikkelde manier te bepalen.

80

(ecliptica) weergegeven.20 Deze maakt een hoek imet de baan van de planeet (manda-karn. a-vr. tta), dit noemen we ook wel de inclinatie. Door gebruik te maken van hetsnijpunt tussen apakrama-man. d. ala en manda-karn. a-vr. tta, welke de pata heet (dezebevindt zich op puntN ).21 De ware planeet P en de middelbare zon S zijn ook weer-gegeven. Hier is P ′ de projectie van P op de ecliptica. Vanaf S is het lijnstuk SQgetekend, zodat PB loodrecht op SQ staat en Q een punt op de apakrama-man. d. alais. Het punt S′ is zo gekozen, zodat PS′ evenwijdig is aan SQ en SS′ evenwijdigaan PB is. De afstand van S tot P wordt de manda-karn. a genoemd en zullen wenoteren als K. Ook de sighra-karn. a (afstand van centrum van de aarde (O) tot aande ware planeet (P )) hebben we weergegeven.

Nu is viks. epa gelijk aan

PB = K sinβ = K sin PQ,

waar PQ de notatie is voor booglengte PQ in radialen. Dit betekent dat booglengtePQ wordt gedeeld door de straal van de bijbehorende cirkel, dus in dit geval PQK .22

Door nu gebruik te maken van de boldriehoek PNQ met booglengtes PQ enPN , kunnen we gebruikmaken van de sinusformule voor bolmeetkunde, zodat wezien dat23

K sin PQ

sin i=K sin ˘PN

sinπ/2= K sin ˘PN,

zodat we ook kunnen zien, als we voor viks. epa de variabele v invoeren, dat

v = K sin i sin ˘PN. (8.33)

Hier wordt ˘PN de (manda-sphut.a−pata) genoemd. We zien dus dat bij breedtegra-den pata in dit geval de rol van lengtegraad ucca overneemt, om hoeken te refererenaan een referentiepunt (een ster). Dit is verder niet zo belangrijk, dus de uitleg hier-over laten we zitten.

We kunnen verder opmerken dat de maximale waarde voor viks. epa gelijk is aanK sin i, deze wordt in de Gan. ita-yukti-bhas.a parama-viks. epa genoemd. Als we weergebruikmaken van R = trijya, kunnen we de formule afleiden, welke in de Gan. ita-yukti-bhas.a voor viks. epa in het Sanskriet gegeven wordt, met behulp van Rsinussen.Op deze manier is formule 8.33 te schrijven als24

viks. epa =parama-viks. epa

trijya· Rsin(manda-sphut.a− pata). (8.34)

20Het vlak van de ecliptica stelt het vlak voor waarin de baan van de zon ligt. De cirkel die in figuur8.15 is weergegeven, is een cirkel die in het vlak van de ecliptica ligt en waaraan de baan van de zonevenwijdig is. Deze snijdt de baan van de planeet.

21Hedendaags is pata de knoop. In figuur 8.15 is dit de klimmende knoop. Het andere snijpunt is dedalende knoop.

22We zullen deze notatie vanaf nu gaan aanhouden.23Als de lezer niet bekend is met sinusregel in de bolmeetkunde, zie dan Green [7, p. 8-10]24Uiteraard worden de operaties, die we in formule 8.34 in hedendaagse notatie weergegeven hebben,

in de Gan. ita-yukti-bhas.a gewoon in woorden weergegeven.

81

Figuur 8.16: Breedtegraad (bhagola-viks. epa). [13, p.656]

Dit is alleen nog de breedtegraad ten opzichte van de middelbare zon S. Om te wetenwat de breedtegraad is vanuit het oogpunt van het centrum van de aarde, moeten webhagola-viks. epa vinden. Deze wordt zo genoemd, omdat het centrum van de aardehet centrum van de hemelbol is. We kijken hiervoor naar figuur 8.16. Dit is een stukjevan figuur 8.15, waarin punt O′ erbij getekend is. Deze is zo getekend, zodat OO′

evenwijdig is aan PB (en daardoor ook OO′ = PB). De afstand van de aarde tot deplaneet (OP ) heet in deze figuur de bhu-taragraha-vivara. Verder is α = ∠POB.Nu kunnen we eenvoudig zien

v = PB = OP sinα = SP sinβ,

wat we kunnen omschrijven tot

R sinα =SP

OPR sinβ. (8.35)

en in het Sanskriet als

Bhagola-viks. epa = viks. epa · trijyabhu-taragraha-vivara

, (8.36)

We moeten nu alleen nog weten hoe je OP = bhu-taragraha-vivara berekent. Hier-voor moeten we ter herinnering halen dat O′P zoals die getekend is in figuur 8.16berekend kan worden, zoals we besproken hebben in voorgaande paragrafen, waarbijwe geen gebruik van breedtegraden maakte. Hier werd O′P de ’sighra-karn. a (KSC)genoemd. Op deze manier zien we met figuur 8.16 dat

OP =√O′P 2 +OO′2 =

√K2SC + v2.

Door deze laatste vergelijking in vergelijking in te vullen en gebruik te maken vanSP = Kb, zien we dat we ook kunnen schrijven

R sinα =Kb√

K2SC + v2

R sinβ.

82

Figuur 8.17: Viks. epa voor het model van Kepler. [9, p.48].

of zoals het uitgedrukt in Sanskriet termen uit Gan. ita-yukti-bhas.a geschreven kanworden als

Bhagola-viks. epa = viks. epa · trijya√(sighra-karn. a)2 + (viks. epa)2

.

We kunnen ook nog opmerken dat als α en β klein zijn, dat we vergelijking 8.35 ookkunnen schrijven in de vorm

α = β · SPOP

. (8.37)

8.7 Vergelijking van viks. epa met het model van Kepler

Als we nu viks. epa willen vergelijken met het model van Kepler, dan kunnen wekijken naar figuur 8.17.

In deze figuur zien we dat de N en N ′ opnieuw de knooppunten weergeven (res-pectievelijk de klimmende en dalende knoop). Verder zijn de baan van de planeet ende aarde rond de zon weergegeven. Ook het vlak van de ecliptica is weergegeven.We zien hier dat P ′ de projectie van P op de ecliptica is. Verder zijn de volgendehoeken weergegeven:

i = ∠PNP ′,

βA = ∠PAP ′,

βZ = ∠PZP ′.

We kunnen met de sinusregel afleiden dat

PZ · sinβZsin i

=PZ · sin PN

PZ

sinπ/2,

83

waar we gebruikmaken van booglengte PN en lijnstuk PZ. Dit kunnen we ookschrijven als

PZ · sinβZ = PZ · sin i sinPN

PZ,

waar we dan mee kunnen opmerken dat dit equivalent is aan vergelijking 8.33. Wekunnen ook gebruikmaken van het feit dat we booglengte PP’ kunnen uitdrukken als

PP ′ = ZP · βZ ,

om af te leiden dat

βZ =PP ′

PZ.

Op een zelfde manier kunnen we zien dat

βA =PP ′

AP,

zodatβA = βZ

PZ

AP.

Hier herkennen we vergelijking 8.37 voor de kleine hoeken uit Gan. ita-yukti-bhas.a.25

We kunnen concluderen dat in de Gan. ita-yukti-bhas.a een nauwkeurige methode ge-bruikt werd om breedtegraden uit te rekenen.

8.8 Waarnemer op de maan

Er wordt in de Gan. ita-yukti-bhas.a nog een opmerkelijk geval besproken. Er wordtnamelijk gekeken hoe het zit als de sighra-vr. tta (omwenteling van de zon om deaarde) een breedtegraad heeft ten opzichte van de apakrama-man. d. ala (ecliptica).Dit is een puur theoretisch geval, aangezien sighra-vr. tta en apakrama-man. d. ala perdefinitie in hetzelfde vlak liggen. De auteur zegt er daarna wel bij dat het voor hetzon-aarde systeem inderdaad niet relevant is, maar vervolgens zegt hij dat het wel vantoepassing is als je bijvoorbeeld kijkt naar de breedtegraad voor een waarnemer op demaan die naar Mars kijkt. Hier heb je namelijk wel te maken met een breedtegraadvan sighra-vr. tta ten opzichte van de apakrama-man. d. ala. In dit geval kan het centrumvan de hemelbol (O) gezien worden als het centrum van de middelbare maan, waarde baan van de ware maan de ucca-nica-vr. tta is.26

Het besproken voorbeeld uit de Gan. ita-yukti-bhas.a hebben we weergegeven infiguur 8.18. We zien hier dus inderdaad dat we te maken hebben met een dubbelebreedtegraad. Van de middelbare maan O ten opzichte van de zon S en van de zon

25Deze vergelijking voor de kleine hoeken staat niet letterlijk in de Gan. ita-yukti-bhas.a, maar hebbenwe voor het gemak zelf afgeleid, zodat we hier equivalentie tussen Gan. ita-yukti-bhas.a en het model vanKepler konden weergeven.

26Ter herinnering: ucca-nica-vr. tta is de epicykel die een ware planeet beschrijft rond zijn middelbarecomponent. In dit geval van de maan wordt er dus gebruik gemaakt van de middelbare maan op depositie van de aarde en de ware maan als een epicykel rond de positie van de aarde/middelbare maan.

84

Figuur 8.18: Viks. epa voor het model van Kepler bij een dubbele breedtegraad. [13,p.658].

ten opzichte van de planeet P . Hier zijn twee verschillende ecliptica’s (apakrama-man. d. ala-s) voor nodig. De cirkels weergegeven in de figuur worden de apakrama-vr. tta-s genoemd. Deze ecliptica’s liggen niet in hetzelfde vlak.27 Nu is de apakrama-vr. tta, met het snijpuntN (pata) en punt C loodrecht onder S, evenwijdig aan de baanvan de ware maan. De extra breedtegraad ten opzichte van figuur 8.16 is ∠SOC =α′, waar SC evenwijdig aan OO′ is. In principe is figuur 8.18 verder gelijkwaardigaan die van figuur 8.16. In figuur 8.18 is de totale viks. epa gelijk aan SC +PB. Hierzijn

SC = vSC = OS sinα′,

PB = vPB = SP sinβ′.

Op een zelfde manier zoals we dat hebben gedaan in het geval van figuur 8.16, voorvergelijking 8.33, kunnen we afleiden dat

vSC = KSC sin i sin ˘SN, (8.38)

vPB = KPB sin i′ sin ˘PN ′, (8.39)

waar we gebruikmaken van booglengtes SN en PN ′. De situatie zoals we die infiguur 8.18 beschrijven is niet de algemene situatie. We zien hier namelijk dat Oten zuiden van S ligt en P ten noorden van S, waardoor we SC en PB kunnenoptellen. Andere situaties kunnen ervoor zorgen dat je in plaats van optelt, aftrekt.We hebben in tabel 8.3 weergegeven wat er gebeurt voor iedere situatie. Viks. epa ishier bij verschillende posities van S,Oen P gegeven. We maken gebruik van absolutewaardes voor de gevallen dat viks. epa negatief kan zijn, wat in de Gan. ita-yukti-bhas.anamelijk nooit het geval is.

27Als ze wel in hetzelfde vlak zouden liggen, dan zouden we de situatie hebben uit figuur 8.16.

85

Tabel 8.3: Viks. epa bij verschillende posities van S, Oen P .

viks. epa P ten noorden van S P ten zuiden van SO ten noordenvan S

|KSC sin i sin ˘SN −KPB sin i′ sin ˘PN ′| |KSC sin i sin ˘SN +KPB sin i′ sin ˘PN ′|

O ten zuidenvan S

KSC sin i sin ˘SN +KPB sin i′ sin ˘PN ′ |KSC sin i sin ˘SN −KPB sin i′ sin ˘PN ′|

We zien dat we KSC , KPB , i, i′ en booglengtes SN en PN ′ nodig hebben omviks. epa uit te rekenen. Hier zijnKSC enKPB de karn. a-s van respectievelijk de aardeten opzichte van de zon en van de zon ten opzichte van de planeet. Deze kunnen weuitrekenen zoals we dat in voorgaande paragrafen besproken hebben. De hoeken (in-clinaties) i en i′ zijn, zoals we al eerder opmerkte, gelijk aan de maximale waardesdie α′ en β′ kunnen aannemen. Verder kunnen we ˘SN en ˘PN ′ uitrekenen door te ob-serveren welke hoek S en P hebben afgelegd vanaf pata (N of N ′) vermenigvuldigdmet KSC voor SN en met KPB voor PN ′.

We kunnen dit ook met het model van Kepler vergelijken, maar aangezien diteigenlijk het tweemaal invoeren van een inclinatie in figuur 8.18 is, kunnen we dit welachterwegen laten. Zeker omdat we weten dat de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a eennauwkeurige manier hanteert voor het berekenen van enkelvoudige inclinaties. Wewillen met deze paragraaf eigenlijk vooral laten zien dat in Kerala nagedacht is overhoe het zou zijn als je op de maan zou staan en vanaf daar de hemellichamen zoubestuderen. Dit mogen we toch wel opvallend noemen.

8.9 Werkelijke afstanden

De auteur en vertaler van de Gan. ita-yukti-bhas.a spreken nergens over daadwerkelijkeafstanden. De auteur (en vertaler) leggen in hoofdstuk 11 wel uit hoe je aan dehand van schaduwen deze afstanden zou kunnen berekenen, maar laten hier nergenseen voorbeeld berekening zien, waar we ergens getallen in zien terugkomen.28 Ditis een gemiste kans, want hiermee zou het voor de lezer een stuk duidelijker zijnwat het afstandsbegrip in de Gan. ita-yukti-bhas.a precies betekende. Ook beschrijftde auteur nergens een model waarin we het complete zonnestelsel met de zichtbareplaneten zien. We kunnen alleen afleiden dat de binnenste planeten een baan omde zon beschrijven die kleiner is dan de baan van de zon rond de aarde en dat debaan van de buitenste planeten rond de zon groter is dan de baan van de zon rond deaarde. Hiermee kunnen we dus een afbeelding schetsen, zoals op de voorkant vandeze scriptie.

Aangezien we wel weten dat de sterrenkunde van de Gan. ita-yukti-bhas.a voor eengroot deel uit de Tantrasangraha van Nilakan. t.ha komt, kunnen we met een schuin oog

28Dit hoofdstuk zullen we voor een klein beetje in hoofdstuk 9 behandelen. We zullen alleen de af-standsberekeningen aan de hand van schaduwen achterwege laten, vanwege tijdsgebrek voor dit scrip-tieproject.

86

naar zijn resultaten kijken, omdat we hier zien dat er wel afstanden gegeven wordendoor de auteur. In het vierde hoofdstuk van de Tantrasangraha geeft Nilakan. t.ha demiddelbare straal van de straal van de baan van de maan, anders gezegd: de middel-bare afstand.29 Deze drukt hij uit in yojanas.30 Hij zegt dat de afstand van de aardetot de maan ongeveer het tienvoudige van trijya is, dus 34.380 yojanas.31 Nilakan. t.hazegt dat de afstand van de aarde tot de zon kan worden berekend aan de hand van deverhouding tussen de rotaties van de zon en de maan rond de aarde. De zon maaktin een Mahayuga 4.320.000 omwentelingen, terwijl de maan in hetzelfde tijdsbesteker 57.753.320 maakt.32 Hiermee zien we dus dat de middelbare afstand van de aardetot de zon gelijk is aan

34.380 · 57.753.320

4.320.000≈ 459.620 yojanas.

Op een zelfde manier kunnen we met behulp van bijlage A, deze middelbare afstan-den van de overige planeten uitrekenen.33

Nilakan. t.ha geeft ook de diameter van de aarde, maan en de zon, welke volgenshem respectievelijk 1050, 315 en 4410 yojanas zijn.34 In tabel 8.4 vergelijken we dediameters uit de Tantrasangraha met de hedendaagse. Met een yojana gelijk aan 8-13km zien we dat de waardes voor de aarde en maan in de intervallen liggen, echterligt die van de zon er ver buiten. Hoe de diameters berekend worden door Nilakan. t.hahebben we helaas niet kunnen terugvinden.

Tabel 8.4: Vergelijking van diameters

Planeet Diameter (yojana-s) Diameter (kilometers) Diameter hedendaags(kilometers)

Aarde 1.050 8.400-13.650 12.756Maan 315 2.520-4.095 3.476Zon 4.410 35.280-57.330 1.392.000

29De middelbare afstand is in onze formules in dit hoofdstuk steeds gelijk aan R.30Zoals we in hoofdstuk 7.4 zagen is een yojana ongeveer 8-13 kilometer.31Opmerkelijk is natuurlijk dat trijya in boogminuten gemeten is, terwijl een yojana een afstand is in

kilometers. Het gaat dus alleen om het tienvoudige van de waarde, onafhankelijk van de eenheid.32In bijlage A bespreken we wat een Mahayuga inhoudt en zien we ook de omwentelingen van de

andere planeten.33Ramasubramanian (2011),[12, 525-529].34Ramasubramanian (2011),[12, 525-529].

87

Tabel 8.5: Vergelijking verhouding rsR van de waarden uit Tantrasangraha met de

hedendaagse.Planeet waarde uit Tantrasangraha Moderne waardeMercurius 0,375 0,387Venus 0,725 0,723Mars 0,656 0,656Jupiter 0,194 0,192Saturnus 0,106 0,105

De verhouding rsR was ook een bekende grootheid in de Tantrasangraha.35 In

tabel 8.5 vergelijken we deze met de hedendaagse waarden hiervoor.36 We zien hierdus dat deze waarden erg nauwkeurig zijn.

35Hier is rs nog steeds de (middelbare) afstand van de aarde tot de zon en R de trijya, de middelbareafstand van de zon tot de planeet.

36Deze tabel komt uit Padmanabhan (2014), [9, p. 38].

88

Hoofdstuk 9

Waarnemer op de aardbol

Tot nu toe hebben we steeds gekeken vanuit het perspectief van het centrum van deaardbol. We kunnen, net als in de Gan. ita-yukti-bhas.a, bekijken hoe het zit als jevanuit het perspectief van een waarnemer op de aardbol kijkt. Dit zullen we dus ookin dit hoofdstuk doen, waarbij we enkele berekeningen bespreken uit de Gan. ita-yukti-bhas.a. Het gaat hier om de bespreking van een deel van hoofdstuk 11 en hoofdstuk15. We vergelijken in dit hoofdstuk opnieuw de resultaten van de auteur met dehedendaagse sterrenkunde. Daarnaast gaan we ook op sommige punten dieper in ophet aantonen van algemenere geldigheid van resultaten van de auteur, dan de auteuren vertaler dat doen.

9.1 Dr. kkarn. a

De auteur maakt gebruik van de dr. ggola. Dit is de hemelbol met het centrum eenwaarnemer op de aardbol. Deze gebruikt hij om de afstand van de waarnemer totaan een hemellichaam te kunnen berekenen. De dr. ggola is samen met de hemelbol(bhagola) weergegeven in figuur 9.1. De punten en variabelen die we in deze figuurgebruiken hebben we in tabel 9.1 uitgelegd.

De scherpe lezer zal zich nu afvragen of alle hemellichamen en objecten buitende aarde op de bhagola liggen. Dit zou betekenen dat alle hemellichamen op de-zelfde bol liggen. De definitie van de bhagola is dat dit een hemelbol is waarbij hetcentrum van de aardbol het centrum van de bhagola is. Verder worden er door deauteur geen eisen gesteld aan de grootte van deze bol. Hij gebruikt in zijn stuk overdr. ggolacchaya niet het woord bhagola. Dit lijkt de vertaler zelf te hebben toege-voegd, om zijn uitleg over de tekst van de auteur verduidelijken. Deze toevoegingis vast niet zonder reden, daarom zullen we deze terminologie aanhouden. Het isalleen belangrijk om te beseffen dat de bhagola in dit hoofdstuk dus steeds de bol iswaarop het object ligt dat je bekijkt, in plaats van de hemelbol waar alleen de sterrenop liggen. We zullen nu kijken hoe je de afstand OX uitrekent, zoals uitgelegd inde Gan. ita-yukti-bhas.a. Deze afstand heet de dr. kkarn. a.

Lijnstuk CX ′ heet bhagola-san. ku en lijnstuk OX ′ heet dr. ggola-san. ku. We zienhiervoor dat

CX ′ = R cos z,

89

Figuur 9.1: De bhagola en dr. ggola. [13, p.723].

Tabel 9.1: Punten bij figuur 9.1.Variabelen Betekenis

C Centrum van de aardbol.O Positie van de waarnemer en het centrum van de dr. ggola.X Het hemellichaam. Hiermee wordt tevens dr. ggola mee vastge-

legd, want dit is ook het snijpunt van de dr. ggola en bhagola.Z Het zenith (het toppunt).X ′ Projectie van X op OZ.B Punt die samen met C en X de rechthoekige driehoek CBX

vormt.A Punt die samen met O en X de rechthoekige driehoek OAX

vormt.R Afstand van centrum van de aardbol tot aan X .Re De straal van de aardbol. Heet de bhuvyasardha.D Snijpunt van CX met het aardoppervlak.d Afstand van de waarnemer tot X . Ook wel dr. kkarn. a genoemd.z Dit is ∠DCO = ∠AXC. Oftewel de hoek die X met C en het

zenith maakt. We noemen dit hedendaags ook wel het zenithaf-stand die de waarnemer zou meten.

z′ Dit is ∠XOX ′ = ∠OXB. Oftewel de hoek die X met O en hetzenith maakt. We noemen dit hedendaags ook wel het zenithaf-stand vanaf het middelpunt van de aardbol.

90

OX ′ = d cos z′,

waarvoor de volgende relatie geldt

OX ′ = CX ′ −OC,

dit is hetzelfde alsd cos z′ = R cos z −Re. (9.1)

Lijnstuk CB heet chaya-san. ku. Dit lijnstuk is gelijk aan OA, welke geen specifiekenaam lijkt te krijgen. Met dit gegeven zien we dat

d sin z′ = R sin z. (9.2)

Met de stelling van Pythagoras zien we dan

d =√OX ′2 +OA2,

waar we nu vergelijking 9.1 voorOX ′ en vergelijking 9.2 voorOA kunnen gebruikenom te zien dat de dr. kkarn. a gelijk is aan

d =

√(R cos z −Re)2 +R2 sin2 z

=√R2 +R2

e − 2RRe cos z. (9.3)

We kunnen opmerken dat we met figuur 9.1 het resultaat van vergelijking 9.3 ookhadden kunnen bereiken door de cosinusregel toe te passen op driehoek COX .

De auteur merkt zelf nog op dat het berekenen van dr. kkarn. a overeenkomt methet uitrekenen van de manda-karn. a (afstand van centrum van de aardbol tot aan deplaneet), gebruikmakend van de pratiman. d. ala (excentrische cirkel rond brandpuntO′, uit vorige hoofdstuk). Hier is de straal van de aarde hetzelfde als de straal vanucca-nica-vr. tta (straal van de epicykel).

9.2 Chaya-lambana en de straal van de aardbol

Nu gaan we kijken naar het verschil tussen z en z′. Dit heet de chaya-lambana. Dithoekverschil is in feite de parallax, waarop we in de volgende paragraaf wat dieperingaan. In deze paragraaf blijven we het gewoon hebben over de chaya-lambana,omdat dit het algemene geval is. We zullen chaya-lambana aangeven met p, dusp = z′− z (zoals weergegeven in figuur 9.2). Op de volgende manier kunnen we daneen formule afleiden voor p. Eerst kijken we naar figuur 9.1 en we zien hier dat

OD = d sin p = Re sin z. (9.4)

Als we nu beide zijden vermenigvuldigen met Rd , dan zien we1

R sin p =RedR sin z, (9.5)

1Uiteraard kunnen we ook gewoon vermenigvuldigen met 1d

, maar omdat we de Gan. ita-yukti-bhas.awillen volgen, zullen we ook gewoon braaf in Rsinussen blijven rekenen.

91

hier kunnen we capa op toepassen. Capa is de Rarcsinus. We zien nu dat we chaya-lambana kunnen vinden door

p = Rarcsin(R ·Red

sin z

).

Dit is een exacte uitdrukking voor de chaya-lambana.2 De auteur zegt nu dat als d enR sin z gelijk aan elkaar zijn, ofwel gelijk aan trijya, dat we dan zien dat

Re = R sin p,

waar voor een kleine p dan

p ≈ ReR. (9.6)

We zullen straks zien dat dit de maximale parallax is.3

De auteur legt niet echt duidelijk uit waarom hij zomaar mag aannemen dat dgelijk aan R sin z kan zijn. We kunnen zelf wel aantonen dat dit kan door te zien datals X boven de horizon van O ligt, dat dan

0 ≤ R−Re ≤ d ≤ R

en dus is er een z zodanig dat d = R sin z. We kunnen ook zeggen dat hij in dit gevalX zo kiest, zodat z′ = π/2 en daardoor OX = CB. Daarbij had hij dan ook nogwel moeten zeggen dat p = (z′ − z) = (π/2 − z) alleen klein is als X ver genoegligt, waardoor z = π/2 ± ε voor ε � 1. Overigens is in dit geval d ≈ R, wat deauteur er dan nog wel bij zegt.

Om chaya-lambana op een andere manier uit te drukken, maakt de auteur gebruikvan

p ≈ sin p.

Wij maken hier verder nog gebruik van vergelijking 9.4, waarmee we zien dat

R sin p

Re=R sin z

d.

Als we nu chaya-lambana in boogminuten willen uitdrukken, dan zien we

Chaya-lambana = R · p≈ R sin p

=Re ·R sin z

d. (9.7)

De term R sin z heet volgens de auteur de chaya. Met vergelijking 9.7 kunnen wenu zien hoe in de Gan. ita-yukti-bhas.a de uitdrukking in het Sanskriet voor chaya-lambana beschreven wordt, namelijk door

Chaya-lambana =bhuvyasardha · chaya

dr. kkarn. a.

2Als we in plaats van met Rsinussen, gewoon met sinussen hadden doorgerekend, dan hadden weook kunnen zien dat p = arcsin

(Red

sin z).

3De auteur zegt het er zelf niet bij, maar aangezien R de afstand is tot een object buiten de aarde, isdit in het geval van een planeet eigenlijk gewoon de karn. a, welke we zagen in hoofdstuk 8. Dus als wep willen berekenen voor een planeet, moeten we eerst karn. a uitrekenen.

92

Figuur 9.2: De parallax

9.3 Parallax

Voor waarnemingen van hemellichamen binnen ons zonnestelsel is de parallax eenhandige grootheid. Immers maakt het uit als je vanuit Utrecht of Delhi naar de ster-renhemel kijkt. Deze hemellichamen lijken zich namelijk op een andere positie tebevinden. We gebruiken hiervoor de parallax, zodat we de metingen kunnen herlei-den tot het middelpunt van de aardbol. De parallax is gedefinieerd als het verschiltussen de hoek die de waarnemer met het zenith en het object in de hemelbol maakten de hoek die het middelpunt van de aardbol met het zenith en het object in de he-melbol maakt. Ook in de Gan. ita-yukti-bhas.a zien we dat de auteur bekend was metde parallax. Dit zijn in dit geval respectievelijk de hoeken z′ en z, zoals weergegevenin figuur 9.2. We gaven dit verschil in de vorige paragraaf niet voor niks aan met p.Deze hoek is ook weergegeven in figuur 9.2.

De parallax is voor hemellichamen klein, aangezien deze zich op een grote af-stand bevinden. We zagen net al dat we met formule 9.5 formule 9.6 kunnen afleidenals we aannemen dat p klein is en R sin z = d. We kunnen dit ook wel de maxi-male parallax noemen. Met vergelijking 9.5 kunnen we zien dat dit het maximum alsz = π/2 en waarbij X zo ver ligt dat we mogen zeggen dat R ≈ d. We definieren nuhet maximum als

pmax =ReR,

waarmee we dus de formule voor de parallax kunnen schrijven als

p = pmax sin z.

In Indiase sterrenkundig gerelateerde teksten, wordt de horizontale parallax vaak ge-lijk aan een vijftiende deel van de dagelijkse beweging van een hemellichaam ge-

93

kozen. Dit is gebaseerd op het feit dat de gemiddelde waarde van de parallax vande maan dichtbij deze waarde ligt en dat de lineaire snelheden van alle planeten het-zelfde zijn. Hierdoor zullen alle planeten een even snelle dagelijkse beweging maken.Als we nu Dg gebruiken voor de gemiddelde dagelijkse beweging, dan kunnen weeen gemiddelde parallax pg berekenen door

pg =Dg

15sin z.

We zien verder dat alsp = pg ·

Dw

Dg,

waar Dw de werkelijke dagelijkse beweging is, dat dan

p =Dw

15sin z.

Als we nu ook gebruikmaken van trijya= R ≈ 3438′, dan zien we dat

p =Dw

51570R sin z.

Nu kunnen we naar figuur 9.3 kijken. We zien hier het oosten weergegeven met E,welke op de horizon ligt. Het zenith hebben we weergegeven met Z. De eclipticahebben we ook weergegeven, waarop de meeste planeten zich ongeveer bevinden,dus planeet P ook. Nu is P ′ de verschuiving van het beeld van P dankzij de parallax.P en P ′ liggen beiden op de dr. n. mand. ala. Deze dr. n. mand. ala beschrijft de auteur alsde grootcirkel die door het zenith en de planeet gaat. De hoek ψ is de hoek tussen dedr. n. mand. ala en de ecliptica. We gebruiken Q als de projectie van P ′ loodrecht op deecliptica.

Nu kunnen we de nati en lambana definieren. Deze zijn namelijk volgens deauteur gelijk aan respectievelijk QP ′ en PQ, waar PP ′ de chaya-lambana is. Nukunnen we nati en lambana ook in chaya-lambana en ψ uitdrukken, door

Nati = P ′Q = PP ′ sinψ,

Lambana = PQ = PP ′ cosψ.

In figuur 9.3 is driehoek PP ′Q, om het wat duidelijker weer te geven, wat grotergetekend. In werkelijkheid, zoals de auteur zelf ook opmerkt, is driehoek PP ′Qeen zo goed als kleine vlakke driehoek is. We noemen tegenwoordig nati de rechteklimming-verandering en lambana de declinatie-verandering.

9.4 Bimbantara

Verderop in de Gan. ita-yukti-bhas.a beschrijft de auteur hoe je de de afstand tussen hetmiddelpunt van de maan en de zon berekent. Deze afstand heet bimbantara. Dit iseen opvallend hoofdstuk, omdat hier eerst aangenomen moet worden dat de zon ende maan beiden op de ecliptica lijken te liggen, wat dus betekent dat de maan hier

94

Figuur 9.3: Verschuiving van de planeet, dankzij de parallax. [13, p. 785]

op dezelfde afstand als de zon ligt. Dit is in tegenstrijd met wat we in hoofdstuk8.9 zagen. Echter maakt dit voor de berekening niets uit, we kunnen zelf namelijklaten zien dat als de maan dichterbij de aarde ligt, de formules nog steeds gelden. Wezullen eerst uitleggen hoe bimbantara berekend kan worden als de maan en de zonbeiden op de ecliptica liggen.

De zon beweegt op de ecliptica, maar door de parallax lijkt het voor een waar-nemer op de aarde dat de zon verschoven is. We zullen hier gebruikmaken van dezojuist besproken nati (rechte klimming-verandering). We weten van de maan, netals van andere hemellichamen, dat deze een kleine breedtegraad ten opzichte vande ecliptica heeft. Hoe je deze breedtegraad berekent, zagen we al in hoofdstuk 8.Nu komt er een extra afwijking ten opzichte van de ecliptica bij, namelijk de zojuistbesproken parallax. De netto afwijking van deze twee afwijkingen heet de viks. epa.4

We zien in figuur 9.4 de waarnemer met O weergegeven, de zon zonder natibevindt zich op S en de maan zonder viks. epa bevindt zich op M . Deze bevindenzich ongeveer op het vlak van de ecliptica en in figuur 9.4 beiden op de ecliptica zelf.Het vlak van de ecliptica heeft een pool op K. Deze pool is de normaal van het vlakvan de ecliptica door punt O. De zon met nati bevindt zich voor de waarnemer opS′. We zien hier ∠SOS′ = ˘SS′ = µ. De maan met viks. epa bevindt zich voor dewaarnemer op M ′. Hierbij zien we dat ∠MOM ′ = β = ˘MM ′. We weten vande parallax dat S′ en M ′ in dezelfde richting afwijken van respectievelijk S en M .Lijnstuk M ′M ′′ staat loodrecht op OM , net als lijnstuk S′S′′ loodrecht staat op OS.Verder staat ook M ′′P loodrecht op MQ en M ′′Q′ en MQ loodrecht op OS. Op

4We kwamen de viks. epa ook al tegen in hoofdstuk 8. Toen was dit alleen de breedtegraad. Nu blijktdus dit het meer is dan de breedtegraad, namelijk de netto breedtegraad.

95

Figuur 9.4: Bimbantara, de afstand tussen het centrum van de zon en de maan. [13,p.828]

deze manier gebruiken we dus extra hulppunten Q, P , S′′ en M ′′, welke verder geenfysische betekenis hebben. Ook maken we gebruik van de hoek ∠MOS = θ, wat dehoek aangeeft tussen het centrum van de maan en de zon.

Nu kunnen we hiermee zien dat de nati en viks. epa gelijk zijn aan

nati = S′S′′ = R sinµ,

viks. epa = M ′M ′′ = R sinβ.

We maken nu gebruik van de versinus. Hiermee leiden we af

SQ = R(1− cos θ),

SS′′ = R(1− cosµ),

waarmee we dus zien dat

S′′Q = SQ− SS′′ = R(1− cos θ)−R(1− cosµ) = R(cosµ− cos θ).

We kunnen zienMM ′′ = R(1− cosβ),

waarmee we kunnen afleiden dat

QQ′ = MM ′′ cos θ = R cos θ(1− cosβ).

Met QQ′ kunnen we dan S′′Q′ afleiden, door

S′′Q′ = S′′Q+QQ′ = R(cosµ−cos θ)+R cos θ(1−cosβ) = R(cosµ−cos θ cosβ).

96

Nu kijken we naar MP waarvoor geldt

MP = MM ′′ sin θ = R(1− cosβ) sin θ,

zodat we krijgen:

M ′′Q′ = PQ = MQ−MP = R sin θ −R(1− cosβ) sin θ = R cosβ sin θ.

De laatste waarde die we nodig hebben om bimbantara uit te rekenen is het verschiltussen de zon en de maan langs de lijn die loodrecht op het vlak van de eclipticastaat. Dit is het verschil tussen M ′M ′′ en S′S′′ (welke parallel aan elkaar staan), ditlengteverschil zullen we r noemen en is gelijk aan

r = M ′M ′′ − S′S′′ = R sinβ −R sinµ.

Nu kunnen we met het bovenstaande bimbantara uitrekenen door

bimbantara = S′M ′ =√S′′Q′2 +M ′′Q′2 + r2,

waarbij je dan de waardes invult die we zojuist berekend hebben. Op deze manierhebben we nu dus de afstand tussen het centrum van de maan en de zon in de drie-dimensionale ruimte berekend, met behulp van de Gan. ita-yukti-bhas.a. Als niet he-lemaal duidelijk is hoe we nu op deze bimbantara gekomen zijn, dan is handig alswe hierbij opmerken dat S′′Q′, M ′′Q′ en r de verschillen zijn in de coordinaten vande zon en de maan langs drie loodrecht op elkaar staande richtingen. Vooral voor ris dit moeilijk te zien, omdat M ′M ′′ en S′S′′ in figuur 9.4 uit het papier treden. Wekunnen daarom nog gebruikmaken van figuur 9.5 om te zien hoe dit precies in elkaarzit. Je kunt hier beter zien dat M ′′M ′ en S′′S′ parallel aan elkaar zijn. Dit komtomdat lijnstuk S′′M ′′ in het vlak van de ecliptica ligt en lijnstukken S′′S′ en M ′′M ′,in figuur 9.5, loodrecht uit het papier komen. Hier zien we dus waarom we moestenaannemen dat S′ enM ′ in dezelfde richting afwijken van respectievelijk S enM . Wemaken in figuur 9.5 gebruik van een extra punt T , zodat M ′′T = S′′S′. Nu kunnenwe dus beter zien dat r dus gelijk is aan M ′′M ′−S′′S′ = TM ′. Dus we kunnen ookzeggen dat

bimbantara = S′M ′ =√S′′Q′2 +M ′′Q′2 + TM ′2. (9.8)

Zoals beloofd zullen we nog bekijken waarom deze zelfde formule opgaat als Mdichterbij ligt. Dit kunnen we zien in figuur 9.6. We zien hier met rood M weer-gegeven als deze dichterbij O ligt, waardoor M,M ′,M ′′, P,Q,Q′ mee verschuiven.Uiteraard blijft de maan ten alle tijden (ongeveer) in het vlak van de ecliptica liggen.We zien ook in figuur 9.6 dat de boldriehoek MM ′M ′′ met zwart weergegeven ende boldriehoek met rood weergegeven, gelijkvormig zijn, aangezien ∠MM ′′M ′ enβ gelijk blijven en omdat de maan nog steeds op hetzelfde lijnstuk MO ligt. Als wedezelfde afleiding voor bimbantara nagaan, dan zien we dat de afstandM ′′Q′ kleinerwordt, aangezien MO 6= R. We zullen nu aannemen dat MO = R′. Op deze manierzien we

M ′′Q′ = R′ cosβ sin θ.

97

Figuur 9.5: Visualisatie van r. [13, p.832]

Figuur 9.6: Bimbantara, als de maan dichterbij ligt.

98

Ook S′′Q′ verandert van waarde. We zien hiervoor namelijk dat

S′′Q′ = S′′Q+QQ′ = SQ−SS′′+QQ′ = (R−R′ cos θ)−R(1−cosµ)+R′ cos θ(1−cosβ).

Voor het berekenen van r = TM ′ zien we dat, door de gelijkvormigheid van deboldriehoeken MM ′M ′′ in rood en zwart, lijnstuk M ′M ′′ in het rood evenwijdigblijft aan zijn zwarte versie. We zien hiermee dat

r = TM ′ = M ′M ′′ − S′S′′ = R′ sinβ −R sinµ.

Op deze manier kunnen we opnieuw vergelijking 9.8 uitrekenen.De auteur bespreekt deze laatste afleiding aan de hand van figuur 9.6 niet. Hij

zegt wel dat de maan dichterbij ligt. Waar je door middel van het uitrekenen van eencorrectie, aan de hand van schaduwen, zijn werkelijke afstand kunt uitrekenen. Dezecorrectie bespreekt hij in een eerder hoofdstuk. Helaas legt de vertaler vervolgensniet iets beter uit hoe het zit als de maan dichterbij ligt. Hij bespreekt namelijk alleende afleiding tot vergelijking 9.8.

Het is overigens ook niet helemaal duidelijk waarom deze berekening een be-langrijk onderwerp is in de Gan. ita-yukti-bhas.a. Vermoedelijk zit hier een religieuzebetekenis aan verbonden, waarmee we bedoelen dat het kan zijn dat een bepaaldeafstand tussen de zon en de maan voor de Hindoes een speciale betekenis zou kunnenhebben.5 Als dit niet zo is, dan is het gewoon een mooie opgave om uit te rekenenvoor een student.

5In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat bij het verschijnsel vyatipata, de posities en de be-wegingen van de maan en de zon een belangrijke rol spelen. Met name een rol bij het bepalen ofvoorspellen van je toekomst.

99

Hoofdstuk 10

Vyatipata

In hoofdstuk 8.8 hebben we het gehad over de situatie dat er een waarnemer zich opde maan bevindt en vanaf daar naar de hemellichamen kijkt. We noemden dit opmer-kelijk, maar misschien is het minder opmerkelijk als we ons beseffen dat een Indier,wie ook enige astrologische kennis had, de maan een belangrijke functie meegaf. Depositie van de maan kon namelijk je toekomst voorspellen. Dit had dan te maken metde positie van de maan op het moment van bijvoorbeeld je geboorte. Een belangrijkbegrip in de Gan. ita-yukti-bhas.a, wat hier mee te maken heeft, is vyatipata. De auteurkijkt hier puur wis-en sterrenkundig naar de betekenis van vyatipata.

We zullen in dit hoofdstuk vyatipata bespreken, aan de hand van hoofdstuk 13uit de Gan. ita-yukti-bhas.a. In dit hoofdstuk zal iets meer, dan in andere hoofdstukkende volgorde van de bespreking van de auteur en vertaler aangehouden worden, waarwe zelf wel aanvullen of dieper ingaan op resultaten en redenaties van hen. Sommigebegrippen worden in de Gan. ita-yukti-bhas.a niet altijd even goed uitgelegd of veron-dersteld bekend te zijn bij de lezer, terwijl dit niet het geval hoeft te zijn. Wij zullenook dit soort begrippen verder uitleggen. Dit hoofdstuk beginnen we bijvoorbeeldmet een iets nauwkeurigere bespreking van de definitie van vyatipata.

10.1 Wat is vyatipata?

Vyatipata wordt wiskundig gedefinieerd als het moment dat de declinatie van de zonen de maan gelijk zijn en wanneer een van beide een stijgende en de andere eendalende declinatie heeft. Hier wordt geen onderscheid gemaakt tussen negatieve enpositieve declinaties, dus tegenwoordig zouden we de absolute waardes van de decli-naties gebruiken. Als we voor de zon de declinatie δS en voor de declinatie maan δMinvoeren, dan zien we dat we dus moeten hebben

|δS | = |δM |,

waarbij een een stijgende declinatie heeft en de andere een dalende.Om te begrijpen waarom dit zo’n belangrijk begrip is, moeten we iets weten over

de Hindoecultuur. Er werd gedacht dat het optreden van vyatipata slecht is voor hetbeginnen van iets nieuws, het houden van ceremonies of het op reis gaan. Het kon

100

Figuur 10.1: Viks. epa. [12, p. 358]

er voor zorgen dat je onheil over jezelf afriep als je je hier niet aan hield. Als jegeboren werd tijdens vyatipata dan zou je een zwaar leven krijgen.1 Dit was volgensde Indiers dus een cruciale gebeurtenis.

We zullen in de rest van dit hoofdstuk bekijken wanneer vyatipata voorkomt, doormiddel van meetkundige beschrijvingen. Vervolgens zullen we de beweging van demaan bestuderen, zoals het wordt beschreven in de Gan. ita-yukti-bhas.a. Hiermeekunnen we dan wiskundige betekenis afleiden van vyatipata.

10.2 Het plaatsvinden van vyatipata

Als we nu figuur 10.1 bekijken, zien we de baan van de zon (de ecliptica), de baanvan de maan en de evenaar. De equinoxen zijn weergegeven door Γ en Γ′, het ze-nith door Z en P de noordpool van de hemelbol. Verder is N de klimmende knoop,welke een van de twee snijpunten van de baan van de maan en de ecliptica is. Dezon is gepositioneerd in S. Vier mogelijke posities van de maan die een zelfde de-clinatie als S hebben, zijn weergegeven door M1,M2,M3,M4. Waarbij we nu pun-ten op de evenaar A,B,C,D en F gebruiken om de declinaties van respectievelijkM1,M2,M3,M4 en S weer te geven. Hier zijn de declinaties voor deze posities vande maan gelijk aan M1A, M2B, M3C en M4D en van de zon SF . We zien dus dat

M1A = M2B = M3C = M4D = SF.

De posities van de maan waarop we kunnen spreken over vyatipata, bevinden zichop M2 en M4. We moeten er namelijk rekening mee houden dat de (absolute waardevan de) declinatie van de zon toeneemt, dus moet die van de maan afnemen. In hetgeval van M1 en M3 zien we dat de (absolute waarde van de) declinatie van de maantoeneemt, wat daarom geen geval van vyatipata is.

1Dit wordt nog steeds door sommige Hindoes geloofd.

101

10.3 Beweging van de baan van de maan

We zullen nu kijken hoe in de Gan. ita-yukti-bhas.a beschreven staat hoe de baan van demaan zich beweegt, aan de hand van de positionering van de klimmende knoop. Opdeze manier kunnen we gelijk de nieuwe begrippen introduceren, die van belang zijnom vyatipata te begrijpen. Hiervoor onderscheidt de auteur eerst vier verschillendegevallen. We zullen ze alle vier kort bekijken aan de hand van figuren.

De baan van de maan heet in Gan. ita-yukti-bhas.a de viks. epa-vr. tta. Een belangrijkpunt is de klimmende knoop, Rahu, dit is een van de twee snijpunten van de eclipticamet viks. epa-vr. tta.2 In figuur 10.2 geven we het ’eenvoudigste’ geval weer, waarviks. epa-vr. tta de ecliptica en de evenaar in hetzelfde punt snijdt, namelijk in het puntΓ, wat dus ook gelijk moet zijn aan Rahu. In figuur 10.2 is P de pool van de evenaar.Deze kun je vinden door het vlak van de evenaar te bekijken en hier de normaalvectordoorO te laten snijden met de hemelbol, waar P dit snijpunt is. Op een zelfde maniervinden we de pool van de ecliptica en viks. epa-vr. tta, door deze vlakken te bekijken enhier de normaalvectoren ook te laten snijden met de hemelbol. Op deze manier zienwe dat respectievelijk K en V0 de polen zijn. Voor V0 gebruikt de auteur de naamviks. epa-parsva. In figuur 10.2 zien we ook de hoeken i en ε. Deze hoeken geven deinclinaties van respectievelijk de maan ten opzichte van de ecliptica en van de zon teopzichte van evenaar. We zien dus dat de inclinatie van de maan in dit geval (i + ε)is, ten opzichte van de evenaar.3

Gedurende het jaar verandert de positie van de baan van de maan. Dit heeft metveel verschillende oorzaken te maken, zoals krachten die de maan en aarde op elkaaruitoefenen. Dit kunnen we hier niet bespreken en beschrijft de auteur uiteraard ookniet in de Gan. ita-yukti-bhas.a, maar het is goed om te beseffen dat deze veranderingvan de baan er voor zorgt dat Rahu van positie verandert. Het was in India al bekenddat de Rahu in 18,6 jaar een complete omwenteling gemaakt heeft rond de hemelbol.We zullen nu nog drie andere speciale posities van Rahu bekijken.

We bekijken nu de positie van Rahu als deze een kwartslag teruggedraaid is. Opdit moment valt Rahu samen met het winterpunt (kortste dag, rond 22 december).We hebben dit weergegeven in figuur 10.3. In dit geval zien we ook dat viks. epa-parsva verschoven is naar het punt VW . Belangrijk is hier de afstand van P tot VW ,welke viks. epayananta heet. Ook de cirkel viks. epayana-vr. tta is hier weergegeven, ditis de cirkel die door P en VW gaat.4 Het punt waar viks. epa-vr. tta de evenaar snijdt,noemen weCW (viks. epa-vis. uvat). Vanaf dit punt ligtDW , snijpunt van viks. epayana-vr. tta met de evenaar, 90 graden verder.

Een andere mogelijkheid van de positie van Rahu (weer een kwartslag gedraaid)is weergegeven in figuur 10.4. Hier snijdt Rahu met de herfstequinox. We zien hierdat viks. epa-vr. tta gespiegeld is door de ecliptica, ten opzichte van figuur 10.2. Nubevindt viks. epa-parsva zich op V ′. Er is hier, net als in figuur 10.2, geen viks. epa-

2Rahu is een demon uit de Hindoe mythologie. Volgens deze mythologie was Rahu, nadat hij dedrank uit de oceaan voor onsterfelijkheid had gestolen en het wilde drinken, gedood door Vishnu. Hethoofd van Rahu werd toen de klimmende knoop, terwijl zijn lichaam, Ketu, de dalende knoop werd.

3Inclinatie wordt ook wel de glooiingshoek genoemd.4In figuur 10.3 is niet heel duidelijk te zien waar VW zich exact bevindt. We zullen straks wel beter

zien hoe VW zich positioneert.

102

Figuur 10.2: Viks. epa-vr. tta, als deze met de ecliptica en evenaar in hetzelfde puntsnijdt (Γ = Rahu). [13, p. 811].

Figuur 10.3: Viks. epa-vr. tta, als Rahu met het winterpunt snijdt. Figuur uit [13, p.812]

103

Figuur 10.4: Viks. epa-vr. tta, als Rahu met de herfstequinox snijdt. [13, p. 812].

calana, omdat Γ het snijpunt is van de ecliptica, evenaar en viks. epa-vr. tta.Tot slot bekijken we nog de situatie waar Rahu zich in het zomerpunt bevindt.

Dit doen we in figuur 10.5. Hier hebben viks. epa-parsva weergegeven met VE . Hiersnijdt viks. epayana-vr. tta de evenaar inDE en bevindt viks. epa-vis. uvat zich inCE . Wekunnen opmerken dat viks. epa-vr. tta hier gespiegeld is door de ecliptica ten opzichtevan figuur 10.3.

10.4 Inclinatie van de baan van de maan

We zagen in de vorige paragraaf dat viks. epa-parsva (de noordpool van het vlak vanviks. epa-vr. tta) verschuift gedurende de verandering van viks. epa-vr. tta (baan van demaan). Het blijkt dat viks. epa-parsva een cirkelvormige baan beschrijft, gedurendedeze verschuivingen.

In figuur 10.6 bekijken we de situatie voor een willekeurige positie van viks. epa-parsva, aangegeven door V . We zien hier ook V0 en V ′ weergegeven. Dit zijn depunten van viks. epa-parsva in het geval dat viks. epa-vr. tta in hetzelfde punt snijdt metde evenaar en de ecliptica, zoals we al zagen in figuur 10.2 en 10.4. De noord-pool van de ecliptica is weergegeven door K, waar ε de inclinatie van de eclipticais ten opzichte van de evenaar. De inclinatie van de baan van de maan ten opzichtevan de evenaar is ∠V OP . Punt T is hier zo gekozen, zodat V0T loodrecht op OKstaat. Met dit nieuwe punt T kunnen we figuur 10.7 tekenen. Dit is een stukje door-snede van figuur 10.6, waar we de cirkel bekijken die V beschrijft. Deze cirkel heetviks. epa-parsva-vr. tta. De noordpool van de ecliptica, K, vormt met T een lijnstukdie loodrecht op viks. epa-parsva-vr. tta staat en dus staat dit vlak parallel aan het vlakvan de ecliptica. Uit figuur 10.6 weten we dat als de straal van de hemelbol R is,dat V0T = R sin i met i, de inclinatie van de baan van de maan ten opzichte vande ecliptica. Hieruit volgt tevens dat de straal van viks. epa-parsva-vr. tta gelijk is aan

104

Figuur 10.5: Viks. epa-vr. tta, als Rahu met het zomerpunt snijdt. [13, p. 813].

Figuur 10.6: De beweging van viks. epa-parsva. [13, p. 814].

Figuur 10.7: Viks. epa-parsva-vr. tta. [13, p. 814].

105

Figuur 10.8: De inclinatie van de baan van de maan. [13, p. 814].

R sin i. In figuur 10.7 hebben we ook de hoek aangegeven die correspondeert metbooglengte V0V . Dit is de lengtegraad van Rahu, aangegeven door λN . We kunnennu, zoals ook aangegeven in de figuur, vanuit V een loodlijn op V0V ′ trekken metvoetpunt M .

Nu hebben we in figuur 10.8, vanuit een ander perspectief, een doorsnede vanfiguur 10.6 gepresenteerd. De inclinatie van de baan van de maan ten opzichte vande evenaar is I . Ook hebben we hier nog M ′ getekend, dit is de projectie van Mop booglengte V0K. Vanuit M ′ trekken we dan een lijn loodrecht op OP , welkeaangrijpt in punt U . Hetzelfde doen we voor M , welke aangrijpt in U ′. Het is nietduidelijk in figuur 10.8 te zien, maar VM staat net als in figuur 10.7 nog steedsloodrecht op V0T . Aangezien MU ′ loodrecht op MV staat, vormt driehoek VMU ′

een rechthoekige driehoek.Met figuur 10.7 en 10.8 kunnen we nu het volgende afleiden:

V U ′ =√

(MV )2 + (MU ′)2

=√

(V T sinλN )2 + (M ′T + TU)2

=√

(R sin i sinλN )2 + (MT cos ε+OT sin ε)2

=√

(R sin i sinλN )2 + (R sin i cosλN cos ε+R cos i sin ε)2. (10.1)

Aangezien V U ′ = R sin I , kunnen we de volgende uitdrukking afleiden voor deinclinatie van de baan van de maan ten opzichte van de evenaar.

R sin I =√

(R sin i sinλN )2 + (R sin i cosλN cos ε+R cos i sin ε)2. (10.2)

We zullen zien dat dit de maximale declinatie van de maan zelf is.

106

10.5 Inclinatie van de maan met huidige boldriehoeksreke-ning

Figuur 10.9: De inclinatie van de baan van de maan met behulp van de boldriehoeks-rekening. [13, p. 814].

We kunnen vergelijking 10.2 ook afleiden met behulp van de huidige boldrie-hoeksrekening. We bekijken hiervoor figuur 10.9. De punten in deze figuur beteke-nen hetzelfde als in figuur 10.6 en 10.7. Als we nu driehoek V KP bekijken, dan isde inclinatie van de ecliptica ten opzichte van de evenaar opnieuw gegeven door εen correspondeert met booglengte KP , zoals in de figuur weergegeven. Zo corres-pondeert ook de inclinatie van de baan van de maan ten opzichte van de ecliptica,i, met booglengte KV . Dus correspondeert de inclinatie van de van de baan van demaan ten opzichte van de evenaar, gegeven door I , met booglengte PV . Opnieuwis ∠V KV0 = λN , dus is ∠V KP = (π − λN ). Door nu de cosinusformule toe tepassen op boldriehoek V PK en gebruik te maken van cos (π − δ) = − cos δ, zienwe

cos I = cos i cos ε− sin i sin ε cosλN ,

hieruit volgt dat

sin I =√

1− cos2 I

=√

1− (cos i cos ε− sin i sin ε cosλN )2

=√

(sin i sinλN )2 + (sin i cosλN cos ε+ cos i sin ε)2. (10.3)

Als we vergelijking 10.3 vermenigvuldigen met R, dan krijgen we precies vergelij-king 10.2.

10.6 Declinatie van de maan

Zojuist hebben we een formule voor de inclinatie I afgeleid, door middel van verge-lijking 10.2. Dit is tevens de maximale declinatie ten opzichte van de evenaar voor

107

de maan. Deze declinatie van de maan wordt ook wel de is. t.a-kranta genoemd. Wehebben al laten zien, gedurende de afleiding van vergelijking 10.1 dat

MV = R sin i sinλN .

We zullen het hier niet afleiden op de manier zoals het in de Gan. ita-yukti-bhas.a wordtafgeleid. Dit ziet er namelijk niet heel duidelijk uit. Uiteindelijk geeft de auteur inwoorden een uitleg waarin hij aangeeft dat de declinatie van de maan δM ten opzichtevan de evenaar kan worden berekend, met een vergelijking die wij zouden uitdrukkendoor

R sin δM = R sin I sin (λM − ∠ΓOC), (10.4)

waarbij wij R zouden kunnen wegdelen. Echter laten we deze, omdat we dezelfdevergelijking als in de Gan. ita-yukti-bhas.a willen presenteren, gewoon braaf staan.Hier zijn Γ (lentepunt) en C (viks. epa-vis. uvat) nog steeds dezelfde punten, zoals inhoofdstuk 10.3 gedefinieerd. Ook zien we λM in de formule. Dit is de lengtegraadvan de maan (sayana).

Figuur 10.10: Berekening van de declinatie van de maan ten opzichte van de evenaar.

Ondanks dat de uitleg in Gan. ita-yukti-bhas.a niet heel duidelijk is, willen we welgraag laten zien hoe formule 10.4 tot stand komt met behulp van hedendaagse sferi-sche sterrenkunde. Hiervoor kijken we naar figuur 10.10. Hier zien we de evenaar,ecliptica en baan van de maan weergegeven. De klimmende knoop is opnieuw aan-gegeven door N . Het snijpunt van de baan van de maan met de evenaar is hier hetpunt C (viks. epa-vis. uvat). Het andere snijpunt, Γ, zien we ook weer terugkomen voorhet snijpunt van de evenaar met de ecliptica. De maan zelf is weergegeven door M .Booglengte MP is de kortste afstand vanaf de maan tot aan de ecliptica op de he-melbol. Hetzelfde geldt voor punt X , wat de kortste afstand op de hemelbol is vanM naar de evenaar. De inclinatie van de baan van de maan met de ecliptica is aan-gegeven door i, de inclinatie van de ecliptica met de evenaar is ε en de inclinatie vande baan van de maan met de evenaar is I . Nu kunnen we zien dat booglengte MXde declinatie is die we zoeken. Met de sinusformule zien we dat voor boldriehoek

108

MCX (waar ∠MXC = π/2) we krijgen

sin MX

sin I=

sin MC

sinπ/2,

wat we kunnen schrijven, met behulp van de regel van drie, ofwel kruislings verme-nigvuldiging, naar

sin MX = sin I sin MC. (10.5)

We gaan nu enkele benaderingen gebruiken, welke we nodig hebben om hetzelfderesultaat als in de Gan. ita-yukti-bhas.a te krijgen. Aangezien i klein is, zien we datMN ≈ NP en (ΓN − NC) ≈ ΓC. 5 Nu kunnen we op een handige manier, metbehulp van de lengtegraad van de maan λM , afleiden dat

MC = MN + NC

= MN + ΓN + NC − ΓN

≈ NP + ΓN − (ΓN − NC)

= ΓP − (ΓN − NC)

≈ λM − ΓC. (10.6)

We kunnen nu opmerken dat ΓC = ∠ΓOC, als we O definieren als het middel-punt van de hemelbol (middelpunt van de aarde). Tot slot zien we dat de declinatieδM = MX . Als we nu onze nieuwe benadering 10.6 in vergelijking 10.5 invullen envermenigvuldigen met R, komen we precies uit op formule 10.4.

10.7 Afleiden van vyatipata

De lengtegraad van de zon is λS en de inclinatie van de zon ten opzichte van de eve-naar is ε, waarmee we op een zelfde manier zoals die van de maan, kunnen afleidendat de declinatie van de zon δS kan worden berekend door

R sin δS = R sin ε sinλS . (10.7)

Het verschil met vergelijking 10.4 is, behalve het gebruik van λS en ε, dat hier hetsnijpunt van de ecliptica met de evenaar zorgt dat in plaats van (λM − ∠ΓOC) we(λS − ∠ΓOΓ) = λS moeten gebruiken. Dit heeft er mee te maken dat per definitiehet snijpunt van de baan van de zon (ecliptica) en de evenaar Γ is, wat bij de maan Cwas. Nu treedt vyatipata op als

R sin δS = R sin δM ,

dus alsR sin I sin (λM − ∠ΓOC) = R sin ε sinλS ,

ofwelR sin (λM − ∠ΓOC) =

R sin ε sinλSsin I

,

5Volgens de Indiers was deze inclinatie gelijk aan 270′ = 4, 5◦.

109

waarbij we uiteraard nog wel moeten opmerken dat vyatipata alleen optreedt als dedeclinatie van de zon stijgt en van de maan daalt of als die van de zon daalt en dievan de maan stijgt.

110

Hoofdstuk 11

Conclusie

Vanwege de korte tijd die voor een TWIN scriptie beschikbaar is, kunnen we helaasniet dieper ingaan op de andere onderwerpen die de Gan. ita-yukti-bhas.a ons te biedenheeft. We hebben in ieder geval geprobeerd enkele interessante onderwerpen uit deGan. ita-yukti-bhas.a te bespreken en hiermee de lezer te inspireren om eventueel zelfonderzoek te doen naar de rest van deze onderwerpen. Daarnaast hopen we nu eengoed beeld te hebben gegeven van de manier waarop Indiers in de 16e eeuw omgingenmet wiskunde en sferische sterrenkunde. Ook hopen we het Indiase wereldbeeld uitdie tijd goed te hebben weergegeven.

11.1 Vragen voor een vervolg onderzoek

Na het schrijven van deze scriptie, blijven we nog achter met enkele vragen. Zoals:

• Waarom gebruikte de Indiers een soort commutativiteit bij vermenigvuldigin-gen?

• Hoe zou je kunnen bewijzen dat het proces van kut.t.akara equivalent is aan hetalgoritme van Euclides?

• Is het epicykelmodel daadwerkelijk van Ptolemaeus overgenomen?

• In hoeverre komt het planetenmodel van Tycho Brahe overeen met die beschre-ven in de Gan. ita-yukti-bhas.a?1

• Als de Indiers wisten hoe de planeten bewogen om de zon, waarom hebben zedan nooit ingezien dat de planeten eigenlijk een ellipsbaan beschrijven?

• Waarom gebruikt de auteur van Gan. ita-yukti-bhas.a geen figuren in zijn werk?

• Hoe waren de Indiers in staat om de diameter van de aarde en van de maan’redelijk’ nauwkeurig te berekenen?

1Deze vraag komt misschien wat uit de lucht vallen. We wilde namelijk in deze scriptie nog latenzien dat het model van Tycho Brahe erg lijkt op die in de Gan. ita-yukti-bhas.a. Helaas zijn we hier nietmeer aan toegekomen, dus hopelijk is er een lezer die hierover verder op onderzoek zou willen gaan.

111

• Wat voor meetinstrumenten gebruikte de Indiers?

• Alle zware ’dingen’ zouden naar de aardbol toevallen. Waren de hemellicha-men dan gewichtloos?

• Alle bewegende en niet bewegende ’dingen’ bevinden zich op de aardbol. Isdit niet in strijd met de beweging van de hemellichamen?

• Wat bedoelt de auteur met ’dingen’, als hij het over de definitie van de aardbolheeft?2 Is dit wel een juiste vertaling?

Zo zien we dat er nog genoeg is om te onderzoeken.

11.2 Reflectie op de Gan. ita-yukti-bhas.a

De Gan. ita-yukti-bhas.a van Jyes.t.hadeva is geschreven voor studenten. Het lastigeaan het werk is dat de auteur alleen in woorden zijn wiskunde schreef, waardoorje eerst bekend moet zijn met de terminologie voordat je de voor ons omslachtige,in woorden uitgedrukte berekeningen kunt begrijpen. Gelukkig hebben de vertalersveel werk verricht door de tekst vanuit het Malayalam naar het Engels te vertalen entoelichtingen toe te voegen. Om zoveel mogelijk begrip te krijgen van de Gan. ita-yukti-bhas.a, hebben we gekeken naar beide teksten, dus zowel naar de vertaling alsde toelichting. Daarnaast hebben we geprobeerd om alle resultaten die de auteur envertaler in de Gan. ita-yukti-bhas.a presenteren, te vergelijken met de hedendaagse enaan te vullen waar nodig.

Zo hebben we in hoofdstuk 4 gekeken in hoeverre het rekenen in de Gan. ita-yukti-bhas.a lijkt op dat van de onze, hier zagen we dat dit ongeveer equivalent is. Alleenleek vermenigvuldiging volgens hen een commutatieve bewerking te zijn, terwijl wijdat niet zo zien.

In hoofdstuk 5 keken we hoe het proces van kut.t.akara werkte en hebben we ditvergeleken met het algoritme van Euclides. We zagen dat we dezelfde uitkomstenkregen, maar het doorgronden van het algemene proces van kut.t.akara is ons helaasniet gelukt.

De wiskunde op het gebied van goniometrie, in hoofdstuk 6, hebben we vergele-ken met de onze. We zagen hier dat de auteur in de Gan. ita-yukti-bhas.a veel gebruikmaakt van handige afschattingen en tussenstappen. Jya leek op onze sinusfunctie,echter is jya een lijnstuk en is onze sinus een verhouding. We zagen ook dat de au-teur, waarschijnlijk onbewust, een reeks voor π afleidde, welke eigenlijk de reeksvoor de arctangens van 1 was.

Het wereldbeeld dat we beschreven in hoofdstuk 7 was een samenraapsel vanenkele afzonderlijke paragrafen uit de Gan. ita-yukti-bhas.a. Helaas vertelden zowelde auteur als vertaler in de Gan. ita-yukti-bhas.a niet wat yojana-s zijn. Dit hebben wedan na grondig zoeken in andere literatuur, uiteindelijk wel kunnen vinden.

Het naar onze mening belangrijkste hoofdstuk uit deze scriptie, was hoofdstuk 8over de beweging van de planeten. Deze leek ons het belangrijkste, omdat we hier

2We kwamen dit tegen in hoofdstuk 7 in deze scriptie en in hoofdstuk 9 in de Gan. ita-yukti-bhas.a.

112

veel van de wiskundige technieken terug zagen komen en een goed beeld van de ster-renkunde kregen. Hier hebben we het meeste gehad aan de toelichtingen van de ver-talers, aangezien de modellen uit de Gan. ita-yukti-bhas.a erg complex zijn. Naast datwe in hoofdstuk 8 geprobeerd hebben deze toelichtingen uitgebreider, beknopter enduidelijker uit te leggen, hebben we de modellen en berekeningen vergeleken met hetmodel van Kepler. Verrassend was het stukje uit een paragraaf van de Gan. ita-yukti-bhas.a over de waarnemer op de maan, welke we ook nog behandelden en hebbentoegelicht.

Het hoofdstuk waar we keken vanuit het oogpunt van de waarnemer op de aard-bol, hoofdstuk 9, gaf ons meer inzicht over de manier waarop Jyes.t.hadeva met deparallax rekende. De laatste paragraaf uit dit hoofdstuk over bimbantara hoorde er ineerste instantie niet bij, maar hebben we nog wel toegevoegd, omdat deze paragraafnaar onze mening er wel bij paste en in de vertaling niet goed genoeg uitgelegd werd.Wij hebben dan ook geprobeerd deze paragraaf beter uit te leggen en aan te tonen datin het geval dat de maan en de zon op verschillende afstand liggen, de berekeningover de afstand nog steeds klopt.

Tot slot was hoofdstuk 10 nog een interessant hoofdstuk om te laten zien dat demystieke betekenis van vyatipata, waar zowel de auteur als de vertaler niet op ingaanen wij wel, puur wiskundig kan worden afgeleid en vergeleken kan worden met onzeboldriehoeksrekening.

Het viel ons op dat er af en toe in de toelichting belangrijke termen misten en datsommige termen niet duidelijker werden uitgelegd of door elkaar werden gebruikt,waardoor we ook andere literatuur erbij moesten zoeken om dit soort termen beterte begrijpen. Zo was er bijvoorbeeld het punt mandocca en de richting ucca, welkebeiden werden gebruikt om het aphelium (en apogeum) aan te geven. Het leek alsofde vertaler ze af en toe door elkaar gebruikte. Ook vroegen we ons soms af waaromer voor sommige zaken meerdere begrippen bestonden. Dit werd door de vertaler niettoegelicht. We hebben geprobeerd in deze scriptie dit soort verwarring te voorkomen,door zoveel mogelijk dezelfde begrippen te gebruiken. Wat we in de Gan. ita-yukti-bhas.a misten, waren (meer) voorbeelden van berekeningen zelf. De auteur bespreektvooral de theorie met een verklaring, maar laat, zeker in het sterrenkunde gedeelte,zelf geen voorbeelden van berekeningen zien.

Het is eigenlijk haast een wonder dat dit werk zo lang onvertaald naar het En-gels is gebleven, aangezien het ons zoveel inzicht geeft over de Indiase kennis op hetgebied van wis-en sterrenkunde. Voorzichtig durven we Jyes.t.hadeva te vergelijkenmet de Griekse Euclides (ca. 365-300 v.Chr.). We weten namelijk dat Jyes.t.hadevaer eigenlijk voor gezorgd heeft dat al het wis-en sterrenkundige werk van zijn voor-gangers samen in hetzelfde werk is gebundeld, net zoals Euclides in zijn tijd deedbij de Grieken. Dus eigenlijk als we Jyes.t.hadeva prijzen, prijzen we indirect eengroot gedeelte van de Indiase wis-en sterrenkunde van zijn voorgangers. De belang-rijkste toevoeging van Jyes.t.hadeva is dat hij zo nauwkeurig mogelijk de afleidingenprobeert te ondersteunen met opbouwende tussenstappen en meetkundige voorbeel-den,3 in tegenstelling van zijn voorgangers, wie het vooral om het resultaat leek tegaan. Hij geeft hiermee tevens aan dat Indiers wel bekend waren met het nauwkeu-

3Hoewel hij zelf geen meetkundige afbeeldingen tekent, maar wel beschrijft voor de lezer.

113

rig ’bewijzen’ van hun stellingen en formules, terwijl er lange tijd gedacht is dat zehier niet zo precies in waren.4 Zelfs voor ons hedendaags wiskundigen, kunnen wede schoonheid van zijn afleidingen inzien, ondanks dat ze soms wat ruw zijn en nietzo waterdicht als wij tegenwoordig gewend zijn. Ook is het goed dat Jyes.t.hadevavaak probeert zijn lezer van zijn resultaten te overtuigen door sommige, volgens hembelangrijke, resultaten op alternatieve manieren te bewijzen.

11.3 Slotopmerking

Het moet veel werk zijn geweest voor de vertalers om de tekst vanuit het Malayalamte vertalen naar het Engels en daarnaast het nog allemaal te begrijpen en te vertalennaar hedendaagse wiskunde. Daarvoor moeten we in ieder geval veel dank richtenaan K.V. Sarma, K. Ramasubramanian, M.D. Srinivas en M.S. Siram. Dankzij henkonden wij makkelijker de verbinding tussen de Gan. ita-yukti-bhas.a met hedendaagsewis-en sterrenkunde leggen en de nauwkeurigheid en bijzonderheid van de Gan. ita-yukti-bhas.a, door middel van deze scriptie, tonen.

4Sarma (2008), [13, p.xxiii].

114

Bijlage A

Tijdperken (Yuga)

Een yuga is een tijdperk. In de Hindoe-filosofie zijn er vier tijdperken:

• Kr. tayuga (1.728.000 = 4 · 432.000 jaar)

• Tretayuga (1.296.000 = 3 · 432.000 jaar)

• Dvarparayuga (864.000 = 2 · 432.000 jaar)

• Kaliyuga (432.000 = 1 · 432.000 jaar)

Deze verschillende tijdperken zijn dus verdeeld in de ratio’s 4:3:2:1. Door ditpatroon is een Mahayuga (alle tijdperken bij elkaar) tien maal zo groot als een Ka-liyuga.

Momenteel leven we in het Kali Yuga, dat in 3102 v.Chr. moet zijn begonnen. Ditis volgens de Hindoes een duister tijdperk, beheerst door demon Kali. De tijdperkenvolgen elkaar op als een cyclisch proces.

Nilakan. t.ha geeft in een van zijn verzen het aantal omwentelingen voor iedere(met het blote oog zichtbare) ”planeet” in een Mahayuga, zoals we zien in tabel A.1.

Tabel A.1: Tabel met aantal omwentelingen van de planeten in een Mahayuga.Planeet Aantal omwentelingenZon 4.320.000Maan 57.753.320Mercurius 17.937.048Venus 7.022.268Mars 2.296.864Jupiter 364.180Saturnus 146.612

115

Bijlage B

Ellipsbaan, volgens het model vanKepler

In deze bijlage zullen we ellipsbanen volgens het model van Kepler bespreken. Dit isvoor lezers die niet nog niet met de termen die in de scriptie voorbij komen bekendzijn, of om het geheugen op te frissen.

Tegenwoordig hanteren we het heliocentrisch model. Dit houdt in dat de zon opeen vast punt staat waar een planeet in een ellipsvormige baan omheen draait. Hierinstaat de zon niet exact in het midden, maar is het een van de twee brandpunten vande ellipsvormige baan. Dit laten we zien in figuur B.1.

Punt P is de (ware) planeet die om de zon draait in een ellipsbaan. Het puntPE is de projectie van P op een excentrische cirkel met straal a.1 We zien hier d,de afstand van het middelpunt van ellips C tot aan de zon Z. Deze heet ook welde brandpuntsafstand. We zien ook de helft van de korte as van de ellips met lengteb. De helft van de lange as hebben we aangegeven door a. Dan is er nog punt cdit is de helft van de latus rectum. Het perihelium is de kortste afstand van de zontot aan de ellips en het aphelium is de langste afstand van de zon tot aan de ellips,zoals aangegeven in de figuur. Belangrijk zijn de hoeken φ en E, welke de ware enexcentrische anomalie heten. De ware anomalie φ is de hoek, vanaf de zon, tussen derichting naar het hemellichaam en de richting naar het perihelium. De excentrischeanomalie is de hoek die het middelpunt van de ellips met het perihelium en PE maakt.Dan is er ook nog de middelbare anomalie M (niet weergegeven in de figuur). Ditzou de ware anomalie zijn als de excentriciteit e gelijk aan 0 zou zijn en de planeetdezelfde omlooptijd zou behouden. Dit houdt in dat als de planeet een omlooptijdheeft gelijk aan T en op tijdstip t0 bij het perihelium is, dat dan op tijdstip t geldt:

M =2π(t− t0)

T.

1Let op: dit is niet hetzelfde als de middelbare planeet! De middelbare planeet is de positie vande planeet als deze een excentrische cirkel zou beschrijven en daarbij met een constante snelheid decirkelbaan zou beschrijven.

116

Figuur B.1: Ellipsbaan

In een cartesisch stelsel is de baan van de aarde te beschrijven door

(x+ d)2

a2+y2

b2= 1. (B.1)

De relaties tussen de zojuist genoemde variabelen zijn:

a =c

1− e2,

b =c√

1− e2,

c = a(1− e2)

d = ae.

Hier zien we de excentriciteit e terugkomen. Dit is een waarde die de ellipsvormig-heid uitdrukt. In het geval van planeten in ons Melkweg stelsel is deze meestal heelerg klein. We kunnen vergelijking B.1 ook schrijven in poolcoordinaten door

r(φ) =c

1 + e cosφ. (B.2)

Een vergelijking, welke belangrijk is in de Gan. ita-yukti-bhas.a kennen we als de mid-delpuntsvereffening. Dit is een vergelijking die door middel van de excentriciteit eenrelatie tussen de ware anomalie en middelbare anomalie weergeeft. Deze vergelijkingluidt:

φ−M = 2e sinM +5

4e2 sin 2M +O(e3). (B.3)

We hebben hier zelf niks afgeleid, omdat het voor deze scriptie niet relevant is. Alsde lezer toch graag een afleiding wenst, dan verwijzen we graag naar [7, p.137-148].

117

Bijlage C

Woordenlijst

In deze bijlage presenteren we een woordenlijst, waarin de belangrijkste woordenstaan uit hoofdstuk 7 tot en met 10. Dit is handig, omdat hier veel termen in voorko-men die regelmatig terugkomen. Sommige woorden die wel gebruikt worden, staanhier niet in, omdat deze naar onze mening verder niet heel belangrijk zijn voor hetbegrip van de tekst.

In sommige literatuur is de schrijfwijze iets anders. Zo kan een auteur de streepjesweglaten, waardoor alles aan elkaar geschreven wordt. Ook laten sommige auteursde leestekens weg.

Sanskriet BetekenisApakrama-man. d. ala Ecliptica.Bhagola-(madhya) Hemelbol met de ecliptica als evenaar en met het centrum gelijk

aan het centrum van de aardbol.Bhugola-(madhya) Aardbol.Bhuvyasardha Straal van de aardbol.Capa Arcsinus.Chaya-lambana Parallax.Dakshina-dhruva Zuidpool van de aarde.Daks. in. ottana-rekha Noord-Zuidlijn.Daks. in. ottara-vr. tta Nulmeridiaan van de hemelbol.Dr. ggola Hemelbol met het centrum de waarnemer.Dr. kkarn. a Afstand van waarnemer tot object.Dr. n. mand. ala Grootcirkel door het zenith en de planeet.Jya Rsinus.Ghat.ika-man. d. ala Evenaar van de hemelbol.Kaksya-vr. tta of kaksya-man. d. ala Cirkel rond het centrum van de hemelbol, met zelfde straal als de

pratiman. dala, waar de middelbare planeet zich op beweegt.Karn. a Afstand centrum hemelbol en ware planeet.Karn. a-vr. tta Baan ware planeet.

118

Sanskriet BetekenisKetu Dalende knoop.Kha-madhya Waarnemer op de aardbol.Kotijya Rcosinus.Lambana Lengtegraad van de parallax.Madyama Middelbare planeet.Madhyama-graha Lengtegraad van middelbare planeet ten opzichte van referentie-

punt Γ.Manda-karn. a Karn. a ten opzichte van middelbare zon.Manda-nicocca-vr. tta Epicykel.Manda-samskara Middelpuntsvereffening.Manda-sphut.a Ware heliocentrische planeet (vaak aangegeven door ∠ΓSP ).Manda-vr. tta Kleinere cirkel, rond middelpunt hemelbol (en aarde) waar O′

zich op beweegt.Mandocca Apogeum of aphelium.Nati Breedtegraad van de parallax.Pata Knooppunten met een retrograde beweging.Pratiman. dala Excentrische cirkel, waarop de ware planeet zich beweegt.Purvapana-rekha Oost-Westlijn.Rahu Klimmende knoop.Rasikut.a Pool van het vlak van de ecliptica.Ra’si-kut.a-vr. tta Dit zijn zes cirkel die samen met de ecliptica 12 snijpunten geven,

waardoor de hemelbol in 12 delen kan worden opgedeeld.Samarekha Nulmeridiaan voor de Indiers van de aardbol.Sighra-nicocca-vr. tta De cirkel met middelpunt gelijk aan het centrum van de hemelbol

en de straal gelijk aan sighrantyaphala. Op deze cirkel bevindtde middelbare zon zich ook.

Sigrantyaphala Afstand aarde-middelbare zon.Sighra-sphut.a ware geocentrische planeet (vaak aangegeven door ∠ΓOP ).Sighrocca Bepaling van de ware geocentrische planeet met behulp van de

ware heliocentrische planeet (vaak aangegeven door ∠ΓOS.Sphut.a Ware planeet.Sphut.a-graha Lengtegraad van ware planeet ten opzichte van referentiepunt Γ.Trijya Straal karn. a-vr. tta.Ucca Richting van het apogeum of aphelium.Ucca-nicocca-vr. tta Epicykel.Viks. epa-parsva Noordpool van het vlak van de baan van de maan.Viks. epa-vr. tta Baan van de maan.Viparita-karn. a Inverse karn. a. Dit betekent de straal van bijbehorende cirkel van

karn. a berekenen.viks. epa Netto breedtegraad afwijking ten opzichte van de apakrama-

man. d. ala.Vyatipata Moment dat de declinatie van de zon en de maan gelijk zijn, maar

tegengesteld toenemen.Uttara-dhruva Noordpool van de aarde.

119

Bibliografie

[1] Bilt, J. (1944), Sferische sterrenkunde. N.V. Servire drukkerij G.J. Thieme, Nij-megen, Den Haag, Nederland

[2] Boyer, C.B., Merzbach, C. (2011), A History Of Mathematics. John Wiley andSons, Inc., Hoboken, New Jersey, U.S.A.

[3] Britannica Kids (2012), Alexander the Great: Alexander the Great’s empire [on-line afbeelding]. Gedownload 20-6-2015, van http://www.athenaeum.nl/boek-van-de-nacht/alexander-de-grote-punjab, U.K.

[4] Chatterjee, B. (1974), A Glimps of Aryabhat.a’s theory of rotation of earth.Indian Journal History of Science 9, Indian National Science Acadamy, NewDelhi, India

[5] Clark, W.E. (1930), The Aryabhatiya of Aryabhata. The University of ChicagoPress, Chicago, Illionois, U.S.A.

[6] Ganeshk (2006), Indian state of Kerala. Gedownload 20-6-2015, van https://commons.wikimedia.org/wiki/File:India-KERALA.svg

[7] Green, R.M.(1985), Spherical Astronomy. Cambridge University Press, Cam-bridge, U.K.

[8] Lendering, J. (2004), Alexander de Grote in de Punjab. Een foto-essay. Athe-naeum Boekhandel, Amsterdam, Nederland

[9] Padmanabhan, T (2014), Astronomy in India: A historical perspective. Springer,Indian National Science Academy, New Delhi, India

[10] Plofker, K. (2009). Mathematics in India. Princeton University Press, Princeton,U.S.A.

[11] Pruyn, F. (2005) Het einde der tijden. Gedownload 14-3-2015, van http://theosofie.info/kaliyuga.html, plaats onbekend

[12] Ramasubramanian, K., Sriram M.S. (2011). Tantrasangraha of Nilakan. t.ha So-mayaji. Springer, Hindustan Book Agency, New Delhi, India,

120

[13] Sarma, K.V., Ramasubramanian, K., Srinivas, M.D., Siram, M.S. (2008).Gan. ita-yukti-bhas. a of Jyes. t.hadeva. Sources and Studies in the History of Ma-thematics and Physical Sciences (in English, Malayalam). I (Mathematics), II(Astronomy). Springer, Hindustan Book Agency (HBA), New Delhi, India

[14] Schilling, G. (2012). Handboek sterrenkunde. Fontaine Uitgevers, Hilversum,Nederland, p.14-15

[15] Taylor, J.R. (2005). Classical Mechanics. University of Colorado, Boulder, Co-lorado, U.S.A.

[16] Thompson, R. (1997), Planetary Diameters in the Surya-Siddhanta. Journal ofScientific Exploration 11 (2), Las Vegas, U.S.A.

[17] Zeilik, M.(1988). Astronomy, the evolving Universe. The University of NewMexico, New Mexico, U.S.A.

121