/

Försök till o» matheiaatisk TTJaeorie

fös.» ilci

Tlaeriiiometriska töaltset.

Akademisk Afhandling,med Yidtberömda Philosophiska Fakultetens i Upsala

samtycke,

under inseende af

«äg. ANDERS JONAS ÅNGSTRÖMAstronomie Observatör,

v*

lör Philosophiska Gradens erhållande

utgifven afPEHR MAGNUSNORDMARCK

af Vestmanlands och Dala Landskapv* v

och till offentlig granskning framställd

på Astronomiska Lärosalen den 7:de Juni 1848

p. v. t. f. m.

la

UPSALAWAHLSTRÖM Ä C.

Försök till en mathematisk Theorieför det

Thermometriska Yärmet.

Ignem regunl numeri.»LATO.

Inledning.De vigtiga upptäckter, hvarmed Värmeläran på seduare tider blifvit riktad,synas mer ocli mer ådagaläggga den dynamiska åsigtens företräde, hvilkenanser Värmet för en materien inneboende eller meddelad rörelse. Vibrations¬theorien, hvilken hittills visat sig såsom den enda tillfredsställande förkla¬ringsgrunden för ljusets fenomener, måste således äfven äga tillämpning påvärmets5 och i sjelfva verket finnas en mängd med ljuset analoga och blottutur vibrationstheorien förklarliga fenomener, såsom linear, circulär och el-liptisk Polarisation, Dep olarisation, Absorption, Diffusion o. s.v., hvilka talafor ett sådant antagande. Detta gäller dock blott om det strålande värmet— sådant det fortplantar sig in vacuo och i diathermana kroppar —, hvarsidentitet med ljuset en nyligen anställd undersökning af Melloni dessutomsöker sätta utom allt tvifvel, och icke om det thermometriska, som lyder heltandra lagar, och der andra med dem förknippade fenomener tillkomma, hvilkavid första påseende icke tyckas hemta sin förklaring utur ifrågavarande theori.Väl kan man säga, att detta äfven gäller i lika hög grad om glödgnings-fenomenet, hvilket i det thermometriska värmet har sin fulla motsvarighet, menman har, så väl i Värmeläran som Optiken, i synnerhet fästat sin uppmärk¬samhet vid de former, hvarunder ljus och värme vanligen förekomma och

uppfattas af våra yttre organer, samt äfven tagit dessa till utgångspunktervid uppgörandet af Lådas theorier. Detta är väl också orsaken, hvarföre,förf. velerligt, ännu icke något försök i analytisk väg *) blifvit publiceradt,att utur Vibrationstheorien deducera lagarne för det thermometriska värmet.Alla, hvilka i mer eller mindre mån bearbetat värmets mathematiska theorie,hafva utgått från förutsättningen af dess matérialitéj och den stora utvecklingtheorien härunder vunnit, kan i många fall sägas mera hafva kommit analy¬sen till godo än erfarenheten, med hvilken den hittills haft få och ofullstän¬diga beröringspunkter. Det första fullständigare försök att i mathematisktspråk uppfatta lagarne för värmets fenomener tillhör Lambert, som i sinPyrometrie behandlat flere hithörande problemer. Bi o t var emellertid den,som först uppgaf differential-equationer för värmefortplantningen, och utgickdervid från den Newtonska eller Richmanska afkylnings.-lagen. Dessa equa-tioners integrering under finit form, likväl blott i ett specielt fall, nemligenför en metallstång, tillhör Laplace. Ifrån samma antagande som Biot ochunder förutsättning, att värmet vore ett fluidum, som uniformt utbreder siggenom kroppen, utgick äfven Fourier i sin Theorie analytique de la Clia-leur$ ett arbete, som på en gång befordrat de physiska och mathematiskavetenskaperne, det sednare isynnerhet genom den utsträckning, han der gifvitmethoden af differential-equationers integrering medelst exponential-functioner,äfvensom genom införandet af den efter honom uppkallade Fourierska for-

*) I en skrifvelse till Libri, införd i Peggendorffs Annal. äfvensom i Comt«Rendu for 1859, antager Caticby värmet bestå i eiherns longitudinella vibrationer, mennågon detaljerad framställning bäraf känner förf. icke. Emellertid torde denna åsigt svår¬ligen låta förena sig med det thermometriska värmets kända egenskaper, fortplantnings-sätt o. s. v. — Delta hvad den mathematiska behandlingen af frågan vidkommer; för öf-rigt hafva Baco, Neu ton, Rumford, Da vy, Young, Ampere, Lame o. s. y. allaansett värmet, beslå i rörelse, vare sig hos partiklarne sjelfva eller ett eget värmefluidum.Ett sådant nödgas man väl alltid antaga för strålningen in vauco, men man har redanett sådant medium gifvet i ethern. Den enda svårighet, som härvid möter, är förklarin¬gen af Dispersions-fenomenerna, men denna försvinner till största delen, om Melloni's å-sigt vinner bekräftelse, att ljus, värme och kemisk verksamhet tillkomma hvarje stråle isolspeetrura, och detsamma icke, såsom man af föregående undersökningar ansett sig be¬rättigad att sluta, består af 3:ue sinsemellan oberoende spectra.

3

mein, hvilken Liouville1) sedermera visat i sig implicite innefatta alla möj¬liga sätt att, medelst serier af sinus och eosinus för bågar proportionella motden variabla, uttrycka en gifven function. De constanter Fouriers Theorieinnehålla äro ledningsförmåga, specifikt värme samt strålningsförmåga lios y-tan, hvars equation också först af honom blifvit uppgifven. Dulong's ochPetit's undersökningar hade emellertid visat den Newtonska lagens origtig-het, hvarföre den äfven af Poisson förkastades såsom basis för en theorieji stället antog han såsom utgångspunkt en så kallad molcculärstrålning ä), el¬ler en värmefortplantning emellan materiens minsta delar fullt analog medden, som enligt Prévost'ska theorien egcr rum emellan kroppar på afståndifrån hvarandra. Genom detta anlagande vann theorien mera enhet och sam¬manhang, men den erhöll tillika en mera bestämd karaktär och måste —hvad icke egentligen är händelsen med den Fourierska — stå och falla medden materialistiska uppfattningen af värmet. För ötrigt bestå Poissons för-tjenster af värmets theorie hufvudsakligen i en generellare uppfattning af deproblemer, Fourier behandlat, och dessas utsträckande äfven till heterogenakroppar, en strängare deduclion af ytans equation o. s. v.5 livartill han äf¬ven lade ett nytt problem, nemligen värmets öfvergång från olika kropparvid contact, och antog för detta fall ännu en fjerde constant utom de Fou¬rierska. Till sednare undersökningar höra de af Duhamel? Sturm, Ostro-gadsky, Lame, Liouville, Thomson, Bertrand, Bonnet3), m. fl.Den förste har behandlat värmets fortplantning i en metallstång under förut¬sättning af olika ledningsförmåga i olika riktningar och i en sednare afhand-ling infört de correctioner, som differential-equationerna för värmefortplant-

*) Journ. d. matli. pures et appl. i:er année, p. 18.») Laplace framställde först denna hypothés och visade dess användbarhet vid

finnandet af differential-equationer för värmefortplantningen; Memoires de VInstitut, An-nöe 1809, p. 552.

3) Alla dessa författares, undersökningar äro, med undanlag af Osfrogadsky's ochThomson's, införda i de sista argängarne af Memoires de V Institut, Journal de VEcolepolytechn. samt Journal de Math. Pures et Appl. par Liouville. Ostrogadsky's afhand-ling finnes i Pet. Acad:s H. och Thomsons flera uppsatser i The Cambridge math. Journal.

4

ningen undergå, då man gör afseende på volums-fö ränd ringen, samt visat o-rigtiglieten af det vanliga antagandet att låta det specifika värmet, som ingåri dessa differential-equationer, bli identiskt med det under constant pression,emedan de moleculära krafterna, följaktligen äfven pression, förändras medvolumen. Sturm ') bar utförligt undersökt egenskaperna bos rötterna tillden transcendenta equation, som man erhåller utur ytans equation. — Dekroppar, man förut behandlat, voro sferen, parallellipipeden och cylindern,till dessa lade Ostrogadsky prismat med likbent triangulär bas och Lamedet, hvars bas är en liksidig triangel. Dessutom är Lames undersökningom isotherma ytor, hvilken med framgång blifvit vidare fortsatt af Thom¬son, Bertrand m. fl., af stort intresse för den mathematiska analysen,hvilken derigenom vunnit i utbildning.

Oaktadt sålunda de fleste af Frankrikes utmärkte mathematici i mer el¬ler mindre mån bearbetat denna theorie, är den likväl dels otillfredsställande,dels motsägande många de enklaste företeelserna inom verkligheten. Så kanden icke förklara uppkomsten af värme genom friction, af olika värmesorteroch öfriga med ljuset gemensamma fenomener, värmels aftagande i dåligavärmeledare, krystaliernas dilationer, Leidenfrostska fenomenet o. s. v. Att

J) Lagen för värmefortplantningen i f. ex. en metallstång kan sättas under formenVe , hvarest U är en trigonometrisk function af coordinaterna, och parametern r = röt¬terna till en transcedent equation, hvilken bestämmes af equat. for ytan. Fourier vi¬sade genom geometrisk eonstruclion och Poisson på analytisk väg, att alla dessa rötteräro reella, men deras öfriga egenskaper hafva först blifvit utredda af Sturm, hvilkenbevisat, att de alla äro jakade och ega olika värde, samt att om de rangeras efter derasinbördes storlek, sä kommer, för n:te roten, U att (n—1) gånger vexla tecken ifrånden ena ändan af stången till den andra. Om det ocksä medgifves, att en serie af ter¬mer 2Uae~'nt kan med all erforderlig nogrannhet återgifva värmets primitiva utbredninginom den ifrågavarande kroppen, sä är det likväl omöjligt alt i sjelfva fenomenerna upp¬söka något, som motsvarar hvar och en af dessa termer, såsom f. ex. förhållandet ärmed de partiella integraler, som man erhåller för etherns och luftens vågrörelser. D«kunna uerföre icke heller anses såsom uttryck på olika värmesorter. Det är likväl tyd¬ligt, att om man antager strålningen såsom den gemensamma förklaringsgrunden för värme-fortplantningen emellan och innotn värmeledande kroppar, så måste, då erfarenheten ove-dershgligen ådagalägger tillvaron af olika värmesorter i det första fallet, desamma äfvenkunna uppvisas i det sednare, om theorien annars är riktig.

5

Üfven svårigheter möta vid dessa fenomeners förklaring utur vibrations-theo-rien, vill författaren icke neka, han tror dock, att dessa mera bero på ana¬lysens otillräcklighet, och skola med dess utveckling besegras, än på någoninre motsägelse emellan denna theori ocli de fenomener, den har att förklara.Att emellertid författaren, i den följande undersökningen om det thermome-triska värmet, hufvudsakligen inskränkt sin behandling till de enklaste feno-menerna inom värmeläran, och i första rummet behandlat det problem, sommotsvarar plana ljus- och värme-vågors fortplantning, samt sedan öfvergåtttill en generellare Solution af problemet, har skett, dels med beräkning afegna krafter, dels också af öfverlygelse, att frågans generella lösning förstdå kan vara af värde, när man i speciella fall öfvertygat sig om sjelfva prin¬cipens riktighet.

A. Tliermo-statik.

1.Om man söker de partiella differential-equationér, som framställa lagarne

för ett medii vibratoriska rörelser, så erbjuda sig dervid 2:ne olika sätt attbetrakta materien: antingen kan man anse densamma för ett continuum, enåsigt från hvilken Na vi er först utgick vid deduction af hithörande equatio-ner; eller också kan man antaga densamma bestå af skiljda delar, moleculer,sinsemellan förenade genom samverkan af attractiva och repulsiva krafter,ett antagande, som af Poisson och Cauchy först blifvit underslaget kal¬kylen. Afser man blott sådana vågrörelser, som hos ett medium motsvaraljudet, kan det i det hela vara likgiltigt från hvilkendera af dessa båda åsig-ter man utgår, emedan i dessa fall våglängderna alltid äro att betrakta så¬som stora i förhållande till moleculernas distancér; är det åter fråga om deoscillationsrörelser hos ett medium, livilka motsvara ljus och värme, synesblott det sednare antagandet, livilket förf. derföre laggt till grund för sinundersökning, kunna lemna riktiga resultater.

Möjligheten af en inathemalisk behandling af det thermometriska värmetförutsätter alltid mer eller mindre hypothetiska antaganden om värmets na-

6

turliga beskaffenhet, på samma gång framgången af denna behandling ytterstberor på riktigheten af de grunder man antagit. Deraf nödvändigheten att,vid dessa grunders uppställande, så mycket som möjligt rådfråga erfaren¬heten. En första ledning erbjuder sig dervid sjelfmant i det naturliga sam¬band, som eger rum mellan det strålande och det thermömetriska värmet.Det strålande värmet måste nemligen bestå i transversala vibrationer hosethern, men dessa vibrations-rörelser tillika vara beroende af den inverkan,kroppens egna moieeuler utöfva på etlierpartiklarne. Emellertid har Caucliy ')visat, att equatt. för dessa rörelser bibehålla sin lineära form med constantacoefficienter äfven i detta fall, blott att de summor som ingå i värdet på deconstanta coeflicienterna återtaga samma periodiska värden, när man låtercoordinaterna variera i en arithmetisk progression. Mediets inverkan påetherns rörelse reducerar sig således till: t:o en constant förändring af våg¬längden och hastigheten, 2:o en med afståndet fortgående förminskning afvibrations-amplituden. Denna förminskning är hvad man vanligen kallar Ab¬sorption. Den kan emellertid icke ega rum utan att kroppens egna partiklarderigenom försättas i rörelse, och värmet öfvergår på detta sätt till thermo-metriskt. Eller med andra ord: erfarenheten visar, att det strålande värmetabsorberas, då det genomgår en mer eller mindre atherinan kropp, och attdensamma dervid upphettas 5 består nu det strålande värmet i etherns våg¬rörelser och dessa rörelser hämmas genom kroppens molecnlära inverkan, såmåste, enligt lagen för "lefvande krafter", moleculerna sjelfva försättas i rö¬relse. Dermed är visserligen icke bevisadt, att dessa rörelser nödvändigtskola utgöra det thermömetriska värmet, men då å ena sidan desamma ärode enda förändringar, man med skäl kan tänka sig uppkomma genom ethernsrörelse, och då å andra sidan ethern sjelf icke, enligt hvad experimenternagifva vid handen, kan vara ett substrat för de thermömetriska fenomenerna,»å blir man tvungen till ett sådant antagande. Att det thermömetriska värmeticke kan vara en modilication af etherns rörelse, bevisa i första rummet devackra försök, Melloni2) anställt öfver värmets Diffusion. Om man nemligen

') Exercices d'Analyse et de pltysiqne in a thétn a tujue, 2 & 5 livraisons par Caucby.2) Jfr Pogg, Anualen der PIj. u. Ch. T. L1I. p. A28.

7

låter solbilden genom en öppning falla på en allierman kropp, f. ex. en vägg*så uppkomma på den belysta fläcken 2:ne slag af värme: l:o det diffusa,hvilket är fullkomligt likartadt med det infallande, ocb upphör ögonblickligt,då solljuset utestänges, samt är sålunda fullkomligt, analogt med en kroppsfärg5 2:o det thermometriska, af egendomlig beskaffenhet, så att det f. ex.icke förmår att genomtränga glas, och upphör blott småningom, då solbil-den aflägsnas. Lägges nu härtill, att det thermometriska värmet alltid harinflytande på partiklarnes relativa läge — genom förändring af volum ochaggregationsform — samt att orsak och verkan alltid här ömsesidigt be¬stämma hvarandra, under det att det strålande värmet icke står i något kändtsamband med de moleculära fenomenerna, så vinner detta antagande ännustörre sannolikhet. Dessutom måste, vid den dynamiska uppfattningen afvärmet, ledningsförmågan alltid vara en function af det värmeledande medietsegen elasticitet, delta medium må nu vara kroppens egna moleculer ellerethern 5 i sednare fallet måste äfven de riktningar hvari ledningsförmågan ärstörst eller minst sammanfalla med de optiska eller thermiska elasticitets-axlarne. Detta är emellertid ingalunda händelsen med värmefortplantnin¬gen i Gipsen1), hvarest dessa riktningar tvärtom sammanfalla med dem,hvari, enligt akustiska försök, krystallen sjelf eger sin största och minstaelasticitet.

*) M. de Senarmont skaffade sig runda skifvor af Quartz, Kalkspath och Gips (de2:ne första skurna parallell med med krystallaxeln), och upphettade dem från medelpunk¬ten, sedan de först blifvit öfverstrukna med ett tunnt lager af vax. »Gränsen af detsmälta vaxet bildade vid upphettningen en isotliermisk kroklinea af elliptisk form, för¬hållandet mellan dess axlar uppmättes, och var för de 5:ne krystallerna i ordning lika med

1,51, 1,12, 1,25.För både Quartz och Kalkspath inträffade krokliniens större axel med krystallens hufvud-axel — i så väl akustiskt som optiskt hänseende äro, som bekant är, likväl dessa bådahrystaller hvarandra motsatta —5 för . Gips åter bildade den större axeln en vinkel af34° med optiska axlarncs halfveringslinea (minsta elasticitets-axeln). Denna riktningsammanfaller tillika fullkomligt med den, hvari Gipsens elasticitet i akustiskt hänseendeär störst, enligt de försök, som af förf. blifvit anställda öfver denna krystalls klang¬figurer.

8

2.

Antages derföre, på grund af det föregående, det therm ometriska vär¬met bestå i oscillations-rörelser hos kroppens minsta delar, så uppstår denvigtiga frågan: hurudan är den vibrations-rörelse hos mediet beskaffad, somutgör och bestämmer det thermometriska värmet? För att närmare insedetta, så låt

Itt mf(r)beteckna lagen för 2:ne moleculers inbördes attraction, deri tillika inbegripenden modification, som ethern möjligen kan åstadkomma i densamma1).

Låt coordinaterna för moleculen Ht vara x, y9 z9 coordinaterna för enangränsande molecul m

x + Aar, y + mj9 z + Az;

man får då för radius vector r dragen från Ht till mr* = a*8 + a*/* + Az8.

') Att närmare bestämma functionsformen för etherns inverkan, är och blir troligenomöjligt. Ampere, hvilken lika med förf. antager det thermometriska värmet bestå imoleculära rörelser, anser dessa fortplanta sig genom sjelfva ethern på sä sätt, att enmolecul sätter den omgifvande ethern i rörelse, och denna sedan de ngränsande par-tiklarne; men detta strider emot det factum, att metallerna, bvilka bafva den störstaledningsförmågan för värmet, ändock hafva den minsta strålningsförmågan och såledesminst förmå att sätta ethern i rörelse, äfvensom att ledningsförmågan,' troligen helt ochhållet, saknas hos gaserna. Med större skäl kunde man anse moleculernas oscillationeranaloga med en pendels i ett resisterande medium, till följe af etherns, efter all sanno¬likhet, oändligt finare fördelning. Enligt ett öfverslag af Gauchy (Sur la dispers. de lalumiere p. 195) är, om Q = antalet af etberpartiklar innom en kubikmeter, d = antaletaf ponderabla inom samma volum, h = 2:ne etherpartiklars repulsion på en meters af-itånd, g = attraction mellan c2:ne af kroppens moleculer på samma afstånd

p 15 q~ = G2448 .10 . ^ .d h

Antages nu h till storlek lika eller jemförlig med g9 så måste samma volum, som inrym¬mer blott några få ponderabla, inrymma tusendetal af mill. etberpartiklar.