SadrºajSadrºaj Predgovor 3 Deo 1. AZIF LOGIKA I AZIF INFERENTNI SISTEMI 5 Glaav 1. AZIF SKUPOVI 7 1.1. De nicija fazi skupa 8 1.2. unkFcija pripadnosti fazi skupa 10 1.3. Osnove

Sadrºaj

Predgovor 3

Deo 1. FAZI LOGIKA I FAZI INFERENTNI SISTEMI 5

Glava 1. FAZI SKUPOVI 71.1. De�nicija fazi skupa 81.2. Funkcija pripadnosti fazi skupa 101.3. Osnove osobine fazi skupova 121.4. Osnove operacije nad fazi skupovima 161.5. T-norma i t-konorma (s-norma) 21

Glava 2. FAZI LOGIKA 272.1. Lingvisti£ke promenljive i lingvisti£ke vrednosti 272.2. Fazi propozicija i logi£ki veznici 312.3. Fazi relacije 332.4. Fazi broj i princip pro²irenja 38

Glava 3. FAZI INFERENTNI SISTEMI 433.1. Fazi implikacija 443.2. Metoda odsecanja 463.3. Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji 52

Glava 4. FAZI KONTROLERI I PRIMENE 574.1. Mamdani tip fazi kontrolera 584.2. Sugeno tip fazi kontrolera 694.3. Primene fazi kontrolera 71

Deo 2. VETAKE NEURONSKE MREE 79

Glava 5. Nastanak i razvoj ve²ta£kih neuronskih mreºa 815.1. Od biolo²ke do ve²ta£ke neuronske mreºe 825.2. Obu£avanje neuronskih mreºa 91

1

2 SADRAJ

Glava 6. Zna£ajne neuronske mreºe 976.1. Perceptron 976.2. Adaptivni linerani element ADALINE 1056.3. Hop�eld-ova mreºa 112

Glava 7. Vi²eslojne neuronske mreºe 1157.1. Obu£avanje tipa Backpropagation 1167.2. Matri£ni prilaz Backpropagation algoritmu 1187.3. Kompetitivno obu£avanje 1287.4. Primene ve²ta£kih neuronskih mreºa 131

Glava 8. Ostale oblasti mekog ra£unarstva 1358.1. Genetski algoritmi 1358.2. Teorija grubih skupova 137

Bibliogra�ja 143

PREDGOVOR 3

Predgovor

Ovaj udºbenik zadrºi prikaz osnovnih ideja, tehnika i metoda multidi-sciplinarne oblasti koja je poznata pod nazivom Soft Computing ili Mekora£unarstvo. Za razliku od dobro poznatih i duºe kori²¢enih metoda i teh-nika iz domena ra£unarske inteligencije koje su bazirane na Bulovskoj lo-gici, prilazi problemu dono²enja zaklju£aka prezentovani u ovom udºbenikubazirani su na primeni Fazi logike, odnosno fazi zaklju£ivanju. Osnov razu-mevanja fazi logike, koja je generalizacija klasi£ne Bulovske logike su faziskupovi ; stoga je pre svega prezentovana oblast fazi skupova. Opisane sumetode fazi zaklju£ivanja koje se koristi pri izradi fazi inferentnih sistemai fazi kontrolera. Ve²ta£ke neuronske mreºe su nezaobilazni element oblastimekog ra£unarstva. Model biolo²kih neuronskih mreºa posluºio je kao osnovrazvoja posebnih hardverskih i softverskih ra£unarskih sistema. Razumeva-nje paradigme neuronske mreºe omogu¢uje razvoj ra£unarskih sistema kojiimaju osobinu obu£avanja. Kratko su opisani genetski algoritmi u sklopuoblasti evolutivnog ra£unarstva i tehnike bazirane na primeni alternativneteorije skupova pod nazivom: teorija grubih skupova.

Udºbenik je pre svega namenjen studentima Tehni£kog fakulteta �Mi-hajlo Pupin� u Zrenjaninu, u sastavu univerziteta u Novom Sadu, ali jemogu¢e da bude kori²¢en na srodnim tehni£kim fakultetima. Sadrºaji sunapisani na osnovu literaturnih izvora koji su navedeni u poglavlju Biblio-gra�ja. Sadrºaj knjige ulazi u nekoliko nastavnih programa na Tehni£komfakultetu �Mihajlo Pupin� u Zrenjaninu, pre svega: Meko ra£unarstvo, Fazisistemi, Neuronske mreºe, ali i Ekspertni sistemi, Sistemi bazirani na znanju,Inteligentni agenti i Logi£ki sistemi u tehnici. Prevashodna namena udºbe-nika je da bude kori²¢en u sprezi sa usmenim izlaganjima u sklopu nastavnogprocesa, iako je mogu¢e da bude kori²¢en samostalno, od strane studenatai svih ostalih koji su zainteresovani za oblast mekog ra£unarstva. Materijaje izloºena na egzaktan na£in bez ulaºenja u nepotrebne detalje. Tekstu-alni opisi pra¢eni su brojnim gra�cima, slikama, tabelama i primerima kojidoprinose jasno¢i izlaganja.

Eventualne kritike, sugestije i predloge £italaca prihvati¢u sa zahvalno-²¢u. Napokon, zahvaljujem se svima koji su na neki na£in doprineli objavlji-vanju ovog udºbenika.

U Zrenjaninu, februara 2013. godine.Autor

Deo 1

FAZI LOGIKA I FAZI

INFERENTNI SISTEMI

GLAVA 1

FAZI SKUPOVI

Teoriju fazi skupova (Fuzzy Sets Theory) formulisao je Lot� A. Zadeh1965. godine [1]. Teorija koristi matemati£ki pristup tretmanu nejasnih, �ra-splinutih�, �zamagljenih� pojmova koji su £esti u komunikaciji meu ljudima,npr: �visok�, �brz�, �star�, itd. Mnogi termini koji se koriste u tehni£kom,ekonomskom, medicinskom i drugim domenima mogu se egzaktno de�nisatipomo¢u ove teorije: npr: niska pouzdanost, visok pritisak, niska zarada,normalan �krvni pritisak�, itd. Kognitivni procesi kod ljudi kao ²to su: per-cepcija, zaklju£ivanje, dono²enje odluka, £esto uklju£uju nejasne pojmove.Govorni jezik obiluje nejasnim pojmovima i konceptima. Konvencionalni pri-stupi prezentaciji znanja bazirani su na klasi£noj (Bulovskoj) logici i teorijiverovatno¢e ali ne omogu¢uju prezentaciju �rasplinutih�, leksi£ki nepreciznihpojmova. Upravo su nejasnost i leksi£ka nepreciznost govornog jezika, mo-tivacioni faktori nastanka fazi logike [2]. Za razliku od klasi£nih skupova,kojima elementi pripadaju ili ne pripadaju, kod fazi skupova imamo situa-ciju da svi elementi pripadaju skupu, ali sa odreenom merom, izraºenombrojem iz intervala [0, 1]. Teorija fazi skupova, koja je jo² jedna od mnogihalternativnih teorija skupova, posluºila je kao osnov uvoenja fazi logike.

Fazi logika (Fuzzy Logic - FL) je generalizacija �klasi£ne� (Bulovske) lo-gike [3, 4] jer dozvoljava kori²¢enje pojmova delimi£ne istine; umesto skupa{0, 1} koristi se interval [0, 1]. Zadeh je shvatio da se pojedini sistemi i procesine mogu opisati egzaktnim konceptima, ve¢ je potrebno prihvatiti i koristitinejasne i neprecizne koncepte. Zna£aj ovakvog pristupa izrazio je putemprincipa nekompatibilnosti: to se bliºe posmatra realni problem, njegovo re-²enje postaje sve vi²e fazi. Fazi pristup dakle, uklju£uje nejasne, neprecizne,rasplinute pojmove, omogu¢uje postepenost i koristi kvalitativno znanje ek-sperata. esto se isti£e da fazi logika predstavlja svojevrstan �most� izmeu£oveka i ra£unara jer omogu¢uje da se nejasni, pojmovi opi²u na egzaktanna£in; takoe omogu¢uje svojevrstan �ra£un� sa re£ima govornog jezika.

7

8 1. FAZI SKUPOVI

Dakle, teorija fazi skupova je �uvod� u fazi logiku kao pro²irenje klasi£nelogike; iz tog razloga, razumevanje koncepata prisutnih u fazi logici zahtevarazumevanje koncepata prisutnih u teoriji fazi skupova.

1.1. De�nicija fazi skupa

Obi£an ili klasi£an (crisp) skup A nad univerzumom X de�nisan je naslede¢i na£in:

A = {(x, ϕA(x)) | ∀x ∈ X}

Ovde je ϕA(x) karakteristi£na funkcija skupa A, tako da je ϕA : X → {0, 1}de�nisana sa:

ϕA(x) =

1, ako i samo akox ∈ A0, ako i samo akox /∈ AKarakteristi£na funkcija klasi£nog skupa A je de�nisana tako da je jed-

naka 1 ako i samo ako element x pripada skupu A, a jednaka je 0 u slu£ajuda element x ne pripada skupu A. Granica klasi£nog skupa je jasna (o²tra).

Nasuprot tome, na osnovu [5, 1, 2], fazi skup A je de�nisan kao u 1.1.1:

(1.1.1) A = {(x, µA(x)) | ∀x ∈ X}

Ovde je µA : X → [0, 1] funkcija pripadnosti fazi skupa A. Pomo¢ufunkcije pripadnosti µA(x) je izraºena mera sa kojom element x pripada faziskupu A. Dakle, umesto skupa {0, 1} koristi se interval [0, 1].

Fazi skup moºe biti de�nisan nad diskretnim ili kontinualnim univer-zumom. Ako je univerzum nad kojim je fazi skup de�nisan diskretan radise o diskretnom fazu skupu; ako je univerzum nad kojim je fazi skup de-�nisan kontinualan, imamo kontinualan fazi skup. Diskretna reprezenta-cija fazi skupa nad diskretnim univerzumom koji sadrºi n elemenata X ={x1,x2, ..., xn} zapisuje se kao u 1.1.2:

(1.1.2) A ={µA(x1)

x1+µA(x2)

x2+ ...+

µA(xn)

xn

}=

n∑i=1

µA(xi)

xi

Ovakav zapis £ita se na slede¢i na£in: element univerzuma x1 pripadafazi skupu A sa merom µA(x1), element univerzuma x2 pripada fazi skupu

1.1. DEFINICIJA FAZI SKUPA 9

Slika 1.1.1. Gra�£ki prikaz dva diskretna fazi skupa

A sa merom µA(x2), itd. U 1.1.2 simbol �+� ne predstavlja operaciju sa-biranja niti je horizontalna linija oznaka razlomka - stoga simbol �

∑� nije

oznaka algebarske sume. Dakle, simbole �+� i �∑� treba shvatiti kao uniju

ili nabrajanje elemenata.Kontinualna reprezentacija fazi skupa A koji je de�nisan nad kontinual-

nim univerzumom X zapisuje se kao u 1.1.3:

(1.1.3) A =

ˆ

x∈X

µA(x)

x

Primer 1. Nad diskretnim univerzumom X = {x1, x2, ..., x7} de�nisanisu diskretni fazi skupovi A i B:

A =

{0.1

x1,0.2

x2,0.4

x3,0.5

x4,0.6

x5,0.8

x6,0.9

x7

}

B =

{0.2

x1,0.3

x2,0.5

x3,0.8

x4,1.0

x5,1.0

x6,0.7

x7

}Potrebno je gra�£ki predstaviti fazi skupove A i B.Re²enje:

Pogledati sliku 1.1.1.

10 1. FAZI SKUPOVI

Simbol �´� u 1.1.3 nema uobi£ajeno zna£enje integrala, ve¢ ovaj sim-

bol treba shvatiti kao uniju ili nabrajanje neprebrojivo mnogo elemenatauniverzuma. Kontinualni fazi skup de�nisan je pomo¢u funkcije koja odre-uje meru pripadnosti kontinualnom fazi skupu. Ovakva funkcija naziva sefunkcija pripadnosti (membership function).

1.2. Funkcija pripadnosti fazi skupa

Funkcija pripadnosti je po pravilu jednostavna parametarska funkcijajednog argumenta koja ra£una meru pripadnosti fazi skupu. Nekoliko funk-cija koje se £esto koriste [6] su:

Trougaona funkcija pripadnosti: (trimf - triangular membershipfunction), za a < b < c:

trimf(x) =

0, x ≤ ax− ab− a

, a ≤ x ≤ bc− xc− b

, b ≤ x ≤ c

0, c ≤ x

ili:

(1.2.1) trimf(x) = max(min(x− ab− a

,c− xc− b

), 0)

Trapezoidna funkcija pripadnosti: (trapmf), za a < b < c < d:

trapmf(x) =

0, x ≤ ax− ab− a

, a ≤ x ≤ b

1, b ≤ x ≤ cd− xd− c

, c ≤ x ≤ d

0, d ≤ x

ili:

(1.2.2) trapmf(x) = max(min(x− ab− a

, 1,d− xd− c

), 0)

1.2. FUNKCIJA PRIPADNOSTI FAZI SKUPA 11

Gausova funkcija pripadnosti: (gaussmf), za dva parametra c i σ,tako daje σ > 0:

(1.2.3) gaussmf(x) = e−(x− c)2

2σ2

�Parametar c predstavlja centar, a parametar σ odreuje ²irinu funkcije. Ne-dostatak ove funkcije pripadnosti jeste nemogu¢nost de�nisanja asimetri£no-sti ²to je vaºno kod nekih aplikacija.

Sigmoidna funkcija pripadnosti: (sigmf):

(1.2.4) sigmf(x) =1

1 + e[c(x−α)]

Vrlo £esto se koriste zvonasta funkcija pripadnosti (gbellmf), Z funkcija pri-padnosti (zmf), S funkcija pripadnosti (smf), videti sliku 1.2.1, na kojoj suprikazani gra�ci nekoliko funkcija na intervalu [0, 10].

Na slici 1.2.2 prikazane su dve sigmoidne funkcije: a) �levo otvorena� ib) �desno otvorena�.

�Otvorenost� ovakve funkcije sa jedne strane £ini je pogodnom za de�ni-sanje lingvisti£ih termina kao ²to su �mali� - �veliki�, �visok� - �nizak�, �mlad�- �star�, itd.

Primer 2. Nacrtati funkcije pripadnosti za lingvisti£ke termine �visok�i �nizak�.

Re²enje:

Prikaz re²enja dat je na slici 1.2.3. Za osobu £ija je visina 50 cm sasigurno²¢u se tvrdi da je niska (mera je 1). Kako visina raste, tako mera ukojoj je osoba niska opada; osoba £ija je visina 150 cm je niska u meri 0.45,meutim osoba £ija je visina 210 cm je niska u meri 0. Analogni zaklju£cimogu se izvesti za lingvisti£i termin �visok�. Potrebno je naglasiti da ovonije jedini mogu¢i na£in de�nisanja lingvisti£kih termina �visok� i �nizak�.Ostala re²enja razlikuju se po tipu i obliku funkcije. De�nicija lingvisti£kihtermina £esto je subjektivna.

12 1. FAZI SKUPOVI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

trapmf

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

trimf

a a

b

b cc d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

zmf

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

smf

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

gaussmf

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

mera

gbell

Slika 1.2.1. Gra�ci £esto kori²¢enih funkcija pripadnosti

Slika 1.2.2. Sigmoidna funkcija pripadnosti

1.3. Osnove osobine fazi skupova

Prema [5, 3, 7] postoji nekoliko bitnih osobina fazi skupova:

1.3. OSNOVE OSOBINE FAZI SKUPOVA 13

Slika 1.2.3. Gra�£ki prikaz lingvisti£kih termina nizak i visok

• Visina fazi skupa A koji je de�nisan nad univerzumom X, uoznaci height(A) ili hgt(A), de�nisana je na slede¢i na£in:

hgt(A) =sup

x ∈ XµA(x)

Za diskretni kona£ni fazi skup je:

hgt(A) =max

x ∈ XµA(x)

• Jezgro fazi skupa A, u oznaci core(A), videti sliku 1.3.1, je klasi-£an (crisp) skup:

core(A) = {x ∈ X | µA(x) = 1}

Jezgro fazi skupa £ine oni elementi univerzuma koji pripadaju fazi skup samerom 1.

• Podr²ka fazi skupa A, u oznaci supp(A), videti sliku 1.3.1, jeklasi£an (crisp) skup de�nisan sa:

supp(A) = {x ∈ X | µA(x) > 0}

14 1. FAZI SKUPOVI

podr²ku fazi skupa £ine oni elementi univerzuma koji pripadaju fazi skupusa merom ve¢om od 0.

• Kardinalnost fazi skupa A de�nisanog nad diskretnim kona£nimuniverzumom X, u oznaci card(A) ili |A|, odreena je sa:

|A| =∑x∈X

µA(x)

Kardinalnost fazi skupa je suma mera pripadnosti svih elemenata univer-zuma.

• Relativna kardinalnost fazi skupa A, u oznaci ‖A‖, de�nisanaje sa:

‖A‖ = |A||X|

Drugim re£ima, relativna kardinalnost fazi skupa je koli£nik kardinalnostifazi skupa i kardinalnosti univerzuma nad kojim je fazi skup de�nisan.

• Konveksnost fazi skupa. Fazi skup A je konveksan (ispup£en),videti sliku 1.3.2, akko za svako x1, x2 ∈ X i za λ ∈ [0, 1] vaºi:

µA [λx1 + (1− λ)x2] ≥ min {µA(x1), µA(x2)}

Primer 3. Nad univerzumom X = {x1, x2, ..., x7} de�nisan je fazi skupA:

A =

{0.1

x1,0.3

x2,0.5

x3,0.8

x4,1.0

x5,0.2

x6,0.0

x7

}Odrediti: visinu, jezgro, podr²ku, kardinalnost i relativnu kardinalnost

fazi skupa A.Re²enje:

hgt(A) = 1.0,core(A) = {x5},supp(A) = {x1, x2, x3, x4, x5, x6},|A| = 0.1 + 0.3 + 0.5 + 0.8 + 1.0 + 0.2 + 0.0 = 2.9,‖A‖ = 2.9

|X|=

2.9

7= 0.4143.

1.3. OSNOVE OSOBINE FAZI SKUPOVA 15

Slika 1.3.1. Podr²ka i jezgro fazi skupa

Slika 1.3.2. a) Konveksan fazi skup A, b) Ne-konveksan faziskup B

Fazi skup A je normalizovan (normalan) ako vaºi da je core(A) 6= /O,odnosno ako jezgro fazi skupa nije prazan skup, ili alternativno ako je vi-sina fazi skupa 1 (hgt(A) = 1). U suprotnom, za fazi skup se kaºe da jesubnormalan ili da nije normalizovan. Na slici 1.3.3 prikazan je normalizo-van fazi skup (trimf 1) i subnormalan fazi skup (trimf 2). O£igledno je da

16 1. FAZI SKUPOVI

Slika 1.3.3. Gra�ci normalizovanog i subnormalnog fazi skupa

subnormalan fazi skup ne doseºe do 1, odnosno njegova visina je manja od1.

Alfa presek fazi skupa A je klasi£an skup Aα de�nisan na slede¢i na£in:

Aα = {x | µA(x) ≥ α}

Fazi skup £ija je podr²ka jedan element x0 ∈ X tako da je µA(x0) = 1se naziva fazi singlton. Ova osobina se moºe izraziti na slede¢i na£in:

µA(x) =

1, x = x00, u suprotnomFazi singltoni se £esto koriste u raznim aplikacijama.

1.4. Osnove operacije nad fazi skupovima

Kao i u slu£aju klasi£nih (crisp) skupova tri osnovne operacije nad faziskupovima su presek, unija i komplement. Neka F (X) ozna£ava familiju svihfazi skupova nad domenom X.

1.4. OSNOVE OPERACIJE NAD FAZI SKUPOVIMA 17

Slika 1.4.1. Presek fazi skupova

Funkcija pripadnosti (slika 1.4.1) fazi skupa C ∈ F (X) koji je nastaokao presek fazi skupova A,B ∈ F (X) (C = A ∩ B ili C = A AND B)de�nisana je na slede¢i na£in:

(1.4.1) µC(x) = min (µA(x), µB(x))

Funkcija pripadnosti (slika 1.4.2) fazi skupa C ∈ F (X) koji je nastao kaounija fazi skupova A,B ∈ F (X) (C = A ∪ B ili C = A OR B) de�nisanaje na slede¢i na£in:

(1.4.2) µC(x) = max (µA(x), µB(x))

Komplement (slika 1.4.3) fazi skupa A ∈ F (X) je skup ozna£en sa Aili NOTA. Komplement fazi skupa kakav je predloºio Zadeh:

(1.4.3) µA(x) = 1− µA(x), ∀x ∈ X

18 1. FAZI SKUPOVI

Slika 1.4.2. Unija fazi skupova

Operatori 1.4.1, 1.4.2 i 1.4.3 se nazivaju standardni fazi operatori iakosu mogu¢e razne druge implementacije ovih operatora.

Operacija normalizacije se u praksi veoma £esto primenjuje. Ova ope-racija subnormalan (nenormalizovan) fazi skup pretvara u normalizovan faziskup £ija je visina 1. Operacija normalizacije sprovodi se tako ²to se odreditivisina fazi skupa (za subnormalan fazi skup ona je manja od 1), a zatim semere pripadnosti svih elemenata fazi skupa dele njegovom visinom.

Primer 4. Normalizovati fazi skupove A i B, koji su de�nisani naduniverzumom X = {x1, ..., x6}.

A =

{0.22

x1,0.67

x2,0.78

x3,0.92

x4,0.85

x5,0.49

x6

}

B =

{0.16

x1,0.23

x2,0.45

x3,0.68

x4,0.81

x5,0.94

x6

}Re²enje:Visina fazi skupa A je 0.92, prema tome meru pripadnosti svakog ele-

menta delimo sa 0.92, imamo: 0.220.92 = 0.24,0.670.92 = 0.73, itd. Za element x4

1.4. OSNOVE OPERACIJE NAD FAZI SKUPOVIMA 19

Slika 1.4.3. Komplement fazi skupa

imamo: 0.920.92 = 1, £ime normalizovan fazi skup A, u oznaci norm(A) doseºedo 1.

maxx∈XµA(x) = 0.92, norm(A) =

{0.24x1, 0.73x2 ,

0.85x3, 1.00x4 ,

0.92x5, 0.53x6

},

maxx∈XµB(x) = 0.94, norm(B) =

{0.17x1, 0.24x2 ,

0.47x3, 0.72x4 ,

0.86x5, 1.00x6

}1.4.1. Poreenje fazi skupova. Fazi skup A ∈ F (X) je uklju£en

(sadrºan - inkluzija fazi skupova) u fazi skupu B ∈ F (X) akko vaºi da jeµA(x) ≤ µB(x) za svako x ∈ X. Drugim re£ima, kaºe se da je fazi skup Apodskup fazi skupa B. Formalno zapisano:

(1.4.4) A ⊆ B ⇔ µA(x) ≤ µB(x), ∀x ∈ X

Faz skupovi A,B ∈ F (X) su jednaki ako su im jednake funkcije pripad-nosti:

(1.4.5) A = B ⇔ µA(x) = µB(x)

20 1. FAZI SKUPOVI

Osobine operatora nad fazi skupovima [5, 4, 8] koje takoe vaºe i zaklasi£ne (crisp) skupove su:

• Idempotentnost: A ∪A = A, A ∩A = A.• Komutativnost: A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A.• Asocijativnost: A∪(B ∪ C) = (A ∪B)∪C, A∩(B ∩ C) = (A ∩B)∩C.• Distributivnost: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) =

(A ∩B) ∪ (A ∩ C).• Zakon dvostruke negacije: A = A• De Morganovi zakoni:

(A ∪B

)= A ∩B,

(A ∩B

)= A ∪B.

Dakle, operatori unije i preseka fazi skupova imaju osobine idempotentnosti,komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Za fazi skupove vaºe De-Morgan-ovi zakoni i zakon dvostruke negacije. Za klasi£ne skupove vaºizakon isklju£enja tre¢eg (A ∪ A = X) i zakon kontradikcije (A ∩ A = Ø).Prema ²ire prihva¢enoj fazi teoriji imamo da je A ∪ A 6= X i A ∩ A 6=Ø, odnosno zakon isklju£enja tre¢eg i zakon kontradikcije ne vaºe za faziskupove. Nevaºenje ova dva zakona za fazi skupove lako se moºe dokazaticrtanjem gra�ka. Ipak, postoje i pristupi koji se razlikuju, pogledati [9, 10].

Primer 5. Dati su diskertni fazi skupovi A i B de�nisani nad domenomX = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}:

A =

{1.00

x1,0.873

x2,0.612

x3,0.471

x4,0.296

x5,0.117

x6,0.00

x7

}

B =

{0.00

x1,0.269

x2,0.612

x3,1.00

x4,0.842

x5,0.359

x6,0.00

x7

}Odrediti uniju i presek ovih skupova, a zatim komplement skupa A. Da

li je fazi skup A uklju£en u fazi skup B?Re²enje:A ∪B =

{1.00x1, 0.873x2 ,

0.612x3

, 1.00x4 ,0.842x5

, 0.359x6 ,0.00x7

}.

A ∩B ={

0.00x1, 0.269x2 ,

0.612x3

, 0.471x4 ,0.296x5

, 0.117x6 ,0.00x7

}.

A ={

0.00x1, 0.127x2 ,

0.388x3

, 0.529x4 ,0.704x5

, 0.883x6 ,1.00x7

}.

Unija fazi skupova odreuje se kao maksimum odgovaraju¢ih mera pri-padnosti za svaki element; presek se odreuje kao minimum odgovaraju¢ihmera pripadnosti. Mera pripadnosti komplementu fazi skupa je razlika iz-meu 1 i mere pripadnosti elementa fazi skupu.

1.5. T-NORMA I T-KONORMA (S-NORMA) 21

Fazi skup A nije uklju£en u fazi skup B jer je npr. za elemenat x1µA(x1) > µB(x1), odnosno 1 > 0, £ime nije zadovoljen uslov: A ⊆ B ⇔µA(x) ≤ µB(x), ∀x ∈ X.

Primer 6. Pomo¢u softverskog okruºenja Matlab, za fazi skupove A i

B odrediti: C = A ∪B, D = A ∩B, E = A, F =

1, A ⊆ B0 A * B .A =

{0.23

x1,0.56

x2,0.67

x3,0.89

x4,1.00

x5,1.00

x6

}

B =

{0.12

x1,0.57

x2,0.58

x3,0.73

x4,0.89

x5,1.00

x6

}Re²enje:Fazi skupove A i B moºemo uneti u Matlab u obliku nizova:

A=[0.23 0.56 0.67 0.89 1.00 1.00]

B=[0.12 0.57 0.58 0.73 0.89 1.00]

Sada moºemo prora£unati:

C=max(A,B)

D=min(A,B)

E=1-A

F=min(A

22 1. FAZI SKUPOVI

(1.5.2) µA∩B(x) = t [µA(x), µB(x)] , ∀x ∈ X

Generi£ki operator preseka kao funkcija dva argumenta, de�nisan po-mo¢u t-norme mora zadovoljiti £etiri osnovna uslova:

• Komutativnost: t (a, b) = t (b, a).• Asocijativnost: t [a, t (b, c)] = t [t (a, b) , c].• Monotonost: ako je a ≤ c i b ≤ d onda je t (a, b) ≤ t (c, d).• Grani£ni uslov: t (0, 0) = 0, t (a, 1) = t (1, a) = a.

Uslov monotonosti obezbeuje da smanjivanje vrednosti funkcija pripadnostiskupova A i B ne moºe proizvesti pove¢anje vrednosti funkcije pripadnostiskupa A ∩ B. Grani£ni uslov obezbeuje korektnu generalizaciju klasi£nih(crisp) skupova; vrednost funkcije pripadnosti ostaje u intervalu [0, 1].

Primer 7. Pokazati da funkcija min kao operator preseka fazi skupovazadovoljava uslove t-norme.

Re²enje:

• Komutativnost: min (a, b) = min (b, a).• Asocijativnost: min [a,min (b, c)] = min [min (a, b) , c].• Monotonost: ako je a ≤ c i b ≤ d onda je min (a, b) ≤ min (c, d).• Grani£ni uslov: min (0, 0) = 0, min (a, 1) = min (1, a) = a.

Ovim je pokazano da vaºe sva £etiri uslova, odnosno funkcija min je kaooperator preseka fazi skupova t-norma.

Uop²teno de�nisana unija fazi skupova A i B je data funkcijom 1.5.3.

(1.5.3) s : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]

U ovom slu£aju, agregacija dve funkcije pripadnosti je de�nisana u 1.5.4.

(1.5.4) µA∪B(x) = s [µA(x), µB(x)] , ∀x ∈ X

Generi£ki operator unije kao funkcija dva argumenta, de�nisan pomo¢us-norme takoe mora zadovoljiti £etiri osnovna uslova:

• Komutativnost: s (a, b) = s (b, a).• Asocijativnost: s [a, s (b, c)] = s [s (a, b) , c].• Monotonost: ako je a ≤ c i b ≤ d onda je s (a, b) ≤ s (c, d).


Naziv t-norma ili s-normaMinimum tmin (a, b) = min (a, b)Maksimum smax (a, b) = max (a, b)

Algebarski proizvod (Algebraic product) tap(a, b) = a · bAlgebarska suma (Algebraic sum) sas(a, b) = a+ b− a · b

Ograni£eni proizvod (Bounded product) tbp(a, b) = max (0, a+ b− 1)Ograni£ena suma (Bounded sum) sbs(a, b) = min (1, a+ b)

Drasti£ni proizvod (Drastic product) tdp(a, b) =

a, ako je b = 1b, ako je a = 10, u suprotnom

Drasti£na suma (Drastic sum) sds(a, b) =

a, ako je b = 0b, ako je a = 01, u suprotnom

Tabela 1. etiri para neparametarskih dualnih t-normi i s-normi

• Grani£ni uslov: s (1, 1) = 1, s (0, a) = s (a, 0) = a.

Funkcija max kao operator unije dva fazi skupa je s-norma, dokaz da je maxs-norma je analogan dokazu da je min t-norma.

Dualnost t-norme i s-norme je zadovoljena ako vaºe uop²teni De-Morganovizakoni 1.5.5 i 1.5.6.

(1.5.5) t (a, b) = s(a, b)

(1.5.6) s (a, b) = t(a, b)

Ako se koristi Zadeh-ova de�nicija fazi komplementa 1.4.3, zakoni 1.5.5i 1.5.6 se mogu zapisati kao u 1.5.7 i 1.5.8.

(1.5.7) t (a, b) = 1− s (1− a, 1− b)

(1.5.8) s (a, b) = 1− s (1− a, 1− b)

etiri para £esto kori²¢enih neparametarskih t-normi i odgovaraju¢ihdualnih s-normi [2] prikazana su u Tabeli 1 (etiri para neparametarskihdualnih t-normi i s-normi).

24 1. FAZI SKUPOVI

Uop²teni De-Morgan-ovi zakoni su zadovoljeni ako se koristi jedan od sle-de¢ih parova t-norma - s-norma: (tmin, smax) , (tap, sas) , (tbp, sbs) , (tdp, sds).Takoe, vaºe osobine navedene u 1.5.9 i 1.5.10.

(1.5.9) tdp(a, b) ≤ tbp(a, b) ≤ tap(a, b) ≤ tmin(a, b)

(1.5.10) smax(a, b) ≤ sap(a, b) ≤ sbs(a, b) ≤ sdp(a, b)

Operator min je najve¢a t-norma ²to proizilazi iz osobine idempotent-nosti tmin(a, a) = a; operator max je najmanja s-norma ²to proizilazi izosobine idempotentnosti smax(a, a) = a [3, 2, 13].

U praksi se £esto koriste t-norme 1.5.11 i 1.5.12, kao i s-norme 1.5.13 i1.5.14.

(1.5.11) tl (a, b) = max (0, a+ b− 1)

(1.5.12) tw (a, b) =

min(a, b), ako je max(a, b) = 10, u suprotnom(1.5.13) sl (a, b) = min (1, a+ b)

(1.5.14) sw (a, b) =

max(a, b), ako je min(a, b) = 01, u suprotnomOsim navedenog, prou£avan je alternativni pristupi de�nisanja norme

(H-norma), koja nema sve osobine t-norme [14], kao i pristup generalizacijeBulove algebre opisan u [9, 10].

Primer 8. Pomo¢u £etiri para neparametarskih dualnih t-normi i s-normi iz Tabele 1 (etiri para neparametarskih dualnih t-normi i s-normi),odrediti presek i uniju fazi skupova A i B.

A =

{0.35

x1,0.52

x2,0.78

x3,1.00

x4,0.65

x5,0.12

x6

}


B =

{0.22

x1,0.47

x2,0.82

x3,1.00

x4,0.78

x5,0.21

x6

}Re²enje:A ∪sds B =

{1.00x1, 1.00x2 ,

1.00x3, 1.00x4 ,

1.00x5, 1.00x6

}A ∩tmin B =

{0.22x1, 0.47x2 ,

0.78x3, 1.00x4 ,

0.65x5, 0.12x6

}A ∪smax B =

{0.35x1, 0.52x2 ,

0.82x3, 1.00x4 ,

0.78x5, 0.21x6

}A ∩tap B =

{0.077x1

, 0.244x2 ,0.639x3

, 1.00x4 ,0.507x5

, 0.0252x6

}A ∪sas B =

{0.493x1

, 0.746x2 ,0.961x3

, 1.00x4 ,0.923x5

, 0.3048x6

}A ∩tbp B =

{0.00x1, 0.00x2 ,

0.60x3, 1.00x4 ,

0.43x5, 0.00x6

}A ∪sbs B =

{0.57x1, 0.99x2 ,

1.00x3, 1.00x4 ,

1.00x5, 0.33x6

}A ∩tdp B =

{0.00x1, 0.00x2 ,

0.00x3, 1.00x4 ,

0.00x5, 0.00x6

}A ∪sds B =

{1.00x1, 1.00x2 ,

1.00x3, 1.00x4 ,

1.00x5, 1.00x6

}

Primer 9. Operacije unije preseka i komplementa fazi skupova.

Nad univerzumom X = {x1, ..., x10} de�nisani su diskretni fazi skupovi:

A =

{1.000

x1,0.955

x2,0.892

x3,0.782

x4,0.610

x5,0.523

x6,0.456

x7,0.393

x8,0.285

x9,0.000

x10

}B =

{1.000

x1,1.000

x2,0.869

x3,0.707

x4,0.658

x5,0.599

x6,0.424

x7,0.359

x8,0.000

x9,0.000

x10

}C =

{1.000

x1,0.931

x2,0.851

x3,0.794

x4,0.686

x5,0.562

x6,0.414

x7,0.392

x8,0.298

x9,0.000

x10

}Ako je E = (A ∩ B) ∪ Cc, odrediti D = norm(E), gde je norm operacijanormalizacije.

Re²enje:

A∩B ={

1.000

x1,0.955

x2,0.869

x3,0.707

x4,0.610

x5,0.523

x6,0.424

x7,0.359

x8,0.000

x9,0.000

x10

}Cc =

{0.000

x1,0.069

x2,0.149

x3,0.206

x4,0.314

x5,0.438

x6,0.586

x7,0.608

x8,0.702

x9,1.000

x10

}E =

{1.000

x1,0.955

x2,0.869

x3,0.707

x4,0.610

x5,0.523

x6,0.586

x7,0.608

x8,0.702

x9,1.000

x10

}

26 1. FAZI SKUPOVI

D =

{1.000

x1,0.955

x2,0.869

x3,0.707

x4,0.610

x5,0.523

x6,0.586

x7,0.608

x8,0.702

x9,1.000

x10

}

Primer 10. Operacije unije, preseka i komplementa fazi skupova.Nad univerzumom X = {x1, ..., x10} de�nisani su diskretni fazi skupovi:

A =

{0.000

x1,0.505

x2,0.623

x3,0.733

x4,1.000

x5,0.776

x6,0.690

x7,0.519

x8,0.472

x9,0.000

x10

}B =

{0.000

x1,0.569

x2,0.696

x3,1.000

x4,0.774

x5,0.609

x6,0.554

x7,0.497

x8,0.379

x9,0.000

x10

}C =

{0.000

x1,0.514

x2,0.697

x3,0.741

x4,0.823

x5,1.000

x6,0.745

x7,0.627

x8,0.509

x9,0.000

x10

}Ako je E = (A ∪ B) ∩ Cc, odrediti: D = norm(E), gde je norm oznakaoperacije normalizacije.

Re²enje:

A∪B ={

0.000

x1,0.569

x2,0.696

x3,1.000

x4,1.000

x5,0.776

x6,0.690

x7,0.519

x8,0.472

x9,0.000

x10

}Cc =

{1.000

x1,0.486

x2,0.303

x3,0.259

x4,0.177

x5,0.000

x6,0.255

x7,0.373

x8,0.491

x9,1.000

x10

}E =

{0.000

x1,0.486

x2,0.303

x3,0.259

x4,0.177

x5,0.000

x6,0.255

x7,0.373

x8,0.472

x9,0.000

x10

}D =

{0.000

x1,1.000

x2,0.623

x3,0.533

x4,0.364

x5,0.000

x6,0.525

x7,0.767

x8,0.971

x9,0.000

x10

}

GLAVA 2

FAZI LOGIKA

Teorija fazi skupova omogu¢ila je svojevrsnu generalizaciju klasi£ne (Bu-lovske) logike jer umesto skupa {0, 1} posmatramo ceo interval [0, 1]. Drugimre£ima, elementi mogu pripadati fazi skupu sa odreenom merom. Postavljase pitanje de�nicije logi£kih operatora konjukcije (AND), disjunkcije (OR) inegacije (NOT) za slu£aj kada operandi uzimaju vrednost iz intervala [0, 1].Re²enje je naeno u primeni t-normi i s-normi, ali ostaje pitanje ostalihlogi£kih operatora, pre svega implikacije. Teorija fazi skupova omogu¢ila jede�niciju fazi promenljivih i njenih vrednosti. Vrednosti fazi promenljivih sulingvisti£ke vrednosti, odnosno re£i govornog jezika, £ije je egzaktno zna£enjede�nisano pomo¢u fazi skupova. Dalje, uvoenjem pojma fazi propozicijeostvarena je mogu¢nost de�nisanja If -Then (Ako - Onda) pravila koja sesastoje od fazi propozicija i fazi logi£kih veznika. Ovakva, fazi If - Then pra-vila su osnov fazi inferentnih sistema. Fazi mehanizam zaklju£ivanja po£ivana pravilu zaklju£ivanja: Generalizovani Modus Ponens (GMP). Mogu¢e jekori²¢enje sistema fazi pravila sa vi²estrukim antecedentima. Osnovni gra-divni elementi ovakvih pravila su lingvisti£ke (fazi) promenljive i lingvisti£kevrednosti.

2.1. Lingvisti£ke promenljive i lingvisti£ke vrednosti

Teorija fazi skupova omogu¢uje predstavljanje re£i govornog jezika ililingvisti£kih termina na egzaktan na£in. Naime, zna£enje re£i govornog je-zika koje ljudi koriste, nije egzaktno odreeno. Primeri takvih re£i su: �star�,�mlad�, �brzo�, �sporo�, �visoko�, �nisko�, itd. Sa stanovi²ta ra£unara koji kori-ste brojevno predstavljanje informacija, ra£unanje sa nejasnim, ne-egzaktnimterminima nije mogu¢e. Stoga je potrebno nejasne, �rasplinute� terminepredstaviti na egzaktan na£in. Nejasni termini kakvi se £esto koriste u go-vornom jeziku nazivaju se lingvisti£ki termini, a egzaktno se predstavljajufazi skupom, odnosno funkcijom pripadnosti. Direktna veza izmeu pri-rodnog, govornog jezika i egzaktnih predstava kakve koriste ra£unari stvarase upotrebom fazi promenljivih. Ove promenljive su takoe re£i govornog

27

28 2. FAZI LOGIKA

Slika 2.1.1. Fazi promenljiva �starost� i njene vrednosti

jezika, npr. �uzrast� (�starost�), �brzina�, �temperatura�, �udaljenost�, itd.Vrednosti fazi promenljivih su lingvisti£ke vrednosti, stoga se moºe re¢i dasu vrednosti fazi promenljive de�nisane fazi skupovima. Fazi promenljivase £esto naziva lingvisti£ka promenljiva jer su njene vrednosti re£i govornogjezika, a njene vrednosti se nazivaju lingvisti£ke vrednosti. Pogodni primerifazi promenljivih i njihovih mogu¢ih vrednosti su:

• fazi promenljiva visina, vrednosti: visok, osrednji, nizak,• fazi promenljiva starost (uzrast), vrednosti: mlad, sredove£an, star,• fazi promenljiva brzina, vrednosti: sporo, brzo.

Na slici 2.1.1 prikazana je fazi promenljiva �starost� i tri njene mogu¢e vred-nosti: �mlad�, �sredove£an� i �star�.

Naravno, mogu¢e je druga£ije podesiti funkcije pripadnosti za vrednosti�mlad�, �sredove£an� i �star� u smislu izbora oblika funkcije i njenog poloºaja- ne¢e se svi sloºiti da je osoba starosti 60 godina sredova£na u meri 1,odnosno potpuno sredove£na. Ovde do izraºaja dolazi subjektivnost onogako projektuje sistem koji koristi fazi promenljive. Takoe, ne¢e se svi sloºitida su mogu¢e samo tri vrednosti fazi promenljive �starost�; ovaj broj se moºepove¢ati dodatnim lingvisti£kim vrednostima, npr. �novoroen£e� bi moglabiti jo² jedna vrednost fazi promenljive �starost�. Uzev²i to u obzir, mogu¢eje projektovanje �eksibilnih sistema koji su opisani re£ima govornog jezika.

Sloºenije lingvisti£ke strukture kao ²to su: �manje-vi²e mlad�, �veomabrz�, itd. mogu se egzaktno predstaviti uvoenjem modi�katora lingvisti£kihvrednosti, koji se zasnivaju na egzaktnim operatorima modi�kacije [5].

2.1. LINGVISTIKE PROMENLJIVE I LINGVISTIKE VREDNOSTI 29

2.1.1. Operatori modi�kacije. Modi�katori lingvisti£kih vrednosti sede�ni²u pomo¢u operatora modi�kacije. Ovi operatori, kako im ime govori,modi�kuju fazi skup menjaju¢i funkciju pripadnosti. Ako je dat fazi skup Ade�nisan nad univerzumom X, operatore modi�kacije moºemo de�nisati naslede¢i na£in:

• Mnoºenje skalarom,

(2.1.1) µαA(x) = αµA(x), α > 0, α ∈ R+, ∀x ∈ X αµA(x) ≤ 1

Dakle, α je ne-negativan realan broj; proizvod broja α i vredno-sti funkcije pripadnosti pojedinog elementa ne sme biti ve¢i od 1,odnosno vrednost funkcije pripadnosti ostaje u intervalu [0, 1].• Stepenovanje,

(2.1.2) µAα(x) = (µA(x))α , α ∈ R

• Normalizacija,

(2.1.3) norm(A) =A

µ̃A, µ̃A 6= 0, µ̃A =

sup

xµA(x)

Operacija normalizacije obja²njena je u poglavlju 1.4.• Koncentracija fazi skupa, conc(A) de�nisana je kao stepenovanjefazi skupa za slu£aj kada je izloºilac 2, conc(A) = A2, odnosno:

(2.1.4) µconc(A)(x) = (µA(x))2

Ova operacija smanjuje vrednosti stepena (mere) pripadnosti, takoda se smanjuje i kardinalnost koncentrisanog fazi skupa. Fazi skuppoprima oblik koji je koncentrisan oko sredi²ta.• Pro²irenje (dilatacija) fazi skupa, dil(A) de�nisano je kao stepe-novanje fazi skupa za slu£aj kada je izloºilac 0.5, dil(A) = A0.5,odnosno:

(2.1.5) µdil(A)(x) = (µA(x))0.5

Operacija dilatacije vr²i se odreivanjem drugog korena broja. Ovaoperacija pove¢ava vrednosti stepena (mere) pripadnosti, tako dase pove¢ava i kardinalnost dilatiranog fazi skupa.

30 2. FAZI LOGIKA

Slika 2.1.2. Dilatacija i koncentracija fazi skupa

• Poja£anje kontrasta, int(A) de�nisano je na slede¢i na£in:

(2.1.6) µint(A) =

2 (µA(x))2 , 0 ≤ µA(x) ≤ 0.5

1− 2 [1− µA(x)]2 , 0.5 < µA(x) ≤ 1

Operacija poja£anja kontrasta podrazumeva dodatno pove¢anje merapripadnosti onih elemenata £ija je po£etna mera pripadnosti ve¢aod 0.5. Obratno, mera pripadnosti se dodatno smanjuje za elemente£ija je po£etna mera pripadnosti manja od 0.5.

Na slici 2.1.2 prikazani su gra�ci fazi skupova A, dil(A) = A0.5 i conc(A) =A2 na primeru zvonaste gausove krive.

Uz pomo¢ operatora modi�kacije mogu¢e je de�nisati modi�katore lin-gvisti£kih vrednosti.

2.2. FAZI PROPOZICIJA I LOGIKI VEZNICI 31

2.1.2. Modi�katori lingvisti£kih vrednosti. Re£i govornog jezika,odnosno lingvisti£e termine koje £esto upotrebljavamo u govornom jezikukao ²to su �mlad�, �star�, �visok�, �nizak�, itd. moºemo modi�kovati uz po-mo¢ modi�katora lingvisti£kih vrednosti. Ovi modi�katori omogu¢uju da sena egzaktan na£in iskaºe zna£enje nejasnih termina kao ²to su npr. �veomamlad�, �izuzetno visok�, £ak i izraz poput �manje-vi²e nizak�. Lingvisti£kevrednosti su formalno predstavljene fazi skupom koji je izmenjen modi�ka-torom lingvisti£ke vrednosti. Uobi£ajene de�nicije modi�katora lingisti£kihvrednosti koriste operatore modi�kacije 2.1.1 - 2.1.6.

veoma A = conc(A)(2.1.7)

manje-vi²e A = dil(A)(2.1.8)

pone²to A = norm(A ∩ (veoma A)

)(2.1.9)

tipa A = norm((conc2(A)

)∩ dil(A)

)(2.1.10)

prili£no A = norm(int(A) ∩ (int(conc(A)))

)(2.1.11)

izuzetno A = norm (int(A))(2.1.12)

Modi�katori lingvisti£kih vrednosti koriste operatore preseka fazi sku-pova i komplement. Osim de�nicija 2.1.7 - 2.1.12 mogu¢e su i druga£ijede�nicije modi�katora lingvisti£kih vrednosti.

Primer 11. Pomo¢u softverskog okruºenja Matlab za fazi skup A odre-diti: veoma A (2.1.7), manje-vi²e A (2.1.8), izuzetno A (2.1.12) i ne veoma A(pomo¢u 2.1.7 i komplementa fazi skupa 1.4.3).

A =

{0.23

x1,0.56

x2,0.67

x3,0.89

x4,1.00

x5,1.00

x6

}Re²enje:Pogledati algoritam 1.

2.2. Fazi propozicija i logi£ki veznici

Fazi propozicija omogu¢uje da se predstave tvrenja koja sadrºe lin-gvisti£ke vrednosti odnosno re£i govornog jezika. Lingvisti£ke vrednosti supredstavljene fazi skupom.

32 2. FAZI LOGIKA

Algoritam 1 Lingvisti£ki modi�katori, implementacija pomo¢u Matlab-a

A=[0.23 0.56 0.67 0.89 1.00 1.00]

for i=1:length(A)

concA(i)=A(i)^2;

end

for i=1:length(A)

dilA(i)=A(i)^0.5;

end

for i=1:length(A)

if A(i)

2.3. FAZI RELACIJE 33

µA(x) 0 1 0 1 0.0 0.6 1.0 0.9

µB(x) 0 0 1 1 0.7 0.3 0.2 0.1

¬µA(x) = 1− µA(x) 1 0 1 0 1.0 0.4 0.0 0.1µA(x) ∧ µB(x) = min (µA(x), µB(x)) 0 0 0 1 0.0 0.3 0.2 0.1µA(x) ∨ µB(x) = max (µA(x), µB(x)) 0 1 1 1 0.7 0.6 1.0 0.9

µA(x)⇒ µB(x) = min (1, 1− µA(x) + µB(x)) 1 0 1 1 1.0 0.7 0.2 0.2µA(x)⇔ µB(x) = 1− |µA(x)− µB(x)| 1 0 0 1 0.3 0.7 0.2 0.2

Tabela 1. Primer fazi logi£kih veznika

2.3. Fazi relacije

Pojam relacije je jedan od osnovnih pojmova u nauci. Tradicionalno,pojam relacije predstavlja prisustvo ili odsustvo veze ili interakcije izmeuelemenata dva ili vi²e skupova. Relacija je, kao jedan od osnovnih pojmovapomo¢u koga se de�ni²u veze meu elementima, u ²irokoj upotrebi u domenuinºenjerstva [2, 3, 5]. U klasi£nom smislu, relacija na egzaktan na£in opisujevezu izmeu dva ili vi²e elemenata. U fazi smislu, fazi relacija takoe naegzaktan na£in opisuje neprecizne odnose izmeu elemenata. Stoga pojamfazi relacije predstavlja generalizaciju relacije u klasi£nom smislu. Uobi£ajenipristup de�niciji fazi relacije podrazumeva prethodno razmatranje relacije uklasi£nom smislu, odnosno relacije nad elementima koji pripadaju klasi£nim(crisp) skupovima.

RelacijaR de�nisana nad klasi£nim (crisp) skupovimaX1, X2, ..., Xn, n ≥2, je klasi£an podskup dekartovog proizvoda skupova X1 ×X2 × ...×Xn:

(2.3.1) R = {((x1, ..., xn) , ϕR (x1, ..., xn)) | (x1, ..., xn) ∈ X1 × ...×Xn}

U 2.3.1 ϕR (x1, ..., xn) je karakteristi£na funkcija relacije R:

(2.3.2) ϕR : X1 × ...×Xn → {0, 1}

(2.3.3) ϕR (x1, ..., xn) =

1, akko (x1, ..., xn) ∈ R0, akko (x1, ..., xn) /∈ RDakle, elementi dva ili vi²e skupova potpuno pripadaju klasi£noj rela-

ciji (1), ili joj potpuno ne pripadaju (0). Nasuprot tome, generalizacija

34 2. FAZI LOGIKA

koncepta klasi£ne relacije omogu¢uje razli£ite mere povezanosti izmeu ele-menata. Fazi relacija se temelji na ideji da je sve povezano u odreenoj meri.Formalno, fazi raleacija je de�nisana u 2.3.4.

(2.3.4) R = {((x1, ..., xn) , µR (x1, ..., xn)) | (x1, ..., xn) ∈ X1 × ...×Xn}

Funkcija pripadnosti relacije R je data u 2.3.5.

(2.3.5) µR : X1 × ...×Xn → [0, 1]

Pripadnost fazi relaciji izraºena je pomo¢u mere pripadnosti iz opsega[0, 1], za razliku od klasi£ne relacije kojoj je pripadnost izraºena pomo¢uvrednosti iz skupa {0, 1}. Dakle, u slu£aju fazi relacije postoji mera sakojom n-torka elemenata pripada relaciji. Specijalni slu£aj fazi relacije jebinarna fazi relacija navedena u 2.3.6.

(2.3.6) R = {((x1, x2) , µR (x1, x2)) | (x1, x2) ∈ X1 ×X2}

Ako imamo fazi skupove A1, A2, ..., An, n ≥ 2 koji su de�nisani nad uni-verzumima X1, X2, ..., Xn respektivno, tada je dekartov proizvod ovih faziskupova, fazi relacija kojoj elementi pripadaju sa merom pridanosti de�ni-sanoj u 2.3.7.

(2.3.7)µA1×...×An (x1, ..., xn) = t (µA1(x1), ..., µAn(xn)) , xi ∈ Xi, i = 1, 2, ..., n

Ovde je t-norma pro²irena za n-dimenzioni slu£aj, naj£e²¢e se koriste minili prod. Specijalni, posebno pogodni slu£aj je kada je n = 2 jer je na tajna£in (uz pomo¢ fazi relacija) mogu¢e de�nisati fazi implikaciju. Dekartovproizvod fazi skupovaA ∈ F (X) iB ∈ F (Y ) je fazi relacijaA×B ∈ F (X×Y )de�nisana u 2.3.8.

(2.3.8) µA×B (x, y) = t [µA (x) , µB (y)] , ∀x ∈ X, y ∈ Y

Binarna fazi relacija R ∈ F (X ×X) ima osobine re�eksivnosti, simetri£-nosti i tranzitivnosti.


Marko Sanja Petar Marko Sanja PetarMilan 0 1 1 Milan 0.2 0.9 0.8Zoran 1 0 0 Zoran 0.8 0.1 0.3Jelena 1 1 1 Jelena 0.7 0.8 0.9Ivona 0 1 0 Ivona 0.3 0.7 0.1

Tabela 2. Klasi£na (levo) i fazi relacija (desno)

Primer 12. Relacija �dobri prijatelji� u klasi£nom i fazi slu£aju, prika-zana je u Tabeli 2 (Klasi£na i fazi relacija).

U klasi£nom smislu, dve osobe su dobri prijatelji u potpunosti (1), kaonpr. Marko i Jelena, pogledati Tabelu 2 (Klasi£na i fazi relacija), ili u pot-punosti nisu dobri prijatelji (0), kao npr. Sanja i Zoran. U fazi smislu, svisu dobri prijatelji u odreenoj meri; mera moºe biti 1, 0 ili broj izmeu 1 i0.

2.3.1. Kompozicija fazi relacija. Fazi relacije de�nisane na prethodnoopisani na£in mogu se kombinovati pomo¢u operatora kompozicije fazi re-lacija. Iako su predloºeni mnogi operatori kompozicije, posebno je vaºnasup-min kompozicija koju je predloºio Zadeh.

Kompozicija sup-min tipa dve binarne fazi relacije R ∈ F (X1 ×X2) iS ∈ F (X2 ×X3) je nova binarna fazi relacija R ◦ S ∈ F (X1 ×X3) £ija jefunkcija pripadnosti de�nisana kao u 2.3.9.

(2.3.9)µR◦S (x1, x3) = sup

x2 ∈ X2min (µR (x1, x2) , µS (x2, x3)) , ∀ (x1, x3) ∈ X1×X3

Ukoliko su domeni nad kojima su de�nisani fazi skupovi diskretni, sup-min kompozicija moºe biti zamenjena max-min kompozicijom, kao u 2.3.10.

(2.3.10)µR◦S (x1, x3) = max

x2 ∈ X2min (µR (x1, x2) , µS (x2, x3)) , ∀ (x1, x3) ∈ X1×X3

Generalizacija kompozicije fazi relacije se postiºe izborom t-norme ume-sto min operatora, tako da imamo max-t kompoziciju odnosno sup-t kom-poziciju kao u 2.3.11.

36 2. FAZI LOGIKA

(2.3.11)µR◦S (x1, x3) = sup

x2 ∈ X2t (µR (x1, x2) , µS (x2, x3)) , ∀ (x1, x3) ∈ X1 ×X3

Analogno de�niciji kompozicije dve fazi relacije, mogu¢e je de�nisatikompoziciju fazi skupa i fazi relacije. Kompozicijom sup-min tipa fazi skupaA ∈ F (X) i fazi relacije R ∈ F (X,Y ) dobijamo fazi skup B ∈ F (Y ). Faziskup B = A ◦ R je de�nisan fazi funkcijom pripadnosti koja je prikazana u2.3.12.

(2.3.12) µB=A◦R (y) = supx ∈ X

min (µA (x) , µR (x, y)) , ∀y ∈ Y

Ponovo, ako se radi o diskretnim univerzumima nad kojima su de�nisanifazi skupovi, sup-min kompozicija se moºe zameniti max-min kompozicijom.Generalizacija se postiºe biranjem t-norme umesto min operatora £ime do-bijamo izraz 2.3.13.

(2.3.13) µB=A◦R (y) = supx ∈ X

t (µA (x) , µR (x, y)) , ∀y ∈ Y

Primer 13. Kompozicija fazi skupa i fazi relacije.

Dat je diskretni fazi skup A′ de�nisan nad univerzumom X = {x1, ..., x4}i fazi relacija R nad X × Y gde je Y = {y1, y2, y3}:

A′ =

{0.000

x1,0.514

x2,0.626

x3,1.000

x4

}

R =

0.440 0.710 0.000

0.330 0.430 0.680

0.480 0.440 0.240

0.230 0.300 0.830

Koristiti max-min kompoziciju fazi skupa A′ i fazi relacije R. Izvesti B′ i

odrediti: hgt(B′), core(B′), supp(B′), |B′| i |B′||Y |

.

Re²enje:Prora£un zaklju£ka izvodi se procedurom koja je analogna proceduri

mnoºenja matrica, prvo se odreuje rezultat t-norme (u ovom slu£aju je to


min), primenjene na odgovaraju¢e elemente vrste fazi skupa i odgovaraju¢eelemente kolone fazi relacije. Zatim se vrednost mere pripadnosti odgova-raju¢eg elementa rezultata prora£unava kao maksimalna vrednost nastalapomo¢u izabrane t-norme. U ovom primeru, vrednost pripadnosti elementay1 prora£unata je na slede¢i na£in:

µ(y1) = max(min(0.000, 0.440), ...,min(1.000, 0.230))

= 0.480

B′ =

{0.480

y1,0.440

y2,0.830

y3

}hgt(B′)= 0.830

supp(B′)= {y1, y2, y3}

core(B′)= {}

|B′| = 1.750

|B′||Y |

= 0.583

Primer 14. Kompozicija fazi skupa i fazi relacije.


A′ =

{0.000

x1,0.536

x2,0.617

x3,1.000

x4

}

R =

0.520 0.560 0.520

0.550 0.890 0.310

0.050 0.480 0.420

0.460 0.980 0.050

Koristiti max-prod kompoziciju fazi skupa A′ i fazi relacije R. Izvesti B′ i

odrediti: hgt(B′), core(B′), supp(B′), |B′| i |B′||Y |

.

Re²enje:

38 2. FAZI LOGIKA

B′ =

{0.460

y1,0.980

y2,0.259

y3

}hgt(B′)= 0.980

supp(B′)= {y1, y2, y3}

core(B′)= {}

|B′| = 1.699

|B′||Y |

= 0.566

2.4. Fazi broj i princip pro²irenja

Fazi broj je mogu¢e predstaviti pomo¢u fazu skupa A koji je de�nisanfunkcijom pripadnosti sa slede¢im osobinama [5, 8]:

• funkcija pripadnosti fazi skupa A je de�nisana nad domenom realnihbrojeva,• funkcija pripadnosti fazi skupa A je konveksna,• fazi skup A je normalizovan,• funkcija pripadnosti fazi skupa A je deo po deo neprekidna.

Na slici 2.4.1a predstavljen je broj 5 pomo¢u funkcije koja dostiºe vrednost1 samo za broj 5, za ostale brojeve vrednost funkcije je 0. Na slici 2.4.1b jeprikazan fazi broj 5 pomo¢u funkcije pripadnosti koja ima vrednost 1 za broj5, meutim za brojeve bliske broju 5, funkcija uzima vrednost iz intervala[0, 1]. U fazi smislu, to zna£i da se moºe smatrati da je npr. broj 4.8 broj 5u meri koja je ve¢a od 0.

Godine 1975. Zadeh je de�nisao princip pro²irenja (Extension principle)[15, 16] koji omogu¢uje ra£un sa fazi brojevima. Princip pro²irenja se bazirana funkciji preslikavanja: f : X → Y tako da je rezultat fazi broj f (A,B),a funkcija pripadnosti rezultuju¢eg fazi broja se ra£una kao u 2.4.1.

(2.4.1) µf(A,B) = supy = f (x1, x2)

(µA (x1) ∧ µB (x2))

Za diskretni slu£aj imamo 2.4.2:

2.4. FAZI BROJ I PRINCIP PROIRENJA 39

Slika 2.4.1. a) Broj 5 - fazi singleton, b) Fazi broj 5

(2.4.2) µf(A,B) = maxy = f (x1, x2)

(µA (x1) ∧ µB (x2))

Primer 15. Pomo¢u principa pro²irenja 2.4.2, na¢i zbir C fazi brojevaA i B ako su:

A =

{0.00

0,0.00

1,0.21

2,1.00

3,0.15

4,0.12

5,0.06

6,0.01

7,0.00

8,0.00

9,0.00

10

}

B =

{0.00

0,0.00

1,0.00

2,0.04

3,0.22

4,1.00

5,0.17

6,0.05

7,0.03

8,0.00

9,0.00

10

}Re²enje:Potrebno je prora£unati funkciju pripadnosti fazi broja C = f(A,B) =

A+B. Fazi skup A predstavlja fazi broj 3 jer na tom mestu funkcija pripad-nosti doseºe 1; analogno fazi skup B predstavlja fazi broj 5. Jasno je da kadasaberemo fazi broj 3 i fazi broj 5, o£ekujemo da rezultat bude fazi broj 8, natom mestu rezultuju¢a funkcija pripadnosti ¢e imati vrednost 1. Potrebno jeodrediti vrednosti rezultuju¢e funkcije pripadnosti za ostale elemente. Prema2.4.2 je:

µf(A,B)(0) = max (min (µA (0) , µB (0))) = 0

µf(A,B)(1) = max (min (µA (1) , µB (0)) ,min (µA (0) , µB (1))) = 0,

jer je 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1

µf(A,B)(2) = max (min (µA (2) , µB (0)) ,min (µA (0) , µB (2)) ,min (µA (1) , µB (1))) = 0,

40 2. FAZI LOGIKA

jer je 2 + 0 = 2, 0 + 2 = 2, 1 + 1 = 2

µf(A,B)(3) = max(

min (µA (3) , µB (0)) ,min (µA (0) , µB (3)) ,

,min (µA (2) , µB (1)) ,min (µA (1) , µB (2)))

= 0

µf(A,B)(4) = max(

min (µA (4) , µB (0)) , ...,

,min (µA (1) , µB (3)) , ...,

,min (µA (2) , µB (2)))

= 0

µf(A,B)(5) = max(

,min (µA (5) , µB (0)) , ...,

,min (µA (2) , µB (3)) , ...,

,min (µA (3) , µB (2))) , ...

= 0.04

µf(A,B)(6) =

= max (...,min (µA (3) , µB (3)) , ...,min (µA (2) , µB (4)) , ...)

= max (0.04, 0.21) = 0.21

µf(A,B)(7) = max(...,

,min (µA (4) , µB (3)) , ...,

,min (µA (3) , µB (4)) , ...,

,min (µA (2) , µB (5)))

= max (0.04, 0.22, 0.21)

= 0.22

2.4. FAZI BROJ I PRINCIP PROIRENJA 41

µf(A,B)(8) = max(...,

,min (µA (4) , µB (4)) , ...,

,min (µA (5) , µB (3)) , ...

= max (0.17, 1.00, 0.15, 0.04)

= 1.00

µf(A,B)(9) = max(...,

,min (µA (5) , µB (4)) , ...,

,min (µA (3) , µB (6)) , ...

= max (0.05, 0.17, 0.15, 0.12, 0.04)

= 0.17

= max(...,

,min (µA (5) , µB (5)) , ...,

,min (µA (4) , µB (6))) , ...

= max (0.03, 0.05, 0.15, 0.12, 0.06, 0.01)

= 0.15

Prema tome je :

C =

{0.00

0,0.00

1,0.00

2,0.00

3,0.00

4,0.04

5,0.21

6,0.22

7,1.00

8,0.17

9,0.15

10

}

GLAVA 3

FAZI INFERENTNI SISTEMI

U klasi£noj logici iskazima je dodeljena jedna od dve vrednosti: istina-neistina (true-false, 1-0). Za razliku od klasi£ne logike [17], fazi logika do-zvoljava da se iskazima pridruºi mera istinitosti iz intervala [0, 1]. U tomsmislu je fazi logika generalizacija klasi£ne dvovalentne logike. Takav pristupomogu¢uje ve¢i stepen slobode pri preciznom opisu �nepreciznih� prirodnihpojava. Uvoenjem mere istinitosti omogu¢eno je fazi aproksimativno rezo-novanje, kakvo je u mnogim situacijama bliºe rezonovanju ljudi nego rezo-novanje zasnovano na klasi£noj dvovalentnoj logici.

Fazi aproksimativno rezonovanje koristi skup fazi Ako-Onda pravila oblika:Ako α Onda β, pri £emu je α antecedent pravila, a β konsekvent; α i β suagregacije fazi iskaza. Fazi rezonovanje je osnova funkcionisanja fazi infe-rentnih sistema, koji su nezaobilazna komponenta fazi kontrolera. Osnovnopravilo rezonovanja u dvovalentnoj logici je pravilomodus ponens (MP) 3.0.3.

(3.0.3)A

A→ BB

Iz dve premise: £injenice A i pravila, A→ B (iz A sledi B) zaklju£ujemoB. Klasi£ni modus ponens zahteva da se £injenica A potpuno �poklapa� salevim delom pravila A → B, ako to nije slu£aj, zaklju£ak B se ne izvodi.Fazi rezonovanje se zasniva na generalizovanom modus ponensu (GMP) kojije oblika 3.0.4.

(3.0.4)A‘

A→ BB‘

U 3.0.4 je dozvoljeno da se A‘ ne poklapa potpuno sa levim delom pravila,A. Kaºemo da je A‘ sli£no A ili da A‘ li£i na A. Zaklju£ak B‘ li£i na desnideo pravila B u meri u kojoj A‘ li£i na A. Na ovaj na£in omogu¢eno je

43

44 3. FAZI INFERENTNI SISTEMI

aproksimativno rezonovanje [3, 2, 5]. Pravilo GMP je osnov fazi rezonovanjaako koristi fazi iskaze kao u 3.0.5.

(3.0.5)premisa 1: x je A‘premisa 2: Ako (x je A) Onda (y je B)zaklju£ak: (y je B‘)

U 3.0.5 su A i A‘ kao i B i B‘ fazi skupovi (lingvisti£ki termini) kojipredstavljaju fazi promenljive x i y respektivno, pri £emu su A, A‘ i Bde�nisani nad domenimaX, X i Y respektivno, a premisa 2 (fazi implikacija)je binarna fazi relacija R = A → B nad X × Y . Zaklju£ak B‘ nastao izpremise 1 i premise 2 je de�nisan nad domenom Y . Za dalje obja²njenje faziinferentnih sistema neophodno je de�nisati fazi implikaciju.

3.1. Fazi implikacija

Fazi implikacija je od izuzetnog zna£aja pri izradi fazi inferentnih si-stema. Fazi implikacija se moºe tuma£iti kao fazi binarna relacija R = A→B nad X × Y . Zapis oblika A → B je £esto tuma£en kao fazi Ako-Onda(If-Then) pravilo, pri £emu je A antecedent pravila (Ako), a B konsekventpravila (Onda). Postoje desetine na£ina na koje je mogu¢e de�nisati funkcijupripadnosti µR (x, y) binarnoj relaciji R, (pogledati 3.1.1), iako nisu svi na-£ini kompatibilni sa klasi£nom implikacijom koja prima binarne argumente(true-false, 1-0). U Tabeli 1 (Fazi implikacije) su date de�nicije £esto ko-ri²¢enih fazi implikacija [2, 5, 3]; u tre¢oj koloni tabele je nazna£eno da lide�nicija fazi implikacije odgovara klasi£noj Bulovskoj de�niciji implikacijeza argumente 0, 1.

(3.1.1) R = A→ B = (((x, y) , µR (x, y)) | (x, y) ∈ X × Y )

Postoje tri osnovna na£ina tuma£enja izraza R = A→ B:1. T-implikacije oblika 3.1.2.

(3.1.2) µR (x, y) = t (µA (x) , µB (y))

U 3.1.2 je sa t ozna£ena kontinualna t-norma. U Tabeli 1 (Fazi implika-cije) navedene su £etiri £esto kori²¢ene T-implikacije.

2. S- implikacije oblika 3.1.3.

3.1. FAZI IMPLIKACIJA 45

Naziv De�nicija BulovskaT-implikacije

Mamdani µA→B (x, y) = min (µA (x) , µB (y)) NeLarsen µA→B (x, y) = µA (x) · µB (y) Ne

Ograni£eniproizvod

µA→B (x, y) = max (0, µA (x) + µB (y)− 1) Ne

Drasti£niproizvod

µA→B (x, y) = tdp (µA (x) , µB (y)) Ne

S-implikacijeKleene,Dienes

µA→B (x, y) = max (1− µA (x) , µB (y)) Da

ukasiewicz µA→B (x, y) = max (1, 1− µA (x) + µB (y)) DaKleene,Dienes,

ukasiewicz

µA→B (x, y) = 1− µA (x) + µA (x) · µB (y) Da

R-implikacije

Gödel µA→B (x, y) =

{1, µA (x) ≤ µB (y)µB (y) , u suprotnom

Da

Goguen µA→B (x, y) =

{1, µA (x) ≤ µB (y)µB(y)µA(x)

, u suprotnomDa

Standardnasekvenca

µA→B (x, y) =

{1, µA (x) ≤ µB (y)0, u suprotnom

Da

Tabela 1. Fazi implikacije

(3.1.3) µR (x, y) = s(µA (x) , µB (y)

)U 3.1.3 je sa s ozna£ena s-norma, a A je komplement fazi skupa A. Ova-

kvo tuma£enje fazi implikacije je u skladu sa tuma£enjem klasi£ne implikacijejer je: A → B ⇔ ¬A ∨ B, odnosno: A → B ⇔ s

(µA (x) , µB (y)

). etiri

£esto kori²¢ene S-implikacije navedene su u Tabeli 1 (Fazi implikacije).3. R-implikacije oblika 3.1.4.

(3.1.4) µR (x, y) = supk ∈ [0, 1]

(t (µA (x) , k) ≤ µB (y)) , ∀x ∈ X, y ∈ Y

U 3.1.4 sa t je ponovo ozna£ena kontinualna t-norma.


Slika 3.2.1. Metoda odsecanja

3.2. Metoda odsecanja

Metoda odsecanja [2, 3, 5] ili metoda se£enja koristi Mamdani implika-ciju, pogledati Tabelu 1 (Fazi implikacije) zasnovanu na minimumu. Metodaprora£unava stepen saglasnosti (sli£nosti) ozna£en sa α, izmeu skupova A iA‘, a zatim do zaklju£ka B‘ dolazi �odsecanjem� fazi skupa B. Postupak jeprikazan na slici 3.2.1.

Prvo je odreen stepen saglasnosti α fazi skupova A i A‘ kao �maksimumminimuma� odnosno �maksimalni od minimalnih�, a zatim je fazi skup B�odse£en� tako da je formiran fazi skup B‘.

Za slu£aj sup-t kompozicije mera pripadnosti fazi skupu B‘ prora£unavase na slede¢i na£in:

µB‘ (y) = sup

x ∈ Xmin (µA‘ (x) , µR (x, y)) =

= sup

x ∈ Xmin (µA‘ (x) ,min (µA (x) , µB (y)))

= sup

x ∈ Xmin (µA‘ (x) , µA (x) , µB (y))

= min

supx ∈ X min (µA‘ (x) , µA (x)) , µB (y)

= min (α, µB (y)) , ∀y ∈ Y

3.2. METODA ODSECANJA 47

Dakle, zaklju£ak B‘ nad Y izveden je pomo¢u funkcije min koja primaargumente α i µB (y). Ovde je:

(3.2.1) α = supx ∈ X

min (µA‘ (x) , µA (x))

U specijalnom slu£aju imamo da je:

(3.2.2) α = maxx ∈ X

min (µA‘ (x) , µA (x))

Zaklju£ak B‘ se ra£una kao u 3.2.3.

(3.2.3) B‘ = tmin (α,B)

Primer 16. Metoda odsecanja i primena lingvisti£kog modi�katora.

Dati su diskretni fazi skupovi A i A′ de�nisani nad univerzumom X ={x1, ..., x10} i B de�nisan nad univerzumom Y = {y1, ..., y10}:

A =

{0.000

x1,0.586

x2,0.629

x3,0.744

x4,1.000

x5,0.783

x6,0.629

x7,0.582

x8,0.425

x9,0.000

x10

}A′ =

{0.000

x1,0.561

x2,0.693

x3,1.000

x4,0.757

x5,0.691

x6,0.590

x7,0.472

x8,0.340

x9,0.000

x10

}B =

{0.000

y1,0.535

y2,0.699

y3,0.709

y4,0.837

y5,1.000

y6,0.746

y7,0.615

y8,0.565

y9,0.000

y10

}Odrediti stepen saglasnosti α skupova A i A′, a zatim metodom odsecanjaizvesti B′. Koristiti modi�kator i odrediti fazi skup C =manje-vise(D), gdeje D = norm(B′). Ovde je norm oznaka operacije normalizacije, a modi�-kator manje-vise je de�nisan sa:µDβ (y) = (µD(y))

β, ∀y ∈ Y, β = 0.5.

Re²enje:

α = max (min (0, 0) ,min (0.586, 0.561) , ...,min (1, 0.757) , ...,min (0, 0))

α = max (0, 0.561, ..., 0.757, ..., 0)

α = 0.757


Stepen saglasnosti α = 0.757.

B′ =

{0.000

y1,0.535

y2,0.699

y3,0.709

y4,0.757

y5,0.757

y6,0.746

y7,0.615

y8,0.565

y9,0.000

y10

}D =

{0.000

y1,0.707

y2,0.923

y3,0.937

y4,1.000

y5,1.000

y6,0.985

y7,0.812

y8,0.746

y9,0.000

y10

}C =

{0.000

y1,0.841

y2,0.961

y3,0.968

y4,1.000

y5,1.000

y6,0.993

y7,0.901

y8,0.864

y9,0.000

y10

}Zaklju£ak B′ izveden je iz B tako ²to su mere pripadnosti koje su ve¢e

od α, zamenjene sa α.

Primer 17. Metoda odsecanja i primena lingvisti£kog operatora.

Dati su diskretni fazi skupovi A i A′ de�nisani nad univerzumom X ={x1, ..., x10} i B de�nisan nad univerzumom Y = {y1, ..., y10}:

A =

{0.000

x1,0.527

x2,0.651

x3,0.745

x4,1.000

x5,0.718

x6,0.623

x7,0.576

x8,0.434

x9,0.000

x10

}A′ =

{0.000

x1,0.578

x2,0.694

x3,1.000

x4,0.799

x5,0.603

x6,0.514

x7,0.439

x8,0.359

x9,0.000

x10

}B =

{0.000

y1,0.561

y2,0.613

y3,0.798

y4,0.801

y5,1.000

y6,0.710

y7,0.680

y8,0.537

y9,0.000

y10

}Odrediti stepen saglasnosti α skupova A i A′, a zatim metodom odsecanjaizvesti B′. Koristiti modi�kator i odrediti fazi skup C = veoma(D), gde jeD = norm(B′). Ovde je norm oznaka operacije normalizacije, a modi�katorveoma je de�nisan sa:µDβ (y) = (µD(y))

β, ∀y ∈ Y, β = 2.

Re²enje:

α = max (min (0, 0) ,min (0.527, 0.578) , ...,min (1, 0.799) , ...,min (0, 0))

α = max (0, 0.527, ..., 0.799, ..., 0)

α = 0.799

Stepen saglasnosti α = 0.799.

B′ =

{0.000

y1,0.561

y2,0.613

y3,0.798

y4,0.799

y5,0.799

y6,0.710

y7,0.680

y8,0.537

y9,0.000

y10

}


Slika 3.2.2. Zaklju£ivanje sa dva antecedenta

D =

{0.000

y1,0.702

y2,0.767

y3,0.999

y4,1.000

y5,1.000

y6,0.889

y7,0.851

y8,0.672

y9,0.000

y10

}C =

{0.000

y1,0.493

y2,0.589

y3,0.997

y4,1.000

y5,1.000

y6,0.790

y7,0.724

y8,0.452

y9,0.000

y10

}3.2.1. Zaklju£ivanje sa vi²estrukim antecedentima. U slu£aju po-

stojanja n £injenica gde je n > 1, a samim tim i pravila sa n antecedenata uAko delu, izraz 3.0.5 biva transformisan u izraz 3.2.4.

(3.2.4)premisa 1: x1 je A′1 , ... , xn je A

′n

premisa 2: Ako (x1 je A1) and ... and (xn je An) Onda (y je B)zaklju£ak: y je B′

Slu£aj sa dve £injenice u premisi 1, odnosno dva antecedenta pravila upremisi 2 (n = 2), ilustrovan je na slici 3.2.2.

U prvom koraku prora£unati su stepeni saglasnosti α1 i α2 pomo¢u 3.2.1(odnosno 3.2.2). U slu£aju �and� operatora u pravilu ukupni stepen sagla-snosti α prora£unat je na slede¢i na£in: α = min (α1, α2). Zaklju£ak B′

prora£unat je pomo¢u 3.2.3.Za slu£aj sa n £injenica ukupni stepen saglasnosti se ra£una pomo¢u

3.2.5.

(3.2.5) α = min (α1, ..., αn)

Ukupni stepen saglasnosti α pokazuje u kojoj meri je zadovoljen Ako deofazi pravila. U op²tem slu£aju operator �and� u pravilima moºe biti zame-njen operatorom �or�, odnosno bilo kojom kombinacijom ova dva operatora.Takoe, mogu¢a je upotreba negacije fazi iskaza u pravilima.

3.2.2. Zaklju£ivanje sa vi²estrukim antecedentima i vi²estrukim

pravilima. Ovakav slu£aj podrazumeva da pored n £injenica u premisi 1


postoji vi²e od jednog pravila (m pravila), odnosno vi²e premisa koje su fazipravila. Izraz 3.2.4 biva transformisan u izraz 3.2.6.

(3.2.6)premisa 1: x1 je A′1 , ... , xn je A

′n

premisa 2: Ako (x1 je A1,1) and ... and (xn je An,1) Onda (y je B1)...premisa m+1: Ako (x1 je A1,m) and ... and (xn je An,m) Onda (y je Bm)

zaklju£ak: y je B′

Slu£aj sa vi²estrukim pravilima je posebno zna£ajan za razvoj fazi infe-rentnih sistema. Postojanje vi²e fazi Ako-Onda pravila podrazumeva druga-£iji pristup projektovanju inferentnih sistema u odnosu na pristup koji koristiklasi£na, Bulovska Ako-Onda pravila. U klasi£nom slu£aju, Onda deo pra-vila se izvr²ava samo ukoliko je zadovoljen Ako deo pravila (zadovoljen je umeri 1, prema tome pitanje mere se u ovom slu£aju ne postavlja.) U slu£ajufazi Ako-Onda pravila Ako deo je zadovoljen u odreenoj meri iz interavala[0, 1], prema tome Onda deo pravila se izvr²ava u meri u kojoj je zadovoljenAko deo pravila. Implikacija na rad inferentnog sistema sa vi²e fazi pravilaje slede¢a: svako pravilo se izvr²ava uvek, ali u odreenoj meri. Pitanje kojese name¢e jeste kako prora£unati ukupan zaklju£ak koji proizilazi iz sistemafazi pravila? Na slici 3.2.3 gra�£ki su prikazani zaklju£ci dva pravila: B′1 iB′2.

Ukupni zaklju£ak B′ proiza²ao izm pravila prora£unava se pomo¢u 3.2.7.

(3.2.7) B′ =m⋃i = 1

B′i

Zaklju£ak B′ je unija zaklju£aka pojedina£nih fazi pravila ²to je na slici3.2.3 prikazano pomo¢u zbirne povr²ine.

Primer 18. Pomo¢u metode odsecanja izvesti zaklju£ak B′ ako su datufazi skupovi A1 i A′1 nad X, A2 i A

′2 nad Z i B nad Y .

A1 =

{0.2

x1,0.3

x2,1.0

x3,0.9

x4,0.4

x5,0.2

x6

}


Slika 3.2.3. Zaklju£ivanje sa dva pravila

A′1 =

{0.4

x1,0.7

x2,0.8

x3,1.0

x4,0.6

x5,0.3

x6

}

A2 =

{0.1

z1,0.7

z2,1.0

z3,0.8

z4,0.6

z5

}

A′2 =

{0.3

z1,1.0

z2,0.6

z3,0.4

z4,0.2

z5

}

B =

{0.2

y1,0.3

y2,0.5

y3,0.9

y4,1.0

y5,0.4

y6,0.0

y7

}Re²enje:

Stepen saglasnosti fazi skupova A1 i A′1 je α1 =0.9. Stepen saglasnostiskupova A2 i A′2 je α2 =0.7. Ukupni stepen saglasnosti je α = min (α1, α2) =

0.7. Ukupni zaklju£ak je: B′ ={

0.2y1, 0.3y2 ,

0.5y3, 0.7y4 ,

0.7y5, 0.4y6 ,

0.0y7

}.


3.3. Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji

Osim metodom odsecanja, zaklju£ak se moºe izvesti pomo¢u fazi relacije.Neka su data dva univerzuma X i Y , relacija R nad X×Y i fazi skup A nadX. Razlikujemo dva na£ina za izvoenje zaklju£ka pomo¢u fazi relacije [5]:

(1) Zaklju£ivanje zasnovano na kompoziciji fazi skupa i fazi relacije.Zaklju£ak B′ ra£una se kao u 3.3.1

(3.3.1) B′ = A ◦R

Koriste se jedna£ine 2.3.12 odnosno 2.3.13, a postupak je ilustrovanu primerima 13 i 14.

(2) Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji.

Ovaj tip zaklju£ivanja koristi cilindri£no pro²irenje fazi skupa i projekcijufazi relacije.

Cilindri£no pro²irenje fazi skupa A de�nisano je kao u 3.3.2.

(3.3.2) µA×Y (x, y) = µA (x) , x ∈ X, y ∈ Y

Cilindri£no pro²irenje je pro²irenje fazi skupa elementima iz drugog uni-verzuma. Ako je Y = {y1, ..., y5}, cilindri£no pro²irenje fazi skupa ilustro-vano je na slici 3.3.1.

U specijalnom slu£aju, fazi skup A je �ponovljen� onoliko puta kolikoima elemenata u drugom univerzumu.

Projekcija fazi relacije R na univerzum Y , u oznaci RY de�nisana je u3.3.3.

(3.3.3) µRY =∨x∈X

µR (x, y)

Specijalno je:

(3.3.4) µRY = maxx∈X

µR (x, y)

Projekcija fazi relacije je �inverzna� cilindri£nom pro²irenju fazi skupa;projekcijom fazi relacija biva svedena na fazi skup nad Y , u oznaci (·)Y .

Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji je de�nisano u 3.3.5.

3.3. ZAKLJUIVANJE ZASNOVANO NA PROJEKCIJI 53

Slika 3.3.1. Cilindri£no pro²irenje

(3.3.5) B′ = ((A× Y ) ∩R)Y

Primer 19. Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji.


A′ =

{0.000

x1,0.514

x2,0.626

x3,1.000

x4

}

R =

0.440 0.710 0.000

0.330 0.430 0.680

0.480 0.440 0.240

0.230 0.300 0.830

Metodom projekcije fazi relacije izvesti B′.

Re²enje:


A× Y =

0.000 0.000 0.000

0.514 0.514 0.514

0.626 0.626 0.626

1.000 1.000 1.000

, (A× Y ) ∩R =

0.000 0.000 0.000

0.330 0.430 0.514

0.480 0.440 0.240

0.230 0.300 0.830

B' = ((A× Y ) ∩R)Y =

{0.480y1

, 0.440y2 ,0.830y3

}.

Prvo je fazi skup A cilidri£no pro²iren nad Y ; mere pripadnosti eleme-nata fazi skupu A �ponovljene� su tri puta (po koloni) jer univerzum Yima tri elementa. Naeni su minimumi odgovaraju¢ih elemenata cilindri£-nog pro²irenja fazi skupa A i relacije R, a zatim je zaklju£ak B′ izveden kaomaksimum elemenata po kolonama. Moºe se primetiti da max-min kompo-zicija fazi skupa i fazi relacije i metoda zaklju£ivanja projekcijom daju istirezultat.

Primer 20. Zaklju£ivanje zasnovano na projekciji.


A′ =

{0.000

x1,0.536

x2,0.617

x3,1.000

x4

}

R =

0.520 0.560 0.520

0.550 0.890 0.310

0.050 0.480 0.420

0.460 0.980 0.050

Metodom projekcije fazi relacije izvesti B′.

Re²enje:

A× Y =

0.000 0.000 0.000

0.536 0.536 0.536

0.617 0.617 0.617

1.000 1.000 1.000

, (A× Y ) ∩R =

0.000 0.000 0.000

0.536 0.536 0.310

0.050 0.480 0.420

0.460 0.980 0.050

B' = ((A× Y ) ∩R)Y =

{0.536y1

, 0.980y2 ,0.420y3

}.

3.3.1. Op²ti oblik zaklju£ivanja. U op²tem slu£aju, relacija A→ B(iz A sledi B) kao sastavni deo pravila zaklju£ivanja: generalizovani modusponens 3.0.4, nije poznata ve¢ su poznati fazi skupovi A i B. Na osnovu3.3.1 i 3.3.5 mogu¢e je napisati:

(3.3.6) B′ = ((A× Y ) ∩ (A→ B))Y = A ◦ (A→ B)

3.3. ZAKLJUIVANJE ZASNOVANO NA PROJEKCIJI 55

U op²tem slu£aju, zaklju£ak B′ kada imamo n pravila: R1 = A1 → B1,..., Rn = An → Bn izvodi se na slede¢i na£in:

(3.3.7) B′ = (A ◦R1) ∪ ... ∪ (A ◦Rn)

Jedinstven metod za odreivanje relacije R = A → B odnosno odre-ivanje relacije R na osnovu fazi skupova A i B ne postoji. Neka mogu¢atuma£enja simbola → data su u Tabeli 1 (Fazi implikacije). Postupak jeilustrovan na slede¢em primeru.

Primer 21. Odreivanje relacije R = A→ B.

Neka su dati fazi skupovi A nad X i B nad Y :

A =

{0.5

x1,

1

x2,0.2

x3

}

B =

{0.4

y1,0.7

y2,

1

y3

}Prema Tabeli 1 (Fazi implikacije) odrediti: A→ B ako se koriste slede¢a

tuma£enja fazi implikacije: Mamdani, Larsen, Kleeni-Dienes, ukasiewicz,Gödel.

Re²enje:Prvo je potrebno odrediti cilindri£na pro²irenja A× Y i X ×B:

A× Y =

0.5 0.5 0.51 1 10.2 0.2 0.2

X ×B =

0.4 0.7 10.4 0.7 10.4 0.7 1

Prema Mamdanijevom tuma£enju fazi implikacije imamo:

A→ B =

min (0.5, 0.4) min (0.5, 0.7) min (0.5, 1)min (1, 0.4) min (1, 0.7) min (1, 1)min (0.2, 0.4) min (0.2, 0.7) min (0.2, 1)

= 0.4 0.5 0.50.4 0.7 1

0.2 0.2 0.2

Prema Larsen-u imamo:

A→ B =

0.5 · 0.4 0.5 · 0.7 0.5 · 11 · 0.4 1 · 0.7 1 · 10.2 · 0.4 0.2 · 0.7 0.2 · 1

= 0.2 0.35 0.50.4 0.7 1

0.08 0.14 0.2


Prema Kleeni-Dienes tuma£enju implikacije je:

A→ B =

max (1− 0.5, 0.4) max (1− 0.5, 0.7) max (1− 0.5, 1)max (1− 1, 0.4) max (1− 1, 0.7) max (1− 1, 1)max (1− 0.2, 0.4) max (1− 0.2, 0.7) max (1− 0.2, 1)

=

0.5 0.7 10.4 0.7 10.8 0.8 1

Tuma£anjem fazi implikacije prema ukasiewicz-u imamo:

A→ B =

min (1, 1− 0.5 + 0.4) min (1, 1− 0.5 + 0.7) min (1, 1− 0.5 + 1)min (1, 1− 1 + 0.4) min (1, 1− 1 + 0.7) min (1, 1− 1 + 1)min (1, 1− 0.2 + 0.4) min (1, 1− 0.2 + 0.7) min (1, 1− 0.2 + 1)

=

0.9 1 10.4 0.7 11 1 1

Prema Gödel-u je:

A→ B =

0.4 1 10.4 0.7 11 1 1

GLAVA 4

FAZI KONTROLERI I PRIMENE

Fazi logi£ki kontroler (Fuzzy Logic Controller - FLC ) ponekad je na-zvan fazi lingvisti£ki kontroler jer koristi fazi logiku i lingvisti£ke termine zaopis sistema kojim se upravlja, a u upotrebi je od 1970-tih godina. Sma-tra se da je britanski nau£nik E. Mamdani [6, 2, 18, 19] prvi upotrebioovu vrstu kontrole na primeru upravljanja parnim kotlom u laboratorijskimuslovima; naime u kontrolni mehanizam inkorporirao je znanje ljudskog ope-ratera tako da je pomo¢u automatskog kontrolera uspeo da odrºi konstantanpritisak pare na izlazu. Mamdani je inspiraciju na²ao upravo u radovimaL. A. Zadeh-a o fazi skupovima i fazi logici. Fazi logi£ki kontroleri na²li suprimenu u domenima u kojima su se do tada upotrebljavali proporciono inte-gro diferencijalni (PID) kontroleri. Fazi logi£ki kontroleri se upotrebljavajuu slede¢im slu£ajevima:

• objekat ili problem upravljanja je nelinearan,• ako postoje strukturne i/ili nestrukturne neodreenosti,• matemati£ki model objekta nije poznat ili je dinami£ki-vremenskipromenljiv,• ako je objekat upravljanja sloºen.

Dakle, nije potrebno potpuno razumevanje objekta kojim ºelimo da upra-vljamo u smislu njegove strukture, sloºenosti i dinamike; upravo to je razlogzbog koga se FLC koristi za upravljanje mnogim prakti£nim sistemima kojinisu u potpunosti poznati niti je poznata njihova egzaktna de�nicija kakvaje potrebna za PID kontrolu.

Fazi upravljanje je upravljanje pomo¢u kvalitativnih opisa; koriste se faziIf -Then (Ako - Onda) pravila £ija je forma obja²njena u prethodnim pogla-vljima. Kvalitativna pravila de�ni²u domenski eksperti koji poznaju pojavei procese do nivoa kada su u mogu¢nosti da ih opi²u pomo¢u lingvisti£kihAko - Onda pravila. Osnovna ²ema fazi kontrolera prikazana je na slici 4.0.1.

Ulaz koji moºe biti vektorska veli£ina dovodi se u FLC gde se izvodi za-klju£ivanje pomo¢u fazi inferentnog sistema (Fuzzy Inference System - FIS )

57

58 4. FAZI KONTROLERI I PRIMENE

Slika 4.0.1. Fazi logi£ki kontroler - osnovna ²ema

koji koristi lingvisti£ka If - Then pravila. Lingvisti£ki termini de�nisani supomo¢u fazi skupova. Izlaz FLC je upravlja£ka veli£ina, uobi£ajeno skalarnavrednost ali je mogu¢e da je fazi skup ili vektorska veli£ina.

Postoje dva tipa FLC [5]: FLC za poziciono upravljanje (prora£unava sevrednost izlaza y) i FLC za brzinsko upravljanje (prora£unava se promenavrednosti izlaza ∆y).

Smatra se da je prvu prakti£nu primenu FLC ostvario E. Mamdani 1980.godine za kontrolu proizvodnje cementne mase u Danskoj �rmi F. L. Smidth.

4.1. Mamdani tip fazi kontrolera

Izrada Mamdani tipa fazi kontrolera podrazumeva slede¢e korake [4, 18,19]:

(1) identi�kacija ulaznih veli£ina, njihovog broja i lingvisti£kih terminakojima su ozna£ene, kao i njihovih brojevnih opsega (de�nicija ula-znih fazi promenljivih),

(2) identi�kacija izlaznih veli£ina, lingvisti£kih termina kojima su ozna-£ene i njihovih brojevnih opsega (de�nicija izlaznih fazi promenlji-vih),

(3) de�nicija funkcija pripadnosti lingvisti£kih vrednosti za svaku vred-nost fazi ulaznih promenljivih i fazi izlaznih promenljivih,

(4) konstrukcija skupa fazi If - Then pravila (If deo pravila sastoji seod fazi propozicija koje uklju£uju ulazne promenljive, a povezanesu fazi veznicima, Then deo je analogan If delu ali uklju£uje izlaznepromenljive),

(5) odabir metoda za implementaciju fazi logi£kih operatora (AND,OR) i metoda defazi�kacije.

ema Mamdani tipa fazi kontrolera na osnovu [2] prikazana je na slici 4.1.1.Ulaz u Mamdani FLC moºe biti fazi skup A′ ili crisp vrednost x. Uko-

liko je na ulazu crisp vrednost potrebno je izvr²iti fazi�kaciju ulaza ²to za

4.1. MAMDANI TIP FAZI KONTROLERA 59

FazifikacijaFazi logičko zaključivanje

Defazifikacija

A'fazi

xcrisp

A'fazi singleton B'

fazi

y0

crisp

Fazi pravila

Slika 4.1.1. Mamdani tip fazi kontrolera

rezultat daje broj iz [0, 1]. Fazi zaklju£ivanje se vr²i za slu£aj sa vi²estrukimantecedentima i vi²estrukim pravilima, pogledati 3.2.6, a fazi implikacija jeimplementirana kao funkcija min (Mamdani implikacija), pogledati Tabelu1 (Fazi implikacije). Rezultati svih fazi pravila bivaju agregirani (unija faziskupova, funkcija max ), tako da je na izlazu Mamdani FLC zbirni zaklju£akB′. U praksi je veoma £esto potrebno da izlaz bude crisp broj tako da postojiopcioni proces defazi�kacije. Funkcionisanje Mamdani FLC se moºe opisatislede¢im koracima:

(1) fazi�kacija ulaza,(2) primena fazi logi£kih operatora (ulazna agregacija),(3) izvoenje zaklju£ka za svako pravilo pomo¢u Mamdani implikacije,(4) izlazna agregacija, formiranje zbirnog zaklju£ka,(5) defazi�kacija.

U prethodnim poglavljima koraci od 1 do 4 su teoretski obja²njeni, preostajeobja²njenje defazi�kacije.

4.1.1. Defazi�kacija. Pri prakti£nim primenama fazi kontrolera £estoje potrebno da izlaz procesa fazi zaklju£ivanja bude crisp broj [5, 2, 4, 7].Tada je potrebno izvr²iti defazi�kaciju fazi zaklju£ka B′, tako da na izlazudobijamo skalarnu vrednost. Modul za defazi�kaciju je sastavni deo Mam-dani tipa fazi kontrolera, kao ²to se to vidi sa slike 4.1.1. Pod defazi�kaci-jom podrazumevamo �prevoenje� povr²ine zbirnog zaklju£ka B′ u skalarnuvrednost; predloºeno je vi²e metoda defazi�kacije ali se u praksi £esto kori-sti svega nekoliko. Na slici 4.1.2 prikazan je zbirni zaklju£ak B′ i ozna£enje skup Y 0 ⊆ Y . Za elemente skupa Y 0 vaºi da pripadaju u skup B′ samaksimalnom merom.

Postupkom defazi�kacije odreujemo vrednost yo ∈ Y koja najbolje re-prezentuje zbirni zaklju£ak B′ ∈ F (Y ).

Skup Y 0 je de�nisan u 4.1.1.


Slika 4.1.2. Defazi�kacija

(4.1.1) Y 0 ={y0|µB′

(y0)

= maxy∈Y

µB′ (y)

}Ukoliko samo jedan element imam maksimalnu meru pripadnosti zbir-

nom zaklju£ku B′ tada je izlaz prora£unat kao u 4.1.2:

(4.1.2) yo = arg{

maxy∈Y

µB′ (y)

}U slu£aju da skup Y 0 ima vi²e £lanova prora£unava se srednja vrednost

(mom - mean of maxima) prema 4.1.3.

(4.1.3) y0 =

´Y 0

y0dy0

´Y 0

dy0

Ako je y0 ∈ [yleft, yright], imamo da je rezultat prora£unat com (centerof maxima) metodom 4.1.4.

(4.1.4) y0 =yleft + yright

2


Za diskretni slu£aj kada imamo n elemenata u skupu Y 0 = {y1, ..., yn} ,rezultat y0 ra£unamo metodom mom kao u 4.1.5.

(4.1.5) y0 =

n∑yi

i = 1

n

Pored navedenih metoda £esto se koristi metoda centra gravitacije (cog- center of gravity) 4.1.6:

(4.1.6) y0 =

´Y

yµB′ (y) dy

´Y

µ (y) dy

Za diskretni slu£aj imamo 4.1.7:

(4.1.7) y0 =

∑Y

yµB′ (y)

∑Y

µB′ (y)

Primer 22. Izvr²iti defazi�kaciju zbirnog zaklju£ka B′ metodama:

(1) com (4.1.4),(2) mom (4.1.5) i(3) cog (4.1.7)

za :

B′ =

{0.15

1,0.34

2,0.58

3,0.82

4,0.82

5,0.82

6,0.43

7,0.04

8

}Re²enje:Y 0 = {4, 5, 6}

(1) com: y0 = 4+62 = 5(2) mom: y0 = 4+5+63 = 5(3) cog : y0 = 0.82·4+0.82·5+0.82·60.82+0.82+0.82 =

3.28+4.1+4.922.46 =

12.32.46 = 5


4.1.2. Primer izrade fazi kontrolera. Pogodan jednostavan primerizrade fazi logi£kog kontrolera Mamdani tipa je model automatskog menja£astepena prenosa na motornim vozilima.

Koraci izrade Mamdani tipa fazi kontrolera podrazumevaju:1. Odreivanje broja i naziva ulaza (lingvisti£ki termini) i nji-

hovih opsega.

Za ulaze moºemo odabrati:

• poloºaj pedale za gas (u procentima),• brzinu kretanja vozila (km/h, od 0 do 250),• ubrzanje vozila,• broj obrtaja radilice motora u minuti, (od 0 do 10000),• snagu motora (KW , od 40 do 150),• nagib puta (u procentima),• modalitet voºnje (gradska voºnja, otvoreni put, itd).

2. Odreivanje broja i naziva izlaza (lingvisti£ki termini) i nji-

hovih opsega.

U ovom slu£aju imamo jedan izlaz:

• stepen prenosa (od 1 do 5)Ovim su de�nisane ulazne i izlazne fazi promenljive.

3. De�nicija funkcija pripadnosti lingvisti£kih vrednosti za

svaku vrednost fazi ulaznih promenljivih i fazi izlaznih promen-

ljivih.Vrednosti se de�ni²u pomo¢u fazi skupova. Na slici 4.1.3 prikazan je

primer de�nicije lingvisti£kih vrednosti ulazne fazi promenljive �Brzina�, ana slici 4.1.4 prikazan je primer de�nicije lingvisti£kih vrednosti izlazne fazipromenljive �Stepen prenosa�.

De�nicije lingvisti£kih vrednosti preostalih ulaznih fazi promenljivih sepostiºu na analogan na£in.

4. Konstrukcija skupa fazi If - Then pravila.

Primer mogu¢ih pravila dat je u nastavku; potrebno je primetiti da ulazipravila R1 i R2 koriste izlaze pravila P1 i P2:

P1: Ako je brzina vozila mala AND nagib puta je pozitivno velik ANDubrzanje vozila srednje Tada je na£in voºnje: voºnja na strmoj uzbrdici.

P2: Ako je brzina vozila srednja (Medium) AND nagib puta negativnovelik AND ubrzanje malo Tada je na£in voºnje: voºnja na strmoj nizbrdici.


Slika 4.1.3. Lingvisti£ke vrednosti fazi promenljive �Brzina�

Slika 4.1.4. Lingvisti£ke vrednosti fazi promenljive �Stepen prenosa�


R1: Ako je na£in voºnje: voºnja na strmoj uzbrdici Tada je stepen pre-nosa u menja£u mali.

R2: Ako je na£in voºnje: voºnja na strmoj nizbrdici Tada je stepenprenosa u menja£u mali.

5. Odabir metoda za implementaciju fazi logi£kih operatora

(AND, OR) i metoda defazi�kacije.

Fazi AND je implementiran pomo¢u funkcije min, fazi OR je implemen-tiran pomo¢u funkcije max, za metod defazi�kacije izabran je mom, a im-plikacija je u Mamdani tipu fazi kontrolera implementirana pomo¢u funkcijemin.

Vaºno je napomenuti da postoje mnogobrojne varijacije implementacijesistema koji se modeluje putem FLC. U faze izgradnje fazi kontrolera oba-vezno su uklju£eni domenski eksperti, u ovom slu£aju eksperti za podsistemza promenu stepena prenosa kod motornih vozila.

Prostiji primer modela automatskog menja£a stepena prenosa podrazu-meva:

• dve ulazne promenljive: brzinu vozila (Brzina) i broj obrtaja radilicemotora (BORM),• jednu izlaznu promenljivu: stepen prenosa (SP).

FLC je mogu¢e modelovati pomo¢u Fuzzy Logic Toolbox FIS (Fuzzy Infe-rence System) editora [6] u sklopu softverskog paketa Matlab.

Primer 23. Uz pomo¢ Fuzzy Logic Toolbox-a modelovati Mamdani FLCautomatskog menja£a stepena prenosa sa dva ulaza i jednim izlazom.

Re²enje:

Na slici 4.1.5 je prikazan model automatskog menja£a stepena prenosasa dva ulaza (brzina kretanja vozila - Brzina i broj obrtaja radilice motora-BORM) i jednim izlazom (stepen prenosa - SP), kao i implementacija fazioperatora, izlazne agregacije i metoda defazi�kacije.

Slede¢i korak je de�nicija vrednosti promenljivih pomo¢u fazi skupova:Broj obrtaja radilice motora (BORM)

• mali = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(-10,0,20,40),• veliki = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(30,40,70,80).

Na slici 4.1.6 prikazana je de�nicija lingvisti£kih vrednosti �mali� i �veliki�fazi promenljive �BORM �, pomo¢u Fuzzy Logic Toolbox-a.


Slika 4.1.5. Automatski menja£, ulazi i izlaz

Slika 4.1.6. De�nicija lingvisti£kih vrednosti fazi promen-ljive BORM


Slika 4.1.7. De�nicija lingvisti£kih vrednosti fazi promen-ljive Brzina

Brzina kretanja vozila (Brzina)

• sporo = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(-10,0,30,60),• brzo = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(40,80,200,250).

Na slici 4.1.7 prikazana je de�nicija lingvisti£kih vrednosti �sporo� i �brzo�fazi promenljive �Brzina�, pomo¢u Fuzzy Logic Toolbox-a.

Stepen prenosa (SP) - izlazna, kontrolisana promenljiva

• nizak = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(0,1,3,4),• srednji = trimf(a,b,c) = trimf(2,3,4),• visok = trapmf(a,b,c,d) = trapmf(3,4,5,6).

Na slici 4.1.8 prikazana je de�nicija lingvisti£kih vrednosti �nizak �, �srednji�i �visok � fazi promenljive �SP �, pomo¢u Fuzzy Logic Toolbox-a.

Odabrana su tri jednostavna fazi pravila koja opisuju rad automatskogmenja£a stepena prenosa:

IF BORM = mali AND Brzina = sporo THEN SP = nizak,IF BORM = veliki OR Brzina = brzo THEN SP = visok,IF BORM = mali AND Brzina = brzo THEN SP = srednji.


Slika 4.1.8. De�nicija lingvisti£kih vrednosti fazi promen-ljive SP

Fazi pravila se unose pomo¢u jednostavnog interfejsa koji je prikazan naslici 4.1.9.

Za vrednosti ulaznih promenljivih: �BORM � = 27 i �Brzina� = 58, FLCprora£unava vrednost izlazne promenljive SP, slika 4.1.10.

Prora£unata vrednost za izlaznu promenljivu �SP � je 3.99 ²to odgovara£etvrtom stepenu prenosa.

Potrebno je napomenuti da tri upotrebljena fazi pravila koja opisuju radautomatskog menja£a stepena prenosa ni izbliza ne modeluju ovaj podsistemsa dovoljnom precizno²¢u, niti su vrednosti fazi promenljivih odgovaraju¢eza upotrebljiv sistem.

itaocu je prepu²teno da radi veºbe razvije model automatskog menja£astepena prenosa motornih vozila, koji radi u meri koja je vi²e zadovoljava-ju¢a.


Slika 4.1.9. Interfejs za unos fazi pravila

Slika 4.1.10. Fuzzy Logic Toolbox, prora£un vrednosti izlaza

4.2. SUGENO TIP FAZI KONTROLERA 69

Fazi logičko zaključivanje

xcrisp

y0

crisp

Fazi pravila

Slika 4.2.1. Sugeno tip fazi kontrolera

4.2. Sugeno tip fazi kontrolera

Prora£uni da se izvede zaklju£ak primenom FLC Mamdani tipa £estosu previ²e zahtevni u smislu vremenskog trajanja. Procesi fazi�kacije, izvo-enja zaklju£ka i defazi�kacije su spori u slu£ajevima upravljanja sloºenimsistemima koji moraju raditi u realnom vremenu.

Sugeno fazi inferentni sistem, (Takagi-Sugeno-Kang, TSK) predloºila sutrojica autora [20, 21, 22]. Struktura FLC baziranong na Sugeno tipu za-klju£ivanja, prikazana na slici 4.2.1, je znatno jednostavnija od FLC Mam-dani tipa (pogledati sliku 4.1.1).

Sugeno tip zaklju£ivanja se razlikuje od Mamdani tipa zaklju£ivanja potome ²to ne postoje moduli za fazi�kaciju i defazi�kaciju, ²to zna£i da se naulaz Sugeno tipa inferentnog sistema ne moºe dovesti fazi skup, a izlaz morabiti crisp vrednost. Samim tim struktura pravila se razlikuje od Mamdanitipa fazi If - Then pravila. Bitna razlika je u Then delu pravila koji umestofazi propozicija kao kod Mamdani tipa, sadrºi linearnu funkciju zavisnostiizlaza od ulaznih veli£ina. Struktura Sugeno tipa fazi If - Then pravila jedata u 4.2.1.

(4.2.1)premisa 1: x1 je x′1 , ... , xn je x

′n

premisa 2: Ako (x1 je A1,1) and ... and (xn je An,1) Onda (y1 = f1 (x1, ..., xn))

...

premisa m+1: Ako (x1 je A1,m) and ... and (xn je An,m) Onda (ym = fm (x1, ..., xn))

zaklju£ak: y je y0


Svako od m pravila Sugeno tipa daje zaklju£ak yi, i = 1, ...,m. Ukupnizaklju£ak y0 ra£una se prema 4.2.2 ili prema 4.2.3.

(4.2.2) y0 =α1y1 + ...+ αmymα1 + ...+ αm

(4.2.3) yo = α1y1 + ...+ αmym

U 4.2.2 odnoso 4.2.3, αi je stepen zadovoljenja If dela i-tog pravila, kao²to je to slu£aj kod Mamdani tipa fazi pravila. Brzina kojom Sugeno faziinferentni sistem izvodi prora£une delom zavisi od jednostavnih linearnihfunkcija izlaza fi.

Primer 24. Po ugledu na Primer 23 izrade FLC Mamdani tipa, izraditiFLC Sugeno tipa za model automatskog menja£a stepena prenosa.

Re²enje:Bitna promena odnosi se na fazi pravila koja su u ovom slu£aju slede¢eg

oblika:IF BORM = mali AND V = sporo THEN y1 = c1,0+c1,1 ·BORM+c1,2 ·BrzinaIF BORM = veliki OR V = brzo THEN y1 = c2,0 +c2,1 ·

Documents

SadrºajSadrºaj Predgovor 3 Deo 1. AZIF LOGIKA I AZIF INFERENTNI SISTEMI 5 Glaav 1. AZIF SKUPOVI 7 1.1. De nicija fazi skupa 8 1.2. unkFcija pripadnosti fazi skupa 10 1.3. Osnove