Schwarzschild-Metrik

Stefan Wittmann

28.10.2015

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 32.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Riemannsche Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Christo�el Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Krümungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Ricci Tensor und Krümmungskalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.7 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.8 Isotrope statische Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Einsteingleichung 7

4 Äuÿere Schwarzschild-Metrik 7

5 Anwendung 85.1 Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2 Zeitdillatation(Einschub) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Schwarzes Loch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.5 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Einleitung

Die Schwarzschild-Metrik ist abgesehen von der Minkowski-Metrik das leichteste Bei-spiel für eine Metrik. Sie beschreibt eine kugelsymmetrische Masse ohne Rotation oderLadung. Trotz ihrer Einfachheit ist sie ein wichtiges Werkzeug. So können mit ihrerHilfe beispielsweise Schwarze Löcher oder Wurmlöcher beschrieben werden.

2 Grundlagen

2.1 Spezielle Relativitätstheorie

Wir wiederholen kurz die Notation der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) undGrundlagen[1]. Einsteins Postulate lauten:1. Physikalische Gesetzte sind in allen Inertialsystemen(IS) gleich.2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich.Wir erhalten als Invariantes Raumzeitelement:

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 (1)

Wobei die gestrichenen Koordinaten ein anderes IS bezeichnen. Dieses Wegelement be-schreibt den Minkowski-Raum. Der Raum kann auch mit Hilfe des metrischen Tensorsbeschrieben werden. Es hat die Form:

(gµν) = (ηµν) = (ηµν) = diag (1,−1,−1,−1) mit ηµν = 0 wenn µ 6= ν (2)

Des Weiteren führen wir den Vierervektor Aµ ein:

(Aµ) = (A0, A1, A2, A3) kovarianter V ierervektor (3)

(Aµ) =(A0, A1, A2, A3

)kontravarianter V ierervektor (4)

Wobei die Vektoren mit Aµ = gµνAν zusammenhängen. Hierbei wurde die EinsteinscheSummenkonvention verwendet. Die Einsteinsche Summenkonvention besagt, dass überdoppelte Indizes in einen Produkt summiert wird, nicht aber über doppelte Indizes ineiner Summe. Auÿerdem zeigen griechische Indizes die Summation über vier Indizesund lateinische Indizes die Summation über drei.Das Viererskalarprodukt ist de�niert als:

AB = AµBµ = A′µB

′µ (5)

Es ist also invariant unter einem Wechsel des Bezugssystems. Einen solchen Wechselbeschreibt man durch die Lorentstransformation:

x′µ = Λµνxν x′µ = Λ ν

µ xν (6)

Man bezeichnet Λ als Lorentztensor. Der Lorentztensor hat die Eigenschaften:(ΛΛT

)ρσ= gρσ Λ σ

ρ = gµαΛαβgβν (7)

3

2.2 Äquivalenzprinzip

Der Übergang zu einem allgemein gültigen metrischen Tensor wird durch das Äquiva-lenzprinzip ermöglicht. Man kann es in drei Behauptungen unterteilen[2]:1. Schwere und träge Masse sind gleich.2. Gravitationskräfte sind äquivalent zu den Trägheitskräften.3. Im lokalen Inertialsystem gelten die bekannten Gesetze der SRT ohne Gravitation.

Hierbei ist das "lokal" von Bedeutung, da ein herkömmliches IS ein Bezugssystemist, das nicht beschleunigt ist im Vergleich zum Fixsternhimmel. Das lokale IS hin-gegen schon. Als lokales IS gilt beispielsweise ein frei fallender Fahrstuhl oder einSatellitenlabor(SL), welches in der Erdumlaufbahn kreist. Das Satellitenlabor ist einkräftefreies Inertialsystem, da sich die Fliehkraft und die Gravitationskräfte gegensei-tig aufheben. Die Lokalität hierbei ist stark eingeschränkt, nämlich auf einen einzigenPunkt. Es kann jedoch näherungsweise für das ganze SL betrachtet werden, da dasGravitationsfeld der Erde sehr viel gröÿer ist als das Labor.

Abbildung 1: Das Satellitenlabor kann als Kräfte frei gesehen werden. Es gilt nach demÄquivalenzprinzip die SRT.[2]

2.3 Riemannsche Raum

Seien ξµ die Minkoskikoordinaten und der Minkowskiraum gegeben durch[2]:

ds2 = ηαβdξαdξβ (8)

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass wir ein SL durch die SRT beschreiben können. DenWechsel in ein KS mit den Koordinaten xµ, erhalten wir, indem wir den RiemannschenRaum wie folgt einführen[2]:

ds2 = gµν (x) dxµdxν (9)

Also hat der metrische Tensor die Form:

gµν (x) = ηαβ∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xν(10)

4

Der metrische Tensor gµν ist symmetrisch unter Vertauschung der Indizes und besitzteine inverse Matrix gµν :

gµν = gνµ , gµνgµν = δµν (11)

2.4 Christo�el Symbole

Wir führen nochmal die Christo�elsymbole ein[2]:

Γκλµ =gκν

2

(∂gµν∂xλ

+∂gλν∂xµ

− ∂gµλ∂xν

)=∂xκ

∂ξα∂2ξα

∂xλ∂xν(12)

Die Christo�elsymbole sind Symmetrisch unter Vertauschung der unteren Indizes.

Γρµν = Γρνµ (13)

2.5 Krümungstensor

Der Krümungstensor beschreibt, wie aus den Namen hervor geht, die Krümmung desRaumes. Verschwinden beispielsweise alle Elemente, so ist der Raum ungekrümmt. Erhat im Allgemeinen die folgende Form[2]:

Rmikp =1

2

(∂2gmk∂xi∂xp

+∂2gip

∂xm∂xk− ∂2gik∂xm∂xp

− ∂2gmp∂xi∂xk

)+ grs

(ΓrkmΓsip − ΓrpmΓsik

)(14)

Die Symmetrien sehen wie folgt aus:

Rmikp = Rkpmi (15)

Rmikp = −Rimkp = −Rmipk = Rimpk (16)

Rmikp +Rmpik+mkpi = 0 (17)

Die Aussage über die verschwindenden Elemente lässt sich noch weiter fassen. Genaudann, wenn alle Elemente des Tensors gleich Null sind, existiert ein globales kartesischesKoordinatensystem. Ein lokales ist immer möglich.

2.6 Ricci Tensor und Krümmungskalar

Nun betrachten wir noch zwei Objekte, die aus dem Krümmungstensor durch Kon-traktion hervorgehen. Den Ricci-Tensor[2]:

Rip = Rmimp = gkmRkimp (18)

Ausgeschrieben:

Rµν =∂Γρµρ∂xν

−∂Γρµν∂xρ

+ ΓσµρΓρσν − ΓσµνΓρσρ (19)

Hieraus folgt der Krümmungskalar[2]:

R = Rii = gikRik (20)

5

2.7 Energie-Impuls-Tensor

Wir betrachten den Energie-Impuls-Tensor für eine ideale Flüssigkeit[2]:

Tµν =

(ρ+

P

c2

)uµuν − Pηµν (21)

2.8 Isotrope statische Metrik

Die allgemeine Form dieser Metrik lautet[2]:

ds2 = B (r) c2dt2 −A (r) dr2 − C (r) r2(dθ2 + sin2θdΦ2

)(22)

Um die Standardform zu erreichen, setzen wir noch C (r) = 1. Hierzu gehört dermetrische Tensor:

(gµν) =

B (r) 0 0 0

0 −A (r) 00 0 −r2 00 0 0 −r2sin2 (θ)

(23)

Es folgt aus gµνgµν = δµν :

(gµν) = diag

(1

B (r),− 1

A (r),

1

r2,− 1

r2sin2θ

)(24)

Der Groÿteil der Christo�elsymbole entfällt. Der Rest nimmt folgende Form an:

Γ001 = Γ0

10 =B′

2B, Γ1

00 =B′

2A, Γ1

11 =A′

2A,

Γ212 = Γ2

21 =1

r, Γ1

22 = − rA, Γ1

33 = −rsin2θ

A,

Γ313 = Γ3

31 =1

r, Γ3

23 = Γ332 = cot θ , Γ2

33 = −sinθ cosθ

(25)

Setzen wir die Christo�elsymbole in den Ricci-Tensor ein, so erhalten wir:

R00 = −B′′

2A+B′

4A

(A′

A+B′

B

)− B′

rA(26)

R11 =B′′

2B− B′

4B

(A′

A+B′

B

)− A′

rA(27)

R22 = −1− r

2A

(A′

A− B′

B

)+

1

A(28)

R33 = R22 sin2 θ (29)

Rµν = 0 für µ 6= ν (30)

6

3 Einsteingleichung

Die Einsteingleichung ist eine geometrische Beschreibung der Gravitation. Sie ist einewesentliche Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie und hat folgende Form[2]:

Rµν −R

2gµν = −8πG

c4Tµν (31)

oder

Rµν = −8πG

c4

(Tµν −

T

2gµν

)(32)

4 Äuÿere Schwarzschild-Metrik

Die zeitunabhängige sphärische Massenverteilung hat die Form:

ρ (r) =

{6= 0, falls r ≤ r0= 0, sonst

(33)

Somit ergibt sich die Metrik aus (22). Auÿerdem fordern wir, dass das Feld statischist, also (uµ) = 0. Somit verschwindet auÿerhalb der Energie-Impuls-Tensor und damitgilt nach (32):

Rµν = 0 (r ≥ r0) (34)

Die Nebendiagonalelemente verschwinden auch durch (30) und in (29) sieht man, dassR33 verschwindet, wenn R22 verschwindet. Somit bleibt uns noch R00, R11 und R33.Setzen wir (26) und (27) in die nachfolgende Formel ein:

R00

B+R11

A= 0 = − 1

rA

(B′

B+A′

A

)(35)

Hieraus folgt, dass die Klammer verschwinden muss. Multiplizieren wir diese mitA (r)B (r) so erhalten wir:

A B′ +A′ B = 0 ⇔ A (r) B (r) = const (36)

Da in unendlicher Entfernung die Wirkung des Feldes verschwindet, sollte die Metrikin die Minkowski übergehen:

(gµν) = diag(B (r) ,−A (r) ,−r2,−r2sin2θ

)→ lim

r→∞(gµν) = diag

(1,−1,−r2,−r2sin2θ

)(37)

Setzen wir diese Randbedingung für B und A ein, erhalten wir:

A (r) B (r) = 1 ⇔ A =1

B⇒ A′ =

B′

B2(38)

7

Setzen wir das für R11 und R22 erkennen wir den Zusammenhang:

R22 = −1 + rB′ +B = 0 (39)

R11 =B′′

2B+B′

rB=rB′′ + 2B′

2rb=

1

2rB

d R22

dr= 0 (40)

Wir können (39) umschreiben in:

−1 + rB′ +B = 0 ⇔ d (rB)

dr= 1 ⇔ rB = r + const. =: r − rs (41)

Hierbei de�nieren wir rs als den Schwarzschildradius. Setzen wir das noch in (38) ein,erhalten wir die Vorfaktoren:

B (r) = 1− rsr, A (r) =

1

1− rs/r(42)

Somit haben wir einen expliziten Ausdruck für die Schwarzschildmetrik gefunden:

ds2 =(

1− rsr

)c2dt2 − dr2

1− rs/r− r2

(dθ2 + sin2θdφ2

)(43)

Um den Schwarzschildradius zu erhalten, können wir den nicht-relativistischen Grenz-fall betrachten[3]:

g00 = B (r) limr→∞

1 +2φ

c2= 1− 2GM

c2r= 1− rs

r(44)

also beträgt der Schwarzschildradius:

rs =2GM

c2(45)

Wobei M die Masse des Körpers ist.

5 Anwendung

5.1 Sonnensystem

Die Schwarzschildmetrik wird für die Beschreibung unseres Sonnensystems nicht be-nötigt. Die Masse der Sonne und ihr Radius betragen[4]: M� = 1.99 1030 kg undR� = 6, 96 108 m. Setzen wir die Masse in (45) und teilen durch den Radius, erhaltenwir:

rsR�

=2GM

c2R�= 4, 0 10−6 (46)

Wobei G = 6, 673 10−11 m3

kg s und c = 2.9979 108ms . Somit gilt rs << r, da dieKoordinate r nach Vorraumsetzung gröÿer sein muss als R�. Somit ist die Wirkung

8

der Krümmung nur noch gering und wir können in der Regel die Minkowski-Metrikverwenden.

Hier noch weitere Verhältnisse:

Sonne weiÿer Zwerg Neutronenstern Schwarzes Lochrs/R 4.0 10−6 3.0 10−4 0.44 < 1

9

5.2 Zeitdillatation(Einschub)

Die Zeitverschiebung aufgrund der Gravitation gehorcht folgendem Gesetz[2]:

dτ =√Bdt =

√1− rs

rdt ⇒ dτ ≤ dt (47)

Hierbei ist:τ : Die Eigenzeitt: Die Koordinatenzeit im Unendlichenrs: Schwarzschilradius des Sterns

Wie in Abb. 2 veranschaulicht, muss für unsere Wahl der Koordinaten die Eigen-zeit immer kleiner sein als die Koordinatenzeit, oder in Worten: Ist der Betrachternäher am Stern, wird die Zeit mehr gedehnt.

Abbildung 2: Albert hat mit seiner Cousine Elsa ausgemacht, dass sie sich am Sonn-abend in einem Cafe unter seiner Wohnung am Rande der Milchstraÿe tre�en. Leiderhat Albert vergessen Elsa zu erklären, dass sich ihr Haus näher am Galaktischen Zen-trum be�ndet und dadurch stärker von der Zeitdillatation beein�usst wird. Deshalbwartet Albert schon, während Elsa sich noch fertig macht.

5.3 GPS

Eine häu�g genannte Ausnahme ist die Einwirkung der Zeitdilatation beim GPS. DieErde hat eine Masse von ME = 5, 968 1024kg, einen Radius von RE = 6, 368 106 unddas GPS be�ndet sich in einer Höhe von RGPS = 2, 65 107 m. Das Verhältnis der

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reellen Zeit t und der einer unendlich ruhenden Uhr τ lautet[2]:

dτEdt

=

√1− 2 G ME

c2 RE(48)

Für einen bewegten Satelliten gilt[2]:

dτGPSdt

=

√1− 3 G ME

c2 RGPS(49)

Das gibt ein Verhältnis unter Berücksichtigung der gültigen Zi�ern:

dτGPS/dt

dτE/dt= 1.00 (50)

Die verwendeten Zahlen sind also leider zu ungenau, um eine Zeitdehnung zu erkennen.

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5.4 Schwarzes Loch

Ist der Radius des Sterns kleiner als der Schwarzschildradius, wird der Stern zumSchwarzen Loch. Für eine ruhende Uhr gilt[2] dτ =

√Bdt. Somit divergiert dt/dτ ,

wenn r → rs. Anschaulich bedeutet dies, dass ein Photon, welches vom Schwarz-schildradius emittiert wird unendlich rot verschoben wird und somit keine Photonenbeim Betrachter ankommen. Die Divergenz von ds2 liegt aber lediglich an der Wahlder Koordinaten und kann durch geeignete Transformation verhindert werden.Man kann die Raumkrümmung anschaulich durch den Flamm'schen Paraboloid dar-stellen welcher die Einbettung in eine höhere Dimension beschreibt[5]:

Z2 = 8M (r − 2M) (51)

Wir betrachten den positiven Ast der Parabel und rotieren diesen um den Winkel Θ.Dadurch erhalten wir den Paraboloid:

X

1000500

0500

1000

Y

1000

500

0

500

1000

0.00

77.78

155.56

233.33

311.11

388.89

466.67

544.44

622.22

700.00

Z

Abbildung 3: Flamm'scher Paraboloid

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5.5 Potential

Das Potential der Schwarzschildmetrik(γ = 1) weicht vom Keplerpotential(γ = 0)ab[2]:

Veff (r) =

−GM

r+

l2

2r2− γGMl2

c2r3, falls m 6= 0

l2

2r2− γGMl2

c2r3, falls m = 0

(52)

Wie wir in Abb. 4 und Abb. 5 erkennen können, weichen die Potentiale für kleine rstark voneinander ab. Bei Kepler haben wir den typischen Potenzialtopf, der dafürsorgt, dass man eine stabile Ellipsenbahn erhält. Auÿerdem hat man eine Singularitätdie verhindert, dass ein Teilchen ins Zentrum fällt. Diese Singularität ist bei Schwarz-schild hingegen negativ und sorgt dafür, dass sobald eine gewisse Energieschwelle über-schritten wurde, eine anziehende Wirkung eintritt.

0 5 10 15 20 25 30r

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

Veff

l=1l=2l=3l=4l=5

Abbildung 4: Kepplerpotential:Für GM = 1 = c und m 6= 0

0 5 10 15 20 25 30r

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4Ve

ffl=1l=2l=3l=4l=5

Abbildung 5: Schwarzschildpotential:Für GM = 1 = c und m 6= 0

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Literatur

[1] V. Braun. Lecture: Quantum Elektro Dynamics, 2014.

[2] T. Fliessbach. Allgemeine Relativitatstheorie. Spektrum, 2006.

[3] D. Eiber. Einsteinsche Feldgleichung. 2015.

[4] A. Hammer. Physikalische Formeln und Tabellen. J. Lindauer Verlag München,October 2009.

[5] W. Gebhardt. Black Holes, neutron Stars and other Exotica, 2010.

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