1Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

Scheda riassuntiva 2 capitoli 8-12

Resistenzadei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

La resistenza dei materiali mette in relazione tra loro i seguenti elementi:

Considerata una sezione dell’elemento resistente (trave), perpendicolare al suo asse, l’influenza dei carichi esterni viene studiata scomponendo i loro effetti secondo tra assi ortogonali:

x, y tangenti al piano della sezionez perpendicolare al piano della sezione

Si ottengono le:

I carichi determinano le deformazioni, che possono consistere in:

Le deformazioni sono espresse in termini unitari o percentuali quando sono riferite alla distanza (prima della deformazione) Lo tra le due sezioni considerate; in tal caso sono adimensionali.

Si indicano con i simboli:

allungamenti/accorciamenti unitari ε = LLo

scorrimenti unitari g= sLo

• Trazione/ compressione• Taglio• Flessione• Torsione

• Allungamenti/ accorciamenti• Scorrimenti

• Normali• TangenzialiCarichi Deformazioni Tensioni

Trazione/compressione Taglio

Momentoflettente

Componenti di sollecitazione

Momentotorcente

• allungamenti• accorciamenti

Deformazioni lungole fibre parallele

all’asse della trave

• traslazioni• rotazioni

Scorrimenti reciprocitra due sezioni

della trave

2 Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

Alle deformazioni il materiale oppone reazioni elastiche in base alla legge di Hooke; esse sono definite:

Le tensioni normali s sono perpendicolari alla sezione e reagiscono agli allungamenti/accorciamenti delle fibre longitudinali.

Le tensioni tangenziali t sono sul piano della sezione e reagiscono agli scorrimenti tra le sezioni.

Per molti materiali, entro determinati limiti di carico, tra deformazioni e tensioni esiste una relazione di proporzionalità:

Per ognuna delle caratteristiche di sollecitazione può essere definita:

• equazione di stabilità: relazione di equilibrio fra componente di solle-citazione, tensioni interne e caratteristiche della sezione;

• equazione di deformazione: relazione fra componente di sollecitazio-ne, deformazione, caratteristiche della sezione e del materiale.

Trazione/compressioneLe tensioni sono uniformemente distribuite sulla sezione.

La forma della sezione non ha influenza né per la resistenza né per la deformazione.

Flessione rettaPer il baricentro G della sezione passa l’asse neutro, perpendicolare all’asse di sollecitazione.

Sull’asse neutro le tensioni sono nulle; ai bordi esterne (i punti più lon-tani dall’asse neutro) le tensioni sono massime, una di trazione e l’altra di compressione.

Tensioni normali � Tensioni tangenziali �

s = E · e per le tensioni normali E = modulo di elasticità normale (modulo di Young)

t = G · g per le tensioni tangenziali G = modulo di elasticità tangenziale

Stabilità N = s · A N = ⋅N

mmmm

2

2

Deformazione L = N LE A

⋅⋅

⋅

⋅mm = N mm

Nmm

mm2

2

3Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

Modulo di resistenza a flessione WI

yfn=

max

ymax è la massima distanza dal bordo all’asse neutro.

Sezione rettangolare W B Hf = ⋅ 3

6 H è la misura perpendicolare all’asse

neutroSezione circolare W Df =

323

TorsioneLe tensioni sono massime sul bordo esterno della sezione e nulle al centro.

Modulo di resistenza a torsione WI

ytp=

max

Sezione circolare W W Dt f= =216

3

Sezione rettangolare W H BBH

t = ⋅

+

2

3 1 8, B è la lunghezza del lato corto

Sezione ellittica W H Bt = ⋅ 2

5 B è la lunghezza dell’asse minore

TaglioLe tensioni sono massime all’altezza dell’asse neutro e nulle ai bordi.

Le deformazioni sono di entità trascurabile.

Il valore del coefficiente a dipende dalla forma della sezione:

rettangolare a = 32

circolare a = 43

Stabilità Mf = s · Wf

N mm = N

mmmm

2

3⋅ ⋅

Deformazione =M L

E If

n

⋅⋅

⋅

⋅rad = Nmm mm

Nmm

mm2

4

Stabilità Mt = t · Wt

Nmm = N

mmmm

2

3⋅

Deformazione =M LG I

t

p

⋅⋅

⋅

⋅rad = Nmm mm

Nmm

mm2

4

Stabilità �� ��max = TA

⋅

Nmm

= Nmm2 2

4 Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

FlessotorsionePer sezioni circolari o anulari si calcola il momento flettente ideale, che, ai fini della resistenza della sezione, è equivalente all’azione combinata di un momento flettente e un momento torcente:

Nel caso delle altre sezioni si calcolano separatamente la tensione di flessio-ne s e quella torsione t e si compongono ricavando la:

Taglio e torsioneSono presenti solo tensioni tangenziali; si ricava il valore risultante massi-mo sommando le t nei punti in cui sono concordi.

Taglio e flessioneTenuto conto che:

• sui bordi lontani dall’asse neutro s = smax t = 0• sull’asse neutro s = 0 t = tmax

e che i valori delle tensioni tangenziali sono solitamente molto piccoli, si effettua il calcolo a pura flessione, verificando eventualmente, in modo se-parato, il valore di tmax sull’asse neutro.

Pressoflessione e tensoflessioneSono presenti solo tensioni normali; ai valori costanti dovuti allo sforzo normale si sommano i valori massimi sui bordi dovuti alla flessione.

Criteri di sicurezzaIl valore massimo della tensione nella/e sezioni più sollecitate non deve su-perare un limite di tensione ammissibile, ricavato dal carico di rottura o dal carico di snervamento del materiale con un adeguato grado di sicurezza:

• in presenza solo di tensioni normali:

• in presenza solo di tensioni tangenziali:

• in caso di sollecitazioni composte con presenza di tensioni normali e tangenziali:

sid sam

Per tenere conto di carichi dinamici e fenomeni di fatica il grado di sicurez-za va adeguatamente aumentato.

momento flettente ideale

M M Mfid f t= +2 234

tensione ideale� � �id = + ⋅2 23

� �� �max am ammR

n=

� �� ��

max am amam=3

5Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

Travi isostatiche: reazioni, momenti, deformazioni

a Trave incastrata con carico sull’estremità Y

LF

Mmax

b Trave incastrata con carico distribuito uniforme Y

qMmax

c Trave incastrata con carico triangolareY

qmax

Mmax

d Trave appoggiata con carico distribuito uniforme YY

Lq

e Trave appoggiata con carico concentrato YBF

Ca b B

YA

A

f Trave appoggiata con carico triangolare

BA

YA YB

qmax

xo

g Trave appoggiata con doppio sbalzo

CDLa A B

aE

YA YB

Y F M F L f F LE I

= = ⋅ = ⋅⋅ ⋅max

3

3

Y q L Mq L

fq L

E I= ⋅ = − ⋅ = ⋅

⋅max

2 4

2 8

Y Qq L

MQ L

fQ LE I

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅⋅

maxmax

2 31

15

3

Y q L Mq L

fq L

E I= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅2 85

384

2 4

max

Y F bL

Y F aL

M F a bL

f FE I

a bL

A B= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅; max3

2 2

Qq L

YQ

YQ

Mq L

fA B= ⋅ = ⋅ = = ⋅maxmax

maxm

22

3 3 9 3

2

; ; aax = ⋅ ⋅⋅

=

177

3

3Q LE I

x Lo

Y Yq L

M Mq a

fq L

E IA B A B c= = ⋅ = = − ⋅ = ⋅

⋅ ⋅⋅ − ⋅

2 2 3845 24

2 4

aaL

Mq L a

LC

2

2

2 2

281 4

= ⋅ ⋅ − ⋅

6 Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali

sc

he

da r

iassu

ntiV

a 2

G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012

Travi iperstatiche: reazioni, momenti, deformazioni

a Trave con doppio incastro con carico distribuito uniforme YA YB

CA B

q

MA MB

b Trave incastrata con appoggio all’estremità con carico distribuito uni-forme

YAYB

A Bq

MA

c Trave su tre appoggi con carico distribuito uniforme

L LAC

B

YA YBYC

Y Y q L M Mq L

fq L

E I

M

A B A B c

C

= = ⋅ = = − ⋅ = ⋅⋅ ⋅

= −

2 12 384

2 4

qq L⋅ 2

24

Y Q

Y Q Mq L

A

B A

= ⋅

= ⋅ = − ⋅

58

38 8

2

Y Y q L

Y q L Mq L

A B

C C

= = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = − ⋅

38

108 8

2