Sadrzaj

1 Fizika i merenja 111.1 Standardi duzine, mase i vremena . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Struktura materija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Gustina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Dimenziona analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Procena reda velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Znacajne cifre. Zaokruzivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Kinematika 212.1 Kinematika jednodimenzionalnog kretanja . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Putanja, put i pomeraj . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Vektori i skalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Vreme i brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem . . . 252.2.3 Slobodni pad tela u gravitacionom polju . . . . . . . . 26

2.3 Kinematika kretanja u dve dimenzije . . . . . . . . . . . . . . 272.3.1 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Sabiranje brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Relativne brzine i klasicna relativnost . . . . . . . . . 31

2.4 Kinematika rotacionog kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Ugao rotacije i ugaona brzina . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Centripetalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Dinamika 373.1 Sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Njutnovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

2 SADRZAJ

3.2.1 Prvi Njutnov zakon. Masa. . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Drugi Njutnov zakon. Pojam sistema. . . . . . . . . . 393.2.3 Treci Njutnov zakon. Simetrija. . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Tezina, sila trenja, sila zatezanja . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1 Tezina i gravitaciona sila . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2 Trenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3 Sila zatezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Osnovne sile u prirodi i njihovo ujedinjavanje . . . . . . . . . 463.4.1 Delovanje na daljinu. Koncept polja . . . . . . . . . . 47

3.5 Statika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.1 Uslovi ravnoteze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.2 Centar masa. Teziste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5.3 Ravnoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.4 Jednostavne masine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Rad, energija, snaga 554.1 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3 Potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.1 Konzervativne sile i potencijalna energija . . . . . . . 604.3.2 Nekonzervativne sile, otvoreni sistemi . . . . . . . . . 60

4.4 Zakon odrzanja energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.1 Rad, energija i snaga ljudi. Efikasnost . . . . . . . . . 634.6 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.1 Impuls i Drugi Njutnov zakon . . . . . . . . . . . . . . 654.6.2 Zakon odrzanja impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Gravitacija 695.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Zavisnost ubrzanja Zemljine teze od visine . . . . . . . 715.1.2 Plima i oseka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Keplerovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Bestezinsko stanje i uticaj na biosisteme . . . . . . . . . . . . 745.4 Sile kod krivolinijskog kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5 Kosmicke brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5.1 Prva kosmicka brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5.2 Druga kosmicka brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

SADRZAJ 3

5.5.3 Ostale kosmicke brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Elementi mehanike fluida 796.1 Statika fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.1.1 Gustina i pritisak fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.1.2 Promena pritiska sa dubinom fluida . . . . . . . . . . 816.1.3 Paskalov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.1.4 Kalibracija, apsolutni pritisak i merenje pritiska . . . 836.1.5 Arhimedov princip, sila potiska . . . . . . . . . . . . . 856.1.6 Kohezija i adhezija u tecnostima. Povrsinski napon . . 876.1.7 Adhezija i kapilarne pojave . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.8 Pritisci u ljudskom telu i njihovo merenje . . . . . . . 91

6.2 Dinamika fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2.1 Veza protoka i brzine strujanja . . . . . . . . . . . . . 936.2.2 Jednacina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2.3 Bernulijeva jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.4 Bernulijev princip i njegove primene . . . . . . . . . . 956.2.5 Viskoznost i laminarno strujanje. Poazejev zakon . . . 976.2.6 Kriterijum za odredivanje karaktera strujanja fluida . 1006.2.7 Kretanje tela kroz viskozan fluid . . . . . . . . . . . . 1006.2.8 Molekularni transportni procesi. Difuzija i osmoza . . 101

6.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Termofizika 1057.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1 Temperaturne skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.1.2 Toplotna ravnoteza i Nulti zakon termodinamike . . . 106

7.2 Toplotno sirenje cvrstih tela i tecnosti . . . . . . . . . . . . . 1077.3 Gasni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3.1 Avogadrov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4 Kineticka teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4.1 Molekularno objasnjenje pritiska i temperature . . . . 1107.4.2 Maksvelova raspodela molekula po brzinama . . . . . 112

7.5 Fazne transformacije i fazni dijagrami . . . . . . . . . . . . . 1137.5.1 Ravnoteza faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.5.2 Pritisak pare, parcijalni pritisak, Daltonov zakon . . . 116

7.6 Vlaznost, isparavanje i kljucanje . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7 Toplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.8 Promena temperature i specificna toplota . . . . . . . . . . . 119

4 SADRZAJ

7.9 Fazne transformacije i latentna toplota . . . . . . . . . . . . . 1207.10 Prenosenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.10.1 Provodenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.10.2 Konvekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.10.3 Zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.10.4 Efekat staklene baste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.11 Elementi termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.11.1 Prvi zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.11.2 Metabolizam ljudskog organizma i Prvi zakon termod-

inamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.11.3 Prvi zakon termodinamike i neki jednostavni procesi . 1307.11.4 Drugi zakon termodinamike. Toplotne masine i nji-

hova efikasnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.11.5 Karnoova idealna toplotna masina . . . . . . . . . . . 1347.11.6 Toplotne pumpe i frizideri . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.11.7 Entropija i Drugi zakon termodinamike. Neuredenost

sistema i upotrebljivost energije . . . . . . . . . . . . . 1367.11.8 Statisticka interpretacija entropije i Drugi zakon ter-

modinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.12 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8 Oscilacije 1458.1 Hukov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2 Period i frekvencija oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.3 Prosto harmonijsko kretanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.4 Prosto klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.5 Energija prostog harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . 1498.6 Veza sa uniformnim kretanjem po kruznici . . . . . . . . . . . 1508.7 Priguseno harmonijsko kretanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.8 Prinudno oscilovanje, rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9 Talasi 1559.1 Opisivanje talasnog kretanja. Transverzalni i longitudinalni

talasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.2 Superpozicija i interferencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2.1 Stojeci talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.2.2 Izbijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

9.3 Energija talasa. Intenzitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.4 Akustika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

SADRZAJ 5

9.4.1 Zvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.4.2 Brzina zvuka, frekvencija i talasna duzina . . . . . . . 1629.4.3 Intenzitet i nivo zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.4.4 Doplerov efekat i udarni talasi . . . . . . . . . . . . . 1649.4.5 Intereferencija i rezonanca zvucnih talasa. Stojeci ta-

lasi u vazdusnim stubovima . . . . . . . . . . . . . . . 1679.4.6 Spektar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.4.7 Culo govora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.4.8 Culo sluha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.4.9 Ultrazvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10 Elektricne pojave 17710.1 Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.1.1 Naelektrisanja, elektroni i protoni . . . . . . . . . . . 17810.1.2 Razdvajanje naelektrisanja . . . . . . . . . . . . . . . 17810.1.3 Provodnici i izolatori. Nacini naelektrisanja tela . . . 17910.1.4 Kulonov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.1.5 Elektricno polje. Linije elektricnog polja . . . . . . . . 18110.1.6 Provodnici i elektricno polje u stanju staticke ravnoteze18310.1.7 Primene elektrostatickih pojava za preciscavanje dima

i vazduha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.1.8 Elektricni potencijal i energija . . . . . . . . . . . . . 18610.1.9 Kondenzatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.2 Elektricna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19210.2.1 Jacina elektricne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . 19210.2.2 Omov zakon za prosta kola . . . . . . . . . . . . . . . 19410.2.3 Otpornost i njena temperaturna zavisnost . . . . . . . 19610.2.4 Elektricna snaga i energija . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.2.5 Naizmenicna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19810.2.6 Opasnost od struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20010.2.7 Nervni impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11 Magnetne pojave 20711.1 Magneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.1.1 Feromagneti i elektromagneti. Elementarne struje . . 20811.1.2 Linije magnetnog polja. Vektor magnetne indukcije . . 21011.1.3 Vektor magnetne indukcije i sila kojom magnetno polje

deluje na naelektrisanje u kretanju . . . . . . . . . . . 210

6 SADRZAJ

11.1.4 Lorencova sila: primeri i primene . . . . . . . . . . . . 21111.1.5 Delovanje magnetnog polja na provodnik kroz koji

protice struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21411.1.6 Magnetno polje strujnog provodnika . . . . . . . . . . 21511.1.7 Magnetna interakcija dva paralelna provodnika . . . . 21511.1.8 Primene magnetizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21611.1.9 Elektromagnetna indukcija . . . . . . . . . . . . . . . 21711.1.10Energija magnetnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.1.11Oscilacije u elektricnim kolima . . . . . . . . . . . . . 222

11.2 Elektromagnetni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.2.1 Maksvelove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.2.2 Generisanje elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . 22511.2.3 Spektar elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . 22611.2.4 Energija elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . 231

11.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

12 Optika 23312.1 Geometrijska optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.1.1 Zakoni geometrijske optike. Odbijanje i prelamanje . . 23312.1.2 Totalna unutrasnja refleksija . . . . . . . . . . . . . . 23512.1.3 Disperzija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23612.1.4 Sociva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23812.1.5 Ogledala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24212.1.6 Opticki mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24412.1.7 Ljudsko oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.1.8 Boje i ljudsko oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

12.2 Talasna optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.2.1 Hajgensov princip. Difrakcija . . . . . . . . . . . . . . 24812.2.2 Jangov eksperiment sa dva proreza . . . . . . . . . . . 25012.2.3 Difrakcija na vise proreza i difrakcija na jednom prorezu25212.2.4 Ogranicenje uvecanja. Rejlijev kriterijum . . . . . . . 254

12.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

13 Fizicke pojave u mikrosvetu 25713.1 Kvantovanje energije i fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

13.1.1 Fotoelektricni efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25813.1.2 Impuls fotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26013.1.3 Talasna priroda materije . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

13.2 Modeli atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.2.1 Otkrice atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

SADRZAJ 7

13.2.2 Otkrice elektrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26413.2.3 Otkrice jezgra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26613.2.4 Borova teorija atoma vodonika . . . . . . . . . . . . . 26813.2.5 Talasna priroda materije i kvantovanje . . . . . . . . . 271

13.3 Radioaktivnost i nuklearna fizika . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.3.1 Nuklearna radioaktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.3.2 Substruktura jezgra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

13.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Glava 1

Fizika i merenja

Kao i druge nauke, fizika ima za osnovu rezultate eksperimenatalnih pos-matranja i kvantitativnih merenja. Glavni cilj fizike je da nadje konancanbroj fundamentalnih zakona kojima se mogu opisati prirodne pojave i koji semogu iskoristiti za razvoj teorija koje mogu da predvide rezultate buduciheksperimenata. Fundamentalni zakoni koje koristimo u razvoju teorija seizrazavaju jezikom matematike koja predstavlja svojevrstan most izmedjuteorije i eksperimenta.

Kada se pojavi razlika izmedju teorije i rezultata eksperimenata, to znacida treba formulisati novu teoriju koja ce prevazici uoceni nesklad.1

Klasicnom fizikom se nazivaju teorije, koncepti, zakoni i eksperimenti uklasicnoj mehanici, termodinamici i elektromagnetizmu razvijeni do 1900.godine.

Vazan doprinos klasicnoj fizici dao je Njutn razvivsi klasicnu mehanikukao sistematsku teoriju davsi takodje znacajan doprinos formulisanju i razvojudiferencijalnog racuna u matematici. Snazan razvoj mehanike je nastavljeni u 18. veku dok polja termodinamike, elektriciteta i magnetizma nisu bilerazvijene sve do drugog dela 19. veka, u najvecoj meri zbog nerazvijenostiodgovarajuce eksperimentalne tehnike.

1Obicno teorije vaze samo odredjenim uslovima, opstije teorije vaze bez ogranicenja ilipak sa manjim ogranicenjima. Na primer, zakoni dinamike koje je otkrio Isak Njutn (1642-1721) u 17. veku, veoma precizno opisuju kretanje relativno velikih tela, relativno malimbrzinama. Drugim recima ukoliko se ta teorija koristi za opisivanje relativno malih tela(velicine atoma) ili tela koja se krecu relativno brzo (brzinama bliskim brzini svetlosti),dace pogresne rezultate. Ispostavilo se da postoje dve opstije teorije koje su generalnije odNjutnove. U slucaju kretanja tela brzinama bliskim brzinama svetlosti preciznija teorijaje specijalna teorija relativnosti a procese unutar atoma opisujemo kvatnom mehanikom.Postoji i teorija koja objedinjuje ove dve pod nazivom kvantna teorija polja.

9

10 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

Nova era u fizici, poznata kao moderna fizika, pocela je krajem 19. veka.Ona se razvila tako sto se pojavio niz fizickih fenomena koji nisu mogli bitiobjasnjeni klasicnom fizikom. Dva osnovna pravca u razvoju moderne fizikesu Ajnstajnova teorija relativnosti i kvantna mehanika. Teorija relativnostipredstavlja revoluciju u shvatanju prostora, vremena i energije. Kvantnumehaniku je razvilo vise naucnika2

Dalji razvoj fizike je doveo do poboljsanja razumevanja prirodnih fenom-ena i zakona kojima se oni pokoravaju. U mnogim oblastima istrazivanja ufizici se doslo do velikih preklapanja sa drugim naukama: hemijom, biologi-jom, geologijom kao i tehnikom.3

1.1 Standardi duzine, mase i vremena

Zakoni fizike se zapisuju formulama u kojima figurisu osnovne fizicke velicine.Iz tog razloga se njihovom jasnom definisanju mora posvetit duzna paznja.U mehanici postoje tri osnovne fizicke velicine: duzina (l), masa (m) i vreme(t). Sve ostale fizicke velicine koje se pojavljuju u mehanici se mogu izrazitipomocu njih.

Ukoliko smo neku od ovih fizickih velicina na neki nacin merili veomaje vazno kako cemo prikazati rezultate tih merenja.4 Naime, u tom slucajudolazimo do pojma standarda date fizicke velicine koji moraju biti defin-isani.5

Kada se izabere standard on mora biti lako dostupan i da poseduje karak-

2Znacjan doprinos postavljanju osnova kvantne mehanike je, nakon sto je Plank dosaona ideju o postojanju kvanata svetlosti-fotona, dao Ajnstajn tumacenjem fenomena fo-toefekta na osnovu interakcije elektrona sa fotonima. Za ovaj rezultat je dobio Nobelovunagradu 1921. godine.

3Neke od oblasti su: veliki broj kosmickih letova i sletanje na Mesec, snazan razvoj uoblasti fizike cvrstog stanja i kvantne mehanike koji je doveo do velikog napretka u oblastikompjuterske tehnike, sofisticirane dijagnosticke metode koje se primenjuju u naucnimistrazivanjima i u medicini, ...

4Potrebu za merenjima i predstavljanjem njihovih rezultata najbolje ilustruje izjava:”Kada mozete da merite ono o cemu govorite, i izrazite to u brojevima, tada o tome nestoznate. A kada ne mozete da ga izrazite u brojevima, vase znanje je mrsavo i nezadovol-javajuce. To moze biti pocetak znanja, ali tesko da ste napredovali do stanja nauke.” -Lord Kelvin (1824-1907.).

5Besmisleno je na primer, ako bi hipoteticki posetilac sa neke druge planete, opisujucinam svoj svet rekao kako je njegova kuca visoka 8 ”necega” pri cemu mi ne znamo kakavje smisao tog ”necega”. Sa druge strane kada neko ko poznaje nas sistem merenja kaze daje zid visok 2 metra a nasa jednica je 1 metar, tada mi znamo je visina zida dva puta vecaod nase osnovne jedinice duzine. Slicno, ako je masa neke osobe 75 kilograma a jedinicamase je 1 kilogram, to znaci da je osoba 75 puta masivnija od nase osnovne jedinice mase.

1.1. STANDARDI DUZINE, MASE I VREMENA 11

teristike koje mogu pouzdano da se mere tako da merenja koja razliciti ljudivrse na razlicitim mestima mora da daju isti rezultat.6

Medjunarodni komitet je 1960. godine ustanovio skup standarda duzine,mase i ostalih osnovnih velicina.7 Sistem koji je ustanovljen je nastao nabazi postojeceg metrickog MKS sistema8 i naziva se SI sistem jedninica.9 Utom sistemu, jedinice duzine, mase i vremena su metar, kilogram i sekunda,respektivno. Drugi SI standardi koje je ustanovio komitet su za temperaturu(kelvin), elekricnu struju (amper), jacinu svetlosti (kandela) i za kolicinusupstance (mol).

1.1.1 Duzina

Potreba za postojanjem standarda je prilicno stara. Prvi zvanicno usvojenstandard duzine je egipatski kraljevski kubit koji je bio jednak duzini pod-laktice od lakta do vrha ispruzenog srednjeg prsta vladajuceg faraona.10 Naprimer, leta gospodnjeg 1120. kralj Engleske Henri I je odlucio da za stan-dard duzine u njegovoj zemlji proglasi yard koji je bio jednak rastojanju odvrha njegovog nosa do kraja njegove ispruzene ruke. Obzirom na takav trenduvodjenja standarda, prirodno je da je krajem 17. veka u Francuskoj, origi-nalni standard za stopu definisan kao duzina stope kralja Luja XIV.11 Ovajstandard je odolevao sve do 1799. godine kada je u Francuskoj standardduzine postao metar, definisan kao jedan desetomilioniti deo od ekvatora doSevernog Pola duz posebne longitudinalne linije koja je prolazila kroz Pariz.Sa vremenom su razvijeni i drugi standardi za merenje duzine, ali se Fran-cuski pokazao kao najbolji i usled toga bio prihvacen u vecini zemalja i skoro

6Poznat je slucaj pada MCO-a (Mars Climate Orbiter) lansiranog 11. decembra 1998.godine, koji je imao misiju da prati klimu i oblake na Marsu. Ova sonda je umesto daorbitira oko Marsa pala na njega 23. septembra 1999. godine, jer je prisla na 57 kilometara,sto je bilo previse blizu ”crvenoj planeti” (relativno prosti proracuni pokazuju da bezbednaudaljenost iznosi 80 kilometara). Razlog je bio taj sto je softver i unutrasnjost raketnogsistema dizajnirala i izgradila jedna grupa inzenjera (Lockheed Martin) koja je koristilaengleske jedinice dok je taj softver (za navodenje MCO satelita), koristio drugi tim izdruge institucije (Jet Propulsion Laboratory) koji je u svom radu upotrebljavao SI sistem.

7Kod nas je ovaj sistem jedini vazeci od 1980. godine.8Skracenica MKS potice od prvih slova reci Metar-Kilogram-Sekunda.9Oznaka SI je skracenica od francuskog imena sistema Systeme Internationale.

10Postojao je takozvani primarni standard koji je bio izradjen od crnog granita a usvakodnevnoj upotrebi su bile kopije izradjene od drveta ili obicnog kamena. Svaki takavstap je, prema naredbi faraona, morao da se svakog meseca uporedjuje sa primarnim podpretnjom surovih kazni.

11Ovime je obezbedjena reproduktivnost standarda duzine, makar u Francuskoj jerfrancuzi nisu mogli da cekaju da kralj Engleske preplovi La Mans da bi izmerili rastojanjeod vrha (njegovog) nosa do kraja (njegove) ispruzene ruke.

12 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

svim naucnim krugovima. Kada je 1960. godine metar usvojen za standardduzine, dobio je izmenjenu definiciju preko rastojanja dvaju zareza na poluziod platine i iridijuma koja je cuvana u kontrolisanim uslovima u Francuskoj.Ovaj standard je napusten iz vise razloga a glavni je sto preciznost odred-jivanja rastojanja ovih zareza nije zadovoljavala potrebe savremene naukei tehnike. Usled toga je metar definisan kao 1 650 763,73 talasnih duzinanarandzasto-crvene svetlosti koju emituje lampa sa kriptonom-86. Medju-tim, u oktobru 1983. godine metar (m) je redefinisan kao rastojanjekoje predje svetlost u vakuumu za 1/299 792 458 sekundi.12

Duzina (m)Rastojanje od Zemlje do najdaljeg poznatog kvazara 1, 4× 1026

Rastojanje od Zemlje do najdalje galaksije 9× 1025

Rastojanje od Zemlje do najblize galaksije (M31, Andromeda) 2× 1022

Rastojanje od Sunca do najblize zvezde (Proxima Centauri) 4× 1016

Jedna svetlosna godina 9, 46× 1015

Srednja vrednost poluprecnika Zemljine orbite oko Sunca 1, 5× 1011

Srednje rastojanje od Zemlje do Meseca 3, 84× 108

Rastojanje od ekvatora do Severnog Pola 1× 107

Srednji poluprecnik Zemlje 6, 37× 106

Tipicna visina orbitiranja satelita oko Zemlje 2× 105

Duzina fudbalskog igralista × 102

Duzina kucne muve 5× 10−3

Velicina najmanjih cestice prasine ∼ 10−4

Velicina celija u vecini zivih organizama ∼ 10−5

Precnik vodonikovog atoma ∼ 10−10

Precnik jezgra atoma ∼ 10−14

Precnik protona ∼ 10−15

Tabela 1.1: Priblizne vrednosti nekih merenih duzina u metrima (m).

1.1.2 Masa

Osnovna SI jedinica za masu je kilogram (kg) koji je definisan kaomasa posebnog etalona napravljenog od legure Platine i Iridijumakoji se cuva u Medjunarodnom birou za mere i tegove u Sevru

12Ova poslednja definicija ukazuje takodje na cinjenicu da je brzina svetlosti u vakumu299 792 458 m/s.

1.1. STANDARDI DUZINE, MASE I VREMENA 13

kraj Pariza.. Ovaj standard za masu je ustanovljen jos 1887. godine i nijemenjan do sada jer je legura Platine i Iridijuma veoma stabilna.

Slika 1.1: Standard mase - kilogram.

Telo Masa (kg)Vidljivi univerzum ∼ 1052

Mlecni put 7× 1041

Sunce 1, 99× 1030

Zemlja 5, 98× 1024

Mesec 7, 36× 1022

Konj ∼ 103

Covek ∼ 102

Zaba ∼ 10−1

Komarac ∼ 10−5

Bakterija ∼ 10−15

Atom vodonika 1, 67× 10−27

Elektron 9, 11× 10−31

Tabela 1.2: Mase nekih tela (priblizne vrednosti) u kilogramima (kg).

Bez obzira na opstu prihvacenost SI sistema u nekim oblastima su os-tale u primeni jedinice na koje su ljudi navikli. To je na primer slucaj sajedinicom karat koju koriste juveliri (1 ct= 2× 10−4kg).

14 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

1.1.3 Vreme

Pre 1960. godine, standard vremena je definisan preko srednjeg solarnogdana13 za 1900. godinu. Srednja solarna sekunda je bila originalno defin-isana kao ( 1

60)( 160)( 1

24) deo srednjeg solarnog dana. Kako je danas poznatoda se rotacija Zemlje (po malo) menja sa vremenom, to znaci da nije dobraza definisanje standarda.

Kao posledica toga je 1967. godine sekunda redefinisana tako sto jeiskoriscena preciznost koju je pruzao atomski casovnik. U tom uredjaju,frekvencije odredjenih atomskih prelaza mogu biti izmerene sa tacnoscu od1/1012. Takva preciznost odgovara gresci u merenju vremena od manje odjedne sekunde na svakih 30 000 godina. Osnovna jedinica vremena u SI,sekunda, je definisana kao 9 192 631 770 perioda zracenja kojeodgovara odredjenom prelazu (izmedju dva hiperfina nivoa os-novnog stanja) atoma cezijuma Cs-133. Svi satovi koje koristimo,ukoliko zelimo da precizno mere vreme, moraju da se sinhronizuju sa ovimatomskim satom, odnosno da im se dodaju ili oduzimaju sekunde.14

Nakon sto je Ajnstajn otkro povezanost prostora i vremena, postalo jejasno da je za precizno merenje vremenskih intervala neophodno da znamokako se krece sat kojim vrsimo merenja kao i to gde se nalazi.15

Osim osnovnih SI jedinica, koriste se i jedinice koje su njihov deo i kojepredstavljaju neki deo od osnovne jedinice.

1.2 Struktura materija

Ako napravimo kocku od zlata duzine stranica 3,73 cm, njena masa je 1 kg.Mozemo da se zapitamo kako izgleda njena unutrasnja struktura, odnosno,da li u njoj ima uopste praznog prostora. Na prvi pogled odgovor je danema. Ako ovu kocku rasecemo na dva dela oni ce zadrzati iste hemijskeosobine zlata. Sta ce se dobiti ako nastavimo dalje sa seckanjem dobijenihdelova? Da li ce dobijeni, sve manji i manji delici i dalje imati osobine

13Jedan solarni dan je vremenski interval izmedju dva uzastopna pojavljivanja Suncana najvisoj tacki na nebu.

14Ovo nije nova ideja. Julije Cezar je 46. godine pre nove ere, zapoceo praksu doda-vanja dana u kalendar u prestupnim godinama da bi godisnja doba pocinjala istih dana ugodinama.

15Kada ovaj, takozvani relativisticki efekat ne bio bio uziman u obzir, sistem satelita kojisluze za globalno pozicioniranje (GPS) bi cinili znacajnu gresku u odredjivanju polozajana Zemlji.

1.2. STRUKTURA MATERIJA 15

Interval (s)Starost univerzuma 5× 1017

Starost Zemlje 1, 3× 1017

Srednja starost studenata 6, 3× 108

Jedna godina 3, 16× 107

Jedan dan (vreme rotacije Zemlje oko svoje ose) 8, 64× 104

Interval izmedju normalnih otkucaja srca 8× 10−1

Period cujnog zvucnog talasa ∼ 10−3

Period tipicnog radio talasa ∼ 10−6

Period oscilovanja atoma u cvrstom telu ∼ 10−13

Period talasa vidljive svetlosti ∼ 10−15

Trajanje sudara jezgara ∼ 10−22

Vreme potrebno svetlosti da prodje proton ∼ 10−24

Tabela 1.3: Priblizne vrednosti nekih vremenskih intervala u sekundama.

Stepen Prefiks Oznaka Stepen Prefiks Oznaka10−24 yocto y 101 deka da10−21 zepto z 103 kilo k10−18 ato a 106 mega M10−15 femto f 109 giga G10−12 piko p 1012 tera T10−9 nano n 1015 peta P10−6 mikro µ 1018 eksa E10−3 mili m 1021 zeta Z10−2 centi c 1024 yota Y10−1 deci d

Tabela 1.4: Prefiksi SI jedinica.

zlata? Razmislanjem u vezi ovog pitanja su se bavili jos u antickoj Grckoj16

a dvojica filozofa, Leukip i njegov ucenik Demokrit, su zakljucili da se ovakvodeljenje ne moze nastaviti do u beskonacnost. Njih dvojica su smatrali daovaj proces mora da ima kraj, odnosno pre ili kasnije u njemu se dobijacestica koja vise ne moze da se deli. Na Grckom atomos znaci nedeljiv17

16Stari Grci nisu mogli da vrse eksperimente ovog tipa pa su do odgovora jedino moglida dodju na ovaj nacin - razmisljanjem.

17Atomos=a+tomos, ”a” na grckom znaci ”ne” a ”tomos” znaci ”deliti”.

16 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

i od te reci potice danasnja rec atom iako je vremenom izgubila prvobitansmisao.

Slika 1.2: Struktura materije.

Tako, ako bi nastavili sa deljenjem pocetne kocke zlata i pri tom uspelida odsecemo delice velicine 10−9 m mogli bi da uocimo molekule. Oni zasastavne delove imaju atome do kojih bi dosli ukoliko bi molekule uspelida isecemo na parcice dimenzija 10−10 metara. Atomi se sastoje iz jezgrai ”omotaca” u kome se nalaze elektroni. Za elektrone se sa velikom dozomsigurnosti danas moze reci da, i ukoliko imaju unutrasnju strukturu ona jesvakako dobro sakrivena od nas i nalazi se na 10−18 metara. Ukoliko biuspeli da, u daljem deljenju materije, odvojimo jezgra od atoma ustanovilibi da im je velicina oko 10−14 metara a ako bi kojim cudom uspeli njih daiseckamo na parcice velicine manje od 10−19 metara dobili bi kvarkove.

Ovim zamisljenim seckanjem je prikazana danasnja predstava o struk-turi materije, naime poznato je da ono sto danas nazivamo atomom imaunutrasnju strukturu - svaki atom se sastoji od jezgra koje je okruzenoelektronima. Jezgro atoma je otkriveno 1911. godine i prirodno se odmahpostavilo pitanje njegove unutrasnje strukture, odnosno da li je ono nedeljivoili se pak sastoji od nekih novih cestica. Iako se ne moze reci da je u pot-punosti poznata struktura jezgra, ipak se moze dosta toga o njemu reci.Jos od 30 godina proslog veka je poznato da se u njemu nalaze dve vrstecestica, protoni i neutroni. Protoni su pozitivno naelektrisani i od njihovogbroja zavisi o kom je (hemijskom) elementu rec. Taj broj se naziva atomskibroj elementa. Na primer, jezgro vodonika ima jedan proton (atomski brojmu je jednak 1), jezgro helijuma ima dva protona (atomski broj 2), jezgrourana ima 92 protona (atomski broj 92). Osim atomskog broja postoji imaseni broj koji predstavlja zbir protona i neutrona u jezgru. Kao stocemo videti, broj protona u jezgru datog hemijskog elementa se ne menja(kada se promeni onda je rec o jezgru drugog elementa), dok se maseni brojmoze menjati (broj neutrona moze da se menja). Dva ili vise atoma jednogistog elementa, razlicitog masenog broja se nazivaju izotopi.

Postojanje neutrona je dokazano 1932. godine. Neutron nema naelek-

1.3. GUSTINA 17

trisanje a masa mu je priblizno jednaka masi protona. Obzirom na to dasu protoni pozitivni i da se usled istoimenog naelektrisanja odbijaju, mozese reci da neutroni imaju ulogu neke vrste ”lepka” koja drzi jezgro da se neraspadne.

Da li su elektroni, protoni i neutroni Leukipovi i Demokritovi ”atomi”,odnsono, da li su oni nedeljivi? Za elektrone je to izgleda tacno, ali kadaje rec o protonima i neutronima ispostavilo se da oni, kao i jos neke drugecestice koje su od tada otkrivene, sastoje od 6 varijeteta jedne nove vrstecestica koje se nazivaju kvarkovi. Oni su dobili imena gornji, donji, cudni,sarmirani, vrh i dno.18 Gornji, sarmirani i vrh kvark nose naelekrisanje od+2

3 naelektrisanja protona, dok donji, cudni i dno kvark imaju naelekrisanja−1

3 naelekrisanja protona. Proton se sastoji od dva gornja i jednog donjegkvarka,19 dok neutron cine dva donja i jedan gornji kvark.

1.3 Gustina

Veoma vazna osobina supstance je gustina, definisana kao kolicina masesadrzane u jedinicnoj zapremini. Oznacava se obicno grckim slovom ρ

ρ =m

V. (1.1)

Na primer, aluminijum ima gustinu 2,70 g/cm3, a olovo 11,3 g/cm3.Zbog toga, komad aluminijuma zapremine 10,0 cm3 ima masu 27 g dok istazapremina olova ima masu 113 g.

Razlika u gustini izmedju aluminijuma i olova je posledica njihove ra-zlizite atomske mase. Atomska masa nekog elementa je srednja masajednog atoma u uzorku tog elementa koja sadrzi sve izotope datog elementau iznosu u kome se nalaze u prirodi. Jedinica atomske mase je atomskajedinica mase i oznacava se sa u. Pri tome je 1 u= 1, 6605402 × 10−27

kg. U ovim jedinicama, atomska masa olova je 207 u, a aluminijuma 27,0u. Moze da se primeti da odnos atomskih masa 207 u/27,0 u = 7,67 neodgovara odnosu gustina, 11,3 g/cm3/2,70 g/cm3 = 4, 19. Razlika je izaz-vana razlikom medjuatomskim rastojanjia i razlicitim rasporedom atoma ukristalnoj strukturi olova i aluminijuma.

Mase jezgara se mere u odnosu na masu jezgra izotopa ugljenika C-12,

18Njihovi nazivi na engleskom su up, down, strange, charm, bottom i top.19Lako se vidi da se, kada se iskombinuju njihova naelektrisanja, dobija upravo naelek-

trisanje protona.

18 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

Supstanca Gustina ρ (103 kg/m3)Zlato 19,3Uranijum 18,7Olovo 11,3Bakar 8,92Gvozdje 7,86Aluminijum 2,70Magnezijum 1,75Voda 1,00Vazduh 0,0012

Tabela 1.5: Gustina nekih supstanci.

sto se oznacava kao 12C.20 Prakticno sva masa atoma je skoncentrisana ujezgru. Kako je po definiciji masa jezgra ugljenika 12C jednaka 12 u, protoni neutron imaju mase oko 1 u.

Jedan mol (mol) supstance je kolicina supstance u kojoj imaonoliko elementarnih jedinki (atoma, molekula i drugih cestica)koliko ima u atoma 0,012 kg atoma 12C. Jedan mol susptance Asadrzi isti broj cestica kao i 1 mol neke druge supstance B. Na primer 1 molaluminijuma sadrzi jednak broj atoma kao i 1 mol olova.21 Eksperimentalnoje dokazano da je taj broj, poznat pod nazivo Avogadrov broj, NA, jednak

NA = 6, 022 137× 1023 cestica /mol.

Avogadrov broj je dakle defnisan tako da je masa 1 mola ugljenika 12Cjednaka 12 grama. Zapravo, masa 1 mola ma kog elementa je atomska masatog elementa izrazena u gramima. Na primer 1 mol gvozdja (atomske mase55,85 u) ima masu 55,85 g (molarna masa mu je 55,85 g/mol), a 1 mol olova(atomske mase 207 u) ima masu od 207 g (molarna masa mu je prema tome207 g/mol). Kako u 1 molu bilo koje supstance ima 6, 02 × 1023 cestica(atoma), masa jednog atoma datog elementa je

matoma =molarna masa

NA. (1.2)

20Ovaj izotop ugljenika ima u jezgru 6 protona i 6 neurona, dok ostali imaju 6 protonaali razlicit broj neutrona.

21Masa jednog mola aluminijuma naravno nije jednaka masi jednog mola olova.

1.4. DIMENZIONA ANALIZA 19

Na primer, masa atoma gvozdja je

mFe =55, 85 g/mol

6, 02× 1023 atoma/mol= 9, 28× 10−23 g/atom.

P r i m e r 1.1 Kocka aluminijuma (gustina 2,7 g/cm3) ima zapreminu0,20 cm3. Koliko atoma aluminijuma ima u njoj?

R e s e nj e. Kako je gustina jednaka masi jedinice zapremine, masa mkocke je

m = ρV = (2, 7 g/cm3)(0, 20 cm3) = 0, 54 g.

Da bi nasli broj atoma N u toj masi aluminijuma iskoristicemo sledecuproporciju: ako 6,02×1023 atoma aluminijuma (1 mol) ima masu 27 g, ondase N atoma nalazi u masi od 0,54 g, odnosno

NA

27 g=

N

0, 54 g.

Odavde je trazeni broj atoma N

N =(0, 54 g)(6, 02× 1023 atoma)

27 g= 1, 2× 1022 atoma.

1.4 Dimenziona analiza

Rec dimenzija ima poseban znacaj u fizici. Ona obicno ukazuje na fizickuprirodu date velicine. Nezavisno od toga da li neko rastojanje koje merimoizrazavamo u stopama ili metrima, rec je o merenju duzine. Kaze se da jedimenzija - fizicka priroda - rastojanja duzina.

Simboli koji se obicno koriste da se oznace duzina, masa i vreme su L, M iT. A kada zelimo da ukazemo da prikazujemo dimenziju neke fizicke velicineobicno se koriste uglaste zagrade [ ]. Na primer, ako zelimo da oznacimodimenziju brzine v, to cemo oznaciti kao [v] =L/T. Dimenzija povrsine, S,je [S] = L2, zapremine, V , [V ] = L3 a ubrzanja a je [a] = L/T2 a .

Cesto se za resavanje problema u fizici koristi procedura pod nazivomdimenzionalna analiza. Ova procedura je uvek primenljiva i moze da se isko-risti u najmanju ruku za svodjenje pamcenja formula na najmanju mogucumeru. U okviru dimenzionalne analize, dimenzije fizickih velicina se treti-raju kao algebarske promenljive. Jasno je da to znaci da velicine mogu dase sabiraju samo ako imaju iste dimenzije, kao i to da leva i desna stranajednacina moraju da imaju iste dimenzije.

20 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

Recimo da nas zanima formula koja povezuje rastojanje x koje je presaoautomobil za vreme t, krecuci iz stanja mirovanja ubrzanjem a. Na osnovuovoga se moze pretpostaviti da je veza ovih triju velicina opsteg oblika

x ∝ antm,

odnosno predjeni put je proporcionalna ubrzanju na m i vremenu kretanja nastepen n. Ovde su n i m nepoznati koeficijenti koje tek treba odrediti. Ovarelacija je tacna jedino ako su dimenzije leve i desne strane jednake. Kako jedimenzija leve strane duzina, dimenzija desne takodje mora da bude duzina,odnosno

[antm] = L = L1.

Kako je dimenzija ubrzanja L/T2 a dimenzija vremena T, dobija se(

LT2

)n

Tm = L1,

LnTm−2n = L1.

Da bi obe strane jednacina imale iste dimenzije, eksponenti moraju biti isti.Na desnoj strani nedostaje T, ali uvek kada nam nedostaje neka velicinamozemo smatrati da je imamo dignutu na stepen nula, sto znaci da suodgovarajuce jednacine za eksponenete: m−2n = 0 i n = 1, odakle se odmahdobija da je m = 2. Time je odredjena funkcionalna zavisnost predjenogputa x, ubrzanja a i vremena t kao x ∝ at2. Ovaj reuzltat se, od tacnogrezultata za ovaj tip kretanja x = 1

2at2, razlikuje samo za faktor 2. Buducida je ovaj faktor bezdimenzionalan njega i nije moguce odrediti na ovajnacin.

1.5 Konverzija jedinica

Cesto nam je neophodno da znamo da konvertujemo jedan tip jedinica udruge. Pocnimo sa prostim konvertovanjem 80 metara u kilometre (km),koje se vrsi na sledeci nacin

80 m× 1 km1 000 m

= 0, 080 km.

Primetimo da se nezeljenja jedinica (m) skratila i da je ostala samo zeljenajedinica (km). Faktor 1 km/1 000 je primer konverzionog faktora. Evojos nekoliko primera konverzionih faktora

1 km = 1 000 m

1.5. KONVERZIJA JEDINICA 21

1 dan = 86 400 s

1 godina = 3, 16× 107 s.

P r i m e r. Pretpostavimo da ste 10 km od vase kuce do fakulteta preslivozeci automobil za 20,0 minuta. Izracunati prosecnu brzinu vaseg kretanja(a) u kilometrima na sat (km/h), (b) u metrima u sekundi (m/s.

R e s e nj e. Zgodno je prvo izracunati prosecnu brzinu u jedinicama ukojima su dati podaci (km/min), a zatim je dobiti u trazenim jedinicamamnozeci prethodno dobijeni izraza odgovarajucim konverzionim faktorom.

(a) Prosecna brzina vsr predstavlja kolicnik predjenog puta s i intervalavremena t za koji se to desilo, odnosno

vsr =s

t=

10, 0 km20, 0 min

= 0, 500kmmin

.

Konvertovanje km/min u km/h se izvodi mnozenjem konverzionim faktoromkoji ce dovesti do toga da se pokrate minute a da ostanu sati. Trazenikonverzioni faktor je 60 min/h,22 odnosno

vsr = 0, 500kmmin

× 60 min1 h

= 30, 0kmh

.

(b) Ima vise nacina da se dobije brzina u m/s. Krenimo recimo odrezultata popd (a) i konvertujmo km/h u m/s. Ovde su potrebna dva kon-verziona faktora, jedan koji ce prevesti sate u sekunde a drugi koji ce prevestikilometre u metre. Mnozenje njima daje

vsr = 30, 0kmh× 1 h

3 600 s× 1 000 m

1 km= 8, 33

ms

.

P r i m e r. Vozac iz Evrope vozeci putevima kroz SAD je video da krajputa stoji znak za ogranicenje brzine na kome pise 75 mi/h (jedna milja je1 609 m). Kolikoj brizni u km/h odgovara ta brzina?

R e s e nj e. Konverzion faktor je 1, 609 km/mi pa se dobija

75mih× 1, 609 km

1 mi= 137

kmh

.

22Kako mozemo da budemo sigurni da je konverzioni faktor napisan na pravi nacin?Odgovor je da mora da se proba i da se vidi da li se nepotrebne jedinice skracuju. Ukolikoje napravljena greska, jedinice se nece skratiti i dace pogresne jedinice za izracunavanuvelicinum na primer: km/min× 1 h/60 min=(1/60) (km· h/min2).

22 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

1.6 Procena reda velicine

Cesto je moguce dati priblizan odgovor na dato pitanje iako imamo naraspolaganju malo informacija. Takve aproksimacije su obicno zasnovanena odredjenim pretpostavkama koje mogu biti modifikovane ako je potrebnodati precizniji odgvor. Ovakav tretman problema se obicno svodi na odred-jivanje reda velicine odredjene fizicke velicine se odnosi na to na koji stepentreba dici broj 10 da bi se dobila vrednost velicine. Ukoliko se za fizickuvelicinu kaze da se povecala za tri reda velicine, to znaci da se njena vrednostpovecala priblizno 103 odnosno 1000 puta. Za oznacavanje reda velicine sekoristi simbol ∼. Evo i nekoliko primera

0, 0086 ∼ 10−2, 0, 0021 ∼ 10−3, 720 ∼ 103.

P r i m e r. Proceniti udisaja tokom prosecnog ljudskog veka.R e s e nj e. Krenimo od toga da je prosecan zivotni vek 70 godina.

Jedina druga pretpostavka koju cemo uciniti se odnosi na prosecan brojudisaja tokom 1 minuta. Broj udisaja tokom minuta varira u zavisnostiod toga da li se osoba bavi nekom fizickom aktivnoscu, spava, zavisi odraspolozenja, ... Uzme li se sve to u obzir, moze se uzeti da je prosecan brojudisaja za jedan minut oko 10. Broj minuta u godini je priblizno

1 godina(

400 dana1 godina

) (25 h

1 dana

) (60 minuta

1 h

)= 6× 105 min.

Primetimo da je, da bi se izracunavanja uprostila, uzeto da je broj dana ugodini 400 (tacna vrednost je 365,25) i da je broj sati u danu 25. Greskakoja je pri tome ucinjena je veoma mala i ne utice na krajnju procenu. U 70godina ce prema tome biti 70 godina×6×105 min/godina = 4×107 minuta.Ukoliko se nacini prosecno po 10 udisaja tokom minute, za 70 godina ce ihbiti oko 4× 108.

1.7 Znacajne cifre. Zaokruzivanje

Pri merenju neke fizicke velicine, izmerene vrednosti su poznate samo un-utar odredjene eksperimentalne greske. Vrednost te greske zavisi od visefaktora, kao sto su kvalitet instrumenata, umesnosti eksperimentatora, odbroja izvrsenih merenja, itd. Broj takozvanih znacajnih cifara u merenjumose da se iskoristi za iskazivanje neodredjenosti dobijenog rezultata.

Pretpostavimo da je cilj da izracunamo povrsinu pravougaone nalepnicena kompakt disku koristeci metarsku traku kao merni instrument. Neka je

1.7. ZNACAJNE CIFRE. ZAOKRUZIVANJE 23

greska sa kojom merimo duzinu nalepnice ±0, 1 cm. Ako smo pri merenjuduzine dobili 5,5 cm, to znaci da mozemo da kazemo samo da je duzinanalepnice izmedju 5,4 i 5,6 cm. U ovom slucaju izmerena vrednost ima2 znacajne cifre pri cemu je jedna od njih procenjena, odnosno takozvananesigurna cifra dok su ostale sigurne. Recimo da je merenje sirine dalo kaorezultat 6,4 cm, to znaci da prava vrednost lezi negde izmedju 6,3 i 6,5 cm.Rezultat se stoga zapisuje u uobliku (5, 5± 0, 1) cm i (6, 4± 0, 1) cm.

Povrsinu pravougaone nalepnice cemo naci mnozenjem njene duzine isirine. Ako povrsinu nadjemo kao (5,5 cm)(6,4 cm)=35,2 cm2, odgovornece biti pouzdan jer sadrzi tri znacajne cifre, dok su merenja dala samodve. Iz tog razloga se pri radu sa rezultatima merenja primenjuje sledecepravilo: Pri mnozenju i deljenju velicina, broj znacajnih cifara ukonacnom rezultatu je isti kao i broj znacajnih cifara u velicinikoja ima najmanji broj znacajnih cifara.

Primenjujuci ovo pravilo na prethodni primer mnozenja dvaju rezultatamerenja, zakljucujemo da rezultat ne sme da sadrzi vise od dve znacajnecifre jer su toliko imale obe izmerene velicine. Na osnovu toga zakljucujemoda je povrsina nalepnice 35 cm2, sto predstavlja vrednost koja lezi izmedjuvrednosti (5,4 cm)(6,3 cm)=34 cm2 i (5,6 cm)(6,5 cm)=36 cm2.

Nule ne moraju ali i mogu biti znacajne cifre. One koje se koriste daukazu na polozaj decimalne zapete u na primer brojevima 0,03 i 0,0075nisu znacajne. Jasno je da u ova dva slucaja imamo jednu odosno dveznacajne cifre. Moguce greske u odredjivanju da li su nule znacajne cifre iline su moguce onda kada one dolaze iza drugih cifara, na primer masa kadakazemo da je masa nekog tela 1 500 g. Ovaj iskaz je dvosmislen jer se naosnovu njega ne moze reci da li su poslednje dve nule iskoriscene da definisumesto decimalne zapete ili predstavljaju znacajne cifre merenja. Da bi seotklonile takve nejasnoce obicno se za zapisivanje rezultata koristi takozvananaucna notacija u kojoj je naglasen broj znacajnih cifara. Ukoliko u ovomslucaju imamo dve znacajne cifre, masu cemo zapisati u obliku 1, 5 × 103

g, ako ih imamo tri pisacemo 1, 50 × 103 g, a ako ih je cetiri 1, 500 × 103

g. Ista pravila vaze za brojeve manje od 1, tako da ce broj 2, 3× 10−4 (ovoje naravno broj 0,00023) imati dve znacajne cifre, dok broj 2, 30 × 10−4

(odnosno 0,000230) ima tri znacajne cifre. Moze se reci da su znacajnecifre u zapisu rezultata merenja sigurne cifre (razlicite od nulekoja se koristi za odredjivanje mesta decimalnog zareza) i prvanesigurna cifra.

Kada imamo posla sa oduzimanjem i sabiranjem pravilo za rad sa ciframase bitno razlikuje od pravila za mnozenje i deljenje. Naime, u ovom slucajumora da se vodi racuna o broju decimalnih mesta, tako da pravilo glasi

24 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

: kada se brojevi sabiraju ili oduzimaju, broj decimalnih mestau rezultatu treba da bude jednak najmanjem broju decimalnihmesta u sabircima.

Ako na primer zelimo da izracunamo 123+5,35, rezultat je 128 a ne128,35 jer manji broj decimalnih mesta ima prvi broj. Ako racunamo zbir1,0001+0,0003, rezultat je 1,0004, odnosno on ima pet znacajnih cifara,iako jedan od sabiraka (0,0003) ima samo jednu znacajnu cifru. Slicno, akoizvrsimo oduzimanje 1,002-0,998=0,004, rezultat ima samo jednu znacajnucifru iako jedan sabirak ima cetiri a drugi tri.

Ukoliko broj znacajnih cifara u rezultatu sabiranja ili oduzimanja morada se smanji, postoje opsta pravila za zaokruzivanje

1. Aako je prva cifra iza poslednje znacajne cifre manja od 5 prethodnacifra ostaje nepromenjena.

2. Kada je odbacena cifra veca od 5, prethodna se povecava za 1.

3. U slucaju kada odbacena cifra ima vrednost 5, prethodna ostaje ne-promenjena ako je paran broj, dok se povecava za 1 ako je neparanbroj.

Ukoliko pri odredjivanju finalne vrednosti treba obaviti vise aritmetickihoperacija, zaokruzivanje treba odloziti za kraj racunanja i tek onda ostavitipotreban broj znacajnih cifara.

P r i m e r. Treba kupiti tepih za sobu cija je duzina 12,71 m a sirina3,46 m. Odrediti povrsinu sobe.

R e s e nj e. Ako pomnozimo ove dve vrednosti, dobicemo 43,9766m2. Medjutim ne mozemo rezultat da ostavimo u ovom obliku jer moramoda vodimo racuna o broju sigurnih cifara. Prema pravilima treba ostavitionoliko cifara koliko ih ima u mnozitelju sa manje sigurnih cifara a to je tri.Prema tome, vodeci racuna i o pravilima zaokruzivanja, rezultat je 44,0 m2.

P r i m e r. Dimenzije ploce su (a = 21, 3 ± 0, 2) cm i (b = 9, 80 ± 0, 1)cm. Odrediti njenu povrsinu kao i gresku sa kojom je odredjena.

R e s e nj e. Povrsina plocice je

S = ab = (21, 3± 0, 2 cm)× (9, 80± 0, 1 cm)

≈ (21, 3× 9, 80± 21, 3× 0, 1± 0, 2× 9, 80) cm2 ≈ (209± 4) cm2.

1.8. ZADACI 25

1.8 Zadaci

1. Pokazati da je izraz v = at, koji povezuje brzinu v, ubrzanje a i vremet, dimenzionalno korektan. Da li je to slucaj i sa jednacinom v = at2?

2. Pretpostavimo da je ubrzanje kruznog kretanja koje se odvija po kruznicipoluprecnika r, brzinom v, proporcionalno sa rn i vm. Odrediti oveizlozioce.

3. Masa kocke duzine ivice 5,35 cm je 856 g. Odrediti njenu gustinu uosnovnim jednicama SI.

4. Proceniti udisaja tokom prosecnog ljudskog veka ukoliko se pretpostavida on iznosi 80 godina.

5. Proceniti koliko koraka treba naciniti ukoliko se hoda od Beograda doNovog Sada.

6. Proceniti broj litara benzina koje svake godine potrose automobili uSrbiji.

1.9 Resenja

1. Dimenzija brzine i ubrzanja su

[v] = L/T, [a] = L/T2

pa je dimenzija proizvoda at

[at] =(

LT2

)(T ) =

LT

,

sto znaci da je navedena jednacina dimenziono korektna. Na analogananacin se pokazuje da izraz v = at2 dimenzionalno nekorektan.

2. Preme pretpostavci, ubrzanje moze da se zapise kao

a = krnvm,

gde je k bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti. Kako su di-menzije a, r i v poznate, prethodna jednacina ima dimenzije

LT2 = Ln

(LT

)m

=Ln+m

Tm .

26 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA

Iz uslova da su dimenzije leve i desne strane jednake dobija se

n + m = 1, m = 2,

odakle sledi da je n = −1. Na osnovu ovoga je ubrzanje

a = kr−1v2 = kv2

r.

U kinematici rotacionog kretanja se pokazuje da je bezdimenzinalnakonstanta k = 1.

3. Kako je 1 g= 10−3 kg a 1 cm= 10−2 m, masa i zapremina u osnovnimjedinicama SI su

m = 856 g× 10−3 kg/g = 0, 856 kg,

V = l3 = (5, 35 cm×10−2 m/cm)3 = (5, 35)3×10−6 m3 = 1, 53×10−4 m3.

Odavde je sada

ρ =m

V=

0, 856 kg1, 53× 10−4 m3

= 5, 59× 103 kg/m3.

4. Racunajuci kao u primeru ... dobija se da je rezultat 5 × 108, sto jeistog reda velicine kao rezultat dobijen u primeru.

5. I bez poznavanja tacnog rastojanja izmedju ova dva grada moze se recida je to oko 100 km. Naredna procena ce se odnositi na duzinu jednogkoraka. Ona se svakako razlikuje od coveka do coveka ali se mozeuzeti da iznosi oko 0,6 m. Da bi presao 1 kilometar, sa ovom duzinomkoraka, treba naciniti 1 000/0,6 m = 1 666,66 koraka, odnsono, akozaokruzimo ovaj izraz 1 700 koraka/km, odnosno 1, 7×103 koraka/km.Potreban broj koraka da se predje 100 km je sada

(1× 102 km)(1, 7× 103 koraka/km) = 1, 7× 105 koraka ∼ 105 koraka.

Dakle, ako se ide peske od Beograda do Novog Sada treba naciniti poredu velicine 100 000 koraka.

6. Kao u Srbiji zivi oko 8 miliona ljudi, moze da se proceni da je brojautomobila oko 2 miliona (uzeto je da na svaka kola dolazi po cetvoroljudi). Prosecan automobil u Srbiji prelazi oko 5 000 km za godinudana pri cemu trosi oko 10 litara na 100 kilometara. To znaci da

1.9. RESENJA 27

ce u jedan automobil da potrosi oko 500 litara/god. Svih 2 milionaautomobila ce potrositi

2× 106 automobila× 5× 102 litara/god. = 109 litara.

Prosecna potrosnja benzina u Srbiji je reda velicine milijardu litara.